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Conceitos Básicos
Mariana Dias Júlia Justino
Novembro 2010
Conteúdo
1 Cálculo Algébrico 11.1 Conjuntos de Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Conjunto dos números naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Conjunto dos números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Conjunto dos números racionais ou fraccionários . . . . . . . . . . . . 11.1.4 Conjunto dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Expressões Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Polinómios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Fracções Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Equações e Inequações Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1 Equações de 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2 Equações de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3 Equações bi-quadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.4 Inequações de 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Equações e Inequações com Módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Geometria no Plano 362.1 Vectores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Estudo da Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 Equações da recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.1 Elipse e Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3.2 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.3 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Funções Reais de Variável Real 553.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Representação Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3 Transformações do gráfico de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.1 Classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.4.2 Paridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.4.3 Funções periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4.4 Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4.5 Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4.6 Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.7 Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.4.8 Pontos de Inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.9 Função Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5 Operações com Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6 Funções Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.6.1 Função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.6.2 Função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.6.3 Função cúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.6.4 Função algébrica racional fraccionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.6.5 Função algébrica irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.8 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4 Complementos sobre Equações e Inequações Algébricas 1074.1 Equações Fraccionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.2 Inequações de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3 Inequações Fraccionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.5 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1 Cálculo Algébrico
1.1 Conjuntos de Números
1.1.1 Conjunto dos números naturais
N = {1, 2, 3, ...} , onde N0 = {0, 1, 2, 3, ...} .
1.1.2 Conjunto dos números inteiros
Z = {...,−2,−1, 0, 1, 2, ...} , onde Z+ = {1, 2, ...} = N e Z−0 = {...,−2,−1, 0} .
1.1.3 Conjunto dos números racionais ou fraccionários
Definição 1 Designa-se fracção à expressão abonde a é o numerador e b o denomi-
nador. Se o numerador é menor que o denominador, a fracção diz-se própria (por exemplo23, 14, 35); se o numerador é maior ou igual ao denominador a fracção diz-se imprópria (por
exemplo 43, 55, 64); se o numerador é múltiplo do denominador a fracção diz-se aparente (por
exemplo 63, 126, 84).
Definição 2 Chamam-se fracções equivalentes às fracções que representam a mesmaparte do todo (por exemplo, 1
2, 24, 612são equivalentes). Para encontrar fracções equiva-
lentes, basta multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural (porexemplo, 1·2
2·2 =2·34·3 =
612são algumas fracções equivalentes a 1
2). Uma fracção pode ser sim-
plificada se se dividir ambos os termos da fracção pelo factor comum (por exemplo, 9:312:3
= 34
é uma fracção simplificada de 912). Uma fracção que não possa ser simplificada, porque os
termos não possuem nenhum factor em comum, diz-se fracção irredutível.
O conjunto dos números racionais ou fraccionários é constituído por números quese podem escrever na forma de fracção em que o numerador e o denominador são númerosinteiros tais que o denominador nunca se anula, ou seja,
Q =ab: a ∈ Z e b ∈ Z \ {0}
®= {nos racionais} ,
onde números racionais são números representáveis por dízimas finitas ou dízimas infinitasperiódicas.
Operações com números fraccionários
• Adição e subtracção
— Denominadores iguais: Para somar ou subtrair fracções com denominadores iguais,basta somar ou subtrair os numeradores e conservar o denominador.
Exemplo 1 49+ 2
9= 6
9= 2
3; 56− 1
6= 4
6= 2
3.
— Denominadores diferentes: Para somar ou subtrair fracções com denominadoresdiferentes, utiliza-se o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) para obter fracçõesequivalentes, de denominadores iguais ao m.m.c. Depois soma-se ou subtrai-senormalmente as fracções.
Exemplo 2 45+ 5
2, onde o m.m.c.(5,2)=10. Logo, 4
5(×2)+ 5
2(×5)= 8
10+ 25
10= 33
10.
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• Multiplicação: Na multiplicação de fracções, basta multiplicar numerador por nu-merador e denominador por denominador.
Exemplo 3 45× 3
2= 4×3
5×2 =1210= 6
5.
• Divisão: Na divisão de fracções, deve-se multiplicar a primeira fracção pelo inversoda segunda.
Exemplo 4 45÷ 3
2= 4
5× 2
3= 8
15.
• Potenciação: Na potenciação, quando se eleva uma fracção a um determinado ex-poente, está-se a elevar o numerador e o denominador a esse expoente.
Exemplo 5¡45
¢2= 42
52= 16
25.
• Radiciação: Na radiciação, quando se aplica uma raíz a uma fracção, está-se a aplicaressa raíz ao numerador e ao denominador.
Exemplo 6q
425=
√4√25= 2
5.
1.1.4 Conjunto dos números reais
R = Q ∪ {nos irracionais} ,onde os números irracionais são números representáveis por dízimas infinitas não periódi-cas, tais que R \Q = {nos irracionais} .
Propriedade 1 .
1. R = Q·∪ (R \Q);
2. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, isto é:
R
Q
ZN
R \Q
Exemplo 7 −3 = −31= −3.0; 1
8= 0.125; 2
11= 0.181 8(18) são números racionais e√
2 = 1.414 2...; e = 2.718 2...; π = 3.141 5... são números irracionais.
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1.2 Expressões Algébricas
Definição 3 Uma expressão com uma variável diz-se algébrica quando, sobre a variável,não incidem outras operações além de adição, subtracção, multiplicação, divisão ou extracçãode raíz.
Definição 4 Chama-se domínio da expressão algébrica, e representa-se por D, ao con-junto dos números que, substituídos no lugar da variável, dão sentido à expressão.
Exemplo 8 A expressão algébrica 2xtem como domínio D = R \ {0} ; a expressão algébrica√
x+ 3 tem como domínio D = [−3,+∞[ .1.2.1 Polinómios
Definição 5 Chama-se polinómio de grau n numa variável x a toda a expressão algébricade tipo:
anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a1x+ a0
onde an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R e an 6= 0. Neste caso, anxn, an−1xn−1, . . . , a1x, a0 dizem-setermos do polinómio, an, an−1, . . . , a1, a0 coeficientes e a0 diz-se o termo indepen-dente.
Definição 6 Seja P (x) um polinómio de grau n. Diz-se que α ∈ R é uma raíz real de Pse P (α) = 0.
Propriedade 2 Considerando um qualquer polinómio de grau 2, ax2+bx+c, as suas raízesreais podem ser obtidas através da Fórmula Resolvente:
α =−b±
√b2 − 4ac
2a,
onde ∆ = b2 − 4ac é designado por binómio discriminante.
Se ∆
⎧⎨⎩ > 0, então há duas raízes reais e distintas= 0, então há uma raíz real< 0, então não há raízes reais
.
Exemplo 9 Determine as raízes reais de P (x) = x2 + 3x− 4.
Resolução: Usando a fórmula resolvente, tem-se que
P (x) = 0 ⇔ x =−3±√32−4.1.(−4)
2.1= −3±
√9+162
= −3±√25
2= −3±5
2⇔
⇔ x = 1∨ x = −4.
Logo, −4 e 1 são as raízes de P.
Observação 1 .
• Qualquer polinómio de grau n tem no máximo n raízes reais distintas;
• Todo o polinómio de grau ímpar tem pelo menos uma raíz real.
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Definição 7 Dois polinómios dizem-se idênticos se e só se são iguais os coeficientes dostermos do mesmo grau.
Definição 8 Denominam-se de termos semelhantes aos termos do mesmo grau.
Definição 9 Um polinómio diz-se completo quando existem todos os termos desde o termode maior grau até ao termo independente.
Definição 10 Um polinómio com um só termo diz-semonómio, com dois termos binómioe com três termos trinómio.
Exemplo 10 O polinómio x2 + 1 é um binómio não completo de grau 2 que não admiteraízes reais (∆ < 0) .
Operações com polinómios
• Adição: Para adicionar dois polinómios, aplicam-se as propriedades comutativa eassociativa da adição e reduzem-se os termos semelhantes.
Exemplo 11¡3x2 + x+ 1
¢+¡5x2 + 3
¢= 3x2 + x + 1 + 5x2 + 3 =
=¡3x2 + 5x2
¢+ x+ (1+ 3) = 8x2 + x+ 4.
• Subtracção: Para subtrair dois polinómios, adiciona-se ao aditivo o simétrico dosubtrativo.
Exemplo 12¡3x2 + x+ 1
¢−¡5x2 − 3x
¢= 3x2 + x + 1 − 5x2 + 3x =
=¡3x2 − 5x2
¢+ (x+ 3x) + 1 = −2x2 + 4x+ 1.
