Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano

Conteúdos do 7º ano

Conteúdos do 8º ano

Conteúdos do 8º Ano Teorema de Pitágoras Funções Semelhança de triângulos Ainda os números Lugares geométricos Estatística

Conteúdos do 7º Ano

Do Espaço ao Plano Semelhança de Figuras ( está abordado nos

conteúdos do 8º ano) Conhecer melhor os números Conjuntos e operações Equações Proporcionalidade directa Estatística (está abordado nos conteúdos do 8º ano)

Teorema de PitágorasTeorema:Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

a

b

c

C2= a2+b2

Determinação da hipotenusa

h2 = 52 + 122

h2 = 25 + 144 h2 = 169 h = 13 cm

15 2 = c2 + 92

225 = c2 + 81 225 - 81 = c2

C2 = 144 C = 12

Determinação de um cateto

9 cm5 cm

12 cmc 15 cmh

Semelhança de triângulos

Critérios de semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes se:

Tiverem dois ângulos geometricamente iguais

Tiverem os três lados correspondentes directamente proporcionais

Tiverem dois lados directamente proporcionais e o ângulo por eles formado for igual

Escola EB 2,3 Prof. Dr. Egas Moniz - Avanca

Aplicação dos critérios de semelhança de triângulos

Semelhança de triângulos

1. Determina a altura da árvore.

• Serão os triângulos [ABE] e [CDE] semelhantes? Sim, porque tem dois ângulos geometricamente iguais, o de 90º e o ângulo AEB.• Determinação da altura da árvore. 5,2 = h h = 5,2 x 0,8 : 1,6 1,6 0,8 h = 5,2 x 0,8 : 1,6 h = 2,6 mA altura da árvore é de 2,6 metros.

3,6 + 1,6 = 5,2 m

Semelhança de triângulosRelação entre perímetros e áreas de figuras semelhantes

Se dois polígonos A e B são semelhantes e a razão de semelhança de A para B é r, então:

• A razão entre os perímetros de A e B é r.

• A Razão entre as áreas de A e B é r2.

PB:PA= r

AB:AA =r2

Funções

Definição : Uma função é uma correspondência entre A e B que a cada elemento de A faz corresponder um e um só

elemento de B

Formas de definir uma função:•Por um diagrama•Por uma tabela•Por uma expressão analítica•Por um gráfico

Funções definidas por um diagrama

Ex. Não são funçõesEx. Funções

1234

-1-2-3

1

2

-1

2

123

-1-7-2-4-3

A B

Df = {1;2,3}

D’f = {-1;-2,-3}

Objectos: 1;2,3

Imagens: -1;-2;-3

A – Conjunto de Partida

B – Conjunto de chegada

f ( 2 ) = -2

f ( x ) = -x

f

Funções definidas por uma Tabela

Df = {1;2,3;4}

D’f = {4;8;12;16}

Objectos: 1;2,3;4

Imagens: 4;8;12;16

Variável independente: Lado do quadrado

Variável dependente: Perímetro do quadrado

f ( 2 ) = 8

f ( x ) = 4x

Seja a função f definida pela tabela seguinte

Lado de um quadrado (L) 1 2 3 4Perímetro do quadrado (P) 4 8 12 16

Funções definidas por uma expressão analítica

Seja a função f definida pela seguinte expressão analítica

f(x ) = 2x -1

•Calcular a imagem sendo dado o objecto

f(3) = 2 x 3 -1 f(3) = 5

•Calcular o objecto sendo dada a imagem f(x) = 15 2x – 1 = 15 2x = 15 + 1 2x = 16 x = 8

(3;5) e (8;15) pertencem à recta que é gráfico da função f.

