matematica livro 7º ano.pdf

7/25/2019 matematica livro 7º ano.pdf

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Índice

1. Introdução.................................................................................................................................. 3

2. Apresentação do Projecto ..................................................................................................... 4

2.1 Manual ..................................................................................................................................... 4

2.2 Livro de Apoio .......................................................................................................................... 6

2.3 Caderno de Tarefas ................................................................................................................. 7

2.4 O meu portefólio de Matemática ............................................................................................. 8

3. Estrutura do Caderno de Apoio ao Professor .................................................................... 11

4. Números e operações ........................................................................................................... 12

4.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 1A ......................................................................... 12

4.2 Teste de diagnóstico de conhecimentos 1B .......................................................................... 14

Soluções dos testes de diagnóstico de conhecimentos....................................................... 16

4.3 Proposta de planificação ....................................................................................................... 17

4.4 Propostas de resolução +RRC.................................................................................................. 20

4.5 Sugestões de exploração das Tarefas de investigação......................................................... 23

4.6 Tarefa de ligação (outros percursos)....................................................................................... 25

Proposta de resolução da Tarefa de ligação ........................................................................... 26

5. Geometria – Triângulos e quadriláteros ........................................................................... 27

5.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 2A........................................................................... 27

5.2 Teste de diagnóstico de conhecimentos 2B........................................................................... 29

Soluções dos testes de diagnóstico de conhecimentos....................................................... 31

5.3 Proposta de planificação ........................................................................................................ 32

5.4 Propostas de resolução +RRC.................................................................................................. 345.5 Sugestões de exploração das Tarefas de investigação......................................................... 36

5.6 Tarefas de ligação (outros percursos)..................................................................................... 38

Proposta de resolução das Tarefas de ligação ....................................................................... 40

6. Geometria – Semelhança ..................................................................................................... 41

6.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 3............................................................................. 41

Soluções do teste de diagnóstico de conhecimentos........................................................... 43








7. Álgebra – Sequências e regularidades ............................................................................ 52

7.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 4 ............................................................................. 52

Soluções do teste de diagnóstico de conhecimentos ........................................................... 54



7.4 Sugestões de exploração das Tarefas de investigação ........................................................ 59



8. Álgebra – Funções .................................................................................................................. 62





8.4 Sugestões de exploração da Tarefa de investigação............................................................. 69

8.5 Tarefas de ligação (outros percursos)..................................................................................... 70

Proposta de resolução das Tarefas de ligação ....................................................................... 72

9. Álgebra – Equações ................................................................................................................ 74








10. Organização e tratamento de dados ................................................................................. 86

10.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 7A ......................................................................... 86

10.2 Teste de diagnóstico de conhecimentos 7B ......................................................................... 88

Soluções dos testes de diagnóstico de conhecimentos ..................................................... 90

10.3 Proposta de planificação....................................................................................................... 91

10.4 Propostas de resolução +RRC................................................................................................ 93

10.5 Sugestões de exploração das tarefas de investigação ....................................................... 94

10.6 Tarefa de ligação (outros percursos)..................................................................................... 95

Proposta de resolução da Tarefa de ligação ......................................................................... 96



3

1. Introdução

Caros colegas,

O novo Programa de Matemática do Ensino Básico nasceu da necessidade de uma intervenção urgente,

que corrigisse os principais problemas existentes no ensino da Matemática, determinando-se que em vez deum programa radicalmente novo se procedesse a um reajustamento, tomando como ponto de partida o ante-

rior. Assumindo que constituiu, na época em que foi elaborado, um passo em frente na actualização das orien-

tações para o ensino da Matemática em Portugal, procura-se agora aperfeiçoá-lo e actualizá-lo à realidade dos

nossos dias.

Os autores do programa, por solicitação da DGIDC, apresentaram dois possíveis percursos temáticos de

aprendizagem. Cada um destes percursos é apresentado esquematicamente sob a forma de sequência de tópicos

e subtópicos matemáticos, distribuídos por anos de escolaridade em cada ciclo, indicando as balizas temáticas

do trabalho a realizar. Deste modo, cabe às escolas introduzirem as alterações que melhor se adaptam às caracte-

rísticas dos alunos, às suas condições e ao contexto social e escolar, ou mesmo conceber outros percursos.

O projecto Xis movimentou uma vasta equipa de colaboradores, investigadores, revisores pedagógicos e

científicos, que em conjunto com os autores traçaram as linhas orientadoras de um projecto em que um dos

objectivos principais é proporcionar ao professor todas as possibilidades de exploração no campo pedagógico

e científico, independentemente do percurso adoptado.

A Sociedade Portuguesa de Matemática foi escolhida por esta equipa como entidade certificadora do

manual, atestando a sua correcção científica e concordância com os conteúdos curriculares.

As nossas equipas incluem profissionais diversos e competentes. No entanto, sabemos que o contributo de

todos é essencial e que é necessário um esforço conjunto.

Colega: contamos consigo e estamos sempre disponíveis para as suas solicitações.

Paula Pinto Pereira

Pedro Pimenta



Para evitar que o Manual possa condicionar o professor no momento de definir o seu percurso, optámospor estruturá-lo de acordo com os grandes temas do Programa. Dividimos, assim, o Manual em quatro volu-mes, correspondendo cada volume a um tema: Números e operações; Geometria; Álgebra; e Organização etratamento de dados. Cada tema subdivide-se nos tópicos do Programa respectivos.

O desenvolvimento da capacidade dos alunos de resolver problemas, raciocinar e comunicar foi tido emconsideração transversalmente, nos quatro volumes, encontrando-se em particular nas rubricas RRC e +RRC.

4 • Caderno de Apoio ao Professor Xis 7

2. Apresentação do Projecto

O projecto Xis 7 é composto por: Manual ; Livro de Apoio; Caderno de Tarefas; O meu portefólio de

Matemática e Caderno de Apoio ao Professor . É, ainda, apoiado por uma forte componente multimédia.

2.1 Manual

Apresentam-se em seguida os percursos temáticos de aprendizagem sugeridos pelos autores do programa,por solicitação da DGIDC. No entanto, saliente-se que estes percursos não têm carácter vinculativo; cadaescola pode optar por criar um percurso alternativo.

PERCURSO A

Semelhança(Geometria)

PERCURSO B

Tratamento de dados

(Organização e tratamento de dados)

Números inteiros

(Números e operações)

Números inteiros(Números e operações)

Sequências e regularidades(Álgebra)

Triângulos e quadriláteros(Geometria)

Funções(Álgebra)

Sequências e regularidades(Álgebra)

Triângulos e quadriláteros(Geometria)

Funções(Álgebra)

Tratamento de dados(Organização e tratamento de dados)

Equações(Álgebra)

Equações(Álgebra)

Semelhança(Geometria)



5

Cada tópico/capítulo do Manual é desenvolvido da seguinte forma:

• Recorda: esta rubrica permite recordar conhecimentos adquiridos no 2.º Ciclo.

• Recorda, aplicando: tarefas envolvendo os conteúdos da rubrica «Recorda».

• Tarefa inicial: tarefa introdutória que permite fazer a exploração de novos conteúdos.

• Os conteúdos são apresentados em dupla página: a uma página de desenvolvimento de conteúdos cor-

responde uma página de tarefas intermédias; as tarefas intermédias terminam sempre com um exercício

RRC – Raciocinar, resolver, comunicar.

• Síntese: sistematização dos conceitos mais importantes do tópico/capítulo estudado.

• Tarefas finais: aqui encontram-se mais tarefas, para o aluno consolidar os conhecimentos adquiridos.

• +RRC: no final de cada capítulo (que corresponde a um tópico do Programa), encontra-se uma secção

pensada para conduzir o aluno a desenvolver as suas capacidades de raciocínio matemático, resolução de

problemas e comunicação matemática.

• Tarefas de investigação: tarefas que permitem valorizar as actividades experimentais, a criatividade, a

interdisciplinaridade e a utilização das tecnologias da informação e comunicação.

• Teste final: surge no fim de cada tópico/capítulo.

• Teste global: surge no fim de cada tema/volume do Manual .

• Tarefas de ligação: visam a conexão com os conteúdos que se vão estudar em seguida; no Manual apre-

sentam-se sempre, em alternativa, tarefas pensadas para o professor que segue o percurso A e tarefas

para o que segue o percurso B.

Recorda

Tarefas de ligação

Percurso A

Percurso BSíntese

Recorda, aplicando(conteúdos da rubrica

recordar)

Tarefa inicial(introdução

dos conteúdosdo tópico)

Desenvolvimentodos conteúdos

RRC

Tarefasintermédias

(relativas ao conteúdodesenvolvido

na página ao lado)

RRC

Teste f inal

Teste global

Tarefasde investigação

+RRC(raciocinar, resolver,

comunicar)Tarefas finais




2.2 Livro de Apoio

Para colmatar o problema da introdução do novo Programa a alunos do 7.º ano que no 2.º Ciclo estuda-

ram pelo Programa anterior e, consequentemente, não aprenderam alguns conteúdos, elaborámos um Livro

de Apoio que integra todos os conteúdos de transição. Este recurso será particularmente útil até 2012.

Tal como no Manual , estruturámos o Livro de Apoio por tema:

Livro de Apoio

Geometria

• Ângulos: amplitudee medição

– Distinguir ânguloscomplementares

e suplementares e identificar ângulos

verticalmenteopostos e ângulosalternos internos

Números e operações

Números naturais

• Números primos e compostos• Decomposição em factores

primos• Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum de dois

números• Potências de base 10• Multiplicação e divisão de potências

OTD

• Tabelas de frequênciasrelativas

• Gráficos circulares, de linhae diagramas de caule-e-

-folhas• Extremos e amplitude

Figuras no plano Representaçãoe interpretação de dados



7

Note-se que:

• as tarefas iniciais permitem recordar os conteúdos de transição, e outros, estudados no 2.º Ciclo;

• as tarefas globais permitem avaliar os conhecimentos adquiridos ao longo do tópico respectivo;

• as fichas contêm uma pequena síntese e um exercício resolvido, de forma a promover a autonomia;

• todas as páginas têm picotado, de forma a poderem, se assim se entender, ser retiradas, permitindo a sua

organização de acordo com o percurso escolhido pelo professor e a construção de um portefólio;

• pode ser usado qualquer que seja o percurso seguido pelo professor.

2.3 Caderno de Tarefas

O Caderno de Tarefas está estruturado da seguinte forma:

Caderno de Tarefas

Geometria

Tarefa inicial

Triângulose quadriláteros1. Ângulos de um triângulo2. Congruênciade triângulos3. Relação entre os ângulose os lados de um triângulo.Eixos de simetria

de um triângulo4. Quadriláteros. Diagonaise eixos de simetria5. Área de um paralelogramo

Tarefa global

Semelhança6. Figuras semelhantes.Polígonos semelhantes.Razão de semelhança7. Escalas. Métododa quadrícula.Método da homotetia8. Semelhançade triângulos9. Relação entre perímetros

e áreas de triângulossemelhantes.Aplicações da semelhançade triângulosTarefa global

Números e operações

Tarefa inicial

Números inteiros1. Multiplicação e divisãode números inteiros2. Potências em quea base é um número inteiroe o expoente é um númeronatural3. Raiz quadrada e raiz

cúbicaTarefa global

Álgebra

Tarefa inicial

Sequênciase regularidades1. Sequências. Termo geralde uma sequência numérica.Funções2. Correspondências.Noção de função. Domínioe contradomínio de uma

função3. Tabelas e gráficoscartesianos. Formasde representaçãode funções.Sequências e funções4. Funçõesde proporcionalidadedirecta. Relação entreo gráfico e a expressãoanalítica de uma funçãode proporcionalidadedirecta5. Outros gráficosTarefa global

Equações6. Expressões algébricas.Simplificaçãode expressões algébricas.Equações: termose conceitos7. Equações equivalentese classificação de equações8. Equações comparênteses. Resoluçãode equações. Resoluçãode problemas utilizandoequações

Tarefa global

Organizaçãoe tratamento de dados

Tarefa inicial

Tratamento de dados1. Dados agrupadosem classes. Histogramas2. Mediana e quartis.Diagramas de extremose quartis. Amplitudee amplitude interquartis3. Comparação entre

média, moda e mediana.Simetria e enviesamento

Tarefa global




2.4 O meu portefólio de Matemática

O principal objectivo de O meu portefólio de Matemática é conduzir os alunos à organização, à reflexão, à

identificação das suas dificuldades e, consequentemente, a formas de as superar.

O meu portefólio de Matemática contém, para cada tópico/capítulo:

• listas para organização do estudo e reflexão sobre os conhecimentos adquiridos;

• uma proposta de reflexão sobre a forma como se estudou e as atitudes na sala de aula;

• uma síntese com espaços para preencher.

Contém, ainda, auxiliares para a organização do estudo antes dos testes, uma tabela de raízes quadradas e

uma tabela de raízes cúbicas.

O aluno poderá organizá-lo, por exemplo, de acordo com o percurso escolhido pelo professor.

Como forma de enriquecer o portefólio, o professor poderá, através da proposta de alguns trabalhos de

pesquisa/investigação, etc., motivar o aluno e, simultaneamente, desenvolver a sua capacidade de comunicar,o que pode ser feito em estreita colaboração com a disciplina de Língua Portuguesa. Oportunamente, por

exemplo após o estudo de um capítulo, o professor poderá sugerir ao aluno que:

1. em trabalho de grupo, faça uma pesquisa sobre aspectos do dia-a-dia relacionados com o que aprendeu

sobre o capítulo; prepare uma apresentação digital, ou um cartaz, com as conclusões do trabalho;

2. recorde uma aula sobre o capítulo e a descreva a um amigo através de uma carta, referindo o que sentiu;

3. escreva um artigo que pudesse sair num jornal relatando como foi a aula de que mais gostou sobre o

capítulo, explicitando o que aprendeu e por que motivo essa foi a aula preferida;

4. imagine uma entrevista a um matemático que se dedicou ao estudo de determinado assunto;

5. em trabalho de grupo, procure, em revistas ou jornais, gráficos que mostrem a correspondência entre

duas variáveis, indicando, justificando, se alguma dessas correspondências é uma função e, em cada

caso, a variável dependente e a variável independente; no final, o grupo deverá preparar uma apresenta-

ção com as conclusões do trabalho;

6. elabore um trabalho de investigação sobre os matemáticos que se dedicaram ao longo dos tempos ao

estudo de determinado assunto e faça uma banda desenhada imaginando um diálogo entre esses mate-

máticos.

O professor poderá, se assim o definir com os alunos, considerar O meu portefólio de Matemática um ele-

mento da avaliação. Na tabela que se segue encontra-se uma proposta dos critérios de avaliação a considerar

na análise do portefólio.



9

% CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO ALUNO PROF.

10 APRESENTAÇÃO

Aspecto gráfico

Caligrafia legível

Margens suficientes

Imagens adequadas

Apresenta trabalhos limpos

Utiliza as TIC

15 ORGANIZAÇÃO

Tem índice

Tem separadores

Identifica os separadores

Respeita a sequência dada

É fácil de consultar por outros

15 CRIATIVIDADE

É imaginativo na apresentação

Tem trabalhos originais

Utiliza ilustrações diversas

15CORRECÇÃO

LINGUÍSTICA

Organiza correctamente o discurso

Utiliza vocabulário adequado

Escreve sem erros

15JUSTIFICAÇÃO DOS

DOCUMENTOS

Justifica adequadamente a escolha dos documentosseleccionados

Todos os documentos têm data e indicam a fonte

10 RESPONSABILIDADE

Realiza as tarefas a que se propôs

Cumpre os prazos

Aceita e cumpre as regras de trabalho

10 PERSEVERANÇA

Revela empenho

Procura superar as dificuldades

Leva as tarefas até ao fim

10 AUTONOMIA

Propõe tarefas por sua iniciativa

Executa bem as tarefas sem ajuda

Coloca questões

100% Total

Classificação a utilizar: MB – Muito Bom; B – Bom; S – Suficiente; I – Insuficiente.




Poderá ainda ser pedido aos alunos que auto-avaliem o seu próprio portefólio, para o que se poderá recor-

rer à tabela seguinte:

AUTO-AVALIAÇÃO DO PORTEFÓLIO

ITENS SIM NÃO

ORGANIZAÇÃO

Índices globais e parciais

Separadores identificados

Apresentação gráfica adequada

Aspecto limpo e cuidado

Documentos datados

Documentos identificados

CONTEÚDO

Articulação da informação/tema

Justificação da escolha dos documentos

Organização lógica da informação

Elaboração de hipóteses

Apresentação de conclusões

Várias versões do projecto

Relatórios

Diários de bordo

Correcção linguística

Exposição clara e coerente

Identificação de dificuldades

Formas de superação

Reflexão sobre dúvidas

AVALIAÇÃO

Auto-avaliação

Hetero-avaliação

Avaliação do trabalho de grupo



11

3. Estrutura do Caderno de Apoio ao Professor

Para cada tópico do Programa/capítulo do Manual , neste Caderno de Apoio ao Professor apresentam-se:

A actividade lectiva do professor será ainda apoiada em AULA DIGITAL.

Propostas de planificaçãoInclui abordagem metodológica das tarefas «Recorda, aplicando»

Testes de diagnóstico de conhecimentos/Auto-avaliação(apresentam-se, em geral, dois testes, um com os conteúdos

de transição e outro sem esses conteúdos para aplicar até 2012)

Tarefas de ligação para percursos alternativose respectivas propostas de resolução

Propostas de resolução e metodologia de desenvolvimentoda rubrica +RRC do Manual

Sugestões de exploração das tarefasde investigação do Manual

Manual

Livro de Apoio

Caderno de Tarefas

O meu portefólio de Matemática

Caderno de Apoio ao Professor

Preparação de aulaspara quadro interactivo

Apresentações em PowerPoint

Testes interactivos do Professor

Applets (geometria dinâmica)

Ligações à Internet

Avaliação interactiva

Animações interactivas

Contos

Jogos educativos

Testes interactivos

Ligações à Internet

Recursos do projectoem formato digital

Recursos exclusivosdo Professor

Manual multimédiado aluno



4. Números e operações

4.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 1A

Parte 1

Nos itens que se seguem, só uma das alíneas corresponde à resposta correcta. Indica-a.