• Multiplicação: Para calcular o produto de dois polinómios, aplica-se a propriedadedistributiva da multiplicação relativamente à adição e, em seguida, adicionam-se ostermos semelhantes.
Exemplo 13¡3x2 + x+ 1
¢×¡5x2 + 3
¢= 15x4 + 9x2 + 5x3 + 3x + 5x2 + 3 =
= 15x4 + 5x3 + 14x2 + 3x+ 3.
— Casos Notáveis: Há produtos de polinómios que aparecem com muita frequên-cia com variadas aplicações na Matemática e que merecem especial atenção: oquadrado do binómio e a diferença de quadrados.Quadrado do Binómio - o quadrado do binómio obtém-se adicionando o quadradodo primeiro termo com o dobro do produto do primeiro pelo segundo e com oquadrado do segundo termo:
(a+ b)2= a2 + 2ab+ b2.
a
a
b
b
2b
2a
ab
ab a
a
b
b
2b
2a
ab
ab
De notar que se os dois termos do binómio têm o mesmo sinal, o termo 2ab é
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positivo e se têm sinais contrários, o termo 2ab é negativo. Logo,
(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2.
Diferença de Quadrados - o produto de dois polinómios que só diferem no sinalde um dos termos é igual à diferença dos quadrados dos termos:
(a+ b) (a− b) = a2 − b2.
a
b
b
2b
2 2a b−
a
a
b
b
2b
2 2a b−
a
• Divisão: Efectuar a divisão inteira de um polinómio chamado dividendoD (x) de graun, por outro polinómio chamado divisor d (x) de graum, ondem < n, é encontrar umpolinómio quociente q (x) de grau (n−m) e um polinómio resto r (x) de grau < m,em que
D (x)| {z }dividendo
= d (x)|{z}divisor
· q (x)|{z}quociente
+ r (x)|{z}resto
.
A este processo dá-se o nome de Algoritmo da Divisão.
Exemplo 14 Calcule o quociente e o resto da divisão 3x4−4x3−3x+1x−2
.
Resolução:
3x4 −4x3 +0x2 −3x +1 x −2
−3x4 +6x3 3x3 +2x2 +4x +5
2x3 +0x2 −3x +1
−2x3 +4x2
4x2 −3x +1
−4x2 +8x
5x +1
−5x +1011
Assim, q (x) = 3x3 + 2x2 + 4x+ 5 e r (x) = 11, ou seja,
D (x) = 3x4 − 4x3 − 3x+ 1 = (x− 2) ·¡3x3 + 2x2 + 4x+ 5
¢+ 11.
Observação 2 Quando o polinómio r (x) é nulo, ou seja, D (x) = d (x) · q (x) , entãoa divisão inteira dos polinómios é denominada exacta. Diz-se, neste caso, que D (x) édivisível por d (x) .
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Regra de Ruffini - serve para dividir um polinómio D (x) de grau n por um binómiode tipo (x− α). Se D (x) = a0xn + a1xn−1 + a2xn−2 + . . . + an−1x + an, a Regra deRuffini assume o seguinte aspecto:
a0 a1 a2 . . . an−1 anα αq0 αq1 αqn−2 αqn−1
a0 a1 + αq0 a2 + αq1 . . . an−1 + αqn−2 an + αqn−1k k k k kq0 q1 q2 qn−1 r (x)
Assim, D (x) = (x− α) ·¡q0x
n−1 + q1xn−2 + . . .+ qn−1
¢+ r (x) .
Exemplo 15 Calcule o quociente e o resto da divisão 3x4−4x3−3x+1x−2
.
Resolução:3 −4 0 −3 1
2 6 4 8 10
3 2 4 5 11
Assim, q (x) = 3x3 + 2x2 + 4x+ 5 e r (x) = 11, ou seja,
D (x) = 3x4 − 4x3 − 3x+ 1 = (x− 2) ·¡3x3 + 2x2 + 4x+ 5
¢+ 11.
Decomposição de polinómios em factoresSe um polinómio na variável x, de grau n, anxn +an−1xn−1+ . . .+a1x+a0 admite n raízesreais, α1,α2, . . . ,αn, pode escrever-se como um produto:
an (x− α1) (x− α2) . . . (x− αn) , an 6= 0.
Exemplo 16 Decomponha em factores do 1o grau os seguintes polinómios:
1. 2x2 − 12x+ 10;
2. 2 (x− 1)2 − 3 (x− 1) .
Resolução:
1. zeros: 2x2 − 12x+ 10 = 0⇔ x = 12±√144−804
⇔ x = 1∨ x = 5.
Assim, 2x2 − 12x+ 10 = 2 (x− 1) (x− 5) .
2. 2 (x− 1)2 − 3 (x− 1) = (x− 1) [2 (x− 1)− 3] = (x− 1) (2x− 5) .
Propriedade 3 Todo o polinómio P (x) com coeficientes reais pode ser representado comoproduto do coeficiente do termo de maior grau (an) por polinómios do 1o grau do tipo x−α
(em que α toma os valores das raízes reais do polinómio) e polinómios de segundo grau dotipo x2 + bx+ c, sem raízes reais.
Exemplo 17 −3x3 + 6x2 − 9x+ 6 = −3 (x− 1)¡x2 − x+ 2
¢é um polinómio de grau 3 com
uma única raíz real: α = 1.
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Método dos coeficientes indeterminadosEste método baseia-se no princípio de que dois polinómios são idênticos se os coeficientesdos termos do mesmo grau são iguais.
Exemplo 18 Calcule o quociente e o resto da divisão 2x3+3x2+x−52x2−1
.
Resolução: O quociente q (x) será um polinómio de 1o grau, por isso da formaq (x) = ax + b, e o resto r (x) não pode exceder o primeiro grau, da forma r (x) = cx + d,com a, b, c e d ∈ R e a 6= 0. Como
D (x) = d (x) · q (x) + r (x)
vem2x3 + 3x2 + x− 5 =
¡2x2 − 1
¢· (ax+ b) + (cx+ d) .
Efectuando-se os cálculos no 2o membro
2x3 + 3x2 + x− 5 = 2ax3 + 2bx2 − ax− b+ cx+ d = 2ax3 + 2bx2 + (c− a) x+ (d− b) .
Obtem-se dois polinómios, um no 1o membro e outro no 2o, que são idênticos. Pode-se entãoescrever ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
2 = 2a
3 = 2b
1 = c− a
−5 = d− b
⇔⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩a = 2
2= 1
b = 32
1 = c− 1
−5 = d− 32
⇔⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩a = 1
b = 32
c = 2
d = −72
.
Então q (x) = x+ 32e r (x) = 2x− 7
2.
1.2.2 Fracções Algébricas
Definição 11 Dados dois polinómios P (x) e Q (x) , onde Q (x) é um polinómio não nulo,designa-se fracção algébrica a toda a expressão da forma P(x)
Q(x), isto é, o quociente entre
dois polinómios. A incógnita x poderá tomar qualquer valor real, desde que o seu valor nãoanule o denominador. Ao conjunto de números que, substituídos no lugar da variável, dãosentido à expressão dá-se o nome de domínio da fracção algébrica, e representa-se porD.
Existem muitas semelhanças nas definições e operações entre fracções algébricas e númerosfraccionários.
Definição 12 Consideremos uma fracção algébrica P(x)
Q(x)tal que Q (x) 6= 0. Se P (x) e Q (x)
são divisíveis pelo mesmo polinómio d (x) , então existem dois polinómiosM (x) e N (x) que:P (x) =M (x) · d (x) e Q (x) = N (x) · d (x) com N (x) 6= 0, verificando-se:
P (x)
Q (x)=M (x) · d (x)N (x) · d (x) =
M (x)
N (x).
Diremos que M(x)
N(x)é a simplificação de P(x)
Q(x).
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Assim, para simplificar fracções algébricas, depois de factorizados o numerador e o deno-minador, dividem-se ambos os termos pelos factores comuns, não esquecendo o domínio emque a simplificação é válida.
Definição 13 Duas fracções P(x)
Q(x)e M(x)
N(x)são equivalentes se uma delas é a simplificação
da outra.
Exemplo 19 Simplifique as seguintes fracções algébricas, indicando os respectivos domínios:
1. x+2x2+4x+4
;
2. (x2−1)(x2−4)(x−1)(x+2)(x−3)
.
Resolução:
1. x+2x2+4x+4
= x+2
(x+2)2= 1
x+2, onde D = R \ {−2} .
