matemÁtica prof. pedro menzel de matemÁtica... · normalmente nos problemas, um indicativo desse...

MATEMÁTICA PROF. PEDRO MENZEL

APOSTILAS BRASIL CULTURAL

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JUROS SIMPLES Introdução Em toda operação que envolve dinheiro (pagamento/ recebimento) o mesmo não tem um igual valor em épocas diferentes. Uma quantia de R$ 5.000,00 no presente apresentará outro valor no futuro, maior ou menor. Justamente ai que se enquadra o estudo da matemática financeira, pois, a mesma se presta ao papel de analisar as várias formas de evolução do dinheiro no decorrer do tempo. Nesse processo financeiro, um dos princípios é a capitalização de recursos, conceito este, semelhante a uma acumulação de juros. Em se tratando da palavra juros, poderíamos resumi-la como sendo valor pago pelo empréstimo de uma determinada quantia. Portanto quando trabalhamos com apenas um único capital onde, o total de juros é diretamente proporcional ao período e a taxa de aplicação, denominamos esse tipo de capitalização como simples, ou simplesmente juros simples. Por outro lado, se há incidência de juros sobre juros, capitais iniciais diferentes, sem relação de proporcionalidade, denominamos capitalização composta, ou simplesmente juros compostos. Elementos dos Juros ● Capital E o valor da transação financeira; dinheiro. A simbologia mais usual é “C”. ● Taxa de Juros A taxa de juros é um valor que indica a proporção entre os juros e o capital num dado intervalo de tempo. Portanto a taxa de juros está sempre associada a um período de tempo, e sua simbologia usual é “i”. Representação: x% a.d à x% ao dia. x% a.m. à x% ao mês. x% a.b. à x% ao bimestre. x% a.t. à x% ao trimestre. x% a.s. à x% ao semestre. x% a.a. à x% ao ano. As taxas em juros simples podem sofrer transformações, ou seja, mudanças em seu período de tempo, bastando que para isso seja obedecido o critério da proporcionalidade ou equivalência, já que na capitalização simples os dois conceitos se equivalem. Exemplos: a) 36% a.a : 2 = 18% a.s. b) 18% a.s : 2 = 9% a.t c) 9% a.t : 3 = 3% a.m d) 1% a.d . 30 = 30% a.m e) 30% a.m . 2 = 60% a.b f) 60% a.b . 6 = 360% a.a ● Período de Aplicação – Tempo Todo processo de capitalização está pautado em um intervalo de tempo, que representaremos através da simbologia “n”. Se esse período, de aplicação for contado em dias, de forma real, ou seja, o mês considerado como

realmente é; 28 dias. 29 dias (bissexto), 30 dias ou 31 dias, dizemos se tratar de uma operação de juros exatos. Normalmente nos problemas, um indicativo desse tipo de juros, são as datas de aplicação e de resgate do dinheiro, então anunciadas. Exemplos: Uma aplicação de 22/03/2006 à 30/06/2006. De 22/03/2006 até 31/03/2006 temos 10 dias. De 01/04/2006 até 30/04/2006 temos 30 dias. De 01/05/2006 até 31/05/2006 temos 31 dias. De 01/06/2006 até 29/06/2006 temos 29 dias. Total 100 dias Obs.: Se contarmos o dia da aplicação, não contaremos o dia do resgate e vice-versa. Por outro lado nas maiorias das aplicações, apresentadas nos problemas, a referência é feita a um período de tempo, sem a discriminação de qual mês a mesma ocorre. Neste caso dizemos haver uma operação de juros comerciais, ou juros ordinários. Passa então valer: 1 ano tem 360 dias. 1 mês tem 30 dias. 6 meses tem 180 dias. 1 bimestre tem 60 dias. 1 trimestre tem 90 dias. 1 a 2 m 20 d tem 360 d + 60 d + 20 d 440 dias. Cálculo dos Juros: Por conveniência, usaremos uma fórmula pronta, já que os problemas de juros simples também podem ser resolvidos por regra de três. Dados: C → Capital n → Tempo i → Taxa J → Juros Importante: Para o uso da fórmula acima, de forma universal, é necessário que taxa e tempo estejam na mesma unidade, e a taxa utilizada na forma unitária X%/100 Solução por regra de três: Capital..................100% Juros.....................i % Juros x 100% = Capital x i% Juros = Capital x i% /100% Montante ou Capital Acumulado: Denominamos montante, o valor resgatado ao final da aplicação do capital C, isto é, a soma do capital inicial aplicado mais os devidos juros. A simbologia mais usual é “M”. Fórmula:

J = C . i . n



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M = C + J Substituindo J = C.i.n, teremos M = C + C.i.n, logo: Obs.: Valem as regras já colocadas para a fórmula dos juros. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. (UFG – ETF – DF/2007) Um investidor perdeu R$ 2.500,00 de um determinado capital. Após fazer alguns cálculos, percebeu que poderia recuperar o capital inicial se aplicasse o que sobrou durante um período de 1 ano, à taxa de 25% ao ano. Qual era o capital inicial desse investidor? (A) R$ 8.000,00 (B) R$ 10.000,00 (C) R$ 10.500,00 (D) R$ 12.500,00 SOLUÇÃO: O capital inicial subtraído de 2.500 reais, e reaplicado à taxa de 25% ao ano durante 1 ano volta a ter o mesmo valor do capital inicial. Podemos resolver a questão através de uma regra de três. Substituindo os valores, temos: (CINICIAL - 2.500)....... 100% CINICIAL..................... (100% + 25%.1) (CINICIAL - 2.500)....... 100% CINICIAL..................... 125% CINICIAL. 100 = 125. (CINICIAL – 2.500) 25. CINICIAL = 312.500 CINICIAL = R$ 12.500,00 Obs. Nos cálculos com regra de três, não há necessidade de dividirmos os valores porcentuais por 100, o que já é necessário quando se usa fórmula. RESPOSTA: ALTERNATIVA D. 2. (M. MELO – PM. ILHA GRANDE – SP/2010) Qual o capital que aplicado a juros simples por 8 meses, rende R$ 42,00, à taxa de 1,5% ao ano? (A) R$ 3.800,00. (B) R$ 4.800,00. (C) R$ 3.200,00. (D) R$ 4.200,00. SOLUÇÃO: Vamos usar nesta questão a fórmula para o cálculo dos juros simples: J = C .i . t Temos então: C= ? J = 42 t = 8 meses. i = 1,5% aa = 1,5/12% am(devemos sempre concordar a unidade da taxa com a do tempo) i = 0,125% am = 0,125/100 = 0,00125 am. Aplicando a fórmula: 42 = C. 0,00125. 8

C = R$ 4. 200,00 RESPOSTA: ALTERNATIVA D. 3. (M. MELO – PM. ILHA GRANDE – SP/2010) Por quanto tempo deve ser aplicado a juros simples R$ 6.200,00, à taxa de 54% ao ano, para receber R$ 2.511,00 de juros? (A) 9 meses. (B) 13 meses. (C) 7 meses e meio (D) 5 meses e meio. SOLUÇÃO: Também usaremos a fórmula nesta questão: J = C .i . t Temos então: t= ? C = 6.200 J = 2.511. i = 54% aa = 54/12% am i = 4,5% am = 4,5/100 = 0,045 am. Aplicando a fórmula: 2.511 = 6.200. 0,045 . t t = 2511/279 t = 9 meses RESPOSTA: ALTERNATIVA A. 4. (CETRO – DAEE – ARARAQUARA/2012) Silvio contraiu uma dívida de R$ 5.000,00 a ser paga em regime de juros simples, após um ano e meio. Ao fim desse prazo, Silvio quitou a dívida com um pagamento de R$ 8.150,00, então, a taxa mensal de juros foi (A) 3,5%. (B) 0,35%. (C) 0,035%. (D) 0,0035%. SOLUÇÃO: Podemos resolver facilmente através de uma regra de três: Capital..................100% Montante...............X% Substituindo os valores temos: 5.000...................100% 8.150....................X% 5.000. X = 8.150. 100 X = 163% O juros ganho foi de 163% - 100% = 63% Devemos lembrar que 63% é relativo ao período de 1 ano e meio, ou seja, 18 meses. Logo o juro mensal será de 63%/18 = 3,5% ao mês. RESPOSTA: ALTERNATIVA A. 5. (MAKRO – Assistente Administrativo/2012) Numa loja um celular custa R$ 400,00 à vista. Marcos compra esse objeto em duas parcelas iguais de R$ 250,00, pagando a primeira parcela no ato da compra e a segunda parcela trinta dias depois. O valor que melhor representa a taxa de juros mensais cobrados por essa loja é de: (A) 10% (B) 20% (C) 25%

M = C (1 + i.n)



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(D) 33.33% (E) 66.66% SOLUÇÃO: -Valor à vista: R$ 400,00. Entrada: R$ 250,00. -Saldo devedor: 400 – 250 = R$ 150,00. Com 30 dias: 150 + juros = R$ 250,00 J = C . i . t 100 = 150 . i . 1 i = 100/150 → i = 2/3 i = 2/3 . 100% = 66,66% RESPOSTA: ALTERNATIVA E. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. (FCC – BANESE – TEC. I/2012) O montante correspondente à aplicação de um capital no valor de R$ 22.000,00 é igual a R$ 27.280,00. Se esta aplicação foi realizada a juros simples com uma taxa de 18% ao ano, então o número de meses em que o capital ficou aplicado foi (A) 15. (B) 16. (C) 18. (D) 20. (E) 24. 2. (FCC – FAZENDA SP – ANALISTA/2010) Um capital no valor de R$ 12.500,00 é aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ 15.000,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em (A) R$ 5.850,00 (B) R$ 6.000,00 (C) R$ 7.500,00 (D) R$ 8.500,00 (E) R$ 10.000,00 3. (CESGRANRIO – TRANSPETRO/2011) Certo investidor, que dispunha de R$ 63.000,00, dividiu seu capital em duas partes e aplicou-as em dois fundos de investimento. O primeiro fundo rendeu 0,6% em um mês, e o segundo, 1,5% no mesmo período. Considerando-se que o valor do rendimento (em reais) nesse mês foi o mesmo em ambos os fundos, a parte do capital aplicada no fundo com rendimentos de 0,6% foi (A) R$ 18.000,00 (B) R$ 27.000,00 (C) R$ 36.000,00 (D) R$ 45.000,00 (E) R$ 54.000,00 4. (CESPE – MPU/2010) No que se refere a juros simples, julgue os itens seguintes I - Se o mercado estiver pagando a taxa líquida de 2% ao mês por capital investido, é mais vantajoso para quem tem recursos comprar à vista um produto de R$

20.000,00, em vez de comprá-lo a prazo com uma entrada de R$ 5.000,00 e uma prestação de R$ 15.450,00 após dois meses. E II - Considere que existam duas opções de empréstimo para um mesmo valor principal, a prazos diferentes: a primeira, pelo prazo de um mês, e a segunda, pelo prazo de seis meses. Nessas condições, se a taxa de juros ao mês for a mesma para as duas opções, então, os juros cobrados na primeira opção serão iguais a um sexto daqueles cobrados na segunda. III - No que se refere ao montante de juros pagos sobre o mesmo valor principal, uma operação de 6% ao mês por três meses acarreta mais juros do que outra operação de 3% ao mês por seis meses. 5. (CESPE – BRB/2011) Acerca de juros e taxas de juros, julgue os itens a seguir. I - No regime de juros simples, as taxas de 3% ao mês e 36% ao ano, aplicadas sobre o capital de R$ 100,00 e pelo prazo de dois anos, são proporcionais, pois ambas produzem o montante de R$ 172,00. II - Se um investidor aplicar a quantia de R$ 500,00 em uma instituição financeira, pelo prazo de 2 anos, à taxa de juros simples de 4% ao ano, e, ao final desse prazo, ele reinvestir todo o montante recebido na mesma aplicação, por mais 2 anos e nas mesmas condições iniciais, então, ao final desses 4 anos, esse investidor receberá o montante de R$ 580,00. 6. (FCC- SERGÁS/2010) Um trabalhador aplicou seu 13o salário a juro simples durante 19,5 meses e ao fim do prazo de aplicação o montante era de R$ 1.204,60. Se o valor do 13o salário era R$ 760,00, a taxa mensal dessa aplicação foi de (A) 2,5%. (B) 3,0%. (C) 4,6%. (D) 5,0%. (E) 5,6%. 7. (FCC- ANALISTA/2010) Um capital no valor de R$ 12.500,00 é aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ 15.000,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em (A) R$ 5.850,00 (B) R$ 6.000,00 (C) R$ 7.500,00 (D) R$ 8.500,00 (E) R$ 10.000,00 8. (CESPE – BOMBEIRO MILITAR - ES/2011) Considere que um capital de R$ 10.000,00 tenha sido aplicado em determinado investimento, em regime de



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juros simples, pelo período de 5 meses. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. I - Obtendo-se a quantia de R$ 13.000,00 ao final do período, é correto afirmar que a taxa de juros simples mensal da aplicação foi de 6%. II - Se a taxa de juros mensal da aplicação for de 5%, então o montante auferido no período será de R$ 12.000,00. 9. (FCC- TRT 4ª REGIÃO – ANAL./2011) Uma pessoa fez duas aplicações em um regime de capitalização a juros simples: Em uma delas aplicou 2/5 de um capital de X reais à taxa mensal de 2% e, após 5 meses, aplicou o restante à taxa mensal de 1,5%. Se decorridos 15 meses da primeira aplicação, os montantes de ambas totalizavam R$ 21780,00, o valor de X era: (A) R$20000,00. (B) R$18000,00. (C) R$17500,00. (D) R$16500,00. (E) R$16000,00. 10. (CESGRANRIO – TÉC. EM ADMIN./2010) Joana pediu à sua mãe um empréstimo de R$ 36.000,00 para ser pago no final de 7 meses. Ficou combinado entre elas que a remuneração do empréstimo seria de 36% a.a. calculado pelo regime de juros simples. Na data combinada para o pagamento do empréstimo, Joana pediu mais 30 dias de prazo para quitar a dívida. Sua mãe concordou em ampliar o prazo, mas cobrou, por esses 30 dias adicionais, sobre o montante devido por Joana no 7º mês, uma taxa de juros simples de 6% at. Joana pagará à sua mãe, findo o 8º mês, em reais, o montante de (A) 43.560,00 (B) 44.431,20 (C) 44.640,00 (D) 44.866,80 (E) 46.173,60 11. (FCC- TRT 4ª REGIÃO – TÉC./2011) Na compra de um par de sapatos, Lucimara pode optar por duas formas de pagamento: - à vista por R$ 225,00; - R$ 125.00 no ato da compra mais uma parcela de R$ 125,00, um mês após a compra. Se Lucimara optar por fazer a compra parcelada, a taxa mensal de juros simples cobrada nesse financiamento será de: (A) 10%. (B) 20%. (C) 25%. (D) 27%. (E) 30%. 12. (CESPE – FUB/2011) A respeito de juros simples, julgue o item que se segue.

I - Considere que um capital de R$ 40.000,00 seja aplicado em um fundo de investimentos e, ao final de 12 meses, o montante líquido atinja o dobro do capital inicial. Nesse caso, a taxa mensal de juros líquida, no regime de capitalização simples, é superior a 9%.

13. (FCC – TCE – PR - ANALISTA/2012) Um capital no valor de R$ 18.000,00 é aplicado durante 8 meses a juros simples, com uma taxa de 18% ao ano. No final do período, o montante é resgatado e aplicado a juros compostos, durante um ano, a uma taxa de 5% ao semestre. A soma dos juros das duas aplicações é igual a (A) R$ 4.012,30. (B) R$ 4.026,40. (C) R$ 4.176,00. (D) R$ 4.226,40. (E) R$ 5.417,10.