Funções definidas por um gráfico

•Variável independente: Peso•Variável dependente: Custo•F( … ) = 12•F(1) = …..•Tipo de função: Linear•Expressão analítica: f(x) = 6x

Ainda os Números

oMúltiplos e divisores

oPotências

oNotação cientifica

Múltiplos e divisores ( m.m.c)

1º processoM12 = {0;12;24;36;48;60…}

M30 = {0;30;60…}

m.m.c = {60}

Determina o m.m.c(12;30)2º processo12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1

12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5

m.m.c = 22 x 3 x5 = 60

Produto dos factores primos comuns e não comuns elevados ao maior expoente

Múltiplos e divisores ( M.d.c)

1º processoD12 = {1;2;3;4;6;12}

D30 = {1;2;3;5;6;10;15;30}

M.d.c = {6}

Determina o m.d.c(12;30)2º processo12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1

12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5

M.d.c = 2 x 3 = 6

Produto dos factores primos comuns elevados ao menor expoente

Potências Regras operatórias das potências

•Multiplicação•Com a mesma base 2-2 x 27 = 25

•Com o mesmo expoente (-2)3 x (-7)3 = 143

•Divisão•Com a mesma base 2-2 : 27 = 2-9 =

•Com o mesmo expoente (-24)3 : (-6)3 = 43

•Potencia de potência (23)5 = 215

3)2(

•Potencia de expoente inteiro negativo 5-1 = 1 5

Potencia de expoente nulo 50 = 1

Notação Científica Definição: Diz-se que um número está escrito em notação cientifica se está escrito na forma de um produto de um número a entre 1 e 10 e uma potência de base 10, e escreve-se: a x 10n , com 1≤a<10 Ex: Escreve os seguintes números em notação cientifica 253 x 10 -3 6769800 0,0000008 76,9 x 105

Operações com números escritos em notação científica• Multiplicação(2,1 x 10-3) x (2 x108) = (2,1 x2) x (10-3 x 108) = 4,2 x 105

• Divisão(8,04 x 10-7) : ( 4,02 x 105) = 2,02 x 10-12

Lugares geométricosUma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de um ponto fixo chamado centro da circunferência.

O círculo é o lugar geométrico dos pontos pertencentes a uma circunferência ou ao seu interior.

exterior de uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam do centro da circunferência mais do que o seu raio.

Lugares geométricos

Coroa circular:É o conjunto dos pontos do plano que se encontram a uma distancia de C maior ou igual a r1 e menor ou igual a r2.

r1

r2

Mediatriz de um segmento de recta, [AB]

É o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos extremos do segmento de recta, [AB]

Lugares geométricos

Bissectriz de um ânguloBissectriz de um ângulo A bissectriz é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados de um ângulo.

•circuncentro – Ponto de intersecção das mediatrizes dos lados de um triangulo.

•Incentro - Ponto de intersecção das bissectrizes dos lados de um triangulo.

•Baricentro – Ponto de intersecção das medianas de um triângulo

Lugares geométricos no espaçoSuperfície esférica e esfera

Ao lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes de um ponto fixo chamado centro, dá-se o nome de superfície esférica.

A esfera é o lugar geométrico de todos os pontos do espaço que se encontram a igual ou menor distância de um ponto fixo chamado centro.

Lugares geométricos no espaçoPlano mediador

O plano mediador de um segmento de recta é o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes dos extremos do segmento de recta.

O plano mediador é perpendicular ao segmento de recta e contém o ponto médio desse segmento de recta.

Estatística

oRecolha de dados

oTabelas de frequências

oGráficos

oMedidas de tendência CENTRAL

qualitativos

Representam a informação que não susceptível de ser medida, mas de ser classificação.

Exemplos:

-Cor dos olhos dos alunos de uma turma . Podem ser castanhos, azuis ou verdes.

Representam a informação que pode ser medida, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta ou contínua.

Exemplo

quantitativos

Notas de Matemática, do 7ºF, no final do 2º período.

Exemplo

Altura dos jogadores da equipa de futebol do FCP.

Estatística – Recolha de dados

Tipo de dados

Estatistica - Contagem dos dados3637383940

total

12273

18

4142

21

Que número calças?

37;41;38;39;42;37;

40;39;41;39;39;40;

39;39;40;39;38;36

Frequência absoluta (f)

Frequência relativa (fr)

