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Matematica: GeometriaAULA 8: Trigonometria

E ssa aula abordará assuntos relacionados àtrigonometria como arcos, relações trigono-métricas, lei dos senos e cossenos, ciclo tri-

gonométrico, funções e equações trigonométricas.

1 Arcos e angulos

1.1 Arcos de circunferencia

Circunferências são figuras geométricas circularescujos pontos do seu contorno são equidistantes de seucentro. Essa distância é chamada de raio. Os arcos sãouma parcela dessa região, como mostrado na Figura 1.

Figura 1: Arco de uma circunferência

Na imagem acima, identificamos os seguintes ele-mentos da circunferência:

• AB: Arco da circunferência;• AÔB: Ângulo central do arco AB;• O: Centro da circunferência;• OA=OB: Raio (r) da circunferência.

O comprimento da circunferência (C) é calculadoconforme a Equação 1, em que r é o raio da circunfe-rência.

C = 2πr (1)O ângulo associado a esse comprimento é 360°, ou

seja, uma volta completa. O comprimento do arcoAB (l) está relacionado com o ângulo AÔB, e podeser calculado a partir de uma regra de três, usando ocomprimento da circunferência (C) e o ângulo central,como mostrado a seguir:

Ângulo Comprimentodo arco

360◦ 2πr

AOB l

360

AOB=

2πr

l

l =π · r ·AOB

180

(2)

1.2 Angulos e suas unidades

Um ângulo pode ser expresso em duas unidades demedidas: em grau (◦) ou radianos (rad). Uma voltacompleta na circunferência corresponde a 360°, ou a2π rad. A conversão entre essas unidades é feita porregra de três. Como visto a seguir:

Ângulo em graus Ângulo em radianos180◦ π rady x

180o

y=π

x(3)

Caso o ângulo AOB seja dado em radianos, o com-primento de arco (l) pode ser encontrado por:

Volta completa Arco da volta incompleta2π rad AOB

2πr l

AULA 8: Trigonometria

O que resulta em:

2π

2πr=AOB

l

1

r=AOB

l

l =r

AOB

(4)

Exercício 1

(UFSC) O menor ângulo formado pelos pontei-ros do relógio às 3h 25min é 47, 5◦.

RESOLUÇÃO:Deseja-se descobrir o arco de circunferênciaformado pelos ponteiros do relógio. Sabemosque uma volta completa tem 360◦, e que orelógio tem 12 horas. Dividindo 360◦ pelas12h, temos que o ângulo formado por doisnúmeros consecutivos é igual a 30◦.

O ponteiro dos minutos está apontado exata-mente para o 5.

Os números 4 e 5 são consecutivos e fazemparte do arco. O ângulo formado entre eles éde 30o.

A cada hora (60 minutos), o ponteiro das ho-ras se desloca 30o, então em 25 minutos ele sedeslocará:

60 min25 min =

30◦

β

β =30◦ · 25

60= 12, 5◦

Esse ângulo é o ângulo formado entre o número3 e o ponteiro das horas. No entanto, queremosdescobrir o ângulo entre este ponteiro e onúmero 4. Para isso, subtraímos esse valor de30o: 30o − β = 17, 5o.

Somando este valor ao ângulo formado entreos números 4 e 5, temos o ângulo central doarco: 17, 5o + 30o = 47, 5o. Logo, a proposiçãoestá correta.Resposta: 47,5o

FIQUE LIGADO

Você tem a liberdade de escolher qual unidadede medida adotará para resolver uma questão,seja um ângulo em graus ou radianos ouuma unidade de comprimento em metros oucentímetros.

Evite mudar a unidade depois que você come-çou o exercício, pois isso aumenta sua chancede errar. Boa parte da trigonometria é adimen-sional, e esse tipo de erro costuma ser fatal parasua pontuação.

2 Triangulos e a trigonometria

Assim como círculos, triângulos são figuras planas.Uma de suas características mais importantes é quea soma dos seus ângulos internos sempre resultaem 180◦.

2.1 Triangulos retangulos

No triângulo retângulo, um dos seus ângulos é reto,ou seja, vale 90◦, como mostrado na Figura 2.

Figura 2: Triângulo retângulo

Observando a imagem, notamos os principais ele-mentos do triângulo retângulo:• c: Hipotenusa (maior lado e sempre oposto ao

ângulo reto);• a: Cateto oposto ao ângulo α, ou adjacente ao

ângulo β;• b: Cateto adjacente ao ângulo α, ou oposto ao

ângulo β.O comprimento dos catetos e da hipotenusa pode

ser relacionado conforme o Teorema de Pitágoras,descrito na equação abaixo:

c2 = a2 + b2 (5)Da mesma maneira que o comprimento de arco de

uma circunferência pode ser associado a um ângulo, o

Pré-UFSC Joinville http://preufsc.jve.ufsc.br Página 2 de 16


comprimento dos lados do triângulo retângulo podemser relacionados com os ângulos α e β. As principaisrelações são o seno, cosseno e a tangente, descritasabaixo em relação ao ângulo α:

Seno: Cosseno: Tangente:

sen(α) = ac cos(α) = b

c tg(α) = ab

Observações:

• A tangente também pode ser escrita da seguinteforma:

tg(α) =sen(α)

cos(α)(6)

Nesse caso o valor de cosseno não pode ser zero,pois não existe divisão por zero.

• A soma α e β vale 90°, o que quer dizer que sãoângulos complementares. Portanto, β pode serescrito da seguinte maneira:

β = 90− α (7)

• O valor do seno de um ângulo é igual ao cossenodo seu complementar, isso quer dizer que:

sen(α) = cos(β) = cos(90α) (8)

Existem três ângulos notáveis, cujos valores deseno, cosseno e tangente devem ser gravados. Essesângulos são apresentados na tabela abaixo.