GABARITO

1-B 2-D 3-D 4- E,C,E 5-C,E

6-B 7-D 8-C,E 9-B 10-B

11-C 12-C 13-D DESCONTO SIMPLES Introdução Desconto é um abatimento dado na antecipação de um compromisso financeiro. É muito comum nas operações com títulos de crédito como: cheque, nota promissória, duplicata, letras de câmbio, com vencimentos futuros. Esses títulos de crédito quando



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levados a uma instituição financeira, serão descontados, ou seja, terão seus valores antecipados mediante um abatimento, que chamaremos de desconto. Elementos do desconto ● Valores do título Valores financeiros antes e após o desconto. Valor Nominal: Chamado também de valor de face é o valor do título de crédito, ou seja, aquele que está escrito no título e que seria pago na data de vencimento do mesmo. Simbolicamente chamaremos de “N”. Valor atual: Também chamado de valor liquido, valor descontado, valor pago, é o valor pelo qual o título acabou sendo negociado antes da data de vencimento do mesmo. Simbolicamente chamaremos de “A”. ● Prazo de antecipação É o intervalo de tempo entre a data em que o título é negociado e a data do seu vencimento. Simbolicamente usaremos “n”. ● Taxas A taxa é um valor que indica a proporção entre os juros e o valor financeiro do título num dado período de antecipação. Taxa de juros: É a denominação que recebe a taxa quando o desconto é racional. Taxa de desconto: É a denominação dada à taxa quando o desconto é comercial. Simbolicamente os dois tipos de taxas serão representadas por “i”. Modalidades de desconto A modalidade de desconto depende da base de cálculo adotada, ou seja, valor nominal ou valor atual do título. ● Desconto comercial simples: Poderíamos dizer que por definição, o desconto “Comercial”, também chamado de “Por fora”, seria um juro simples atuando sobre o valor nominal do título. Portanto o valor nominal seria a base de cálculo na aplicação do percentual de desconto. Fórmula para cálculo do desconto comercial e o valor atual comercial: Podemos adotar o regime de fórmulas prontas ou através do processo da regra de três em todas as soluções dos problemas apresentados. Dados: N → Valor nominal. n → Período de antecipação. i → Taxa de desconto. DC → Desconto comercial.

AC → Valor atual comercial.

DC = N . i . n AC = N - DC Importante: Em todas as fórmulas acima, a taxa e período de antecipação devem estar na mesma unidade, e ainda a taxa na forma unitária. Solução por regra de três: Desconto comercial (DC): Valor nominal (N)..................100% Desconto comercial (DC).........i % x n DC x 100% = N x i%.n DC = (N x i% x n)/100% Valor atual comercial (AC): Valor nominal(N)..................100% Valor atual comercial (AC)......(100% - i% x n) AC x 100% = N x (100% - i% x n) AC = N x (100% - i% x n) /100% ● Desconto racional simples: O desconto “Racional”, também chamado de desconto “Por dentro”, utiliza como base de cálculo na aplicação de percentual de desconto o valor atual do título, ou seja, um juro simples atuando sobre o valor atual. Fórmula para cálculo do Desconto racional e o Valor atual racional: Podemos também neste tipo de desconto adotar o regime de fórmulas prontas ou através do processo da regra de três em todas as soluções dos problemas apresentados. Dados: N → Valor nominal. n → Período de antecipação. i → Taxa de juros. DR → Desconto racional. AR → Valor atual racional.

DR = AR . i . n AR = N – DR

Pelo fato de conhecermos o valor nominal, antes do cálculo do valor atual, poderíamos também calcular o desconto racional, utilizando como base de cálculo o valor nominal.

DR = N . i . n /1 + i . n

Solução por regra de três: Desconto racional (DR): Valor nominal (N)..................(100% +i% x n) Desconto racional (DR)...........i % x n DR x (100% + I% x n) = N x i% x n



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DR = (N x i% x n) /(100% + i% x n) Valor atual racional (AR): Valor nominal(N)..................(100% +i% x n) Valor atual racional (AR)........100% AR x (100% + I% x n) = N x 100% AR = N x 100% /(100% + i% x n) ● Relação entre o Desconto comercial e racional: A relação abaixo é para uma mesma taxa percentual. Dados: DC = N.i.n DR = N.i.n / (1 + i.n) Substituindo uma relação na outra temos:

DC = DR (1 + i . n) Para um mesmo período e taxa, o desconto comercial é o montante do desconto racional. Importante: Em todas as fórmulas acima, a taxa e período de antecipação devem estar na mesma unidade, e ainda a taxa na forma unitária. ● Relação entre as taxas de desconto comercial e racional simples: A relação abaixo nos permite obter o valor da taxa de juros ou a taxa de desconto, dada uma, na condição do desconto comercial ser igual ao desconto racional e mesmo período n de antecipação. Dados: n → Período de antecipação iC → Taxa de desconto (comercial) iR → Taxa de juros (racional)

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. (CESGRANRIO – TCE - RO/2007) A Empresa Garcia & Souza Ltda. realizou um desconto de duplicatas no Banco da Praça com as seguintes características: - Valor da duplicata: R$ 20.000,00; - Prazo para o vencimento do título: 27 dias; - Taxa de desconto simples, cobrada pelo Banco: 2,6% ao mês. Com base nos dados acima, qual o valor, em reais, liberado pelo Banco à empresa? (A) 19.352,00 (B) 19.480,00 (C) 19.468,00 (D) 19.532,00 (E) 20.468,00

SOLUÇÃO: É uma questão de desconto comercial simples. Podemos resolvê-la através de uma regra de três: V. nominal(N).............100% V. atual(A).................(100% - i.t) Como o prazo está em dias, a taxa mensal deverá ser dividida por 30 para ficar também na unidade dia, ou seja, 2,6/30% ao dia. Substituindo os valores, temos: 20000...............100% A......................[100% - (2,6/30)%.27] 100A = 20000.97,66 A = 1953200/100 → A = R$ 19.532,00 Obs. Nos cálculos com regra de três, não há necessidade de dividirmos os valores porcentuais por 100, o que já é necessário quando se usa fórmula. RESPOSTA: ALTERNATIVA D. 2. (AUTOR/2014) Calcule em reais o valor atual de um título de R$ 2.000,00 descontado racionalmente à taxa de juros de 3% ao mês, 4 meses antes do vencimento. (A) 1.352,00 (B) 1.480,00 (C) 1.785,71 (D) 1.932,00 (E) 2.468,00 SOLUÇÃO: Utilizando do processo da regra de três, temos: Valor atual racional (AR)........100% Valor nominal(N)..................(100% +i%.n) No exercício dado: AR.......................100% 2000,00(N).........(100% + 3% x 4) Resolvendo a regra de três: 112% . AR = 2000 .100% AR = 2000 .100 / 112 A = 1.785,71 RESPOSTA: ALTERNATIVA C. 3. (ESAF – BACEM/2007) Um título deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 560,00, 3 meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a taxa de 4% ao mês. (A) R$ 500,00 (B) R$ 540,00 (C) R$ 560,00 (D) R$ 600,00 (E) R$ 620,00 SOLUÇÃO: Lembrando que o desconto comercial é o montante do desconto racional, para um mesmo valor nominal, taxa e período de antecipação. A fórmula seria: (1 + i.t) dr = dc Podemos também resolver a questão através de regra de três: Desconto racional (dr)................100%



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Desconto comercial (dc).............(100% + i.t) Substituindo os valores, temos: dr...............100% 560.............(100% + 4%.3) 112.dr = 56000 → dr = R$ 500,00 RESPOSTA: ALTERNATIVA A. 4. (AUTOR/2014) Uma nota promissória foi descontada comercialmente à taxa simples de 5%. a.m. 15 meses antes do seu vencimento. Se o desconto fosse racional simples, qual deveria ser a taxa ao mês adotada para produzir um desconto de igual valor? (A) 5%. (B) 6%. (C) 10%. (D) 15%. (E) 20%. SOLUÇÃO: iC = 5% a.m. n = 15 iR = ? Sendo: 100/ iC - 100/ iR =n, temos: 100/ 5% - 100/ iR =15 iR = 20% a.m. RESPOSTA: ALTERNATIVA E. 5. (AUTOR/2014) O desconto simples racional de um título descontado à taxa de 24% ao ano, 3 meses antes de seu vencimento, é de R$ 720,00. Calcular o valor de desconto correspondente, caso fosse um desconto simples comercial. (A) R$ 43,20. (B) R$ 676,80. (C) R$ 720,00. (D) R$ 763,20. (E) R$ 12.000,00. SOLUÇÃO: De acordo com os dados do exercício temos: DR = R$ 720,00 n = 3 m i = 24% a.a → i = 24% a.a :12 → i= 2% a.m DC = ? Supondo que a taxa de desconto seja igual à taxa de juros (i = 24% a.m.) podemos aplicar a fórmula que relaciona os dois descontos (Comercial e racional) DC = DR (1+ i.n) DC= 720,00 (1 + 0,02 . 3) DC = R$ 763,20. RESPOSTA: ALTERNATIVA D. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. (FCC – BANESE – TEC. I/2012) Um título de valor nominal igual a R$ 24.000,00 é descontado 3 meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto de 2% ao mês. Outro título é descontado 2 meses antes de seu vencimento também a uma taxa de desconto de 2% ao mês. Sabe-se que o valor atual do primeiro título é igual ao valor atual

do segundo título. Se nas duas operações utilizou-se o desconto comercial simples, então o valor do desconto do segundo título é (A) R$ 940,00. (B) R$ 1.065,00. (C) R$ 1.190,00. (D) R$ 1.315,00. (E) R$ 1.440,00. 2. (FCC – FAZENDA SP – AG. FISCAL/2010) O valor do desconto de um título, em um banco, é igual a 2,5% de seu valor nominal. Sabe-se que este título foi descontado 50 dias antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples e considerando a convenção do ano comercial. A taxa anual de desconto correspondente é igual a (A) 12% (B) 15% (C) 18% (D) 20% (E) 24% 3. (FCC – INFRAERO – AUDITOR/2011) Dois títulos de valores nominais iguais são descontados em um banco. O primeiro título foi descontado 3 meses antes de seu vencimento, conforme uma operação de desconto comercial simples a uma taxa de desconto de 3% ao mês, apresentando um valor atual igual a R$ 24.024,00. O segundo título foi descontado 4 meses antes de seu vencimento, conforme uma operação de desconto racional simples a uma taxa de 2,5% ao mês. O valor do desconto do segundo título foi igual a (A) R$ 2.720,00 (B) R$ 2.680,00 (C) R$ 2.640,00 (D) R$ 2.400,00 (E) R$ 2.376,00 4. (CESGRANRIO – BB/2011) Um título com valor de face de R$ 1.000,00, faltando 3 meses para seu vencimento, é descontado em um banco que utiliza taxa de desconto bancário, ou seja, taxa de desconto simples “por fora”, de 5% ao mês. O valor presente do título, em reais, é (A) 860,00 (B) 850,00 (C) 840,00 (D) 830,00 (E) 820,00 5. (CESPE – CEF/2010) Se, ao descontar uma promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será igual a (A) 5% (B) 6% (C) 7% (D) 8% (E) 9% 6. (ESAF – FICAL DE RENDAS - RJ/2010)



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Um título sofre um desconto simples por fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 2,5% ao mês. Qual é o valor mais próximo do valor nominal do título? (A) R$ 22.500,00 (B) R$ 25.000,00 (C) R$ 17.500,00 (D) R$ 20.000,00 (E) R$ 27.500,00 7. (CESPE – MPU/2010) A respeito de descontos, julgue os itens que se seguem. I - Considere que um desconto simples de 25% tenha sido aplicado sobre o valor de uma duplicata com prazo de um ano para o vencimento. Nessa situação, a taxa de juros efetiva dessa operação foi superior a 30% ao ano. II - Para cobrar juros de 100% efetivos no período, basta aplicar um desconto simples de 50% sobre o valor do título. III - Para um tomador de crédito que possui um título com um ano para o vencimento, um desconto simples à taxa de 20% ao ano é mais oneroso que um desconto racional à taxa de 20% ao ano. 8. (CESPE – CAIXA/2010) Se, ao descontar uma promissória com o valor de face R$ 5000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4200,00, e se o prazo dessa operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será igual a (A) 5% (B) 6% (C) 7% (D) 8% (E) 9% 9. (CESPE – MPU/2010) Um título cujo valor de face é de R$ 1.000,00 está sendo colocado à venda pelo emissor, um ano antes do seu vencimento, por R$ 860,00. Considerando essa situação, julgue os itens que se seguem. I - A taxa de juros efetiva da operação apresentada é de 15% ao ano. II - Se a taxa de juros efetiva do mercado estiver em 20% ao ano, quem comprar o referido título estará perdendo a oportunidade de ganhar mais dinheiro com seu capital. 10. (CESPE – FUB/2011) A respeito de juros simples, julgue os itens que se seguem. I - Considere que, no regime de juros simples, um título de valor nominal igual a R$ 60.000,00 e que vença em 12 meses esteja sendo liquidado com 3 meses de antecedência. Nesse caso, se for de 36% ao ano a taxa nominal de juros corrente, o devedor terá

um desconto racional, “por dentro”, superior a R$ 4.900,00. 11. (FCC – TCE – PR - ANALISTA/2012) Um título de valor nominal igual a R$ 25.200,00 é descontado 75 dias antes de seu vencimento e seu valor atual é igual a R$ 24.444,00. Sabe-se que a operação foi a de desconto comercial simples e utilizou-se a convenção do mês comercial. A taxa anual de desconto desta operação foi de (A) 14,4%. (B) 15,6%. (C) 16,8%. (D) 18,0% (E) 19,2%.

GABARITO 1-A 2-C 3-D 4- B 5-D

6-B 7-C,C,C 8-D 9-E,C 10-C

11-A JUROS COMPOSTOS Introdução O regime de juros compostos pode ser entendido como àquele onde os juros de cada período são calculados sobre o montante do período anterior. De forma geral os juros produzidos ao fim de cada período passa a integrar o capital ou o montante que o produziu, para o cálculo dos juros do período subseqüente. Montante composto



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Como vimos na introdução, no regime de juros compostos, o montante ao fim de um determinado período resulta de um cálculo de aumentos sucessivos. Logo, se aplicarmos um capital C a uma taxa i, durante n períodos temos: 1º Período: M1 = C (1 + i) 2º Período: M2 = M1 (1 + i) → M2 = C (1+ i) (1 + i) 3º Período: M3 = M2 (1 + i) → M3 = C (1+ i) (1 + i) (1 + i) • • • • • • nº Período: Mn = C(1 + i) (1 + i) (1 + i)…(1+i) Generalizando:

M = C (1 + i)n Importante: • A taxa i para uso na fórmula deverá ser sempre unitária (x%/100). • A taxa i para uso na fórmula deverá ser sempre a efetiva (estar de acordo com o regime de capitalização). • n representa a quantidade de capitalizações de acordo com o regime proposto, do período total de aplicação. Exemplos: a) Uma aplicação de 1 ano, com capitalização bimestral. n = 12 meses / 2 meses → n = 6 capitalizações b) Uma aplicação de 6 meses com capitalização diária: n = 180 dias /1dia → n = 180 capitalizações • O fator (1 + i) é chamado de fator de capitalização e é normalmente apresentado em uma tabela financeira, para facilitar os cálculos. Juros compostos A fórmula dos juros compostos é deduzida a partir do montante composto. Dados: M = C (1 + i)n e J = M – C Temos: J = C (1 + i)n – C

J = C [(1 + i)n – 1] Capitalização com período não inteiro Existem situações em que o período de aplicação não pode ser todo dividido em sub períodos iguais, de acordo com o regime de capitalização, ou seja, n não é um número inteiro. Como exemplo poderíamos citar uma aplicação, com capitalização mensal, durante 4 meses e 15 dias. Teríamos então n igual a 4 períodos inteiros e metade de um período ou melhor dizendo: n = 4,5 capitalizações. Para essa, e tanta outras situações semelhantes a solução para o cálculo do montante se apresenta sob duas formas. São elas: ● Convenção Exponencial:

Calculamos o montante a juros compostos sobre o período total da aplicação. Exemplo Um capital de R$ 200,00 é aplicado a taxa de juros compostos de 10% a.m. com capitalização mensal durante 2 meses e 15 dias. Calcule o montante da aplicação pelo processo de convenção exponencial. Dados: i = 10% a.m. = 0,1 a.m (efetiva) n = 2 + 0,5 = 2,5 períodos M = C (1 + i)n M = 200 (1 + 0,1)2,5 (usamos todo o período) M = 200.(1,1)2,5 M = 200.1,269 à M = R$ 253,80 ● Convenção Linear: Atualizamos o capital a juros compostos no número inteiro de períodos de capitalização e corrigimos o montante calculado a juros simples no período fracionário. Exemplo: Vamos recalcular o exemplo anterior pelo processo de convenção linear. Dados: C = 200 i = 10% a.m = 0,1 a.m n = 2 + 0,5 = 2,5 períodos (Montante a juros compostos) Calculamos o M1 para n1 = 2 (parte inteira) M1 = C (1 + i)n M1 = 200 (1 + 0,1)2 M1 = 200. 1,21 à M1 = R$ 242,00 (Montante a juros simples) Calculamos o M para o n2 = 0,5 mês (parte fracionária). M = M1 (1 + i.n) M = 242 (1 + 0,1. 0,5) M = 242. 1,05 → M = R$ 254,10 Importante: Nota-se que o montante via convenção linear é maior do que via convenção exponencial. Isso só acontece porque os juros simples são sempre maiores que os juros compostos quando for um período fracionário do período de capitalização. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. (SOUSÂNDRADE – ANAL. BANC./2009) Se aplicarmos R$ 25.000,00 a juros compostos de 6% ao trimestre teremos após 3 anos, em real, a importância correspondente a: (A) 25.000.(1,06)–12 (B) 25.000.(1,02)9 (C) 25.000.(1,06)12 (D) 25.000.(1,02)12 (E) 25.000.(1,02)–9 SOLUÇÃO: O cálculo do montante composto será: M = C(1 + i)n Temos então: M = ? C = 25.000 i = 6% at = 6/100 = 0,06 at.



