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Lista de Exercícios para revisão do IFsul - Matemática

Professor Gaspar

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Observações Gerais :

1) Estudem áreas de figuras planas(dando atenção para polígonos regulares) 2) Estudem semelhança de triângulos 3) Estudem geometria espacial (dando atenção para prisma e cilindros) 4) Estudem PA e PG 5) Estudem função do 1º e 2º grau 6) Estudem Estatística, Combinatória e `Probabilidade 7) Estudem logaritmo 8) Estudem Produtos Notáveis e Fatoração

Segue abaixo algumas questões resolvidas que podem ajuda-los na revisão

1. O vazamento ocorrido em função de uma rachadura na estrutura da barragem de Campos Novos precisa ser estancado. Para

consertá-la, os técnicos verificaram que o lago da barragem precisa ser esvaziado e estimaram que, quando da constatação da

rachadura, a capacidade C de água no lago, em milhões de metros cúbicos, poderia ser calculada por 2C(t) 2t 12t 110,

onde t é o tempo em horas.

Com base no texto, analise as afirmações: l. A quantidade de água restante no lago, 4 horas depois de iniciado o vazamento, é de 30 milhões de metros cúbicos. II. A capacidade desse lago, sabendo que estava completamente cheio no momento em que começou o vazamento, é de 110

milhões de metros cúbicos. III. Os técnicos só poderão iniciar o conserto da rachadura quando o lago estiver vazio, isto é, 5 horas depois do início do

vazamento. IV. Depois de 3 horas de vazamento, o lago está com 50% de sua capacidade inicial. Todas as afirmações corretas estão em: a) I - II - III b) I - III - IV c) III - IV d) I - II - III - IV Resposta: [A]

[I] Correta. De fato, a quantidade de água no lago, em milhões de metros cúbicos, após 4 horas, é dada por

2C(4) 2 4 12 4 110 30.

[II] Correta. Com efeito, tem-se que C(0) 110.

[III] Correta. Os técnicos só poderão iniciar o conserto da rachadura quando C(t) 0, ou seja, quando

22t 12t 110 0 2 (t 5) (t 11) 0

t 5 h.

[IV] Incorreta. A quantidade de água no lago, em milhões de metros cúbicos, após 3 horas, é igual a

2C(3) 2 3 12 3 110 56.

Por outro lado, tem-se que 0,5 110 55 milhões de metros cúbicos.

2. Uma pequena fábrica de tubos de plástico calcula a sua receita em milhares de reais, através da função R(x) 3,8x, onde x

representa o número de tubos vendidos. Sabendo que o custo para a produção do mesmo número de tubos é 40% da receita


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mais R$ 570,00. Nessas condições, para evitar prejuízo, o número mínimo de tubos de plástico que devem ser produzidos e vendidos pertence ao intervalo: a) [240 ; 248]. b) [248 ; 260]. c) [252 ; 258]. d) [255 ; 260]. Resposta: [B] Para evitar prejuízo, deve-se ter

3,8x (0,4 3,8x 570) 0 2,28x 570

x 250.

Portanto, o número mínimo de tubos de plástico que devem ser produzidos e vendidos é igual a 251. Daí, segue que

251 [248, 260].

3. Num reservatório com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, de 1 metro de comprimento, 2 metros de largura e 5

metros de altura, solta-se um bloco de concreto. O nível da água que estava com 60% da altura do reservatório eleva-se até 3

4 da

altura. O volume de água deslocado (em litros) foi de: a) 4500. b) 1500. c) 5500. d) 6000. Resposta: [B]

Como 3

0,75,4 segue-se que o resultado pedido é

31 2 5 (0,75 0,6) 1,5 m 1500 L.

4. O conjunto dos valores de x para que 21 2xlog 2 x x exista como número real é

a) x | x 2 ou x 1 .

b) 1

x * | 2 x .2

c) 1

x | x 2 ou x .2

d) x | 2 x 1 .

e) 1

x * | x .2


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Resposta: [B] Das condições de existência dos logaritmos, deve-se ter

22 x x 0 (x 2)(x 1) 0

e e

1 1 2x 0 1x e x 0

2

2 x 1

e

1x e x 0

2

12 x e x 0.