Fr em percentagem 6 %

11 %11 %39 %16 %11 %

X 100%

1 : 18 = 0,062 : 18 = 0,112 : 18 = 0,117 : 18 = 0,393 : 18 = 0,16

1,00

3637383940

total

4142

12273

18

21

2 : 18 = 0,111 : 18 = 0,06 6 %

100 %

Estatística - Tabelas de frequências

Estatística - Gráficos de barras

Número do sapato dos alunos de uma turma

12 2

7

32

1

02468

36 37 38 39 40 41 42nº do sapato

freq

uenc

ia a

bsolu

ta

Pictograma= 1 aluno

Número do sapato dos alunos do 7º F

36373839404142

nº do sapato

Estatística - Pictograma

Estatística - Gráficos circulares

Frequência absoluta (f) Graus

20º40º40º

140º60º

360º

18 1360

x36018 x 20x

3637383940

total

4142

12273

18

21

40º20º

18 2360

x360x2

18 x 40x72018 x

18 7360

x360x7

18 x 140x252018 x

18 3360

x360x3

18 x 60x108018 x

Estatística - Gráficos circulares

Estatística – Medidas de tendência central

Frequência absoluta (f)

36 137 238 239 740 341 242 1Total 18

36 1 +37 2 +38 2 +39 7 +40 3+42 1 18

X

36 +74 +76 +273 +120+82+42 18

X

70318

X 39,1X

Média

A média do número do sapato dos alunos é 39,1

Estatística – Medidas de tendência centralFrequência absoluta (f)

36 137 238 239 740 341 242 1Total 18

Moda - É o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos.Neste caso a moda é 39.Mediana - Ordenados os elementos, a mediana é o valor que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.

36;37;37;38;38;39;39;39;39;39;39;39;40;40;40;41;41;42

(39 + 39) : 2 = 39

EQUAÇÃO: é uma igualdade entre duas expressões onde, pelo menos numa delas, figura uma ou mais letras .

3x+5=2-x+4

Sou equação

3+(5-2-4) = 3+1

Não sou equação

xxx 43223

1º membro 2º membro

• termos: ; -2 ; 3x ; - 4 ; - x

• incógnita: x

• termos com incógnita: 3x ; - x ;

• termos independentes: -2 ; -4

x23

x23

Equações

Solução de uma equação: é um número que colocado no lugar da incógnita transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira

183 x6 SOLUÇÃO

verdadeiraproposição1863

127 x 1520 x5 SOLUÇÃO 5 SOLUÇÃO

Equações equivalentes: 127 x 1520 xMesmo conjunto solução

Equações

Equações sem parênteses e sem denominadores

4365 xx •Resolver uma equação é determinar a sua solução.

102 x

•efectuamos as operações.

2

102

2

x

•Dividimos ambos os membros pelo coeficiente da incógnita.

Conjunto solução 5

5x

•Determinamos a solução.

4635 xx

•Numa equação podemos mudar mudar termos de um membrotermos de um membro para o outro, desde que lhes troquemos o sinaltroquemos o sinal•Num dos membros ficam os termos com incógnita e no outro os termos independentes

EQUAÇÕES COM PARÊNTESES

• simplificação de expressões com parênteses:•Sinal menos antes dos parêntesesSinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses

trocando os sinais dos termos que estão dentro 53225322 xxxx

•Sinal mais antes dos parênteses:Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses mantendo os sinais que estão dentro. 15231523 xxxx

•Número antes dos parênteses:Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses, aplicando a propriedade distributiva. 22661332 xxxx

8625312 xxx

Como resolver uma equação com parênteses.

•Eliminar parênteses.8661512 xxx

•Agrupar os termos com incógnita.

8661152 xxx

•Efectuar as operações

312 x

•Dividir ambos os membros pelo coeficiente da incógnita

123

1212

x

41

x •Determinar a solução, de forma simplificada.C.S =

41

EQUAÇÕES COM DENOMINADORES

436 33

42

21 xx

•Começamos por reduzir todos os termos ao mesmo denominador.

12

412126

126 xx

12

41212

66 xx

•Duas fracções com o mesmo denominador são iguais se os numeradores forem iguais. xx 41266

•Podemos tirar os denominadores desde que sejam todos iguais.

12646 xx

182 x

92

18x

Esta fracção pode ser apresentada da seguinte forma 2

32

522

23

xx

Sinal menos antes de uma fracção

23523

xx •O sinal menos que se encontra antes da

fracção afecta todos os termos do numerador.

1(2) (6) (3) (3)

2218

321 xx

743

743437

348234334842

xxx

xxxx

218

321 xx

•Começamos por “desdobrar” a

fracção que tem o sinal menos antes.(atenção aos sinais!)

