MATEMÁTICA II

Aula 01Revisão _ Produtos Notáveis

Professor Luciano Nóbrega

1º Bimestre

1

2

PRODUTOS NOTÁVEIS

Do dicionário :Produto – É o resultado de uma multiplicação;

Notável – Adjetivo digno de ser notado, percebido.

01 – Cite uma frase que utilize a palavra “NOTÁVEL”.

Observe a figura abaixo:

x2

16

I

I I

02 – Quanto mede o lado do quadrado de área x2 ?

03 – Quanto mede o lado do quadrado de área 16 ?

04 – Qual a área da figura I ?

05 – Qual a área da figura I I ?

06 – Utilizando um polinômio na forma reduzida, represente a área total da figura.

07 – Utilizando um binômio, represente a medida do lado da figura.

08 – Qual, das seguintes expressões, está correta?

(x + 4)2 = x2 + 42 (x + 4)2 = x2 + 8.x + 42

3

PRODUTOS NOTÁVEIS09 – Complete a tabela:

a b (a + b)2 a2 + b2 a2 + 2ab + b2

1 2

2 3

5 7

3 4

9 6

10 – Resolva algebricamente: (a + b)2

11 – Escreva, por extenso, o resultado obtido na questão anterior.

Resolva os produtos notáveis abaixo:

12 – (5x + y4)2

13 – (x + y)2 . (x + y)

14 – (x . y)2 – (x + y)2 – 2.(x + y)

15 – (2x/3 + 4y)2

16 – (5 + 6)2

17 – (a + b + c)2

4

PRODUTOS NOTÁVEISObserve a figura abaixo:

18 – Utilizando um binômio, represente a medida do lado

da figura I .

x

y

I

I I x

y

19 – Utilizando um trinômio, represente a área da figura I .

I I I

20 – Qual a área da figura I I ?

21 – Qual a área da figura I I I ?

22 – Qual a diferença entre as áreas das figuras I I e I I I , ou seja, AII – AIII ?

23 – Então, adicionando y2 à figura I I I , o que obtemos?

24 – Do quadrado de lado “x”, retirando um retângulo de área “xy”,

adicionando um quadrado de lado “y” e subtraindo outro retângulo

de área “xy”, o que obtemos?

25 – Escreva, por extenso, o resultado obtido na questão 19.

5

PRODUTOS NOTÁVEISObserve a figura abaixo:

x

x y

y

x – y

x – y

I

I I

26 – Utilizando um binômio, represente a área da

figura I (a figura com formato de “L”).

x

x – y

x – y

y

Decompondo o “L”, obtemos dois retângulos que

possuem o lado “x – y” em comum:

x

Que podem ser

reordenados:

27 – Utilizando um produto,

represente a área do “L”

depois de “reordenado”.

28 – Resolva o produto obtido na questão anterior.

29 – Escreva, por extenso, o resultado obtido na questão anterior.

6

PRODUTOS NOTÁVEIS

Resolva os produtos abaixo:

30 – (x + a).(x + b)

31 – (x – a).(x – b)

32 – (x + a).(x – b)

33 – (x + y)3

34 – (x – y)3

35 – (4x + 5y).(4x – 5y)

36 – (x + y).(x2 – xy + y2)

37 – (x – y).(x2 + xy + y2)

Calcule cada expressão:

39 – (– 3)4 – 34 + 23 – (– 2)3 – 50 + (–5)0

40 – (– 5)– 2 + 521/523 – (5/3)–2

41 – [(16)3/4]1/2 +√200 – √32

38 – (√a + √b).(√a – √b)

42 – (a2 + b2).(x2 + y2)

43 – (ax – by)2 + (ay + bx)2

44 – (a2 + b2)2

45 – (a + b)2 + (a – b)2

46 – (a + b)2 – (a – b)2

47 – [1/2(a + b)]2 – [1/2(a – b)]2

MATEMÁTICA II

Aula 02Revisão _ Fatoração

Professor Luciano Nóbrega

1º Bimestre

7

8FATORAÇÃO

Do dicionário :Fatoração – Ação de fatorar, ou seja, escrever com fatores.

“Fatores” são como são chamados os termos da multiplicação.

Observe a figura: 48 – Qual é a área da figura I I I ?

b

x

I I I

a

I I

I

c

49 – Qual é a área da figura I I e da figura I ?

50 – Qual é a área total da figura? Responda de duas

formas diferentes:

a) Utilizando um trinômio; b) Na forma fatorada.

