Washington Franco MathiasJosé Maria Gomes

MatemáticaFinanceira

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5ª Edição

Capítulo 6

MODELOSGENÉRICOS

DE ANUIDADESMathiasGomes

Modelos Genéricos deAnuidades

Anuidades Diferidas: são aquelas em que os ter-mos são exigíveis pelo menos a partir do segundoperíodo.

Carência: é o intervalo de tempo do diferimento.

Calcula-se o Valor Atual pelo modelo básicomais um cálculo de equivalência para a data focalzero.

O cálculo do Montante é feito pelo Modelo Básico.

EXEMPLO

MathiasGomes

ExemploUma pessoa vai receber dezesseis prestações mensais iguais a $ 400,00, com um diferimento de 15 meses:

400 400 400 400

(Meses)0 1 2 ... 15 16 17 ... 30 31 ... 39 40

Sendo a taxa de juros igual a 2% a.m., pergunta-se:a) Qual o valor atual das prestações na data zero ?b) Qual o montante na data focal 40 ?

MathiasGomes

ExemploResolução: a) Valor do principal na data focal zero:

400 400 400 400

(Meses)0 1 2 ... 15 16 17 ... 30 31 ... 39 40

Procedemos de duas etapas:I) Calculamos o principal na data focal 15, segundo o modelobásico:

P0

P15

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Exemplo

II) A seguir, achamos o valor atual na data focal zero e à taxade 2% a.m.:

08,431.5$577709,1300,400

.

15

15

15

==

¬=

PxP

aRP 16 2

38,035.4$345868,1

08,431.5)02,1(

0

15

150

≅=

=

P

PP

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Exemplob) Montante na data focal 40:

O montante na data focal 40 pode ser obtido diretamente dovalor atual (P0):

28,910.8$208040,238,035.4

)02,1.(38,035.4)1(

40

40

4040

40040

===

+=

PxP

PiPP

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Modelo Genéricos deAnuidades

Anuidade em que o período dos termosnão coincide com aquele a que se referea taxa.

• Supondo os termos constantes e periódicos;

• Calcula-se a taxa equivalente ao período dos termos e recai-se no modelo básico.

EXEMPLO

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ExemploUm aparelho de som estereofônico é vendido em 5 prestaçõesde $ 2.000,00 a serem pagas a cada 2 meses. Sendo a taxa dejuros cobrada de 3% a.m., qual o valor do aparelho à vista ? SeSe o mesmo aparelho pudesse ser pago em uma única vez após10 meses, qual a quantia que a loja cobraria, admitida a mesmataxa de juros ?Resolução: Graficamente, a situação é a seguinte:

2.000 2.000 2.000 2.000

(Meses)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P0

2.000

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ExemploComo a taxa de juros está referida em termos mensais e asprestações estão referidas a bimestres, calculamos a taxa bi-mestral equivalente:

1 + i’ = (1 + 0,03)2

i’ = 1,0609 -1i’ = 0,0609 a.b. ou i’ = 6,09% a.b.

Agora temos uma anuidade nas mesmas condições domodelo básico, pois a taxa se refere ao mesmo intervalo de tempo dos termos e podemos calcular:

a) Preço à vista:

¬= aRP .0 n i

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Exemploonde: R = 2.000,00 por bimestre

i = i’ = 6,09% a .b.n = 5 bimestres

Portanto:

14,404.8$202070,400,000.2

202070,40609,0.)0609,1(

1)0609,1(

0

0

5

5

==

=¬

−=¬

PxP

a

a5 6,09

5 6,09

E o valor atual:

Concluímos que o preço do aparelho à vista é $ 8.404,14.

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Exemplob) Preço após 10 meses:

O montante na data focal 10 pode ser obtido por capitalizaçãodireta:

P10 = P0 (1 + i’)5

P10 = 8.404,14 (1,0609)5

P10 = 8.404,14 x 1,343916P10 = $ 11.294,46

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Modelo Genéricos deAnuidades

Anuidade com termos constantes, segundo omodelo básico, mais parcelas intermediáriasiguais.

• Uniformiza-se a anuidade, de modo que todosos termos sejam iguais entre si e com taxas de juros referida ao período dos termos. Esta é umaanuidade tipo modelo básico.

• Por diferença calcula-se o valor das parcelas in-termediárias. Recai-se no modelo básico.

EXEMPLO

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ExemploUm carro é vendido em oito prestações mensais. As prestaçõesde ordem ímpar são iguais a $ 1.000,00, enquanto que as de or-dem par são iguais a $ 2.000,00. Considerando-se a taxa de ju-ros de 2% a.m., qual é o preço à vista ?

