Facilitador: Eduardo José Freire

Matemática Financeira e suas aplicações

"Seja qual for o caminho escolhido, mesmo o de palhaço, a pessoa tem que estudar

muito."  [ Renato Aragão]

BIBLIOGRAFIA

• ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 11. ed. São Paulo: Atlas, 2009.

Podemos conceituar matemática financeira, de maneira simplista, como o ramo da matemática que tem como objeto de estudo o comportamento do dinheiro ao longo do tempo.

A matemática financeira é estudada desde os primórdios dos tempos, quando o empréstimo de um bem era acompanhado, por ocasião da sua devolução, de uma parte chamada de juro, que podia ser semente, trabalho humano executado ou mesmo moeda.

Capital (PV)Juro (J)Taxa de juro (i)Período de tempo (n)Montante (FV)Prestações ou Rendas (PMT)Valor Presente Líquido (NPV)Taxa Interna de Retorno (IRR)

Capital

É qualquer valor em moeda disponível de imediato. É o dinheiro hoje. É o principal em uma operação de empréstimo. É chamado de valor presente. É representado pela sigla PV.

Juro: Conceito

Define-se juros como sendo:remuneração do capital emprestado em

atividades produtivas;custo do capital de terceiros;remuneração paga pelas instituições

financeiras sobre o capital nelas aplicado.

Taxa de JurosÉ o coeficiente que determina o valor do juro.

As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa unitária.

Exemplo:

20%

0,20

• Taxa Nominal: A taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida.

• Exemplos:• 12,0% ao ano com capitalização mensal.• 4,50% ao semestre com capitalização mensal.• 3,00% ao ano com capitalização trimestral.•

• Taxa Efetiva: A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.

• Exemplos:

• 12,0% ao mês com capitalização mensal.

• 4,50% ao semestre com capitalização semestral.

• 1,30% ao ano com capitalização anual.

• Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

•

Período de tempo (n)

É o tempo transcorrido entre o início de uma operação financeira,e o vencimento de uma prestação, um depósito bancário de poupança etc.

Diagrama do fluxo de caixa

Representa entradas e saídas de caixa, indicados por setas : para baixo significa saída e para cima, entrada; dispostas em um eixo horizontal, representam o tempo (em dias, semanas, etc.)

Nas pontas das flechas são colocados os valores representativos de entrada ou saída.

Regimes de Capitalização

Os regimes estudados na Matemática Financeira são conhecidos como: Regime de Capitalização Simples e Regime de Capitalização Composta.

• Os regimes de capitalização demonstram como os juros são formados e sucessivamente incorporados no decorrer do tempo. Existem dois regimes: simples (ou linear) e composto (exponencial)

Regime de Capitalização Simples

Comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo.Os juros incidem sobre o capital inicial da operação (aplicação ou empréstimo)Apenas o capital inicial, também chamado de principal, rende juros.

Regime de Capitalização Composta

Incorpora ao capital não somente os juros referentes a cada período, mas também os juros sobre juros acumulados até o momento anterior. É um comportamento equivalente a uma progressão geométrica (PG) no qual os juros incidem sempre sobre o saldo apurado correspondente (e não unicamente sobre o capital inicial)

PRINCIPAL JUROS MONTANTE(Início do Ano) PRODUZIDOS (Final do Ano)

1 1.000,00 80 1.080,002 1.000,00 80 1.160,003 1.000,00 80 1.240,004 1.000,00 80 1.320,001 1.000,00 80 1.080,002 1.080,00 86,4 1.166,403 1.166,00 93,31 1.259,314 1.259,71 100,78 1.360,49

ANO

FÓRMULAS NA CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

• J = PV x n x i

• FV = PV (1 + i x n) = fator de capitalização (ou de valor futuro – FCS)

• PV = FV / (1 + i x n) = fator de atualização (ou de valor presente – FAS)

• 01) Um capital de R$ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período.

• 02) Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em R$ 270.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.

• 03) Um capital de R$ 40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses, produzindo um rendimento financeiro de R$ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros oferecida por esta operação.

• 04) Uma aplicação de R$ 250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado período, juros, ao valor de R$ 27.000,00. Calcular o prazo da aplicação.

Juros Simples ( J = PV x i x n)

Há basicamente três tipos de juros simples: comercial, exato e bancário. A seguir, uma pequena explicação sobre as diferenças de cada um.

• 5)   (KUHNEN, 2008). Calcular os juros ordinários, juros, exatos e juros pela regra dos banqueiros de um capital de R$ 100.000,00 aplicados de 15/07/2008 a 15/09/2008 em um banco que cobra juros simples de 30% ao ano.

