1MATEMÁTICA E

01) C

A razão dessa PA vale:

r = 2150 50012 1−−( )

= 150

Portantoa10 = a1 + (10 – 1) . 150a10 = 500 + (9 . 150)a10 = 1850R$1850,00

02) F – V – V – V – V

a) Falso. Na sequência 3 temos que a razão r = –2. Portanto a8 = –2(–2)8 – 1

a8 = –2(–128) = +256

b) Verdadeira. Na sequência 1 a razão da P.A. é r = 5. Portanto,

a10 = 3 + (10 – 1) . 5 a10 = 3 + 45 = 48

c) Verdadeira. Em uma P.A., r = an – an – 1

r = 8 – 3 = 5

d) Verdadeira. A sequência 3 é uma P.G. de razão r = 12

,

portanto

a5 = 32 . 12

3216

5 2 =−

= 2

a7 = 32 . 12

3264

7 1 =−

= 12

a5 + a7 = 2 + 12

= 4 1

2+

= 52

e) Verdadeira.

03) a) 12 b) 3050

a) Sendo a5 = 20 e a5 = 2 . 5 + k, então 2 . 5 + k = 20 ⇒ k = 10. Portanto a1 = 2 . 1 + 10 = 12.

b) Sendo essa sequência uma P.A. temos:

S50 = 12 50

250+( )a . , em que

a50 = 2 . 50 + 10 = 110, então

S50 = 12 110 502

+( ) . = 3050

Matemática E – Superintensivo

Exercícios

04) 12

01. Falso. Essa P.A. tem razão r = 1, portanto 150 = 20 + (n – 1) . 1 n = 150 – 19 n = 13102. Falso. O comprimento da circunferência é dado

por P = 2 . π. r. Portanto P1 = 40π e P150 = 300π

Então PP150

1

30040

7 5= =π

π,

04. Verdadeira. D = 2 . R. Portanto r = D2 – D1 = 42 – 40 = 208. Verdadeira. P = 2 . π. r, portanto a soma dos

comportamentos é

Sp = 2 . π. SR = 2 . π. 20 1502

130+

=

Sp = 2 . π. 11135 = 22270π mm Sp = 2227π cm

05) C

Se a sequência é dada pelos múltiplos de 13, então a razão dessa P.A. é 13. Agora basta definir os termos inicial e final.

Faça x = 10013

= 7,6 ≅ 8

e y = 100013

≅ 76, em que

a1 = x . 13 = 104 e an = y . 13 = 998, entãoan = a1 + (n– 1) . r998 = 104 + (n – 1) . 13n ≅ 69

06) A

Números que faltam {1; 5; 9; 13}S = 1 + 5 + 9 + 13 = 28

07) 28

01. Falso. Primeiro encontramos as raízes. x2 – 3x – 4 = 0 S = 3 e P = –4, então x' = – 1 e x" = 4 Dessa forma r = 4 – 1 = 3 e a3 = –1 + (3 – 1) . 3 a3 = 702. Falso. Pois 25

53525

≠

04. Verdadeiro. Pois ee

ee

x

x

x

x

2 3

2= = ex.

2 MATEMÁTICA E

08. Verdadeira. Não é ímpar, portanto n = 2 . x + 1 ∀ x

∈ N. Então 27 = 3 + [ (2x + 1) –1] . r

Tome n2

, então

an2

= 3 + (x + 1 – 1) . 12x

= 15

16. Verdadeira.

08) C

Número total de comprimidos Sn =+

=( ) .1 15 15

2120

Sendo x o número de comprimidos de 20 mg e y o de 30 mg, temos que

x y

x y

. .20 30 2540

120

+ =+ =

10y = 140y = 14

09) A

(log3 x, log3 3x, log3 9x)então(log3 x, log3 3 – log3 x, log3 3

2 + log3 x)é o mesmo que(log3 x, 1 + log3 x, 2log3 3 + log3 x)então(log3 x, 1 + log3 x, 2 + log3 x)que é uma P.A. de razão 1

10) B

Sendo Sn = 15n – n2

Então

S20 = 15 20 204

2. − = –25

S1 = a1 = 15 14

144

−=

Agora pela expressão da soma dos números de uma P.A. temos,

S20 =

144

20

2

20+

a .

= –25

1404

+ a20 = –25

a20 = –6

11) 22

01. Errada. Sendo F + x . n Temos que 40 convidados, F + x . 40 = 440 e para 100 convidados F + x . 100 = 800

Substituindo temos

x =

−−

= =800 440100 40

3606

6( )

e F = 800 – 600 – 200 Então para 55 convidados T = 200 + 6,55 = 530,00

02. Errada.

Sendo S = aq

1

1− a soma infinita de termos de uma

P.G é que:

R1 = a . 34

e R2 = a1

2 então

q = RR

a

a2

1

1

1

4

2 3

2

3= =

.