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n = 3anos = 12 trimestres. Aplicando a fórmula: M = 25.000(1 + 0,06)12 M = 25.000(1,06)12 RESPOSTA: ALTERNATIVA C. 2. Uma aplicação financeira, realizada pelo regime de juros compostos à taxa de 15% ao ano, gerou, em cinco anos, um montante de R$ 4.022,00. Qual foi o capital aplicado nessa operação? Considere (1,15)5 = 2,011. (A) R$ 1.000,00 (B) R$ 1.211,00 (C) R$ 1.488,00 (D) R$ 1.500,00 (E) R$ 2.000,00 SOLUÇÃO: Como já vimos o cálculo do montante composto será: M = C(1 + i)n. Temos então: C = ? M = 4.022 i = 15% aa = 15/100 = 0,15 aa. n = 5 anos. Aplicando a fórmula: 4.022= C(1 + 0,15)5 4.022 = C(1,15)5 C = 4.022/2,011 C = 2.000 RESPOSTA: ALTERNATIVA E. 3. (CESGRANRIO – CEF/2008) Júlio fez uma compra de R$ 600,00, sujeita à taxa de juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor. No ato da compra, fez o pagamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois de contraída a dívida. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em reais? (A) 110,00 (B) 108,00 (C) 106,00 (D) 104,00 (E) 102,00 SOLUÇÃO: -Valor à vista: R$ 600,00. Entrada: R$ 150,00. -Saldo devedor: 600 – 150 = R$ 450,00. Com 30 dias: 450 + 2% de 450 = R$ 459,00 Pagamento efetuado com 30 dias: R$ 159,00 -Saldo devedor com 30 dias: 459 – 159 = R$ 300,00 Com 60 dias: 300 + 2% de 300 = R$ 306,00 Pagamento efetuado com 60 dias: R$ 206,00 -Saldo devedor com 60 dias: 306 – 206 = R$ 100,00 Portanto, o pagamento que deverá ser efetuado com 90 dias será: 100 + 2% de 100 = R$ 102,00 RESPOSTA: ALTERNATIVA E. 4. (CESGRANRIO – CEF/2008) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado

em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa de juros utilizada.

Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros (A) compostos, sempre. (B) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. (C) simples, sempre. (D) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. (E) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. SOLUÇÃO: Devemos lembrar que para um mesmo capital e uma mesma taxa de juros, a comparação entre montante simples e montante composto em relação ao período de aplicação t será: Se t < 1 período → juros simples > juros compostos. Se t = 1 período → juros simples = juros compostos. Se t > 1 período → juros simples < juros compostos. Portanto, para quem empresta dinheiro, a procura é por um maior juros. Logo a única alternativa onde os juros são maiores é a E. RESPOSTA: ALTERNATIVA E. 5. Considere que R$ 10.000,00 sejam investidos por 8 anos em um fundo de investimentos que paga uma taxa nominal de juros compostos anuais de 16%, capitalizados trimestralmente. Nessa situação, tomando-se 1,9 como valor aproximado de 1,0416,é correto inferir-se que, ao final dos 8 anos, o montante será (A) Superior a R$20.000,00 e inferior R$ 23.000,00 (B) Superior a R$23.500,00 e inferior R$ 28.000,00 (C) Superior a R$29.000,00 e inferior R$ 33.000,00 (D) Superior a R$33.500,00 e inferior R$ 35.900,00 (E) Superior a R$36.000,00 e inferior R$ 38.000,00 SOLUÇÃO: O montante composto será: M = C(1 + i)n. Temos então: C = 10.000 M = ? i = 16% aa c/ capitalização trimestral (taxa nominal). i = 16%/4 = 4% at (taxa efetiva). i = 4/100 = 0,04 at. n = 8 anos = 32 trimestres. Aplicando a fórmula: M = 10.000(1 + 0,04)32 M = 10.000(1,04)32 M = 10.000(1,04)16. (1,04)16 M = 10.000. 1,9. 1,9 → M = R$36.100,00 RESPOSTA: ALTERNATIVA E.



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6. Um empréstimo de R$ 20.000,00 foi concedido à taxa de juros compostos de 6% ao mês. Dois meses depois de concedido o empréstimo, o devedor pagou R$ 12.000,00 e, no final do terceiro mês, liquidou a dívida. Nessa situação, tomando-se 1,1236 como valor aproximado de 1,062, conclui-se que esse último pagamento foi de aproximadamente . (A) R$ 10.100,00 (B) R$ 10.900,00 (C) R$ 11.100,00 (D) R$ 11.280,00 (E) R$ 12.000,00 SOLUÇÃO: -Valor do empréstimo: R$ 20.000,00. Dívida com 60 dias(2 meses): M = 20.000(1 + 0,06)2 M = 20.000 . 1,1236 M = 22.472 Dívida com 60 dias:= R$ 22.472,00 Pagamento efetuado com 60 dias: R$ 12.000,00. Saldo devedor com 60 dias: 22.472 – 12.000. -Saldo devedor com 60 dias: = R$ 10.472,00 Portanto, o pagamento que deverá ser efetuado com 90 dias será: 10.472,00 + 6% de 10.472,00 = R$ 11.100,00 RESPOSTA: ALTERNATIVA C. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. (FCC – BANESE – TEC. I/2012) Um capital é aplicado a juros compostos durante um ano, com uma taxa de 5% ao semestre. O valor do montante desta aplicação apresentou, no final do período, um valor igual a R$ 13.230,00. O valor dos juros desta aplicação foi igual a (A) R$ 2.700,00. (B) R$ 2.230,00. (C) R$ 1.700,00. (D) R$ 1.230,00. (E) R$ 1.070,00. 2. (FCC – FAZENDA SP – AG. FISCAL/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor de R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a (A) 15 meses. (B) 16 meses. (C) 18 meses. (D) 20 meses. (E) 22 meses. 3. (FCC – INFRAERO – AUDITOR/2011) Um investidor aplicou metade de seu capital a juros simples, durante 14 meses, a uma taxa de 10,20% ao ano. O restante do capital, ele aplicou a juros compostos, durante um ano, a uma taxa de 5% ao semestre. Se a soma dos montantes destas aplicações foi igual a R$ 177.720,00, então o valor dos juros da

primeira aplicação superou o valor dos juros da segunda em (A) R$ 1.600,00 (B) R$ 1.320,00 (C) R$ 1.260,00 (D) R$ 1.200,00 (E) R$ 1.160,00 4. (CESGRANRIO – BNDS – TÉCNICO/2010) Uma pessoa fez, com o capital de que dispunha, uma aplicação diversificada: na Financeira Alfa, aplicou R$3.000,00 a 24% ao ano, com capitalização bimestral; na Financeira Beta, aplicou, no mesmo dia, o restante desse capital a 42% ao semestre, com capitalização mensal. Ao final de 1 semestre, os montantes das duas aplicações somavam R$ 6.000,00. A taxa efetiva de juros da aplicação diversificada no período foi de (A) 60% (B) 54% (C) 46% (D) 34% (E) 26% 5. (CESGRANRIO – ELETRONUCLEAR/2010) A Empresa Silva & Filhos obteve um empréstimo pelo qual, ao final de um ano, deverá pagar um montante de R$ 100.000,00, incluindo principal e juros compostos de 2,5% ao mês. O valor atual desse empréstimo, em reais, é: Considere 1,02512 = 1,28165 (A) 70.000,00 (B) 74.355,58 (C) 75.000,00 (D) 76.923,08 (E) 78.024,42 6. (CESGRANRIO – BNDS/2011) Maria aplicou certa quantia em um banco que ofereceu uma taxa de juros compostos de 10% ao mês. Após a segunda capitalização, uma amiga pediu todo seu dinheiro investido emprestado, prometendo pagar juros de 10% ao mês, mas no regime de juros simples. Maria prontamente atendeu ao pedido da amiga e, após 5 meses, a amiga quitou a dívida com Maria pagando um total de R$ 1.089,00. Qual a quantia, em reais, que Maria aplicou no banco? (A) 600,00 (B) 605,00 (C) 636,84 (D) 726,00 (E) 900,00 7. (CESGRANRIO – BB/2012) João tomou um empréstimo de R$ 900,00 a juros compostos de 10% ao mês. Dois meses depois, João pagou R$ 600,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou o empréstimo. O valor desse último pagamento foi, em reais, aproximadamente, (A) 240,00 (B) 330,00 (C) 429,00 (D) 489,00 (E) 538,00



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8. (MOURA MELO – AG. F. DO M. AMB./2011) Aplica-se um capital de R$ 50.000,00 a juro composto com a taxa de 6% ao mês. Qual será aproximadamente o montante acumulado em 2 anos? Dado: (1,06)24 = 4,04 (A) R$ 20.200,00. (B) R$ 22.000,00. (C) R$ 202.000,00. (D) R$ 220.000,00. 9. (CESPE – ANALISTA MINISTERIAL/2012) Lauro deve R$ 10.000,00 para determinado banco e possui crédito de igual valor com um amigo. O banco concedeu a Lauro 5 meses para saldar a dívida, à taxa mensal de juros compostos de 3,8% sobre o valor devido. O amigo de Lauro se comprometeu a pagar sua dívida em 5 meses a uma taxa de juros simples mensais suficiente para igualar o montante da dívida de Lauro com o banco ao final dos 5 meses. Considerando 1,2 como valor aproximado para 1,0385, julgue os itens seguintes, com base na situação hipotética apresentada acima. I - Ao final dos 5 meses, o montante da dívida de Lauro com o banco será superior a R$ 12.500,00. II - A taxa de juros simples mensais cobrada por Lauro de seu amigo é inferior a 4,1%. 10. (CESPE – ANALISTA MINISTERIAL/2012) Um cliente pagou a dívida de R$ 20.000,00, em um banco, um ano após a sua contratação. Nessa transação, o banco praticou juros nominais anuais de 42%, com capitalização mensal, a juros compostos. Considerando essas informações e 1,51 como valor aproximado para 1,03512, julgue os itens subsecutivos. I - O cliente pagou ao banco mais de R$ 30.000,00. II - O cliente pagaria a mesma quantia se o banco praticasse a taxa de juros simples mensais de 4,1%. 11. (CESPE – TÉCNICO – BASA/2012) Um cliente dispõe de R$ 210.000,00 para quitar o saldo devedor — também de R$ 210.000,00 — do financiamento de um imóvel junto a uma instituição financeira que trabalha com conta remunerada à taxa de juros compostos de 5% ao mês. Para essa quitação, a instituição financeira oferece as seguintes opções. 1ª - depositar o dinheiro disponível em conta remunerada e fazer o pagamento em duas prestações mensais iguais e consecutivas de R$ 121.000,00, com a primeira prestação vencendo em um mês após a data do depósito; 2ª - pagamento do saldo devedor, à vista, com desconto de 5%; nesse caso, o cliente poderá depositar o desconto na conta remunerada. Com base nessa situação, desconsiderando possíveis taxas e impostos, julgue os itens seguintes.

I - Se adotar a opção II, o cliente pagará R$ 199.500,00. II - As duas opções permitem que o cliente obtenha o mesmo retorno financeiro. III - Uma quantia depositada na conta remunerada da instituição financeira em questão resultaria, ao final do segundo mês, em um montante igual ao que seria obtido se essa mesma quantia fosse aplicada à taxa de juros simples de 5,5% ao mês, durante dois meses. 12. (CESGRANRIO – CEF/2012) O montante gerado por uma instituição financeira, em uma aplicação no regime de juros compostos, é R$ 5.000,00, em 10 meses, ou R$ 5.202,00, em 1 ano. Se a taxa de juros é constante, o valor aplicado é, em reais, de, aproximadamente,

(A) 1.950 (B) 3.100 (C) 3.400 (D) 3.950 (E) 4.100

13. (CESPE – BRB/2011) Acerca de juros e taxas de juros, julgue os itens a seguir. I - Se o capital de R$ 5.000,00 for aplicado por 3 anos, à taxa de juros compostos de 12% ao ano com capitalização trimestral, o juro auferido por essa aplicação, em reais, ao final do período, será igual a 5.000 × (1,0412 - 1). II - O montante produzido pela aplicação de R$ 1.000,00 em uma instituição financeira, em 2 anos, à taxa de juros compostos de 10% ao ano, será de R$ 1.210,00 na data do resgate. 14. (CESGRANRIO - BASA/2013) Um refrigerador custa, à vista, R$ 1.500,00. Um consumidor optou por comprá-lo em duas parcelas. A loja cobra uma taxa mensal de juros (compostos) de 2%, atuante a partir da data da compra. O valor da primeira parcela, paga pelo consumidor 30 dias após a compra, foi de R$ 750,00. Um mês após o primeiro pagamento, o consumidor quitou sua dívida ao pagar a segunda parcela. Qual foi o valor da segunda parcela? (A) R$750,00 (B) R$765,00 (C) R$780,00 (D) R$795,60 (E) R$810,00

GABARITO



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1-D 2-B 3-B 4- E 5-E 6-A 7-E 8-C 9-E,C 10-C,E

11-C,E,E 12-E 13-E,C 14-D

ESTUDO DAS TAXAS Introdução Quando realizamos uma análise financeira, é importante a homogeneização entre as unidades da taxa e do prazo de capitalização, quando do uso de uma variável a partir de outra variável, na aplicação de fórmulas matemáticas. Logo concluímos que a taxa deverá estar explicitada na mesma unidade de tempo apresentado pelo prazo de capitalização. Taxas proporcionais Somente existe nos juros simples. Duas taxas são proporcionais quando seus valores são diretamente proporcionais aos respectivos tempos, que devem estar na mesma unidade. Exemplos:



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a) 72% a.a. e 6% a.m., são taxas proporcionais, 72% / 12 meses = 6% / 1mës b) 1% a.d. e 90%¨a.t., são taxas proporcionais, pois: 90% / 90 dias = 1% / 1dia Taxa nominal e efetiva ● Taxa nominal É aquela em que o período de capitalização difere do período da taxa. Usada nos juros compostos conclui-se que a taxa nominal funciona como uma “taxa falsa”, normalmente dada em anos. Não podemos utilizar esse tipo de taxa diretamente nos cálculos financeiros, sob pena de desvio aos resultados corretos. Em seu lugar usaremos a taxa efetiva. Exemplos: a) Taxa de juros de 60% a.a. com capitalização trimestral. ( ao ano ≠ trimestral) b) Taxa de juros de 36% a.a. com capitalização mensal. ( ao ano ≠ mensal) c) Taxa de juros de 40% a.s. com capitalização bimestral. ( ao semestre ≠ bimestral) ● Taxa efetiva É aquela cujo o período de capitalização corresponde ao próprio período da taxa. Também usada em juros compostos, é uma taxa verdadeira, utilizada nos cálculos financeiros. É importante observar que é comum nos problemas de juros compostos, onde se dá a taxa efetiva, omitir o período, de capitalização, ficando subentendido que este é o mesmo indicado pela taxa. Exemplos: a) Taxa de juros de 10% a.m, com capitalização mensal. ( ao mês = mensal) b) Taxa de juros de 42% a.a., com capitalização anual. ( ao ano = anual) c) Taxa de juros de 20% a.t., (entende-se que a capitalização já é trimestral) d) Taxa de juros de 0,5% a.d, (entende-se que a capitalização já é diária). ● Conversão de taxa nominal em efetiva A taxa nominal pode ser fracionada proporcionalmente no sub períodos de capitalização (como nos juros simples), encontrando-se ai a taxa efetiva correspondente. Exemplos: a) Taxa de juros de 24% a.a., com capitalização mensal (nominal). 24% a.a / 12meses = 2% a.m. (taxa efetiva) b) Taxa de juros de 18% a.s. com capitalização bimestral (nominal) 18% / 3 bimestres = 6% a.b. (efetiva) Também podemos passar de efetiva para nominal. Exemplo: Taxa de juros de 2% a.m. com capitalização mensal (efetiva) 2% x 12 meses = 24% a.a. com capitalização mensal (nominal) Taxas equivalentes Taxas equivalentes são definidas como sendo taxas de juros que, mesmo pertencendo a diferentes períodos

de capitalização, quando incidirem sobre o mesmo capital, resultam em rendimentos ou valores acumulados idênticos, ao fim de um mesmo período financeiro. ● Taxas Equivalentes em Juros Simples As taxas equivalentes serão sempre proporcionais, ou seja, possui o mesmo tratamento de taxas proporcionais. ● Taxas Equivalentes em Juros Compostos. Chamaremos de i, a taxa efetiva do período maior, e iK, a taxa efetiva do período menor. Para uma quantidade K de sub períodos, temos:

(1 + i) = (1 + iK)K Obs.: Equivalência, só de taxa efetiva para efetiva. Exemplos: a) Um taxa de juros de 10% a.m., composta, é equivalente a que taxa composta trimestral? iK = 10% a.m = 0,1 a.m K = 3 meses i = ? (1 + i) = (1 + iK)K (1 + i) = (1 + 0,1)3 1 + i = 1,13 1 + i = 1,331 i = 0,331 → i = 33,1% a.t. b) Qual a taxa de juros anual equivalente a uma taxa de juros nominal de 8% a.a., com capitalização semestral? Como a equivalência só pode ser feita de efetiva para efetiva, devemos passar a taxa nominal de 8% a.a. para uma efetiva semestral: 8% /2 semestres = 4% a.s. (Capitalização semestral) Temos: i = ? iK = 4% a.s. K = 2 Semestre (1 + i) = (1 + iK)K 1 + i = (1 + 0,04)2 1 + i = 1,042 1 + i = 1,0816 i = 0,0816 → i = 8,16% a.a. c) Qual a taxa de juros mensal equivalente a uma taxa de juros efetiva semestral de 4%? Observe que foi dado a taxa de maior valor e pede-se a de menor valor: Temos: i = 4% a.s à 0,04 a.s. iK = ? K = 6 meses (1 + i) = (1 + iK)K 1 + 0,04 = (1 + iK)6 1,04 = (1 + iK)6 6√1,04 = 1 + iK → 1,006558 = 1 + iK iK = 0,6558% a.m. Taxa real, aparente e inflacionária Vamos considerar uma aplicação, negociada a uma taxa efetiva de juros i. Essa taxa de juros será uma



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taxa real, quando expurgamos do período de aplicação, o efeito inflacionário, ou seja, a taxa de inflação. Por outro lado, essa taxa de juros será uma taxa aparente quando a taxa de inflação do período estiver nela contida. Chamando ir de taxa real, ii de taxa inflacionária e ia de taxa aparente, temos:

(1 + ir) . (1 + ii) = (1 + ia) Exemplos: a) Em uma aplicação a uma taxa de juros 10%, a inflação do período foi de 3%. Qual a taxa real de ganho? ia = 10% = 0,1 ii = 3% = 0,03 ir = ? (1 + ir) . (1 + ii) = (1 + ia) (1 + ir) . (1 + 0,03) = (1 + 0,1) (1 + ir) = 1,1 / 1,03 1 + ir = 1,06796 ir = 0,06796 → ir = 6,796% b) Se um capital aplicado a uma taxa de 8%, registrou um ganho real de 5%, a inflação do período foi de? ir = 5% = 0,05 ia = 8% = 0,08 ii = ? (1 + ir) . (1 + ii) = (1 + ia) (1 + 0,05) . (1 + ii) = (1 + 0,08) 1,05 . (1 + ii) = 1,08 1 + ii = 1,08 / 1,05 → ii = 2,857% EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. (CESGRANRIO – CEF/2008) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? (A) 75,0% (B) 72,8% (C) 67,5% (D) 64,4% (E) 60,0% SOLUÇÃO: Primeiramente devemos transformar a taxa nominal dada em uma taxa efetiva. Temos então: Taxa nominal → i1 = 40% ao quadrimestre com capitalização bimestral. Sua efetiva será: Taxa efetiva → i1 = 40/2% ao bimestre com capitalização bimestral → i1 = 20% ao bimestre. Como desejamos uma taxa i2 equivalente semestral, teremos: (1 + i2) = (1 + i1)n, sendo i1 = 20% e n = 3 bim. (1 + i2) = (1 + 0,2)3 (1 + i2) = (1,2)3 1 + i2 = 1,728 → i2 = 0,728 → i2 = 72,8% RESPOSTA: ALTERNATIVA B. 2. (CESGRANRIO – CEF/2008) A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i% ao semestre, capitalizada bimestralmente. O número de

divisores inteiros positivos de i é: Dado: (1,07)6 = 1,5 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 SOLUÇÃO: Inicialmente, devemos lembrar que a equivalência entre duas taxas, só deverá ser feita se elas forem efetivas. Taxa nominal → i% ao semestre capitalizada bimestralmente. Taxa efetiva → i1 = i/3% ao bimestre com capitalização bimestral → i1 = i/3% ao bimestre. Como foi fornecida a taxa i2 = 50% ao ano equivalente a i1 = i/3% ao bimestre, teremos: (1 + i2) = (1 + i1)n, sendo i2 = 50% e n = 6 bim. (1 + 0,5) = (1 + i/3)6 (1,5) = (1 + i/3)6 Sabendo que (1,07)6 = 1,5, 1 + i/3 = 1.07 i/3 = 0.07 → i = 0,21 → i = 21% Como a pergunta se refere a quantidade de divisores positivos e inteiros da taxa encontrada, teremos: D(21) = { 1, 3, 7, 21}, portanto, 4 divisores. RESPOSTA: ALTERNATIVA A. 3. Um capital é aplicado à taxa de juros nominal de 24% ao ano com capitalização semestral. Qual a taxa anual efetiva de aplicação desse capital, em porcentagem, aproximada até centésimos? (A) 26,82% (B) 26,53% (C) 26,25% (D) 25,97% (E) 25,44% SOLUÇÃO: Primeiramente devemos transformar a taxa nominal dada em uma taxa efetiva. Temos então: Taxa nominal → i1 = 24% ao ano com capitalização semestral. Sua efetiva será: Taxa efetiva → i1 = 24/2% ao semestre com capitalização semestral → i1 = 12% ao semestre. Como desejamos uma taxa i2 equivalente anual, teremos: (1 + i2) = (1 + i1)n, sendo i1 = 12% e n = 2 sem. (1 + i2) = (1 + 0,12)2 (1 + i2) = (1,12)2 1 + i2 = 1,2544 → i2 = 0,2544→ i2 = 25,44% RESPOSTA: ALTERNATIVA E. 4. (FCC – MPE – RS/2008) Se uma dívida, contraída a juros compostos e a uma taxa fixa, aumentou 125% em 2 anos, a taxa anual de juros cobrada foi de (A) 25% (B) 27,5% (C) 45% (D) 47,5% (E) 50%



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SOLUÇÃO: A pergunta é: que taxa i1 ao ano é equivalente a uma taxa i2 = 125% em dois anos? (1 + i2) = (1 + i1)n, sendo i2 = 125% e n = 2 anos. (1 + 1,25) = (1 + i1)2 (1 + i1) = (2,25)1/2 Lembre-se que (2,25)1/2 = √2,25 = 1,5, então: 1 + i1 = 1,5 → i1 = 0,5 → i1 = 50% RESPOSTA: ALTERNATIVA E. 5. Considere que uma aplicação financeira foi feita a uma taxa de juros anual de 20%, em que no mesmo período, a inflação medida foi de 7%. Em termos porcentuais, qual foi o valor aproximado do rendimento real dessa aplicação? (A) 11,8% (B) 12,15% (C) 12,75% (D) 13% (E) 13,5% SOLUÇÃO: A taxa de 20% da aplicação é a taxa aparente. Como a taxa de inflação é de 7%, a taxa real da aplicação será calculada pela fórmula do RIA. (1 + iR)(1 + iI) = (1 + ia) (1 + iR)(1 + 0,07) = (1 + 0,2) (1 + iR)(1,07) = (1,2) (1 + iR) = 1,2/1,07 (1 + iR) = 1,1215 iR = 1,1215 – 1 → iR = 0,1215 → iR = 12,15% RESPOSTA: ALTERNATIVA B. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. (FCC – BANESE – TEC. I/2012) Uma aplicação no mercado financeiro forneceu as seguintes informações: −Valor aplicado no início do período: R$ 50.000,00. − Período de aplicação: um ano. −Taxa de inflação no período de aplicação: 5%. −Taxa real de juros da aplicação referente ao período: 2%. Se o correspondente montante foi resgatado no final do período da aplicação, então o seu valor é (A) R$ 53.550,00. (B) R$ 53.500,00. (C) R$ 53.000,00. (D) R$ 52.500,00. (E) R$ 51.500,00. 2. (FCC – FAZENDA SP – AG. FISCAL/2010) Um investidor aplicou o capital de R$ 24.000,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a taxa real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo investidor foi de (A) R$ 27.060,00 (B) R$ 27.000,00 (C) R$ 26.460,00 (D) R$ 26.400,00 (E) R$ 25.800,00

3. (FCC – INFRAERO – AUDITOR/2011) Considere os dados de uma determinada aplicação em uma instituição financeira: -Valor do principal: R$ 20.000,00 -Período de aplicação: um ano -Valor do montante no final do período de aplicação: R$ 21.924,00 -Taxa real de juros da aplicação no período de aplicação: 5% A taxa de inflação no período da aplicação foi igual a (A) 5,22% (B) 4,62% (C) 4,40% (D) 4,00% (E) 3,96% 4. (CESGRANRIO – BB/2010) Um investimento obteve variação nominal de 15,5% ao ano. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi 5%. A taxa de juros real anual para esse investimento foi (A) 0,5%. (B) 5,0%. (C) 5,5%. (D) 10,0%. (E) 10,5%. 5. (CESGRANRIO – BB/2012) Um investimento rende a taxa nominal de 12% ao ano com capitalização trimestral. A taxa efetiva anual do rendimento correspondente é, aproximadamente, (A) 12% (B) 12,49% (C) 12,55% (D) 13% (E) 13,43% 6. (ESAF – ANAL. TÉCNICO DA SUSEP/2010) No sistema de juros compostos, o Banco X oferece uma linha de crédito ao custo de 80% ao ano com capitalização trimestral. Também no sistema de juros compostos, o Banco Y oferece a mesma linha de crédito ao custo dado pela taxa semestral equivalente à taxa cobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco X, para serem pagas ao final de um ano. Mário, por sua vez, obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco Y para serem pagas ao final de um semestre. Sabendo-se que Maria e Mário honraram seus compromissos nos respectivos períodos contratados, então os custos percentuais efetivos pagos por Maria e Mário, foram, respectivamente, iguais a: (A) 320% ao ano e 160% ao semestre. (B) 120% ao ano e 60% ao semestre. (C) 72,80% ao ano e 145,60 % ao semestre. (D) 240% ao ano e 88% ao ano. (E) 107,36% ao ano e 44% ao semestre. 7. (CESPE – MPU – A. ORÇAMENTO/2010) Com relação a juros compostos e taxas equivalentes, julgue os itens a seguir. I - A taxa de juros de 2,7% ao trimestre é equivalente à taxa de juros de 10,8% ao ano.



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II - Considere que o diretor financeiro da empresa Zigma consultou os gerentes de dois bancos com relação à aplicação do excedente do fluxo de caixa da empresa. O gerente do primeiro banco ofereceu ao referido diretor a taxa nominal de juros de 16% ao ano, capitalizada trimestralmente, e o do segundo banco propôs a taxa efetiva de 16% ao ano, com capitalização semestral. Nessa situação, a melhor opção de aplicação para a referida empresa é a oferecida pelo gerente do segundo banco. III - Considere duas opções de empréstimo para determinado capital, a taxas nominais anuais idênticas e mesmo prazo de um ano: a primeira, capitalizada trimestralmente, e a segunda, capitalizadas semestralmente. Nessas condições, do ponto de vista do tomador do empréstimo, a segunda opção é mais vantajosa. 8. (CESPE – BRB/10). Julgue o item a seguir acerca de custo efetivo. I - Se o custo real efetivo de uma operação financeira for de 15% e se a taxa de inflação acumulada no período for de 8%, então, nesse caso, o custo total efetivo dessa operação financeira será inferior a 24%. 9. (CESPE – BANCO DA AMAZÕNIA/2009). Acerca de matemática financeira, julgue os itens subsequentes. I - Se um cliente aplicou seu dinheiro em uma instituição financeira à taxa de juros (aparente) de 7,52% ao ano, durante determinado ano em que a inflação oficial apurada foi de 5%, então o valor aplicado por esse cliente, nesse ano, rendeu juros reais acima de 2,5%. II - Caso uma loja de roupas ofereça o desconto de 5% sobre o preço de cada peça para pagamento à vista, ou o pagamento em duas parcelas, mensais e iguais, sem acréscimo, com a primeira devendo ser paga no ato da compra, então a taxa mensal de juros que a loja embute nos preços para vendas a prazo é superior a 10%. III - Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado durante determinado período, obtendo-se ao final da aplicação um montante total de R$ 2.236,00. Nessa situação, se a inflação no período mencionado foi de 4%, então a taxa real de rendimentos da referida aplicação nesse período foi inferior a 7%. IV - Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado pelo prazo de um ano no regime de capitalização composta, obtendo-se R$ 2.100,00 de juros. Nessa situação, caso a capitalização tenha sido semestral, a taxa nominal anual de rendimentos da aplicação foi inferior a 18%. 10. (CESPE – BASA/2010) Considerando 1,1 e 1,0489 como valores aproximados de 1,0128 e 1,0124, respectivamente, é correto afirmar

que a taxa anual de juros equivalente à taxa de juros compostos de 1,2% ao mês é aproximadamente (A) 14% (B) 14,5% (C) 15% (D) 15,4% (E) 16% 11. (CESPE – MPU/2010) Acerca de taxas equivalentes no regime de juros compostos, julgue os itens subsequentes. I - Se uma operação de crédito custou 44% no período de dois anos, então, em termos efetivos, a taxa de juros anual equivalente foi de 20% ao ano. II - A taxa de juros de 5% ao semestre é equivalente à taxa de juros de 10% ao ano. 12. (CESGRANRIO – CEF/2012) Nas operações de empréstimo, uma financeira cobra taxa efetiva de juros, no regime de capitalização composta, de 10,25% ao ano. Isso equivale a cobrar juros com taxa anual e capitalização semestral de (A) 5% (B) 5,51% (C) 10% (D) 10,25% (E) 10,51% 13. (CESPE – BRB/2011) Acerca de taxas de juros, julgue o item a seguir. I - Se uma aplicação de R$ 10.000,00 pelo período de um ano produzir juros no valor de R$ 3.200,00, e se a inflação nesse período for de 20%, então a taxa de juros real da aplicação nesse período será inferior a 11%. 14. (AUTOR/2014) Um capital é aplicado à taxa de juros nominal de 24% ao ano com capitalização semestral. Qual a taxa anual efetiva de aplicação desse capital, em porcentagem, aproximada até centésimos? (A) 26,82% (B) 26,53% (C) 26,25% (D) 25,97% (E) 25,44%