2

Portanto, o conjunto dos valores reais de x para que 2

(1 2x)log (2 x x ) seja um número real é 1

x | 2 x .2

5. A figura abaixo tem as seguintes características:

- o ângulo E é reto;

- o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BD;

- os segmentos AE, BD e DE, medem, respectivamente, 5, 4 e 3.

O segmento AC, em unidades de comprimento, mede

a) 8. b) 12. c) 13.

d) 61.

e) 5 10.

Resposta: [E]

Desde que os triângulos ACE e BCD são semelhantes por AA, vem


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CD BD CD 4

5CE AE CD 3

CD 12.

Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ACE, encontramos

2 2 2 2 2 2AC AE CE AC 5 15

AC 5 10.

6. Na figura abaixo, o quadrado está inscrito na circunferência. Sabendo que a medida do lado do quadrado é 8cm, então, a área

da parte hachurada, em cm2, é igual a:

a) 4 2 .π

b) 8 4 .π

c) 8 2 .π

d) 4 4 .π

Resposta: [C] Seja r o raio do círculo. Tem-se que

2 r 8 2 r 4 2cm.

Portanto, a área hachurada, em 2cm , é dada por

2 2 21 1(4 2) (4 2) 8 16 8 16

2 4

8 ( 2).

π π π π

π

7. Para a realização de uma olimpíada escolar, os professores de educação física montam as turmas por meio da distribuição

das idades dos alunos. O gráfico abaixo representa a quantidade de alunos por suas idades.


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Considere as seguintes afirmações:

( ) Se um deles é sorteado aleatoriamente, a probabilidade de que tenha idade abaixo da média da turma é de 44%. ( ) O percentual de alunos de uma turma constituída por alunos cuja idade é maior ou igual a 18 anos é 56. ( ) A média de idade aproximada (em anos) de uma equipe formada por alunos cuja idade é menor ou igual a 18 anos é 17. A sequência correta, de cima para baixo, é: a) V - V - V b) V - V - F c) V - F - F d) F - F - V Resposta: [A] A idade média da turma é dada por

16 6 17 5 18 4 19 3 20 5 21 2 452

6 5 4 3 5 2 25

18.

A probabilidade de que um aluno sorteado ao acaso tenha idade abaixo da média é igual a

60 50100% 44%.

250

O percentual de alunos de uma turma constituída por alunos cuja idade é maior ou igual a 18 anos é

40 30 50 20100% 56%.

250

A média de idade aproximada (em anos) de uma equipe formada por alunos cuja idade é menor ou igual a 18 anos é

16 6 17 5 18 4 25317.

6 5 4 15

8. Durante o mesmo período, dois irmãos depositaram, uma vez por semana, em seus respectivos cofrinhos, uma determinada

quantia, da seguinte forma: o mais novo depositou, na primeira semana, R$ 1,00, na segunda, R$ 2,00, na terceira, R$ 3,00 e assim, sucessivamente, enquanto que o mais velho colocou R$ 10,00 semanalmente até que ambos atingissem a mesma quantidade de dinheiro. Não havendo retirada em nenhum dos cofrinhos, a quantia que cada irmão obteve ao final desse período, em R$, foi de a) 19. b) 21. c) 190. d) 210.


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e) 290. Resposta: [C] Considerando n a quantidade de depósitos, temos:

Primeiro irmão: n n 1

1 2 3 42

Segundo irmão: 10 10 10 10n

Igualando as duas expressões, temos:

2n n 1

10n n 19n 0 n não convém ou n 192

Portanto, no final do período cada irmão, obteve 10 19 R$190,00.