. . e

S = R R1 1

2

31 2

3 3

−= =. ( )

04. Errada. Veja que: P = a1 . a2 . ... an

P = a1 . 2a2 . ... nan

P = a1 . (1 + 2 + 3 + ... + n) P = ak k!

08. Errada. Não, pois seu determinado é igual a zero.

16. Correta. Pela determinação de logarítimo a sequên-cia será uma P.A. de razão 1.

12) A

Sendo a P.G.: (x, 4, y, z) = (4q

, 4, 4q, 4q2) e a

P.A. (x, y, x – 2) = (4q

, 4q, 4q2 – 2)

Portanto

4q =

44 2

2

2

qq+ −

8q = 4q

+ 4q2 – 2

4q3 – 8q2 – 2q + 4 = 08q2 = 4 + 4q3 – 2q (4 – 2)(4q2 – 2) = 0

q = 2 , q' = 22

ou q" = – 22

Como y < 0 entãoz = 4q2

z = 4 −

22

2

z = 4 . 24

= 2

3MATEMÁTICA E

13) C

A soma dos 100 primeiros termos da progressão arit-mética é:

a a1 100

2100

+( ). , então

a1 + a100 = 2

Segundo o mesmo raciocínio

S'100 = a a101 200 100

2200

+( )=

., então

a101 + a200 = 4

Veja quea100 + a1 + 99ra101 = a1 + 100r ea200 = a1 + 199r

Portantoa a

a a1 100

101 200

200

4

+ =+ =

⇒2 99 2

2 299 4200 2

101

12

a r

a rr

r

+ =+ =

⇒ == −

Portantoa2 – a1 = 10–2

14) E

Veja queDet A = –1000 ⇒ a1 . a4 . a6 = –1000como a4 = 10 entãoa1 . a6 = –100, para d > 0,

a a d

a a d

a d

aa d

d4 1

6 1

1

11

3

5

10 3

1005

= += +

⇒= +

− =

⇒=

.55

51a =−

Portantoad

1 55

1=− =

15) C

Do enunciado temos que a quantidade depositada pelo mais novo é dada por

an n

n =+( )12

onde

an = 1 + (n – 1) . r onde r = 1 e a depositada pelo mais velho é:Sn = 10 . n

PortantoSn = 10 nSn = Sy 1 1 1

2+ + −( )n n. = 10 n

2 + n – 1 = 20n = 21

16) 14

Sendo a1 =  5 e q = 5

01. a122 =  5 . 5 121

a122 =  5 . 5 . 5 120

a122 = 5 . ( 5 2)60

a122 = 5 . 560 = 561

02. Correto. Pela preposição anterior.

04. Correto. Pois, rkk

= ( )5 5 2. onde K = 2x ∀ x ∈ R

08. A = π . rk . h como A é uma constante,

hh

AA

k

k

k

k−

−

= =1

21

2

5

5

15π

π. .

16. Veja que π . 20 = 5π . h ⇒ h = 20

5

Portanto AT = 2π . 5 . 20

5 . 20

55+

AT = 2π . 20 5 20

5

+

≈ 119

17) 25

Temos que (h, d, D) valem (h, h + 1, h + 2) então D2 = h2 + d2

fica:h2 + 4h + 4 = h2 + h2 + 2h + 1h2 – 2h – 3 = 0 ⇒ h' = –1 e h" = 3

Como h > 0 entãoD = h + 2 e d = h + 1 = 4

01. h. d . D = 60 cm3

02. Seja V = Ab . h onde a aresta da base vale,

2a2 = d2 ⇒ a = 42

4 22

2

= = 2 2

Portanto V = (2 2)2 . 3 = 24 cm2

04. Como Ab = (2 2)2 = 8 cm2 e Al = 2 2 . 3 = 6 2 cm2

então AT = 2 . Ab + 4Al AT = 4 (4 + 3 2) cm2

08. O raio da circunferência vale

r = a2

2 22

= = 2

Portanto Ac = πr2 = 2π cm2.

16. P = h + d + D = 12 cm.

4 MATEMÁTICA E

18) B

Veja que o volume total das esferas vale:VT = (0,5) + 2(0.5) + 22(0,5) ... + 2n–1 (0,5)

VT = 0,5 . 1 2 2 22 1

5

+ + + +[ ]−... n

� ���������� ����������

Sendo S uma P.G. temos,

VT

h h

=−( )

−

=

−12

1 2 12 1

2 12

.