GABARITO 1-A 2-A 3-C 4- D 5-C

6-E 7-E,E,C 8-E 9-E,C,E,E 10-D

11-C,E 12-C 13-C 14-E



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DESCONTO COMPOSTO Introdução Como já vimos, desconto é um abatimento concedido pelo pagamento antecipado de um título de crédito. Em juros compostos o prazo de antecipação do pagamento é dividido em períodos de acordo com regime de capitalização. Os termos já estudados no desconto simples, valem da mesma forma no desconto composto. São eles: N → Valor nominal A → Valor atual DC → Desconto Comercial DR → Desconto racional i → Taxa de juros compostos (DR) ou taxa de desconto (DC) n → Quantidade de períodos de antecipação Desconto racional composto Sabemos que a base de cálculo do desconto racional é o valor atual. Portanto se capitalizarmos esse valor



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atual durante n períodos de antecipação, a uma taxa i de juros compostos, encontraremos o valor nominal N do título. Logo a diferença entre o valor nominal e o valor racional será o desconto racional composto. Pela fórmula de montante composto temos: M = C (1 + i)n, Fazendo M = N (nominal) e C = AR (atual racional): N = AR (1 + i)n

AR = N / ( 1 + i )n

ou AR = N . ( 1 + i )-n

A fórmula dada calcula o valor atual racional composto e (1 + i)−n é chamado fator de atualização de um capital. Não é difícil deduzir a partir daí que o desconto racional composto será de forma geral:

DR = N - AR Desconto comercial composto Já aprendemos que a base de cálculo para o desconto comercial é o valor nominal do título. Portanto, se para um título de valor N, dermos n descontos sucessivos, todos calculados a uma taxa i de desconto composto, encontraremos o valor atual comercial composto, e o somatório dos descontos sucessivos, o desconto comercial composto. O valor atual comercial composto será calculado:

AC = N (1 – i )n O desconto comercial composto será de forma geral:

DC = N - AC Obs.: Em todas as fórmulas apresentadas no desconto composto, valem as regras já anunciadas nos juros compostos. Relação entre as taxas de desconto comercial e racional composto A relação abaixo nos permite obter a taxa de desconto (comercial) ou a taxa de juros (racional), dada uma, na condição do desconto comercial ser igual ao desconto racional, e mesma quantidade de períodos de antecipação. Dados: iC → Taxa composta de desconto (comercial) iR → Taxa composta de juros (racional) Temos:

(1 – iC) . (1 + iR) = 1 Fluxo de caixa Fluxo de caixa é um diagrama, largamente, empregado na resolução de problemas da Matemática Financeira. Horizontalmente; marcam-se os períodos e as épocas, verticalmente; as entradas e saídas de capitais. Assim:

Como vimos, as saídas de capital são consideradas para baixo e negativas e as entradas, para cima e positivas. A distância entre duas épocas forma um período. Os fluxos de caixa são muito usados na resolução de problemas envolvendo equivalências de capitais. Equivalência de capitais Os problemas de equivalência de capitais a juros compostos são facilmente resolvidos com a utilização do esquema de fluxo de caixa, como já dissemos anteriormente. Para resolver um problema, escolhe-se uma data focal (a juros compostos, pode ser qualquer data, preferencialmente aquela que tiver maior número de setas encimadas) e convergem-se todos os pagamentos ou recebimentos para aquela data, mediante os fatores de capitalização (1 + i)n ou descapitalização (1 + i)- n, conforme o caso, numa mesma data, os capitais têm que ser equivalentes. Os pagamentos ou recebimentos referentes à 1ª, modalidade devem ficar juntos, num membro da equação. Os outros, referentes à 2ª, modalidade, devem ficar juntos, no outro membro da equação. Exemplo Uma empresa recebe como empréstimo a importância de R$ 230.000,00 para ser paga 6 meses após, a juros compostos, à taxa de 5% a.m. Um mês depois de efetivada a operação, a empresa propõe, liquidar a divida, mediante 3 pagamentos: o primeiro, imediatamente, no valor de R$ 80.000,00 e mais dois iguais: um 2 meses após o 1º, e o outro 3 meses após o 2º. Calcular o valor dos pagamentos iguais. Construindo o fluxo de caixa:

Todos os valores deverão ser capitalizados ate a data focal 6. Primeiramente devemos capitalizar o valor de R$ 230.000,00(M1) e igualar com o somatório das prestações capitalizadas(M2). Capitalização da entrada de R$ 230.000(M1): M1 = 230.000 (1 + 0,05) 6 M1 = 308222 Capitalização das prestações(M2): M2 = 80.000 (1 + 0,05) 5 + P . (1 + 0,05)3 + P M2 = 102102,53 + 1,158P + P M2 = 102102,53 + 2,158P



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Como M1 = M2 temos: 308222 = 102102,53 + 2,158P → P = R$ 95530,72

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. (CESGRANRIO – TEC. DE AD. E CONT. /2009) Uma duplicata no valor de R$7.000,00 foi descontada dois meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial composto de 2,5% ao mês. O valor do desconto cobrado pelo banco, em reais, foi (A) 345,63 (B) 369,17 (C) 370,01 (D) 471,33 SOLUÇÃO: O desconto é a diferença entre o valor nominal do título e o seu valor atual após o desconto. Iremos calcular primeiramente o valor atual comercial composto: AC = N(1 – i)n AC = 7.000(1 – 0,025)2 AC = 7.000(0,975)2 AC = 7.000.0,951 → AC = 6.654,38 DC = N - AC DC = 7.000 – 6.654,37 DC = 345,63 RESPOSTA: ALTERNATIVA A. 2. (CESGRANRIO – CEF/2008) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D - d, em reais, vale: (A) 399,00 (B) 398,00 (C) 397,00 (D) 396,00 (E) 395,00 SOLUÇÃO: Em primeiro lugar iremos calcular o desconto comercial composto(D): DC = N - AC DC = D = 24.200 – 24.200(1 – 0,1)2 D = 24.200 – 24.200(0,9)2 D = 24.200 – 19.602 D = 4.598 Calcularemos agora o desconto racional composto(d): DR = N – AR DR = d = 24.200 – 24.200/(1 + 0,1)2 d = 24.200 – 24.200/(1,1)2 d = 24.200 – 20.000 d = 4.200 Logo, a diferença entre os dois descontos será: D – d = 4.598 – 4.200 = 398 RESPOSTA: ALTERNATIVA B. 3. Um título é descontado por R$ 4.400,00 quatro meses antes do seu vencimento. Obtenha o valor de face do título considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. (Despreze os centavos, se houver).

(A) R$ 4.400,00 (B) R$ 4.725,00 (C) R$ 4.928,00 (D) R$ 4.952,00 (E) R$ 5.000,00 SOLUÇÃO: O valor de face é o mesmo que valor nominal do título. Logo teremos: AR = N/(1 + i)n 4.400 = N/(1 + 0,03)4 N = 4.400. 1,1255 N = 4.952,20 RESPOSTA: ALTERNATIVA D. 4. ( CESPE/UNB – BB/2008 ) É apresentada uma situação hipotética a respeito de matemática financeira, seguida de uma assertiva a ser julgada.

I - Uma letra de câmbio vence daqui a um ano, com valor nominal de R$ 15.000,00. A pessoa detentora desse título propõe a sua troca por outro, que vence daqui a 3 meses e tem valor nominal de R$ 12.000,00. Nessa situação, se a taxa de juros compostos corrente é de 3% ao mês e se 1,3 é tomado como valor aproximado para 1,039, então a troca será financeiramente vantajosa para o detentor do primeiro titulo.

II - Carlos deve a uma instituição financeira um titulo com valor de resgate de R$ 6.000,00 para vencimento daqui a 5 meses e outro, com valor de resgate de R$ 8.000,00, para vencimento daqui a 10 meses. Nessa situação, se a instituição financeira emprestou as quantias a Carlos à taxa de juros compostos de 2% ao mês, e se Carlos desejar resgatar esses dois títulos no dia de hoje, então ele terá de pagar um valor que, em reais, pode ser expresso por 8.000 x 1,025 + 6.000 . 1,0210 SOLUÇÃO: Item I: É uma questão de equivalência de capitais nos juros compostos. Se em uma determinada data focal os valores atuais dos dois títulos forem iguais, os títulos serão equivalentes, caso contrário não. Para efeito de comparação dos dois títulos iremos adotar a data focal 3. Teremos então: Título 1: valor nominal de 15.000 reais na data focal 12; o seu valor atual na data focal 3 será: AR = N/(1 + i)n AR = 15.000/(1 + 0,03)9 AR = 15.000/(1,03)9 AR = 11.538,46 Como o título de 12.000 reais já está na data focal 3, o seu valor atual é o mesmo. Logo a troca será vantajosa para o detentor do primeiro título. Item II: Mais uma questão de equivalência de capitais nos juros compostos. A data de hoje é a data focal zero. Basta então atualizarmos os dois títulos para a data focal zero. AHOJE = A1 + A2 AHOJE = 6.000/(1 + 0,02)5 + 8.000/(1 + 0,02)10



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AHOJE = 6.000/(1,02)5 + 8.000/(1,02)10 AHOJE = [6.000.(1,02)5 + 8.000] / (1,02)10 O item está errado. RESPOSTA: CERTO, ERRADO. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. (FCC – FAZENDA SP – AG. FISCAL/2010) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de (A) R$ 21.780,00 (B) R$ 21.600,00 (C) R$ 20.702,00 (D) R$ 19.804,00 (E) R$ 19.602,00 2. (CESGRANRIO – PETROBRÁS – ADM./2010) Um produto com preço à vista de R$ 442,00 é vendido em duas prestações iguais, em 30 e 90 dias. Se a taxa de juros composta cobrada pelo vendedor é de 10% a.m., determine o valor, em reais, de cada prestação (considere o ano comercial). (A) 222,20 (B) 242,22 (C) 266,20 (D) 288,20 (E) 300,20 3. (CESGRANRIO – ELETRONUCLEAR/2010) Uma mercadoria sofreu dois descontos sucessivos de 30% cada, passando a custar R$ 392,00. Qual era, em reais, o preço dessa mercadoria antes dos descontos? (A) 600,00 (B) 662,00 (C) 700,00 (D) 774,00 (E) 800,00 4. (CESGRANRIO – TÉCNICO DE ADMIN. E CONTROLE JÚNIOR/2009) Uma duplicata no valor de R$ 7.000,00 foi descontada dois meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial composto de 2,5% ao mês. O valor do desconto cobrado pelo banco, em reais, foi (A) 345,63 (B) 369,17 (C) 370,01 (D) 471,33 (E) 480,72 5. (ESAF – ANAL. TÉCNICO DA SUSEP/2010) Um título sofre um desconto racional composto dois meses antes do seu vencimento a uma taxa de 5% ao mês. Dado que o valor do desconto é R$ 10 000,00, qual o valor mais próximo do valor nominal do título? (A) R$ 100 000,00. (B) R$ 107 561,00. (C) R$ 102 564,00.

(D) R$ 97 561,00. (E) R$ 110 000,00. 6. (CESPE – MPU/2010) A respeito de descontos, julgue os itens que se seguem. I - Considere que um título no valor de R$1.157.625,00 será descontado (desconto racional composto) três meses antes do seu vencimento à taxa de 5% ao mês. Nessa situação, esse desconto será superior a R$ 180.000,00. II - O desconto racional composto de um título com um mês para o vencimento, obtido com a utilização da taxa de 5% ao mês, é metade do valor daquele que se obtém ao se aplicar, para o mesmo título, a taxa de 10% ao mês. III - Suponha que sobre o preço de catálogo de um produto tenha sido oferecido desconto de 15% e, sobre o valor resultante, mais um desconto de 10%. Nessa situação, com relação ao preço de catálogo do produto, o comprador pagou um preço 25% menor. E 7. (CESPE – SOLDADO/2012). A respeito de descontos, julgue o item que se segue. I - Considere que uma viatura policial adquirida por R$ 80.000,00 se desvalorize à taxa composta de 5% ao ano. Nesse caso, considerando-se 0,6 como valor aproximado para 0,9510, é correto afirmar que, 10 anos após a compra, a viatura valerá menos de R$ 45.000,00. 8. (FCC – TCE – PR - ANALISTA/2012) Uma dívida referente a um empréstimo deve ser liquidada por meio de duas prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da contração da dívida. O valor da primeira prestação é igual a R$ 10.455,00 e o da segunda é R$ 10.924,20. Utilizando o critério do desconto racional composto a uma taxa de juros de 2% ao mês, tem-se que o valor presente da dívida, isto é, na data da sua contração, é igual a (A) R$ 21.588,30. (B) R$ 21.376,65. (C) R$ 21.165,00. (D) R$ 20.960,00. (E) R$ 20.750,00.

GABARITO

1-E 2-C 3-E 4- A 5-B

6-E,E,E 7-E 8-E



121

TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) Introdução A Taxa Interna de Retorno (TIR), é a taxa necessária para igualar o valor de um investimento (valor presente) com os seus respectivos retornos futuros ou saldos de caixa. Sendo usada em análise de investimentos e significa a taxa de retorno de um projeto. Em uma situação hipotética, fazendo alguns cálculos financeiros, encontramos para o projeto P uma Taxa Interna de Retorno de 15% ao ano. Esse projeto será atrativo se a empresa tiver uma TMA (Taxa Mínima de Atratividade) menor do que 15% ao ano. A solução dessa equação pode ser obtida pelo processo iterativo, ou seja, “tentativa e erro”, ou diretamente com o uso de calculadoras eletrônicas ou planilhas de cálculo. Cálculo matemático da taxa interna de retorno Matematicamente, a Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que torna o valor presente das entradas de caixa igual ao valor ao presente das saídas de caixa do projeto de investimento. A TIR é a taxa de desconto que faz com que o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto seja zero. Um projeto é atrativo quando sua TIR for maior do que o custo de capital do projeto.



122

Exemplo: Considere um projeto cujo investimento inicial foi de R$ 1.000,00, e em 1 ano, ofereceu um retorno de R$ 1.100,00. Logo a TIR para esse projeto é: Como, para uma TIR, o valor atual dos fluxos do projeto deverá ser igual ao investimento inicial, vem: 1.000,00 = 1.100,00 / (1 + TIR) 1.000,00 . (1 + TIR) = 1.100,00 TIR = 0,1 → TIR = 10% De forma geral o projeto deverá ser aceito se a taxa de desconto for inferior TIR e recusado se for superior TIR EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. CESGRANRIO – CEF/2008) A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto.

