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MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 1

MATEMÁTICA I

FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL


EMENTA

Funções Reais de uma Variável RealPrincipais Funções Elementares e suas AplicaçõesMatrizesLivro Texto:

Leithold, Louis. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Ed. Harbra, 2001.


CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto dos Naturais: IN={0, 1, 2, ...}.Conjunto dos Inteiros:

Z={...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}Conjunto dos Racionais:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≠∈∈= 0,,/ qZqZpqpQ

QQEx ∈=∈−

133,

52:.


CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto dos Irracionais: são os números que não podem ser escritos na forma p/q.

Conjunto do Reais: IR= Q U I

K1415,3,3,2:. 5 =∈∈ πIIEx


INTERVALOS

São subconjuntos de IR. Sejam a e b números reais tais que a<b. Definimos:Intervalo aberto:

Intervalo fechado:

] [ ( ) { }bxaRxbaba <<∈== /,,

o

b

o

a

[ ] { }bxaRxba ≤≤∈= /,

●a

●b


Tipos de Intervalos

Intervalo semi-aberto à direita:

Intervalo semi-aberto à esquerda:

[ [ [ ) { }bxaRxbaba <≤∈== /,,ob

●a

] ] ( ] { }bxaRxbaba ≤<∈== /,,oa

●b


Tipos de Intervalos

Intervalo aberto de a até infinito:

Intervalo fechado de a até infinito:

] [ ( ) { }axRxaa >∈=∞=∞ /,,oa

[ [ [ ) { }axRxaa ≥∈=∞=∞ /,,

●a


Tipos de Intervalos

Intervalo aberto de menos infinito até b:

Intervalo fechado de menos infinito até b:

] [ ( ) { }bxRxbb <∈=∞−=∞− /,,O

b

] [ ( ] { }bxRxbb ≤∈=∞−=∞− /,,●

b


PRODUTO CARTESIANO

Produto Cartesiano de A por B : É o conjunto formado pelos pares ordenados, dentro dos quais o primeiro elemento de cada par pertence ao conjunto A e o segundo elemento de cada par pertence ao conjunto B, sendo A e B conjuntos dados, não vazios. Este conjunto é denotado por A x B


EXEMPLOEx : A={0,1,2}, B={5,6}, AxB={(0,5);(1,5);(2,5);(0,6);(1,6);(2,6)}

Obs : A x {}=Bx{}={}.Se A e B são não vazios, denotando o número de elementos de A por n(A) e o número de elementos de B por n(B), temos que o número de elementos de AxB dado por n(AxB) é dado pelo produto de n(A) por n(B), ou seja :

n(AxB) = n(A) . n(B)No exemplo acima temos

n(AxB) = 3 . 2 = 6.


RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS

Relação de um conjunto A com um conjunto B, dados A e B é um subconjunto qualquer de AxBEx : A = {0,1,2}, B = {5,6}, R = {(0,5);(1,6)} , R AxB, logo é uma relação de A em B. Se diz neste exemplo que o elemento 0 A é relacionado com o elemento 5 B e o elemento 1 A érelacionado com o elemento 6 B.

⊂

∈∈ ∈

∈


Representação GráficaQuando os Conjuntos A e B são numéricos, as relações são formadas por pares ordenados de números. Um par ordenado de números reais pode ser representado geometricamente por meio de dois eixos perpendiculares, sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas, ou eixo x; e o vertical, de eixo das ordenadas ou eixo y.Um par ordenado (a,b) pode ser representado colocando-se a no eixo x, e b no eixo y, e traçando-se uma vertical por a e uma horizontal por b. O ponto P de intersecção dessas duas retas é a representação do par (a,b).


Representação GráficaDessa forma, podemos representar geometricamente a relação R do exemplo anterior.

(0,5)●

(1,6)●

x

y

0

6

1


Função

Função de um conjunto A com um conjunto B é uma relação de A com B, com as seguintes propriedades (A e B são não vazios):

1. Todos os elementos de A são relacionados com elementos de B

2. Um elemento de A não pode ser relacionado com dois ou mais elementos de B


Exemplos1. A={4,7,8}; B={9,2,1,6} R = {(4,1);(7,9)}. R

não é uma função, pois nem todos os elementos de A são relacionados com os elementos de B

2. A={4,7,8};B={9,2,1,6} R = {(4,9);(4,1);(7,6);(8,9)}. R não é uma função, pois apesar de todos os elementos de A estarem relacionados com B, temos que um elemento de A (o 4) estárelacionado com dois elementos de B (9 e 1).