2. (x2−1)(x2−4)(x−1)(x+2)(x−3)
= (x−1)(x+1)(x−2)(x+2)
(x−1)(x+2)(x−3)= (x+1)(x−2)
(x−3), onde D = R \ {−2, 1, 3} .
Definição 14 Dadas as fracções P(x)
Q(x)e M(x)
N(x)tais que Q (x) 6= 0 e N (x) 6= 0, as expressões
P (x) ·N (x)Q (x) ·N (x) e
M (x) ·Q (x)N (x) ·Q (x)
são expressões algébricas equivalentes às dadas e com igual denominador. A Q (x) · N (x)dá-se o nome de denominador comum.
Método para determinar o Mínimo Denominador Comum
1. Factorizam-se os polinómios dos denominadores;
2. Multiplicam-se todos os factores diferentes;
3. Se existem factores com a mesma base, mas expoente diferente, considera-se o que temmaior expoente.
Operações com Fracções Algébricas
• Adição e subtracção: Para somar ou subtrair duas ou mais fracções algébricas,devem-se reduzir todas ao mesmo denominador comum e só depois somar ou subtrairos polinómios.
P (x)
Q (x)±M (x)
N (x)=P (x) ·N (x)Q (x) ·N (x) ±
M (x) ·Q (x)Q (x) ·N (x) =
P (x) ·N (x)±M (x) ·Q (x)Q (x) ·N (x) .
• Multiplicação: Para multiplicar duas ou mais fracções algébricas, devem-se multi-plicar os polinómios dos numeradores entre si, e os denominadores entre si.
P (x)
Q (x)×M (x)
N (x)=P (x) ·M (x)
Q (x) ·N (x) .
8 Novembro de 2010
• Divisão: O quociente de duas fracções algébricas fica definido através da multiplicaçãoda primeira fracção pelo inverso da segunda.
P (x)
Q (x)÷M (x)
N (x)=P (x)
Q (x)× N (x)
M (x)=P (x) ·N (x)Q (x) ·M (x)
.
Exemplo 20 Efectue os cálculos e simplifique, indicando os respectivos domínios:
1. 2x+2
− 2x+1;
2. x− 2x+1x−1
;
3. x2+3xx2−4
× x+2x+3;
4. x+3x2÷ x2+1
x−1.
Resolução:
1. 2x+2
− 2x+1
= 2x+2(x+1)
− 2x+1(x+2)
= 2(x+1)−2(x+2)
(x+2)(x+1)= 2x+2−2x−4
(x+2)(x+1)= − 2
x2+3x+2, onde
D = R \ {−2,−1} .
2. x− 2x+1x−1
= x2−x−2x−1x−1
= x2−3x−1x−1
, onde D = R \ {1} .
3. x2+3xx2−4
× x+2x+3
=(x2+3x)(x+2)(x2−4)(x+3)
= x(x+3)(x+2)
(x−2)(x+2)(x+3)= x
x−2, onde D = R \ {−3,−2, 2} .
4. x+3x2÷ x2+1
x−1= x+3
x2× x−1
x2+1= (x+3)(x−1)
x2 (x2+1)= x2+2x−3
x4+x2, onde D = R \ {0, 1} .
1.3 Equações e Inequações Algébricas
Definição 15 A equação algébrica é uma igualdade entre duas expressões matemáti-cas que podem conter uma ou mais variáveis (ou incógnitas) sujeitas a operações algébri-cas (adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação). Por exemplo, ax + b = 0,
x2 − 2x = 1, ax4 = bx. O objectivo é obter o conjunto de todos os possíveis valores quepodem assumir as incógnitas da equação. Toda a equação tem:
• uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveisou incógnitas;
• um sinal de igualdade (=) ;
• uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro daesquerda;
• uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro dadireita.
As expressões do 1o e 2o membros da equação chamam-se termos da equação.
−3
incógnita%x + 4| {z }
1o membro
= 10|{z}2o membro
9 Novembro de 2010
Resolver uma equação significa obter o valor da incógnita ou das incógnitas, isto é, obter asraízes da equação.Quando se adiciona (ou se subtrai) valores iguais em ambos os membros da equação, elapermanece em equilíbrio. Da mesma forma, ao multiplicar ou dividir ambos os membros daequação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. É este o processo quepermite resolver uma equação.
1.3.1 Equações de 1o grau
Definição 16 As equações de 1o grau com uma variável são da forma mx+ b = 0, comm, b ∈ R, m 6= 0.
Exemplo 21 Resolva a seguinte equação algébrica −3x+ 4 = 10.
Resolução:
−3x+ 4 = 10⇔ Equação inicial⇔ −3x+ 4− 4 = 10− 4⇔ Subtraímos ambos os membros por 4⇔ −3x = 6⇔⇔ −3x−3= 6
−3⇔ Dividimos ambos os membros por − 3⇔ x = −2 C.S. = {−2} é a solução da equação.
1.3.2 Equações de 2o grau
Definição 17 Uma equação de 2o grau na incógnita x é da forma ax2+bx+c = 0, ondeos números a, b e c são os coeficientes da equação, sendo a 6= 0. Estas equações podem sercompletas, se todos os coeficientes são diferentes de zero, ou incompletas, se b = 0 ou c = 0ou b = c = 0.
Resolução de equações completasSabemos que uma equação completa de 2o grau é uma equação do tipo ax2+bx+c = 0, ondetodos os coeficientes são diferentes de zero. Para a resolver, basta usar a fórmula resolvente.
Exemplo 22 Resolva as seguintes equações completas de 2o grau:
1. x2 − 6x+ 8 = 0;
2. x2 − 10x+ 25 = 0;
3. x2 + 2x+ 7 = 0.
Resolução:
1. x2 − 6x+ 8 = 0⇔ x = 6±√36−322
⇔∆>0
x = 6±√4
2⇔ x = 6±2
2⇔ x = 4∨ x = 2, ou seja, a
equação tem duas raízes reais, C.S. = {2, 4} .
2. x2 − 10x + 25 = 0 ⇔ x = 10±√100−1002
⇔∆=0
x = 6±02⇔ x = 3, ou seja, a equação tem
uma raíz real, C.S. = {3} .
3. x2 + 2x+ 7 = 0 ⇔ x = −2±√4−282
⇔∆<0
x = −2±√−24
2, ou seja, a equação não tem raízes
reais, C.S. = ∅.
10 Novembro de 2010
Resolução de equações incompletas
• Equações do tipo ax2 = 0Basta dividir toda a equação por a (a 6= 0) para se obter x2 = 0. Assim, a equaçãotem como conjunto solução C.S. = {0} .
• Equações do tipo ax2+c = 0Basta dividir toda a equação por a (a 6= 0) e passar o termo constante para o segundomembro para se obter x2 = − c
a. Se− c
a< 0, não existe solução no conjunto dos números
reais; se − ca> 0, a equação tem duas raízes, x = −
p− ca∨x =
p− ca, sendo o conjunto
solução C.S. =©−p− ca,p− ca
ª.
• Equações do tipo ax2+bx = 0Neste caso, factorizando a equação, obtem-se x (ax+ b) = 0. Assim, a equação teráduas raízes x = 0∨ x = −b
a, sendo o conjunto solução C.S. =
©0,−b
a
ª.
Exemplo 23 Resolva as seguintes equações incompletas de 2o grau:
1. 4x2 = 0;
2. 4x2 − 8 = 0;
3. x2 + 5 = 0;
4. 4x2 − 12x = 0.
Resolução:
1. 4x2 = 0⇔ x2 = 0⇔ x = 0, ou seja, C.S. = {0} .
2. 4x2 − 8 = 0 ⇔ 4x2 = 8 ⇔ x2 = 84⇔ x2 = 2 ⇔ x = −
√2 ∨ x =
√2, ou seja,
C.S. =−√2,√2®.
3. x2 + 5 = 0⇔ x2 = −5 equação impossível, ou seja, C.S. = ∅.
4. 4x2 − 12x = 0 ⇔ x (4x− 12) = 0 ⇔ x = 0 ∨ 4x − 12 = 0 ⇔ x = 0 ∨ 4x = 12 ⇔⇔ x = 0∨ x = 124⇔ x = 0∨ x = 3, ou seja, C.S. = {0, 3} .
1.3.3 Equações bi-quadradas
Definição 18 As equações bi-quadradas são equações de 4o grau na incógnita x de formageral ax4 + bx2 + c = 0. Na verdade, esta equação pode ser escrita como uma equação de2o grau, através da substituição y = x2, obtendo-se ay2 + by + c = 0. Para resolver estetipo de equação, aplica-se a fórmula resolvente à última equação e obtêm-se as soluções y1e y2. O procedimento final deve ser cuidadoso, uma vez que as possíveis soluções serãox2 = y1 ∨ x
2 = y2 e se y1 ou y2 for negativo, estas não existirão para x.