Período (anos) 0 1 2 Valor (milhares de reais) - 410 P P

Para que a taxa interna de retorno anual seja 5%, o valor de P, em milhares de reais, deve ser: (A) 216,5 (B) 217,5 (C) 218,5 (D) 219,5 (E) 220,5 SOLUÇÃO: Para cálculo que envolve a taxa interna de retorno, devemos considerar que o valor atual das entradas é igual ao valor atual das saídas em qualquer data focal. A ENTRADAS = A SAÍDAS Iremos considerar a data focal 2: P(1 + 0,05)1 + P = 410(1 + 0,05)2 1,05P + P = 410.1,1025 2,05P = 452,025 → P = 220,5 RESPOSTA: ALTERNATIVA E. 2. (CESGRANRIO – CEF/2008) A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de certo projeto.

Valor (milhares de reais) - 50 35 22

Período(anos) 0 1 2

A taxa interna de retorno anual é igual a (A) 10% (B)12% (C) 15% (D)18% (D) 20% SOLUÇÃO: Como foi dito na questão anterior, para cálculo que envolve a taxa interna de retorno(i), devemos considerar que o valor atual das entradas é igual ao valor atual das saídas em qualquer data focal.

AENTRADAS = ASAÍDAS Iremos considerar a data focal 2: 35(1 + i)1 + 22 = 50(1 + i)2 Chamando (1 + i) de x e substituindo na equação: 35x + 22 = 50x2 50x2 -35x -22 = 0 Resolvendo a equação do 2º grau, teremos: x1 = 1,1 e x2 = - 0,4 Considerando apenas o valor positivo e substituindo x por (1 + i): 1 + i = 1,1 → i = 0,1 → i = 0.1.100% = 10% RESPOSTA: ALTERNATIVA A. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. (CESGRANRIO – BB/2012) O investimento necessário para montar uma pequena empresa é de R$ 10.000,00. Esse investimento renderá R$ 6.000,00 no final do primeiro ano, e R$ 5.500,00 no final do segundo. Depois desses dois anos, o dono dessa empresa pretende fechá-la. A taxa interna de retorno (TIR), anual, desse projeto é (A) 1% (B) 1,5% (C) 5% (D) 10% (E) 15% 2. (CESGRANRIO – CEF/2012) Um projeto de investimento, cujo aporte de capital inicial é de R$ 20.000,00, irá gerar, após um período, retorno de R$ 35.000,00. A Taxa Interna de Retorno (TIR) desse investimento é (A) 34% (B) 43% (C) 75% (D) 175% (E) 275% 3. (CESPE – BRB/2011) Julgue o item seguinte, referente a taxa de retorno. I - Considerando que o investimento de R$ 4.000,00 tenha rendido o pagamento de R$ 3.000,00 ao final do primeiro mês e R$ 3.000,00 ao final do segundo mês, e que 7,55 seja o valor aproximado para √57 então a taxa interna de retorno desse investimento foi superior a 35% ao mês. 4. (FCC – TCE – PR - ANALISTA/2012) A taxa interna de retorno (TIR) anual do projeto representado pelo fluxo de caixa abaixo é igual a 8%.

Ano Fluxo de Caixa (R$) 0 1 2

38.500,00 X 2X

O valor de X é igual a (A) R$ 13.500,00. (B) R$ 14.580,00. (C) R$ 14.904,00. (D) R$ 15.746,40.



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(E) R$ 16.096,00. GABARITO

1-D 2-C 3-E 4-B

ANUIDADES OU RENDAS Introdução Nos mais variados modelos financeiros existentes, para constituição de um capital ou mesmo para o pagamento parcelado de uma determinada dívida, as anuidades ou rendas certas aparecem como objeto de estudo, e solução para as questões ora apresentadas. Portanto para conceituarmos renda certa, na metodologia financeira, basta considerar uma seqüência ou série uniforme ou variável de capitais determinados, independentes de fatores externos que possam influenciar em um contrato, o qual é previamente firmado para garantia da sua realização. Classificação das rendas ● Quanto ao prazo de duração ou número de termos: Renda temporária: Possui um número de termos definido Renda perpétua: Possui um número de termos indefinidos. ● Quando aos capitais que constituem a renda-valor de cada termo: Renda constante: Os valores de todos os termos são iguais. Renda variável: Os valores dos termos não são iguais.



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● Quanto a periodicidade dos termos: Renda periódica: Quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempos iguais. Renda não periódica: Quando os pagamentos não ocorrem em intervalos de tempo iguais. ● Quanto a data do vencimento dos termos: Renda postecipada: Quando o vencimento ocorre sempre no final dos sucessivos períodos: Renda antecipada: Quando o vencimento dos termos ocorre sempre no inicio dos sucessivos períodos: 5) Quanto a carência do pagamento do primeiro termo: Renda imediata: Quando não há carência. Renda diferida: Quando existe mais de um período para o pagamento do primeiro termo (carência). Importante Para efeito de necessidade e simplificação do nosso estudo, iremos trabalhar com as rendas certas: temporárias; constantes; periódicas; imediatas ou diferidas e antecipadas ou postecipadas. Valor atual para rendas imediatas postecipadas O valor atual, também chamado de valor presente de uma renda, é o somatório dos valores atuais de cada termo dessa renda. Simbolicamente chamaremos de “A”. Logo temos:

P → Valor de cada termo ou prestação (constantes) n → Numero de termos (Períodos constantes). Para uma determinada taxa i de juros compostos temos que o valor atual de cada termo será calculado:

Como o valor atual da renda é o somatório dos valores atuais de cada termo: A = A1 + A2 + A3 + • • • + AN (Soma do termo de uma P.G) Temos que:

Importante:

O valor , é um dado de cálculo complexo, que normalmente já vem resolvido em uma tabela financeira sob a denominação de fator de atualização de capitais em uma série de pagamentos, cuja simbologia será a(n,i). Portanto:

a(n,i) = ou a(n,i) = O valor atual pode finalmente ser representado pela expressão:

A = P. a(n,i) Valor atual para rendas imediatas antecipadas De forma análoga ao cálculo anterior temos:

A = P. [1 +a(n-1,i)] Valor atual para rendas diferidas postecipadas Novamente de forma análoga aos cálculos anteriores, temos:

Sendo c o período de carência. A fórmula nesse caso para o valor atual será:

A = P [a(n+c,i) – a(c,i)] Valor do montante para rendas imediatas postecipadas O valor do montante de uma renda é o somatório de todos os montantes dos seus respectivos termos dessa renda. Simbolicamente chamamos de “M”. Logo temos:

Os valores dos termos constantes P, capitalizados a uma taxa i de juros compostos, serão: M1 = P.(1 + i)n-1 (1º termo) M2 = P.(1 + i)n-2 (2º termo) M3 = P.(1 + i)n-3 (3º termo) • • • • • •

MN = P (1 + i)n-n (Enésimo termo) Como o montante da renda é o somatório dos montantes de cada termo.



125

M = M1 + M2 + M3 + ... + MN

Importante:

O valor como já vimos no valor atual, é dado também, tabelado, sob a denominação fator de acumulação de capitais em uma série de pagamentos cuja simbologia será s(n,i). Portanto:

s(n,i) = A representação final do montante fica:

M = P. s(n,i)

Valor do montante para rendas imediatas antecipadas De forma análoga ao cálculo anterior temos:

M = P [s(n+1,i) – 1 ] Valor do montante para rendas diferidas Não há diferença entre esse tipo de renda e a renda imediata. Portanto.

M = P. s(n,i) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. (AUTOR/2012) O montante gerado por 5 depósitos mensais, consecutivos e postecipados de R$ 500,00, à taxa de 2% ao mês, na data do último depósito é em reais: Considere o fator de acumulação de capital s(5,2) = 5,2 (A) 2.500,00 (B) 2.550,00 (C) 2.600,00 (D) 2.650,00 (E) 2.700,00 SOLUÇÃO: O montante de uma série de n depósitos postecipados, de valores iguais a P, será calculado pela relação: M = P . s(n, i), onde i é a taxa de juros efetiva da operação e s(n, i) o fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos. Portanto, teremos: M = 500 . s(5, 2); M = 500 . 5,2 → M = R$ 2.600,00. RESPOSTA: ALTERNATIVA C. 2. (CESGRANRIO – CEF/2008)

Um investimento consiste na realização de 12 depósitos mensais de R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito no início mês . O montante será resgatado um mês depois do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 2% ao mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será: Dado: s(12,2) = 13,41 (A) 1200,00 (B) 1224,00 (C) 1241,21 (D) 1367,82 (E) 2128,81 SOLUÇÃO: O montante de uma série de n depósitos antecipados, de valores iguais a P, será calculado pela relação: M = P . s(n, i), onde i é a taxa de juros efetiva da operação e s(n, i) o fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos. Ocorre, porém, que a contagem dos períodos deve se iniciar na data focal zero, ou seja o cálculo do montante será na data focal 4. Como a pergunta se refere a um período 1 mês a frente do valor calculado, devemos capitalizar o valor encontrado por mais 1 mês. Portanto, teremos: M = 100 . s(12, 2); M = 100 . 13,41 → M = R$ 1.341,00. Capitalizando por mais 1 mês: M = 1.341 . (1 + 0,02); M = R$ 1.367,82. RESPOSTA: ALTERNATIVA D. 3. (AUTOR/2012) Um computador é comprado em 6 prestações mensais, iguais e sem entrada. Se o valor de cada prestação for de R$ 200,00 e a operação de financiamento realizada a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, qual era o valor a vista do computador em reais? Considere o fator de atualização de capital a(6,4) = 5,24 (A) 950,00 (B) 1.000,00 (C) 1.020,00 (D) 1.048,00 (E) 1.100,00 SOLUÇÃO: O valor atual(à vista) de uma série de n prestações postecipadas, de valores iguais a P, será calculado pela relação: A = P . a(n, i), onde i é a taxa de juros efetiva da operação e a(n, i) o fator de atualização de capital de uma série de pagamentos. Portanto, teremos: A = 200 . A(6, 4); A = 200 . 5,24 → A= R$ 1.048,00. RESPOSTA: ALTERNATIVA D. 4. (AUTOR/2012) Um computador é comprado em 6 prestações mensais, iguais, sendo a primeira dada como entrada. Se o valor de cada prestação for de R$ 200,00 e a operação de financiamento realizada a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, qual era o valor a vista do computador? Considere o fator de atualização de



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capital a(5,4) = 4,45 (A) 990,00 (B) 1.020,00 (C) 1.060,00 (D) 1.075,00 (E) 1.090,00 SOLUÇÃO: O valor atual(à vista) de uma série de n prestações antecipadas, de valores iguais a P, será calculado pela relação: A = P . a(n - 1, i) + P, onde i é a taxa de juros efetiva da operação e a(n - 1, i) o fator de atualização de capital de uma série de pagamentos. Portanto, teremos: A = 200 . A(5, 4) + 200; A = 200 . 4,45 + 200 → A= R$ 1.090,00. RESPOSTA: ALTERNATIVA E. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. (CESGRANRIO – BNDS – TÉCNICO/2010) Uma aplicação consiste em 6 depósitos consecutivos, mensais e iguais no valor de R$ 300,00 (trezentos reais) cada um. Se a taxa de juros compostos utilizada é de 5% ao mês, o montante, em reais, um mês após o último dos 6 depósitos, é (A) 2.040,00 (B) 2.142,00 (C) 2.240,00 (D) 2.304,00 (E) 2.442,00 2. (CESGRANRIO – BB/2012) Uma loja oferece um aparelho celular por R$ 1.344,00 à vista. Esse aparelho pode ser comprado a prazo, com juros de 10% ao mês, em dois pagamentos mensais iguais: um, no ato da compra, e outro, um mês após a compra. O valor de cada um dos pagamentos mensais é, em reais, de (A) 704,00 (B) 705,60 (C) 719,00 (D) 739,20 (E) 806,40 3. (CESGRANRIO – PETROBRÁS – ADM./2010) Um produto com preço à vista de R$ 442,00 é vendido em duas prestações iguais, em 30 e 90 dias. Se a taxa de juros composta cobrada pelo vendedor é de 10% a.m., determine o valor, em reais, de cada prestação (considere o ano comercial). (A) 222,20 (B) 242,22 (C) 266,20 (D) 288,20 (E) 300,20 4. (CESPE – TÉCNICO – BASA/2012) Um cliente dispõe de R$ 210.000,00 para quitar o saldo devedor — também de R$ 210.000,00 — do financiamento de um imóvel junto a uma instituição financeira que trabalha com conta remunerada à taxa de juros compostos de 5% ao mês. Para essa quitação, a instituição financeira oferece as seguintes opções.

1 - depositar o dinheiro disponível em conta remunerada e fazer o pagamento em duas prestações mensais iguais e consecutivas de R$ 121.000,00, com a primeira prestação vencendo em um mês após a data do depósito; 2 - pagamento do saldo devedor, à vista, com desconto de 5%; nesse caso, o cliente poderá depositar o desconto na conta remunerada. Com base nessa situação, desconsiderando possíveis taxas e impostos, julgue o item seguinte. I - Considere que seja apresentada ao cliente uma terceira opção para quitação do saldo devedor: pagar 250 prestações mensais e consecutivas de R$ 1.000,00, com a primeira prestação devendo ser paga em um mês após a negociação, e que o pagamento tenha de ser feito por meio de depósitos em uma conta remunerada da própria instituição, que paga a taxa de juros compostos de 1% ao mês. Nessa situação, se, durante os 250 meses, não for feito nenhum saque da conta e se 250 for considerado valor aproximado para log1,01(12), então o montante na conta no momento em que for depositada a última prestação será superior a R$ 1.000.000,00. 5. (CESPE – ESCRITURÁRIO - BRB/2010) Julgue o item a seguir, acerca de rendas. I - Considere que a propaganda de uma loja de eletrodoméstico anuncie a venda de um modelo de televisor em que o cliente paga uma entrada de R$ 400,00 e mais duas prestações desse mesmo valor. Nesse caso, se a taxa de juros da loja for de 1% ao mês, então o valor desse aparelho, à vista, é inferior a R$ 1.180,00. Dado a(2,1) = 1,97 o fator de atualização de capital de uma série de pagamentos. 6. (CESPE – T. BANC. – B. DA AMAZÔNIA/2007) A respeito de matemática financeira, julgue o seguinte item. I - Considere que, em uma carteira de investimentos de um banco em Taiwan, um investidor aplique quatro parcelas anuais, consecutivas e iguais a 30.000 dólares, à taxa de juros compostos de 2% ao ano. Nessa situação, tomando-se 1,082 como valor aproximado de 1,024,é correto afirmar que, imediatamente após ser feita a última aplicação, o montante desse investidor será superior a 125.000 dólares.

GABARITO 1-B 2-A 3-C 4-C 5-E 6-E



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SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Introdução Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser também o reembolso de ambos. Devemos lembrar que os juros embutidos em cada prestação, são sempre calculados sobre o último saldo devedor. Considerando: P → Prestação, Q → Cota de amortização(amort. do saldo devedor) J → Juros de Amortização Temos que:

P = Q + J Sistemas de Amortização Chamamos de sistema de amortização as diferentes formas de devolução de um empréstimo. Os principais sistemas de amortização são: ● Sistema de Pagamento único: ● Sistema de Pagamentos variáveis: ● Sistema Americano: ● Sistema de Amortização Constante (SAC): ● Sistema Price ou Francês (PRICE): ● Sistema de Amortização Misto (SAM): Para mostrarmos estes sistemas, adotaremos a situação hipotética de um financiamento no valor de



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R$ 300.000,00, que será pago ao final de 5 meses, à taxa mensal de juros compostos no valor de 4%. Em sequência, será essencial o uso de um quadro financeiro demonstrativo(Planilha) com os dados de cada problema e com informações essenciais sobre o sistema de amortização adotado. Em todas as análises, utilizaremos o mesmo quadro financeiro básico que está indicado abaixo, com os respectivos elementos necessários:

QUADRO FINANCEIRO DEMONSTRATIVO Sistemas de Amortização

n Juros Amortização

do saldo devedor

Prestação Saldo devedor

0 0,00 0,00 0,00 300.000,00 1 2 3 4 5 0,00

Totais 300.000,00 Sistema de Pagamento Único O devedor paga o Montante(M) que é o capital mais juros compostos( M = C + J) da dívida em um único pagamento ao final de n = 5 períodos. O Montante pode ser calculado pela fórmula: M = C (1+i)n. Uso comum: Letras de câmbio, Títulos descontados em bancos, Certificados a prazo fixo com renda final. Quadro financeiro demonstrativo:

Obs:. O valor dos juros em cada período n é o resultado do cálculo de 4% sobre o saldo devedor do período anterior. Sistema de Pagamentos Variáveis O devedor paga periodicamente valores variáveis de acordo com a sua condição e de acordo com a combinação realizada inicialmente, sendo que os juros do saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período. Uso comum: Cartões de crédito.

