Matemática Teoria e Aplicações

Anderson Dias Gonçalves 2007

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TODOS OS DIREITOS RESERVADOS – Este material didático foi desenvolvido única e exclusivamente para o uso nas aulas de Matemática

ministradas pelo Prof. Anderson Dias Gonçalves.

A autorização para a utilização deste material por outros professores deverá ser concedida pelo autor.

Contato: andersonmatematico@gmail.com

Copyright© Anderson Dias Gonçalves 2007.

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O AUTOR

Anderson Dias Gonçalves Licenciado em Matemática pelo Centro Universitário de Formiga – UNINFOR, pós-graduado em Matemática e Estatística pela UFLA, pós-graduado em Ensino da Matemática pelo UNINFOR, mestre em Matemática pela Universidade Vale do Rio Verde. Professor do Instituto Superior de Ensino J. Andrade, Faculdade de Ciências Econômicas, Administrativas e Contábeis de Divinópolis-FACED e Instituto Nossa Senhora do Sagrado Coração – INSSC.

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PROCESSOS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MÉTODO “EPEO”

ntender o problema -- “Entrar no problema”.

• Ve

Er o que se pede

• Relacionar as incógnitas • Identificar as informações e as condições dadas no problema e distinguir o que

não é necessário. Ver se falta qualquer informação. A informação que falta é um fato de conhecimento geral?

• Esboçar um gráfico ou traçar um diagrama da situação. • Formular uma descrição verbal da relação entre todas as grandezas. • Atribuir notação adequada às quantidades dadas e às incógnitas. • Formular uma estimativa do que pensa que será a solução final.

lanejar um Método para a Solução. -- "Pensar, antes de agir”.

P• Realçar seu gráfico ou diagrama, conforme se afigure adequado. • Achar a fórmula que descreve a situação. • Decidir se a tecnologia pode auxiliar no todo ou em parte da solução. • Construir uma tabela. • Examinar problemas análogos para ver se suas técnicas de resolução são

aplicáveis. • Procurar um padrão. • Trabalhar em caminho inverso. • Começar com um caso especial ou mais simples, a fim de ter uma idéia de como

abordar o problema. • Introduzir uma relação entre os dados e as incógnitas. • Separar o problema em partes que não interceptam e resolver cada caso

individualmente.

xecutar o plano de resolução. "Trabalhar com segurança”.

• Manter o registro preciso de seu trabalho, fazer todos os cálculos necessários de acordo com o plano e escrever todos os detalhes.

E• Verificar cada etapa de sua solução e conferir o resultado final. (Se utilizar uma

tabela para resolver o problema, procure conferir s solução analiticamente. Se escolher o processo analítico verifique por um processo gráfico.).

rigem do problema. -- "Cheque Mate”.

• Sua solução dá a resposta à questão original?

O • Sua solução tem sentido à vista da situação original? • Há uma forma mais simples de resolver o problema? • Pode utilizar essa técnica ou esse resultado em outro problema?

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COMO ESTUDAR MATEMÁTICA? 1) Estudando Matemática: No estudo da Matemática, o material aprendido em um dia se baseia em material estudado anteriormente. É preciso manter-se atualizado com o curso, dia-a-dia. 2) Fazendo um Plano: Faça seu próprio plano de curso agora! Determine o número de horas semanais a serem dedicadas ao estudo da Matemática. Uma boa orientação consiste em estudar de duas a quatro horas para cada hora de aula. 3) Assimilando o Material: • Antes de assistir à aula, leia a parte do texto que o professor está usando

em seu curso, que será abordado naquela aula, dando especial atenção às definições, aos teoremas, fórmulas e resumos. Comparecendo à aula preparado, o estudante se beneficiará muito mais com a apresentação do professor.

• Assista a todas as aulas e não chegue atrasado. Se tiver de faltar a uma aula, recorra às notas de um colega ou procure a monitoria (caso exista). Procure aprender o assunto lecionado na aula a que faltou antes de assistir à próxima aula.

• Tome nota da aula, com ênfase as sugestões e indicações do professor sobre o material importante. Em seguida, após a aula, logo que possível, leia as notas, acrescentando as explicações necessárias para tornar as notas compreensíveis.

4) Trabalho em Casa: Aprender Matemática equivale a adquirir qualquer outra habilidade. A prática sob a forma de exercícios para casa, é indispensável para desenvolver a compreensão. Fazendo o trabalho em casa enquanto os conceitos estão frescos em sua memória, o leitor aumentará as chances de reter informações. 5) Escolhendo um Companheiro de Estudo: Ao encontrar dificuldades em um problema, é conveniente trabalhar em conjunto com um colega. O trabalho em grupo é uma técnica eficiente de estudo. Mesmo no caso de o estudante estar mais dando auxílio do que recebendo, verificará que ensinar os outros é uma excelente maneira de melhorar a compreensão dos conceitos Matemáticos. 6)Fazendo uma Biblioteca de Matemática: Forme uma biblioteca que possa servir para o curso que você está fazendo e para cursos futuros. Mesmo após terminar o curso, é aconselhável conservar este livro, que poderá ser útil não só em classes futuras, mas também como preparo para exames de pós-graduação, concursos, etc. Os manuais de software e tecnologia constituem acréscimos valiosos à sua biblioteca de Matemática.

vi

7) Manter-se Atualizado com o Trabalho: Não se deixe ficar par trás no curso. Se tiver tendo dificuldade, procure ajuda imediatamente. Procure o professor ou seu assistente, recorra ao serviço de monitoria, converse com seu colega, apele para outros recursos de estudo - faça alguma coisa. A dificuldade em um capítulo de seu livro ou apostila muito provavelmente se refletirá no estudo de capítulos subseqüentes. 8) Confira seu Trabalho: Saber conferir seu trabalho constitui uma parte importante do aprendizado de Matemática e é particularmente útil para testar situações. Uma maneira de verificar seu trabalho é perguntar: "Minha resposta tem sentido? "ou "Está é a resposta que eu esperava obter? ", no contexto de um problema específico. Com este processo simplesmente, o estudante poderá se sua resposta tem, ou não, o sinal correto (positivo ou negativo) ou a grandeza correta. Outras formas de verificar seu trabalho são estudar em grupo e comparar as respostas, utilizar tecnologia ou um método diferente de resolução. 9) Estudando para a Prova: Se o estudante manteve em dia com o trabalho e seguiu as sugestões dadas aqui, está quase pronto para a prova. Para auxiliá-lo no preparo final, reveja o Resumo do Capítulo, faça os Exercícios de Revisão. Para a prática adicional em certas áreas, o estudante sempre pode refazer os exercícios para casa ou os exercícios que não foram marcados. Analise seu trabalho para detectar possíveis erros. 10) Fazendo a Prova: A maioria dos Professores recomenda que não se estude até o momento de enfrentar a prova, pois isto pode tornar o estudante ansioso. O melhor remédio para controlar a ansiedade durante as provas é um bom preparo. Iniciando o teste, leia cuidadosamente a orientação e procure trabalhar metodicamente. A presa faz com que o estudante cometa erros ou descuido. Lembre-se também de que não há regra que mande resolver os problemas na ordem em que eles são dados. O estudante deverá escolher a ordem que lhe parecer mais conveniente. Em geral, fazer o primeiro os que se afiguram mais fáceis reforçará sua confiança. Se terminar cedo, gaste alguns minutos para conferir sua prova. 11) Aprendendo com os Erros: Quando o estudante recebe de volta sua prova, deve analisar os erros cometidos. Se não compreender determinada correção, procure o professor ou fale com um colega. Entender os erros cometidos evitará sua repetição. Tenha um bom curso, e lembre-se: "Você pode, você consegue e você merece.”

Dúvidas, críticas e sugestões é :21 andersonmatematico@gmail.com

Capítulo 1 CONJUNTOS

A matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens.

Renné Descartes 1.1 INTRODUÇÃO

Introduziremos nesse capítulo a linguagem de Conjuntos que será utilizada sistematicamente nos capítulos posteriores. Todo o estudo sobre funções está solidificado sobre a teoria dos conjuntos.

Por esta razão vamos dar uma atenção especial na linguagem utilizada para representação e operações de Conjuntos. 1.2 CONJUNTOS

A noção de conjunto é a mais simples e fundamental da Matemática, pois a partir dela podemos expressar todos os conceitos matemáticos.

Um conjunto (ou coleção) é formado de objetos, chamados os seus elementos. A relação

básica entre um objeto e um conjunto é a relação de pertinência. Quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A , dizemos que x pertence a A e escrevemos: 1

Ax∈

Se, porém x não é um dos elementos do conjunto A , dizemos que x não pertence a A e

escrevemos: Ax∉

Um conjunto A fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra

que permita decidir se um objeto arbitrário x pertence ou não a A . Podemos definir Conjuntos de diversas maneiras, entre elas:

• Por extensão. Por uma listagem de seus elementos, escritos entre chaves e separados por

vírgula ou ponto-e-vírgula. }5,3,1{=A

• Por compreensão. Atribuindo uma característica comum a todos os seus elementos.

sete} quemenor ímpar número um é /{ xxB =

• Através de Diagramas (diagrama de Venn).

