apostila mat2

Matemática II

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEDISCIPLINA: MATEMÁTICA II

PROFESSORA: JULIANA

Eixos Coordenados

Consideremos um plano e duas retas perpendiculares, sendo uma delas horizontal e a outra vertical. A horizontal será denominada Eixo das Abscissas (eixo OX) e a Vertical será denominada Eixo das Ordenadas (eixo OY). Os pares ordenados de pontos do plano são indicados na forma P=(x,y) onde x será a abscissa do ponto P e y a ordenada do ponto P.

Na verdade, x representa a distância entre as duas retas verticais indicadas no gráfico e y é a distância entre as duas retas horizontais indicadas no gráfico. O sistema de Coordenadas Ortogonais é conhecido por Sistema de Coordenadas Cartesianas e tal sistema possui quatro regiões denominadas quadrantes.

Distância entre dois pontos do plano cartesiano

Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa a é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos b e c, isto

Dados P=(x1,y1) e Q=(x2,y2), obtemos a distância entre P e Q, traçando as projeções destes pontos sobre os eixos coordenados, obtendo um triângulo retângulo e usando o Teorema de Pitágoras.

O segmento PQ é a hipotenusa do triângulo o segmento PR é um cateto e o segmento QR é o outro cateto, logo:

[d(P,Q)]2 = [d(P,R)]2 + [d(Q,R)]2

Pré-Vestibular Popular da UFF na

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE DISCIPLINA: MATEMÁTICA II

PROFESSORA: JULIANA

Consideremos um plano e duas retas perpendiculares, vertical. A horizontal

será denominada Eixo das Abscissas (eixo OX) e a Vertical será denominada Eixo das Ordenadas (eixo OY). Os pares ordenados de pontos do plano são indicados na forma P=(x,y) onde x será a abscissa do ponto P e y a ordenada do

Na verdade, x representa a distância entre as duas retas verticais indicadas no gráfico e y é a distância entre as duas retas horizontais indicadas no gráfico. O sistema de Coordenadas Ortogonais é conhecido por Sistema de

tal sistema possui quatro

Distância entre dois pontos do plano cartesiano

Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa a é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos b e c, isto é, a2=b2+c2.

), obtemos a distância entre P e Q, traçando as projeções destes pontos sobre os eixos coordenados, obtendo um triângulo retângulo e usando o

O segmento PQ é a hipotenusa do triângulo retângulo PQR, o segmento PR é um cateto e o segmento QR é o outro

Como:

[d(P, R)]2 = | x1 - x2| 2 = (x1 -

e

[d(Q,R)] 2 = | y1 - y2| 2 = (y1 -

então

Exemplos: A distância entre P=(2,3) e Q=(5,12)

√(2-5)2 +(3-12)2 = √90 (raiz quadrada de 90)

A distância entre a origem O=(0,0) e um ponto P=(x,y) é dada por:

Ponto médio de um segmento

Aplicação: Dados os pares ordenados P=(xQ=(x2,y2), pode-se obter o Ponto Médio M=(xestá localizado entre P e Q.

O ponto médio é obtido com o uso da média aritmética, uma vez para as abscissas e outra vez para as ordenadas.

xm = (x1 + x2)/2, ym = (y1 + y

Observação: O centro de gravidade(ou Baricentro) de um triângulo plano cujas coordenadas dos vértices são A=(x1,y1), B=(x2,y2) e C=(x3,y

G=((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3 )

Retas no plano cartesiano

Na Geometria Euclidiana, dados dois pontos PP2=(x2,y2) no plano cartesiano, existe uma única reta que passa por esses pontos. Para a determinação da equação de uma reta existe a necessidade de duas informações e dois

ibular Popular da UFF na Engenharia

1

x2)2

- y2)2

A distância entre P=(2,3) e Q=(5,12) é:

90 (raiz quadrada de 90)

A distância entre a origem O=(0,0) e um ponto P=(x,y) é

Ponto médio de um segmento

Dados os pares ordenados P=(x1,y1) e se obter o Ponto Médio M=(xm,ym) que

O ponto médio é obtido com o uso da média aritmética, uma vez para as abscissas e outra vez para as ordenadas.

+ y2)/2

O centro de gravidade(ou Baricentro) de um rdenadas dos vértices são

,y3), é:

)/3 )

Na Geometria Euclidiana, dados dois pontos P1=(x1,y1) e ) no plano cartesiano, existe uma única reta que

pontos. Para a determinação da equação de uma reta existe a necessidade de duas informações e dois

Matemática II

conceitos importantes são: o coeficiente angular da reta e o coeficiente linear da reta.

Coeficiente angular de uma reta: Dados os pontos P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2), com x1 x2, o coeficiente angular k da reta que passa por estes pontos é o número real

Significado geométrico do coeficiente angular:coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do ângulo alfa que a reta faz com o eixo das abscissas.

Se o ângulo está no primeiro quadrante ou no terceiro quadrante, o sinal do coeficiente angular é positivo e se o ângulo está no segundo quadrante ou no quarto quadrante, o sinal do coeficiente angular é negativo.

Coeficiente linear de uma reta: é a ordenadponto (0,w) onde a reta cortou o eixo das ordenadas.