1. O número 11 é primo porque:

A. é divisível por 1. C. é um número ímpar.

B. é divisível por 11. D. tem como únicos divisores 1 e 11.

2. A Matilde tem um jogo que traz fichas com um número variável de pintas, que se repetem por

algumas delas. Separou algumas das fichas por quatro grupos, como mostra a figura. Em que

grupo de fichas a soma das pintas é um divisor de 42?A. B. C. D.

3. Uma decomposição em factores de 230 é:

A. 23 × 2 B. 2 × 3 × 0 C. 23 × 10 D. 115 × 5

4. Factorizando 132, obtemos:

A. 22× 3 × 11 B. 4 × 3 × 11 C. 23

× 5 D. 2 + 2 × 3 × 11

5. Sabendo que

D10 = {1, 2, 5, 10} e D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} ,

podemos afirmar que o m.d.c. (10, 24) é:

A. 2 B. 10 C. 1 D. 24

6. 103 é:

A. 1 B. 10 C. 100 D. 1000

7. 53× 23 é:

A. 73 B. 106 C. 103 D. 76


COTAÇÃO

6

6

6

6

6

6

6



13

COTAÇÃOParte 2

8. Na tabela abaixo, está representado (não completamente) o índice do jornal O Primeiro de Janeiro

do dia 8 de Outubro de 2009.

Responde às questões seguintes utilizando apenas números que fazem parte do índice do jornal.

8.1 Dá exemplo de um número com dois algarismos que seja:

a) número primo;

b) número composto;

c) divisível por 2 e 5;

d) divisível por 3, mas que não seja divisível por 5.

8.2 Decompõe em factores primos o número da página que corresponde à informação «Última».

8.3 Qual é o número da página referente ao tema «Televisão», sabendo que é um múltiplo de 8 ese encontra entre 27 e 38?

9. O Nuno esteve a decompor alguns números em factores primos. Enquanto fez uma paragem parao lanche, o seu irmão mais novo apagou alguns desses números. Para que o Nuno não tenha de sezangar com o pequeno traquina, completa os espaços apagados.

10. Calcula o valor da seguinte expressão numérica e apresenta os cálculos que efectuares.

(–2) + (–5) – [(–1) – (–1)]

11. Escreve na forma de uma única potência:

a) 23× 22

× 3 5 b) 64 : 62 : 32

Hoje/ O Primeiro de Janeiro

PortoCasosdo dia

Opinião Regiões NacionalInterna-cional

Socie-dade

Econo-mia

Cultura eespectá-

culos Televisão

Farmá-cias

Meteoro-logia

Última

2 7 9 11 15 17 20 23 27 38 39 40

450 2

225

3

25

5

1

135

45 3

3

1

555 3

37

1

450 =

555 =

135 =

Pontuação Os teus conhecimentos são: Então:

90%-100% Excelentes Continua a estudar para manteres ou melhorareso teu desempenho.70%-89% Bons

50%-69% Razoáveis Continua a trabalhar, pois podes melhorar.

20%-49% Pouco satisfatórios Tens de estudar muito para melhorar o teu desempenho.

0%-19% Insatisfatórios

2

2

3

3

6

3

15

10

14

AUTO-AVALIAÇÃO




4.2 Teste de diagnóstico de conhecimentos 1B *

Parte 1


1. Dos números 16, 21, 32 e 100, qual deles é divisível por 3?

A. 16 B. 21 C. 32 D. 100

2. O número 153 é:

A. divisível por 5. C. divisível por 3 e por 2.

B. divisível por 10. D. divisível por 3, mas não por 2.

3. O número

A. 1350 B. 1351 C. 133 D. 250

é divisível por 2, 3, 5 e 6.

4. Só uma das seguintes afirmações é falsa. Qual?

A. Todos os múltiplos de 10 são múltiplos de 5.

B. Todos os múltiplos de 8 são múltiplos de 80.

C. Todos os múltiplos de 7 são múltiplos de 1.

D. Todos os divisores de 7 são divisores de 49.

5. As temperaturas mínimas registadas durante uma semana, numa cidade no norte da Europa, são

as seguintes:

Ordena as temperaturas por ordem decrescente:

A. Quarta-feira; Domingo; Sábado; Quinta-feira; Sexta-feira; Terça-feira; Segunda-feira.

B. Segunda-feira; Sexta-feira; Domingo; Quarta-feira; Sábado; Quinta-feira; Terça-feira.

C. Terça-feira; Quinta-feira; Sábado; Quarta-feira; Domingo; Sexta-feira; Segunda-feira.

D. Domingo; Sexta-feira; Segunda-feira; Quarta-feira; Sábado; Quinta-feira; Terça-feira.

6. O resultado da expressão (–9) + (+5) é:

A. 4 B. – 4 C. –14 D. 14

7. 23 é:

A. 2 x 3 B. 4 C. 2 + 2 + 2 D. 8

6

6

6

6

6

6

6

Segunda-feira Terça-feira Quarta-feira Quinta-feira Sexta-feira Sábado Domingo

–10 oC +5 oC 0 oC +3 oC –4 oC +2 oC –1 oC

COTAÇÃO

* Recomendado para os dois primeiros anos de transição.



15

Parte 2

8. O David tem 40 bombons e o César tem 36 rebuçados. Qual o maior número de sacos surpresa

que se podem fazer, se estes tiverem de ter o mesmo número de bombons e rebuçados? Explica

como chegaste à tua resposta, usando palavras, esquemas ou cálculos.

9. Durante a noite, três pastores fazem vigia aos seus

rebanhos, pois as ovelhas estão a ser atacadas por

lobos. Um dos pastores faz a vigia de dois em dois

dias, o outro de três em três dias e o terceiro de

cinco em cinco dias. No primeiro dia, ficaram os

três de vigia. Daqui a quantos dias tornam a estar

os três de vigia no mesmo dia? Explica como che-

gaste à tua resposta, usando palavras, esquemas ou

cálculos.

10. O João vive num prédio com 20 pisos, em que o piso –1 e o piso –2 correspondem às garagens.

O João entra no elevador no piso 6.

10.1 Em que botão do elevador deve carregar para subir nove andares?

10.2 E para descer sete andares?

10.3 Se carregar no botão +2, quantos andares desce?

10.4 E se carregar no botão –2, quantos andares desce?

11. Calcula o valor da seguinte expressão numérica e apresenta todos os cálculos que efectuares.

2 + (+3) – (–3) – (+8)

12. Um autocarro partiu da central de camionagem com 21 pessoas. No seu percurso, passou por

quatro paragens, onde entraram e/ou saíram algumas pessoas.

Sabe-se que, na primeira paragem, saíram oito pessoas e entraram duas. Na segunda paragem,

saíram cinco pessoas e entrou uma. Na terceira paragem saíram duas pessoas e entraram quatro e,

finalmente, na quarta saíram seis passageiros, tendo os restantes passageiros seguido viagem.

Qual o número de pessoas que seguiu viagem? Explica a tua resposta usando cálculos, esquemasou palavras.


90%-100% Excelentes Continua a estudar para manteres ou melhorares

o teu desempenho.70%-89% Bons




AUTO-AVALIAÇÃO

13

15

2

2

2

2

10

12

COTAÇÃO



Teste de diagnósticode conhecimentos 1A

Parte 1

1. D

2. D

3. C

4. A

5. A

6. D

7. C

Parte 2

8.1 a) 2, 7, 11, 17, 23

b) 9, 15, 20, 27, 38, 39, 40

c) 20, 40

d) 9, 27, 39

8.2 23× 5

8.3 32

9. Por exemplo:

10. –7

11. a) 6 5

b) 22

Teste de diagnósticode conhecimentos 1B

Parte 1

1. B

2. D

3. A

4. B

5. C

6. B

7. D

Parte 2

8. Determinam-se os divisores de 36 e de 40.

O m.d.c. (36; 40) = 4.

9. No trigésimo dia. Determinam-se os múltiplos

de 2, 3 e 5. O m.m.c. (2,3,5) = 30.

10.

10.1 15

10.2 –1

10.3 4

10.4 8

11. 0

12. 21 – 8 + 2 – 5 + 1 – 2 + 4 – 6 = 7

7 pessoas seguiram viagem.

Soluções


450 2

225 3

75 3

25 5

5 5

1

135 3

45 3

15 3

5 5

1

555 3

185 5

37 37

1

450 = 2 × 32× 52

555 = 3 × 5 × 37

135 = 33× 5



17

4.3 Proposta de planificação

Capacidades transversais

Resolução de problemas, raciocínio, comunicação matemática.

Objectivos específicos

• Descrever e explicar, oralmente e por escrito as estratégias matemáticas que utilizam e os resultados a

que chegam.

• Justificar os raciocínios elaborados e as conclusões obtidas.

• Argumentar e discutir estratégias de resolução, tendo sempre como ponto de vista a clarificação e orga-

nização do pensamento matemático.

• Desenvolver destrezas de cálculo numérico mental e escrito.

• Resolver problemas, raciocinar e comunicar em conteúdos numéricos.

• Apreciar ordens de grandeza e avaliar a razoabilidade de um resultado.

• Compreender e ser capaz de usar propriedades dos números inteiros.

• Ter presente e usar adequadamente as convenções matemáticas (diferença entre valores, respeitando a

sua ordem na questão) e incluindo a terminologia e notações, tais como ºC (graus Celsius).

• Valorização do cálculo mental.

• Avaliar a razoabilidade de um resultado.

Avaliação

• Formativa de conhecimentos.

• Observação directa do interesse e empenho dos alunos.

• Avaliação formativa e contínua durante todo o processo de aprendizagem.




LIÇÃO ESTRATÉGIAS/TAREFAS PROPOSTAS PARA A AULA TEMPO

1 Teste de diagnóstico de conhecimentos• Raciocinar, Resolver e Comunicar: Tarefas 1 e 2.• O modelo de diagnóstico proposto pressupõe dois momentos distintos de avaliação: através de uma avaliação

individual de conhecimentos e através de duas tarefas que proporcionam o diagnóstico das potencialidades da turmacomo grupo de trabalho. Estes dois momentos distintos permitem ao professor traçar o perfil da turma e efectuar uma

previsão de maior ou menor investimento de trabalho, tendo como finalidade a procura de um equilíbrio de partes.

45’

45’

3

4

2 Tarefa A – «O que nos dizem os números 81, 225 e625?»:• explicação da tarefa;• execução da tarefa em trabalho de grupo;• discussão em grande grupo.

Tarefa B – «Temperaturas»:• explicação da tarefa;• execução da tarefa individual;• discussão em grande grupo.

Pretende-se com o desenvolvimento da tarefaproporcionar aos alunos um momento de reflexãoe análise onde o tema transversal assume grandeimportância, dando, de forma diferente, continuidadeao processo de diagnóstico de conhecimentos,onde a participação oral assume um papelimportante. Sempre que necessário, os alunosdevem recorrer à rubrica «Recorda», ou efectuar umaanálise da mesma em conjunto com o professor,de forma a prevenir dificuldades que se venhama registar na sua execução. Nesta fase, o professordeve considerar a necessidade da utilização do Livro

de Apoio, para consolidação de aprendizagens,ou de recorrer ao apoio digital, aproveitandoos recursos disponíveis.

Antecipação de dificuldades

O professor pode certificar-se de que o alunopossui os conhecimentos suficientes sobre:divisores; múltiplos; números primos;decomposição em factores primos; regrasdas potências e adição e subtracção de númerosinteiros; adição e subtracção de números inteirosrelativos.

Recursos possíveis de utilização

Manual .Caderno de Tarefas.

5’25’15’

5’25’15’

Tarefa 1 – «Quem ganhou o concurso?»:• explicação da tarefa;

• execução e discussão da tarefa em trabalhode grupo;

• discussão em grande grupo.Pode ser feita uma leitura em grande grupo,pensando principalmente em alunos com maisdificuldades, acompanhada por alguns comentáriosque o professor considere mais pertinentes, ou poralgumas questões cujas respostas revelem se osalunos estão, ou não, a entender o que lhes éproposto.Multiplicação de números inteiros com sinaisdiferentes.Multiplicação de números inteiros com sinais iguais.

Tarefas intermédias e remissões de final de página.


Adição e subtracção de números inteiros relativos.


Manual . Tarefas indicadas no Manual .

AULA DIGITALCaderno de Tarefas.

5’

25’

15’

45’

Tarefas de investigação:«Sistema numérico do povo Yoruba.»«Código numérico.»Qualquer uma destas tarefas pode ser efectuadanesta altura e pretende-se, com a sua diversidade,que os alunos escolham aquela com que sentemmais afinidade. Relativamente a estas tarefaspode sugerir-se a elaboração de um relatório de aulaque será apresentado por um grupo de alunos logono início da aula seguinte, de forma a promover acomunicação e partilha de conhecimentos.Divisão de números inteiros com sinais diferentes.Divisão de números inteiros com sinais iguais.



Computador. Tarefas indicadas no Manual .


45’

45’



19

7LIÇÃO ESTRATÉGIAS/TAREFAS PROPOSTAS PARA A AULA TEMPO

8 Potência de uma potência e potência de expoentenulo.

Tarefas intermédias e remissões de final de página.Raiz quadrada.

Tarefas intermédias e remissões de final de página. A matéria deve ser intercalada e faseada coma resolução das tarefas intermédias ou finais paraque o ritmo da aula seja diversificado.


Tarefas indicadas no Manual . AULA DIGITAL

Caderno de Tarefas.

10’

30’

10’

30’

9 e 10 80’

15’

80’

10’

30’

30’

10’

5 Apresentação dos relatórios das tarefasde investigação realizadas na aula anterior.

Tarefa de investigação: «Multiplicação e divisãode números inteiros numa folha de cálculo».


Computador.Caderno de Tarefas.

30’

60’

Tarefa 2:• explicação da tarefa;• execução e discussão da tarefa em trabalho de grupo;• discussão em grande grupo.Potência em que a base é um número inteiroe o expoente é um número natural.

Tarefas intermédias e remissões de final de página.No caso de serem diagnosticadas muitas dificuldadesna execução da tarefa 2, sugere-se a utilização doLivro de Apoio, para recordar as regras operatórias.

Recursos possíveis de utilização Tarefas indicadas no Manual .Livro de Apoio.


5’25’15’10’

30’

6

Sinal de uma potência. Tarefas intermédias.Regras para multiplicar e dividir potências.

Tarefas intermédias e remissões de final de página. A matéria deve ser intercalada e faseada com a

resolução das tarefas intermédias ou finais para queo ritmo da aula seja diversificado.



Caderno de Tarefas.

7 10’

30’

10’

30’

Raciocinar, resolver e comunicar.Discussão da tarefa na turma.

Tarefa de investigação: «Área de um quadrado

no Geogebra».


Manual .Computador.

Caderno de Tarefas.

11 Quadrados perfeitos. Tarefas intermédias e remissões de final de página.Raciocinar, resolver e comunicar.Discussão da tarefa na turma.


Tarefas indicadas no Manual .Caderno de Tarefas.

Raiz cúbica e cubos perfeitos. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Algumas propriedades das operações com raízesquadradas.

Tarefas intermédias e remissões de final de página.Raciocinar, resolver e comunicar.Discussão da tarefa na turma.


Tarefas indicadas no Manual .Caderno de Tarefas.

12 e 13 10’40’30’

40’30’

Tarefas de ligação:«Áreas de quadriláteros» (Percurso A).«Potências e regularidades» (Percurso B).E ainda… Cacifos (outros percursos).Com esta tarefa suplementar, que aqui é proposta e que efectua uma conexão entre algumas aprendizagensadquiridas ao longo do tema e no ciclo anterior, pretende fornecer-se uma alternativa ou complementoàs tarefas propostas no Manual , recorrendo à utilização de padrões. Estas tarefas podem ser enquadradasou direccionadas de forma adequada para o tema que a seguir se irá explorar.

Avaliação global de conhecimentos. O teste global de conhecimentos deve ser efectuado individualmente. A sua discussão e correcção devem ser efectuadas em grande grupo, imediatamente a seguir à sua resolução.

14 e 1545’45’45’

70’15’




4.4 Propostas de resolução +RRC

A rubrica «+RRC, Raciocinar, Resolver e Comunicar», surge no desenvolvimento do tema, em momentosde reflexão e análise, e no final das tarefas intermédias, assumindo um espaço próprio no final de cada tema.

Os autores, neste espaço, sugerem a execução de uma diversidade de tarefas que estão ligadas ao desenvol-

vimento de raciocínios e à busca de estratégias eficientes de resolução, para que os alunos desenvolvam algumdesembaraço a lidar com problemas matemáticos e que efectuem generalizações a partir de casos particularesou contra-exemplos. É importante que os alunos percebam quando é que um problema tem solução ou não,se existem dados suficientes para a sua resolução e que estratégias podem ser desenvolvidas com vista a atin-gir este objectivo.

1. A fuga da prisão

Objectivo principal: Desenvolver uma estrutura de raciocínio, utilizando os números naturais.

Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo.Estratégia de resolução possível:

No total existem três fugas. Em cada uma, fogem quatro presos, num total de 12.

Ainda se pode planear uma outra fuga, como se propõe a seguir:

O mínimo de prisioneiros que devem permanecer na prisão será 18, para que o guarda continue a serenganado. O «segredo» está no facto de os números dos cantos serem contados duas vezes, motivo pelo qualo guarda é sempre enganado.

2 5

1.ª fuga

2

5 5

2 5 2

3 3

2.ª fuga

3

3 3

3 3 3

4 1

3.ª fuga

4

1 1

4 1 4

4 0 5

1 0

4 1 4

4 0 5

0 0

5 0 4



21

2. Três marinheiros, um bando de macacos e um monte de cocos

Objectivo principal: Desenvolver uma estrutura de raciocínio, utilizando algumas das operações com

números naturais.

Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo.

Estratégia de resolução possível:Atendendo a que o aluno sabe com quantos cocos cada marinheiro ficou no final das divisões, deve, a

partir daí, desenvolver uma estratégia que lhe permita saber quantos cocos os três marinheiros apanharam

inicialmente. O número total de cocos da divisão final é igual à soma do número de cocos de dois dos mari-

nheiros da terceira divisão. Esta relação repete-se pelas restantes divisões.