•1 •3 •5

1 Curso de Análise – Elon Lages Lima

Matemática Aplicada 8 1.2.1 - Principais Conjuntos Numéricos

O conjunto dos números naturais será representado pelo símbolo . Portanto temos:

,...3,2,1 N

,...}3,2,1{=N

O conjunto dos números inteiros (positivos, negativos e zero) será representado pelo símbolo Z . Assim temos:

,...}3,2,1,0,1,2,3{..., −−−=Z

O conjunto Q , dos números racionais, é formado pelas frações qp

, onde e pertencem

a

p q

Z , sendo . Em símbolos temos: 0≠q

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≠∈∈= 0,,/ qZqZpqpQ

Os números racionais podem ser representados dos seguintes modos: 1 - Decimal finito:

75,147=

2 - Decimal infinito

....3333,031=

No segundo modo temos as chamadas dízimas periódicas. Números racionais que

expressos na forma de decimal resultam em números com casas decimais infinitas. Efetuar a divisão e encontrar dízimas periódicas não há dificuldades; porém fazer a

operação inversa requer um pouco mais de trabalho. A fração que dá origem a uma dízima periódica recebe o nome de fração geratriz. Veja os exemplos abaixo: Exemplo1. Encontre a fração geratriz da dízima . ...555,0

Seja então ...555,0=x x é uma fração geratriz na forma qp

. Algebricamente podemos realizar

sem perda de generalidade algumas operações com x . Vejamos:

...555,0=x (multiplicando os dois termos por 10) ...555,510 =x (podemos separar a parte inteira, da parte decimal)

...555,0510 +=x (sabemos que ) ...555,0=x

9559

510510

=→=

=−+=

xx

xxxx

A fração geratriz da dízima periódica é ...555,095

.

9Capítulo 1 – Conjuntos Uma dízima periódica possui períodos, podendo ser simples ou composto. Veja o exemplo

abaixo com os principais elementos de uma dízima. Exemplo 2. Seja o número . Temos o seguinte: ...4565656,33 : representa a parte inteira da dízima (I); 4 : representa o anti-período da dízima, ou seja, a parte que não se repete aos a vírgula (A); 56 : representa a parte periódica composta da dízima, nesse caso, período dois (2). No exemplo 1 o período da dízima é simples (1). Vamos encontrar a fração geratriz da dízima . De forma análoga ao exemplo 1, temos:

...4565656,3

...4565656,3=x (multiplicando por 10 os dois termos) ...565656,3410 =x (I) (multiplicando por 100 os dois termos)

...5656,34561000 =x (II) (vamos agora resolver o sistema linear formado por (I) e (II))

⎩⎨⎧

==

)...(5656,3410)...(5656,34561000

IxIIx

(subtraindo II de I)

3422990 =x

4951711

9903422

==x que é a fração geratriz da dízima ...4565656,3

Regra prática para encontrar a fração geratriz

..00...999

IAIAP − (1)

onde: I : parte inteira da dízima periódica; A :anti-período da dízima periódica; P :parte periódica da dízima;

...999 : um(1) nove para cada período; ...00 : um(1) zero para cada ante-período.

Exemplo 3. Encontre a fração geratriz da dízima dada por ...4565656,3

3=I 4=A 56=P

Aplicando a fórmula (1) temos:

4951711

9903422

990563456

..00...999==

−=

− IAIAP

Assim como existem números decimais que podem ser transformados em fração, com

numerador e denominador inteiros, há os que não admitem tal representação. O número cuja representação não pode ser transformada em uma fração é um número

irracional, e seu conjunto é representado por Ι . Veja alguns exemplos:

• O número não é uma dízima periódica, pois os algarismos depois da vírgula não se repetem.

1....0,21211211

• Os números ...4142136,12 = , ...7320508,13 = e ...141592,3=π , por não apresentarem representação infinita periódica, também são números irracionais.

Matemática Aplicada 10 Os conjuntos numéricos , N Z e cumprem as relações de inclusão e .

Abreviadamente, temos . Q ZN ⊂ QZ ⊂

QZN ⊂⊂ 1.2.1.1 – O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS.

O conjunto formado pelos números racionais ( )Q e irracionais ( )Ι é chamado de conjunto dos números reais, e é representado por R . Em outras palavras podemos dizer que:

Ι∪= QR

Podemos representar o conjunto dos Reais em uma reta que chamamos Reta Real, veja a figura abaixo. Nela podemos representar todo e qualquer número real.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Complete com ou ∉ ∈ a) N___7− b) Q___2

c) Ι___21

d) Q___49

e) Q___....16666,0 f) R___64− g) Q___232,3 h) Z___273 − 2) Determine, por extensão, os seguintes conjuntos: a) { } 41/ ≤≤∈ xNxb) { } 33/ ≤<−∈ xZxc) { }50/ <≤∈ xZxd) { } 3/ −≤∈ xNxe) { } 40/ <≤∈ xZx 3) Encontre as frações geratrizes para cada uma das dízimas abaixo. a) ...4333,2b) ...144,0c) ...31,5343434d) ..0,2919191.e) ...4676767,3

4) Seja ba

a fração geratriz da dízima . Qual a dízima periódica equivalente à fração ...363636,1

ab

?

11Capítulo 1 – Conjuntos 1.3 – SUBCONJUNTOS

Dados dois conjuntos A e B , dizemos que A é subconjunto de B quando todo elemento de A é também elemento de B . Para indicar este fato, usa-se a notação2

BA ⊂

Quando BA ⊂ , diz-se também que A é parte de B , que A está incluído em B , ou

contido em B . A relação BA ⊂ chama-se relação de inclusão. A relação de inclusão BA ⊂ é Reflexiva - BA ⊂ , seja qual for o conjunto A; Anti-simétrica – se BA ⊂ e AB ⊂ , então BA = ; Transitiva – se BA ⊂ e , então . CB ⊂ CA ⊂ 1.4 - OPERAÇÃO ENTRE CONJUNTOS

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto, designado por BA∪ , formado por todos os elementos que pertencem a A ou B . Em outras palavras:

{ }BxAxxBA ∈∈=∪ ou /

Exemplo 4. Sejam os conjuntos e , então . {1,2,3,5}=A {3,4,5,7}=B ,7}{1,2,3,4,5=BA ∪

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto designado por BA∩ , formado pelos elementos comuns a A e B . Assim, afirmar que BAx ∩∈ significa dizer que se tem, ao mesmo tempo, e . Em outras palavras: Ax∈ Bx∈

{ }BxAxxBA ∈∈=∩ e / Exemplo 5. Sejam os conjuntos e então {1,2,3}=A }{2,3,4,5,6=B {2,3}=BA ∩ .

Quando a interseção entre os conjuntos A e B é um conjunto vazio, ou seja, { }=∩ BA , A e B é chamado de conjuntos disjuntos. Exemplo 6. Sejam os conjuntos e então {1,2,3}=A {4,5,6}=B {}=BA ∩ .

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto BA − , formado pelos elementos de A que não pertencem a B . Em outras palavras:

{ }BxAxxBA ∉∈=− e / Exemplo 7. Sejam os conjuntos e então . }{1,2,3,6,7=A }{2,3,4,5,6=B {1,7}=BA −

Quando se tem AB ⊂ , a diferença BA − chama-se complementar de B em relação à A , e escreve-se:

BCBA A=−

Exemplo 8. Sejam os conjuntos e então,9}{1,2,3,5,7=A {3,5,9}=B { }9,2,1==− BCBA A .

2 Curso de Análise – Elon Lages Lima

Matemática Aplicada 12 1.5 – NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO

Se A é um conjunto finito, designamos por o número de elementos de )(An A . Por exemplo, se , então . { 5,1,0=A } 3)( =An

Para determinar o número de elementos da reunião de dois conjuntos A e B dividimos o problema em dois casos: 1º caso: Os conjuntos A e B são disjuntos. Neste caso, é claro que:

)()()( BnAnAUBn +=

2º caso: Os conjuntos A e B não são disjuntos. Neste caso, quando somamos com contamos os elementos de

)(An )(BnBA∩ duas vezes. Portanto:

)()()()( BAnBnAnAUBn ∩−+=

3º caso: Os conjuntos A , B e não são disjuntos. Neste caso, quando somamos , e

temos: C )(An )(Bn

)(Cn)()()()()()()()( CBACBnCAnBAnCnBnAnCAUBn ∩∩+∩−∩−∩−++=∪

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 5) Sejam e . Determine: { }4,3,2,1=A { 7,5,3,2=B } a) BA∪ b) BA∩ c) BA − d) AB − 6) Sejam e . Determine: { }5,3,2,1,0=A { 4,3,2,1=B } a) )( BAn ∪ b) )( BAn ∩ c) )( BAn − d) )( ABn − 7) Numa pesquisa sobre preferência de detergentes realizada numa população de 100 pessoas, constatou-se que 62 consomem o produto A; 47 consomem o produto B e 10 pessoas não consomem nem A nem B. Pergunta-se: quantas pessoas dessa população consomem tanto o produto A quanto o produto B? 8) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas. Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum Telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 x

Capítulo 1 – Conjuntos 13

}

1.6 – INTERVALOS

Chamamos de intervalo a determinados subconjuntos dos números reais. Assim, dados dois números reais e , com , temos: a b ba < 1 - Intervalo aberto: ( ) { bxaRxba <<∈= /, 2 - Intervalo fechado: [ ] { }bxaRxba ≤≤∈= /, 3 - Intervalo semi-aberto à direita: { }bxaRxba ≤<∈= /],( 4 - Intervalo semi-aberto à esquerda: { }bxaRxba <≤∈= /),[ 5 - Intervalos infinitos

}/{),( axRxa >∈=+∞ }/{),[ axRxa ≥∈=+∞ }/{),( axRxa <∈=−∞ }/{],( axRxa ≤∈=−∞

Observação: R=+∞−∞ ),( EXERCÍCIOS PROPOSTOS 9) Se { }52/ <≤∈= xRxA e { }83/ <≤∈= xRxB , determine BA∩ BA∪ e BA − . 10) Se e { }02/ ≤≤−∈= xRxA { }32/ <≤∈= xRxB , determine BA∩ BA∪ e BA − . 11) Determine BA∩ BA∪ e BA − quando: a) e { }30/ <<∈= xRxA { }51/ <<∈= xRxB b) e { }14/ ≤<−∈= xRxA { }32/ ≤≤∈= xRxB c) e { }22/ <≤−∈= xRxA { }0/ ≤∈= xRxB 12) Determine em termos de desigualdades os seguintes intervalos: a) ] [5,10− b) [ ] 6,3 c) [ ]9,0 d) [ [ 8,4− e) ] [+∞− ,5

Capítulo 2 FUNÇÕES

Para Tales...a questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos.