Resolução: Graficamente, tem-se:

2.000 2.000 2.000 2.000

(Meses)0 1 2 3 4 5 6 7 8

1.000 1.000 1.000 1.000

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Exemploa) Uniformizando a anuidade de modo a se ter 8 termos iguais a$ 1.000,00:

1.000 1.000 1.000 1.000

(Meses)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

P0

1.000 1.0001.0001.000

O valor atual (P0’) dessa anuidade na data focal zero, é:

MathiasGomes

Exemplo

1.000 1.000

(Meses)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

P0

1.000 1.000

48,325.7$'325481,7000.1'

.'

0

0

0

==

¬=

PxP

aRP 8 2

b) Considerando apenas a diferença entre a anuidade original ea anuidade uniformizada (item a), obtemos a anuidade consti-tuída pelas parcelas intermediárias:

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ExemploCalculando-se a taxa equivalente bimestral, tem-se:

..%04,4..0404,0')02,1('1 2

babaii

===+

Podemos calcular agora:

48,626.3$''626476,300,000.1''

626476,30404,0.)0404,1(

1)0404,1(

0

0

4

4

==

≅−

=¬

PxP

a 4 4,04

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ExemploAgora podemos determinar o preço do carro à vista:

96,951.10$48,626.348,325.7

'''

0

0

000

=+=

+=

PP

PPP

Logo, o preço do carro à vista é $ 10.951,96.

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Modelo Genéricos deAnuidades

Anuidade compostas por duas anuidadesdiferidas em seqüência.

Calcula-se o Valor Atual em datas focais intermediárias e, em seguida, o valor atual na data focal zero.

O montante pode ser obtido a partir dovalor atual, fazendo-se a capitalização até a da-ta focal requerida.

EXEMPLO

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ExemploUma pessoa comprou um gravador, para pagar em 7 presta-ções, do seguinte modo:- 3 prestações de $ 100,00 no 7°, 8° e 9° mês:- 4 prestações de $ 100,00 no 13°, 14°, 15° e 16° mês.A taxa de juros cobrada foi de 2% a.m. Pergunta-se o valordo gravador à vista.

Resolução: O cálculo é o seguinte:

39,288$883883,2.00,100

.00,100

6

6

6

==

¬=

PP

aP3 2

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ExemploE, para a segunda anuidade:

77,380$807729,300,100

.00,100

12

12

12

==

¬=

PxPaP

31,556$23,30008,256)1()1(

0

0

12

12

6

60

=+=

++

+=

PP

iP

iPPPortanto:

Portanto, o preço do gravador à vista é $ 556,31.

4 2

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Modelo Genéricos deAnuidades

Anuidades Perpétuas

• São as anuidades com duração ilimitada. • Só tem sentido calcular o valor atual, porque o montante será infinito.• O valor atual é dado por:

iRP =

P = valor atualR = termo constantei = taxa de juros

EXEMPLO

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ExemploSe um apartamento está rendendo um aluguel de $ 500,00 pormês e se a taxa da melhor aplicação no mercado financeiro éde 1% a.m., qual seria uma primeira estimativa do valor do i-móvel.

Resolução: Admitindo-se as hipóteses de duração ilimitada doapartamento e de ser o aluguel constante, tem-se:

00,000.50$01,000,500

==

=

P

iRP

Ou seja, numa primeira aproximação, o imóvel seria avaliadoem $ 50.000,00.

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Modelo Genéricos deAnuidades

Anuidades Variáveis: são anuidades cujos ter-mos não são iguais entre si.Dada uma anuidade:- Temporária;- Imediata e postecipada;- Periódica.

O Valor Atual é a soma dos valores atuaisde cada um de seus termos.

O Montante pode ser obtido pela soma domontante de cada um dos seus termos.

EXEMPLO

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ExemploUm terreno foi comprado para ser pago em 5 prestações tri-mestrais, com os seguintes valores:1° trimestre: 20.000,002° trimestre: 5.000,003° trimestre: 10.000,004° trimestre: 3.000,005° trimestre: 30.000,00Sendo a taxa de juros para aplicações financeiras vigente nomercado de 2,5% a.m., pergunta-se o valor do terreno à vis-ta.

Resolução: Como a taxa de juros está referida ao mês e asprestações são trimestrais, calculamos a taxa trimestral equi-valente:

MathiasGomes

Exemplo

Calculando-se o valor atual de cada prestação à taxa de jurosi’, tem-se:

Portanto, o preço do terreno à vista é de, aproximadamente,$ 54.000,00

49,835.53$03,714.2067,230.230,007.849,311.400,572.18

)07689,1(000.30

)07689,1(000.3

)07689,1(000.10

)07689,1(000.5

)07689,1(000.20

0

0

543210

=++++=

++++=

PP

P

..%689,7..07689,0')025,1('1

)1('13

3

tataii

ii

===+

+=+

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