Vamos simular o pagamento em 5 meses da dívida de R$ 300.000,00 a uma taxa composta de 4% ao mês. O pagamento da dívida será da seguinte forma: 1º pagamento no final do 1º.mês: R$ 30.000,00 + juros 2º pagamento no final do 2º.mês: R$ 45.000,00 + juros 3º pagamento no final do 3º.mês: R$ 60.000,00 + juros 4º pagamento no final do 4º.mês: R$ 75.000,00 + juros 5º pagamento: No final do 5º.mês: R$ 90.000,00 + juros Quadro financeiro demonstrativo:

Sistema Americano(SA) O devedor paga o Principal em um único pagamento o final. No final de cada período, realiza o pagamento dos juros do Saldo devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os juros do 5º. Período e o Saldo devedor que é o Principal. Algumas conclusões importantes podem ser tiradas do Sistema Americano de Amortização: Os juros são constantes; e o saldo devedor também permanece constante. Quadro financeiro demonstrativo



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Sistema de Amortização Constante(SAC) O devedor paga o Principal em n = 5 pagamentos sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais e prestações consequentemente variáveis e decrescentes. Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação. Mostraremos a seguir alguns cálculos que ajudarão na análise dos problemas relativos a esse sistema de amortização. Dados: F = Valor do financiamento. P = Valor de cada prestação. Q = Cota de Amortização embutida em cada prestação. J = Juros embutidos em cada prestação. n = Número de prestações. i = Taxa de juros compostos adotada no financiamento. Dk = Saldo Devedor em um período K qualquer. Fórmula para o cálculo da Cota de Amortização:

Fórmula para o cálculo do Saldo Devedor em um período k qualquer:

DK = F – (k . Q) Fórmula para o cálculo dos Juros embutidos na prestação em um período k qualquer:

JK = i [ F – ( k – 1) Q ] Fórmula para o cálculo da Prestação em um período k qualquer:

No caso do nosso exemplo inicial a cota de amortização será: Q = 300.000 / 5 → Q = 60.000 Quadro financeiro demonstrativo:

Sistema Price (Sistema Francês) Esta forma de amortização é representada por uma série (anuidade) de prestações constantes(iguais) ao longo de todo período de amortização, que pode ser antecipada, postecipada, imediata ou diferida. Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo. Mostraremos a seguir alguns cálculos que ajudarão na análise dos problemas relativos a esse sistema de amortização. Dados: F = Valor do financiamento. P = Valor de cada prestação. Q = Cota de Amortização embutida em cada prestação. J = Juros embutidos em cada prestação. n = Número de prestações. i = Taxa de juros compostos adotada no financiamento. Dk = Saldo Devedor em um período K qualquer. Fórmula para o cálculo da Prestação constante:

P = F. 1/a(n,i) É bom lembrar que:

1/a(n,i) = é dado encontrado em uma tabela financeira com a denominação Índice da tabela Price. Fórmula para o cálculo do Saldo Devedor imediatamente após o pagamento de uma prestação PK .



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DK = P. a(n-k, i) No caso do exemplo dado o valor da prestação P é: P = 300.000. a(5,4%) P = 300.000. 0,22463 (índice tabelado) P = 67.388,13 Quadro financeiro demonstrativo

Importante: O sistema Price é uma particularidade do Sistema Francês, onde a taxa de financiamento fornecida é nominal e de período geralmente anual, capitalizada mensalmente (maioria dos casos). Em casos onde o período é menor do que aquele fornecido pela taxa nominal, freqüentemente, as prestações tem período mensal. Sistema de Amortização Misto(SAM) Cada prestação é a média aritmética das prestações respectivas no Sistema Price e no Sistema de Amortização Constante (SAC). Uso: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação. A base de cálculo é:

PSAM = (PPrice + PSAC) /2 Contruindo os quadros demonstrativos baseados nas das tabelas anteriores, temos:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. (AUTOR/2012) Um financiamento no valor de R$ 10.000,00 foi feito à taxa de juros compostos de 36% ao ano com capitalização mensal, para ser pago em 12 prestações postecipadas pelo sistema FRANCÊS. Considerando que na tabela PRICE 1/a(12,3) = 0,1 e o fator de atualização de um capital de uma série de pagamentos a(3, 3) = 2,83, julgue os itens abaixo: I - O valor da 5ª prestação é R$ 1.000,00 II - O total pago de juros na operação é superior a R$ 2.000,00 III - O saldo devedor imediatamente após o pagamento da nona prestação é inferior a R$ 2.850,00 SOLUÇÃO: Item I: Primeiramente devemos transformar a taxa nominal dada em efetiva: i = 36% ao ano, com capitalização mensal (nominal). i = 36/12% = 3% ao mês (efetiva). A prestação no sistema Francês (PRICE) é dada por: P = F . 1/a(n, i), sendo F o valor do financiamento e 1/a(n, i) o índice da tabela PRICE. Portanto a prestação será:



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P = 10.000 . 1/a(12, 3); P = 10.000 . 0,1 → P = R$ 1.000,00. Como todas as prestações serão iguais(característica do sistema FRANCÊS), a prestação de número cinco será de R$ 1.000,00. item certo. Item II: O total de juros será dado pela diferença do valor pago pelo financiamento concedido. JTOTAIS = 12P – F; JTOTAIS = 12.000 – 10.000 → JTOTAIS = R$ 2.000,00. O item está errado Item III: Se foram pagas 9 prestações, o saldo devedor será a atualização das 3 prestações restantes do financiamento. O valor atual de uma série de pagamentos é dado pela relação: A = P . a(n, i). Substituindo os valores, teremos: A = 1.000 . a(3, 3); A = 1.000 . 2,83 → A = R$ 2.830,00. O item está certo. RESPOSTA: CERTO, ERRADO, CERTO. 2. (AUTOR/2012) Um financiamento no valor de R$ 6.000,00, feito à taxa de juros compostos de 120% ao ano com capitalização mensal, será pago em 10 prestações postecipadas, pelo sistema de amortização constate (SAC). Considerando as informações dadas, julgue os itens abaixo: I - O valor da quota de amortização será de R$ 600,00. II - O valor da segunda prestação é superior a R$ 1.150,00. III - O saldo devedor imediatamente após o pagamento da sexta prestação é R$ 2.400,00. IV - Os juros embutidos na oitava prestação são inferiores a R$ 180,00. SOLUÇÃO: Item I: Primeiramente devemos transformar a taxa nominal dada em efetiva: i = 120% aa, com capitalização mensal (nominal). i = 120/12% = 10% ao mês (efetiva). A quota de amortização será dada pela relação: Q = F/n , sendo F o valor do financiamento e n o número de prestações. Substituindo os valores: Q = 6.000/10 → Q = R$ 600,00. O item está certo. Item II: Todas as prestações decrescentes do sistema SAC, serão calculadas somando-se a quota de amortização com os juros do saldo devedor imediatamente anterior a prestação que está sendo calculada. A segunda prestação será: P2 = J2 + Q, sendo J2 os juros sobre o saldo devedor anterior, após ter pago a prestação P1. J2 = 10% de (6.000 – 600) = 10% . 5.400 = 540. P2 = 540 + 600 → P2 = R$ 1.140,00. O item está errado. Item III: O saldo devedor é calculado, descontando-

se do financiamento as cotas de amortizações já pagas em cada prestação. Logo após a 6ª prestação já foram pagas 6 cotas de amortizações. Temos então: SD6 = 6.000 – 3.600 → SD6 = R$ 2.400,00. O item está certo. Item IV: Os juros embutidos na 8ª prestação é calculado sobre o saldo devedor deixado após o pagamento da 7ª prestação. SD7= 6.000 – 4.200 → SD7 = R$ 1.800,00. J8 = 10% de SD7 = 10% . 1.800 J8 = R$ 180,00. O item está errado. RESPOSTA: CERTO,ERRADO,CERTO,ERRADO. 3. (CESGRANRIO – CEF/2008) Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestação será (A) 50,00 (B) 52,00 (C) 54,00 (D) 56,00 (E) 58,00 SOLUÇÃO: Todas as prestações decrescentes do sistema SAC, serão calculadas somando-se a quota de amortização com os juros do saldo devedor imediatamente anterior a prestação que está sendo calculada. A segunda prestação será: P4 = J4 + Q, sendo J4 os juros sobre o saldo devedor anterior, após ter pago a prestação P3. Q = F/n → Q = 300/6 → Q = 50 J4 = 4% de (300 – 3. 50) = 4% . 150 = 6. P4 = 50 + 6 → P2 = R$ 56,00. RESPOSTA: ALTERNATIVA D. 4. (CESGRANRIO – CEF/2008) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será: (A) 50,00 (B) 55,00 (C) 60,00 (D) 65,00 (E) 70,00 SOLUÇÃO: A terceira prestação será: P3 = J3 + Q, sendo J3 os juros sobre o saldo devedor anterior, após ter pago a prestação P2. Q = F/n → Q = 200/4 → Q = 50 J3 = 10% de (200 – 2. 50) = 10% . 100 = 10. P3 = 50 + 10 → P2 = R$ 60,00. RESPOSTA: ALTERNATIVA C. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. (FCC – BANESE – TEC. I/2012)



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Uma dívida no valor de R$ 80.000,00 deverá ser liquidada por meio de 100 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data em que a dívida foi contraída. Sabe-se que foi utilizado o Sistema de Amortização Constante (SAC) com uma taxa de 2,5% ao mês. O valor da última prestação é igual a (A) R$ 850,00. (B) R$ 840,00. (C) R$ 820,00. (D) R$ 812,50. (E) R$ 810,50. 2. (FCC – FAZENDA SP – AG. FISCAL/2010) Uma dívida no valor de R$ 40.000,00 deverá ser liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, considerando o valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente igual a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 2a prestação, apresenta um valor de (A) R$ 37.473,15 (B) R$ 36.828,85 (C) R$ 35.223,70 (D) R$ 35.045,85 (E) R$ 34.868,15 3. (CESGRANRIO– PETROBRAS – AUD./2011) Considere um financiamento imobiliário que poderá ser pago, nas mesmas condições, pelo Sistema Francês de Amortização ( SFA ), pelo Sistema das Amortizações Constantes ( SAC ) ou pelo Sistema Americano ( AS ). É correto afirmar que (A) o valor da primeira prestação será maior se escolhido o SFA. (B) a cota de juros paga na primeira prestação terá maior valor se escolhido o SA. (C) escolhido o SAC, as parcelas relativas ao pagamento das cotas de juros aumentam a cada prestação. (D) escolhido o SAC, a última prestação corresponderá à cota de amortização corrigida pela taxa do financiamento. D (E) a última prestação terá o menor valor se escolhido o SA. 4. (CESGRANRIO – BB/2010) Considere um financiamento de R$ 100.000,00, sem entrada, a ser pago em 100 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Sabendo-se que a taxa de juros, no regime de juros compostos, é de 1% ao mês, a prestação inicial, se o prazo de pagamento for duplicado, será reduzida em (A) 100%. (B) 50%. (C) 25%. (D) 10%. (E) 5%. 5. (CESGRANRIO – ANAL. DO FINEP/2011)

Uma empresa de táxi adquiriu um automóvel no valor de R$ 30.107,51, utilizando o Sistema Price de Amortização – Tabela Price. O financiamento foi em 36 meses, a taxa de juros do empréstimo foi de 1% ao mês, e o valor da prestação mensal, R$ 1.000,00. Depois de ser paga a 18ª prestação, a dívida era de R$ 16.398,27. Os sócios combinaram que pagariam mais uma prestação e, em seguida, iriam zerar a dívida. O valor da dívida, depois de paga a 19ª prestação, em reais, é (A) 16.234,29 (B) 16.226,01 (C) 15.570,53 (D) 15.562,25 (E) 15.398,27 6. (CESPE – ANALISTA MINISTERIAL/2012) Considerando que uma dívida de R$ 20.000,00 tenha sido paga, em 5 meses, pelo sistema de amortização constante e que a 3.ª prestação tenha sido de R$ 4.600,00, julgue os itens subsequentes. I - O total juros pago foi igual a R$ 3.200,00. II - A taxa de juros mensais cobrada, nesse caso, foi inferior a 4,8%. III - A 5.ª prestação foi superior a R$ 4.100,00. 7. (CESPE – ANALISTA MINISTERIAL/2012) Marina fez 18 depósitos mensais e consecutivos de R$ 1.220,00 em uma aplicação financeira que paga juros compostos de 1% ao mês. Imediatamente após efetuar o último depósito, ela comprou um veículo cujo preço à vista era igual ao montante de suas aplicações. Esse veículo será pago em 12 prestações mensais, iguais e consecutivas, a juros compostos mensais de 0,8%, vencendo a primeira prestação um mês após a data da compra. Considerando 1,2 e 0,9 como valores aproximados para 1,0118 e 1,008-12, respectivamente, julgue os itens a seguir, a partir da situação descrita. I - As prestações do veículo serão inferiores a R$ 2.000,00. II - Seria mais vantajoso para Marina pagar o veículo à vista pelo valor de R$ 24.800,00. 8. (CESPE – CEF/2010) Um empréstimo no valor de R$ 65000,00 foi feito pelo Sistema Francês(Price), para ser pago em 4 meses com uma taxa de juros anual de 60% e capitalização mensal. Considerando a prestação de R$ 18200,00, a parcela amortizada na segunda prestação foi de: (A) Inferior a R$ 15 300,00 (B) Superior a R$ 15.300,00 e Inferior a R$ 15.400,00 (C) Superior a R$ 15.400,00 e Inferior a R$ 15 500,00 (D) Superior a R$ 15.500,00 e Inferior a R$ 15 600,00 (E) Superior a R$ 15.600,00



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9. (CESGRANRIO – BNDS/2011) Certa empresa contraiu uma dívida no valor de R$ 200.000,00 a ser amortizada em 20 prestações mensais à taxa de 12% a.a., com capitalização mensal. Considerando o Sistema de Amortização Constante (SAC), qual o valor aproximado da prestação paga ao final do 3º mês? (A) R$ 10.000,00 (B) R$ 11.300,00 (C) R$ 11.500,00 (D) R$ 11.800,00 (E) R$ 12.000,00 10. (CESGRANRIO – CEF/2012) Um imóvel de 100 mil reais é financiado em 360 prestações mensais, a uma taxa de juros de 1% ao mês, pelo Sistema de Amortização Francês (Tabela Price), gerando uma prestação de R$ 1.028,61. Reduzindo-se o prazo do financiamento para 240 prestações, o valor de cada prestação é, em reais, aproximadamente, Dado: (1,01) − 120 = 0,3 (A) 1.099,00 (B) 1.371,00 A (C) 1.428,00 (D) 1.714,00 (E) 2.127,00 11.(CESPE – BASA/2010) Acerca de matemática financeira, julgue o item subsequente. I - Se um empréstimo de R$ 1.000,00 for quitado em 10 prestações, mensais e consecutivas, a juros de 2% ao mês, pelo sistema de amortização constante (SAC), e se a primeira prestação vencerá um mês após a contratação do empréstimo, então o valor da terceira prestação será igual a R$ 116,00. 12. (CESPE – BRB/2010) Para aquisição de sua casa própria, um cliente necessita financiar R$ 60.000,00. O financiamento poderá ser feito pelo sistema de amortização constante (SAC) ou pelo sistema de amortização francês (PRICE). Em cada um desses sistemas, a prestação mensal é composta pelo valor determinado pelo sistema e mais R$ 25,00 a título de seguro de financiamento. A taxa de juros é de 1% ao mês, o prazo do financiamento é de 10 anos e não há correção monetária. Com relação à situação apresentada, julgue os itens seguintes, considerando 1,1268 e 3,3 como valores aproximados de (1,01)12 e (1,1268)10, respectivamente. I - Para que a primeira prestação tenha o menor valor possível, o cliente deverá optar pelo SAC. E II - No SAC, o valor da 26.ª prestação é igual ao dobro da amortização. III - Pelo sistema francês, o valor da 98.ª prestação será inferior a R$ 875,00.