3. Pulgas e mais pulgas…

Objectivo principal: Aplicar as potências de expoente natural na resolução de um problema de contagem.


Estratégia de resolução possível:

Os alunos devem efectuar uma primeira leitura para se inteirarem do assunto do problema e adaptarem

uma estratégia possível de resolução. Em seguida, devem fazer uma segunda leitura para que apliquem essaestratégia. Obviamente, após a discussão das várias produções dos alunos, o professor deve apontar as potên-

cias como possível estratégia de resolução, no caso de esta não ter surgido como proposta dos alunos. Existem

16 pulgas e eu, pois existem 2 5 pulgas, mas só 24 é que coçam outras pulgas, pois as últimas não coçam pulga

nenhuma.

4. Quadrados

Objectivo principal: Recorrer às regularidades, para encontrar quadrados perfeitos.

Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo.Estratégia possível de resolução:

a) Esta questão parece ter várias soluções possíveis. No entanto, não é possível, retirando o mesmo número

de quadrículas de cada canto do quadrado, voltar a construir um quadrado. O número de quadrículas

retiradas é múltiplo de 4. Para que fosse possível construir um quadrado, a diferença entre 144 e um mul-

típlo de 4 menor que 144 teria de ser um quadrado perfeito. Neste caso particular, isso nunca se verifica.

Extensão para a questão:

Se a questão fosse: «A partir de uma folha de papel com 12 x 12 quadrículas, o Artur pretende saber se,

retirando dos quatro lados da folha o mesmo número de quadrículas, ainda consegue construir um qua-

drado.»

Marinheiro 1 Marinheiro 2 Marinheiro 3 Macacos Total

Primeira divisão 26 26 26 1 79

Segunda divisão 17 17 17 1 52

Terceira divisão 11 11 11 1 34

Divisão final 5 7 7 1 22




b) A partir da extensão proposta anteriormente, os alunos chegam aos valores 23 e 21, para que depois

possam efectuar uma generalização: tem de se subtrair um número ímpar de quadrículas inferior ao

número ímpar que se subtraiu anteriormente.

c) Nesta alínea pretende-se que o aluno generalize o raciocínio em sentido contrário, ou seja, de 11 para 12

adicione 23 quadrículas e, por isso, de 12 para 13 adicione 25 quadrículas.

5. Soma de ímpares

Objectivo principal: Recorrer a padrões para o enquadramento de valores entre raízes quadradas.

Organização da turma: Trabalho individual.


a) O aluno, depois de analisar os exemplos dados, deve evidenciar uma estratégia de resolução da questão.

Por exemplo, pode contabilizar o número de quadrículas existentes na última figura (36) ou o número

de quadrículas de um dos lados do último quadrado (6) e calcular a sua área (6 × 6). Pode também fazer

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11, se for sensível ao exemplo apresentado.

b) Nesta alínea já se apela directamente à lei de formação: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15

c) Mudando o exemplo, mas recorrendo a raciocínios análogos, pretende-se que o aluno responda que

mantendo a lei de formação terá 13 + 15 + 17 + 19 = 64

6. Os guardanapos da Matilde

Objectivo principal: Recorrer aos padrões para o enquadramento de valores entre raízes quadradas.



Os alunos devem começar por verificar quantas molas é necessário usar em cada uma das situações. Repa-

re-se que todos os casos representam algumas das situações possíveis para se colocar guardanapos a secar,

mas podem explorar-se outras possibilidades e efectuar uma relação entre eficácia e menor gasto de molas.

Nas situações 1, 2, 3 e 4 são necessárias 6, 31, 30 e 60 molas, respectivamente.

Sendo assim, a resposta correcta seria a situação 4, pois 3 5 8 0 < 60 ≤ 3 6 0 0 .



23

4.5 Sugestões de exploração das Tarefas de investigação

Sistema numérico do povo Yoruba e Código numérico

Nas tarefas «Sistema numérico do povo Yoruba» e «Código numérico» pretende-se que o aluno, após ter

conhecimento dos conceitos, os articule com outros conceitos matemáticos e não matemáticos, presentes no

seu dia-a-dia. Nestas tarefas também se pretende que o aluno veja os diferentes aspectos com que se apresenta

a matemática e tenha apreço pelo seu contributo para a cultura e para o desenvolvimento da sociedade con-

temporânea.

Sistema numérico do povo Yoruba

Proposta de resolução:

1. 45 = 20 × 2 + 5

2. Por exemplo, 108 = 20 × 5 + 10 – 2 ou 108 = 20 × 6 – 10 – 2

Para a resolução da questão 3. é importante que o professor averigúe se a turma percebeu a introdução à

questão. Para que valores se devem usar os múltiplos de 20? E de 400? E de 8000? Este raciocínio deve ser

feito em conjunto com os alunos, sem no entanto requerer que se estipulem padrões rígidos de comportamento

dos valores.

3. 1524 = (400 × 5) – (20 × 9) + 4 e 15067 = (800 × 2) – (400 × 2) – (7 × 20) + 7

4.(10 – 1) × 1 = (10 – 1)

(10 – 1) × 2 = (1 × 20) – 2

(10 – 1) × 3 = (2 × 20) – 10 – 3

(10 – 1) × 4 = (2 × 20) – 4

(10 – 1) × 5 = (3 × 20) – 10 – 5

(10 – 1) × (10 – 4) = (3 × 20) – 5 – 1

(10 – 1) × (10 – 3) = (4 × 20) – 10 – 5 – 2

(10 – 1) × (10 – 2) = (4 × 20) – 5 – 3

(10 – 1) × (10 – 1) = (5 × 20) – 10 – 5 – 4

(10 – 1) × 10 = (5 × 20) — 5 – 5

5. Seria importante que os alunos indicassem algumas das muitas regularidades que se podem estabelecer

entre números pares, números ímpares e, ainda, no seu conjunto. Esta questão é obviamente de resposta

livre e será muito importante tentar estabelecer um clima de comunicação e participação, para que ela

possa realmente ser desenvolvida e explorada ao máximo.




6. Entre 11 e 20, os números não mantêm a mesma regularidade; no entanto, pode estabelecer-se entreeles outro tipo de regularidade que seria importante também tentar encontrar na discussão em grandegrupo.

7. É naturalmente importante pensarmos que um número resulta da composição ou decomposição de

outros números de forma a estabelecer relações entre a sua formação. No entanto, estas representaçõestornam-se desvantajosas pela sua extensão e complexidade de escrita. Estas são algumas razões que sepodem apontar como exemplo; no entanto, o professor deve avaliar a pertinência de outras que lhesejam sugeridas.

Código numéricoProposta de resolução

Esta é uma das tarefas em que se recomenda a utilização da máquina calculadora elementar, para que osalunos se familiarizem com a sua utilização. Na realidade, os códigos numéricos constituem uma realidade do

dia-a-dia de um cidadão e com esta tarefa pensamos contribuir para o enriquecimento de uma cultura mate-mática.

1. Verifica se o ISBN do Caderno de Exercícios Xis7 está correcto.

ISBN 978-9-72-47-4095-9

O aluno deve concluir que o ISBN está correcto.

2. Determina o dígito de verificação do livro com o ISBN 978-9-72-47-2239-A

R: A = 9

3. Supõe que acabaste de editar um livro na Leya e te pedem que completes o seguinte ISBN, com o qualo teu manual será comercializado. Que sugestão darias à editora?

ISBN 978-9-72 – AB-CDEF-G

É uma resposta aberta. O aluno poderá construir um ISBN para uma pretensa publicação e seria interes-sante a partilha dos vários registos, para que todos vissem se foram ou não bem construídos.

Multiplicação e divisão de números inteiros numa folha de cálculo e Área de um quadrado no Geogebra

Estas tarefas são de natureza diferente, que recorrem à utilização do computador e software específico da

matemática. Com estas tarefas pretende-se que os alunos vejam a aplicabilidade dos conceitos, façam conjec-turas e aprendam a gerir estes recursos, recorrendo a eles para situações semelhantes onde o tempo de cons-trução da tarefa com material de escrita e de desenho convencional comprometeria o tempo necessário para asua exploração e reflexão.



25

4.6 Tarefa de ligação (outros percursos)

Os cacifos

Numa empresa existem mil empregados e mil cacifos, numerados de 1 a 1000.Os cacifos encontram-se todos fechados.

O primeiro empregado a entrar na empresa abre todos os cacifos.O segundo empregado fecha todos os cacifos, cujos números são múltiplos de 2.O terceiro empregado «muda o estado» (se está aberto, fecha; se está fechado,

abre) dos cacifos cujo número é um múltiplo de 3.Este processo repete-se sucessivamente até ao milésimo empregado, que «muda o

estado» dos cacifos cujo número é um múltiplo de 1000.No fim, quais são os cacifos que ficaram abertos?

Para resolver a questão, começa por percorrer as seguintes etapas:

• Faz uma simulação para um número de 25 empregados, preenchendo a seguinte tabela.

1

F

2

F

3

F

4

F

5

F

6

F

7

F

8

F

9

F

10

F

11

F

12

F

13

F

14

F

15

F

16

F

17

F

18

F

19

F

20

F

21

F

22

F

23

F

24

F

25

F

Conteúdos utilizados: Múltiplos e divisores de um número.

Organização da turma: Trabalho em pequeno grupo.Sugestões de ligação com os restantes temas:

A partir do preenchimento do quadro, esta tarefa pode servir de ligação a um tema de:• Álgebra (padrões, sequências de figuras);• Geometria (eixo de simetria do quadrilátero; triângulos semelhantes);• Organização e tratamento de dados (tabelas de frequência absoluta, através da contagem do

número de letras A e F).

• Indica quantos divisores têm os números marcados nos cacifos que ficam abertos.• Formula uma conjectura que relacione esses números com o seu número de divisores.• Indica os cacifos que ficaram abertos.




Cada um desses números tem um número ímpar de divisores.

O aluno pode formular a seguinte conjectura:

«Os inteiros com um número ímpar de divisores são os quadrados perfeitos.»

Os cacifos que ficaram abertos depois da vigésima quinta mudança foram os cacifos com os números 1, 4,

9, 16 e 25, que representam quadrados perfeitos. Como tal, os cacifos que ficaram abertos depois da milésima

mudança foram todos aqueles que representam quadrados perfeitos até 1000, inclusive.

Proposta de resolução da Tarefa de ligação

1

F

2

F

3

F

4

F

5

F

6

F

7

F

8

F

9

F

10

F

11

F

12

F

13

F

14

F

15

F

16

F

17

F

18

F

19

F

20

F

21

F

22

F

23

F

24

F

25

F

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

F A F A F A F A F A F A F A F A F A F A F A F A

F F A A A F F F A A A F F F A A A F F F A A A

A A A A A F F A F A F F A A A A A F F A F A

F A A A F A A F A F A A A A A F F F A F F

F A A F A A A A F A A A F A F F F A A F

F A F A A A A A A A A F A F A F A A F

F F A A A A A A F A F A F A F A F F

A A A A A A A F A A A F A F A F F

F A A A A A F A A A A A F A F F

F A A A A F A A A A A A A F F

F A A A F A A A A A A A A F

F A A F A A A A A A A A F

F A F A A A A A A A A F

F F A A A A A A A A F

A A A A A A A A A F

F A A A A A A A F

F A A A A A A F

F A A A A A F

F A A A A F

F A A A F

F A A F

F A F

F F

A



27

5. Geometria – Triângulos e quadriláteros


Parte 1


1. O que representa a figura seguinte?

A. A recta AB : AB .

B. A semi-recta com origem em A e que passa por B : A· B .

C. O segmento AB : [ AB] .

D. A semi-recta com origem em B

e que passa por A

: AB

·

.

2. Qual é a posição relativa das duas rectas representadas na figura?

A. Concorrentes.

B. Perpendiculares.

C. Paralelas.

D. Coincidentes.

3. Estima a amplitude do ângulo assinalado na figura.

A. 15º C. 120ºB. 90º D. 45º

4. Qual dos seguintes ângulos representa um ângulo obtuso?

A. B. C. D.

5. Classifica o triângulo seguinte, quanto aos ângulos.

A. Recto.B. Obtusângulo.

C. Agudo.

D. Rectângulo.

6. Um polígono com cinco lados designa-se por:

A. heptágono.

B. pentágono.

C. hexágono.

D. triângulo.

COTAÇÃO

5

5

5

5

a

b

A B

5

5




Parte2

7. Considera os ângulos a , b e c assinalados no triângulo representado na figura.

7.1 Que designação têm os ângulos a , b e c em

relação ao triângulo?

7.2 Ordena, por ordem crescente, os ângulos, tendo

em consideração a sua amplitude.

7.3 Como classificas o triângulo quanto aos ângulos?

7.4 Este polígono é regular? Justifica.

8. Na figura está representado um polígono regular com sete lados.

8.1 Classifica o polígono quanto aos lados.

8.2 Quantos vértices tem o polígono?8.3 Quantas diagonais tem o polígono?

8.4 Como se designa o ângulo b em relação ao polígono?

8.5 Sabendo que o ângulo b tem de amplitude 52º, qual

é a amplitude do ângulo a ?

8.6 Um dos lados do polígono mede 2 cm. Qual é o seu perímetro?

9. Calcula a área, em cm2, dos seguintes polígonos:







AUTO-AVALIAÇÃO

5

5

5

5

5

5

8

5

7

8

12

a

b c

a b

3 cm 5 cm

4 cm

2 cm

3 cm

COTAÇÃO



29


Parte 1


1. O que representa a figura seguinte?

A. A recta AB: AB .

B. A semi-recta com origem em A e que passa por B : A· B .

C. O segmento AB : [ AB] .

D. A semi-recta com origem em B e que passa por A : AB·

.

2. Qual a posição relativa das duas rectas representadas na figura?

A. Concorrentes.

B. Perpendiculares.

C. Paralelas.

D. Coincidentes.

3. A posição relativa das rectas representadas na figura é:

A. e e f são perpendiculares.

B. e e f são paralelas.

C. e e f são não complanares.

D. e e f são concorrentes.

4. Um polígono com cinco lados chama-se:

A. heptágono.

B. pentágono.

C. hexágono.

D. triângulo.

5. O polígono representado na figura tem

A. 7 vértices, 7 lados, 7 ângulos e 28 diagonais.

B. 5 vértices, 5 lados, 6 ângulos e 12 diagonais.

C. 5 vértices, 5 lados, 5 ângulos e 10 diagonais.

D. 6 vértices, 6 lados, 5 ângulos e 10 diagonais.

COTAÇÃO

6

6

6

6

6

b

c

f e





Parte 2

6. Determina a área da região colorida, sabendo que ABCD é um quadrado de lado 2 cm e

DF —

= 8 cm .

7. Na figura ao lado está representado um polígono regular com oito lados.

7.1 Classifica o polígono quanto aos lados.

7.2 Quantos vértices têm o polígono?

7.3 Quantas diagonais tem o polígono?

7.4 Um dos lados do polígono mede 2cm. Qual é o seu perímetro?

8. A figura representa uma pirâmide quadrangular regular. Indica, para cada uma das seguintes afir-

mações, se são verdadeiras ou falsas, justificando as falsas.

A. A pirâmide quadrangular tem oito arestas e seis faces.

B. As rectas que passam em FD e DC são rectas perpendiculares.

C. As rectas que passam em AD e BC são rectas paralelas.

D. As rectas que passam em FE e AC são rectas paralelas.

E. E é o ponto de intersecção das rectas que passam por BD e FE .

F. As faces laterais da pirâmide são triângulos escalenos.







AUTO-AVALIAÇÃO

15

5

5

7

8

5

5

5

5

5

5

D C F

A B E

B

F

C D

A

E

COTAÇÃO



31


Parte 1

1. B

2. A

3. D

4. C

5. B

6. B

Parte 2

7.

7.1 Ângulos internos do triângulo.

7.2 c < a < b

7.3 Triângulo acutângulo.

7.4 Não, porque os ângulos e lados que o formamsão todos diferentes.

8. Heptágono.

8.1 Sete vértices.

8.2 28 diagonais.8.3 Ângulo interno.

8.4 128º

8.5 14 cm

9. Aquadrado = 9 cm2

Arectângulo = 10 cm2

Atriângulo = 6 cm2


Parte 1

1. A

2. C

3. B

4. B

5. C

6. 16 cm2

Parte 2

7.

7.1 Octógono.

7.2 Oito vértices.

7.3 40 diagonais.

7.4 16 cm.

8.

A. Falsa. A pirâmide quadrangular tem oito arestas ecinco faces.

B. Falsa. As rectas que passam em FD e DC sãorectas concorrentes.

C. Verdadeira.

D. Falsa. As rectas que passam em FE e AC sãorectas perpendiculares.

E. Verdadeira.

F. Falsa. As faces laterais da pirâmide são triângulosisósceles.

Soluções








• Reconhecer as figuras geométricas básicas.

• Traduzir informação apresentada numa forma de representação para outra.

• Explorar uma figura geométrica, tendo como vista o relacionamento de algumas das suas características.

• Relacionar figuras geométricas já conhecidas para explorar outras que serão leccionadas no tema em

questão.

• Desenvolver a visualização e o raciocínio geométrico e ser capaz de os usar.

• Compreender e usar as relações de congruência de triângulos.

• Compreender a noção de demonstração e ser capaz de fazer raciocínios dedutivos.

Avaliação





1

2

• Teste de diagnóstico de conhecimentos.• Raciocinar, Resolver e Comunicar: Tarefas 2 e 4.O modelo de diagnóstico proposto pressupõe dois momentos distintos de avaliação: através de uma avaliaçãoindividual de conhecimentos e através de duas tarefas que proporcionam o diagnóstico das potencialidadesda turma como grupo de trabalho. Estes dois momentos distintos permitem ao professor traçar o perfil da turmae efectuar uma previsão de maior ou menor investimento de trabalho, tendo como finalidade a procura de umequilíbrio de partes.

Tarefa A – «Elementos de um polígono»:• explicação da tarefa;• execução da tarefa individual;

• discussão em grande grupo.