0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

sen 0 1/2√2/2

√3/2 1

cos 1√3/2

√2/2

1/2 0

tan 0√3/2 1

√3 ∞

FIQUE LIGADO

Cada vestibular tem um estilo de prova. É im-portantíssimo que você cheque se a prova queprestará tem ou não formulário, e, caso tenha,quais dos valores acima são fornecidos ou não.Para saber essa informação, você pode pesqui-sar as porvas anteriores, isso também vale paraoutras matérias e conteúdos.

As relações trigonométricas inversas são muitoimportantes, e elas têm como base as relaçõesanteriores:

Secante:sec(α) = 1

cos(α)

Cossecante:cossec(α) = 1

sen(α)

Coangente:cotg(α) = 1

tg(α)

Por serem divisões, o valor de seno, cosseno e tan-gente não podem ser zero.

2.2 Triangulos quaisquer

As relações trigonométricas são muito importantes,por isso elas devem ser adaptadas para os demais tri-ângulos, que não tem um ângulo reto, como pode servisto na Figura 3.

Figura 3: Triângulo qualquer

Essa adaptação é feita com a lei dos senos e a leidos cossenos, apresentadas a seguir.

Lei dos senos:a

sen(α)=

b

sen(β)=

c

sen(γ)(9)

Lei dos cossenos:

a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos(α)

b2 = a2 + c2 − 2 · a · c · cos(β)

c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos(γ)

(10)

Observe que tanto a lei dos senos, quanto a lei doscossenos, relacionam um ângulo com o lado oposto aele. Por exemplo, na lei dos senos o lado a é opostoao ângulo α. Já na lei dos cossenos, quando o lado aestá em evidência, o ângulo α, oposto a ele, é utilizadona equação. Caso α seja um ângulo reto, a lei doscossenos vira o Teorema de Pitágoras.Exercício 2

(UDESC) Um engenheiro precisa projetar umarampa de acesso com inclinação constante. Aaltura da porta de entrada em relação à rua é



de 150 cm e o espaço para construção da rampaé de 215 cm. Sendo α o ângulo de inclinaçãodessa rampa,é correto afirmar que:(a) α ∈ (30o, 45o](b) α ∈ (15o, 30o](c) α ∈ (60o, 75o](d) α ∈ (5o, 15o](e) α ∈ (45o, 60o]

RESOLUÇÃO:Esse problema pode ser representado por essedesenho:

Como podemos ver, temos as medidas do catetooposto e do adjacente, e devemos encontrar ovalor de α, logo, devemos usar a tangente:

tg(α) =cateto oposto

cateto adjacente =150

215= 0, 6977

Esse valor não corresponde à tangente de umângulo notável. Portanto, devemos descobrirentre quais valores notáveis ele se encontra,e assim poderemos determinar qual alter-nativa tem o intervalo correto. Como essevalor está entre 0,5774 (tangente de 30o) e 1(tangente de 45o), a resposta correta é a letra A.

Resposta: A

Observação: Nessa questão apenas olhar a ta-bela de valores notávies não seria suficiente,pois temos valores como 5o, 15o e 75o, mas nãose preocupe, podemos os encontrar usando asequações de soma de arco, que serão apresen-tadas ainda nessa aula.

Problema 1

(UFSC) Considere o triângulo a seguir. Se x e yrepresentam, respectivamente, as medidas dolado AB e do ângulo com vértice em C, entãoo valor numérico de x · y é π

3 .

RESOLUÇÃO:Como a possível resposta desse exercício tem oπ, é preferível fazer os cálculos em radianos.Sabemos que 60◦ é igual a π

3 rad.

Vamos começar tentando encontrar o valorde x. Visto que conhecemos um ângulo e ovalor de dois lados, podemos aplicar a leidos cossenos. Como o lado de 2

√3 é oposto

ao ângulo de 60o, esse lado ficará em evidência:

a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos(α)

(2√

3)2

= x2 + 42 − 2 · x · 4 · cos(π3

)

x2 − 4x+ 4 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau:

∆ = (−4)2 − 4.4 = 0

x′ = x′′ =−(−4)± 0

2= 2

Agora, calcularemos o valor do ângulo y. Oenunciado da questão nos dá o ângulo de π

3

rad e a medida do lado oposto a ele, 2√

3.Nós já encontramos o valor de x, e podemosusá-lo para descobrir o valor do ângulo y, queé oposto a ele.

Já que procuramos um ângulo e temos os valo-res de dois lados e outro ângulo, usaremos a leidos senos.

a

sen(α)=

b

sen(β)

2

sen(y)=

2√

3

sen(π3 )

sen(y) =1

2

O ângulo associado a esse valor de seno é: π/6rad.

Multiplicando x e y: x · y = 2 · π6 = π3 . Logo, a

resposta é verdadeira.



3 Ciclo Trigonometrico

O ciclo trigonométrico associa um círculo de raioigual a 1 ao plano cartesiano, como mostrado na Fi-gura 4. O eixo das abscissas é o eixo dos cossenos, eseu valor é positivo no 1° e 4° quadrantes, e negativono 2° e 3°. Já o eixo das ordenadas corresponde aoeixo dos senos, que tem valores positivos no 1° e 2°quadrante, e negativos no 3° e 4°.

Figura 4: Ciclo trigonométrico

Como o círculo tem raio unitário, os valores de senoe cosseno variam de -1 a 1. A origem do eixo cartesianoe do círculo coincide, portanto o valor de cos (90°) = 0e cos (180°) = -1. Ao percorrer o ciclo no sentido anti-horário o valor do ângulo é positivo e ao percorrer nosentido horário ele é negativo.Trabalhar com ângulos do 2°, 3° e 4° quadrante re-

quer mais atenção, pois é preciso fazer sua redução aoprimeiro quadrante, já que o valor em módulo das rela-ções trigonométricas são iguais, mas o sinal é diferente.A imagem abaixo auxilia nessa transformação:

F

P F

Como interpretá-la:

• Se o ângulo pertence ao 2° quadrante, devemossaber o quanto falta (F) para completar π rad;

• Se o ângulo pertence ao 3° quadrante, devemossaber o quanto ele passou (P) de π rad;

• Se o ângulo pertence ao 4° quadrante, devemossaber o quanto falta (F) para completar 2π rad;

Uma vez encontrado o ângulo correspondente, é im-portante tomar cuidado com o sinal. Por exemplo, 3π/4está no segundo quadrante, então seu valor de cossenoé negativo e seu valor de seno é positivo sen ( 3π4 ) =sen

(π4

) = √22 e cos ( 3π4 ) = −cos (π4 ) = −√2

2 .