Retas horizontais e verticais: Se uma reta é vertical ela não possui coeficiente linear e coeficiente angular. Assim, a reta é indicada apenas por x=a, a abscissa do ponto onde a reta cortou o eixo OX.

Se uma reta é horizontal, o seu coeficiente angular é nulo e a equação desta reta é dada por y=b, ordenada do ponto onde está reta corta o eixo OY.

1)Equação reduzida da reta


conceitos importantes são: o coeficiente angular da reta e o

Dados os pontos , o coeficiente angular

da reta que passa por estes pontos é o número real

Significado geométrico do coeficiente angular: O coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do ângulo alfa que a reta faz com o eixo das abscissas.

e o ângulo está no primeiro quadrante ou no terceiro quadrante, o sinal do coeficiente angular é positivo e se o ângulo está no segundo quadrante ou no quarto quadrante,

é a ordenada (altura) w do ponto (0,w) onde a reta cortou o eixo das ordenadas.

Se uma reta é vertical ela não possui coeficiente linear e coeficiente angular. Assim, a reta é indicada apenas por x=a, a abscissa do ponto onde

Se uma reta é horizontal, o seu coeficiente angular é nulo e é dada por y=b, ordenada do ponto

Dado o coeficiente angular k e o coeficiente linear w de uma reta, então poderemos obter a equação da reta através de sua equação reduzida dada por:

y = k x + w

Exemplos

1. Se k=5 e w=-4, então a reta é dada por y=5x2. Se k=1 e w=0, temos a reta (identidade) y=x.3. Se k=0 e w=5, temos a reta y=5.

1. a) Reta que passa por um ponto e tem coeficiente angular dado: Uma reta que passa por um ponto P=(xe tem coeficiente angular k, é dada por:

y - yo = k (x - xo)

Exemplos

1. Se P=(1,5) pertence a uma reta que tem coeficiente angular k=8, então a equação da reta é y=8(x

2. Se uma reta passa pela origem e tem coeficiente angular k= -1, então a sua equação é dada por: x.

1. b)Reta que passa por dois pontos:(x1,y1) e (x2,y2) não estão alinhados verticalmente, podemos obter a equação da reta que passa por estes pontos com:

Retas paralelas e perpendiculares

Retas paralelas: Duas retas no plano são parambas são verticais ou se têm os mesmos coeficientes angulares.

Exemplos

1. x=3 e x=7 são retas paralelas.2. As retas y=34 e y=0 são paralelas.


2

Dado o coeficiente angular k e o coeficiente linear w de uma reta, então poderemos obter a equação da reta através de sua equação reduzida dada por:

4, então a reta é dada por y=5x-4. Se k=1 e w=0, temos a reta (identidade) y=x. Se k=0 e w=5, temos a reta y=5.

a) Reta que passa por um ponto e tem coeficiente Uma reta que passa por um ponto P=(xo,yo) te angular k, é dada por:

Se P=(1,5) pertence a uma reta que tem coeficiente angular k=8, então a equação da reta é y=8(x-1)+5. Se uma reta passa pela origem e tem coeficiente

1, então a sua equação é dada por: y=-

Reta que passa por dois pontos: Se dois pontos ) não estão alinhados verticalmente, podemos

obter a equação da reta que passa por estes pontos com:

Retas paralelas e perpendiculares

Duas retas no plano são paralelas se ambas são verticais ou se têm os mesmos coeficientes

x=3 e x=7 são retas paralelas. As retas y=34 e y=0 são paralelas.

Matemática II

3. As retas y=2x+5 e y=2x-7 são paralelas.

Retas perpendiculares: Duas retas no plano são perpendiculares se uma delas é horizontal e a outra é vertical, ou, se elas têm coeficientes angulares k' e k" tal que k'k"=-1.

Exemplos

1. As retas y=x+3 e y=-x+12 são perpendiculares, pois k'=1, k"=-1 e k'k"=-1.

2. As retas y=5x+10 e y=(-1/5)x-100 são perpendiculares, pois k'=5, k"=-1/5 e k'k"=

Equação geral da reta

Toda reta no plano cartesiano pode ser escrita pela sua equação geral:

a x + b y + c = 0

Exemplos

1. Se a=-1, b=1 e c=-1, tem-se a reta 2. Se a=0, b=1 e c=0, tem-se a reta y=0.3. Se a=1 , b=0 e c=5 , tem-se a reta x+5=0.

Distância de um ponto a uma reta no plano

Seja um ponto P=(xo,yo) e uma reta r no plano definida por ax+by+c=0.

A distância d=d(P,r) do ponto P à reta r pode ser obtida pela fórmula abaixo:

Exemplo: A distância de (0,0) à reta 5x+12y+25=0


7 são paralelas.

Duas retas no plano são e uma delas é horizontal e a outra é

vertical, ou, se elas têm coeficientes angulares k' e k" tal

x+12 são perpendiculares,

100 são 1/5 e k'k"=-1.

Toda reta no plano cartesiano pode ser escrita pela sua

se a reta -x+y-1=0. se a reta y=0.

reta x+5=0.