• a) Pelo juro ordinário ou comercial;• b) Pelo juro exato;• c) Pela regra dos banqueiros.•

• Com 31 dias (Janeiro , Março , Maio , Julho , Agosto , Outubro, Dezembro)

• Com 28 ou 29 dias (Fevereiro)

• Com 30 dias (Abril, Junho, Setembro, Novembro)

• 1. Juro comercial, ordinário e bancário: nessa modalidade, todos os meses terão 30 dias, e o ano terá 360 dias.

• 2. Juro exato: nessa modalidade, os meses seguem a realidade (28, 29, 30 ou 31 dias, conforme o mês e o ano - bissexto ou não). E o ano apresenta 365 ou 366 dias.

• 3. Juro bancário: nessa modalidade, os meses seguem a realidade (28, 29, 30 ou 31 dias, conforme o mês e o ano - bissexto ou não). O ano possui 360 dias, como o juro comercial.

• * para cálculo de juros, deve-se considerar o dia inicial do intervalo, e desconsiderar o dia final.

• Formas de se resolver juros simples exato:1. Descobrir se o ano é ou não bissexto (isso impacta no mês de fevereiro, e na própria duração do ano);

• 2. Realizar a contagem de quantos dias o capital foi aplicado. Conta-se o primeiro dia de aplicação, e não conta-se o dia do resgate;

• 3. A taxa deve estar no período anual ou diário, para facilitar o cálculo.

05) Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determine o valor acumulado ao final deste período.

06) Uma dívida de R$ 900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida.

Taxas Proporcionais.

• Para se compreender mais claramente o significado destas taxas deve-se reconhecer que toda operação envolve dois prazos: (1) o prazo a que se refere à taxa de juros; e (2) o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros. (ASSAF NETO, 2001).

• A taxa proporcional de juros também é chamada de taxa nominal ou linear.

• A aplicação de taxas proporcionais é muito difundida, principalmente em operações de curto e curtissimo prazo, tais como: cálculo de juros de mora, descontos bancários, créditos de curtíssimo prazo, apuração de encargos sobre saldo devedor de conta corrente bancária, etc

• No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou lineares) e taxas equivalentes são consideradas a mesma coisa, sendo indiferente a classificação de duas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes.

• 07) Calcular a taxa anual proporcional a: (a) 6% ao mês; (b) 10% ao bimestre.

• Solução:

•

08) Calcular a taxa de juros semestral proporcional a:

a) 60% ao ano

b) 9% ao trimestre

9) Demostre se 36% ao ano é proporcional a 12% ao trimestre

10) Calcular o montante de um capital de R$ 600.000,00 aplicado à taxa de 2,3% ao mês pelo prazo de 1ano e 5 meses.

• 11) Uma dívida de R$ 30.000,00 a vencer dentro de um ano é saldada 3 meses antes. Para a sua quitação antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. Apurar o valor da dívida a ser pago antecipadamente.

• 12) Um capital de R$ 500.000,00 se aplicado a 2,5% ao mês ou 15% ao semestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros?

12) Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira R$ 18.000,00 resgatando R$ 21.456,00 quatro meses depois. Calcular a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicação.

13) Se uma pessoa necessitar de R$ 100.000,00 daqui a 10 meses, quanto deverá aplicar hoje num fundo de poupança que remunera a taxa linear de 12% ao ano.

14) Determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com um capital triplique de valor após 2 anos.

15) Um título com valor nominal de R$ 7.200,00 vence em 120 dias. Para uma taxa de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular o valor deste título:

• Hoje

• Dois meses antes de seu vencimento

• Um mês após o seu vencimento

• 16) Uma pessoa deve dois títulos no valor de R$ 25.000,00 e R$ 56.000,00 cada. O primeiro título vence de hoje a 2 meses, e o segundo um mês após. O devedor deseja propor a substituição destas duas obrigações por um único pagamento ao final do 5° mês. Considerando 3% ao mês a taxa corrente de juros simples, determinar o valor deste pagamento único.

• 17) Uma dívida no valor de R$ 48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor pretende resgatar a dívida pagando R$ 4.800,00 hoje, R$ 14.000,00 de hoje a dois meses, e o restante um mês após a data de vencimento. Sendo o momento deste último pagamendo definido como a data focal da operação, e sabendo-se ainda que é de 34,8% ao ano a taxa linear de juros adotada nesta operação, determinar o montante do pagamento.