Exemplo 24 Resolva as seguintes equações bi-quadradas:
1. x4 − 5x2 − 36 = 0;
2. x4 + 13x2 + 36 = 0.
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Resolução:
1. x4−5x2−36 = 0 ⇔y=x2
y2−5y−36 = 0⇔ y = 5±√25+1442
⇔ y = 5±√1692
⇔ y = 5±132⇔
⇔ y = 9∨ y = −4, ou seja, x2 = 9∨ x2 = −4| {z }impossível
⇔ x = −3∨ x = 3.
Logo, C.S. = {−3, 3} .
2. x4 + 13x2 + 36 = 0 ⇔y=x2
y2 + 13y + 36 = 0 ⇔ y = −13±√169−1442
⇔ y = −13±√25
2⇔
⇔ y = −13±52⇔ y = −9∨ y = −4, ou seja, x2 = −9| {z }
impossível
∨ x2 = −4| {z }impossível
.
Logo, C.S. = ∅.
Definição 19 Relacionadas com as equações algébricas, existem as chamadas inequaçõesalgébricas (ou desigualdades algébricas), que são sentenças matemáticas com uma oumais variáveis (ou incógnitas) em que os termos estão ligados por um dos quatros seguintessinais de desigualdades: < (menor); > (maior); ≤ (menor ou igual); ≥ (maior ou igual).Nas inequações, o objectivo é obter o conjunto de todos os possíveis valores que podem assumiras incógnitas da equação.
1.3.4 Inequações de 1o grau
Definição 20 As inequações de 1o grau com uma variável podem ser escritas numa dasseguintes formas: mx + b < 0, mx + b > 0, mx + b ≤ 0 ou mx + b ≥ 0, com m, b ∈ R,m 6= 0.
Exemplo 25 Resolva as seguintes inequações algébricas de 1o grau:
1. 2x− 7 ≥ 0;
2. −35x+ 7
2< 0.
Resolução:
1. 2x− 7 ≥ 0⇔ 2x ≥ 7⇔ x ≥ 72. Logo, C.S. =
£72,+∞£ .
2. −35x+ 7
2< 0⇔ −3
5x < −7
2⇔ x >
− 72
− 35
⇔ x > 356. Logo, C.S. =
¤356,+∞£ .
1.4 Equações e Inequações com Módulos
Definição 21 O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por |x|,é definido por:
|x| =
¯x , x ≥ 0−x , x < 0
.
Isto é, se x é positivo ou zero, |x| é igual ao próprio x (por exemplo, |2| = 2), se x é negativo,|x| é igual a −x (por exemplo, |−2| = 2).Geometricamente, o módulo de um número real x é igual à distância do ponto que o númerox representa na recta real ao ponto 0 de origem. Assim:
12 Novembro de 2010
• Se |x| < a (com a > 0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a,isto é, x deve estar entre −a e a, ou seja, |x| < a⇔ −a < x < a.
a− aa− a
• Se |x| > a (com a > 0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, istoé, x deve estar à direita de a ou à esquerda de −a, ou seja, |x| > a⇔ x > a∨x < −a.
a− aa− a
Definição 22 Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membrosserá chamada equação com módulos.
Exemplo 26 Resolva as seguintes equações com módulos:
1.¯̄x2 − 5x
¯̄= 6;
2. |x− 6| = |3− 2x| .
Resolução:
1.¯̄x2 − 5x
¯̄= 6⇔ x2 − 5x = 6∨ x2 − 5x = −6⇔ x2 − 5x− 6 = 0∨ x2 − 5x+ 6 = 0⇔⇔ x = −1∨ x = 6∨ x = 2∨ x = 3.
Logo, C.S. = {−1, 2, 3, 6} .
2. |x− 6| = |3− 2x| ⇔ x − 6 = 3 − 2x ∨ x − 6 = − (3− 2x) ⇔⇔ x + 2x = 3 + 6 ∨ x − 2x = −3 + 6 ⇔ 3x = 9 ∨ −x = 3 ⇔ x = 3 ∨ x = −3.
Logo, C.S. = {−3, 3} .
Definição 23 Chama-se inequação com módulos a uma inequação em que a incógnitaestá contida num módulo.
Exemplo 27 Resolva as seguintes inequações com módulos:
1. |2x+ 6| < 2;
2. |−2x+ 3| ≥ 4.Resolução:
1. |2x+ 6| < 2 ⇔ 2x + 6 < 2 ∧ 2x + 6 > −2 ⇔ 2x < 2 − 6 ∧ 2x > −2 − 6 ⇔⇔ 2x < −4∧ 2x > −8⇔ x < −42∧ x > −8
2⇔ x < −2∧ x > −4.
Logo, C.S. = ]−4,−2[ .
13 Novembro de 2010
2. |−2x+ 3| ≥ 4 ⇔ −2x + 3 ≥ 4 ∨ −2x + 3 ≤ −4 ⇔ −2x ≥ 1 ∨ −2x ≤ −7 ⇔⇔ x ≤ −12∨ x ≥ 7
2.
Logo, C.S. =¤−∞,−1
2
¤∪£72,+∞£ .
Observação 3 Considerando os números reais x e y, tem-se por definição, que√x = y⇔⇔ y2 = x e y ≥ 0. Daí pode-se concluir que
√x2 = x só é verdadeiro se x ≥ 0. Se x < 0,
por exemplo x = −3, teríamosq(−3)2 6= −3. Assim, usando a definição de módulo, pode
escrever-se√x2 = |x| , ∀x ∈ R. De uma forma mais geral:
n√xn =
¯|x| ,∀x ∈ R e n parx ,∀x ∈ R e n ímpar .
14 Novembro de 2010
1.5 Exercícios Propostos
Exercício 1 Efectue as seguintes operações e simplifique o resultado:
1. 12− 4
3;
2. 23×h¡
32
¢2+ 1
3
i;
3.q
94÷ 5
2;
4. 910÷¡−25
¢;
5.¡−47
¢÷ 4;
6. 22 ÷ 12;
7.¡−14
¢÷√16;
8. 56÷³√
2562
− 16
´.
Exercício 2 Indique, justificando, quais dos seguintes números reais são racionais ou irra-cionais:
1.√5;
2. 0;
3. ln 2;
4. 1. (3) ;
5. 0.75;
6. −0.14285714 . . . .
Exercício 3 Indique o domínio das seguintes expressões algébricas:
1. 2+x2
x−1;
2.√x+ 5;
3. 13√2−x;
4. 2x+1x2+1
;
5. − x3√x.
Exercício 4 Do polinómio 3x5 − x10 + 7− x2 indique:
1. o termo independente;
2. o coeficiente do termo de grau 2;
3. o grau do polinómio.
15 Novembro de 2010
Exercício 5 Qual é o grau de cada um dos seguintes polinómios?
1. 5x2 − 3x;
2. 0x+ 3;
3. 0x2 + 0x+ 0.
Exercício 6 Dado o polinómio 5x2 − 3x4 + x3 + 1,
1. ordene-o segundo as potências crescentes de x;
2. indique o seu grau e justifique se é completo ou incompleto.
Exercício 7 Considere o polinómio −5x3 − x4 + 23x2 − 5x.
1. Ordene-o segundo as potências decrescentes de x.
2. É um polinómio completo ou incompleto? Porquê?
Exercício 8 Dê um exemplo de um polinómio do 1o grau:
1. completo;
2. incompleto.
Exercício 9 Averigue se os polinómios seguintes admitem as raízes −1, 1 e 2 :
1. x3 + 1;
2. x3 − 2x2 − x+ 2;
3. x3 − 2x2 − 3x.
Exercício 10 Determine as raízes reais dos seguintes polinómios:
1. 2x− 1;
2. x2 + x;
3. x2 − 2x+ 1;
4. x2 + x− 2;
5. −x2 − x+ 1.
Exercício 11 Escreva na forma de polinómio a soma dos seguintes pares de polinómios:
1. x2 − 2x3 + x+ 3 e 3x− x4 − 4x2;
2. x2 − 12+ 2
3x3 e 3x− 1
2x2 + 1
3x3;
3. x4 − 1 e x3 + 3x.
16 Novembro de 2010
Exercício 12 Considere os polinómios P (x) = 5x− 32x2 e Q (x) = 1
2x2−x+2x3−1. Calcule:
1. a sua soma;
2. a soma de P (x) com o simétrico de Q (x) .