Exemplos

3. A = {4,7,8};B={9,2,1,6} R = {(4,9);(7,9);(8,6)}. R é uma função. Além de todos os elementos de A estarem relacionados com B, esses estão relacionados cada um com apenas um elemento de B.


Representações de uma função

Por uma letra minúscula qualquer seguida de dois pontos, seguida do conjunto A, de uma seta, e do conjunto B, sendo abaixo colocadas as relações entre os elementos de A com os elementos de B. Por exemplo, tomando os conjuntos A e B como no exemplo anterior temos a seguinte representação:

f: {4,7,8} {9,2,1,6}

4 9

7 9

8 6



Por lei de associação. Quando existe uma forma geral de associar os elementos de A com os de B, éutilizada esta representação. É utilizada uma letra minúscula (por exemplo g) seguida por outra letra minúscula (geralmente x) dentro de um parênteses, vindo após o sinal de igualdade com a lei de associação adequada.Ex : A={1,2,3}; B={6,7,8,9}, g(x) = x +5, ou seja g: A B é tal que 1 é associado a 1+5=6, 2 éassociado a 2+5=7 e 3 a 3+5=8. A letra x échamada de variável.



Por Diagrama de Venn (ou de flechas), onde as relações são dadas por setas.

1

7

8

6

5

4

3

13

9

A B


Domínio, contra domínio e imagem

O conjunto A é chamado de domínio da função. O conjunto B é denominado de contra domínio da função. O conjunto formado pelos elementos de B relacionados aos elementos de A é definido como imagem da função. Neste exemplo, o domínio é dado por {1,7,8,6}, o contra domínio é definido por {5,4,3,9,13} e sua imagem é dada por {5,9,3}.


FUNÇÕES REAIS UMA VARIÁVEL REAL

São todas aquelas funções com domínio em A e contradomínio em B, onde tanto A como B são subconjuntos dos reais.

2

),0[:xyx

IRf=

→∞a


Exercícios1. Uma livraria vende uma revista por R$ 5,00 a unidade. Seja x

a quantidade vendida.a) Obtenha a função receita R(x);b) Calcule R(40);c) Qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$ 700,00?

2. O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função C(x)=100+ 2x.a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades?b) Qual o custo de fabricação da décima unidade, já tendo sido fabricadas nove unidades?

3. Resolva a questão anterior considerando a função custo C(x)=1/3 x3 -24x2+ 600x + 400.


Exercícios4. Chama-se custo médio de fabricação de um produto ao custo de

produção dividido pela quantidade produzida. Indicando o custos médio correspondente a x unidades produzidas por Cme=C(x)/x. O custo de fabricação de x unidades de um produto é C(x)=500+4x.a) Qual o custo médio de fabricação de 20 unidades?b) Qual o custo médio de fabricação de 40 unidades?c) Para que valor tende o custo médio à medida que se aumenta x?

5. Em determinado país o imposto de renda é igual a 10% da renda, para rendas até $ 900,00. Para rendas acima de $ 900,00, o imposto de renda é igual a $ 90,00 (10% de $ 900,00) mais 20% da parte de renda que excede $ 900,00.a) Qual o imposto de renda para uma renda de $ 600,00?b) Qual o imposto de renda para uma renda de $ 1.200,00?c) Chamando de x a renda e de y o imposto de renda, obtenha a expressão de y em função de x.


Exercícios6. Determine o domínio das seguintes funções:

2)2)13))

362)3

31)

13)

21)

2)72)

−+=−=−−

==

+−=−

+=

−=

−=

−=+=

xxyjxyexxyixyd

xxyh

xxyc

xyg

xyb

xyfxya


Funções Crescentes e Decrescente

Dizemos que uma função f é crescentenum intervalo [a,b] se para quaisquer valores x1 e x2 do intervalo, com x1< x2tivermos f(x1) < f(x2).Analogamente dizemos que f édecrescente num intervalo [a,b] se para quaisquer valores x1 e x2 do intervalo, com x1< x2 tivermos f(x1) < f(x2).


Funções Crescentes e Decrescentes

a b a b

Crescente Decrescente


Funções Crescentes e Decrescentes

●

●

●

o

o

o

1 2

1

2

3

a

b

Não-decrescente Não-crescente


Ponto de Máximo e de MínimoSeja uma função definida num domínio D. Dizemos que xo é um ponto de máximo relativo (ou simplesmente ponto de máximo) se existir um intervalo aberto I, com centro em xo tal que:

Em outras palavras se as imagens de todos os valores de x pertencentes ao domínio, situados num intervalo centrado em xo, forem menores ou iguais à imagem de xo.