4 Relacao fundamental da trigo-nometria

Imagine uma reta sendo traçada da origem a umaborda do círculo, é possível desenhar um triânguloretângulo, como mostrado na Figura 5.

Figura 5: Triângulo retângulo no ciclo trigonométrico

Chamando o raio de r, pode-se aplicar o teorema depitágoras:

r2 = cos2(α) + sen2(α) (11)

Como o raio é unitário:

1 = cos2(α) + sen2(α) (12)A equação acima é chamada de equação fundamen-

tal da trigonometria. Ela é muito versátil, podendoser aplicada para qualquer ângulo. Existem outras duasrelações que podem ser obtidas dividindo a relaçãofundamental por:

• sen2(α):

1

sen2(α)=cos2(α)

sen2(α)+sen2(α)

sen2(α)

cossec2(α) = cotg2(α) + 1(13)



• cos2(α):

1

cos2(α)=cos2(α)

cos2(α)+sen2(α)

cos2(α)

sec2(α) = 1 + tg2(α)(14)

Exercício 3

(UFSC) Sabendo que tg(x) = 5 e queπ < x < 3π

2 , então cos(x) =√2626 .

RESOLUÇÃO:O exercício fornece a tangente e o cosseno,que podem ser relacionados pela seguinteexpressão: sec2(x) = 1 + tg2(x).

É importante lembrar que a secante é o inversodo cosseno, então iremos descobrir o valor dasecante, e com ele chegar no valor de cosseno.

sec2(x) = 1 + tg2(x)

sec2(x) = 1 + 52

sec2(x) = 26

sec(x) = ±√

26

sec(x) =1

cos(x)

cos(x) =1

sec(x)

cos(x) = ± 1√26

= ±√

26

26

Por conta da raiz, o valor pode ser negativo oupositivo. No entanto, pelo enunciado sabe-seque o ângulo pertence ao terceiro quadrante,logo o valor é negativo.

Resposta: Falso.

FIQUE LIGADO

Use seus conhecimentos básicos de trigonome-tria para lhe poupar tempo no vestibular. Porexemplo, o enunciado do exercício acima falaque o ângulo está no terceiro quadrante, e queseu cosseno é positivo. Como ângulos do ter-ceiro quadrante tem cosseno negativo, isso nãoé possível e a questão nem precissaria ser resol-vida.

5 Arcos e a trigonometria

A ideia de arcos na circunferência podem ser as-sociadas ao ciclo trigonométrico por meio das rela-ções de soma e subtração, arco duplo, metade e côn-gruos. Essas relações são muito úteis pois permitemusar os valores de ângulos notáveis para descobrir ovalor dessas relações para ângulos não listados. Porexemplo: cos(150) = cos(45o − 30o) (subtração dearcos) e cos(22, 5o) = cos( 45o

2 ) (arco metade).

5.1 Soma e subtracao de arcos

A soma e subtração de arcos são operações usadaspara encontrar o valor das relações trigonométricaspara um ângulo obtido a partir de outros dois. Porexemplo, o valor de seno, cosseno e tangente de 75o

podem ser encontrados usando os valores dessasrelações para os ângulos 30o e 45o, pois 75o = 30o+45o.

As relações são mostradas abaixo:

sen(α± β) = sen(α) · cos(β)± sen(β) · cos(α) (15)

cos(α± β) = cos(α) · cos(β)∓ sen(α) · sen(β) (16)

tg(α± β) =tg(α)± tg(β)

1∓ tg(α) · tg(β)(17)

FIQUE LIGADO

Caso você já tenha que calcular a tangente, oseno e o cosseno usando as relações acima, nãoé muito vantajoso calcular a tangente com afórmula apresentada, é melhor fazer a divisãodo seno pelo cosseno.

Em contrapartida, se o valor da tangente foro único solicitado (como no exercício 2 dessaaula) é melhor investir seu tempo trabalhandodiretamente com ela.

5.2 Arco duplo

Essas fórmulas são obtidas a partir das equações desoma de arcos, ao considerarmos α=β.

sen(2α) = 2 · sen(α) · cos(α) (18)

cos(2α) = cos2(α)− sen2(α) (19)

tg(2α) =2 · tg(α)

1− tg2(α)(20)



Exercício 4

(UDESC) Verificar se a afirmação é verdadeiraou não: 2 · cos2(θ)− cos(2θ) = 1.

RESOLUÇÃO:Sabemos que:

cos(2α) = cos2(α)− sen2(α) (Eq. I)

Usando a equação fundamental da trigonome-tria:

sen2(α) + cos2(α) = 1

sen2(α) = 1− cos2(α) (Eq. II)

Substituindo a Equação II na Equação I:

cos(2α) = cos2(α)− 1 + cos2(α)

cos(2α) = cos2(α)− 1 + cos2(α)

cos(2α) = 2cos2(α)− 1

2cos2(α) + cos(2α) = 1

Resposta: A afirmação é verdadeira.