Exercício 13 Sendo M (x) = 5x4 − 3x + 1 e N (x) = 3x4 − 2x2 + x3 − 2x + 3, defina naforma de polinómio:
1. M (x)−N (x) ;
2. N (x)−M (x) .
Exercício 14 Dados os polinómios R (x) = 3x − x2 + 3, S (x) = x3 − 2x + 5 eT (x) = 2x2 − 2x3 + 5− x, calcule:
1. R+ S+ T ;
2. R− (S+ T) ;
3. R− S+ T.
Exercício 15 Considere os polinómios A (x) = x2 − 2x + 1, B (x) = −3x2 + 2x + 1 eC (x) = x3 − 2x+ 1. Calcule:
1. A− 3B+ 4C;
2. (C−A)2− 3 (A− B) ;
3. (3A+ B)2 − 2C;
4. C2 −A2.
Exercício 16 Escreva na forma de polinómio:
1.¡x2 + 2− 4x
¢(3x− 2) ;
2. (x− 3) (x+ 2)− (2x+ 2)2 ;
3.£4x2 − 3x
¡23x+ 1
¢¤. (4x− 1) ;
4. (2x+ 1) (x− 1)− (x+ 4) (x− 2) .
Exercício 17 Sendo A (x) = x2 + 1− 2x, B (x) = 3x+ 1 e C (x) = 2− x2, verifique que:
1. A.B = B.A;
2. (A.B) .C = A. (B.C) .
Exercício 18 Dados os polinómios M = 3x2 − 1, N = x+ 2 e P = 2x+ 3, calcule:
1. M−N+ 2P;
2. M×N+ P2;
3. (M+N)2− (M+ P) .
17 Novembro de 2010
Exercício 19 Calcule os números reais a e b de modo que a expressão designatóriax2 − 2ax+ b se transforme num polinómio equivalente à expressão (x− 1) (x+ 3) .
Exercício 20 Usando o algoritmo da divisão, calcule o quociente e o resto da divisão de:
1. 4x2 − 3x+ 1 por x+ 1;
2. 12x2 − 3x3 + 2x por 3x− 2;
3. 4x3 − 3x2 + 13x+ x5 por x2 − 2x+ 3;
4. 3x4 − 3− x2 por x− 2;
5. 3x2 − x3 + 2 por −2x− x2 + 1;
6. x3 − 1 por x+ 1;
7. 3x+ 2 por x+ 1;
8. x2 − 5x+ 1 por x3 + 2;
9. x4 − 23x3 + 3x2 + 2x− 1 por x3 − 2x;
10. 12x3 + 2x2 − 22x+ 1 por 1
3x+ 3.
Exercício 21 Complete:
4x3 −4x2 ¤ ¤ 2x ¤¤ ¤ ¤ ¤ +9
−10x2 ¤¤ ¤
¤ ¤¤ ¤
−2
Exercício 22 Usando a regra de Ruffini, calcule o quociente e o resto da divisão de:
1. x4 − x2 − 3x+ 1 por x+ 3;
2. −18x2 + 1
2x4 − 3x+ 1 por 2x+ 1;
3. 3x2 − 5x+ 4 por x− 2;
4. x4 − x3 + 1 por x+ 2;
5. −2x+ 8x3 − 1 por x+ 12.
Exercício 23 Mostre que x5 + 1 é divisível por x+ 1.
Exercício 24 Mostre que x3−4x2−11x+30 é divisível por x−2 e determine as suas outrasraízes.
18 Novembro de 2010
Exercício 25 Determine o valor de m de modo que o polinómio x3 −mx+ 1 seja divisívelpor x− 1.
Exercício 26 Escreva o polinómio de 2o grau que admite raízes 1 e 2 e dividido por x+ 1dê resto 3.
Exercício 27 Calcule o resto da divisão de xn + 1, n ∈ N, por x+ 1 se:
1. n é par;
2. n é ímpar.
Exercício 28 Utilize a regra de Ruffini para efectuar as seguintes divisões:
1. 4x3 − 3 por 2x− 1;
2. 3x4 + x2 + 1 por 3x+ 2;
3. 8x2 − 5x+ 3 por 4x+ 1.
Exercício 29 Calcule o parâmetro real k de modo que seja 2 o resto da divisão do polinómiox4 − x2 + kx+ 2 por x− 1.
Exercício 30 Dados os polinómios A (x) = x2 − 3x+ 2 e B (x) = x2 − 2x+ 5.
1. Determine α ∈ R, de modo que A (x) e B (x) divididos por x− α dêm restos iguais;
2. Indique o resto comum da alínea anterior.
Exercício 31 Sem efectuar a divisão, verifique que o polinómio P (x) = x3−7x+6 é divisívelpor x− 2 e por x+ 3.
Exercício 32 Considere o polinómio x3 + 8x2 − 7.
1. Verifique que o polinómio é divisível por x+ 1;
2. Aproveite o resultado anterior para decompor o polinómio num produto.
Exercício 33 Para cada valor natural n, a expressão (x+ 5)2n+(x+ 6)n−1 representa umpolinómio em x de coeficientes reais. Prove que esse polinómio é divisível por (x+ 6) (x+ 5).
Exercício 34 Factorize:
1. 25x2 − 16;
2. 4x2 + 6x;
3. x2 − x+ 14;
4. −2x3 + x2 + x;
5. 5t3 + 4t2 − t;
6. 8x3 + 1.
19 Novembro de 2010
Exercício 35 Decomponha em factores o mais elementares possível os polinómios:
1. 3x2 − 21x+ 18;
2. x5 − 5x3 + 4x sabendo que admite as raízes 1 e −2;
3. 36x4 − 13x2 + 1 sabendo que é divisível por x2 − 14;
4. x3 + 5x2 + 8x+ 4 sabendo que admite a raíz −2.
Exercício 36 Para todo o k ∈ R, a expressão 2x2 − 3x + k transforma-se num polinómiodo 2o grau.
1. Calcule k de modo que o polinómio admita 2 como zero;
2. Substitua k pelo valor encontrado e factorize o polinómio.
Exercício 37 Determine o polinómio do 2o grau que admite como zero único o número −3e que dividido por x+ 2 dá resto igual a 5.
Exercício 38 Considere 2x3 − x2 + ax+ b, com a, b ∈ R.
1. Calcule a e b de modo que o polinómio seja divisível por (x− 1) (x− 2) .
2. Para os valores encontrados determine o terceiro zero do polinómio e factorize.
Exercício 39 Seja A (x) um polinómio em x : A (x) = x3 − 6x2 + 11x− 6.
1. Determine B (x) tal que A (x) = (x− 1) .B (x) .
2. Escreva A (x) como um produto de factores do 1o grau.
Exercício 40 Considere o polinómio P (x) = 4x5 + 8x4 + x3 − 5x2 − x+ 1.
1. Verifique que −1 é zero triplo de P (x).
2. Factorize o polinómio.
Exercício 41 Calcule a e b pertencentes a R de modo que para todo o valor real de x setenha x2 + ax+ 1 = (x− b)2 .
Exercício 42 Determine k,m e n de modo que sejam equivalentes as expressões 4x2+mx+n
e (x− 1)2 + kx2.
Exercício 43 Determine os números reais a, b e c de modo que:
(x− a)2+ (y− b)
2− c2 = x2 + y2 − 4x+ 6y− 3.
Exercício 44 Considere o polinómio P (x) = 6x3 − 7x2 − 16x+ c, onde c ∈ R. Sabendo que2 é raíz de P, determine o valor de c e as restantes raízes de P.
20 Novembro de 2010
Exercício 45 Para cada valor real de m, a expressão 2x4 +mx3 + (m+ 20) x2 − 4 é umpolinómio em x.
1. Determine o valor de m para o qual o polinómio é divisível por x− 1.
2. Considere o valor m obtido na alínea anterior e prove que 2 é uma raiz de multiplici-dade 2 desse polinómio. Factorize.
Exercício 46 Determine a e b de modo que x3−2x2+ax+b seja divisível por (x− 3) (x+ 1) .
Exercício 47 Calcule m ∈ R de modo que 4x2 + 12x+m seja equivalente ao quadrado deum polinómio.
Exercício 48 Calcule os zeros do polinómio P (x) sabendo que P (y− 1) = y2 − 5y+ 6.
Exercício 49 Determine o domínio, em R, de cada uma das seguintes expressões:
1. 1+ 3x−1;
2. 2x−1
+ 2x+3;
3. x−2(x−3)(x2+7x+12)
;
4. x2−4x2+x
;
5. 3−xx2+4
;
6. 2x2−x+3
.