Distância de um ponto a uma reta no plano

) e uma reta r no plano definida por

A distância d=d(P,r) do ponto P à reta r pode ser obtida

A distância de (0,0) à reta 5x+12y+25=0 é:

Área de um triângulo no plano cartesiano

Dado um ponto (x1,y1) localizado fora de uma reta que passa pelos pontos (x2,y2) e (xdo triângulo cujos vértices são estes três pontos, bastando para isto determinar a medida da distância entre (x2,y2) e (x3,y3

a distância de (x1,y1) à reta que contém os outros dois pontos.

Como o processo é bastante complicado, apresentamos um procedimento equivalente muito bonito, simples memorizar.

A área do triângulo é dada pela metade do valor absoluto do determinante da matriz indica pela expressão:

Exemplo: A área do triângulo cujos vértices são (1,2), (3,4) e (9,2) é igual a 8, pois:

Colinearidade de 3 pontos no plano:plano, (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3) são colineares se pertencem à mesma reta.

Um processo simples sugere que estes três pontos formem um triângulo de área nula, assim basta verificar que o determinante da matriz abaixo deve ser nulo.

Exemplo: Os pontos (2,0), (1,1) e (0,2) são colineares pois:


3

Área de um triângulo no plano cartesiano

) localizado fora de uma reta que ) e (x3,y3), pode-se calcular a área

do triângulo cujos vértices são estes três pontos, bastando para isto determinar a medida da base do triângulo que é a

3) e a altura do triângulo que é ) à reta que contém os outros dois

Como o processo é bastante complicado, apresentamos um procedimento equivalente muito bonito, simples e fácil de

A área do triângulo é dada pela metade do valor absoluto do determinante da matriz indica pela expressão:

A área do triângulo cujos vértices são (1,2), (3,4) e (9,2) é igual a 8, pois:

Colinearidade de 3 pontos no plano: Três pontos no ) são colineares se pertencem à

Um processo simples sugere que estes três pontos formem um triângulo de área nula, assim basta verificar que o determinante da matriz abaixo deve ser nulo.

Os pontos (2,0), (1,1) e (0,2) são colineares pois:

Matemática II

IMPORTANTE: Podemos utilizar as características de três pontos colineares para encontrar a equação da reta que passa por dois pontos. Sendo os dois pontos A(xy0) e B(x1, y1) e C um ponto genérico(incógnitas da equação) C (x,y), a fim de que esses três pontos sejam colineares devemos ter o determinante formado pelas coordenadas de A,B e C nulo.

Circunferências no plano

Do ponto de vista da Geometria Euclidiana, uma circunferência com centro no ponto (a,b) de um plano e tendo raio r, é o lugar geométrico de todos os pontos (x,y) deste plano que estão localizados à mesma distância r do centro (a,b).

A equação reduzida desta circunferência é dada por:

(x - a)2 + (y - b)2 = r2

Disco circular é a região que contém a circunferência e todos os pontos contidos no interior da circunferência.

Exemplo: A equação da circunferência com centro em (2,3) e raio igual a 8 é:

(x - 2)2 + (y - 3)2 = 82

A equação da circunferência com centro na origem (0,0) e raio r, recebe o nome de forma canônica da circunferência e é dada por:

x2 + y2 = r2

Equação geral da circunferência: Dada a equação (xa)2+(y-b)2=r2, podemos desenvolver a mesma para obter a forma geral da circunferência:

x2 + y2 + A x + B y + C = 0

Exemplo: A equação geral da circunferência com centro em (2,3) e raio r=8 é:


IMPORTANTE: Podemos utilizar as características de três pontos colineares para encontrar a equação da reta que passa por dois pontos. Sendo os dois pontos A(x0,

érico(incógnitas da equação) C (x,y), a fim de que esses três pontos sejam colineares devemos ter o determinante formado pelas

Do ponto de vista da Geometria Euclidiana, uma ponto (a,b) de um plano e

tendo raio r, é o lugar geométrico de todos os pontos (x,y) deste plano que estão localizados à mesma distância r do

A equação reduzida desta circunferência é dada por:

região que contém a circunferência e todos os pontos contidos no interior da circunferência.

A equação da circunferência com centro em

A equação da circunferência com centro na origem (0,0) e da circunferência

Dada a equação (x-, podemos desenvolver a mesma para obter a

A equação geral da circunferência com centro

x2 + y2 - 4x - 6y - 51 = 0

Equação da circunferência com centro em um ponto e passando em outro: Dado o centro O=(a,b) da circunferência e um outro ponto Q=(xcircunferência, pode-se obter o raio da mesma através da distância entre O e Q e se utilizar a equação normal da circunferência para se obter a sua equação.

Exemplo: A circunferência centrada em (3,5) que passa em (8,16) tem raio tal que:

r2 = (8-3)2 + (16-5)2 = 25+121 = 146

logo, a sua equação é dada por:

(x-3)2 + (y-5)2 = 146

Posições entre ponto e circunferência no plano cartesiano Dada uma circunferência no plano cartesiano de equação (x – a)² + (y – b)² = r², podemos dizer que o ponto em relação à circunferência dada é externo, interno ou tangente. Ponto externo à circunferência (dPC > r)

(x – a)² + (y – b)² – r² > 0 Ponto tangente à circunferência (dPC = r)

(x – a)² + (y – b)² – r² = 0


4

Equação da circunferência com centro em um ponto e Dado o centro O=(a,b) da

circunferência e um outro ponto Q=(xo,yo) que pertence à se obter o raio da mesma através da

distância entre O e Q e se utilizar a equação normal da circunferência para se obter a sua equação.

