MateMática B

Ga

bo

r ru

szka

i/sh

utt

erst

oc

k

polisaber 5

aula 8 MateMática B

127-

3

exeRcícios

1. (enem-MeC) Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120°. a ponta seca está representada pelo ponto C, a ponta do grafite está representada pelo ponto B e a cabeça do compasso está representada pelo ponto A conforme a figura a seguir.

1

0 3 x

y A

B

C

120º

após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. ao receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados.

Tipo de material Intervalo de valores de raio (cm)

i 0 < R ≤ 5

ii 5 < R ≤ 10

iii 10 < R ≤ 15

iV 15 < R ≤ 21

V 21 < R ≤ 40

Considere 1,7 como aproximação para 3.

o tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será a) ib) iic) iiid) iVe) V

10 10

R

120º

30º 30º

R RR R R

sen 120º10

sen 30 32

1012

10 3 10 1,7 17 cm=°

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ =

Portanto, o material adequado será o iV.

MateMática B aula 8

6 polisaber

127-

3

2. (Unicamp-sp) Considere que o quadrado ABCD, representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de 1 cm, e

que C é o ponto médio do segmento AE . Consequentemente, a distância entre os pontos D e E será igual a:

D C

BA

E

a) 3 cm

b) 2 cm

c) 5 cm

d) 6 cm

3. (Fuvest-sp) o paralelepípedo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB = 4, BC = 2 e BF = 2.

A B

DC

GH

FE

o seno do ângulo HÂF é igual a:

a) 1

2 5

b) 1

5

c) 2

10

d) 2

5

e) 3

10

4. (Vunesp) Uma lancha e um navio percorrem rotas lineares no mar plano com velocidades constantes de 80 e

30 km/h, respectivamente. suas rotas, como mostra a figura, estão definidas por ângulos constantes de medi-

das iguais a α e β, respectivamente. Quando a lancha está no ponto L e o navio no ponto N, a distância entre

eles é de 10 km.

10 km

N

LLancha

Navio

β

β

β

αα

α

sendo P o ponto em que a lancha colidirá com o navio, demonstre que o ângulo obtuso será igual a α + β. em se-

guida, calcule a distância entre N e P, considerando cos ( )9

16α + β = − .

A B

DC

GH

22

4

α

FE

FH é a diagonal do retângulo EFGH: FH2 = 42 + 22 ⇒ FH2 = 20

AH é a diagonal do quadrado ADHE: AH2 = 22 + 22 ⇒ AH2 = 8

AF é a diagonal do retângulo ABFE: AF2 = 42 + 22 ⇒ AF2 = 20aplicando a lei dos cossenos no triângulo HAF:

= + − ⋅ ⋅ ⋅ α ⇒

= + − ⋅ ⋅ ⋅ α ⇒ ⋅ ⋅ α = ⇒ α =

FH AH AF AH AF2 cos

20 8 20 2 8 20 cos 8 10 cos 8 cos1

10

2 2 2

como ainda não foi visto a relação fundamental (sen2 x + cos2 x = 1), para determinar o sen α, usaremos a técnica do triângulo:

m

1

α

10

m m m m10 1 10 1 9 32

2 2 2 2= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =

∴ αsen =3

10

α

β

10 km

N

y

P x

Lr

s

t

sendo α o ângulo que a lancha forma com a reta horizontal (r) e β o ângulo que o navio forma com a reta horizontal (t), passamos uma reta (s), paralela às retas (r) e (t). o ângulo obtuso no ponto P será x + y. Porém, como as retas são paralelas, os ângulo x e α, e y e β são alternos internos, portanto x = α e y = β.

assim, o ângulo obtuso em P será α + β.

como = ⋅ ⇒ = ⋅= ⋅

S v t LP t

NT t8030

,

ou seja, = ⋅⋅

⇒ = ⋅LPNT

tt

LP NT8030

83

, aplicando a lei dos cossenos

no triângulo NPL, temos:

= + − ⋅ ⋅ ⋅ α + β ⇒

⇒ = + ⋅

− ⋅ ⋅ ⋅

⋅ −

⇒

⇒ = + ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

NP LP NP LP

NP NP NP NP

NP NP NP NP NP

10 2 cos ( )

10083

283

916

100649

3 100100

93 km

2 2 2

2

2

2 2 2 2

D C

BA

d

xd

E

1135º

45º

AC é a diagonal (d) do quadrado:

= ⇒ = ⇒ =d d d2 1 2 2 cm

C é ponto médio de AE , então: AC = CE = d

= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ⇒x 2 1 2 2 1 cos 13522

2

⇒ = − ⋅ −

⇒ = ⇒ =x x x3 2 2

22

5 5 cm2 2

polisaber 13

aula 9 MateMática B

127-

3

exeRcícios

1. (enem-MeC) Um marceneiro está construindo um material didático que corresponde ao encaixe de peças de madeira com 10 cm de altura e formas geométricas variadas, num bloco de madeira em que cada peça se posi-cione na perfuração com seu formato correspondente, conforme ilustra a figura. o bloco de madeira já possui três perfurações prontas de bases distintas: uma quadrada (Q), de lado 4 cm, uma retangular (R), com base 3 cm e altura 4 cm e uma em forma de um triângulo equilátero (T), de lado 6,8 cm, Falta realizar uma perfura-ção de base circular (C).o marceneiro não quer que as outras peças caibam na perfuração circular e nem que a peça de base circular caiba nas demais perfurações e, para isso, escolherá o diâmetro do círculo que atenda a tais condições. procurou em suas ferramentas uma serra copo (broca com formato circular) para perfurar a base em madeira, encontrando cinco exemplares, com diferentes medidas de diâmetros, como segue: (l) 3,8 cm (ii) 4,7 cm (iii) 5,6 cm (iV) 7,2 cm e (V) 9,4 cm.

R

T

C

Q

Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para 2 e 3 , respectivamente.para que seja atingido o seu objetivo, qual dos exemplares de serra copo o marceneiro deverá escolher?

a) ib) iic) iiid) iVe) V

2. (iTa-sp) a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 2160°. então, o número de diagonais desse polígono, que não passam pelo centro da circunferência que o circunscreve, é:

a) 50b) 60c) 70d) 80e) 90

chamando di o diâmetro interno e de o diâmetro externo, respectivamente, das circunferências inscrita e circunscrita as perfurações:

R

r

4

4

Para a perfuração quadrada:

= = =

= = = = ⋅ =

d r

d R

2 4 cm

2 2 4 2 4 1,4 5,6 cm

i

e

Rr

4

3

Para a perfuração retangular:

=

= + =

d

d

3 cm

3 4 5 cm

i

e2 2

Para a perfuração triangular regular:

= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= = ⋅ = ⋅

d r

d R r

2 213

32

13

6,8 1,7 3,85 cm

2 2 2 2 3,85 7,7 cm

i

e

��

�

a broca (i) 3,8 cm não serve, pois cabe na perfuração triangular.a broca (ii) 4,7 cm serve, pois não cabe em nenhuma das perfurações e nenhum objeto das perfurações cabe nela.Professor, se considerar interessante, teste para as outras alternativas.

r

R6,8

= − ⋅ ° ⇒ ° = − ⋅ ° ⇒ = − ⇒ =S n n n n( 2) 180 2160 ( 2) 180 12 2 14i

o número total de diagonais desse polígono será: dn n

d d( 3)2

14 (14 3)2

77= ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ =

No entanto, nem todas as diagonais passam pelo centro, veja:o triângulo equilátero (n = 3) não possui diagonais, então é claro que nenhuma passa pelo centro da circunferência circunscrita. o quadrado (n = 4) tem 2 diagonais e as 2 passam pelo centro. o pentágono regular (n = 5) tem 5 diagonais e nenhuma passa pelo centro. o hexágono regular (n = 6) tem 9 diagonais e 3 passam pelo centro da circunferência circunscrita... assim, chega-se à conclusão de que só terá diagonais, passando pelo centro da circunferência circunscrita o polígono regular que tem número de lados par (4; 6; 8; ...; 14; ...) e o número de diagonais passando pelo centro é a metade do número de lados.Portanto, para o polígono regular de 14 lados, 7 diagonais apenas passarão pelo centro e 77 − 7 = 70 diagonais não passarão.