Pretendese que esta tarefa seja realizadaindividualmente ou em grupo de pares, mas queno final seja discutida em grande grupo, paraque o professor proporcione um momentode comunicação na aula e diagnostiqueos conhecimentos da turma em relação à matériaem questão.

Tarefa B – «Relação entre áreas»:• explicação da tarefa;• execução da tarefa individual;• discussão em grande grupo.


O professor pode certificarse de que o aluno possuios conhecimentos suficientes sobre:

polígonos; diagonais de um polígono; ângulos;posição relativa de rectas.



45’

45’

5’20’

15’

5’20’15’



33


3

4 Ângulos de um triângulo. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Ângulos externos de um triângulo. Tarefas intermédias e remissões de final de página.



Caderno de Tarefas.

5’20’15’

15’25’15’25’

15’65’

6

Tarefas de ligação:«As piscinas do João e da Margarida» (Percurso A)«Uma visita ao Jardim Zoológico» (Percurso B)E ainda… «Uma outra visão de padrão» (outros percursos)«Ângulos e polígonos» (outros percursos)

A tarefa suplementar aqui proposta e que efectua uma conexão entre algumas aprendizagensadquiridas ao longo do tema e no ciclo anterior pretende ser uma alternativa ou complemento às tarefaspropostas no Manual , recorrendo à utilização de padrões. No caso dos ângulos e polígonos é uma tarefa quesó pode ser desenvolvida no caso de o aluno já ter leccionado as equações, por isso, também é adaptávela outro percurso, caso seja necessário.

Teste final (avaliação de conhecimentos).

Tarefa 1:• explicação da tarefa;• execução da tarefa individual;• discussão em pequeno ou grande grupo.

A tarefa deve ser efectuada em pequeno ou grandegrupo, consoante a natureza das turmas.

As indicações dadas pelo professor pretendemgarantir que o aluno não se desvie dos objectivosdesta tarefa e, como tal, o professor deve colocarregularmente a pergunta «porquê» a seguir aoscomentários dos alunos, de modo a «provocaro raciocínio», levandoos a analisar e reflectir sobreo seu trabalho e a procurar significado para as suasconclusões.


O professor deve certificarse que o aluno possui osconhecimentos suficientes sobre: polígonos;diagonais de um polígono; relação entre ângulos;perímetros e áreas de polígonos; relações

geométricas; áreas de polígonos.



5

15’25’45

15’

15’25’15’25’

45’45’

45’45’

45’45’45’45’

11 e 12

10

9

8

7

Área de um paralelogramo.

Tarefas intermédias e remissões de final de página. Tarefa de investigação – Paralelogramos; construçãode um paralelogramo dinâmico.


Tarefas indicadas noManual

. AULA DIGITALCaderno de Tarefas.

Raciocinar, resolver e comunicar. Tarefa de investigação – «Soma das amplitudesdos ângulos internos de um polígono».



Caderno de Tarefas.

Quadriláteros. Tarefas intermédias e remissões de final de página.Diagonais e eixos de simetria.




Caderno de Tarefas.

Relação entre os ângulos e os lados de umtriângulo. Eixos de simetria de um triângulo.



Tarefas indicadas no Manual .


Não existência de um critério LLA. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Tarefa de investigação – «Ângulos no geoplano».



Geoplano.Caderno de Tarefas.

Congruência de triângulos. Tarefas intermédias e remissões de final de página.



Caderno de Tarefas.





1. Dominó

Objectivo principal: Desenvolver uma estrutura de raciocínio e pensamento geométrico.



Cortando 32 pedaços de papel, o aluno pode distribuí-los por um tabuleiro desenhado numa folha com

quadrículas. Chegará, assim, à conclusão que essa situação não é possível, pois sobram sempre duas quadrícu-

las pretas. Nesta altura, as suas tentativas devem ser suspensas, pensando que no tabuleiro nunca existem

duas quadrículas pretas lado a lado, o que impedirá a colocação da última peça, dado que esta, tal como as

outras, necessita de uma quadrícula branca e outra preta.

2. Uma dança de ângulosObjectivo principal: Amplitude de ângulos.



Os alunos devem efectuar uma primeira leitura para se inteirarem do assunto do problema. Pretende-se

que numa segunda leitura cheguem à conclusão que se trata de dois ângulos de 45o e outros dois de 60o; um

ângulo giro, 360o.

3. Ângulos e quadriláteros

Objectivo principal: Amplitude de ângulos internos.



Os padrões surgem novamente, para que se construam processos de resolução aplicáveis a situações mais

complexas.

Nas figuras 3 e 4 contaram-se os ângulos criados com a divisão efectuada, que não são ângulos internos do

quadrilátero. Para que se determine a soma das amplitudes dos quatro ângulos internos, basta unir dois vérti-

ces não adjacentes do quadrilátero e verificar que se originam dois triângulos.

A partir deste raciocínio, o aluno deve conseguir dizer que a soma dos ângulos internos de um pentágono

= 540o; hexágono = 720o; dodecágono = 1800o.



35

4. Descobre o ângulo

Objectivo principal: Amplitude de ângulos suplementares.



Este exercício torna-se muito simples se o aluno observar que tem dados a mais. Na realidade, o ângulo de 59o é completamente desnecessário na resolução do exercício, assim como as rectas a vermelho e a azul --escuro: 180o – 53o = 123o.

5. Polígono concâvo

Objectivo principal: Soma dos ângulos internos de um polígono côncavo. Diagonais.



Dividir o polígono em 14 triângulos e fazer 14 × 180º == 2520o . Essa divisão tem formas distintas de ser efectuadae é importante que o aluno veja qual a melhor estratégia deresolução. Repare-se que os vértices dos triângulos devemser vértices dos polígonos, para que a soma dos ângulosinternos dos triângulos corresponda à soma dos ângulosinternos do polígono.

Seguidamente, e antes de desenhar todas as diagonais possíveis do polígono, era importante que o alunopropusesse uma forma de as contabilizar sem as desenhar, isto é, o polígono tem 16 vértices. Ao unirmos cadaum dos vértices aos restantes 13 vértices (retiram-se os dois vértices que se encontram sobre o mesmo lado dovértice assinalado), teremos 16 × 13 = 208 diagonais. Como cada diagonal foi contada duas vezes, teremos104 diagonais. Obviamente, dado o número de diagonais, o ponto 3 não necessita de ser integralmente res-pondido.

Este exercício pode ser efectuado depois da tarefa de investigação «Ângulos no geoplano».

6. Muitos polígonos

Objectivo principal: Classificação de polígonos.



Observando a figura, o aluno chegará à conclusão que:

AGKM = MKJB = FLND = LHCN trapézios rectângulos; CHFD = AGJB trapézios isósceles; ECD == ABE triângulos isósceles; JGE = EFH triângulos isósceles; AED = BEC triângulos isósceles; ADC = DCB == CBA = BAD triângulos rectângulos.





Ângulos no geoplano

1. Pretende-se que o aluno veja algumas formas de dividir em partes iguais um ângulo recto, para que

depois veja qual a amplitude dos ângulos que obteve em cada um dos casos.

2. O aluno, desta forma, vai criar uma unidade de medida, que lhe permitirá medir a amplitude aproximada

de cada um dos ângulos desenhados na grelha.

3. Neste item, o aluno vai assumir como referência a amplitude de um ângulo recto para que assim possa

determinar a amplitude dos ângulos desenhados na grelha e confirmar as sugestões de medidas efectua-

das em 3.

4. Neste item, o aluno já terá de propor uma resolução de estratégias, que poderá ser diferente de aluno

para aluno originando, assim, procedimentos diferentes.

Soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono

Polígono Número de lados Soma das amplitudes dos ângulos internos

Triângulo 3 S3 = 180o

Quadrilátero 4 S4 = 2 × 180o = 360o

Pentágono 5 S5 = 3 × 180o = 540o

Hexágono 6 S6 = 4 × 180o = 720o

Heptágono 7 S7 = 5 × 180o = 900o

Decágono 10 S10 = 8 × 180o = 1440o

A partir de exemplos concretos, espera-se que o aluno consiga fazer uma generalização que lhe permita

determinar a soma da amplitude dos ângulos internos de um qualquer polígono.

Sn = (n – 2) × 180o



37

Paralelogramos

Com software geométrico, pretende explorar-se as propriedades dos quadriláteros, efectuando relações

entre as mesmas.

Essa exploração conduz ao preenchimento das seguintes tabelas.

Pretende-se, desta forma, proporcionar ao aluno contacto com software geométrico, ao mesmo tempo que

lhe propomos que investigue algumas das propriedades dos quadriláteros.

Lados Ângulos

Paralelogramo não rectângulo Iguais dois a dois Iguais dois a dois

Rectângulo Iguais dois a dois Rectos

Losango Todos iguais Iguais dois a dois

Quadrado Todos iguais Rectos

As diagoniasbissectam-se sempre

As diagonais têm sempreo mesmo comprimento

As diagonais são sempreperpendiculares

Paralelogramo não rectângulo Sim Não Não

Rectângulo Sim Sim Não

Losango Sim Não Sim

Quadrado Sim Sim Sim




Número da figura ( n ) Número total de quadrados cinzentos ( c )

1 8

2

3

4

… …

10

5.6 Tarefas de ligação (outros percursos)

Uma outra visão de padrão *

1. Considera as seguintes figuras:

1.1 Desenha a figura número 2.

1.2 Completa a tabela:

1.3 Assinala as expressões algébricas que podem ser usadas para calcular o número de quadrados cinzentosem qualquer figura (a letra c representa o número total de quadrados cinzentos e n representa o núme-ro do padrão). Explica as tuas escolhas.

[ ] 2n + 3(n + 1) [ ] 5(n – 1) + 8 [ ] 8 + 5n [ ] 3(2n + 1) – n1.4 Utilizando uma das expressões válidas, indica qual é:

a) o número de quadrados cinzentos da figura número 45;

b) o número da figura que tem 88 quadrados cinzentos;

c) o número da figura que tem 133 quadrados cinzentos.

Existe alguma figura que tenha 138 quadrados cinzentos? E 276? Se sim, indica o número da figura; senão, explica porquê.

* Baseado numa tarefa utilizada por Branco, N. (2008). O estudo de padrões e regularidades no desenvolvimento do pensamento algébrico.

Figura 1 Figura 4

Conteúdos utilizados: Padrões, sequências, termo geral.


Sugestões de ligação com os restantes temas:

A partir das conclusões da tarefa, pode servir de ligação a um tema de:

• Álgebra (padrões, sequências de figuras, funções ou equações);

• Organização e tratamento de dados (usando o número de quadrículas de cada figura).



39

Ângulos e polígonos

1. Como sabes, podes usar a expressão algébrica 180(n – 2) para determinar a soma das amplitudes dos ângu-los internos de um polígono convexo de n lados.

1.1 Qual é a soma das amplitudes dos ângulos internos de um decágono (polígono de 10 lados)?

1.2 Quantos lados tem um polígono cuja soma das amplitudes dos seus ângulos internos é 3420º? E 8460º?Mostra como chegaste à resposta.

1.3 Será que existe algum polígono cuja soma das amplitudes dos ângulos internos seja 4830º? Justifica.

2. Na figura, sabe-se que a amplitude do ângulo ACB é tripla da do ângulo CBA.

2.1 Escreve uma equação que permita determinar a amplitude do ângulo CBA.

2.2 Resolve a equação que escreveste na questão anterior e indica a amplitude dos ângulos CBA e ACB.

3. Na figura estão representados um triângulo equilátero e um hexágono regular.A medida dos lados do triângulo tem mais 1 cm do que a dos lados do hexágono e o perímetro do hexágonoé o duplo do perímetro do triângulo.

3.1 Enuncia o problema por meio de uma equação.

3.2 Resolve a equação. O que podes concluir?

C

A B

= 116°

A D B

C

E

F

G H

I

Conteúdos utilizados: Ângulos, amplitudes, ângulos internos de um polígono; perímetros e equa-ções.


Sugestões de ligação com os restantes temas:A partir das conclusões da tarefa, pode servir de ligação a um tema de:

• Números e operações (regularidade de números);

• Álgebra (funções, relacionando o lado e o perímetro de uma figura);

• Semelhanças (construção de figuras semelhantes).




Proposta de resolução das Tarefas de Ligação

Uma outra visão de padrão

1.

1.1

1.2

1.3 3(2n + 1) – n

1.4

a) 228 b) 17 c) 26

A figura 27 terá 138 quadrados cinzentos.

Não existe nenhuma figura com 276 quadrados cinzentos, pois repare-se que no número de quadrados cin-

zentos que compõem cada uma das figuras o último algarismo é 8 ou 3.

Ângulos e polígonos

1.

1.1 1440º

1.2 21 e 49 lados. Adicionando ao ângulo dado 360º e dividindo este valor por 180º ou, ainda:

180(n – 2) = 8460 ⇔ 180n – 360 = 8460 ⇔ 180n = 8460 + 360 ⇔ n = = 49

No caso de já se terem dado as equações.

1.3 Não, porque utilizando o mesmo processo da alínea anterior não se obtém um resultado inteiro.

2.

2.1 3x + x + 116 = 180

2.2 Resolvendo a equação, obtemos que a amplitude do ângulo CBA é de 16º e que a amplitude do ângulo

ACB é de 48º.

3.

3.1 6x = 2 × (3 × (x + 1)), ou seja, 6 × ( x + 1)

3.2 Resolvendo esta equação, obtemos 0x = 6. Sendo esta uma equação impossível, podemos dizer que não

existe uma situação que verifique as condições do problema enunciado.

8820

180

Número da figura ( n ) Número total de quadrados cinzentos ( c )

1 8

2 13

3 18

4 23

… …

10 53



41

a x 2,5 3

b 4 10 y

6. Geometria – Semelhança

6.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 3

Parte 1


1. Para que todas as razões seguintes sejam equivalentes, deves eliminar uma. Qual?

A. B. C. D.

2. Numa escola, 8 em cada 10 alunos gostam de Matemática. Podemos resumir esta informação com

a razão:

A. B. C. D.

3. Só um dos seguintes pares de razões não é uma proporção. Qual?

A. e B. e C. e D. e

4. Uma das seguintes igualdades está errada. Qual?

A. = B. = C. = D. =

5. A turma A de uma escola tem 25 alunos, dos quais cinco tiveram negativa a Matemática. Na

turma B, que tem 30 alunos, houve seis negativas. O que é correcto afirmar relativamente a esta

situação?

A. A turma com piores resultados é a turma B.

B. A turma com melhores resultados é a turma A.

C. Ambas têm o mesmo número de negativas.

D. Os resultados são proporcionais. As notas a Matemática são equivalentes.

6. A regra de três simples a ——————— 2

10 ——————— b

só não está correcta se:

A. a = 5 e b = 4 B. a = 2 e b = 10 C. a = 4 e b = 5 D. a = 5 e b = 5

7. Sabendo que as variáveis a e b são directamente proporcionais, escolhe a opção correcta para

os valores de x e de y .

A. x = 4 ; y = 4 C. x = 1 ; y = 12

B. x = 16 ; y = 0,75 D. x = 1,5 ; y = 4,5

COTAÇÃO

6

6

6

6

6

6

6

3

5

5

7

21

35

30

50

10

8

4

5

2

3

80

10

1

7

3

21

6

7

48

56

3

2

12

8

2

3

22

31




COTAÇÃO

7

7

7

6

6

6

6

6

6

Parte 2

8. O Sr. Pedro comprou relva em tapete no valor de 125€ para relvar uma área de 25 m2. Como a

relva se danificou, teve de comprar mais 13 m2 de relva.

Determina a quantia gasta pelo Sr. Pedro na segunda compra que efectuou.

9. O João comprou uma carteira de 11 cartas do Feiticeiro Mágico por 5,50€.

Se comprasse a colecção completa de 66 cartas, quanto teria de pagar?

10. O Tibério quer comprar a colecção dos «Dragonzip», composta por nove bonecos. Na totalidade,

a colecção custa 38,25€. O Tibério só pode gastar 17€.

Quantos bonecos pode comprar?

11. Numa sala de espectáculos estavam 200 pessoas e 60% eram do sexo feminino.

Quantas pessoas do sexo masculino estavam na sala de espectáculos?

12. Uma escola tem 655 alunos. 40% dos alunos frequentam o Ensino Básico e os restantes frequen-

tam o Ensino Secundário.

Quantos alunos frequentam o Ensino Secundário nessa escola?

13. Na tabela seguinte está representada a quantidade de água debitada num tanque e o respectivo

tempo que a torneira esteve aberta.

13.1 Completa a tabela, sabendo que o tempo que a torneira está aberta é proporcional à água

debitada no tanque.

13.2 Determina a constante de proporcionalidade entre as variáveis a e t . Que significado tem

no contexto do problema?

13.3 Caso a torneira estivesse aberta durante 12 horas, qual seria o volume de água debitada?

13.4 Admite que o tanque tem capacidade para 5400 cm3. Quanto tempo deverá a torneira estar

aberta?







AUTO-AVALIAÇÃO

Tempo que a torneira está aberta, em horas ( t ) 1 2 4

Água debitada no tanque, em cm3 ( a ) 225 675 1125



Teste de diagnóstico de conhecimentos 3

Parte 1

1. C

2. B

3. D

4. D

5. D

6. C

7. C

Parte 2

8. Gastou 65 e.

9. 33 e.

10. 4 bonecos.

11. 80 homens.

12. 393 alunos.

13.

13.1

13.2 225 cm3/h. A água debitada no tanque, em cm3, ao fim de uma hora.

13.3 2700 cm3.

13.4 24 horas.

43

Soluções

( t ) 1 2 3 4 5

( a ) 225 450 675 900 1125








• Reconhecer e analisar situações onde existe proporcionalidade directa.

• Traduzir informação apresentada numa forma de representação para outra.

• Apropriação do conceito de proporção e proporcionalidade directa.

• Reconhecer e analisar situações onde existe proporcionalidade entre polígonos.

Avaliação



• Avaliação formativa e contínua durante todo o processo de aprendizagem


1

2

Teste de diagnóstico de conhecimentos. Tarefa A – «Proporcionalidade directa»:• explicação da tarefa;• execução da tarefa individual;• discussão em grande grupo.