A circunferência centrada em (3,5) que passa em

5+121 = 146

logo, a sua equação é dada por:

Posições entre ponto e circunferência no plano

Dada uma circunferência no plano cartesiano de equação (x b)² = r², podemos dizer que o ponto em relação

ência dada é externo, interno ou tangente.

Ponto externo à circunferência (dPC > r)

Ponto tangente à circunferência (dPC = r)

Matemática II

Ponto interno à circunferência (dPC < r)

(x – a)² + (y – b)² – r² < 0

Posições entre reta e circunferência no plano cartesiano Reta externa à circunferência

Reta tangente à circunferência

Reta secante à circunferência


Posições entre reta e circunferência no plano cartesiano

Para determinarmos a distância entre uma reta e uma circunferência e, ao mesmo tempo, a posição relativa entre elas, aplicamos a seguinte expressão: Reta externa à circunferência



Exemplo 1 Dada a circunferência (x – 2)² + (y 6y – 72 = 0, verifique sua posição perante a circunferência e a distância entre elas. Temos que a circunferência possui centro (2,1) e raio = 5. A reta possui coeficientes: a = 8, b = 6

Reta tangente à circunferência, pois o raiocentro da circunferência até a reta são iguais.

Determinando os pontos de interseção entre reta e circunferência

Para determinar os pontos do plano Cartesiano que pertencem à uma dada reta e também à uma circunferência, basta resolver o sistema formado por suas respectivas equações. Considerando o exemplo 1, teremos:

(x – 2)² + (y – 1)² = 25 (1ª equação)

r: 8x + 6y – 72 = 0 (2ª equação)

Assim, substituindo y = -4/3x + 12, na 1ª obteremos: (x – 2)² + ((-4/3x +12) 2)² + (-4/3x +11) ² que é uma equação de 2º grau, podendo ser resolvida facilmente utilizandoBháskara.

Lembrando que a quantidade de raízes de uma equação de 2º grau, pode ser descoberta por seu discriminante, teremos uma equação do tipo Ax² + Bx +C = 0 com o discriminante ∆ = B² - 4.A.C, tal que:


5

Para determinarmos a distância entre uma reta e uma circunferência e, ao mesmo tempo, a posição relativa entre elas, aplicamos a seguinte expressão:

Reta externa à circunferência



2)² + (y – 1)² = 25 e reta r: 8x + 72 = 0, verifique sua posição perante a circunferência

Temos que a circunferência possui centro (2,1) e raio = 5. A reta possui coeficientes: a = 8, b = 6 e c = -72.

Reta tangente à circunferência, pois o raio e a distância do centro da circunferência até a reta são iguais.

Determinando os pontos de interseção entre reta e

Para determinar os pontos do plano Cartesiano que a dada reta e também à uma circunferência,

basta resolver o sistema formado por suas respectivas equações. Considerando o exemplo 1, teremos:

1)² = 25 (1ª equação)

72 = 0 (2ª equação)

4/3x + 12, na 1ª equação, 4/3x +12) – 1)² = 25 ou seja, (x –

4/3x +11) ² que é uma equação de 2º grau, podendo ser resolvida facilmente utilizando-se a Fórmula de

Lembrando que a quantidade de raízes de uma equação de de ser descoberta por seu discriminante, teremos

uma equação do tipo Ax² + Bx +C = 0 com o discriminante

Matemática II

Se ∆ > 0, existem duas raízes e a reta é secante à circunferência.

Se ∆ = 0, existem apenas uma raiz e a reta circunferência

Se ∆ < 0, não existe raiz real e a reta é externa à circunferência.

* As raízes encontradas para a equação, são as abscissas dos pontos de intercessão no plano.

Relações importantes no plano cartesiano

Uma relação em um plano é qualquer subcoplano, mas as mais importantes relações, do ponto de vista prático, são as que podem ser representadas por como: retas, parábolas, circunferências, elipses, hipérboles.

Muitos confundem os nomes das linhas que envolvem regiões planas com as próprias regiões. Iremos colorir algumas regiões fechadas para dar mais destaque às curvas que as contém, que são as relações matemáticas.

Seções cônicas

ELIPSE

Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos Fum valor constante 2a , onde a c. Assim é que temos por definição: PF1 + PF2 = 2 a Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia Fé conhecida com distancia focal da elipse.O quociente c/a é conhecido como excentricidadeelipse. Como, por definição, a c, podemos afirmexcentricidade de uma elipse é um número positivo menor que a unidade.

Equação reduzida da elipse de eixo maiorcentro na origem (0,0). Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2a o valor constante com c a, como vimos acima, podemos esPF1 + PF2 = 2.a


ízes e a reta é secante à

= 0, existem apenas uma raiz e a reta é tangente à

ão existe raiz real e a reta é externa à

* As raízes encontradas para a equação, são as abscissas

Relações importantes no plano cartesiano

Uma relação em um plano é qualquer subconjunto deste plano, mas as mais importantes relações, do ponto de vista prático, são as que podem ser representadas por linhas, como: retas, parábolas, circunferências, elipses, hipérboles.