.)()( 0 DIxxfxf ∩∈∀≤


Ponto de Máximo e de MínimoAnalogamente dizemos que xo é um ponto de mínimo relativo (ou simplesmente ponto de mínimo) se existir um intervalo aberto I, com centro em xo, tal que:

Em outras palavras se as imagens de todos os valores de x pertencentes ao domínio, situados num intervalo centrado em xo, forem menores ou iguais àimagem de xo.

.)()( 0 DIxxfxf ∩∈∀≥


Ponto de Máximo e de Mínimo

Dizemos que x0 é um ponto de máximo absoluto se

E x0 é um ponto de mínimo absoluto se

.)()( 0 Dxxfxf ∈∀≤

.)()( 0 Dxxfxf ∈∀≥


Ponto de Máximo e de Mínimo

Pontos de máximo: a, x2, b.Pontos de mínimo: x1, x3.x2 é máx. absoluto e x1 é min. absoluto.

a

x1

x2

x3

b

●●


Estudo do Sinal de uma Função

Estudar o sinal de uma função significa obter os valores de x para os quais y>0 ou y < 0 ou y = 0.

1

3 5

6

++

-


Estudo do Sinal de uma Função

No exemplo anterior temos na função definida no intervalo [1,6]:y > 0 para 1≤ x < 3 ou para 5 < x ≤ 6;y < 0 para 3< x < 5;y = 0 para x = 3 ou x = 7.Obs.: x=3 e x=7 são denominados zeros ou raízes da função.


Exercícios1. Obtenha os intervalos nos quais a função dada é crescente e

nos quais ela é decrescente indicando pontos de máximo e de mínimo.

-2

1

-4

-7

3 5 6

●

●


Exercícios2. Estude o sinal das seguintes funções:

x3

a)

x4b)

2 5 xc)

2 5x

x

e)

-1 0 1f)


Principais Funções Elementares

Função ConstanteSeja . Chamamos de função constanteà função dada por:

lRc∈

cxfyxlRlRf

==→

)(:

a


Função Constante

Observação: 1. Im f = {c};2. O gráfico de f é uma reta horizontal

de ordenada c.

x

yc

f(x) = c


Função Linear

Seja Chamamos de função linear àfunção dada por:

Obs.: Se a≠0, temos:1. Im f = lR;2. O gráfico de f é uma reta que passa pela

origem (0,0) do plano cartesiano.

.lRa∈

axxfyxlRlRf

==→

)(:

a


Função Linear

x

y f(x) = ax


Função Linear

3. A função linear f(x) = x é chamada função identidade e contém as bissetrizes do 1º e 3º quadrantes.

x

y

f(x) = x

1

1


Função do 1º Grau (ou Afim)

Sejam com a≠0. Chamamos de função afim ou do 1º grau à função dada por:

,, lRba ∈

baxxfyxlRlRf

+==→

)(:

a

Y = ax + b

x

y

b ὠ


Função do 1º Grau (ou Afim)Observações:

1. As funções lineares f(x) = ax são casos particulares de funções afins f(x)=ax +b, em que b = 0;

2. Im f = lR;3. O gráfico de f é uma reta no plano cartesiano,

inclinada em relação aos eixos;4. O número b é denominado coeficiente linear da reta

e determina a ordenada em que esta reta intercepta o eixo y (pois b= f(0));

5. O número a é denominado coeficiente angular ou inclinação da reta (especifica a sua direção) a=tg ὠ.



5. Além disso, se:1. a>0, então f(x)=ax+b é crescente, isto é, x2>x1

implica f(x2)>f(x1) (isto significa que à medida que “aumentam” os valores de x, “aumentam”os valores correspondentes y=f(x);

2. a<0, então f(x)=ax+b é decrescente, isto é, x2>x1 implica f(x2)<f(x1) (isto significa que àmedida que “aumentam” Os valores de x, “diminuem” os valores correspondentes y=f(x).