5.3 Arco metade

As equações de arco metade são obtidas usando aequação do arco duplo do cosseno e a relação funda-mental da trigonometria, como pode ser observadoabaixo. Parte-se, portanto, das duas seguintes expres-sões:

cos(2x) = cos2(x)− sen2(x) (Eq. I)1 = cos2(x) + sen2(x) (Eq. II)

Substituindo a Equação II na Equação I, temos

sen2(x) = 1− cos2(x)

cos(2x) = cos2(x)− (1− cos2(x))

cos(2x) = 2 · cos2(x)− 1

Considerando α = 2x, tem-se

cos(α) = 2 · cos2(α

2

)− 1

2 · cos2(α

2

)= cos(α) + 1

cos(α

2

)= ±

√cos(α) + 1

2

O arco metade do seno pode ser encontrado se-guindo os mesmos passos, mas fazendo a substituiçãocos2(x) = 1 − sen2(x) . As fórmulas do arco metadesão apresentadas a seguir.

sen(α

2

)= ±

√1− cos(α)

2

cos(α

2

)= ±

√1 + cos(α)

2

tg(α

2

)= ±

√1− cos(α)

1 + cos(α)

(21)

Problema 2

(UFSC) Se sen(1/2)=1/3, então o valor de

sen(x) + cos(x), com x no primeiro quadranteé: 7+4

√2

9 .RESOLUÇÃO:Primeiro, usaremos a equação do arco metadepara encontrar o valor do cosseno.

sen(x

2

)= ±

√1− cos(x)

2(1

3

)2

= ±√

1− cos(x)

2

1− cos(x) =2

9

cos(x) =7

9

Agora, podemos utilizar a relação fundamentalda trigonometria para determinar o valor doseno.

cos2 + sen2 = 1(7

9

)2

+ sen2(x) = 1

sen2(x) = 1− 49

81=

32

81

sen(x) = ±4√

2

9

Como o ângulo está no primeiro quadrante, ovalor de seno é positivo. Portanto: cos(x) +

sen(x) = 7+4√2

9 .A resposta é Verdadeira.

5.4 Arcos congruos:

Alguns ângulos podem se relacionar por meio deconstantes. Os arcos côngruos são responsáveis poressa ligação. Por exemplo π/2 rad pode ser relacionadocom 3π/2 rad por meio da equação abaixo, em quek = 1.

α =π

2+ kπ, ∀ k ∈ IR (22)



Também é possível dar mais de uma volta no ciclo,ou seja o valor do ângulo pode ser maior do que 2π.Por exemplo, 5π/2 se relaciona com π/2, por meio daequação abaixo, em que k = 1.

α =π

2+ 2kπ, ∀ k ∈ IR (23)

O exercício 5 mostra como trabalhar com esse casopor meio da sua aplicação.Exercício 5

(UDESC - 2016/2) Assinale a alternativa quecorresponde ao valor da expressão:

6 · cos2(13π6

)− 4 · cos2

(11π4

)+ sen

(−7π6

)+

tg2(31π3

)(a) 6(b) 5(c) 9/2(d) 3(e) 23/4

RESOLUÇÃO:É muito díficil associar valores de arcos notáveisaos ângulos acima, então precisamos escreveressas funções em um novo formato, como mos-trado a seguir:

13π

6=

12π

6+π

6= 2π +

π

6

Como 2π é uma volta completa, quer dizerque “andamos” uma volta inteira e mais π/6.Portanto, todas as relações trigonométricas doângulo π/6 rad valem para 13π/6 rad, pois elesestão no mesmo lugar no ciclo trigonométrico.

Obervação: Essa divsão do ângulo em duasfrações, deve ser feita até que se obtenha umresultado par, por exemplo: 2π, 4π, 6π..., poisisso quer dizer que a volta foi completa. Comomostrado abaixo:

11π

4=

10π

4+π

4,não é um número inteiro.

11π

4=

9π

4+

2π

4,não é um número par.

11π

4=

8π

4+

3π

4, é um número inteiro e par.

Portanto: 11π/4 = 2π + 3π/4. Ou seja, demosuma volta no ciclo partindo do ângulo 3π/4rad. Então todas as relações trigonométricaspara 3π/4 rad e 11π/4 rad são iguais.

Agora vamos fazer esse processo com o ângulode −7π6 . Como seu valor é negativo, significaque o arco que o originou percorreu a circun-ferência no sentido horário, e como os valores

notáveis são obtidos pela volta no sentido anti-horário, deve-se fazer a subtração entre 2π eele para saber qual seu ângulo correspondenteobtido a partir do percurso do arco no outrosentido.

2π − 7π

6=

5π

6

Como 31π3 ≤ 2π vamos descobrir qual ângulo

corresponde a ele dando menos de uma voltano ciclo trigonométrico:

31π

3=

30π

3+π

3, é um número inteiro e par

31π

3= 10π +

π

3

Portanto, demos 10 voltas no ciclo partindo deπ/3. E por isso usaremos seus valores notáveis.Agora que os ângulos tem valores mais familia-res, podemos reescrever a expressão como

6 · cos2(π

6

)− 4cos2

(3π

4

)+ sen

(5π

6

)+ tg2

(π3

)

6

(√3

2

)2

− 4

(−√

2

2

)2

+1

2+(√

3)2

= 6

Resposta: Letra A.

FIQUE LIGADO

O processo acima também pode ser feito paraângulos em graus. Nesse caso, basta fazer adivisão por 360◦, parando quando for necessá-rio colocar casas decimais. O cociente será onúmero de voltas, e o resto será o ângulo quevocê deve trabalhar.

6 Funcoes trigonometricas

Como qualquer função, as funções trigonométricasvisam relacionar elementos do conjunto domínio comos elementos do conjunto imagem.A função seno pode ser escrita, de forma genérica,

conforme a expressão abaixo. Ela associa a cada variá-vel x o valor de seu seno (sen(x)). O gráfico da funçãoseno é apresentado na Figura 6.

y = a+ b · sen(m · x+ n) (24)



Figura 6: Função seno

A função cosseno, por sua vez, associa a cada realx o valor de seu cosseno (cos(x)), e pode ser descritade forma genérica conforme a Equação 25. O gráficodesta função é apresentado na Figura 7.

y = a+ b · cos(m · x+ n) (25)

Figura 7: Função cosseno

Os coeficientes a, b,m e n das Equações 24 e 25 têmos seguintes impactos nos gráficos das funções:

• Imagem: Im = [a− |b|; a+ |b|];• Período: p = 2π

m ;• Deslocamento horizontal: O coeficiente n des-

loca o início do gráfico ao longo do eixo das abs-cissas em relação a origem;

• Deslocamento vertical: O coeficiente a deslocao gráfico para cima ou para baixo ao longo doeixo y;

• Paridade: A função seno é ímpar e a cosseno épar.