Existem vários casos de fatoração. Vejamos os principais:

FATOR COMUM

51 – Fatore os seguintes termos:

a) 2x + 8y – 6z b) 2x2 – 6xy

c) 12x2y3 + 6xyz – 18y2z d) (a + b).x + (a +b).y

52 – Sabendo que x + y = 25 e y = 4, determine o valor numérico de

xy + y2 de duas maneiras:

a) Inicialmente, determinando o valor de x;

b) Inicialmente, fatorando .

9FATORAÇÃO

53 – Qual a área da figura I ?

FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO

Observe a figura:

I

I V

I I

I I I

a

b

x

56 – Considere a expressão 6x2y – 12x + xy2 – 2y:

a) Qual a fatoração entre os termos 6x2y – 12x ?

b) Qual o fatoração entre os termos xy2 – 2y ?

c) Existe um fator comum entre as respostas dos itens “a” e “b”.

Colocando esse termo em evidência, fatore a expressão dada.

y

54 – Quais as áreas das figuras I I, I I I e I V ?

55 – Qual é a área total da figura? Responda

de duas formas diferentes:

a) Utilizando um polinômio;

b) Na forma fatorada.

57 – Fatore os seguintes termos:

a) 3x + 3y + 12x + 12y b) x2 – 3x + ax – 3a

c) 2b2 + 2c3 + ab2 + ac3 d) 2ax + 4bx – 3ay – 6by

10FATORAÇÃO

“DIFERENÇA” ENTRE DOIS QUADRADOS

Observe a figura:

y

x

Concluímos na questão 26 que a área da figura pode

ser representada por x2 – y2.

x

x – y

x – y

yI

I I

58 – Utilizando um produto, qual a área da figura I ?

61 – Fatore os seguintes termos:

a) x2 – y2 b) x2 – 25 c) a2 – 16 d) 1 – 16b2

e) 3 – x f) x4 – 81 g) x4 – 1 h) 4/25 – a2

59 – Utilizando um produto, qual a área da figura I I ?

60 – Considere a soma das respostas obtidas nas

questões 58 e 59. Existe um fator comum entre as

respostas. Colocando esse termo em evidência,

fatore a expressão.

62 – Lembre-se que a medida da área de um círculo é dada por πR2. Qual

é a área da “coroa circular”? Responda de duas formas diferentes:

a) Utilizando um polinômio; b) Na forma fatorada.

11FATORAÇÃO

TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

63 – Fatore os seguintes termos:

a) x2 + 2xy + y2 b) x2 – 2xy + y2 c) 4a2 – 12ab2 + 9b4

d) 1 – 8b + 16b2 e) 3x2 + 6x + 3 f) 16a4 – 8a2b4 + b8

TRINÔMIO DO 2º GRAU

64 – Fatore os seguintes termos:

a) x2 + (a + b)x + ab b) x2 + 5x + 6 c) a2 + 13a + 42

d) x2 – (a + b)x + ab e) x2 – 5x + 6 f ) a2 – 16a + 60

g) x2 + (a – b)x – ab h) x2 + x – 6 i ) a2 – a – 6

SOMA (& DIFERENÇA) DE CUBOS

65 – Fatore os seguintes termos:

a) x3 + y3 b) x3 – y3 c) a3 – 27

d) 125 – 216x3 e) x3 – 1 f) 1 + x3

66 – Simplifique as expressões até que obtenha um número real.

a) _2x – 5y_ b) _6a – 3_ c) _3x2 + 27x + 60_

4x – 10y 1 – 2a 5(x + 4) + x2 +4x

d) _–9x2 + 36x – 36_ e) √3 – √3 f ) __6x2 – 9x__

(x – 2)2 3 – 3 – 45x + 30x2

12FATORAÇÃO

Fatore as expressões abaixo e, quando possível, substitua o

valor da variável dada:

67 – _x2 – 9_ ; x = 3

x – 3

68 – _4x2 – 1_ ; x = 1/22x – 1

69 – _x – 5__ ; x = 5

√x – √5

70 – _x4 – 81__ ; x = – 3

x + 3

71– _–x + 1__ ; x = 1

16x4 – 16

72– ; x = 1

73– _x2 – x – 6 ; x = – 2

x + 2

74– ; t = 0

75– ; h = 0

76– ; x = 2

77– ; t = – 3

78– ; x = 0

79– ; x = 2

80– ; x = – 2

81– ; x = 9

82– ; x = – 4

83– ; x = 9

84–

com x = 1

MATEMÁTICA II

Aula 03Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Professor Luciano Nóbrega

1º Bimestre

13

14RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS

Inicialmente, vamos relembrar como classificam – se os triângulos.