Muitos confundem os nomes das linhas que envolvem om as próprias regiões. Iremos colorir

algumas regiões fechadas para dar mais destaque às curvas que as contém, que são as relações matemáticas.

de um plano, tais que a igual a 2c 0, denomina-

, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a

e a distancia F1F2 da elipse.

excentricidade da

irmar que a excentricidade de uma elipse é um número positivo menor

quação reduzida da elipse de eixo maior horizontal e

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam c,0) os seus focos. Sendo 2a o valor constante

escrever:

onde o eixo A1A2 de medida 2a, é denominado da elipse e o eixo B1B2 de medida 2b, é denominado menor da elipse.

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

Observe que x – (-c) = x + c. Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima e fazendo a2 – c2 = b2 , a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:b2.x2 + a2.y2 = a2.b2 Dividindo agora, ambos os membros por afinalmente:

que é a equação da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).

Caso a elipse possua seu eixo maior vertical

Existe na elipse ainda uma relação entre seus semia distância entre o centro e um dos focos (c); sendo assim numa elipse, sempre temos:

a2 = b2 + c2 , onde:

a = semi eixo maior

b = semi eixo menor

c = distância entre o centro e um dos focos.

Exercícios:


6

de medida 2a, é denominado eixo maior de medida 2b, é denominado eixo

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos,

o acima, vem:

Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima expressão acima depois de

desenvolvida e simplificada, chegará a:

Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem

que é a equação da elipse de eixo maior horizontal e centro

Caso a elipse possua seu eixo maior vertical

Existe na elipse ainda uma relação entre seus semi-eixos e a distância entre o centro e um dos focos (c); sendo assim

c = distância entre o centro e um dos focos.

Matemática II

1 – Determine a excentricidade da elipse de equação 16x25y2 – 400 = 0.

SOLUÇÃO: Temos: 16x2 + 25y2 = 400. Observe quequação da elipse não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:

Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4.Como a2 = b2 + c2 , vem substituindo e efetuando,3 Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60 Resposta: 3/5 ou 0,60.

2 – CESCEA 1969 – Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação 9x2 + 25y2 = 225.

SOLUÇÃO: dividindo ambos os membros por 225, vem:

Daí, vem que: a2=25 e b2=9, de onde deduzimos: a = 5 e b = 3. Portanto, como a2 = b2 + c2, vem que c = 4.Portanto, as coordenadas dos focos são: F1

3 – Determine a distancia focal da elipse 9x=0.

SOLUÇÃO: a elipse é a do problema anterior. Portanto a distancia focal ou seja, a distancia entre os focos da elipse será: D = 4 – (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento).

4 – Calcular a distancia focal e a excentricidade da elipse 25x2 + 169y2 = 4225. 5 – Determinar a equação da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto P(1,1) e tem um foco F(

HIPÉRBOLE

Hipérbole de centro na origem (0,0) Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c se hipérbole, à curva plana cujo módulo da diferença das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a Assim é que temos por definição: PF1 - PF2 = 2 a


Determine a excentricidade da elipse de equação 16x2 +

= 400. Observe que a equação da elipse não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:

= 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4. , vem substituindo e efetuando, que c =

a : e = c/a = 3/5 =

Determine as coordenadas dos focos

dividindo ambos os membros por 225, vem:

=9, de onde deduzimos: a = 5 e b

, vem que c = 4. 1(4,0) e F2(-4,0).

Determine a distancia focal da elipse 9x2 +25y2 – 225

a elipse é a do problema anterior. Portanto a distancia focal ou seja, a distancia entre os focos da elipse

4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento).

Calcular a distancia focal e a excentricidade da elipse

Determinar a equação da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto P(1,1) e tem um foco F(- 6 /2, 0).

de um plano, tais que a 2c 0, denomina-

, à curva plana cujo módulo da diferença das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos

é igual a um valor constante 2a , onde a c.

Os pontos F1 e F2 são denominados é conhecida com distancia focalO quociente c/a é conhecido como hipérbole. Como, por definição, a c, cexcentricidade de uma hipérbole é um número positivo maior que a unidade. A1A2 é denominado eixo real ou eixo transversohipérbole, enquanto que B1Btransverso ou eixo conjugadofigura acima que é válida a relação: c2 = a2 + b2 O ponto (0,0) é o centro da h

2 – Equação reduzida da hipérbole de eixo transverso horizontal e centro na origem (0,0) Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c a, como vimos acim PF1 - PF2 = 2 a Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

Observe que x – (-c) = x + c.Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de simplificada, chegará a: b2.x2 - a2.y2 = a2.b2, onde b2 verificado na figura acima.

Dividindo agora, ambos os membros por afinalmente:

Obs: se o eixo transverso ou eixo real (Ahipérbole estiver no eixo dos y e o eixo não transverso ou eixo conjugado (B1B2) estiver no eixo dos x, a equação da hipérbole de centro na origem (0,0)ser:


7

são denominados focos e a distancia F1F2 distancia focal da hipérbole.