A função tangente associa a cada x o valor de suatangente. Sua forma genérica é dada pela Equação 26,e seu gráfico é apresentado na Figura 8.

y = a+ b · tg(m · x+ n) (26)Como não existe tangente de α = π

2 + kπ , há umaassíntota no seu gráfico. Seu domínio é definido por:D = x ∈ IR /x 6= π

2 ∀ x ∈ IR.

• Imagem: Im = [−∞;∞]

Figura 8: Função tagente

• Período: p = πm ;

• Deslocamento horizontal: O coeficiente n des-loca horizontalmente o início do gráfico em rela-ção a origem;

• Deslocamento vertical: O coeficiente desloca ográfico para cima ou para baixo ao longo do eixoy;

• Paridade: A função tangente é ímpar.

Problema 3

(UFSC) O dólar americano (US$) é moedabastante usada em transações financeirasinternacionais, mas, em decorrência devários fatores, o seu preço pode variarbastante. Em um dia de forte variação,o preço, em reais, de venda e de comprade um dólar americano comercializado noBrasil foi descrito, respectivamente, pelasfunções: V (t) = 3, 8 + 0, 4 · sen(π/4t) eC(t) = 3, 5 + 0, 5 · sen(π/4t), nas quais trepresenta o tempo medido em horas, sendoque t ∈ IR e 8 ≤ t ≤ 17.

(01) Os valores máximo e mínimo do preço dodólar para venda foram de, respectivamente,R$ 3,80 e R$ 0,40.(02) Apenas para t = 13h, o preço de comprado dólar foi de R$ 3,30.(04) Uma pessoa que comprou US$130,00quando t = 8 h e vendeu essa quantia quandot = 14 h perdeu R$13,00. Contudo, se a vendafosse feita quando t = 16 h, obteria um lucrode R$39,00.(08) Usando cartão de crédito, uma pessoacomprou um produto em um site americanoao preço de US$ 50,00. Considerando que acobrança da fatura do cartão de crédito ocorresegundo o preço de compra sempre às 17 h,então o produto custou mais do que R$ 175,00.(16) Para cada t pertencente ao intervalot ∈ IR; 12 ≤ t ≤ 16, a diferença entre opreço de venda e o preço de compra foi maior



que US$ 0,30.

RESOLUÇÃO:(01) Os valores máximo e mínimo são os extre-mos da imagem, então precisamos descobrirqual é o intervalo da imagem. Os coeficientesda função que regulam o preço de venda são:a = 3, 8, b = 0, 4, m = π/4 e n = 0.

Im = [a− |b|; a+ |b|]Im = [3, 8− |0, 4|; 3, 8 + |0, 4|]Im = [3, 2; 3, 6]

Portanto, essa alternativa é falsa, pois o valormínimo de venda é 3,2 dólares e o máximo éde 3,6 dólares, a alternativa só apresentou oscoeficientes da equação.

(02) Primeiro, devemos verificar o valor deC(t = 13) e depois determinar se esse valorsó é alcançado uma vez.

C(t = 13) = 3, 5 + 0, 5 · sen(

13π

4

)Sabemos que 13π/4 rad pertence ao ter-ceiro quadrante. Fazendo a redução parao primeiro quadrante, concluimos quesen

(13π/4

)= −sen (π/4).

C(t = 13) = 3, 5− 0, 5sen(π

4

)C(t = 13) = 3, 5− 0, 5

(√2

2

)C(t = 13) = 3, 3

Agora, verificaremos se nesse domínio o senoatinge o valor de−

√22 . A função seno é negativa

no terceiro e no quarto quadrante. O ângulono quarto quadrante que tem esse valor é 7π

4rad, e esse valor não está dentro do domínio dafunção. No entanto, usando a teoria de arcoscôngruos, podemos fazer:

α =7π

4+ kπ, ∀ k ∈ IR Com k=2

α =7π

4+ 2π

α =17π

4

Como 17π4 rad está no domínio, a afirmativa é

falsa.

(04) Devemos saber qual o valor do dólar nomomento da compra, ou seja C(t = 8).

C(t = 8) = 3, 5 + 0, 5 · sen(

8π

4

)C(t = 8) = 3, 5 + 0, 5 · sen (2π)

C(t = 8) = 3, 5 + 0, 5 · 0C(t = 8) = 3, 5

Isso quer dizer que um dólar vale 3,5 re-ais. Convertendo US$ 130,00 para reais,temos o valor de R$ 455,00. Para saber seele teve lucro ou prejuízo, vamos descobriro valor de venda as 14 horas, ou seja V (t = 14).

V (t = 14) = 3, 8 + 0, 4 · sen(

14π

4

)Usando a teoria de arcos côngruos:

14π

4=

8π

4+

6π

414π

4= 2π +

3π

2

Portanto:

V (t = 14) = 3, 8 + 0, 4 · sen(

3π

2

)V (t = 14) = 3, 8 + 0, 4(−1)

V (t = 14) = 3, 4

Isso quer dizer que 1 dólar vale 3,4 reais.Convertendo US$ 130,00 para reais temos R$442,00. Para saber o retorno financeiro de algodevemos calcular o valor: Venda - Custo. Se essevalor for positivo, temos lucro, se for negativo,prejuízo. Fazendo 442, 00− 455, 00 = −13, 00.Logo, houve prejuízo de 13 reais.

Considerando agora a venda para t = 16 h:

V (t = 16) = 3, 8 + 0, 4 · sen(

16π

4

)V (t = 16) = 3, 8 + 0, 4 · sen(4π)

V (t = 16) = 3, 8 + 0, 4(0)

V (t = 16) = 3, 8

Como 1 dólar vale 3,8 reais, US$ 130,00 =R$ 494,00. Considerando o preço de compra,podemos calcular: 494, 00 − 455, 00 = 39, 00.Nesse caso, o lucro teria sido de R$39,00. Esseitem é verdadeiro.

(08) É uma situação de compra do dólar, deve-



mos saber qual o valor de C(t = 17).