•Reduzimos ao mesmo denominador e eliminamos os denominadores.

EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES

•Devemos começar por eliminar os parênteses e depois os denominadores

312

2213

xxx

31

32

223

23

xxx

(3) (3) (3) (2) (2)

24399 xxx 29439 xxx

112 x 211

211

xx

C.S.=

211

Proporcionalidade directaProporcionalidade directa

Dados dois números a e b (com 0b ), a razão entre a e

b representa-se por:

:a b ou ab

(ler: razão de a para b ).

Termos a antecedenteb consequente

•Razão

GRANDEZAS DIRECTAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo 3

A tabela seguinte relaciona o número de iogurtes com o respectivo custo.

Número de iogurtes 1 2 3 4 ... Preço (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Observa a variação destas duas grandezas. Verificas que quanto maior é o número de

iogurtes comprados, maior é o seu custo; correspondendo ao dobro do número de iogurtes o dobro

do custo, ao triplo do número de iogurtes o triplo do custo, etc.

Número de iogurtes 1 2 3 4 ... Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Diz-se por isso, que o custo é directamente proporcional ao número de iogurtes.

3

2

3

2

PROPORCIONALIDADE DIRECTA E TABELAS. CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE

Número de iogurtes 1 2 3 4 ... Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Na prática, como reconhecer se uma tabela traduz uma situação de proporcionalidade

directa?

Observa a tabela e completa:

0,51

; 12

; 1,53

; 24

; ...

Logo,

0,5 1 1,5 2 ...1 2 3 4

CustoNúmero de iogurtes

=

ou seja,

o quociente entre o custo e o número de iogurtes é constante, pois é sempre igual a .

0,5 0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Sendo assim, diz-se que:

O custo é directamente proporcional ao número de iogurtes.

Ao quociente constante chama-se constante de proporcionalidade

e representa o preço de 1 iogurte.

De um modo geral,

Se numa tabela cada valor de uma linha se obtém multiplicando (ou dividindo) o valor correspondente da outra linha sempre pelo mesmo número, então as grandezas nela representadas são directamente proporcionais.

A grandeza y é directamente proporcional à grandeza x

se existe um número k, de modo que:

y kx

ou y kx ;

se y é zero, x também é zero.

Ao número k chama-se constante de proporcionalidade.

Preço(em €)

n.º iogurtes1 2 3

O,51

1,5

PROPORCIONALIDADE DIRECTA E GRÁFICOS CARTESIANOS

Número de iogurtes 1 2 3 4 ... Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Exercício 1

Com base na tabela, constrói um gráfico cartesiano que relacione o preço com a quantidade

de iogurtes.

Percentagens 5 % de 120 chocolates são _______

0,05 x 120 = 6 6 chocolates em 50 são ___% 50------- 100% x = 6 x 100 : 50 6 -------- x 150 acrescidos de 10% são ____ 150 + 10% = 150 +15 = 165 500 com um desconto de 20% ____ 500 - 20% = 500-100 = 400

Resolução de problemas envolvendo Percentagens

1- O preço de um sofá é de 300€, sem IVA.Sabendo que o IVA é 21%, quanto é o valor, em euros, do IVA deste sofá? Qual é o preço final do sofá?21% de 300 = 300 x 21% = 63300 + 63 = 363O preço final do sofá é 363 euros.

2- Uma camisola custava 56 euros e a Ana que era amiga da dona da loja, comprou-a por 42 euros. Qual foi a percentagem de desconto?

Euros %56 -------------------------- 10042 --------------------------- x x = 42 x 100 : 56 = 75%100 – 75 % = 25 % O desconto foi de 25%.

Conjuntos numéricos

IN

Q

ZIN0

-3 -56

-12 -4

0

41

314

96

IN - Conjunto dos números Naturais

IN = {1;2;3;4;5;6…}

IN0 - Conjunto dos números Inteiros

IN0 ={0;1;2;3;4;5;6…}

Z - Conjunto dos números Inteiros relativos

Z= {… -3;-2;-1;0;1;2;3;…}

Q- Conjunto dos números racionais

Q = z U { números fraccionários}

Completa com os simbolos ; ; ; -1 ….. N 1,4 ….. Z -3 …… Z- 0 …… N 3 …… N 4 …… Z- N…… Z 2,3 …… Q