(a>0) (a<0)

x1 x2

f(x1)

f(x2)

x1 x2

f(x1)

f(x2)

y

xx

y

Função crescente Função decrescente


Função do 1º Grau (ou Afim)6. O estudo da variação de sinal da função f(x)=ax+b pode ser

dividido em dois casos:1º caso: a>0:

.0)(;0)(;0)( <⇒−<>⇒−>=⇒−= xfabxxf

abxxf

abx

-b/a

(+)

(-) x

y


Função do 1º Grau (ou Afim)6. 2º caso: a<0:

.0)(;0)(;0)( >⇒−<<⇒−>=⇒−= xfabxxf

abxxf

abx

-b/a

(+)

(-) x

y

b


Exemplos1. Obtenha a função cujo gráfico é dado pela figura

abaixo:

Seja y=a.x+b a função procurada. Então:b=1 (onde corta o eixo y), assim y=a.x+1; o ponto (1,3) pertence ao gráfico,logo: 3=a.1+1, sendo assim a=2; desta forma y=2x+1.

1

3

1


Exemplos2. Obtenha a função cujo gráfico é dado pela figura abaixo:

Seja y=ax+b a função procurada. Pelo gráfico temos:

1 2

2

3

⎩⎨⎧

+⋅=+⋅=

baba

1223


ExemplosSubtraindo membro a membro teremos:

3-2=2.a-1.a=a(2-1)

Assim, y=x+b. Novamente como o ponto (1,2) pertence ao gráfico, temos: 2=1+b o que acarreta b=1, logo: y=x+1.

De uma forma mais geral, conhecendo dois pontos P(x0,y0) e Q(x1,y1) de uma reta, o seu coeficiente angular a, é dado por:

11223=

−−

=a

01

01

xxyya

−−

=


Exemplos

Conhecendo um ponto P(x0,y0) de uma reta e seu coeficiente angular a, a função correspondente é dada por:

y-y0= a(x – x0)


Exercícios1. Esboce os gráficos da funções:

a) y=5; b)y=-3x; c)y=3x+2; d)y=-x+2.2. Estude o sinal das seguintes funções:

a)y=2x-6; b)y=-3x; c)y-2x+8; d) y=5x+2.3. Obtenha a equação da reta que passa por P e tem coeficiente

angular a nos seguintes casos:a) P(1,3) e a=2; b) P(-1,4) e a=-1; c) P(-1,-2) e a=2.

4. Obtenha a equação da teta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:a)A(1,2) e B(2,3); b) A(-1,0); c) A(2,1) e B(0,4).


AplicaçõesFunções Custo, Receita e Lucro

Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção depende de x, e a relação entre eles chamamos de função custo e a indicamos por C. Obs.: Existem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguros e outros.Seja x a quantidade vendida de um produto. Chamamos de função receita ao produto de x elo preço de venda e a indicamos por R.A função lucro é definida como a diferença entre a função receita R e a função Custo C. Assim,

L(x)=R(x) – C(x)


ExemploSuponhamos que a função custo seja C(x)=5000+10x e a função lucro seja L(x)=15x. O ponto denivelamento ou ponto crítico é o valor de x tal que R(x)=C(x).Ou seja, 15x=5000+10x,

5x=5000,x=1000.

Assim, se x>1000, o lucro será positivo, se x<1000, o lucro será negativo (prejuízo).A função lucro é dada por: L(x)=R(x)-C(x)

L(x)=15x-(5000-10x)L(x)=5x-5000


Exemplo

prejuízo

lucro positivo

1000

ponto crítico

R

CN


Exercícios1. Determine o ponto de nivelamento e esboce os gráficos da

função receita e custo em cada caso:a) R(x)=4x e C(x)= 50+2x; b) R(x)=200x e C(x)=10000+150x;

2. Obtenha as funções lucro em cada caso do exercício anterior, esboce o seu gráfico e faça o estudo do sinal.

3. Uma editora vende certo livro por $60,00 a unidade. Seu custo fixo é $10000,00 por mês, e o custo variável por unidade é $40,00. Qual o ponto de nivelamento?

4. Em relação ao exercício anterior, quantas unidades a editora deverá vender por mês para ter um lucro mensal de $8000,00?


Exercícios5. O custo fixo mensal de uma empresa é $30.000,00,

o preço unitário de venda é $8,00 e o custo variável por unidade é $6,00.a) obtenha a função lucro mensal;b) obtenha a função lucro líquido mensal, sabendo-se que o imposto de renda é 30% do lucro.

6. Uma editora pretende lançar um livro e estima que a quantidade vendida será 20.000 unidades por ano. Se o custo fixo de fabricação for $150.000,00 por ano, e o variável por unidade $20,00, qual o preço mínimo que deverá cobrar pelo livro para não ter prejuízo?


Aplicações

Função Demanda e Oferta do 1º GrauA demanda de um determinado bem éa quantidade desse bem que os consumidores pretendem adquirir num certo intervalo de tempo (dia, mês, ano e outros).

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