C(t = 17) = 3, 5 + 0, 5 · sen(

17π

4

)C(t = 17) = 3, 5 + 0, 5 · sen

(16π

4+π

4

)C(t = 17) = 3, 5 + 0, 5 · sen

(4π +

π

4

)C(t = 17) = 3, 5 + 0, 5 · sen

(π4

)C(t = 17) = 3, 5 + 0, 5

(√2

2

)C(t = 17) = 3, 87

Nesse cenário, 1 dólar vale 3,87 reais, entãoUS$ 50,00 = R$ 193,50. Como esse valoré maior que R$175,00, essa afirmativa éverdadeira.

(16) A forma mais direta de resolver esse itemé criar uma nova função que chamaremos delucro. Ela é dada pela diferença entre o preçode venda e o de compra.

L(t) = V (t)− C(t)

L(t) = 3, 8 + 0, 4 · sen(π

4t)

−(

3, 5 + 0, 5 · sen(π

4t))

L(t) = 0, 3− 0, 1 · sen(π

4t)

Devemos entender o que o intervalo dado(12 ≤ t ≤ 16) significa, fazendo:

π

4t =

12π

4= 3π

eπ

4t =

16π

4= 4π

Isso significa que estamos avaliando o terceiroe quarto quadrante. Podemos fazer o gráficoda função Lucro, exibido abaixo:

Nele percebemos que o terceiro e quarto qua-drante valem mais que 0,3, logo essa afirmativaé verdadeira.A somatória dos itens corretos é 28.

7 Equacoes trigonometricas

As equações trigonométricas são equações cujasincógnitas são relações trigonométricas. Como a res-posta inclui muitos ângulos, ela é dada usando arcoscôngruos.A resolução desse tipo de equação pode ser dividida

em duas etapas. Na primeira, deve-se reescrever aequação usando uma única relação trigonométrica.Nesse momento, pode ser necessário usar a relaçãofundamental da trigonometria. A ideia desse passo éencontrar qual o valor dessa relação trigonométrica.A segunda etapa envolve percorrer o ciclo trigo-

nométrico para encontrar os ângulos que satisfazema equação. Essa etapa exige muita atenção, pois éimportante não se esquecer de nenhuma solução.Por exemplo, no intervalo 0 ≤ α ≤ 2π, dois ângulosdiferentes apresentam o mesmo valor de cosseno (seuvalor é positivo no 1◦ e 4◦ quadrantes e negativo no 2o

e 3o quadrantes). Além disso, o valor do ângulo nãoestá limitado ao valor de 2π rad, então é importanteusar os conceitos de arcos côngruos. Observe oexemplo abaixo.

Exercício 6

(UFSC) A equação sen(2x) + cos(x) = 0admite 4 soluções no intervalo [0, 3π].

RESOLUÇÃO:Na primeira etapa da resolução, substituiremoso primeiro termo da equação usando a fórmulado arco duplo para o seno: sen(2x) = 2·sen(x)·cos(x).

sen(2x) + cos(x) = 0

2 · sen(x) · cos(x) + cos(x) = 0

(2sen(x) + 1) · cos(x) = 0

cos(x) = 0

2sen(x) + 1 = 0

sen(x) =−1

2

Na segunda etapa descobriremos quais ângulosgeram esses valores das relações trigonométri-cas.Para cos(x) = 0: O valor de cosseno é zero paradois ângulos – π

2 rad e 3π2 rad (uma volta no ci-

clo trigonométrico). Utilizando os conceitos dearcos côngruos, para encontrar quais ângulosgeram esses valores para 2π ≤ x.

x =π

2+ kπ, ∀ k ∈ IR

Já o seno vale −1/2 para dois ângulos em umavolta no ciclo: 7π/6 rad e 11π/6 rad. Aplicando



os arcos côngruos:

x =7π

6+ 2kπ, ∀ k ∈ IR

x =11π

6+ 2kπ, ∀ k ∈ IR

Encontrando quais ângulos estão no intervalo[0, 3π]: x = [π/2,

7π/6,3π/2,

11π/6,5π/2]. Nesse

intervalo existem 5 soluções, portanto a afirma-tiva é Falsa.

FIQUE LIGADO

As equações trigonométricas são muito simila-res as equações algébricas, mas elas tem algu-mas particularidades importantes. Por exemplo,se no exercício acima cos(x) fosse apenas x, elepoderia ser cortado pois já saberiamos que umadas soluções seria x=0. No caso da trigonome-tria, esses cortes geralmente eliminam soluçõesimportantes.

Problema 4

(UFSC) O gráfico a seguir representa a funçãoy = 2 · sen(x)− 1.

Então o comprimento do arco AB é 2π3 unidades

de comprimento.

RESOLUÇÃO:Queremos saber o valor de x no ponto A e noponto B. Nesses pontos a função corta o eixox, portanto y = 0. Ao fazer: 2 · sen(x)− 1 = 0,temos uma equação trigonométrica.

2 · sen(x)− 1 = 0

2 · sen(x) = 1

sen(x) =1

2

Devemos determinar quais ângulos tem senoigual a 1/2. Como esse valor é positivo, temosduas respostas no intervalo 0 ≤ α ≤ 2π, umângulo no primeiro (π/6 rad) e outro nosegundo quadrante(5π/6 rad). Para saber ocomprimento do arco AB, devemos fazer: B -

A. Portanto: 5π6 −

π6 = 4π

6 = π6 .

A afimação é: Verdadeira.

Trigonometria e sua vida

A trigonometria pode parecer algo intimidadore pouco interessante em um primeiro contato,até o nome dela é díficil! Mas ela é muitoimportante para as ciências exatas, e diaria-mente usamos algo que foi possibilitado poresse campo do conhecimento.

A trigonometria é umas das grandes ferramen-tas matemáticas que ajudam a traduzir fenôme-nos físicos em dados que podem ser entendidose analisados por físicos, matemáticos e enge-nheiros. Por exemplo, a luz que chega até a suacasa usa uma tensão complexa, que é represen-tada pelas relações trigonométricas e númerosimaginários. Temos, ainda, o entendimento decomo uma asa de avião se comporta duranteum vôo usa a trigonometria para modelar oseu comportamento e garantir a segurança dospassageiros.