85 – QUANTO AOS LADOS – ISÓSCELES, EQUILÁTERO E ESCALENO

Classifique os triângulos a seguir quanto aos seus lados:a) 3 lados iguais b) 2 lados iguais

e 1 diferente

c) 3 lados diferentes

86 – QUANTO AOS ÂNGULOS – ACUTÂNGULO, OBTUSÂNGULO E RETÂNGULO

Classifique os triângulos a seguir quanto aos seus ângulos:

b) 3 ângulos agudosa) 1 ângulo reto c) 1 ângulo obtuso

88 – CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO

“Num triângulo o comprimento de qualquer lado é menor que a soma dos

outros dois.” Verifique se é possível construir triângulos cujos lados tenham

as medidas seguintes: a) 4, 6 e 9 cm b) 7, 4 e 2 cm c) 2, 2 e 4 cm

87 – (FUVEST) Na figura ao lado, AB = BD = CD = BC, então:

A) y = 2x B) x = y C) 3x = 2y D) y = 3x

15RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

89 – Classifique cada sentença como verdadeira (V) ou falsa (F). Cada

sentença FALSA deve ser justificada com cálculos ou com palavras.

( ) Nos triângulos, o maior ângulo é sempre oposto ao maior lado. Da

mesma forma, o menor ângulo situa – se oposto ao menor lado.

( ) Nos triângulos isósceles, os ângulos opostos aos lados

congruentes, são também congruentes.

( ) Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos

resulta SEMPRE em 180º.

( ) Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à

soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes.

( ) Em um determinado triângulo ABC, Â = 50º e Ĉ = 60º. Se D e E são

pontos sobre os lados AB e BC, respectivamente, tais que DB = BE,

então a medida do ângulo BÊD é de 70º.90 – (UFPE) Na figura ao lado, AB = BC = CD = DE = EA.

A medida do ângulo DÂC mede:

A) 30º B) 36º C) 40º D) 45º E) 48º

A

B

C

D

E

91 – (UFRJ) Considere um triângulo isósceles em que β = 70º , γ > α ,

“r” a bissetriz do ângulo γ, então o menor ângulo formado pela altura

relativa ao lado BC e “r” é: A) 10º B) 35º C) 45º D) 55º E) 60º

16RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Observe os triângulos:

HH

92 – “CASO AA – Se dois triângulos têm dois ângulos internos congruentes, então os triângulos são

semelhantes.” Sabendo disso, verifique que os três triângulos acima são semelhantes.

93 – Considere os triângulos ABH e AHC. Fazendo as razões entre seus lados correspondentes,

prove que h2 = m.n

95 – Considere os triângulos ABC e AHC. Prove que b2 = m.a

97 – Considere os triângulos ABC e AHB. Prove que c2 = n.a

99 – Multiplique, termo a termo, os resultados das questões 95 e 97 e demonstre que b.c = h.a

101 – (Teorema de Pitágoras) Agora, adicione, termo a termo, os

resultados das questões 95 e 97 e demonstre que a2 = b2 + c2

94 – Escreva por extenso que h2 = m.n

96 – Escreva por extenso que b2 = m.a

98 – Escreva por extenso que c2 = n.a

100 – Escreva por extenso que b.c = h.a

102 – Escreva por extenso que a2 = b2 + c2

17RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

103 – Os catetos de um triângulo retângulo medem 3cm e 4cm.

Calcule as medidas da hipotenusa, da altura relativa a ela

e das projeções ortogonais dos catetos sobre elas.

104 – Determine o valor de “x”, “y” e “z” na figura:

yz

105 – Os catetos de um triângulo retângulo medem

6m e 8m. calcule a medida da projeção do maior cateto sobre a hipotenusa.

106 – Calcule os elementos a,h, m e n no triângulo retângulo abaixo.

107 – (FUVEST-SP) Uma escada que mede 4 m

tem uma de suas extremidades aparada no topo

de um muro, e a outra extremidade dista 2,4 m

da base do muro. Qual a altura do muro?

108– Num triângulo retângulo a

hipotenusa vale 10 m e a diferença

entre os catetos é de 2 m. Então, os catetos valem, em metros:

A) 4 e 6 B) 5 e 7 C) 6 e 8 D) 7 e 9 E) 10 e 12

18RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

109 – No mapa, as cidades A, B e C são vértices de um triângulo

retângulo, sendo que o ângulo reto é Â. A estrada AC tem 40km e a estrada BC

tem 50km. As montanhas impedem a construção de uma estrada que ligue

diretamente A com B. Por isso, será construída uma estrada da cidade A para

a estrada BC, de modo que ela seja a mais curta possível.