Exercício 50 Simplifique as fracções, indicando o respectivo domínio:
1. 2x2−22x−2
;
2.(3x+3)(x2+2)
2x2+4;
3. x2−xx2−2x+1
;
4. x4−9x2+3
;
5. x2−x−22x3+2x2
;
6. x2−4x2+2x
;
7. 3x−123x2−15x+12
;
8. x2−2x−3x3−2x2−x+2
;
9. x3−7x2+3x+32x3−3x2+x
;
10. x4−5x2+4x4−16
.
21 Novembro de 2010
Exercício 51 Considere as seguintes expressões designatórias, em R, A = 3xx−2, B = x2−4
x2+xe
C = x+1x+2.
1. Determine o domínio de cada uma das expressões anteriores;
2. Calcule e simplifique A+ B, ABC e (CB )
x+A.
Exercício 52 Efectue, no respectivo domínio, as seguintes adições:
1. 23y+ 3
2;
2. 52x2
− x+1x;
3. 2a+34a2
+ a+16a.
Exercício 53 Efectue, no respectivo domínio, as operações indicadas e, se possível, simpli-fique o resultado:
1. xx−2
+ 2x+1x+2
− 2x2
x2−4;
2. x2−1x
− x2
x+1+ 1
x2+x;
3. 2x+12x+3
+ 2xx−2
− 20+4x2x2−x−6
.
Exercício 54 Calcule os parâmetros A e B de modo que sejam equivalentes, no respectivodomínio, as expressões:
1. Ax−1
+ Bx−2
e 3x−4(x−1)(x−2)
;
2. Ax− Bx−1x+2
e x2+x+1x+2
.
Exercício 55 Efectue as multiplicações, simplifique os resultados e indique os valores davariável para os quais a simplificação é válida:
1. 2x× x−1x+3;
2. 3x2× 1−x
x−3;
3. x−1x+3
× x+1x+3;
4. x4× −4
5x3;
5. x2+3x2−x
× x2−4x2−9
;
6. 2xx2+2x+1
× 1−x2
x2;
7. x2+4x+4x−2
× x2−4x+4x+2
.
Exercício 56 Efectue as seguintes divisões, simplifique o resultado e indique os valores dex para os quais são válidas as operações e as simplificações:
1. (−3x) : 2x+1;
2. x4−1x4
: x2+13x;
22 Novembro de 2010
3. x2−2515x
: x2+10x+259x2
;
4. x2+4x+3x2−5x+4
: x+3x−4.
Exercício 57 Efectue as operações, simplifique o mais possível e indique o domínio de va-lidade:
1. 2x− 2
x−2;
2. x−1x2−1
+ x2−1x+1
+ 3xx−1;
3. x−1x2−1
× x2−1x+1
× 3xx−1;
4. x2−4x+2
× x3+3xx(x+1)
× 5xx2−4
;
5. x2−92x
÷ x2+6x+94x2
;
6.¡4x− 1¢2 × x2
x2−16;
7.x− x
x+1x
x−1+x.
Exercício 58 Transforme numa fracção racional irredutível equivalente cada uma das ex-pressões racionais seguintes e determine o domínio:
1.¡2+ 7
x2−4
¢:¡1− 3
x+2
¢;
2.³
2y+3
+ 2y−3
´³y2−9y2
´;
3. 11+ a
3
+ 1
1+ 2a+1
+ 1
1+ 1a+2
;
4.8
(x−3)(x2−9)+ 1
x2−9+ 1
x2−6x+9
(1+ 7x−3 )
2 .
Exercício 59 Simplifique as fracções e determine o domínio:
1. x2−y2
x2+2xy+y2;
2. 2a2b−4ab2
a2−4ab+4b2.
Exercício 60 Efectue as operações seguintes e simplifique o resultado. Indique os domíniosde validade:
1.³1x− x
x2+xy− y
(x+y)2
´: y
(x+y)2;
2. a2−6ab+9b2
4c2· 2ac2+6bc2
a2−9b2.
Exercício 61 Resolva as seguintes equações algébricas:
1. 2x+ 4 = 2;
2. 6− x = 2;
3. 1− 6x = −1;
23 Novembro de 2010
4. −3x2 = 0;
5. x2 − 4x+ 3 = 0;
6. x2 − 3x = 4;
7. x2 − 2x+ 4 = 0;
8. −3x2 + 5x = 8;
9. x2 + 2x+ 1 = 0;
10. x2 + 6x+ 9 = 0;
11. x2 − 1 = 0;
12. 2x2 + 5 = 0;
13. 9x2 − 18 = 0;
14. −x2 + 8x = 0;
15. 4x2 + 6x = 0;
16. 4x2 − 4x = −1;
17. x4 − 2x2 − 8 = 0;
18. x4 − 13x2 + 36 = 0;
19. (3x+ 1) (2x− 5) = 0;
20.¡x2 − 1
¢(4− 3x) = 0;
21.¡x3 − 2x2 + x
¢ ¡x2 + 25
¢= 0;
22. (x− 1)2 − (2x− 3)2 = 0.
Exercício 62 Resolva os seguintes sistemas de equações:
1.¯x+ y = 1
2x+ y = 3;
2.¯x+ y− 12 = 0
x2 + y2 = 80;
3.¯x2 + y2 − 2x = 0
x2 + y2 − 8x+ 12 = 0.
Exercício 63 Resolva cada uma das seguintes inequações:
1. 4x− 1 ≥ −5;
2. 2x− 12< 0;
3. 6− 2x ≤ 2;
4. −x− 5 > 12.
24 Novembro de 2010
Exercício 64 Resolva, em R, as seguintes condições com módulos:
1. |2x− 7| = 20;
2.¯̄x2 + 2x
¯̄− 3x = 0;
3. |x− 2| = |1− x| ;
4. |x− 4| ≥ 2;
5. |2x− 1| > −3;
6. |x+ 3| ≤ 2x;
7. |2x+ 3| < 4x+ 1.
25 Novembro de 2010
1.6 Soluções
Solução 1 .
1. −56.
2. 3118.
3. 35.
4. −94.
5. −17.
6. 8.
7. − 116.
8. −30.
Solução 2 .
1. no irracional.
2. no racional.
3. no irracional.
4. no racional.
5. no racional.
6. no irracional.
Solução 3 .
1. D = R \ {1} .
2. D = [−5,+∞[ .3. D = R \ {2} .
4. D = R.
5. D = R+.
Solução 4 .
1. 7.
2. −1.
3. 10.
26 Novembro de 2010
Solução 5 .
1. 2.
2. 0.
3. Indeterminado.
Solução 6 .
1. 1+ 5x2 + x3 − 3x4.
2. 4; incompleto (falta o termo de grau 1).
Solução 7 .
1. −x4 − 5x3 + 23x2 − 5x.
2. incompleto (falta o termo independente).
Solução 8 .
1. 1+ x.
2. x.
Solução 9 .
1. Admite a raíz −1.
2. Admite as raízes −1, 1 e 2.
3. Admite a raíz −1.
Solução 10 .
1. α = 12.
2. α1 = −1 e α2 = 0.
3. α = 1.
4. α1 = −2 e α2 = 1.
5. α1 = −1−√5
2e α2 = −1+
√5
2.
Solução 11 .
1. −x4 − 2x3 − 3x2 + 4x+ 3.
2. x3 + 12x2 + 3x− 1
2.
3. x4 + x3 + 3x− 1.
27 Novembro de 2010
Solução 12 .
1. 2x3 − x2 + 4x− 1.
2. −2x3 − 2x2 + 6x+ 1.
Solução 13 .
1. 2x4 − x3 + 2x2 − x− 2.
2. −2x4 + x3 − 2x2 + x+ 2.
Solução 14 .
1. −x3 + x2 + 13.
2. x3 − 3x2 + 6x− 7.
3. −3x3 + x2 + 4x+ 3.
Solução 15 .
1. 4x3 + 10x2 − 16x+ 2.
2. x6 − 2x5 + x4 − 12x2 + 12x.
3. −2x3 + 16x2 − 28x+ 14.
4. x6 − 5x4 + 6x3 − 2x2.
Solução 16 .
1. 3x3 − 14x2 + 14x− 4.
2. −3x2 − 9x− 10.
3. 8x3 − 14x2 + 3x.
4. x2 − 3x+ 7.
Solução 17 .
1. -
2. -
Solução 18 .
1. 3x2 + 3x+ 3.
2. 3x3 + 10x2 + 11x+ 7.
3. 9x4 + 6x3 + 4x2 − 1.