Pretendese que esta tarefa seja realizadaindividualmente ou em grupo de pares, mas que,no final, seja discutida em grande grupo, para que oprofessor proporcione um momentode comunicação na aula e diagnostiqueos conhecimentos da turma em relação à matériaem questão.


O professor deve certificarse de que o aluno possuios conhecimentos suficientes sobre:razão e proporção; regra de três simples;proporcionalidade directa.


AULA DIGITAL Teste de diagnóstico de conhecimentos.Caderno de Tarefas.

45’

5’20’15’

Tarefa B – «Proporcionalidade e geometria»:• explicação da tarefa;• execução da tarefa individual;• discussão em grande grupo.

Tarefa 1:

Estando estas tarefas muito relacionadas,é importante que sejam feitas na mesma aula paraque se efectuem todas as relações possíveisna sequência de aprendizagens. As tarefas devemser efectuadas em pequeno ou em grande grupo,consoante a natureza das turmas.

As indicações dadas pelo professor pretendemgarantir que o aluno não se desvie dos objectivosdesta tarefa e como tal o professor deve colocarregularmente a pergunta «porquê» a seguir aoscomentários dos alunos, de modo a «provocar oraciocínio», levandoos a analisar e reflectir sobre oseu trabalho e a procurar significado para as suasconclusões.


O professor deve certificarse de que o alunopossui os conhecimentos suficientes sobre:conceito de proporcionalidade entre polígonos;áreas; razão de semelhança.



5’20’5’

35’



45


10’35’10’35’

3

15’25’15’25’

15’25’15’25’

25’25’35’

45’45’

15’ + 75’

15’

15’55

10 e 11 45’

45’

45’90’

4

5

6

7

8

9

Figuras semelhantes. Tarefas intermédias e remissões de final de página.Polígonos semelhantes.




Caderno de Tarefas.

Razão de semelhança. Tarefas intermédias e remissões de final de página.Escalas.


Recursos possíveis de utilização Tarefas indicadas no Manual .


Método da quadrícula. Tarefas intermédias e remissões de final de página.Método da homotetia.




Caderno de Tarefas.

Semelhança de triângulos. Tarefas intermédias e remissões de final de página.Raciocinar, resolver e comunicar.



Caderno de Tarefas.

Relação entre perímetros e áreas de triângulossemelhantes.

Aplicações da semelhança de triângulos. Tarefas intermédias e remissões de final de página.



Caderno de Tarefas.

Tarefas de investigação:«Homotetia dinâmica».«Pantógrafo».

Tarefa 2: Tarefa experimental.

Tarefas de ligação – «Pentágono».

E ainda… «Perímetros, áreas e semelhanças no geoplano.Com esta tarefa suplementar que aqui é proposta, e que efectua uma conexão entre algumas aprendizagensadquiridas ao longo do tema e no ciclo anterior, pretende fornecer-se uma alternativa ou complemento às tarefaspropostas no Manual , recorrendo à utilização de padrões. No caso dos ângulos e polígonos é uma tarefa que sópode ser desenvolvida no caso de o aluno já ter leccionado as equações, por isso também é adaptável a outropercurso, caso necessário.

Teste final (avaliação de conhecimentos). Teste global. A avaliação global de conhecimentos deve ser efectuada individualmente utilizando as sugestões de auxílio.No final, a sua discussão e correcção deve ser efectuada em grande grupo.





1. O jardineiro

Objectivo principal: Polígonos semelhantes.



O aluno pode elaborar um quadro, onde verifica a regularidade de resultados com

dois ou três exemplos:

Relativamente à segunda pergunta, pretende-se que a resposta seja «Teoricamente

sim, mas na prática não, como se pode verificar por construção», tentando, sempre que

possível, não desassociar as questões da realidade da situação.

2. Semelhanças

Objectivo principal: Polígonos e triângulos semelhantes.



Obviamente, sim, dado que as condições do exemplo se mantêm, isto é, traçando qualquer uma das diago-

nais do rectângulo e cortando a figura pela diagonal, obtemos três triângulos sobrepostos com, pelo menos,

dois ângulos comuns. Estas condições mantêm-se para todos os quadriláteros construídos por este processo.

16 14

8 7

r = 0,5 r = 0,5

8 7

4 3,5

r = 0,5 r = 0,5

… …



47

3. O triângulo de Sierpinski

Tarefa de cariz histórico, onde se exploram algumas das propriedades das figuras geométricas. Nesta tarefa

é, também, possível analisar as fases de construção de uma figura e constatar que algumas das suas proprieda-

des são inalteráveis.

Objectivo principal: Triângulos semelhantes.



Pretende-se que o aluno chegue às seguintes respostas:

3.1

a) 17 triângulos.

b) Redução; ampliação; congruentes.

3.2a) 53

b) Ampliação; ampliação; congruente; congruentes.

3.3

O processo consiste em dividir sucessivamente cada triângulo azul em quatro triângulos equiláteros,

sendo três azuis e o triângulo central branco.

4. Árvore pitagórica

Objectivo principal: Polígonos e triângulos semelhantes.

Organização da turma: Trabalho individual.Estratégia de resolução possível:

4.1 Quadrados, triângulos e um heptágono.

4.2 São, porque têm pelo menos dois ângulos congruentes (logo, têm os ângulos todos congruentes).

4.3 São. Os seus lados correspondem aos dois lados congruentes do triângulo 5, pois os ângulos opostos

são congruentes.

4.4 A 6.ª geração terá 32 quadrados. O número de quadrados de cada uma das gerações é dado pela

sequência numérica: 20, 21, 22, 23, 24…




5. Infinitamente

Objectivo principal: Critérios de semelhança.



Todos os triângulos têm, pelo menos, dois ângulos iguais. Pelo critério AA, podemos afirmar que os triân-

gulos são todos semelhantes entre si. Esta tarefa volta a ser recordada nas sequências, para que se efectue a lei

de formação que origina a formação dos triângulos e quadrados.


Homotetia dinâmica

Para além de efectuar a construção de uma homotetia no Geogebra, o aluno pode efectuar as tarefas que

se encontram no Manual Multimédia, onde se encontram exercícios interactivos.

Pantógrafo

A construção manual de um pantógrafo pode ser uma tarefa motivadora para os alunos, proporcionandoum momento diferente na disciplina.

O aluno pode, no entanto, manipular o pantógrafo interactivo e executar a tarefa que se lhe encontra asso-

ciada.



49


Perímetros, áreas e semelhanças no geoplano

Para cada um dos itens seguintes, começa por fazer as construções adequadas, no geoplano, que te per-mitirão investigar as propriedades em causa e retirar conclusões. Justifica todas as tuas respostas com pala-vras, desenhos ou cálculos.

Podes trabalhar com um geoplano tradicional ou com um geoplano interactivo, que podes encontrar,por exemplo, no seguinte endereço:

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_172_g_2_t_3.html?open=activities&from=category_g_2_t_3.html

1. Constrói rectângulos que tenham 12 unidades de perímetro.

1.1 Quantos rectângulos diferentes é possível construir no geoplano? Indica o comprimento e a largura decada um desses rectângulos.

1.2 Calcula a área dos rectângulos que construíste.

1.3 Qual é o valor da maior área que obtiveste? Indica o comprimento e a largura do respectivo rectângulo.

1.4 O que podes concluir com o resultado da alínea anterior? O rectângulo tem os lados todos iguais?Como se designa esse rectângulo?

1.5 Verifica, fixando outros valores inteiros para o perímetro dos rectângulos, que a forma que maximiza aárea é sempre quadrada.

1 unidade

1 unidade

Geoplano

Conteúdos utilizados: Polígonos, perímetros, áreas, razão entre perímetros e razão entre áreas.

Organização da turma: Trabalho em pequeno grupo.



• Álgebra (funções, relacionando o lado e o perímetro de uma figura);

• Números e operações (regularidade entre valores do lado do polígono e dos seus perímetros ouáreas);

• Organização e tratamento de dados (construção de uma representação gráfica que relacione ocomprimento do polígono com o seu perímetro ou área).




2. Constrói um rectângulo que tenha 1 unidade de largura e 2 unidades de comprimento.

2.1 Constrói uma ampliação desse rectângulo que tenha o dobro da largura e o dobro do comprimento. Há

mais do que um caso nessas condições?

2.2 O perímetro do rectângulo manteve-se ou também ficou o dobro? Justifica que, em qualquer caso, se

aumentarmos para o dobro a largura e o comprimento de um rectângulo, o perímetro também será o

dobro.

2.3 Calcula a área do rectângulo original e a da sua ampliação. A área também ficou o dobro? Por quanto

tens de multiplicar o valor da área do original para obteres o valor da área da ampliação?

a)Constrói uma nova ampliação do rectângulo de 1 × 2, triplicando a largura e o comprimento. Por

quanto tens de multiplicar o valor da área do original para obter o valor da área da ampliação?

3. Constrói um triângulo isósceles, com uma base com 4 unidades e com uma altura com 2 unidades.

3.1 Faz duas novas construções:

a)um triângulo isósceles com metade da base e metade da altura do inicial;

b) um triângulo isósceles com o dobro da base e o dobro da altura do inicial.

3.2 Calcula o perímetro e a área dos três triângulos. Que relação existe entre o perímetro do triângulo ini-

cial e os perímetros da ampliação e da redução? E que relação existe entre a área do triângulo inicial e

as áreas da ampliação e da redução?



51

Proposta de resolução da Tarefa de Ligação

Perímetros, áreas e semelhanças no geoplano

1.

1.1 Com medidas inteiras para o comprimento e para a largura dos rectângulos, existem três possibilidades:

1 × 5, 2 × 4 e 3 × 3 .

1.2 Áreas: 1 × 5 = 5,2 × 4 = 8 e 3 × 3 = 9

1.3 Maior área: 9; o comprimento é igual à largura, ou seja, é igual a 3.

1.4 O rectângulo de maior área tem os lados todos iguais, isto é, é um quadrado.

1.5 Fixando um qualquer perímetro, o rectângulo que tem maior área é sempre o quadrado.

Nota: Recomenda-se uma extensão a este item, indo além do raciocínio concreto que o geoplano permite,considerando medidas não inteiras para os rectângulos, investigando com esquemas e cálculos, que condu-zam o aluno à conclusão que, em qualquer caso, fixando um valor do perímetro, o rectângulo que temmaior área é sempre o quadrado. Pode ainda fazer-se referência às aplicações desta propriedade – porexemplo, se quisermos, com um mesmo comprimento de uma vedação podemos vedar terrenos de áreasdistintas, sendo o terreno quadrado o que tem a maior área.

2.

2.1 Só há um rectângulo nessas condições (o rectângulo de 2 × 4).

2.2 O perímetro também duplicou. Em qualquer caso, se aumentarmos para o dobro a largura e o compri-mento de um rectângulo, o perímetro também será o dobro, uma vez que o perímetro é igual à soma detodos os lados do rectângulo. Como todos os lados duplicaram, também o perímetro tem de duplicar.

2.3 Área do rectângulo original: 1 × 2 = 2 . Área da ampliação: 2 × 4 = 8 . A área não duplicou. Tem de semultiplicar o valor da área do original por 4 para se obter o valor da área da ampliação.

a)Triplicando a largura e o comprimento, obtemos um rectângulo com área 3 × 6 = 18 , pelo que setem de multiplicar o valor da área do original por 9 para se obter o valor da área da ampliação.

Nota: Com o trabalho proposto no item 2.2, o aluno pode ser conduzido a fixar as seguintes propriedades:• se ampliarmos a largura e o comprimento de um rectângulo n vezes, o perímetro também aumentan vezes;

• se ampliarmos a largura e o comprimento de um rectângulo n vezes, a área aumenta n2 vezes.

Para esta segunda conclusão, pode ser pertinente repetir a experiência para outros casos além dos propostos.

3. O item 3 é uma extensão do item anterior ao caso dos triângulos, sendo as conclusões análogas.

Nota: Pode ainda estender-se as tarefas propostas nos itens 3.1 b) e 3.2, efectuando-se a investigação paraum qualquer polígono e fazendo-se referência ao conceito de semelhança e de razão de semelhança, enun-ciando-se as propriedades (e, eventualmente, demonstrando-as) o mais genericamente possível, explorandoreduções e ampliações:

• se r é a razão de semelhança entre quaisquer dois polígonos, a razão entre os seus perímetros é também r ;

• se r é a razão de semelhança entre quaisquer dois polígonos, a razão entre as suas áreas é também r 2 .




7. Álgebra – Sequências e regularidades


Parte 1


1. Ao lado, estão representadas as três primeiras figuras de uma sequência.

O número de pontos que formam a figura 4 é:

A. 11 C. 10

B. 12 D. 15

2. O Sr. Manuel, da loja de informática, está a decorar a montra. Já fez os três montes, com embala-

gens de CD, que observas na figura.

Se o Sr. Manuel continuar a fazer montes, seguindo o mesmo padrão, de quantas embalagens pre-

cisa para fazer o 5.º monte da sequência?

A. 15 B. 12 C. 21 D. 28

3. O Pedro tem uma fita com autocolantes pretos e azuis, dispostos segundo um padrão que se repete,

pela mesma ordem. A figura mostra essa fita, da qual o Pedro já retirou três autocolantes. Assina-la qual das hipóteses (de A a D) tem os autocolantes que o Pedro tirou, seguindo a ordem da

esquerda para a direita.

4. Joaninhas azuis e cinzentas entram e saem de um buraco. Seguem dispostas segundo um padrão

que se repete. Quantas joaninhas azuis e cinzentas estão no buraco?

A. 3 cinzentas e 5 azuis. C. 4 cinzentas e 5 azuis.

B. 4 cinzentas e 4 azuis. D. 5 cinzentas e 5 azuis.

5. O 8.º termo da sequência formada pelos números 1 4 7 10 13…. é:

A. 16 B. 19 C. 21 D. 22

COTAÇÃO

8

8

8

8

8

Figura 1 Figura 2 Figura 3

1.º monte 2.º monte 3.º monte

? ? ?

A. B. C. D.



53

COTAÇÃOParte 2

1. Observa a seguinte sequência de figuras.

1.1 Quantos triângulos tem a 5.ª figura?

1.2 Quantos quadrados tem a 9.ª figura?

2. Escreve, nos , os três números que faltam na sequência.

3. Nesta sequência de figuras, o primeiro quadrado (em cima) tem 12 cm de lado.

Escreve os primeiros cinco termos das sequências seguintes:

3.1 Número de quadrados de cada figura.

3.2 Medida dos lados dos quadrados sombreados.

3.3 Área dos quadrados sombreados.

3.4 Perímetro dos quadrados sombreados.

4. A Elisa está a fazer um colar com contas azuis e contas pretas, seguindo sempre um esquemainventado por ela.Uma parte do colar está dentro da caixa da figura.Desenha ou descreve a parte do colar que está dentro da caixa, explicando o teu raciocínio.

(Adaptado de Prova de Aferição de Matemática – 2.º Ciclo – 2004)

1.ª figura 2.ª figura 3.ª figura

0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

250 10 2

4

5

8

8

15







AUTO-AVALIAÇÃO

5

5

10





Parte 1

1. D

2. C

3. A

4. C

5. D

Parte 2

1.1 12 triângulos.

1.2 9 quadrados.

2. 1250; 50; 0,4

3.

3.1 1; 4; 9; 16; 25

3.2 12; 6; 4; 3; 2,4

3.3 144; 36; 16; 9; 5,76

3.4 48; 24; 16; 12; 9,6

4. O esquema inventado pela Elisa é: 1b; 1p; 1b; 2p; 1b; 3p; 1b; 4p; 1b; 5p; 1b; 6p…

Sendo assim, as contas que estão na caixa são uma conta branca e sete contas pretas, dado que da sequên-

cia de cinco pretas, duas delas são visíveis.

Soluções



55





• Interpretar e reconhecer regularidades não numéricas.

• Interpretar e reconhecer regularidades numéricas em quadros numéricos ou tabuadas.

Avaliação





1

2

Teste de diagnóstico de conhecimentos. Tarefas A e B – «Sequências de figuras»; «Regularidades»:• explicação da tarefa;• execução da tarefa individual;• discussão em grande grupo.Pretende-se que estas tarefas sejam realizadasem grupo de pares, mas que no final seja discutidaem grande grupo, para que o professor proporcioneum momento de comunicação na aulae diagnostique os conhecimentos da turma

em relação à matéria em questão.


Manual Multimédia.

Caderno de Tarefas.

Tarefa – «Descobrir regularidades»:• explicação da tarefa;• execução da tarefa individual;• discussão em grande grupo.Sequências.

Tarefas intermédias e remissões de final de página.Raciocinar, resolver e comunicar.


Manual Multimédia.



Caderno de Tarefas.

45’45’

30’

5’15’

30’

3 Termo geral de uma sequência numérica. Representação.

Tarefas intermédias e remissões de f inal de página.

Termo geral de uma sequência numérica.

Representação (continuação)

Tarefas intermédias e remissões de f inal de página.

Recursos possíveis de utilização Tarefas indicadas no Manua l .

A ULA DIGIT A L

Cad erno de Ta refas.

15’

25’

15’

25’

4 e 5 Raciocinar, resolver e comunicar.

Tarefas de investigação – «Sequências pitagóricas

no geoplano»; «Fibonacci e o número de ouro»;

«Jogos lógicos».

Recursos possíveis de utilização T arefas indicadas no Manua l .

AULA DIGI TA L

20’

60’

6 e 7 Taref as de ligação:

«Voo em V (Percurso A)».

«A travessando o rio (Percurso B )».

E ainda: «Padrões numéricos».

A tarefa suplementar que aqui é proposta pode ser desenvolvida, caso se opte por outro percurso ou no caso de se querer consolidar aprendizagens anteriores com os conteúdos desenvolvidos ao longo deste tópico.


45’

45’

45’

45’





1. Segmentos

Objectivo principal: Padrões na geometria.



Sugere-se que a resposta seja organizada numa tabela, de forma a ser explícita a regularidade na contagem

dos segmentos.

2. Painel

Objectivo principal: Padrões na geometria.



Pretende-se que o aluno efectue sucessivas construções das diversas formas de cobrir o painel, como aqui

é exemplificado, até que encontre a regularidade de números 1,2,3,5,8,13, … que fazem parte da sequência

de Fibonacci. Os azulejos podem ser colocados no painel de 21 formas diferentes.