Como o volume do recipiente valeVR = 40 . 25 . 20 = 20000 então para VE > VR temos,2 1

2

h− > 20 000 ⇒ n ≥ 16

21) 14

01. Não, forma uma progressão geométrica. 02. Total percorrido por Pedro:

DP = Sn = a a nn1

2

+( ) onde an = 3,0 + 0,5 . 3 = 4,5

Portanto

DP = 3 4 5 42+( ), . = 15 km

Total percorrido por João DJ = 6 . 4 = 24 km

• Tempo total gasto por Pedro • TP = 30 . 4 = 120 min • Tempo total gasto por João • TJ = 40 . 4 = 160 min

Portanto a média de velocidade dos dois valem

MJ = DT

P

P

=15000

120 = 125 m/min

MJ = DT

J

J

=24000

160 = 125 m/min

04. Veja que a10 = 3,0 + (10 – 1) . 0,5 a10 = 7,5 km.

08. DP = 3 0

213, +( )a

. 13 onde

a13 = 3,0 + (13 – 1) . 0,5 = 9

Portanto

DP = 12 132. = 78 km

DJ = 6 . 13 = 78 km

16. a15 = 3,0 + (15 – 1) . 0,5 = 10

Então DP = 3 0 10 132

, .+( )

D10P = 84,5 km e D10J = 6 . 15 = 90 km D10J – D10P = 5,5 km

22) 94

01. Veja que em A,

a3 = 3 3 12+( )

= 6 portanto

63

31

≠ ⇒ não é uma P.G

02. Como B é uma P.A então an = 1 +(n + 1) . 3 = 28 ⇒ 2n – 3 + 1 = 28 ⇒ n = 10

04. Veja que, A = {1, 3, 6, 10, 21, 28, 36 ...} e B = {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28} Então (A ∩ B) = {1, 10 , 28}

A

B D C

Como a, b e c formam uma P.A.

Então(a, b, c) = (a, a + r, b + 2r)

Portanto o perímetro do triângulo vale32 = 3x + 2y = 2x + 2(2x + 2r)x + r = 8

Por Pitágoras,y2 = x2 + z2

(x + 2r)2 = x2 + (x + r)2

Então x2 – 2xr – 3r2 = 0

Substituindo temos, x2 – 2x(8 – x) – 3(8 – x)2 = 03x = 192 ⇒ x = 6e r = 2

PortantoAC = 6 + 2 . 2 = 10

20) A

Sendo "a" a projeção AC na base BC, b = AC e C = AD então

19) E

Do desenho vamos que os raios das semi-circunferên-

cias seguem uma P.G de razão q = 12

e a1 = 1 portanto

Sa

q∞ = −=−=1

11

112

2

PortantoP = 2 . π . R

5MATEMÁTICA E

08. Sendo a3 = 6 e b9 = 25 Então {x, a3, y, by – 1} = {x, 6, y, 24} Como é uma P.G então

24 6y x= ⇒ 24x = 6y ⇒ y = 4x

e sendo x + y = 15 ⇒ x + 4x = 15 x = 3 e y = 12

16. A sequência C = (cn), em que cn = a2n – 2an ⇒ c1 = 3 – 2 = 1 e c2 = 10 – 6 = 4 e c3 = 21 – 12 = 9 e c4 = 36 – 20 = 16 Portanto C = {1, 4, 9, 16, ...}

32. A quantidade de números que se pode formar é 31 = 6

64. A média dos elementos de B é dada por

S10

101 28 10

2 10145=

+( )=

.,

Portanto S8 = 8 . 14,5 = 116 e então 145 – 116 = 29 onde 29 = an – 28 – n

23) C

Veja que para I(In) = 2 precisa que

Sn – 1

32 = 2 onde

Sn é a soma dos termos da progressão In de razão

q = 12

e c1 = 1

Sn

n

n

=

−

−= +

112

1

12

12

12

2.

.

Então

212

21

322.

+ − =

n

⇒ n = 6

24) D

Como f(x) ≥ 0 temos|f(x)| = f(x). Portanto

f x n( )... ...

41 2

349

23

94

1

3 1+ + + + +

≤

−

−

f x( )4

13

94

≤ ⇒ f(x) 3

Como f(x) = |13 – log x| segue que|13 – log x| 3 então100 x 106

25) E

Como se trata de uma permutação com repetção temos que

P612 6

1 2720

2360( , ) !

! . != =

Como já tinham feito tantas combinações,R = 360 – 2 = 358

26) D

Veja que existem 4 combinações para a primeira con-soante e portanto 3 para a última. As demais letras permutam livremente sendo que "a" repete.Portanto

N = 3 . 4 . P412 12

41 2

( , ) !! . !

=

= 144

27) C

P263 26

26 32623

( ) !!

!!

=−( )

=

A263 26 25 24 23

2315600( ) . . . !

!= =

A104 = =

106

10 9 8 7 66

!!

. . . . !!

A104 = 5040

PortantoT = 5040 . 15 600T = 78 624 000