9. Um grupo de 8 pessoas deverá ser disposto, aleatoriamente, em duas equipes de 4 pessoas. Sabendo-se que João e José

fazem parte deste grupo, a probabilidade de que eles fiquem na mesma equipe é a) inferior a 0,3. b) superior a 0,3 e inferior a 0,4. c) igual a 0,4. d) superior a 0,4 e inferior a 0,45. e) superior a 0,45. Resposta: [D] Número de divisões possíveis dos grupos: C8,4 = 70 Grupos em que João e José estarão juntos: 2.C6,2 = 30 A probabilidade pedida será dada por: P = 30/70 = 0,428 10. Um pequeno produtor rural possui algumas vacas leiteiras. Para armazenar o leite ele possui um reservatório no formato de

paralelepípedo com dimensões da base 2 e 3 metros. A altura do reservatório é 2 2 metros. Quando a quantidade de

leite armazenado no reservatório atinge uma altura de 1 2 metros o produtor deve telefonar para que o laticínio vá buscar o

leite. Assim, quando o produtor telefonar para o laticínio, no reservatório haverá, no mínimo,

a) 36 2 3 m de leite.

b) 318 m de leite.

c) 312 m de leite.

d) 32 6 3 m de leite.

e) 36 m de leite.

Resposta:


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[A]

Volume mínimo de leite no reservatório

3V 3 2(1 2) 6 12 ( 6 2 3)m

11. Os valores de k para que as retas 2x + ky = 3 e x + y = 1 sejam paralelas e perpendiculares entre si, respectivamente, são

a) 3

2 e 1.

b) −1 e 1. c) 1 e −1. d) −2 e 2. e) 2 e −2. Resposta: [E]

r

s

2(r) 2x ky 3 m

(s) x

k

y 1 m 1

Para que r seja paralela a s: r s2

m m 1 k 2k

Para que r seja perpendicular a s: r s2

m m 1 ( 1) 1 k 2k

12. José tem uma dívida de R$ 120,00 que vencerá daqui 30 dias. Se ele pagar hoje a loja lhe dará um desconto de 4,5%.

Porém, hoje José comprou um outro produto que custa R$ 90,00 com o pagamento podendo ser feito daqui 30 dias, mas se ele pagar a vista a loja lhe dará um desconto de 5,8%. Entretanto, neste momento José dispõe de um valor do qual só é possível pagar a dívida antiga ou pagar o produto novo. Com base nessas informações, a diferença entre os descontos de uma opção e outra é a) R$ 0,00. b) R$ 0,13. c) R$ 0,18. d) R$ 1,30. e) R$ 30,00. Resposta:


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[C] 4,5% de R$ 120 = R$ 5,40 5,8% de R$ 90 = R$ 5,22 R$ 5,40 – R$ 5,22 = R$ 0,18. 13. Os alunos de uma escola foram divididos igualmente em 20 salas. 30% das salas possuem exatamente 40% de meninas.

40% das salas possuem exatamente 20% de meninas. 30% das salas possuem exatamente 60% de meninas. Se o total de alunos que são do sexo feminino nesta escola é 380, então o número total de alunos do colégio é a) 1000. b) 1200. c) 1300. d) 1400. e) 1500. Resposta: [A] x é o número de alunos em casa sala 30% de 20 = 6 e 40% de 20 = 8 Temos então 6 salas com 0,40x meninas, 8 salas com 0,20x meninas e 6 salas com 0,6x meninas. Assim:

6 0,4x 8 0,2x 6 0,6x 380

2,4x 1,6x 3,6x 380

7,6x 380

x 50

Portanto, o número de alunos da escola é 50 20 1000.

14. Em janeiro de 2010, certa indústria deu férias coletivas a seus funcionários, e a partir de fevereiro recomeçou sua produção.

Considere que a cada mês essa produção cresceu em progressão aritmética, que a diferença de produção dos meses de abril e outubro de 2010 foi de 420 itens, e que em outubro a produção foi de 1.120 itens. Desta forma, pode-se concluir que o número de itens produzidos em agosto de 2010 foi: a) 1.040 b) 910 c) 820 d) 980 Resposta: [D]

A produção mensal da indústria em 2010 corresponde à progressão aritmética 1 2 3 4 9 10(a , a , a , a , , a , a ), em que 1a denota a

produção no mês de fevereiro. Desse modo, como 9 3a a 420, temos que 1 1a 8r (a 2r) 420 6r 420 r 70,

sendo r a razão da progressão aritmética.