28 Novembro de 2010
Solução 19 a = −1 e b = −3.
Solução 20 .
1. q (x) = 4x− 7 e r (x) = 8.
2. q (x) = −x2 − 12x+ 1
3e r (x) = 2
3.
3. q (x) = x3 + 2x2 + 5x+ 1 e r (x) = −3.
4. q (x) = 3x3 + 6x2 + 11x+ 22 e r (x) = 41.
5. q (x) = x− 5 e r (x) = −11x+ 7.
6. q (x) = x2 − x+ 1 e r (x) = −2.
7. q (x) = 3 e r (x) = −1.
8. q (x) = 0 e r (x) = x2 − 5x+ 1.
9. q (x) = x− 23e r (x) = 5x2 + 2
3x− 1.
10. q (x) = 32x2 − 15
2x+ 3
2e r (x) = −7
2.
Solução 21 .4x3 −4x2 3x 25 2x 3
−4x3 −6x2 2x2 −5x +9
−10x2
10x2 15x
18x 25
−18x −27
−2
Solução 22 .
1. q (x) = x3 − 3x2 + 8x− 27 e r (x) = 82.
2. q (x) = x3
4− x2
8− 3
2e r (x) = 5
2.
3. q (x) = 3x+ 1 e r (x) = 6.
4. q (x) = x3 − 3x2 + 6x− 12 e r (x) = 25.
5. q (x) = 8x2 − 4x e r (x) = −1.
Solução 23 -
Solução 24 α1 = −3 e α2 = 5.
Solução 25 m = 2.
Solução 26 12x2 − 3
2x+ 1.
29 Novembro de 2010
Solução 27 .
1. 2.
2. 0.
Solução 28 .
1. q (x) = 2x2 + x+ 12e r (x) = −5
2.
2. q (x) = x3 − 23x2 + 7
9x− 14
27e r (x) = 55
27.
3. q (x) = 2x− 74e r (x) = 19
4.
Solução 29 k = 0.
Solução 30 .
1. α = −3.
2. 20.
Solução 31 -
Solução 32 .
1. -
2. (x+ 1)¡x2 + 7x− 7
¢= (x+ 1)
³x− −7−
√77
2
´³x− −7+
√77
2
´.
Solução 33 -
Solução 34 .
1. (5x− 4) (5x+ 4) .
2. 2x(2x+ 3).
3.¡x− 1
2
¢2.
4. −2x¡x+ 1
2
¢(x− 1) .
5. 5t (t+ 1)¡t− 1
5
¢.
6.¡x+ 1
2
¢ ¡8x2 − 4x+ 2
¢.
Solução 35 .
1. 3 (x− 1) (x− 6) .
2. x (x− 1) (x+ 2) (x− 2) (x+ 1) .
3. 4¡x− 1
2
¢ ¡x+ 1
2
¢(3x− 1) (3x+ 1) .
4. (x+ 1) (x+ 2)2 .
30 Novembro de 2010
Solução 36 .
1. k = −2.
2. 2 (x− 2)¡x+ 1
2
¢.
Solução 37 5x2 + 30x+ 45.
Solução 38 .
1. a = −11 e b = 10.
2. −52; 2¡x+ 5
2
¢(x− 1) (x− 2) .
Solução 39 .
1. B (x) = x2 − 5x+ 6.
2. A (x) = (x− 1) (x− 2) (x− 3) .
Solução 40 .
1. -
2. 4 (x+ 1)3¡x− 1
2
¢2.
Solução 41 a = −2 e b = 1 ou a = 2 e b = −1.
Solução 42 k = 3, m = −2 e n = 1.
Solução 43 a = 2, b = −3 e c = ±4.
Solução 44 c = 12, α1 = −32e α2 = 2
3.
Solução 45 .
1. m = −9.
2. (x− 1) (x− 2)2 (2x+ 1) .
Solução 46 a = −3 e b = 0.
Solução 47 m = 9.
Solução 48 1 e 2.
Solução 49 .
1. D = R\ {1} .
2. D = R\ {−3, 1} .
3. D = R\ {−4,−3, 3} .
4. D = R\ {−1, 0} .
5. D = R.
6. D = R.
31 Novembro de 2010
Solução 50 .
1. x+ 1, D = R \ {1} .
2. 3(x+1)
2, D = R.
3. xx−1, D = R \ {1} .
4. x2 − 3, D = R.
5. x−22x2, D = R \ {−1, 0} .
6. x−2x, D = R\ {−2, 0} .
7. 1x−1, D = R\ {1, 4} .
8. x−3(x−1)(x−2)
, D = R\ {−1, 1, 2} .
9. x2−6x−3x(2x−1)
, D = R\©0, 1
2, 1ª.
10. (x−1)(x+1)
x2+4, D = R\ {−2, 2} .
Solução 51 .
1. DA = R \ {2} , DB = R \ {−1, 0} e DC = R \ {−2} .
2. A+ B = 4x3+x2−4x+8x(x+1)(x−2)
, ABC = 3 e (CB )
x+A= x+1
(x+2)2.
Solução 52 .
1. 4+9y6y, D = R\ {0} .
2. 5−2x−2x2
2x2, D = R\ {0} .
3. 2a2+8a+912a2
,D = R\ {0} .
Solução 53 .
1. x+1x+2, D = R\ {−2, 2} .
2. x−1x+1, D = R\ {−1, 0} .
3. 6x+112x+3
, D = R\©−32, 2ª.
Solução 54 .
1. A = 1 e B = 2.
2. A = B = 1.
32 Novembro de 2010
Solução 55 .
1. 2x2−2xx+3
, D = R\ {−3} .
2. 3x−3x2
2x−6, D = R\ {3} .
3. x2−1x2+6x+9
, D = R\ {−3} .
4. −15x2, D = R\ {0} .
5. x(x+2)
3−x, D = R\ {−3, 2, 3} .
6. 2−2xx(x+1)
, D = R\ {−1, 0} .
7. x2 − 4, D = R\ {−2, 2} .
Solução 56 .
1. −3x2+3x2, D = R\ {−1} .
2. 3x2−3x3, D = R\ {0} .
3. 3x2−15x5x+25
, D = R\ {−5, 0} .
4. x+1x−1, D = R\ {−3, 1, 4} .
Solução 57 .
1. − 4x2−2x
, D = R \ {0, 2} .
2.x(x2+2x+3)
x2−1, D = R \ {−1, 1} .
3. 3xx+1,D = R \ {−1, 1} .
4.5x(x2+3)(x+1)(x+2)
, D = R \ {−2,−1, 0, 2} .
5. 2x(x−3)
x+3, D = R \ {−3, 0} .
6. x−4x+4, D = R \ {−4, 0, 4} .
7. x−1x+1, D = R \ {−1, 0, 1} .
Solução 58 .
1. 2x2−1x2−3x+2
, D = R\ {−2, 1, 2} .
2. 4y, D = R\ {−3, 0, 3} .
3. 2, D = R\ {−3,−2,−1} .
4. 2x2+7x+12
, D = R\ {−4,−3, 3} .
33 Novembro de 2010
Solução 59 .
1. x−yx+y, D =
©(x, y) ∈ R2 : y 6= −x
ª.
2. 2aba−2b
, D =©(a, b) ∈ R2 : a 6= 2b
ª.
Solução 60 .
1. y
x, D =
©(x, y) ∈ R2 : x 6= 0∧ x+ y 6= 0
ª.
2. a−3b2, D =
©(a, b, c) ∈ R3 : c 6= 0∧ a− 3b 6= 0∧ a+ 3b 6= 0
ª.
Solução 61 .
1. C.S. = {−1} .
2. C.S. = {4} .
3. C.S. =©13
ª.
4. C.S. = {0} .
5. C.S. = {1, 3} .
6. C.S. = {−1, 4} .
7. C.S. = ∅.
8. C.S. = ∅.
9. C.S. = {−1} .
10. C.S. = {−3} .
11. C.S. = {−1, 1} .
12. C.S. = ∅.
13. C.S. =−√2,√2®.
14. C.S. = {0, 8} .
15. C.S. =©−32, 0ª.
16. C.S. =©12
ª.
17. C.S. = {−2, 2} .
18. C.S. = {−3,−2, 2, 3} .
19. C.S. =©−13, 52
ª.
20. C.S. =©−1, 1, 4
3
ª.
34 Novembro de 2010
21. C.S. = {0, 1} .
22. C.S. =©43, 2ª.
Solução 62 .
1. C.S. = {(2,−1)} .
2. C.S. = {(4, 8) , (8, 4)} .
3. C.S. = {(2, 0)} .
Solução 63 .
