3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 3 | MATEMÁTICA 2 1

Matemática 2 aula 15 COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PARA SALA

1. A proporção entre as áreas e os comprimentos corres-pondentes a 1cm é dada por:

A

A

L

L

A

A cm

MAPA

MAPA

MAPA

MAPA

MAPA

MAPA

1

2

1

2

2

2

2

22

8 648972

18

º

º

º

º

º

º

=FHG

IKJ

= FHGIKJ

=

Resposta correta: A

2. Lembrando…

Temos que a área de um paralelogramo pode ser de-

terminada pela relação A = b . H.

Pela figura, podemos garantir que as alturas dos parale-

logramos são iguais pois r1//r2. Como as supostas bases, também são iguais, então suas áreas são iguais.

Resposta correta: C

3. Observe a figura:

A diagonal do paralelogramo divide esse em dois triân-gulos de mesma área: A A

sen

sen

RETÂNGULO TRIÂNGULO=

=

=

2

27 7

249

.

.. .

.

α

α

⇒

Para a área do retângulo ser máxima, sen α tem de ser

máximo, ou seja, sen α = 1 ⇒ α = 90o

L² = 7² + 7² ⇒ L² = 98

Resposta correta: 98

4. I. Temos o triângulo ABC abaixo:

ABP

APC

BP . H BP . HA 40 BP . H 80

2 2PC . H PC . H

A 10 PC . H 202 2

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

II. BP . HPC . H

80 BP4

20 PC= ⇒ =

Resposta correta: A

5. Calculando as áreas dos paralelogramos:

I. A1 = b . c . sen(180o – α) A1 = b . c . senα

II. A2 = b . d . senα

III. A3 = a . c . senα IV. A4 = a . d sen(180o – α) A4 = a . d senα

3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 3 | MATEMÁTICA 2 2

Observe que os produtos das áreas dos quadriláteros opostos são iguais. A1 . A4 = A2 . A3 b . c . senα . a . dsenα = b . d . senα . a . c . senα abcd . sen²α = abcd . sen²α Portanto: A1 . A4 = A2 . A3 ⇒ 14x . 15x = 10x . A3 ⇒ A3 = 21x

Resposta correta: B

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS

1.

As diagonais dividem o losango em quatro triângulos congruentes. ALOSANGO = base x altura 28 = l . 4 l = 7cm O perímetro será: 2p = l + l + l + l = 4l = 4 . 7 = 28cm

Resposta correta: C

2.

Como o quadrilátero é circunscritível, então: l + l = 2 + 8 2l = 10 l = 5

Aplicando o teorema de Pitágoras: l² = h² + 3² 5² = h² + 3² h = 4

Calculando a área:

( ) ( ) 2B b . h 8 2 4A 20 cm

2 2

+ += = =

Resposta correta: A

3. Observe a figura:

I. tgho605

=

h = 5tg60o

h = 5 3

II. AB b h

=+b g2

A =+20 10 5 3

2b g

A = 75 3 Resposta correta: C

4. A base média do trapézio é igual à média das bases do

trapézio.

a b+=

23 ⇒ a + b = 6

Como o perímetro é 24, então: a + b + l + l = 24 6 + 2l = 24 ⇒ 2l = 18 ⇒ l = 9cm Resposta correta: D

3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 3 | MATEMÁTICA 2 3

5. As diagonais de um retângulo dividem-se ao meio, desta maneira:

o

1 2

o

3 4

1 2 3 4RETÂNGULO

2 . 2 sen120 3A A 2 . 3

2 22 . 2 sen60 3

A A 2 . 32 2

A A A A A 4 3

= = = =

= = = =

= + + + =

Resposta correta: A

6. A área de cada quadrado é igual à metade da área do

quadrado anterior, então:

I. 12

AA

2=

II. 23

AA

2=

13

A 2A

2=

3 1A A1 4

=

3

1

A 1A 4

=

Resposta correta: D

7. Observando a figura abaixo, temos:

I. (MC)2 = 22 + 42 = 16 + 4 = 20 ⇒ MC = 20

II. Como o triângulo CDM é retângulo, temos:

CD . DM = DV . MC ⇒ 4 . 2 = DV . 20 ⇒ DV = 4 5

5

III. Também temos no ∆CDM:

(DM)2 = MV . MC ⇒ 22 = MV . 20 ⇒ MV = 2 5

5

IV. Temos que:

1 2CDM(A ) ADN(A )A A= =

3 4BCQ(A ) ABP(A )A A= = 4.22

= 4

V. AMDV A( )5 = MV .DV

2 =

2 5 4 5.