é conhecido como excentricidade da

, concluímos que a excentricidade de uma hipérbole é um número positivo

eixo real ou eixo transverso da 2 é denominado eixo não

transverso ou eixo conjugado da hipérbole. Observe na figura acima que é válida a relação:

O ponto (0,0) é o centro da hipérbole.

Equação reduzida da hipérbole de eixo transverso horizontal e centro na origem (0,0)

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante

ima, podemos escrever:

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos,

Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e

= c2 – a2 , conforme pode ser

Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem

Obs: se o eixo transverso ou eixo real (A1A2) da estiver no eixo dos y e o eixo não transverso

) estiver no eixo dos x, a equação da hipérbole de centro na origem (0,0) passa a

Matemática II

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS

1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 = 0.

SOLUÇÃO: Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:

Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo e efetuando que c = 41 Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = = 1,60 Resposta: 1,60.

2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2 – 9y2 = 225 .

SOLUÇÃO: Dividindo ambos os membros por 225, vem:

Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5. Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c = Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2 34.

OBSERVAÇÃO: Caso as cônicas não estejam centradas na origem, basta localizar o ponto onde a mesma está centralizada no plano cartesiano e acrescentar as coordenadas antecedidas por um sinal de subtração após os coeficientes quadráticos.

Exemplo: Para uma elipse com centro no ponto (2,semi eixo maior horizontal = 5 e semi eixo menor vertical igual a 3, teremos a seguinte equação:

(x -2) 2/25 + (y +1) 2/ 9 = 1

SEQUÊNCIAS:

Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.

Uma seqüência pode ser finita ou infinita. O exemplo dado acima é de uma seqüência finita. Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.


EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS

Determine a excentricidade da hipérbole de equação

= 400. Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:

= 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5. , vem substituindo e efetuando que c =

será igual a : e = c/a = 41 /4

Determine a distancia focal da hipérbole de equação

Dividindo ambos os membros por 225, vem:

=25, de onde vem imediatamente:

= 9 + 25 = 34 e então c = 34. Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será

: Caso as cônicas não estejam centradas gem, basta localizar o ponto onde a mesma está

centralizada no plano cartesiano e acrescentar as coordenadas antecedidas por um sinal de subtração após os

Exemplo: Para uma elipse com centro no ponto (2,-1) de zontal = 5 e semi eixo menor vertical

se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim,

nado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.

Uma seqüência pode ser finita ou infinita. O exemplo dado acima é de uma seqüência finita.

(0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.

Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma: (a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde ao segundo termo, ... , ak é o késimo termo. (Neste caso, k < n).

Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a

São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles. Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3. A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüêntermo geral.

Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo. Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo) correspondente.Assim por exemplo, para n = 20, teremos an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a20) é igual a 65. Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria: S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).

Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la. Seja por exemplo a seqüência de termo geral a10, para n inteiro e positivo. Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como: (15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ). Por exemplo: a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70. 2 - Conceito de Progressão Aritmética

Chama-se Progressão Aritmética numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante drazão.

Exemplos: A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = decrescente)

3 - Termo Geral de uma PA


8

Uma seqüência numérica pode ser representada

, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é é o k-ésimo termo, ... , an é o n-

ésimo termo. (Neste caso, k < n).

Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) a5 = 162, etc.

São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível screver uma relação matemática entre eles.

Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado

A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüência, é denominada

Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja = 3n + 5, onde n é um número natural não

se valores para n, obteremos o ésimo termo) correspondente.

r exemplo, para n = 20, teremos = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa

Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a

ma seqüência, é sempre fácil

Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n +

Nestas condições, podemos concluir que a seqüência

+ 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.

Conceito de Progressão Aritmética - PA

se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente) B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente) C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante) D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA

Termo Geral de uma PA

Matemática II

Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. De acordo com a definição podemos escrever:a2 = a1 + 1.r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r .....................................................

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n – 1) . r A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA. Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.

Exemplos:

Qual o milésimo número ímpar positivo? Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo aNestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999. Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.

Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22)Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n. Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ; logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = -conclui-se que - 80 = - 2n , de onde vem n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos.

Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemos generalizada seguinte forma:

Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e atermo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA,escrever a seguinte fórmula genérica: aj = ak + (j - k).r

Exemplos:

Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão? Temos a5 = 30 e a20 = 60. Pela fórmula anterior, poderemos escrever:a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 ; 60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.

Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo? Temos r = 5, a20 = 8. Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.


, ...) de razão r. De acordo com a definição podemos escrever:

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que:

é denominada termo geral

é o termo de ordem n (n-é o primeiro termo da

Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1=

r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a1000. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:

1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999. Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.

Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ? = 22 e desejamos

Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n

- 2n de onde

Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemos generaliza-la

ésimo termo) da PA e ak o ésimo termo) da PA, poderemos

Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60,

Pela fórmula anterior, poderemos escrever: ndo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r

Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o

+ (3 – 20).5

4 - Propriedades das Progressões Aritméticas

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.

Exemplo: PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2

Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo: Três números estão em PA, ..resolver o problema é considerar que a PA é do tipo: (x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.

Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.

Exemplo: PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s =

Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.

5 - Soma dos n primeiros termos de uma PA

Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, aA soma dos n primeiros termos S+ an , pode ser deduzida facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima.

Temos: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + a

É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como: Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a

Somando membro a membro estas duas i2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (a

Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que: 2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA.