Triânguloequilátero

(T)

Quadrado(Q)

Pentágonoregular

(P)

Hexágonoregular

(H)

MateMática B aula 9

14 polisaber

127-

3

3. (UFrGs-rs) Considere um pentágono regular ABCDE de lado 1. Tomando os pontos médios dos seus lados, cons-trói-se um pentágono FGHIJ, como na figura abaixo.

D

F

CE

A B

GJ

HI

a medida do lado do pentágono FGHIJ é:

a) sen 36°

b) cos 36°

c) sen 36°

2

d) cos 36°

2

e) 2 · cos 36°

4. (Fuvest-sp) prolongando-se os lados de um octógono convexo ABCDEFGH, obtém-se um polígono estrelado, con-forme a figura.

AB

CDEFG H

α4

α5

α3

α6

α7 α

8

α1

α2

a soma α1 + ... + α 8 vale: a) 180°b) 360°c) 540°

d) 720°e) 900°

estudo oRientado

exeRcícios

1. (enem-MeC) para uma alimentação saudável, recomenda-se ingerir, em relação ao total de calorias diárias, 60% de carboidratos, 10% de proteínas e 30% de gorduras. Uma nutricionista, para melhorar a visualização dessas porcen-tagens, quer dispor esses dados em um polígono. ela pode fazer isso em um triângulo equilátero, um losango, um pentágono regular, um hexágono regular ou um octógono regular, desde que o polígono seja dividido em regiões cujas áreas sejam proporcionais às porcentagens mencionadas. ela desenhou as seguintes figuras:

Prolongando-se CB e GH , forma-se o ângulo α1. Prolongando-

-se DC e AH forma-se o ângulo α2. e, assim, prolongando-se convenientemente os lados, todos os ângulos serão formados. a figura a seguir mostra os ângulos, α1 e α2:

A BCDE

FG H

α1

α2

os ângulos α1, C, D, E, F, e G formam um hexágono, cuja soma será:

= − ⋅ ° ⇒ α + + + + + = − ⋅ ° = °S n C D E F G( 2) 180 (6 2) 180 720i 1

os ângulos α2, D, E, F, G e H formam outro hexágono, cuja soma também será igual a 720°.o mesmo acontecerá com os ângulos α3, α4, ... , α8. assim:

C D E F G

D E F G H

E F G H A

F G H A B

G H A B C

H A B C D

A B C D E

B C D E F

720

720

720

720

720

720

720

720

1

2

3

4

5

6

7

8

α + + + + + = °α + + + + + = °α + + + + + = °α + + + + + = °α + + + + + = °α + + + + + = °α + + + + + = °α + + + + + = °

∴α + + α + ⋅ + + + + + + + = ⋅ ° ⇒⇒ α + + α + ⋅ − ⋅ ° = ⋅ ° ⇒⇒ α + + α + ° = ° ⇒ α + + α = °

A B C D E F G H... 5 ( ) 8 720

... 5 [(8 2) 180 ] 8 720

... 5400 5760 ... 360

1 8

1 8

1 8 1 8

a medida do ângulo interno do pentágono regular ABCDE é:

= − ⋅ ° ⇒ = − ⋅ ° ⇒ = °an

a a( 2) 180

5(5 2) 180

5108i i i

sendo M o ponto médio do lado HI , traça-se a mediatriz MD (figura):

36º54º

x xM

E

D

C

I H

12

assim, temos:x

xcos 3612

cos 362

° = ⇒ = °

como HI = 2x, temos:

HI HI2cos 36

2cos 36= ⋅ ° ⇒ = °

polisaber 21

aula 10 MateMática B

127-

3

exeRcícios

1. (enem-MeC) Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais.