Aristóteles 2.1 INTRODUÇÃO

Nesse capítulo, você notará como muitas situações práticas nas áreas de administração, economia e ciências contábeis podem ser representadas por funções matemáticas. Nas análises iniciais dessas funções, serão ressaltados conceitos como conceito de função, valor de uma função, domínio de uma função, operações com funções e representação gráfica, sempre associada a aplicações nas áreas administrativas, econômica e contábil.

O conceito de função é verdadeiramente fundamental em matemática. No linguajar do dia-a-dia dizemos “o comportamento do mercado de ações é uma função da confiança do consumidor” ou “a pressão arterial do paciente é uma função dos medicamentos que lhe foram prescritos”. Em cada caso, a palavra função expressa a idéia de que o conhecimento de um fato nos informa de outro fato. Em matemática, as funções mais importantes são tais que, conhecendo um número, obtemos outro número.

A parte da Matemática moderna gira em torno dos conceitos de função, limite, cálculo diferencial e integral, e ocupa lugar de destaque em vários eixos temáticos dela, bem como em outras áreas de conhecimento.

2.2 CONCEITO DE FUNÇÃO

Referência Histórica: Leonhard Euler (1707-1783), médico, teólogo, astrônomo e matemático suíço, desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada, com destaque para a Análise - estudo dos processos infinitos - desenvolvendo a idéia de função. Foi o responsável também pela adoção do símbolo para representar uma função de

)(xfx . Hoje, função é uma das idéias essenciais em Matemática.

Um fabricante gostaria de saber como o lucro de sua empresa está relacionado com o

nível de produção; um biólogo gostaria de saber como o tamanho da uma população de certa cultura de bactérias mudará ao longo do tempo; um psicólogo gostaria de conhecer a relação entre o tempo de aprendizado de um indivíduo e o tamanho do seu vocabulário; e u químico gostaria de saber como a velocidade inicial de uma reação química está relacionada à quantidade de substrato utilizada. Em cada uma dessas situações estamos preocupados com a mesma questão; como uma quantidade depende da outra? A relação entre duas quantidades é convenientemente descrita em matemática pelo uso do conceito de função.

Uma função é uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um único elemento de um conjunto B.

Definição: Uma função consta de três partes: um conjunto BAf →: A , chamado de

domínio da função (ou conjunto onde a função é definida), um conjunto B , chamado de contradomínio da função, ou o conjunto onde a função toma valores, e uma regra que permite associar, de modo bem determinado, a cada elemento Ax∈ , um único elemento Bxfy ∈= )( , chamado o valor que a função assume em x .

15Capítulo 2 – Funções Exemplo 1 - Um exemplo de função é dado pela conhecida relação entre a área de um círculo e seu raio. Denotando por x e y o raio e a área de um círculo, respectivamente, sabemos da geometria elementar que:

2xy π= Essa equação define como uma função de y x , já que a cada valor admissível de x (isto é, a cada número não-negativo representando o raio de certo círculo) corresponde precisamente a um número que fornece a área do círculo. A regra definindo está “função área” pode ser escrita como:

2xy π=

2)( xxf π=

Para calcular a área de um círculo de raio , simplesmente substituímos cm 5 x na função acima pelo número 5. Assim, a área do círculo é dada por:

22 255)5( cmf ππ == De modo geral, para calcularmos uma função num valor específico de x , substituímos x por tal valor. Exemplo 2 - Considere a função definida pela regra . Calcule: f 12)( 2 +−= xxxfa) )1(f

21121)1()1(2)1( 2 =+−=+−=f b) )( haf +

12421)2(21)()(2)( 22222 +−−++=+−−++=++−+=+ hahahahahahahahahaf 2.2.1 – Determinando o domínio de uma função

Suponhamos que nos é dada a função )(xfy = . Então a variável x é chamada de variável independente. A variável , cujo valor depende de y x , é chamada de variável dependente.

Para determinarmos o domínio de uma função, precisamos encontrar quais restrições devem ser colocadas sobre a variável independente x , caso existam.

Em geral, se uma função é definida por uma regra relacionando x a sem menção explícita de seu domínio, entende-se que o domínio consistirá em todos os valores de

)(xfx para os

quais é um número real. Como relação a isso, você deve ter em mente que (1) divisão por zero não é permitida e (2) a raiz quadrada (ou de ordem par) de um número negativo não está definida.

)(xf

Exemplo 3 – Determine o domínio de cada uma das funções abaixo. a) 1)( −= xxf Como a raiz quadrada de um número negativo não está definida no conjunto dos números reais, temos a restrição de que , resolvendo a desigualdade encontramos . Logo, o domínio de é o intervalo [ , ou ainda,

01≥−x 1≥xf )∞,1 { }1/ ≥∈= xRxD .

Matemática Aplicada 16

b) 4

1)( 2 −=

xxf

A única restrição em x é que seja diferente de zero, uma vez que a divisão por zero não é permitida. Dessa forma temos que:

42 −x

042 ≠−x 42 ≠x4≠x 2±≠x

Logo, domínio de , nesse caso, consiste em todos os números reais diferentes de 2 e f 2− , ou seja, . { }2/ ±≠∈= xRxD c) 3)( 2 −= xxfNesse exemplo, qualquer número real satisfaz a equação, e, portanto o domínio de é o conjunto dos números reais, ou seja,

fRD =

3. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

Referência Histórica: Ao desenvolver o plano cartesiano, no início do século XVII, René Descartes revolucionou a maneira de encarar a matemática. Anteriormente a Descartes, a álgebra e a geometria constituíam ramos separados da matemática, com a pequena superposição. Introduzindo as coordenadas na geometria, Descartes abriu aos matemáticos a possibilidade de resolver problemas algebricamente e graficamente. Nos anos de 1980, a introdução de instrumentos gráficos de fácil manejo, acarretou outra revolução na forma de estudar matemática. Com esta nova tecnologia, podemos estabelecer a analisar modelos matemáticos de forma muito mais simples do que anteriormente.

O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares (ângulo reto) entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo ) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo ). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal. Cada ponto do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.

OxOy

),( baP =

1

1 Origem

Quadrante I

Quadrante III

Quadrante II

Quadrante IV

FIG. 2.1 O plano cartesiano

17Capítulo 2 – Funções 3.1 MARCANDO OS PONTOS NO PLANO CARTESIANO

A beleza do sistema cartesiano reside no fato de permitir visualizar relações entre duas variáveis. Para marcar os pontos no plano, procedemos da seguinte maneira:

Seja o ponto )4,3(=P , o número é a coordenada da abscissa, ou seja deve ser

marcada no eixo 3

x , já o número é a coordenada da ordenada e deve ser marcado no eixo 4 y ; imagine se você pudesse traçar uma reta perpendicular a cada um dos eixos nos pontos marcados, teríamos a seguinte figura.

1

1

3

4P=(3,4)

FIG. 2.2 Marcação de pontos.

3.2 GRÁFICOS DE UMA FUNÇÃO

Se é uma função com domínio f A , então cada número real x de A está associado precisamente um número real . Podemos também expressar este fato utilizando pares ordenados de número reais. Desta forma obtemos um par ordenado para cada

)(xf))(,( xfx x em A .

Como pares ordenados de números reais correspondem a pontos no plano, encontramos assim uma maneira de exibir uma função graficamente. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL

O gráfico de uma função é o conjunto de todos os pontos n plano f ),( yxcartesiano xy tal que x está no domínio de e f )(xfy =

A figura abaixo nos mostra o gráfico de uma função. Observe que o domínio de é o conjunto dos números reais do eixo

fx , enquanto a imagem se encontra sobre o eixo . f y

FIG 2.3 O gráfico de f

Matemática Aplicada 18 3.2.1 Representação gráfica de uma função

Vamos agora construir gráficos de funções determinadas por leis de formação )(xfy = em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Para construir o gráfico de uma função dada por , com , no plano cartesiano, devemos: )(xfy = Dx∈

• Construir uma tabela com valores de x escolhidos convenientemente em D e com valores

correspondentes para ; )(xfy =• A cada par ordenado da tabela associar um ponto no plano cartesiano; ( yx, )• Marcar um número suficiente de pontos, até que se tenha uma idéia do gráfico da função

(esboço do gráfico). Exemplo 4 – Construa o gráfico da função dada por 12)( += xxf . Inicialmente escolhemos alguns números aleatórios no domínio da função dada para colocarmos na tabela. Como nesse caso temos como domínio o conjunto dos números reais, podemos escolher qualquer um. Veja a tabela abaixo.

x 12)( +== xxfy Pontos -2 31)2(2)2( −=+−=−f )3,2( −− -1 11)1(2)1( −=+−=−f )1,1( −− 0 11)0(2)0( =+=f )1,0( 1 31)1(2)1( =+=f )3,1( 2 51)2(2)2( =+=f )5,2(

Agora, colocamos no plano cartesiano os pares ordenados encontrados na tabela acima. Desta forma, temos um esboço do gráfico da função dada por 12)( += xxf .

FIG 2.4 – Pontos no plano cartesiano

Com base nos pontos plotados do gráfico acima que tipo de gráfico seria mais adequado para a representação desses pontos? Vemos que a melhor aproximação para esse conjunto de pontos é uma reta. Veja a figura 2.5.