Daí então, vem finalmente que:

Exemplo: Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos. Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )Precisamos conhecer o valor de aMas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000


9

Progressões Aritméticas

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.

PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2

Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo: Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo:

r, x, x + r), onde r é a razão da PA.

Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos

PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r

Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de

Soma dos n primeiros termos de uma PA

, an). A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1

, pode ser deduzida facilmente, da aplicação da

+ an

É claro que também poderemos escrever a igualdade acima

+ a1

Somando membro a membro estas duas igualdades, vem: ) + ... + (an + a1)

Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos

) , de onde concluímos

).n , onde n é o número de termos da PA.

Daí então, vem finalmente que:

Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares

Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) Precisamos conhecer o valor de a200 .

1).r = 1 + 199.2 = 399 = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000

Matemática II

Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.

Exercícios resolvidos e propostos:

1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa? *a) 9 b) 8 c) 7 d ) 6 e) 5

SOLUÇÃO: Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5. Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo aan = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5) an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 2n)/5

A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então: Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 2n)/5].(n/2) Sn = (16n – 2n2) / 10

Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:(16n – 2n2) / 10 < 0

Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter: 16n – 2n2 < 0

Portanto, n(16 – 2n ) < 0 Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acima seja negativo, deveremos ter: 16 – 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8.

Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9. Portanto, a alternativa correta é a letra A.

2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale: a) 8 b) 12 c) 15 *d) 24 e) 33

SOLUÇÃO: Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:


Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares

Qual é o número mínimo de termos que se deve somar :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo,

7/5 = -2/5, ou seja: r =

ésimo termo an:

2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 –

A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista

2n)/5].(n/2) = [(16 –

seja negativa; logo, vem:

Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo,

Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acima seja

2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8.

Como n é um número inteiro positivo, deduzimos

As medidas dos lados de um triângulo são expressas por 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro

5 formam uma P.A. , podemos

2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x 2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 0 3x + 4 – x2 = 0

Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica: x2 – 3x – 4 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = -

Assim, teremos: x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, xsubstituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igua5+8+11 = 24. O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.

4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.Resp: r = -1

SOLUÇÃO: Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde aFazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0. Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada.

1 – Definição

Entenderemos por progressão geométrica qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.

Exemplos: (1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão

2 - Fórmula do termo geral

Seja a PG genérica: (a1, a2, a3

primeiro termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, daescrever: a2 = a1 . q a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . qa4 = a3 . q = (a1 . q

2) . q = a1 . q................................................................................................


10

1) ambos os membros da igualdade

Resolvendo a equação do segundo grau acima - 1.

x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a

O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas. Portanto, a

ativa correta é a letra D.

Numa progressão aritmética, o primeiro termo ésimo termo com o número de termos é

2. Calcule a razão dessa progressão.

+ n = 2, onde an é o n-ésimo termo. + 2 = 2, de onde vem

, que é a resposta procurada.

Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.

(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2 (5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1

,25, ... ) PG de razão 1/2 54,162, ...) PG de razão -3

Fórmula do termo geral

3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o ésimo termo, ou seja, o termo de

a razão da PG, da definição podemos

. q2

. q3

................................................

................................................

Matemática II

Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1 , que é denominada

fórmula do termo geral da PG. Genericamente, poderemos escrever: aj = a

Exemplos:

a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10, vem pela fórmula:a10 = a1 . q

9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024

b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a. q8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q4 Então q4 =16 e portanto q = 2.

Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como: (x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.

3 - Propriedades principais

P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior. Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G) Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; EF etc.

P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante. Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G) Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D

4 - Soma dos n primeiros termos de uma PG

Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn , vamos considerar o que segue:Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razão q veSn . q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q .

Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como: Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q

Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - substituindo, vem: Sn . q = Sn - a1 + an . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:


, que é denominada

= ak . qj-k

se calcular o décimo termo. = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o

pela fórmula:

se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?

= 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4

Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa

em toda PG, um termo é a média geométrica dos

= C . E ; E2 = D .

o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de

Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2

Soma dos n primeiros termos de uma PG

, ...) . Para o cálculo da soma , vamos considerar o que segue:

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem: .q .

Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a

a1 . Logo,

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à

Se substituirmos a n = a1 . qn-1

apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos Temos:

Observe que neste caso a1 = 1.

5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituinencontraremos:

Exemplo: Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50

6 – Exercícios resolvidos e propostos

6.1 - Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e c os tres primeiros termos , pedeb2 + c2 .

Solução: Sendo q a razão da PG, poderemos esgenérica: (x/q, x, xq). Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que:x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9.

Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9qÉ dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q


11

1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)

= 1.

Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no

= 0. Substituindo na fórmula anterior,

Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100 Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50

s resolvidos e propostos

Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e c os tres primeiros termos , pede-se calcular o valor de a2 +

Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma

Como o produto dos 3 termos vale 729, vem: x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que:

, logo, x = 9.

Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo: 9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0

Matemática II

Multiplicando ambos os membros por q, fica:9 + 9q2 – 30q = 0

Dividindo por 3 e ordenando, fica: 3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3.

Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.Portanto, a PG é: 9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.