Nível do mar

x

y

Quais devem ser os valores de x e de y, em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?a) 1 e 49.b) 1 e 99.c) 10 e 10.d) 25 e 25.e) 50 e 50.

2. (Vunesp) a figura indica um trapézio ABCD no plano cartesiano.

123456789

101112131415

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

y

B

A

D

C

a área desse trapézio, na unidade quadrada definida pelos eixos coordenados, é igual a:a) 160b) 175c) 180d) 170e) 155

a tela é dobrada de forma que sua base tenha a forma de um retângulo de dimensões x e y. a área dessa base será: S = x · y. o perímetro será: 2x + 2y = 100então, x + y = 50 ⇒ y = 50 – x; assim, temos: S = x · (50 – x)

= ⇒ = ⋅ − == ⇒ = ⋅ − == ⇒ = ⋅ − == ⇒ = ⋅ − =

x S

x S

x S

x S

1 1 (50 1) 49;

10 10 (50 10) 400;

25 25 (50 25) 625;

50 50 (50 50) 0

Portanto, para x = 25 encontramos a área máxima S = 625 e y = 25.

Professor, observe que a função S = x(50 − x) é uma parábola invertida, seu valor máximo está nas coordenadas do vértice xV = ba2

− , ou seja, esse seria outro caminho de resolução.

20

B

G 10 10D F

A

E

6

3

9

C

a área do trapézio ABCD é a soma das áreas do triângulo BCE com o quadrilátero AECD.a área do quadrilátero AECD é a área do retângulo CFGE menos as áreas dos triângulos ADG e CFD.

= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⇒ =

= ⋅ + ⇒ =

S S

S S

9 2010 3

210 9

2120

20 62

120 180 u.a.

AECD AECD

ABCD ABCD

MateMática B aula 10

22 polisaber

127-

3

3. (Fuvest-sp) Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimentos AB = 4 e BC = 2. sejam M o ponto médio do lado BC e N o ponto médio do lado CD. os segmentos AM e AC interceptam o segmento BN nos pontos E e F, respectivamente.

D

A

C

B

M

F

N

E

a área do triângulo AEF é igual a:

a) 2425

b) 2930

c) 6160

d) 1615

e) 2320

4. (Unicamp-sp) Considere o quadrado de lado a > 0 exibido na figura abaixo. seja A(x) a função que associa a cada 0 ≤ x ≤ a a área da região escura.

a

x

x

o gráfico da função y = A(x) no plano cartesiano é dado por:a) y

a x

a2

0

b) y

a x

a2

0

c) y

a x

a2

0

d) y

a x

a2

0

D

A

C

1

1

2

BG

MHx

x

xh

F

N2

4

2 – h

4 – x

2

45ºE

∆ABF ~ ∆CFN: h

hh

242

43−

= ⇒ =

BGEH é um quadrado, então ∆ABM ~ ∆AGE:

x xx

S S S

Sh x

S S

1 44

45

42

42

243

245

1615

AEF ABF ABE

AEF AEF AEF

=−

⇒ =

= − ⇒

⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ =

a

a

a – x

a – x

x

x

a área sombreada é a área do quadrado de lado a menos as áreas dos dois triângulos retângulos congruentes de lados a e a − x.

S aa a x

S a a a x S a x2( )

2( )2 2 2= − ⋅ ⋅ − ⇒ = − − ⋅ ⇒ = ⋅

a função S = ax é do primeiro grau em x, portanto seu gráfico é uma reta.

polisaber 31

aula 11 MateMática B

127-

3

exeRcícios

1. (eFoMM) Qual é a área, em centímetros quadrados, de uma circunferência inscrita em um triângulo equilátero, sabendo que este triângulo está inscrito em uma circunferência de comprimento igual a 10π cm?

a) 75

4π

b) 25

4π

c) 52π

d) 2516

π

e) 54π

2. (enem-MeC) o proprietário de um parque aquático deseja construir uma piscina em suas dependências. a figura representa a vista superior dessa piscina, que é formada por três setores circulares idênticos, com ângulo central igual a 60°. o raio R deve ser um número natural.