A) Qual é comprimento da estrada que será construída?

B) O ponto onde esta estrada encontra a estrada BC

dista quantos quilômetros da cidade B?

110 – (UFRS) O lampião representado na figura suspenso por duas cordas

perpendiculares presas ao teto. Sabendo que essas cordas medem 1/6 e 2/5, a

distância do lampião ao teto é: A) 1,4 B) 1,3 C) 2/13 D) 1/2 E) 6/13

111 – (FUVEST-SP) Nesta figura, o quadrado ABCD

está inscrito no triângulo AMN, cujos lados AM e AN

medem, respectivamente, m e n: Então, o lado do

quadrado mede:

19RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

112 – (FUVEST-SP) Em um recente vendaval,

um poste de luz de 9 m de altura quebrou-se em um

ponto a distância x do solo. A parte do poste acima da

fratura inclinou-se e sua extremidade superior

encostou no solo a uma distância de 3 m da base do

mesmo. A que altura x do solo o poste quebrou?

113 – Considere uma folha de papel

retangular de lados 3 e 4 cm. Suponha que

ela seja dobrada uma vez de modo que os

vértices opostos se sobreponham. A medida

do comprimento de dessa dobra é:

A) 3,5 B) 3,75 C) 4,5 D) 4,75

114 – Determine a fórmula da diagonal “d” de um

quadrado de lado “ℓ”. Para isso, siga o procedimento:

1º) Faça um esboço da figura escolhida;

2º) Apresente todos os cálculos necessários;

3º) Justifique com palavras, o resultado final encontrado.

115 – Determine a fórmula da altura “h” de um triângulo equilátero de lado “ℓ”

e, em seguida, justifique com palavras, o resultado final encontrado.

20RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

116 – Calcule o valor de “x”, sabendo que, na figura a

seguir, temos três quadrados.

117 – Durante um treinamento, dois maratonistas

partem de uma mesma cidade em direção reta,

um em sentido leste e o outro em sentido norte. Determine

a distância que os separa depois de 2 horas, sabendo que a velocidade dos

atletas são de 20 km/h e 15 km/h, respectivamente.

x 6 9

118 – (FGV) Considere as retas “r”, “s”, “t” e

“u”, com “r // u”.O valor em graus de 2x + 3y é:

A) 450º B) 500º C) 520º D) 660º E) 580º

120º

30º y

x

119 – (UFPR) Embora o desenho ao lado pareça

representar uma figura em três dimensões, ele foi feito no

plano usando – se apenas losangos congruentes entre si.

Os ângulos internos desses losangos medem:

21RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

120 – (UFRN) A diferença entre os ângulos agudos de um triângulo

retângulo é de 50º. Qual a medida do menor ângulo desse triângulo?

A) 10º B) 20º C) 25º D) 40º E) 70º

121 – (FUVEST) No retângulo a seguir, o valor,

em graus, de x + y é:

A) 50 B) 90 C) 120 D)130 E) 220

40º

x

y

122 – (FUVEST) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um

chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão

vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. A altura do poste, em metros, é:

A) 6 B) 7,2 C) 12 D)20 E) 72

123 – (CESGRANRIO) Uma folha quadrada de papel ABCD é dobrada de modo

que o vértice C coincida com o ponto M, ponto médio do lado AB. No lado BC,

com a dobra, fica destacado o ponto P. Se o lado de ABCD mede 1 m, então o

comprimento do segmento BP, em metros, é:

A) 0,3 B) 0,325 C) 0,375 D) 0,45 E) 0,5

22GABARITO1) Pessoal. Ex: O Professor tem uma dedicação notável. 2) x 3) 4 4) 4x 5) 4x 6) x2 +8x+16

7) x+4 8) x2 +8x+42 10) a2+2ab+b2 12) 25x2 +10xy4 +y8 13)x3+3x2y+3xy2 +y3 14) x2y2–x2–2xy–y2–2x–2y

9) 9 5 9 11) O quadrado da soma de dois termos é igual

ao quadrado do primeiro termo, mais duas

vezes o primeiro termo vezes o segundo termo,

mais o quadrado do segundo termo.

15) (4x^2)/9+16xy/3+16y2 16) 121

25 13 2517) a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 18) x – y

144 74 144

225 117 225 19) (x – y)2 = x2 –2xy –y2 20) xy 21) xy – y2 22) y2 23) xy 24) A figura I.

25) O quadrado da diferença de

dois termos é igual ao quadrado

do primeiro termo, menos duas

vezes o primeiro termo vezes o

segundo termo, mais o quadrado

do segundo termo.