19Capítulo 2 – Funções

FIG 2.5 O gráfico de 12)( += xxf

Exemplo 5 – Construa o gráfico da função dada por 32)( 2 −−= xxxf

x 32)( 2 −−== xxxfy Pontos

-2 53)2(2)2()2( 2 =−−−−=−f )5,2(− -1 03)1(2)1()1( 2 =−−−−=−f )0,1(− 0 33)0(2)0()0( 2 −=−−=f )3,0( − 1 43)1(2)1()1( 2 −=−−=f )4,1( − 2 33)2(2)2()2( 2 −=−−=f )3,2( − 3 03)3(2)3()3( 2 =−−=f )0,3( 4 53)4(2)4()4( 2 =−−=f )5,3(

FIG 2.6 – Pontos no plano cartesiano

Com base nos pontos plotados do gráfico acima que tipo de gráfico seria mais adequado para a representação desses pontos? Vemos que a melhor aproximação para esse conjunto de pontos é uma parábola. Veja a figura 2.7.

Matemática Aplicada 20

FIG 2.7 O gráfico de 32)( 2 −−= xxxf

EXERCICIOS PROPOSTOS

1) Seja definida por fx

xxf 1)( += .

a) Determine o domínio de fb) Calcule )3(fc) Calcule )( haf + 2) Calcule o domínio de cada uma das funções abaixo

a) 82

1)(−+

=xxxf b)

53)(−

=x

xf

c) 9310)( 2 −

+=

xxxf d) 4)( += xxf e) 410)( 2 +−= xxxf

3) Seja uma função definida por RRf →*:x

xxf 2)( += .

a) Calcule b) Calcule )3(f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21f c) Calcule ( )1+Kf

4) Sejam as funções definidas por 32)( −= xxf e axxg += 3)( . Determine o valor de sabendo que .

a8)2()2( =+ gf

5) Marque no plano cartesiano os pontos abaixo a) )1,3( b) )5,5( c) )6,2(− d) )4,0( e) )0,3(− 6) O gráfico de uma função é mostrado na figura abaixo. Com base nessa figura responda: fa) Qual o valor aproximado de ? E o valor de )5(f )1(−f ? b) Qual o domínio de ? fc) Qual a imagem de ? f

21Capítulo 2 – Funções

7) Seja a função definida por f 65)( += xxf . Calcule , )3(f )3(−f , )( af − e . )3( +af

8) Seja a função definida por f⎪⎩

⎪⎨⎧

≤+

>+−

=1 se ,12

1 se ,32)(

2

2

xx

xxxf , calcule )1(−f , , e . )0(f )1(f )2(f

9) Considere o gráfico da função mostrado na figura a seguir: f

a) Determine o valor de . )0(fb) Determine os valores de x para os quais )(i 4)( =xf e )(ii 0)( =xf c) Determine o domínio de . fd) Determine a imagem de . f 10) Seja a função definida pela regra . f 6)( 2 −−= xxxfa) Determine o domínio de f

b) Calcule para )(xf 3,2,1,21,0,1,2,3 −−−=x

c) Use os resultados obtidos em (a) e (b) para esboçar o gráfico de . f

Capítulo 3 FUNÇÃO LINEAR

Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real.

Lobachevsky

3.1 INTRODUÇÃO

Nesse capítulo, você analisará as funções constantes, linear e suas aplicações estudando conceitos como taxa de variação; função receita, custo, lucro, demanda, oferta e break-even point (ponto de equilíbrio). Você estudará também diferentes maneiras de obter e interpretar graficamente a função linear e a obtenção de uma equação linear que passa por dois pontos. 3.2 MODELOS LINEARES

Analisaremos agora as funções lineares (1º grau); estas representam um dos tipos de funções mais simples e de grande utilização. Função Linear No exemplo a seguir, a tabela traz o custo para a produção de camisetas.

Quantidade (q) 0 5 10 20 50 100Custo (R$) 100 110 120 140 200 300

Notamos que, quando há um aumento de 5 unidades produzidas, o custo aumenta

; se há um aumento de 10 unidades, o custo aumenta em . Concluímos que uma variação na variável independente gera uma variação proporcional na variável dependente. É isso o que caracteriza uma função linear.

00,10$R 00,20$R

Para um maior entendimento da função linear desse exemplo, podemos calcular a taxa de variação média, ou simplesmente taxa de variação da variável dependente, C , em relação à variável independente, , pela razão: q

25

1005100110

q em variaçãoC em variação

horizontal Variação verticalVariaçãoinclinação ==

−−

====m

25

10510

110120==

−−

=m

Nesse exemplo, a razão dá o acréscimo no custo correspondente ao acréscimo de

1 unidade na quantidade. 2=m

Notamos ainda que, mesmo se não forem produzidas camisetas, haverá um custo fixo de . Tal custo pode ser atribuído à manutenção das instalações, impostos, despesas com

pessoal etc. 00,100$R

De modo geral, podemos dizer que a função custo é obtida pela soma de uma parte variável, o Custo Variável, com uma parte fixa, o Custo Fixo. Em outras palavras temos:

VF CCC += Para nosso exemplo, podemos modelar a função custo pela relação:

1002)( += qqC

23Capítulo 3 – Função Linear

O gráfico da função linear é uma reta, onde 2=m nos dá a inclinação da reta e termo independente 100 representa o ponto em que a reta intersecta o eixo vertical .Observe o gráfico abaixo.

)(y

200

140

100

20 50 q

CC =2q+100

variação em C =60

variação em q=30

FIG 3.1 Produção de camisetas

Dada a função custo para a produção das camisetas, vamos analisar agora a função

Receita obtida com a comercialização das unidades. Para um produto, a receita R é dada pela multiplicação do preço unitário, p , pela

quantidade, q , comercializada, ou seja, qpR .= . Supondo por exemplo que o preço para a comercialização de cada camiseta seja de , obtemos a função Receita, que é dada por: 00,7$R

qqR 7)( =

O gráfico para essa função é uma reta que passa pela origem dos eixos coordenados. Veja o gráfico abaixo.

280

70

10 40 q

R R=7q

variação em R=210

variação em q=30

FIG 3.2 Função Receita

Das funções Custo e Receita é natural que passemos a questionar sobre o a função

Lucro. De modo geral, podemos expressar a função Lucro fazendo "Receita menos Custo", ou seja:

Custo-ReceitaLucro =

Para nosso exemplo, se chamarmos L o lucro e supondo que as quantidades produzidas de camisetas são as mesmas comercializadas, então temos:

Matemática Aplicada 24

1005)()1002(7)(

−=+−=

−=

qqLqqqL

CRL

Nesse caso, notamos que a função Lucro também é uma função linear, cujo gráfico é uma reta de inclinação e que corta o eixo da vertical em -100. Veja o gráfico abaixo. 5=m

20 40 q

L

10 0

-10 0

L =5 q-10 0

FIG 3.3 Função Lucro

Podemos observar pelo gráfico que a reta que corta o eixo horizontal em . Na verdade, podemos obter facilmente esse valor fazendo

20=q0)( =qL , ou seja:

201005

010050)(

==

=−=

qqqqL

Podemos fazer a seguinte análise:

• se , temos lucro negativo 20<q• se , temos lucro positivo 20>q

Na verdade, podemos obter a quantidade que resulta em lucro zero fazendo Receita=Custo, ou seja,

)()(0)()(

0)(

qCqRqCqR

qL

==−

=

Graficamente, o ponto em que a receita é igual ao custo é chamado de break-even pointi

(ponto de equilíbrio) e é dado pelo encontro das curvas que representam a Receita e o Custo. Em nosso exemplo, é dado pelo encontro das retas qqR 7)( = e 1002)( += qqC . A interpretação do break-even point é mostrado nos gráficos abaixo.

25Capítulo 3 – Função Linear

100

140

20

20-100

0

q

q

R,C

L

R=7q

C=2q+100

L=5q-100

b reak -even point

FIG 3.4 Ponto de Equilíbrio

Como podemos observar, a função linear pode ser útil para representar o custo, a receita e o lucro na comercialização de um determinado produto. 3.3 INCLINAÇÃO E TAXA DE VARIAÇÃO

Vamos utilizar o símbolo Δ (a letra grega delta maiúscula) para indicar “variação em”, onde significa variação em xΔ x e variação em . yΔ y

A inclinação de uma função linear )(xfy = pode ser calculada a partir de valores da função em dois pontos, e , por meio da seguinte fórmula: 1x 2x

12

12 )()(horizontal Variação verticalVariaçãoinclinação

xxxfxf

xym

−−

====ΔΔ

A quantidade 12

12 )()(xx

xfxf−−

é chamada de quociente das diferenças, pois isto é exatamente o

que ela é. Como a inclinação = xy

ΔΔ

, a inclinação representa a taxa de variação de y em relação a

x . As unidades da inclinação são as unidades de divididas pelas unidades de y x .