Esta tarefa pode ser explorada, experimentalmente, nas turmas que apresentem mais dificuldades de

aprendizagem.

Tamanho do quadradoNúmero de segmentos de diferentes

comprimentos: anteriores + novoNúmero total de comprimentos diferentes

1 × 1 2 2

2 × 2 2 + 3 5

3 × 3 2 + 3 + 4 9

4 × 4 2 + 3 + 4 + 5 14



57

3. Os números de granizo

Objectivo principal: Padrões numéricos.



Considerando a sugestão que é feita,

a) 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, …

7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

A partir de certa altura surge a sequência «1, 4, 2», que se repete indefinidamente.

Antes de cair no «ciclo fatal» encontramos 109 termos.

b) 17 termos: 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Uma vez mais, tenta integrar-se a história da matemática nas tarefas propostas, promovendo, assim, a

sua interligação.

4. Infinitamente




Esta tarefa já foi explorada na semelhança de figuras e aqui torna a ser nomeada na procura de uma lei de

formação para os quadrados e triângulos. Continua a sugerir-se uma tabela para organização de dados, sendo

a que se segue um exemplo:

Sendo assim, temos que o termo geral dos quadrados 2n e o termo geral dos triângulos 3 × 2n .

Fila Número de quadrados Número de triângulos

1 2 6

2 4 12

3 8 24

4 16 48




5. Rectângulos, perímetros e áreas




Com o preenchimento da tabela, espera-se que o aluno chegue à lei de formação, depois de atribuir valo-

res à 6.ª figura, no sentido de se averiguar se o aluno se apropriou da regularidade em questão (Altura = 6;

base = 7; perímetro = 26; área = 42).

6. Caixa de bombons

Objectivo principal: Padrões geométricos.


Existe uma relação entre as dimensões da caixa, o número de bolachas e o número de caramelos, que se

regista no seguinte quadro.

Dimensões

da caixa

Número

de bolachas

Número

de caramelos

2 × 2 4 1

2 × 4 8 3

3 × 5 15 8

…

c × l c × l (c – 1) × ( l – 1)

Rectângulo

da figura

Medida

da altura

Medida

da base

Medida do

perímetro

Medida

da área

1 1 2 6 2

2 2 3 10 6

3 3 4 14 12

4 4 5 18 20

5 5 6 22 30

2( n + ( n + 1)) n( n + 1)



59


Sequências pitagóricas no geoplano

Recorrendo uma vez mais ao geoplano, pretende-se que o aluno comece por estudar algumas regularida-

des geométricas, de forma a aplicar os conhecimentos matemáticos na compreensão de fenómenos científicose conjecturar sobre a sua aplicação.

O recurso ao geoplano permite a manipulação de materiais didácticos e conduz à estruturação de raciocí-

nios, mostrando que a matemática é uma ciência dinâmica.

Fibonacci e o número de ouro

Esta tarefa de investigação proporciona um momento de pesquisa sobre o número de ouro, sequência de

Fibonacci, relações entre ambos e as suas aplicações.

Esta tarefa de investigação está muito direccionada para as aulas de Estudo Acompanhado, onde os alu-

nos, organizados em pequenos grupos, podem efectuar recolha de informação. No entanto, não deixamos de

salientar que, dada a importância do assunto em questão, se deve promover a apresentação oral dos trabalhos

de pesquisa efectuados pelos grupos, promovendo a discussão na turma e se possível juntando-lhe informação

que o professor determine como relevante para construção do saber e da cultura matemática.

Aconselha-se o uso dos sites introduzidos no início do tópico que contenham informação sobre o que é

solicitado na tarefa.

Jogos lógicos

1. 2.

1 + 1 = 2; 2 + 1 = 3; 3 + 2 = 5; 5 + 3 = 8; 8 + 5 = 13; 13 + 8 = 21; 21 + 13 = 34

Uma regra de formação Expressão geradora

Números triangulares 1; 1 + 2; 3 + 3; 6 + 4; 10 + 5; …

Números quadrangulares 1; 1 + 3; 4 + 5; 9 + 7; 16 + 9; … n2

Números pentagonais 1; 1 + 4; 5 + 7; 12 + 10; 22 + 13;…

Números hexagonais 1; 1 + 5; 6 + 9; 15 + 13; 28 + 17;… n(2 n – 1)

Números octogonais 1; 1 + 7; 8 + 13; 21 + 19; 40 + 25;… n(3 n – 2)

n( n + 1)

2

n(3 n – 1)

2

1 1 8

2 135

3 21 ?

2 7 9

4 73

6 10 16

10 13 23

16

10

26




7.5 Tarefa de Ligação (outros percursos)

Padrões numéricos

1. Descobre o maior número possível de relações entre os números na tabela.

2. Que padrão identificas nos números que estão na diagonal que começa em 1?

3. Como variam os números quando saltas de linha em linha? E de coluna em coluna?

4. Descobre diferentes maneiras de contar que te levem a parar no número 24 e no número 35.

5. Investiga:

• números em forma de L;

• números em forma de T;• números em forma de C;

• números em forma de P;

• números em forma de O.

Faz uma generalização para cada caso.

Adaptado de Isabel Vale e Teresa Pimentel, Padrões no ensinoe aprendizagem da Matemática

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Conteúdos utilizados: Padrões numéricos.

Organização da turma: Trabalho em pequeno grupo.Sugestões de ligação com os restantes temas:


• Álgebra (funções ou equações);

• Números e operações (regularidade entre valores do lado do polígono e dos seus perímetros ouáreas);

• Organização e tratamento de dados (construção de uma representação gráfica que relacione ocomprimento do polígono com o seu perímetro ou área).



61


Padrões numéricos

Para fazer esta tarefa, o aluno tem de ter algum conhecimento prévio de relações numéricas, máximo divi-

sor comum e expressões algébricas.Para se iniciar a execução da tarefa, pode propor-se que os alunos utilizem tabelas com menos de 10números por linha (como no exemplo seguinte).

O desafio consiste em ver como variam os números nas novas tabelas e em concluir que as respostas vãodependendo das dimensões da tabela.

O professor deve ir anotando no quadro as sugestões dadas pelos alunos de padrões encontrados nas duas

primeiras tabelas e averiguar em conjunto com eles o que se passa na tabela de dimensões maiores.Na alínea d) pode sugerir que se procurem padrões segundo outras letras do alfabeto

e deve discutir na turma as conclusões a que chegam.

Por exemplo, para formar a letra T precisamos de uma coluna e de uma linha.Os números na coluna diferem em dez unidades enquanto em linha a sua diferença é deuma unidade.

Nos números em P temos duas colunas e duas linhas. Em coluna a diferença entredois números consecutivos é 10, mas em linha a diferença é 1.

Esta formação parece ser idêntica em todas as letras, que se efectuem numa tabela

deste tipo.É importante que a exploração desta tarefa chegue o mais longe possível, tendo-se,

no entanto, em consideração, que a sua exploração é inesgotável.

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

21 22 23 24

25 26 27 28

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

26 27 28 29 30

31 32 33 34 35

36 37 38 39 40

41 42 43 44 45

46 47 48 49 50

3 4 5

14

24

34

44

8 9 10

18 20

28 29 30

38

48




8. Álgebra – Funções


Parte 1


1. Se a escala utilizada num mapa for de , qual a distância real correspondente a 6 cm?

A. 600 m C. 60 km

B. 6000 m D. 0,00006 cm

2. A escala de um mapa é 1:20000. Uma estrada com 1 km é representada no mapa com um compri-

mento de:

A. 2 cm B. 10 cm C. 5 cm D. 20 cm

3. Quando se diz que 53% de uma piza é massa, isto significa que:

A. em cada 100 g de piza, 53 g é massa.

B. em cada 53 g de piza, 100 g são de massa.

C. a piza pesa 53 g.

D. em cada 1000 g de piza, 53 g é de massa.

4. Qual é a figura cuja parte colorida corresponde a 25% do total?A. C.

B. D.

5. O Manuel poupou 2 E na compra de um livro, pois fizeram-lhe um desconto de 16%.

Qual era o preço do livro?

A. 8 E B. 30 E C. 18 E D. 12,50 E

1

100 000

COTAÇÃO

5

5

5

5

5



63

Parte 2

6. O terreno onde está instalado o circo é rectangular.À escala de 1:6000, a planta do terreno tem 5 cm de comprimento e 2 cm de largura.

6.1 Quais as dimensões, em metros, do terreno onde está instalado o circo?

6.2 A tenda do circo ocupa uma área de 2880 m2. Que percentagem do terreno é a área ocupadapela tenda?

6.3 O recinto onde se encontram os animais ocupa uma área de 2% da área do terreno. Qual é,em metros quadrados, a sua área?

7. Num grupo de 3000 pessoas, 32% são do grupo sanguíneo A e 15% do grupo sanguíneo B.Determina o número de pessoas deste grupo que não são do grupo sanguíneo A nem do gruposanguíneo B.

8. Num mapa, 2,5 cm correspondem a 30 km.

8.1 Qual a escala do mapa?

8.2 Qual a distância real correspondente a 7,5 cm no mapa?

8.3 Para representar 36 km no mapa, qual seria o comprimento necessário?

9. Uma lojista, aquando da venda de uma peça de roupa a uma cliente, que custava 50 €, disse-lheque faria um desconto de 10%. Desta forma, a cliente pagaria 45 € pela peça.

A cliente reclamou, afirmando que tinha visto a mesma peça, com o mesmo preço inicial, numaoutra loja, com um desconto de 15%.Perante isto, a lojista afirmou que retiraria 5% aos 45€ para que a cliente levasse a peça, ao queesta acedeu.Indica, justificando, qual das seguintes afirmações é correcta:

(A) A cliente não ficou prejudicada, uma vez que o preço da peça nesta loja ficou igual ao daoutra loja onde lhe fariam um desconto de 15%.

(B)A cliente ficou prejudicada, uma vez que a peça de roupa ficaria mais barata na loja onde lhefariam um desconto de 15%.

Pontuação Os teus conhecimdentos são: Então:






AUTO-AVALIAÇÃO

7

10

8

5

7

8

10

10

10

COTAÇÃO





Parte 1

1. B

2. C

3. A

4. D

5. D

Parte 2

6.

6.1 300 m de comprimento e 120 m de largura.

6.2 8%

6.3 720 m2

7. 1590 pessoas.

8.

8.1

8.2 90 km

8.3 3 cm

9. 15% de 50 € = 7,5 €; 50 € – 7,5 € = 42,50 €

10% de 50 € = 5; 50 € – 5€ = 45 €; 5% de 45 € = 2,25 €; 45 – 2,25 = 42,75 €

A afirmação verdadeira é a (B).

1

1 200 000

Soluções



65





• Aplicar os conhecimentos de proporcionalidade directa na resolução de uma situação real.

• Análise gráfica e previsão de resultados.

• Aplicar os conhecimentos de proporcionalidade directa na resolução de uma situação possível.

• Determinação de valores e da escala de um mapa.

• Efectuar correspondência entre elementos a partir de uma situação corrente na sala de aulas.

Avaliação





1

2

Teste de diagnóstico de conhecimentos. Tarefa A – «Queijos frescos»:• explicação da tarefa;• execução da tarefa individual;• discussão em grande grupo.

Pretendese que estas tarefas sejam realizadas emgrupo de pares, mas que, no final, seja discutida emgrande grupo, para que o professor proporcione ummomento de comunicação na aula e diagnostiqueos conhecimentos da turma em relação à matériaem questão.


O professor deve certificarse de que o alunopossui os conhecimentos suficientes sobre:proporcionalidade directa; análise gráfica(organização e tratamento de dados).



Tarefa B – «O tesouro escondido»:•

explicação da tarefa;• execução da tarefa individual;• discussão em grande grupo.

Tarefa: – «Uma turma irrequieta»Esta tarefa pretende predispor o aluno para o estudodas funções, mais especificamente para estabeleceruma correspondência entre elementos sem ter aindanoção do seu significado.


O professor deve certificar

se de que o aluno possuios conhecimentos suficientes sobre:proporcionalidade directa; escalas.


Manual Multimédia

Caderno de Tarefas.

45’

5’20’20’

30’5’15’

30’

3 Correspondências. Noção de função. Tarefas intermédias e remissões de final de página.Domínio e contradomínio de uma função.




Caderno de Tarefas.

15’25’15’25’





4

5 e 6

Referencial cartesiano. Representação de pontosno plano.

Tarefas intermédias e remissões de final de página. Tabelas e gráficos cartesianos. Tarefas intermédias e remissões de final de página.

Formas de representação de funções. Tarefas intermédias e remissões de final de página.


Tarefas indicadas no Manual .«20 AULA DIGITAL».Caderno de Tarefas.

15’

10’20’10’

20’15’

7 Relação entre o gráfico e a expressão analítica deuma função de proporcionalidade directa.

Tarefas intermédias e remissões de final de página.Leitura e interpretação de gráficos em contextosreais.




Caderno de Tarefas.

15’

25’15’

25’

8 Tarefa de investigação:«Funções na folha de cálculo».Outros gráficos.




Caderno de Tarefas.

40’15’25’

9 Raciocinar, resolver e comunicar. Recursos possíveis de utilização

Tarefas indicadas no Manual l. AULA DIGITAL

Caderno de Tarefas.

45’

10 Tarefas de ligação:«Referenciais cartesianos, quadriláteros e sequências» (Percurso A).«Máquina de letras e números» (Percurso B).E ainda:

«Será que a gasolina chega?»«Lados e perímetros».Estas tarefas suplementares que aqui são propostas, e que efectuam uma conexão entre algumasaprendizagens adquiridas ao longo do tema e no ciclo anterior, pretendem ser uma alternativa ou complementoàs tarefas propostas no Manual , recorrendo à utilização de situações problemáticas onde se utilizam algunsdos conhecimentos adquiridos no tópico de funções, para a sua resolução e integração em tópicos seguintes.


45’45’

45’

45’

Sequências e funções. Tarefas intermédias e remissões de final de página.Funções de proporcionalidade directa.



Tarefas indicadas no Manual l. AULA DIGITAL

Caderno de Tarefas.

45’45’45’45’



67


Tarefas 1 a 5

Objectivos principais: Análise de situações e adequação de gráficos.



Para cada uma das situações, é essencial que o aluno perceba a situação que lhe é colocada. Para tal, o pro-

fessor deve ajudar na interpretação da mesma, esclarecendo eventuais dúvidas.

Em «O farol», por análise da sequência de traços do gráfico, o aluno deve chegar à conclusão de que a

sequência se repete ao fim de 5 segundos.

Em «O baloiço», a escolha do gráfico correcto deve ser feita começando por rejeitar o gráfico que descreve

uma situação impossível, no caso, o gráfico B. Os gráficos seguintes devem ser eliminados, sugerindo em que

situações seriam adaptáveis. O gráfico que traduz a situação descrita é o gráfico (A).

Em «O reservatório de água», o aluno tem de ter em consideração a forma do reservatório, o que lhe per-

mitirá eliminar de imediato (A), (C) e (E). O facto de a forma do reservatório ser um cone encimado por um

cilindro pressupõe que o seu enchimento será mais rápido inicialmente, para depois ser mais lento, devendo

escolher-se, assim, a opção (B).

O item «As marés» tem dificuldade variável, pois pressupõe que os alunos tenham alguma familiaridade

com o assunto em questão. No caso de não a terem, pode ser difícil resolver esta questão sem que haja antes

uma explicação por parte do professor. A situação correcta é a (A).

No caso de «O burro e a árvore», não é visível, de imediato, a descrição da situação no gráfico. A escolha

do gráfico deve ser feita atendendo ao facto de que só o gráfico A pode representar a distância do burro à

árvore, pois não existem distâncias negativas e estas aparecem representadas nos gráficos B, C e D.

6. Tarifários

Objectivos principais: Interpretação, análise e comparação de gráficos, adequados a uma situação específi-

ca. Adequação de valores.



Analisando os gráficos, é observável que o tarifário «Mais segundos» tem um custo de chamadas superior

ao tarifário praticado por «Fale mais», no caso de o seu utilizador falar durante pouco segundos. No caso de

falar muito, já seria mais vantajoso a utilização do tarifário praticado por «Fale mais», por razões económicas.

A escolha de um tarifário está, pois, dependente da duração de chamada mais frequente.

No caso do preenchimento da tabela, os alunos terão de a preencher utilizando valores aproximados,

adequando-os, depois de os gráficos terem sido atentamente analisados. Repare-se que a escala aplicada tem

em conta que cada unidade está dividida em 6 partes (ver «Mais segundos» a partir dos 5 segundos), com a




marcação de pontos sucessivos. Assumindo que estão igualmente espaçados, a escala a considerar é uma dízi-

ma infinita periódica, motivo pelo qual os alunos terão de optar por valores aproximados, por exemplo

2

6 0,33.

Neste tipo de questão, é habitual ouvirmos por parte dos alunos que elas não têm resposta possível por

falta de dados. No entanto, cabe ao professor explicar que este é um exercício com falta de dados, daqueles

em que os dados têm de ser obtidos pelos alunos em prol da interpretação da situação e que resultam de pre-

missas que cada um possa eventualmente fazer, desde que devidamente adequadas e contextualizadas.

Independentemente dos valores utilizados, parece ser possível ver que a diferença de uma chamada com

duração de 30 segundos nestes dois tarifários é de 2 €. A questão 1.4 repete a ideia de resposta que se pretende

na 1.1, onde são concretizados valores.

Duração da chamada

(segundos)

Custo da chamada

«Mais segundos» «Fale mais»

1 1,65 e 7,59 e

5 1,65 e 7,59 e

10 3,3 e 7,59 e

18 5,94 e 7,59 e

23 7,59 e 7,59 e

25 8,25 e 7,59 e

30 9,9 e 7,59 e

44 14,52 e 12,21 e

50 16,5 e 14,19 e

52 17,16 e 14,85 e

60 19,8 e 17,49 e



69

8.4 Sugestões de exploração da Tarefa de investigação

Funções na folha de cálculo

Pretende-se com esta tarefa de investigação que o aluno elabore gráficos utilizando a folha de cálculo, com

o intuito de resolver uma situação que lhe é colocada. Posteriormente, o aluno utilizará os gráficos efectuadospara efectuar algumas comparações entre os mesmos. Pode pedir-se que o aluno elabore um relatório, em que

registe as comparações pedidas entre os gráficos das três situações e uma previsão de tempo de enchimento

para as mesmas, no caso de o depósito ter capacidade para 20 litros.