5 52

= 8

10

VI. APINTADA = AABCD – 4 . A1 + 4 . A5 =

(4)2– 4 . 4 + 4 . 8

10 =

3210

= 165

Resposta correta: E 8.

AABPQ = 2 . ABCP ( )

( )

B b h b.h2.

2 21 1 x 1/2

1. x2

2 xx

44x 2 x

5x 2

x 2 5

+=

+ −=

−=

= −==

Resposta correta: B 9. Temos que a área do quadrado é:

A = 36 l2 = 36 l = 6 cm Portanto:

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo:

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R r

R r R

r

R R

2 2 2

2 2

6 3

36 12 9

12 45

4512

3 75

= − +

= − + +=

= ⇒ =

b g

,

Resposta correta: E

10. A área do azulejo é A = 15 x 15 = 225cm²; a área a ser

revestida é A = 90 x 120 = 10.800cm². O número de azulejos é calculado dividindo-se a área a ser revestida pela área do azulejo.

n n azulejos= ⇒ =10 800

22548

.

Resposta correta: 48

11. Considere a figura (quadrilátero) abaixo:

I. A1 = ac sen. 30

2°

= ac4

II. A2 = bc sen. 150

2°

= bc4

III. A3 = bd sen. 30

2°

= bd4

IV. A4 = ad sen. 150

2°

= ad4

V. Atotal = A1 + A2 + A3 + A4 ⇒

S = ac4

+ bc4

+ bd4

+ ad4

⇒

4S = c (a + b) + d (a + b) ⇒ 4S = ( )a b+

123 ( )c d+123

Como as diagonais têm dimensões (a + b) e (c + d), então o produto das medidas das diagonais é: (a + b) (c + d) = 4S

Resposta correta: D

12. Considere a figura abaixo:

I. Como AEEB

= 14

, então, se AE = x, EB = 4x.

II. Como o lado do quadrado é 10cm, pois sua área é

100cm2, então: x + 4x = 10 ⇒ 5x = 10 ⇒ x = 2

III. Encontraremos a área do ∆AEF (A1).

A1 = 2 22.

= 2

IV. Encontraremos a área do ∆BCE (A2)

A2 = 10 8

2.

= 40

V. A área hachurada pode ser dada pela diferença:

AHACHURADA = ATOTAL (QUADRADO) – (A1 + A2) = 100 – (2 + 40) = 100 – 42 = 58 cm2

Resposta correta: E

13. Chamaremos “A1” de área original. Assim, temos:

A2 = A1 + 125A100

= 1125A100

A2 = 1125A100

⇒ 2

1

AA

= 125100

Atenção! Se dois polígonos são semelhantes, então podemos es-crever: l

l1

2

= k ⇒ AA

1

2

= k2, em que l1 e l2 são medidas lineares,

A1 e A2 são as áreas e k constante de proporcionalidade ou fator de semelhança entre as medidas lineares.

Como AA

2

1

= K2 e AA

2

1

= 125100

, então:

K2 = 125100

⇒ k = 5 510

⇒ k = 0,5 . 5

Resposta correta: E

14. De acordo com as orientações dadas no enunciado,

temos: I. Área original (A1)

3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 3 | MATEMÁTICA 2 5

A1 = ab

II.

A2 = A1 + 54 ⇒ A2 = ab + 54

III.

A3 = A1 – 46 ⇒ A3 = ab – 46

IV. A2 = ab + 54 ⇒ (a + 3) (b + 2) = ab + 54 ⇒ ab + 2a + 3b + 6 = ab + 54 ⇒ 2a + 3b = 48

V. A3 = ab – 46 ⇒ (a – 2) (b – 3) = ab – 46 ⇒

ab – 3a – 2b + 6 = ab – 46 ⇒ – 3a – 2b = – 52 ⇒ 3a + 2b = 52

VI. A partir do sistema 2 3 48

3 2 52

a b

a b

+ =

+ =RST

temos:

5a + 5b = 100 ⇒ a + b = 20 VII. Como o perímetro original é 2a + 2b, temos:

2P = 2a +2b ⇒ 2P = 2 (a + b), como a + b = 20, temos que 2P = 2 . 20 = 40

Resposta correta: C

+