FIG 3.5 Coeficiente de inclinação

Matemática Aplicada 26

3.4 FUNÇÃO LINEAR GERAL Uma função linear é dada por:

bmxxfy +== )( Seu gráfico é uma reta tal que:

• m é a inclinação ou taxa de variação, ou ainda coeficiente angular; • b é chamado de coeficiente linear que é a interseção da reta com o eixo vertical, ou o valor

de quando y x é zero; Graficamente , dá a inclinação da reta que representa a função. m Como já foi dito, no dá a taxa de variação da função, que representa se a função está crescendo ou decrescendo e, graficamente, m representa a inclinação da reta, sendo mais ou menos inclinada positiva ou negativamente.

m

Se , temos uma taxa de variação positiva, logo a função é crescente e a reta será inclinada 0>mpositivamente e, quanto maior for o valor de m , maior será o crescimento de a cada aumento yde x , tendo a reta maior inclinação positiva. Se , temos uma taxa de variação negativa, logo a função é decrescente e a reta será 0<minclinada negativamente. 3.5 OBTENÇÃO DE UMA FUNÇÃO LINEAR

Trabalhando com fenômenos que permitem a representação do modelo matemático por meio de uma função linear, é importante a obtenção correta da expressão que representa tal função. Em outras palavras, se pudermos representar o modelo por meio de uma expressão do tipo , é importante obtermos de maneira correta os parâmetros e . bmxy += m b

Para a obtenção de (coeficiente de inclinação), devemos estar atentos para as informações que dizem respeito às taxa de variação, ou seja, qual a variação da variável dependente em relação à variável dependente, assim podemos utilizar a equação:

m

xym

ΔΔ

=

Para a obtenção do valor de , utilizaremos um valor de b x , seu correspondente e o valor de obtido anteriormente, substituindo tais valores em

ym bmxy += , desta forma obteremos o valor de b . Exemplo 1: Um operário tem seu salário dado por um valor fixo mais uma parte variável que é diretamente proporcional ao número de horas extras trabalhadas. Sabe-se que em um mês em que são feitas 12 horas extras, o salário é de R$ 840,00, e que em um mês em que são feitas 20 horas extras, o salário é de R$1000,00. Obtenha a relação que dá o salário em função das horas extras. Solução: Pelo enunciado, a função pode ser obtida pela expressão bmxy += , onde representa o salário e

yx o número de horas extras, então teremos as correspondências:

10002084012

=→==→=

yxyx

27Capítulo 3 – Função Linear Obteremos o coeficiente de inclinação da seguinte maneira:

208

16012208401000

==−−

==xym

ΔΔ

Para encontrarmos o valor de substituiremos o valor de b 20=m na equação e um dos pares de

bmxy +=x e y dados, como por exemplo, )840;12();( =yx , desta forma temos o seguinte:

600)12(20840

20

=+=

+=

bb

bxy

Assim, a função do salário é dada por 60020)( +== xxfy . Exemplo 2: Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos e (5,30) e (15,10). Solução: Pelo enunciado, a função pode ser obtida pela expressão bmxy += . Obteremos o coeficiente de inclinação da seguinte maneira:

21020

5153010

−=−

=−−

==xym

ΔΔ

Para encontrarmos o valor de substituiremos o valor de b 2−=m na equação e um dos pares de

bmxy +=x e dados, como por exemplo, y )30;5();( =yx , desta forma temos o seguinte:

40)5(230

2

=+−=

+−=

bb

bxy

Assim, a função do salário é dada por 402)( +−== xxfy . 3.6 RETAS PARALELAS E RETAS PERPENDICULARES

O coeficiente de inclinação de uma reta constitui um recurso conveniente para determinar se duas retas são paralelas ou perpendiculares. 1. Duas retas distintas não-verticais são paralelas se e somente se seus coeficientes angulares são iguais, ou seja,

21 mm = 2. Duas retas distintas não-verticais são perpendiculares se e somente se o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1, ou seja,

1. 21 −=mm Exemplo 3: Determine a equação de reta que passa pelo ponto )1;2( − e é: a) Paralela à reta ; 532 =− yx b) Perpendicular à reta ; 532 =− yxSolução: Inicialmente, vamos colocar a equação linear da forma reduzida.

3 2 5 (-y x− = − + 1)

Matemática Aplicada 28 3 2

2 53 3

5y x

y x

= −

= −

Assim, temos que 32

=m .

a) A equação de reta tem de passar pelo ponto )1;2( − e ser paralela à equação 35

32

−= xy que

apresenta 32

=m . Pela definição acima, vemos que duas retas são paralelas se e somente se,

apresentarem o mesmo coeficiente de inclinação. Desta forma a reta que passa pelo ponto )1;2( −

também deve ter o coeficiente de inclinação igual à 32

. Assim, temos o seguinte:

bxy

bmxy

+=

+=

32

Substituindo o ponto )1;2( − , na equação acima encontramos o valor de b .

37

)2(321

32

−=

+=−

+=

b

b

bxy

Logo, temos que 37

32

−= xy é a equação de reta que passa pelo ponto e é paralela à

equação de .

)1;2( −

532 =− yx b) Agora queremos encontrar uma reta que passe pelo ponto )1;2( − , porém que seja

perpendicular à equação de reta dada por 532 =− yx . Sabemos que 32

=m , e ainda, duas retas

são perpendiculares se seus coeficientes quando multiplicados resulta em . 1−

23

132.

1

1

−=

−=

m

m

A equação da reta que passa pelo ponto )1;2( − e é perpendicular à reta de equação 532 =− yx

apresenta 23

−=m . Sendo assim temos:

bxy +−=23

Substituindo o ponto )1;2( − , na equação acima encontramos o valor de b . 32

y x= − + b

29Capítulo 3 – Função Linear

3( 1) (2)2

2

b

b

− = − +

=

Logo, temos que 223

+−= xy é a equação de reta que passa pelo ponto e é

perpendicular à equação de .

)1;2( −

532 =− yx 3.6 INTERSECÇÕES DE RETAS

Finalmente, lembramos que, quando trabalhamos simultaneamente com duas ou mais funções lineares, podemos investigar se tais funções têm valores em comum, ou seja, se há encontro das retas que representam as funções.

Uma aplicação comum em administração, economia e contábeis, que envolve os pontos de intersecção, é a análise do ponto de equilíbrio (break-even point). O lançamento de um novo produto exige tipicamente um investimento especial. Uma vez vendido um número suficiente de unidades, de modo que a receita total passe a superar a custo total, a venda do produto atinge seu ponto de equilíbrio. O custo total da produção de x unidades é representado por C e a receita total da venda de x unidades do produto é representada por R . Podemos então achar o ponto de equilíbrio igualando o custo C à receita R ,(como já foi mostrado anteriormente) e resolvendo a equação em função de x . Matematicamente, isso significa dizer que estamos resolvendo um sistema de equação linear.

Para investigação dos pontos comuns de duas retas diferentes, basta resolvermos o sistema formado por elas, ou seja, resolver o sistema:

⎩⎨⎧

+=+=

=22

11

bxmybxmy

S

Observações: Se tiver apenas uma solução, notamos que as retas se encontram em um único ponto comum, Sdizemos que tal sistema é possível e determinado; Se não tiver solução, notamos que as retas não se interceptam, ou seja, são paralelas e Sdizemos que o sistema é impossível.

FIG 3.6 Interpretação gráfica da solução de um sistema.

Matemática Aplicada 30 Exemplo 4: Encontre os pontos de intersecção (se houver) das funções e 2+−= xy 12 −= xy Existem várias maneiras de se resolver um sistema linear de duas equações (comparação, substituição, soma, escalonamento e determinante), porém, utilizaremos aqui o método da comparação.

⎩⎨⎧

−=+−=

122

xyxy

Na primeira equação temos que 2+−= xy e na segunda 12 −= xy , como , então: yy =

133

(-1) 33212

122

==

−=−−−=−−−=+−

xx

xxx

xx

Se , substituindo em qualquer uma das equações (na primeira, por exemplo) temos: 1=x

121 =+−=y , logo a solução para esse sistema é )1,1(=S . EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Em um posto de combustível, o preço da gasolina é de por litro. 60,2$Ra) Determine uma expressão que relacione o valor pago em função da quantidade de litros

abastecidos por consumidor. )(V

)(qb) Supondo que o tanque de combustível de um carro comporte 50 litros, esboce o gráfico da função obtida no item anterior. 2) Um vendedor de planos de saúde recebe de salário , mais uma comissão de por plano vendido.

00,300$R 00,5$R

a) Determine uma expressão que relacione o salário total em função da quantidade de planos vendidos.

)(S)(x

b) Sabendo que seu salário em um mês foi de , qual foi a quantidade de planos vendidos?

00,1550$R

c) Esboce o gráfico da função obtida no item (a). 3) O valor inicial de um carro é , e a cada ano esse valor é depreciado em

. 00,000.20$R

00,250.1$Ra) Determine uma expressão que relacione o valor do carro em função do número de anos passados após a compra. b) Após quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial? c) Esboce o gráfico da função obtida no item (a). 4) O custo de um produto é calculado pela fórmula qqC 2010)( += , na qual indica o custo (em reais) e , a quantidade produzida (em unidade). qa) Construa o gráfico da função . )(qCb) Observando no gráfico, qual seria o custo para a produção de 9 unidades do produto? 5) Um fabricante vende um produto por a unidade. O custo do produto consiste numa taxa fixa de mais o custo de produção de por unidade.

80,0$R00,40$R 30,0$R

a) Qual o número de unidades que o fabricante deve vender para não ter lucro nem prejuízo?

31Capítulo 3 – Função Linear b) Se vender 200 unidades desse produto, o comerciante terá lucro ou prejuízo? De quanto será o lucro ou prejuízo? 6) Observe o gráfico abaixo. Qual a função linear deu origem a este gráfico?

7) Um produto, quando comercializado, apresenta as funções Custo e Receita dada, respectivamente, por e 362)( += qqC qqR 5)( = , onde q é a quantidade comercializada que se supõe ser a mesma para o custo e receita. a) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos de custo e receita. Determine também e indique no gráfico o break - even point. b) Obtenha a função Lucro, L, esboce o seu gráfico e determine as quantidades necessárias para que o lucro seja negativo, nulo e positivo. 8) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto dado e é paralela à reta dada e perpendicular à reta dada. Faça o gráfico das três equações no mesmo sistema de eixos coordenados. a) e b) )2,3(− 7=+ yx )4,6(− e 743 =+ yx c) e d) e )1,2( 324 =− yx )1,1( 332 −=+− yx 9) Encontre se possível, em cada caso, o ponto de encontro de cada uma das retas abaixo. a) e 102 =+ yx 123 =− yx b) 1032 =+ yx e 14 −=− yx 10) Um industrial fabrica um produto ao custo de por unidade e vende-o a por unidade. O investimento inicial para fabricar o produto foi de . Quantas unidades o industrial deve vender para atingir o ponto de equilíbrio?