Em alternativa ao uso da folha de cálculo, esta tarefa pode ser desenvolvida no Geogebra. Para tal, o aluno

terá de começar por analisar cada uma das situações, propondo uma expressão analítica para cada uma delas.

Introduzirá as mesmas na caixa de entrada do Geogebra e os gráficos serão apresentados no mesmo referen-

cial, possibilitando a sua comparação.

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2 3 4 5 6 7 8 9 10




8.5 Tarefas de Ligação (outros percursos)

Será que a gasolina chega?

O pai da Paula esqueceu-se de abastecer o automóvelcom gasolina e a próxima estação de serviço fica a 80 km. Omedidor de combustível indica que só tem 6 litros.

Tem uma dúvida: não sabe se consegue chegar à estação.Ajuda o pai da Paula, sabendo que:

• a uma média de 40 km/h, o automóvel consome 4litros em cada 100 km e, por cada 20 km a mais develocidade, consome mais 1 litro;

• são 23 h 10 m e a estação de serviço fecha às 0 h 00.

Para averiguares se o pai da Paula tem ou não possibilidade de alcançar a estação de serviço no tempo que

lhe resta, percorre as seguintes etapas:

a) Determina o tempo que resta ao pai da Paula até que a estação de serviço encerre;

Faz corresponder a cada uma das velocidades uma recta do gráfico abaixo, onde se representam algu-mas funções que relacionam a distância percorrida em função do tempo, fazendo variar a velocidade doautomóvel para 40km/h, 60km/h, 80km/h e 100km/h.

b) Averigua qual das velocidades permitiria percorrer 80 km no tempo que resta até a estação encerrar.

c) Verifica se em alguma dessas situações o consumo de gasolina é compatível com a que resta no depósitodo automóvel.

0

10

20

30

40

5060

70

80

90

100

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

Conteúdos utilizados: Gráficos, proporcionalidade directa, números.



A partir das conclusões da tarefa, esta pode servir de ligação a um tema de:

• Álgebra (equações);

• Números e operações (múltiplos/divisores);

• Organização e tratamento de dados (representação gráfica).



71

Conteúdos utilizados: Representação gráfica, expressões algébricas, sequências.




• Álgebra (equações);

• Números e operações (múltiplos/divisores);

• Geometria (relação entre perímetros, áreas, semelhanças de triângulos);

• Organização e tratamento de dados (tabelas de frequência).

Lados e perímetros

As figuras representam um triângulo equilátero (Figura 1) que foi dividido em 16 triângulos equiláterosiguais (Figura 2).

1. Sabemos que a medida do lado do triângulo da figura 1 é n.

a) Qual a medida do lado de cada um dos 16 triângulos que o compõem?

b) Escreve uma expressão que relacione o perímetro do triângulo da figura 1 com a medida do seu lado.

c) Escreve uma expressão que relacione o perímetro de cada um dos triângulos da figura 2 com a medidado seu lado.

2. Supondo que o lado do triângulo equilátero da Figura 1 mede 4 cm, representa no gráfico seguinte o perí-metro da sequência de triângulos coloridos.

Figura 1 Figura 2

10

2

4

6

8

10

12

14

2 3 4 5 6 7 8 9 10




Proposta de resolução das Tarefas de Ligação

Será que a gasolina chega?

Pretende-se, com esta tarefa, propor aos alunos a resolução de uma situação possível, na qual eles podem

aplicar os conhecimentos adquiridos ao longo deste tópico. É importante que o aluno tenha a noção de pro-porção para que possa concluir o raciocínio aqui proposto.

Restam 50 minutos até que a estação de serviço encerre.

Para fazer a correspondência entre as rectas representadas no gráfico e as velocidades é necessário, unica-mente, que o aluno observe a distância percorrida pelo automóvel ao fim de 60 minutos, isto é, se a distânciaao fim de 60 minutos for de 100 km, então a sua velocidade será de 100km/h.

Analisando as representações, observa-se que só à velocidade de 100 km é possível percorrer 80 km em 50minutos. Sabendo que a uma média de 40 km/h o automóvel consome 4 litros em cada 100 km e que porcada 20 km a mais de velocidade consome mais 1 litro, então, a uma velocidade de 100km/h, o consumo doautomóvel seria de 7 litros em cada 100 km. Mas, como o automóvel não precisa de percorrer 100 km, massim 80 km, recorrendo a uma proporção, teríamos que:

100 km/h

80 km/h

60 km/h

40 km/h

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

A uma velocidade de 100 km/h, o pai da Paula estaria de serviço antes das 0 h 00 hoas e precisaria de 5,6litros para percorrer a distância desejada.

= ⇔ = 5,6 100

780

?80 × 7

100



73

Lados e perímetros

Nesta tarefa consolidam-se as aprendizagens das sucessões através do estudo das funções em torno do con-

ceito de variável.

O lado do triângulo menor é quatro vezes menor do que o lado do triângulo maior. Sendo assim, podemos

dizer que o lado do triângulo menor é n : 4 . O perímetro do triângulo equilátero é o triplo da medida do seulado, isto é, P = 3 × n , sendo o do triângulo menor P = 3 × n : 4 .

No caso concreto de termos um triângulo como o da figura, com 4 cm de lado, representaríamos o períme-

tro da sequência de triângulos coloridos da seguinte maneira:

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5




9. Álgebra – Equações


Parte 1


1. Qual é a expressão que traduz a área do triângulo?

A. a × b C.

B. 2a × 2b D. a + 2b

2. Qual é o valor da expressão 2x + 1 para x = 2 .

A. 2 B. 5 C. 23 D. 10

3. A expressão 3a + 2b é igual a 18, se:

A. a = 1 e b = 5 B. a = 2 e b = 4 C. a = 3 e b = 4 D. a = 4 e b = 3

4. Qual é a expressão que traduz o perímetro do rectângulo?

A. a × b C. 2a × 2b

B. 2a + 2b D. a + a + b

5. Qual é a expressão que traduz «A soma da metade de 10 com o triplo de 2»?

A. + 3 × 2 B. 10 + 5 C. D. × 3

6. O leão equilibra dois veados exactamente iguais. Qual é o peso de cada um dos veados?

A. 20 kg e 30 kg. B. 40 kg cada um. C. 50 kg cada um. D. 60 kg cada um.

7. Quantas maçãs estão no saco?

A. 3 B. 2 C. 4 D. Nenhuma.

a × b

2

10 + 3 × 2

2

10

2

12

2

COTAÇÃO

6

6

6

6

6

6

6

a

b

a

b

100 kg



75

Parte 2

8. Observa o quadrado ao lado, cujo lado mede a cm.

8.1 Escreve uma expressão que traduza o perímetro do quadrado.

8.2 Sabendo que a = 3cm , determina o perímetro do quadrado.

8.3 Escreve uma expressão que traduza o comprimento do rectângulo.

8.4 O que significa a expressão (a + 1) × a ?

9. A seguinte sequência apresenta prismas constituídos por cubos brancos e azuis.

9.1 Completa a seguinte tabela:

9.2 Verifica se existe um prisma com 40 cubos no total. Caso exista, diz qual o número desse prisma.

9.3 Indica a expressão que traduz o número de cubos azuis do prisma n.

9.4 Indica a expressão que traduz o total de cubos do prisma n.

10. A Joana pesou um saco com 20 gomas. Quanto pesa cada goma?







AUTO-AVALIAÇÃO

4

5

7

7

6

6

6

7

10

Prisma Número de cubos azuis Número de cubos brancosTotal de cubos

de cada prisma

1

2

3

4

5

1 cma cm

a cm

Prisma 1 Prisma 2 Prisma 3

Gomas 100 g

COTAÇÃO





Parte 1

1. C

2. B

3. D

4. B

5. A

6. C

7. C

Parte 2

8.

8.1 P = 4 A

8.2 12 cm

8.3 (a + 1) cm

8.4 A área do rectângulo.

9.

9.1

9.2 Sim, o prisma 8.

9.3 4n

9.4 4n + 8

10. 5 gramas.

Soluções

Prisma Número de cubos azuis Número de cubos brancosTotal de cubos

de cada prisma

1 4 8 12

2 8 8 16

3 12 8 20

4 16 8 24

5 20 8 28



77





• Desenvolver nos alunos a linguagem e o pensamento algébrico, bem como resolver situações simples uti-

lizando procedimentos algébricos.

Avaliação





1

2

Teste de diagnóstico de conhecimentos. Tarefa A – «A máquina dos números»:• explicação da tarefa;• execução da tarefa individual;• discussão em grande grupo.Pretendese que estas tarefas sejam realizadasem grupo de pares, mas que, no final, seja discutidaem grande grupo, para que o professor proporcioneum momento de comunicação na aula

e diagnostique os conhecimentos da turmaem relação à matéria em questão.


O professor deve certificarse de que o alunopossui os conhecimentos suficientes sobre:sequências.


Manual Multimédia.

Teste de diagnóstico de conhecimentos.Caderno de Tarefas.

Tarefa B – «O porco e os amigos»:• explicação da tarefa;• execução da tarefa individual;• discussão em grande grupo.

Tarefa – «O balancé».Esta tarefa deve ser desenvolvida em grande grupoe pretende preparar os alunos para a resoluçãoda tarefa inicial e consequentemente das equaçõesonde é importante que seja estabelecida a noçãode equilíbrio entre partes.


O professor deve certificarse que o aluno possuios conhecimentos suficientes sobre: sequências.


Manual Multimédia.

Caderno de Tarefas.

45’20’

30’5’

15’

30’

3Expressões algébricas. Tarefas intermédias e remissões de final de página.Raciocinar, resolver e comunicar.

Recursos possíveis de utilização Tarefas indicadas no Manual . AULA DIGITAL

Caderno de Tarefas.

15’25’25’

4 Simplificação de expressões algébricas. Tarefas intermédias e remissões de final de página.Equações: conceitos básicos.




Caderno de Tarefas.

15’25’15’25’

5 Equações equivalentes e classificação de equações. Tarefas intermédias e remissões de final de página.Equações com parênteses.




Caderno de Tarefas.

15’25’15’25’





6

7

Resolução de equações. Tarefas intermédias e remissões de final de página.



Caderno de Tarefas.

15’40’ + 20’

8 e 9 Raciocinar, resolver e comunicar. Recursos possíveis de utilização


Caderno de Tarefas.

90’ + 90’

10 Tarefas de investigação:«As laranjas douradas»;«História da Álgebra».

45’45’

11 e 12 Tarefas de ligação:«Vértices, centros e polígonos» (Percurso A ou B).«O intruso diagonal» (Percurso A ou B).

E ainda:«Vinho do Porto».

Esta tarefa suplementar que aqui é proposta, e que efectua uma conexão entre algumas aprendizagensadquiridas ao longo do tema e no ciclo anterior, pretende ser uma alternativa ou complemento às tarefaspropostas no Manual , recorrendo à utilização de situações problemáticas onde se utilizam algunsdos conhecimentos adquiridos no tópico de funções para a sua resolução e integração em tópicos seguintes.

Teste final (avaliação de conhecimentos). Teste global. A avaliação global de conhecimentos deve ser efectuada individualmente.No final, a sua discussão e correcção deve ser efectuada em grande grupo.

45’45’

45’

45’90’

Resolução de problemas utilizando equações. Tarefas intermédias e remissões de final de página.

Recursos possíveis de utilização Tarefas indicadas no Manual .


15’40’ + 30’



79


1. O caracol

Objectivo principal: Equacionar e resolver um problema.


Sugere-se que os dados sejam organizados numa tabela, do tipo da seguinte:

2. Um problema de Aryabhata – matemático indiano do século VI




Equacionar o problema e resolver:

((x + 4) : 2) × 5 – 6 = 29⇔ ((x : 2) + 2) × 5 – 6 = 29⇔ 5x : 2 + 10 – 6 = 29 ⇔⇔ 5x : 2 = 29 – 10 + 6 ⇔ 5x : 2 = 25 ⇔ 5x = 25 × 2 ⇔ x = 50 ⇔ x = 10

3. Diofanto de Alexandria




Idade de Diofanto: x

Sexta parte foi a sua bela infância: x : 6

Mais uma duodécima parte de sua vida: x : 12

A sétima parte da sua existência decorreu com um casamento estéril: x : 7

Passaram mais cinco anos: 5Existência durou apenas metade da de seu pai: x : 2

À sepultura quatro anos depois do enterro de seu filho: 4

(x : 6) + (x : 12) + (x : 7)+ 5 + (x : 2) + 4 = x ⇔ … ⇔ x = 84

1.o dia 2.o dia 3.o dia 4.o dia 5.o dia 6.o dia 7.o dia

15 m 30 m 45 m 60 m 75 m 90 m Quando chega ao topo, já não desliza.




4. Uma história de Anania




O que realmente interessa saber é o número de peixes que estão na rede, pois, como o texto diz, todosdeslizaram para o cesto.

Consideremos que x é o número de peixes do cardume.

«Apanhámos metade e um quarto do cardume»: (x : 2) + (x : 4)

(x : 2) + (x : 4) = 45⇔…⇔ x = 60

5. A bela




Consideremos x o número total de lótus.

(x : 3) + (x : 5) + (x : 6) + (x + 4) + 6 = x⇔…⇔ x = 120

6. Persas




Consideremos x o número total de Persas.

(x : 2) + (x : 4) + (x : 12) + 280 = x⇔…⇔ x = 1760



81

7. O chá dos Açores




7.1 Orange Pekoe, Pekoe e Broken Leaf são três tipos de chá produzidos na Região Autónoma dos Aço-res. O chá é um dos produtos mais exportados por esta região.

Temos que 270 g = 0,270 kg . A qualidade da mistura pressupõe a existência de uma proporção entre

as diferentes qualidades de chá. Sendo assim:

=

? = = 0,225 kg = 225 g

7.2 Por exemplo:

× 100 = 83,33%

7.3 O preço de cada quilorama da mistura pode ser calculado da seguinte maneira:

=

? = = 5 e

7.4 Se cada quilograma custa 5 e, com 15 e podemos comprar 3 kg.7.5 a) a + 4a = 10 é uma equação que traduz a quantidade existente em 10 kg das duas misturas de chá.

7.5 b) Resolvendo a equação a + 4 × a = 20 , concluímos que Orange Pekoe será igual a 4 kg.

7.6 A equação que traduz a situação descrita é:

x + 4x + 5x = 50

Resolvendo a equação, a conclusão é a seguinte: Orange Pekoe – 5 kg; Pekoe – 20 kg; Broken Leak –

25 kg.

8. Equatrex

Objectivo principal: Equações.



Propõe-se ao aluno a resolução de equações usando uma forma diferente da habitual.

18

15

0,270

?

15 × 0,270

18

225

270

18

90

1

?

90 × 1

18



83


As laranjas douradas

Esta tarefa pretende ser o exemplo de um problema que, supostamente, não pode ser feito pelo aluno,

pois este não tem conhecimento das operações com números racionais. Múltiplas situações surgem no dia-a--dia cuja solução é adiada até termos conhecimentos para a fazer. No entanto, quando esse conhecimentosurge, já o problema em questão perdeu o sentido e a oportunidade.

Seria importante fomentar no aluno que nem todos os desafios que nos são colocados são intransponíveis,mesmo quando aparentemente não temos conhecimentos para o resolver.

O facto de sabermos o valor final permite-nos efectuar o raciocínio contrário, de forma a saber o númerode laranjas que a princesa tinha no início.

Repare-se que os duendes exigem sempre da princesa metade das laranjas que ela traz, mais uma, ou seja,ela vai sempre ficando com metade das que trazia menos uma. Fazendo o raciocino ao contrário, teremos primeiro de adicionar uma laranja para depois calcular o seu dobro, em cada uma das paragens que a princesaé obrigada a fazer. Sendo assim:

(((((2 + 1) × 2) + 1) × 2) + 1) × 2 = x

(2 + 1) × 2 = 6 – Número de laranjas que trazia quando chegou junto ao guarda.

((2 + 1) × 2) + 1) × 2 = 14 – Número de laranjas que trazia quando chegou junto do segundo duende.

(((((2 + 1) × 2) + 1) × 2) + 1) × 2 = 30 = 14 – Número de laranjas que trazia quando chegou junto do pri-meiro duende.

História da Álgebra

Esta tarefa de investigação proporciona um momento de pesquisa sobre a Álgebra e alguns dos aspectosque nesta altura seriam importantes focar, dado que se relacionam com a matéria leccionada em História. Estatarefa de investigação está muito direccionada para as aulas de Estudo Acompanhado, onde os alunos, organi-zados em pequenos grupos, podem efectuar recolha de informação. No entanto, não deixamos de salientarque, dada a importância do assunto em questão, se deve estimular a apresentação oral dos trabalhos de pes-quisa efectuados pelos grupos, promovendo a discussão na turma e se possível juntando-lhe informação que o

professor determine como relevante para construção do saber e da cultura matemática.Aconselha-se o uso dos sites apresentados no início do tópico que contenham informação sobre o que é

solicitado na tarefa.





Vinho do Porto

O vinho do Porto, símbolo de Portugal no Mundo, con-tém a história de um país e de um povo e tornou-se ao longo

dos anos num património cultural colectivo de trabalho eexperiências, saberes e arte, acumulados de geração em gera-ção.

A qualidade do vinho que é produzido anualmente dependeda qualidade da uva, que por sua vez depende da Natureza.Por vezes, e para que o vinho do Porto nunca perca a quali-dade a que já nos habituou, é necessário misturar vinho deanos menos bons com outros de anos melhores.

Quando se efectuam estas misturas é necessário recalcular a idade do vinho.

Por exemplo, queremos juntar 100 litros de vinho com 12 anos e 300 litros de vinho com 6 anos. Comorecalcular a idade desta mistura de vinhos? Para tal faz-se:

= 7,5 , donde resultam 400 de vinho com 8 anos.