O problema pede a soma dos quadrados, logo:a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 =

6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é: A)1 *B) 10 C) 100 D) -1 E) -10

Solução: Observe que podemos escrever a soma S como:S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 (10n – 1) S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 –1) Como existem n parcelas, observe que o número (somado n vezes, resultando em n(-1) = - n.

Logo, poderemos escrever: S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n

Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103

, que é uma PG de primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e último termo an = 10n . Teremos: Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 10) / 9 Substituindo em S, vem: S = [(10n+1 – 10) / 9] – n

Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (109

Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 1010) = 10


Multiplicando ambos os membros por q, fica:

10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau. Resolvendo a equação do segundo grau acima

Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar

q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.

9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.

logo: = 729 + 81 + 9 = 819

se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestas

rve que podemos escrever a soma S como: 1) + (10000 – 1) + ... +

– 1) + ... + (10n –

Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é

3 + 104 + ... + 10n = 10, razão q = 10 e

10) / (10 – 1) = (10n+1 –

9(S + n) n + n = (10n+1 – 10) /

encontrado acima, fica: 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 –

PENGE 1

1 .Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5), Y(-4,6), responda: a) Quais as coordenadas do vértice Z do triângulo XYZ? b) Qual o comprimento do segmento BZ? 2. Seja a reta y = -2x, determine:

a) As coordenadas do ponto P que está no segundo quadrante, sobre a reta r e cuja distância ao ponto (0,-1) é √10 unidades;

b) As coordenadas do ponto Q, sobre a reta r, que esmais próximo do ponto (0,

PENGE 2

1-Sendo o ponto P(r - 12, 4r -quadrantes ímpares e P’(s-12, 4sdos quadrantes ímpares, determine:

a) O valor da distância entre P e P’.

b) Qual dos pontos está mais próximo da origem.

2. Considere o gráfico:

a) Obtenha uma equação da reta r

b) Obtenha uma equação da reta s que passa por P e é perpendicular a r.


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se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ 4,6), responda:

) Quais as coordenadas do vértice Z do triângulo

) Qual o comprimento do segmento BZ?

2x, determine:

As coordenadas do ponto P que está no segundo quadrante, sobre a reta r e cuja distância ao ponto

10 unidades; As coordenadas do ponto Q, sobre a reta r, que está mais próximo do ponto (0,-1).

- 6) pertencente a bissetriz dos 12, 4s-13) pertencente a bissetriz

dos quadrantes ímpares, determine:

a) O valor da distância entre P e P’.

ntos está mais próximo da origem.

Obtenha uma equação da reta r

Obtenha uma equação da reta s que passa por P e é

Matemática II

c) Determine o ponto A de interseção de r com a reta s obtida no item b

PENGE 3

PENGE 4

Questão 1


Determine o ponto A de interseção de r com a reta

Questão 2

Verifique se o ponto P está mais próximo da reta r ou da reta s, considerando a figura abaixo.

PENGE 5

1)Sejam os pontos M(6,4) e N(4,8). Se C1 é a circunferência que tem os segmentos MN com um diâmetro, então a equação de C1 é?

2)Dada a circunferência de equação x2+y2 = 5. Determine a posição relativa à circunferência dos pontos : A) (3, 1); B (1/2, 1) e C (1,2). Além disso determine se os pontos A,B e C são ou não colineares. Em caso negativo, determine a área do triângulo formado.

PENGE 6


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Verifique se o ponto P está mais próximo da reta r ou da reta s, considerando a figura abaixo.

1)Sejam os pontos M(6,4) e N(4,8). Se C1 é a circunferência que tem os segmentos MN com um

equação de C1 é?

2)Dada a circunferência de equação x2+y2 = 5. Determine a posição relativa à circunferência dos pontos : A) (3, 1); B (1/2, 1) e C (1,2). Além disso determine se os pontos A,B e C são ou não colineares. Em caso negativo, determine a

Matemática II

1)Identifique se representam e quais são as cônicas a partir de suas equações, determinando:

No caso de circunferência, o centro e o raio.

No caso de elipse ou hipérbole, os eixos e os focos.

No caso de não representar uma cônica, justificar o porquê.

a) 25x2 - 16y2 = 400. b) (x2/100) + (y2/36) =1 c) 9x2 + 5y2 − 45 = 0.

d) 0198422 =+−−+ yxyx

e) 03041022 =+−−+ yxyx

2)Faça o que se pede em cada item:

a)Sendo a elipse x2/36 + y2/64 = 1, determine as coordenadas seus eixos (maior e menor) e seus foco.

b)Sendo a circunferência (x-1)2 + (y-2)2 = 16 e a reta r: y = 2x-3, determine a posição relativa entre elas.

PENGE 7

Questão 3) Determine o(s) valore(s) de K(definido no conjuntos dos reais) para que o ponto A(-2,K) pertença à elipse 9x2+4y2+18x-8y-23= 0

Questão 4)


1)Identifique se representam e quais são as cônicas a partir

No caso de circunferência, o centro e o raio.

No caso de elipse ou hipérbole, os eixos e os focos.

cônica, justificar o

/64 = 1, determine as menor) e seus foco.

= 16 e a reta r: y = 3, determine a posição relativa entre elas.

Questão 3) Determine o(s) valore(s) de K(definido no 2,K) pertença à


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apostila mat2

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