65,0$R 20,1$R00,000.10$R

11) Encontre os pontos de intersecção (se houver) das funções. a) e 1332 =− yx 135 =+ yxb) e 7=+ yx 1123 =− yx 12) Uma empresa de telefonia cobra uma taxa de mais por minuto. Obtenha uma fórmula para o pagamento mensal

00,25$R 05,0$RP , em reais, como função do número de minutos, , de uso

do telefone. m

Capítulo 4 FUNÇÃO QUADRÁTICA

As leis da natureza nada mais são que pensamentos matemáticos de Deus.

Kepler 4.1 INTRODUÇÃO

Nesse capítulo, você estudará situações práticas envolvendo as funções quadráticas (do segundo grau) a partir da construção e análise de seu gráfico. No esboço gráfico da função quadrática, será dada atenção especial para a construção da parábola. Você notará que as coordenadas do vértice são úteis para determinação de valores máximos e mínimos e intervalos de crescimento (ou decrescimento) das funções associadas. 4.2 UM MODELO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA

Algumas situações práticas podem ser representadas pelas funções polinomiais do segundo grau, chamadas simplesmente de funções do segundo grau. Uma dessas situações é a obtenção da função receita quando consideramos o preço e a quantidade comercializada de um produto.

Sabemos que a receita R é dada pela relação:

qpR .= em que representa o preço unitário e q a quantidade comercializada do produto. Por exemplo, se o preço dos sapatos de uma determinada marca variar de acordo com a relação:

p

2002 +−= qp podemos estabelecer a receita para a venda de sapatos pela expressão:

qqqRqqR

qpR

2002)().2002(

.

2 +−=

+−==

Para uma melhor visualização dessa situação, vamos traçar um gráfico a partir de uma tabela com algumas quantidades de sapatos vendidos e receitas correspondentes:

Receita para a venda de pares de sapatos Quantidade(q) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Receita($) 0 1800 3200 4200 4800 5000 4800 4200 3200 1800 0

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 20 40 60 80 100

FIG 4.1 Receita para a venda de sapatos.

33Capítulo 4 – Função Quadrática

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 20 40 60 80 100

FIG 4.2 – Parábola para as vendas de sapatos

Nessa parábola, convém observar alguns aspectos interessantes associados à função:

qqqR 2002)( 2 +−=

• A concavidade está voltada para baixo, pois o coeficiente do termo é negativo. 22q−• O ponto em que a curva corta o eixo R é obtido fazendo 0=q .

0)0(200)0(2)0( 2 =+−=R • Os pontos em que a curva corta o eixo , ou seja, as raízes da função são obtidos

fazendo . q

0)( =qR02002)( 2 =+−= qqqR

0=q ou 100=q

• O vértice da parábola em que )5000,50(=V 50=vq é a média aritmética das raízes e é a receita correspondente. 5000=vR

• Especificamente para essa função quadrática (do 2° grau), o vértice é importante, pois nos dá a quantidade que deve ser comercializada para que a receita seja máxima

. 50=vq

5000=vR 4.3 CARACTERIZAÇÃO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Uma função quadrática é dada por:

cbxaxxfy ++== 2)( , com 0≠a Para a obtenção do gráfico, conhecido como parábola, devemos observar e seguir os passos abaixo:

• O coeficiente determina se a concavidade é voltada para cima ou para baixo :

)0( >a)0( <a

Matemática Aplicada 34

0>a

y

FIG 4.3 Parábola para cima

0<a y

FIG 4.4 Parábola para cima

• O termo independente c dá o ponto em que a parábola corta o eixo e pode ser obtido

fazendo ; y

0=x• Se existirem, os pontos em que a parábola corta o eixo x são dados pelas raízes da

função e podem ser obtidos fazendocbxaxxfy ++== 2)( 0=y ; • Para tal resolução dessa equação, utilizaremos a fórmula resolutiva de uma equação do 2°

grau, (também conhecida por muitos como fórmula de Báskara): Vamos mostrar como se origina essa fórmula: Sabemos que para encontrarmos as raízes temos que fazer 0=y , ou seja, encontrar os valores de x tal que : 0)( =xf

0)( 2 =++= cbxaxxf 02 =++ cbxax

cbxax −=+2 (vamos dividir todos os membros por a )

acx

abx −=+2 (vamos agora transformar o 1º membro em um quadrado perfeito)

22

2

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++

ab

ac

abx

abx (adicionando

2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ab nos dois termos não altera o valor da

equação e ainda conseguimos um quadrado perfeito no 1º membro)

22

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ab

ac

abx → 2

22

42 ab

ac

abx +−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2

22

44

2 aacb

abx −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + (extraindo a raiz quadrada de ambos os termos)

2

22

44

2 aacb

abx −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + →

aacb

abx

24

2

2 −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + →

aacb

abx

24

2

2 −±−=

aacbbx

242 −±−

= , se chamarmos de podemos reescrever essa equação: acb 42 −=Δ

35Capítulo 4 – Função Quadrática

a

bx2

Δ±−= , onde temos as raízes:

abx

21Δ+−

= e a

bx22

Δ−−= .

• O número de raízes, ou pontos em que a parábola corta o eixo x , depende do

discriminante , em resumo temos: )(Δ• A função possui apenas uma raiz real (a parábola intercepta o eixo x em apenas um

ponto): 0=Δ

y

FIG. 4.5 Função com apenas uma raiz real.

• A função possui duas raízes reais (a parábola intercepta o eixo 0>Δ x em dois

pontos): y

FIG. 4.6 Função com duas raízes reais distintas

• A função não possui nenhuma raiz real (a parábola não intercepta o eixo 0<Δ x ):

y

FIG. 4.7 Função sem raiz real

Observação: As três parábolas mostradas nas figuras acima estão indicadas como sendo , caso, tivéssemos , as parábolas estariam com a concavidade voltada para baixo.

0>a0<a

Matemática Aplicada 36 4.3.1 Vértice da parábola de uma função quadrática. O vértice de uma parábola é o ponto onde ela muda de sentido. Veja a figura abaixo:

FIG. 4.8 Vértice de uma parábola

Coordenadas do vértice de uma parábola é dado por: abxv 2

−= e

ayv 4

Δ−= , e assim temos que o

vértice é o ponto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=aa

bV4

;2

Δ.

4.3.2 Principais pontos de uma parábola.

FIG. 4.9 Principais pontos de uma parábola

Como já vimos anteriormente, para a construção e estudo de uma parábola é necessário encontrar os principais pontos de uma parábola. No gráfico acima, estão listados esses pontos. 4.4 IMAGEM DA FUNÇÃO QUADRÁTICA -- VALOR MÁXIMO E VALOR MÍNIMO

A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permite determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo e mínimo. Veja o exemplo: Encontre a imagem da função dada por . xxxf 82)( 2 −=Inicialmente, vamos encontrar o vértice da função. O vértice determina se o ponto é mínimo ou máximo, em função do valor de “ ”, e a partir daí podemos encontrar a imagem de . a )(xf

Capítulo 4 – Função Quadrática 37

248

)2(2)8(

2==

−−=

−=

abxv e 8

)2(4)]0)(2(4)8[(

4)4(

4

22

−=−−−

=−−

=−

=a

acba

yvΔ

Daí segue que . Desta forma se fizermos o esboço do gráfico da função termos a seguinte figura:

)8,2( −=V )(xf

FIG. 4.10 Imagem de uma função

Neste caso podemos observar facilmente que o mínimo da função é 8− , e segue-se que a imagem é dada por:

{ }8/)Im( −≥∈= yRyf De forma geral, seja , onde com RRf →: cbxaxxf ++= 2)( 0≠a e vértice igual a

, então a sua imagem é dada por: ),( vv yxV =

• é o valor mínimo da função, então vya →> 0 { }vyyRyf ≥∈= /)Im( • é o valor máximo da função, então vya →< 0 { }vyyRyf ≤∈= /)Im(

4.5 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA O crescimento de uma função quadrática depende do valor do coeficiente da função

, definida por com ""a

RRf →: cbxaxxfy ++== 2)( 0≠a . Para descobrirmos em qual intervalo a função é crescente e ou decrescente, devemos analisar os valores em x (domínio), para assim estabelecermos o intervalo de crescimento e ou decrescimento da função, observe as figuras abaixo.

Matemática Aplicada 38 1º Caso: 0>a

FIG. 4.11 Crescimento e Decrescimento. 2º Caso: 0<a

FIG. 4.12 Crescimento e Decrescimento Observações: No 1° caso a função é decrescente na intervalo f ),( vx−∞ e crescente no intervalo . ),( +∞vxNo 2° caso a função é crescente no intervalo f ),( vx−∞ e decrescente no intervalo . ),( +∞vx EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Faça o estudo completo de cada uma das funções abaixo. a) 43)( 2 −−= xxxf b) 123)( 2 ++−= xxxf c) 44)( 2 ++= xxxf d) 44)( 2 ++= xxxf 2) Em certa plantação de feijão, a produção P, de feijão depende da quantidade q , de fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa por . Considerando nessa lavoura a produção medida em Kg e a quantidade de fertilizante em g/m² , faça um esboço do gráfico, comente os significados dos principais pontos, determine a quantidade de fertilizante para que a produção seja máxima, bem como a produção máxima.

525903)( 2 ++−= qqqP

3) Um vendedor anotou as vendas de um eletrodoméstico nos 21 dias em que trabalhou na seção de utilidades de uma loja de departamentos e notou que o número de aparelhos vendidos, dados por N , em um função do número de dias, dado por t , pode ser obtido por . Diante dessa situação, esboce o gráfico da função salientando os principais pontos e seus significados.