26) x2 – y2 27) (x + y).(x – y) 28) x2 – y2 29) O produto entre a soma e a

diferença de dois termos é igual ao

quadrado do primeiro menos o

quadrado do segundo.

30) x2 + (a + b)x + ab 31) x2 – (a + b)x + ab

32) x2 + (a – b)x – ab 33) x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

34) x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 35) 16x2 – 25y2 36) x3 + y3 37) x3 – y3 38) a – b 39) 16 40) –7/25 41) 8√2

42) = 43) 44) a4 + 2a2b2 + b4 45) 2a2 + 2b2 46) 4ab 47) ab 48) cx

49) bx ; ax 50) ax + bx + cx 51) a) 2.(x + 4y – 3z) ;b) 2x.(x – 3y) ;c) 6y.(2x2y2 + 6xz – 3yz) 52) a) = b) 100

53) ax 54) ay; by; bx 55) a) ax + ay + bx + by ; b) (x + y).(a + b) 56) a) 6x(xy – 2) ; b) y(xy – 2) ; c) (xy – 2)(6x + y)

57) a) 15.(x + y) ; b) (x – 3).(x – a) ; c) (2 + a).(b2 + c3) ; d) (a + 2b) .(2x – 3y) 58) x(x – y) 59) y(x – y) 60) (x – y)(x + y)

61) a) (x – y)(x + y) ; b) (x + 5)(x – 5) ; c) (a + 4)(a – 4) ; d) (1 + 4b)(1 – 4b) ;

e)(√3 + √x)(√3 – √x);f)(x2 + 9)(x + 3)(x – 3);g)(x2 + 1)(x2 – 1);h)(2/5 + a)(2/5 – a)

62) a) π.R2 – π.r2 ; b) π.(R + r).(R – r)

63) a) (x + y)2 ; b) (x – y)2 ; c) (2a - 3b)2 ;

d) (1 – 4b)2 ; e) 3.(x + 1)2 ; f) [(2a + b2) (2a – b2)]264) a) (x + a)(x + b) ; b) (x + 3)(x + 2) ; c) (a + 6)(a + 7) ; d) (x – a)(x – b)

e) (x–3)(x–2) ; f) (a–6)(a–10) ; g) (x+a)(x–b) ; h) (x+3)(x–2) ; i) (a – 3)(a + 2)

23GABARITO65) a) (x + y)(x2 – xy + x2) ; b) (x – y)(x2 + xy + x2) ; c) (x – 3)(x2 + 3x + 9) ;

d) (5 – 6x)(25 + 30x + 36x2) ; e) (x – 1)(x2 + x + 1) ; f) (1 + y)(1 – x + x2)

66) a) 1/2 ; b) –3 ; c) 3 ; d) –9 ; e) 1/2√3 ; f)1/5

67) 6 68) 2 69) 2√5 70) – 108

71) –1/ 64 72) √2 73) – 5 74) 1/6 75) 6 76) 5 77) 6/5 78) 8 79) 9/8 80) 1/12 81) 6 82) –1/16

83) 108 84) – 32 85) a) Equilátero b) Isósceles c) Escaleno 86) a) Retângulo b) Acutângulo c) Obtusângulo

87) D 88) a) Ok b) Não c) Não 89) V, V, V, V, F 90) B 91) D 92) Verifique! 93) Demonstre!

94) “O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto entre as projeções dos catetos” 95) Demonstre!

96) “O quadrado do cateto é igual ao rpoduto entre sua projeção e a hipotenusa.” 97) Demonstre!

98) Igual a 96 99) Demonstre! 100) “O produto entre os catetos é igual ao produto entre a hipotenusa e altura.”

101) Demonstre! 102) “O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.”

103) a) 5 b) 2,4 c) 9/5 e 16/5 104) x = 6 y = 2√13 z = 3√13 105) 6,4 106) a = 13 h = 60/13 m = 25/13 n = 144/13

107) 3,2 108) A 109) a) 24 b) 18 110) C 111) A 112) 4 113) B

114) d = ℓ√2 ; A diagonal de um quadrado é igual ao produto da medida do lado por √2

115) h = ℓ√3/2 ; A altura de um triângulo equilátero é igual ao rpoduto da medida do lado por ℓ√3 dividido por 2.

116) 4 117) 50 km 118) A 119) 60º, 60º, 120º e 120º 120) B 121) D

122) D 123) C

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“A questão primordial não é o que sabemos, mas como sabemos.”

Aristóteles

Complete com números:

___ção

___buscar

___ no meu colo

___ me beijar.

pois ja rezei ___

para encontrar ___

de te levar para ___