Além disso, sabendo que 9a 1120, vem:

1 11120 a 8 70 a 560.

Portanto, o número de itens produzidos em agosto de 2010 foi 7a 560 6 70 980.


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15. Quantos múltiplos de 13 existem entre 100 e 1000? a) 65. b) 80. c) 69. d) 49. e) 67. Resposta: [C] Os múltiplos de 13 entre 100 e 1000 formam a P.A. de razão 13 a: (104, 26, 39,..., 988) Admitindo que n é o número de termos da P.A., temos:

988 104 n 1 13

988 104 n 1 13

884 n 1 13

n 1 68

n 69

16. Um posto de combustíveis abastece mensalmente seu reservatório cilíndrico subterrâneo, cujas medidas estão indicadas no

esquema a seguir.

Considerando que o reservatório esteja vazio e que será abastecido com 80% de sua capacidade por um caminhão tanque, a uma

vazão de 10 L por segundo, em aproximadamente quantos minutos o reservatório será abastecido?

a) 59 min. b) 51 min. c) 47 min. d) 48 min. Resposta: [C]

A capacidade do reservatório é dada por

233 9

5 3,14 5 35,325 m 35325 L.2 4

π

Sabendo que o reservatório será abastecido com 80% de sua capacidade, segue que o caminhão tanque despejará

0,8 35325 28.260 litros no cilindro e, portanto, levará 28260

2.82610

segundos ou 2826

4760

minutos para realizar o

abastecimento.


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17. Uma piscina cilíndrica, cujas medidas são indicadas na figura abaixo, é cheia com uma mangueira a uma taxa de 1.570 L

por hora.

Com base nestes dados, e considerando 3,14,π analise as afirmações a seguir.

I. A função h(t), em que h indica a altura alcançada pela água dentro da piscina em metros e t o tempo em horas, é uma função do

segundo grau. II. O enchimento da piscina será interrompido quando a piscina estiver completamente cheia; neste caso, pode-se dizer que a

função h(t) tem como domínio o conjunto D t | 0 x 12,56 .

III. O tempo total de enchimento desta piscina será de 12 horas e 56 minutos. Assinale a alternativa correta. a) Apenas I e II são verdadeiras. b) Apenas II e III são verdadeiras. c) Todas as afirmações são verdadeiras. d) Apenas a afirmação II é verdadeira. Resposta: [D]

I. Falsa. Como o raio da base da piscina é 4

2 m2 e a vazão da mangueira é

31.570 L h 1,57 m h, segue que

2 1,572 h(t) 1,57 t h(t) t,

4π

π ou seja, f é uma função linear.

II. Verdadeira. Quando a piscina estiver totalmente cheia, teremos h(t) 1,57. Logo, 1,57

1,57 t t 12,56 s.4π

Portanto, como a piscina começa a ser enchida em t 0, segue que o domínio de h é D {t | 0 x 12,56}.

III. Falsa. De (II) vem

12,56 h 12 h 0,56 60min

12 h 33,6min

12 h 33min 0,6 60 s

12 h 33min 36 s 12 h 56min.

18. Um quintal tem a forma de um retângulo tal que a medida de um de seus lados é o triplo da medida do outro e seu perímetro

em metros é igual à sua área em metros quadrados. Neste caso, quanto mede o maior lado do quintal? a) 3 m. b) 4 m. c) 8 m. d) 6 m. e) 18 m. Resposta:


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[C] Medidas dos lados: x e 3x Perímetro: P = 3x + 3x + x + x = 8x Área: 3x

2

Fazendo A = P, temos: 3x

2 = 8x

x = 0 (não convém) ou x = 8/3 Portanto, 3x = 3.(8/3) = 8. 19. O gráfico abaixo mostra a precipitação de chuva (em cm), acumulada por mês, ocorrida em Cascavel, no período de 1 de

janeiro de 2011 a 30 de junho de 2011.