16425,0)( 2 +−= tttN

39Capítulo 4 – Função Quadrática 4) Em um ano, o valor v , de uma ação negociada na bolsa de valores, no decorrer dos meses, indicados por t , é dado pela expressão . Sabendo que o valor da ação é dado em reais (R$), faça um esboço do gráfico, comente o significado dos principais pontos e determine a variação percentual da ação após um ano.

60102)( 2 +−= tttv

5) Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de um certo produto é dado por

. Nessas condições, calcule: 300080)( 2 +−= xxxCa) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo; b) o valor mínimo do custo; 6) Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula CRL −= , em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que e . Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo?

26000)( xxxR −= xxxC 2000)( 2 −=

7) Para um determinado produto comercializado, a receita e o custo são dados, respectivamente, por e qqqR 10002)( 2 +−= 35000200)( += qqC . Obtenha então: a) Os gráficos da receita e custo do produto comercializado. b) Os intervalos de crescimento e decrescimento da função receita, a quantidade para que a receita seja máxima e a receita máxima. c) Os break-even points e seu significado. d) As regiões em que o lucro é positivo e em que o lucro é negativo. e) A função lucro e o seu gráfico. f) A quantidade pra que o lucro seja máximo e o lucro máximo correspondente. 8) O número N, de apólices vendidas por um vendedor de seguros pode ser modelado pela expressão , onde representa o mês da venda. 3214)( 2 ++−= tttN a) Esboce o gráfico dessa função a partir de uma tabela com o número de apólices vendidas para os dez primeiros meses de vendas. b) De acordo com os dados obtidos anteriormente, em que mês foi vendido o máximo número de apólices e qual o número máximo vendido? c) Qual a média de apólice vendidas por mês para os cinco primeiros meses? E para os dez primeiros meses? 9) Para cada item a seguir, esboce o gráfico a partir da concavidade, dos pontos em que a parábola cruza os eixos e o vértice. a) 542 −−= xxyb) 1682 +−= xxyc) 963 2 ++−= xxyd) 642 −+−= xxy 10) Para a comercialização de relógios,um lojista nota que a receita é dada por

e o custo é dado por . qqqR 1203)( 2 += 375202)( 2 ++= qqqC a) Esboce o gráfico da receita e custo sobre o mesmo sistema de eixos coordenados. b) Determine os break-even points. c) Indique no gráfico do item anterior as quantidades para as quais o lucro é positivo. d) Obtenha a função lucro e esboce o gráfico, indicando os principais pontos. e) Qual a quantidade de relógios a ser comercializada para que o lucro seja máximo? Qual o lucro máximo? f) Para quais quantidades comercializadas o lucro é positivo?

_ Capítulo 5 FUNÇÃO EXPONENCIAL

A Geometria faz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar, e esse hábito pode ser empregado, então, na pesquisa da verdade e ajudar-nos na vida.

Jacques Bernoulli 5.1 INTRODUÇÃO

Nesse capítulo, você analisará as funções exponenciais obtendo-as a partir do fator multiplicativo. Você estudará aplicações da função exponencial como montante de uma dívida ou aplicação, juros compostos, o crescimento populacional, entre outros. Você estudará também diferentes maneiras de obter e interpretar a função exponencial. 5.2 POTÊNCIA Consideremos a seguinte situação: Ao lançarmos uma moeda, temos dois resultados possíveis: cara ou coroa. Se lançarmos duas moedas diferentes, por exemplo, uma de R$ 0,10 e outra de R$ 0,50, teremos quatro possibilidades diferentes: (cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara) ou (coroa, coroa). Se lançarmos três moedas diferentes, serão oito resultados possíveis. E assim por diante. Então, a relação entre o número de moedas e o número de resultados é mostrada na tabela abaixo:

Número de Moedas Número de resultados 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 ⋮ ⋮

Tabela 5.1 – Lançamento de moedas Vemos através da tabela que: 24 2= ; 4=2²; " "a ; e assim por diante. Essa situação ilustra a operação de potenciação que iremos recordar nesse capítulo. 5.2.1 Potência de um expoente racional

Seja " "a um número real positivo. Para todo n N∈ , a potência na , de base a e expoente n é definida como produto de n fatores iguais a " "a . Para 1n = , como não há produto de um só fator, põe-se 1a a= , por definição. De modo geral, para quaisquer *,m n N∈ , tem-se:

.m n m na a a += Essa propriedade continua válida para um número qualquer de fatores. Para 1 2, ,..., pm m m

quaisquer pertencentes a *N , temos: 1 21 2 .... ..... p pm m m mm ma a a a + + +=

Convenção: 0 1a =

Capítulo 5 – Função Exponencial 41 5.2.2 Propriedades de potência de um número real

As propriedades mostradas abaixo não serão demonstradas devido a finalidade do curso, porém o estudante que quiser fazê-las, terá como base a equação .m n m na a a += Sendo a e b reais e m e n racionais, valem as seguintes propriedades: [1] .m n m na a a +=

[2] m

m nn

a aa

−=

[3] ( ). .n n na b a b=

[4] n n

n

a ab b

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

[5] ( ) .nm m na a=

[6] n na b

b a

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

[7] ( ) 1nnaa

− =

[8] 1

* ,nna a a R= ∀ ∈

[9] * ,m

n mna a a R= ∀ ∈ EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Calcule as potências a) ( )32−

b) 33

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 35

2−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

d) ( )129

e) 51

2⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 4 37 .7 g) 8 55 : 5 5⁸:5⁵

2) Calcule o valor de

12

2

142332

y

−⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥=⎢ ⎥⎛ ⎞+ −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

.

Matemática Aplicada 42 3) Sabendo que 2 2 5x x−+ = , calcule o valor de 4 4x x−+ . 4) Simplifique as expressões abaixo.

a) 2 13 33

x x

x

+ +−

b) 3 2

1

5 5 55

x x x

x

− −

−

− +

5.3 MODELOS DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS

Estudaremos nesta secção problemas e situações práticas que envolvem modelos exponenciais. Vamos considerar uma pessoa que toma emprestada a quantia de $10.000,00R e cujo montante da dívida seja corrigido a uma taxa de juros de 5% que incide mês a mês sobre o montante do mês anterior. Podemos determinar tal montante utilizando um fator multiplicativo:

• Após o 1º mês: M(1)=Valor inicial+5% do valor inicial

5 M(1)=10.000+ .10.000100

M(1)=10.000+0,05.10.000 M(1)=10.000(1+0,05) M(1)=10.000(1,05) M(1)=10.500

Notamos por esses passos que, se quisermos aumentar em 5% uma quantia, basta multiplicá-la pelo fator 1,05 . Chamaremos esse fator de aumento de fator multiplicativo. Para determinação do montante após dois meses de maneira análoga aos passos anteriores, ressaltaremos o aparecimento do fator multiplicativo. Desta maneira temos:

• Após o 2º mês: M(2)=Montante após o 1° mês+5% do Montante após o 1° mês M(2)=M(1)+5%M(1) M(2)=10.500+5%.10.500 M(2)=10.500+0,05.10.500 M(2)=10.500(1+0,05) M(2)=10.500(1,05)

Mas por outro, temos que (1) 10.500 10.000(1,05)M = = , então segue que: M(2)=10.000(1,05).(1,05) M(2)=10.000(1,05)²

Após três meses, representando o montante por (3)M temos que: M(3)=10.000(1,05)³

Capítulo 5 – Função Exponencial 43

Para o cálculo dos montantes mês a mês, utilizamos o fator multiplicativo incidindo no montante do mês anterior, porém podemos simplificar ainda mais tais cálculos e obter o montante de qualquer mês sem, no entanto recorrer ao mês anterior. Na verdade, é possível obter o montante em um mês qualquer a partir do valor inicial e do fator multiplicativo se considerarmos os seguintes raciocínios: Observemos que o montante de cada mês é calculado multiplicando-se o valor anterior pelo fator 1,05 , então temos que:

4

M(1)=10.000(1,05) M(2)=10.000(1,05)² M(3)=10.000(1,05)³ M(4)=10.000(1,05)

De modo geral, podemos escrever o montante para x meses da seguinte forma:

xM(x)=10.000(1,05) Nesse exemplo temos que o capital inicial ( )C era de $10.000,00R e a taxa ( )i era de 5% a.m.. Desta forma podemos reescrever a fórmula acima da seguinte maneira:

xiM(x)=C. 1+100

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Montante do exemplo anterior é mostrado na figura abaixo.

10 20 30 40 50 60 70

10

20

30

40

50

60

70

x

y

FIG 5.1 – Montante para $10.000,00R

Observação: Notamos que tal função é crescente, e isso se deve ao fato de sua base 1,05 ser um número maior que 1. Exemplo 1: Outro exemplo de função exponencial é dado quando consideramos uma máquina cujo valor é depreciado no decorrer do tempo a uma taxa fixa que incide sobre o valor da máquina no ano anterior. Nessas condições, se o valor inicial da máquina é de $240.000,00R e a depreciação é de 15% ao ano, vamos obter o fator multiplicativo e, na seqüência, a função que representa o valor no decorrer do tempo.

Matemática Aplicada 44 Solução: Antes vale considerar que depreciação é a perda (diminuição) no valor do bem, sendo assim, a cada ano, o bem reduz uma determinada taxa, nesse caso, 15% .

xiD(x)=C. 1-100

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

x

x

15D(x)=240.000. 1-100

D(x)=240.000. 0,85

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

O fator multiplicativo para esse exemplo é 0,85 , e, portanto menor que 1.

A função ( )xD(x)=240.000. 0,85 representa o valor da máquina ao longo do tempo, veja a figura abaixo que nos mostra a representação gráfica dessa função.