COLABORADORES DESTA AULA• Texto:

Ana Carolina Albino• Diagramação:

Ana Carolina AlbinoLaura Braz

• Revisão:Laura Braz

8 Lista de Problemas

A seguir você encontrará um compilado de exercíciossobre trigonometria retirados das provas de vestibula-res e do ENEM. Foram coletadas questões de provasda UFSC, desde o vestibular de 2010 até sua últimaedição. Já as provas da UDESC foram analisadas até oconcurso de 2013/1, e a do ENEM até 2018.1. (UDESC) A alternativa correta sobre funções

trigonométricas é:

(a) (sen(x) + cos(x))2 = 1

(b) A função f(x) = tg(x) é definida comof(x) =

sen(x)

cos(x)e o domínio de f é o conjunto dos

números reais.(c) A função seno é a inversa da função cosseno.(d) cotg2(x) = 1− cossec2(x)



(e) A função f(x) = sec(x) é positiva no intervado(−π3,−π2

)e negativa no intervalo

(5π

2,

10π

3

).

2. (UDESC) Sabendo que:cos(x) + sen(y) = a

sen(x) + cos(y) = b

sen(x+ y) = c

pode-se afirmar que:

(a) a2 − b2 = 1 + c(b) a2 + b2 = 2 + 2c(c) a+ b = 2c(d) a2 + b2 = 1− 2c(e) a− b = c

3. (UDESC) O grado é uma unidade de medida deângulos em que uma das vantagens é facilitar asoperações envolvendo ângulos retos. Neste sis-tema, a circunferência é dividida em 400 partesiguais e cada parte é denominada 1 gon. Na figuraa seguir, observa-se a divisão dos quatro quadran-tes usando este sistema.

Desta forma, o seno do ângulo de 350

3gon é

igual a:

(a)√

3

2

(b)√

2 +√

6

4

(c)√

2 +√

3

4

(d)√

2 +√

6

2

(e)√

2−√

6

2

4. (UDESC) A expressão sec2(x)− 1

tg2+ 1 +

cossec2(x) + 1

cotg2(x) + 1é igual a:

(a) 1− 2cos2(x)(b) 3 + 2cos2(x)

(c) 3 + 2sen2(x)(d) 1(e) 1 + 2sen2(x)

5. (UDESC) Se x ∈(

0,π

2

)é o ângulo que faz

com que os termos sen(x), sen(

3

2x

)e sen(3x)

formem, nesta ordem, uma progressão geomé-trica de razão

√2. Então, o valor de x+

3

2x+3x é:

(a) 11

6π

(b) 12

11π

(c) 6

11π

(d) 1

6π

(e) 11

12π

6. (UDESC) A equação 3 ·sen2(x)+(m−1)sen(x)−4(m− 1)2 = 0 admite solução para os valores dem pertencentes ao intervalo:

(a) [−1, 1]

(b) [0, 2]

(c)[

1

4,

9

4

](d)

[−1

4,

7

4

](e) [1, 4]

7. (UFSC) Assinale as alternativas corretas:

01. Se x = tg(y) e z =1

sec2(y) + 1com

y ∈ (−π2,π

2), então z =

1

x2 + 2.

c02. Se x = sen

(4π

5

)+ cos

(4π

5

), então x é

um número real positivo.04. Sejam α e β arcos de medidas iguais a 60◦

e 1, 2 rad, respectivamente. Se o primeiro arcoestá sobre uma circunferência de raio 2 cm eo outro sobre uma circunferência de raio 3 cm,então o comprimento do arco α é maior do que ocomprimento do arco β.08. Considere a função f : IR→ IR definida porf(x) = 2 · sen(3x). No intervalo [0, 2π), o gráficoda função f intersecta o eixo x em cinco pontos.16. A igualdade tg3(x) = tg(x)sec2(x) − tg(x) éválida para todo x 6= π

2+ kπ; k ∈ Z.

8. (UFSC) Assinale as alternativas corretas:



01. Se cossec(x) = 2 e 0 ≤ x ≤ π

2, então tg(x) é

um número irracional.

02. A equação cos

(3π

2− x)

= −sen(x) ésatisfeita para todo x ∈ IR.

04. Se x 6= kπ

2, sendo k um número inteiro,

então sec2(x) + cossec2(x) = sec2(x)cossec2(x).08. A equação sec(x) =

√2 apresenta duas

soluções no intervalo 0 ≤ x ≤ 4π.

16. A função f(x) = cos

(x+ π

2

)é uma função

par e tem período 4π.

9. (UFSC) Assinale as alternativas incorretas:

01. O menor valor assumido pela funçãog(x) = 2 + sen(3x) é -1.

02. O valor de sec(−13π

3

)é 1

2 .

04. O domínio da função h(x) = tg(2x+π

3) é o

conjunto D = x ∈ IR | x 6= π

6+kπ

2, k ∈ Z.

08. O período da função y = sen4

(5x+

2π

3

)é

2π

5.

10. (UFSC) Assinale as alternativas verdadeiras:

01. Se sen(x) =

√2

2, então o valor da expressão

E =sec2(x)− 1

tg2(x) + 1é√

2.

02. Sabendo que sen(x) =3

5e cos(y) =

5

13com

0 ≤ x ≤ π

2e 3π

2≤ y ≤ 2π, então cos(x+y) =

64

65.

04. Na figura abaixo, a medida de b+ c é igual a24√

2 cm.

08. 4(sen2(x) + cos2(x) − cos2(2x))cos2(2x) =sen2(4x) para todo x real.

16. A equação log 2(cos(x)) = 1 tem exatamenteduas soluções no intervalo [0, 2π].32. A equação sen(2x) + cos(x) = 0 admite 4soluções no intervalo [0, 3π].

64. Se sen(x) = −√

5 e x ∈(π,

3π

2

)então

tg(x) + cotg(x) é 3

2.

