MATEMÁTICA

Prof. Carlos Alexandre

Álgebra

Em matemática, álgebra é o ramo que estuda a manipulação formal de equações, operações matemáticas, polinômios e estruturas algébricas.

A álgebra é um dos principais ramos da matemática pura, juntamente com a geometria, topologia, análise combinatória, e Teoria dos números.

Álgebra

Para representar os problemas da vida real em linguagem matemática, muitas vezes utilizamos letras que substituem incógnitas (os valores que você não conhece, e quer descobrir).

É aí que entram os famosos x, y,z, etc. O ramo da matemática que utiliza símbolos (normalmente letras do nosso alfabeto latino e do grego) para a resolução de problemas é chamado álgebra.

Álgebra

A álgebra elementar, que frequentemente faz parte do currículo no ensino secundário, introduz o conceito de variável representativa de números.

Expressões usando estas variáveis são manipuladas usando as regras de operação aplicáveis a números, como a adição, subtração, multiplicação e radiciação.

Estes conceitos podem ser usados, por exemplo, na Resolução de equações.

Álgebra

A álgebra elementar é a forma mais básica de álgebra. É ensinada a quem presume-se ter pouco ou nenhum conhecimento formal de matemática além da aritmética. Em aritmética, temos apenas números e suas operações aritméticas, como +, −, × e ÷.

Em álgebra, os números são frequentemente denotados por símbolos, como a, x, y ou z. Isso é útil porque:

Álgebra

1. Permite a formulação geral das leis aritméticas (tais como a + b = b + a para quaisquer a e b) e, portanto, é o primeiro passo para uma exploração sistemática das propriedades do sistema dos números reais.

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2. Permite a referência a números "desconhecidos", a formulação de equações e o estudo das formas para as resolver.

(Por exemplo, "encontrar um número x tal que 3x + 1 = 10" ou, indo um pouco mais longe, "encontrar um número x tal que ax+b=c").

Este passo leva à conclusão de que não é a natureza dos números específicos que permitem resolver a equação, mas sim a natureza das operações envolvidas.

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3.Permite a formulação de relações funcionais. Por exemplo, "se vender x bilhetes, terá um lucro de 3x menos 10, ou seja: f(x) = 3x − 10, onde f é a função, e x é o número ao qual a função é aplicada.

Igualdade

• Vamos pensar na seguinte situação: fomos ao supermercado para comprar uma lata de óleo que custa R$ 2,50 e quatro latas de extrato de tomate, que custam R$ 0,60 cada. Quanto pagamos ao todo? Para resolver esta questão, podemos expressar esta situação a partir de uma sentença matemática: 2,50 + 0,60 · 4 = 4,90. Nesta expressão aparece o sinal =.

• Aqui diremos que se trata de uma igualdade.

Igualdade

• Assim, identidade pode referir-se a uma igualdade que permanece verdadeira quaisquer que sejam os valores das variáveis que nela apareçam, ao contrário de uma equação, que pode ser verdadeira apenas sob condições mais particulares.

Equação

• A palavra equação vem da palavra igual.

Exemplo: Observemos a seguinte sentença matemática: 2x + 3 = 13

• Adotando alguns valores para x, observe que a igualdade só se verificou para x = 5.

Produtos Notáveis

• Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma geral para sua resolução. Utilizando os produtos notáveis, certamente aceleraremos o cálculo, permitindo o progresso em temas posteriores da matemática.

Produtos Notáveis

• A propriedade distributiva da multiplicação foi determinante para se chegar ao desenvolvimento dos produtos levando-os a sua fase reduzida. Jamais deveremos deixar de buscar conhecimentos mais profundos, como demonstrações de teoremas a fim de compreendermos melhor os caminhos trilhados para se chegar às pequenas fórmulas, tão úteis, como as conhecemos hoje.

Produtos Notáveis

• Todo o produto notável é uma identidade, já que a igualdade sempre se verificará para quaisquer valores atribuídos as variáveis. Por isso sempre será utilizado o sinal de identidade.

1. O quadrado da soma de dois termos

• Verifiquem a representação e utilização da propriedade da potenciação em seu desenvolvimento.

• (a + b)2 = (a + b) . (a + b) • Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.• Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a

propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

1. O quadrado da soma de dois termos

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

2. O quadrado da diferença de dois termos

• Seguindo o critério do item anterior, temos:• (a - b)2 = (a - b) . (a - b)• Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.• Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a

propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

2. O quadrado da diferença de dois termos

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

3. O produto da soma pela diferença de dois termos

• Se tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, poderemos transformá-lo numa diferença de quadrados. O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

4. O cubo da diferença de dois termos

• Acompanhem o caso seguinte:• (a – b)3 = (a - b).(a – b)2 → potência de

mesma base.• (a – b).(a2 – 2ab + b2) → (a - b)2• Aplicando a propriedade distributiva como nos

casos anteriores, teremos:• (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

4. O cubo da diferença de dois termos

• O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo.

5. O cubo da soma de dois termos

• Temos que a expressão (a + b)³ pode ser escrita da seguinte forma: (a + b)² * (a + b). A decomposição permite aplicarmos o quadrado da soma na expressão (a + b)², multiplicando o resultado pela expressão (a + b). Veja:

• (a + b)² = a² + 2ab + b² → (a² + 2ab + b²) * (a + b) = a²*a + a²*b + 2ab*a + 2ab*b + b²*a + b²*b a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ → a³ + 3a²b + 3ab² + b³

5. O cubo da soma de dois termos

• Regra Prática

“O cubo do primeiro termo mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo mais o cubo do segundo termo.”

6. Quadrado da soma de três termos

• É igual ao quadrado do primeiro termo, mais o quadrado do segundo termo, mais o quadrado do terceiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo terceiro termo, mais duas vezes o produto do segundo termo pelo terceiro termo.

• Exemplo:• (a + b + 3)2 = a2 + b2 + 9 + 2ab +6a +6b

EXERCÍCIOS