No caso de o resultado ser um número decimal arredondamos este valor à unidade.

1. Determina a idade do vinho que resulta da mistura de 200 de um vinho com 18 anos e 300 de vinhocom 10 anos, aplicando um método equivalente ao exemplificado em cima.

2. Queremos obter 800 de mistura de um vinho com 7 anos com outro com 14 anos em que a proporçãodas quantidades de vinho de cada um é de 1 para 3.

2.1 Que quantidade de vinho com 7 anos e 14 anos devemos colocar para tal mistura?

2.2 Calcula a idade do vinho resultante da mistura.

3. Juntamos 100 de vinho com uma certa idade com outros 500 de um vinho com o dobro da idade doprimeiro. Desta mistura resultou um vinho com 11 anos de idade.

3.1 Traduz através de uma equação o problema proposto.

3.2 Resolve a equação de forma a encontrar as idades dos vinhos que entraram nesta mistura.

100 × 12 + 300 × 6

100 + 300

Conteúdos utilizados: Expressões algébricas, equações, proporcionalidade.

Organização da turma: Trabalho em pequeno grupo.



• Álgebra (funções);

• Números e operações;

• Organização e tratamento de dados (representação gráfica).



85


Vinho do Porto

A matemática deve também servir para os alunos conhecerem melhor o património do seu país. Desta

forma, propomos uma tarefa onde é possível modelar a realidade com álgebra.

1.

= 13,2

Resposta: 500 de vinho com 13 anos.

2.1 Para a mistura de 800 teremos 200 de um vinho com 7 anos e 600 de um outro com 14 anos.

= e =

= 12,25

2.2 12 anos de idade.

3.1 A equação que traduz o problema proposto é:

= 11

3.2 100 de um vinho com 6 anos e 500 de vinho com 12 anos.

200 × 18 + 300 × 10

200 + 300

200 × 7 + 600 × 14

800

?

1

800

4

800

4

?

3

100 × x + 500 × 2x

600




10. Organização e tratamento de dados


Parte 1


1. Num grupo de crianças, efectuou-se um inquérito sobre o «Animal doméstico preferido». Os

resultados estão representados no gráfico ao lado:

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

A. O animal preferido é o gato e o menos preferido

é a iguana.

B. O animal preferido é o peixe e o menos preferido

é o rato.C. O animal preferido é o cão e o menos preferido

é a iguana.

D. O animal preferido é o cão e o menos preferido

é a tartaruga.

2. Num inquérito feito a um grupo de adolescentes sobre os doces mais consumidos, registaram-se

os dados representados no gráfico ao lado:

A percentagem de gelados consumidos é de:

A. 20%

B. 25%

C. 35%

D. 30%

3. O pictograma seguinte representa as cartas distribuídas por um carteiro durante uma semana.

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A. Na segunda-feira distribuiu tantas cartas como na quinta-feira.

B. Na terça-feira distribuiu 100 cartas.

C. Até quarta-feira tinha distribuído 225 cartas.

D. Na quinta-feira e na sexta-feira distribuiu 200 cartas.

COTAÇÃO

8

8

8

2

0 Tartaruga Peixe Gato

nma om st co pre er o

Cão Rato Iguana

Animais

F i

4

6

8

10

12

Gomas

10%

Bolos

15%

Rebuçados10%

Chocolates35%

Doces mais consumidos

Gelados

Segunda-feira50 cartas

Terça-feira Quarta-feira

Número de cartas distribuídas durante a semana

Quinta-feira Sexta-feira



87

Parte 2

4. Considera a seguinte tabela de frequências, construída com base num estudo acerca das idades

dos 20 alunos de uma turma do 7.º ano:

4.1 A característica estudada é quantitativa ou quali-

tativa?

4.2 Preenche a tabela.

4.3 Qual é a moda de idades?

5. A Gracinda registou no caderno as classificações obtidas na disciplina de Matemática ao longo do

ano.

48%, 54%, 82%, 64%, 72%, 56%

5.1 Qual é a classificação mais alta? E a mais baixa?

5.2 Qual é a amplitude das classificações obtidas pela Gracinda?

5.3 Determina a média das classificações nos testes de Matemática da Gracinda. Apresenta o

resultado aproximado às unidades.

6. O Tomás semeou um feijoeiro. Durante a sua germinação fez registos diários da altura da planta,

em centímetros, num diagrama de caule-e-folhas.

6.1 Durante quantos dias o Tomás efectuou registos do crescimento do feijoeiro?

6.2 Indica os extremos das alturas do feijoeiro.

6.3 Indica a amplitude das alturas da planta.

6.4 Determina a média da altura do feijoeiro. Apresenta o resultado aproximado às unidades.

6.5 O crescimento do feijoeiro era constante? Explica a tua resposta, recorrendo a exemplos.

4

16

4

6

5

8

Idades F i f i f i (%)

12 4 0,2

13 8

14 4

15 3 0,15

16 5%

COTAÇÃO

0

1

2

4

2

1

8

4

2

9

4

2

7

5

9







AUTO-AVALIAÇÃO

4

6

5

10

8





Parte 1


1. Fez-se um inquérito sobre a cor de olhos de um grupo de pessoas. Os resultados obtidos encon-

tram-se registados na tabela seguinte:

A moda da cor dos olhos deste grupo de pessoas é:

A. azul. B. verde. C. castanho. D. preto.

2. Num grupo de crianças, efectuou-se um inquérito sobre o «Animal doméstico preferido». Os

resultados estão representados no gráfico seguinte:

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

A. O animal preferido é o gato e o menos preferido é a iguana.

B. O animal preferido é o peixe e o menos preferido é o rato.

C. O animal preferido é o cão e o menos preferido é a iguana.

D. O animal preferido é o cão e o menos preferido é a tartaruga.

3. Num inquérito feito a um grupo de adolescentes sobre os doces mais consumidos, registaram-se

os seguintes dados:

A percentagem de gelados consumidos é de:

A. 20% B. 25% C. 35% D. 30%

COTAÇÃO

8

8

8

Cor dos olhos Azul Verde Castanho Preto

Número de pessoas 2 4 6 3

2

0 Tartaruga Peixe Gato

Animal doméstico preferido

Cão Rato Iguana

Animais

F i

4

6

8

10

12

Gomas10%

Bolos15%

Rebuçados10%

Chocolates35%

Doces mais consumidos

Gelados




89

Parte 2

4. Os membros de um clube de modelismo têm as seguintes idades:

30 39 37 35 39 31 31 32 37 38

31 36 31 32 37 38 37 37 39 30

4.1 Quantos membros tem o clube?

4.2 Completa a tabela seguinte:

4.3 Qual a moda de idades?

4.4 Quantas destas pessoas têm idade superior a 35 anos?

5. Na tabela seguinte encontram-se as temperaturas registadas, nos primeiros dez dias de Agosto,

numa dada localidade:

Determina a temperatura média destes primeiros dez dias de Agosto, naquela localidade.

6. A Gracinda registou no caderno as classificações obtidas na disciplina de Matemática ao longo do

ano.

48%, 54%, 82%, 64%, 72%, 56%

6.1 Qual é a classificação mais alta? E a mais baixa?

6.2 Qual é a amplitude das classificações obtidas pela Gracinda?

6.3 Determina a média das classificações nos testes de Matemática da Gracinda. Apresenta o

resultado aproximado às unidades.

8

10

8

10

15

8

7

10

Idades 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Número

de pessoas

Dias 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Temperaturas 31 oC 27 oC 33 oC 32 oC 29 oC 27 oC 29 oC 30 oC 35 oC 32 oC







AUTO-AVALIAÇÃO

COTAÇÃO





Parte 1

1. C

2. D

3. C

Parte 2

4.

4.1 Quantitativa discreta.

4.2

4.3 13 anos.

5.

5.1 82% ; 48%

5.2 34%

5.3 63%

6.

6.1 12 dias.

6.2 Mínimo = 4 cm; Máximo = 25 cm.

6.3 21 cm.

6.4 x – 16 cm.

6.5 Não, pois, por exemplo, entre o segundo e o pri-

meiro registo o crescimento foi de 4 cm, e entre o

terceiro e o segundo registo foi de 1 cm.


Parte 1

1. C

2. C

3. D

Parte 2

4.

4.1 20

4.2

4.3 37 anos

4.4 11 pessoas

5. 30,5º

6.

6.1 82% ; 48%

6.2 34%

6.3 63%

Soluções

Idades F i f i f i (%)

12 4 0,2 20%

13 8 0,4 40%

14 4 0,2 20%

15 3 0,15 15%

16 3 0,05 5%

Idades 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Número

de pessoas 2 4 2 0 0 1 1 5 2 3



91





• Explorar e interpretar dados organizados de diversas formas.

• Desenvolver nos alunos sentido crítico de observação e análise de gráficos.

• Ser capaz de resolver situações e de comunicar em termos estatísticos.

• Interpretação e análise de gráficos.

• Organizar e recolher dados para efectuar um estudo estatístico.

Avaliação





1

2

Teste de diagnóstico de conhecimentos.Raciocinar, Resolver e Comunicar: Tarefas 1 a 4.O modelo de diagnóstico proposto pressupõe dois momentos distintos de avaliação: através de uma avaliaçãoindividual de conhecimentos e através de duas tarefas que proporcionam o diagnóstico das potencialidades

da turma como grupo de trabalho. Estes dois momentos distintos permitem ao professor traçar o perfil da turmae efectuar uma previsão de maior ou menor investimento de trabalho, tendo como finalidade a procurade um equilíbrio de partes.

Tarefa A – «Marca de consolas»:• explicação da tarefa;• execução da tarefa individual;• discussão em grande grupo.

Tarefa B – «O nosso planeta»:• explicação da tarefa;• execução da tarefa individual;• discussão em grande grupo.

Pretendese com o desenvolvimento da tarefa

proporcionar aos alunos um momento de reflexãoe análise, onde o tema transversal assume grandeimportância. Dá-se, de forma diferente, continuidadeao processo de diagnóstico de conhecimentos,onde a participação oral assume um papel importante.


O professor deve certificarse de que o aluno possuios conhecimentos suficientes sobre: característicaestatística; tabela de frequências; representaçõesgráficas.


Manual Multimédia. Teste de diagnóstico.Caderno de Tarefas.

45’45’

5’20’15’

5’20’15’





3 Tarefas iniciais – «Ondas» e «Estudo estatístico»:• explicação da tarefa;• execução e discussão da tarefa em trabalho

de grupo;• discussão em grande grupo.

Pode ser feita uma leitura em grande grupo,pensando principalmente em alunos mais novos,acompanhada por alguns comentários queo professor considere mais pertinentes, oupor algumas questões cujas respostas revelemse os alunos estão, ou não, a entender o quelhes é proposto.


O professor deve certificarse de que o alunopossui os conhecimentos suficientes sobre:adição e subtracção de números inteirosrelativos.



5’20’

15’

4 Dados agrupados em classes. Tarefas intermédias e remissões de final de página.Histogramas.




Caderno de Tarefas.

10’30’10’30’

8 Simetria e enviesamento. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Tarefa de investigação – «Tempo de espera emdois hospitais».



Caderno de Tarefas.

10’30’40’

5 Mediana e quartis. Tarefas intermédias e remissões de final de página.Diagramas de extremos e quartis.




Caderno de Tarefas.

10’30’10’30’

6 Raciocinar, resolver e comunicar.Histogramas e diagramas de cauleefolhas.




Caderno de Tarefas.

10’30’30’

7 Média, moda ou mediana? Tarefas intermédias e remissões de final de página. Amplitude ou amplitude interquartis? Tarefas intermédias e remissões de final de página.



Caderno de Tarefas.

10’30’10’30’

9 Raciocinar, resolver e comunicar. Tarefa de investigação – «Tabelas e gráficos com afolha de cálculo».



Caderno de Tarefas.

10’70’

10 e 11 Tarefas de ligação:«Temperaturas» (Percurso A).«Temporal em Lisboa» (Percurso B).

E ainda:«Área ardida».

A tarefa suplementar aqui proposta, e que efectua uma conexão entre algumas aprendizagensadquiridas ao longo do tema e no ciclo anterior, pretende ser uma alternativa ou um complemento às tarefaspropostas no Manual para preparar a abordagem a funções.

Avaliação global de conhecimentos. A avaliação global de conhecimentos deve ser efectuada individualmente, utilizando as sugestões de auxílio.No final, a sua discussão e correcção deve ser efectuada em grande grupo.

45’45’

45’

70’



93


1. O lanche do João

Objectivo principal: Análise de gráficos de barras.



Através da análise de um gráfico de barras, o aluno concluirá que o João necessita de pedalar durante

19 minutos e 12 segundos para gastar as calorias correspondentes aos alimentos ingeridos ao lanche.

2. Alnia e Belnia

Objectivo principal: Análise de gráficos de barras e gráficos circulares.



De acordo com o gráfico de barras (jornal Alnia), o valor aproximado do consumo médio diário de água é

de 250 .

Por exemplo, a partir do gráfico de barras, calcula-se a frequência relativa e obtém-se: banhos (40%);

W.C. (20%); roupa (12%); loiça (10%); comida (6%); outros (12%), que não são iguais nos dois gráficos.

3. Mochilas

Objectivo principal: Fazer a correspondência entre gráficos de barras e gráficos circulares.



O gráfico A não está correcto porque a barra correspondente aos «pés e tornozelos» tem altura superior à

barra correspondente ao item «outros», contrariamente ao que é indicado no gráfico circular. O gráfico C não

está correcto porque, por exemplo, as barras correspondentes às «mãos, punhos e cotovelos» e «ombros e

costas» têm altura inferior à barra correspondente ao item «cabeça e face», contrariamente ao que é indicado

no gráfico circular.

4. Em busca do erro

Objectivo principal: Análise de gráfico de barras, circulares e pictogramas.

Organização da turma: Trabalho em grupos de pares.


Com esta tarefa pretende-se, essencialmente, desenvolver as capacidades de observação e de crítica dos

alunos.

4.

a) Tipo de sangue de 32 alunos da turma: o total de alunos no gráfico é de 30 em vez de 32.

b) Tempo de leitura semanal da Joana: o pictograma dá-nos a quantidade de livros lidos durante uma

semana e não o tempo de leitura, como o seu título diz.




c) e f) Estes gráficos não são pictogramas, pois correspondem a gráficos de barras onde se substituíram

as barras verticais por desenhos alusivos ao tema.

d) Iogurtes consumidos: devia ser um histograma em vez de um gráfico de barras.

e) Número de sandes vendidas: na quinta-feira tem o símbolo da chávena em vez do da sandes.

5. Produção de fruta tropical

Objectivo principal: Análise de gráficos de barras e gráficos de linhas.



Quantidade média de cada cultura, em milhões de frutos, que foi produzida no período de 1995 a 2000:

tangerina = 5250; abacaxi = 1080; mamão = 1470; laranja = 107 550.

O gráfico que apresenta a produção e que representa a moda entre os anos de 1995 e 2000 é o gráfico da

produção de laranja, com 645 300 milhões de frutos.

6. Glória da Estatística

Objectivo principal: Actividade lúdica de consolidação de aprendizagens adquiridas ao longo do tema.

Organização da turma: Trabalho em grupos de pares.


1 – A; 2 – C; 3 – B; 4 – A; 5 – C; 6 – C; 7 – A; 8 – B; 9 – C; 10 – C; 11 – B; 12 – C; 13 – C; 14 – C.


Tempo de espera em dois hospitais

Recorrendo à calculadora gráfica é possível obter diagramas de extremos e quartis e interpretar dados,

contextualizados numa situação específica. A máquina calculadora gráfica pode, desta forma, ser usada, dado

que torna mais praticável a comparação de dados, não dispensando, no entanto, que os alunos saibam cons-

truir diagramas de extremos e quartis.O recurso às tecnologias é desta forma, explorado nestas duas tarefas, conferindo-lhes um sentido prático.

A sua utilização é referida no Programa.

Tabelas e gráficos com a folha de cálculo

Esta tarefa de investigação pretende ensinar os alunos a inserir dados, efectuar cálculos e obter histogra-

mas e polígonos de frequência utilizando a folha de cálculo. A utilização de programas de cálculo permite

obter gráficos diferentes, com grande rigor. A utilização desta ferramenta, caso seja desconhecida pelo aluno,

não constitui uma dificuldade, uma vez que a tarefa é acompanhada por um guião.



95

10.6 Tarefa de Ligação (outros percursos)

Área ardida

Os gráficos seguintes mostram a área ardida nos meses de Julho e Agosto, entre 1980 e 2005, em Portugal,e a previsão da área que arderia, segundo um modelo.

1. Qual é o valor da área ardida no ano de 2000? E no ano de 2005?

2. Qual foi o ano em que se registou maior área ardida? E menor?

3. Determina a diferença entre o número de hectares ardidos em 1980 e o número de hectares ardidos em2005.

4. Em que anos a previsão de área ardida feita pelo modelo é aproximadamente igual à área efectivamenteardida?

5. Qual foi o ano em que a previsão se afastou mais da área efectivamente ardida?

Adaptado de Projecto «1001 itens» (GAVE)

1000

1980 1985 1990 1995 2000 2005

10 000

100 000

1 000 000

N ú m e r o d e h e c t a r e s ( h a )

Ano

Área ardidaÁrea que a situação climatológica de Maio e Junho indicava que ardesse

Nota: Como a amplitudeentre o valor máximoe o valor mínimo da áreaardida é muito grande,no eixo vertical utiliza-seuma escala diferente paracada um dos intervalos:

1000 a 10 00010 000 a 100 000

100 000 a 1 000 000

Conteúdos utilizados: Representação gráfica, análise de gráficos.

Organização da turma: Trabalho individual.Sugestões de ligação com os restantes temas:


• Álgebra (funções);

• Números e operações.





Área ardida

Para responder às questões elaboradas, o aluno terá de interpretar o gráfico e efectuar a recolha dos dados

necessários para as respostas.

1. 100 000 ha e 500 000 ha.

2. 2003. 1988.

3. Cerca de 465 000.

4. Nos anos de 1991, 1992, 1996 e 2000.

5.Em 1997.

matematica livro 7º ano.pdf

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