11. (UFSC) No livro A hora da estrela de Clarice Lis-pector, a personagem Macabéa é atropelada porum veículo cuja logomarca é uma estrela inscritaem uma circunferência, como mostra a figuraabaixo. Se os pontos A, B e C dividem a circunfe-rência em arcos de mesmo comprimento e a áreado triângulo ABC é igual a 27

√3 cm2, determine

a medida do raio dessa circunferência em centí-metros.

12. (ENEM) Os movimentos ondulatórios (periódi-cos) são representados por equações do tipo ±A ·sen(wt+θ) que apresentam parâmetros com signi-ficados físicos importantes, tais como a frequência:w =

2π

T, em que T é o período; A é a amplitude

ou deslocamento máximo; θ é o ângulo de fase0 ≤ θ2π

w, que mede o deslocamento no eixo hori-

zontal em relação à origem no instante inicial domovimento. O gráfico representa um movimentoperiódico, P = P (t), em centímetro, em que Pé a posição da cabeça do pistão do motor de umcarro em um instante t, conforme ilustra a figura.

A expressão algébrica que representa a posiçãoP (t), da cabeça do pistão, em função do tempo t



é:(a) P (t) = 4sen(2t)(b) P (t) = −4sen(2t)(c) P (t) = −4sen(4t)

(d) P (t) = 4sen(

2t+π

4

)(e) P (t) = 4sen

(4t+

π

4

)13. (ENEM) Uma pista circular delimitada por duas

circunferências concêntricas foi construída. Nacircunferência interna dessa pista, de raio 0,3 km,serão colocados aparelhos de ginástica localizadosnos pontos P, Q e R, conforme a figura.

O segmento RP é um diâmetro dessa circunferên-cia interna, e o ângulo PRQ tem a medida iguala π

5rad. Para uma pessoa ir do ponto P ao ponto

Q andando pela circunferência interna no sentidoanti-horário, ela percorrerá uma distância, emquilômetro, igual a:

(a) 0, 009π(b) 0, 03π(c) 0, 06π(d) 0, 12π(e) 0, 18π

14. (ENEM) Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada em LasVegas. A fugura representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto A representa uma de suascadeiras:

A partir da posição indicada, em que o seg-mento OA se encontra paralelo ao plano do solo,rotaciona-se a High Roller no sentido anti-horário,em torno do ponto O. Sejam t o ângulo determi-nado pelo segmento OA em relação à sua posição

inicial, e f a função que descreve a altura do pontoA, em relação ao solo, em função de t. Após duasvoltas completas, f tem o seguinte gráfico:

A expressão da altura é dada por:

(a) f(t) = 80sen(t) + 88(b) f(t) = 80cos(t) + 88(c) f(t) = 88cos(t) + 168(d) f(t) = 168sen(t) + 88cos(t)(e) f(t) = 88sen(t) + 168cos(t)

15. (ENEM) A rosa dos ventos é uma figura que re-presenta oito sentidos, que dividem o círculo empartes iguais.

Uma câmera de vigilância está fixada no teto deum shopping e sua lente pode ser direcionadaremotamente, através de um controlador, paraqualquer sentido. A lente da câmera está apontadainicialmente no sentido Oeste e seu controladorefetua três mudanças consecutivas, a saber:

• 1a mudança: 135◦ no sentido anti-horário;• 2a mudança: 60◦ no sentido horário;• 3a mudança: 45◦ no sentido anti-horário.

Após a 3a mudança, ele é orientado a reposicionara câmera, com a menor amplitude possível, nosentido Noroeste (NO) devido a um movimentosuspeito de um cliente. Qual a mudança de sen-tido o controlador deve efetuar para reposicionara câmera?

(a) 75o no sentido horário(b) 105o no sentido anti-horário(c) 120o no sentido anti-horário(d) 135o no sentido anti-horário



(e) 165o no sentido horário

16. (ENEM) Sobre um sistema cartesiano considera-seuma malha formada por circunferências de raioscom medidas dadas por números naturais e por12 semirretas com extremidades na origem, sepa-radas por ângulos de π

6rad, conforme a figura.

Suponha que os objetos se desloquem apenaspelas semirretas e pelas circunferências dessamalha, não podendo passar pela origem (0;0).Considere o valor de π com aproximação de,pelo menos, uma casa decimal. Para realizaro percurso mais curto possível ao longo damalha, do ponto B até o ponto A, um objeto devepercorrer uma distância igual a:

(a) 2π1

3+ 8

(b) 2π2

3+ 6

(c) 2π3

3+ 4

(d) 2π4

3+ 2

(e) 2π5

3+ 2

9 Gabarito

1. Item (e): A função f(x) = sec(x) é positivano intervado (−π3 ,

−π2 ) e negativa no intervalo

( 5π2 ,

10π3 ).

2. Item (b): a2 + b2 = 2 + 2c

3. Item (b):√2+√6

4

4. Item (e): 1 + 2sen2(x)

5. Item (e): 1112π

6. Item (b): [0, 2]7. Soma dos itens corretos: 25. Item 01: Correto.

Item 02: Incorreto. Item 04: Incorreto. Item 08:Correto. Item 16: Correto.

8. Soma dos itens corretos: 07. Item 01: Correto.Item 02: Correto. Item 04: Correto. Item 08:Incorreto. Item 16: Incorreto.

9. Soma dos itens corretos: 08. Item 01: Incorreto.Item 02: Incorreto. Item 04: Incorreto. Item 08:Correto.

10. Soma dos itens corretos: 08. Item 01: Incorreto.Item 02: Incorreto. Item 04: Incorreto. Item 08:Correto. Item 16: Incorreto. Item 32: Incorreto.Item 64: Incorreto.

11. 6 cm.

12. Item (a): P (t) = 4sen(2t)

13. Item (d): 0, 12π

14. Item (a): f(t) = 80sen(t) + 88

15. Item (e): 165o no sentido horário

16. Item (a): 2π13 + 8


matematica: geometria´a soma dos seus ângulos internos sempre resulta em180 . ... entre quais...

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