Com base nas informações, do gráfico, é possível afirmar que a) quatro meses registraram queda da quantidade de chuva em relação ao mês anterior. b) o segundo trimestre do ano foi mais chuvoso que o primeiro trimestre. c) fevereiro acumulou mais chuva do que todos os outros meses juntos. d) em maio não choveu. e) fevereiro acumulou mais chuva que os quatro meses seguintes. Resposta: [E] Fevereiro: aproximadamente 43 cm Março: 5 cm Abril: 12 cm Maio: 2 cm Junho: 8 cm 43 > 5 + 12 + 2 + 8.

Portanto, fevereiro acumulou mais chuva que os quatro meses seguintes.


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20. Observe a sequência de figuras

ABCD é um quadrado, cujo lado mede x cm. Ligando os pontos médios dos lados desse quadrado, obtém-se o quadrado MNPQ. Realizando esse procedimento indefinidamente, a soma das áreas de todos os quadrados sombreados dessa sequência é igual a

64 2 cm2. A área do quadrado sombreado da décima figura dessa sequência, em centímetros quadrados, é igual a

a) 2

.16

b) 2

.4

c) 2.

d) 4 2.

e) 8 2.

Resposta: [A]

A sequência é uma P.G. infinita de razão1

q2

, vamos considerar A1 seu primeiro termos e A10 seu décimo termo.

11

A 164 2 A .64 2 32 2

1 21

2

Logo, A 10 =

10 11 2

32 2.2 16

21. Uma caixa contém apenas bolas vermelhas, azuis e verdes. A probabilidade de retirar, ao acaso, uma bola vermelha é 0,25 e

a probabilidade de retirar uma bola verde é 0,4. O menor número de bolas azuis que estão contidas na caixa é a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7. Resposta: [E] A probabilidade de sair uma bola azul será 1 – 0,25 – 0,4 = 0,35 Sendo x o número de bolas e a o número de bolas azuis, temos: a = 0,35x 100 a = 35x 20.a = 7x Logo, a deverá ser no mínimo 7 para que x seja um número inteiro, pois 20 não é múltiplo de 7.


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22. A equação da reta, representada no gráfico abaixo, é:

a) 3

y x 32

b) 3

y x 32

c) 2

y x 33

d) 2

y x 33

Resposta: [B]

Seja y ax b a equação procurada.

Como a reta passa pelos pontos (0, 3) e (2, 0), temos que (0, 3) b 3 3

(2, 0) 0 a 2 3 a .2

Portanto, a

equação pedida é 3

y x 3.2

23. Tendo-se a e b como números reais positivos, e sendo b 1 , se 2b

1log a 6

log 2 , então a∙b é igual a

a) 12 b) 16 c) 32 d) 64 Resposta: [D] Temos que


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2 2 2b

2

6

1log a 6 log a log b 6

log 2

log a b 6

a b 2

a b 64.

24. Resolvendo o sistema de equações

2 2x 6xy 9y 0

log x 2 logy 0

obtém-se um par ordenado (x; y), cuja diferença x – y é

a) 3. b) 2.

c) 2

.3

d) 2

.3

e) - 2. Resposta: [B] Condição de existência x = 2 > 0 e y > 0

2 2x 6xy 9y 0

log x 2 logy 0

2x 3y 0

x 3yx 2

y x 2log 0y

Resolvendo, temos x = 3 e y = 1. Logo, 3 – 1 = 2. 25. A área, em cm

2, de um hexágono regular de 3 cm de lado, está no intervalo

a) [10,15] b) [15,20] c) [20,25] d) [25,30] Resposta: [C]

A área de um hexágono regular em função do lado é dada por

2 2

23 3 3 3 3 27 323,4cm [20, 25].

2 2 2

26. Se 2xa 3, o valor da expressão

3x 3x

x x

a aA

a a

é:

a) 7

5


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b) 5

3

c) 7

3

d) 4

3

Resposta: [C]

Sabendo que 2xa 3, vem

3x 3

3x 3x x

x xx

x

x 2x

x 2x

x

x

2x

2x

1(a )

a a aA1a a a

a

1 1a a 1

a a1

aa

1a 1

a

13 1

3

7.

3

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