R60º

o parque aquático já conta com uma piscina em formato retangular com dimensões 50 m × 24 m. o proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente.Considere 3,0 como aproximação para π.o maior valor possível para R, em metros, deverá ser:

a) 16 b) 28 c) 29 d) 31 e) 49

3. (Unicamp-sp) a figura abaixo exibe um setor circular dividido em duas regiões de mesma área. a razão ab

é igual a:

a

b

a) 3 1+

b) 2 1+

c) 3

d) 2

a área da região S2 será: Sa

3602

2

= α ⋅π ⋅°

a área da região S será: Sa b( )

360

2

= α ⋅π ⋅ +°

a área da região S1 será: S1 = S – S2

segundo o enunciado, S1 = S2, portanto:S – S2 = S2 ⇒ S = 2 · S2

então, temos:

α ⋅ π ⋅ +°

= ⋅ α ⋅ π ⋅°

⇒

⇒ + + = ⇒ − − =

= − − ± − − ⋅ ⋅ −⋅

⇒

⇒ = ± ⇒ = ± ⇒

⇒ = ± ⇒ = ⋅ + ⇒ = +

a b a

a ab b a a ab b

ab b b

ab b

ab b

a b b a bab

( )360

2360

2 2 2 0

( 2 ) ( 2 ) 4 1 ( )2 1

2 82

2 2 22

2 (1 2) 1 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2

sejam S1, S2 as áreas das regiões assinaladas e S a área total, respectivamente.

S2

S1

ba

α

BaricentroR

r

o comprimento da circunferência maior é:R R

R r r r

2 10 5 cm

2 5 252

π π ⇒

= ⇒ = ⇒ =

= =

a área do círculo menor será:

S r S S52

254

cm2

2

2= π ⋅ ⇒ = π ⋅ ⇒ = π

a área de três setores circulares de 60° é equivalente a área de

um setor de 180°, ou seja, meio círculo: SR2

2

= π

Fazendo π = 3: SR32

2

=

como o proprietário deseja que essa área seja menor que a já existente:

RR R R

32

50 24 800 800 28,282

2< ⋅ ⇒ < ⇒ < ⇒ <

MateMática B aula 11

32 polisaber

127-

3

4. (Fuvest-sp) são dadas três circunferências de raio r, duas a duas tangentes. os pontos de tangência são P1, P2 e P3.

P3

P2

P1

Calcule em função de r:a) o comprimento do lado do triângulo equilátero T, determinado pelas três retas que são definidas pela seguinte

exigência: cada uma delas é tangente a duas das circunferências e não intercepta a terceira;

b) a área do hexágono não convexo cujos lados são os segmentos, ligando cada ponto P1, P2 e P3 aos dois vértices do triângulo T mais próximos a ele.

Er r

r

rO

D xx C

A

B

r

2r

P3

P2

P1

30º 30º

o lado (L) do triângulo T (∆ABC) será: L = 2x + 2r

( )

≡ ⇒

° = ⇒ = ⇒ = ⋅

∴ = ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ +

BDO BEO OBD OBE

trx

xr

x r

L r r L r

∆ ∆ ˆ ˆ 30°

g 303

3

3

2 3 2 2 3 1

= =

a área do hexágono não convexo é a área do triângulo equilátero T de lado L menos a área dos triângulos BCP1, ABP3 e ACP2, cujos valores são congruentes.

[ ] [ ]

= ⋅ − ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒

⇒ = ⋅ + + ⋅ − − ⇒

⇒ = ⋅ + + − − ⇒ = ⋅ +

SL L r

Sr r r

Sr r

S r

S r S r

assim:3

43

2

2 ( 3 1) 34

32 ( 3 1)

2

4 ( 3 1) 34

32 ( 3 1)

2

(3 2 3 1) 3 3 3 3

3 3 6 3 3 3 3 3 3H

h

2

h

2

h

2 2 2

h2

h2 2