IV - Pelo sistema francês, o total de juros pagos no financiamento é superior a R$ 40.000,00. 13. (CESPE – BRB/2011) Tendo em vista que um empréstimo no valor de R$ 32.000,00, que foi entregue no ato, sem prazo de carência, será amortizado pelo sistema Price, à taxa de juros de 60% ao ano, em 8 prestações mensais e consecutivas, e considerando 0,68 e 1,80 valores aproximados para 1,05-8 e 1,0512, respectivamente, julgue os itens subsequentes. I - Se o saldo devedor após o pagamento de segunda prestação for de R$ 25.030,00, então o saldo devedor após o pagamento da terceira prestação será inferior a R$ 21.250,00. II - A taxa efetiva anual do empréstimo é superior a 75%. III - A amortização correspondente à primeira prestação será superior a R$ 3.500,00 14. (CESPE – BRB/2011) Uma agência bancária, ao emprestar a quantia de R$ 60.000,00 a uma empresa, entregou o valor no ato e concedeu à empresa 3 anos de carência, sem que os juros desse período ficassem capitalizados para serem pagos posteriormente. Com base nessa situação e sabendo que esse empréstimo será pago pelo sistema de amortização constante (SAC), em 3 anos e à taxa de juros de 10% ao ano, julgue os itens subsecutivos. I - O valor da última prestação a ser paga será superior a R$ 23.500,00. II - No período de carência, a empresa nada pagará ao banco. III - O total de juros pagos será superior a R$ 3.000,00.

15. (CESGRANRIO - CAIXA/2012) O máximo da remuneração mensal que um indivíduo pode comprometer para pagamento das prestações de empréstimos é de R$ 2.000,00 e, em função da idade, tabelas atuariais limitam o prazo do empréstimo em 100 meses. Considerando taxa de juros de 1% ao mês, qual é o valor da amortização para o maior empréstimo que ele pode tomar pelo Sistema de Amortização Constante (SAC)? (A) R$ 1.000,00 (B) R$ 1.300,00 (C) R$ 1.500,00 (D) R$ 1.700,00 (E) R$ 2.000,00 16. (CESGRANRIO - BASA/2013) Um empréstimo deverá ser pago em quarenta e nove prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação trinta dias após a liberação do dinheiro. O financiamento foi feito pelo Sistema de Amortização Constante, SAC, com taxa mensal de juros de 1%. Se a vigésima quinta prestação é de R$



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5.000,00, o saldo devedor, em reais, após o pagamento da quadragésima oitava prestação é de (A) 4.000 (B) 4.080 (C) 4.800 (D) 4.880 (E) 5.000

GABARITO

1-C 2-B 3-D 4- C 5-D

6-E,E,C 7-C,E 8-E 9-D 10-A

11-C 12-E,C,C,E 13-E,C,E 14-E,E,C 15-A

16-A

ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS Introdução Alguns conceitos básicos, relatados a seguir, serão importantes para entedermos o funcionamento das alternativas de investimentos. Taxa Mínima de Atratividade (TMA) É a taxa mínima de juros que uma proposta de investimento deve oferecer para que o projeto de investimento seja atrativo. O investidor estabelece a sua taxa mínima de retorno para que determinado investimento seja atrativo, em detrimento de não realizar outros projetos. Valor Presente Líquido(VPL) O Valor Presente Líquido é o valor monetário na data inicial do fluxo de caixa (data 0), de todas as entradas



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e saídas de recursos financeiros, descontadas a uma taxa de juros determinada ou a taxa mínima de atratividade. Taxa Interna de Retorno (TIR) A taxa interna de retorno é a taxa de juros que torna nulo o VPL do fluxo de caixa analisado. Payback Refere-se ao prazo necessário para recuperar um investimento, sendo parâmetro para avaliar a atratividade relativa às opções disponíveis para investimento. Este critério torna-se bastante relevante em momentos de instabilidade econômica (variação cambial, inflação...). Análise da viabilidade de um projeto através da Taxa Interna de Retorno (TIR) A Taxa Interna de Retorno de um investimento pode ser: ● Maior do que a Taxa Mínima de Atratividade: significa que o investimento é economicamente atrativo. ● Igual à Taxa Mínima de Atratividade: o investimento está economicamente numa situação de indiferença. ● Menor do que a Taxa Mínima de Atratividade: o investimento não é economicamente atrativo, pois seu retorno é superado pelo retorno de um investimento sem risco. Entre vários investimentos, o melhor será aquele que tiver a maior Taxa Interna de Retorno. Cálculo matemático da Taxa Interna de Retorno Matematicamente, a Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que torna o valor presente das entradas de caixa igual ao valor ao presente das saídas de caixa do projeto de investimento. A TIR é a taxa de desconto que faz com que o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto seja zero. Um projeto é atrativo quando sua TIR for maior do que o custo de capital do projeto. Exemplo: Considere um projeto de cujo investimento inicial, de R$ 1.000,00, em 1 ano houve um retorno de R$ 1.100,00. Logo a TIR para esse projeto é: Como, para uma TIR, o valor atual dos fluxos do projeto deverá ser igual ao investimento inicial, vem: 1.000,00 = 1.100,00 / (1 + TIR) 1 + TIR = 1,1 TIR = 10% De forma geral o projeto deverá ser aceito se a taxa de desconto for inferior TIR e recusado se for superior TIR Considerações finais sobre a avaliação de alternativas de investimento Como uma ferramenta de decisão, a TIR é utilizada para avaliar investimentos alternativos. A alternativa de investimento com a TIR mais elevada é normalmente a preferida; também deve se levar em consideração de que colocar o investimento em um banco é sempre uma alternativa. Assim, se nenhuma das alternativas de investimento atingir a taxa de rendimento bancária ou a Taxa Mínima de Atratividade (TMA), este investimento não deve ser realizado.

Normalmente a TIR não pode ser resolvida analiticamente, e sim apenas através de iterações, ou seja, através de interpolações com diversas taxas de retorno até chegar àquela que apresente um VPL (Valor presente liquido) igual a zero; contudo as calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas estão preparadas para encontrar rapidamente este valor. Um defeito crítico do método de cálculo da TIR, é que múltiplos valores podem ser encontrados se o fluxo anual de caixa mudar de sinal mais de uma vez (ir de negativo para positivo e para negativo novamente, ou vice-versa) durante o período de análise. Para os casos de alteração freqüente de sinal deve utilizar-se a (Taxa externa de retorno - TER). Apesar de uma forte preferência acadêmica pelo VPL (Valor presente liquido), pesquisas indicam de que executivos preferem a TIR ao invés do VPL. Aparentemente os gerentes acham intuitivamente mais atraente para avaliar investimentos em taxas percentuais ao invés dos valores monetários do VPL (Valor presente liquido). Contudo, deve-se preferencialmente utilizar mais do que uma ferramenta de análise de investimento, e todas as alternativas devem ser consideradas em uma análise, pois, qualquer alternativa pode parecer valer a pena se for comparada com as alternativas suficientemente ruins. Deve-se ter em mente que o método da TIR considera que as entradas, ou seja, os vários retornos que o investimento trará, serão reinvestidos a uma taxa igual a taxa de atratividade informada. A TIR é um método que por vezes distorce a análise do investimento, por isso deve-se sempre utilizar o método VPL (Valor presente liquido) para se ter uma certeza maior do investimento. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. CESGRANRIO – CEF/2008) A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto.

Período (anos) 0 1 2 Valor (milhares de reais) - 410 P P

Para que a taxa interna de retorno anual seja 5%, o valor de P, em milhares de reais, deve ser: (A) 216,5 (B) 217,5 (C) 218,5 (D) 219,5 (E) 220,5 SOLUÇÃO: Para cálculo que envolve a taxa interna de retorno, devemos considerar que o valor atual das entradas é igual ao valor atual das saídas em qualquer data focal. A ENTRADAS = A SAÍDAS Iremos considerar a data focal 2: P(1 + 0,05)1 + P = 410(1 + 0,05)2 1,05P + P = 410.1,1025 2,05P = 452,025 → P = 220,5 RESPOSTA: ALTERNATIVA E.



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2. (CESGRANRIO – CEF/2008) A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de certo projeto.

Valor (milhares de reais) - 50 35 22

Período(anos) 0 1 2

Analisando o fluxo acima, julgue os itens abaixo: I - A taxa interna de retorno anual é igual a 10%. II – Se a Taxa Mínima de Atratividade estabelecida para este projeto for de 8% ao ano, então o projeto deve ser aceito. SOLUÇÃO: Item I: Como foi dito na questão anterior, para cálculo que envolve a taxa interna de retorno(i), devemos considerar que o valor atual das entradas é igual ao valor atual das saídas em qualquer data focal. AENTRADAS = ASAÍDAS Iremos considerar a data focal 2: 35(1 + i)1 + 22 = 50(1 + i)2 Chamando (1 + i) de x e substituindo na equação: 35x + 22 = 50x2 50x2 -35x -22 = 0 Resolvendo a equação do 2º grau, teremos: x1 = 1,1 e x2 = - 0,4 Considerando apenas o valor positivo e substituindo x por (1 + i): 1 + i = 1,1 → i = 0,1 → i = 0.1.100% = 10% ao ano. Item II: A Taxa Interna de Retorno sendo maior do que a Taxa Mínima de Atratividade indica que o investimento é economicamente atrativo, portanto deve ser aceito. RESPOSTA: CERTO, CERTO.

3. (AUTOR/2014) Considere o seguinte fluxo de caixa:

PERIODO FLUXO DE CAIXA 0 (R$ 100.000,00) 1 R$ 15.000,00 2 R$ 16.000,00 3 R$ 25.000,00 4 R$ 20.000,00 5 R$ 40.000,00 6 R$ 32.000,00 7 R$ 51.000,00

Pelo método do Payback simples, o número de anos necessários para o retorno do capital investido será de (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

SOLUÇÃO: Basta fazer a soma dos valores absulutos das entradas, sem nenhuma correção, até que se atinja o valor total da saída:

1 R$ 15.000,00 2 R$ 16.000,00 3 R$ 25.000,00 4 R$ 20.000,00 5 R$ 40.000,00

total R$ 116.000,00 Portanto, o número de anos necessários para o retorno do capital investido será de 5 anos. RESPOSTA: ALTERNATIVA D.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. (CESGRANRIO – BB/2011) Uma empresa oferece aos seus clientes desconto de 10% para pagamento no ato da compra ou desconto de 5% para pagamento um mês após a compra. Para que as opções sejam indiferentes, a taxa de juros mensal praticada deve ser, aproximadamente, (A) 0,5%. (B) 3,8%. (C) 4,6%. (D) 5,0%. (E) 5,6%. 2. (CESPE – BRB/2011) Julgue os itens seguintes, referentes a taxa de retorno e avaliação de alternativas de investimento. I - Considerando que o financiamento de R$ 5.000,00, à taxa de juros compostos de 2% ao mês e pagamento em duas parcelas mensais, tenha permitido a implantação de um projeto com retorno de R$ 4.000,00 em cada um dos dois meses, e adotando 0,98 e 0,96 como valores aproximados de 1,02-1 e 1,02-2, respectivamente, é correto afirmar que o valor presente líquido do referido projeto será superior a R$ 2.750,00. II - A escolha de um projeto envolve a comparação das alternativas de investimento e dos parâmetros de rentabilidade. Nesse sentido, um projeto será financeiramente recomendável em relação a outros investimentos se a taxa mínima de atratividade for superior à taxa interna de retorno. III - Na comparação de dois projetos mutuamente excludentes, escolhe-se o projeto com maior VPL. IV – Para se estabelecer o valor da TMA é importante levarmos em conta o custo de oportunidade, o risco do negócio e a liquidez do investimento entre outros parâmetros.

3. (CESGRANRIO – CEF/2012)



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O setor financeiro de uma empresa, que tem taxa mínima de atratividade de 10% ao ano, avalia duas alternativas: montar um laboratório fotográfico ou terceirizar o serviço de fotografias. Para a opção de montar o laboratório fotográfico, o investimento inicial, os custos pagos ao final de cada ano, o tempo de utilização do laboratório e a informação adicional do valor presente liquido, (VPL), do fluxo de caixa, estão apresentados no quadro a seguir.

No caso de terceirizar o serviço, o custo de manutenção fica por conta da empresa contratada. É mais atraente terceirizar se, e somente se, o custo operacional anual dessa opção, em reais, for, no máximo, de Dado: (1,10)−4 = 0,68 (A) 42.240,10 (B) 41.250,10 (C) 33.000,08 (D) 22.060,40 (E) 11.760,00 4. (CESPE – ANALISTA MINISTERIAL/2012)

data (em anos) fluxo de caixa (em milhares de reais)

0 - 100 1 20 2 90

Considerando 0,95, 0,91, 0,87 e 0,76 como valores aproximados para 1,05-1, 1,05-2, 1,15-1 e 1,15-2, respectivamente, julgue os itens que se seguem, com base no quadro acima, que apresenta as alternativas de investimento para determinada empresa. I - O valor atual líquido na data zero do investimento, à taxa anual de desconto de 5%, é superior a R$ 9.000,00. II - Se a taxa anual de desconto for de 15%, a empresa deve rejeitá-la, pois, nesse caso, os ganhos não cobrem a taxa de aplicação no mercado. III - A taxa interna de retorno do investimento é inferior a 8%.

5. (AUTOR/2013) Considere o seguinte fluxo de caixa:

Pelo método do Payback simples, o número de anos necessários para o retorno do capital investido será de (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (D) 6

6. (CESGRANRIO – PETRO. - AUDITOR/2011) Use a tabela, se necessário, para resolver a questão.

Uma empresa deve decidir quanto à alternativa de investimento que consiste em um desembolso inicial de R$ 150.000,00 e 12 entradas anuais líquidas e postecipadas de R$ 20.000,00. Se a taxa de atratividade mínima é de 10% ao ano, é correto afirmar que a empresa (A) deverá realizar o investimento porque terá lucro de R$ 90.000,00. (B) deverá realizar o investimento porque a taxa interna de retorno é de 10% ao ano. (C) não deverá realizar o investimento porque o valor presente líquido do fluxo é negativo. (D) não deverá realizar o investimento porque a taxa de risco é muito alta. (E) não deverá realizar o investimento porque não dispõe dos recursos para o desembolso inicial.

7. (CESGRANRIO – PETRO. - AUDITOR/2010) Para entrar em um determinado projeto, um investidor deseja obter uma taxa mínima de atratividade de 1,5% o mês. O projeto será economicamente inviável para este investidor, se a Taxa Interna de Retorno (TIR), ao mês, for (A) 1,3% (B) 1,7%



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(C) 1,8% (D) 2,0% (E) 2,5%

GABARITO

1-E 2-C,E,C,C 3-B 4-E,C.C 5-D

6-C 7-A

matemÁtica prof. pedro menzel de matemÁtica... · normalmente nos problemas, um indicativo desse...

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