20 40 60 80

20

40

60

80

x

y

FIG 5.2 Depreciação de uma máquina

5.4 CARACTERIZAÇÃO GERAL DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL Definição: uma função exponencial é dada por:

( ) . xy f x b a= = , com 0, 1 e 0a a b> ≠ ≠ . O coeficiente b representa o valor da função quando 0x = e nos dá o ponto em que a curva corta o eixo y ;

• Se 1a > , a função é chamada de função crescente; • Se 0 1a< < , a função é chamada de função decrescente.

5.4.1 Gráfico de uma função exponencial O gráfico de uma função exponencial é uma curva, em que devem ser observadas algumas particularidades:

• o gráfico nunca corta o eixo das abscissas (Ox), ou seja, a função não tem zeros (raízes); • o gráfico corta o eixo das ordenadas (Oy) no ponto ( )0,1 ; • os valores de y são sempre positivos.

Capítulo 5 – Função Exponencial 45 Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é o conjunto dos números reais positivos. Ou seja:

*

( )Im( )D f R

f R+

=

=

Quanto à base da função, devemos considerar dois casos: 1º Caso:

• Base maior que um ( 1) ( ) xa f x a> → = ; • A função é crescente; • ( )D f R= ; • Sua imagem são os reais positivos, ou seja, *Im( )f R+= ; • Para quaisquer 1x e 2x do domínio: 2 1 2 1( ) ( )x x f x f x> ⇒ > .

Exemplo 2: Esboce o gráfico da função dada por ( ) 2 (nesse caso 2 logo, a>1)xf x a= = Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y , obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

x 2− 1− 0 1 2 y 1

4

12

1 2 4

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

FIG 5.3 Função Exponencial

2º Caso:

• Base entre zero e um (0 1) ( ) xa f x a< < → = ; • A função é decrescente; • ( )D f R= ; • Sua imagem são os reais positivos, ou seja, *Im( )f R+= ; • Para quaisquer 1x e 2x do domínio: 2 1 2 1( ) ( )x x f x f x> ⇒ < .

Matemática Aplicada 46

Exemplo 3: Esboce o gráfico da função dada por 1 1( ) (nesse caso logo, 0<a<1)2 2

x

f x a⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y , obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

x 2− 1− 0 1 2 y 4 2 1 1

2

14

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

FIG 5.4 Função Exponencial

As funções exponenciais são usadas para representar muitos fenômenos nas ciências

naturais e sociais. A base mais comumente usada é o número 2,7182...e = , número irracional chamado número de Euler.

A função exponencial ( ) xf x e= é chamada de função exponencial natural. Para simplificar a tipografia, esta função é, algumas vezes, escrita como exp( )x . Assim, por exemplo, você pode ver a relação 1 2x xe + expressa como 1 2 1 2exp( ) exp( ).exp( )x x x x+ =

Esta notação é também usada por recursos computacionais, e é típico acessar a função xe com alguma variação do comando EXP . Voltaremos a falar de exponencial xe , mas como a

sua inversa que chamaremos de ln( )x . 5.5 LOGARÍTMO Definição: Dados os números reais positivos a e b , com 1b ≠ , chamamos de logaritmo de a na base b , o número real c , que deve ser o expoente de b , para que a potência seja igual ao número a , ou seja:

c

bbaca =⇔=log , com a>0, b>0 e b≠1.

Neste caso " "a é chamado de logaritmando, " "b é chamado de base e " "c é o logaritmo. Esses logaritmos são chamados de logaritmos decimais. De modo análogo à base de 10,

ao trabalhar na base e denotamos simplesmente por xc =ln (chamado de logaritmo natural). Em outras palavras, temos log ln

e= .

Enfatizaremos o logaritmo escrito na base e , também conhecido como logaritmo natural, pois tal base é comum em muitos fenômenos naturais, bem como em várias aplicações nas áreas de administração e economia. As calculadoras científicas possuem as teclas log e ln que

Capítulo 5 – Função Exponencial 47calculam o valor do logaritmo nessas bases. As calculadoras financeiras possuem pelos menos a tecla ln , que fornece o logaritmo natural, por esse motivo estaremos priorizando essa notação para o desenvolvimento das propriedades e dos problemas adiante.

Exemplo 4: De acordo com a definição, podemos escrever:

32log 8 2 8 2 2 3c cc c= ⇔ = ⇒ = ⇒ =

Nesse exemplo vemos que, 2 é a base; 8 o logaritmando ou antilogaritmo e 3 é o

logaritmo. Notamos que respeitadas as condições de existências, podemos escrever logaritmos em diversas bases, porém as bases mais usadas nos cálculos matemáticos e nos estudos de fenômenos naturais são a base 10 e a base e .

Quando se trabalha na base 10, denotamos 10log x simplesmente por log x . 5.5.1 Propriedades dos logaritmos

Na manipulação dos logaritmos, podemos trabalhar com muitas propriedades, entretanto, conforme proposto, vamos estabelecer apenas as propriedades necessárias para a resolução das equações que seguem nos problemas envolvendo funções exponenciais. Cabe ainda lembrar que as propriedades desenvolvidas a seguir são expressas na base e , sendo válidas de forma similar, para outras bases. No que se segue, temos que 0a > , 0b > , e k R∈ . [1] ln( · ) ln( ) ln( )a b a b= +

[2] ln ln( ) - ln( )a a bb

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

[3] ln( ) .ln( )ka k a= Exemplo 5: Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a uma taxa de 1,2% a.m. para triplicar seu valor inicial?

Utilizando a fórmula algébrica para o montante em juros compostos: ( ) 1100

xiM x C ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

temos:

Suponha um capital inicial de R$ 100,00. Desta forma segue-se:

n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

1002,11100300 Resolvendo essa equação encontramos:

3)012,1( =n Aplicando logaritmo natural nos dois membros da equação temos:

ln(1,012) ln(3).ln(1,012) ln(3)

ln(3)ln(1,012)92

n

n

n

n

==

=

≅

Matemática Aplicada 48 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Cada uma das funções adiante corresponde à quantidade de uma substância presente no instante t . Em cada caso, calcule a quantidade presente inicialmente (em 0t = ), determine se a função é crescente ou decrescente. a) ( ) 100(1,07)tf t = b) ( ) 5,3(1,054)tf t = c) ( ) 3500(0,93)tf t = d) ( ) 12(0,88)tf t = 2) AS funções a seguir descrevem a população de quatro cidades ao longo do tempo t , medido em anos. a) ( ) 600(1,12)tP t = b) ( ) 1000(1,03)tP t = c) ( ) 200(1,08)tP t = d) ( ) 900(0,90)tP t = i) Que cidade tem maior crescimento? Qual é o percentual? ii) Que cidade tem maior população inicial? Qual a população? iii) A população de alguma das cidades está diminuindo? Se algumas estão, quais são? 3) Uma cidade tem população de 1000 pessoas no instante 0t = . Em cada um dos casos a seguir, obtenha uma função para descrever a população P , da cidade como em função do tempo t , em anos. a) A população cresce em 50 pessoas por ano. b) A população aumenta 5% ao ano. 4) A economia do mundo tem-se expandido. No ano 2000, o produto mundial bruto (a totalidade de bens produzidos e de serviços)foi de 45 trilhões de dólares e estava crescendo segundo um percentual de 4,7% ao ano. Suponha que esta taxa de crescimento permaneça constante. a) Encontre uma fórmula para o produto mundial bruto, W (em trilhões de dólares), como uma função de t , o número de anos a partir de 2000. b) Qual será o produto mundial bruto em 2010 segundo este modelo? c) Trace o gráfico de W em função de t .

5) O montante de uma dívida no decorrer de x meses é dado por xiM(x)=C. 1+

100⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. Sabe-se

que o valor presente de uma dívida é de R$25.000,00 e a taxa de juros ao mês é de 3%. Determine após quanto tempo o montante será de R$40.000,00. 6) Um carro cujo valor inicial é de R$35.000,00 e cuja depreciação é de 12,5% ao ano. Determine após quanto tempo o valor do carro é e metade do valor inicial. 7) Seja uma aplicação financeira no valor de R$50.000,00 a uma taxa de juros de 8% ao ano. a) Calcule o montante após 1, 5 e 10 anos da aplicação inicial. b) Esboce o gráfico do montante após x anos. c) Após quanto tempo o montante será de R$80.000,00?

Capítulo 5 – Função Exponencial 49 8) Um automóvel após a compra tem seu valor depreciado a uma taxa de 10% ano. Sabendo que o valor pode ser expresso por uma função exponencial e que seu valor na compra é de R$45.000,00: a) Obtenha o valor V como função dos anos x após a compra do automóvel, isto é, ( )V f x= . b) Obtenha o valor do automóvel após 1, 5 e 10 anos após a compra. c) Esboce o gráfico de V(x). d) Utilizando apenas a base da função, determine a depreciação percentual em 3 anos. e) Após quanto tempo o valor do automóvel será de R$25.000,00? 9) O preço médio dos componentes de um eletrodoméstico aumenta conforme uma função exponencial. O preço médio inicial dos componentes é de R$28,50, e a taxa percentual de aumento é de 4% ao mês. a) Obtenha o preço médio P como função dos meses t após o montante em que foi calculado o

preço médio inicial, isto é,

xiM(x)=C. 1+100

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ .

b) Calcule o preço médio dos componentes após 1, 5 e 10 meses do momento em que foi calculado o preço médio inicial. c) Esboce o gráfico de P(t). d) Após quanto tempo o preço médio dos componentes duplicará? 10) Uma cidade no ano de 2000 tinha 1.350.000 habitantes e, a partir de então, sua população cresce de uma forma exponencial a uma taxa de 1,26% ano. a) Obtenha a população como função dos anos , isto é, P=f(t). b) Estime a população da cidade para os anos de 2001, 2003, 2005 e 2010. c) Esboce o gráfico de P(t). d) Em que ano a população será de 15.000.000 habitantes? e) Após quanto tempo a população será duplicará?