1. C.S. = [−1,+∞[ .2. C.S. =
¤−∞, 1
4
£.
3. C.S. = [2,+∞[ .4. C.S. =
¤−∞,−11
2
£.
Solução 64 .
1. C.S. =©−13
2, 272
ª.
2. C.S. = {0, 1} .
3. C.S. =©32
ª.
4. C.S. = ]−∞, 2] ∪ [6,+∞[ .5. C.S. = R.
6. C.S. = [3,+∞[ .7. C.S. = ]1,+∞[ .
35 Novembro de 2010
2 Geometria no Plano
2.1 Vectores no Plano
Definição 24 O referencial cartesiano ortogonal associado a um plano é constituidopor dois eixos perpendiculares entre si que se cruzam na origem. Ao eixo horizontal dá-se o nome de eixo das abscissas (eixo xx ou eixo OX), onde é representada a variávelindependente x. Ao eixo vertical dá-se o nome de eixo das ordenadas (eixo yy ou eixoOY), onde é representada a variável dependente y. A cada um dos eixos está associado oconjunto de todos os números reais (R). Os dois eixos dividem o plano em quatro regiõesdenominadas quadrantes, cujos os nomes são indicados no sentido anti-horário.Define-se ponto do plano como sendo um par ordenado de números reais, P = (x, y), emque a 1a coordenada se designa de abscissa e a 2a coordenada se designa de ordenada.
0 x
y
Eixo das Abscissas
Eixo das Ordenadas
1º Quadrante2º Quadrante
4º Quadrante3º Quadrante
1 2-2 -1
1
2
-2
-1
P = (2,1)
0 x
y
Eixo das Abscissas
Eixo das Ordenadas
1º Quadrante2º Quadrante
4º Quadrante3º Quadrante
1 2-2 -1
1
2
-2
-1
P = (2,1)
Figura 1: Referencial cartesiano ortogonal
Definição 25 Um vector −→u é um ente matemático que representa um movimento ou umaforça, sendo caracterizado por uma direcção, um sentido e um comprimento. Este é re-presentado no plano através de um segmento de recta orientado
−→OP com origem no ponto
O = (0, 0) e com extremidade no ponto P = (x, y) , ou seja, −→u = −→OP.x
y
P=(x,y)
O=(0,0)
ur
x
y
P=(x,y)
O=(0,0)
ur
Definição 26 Um vector que tenha comprimento 1 é denominado vector unitário.
Definição 27 Um referencial (0,−→e ,−→f ) diz-se ortonormado (o.n.) se os vectores −→e e−→f forem perpendiculares e unitários.
O
y
x
fur
er
ur
1u
2u
O
y
x
fur
er
ur
1u
2u
Neste referencial as coordenadas de um vector −→u são (u1, u2) , sendo este definido por−→u = u1−→e + u2−→f , onde u1−→e e u2−→f são as suas componentes.Definição 28 Considerando um referencial ortonormado dum plano e dois pontosA = (a1, a2) e B = (b1, b2), o vector
−→AB é definido pela diferença entre os dois pontos,
isto é −→AB = B−A = (b1 − a1, b2 − a2) .
36 Novembro de 2010
Definição 29 O comprimento de um vector −→u = (u1, u2) num referencial o.n. pode serobtido através da norma de −→u , que é dada por:°°−→u °° =qu21 + u22.Definição 30 Seja −→u = (u1, u2) um vector qualquer num referencial o.n.. Define-se versorde −→u como sendo o vector unitário com direcção e sentido de −→u dado por:
vers−→u = Ã u1pu21 + u
22
,u2pu21 + u
22
!.
Definição 31 Considerando um referencial ortonormado dum plano e dois pontosP1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2), a distância de P1 a P2 é dada por:
d (P1, P2) =°°°−−→P1P2°°° =q(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
Definição 32 Considerando um referencial ortonormado dum plano e dois pontosP1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) , define-se ponto médio M do segmento de recta P1P2 comosendo o ponto cujas coordenadas são as médias das coordenadas correspondentes aos pontosP1 e P2, isto é:
M =
µx1 + x2
2,y1 + y2
2
¶.
Definição 33 Considerando um referencial ortonormado dum plano, um ponto A = (x1, y1)e um vector −→u = (u1, u2) , a soma do ponto A com o vector −→u é o ponto B dado por:
B = A+−→u = (x1 + u1, y1 + u2) .
O
y
x
ur
1u
2u
1x
1y A
B
O
y
x
ur
1u
2u
1x
1y A
B
Definição 34 Considerando um referencial ortonormado dum plano e dois vectores−→u = (u1, u2) e −→v = (v1, v2) , a soma destes vectores é o vector:
−→u +−→v = (u1 + v1, u2 + v2) .
O
y
x
ur
vr
u v+r r
O
y
x
ur
vr
u v+r r
Definição 35 Considerando um referencial ortonormado dum plano e o vector −→u = (u1, u2) ,o produto do número real k 6= 0 pelo vector −→u é um vector dado por:
k−→u = (ku1, ku2) .37 Novembro de 2010
Este vector tem a direcção de −→u , sentido de −→u se k > 0, sentido contrário se k < 0 tal que°°k−→u °° = |k| · °°−→u °° . Se k = 0 ou −→u = −→0 , então k−→u = −→0 .
O
y
x
ur
kur
O
y
x
ur
kur
Definição 36 Se −→u e −→v são dois vectores não nulos, o produto interno dos vectores é:−→u |−→v = °°−→u °° · °°−→v °° · cos ¡−→u ^−→v ¢ , onde −→u ^−→v = ^ ¡−→u ,−→v ¢ ∈ [0o, 90o] .
Se −→u = −→0 ou −→v = −→0 , então −→u |−→v = 0.Num referencial o.n., conhecidas as coordenadas dos vectores −→u = (u1, u2) e
−→v = (v1, v2)tem-se:
−→u |−→v = u1v1 + u2v2.E neste caso,
cos¡−→u ^−→v ¢ = u1v1 + u2v2°°−→u °° · °°−→v °° , 0 ≤ −→u ^−→v ≤ 90o.
2.2 Estudo da Recta
2.2.1 Equações da recta
Definição 37 A equação de qualquer recta pode ser escrita na forma geral
Ax+ By+C = 0
onde A e B não são ambos nulos.Em particular, a recta vertical x = a pode ser representada pela forma geral
x− a = 0
e a recta horizontal y = b pela forma geral
y− b = 0.
Definição 38 O declive de uma recta não vertical é a medida do número de unidadesque a recta sobe (ou desce) verticalmente para cada unidade de deslocamento horizontal, daesquerda para a direita. Considerando dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) de uma recta, o seudeclive m é dado por:
m =∆y
∆x=y2 − y1
x2 − x1, x2 6= x1.
0
y
x1x 2x
2y
1y2 1y y y∆ = −
2 1x x x∆ = −
0
y
x1x 2x
2y
1y2 1y y y∆ = −
2 1x x x∆ = −
38 Novembro de 2010
Se m é positivo, então a recta cresce da esquerda para a direita; se m = 0, então a recta éhorizontal; se m é negativo, então a recta decresce da esquerda para a direita. O declive nãoestá definido para rectas verticais.
x
y
m=0
m>0
m<0
m indefinido
Em geral, quanto maior for o valor absoluto do declive de uma recta, mais íngreme ela é.Pode-se considerar também o declive de uma recta não vertical como sendo a tangente doângulo que a recta forma com a parte positiva do eixo xx, isto é,
m = tgα, α 6= 90o.
0
y
xα
0
y
xα
Definição 39 Uma equação da recta com declive m que passa pelo ponto (x1, y1) é dadapor:
y− y1 =m (x− x1) .
Definição 40 A equação reduzida da recta com declive m cuja intersecção com o eixo yyé em (0, b) , onde b é designado por ordenada na origem, é dada por:
y =mx+ b.
Exemplo 28 Determine a equação reduzida da recta que passa pelos pontos P1 = (2, 0) eP2 = (3, 2) .
Resolução: A equação reduzida é da forma y =mx+ b, onde m = 2−03−2
= 2.
Uma equação da recta com declive m = 2 que passa pelo ponto P1 = (2, 0) (por exemplo) é
y− 0 = 2 (x− 2)⇔ y = 2x− 4.
Definição 41 Uma equação da recta que passa pelo ponto P = (x1, y1) e tem a direcção dovector −→u = (u1, u2) é dada por:
x− x1
u1=y− y1
u2.
Desta forma, o declive é m = u2u1.
Exemplo 29 Escreva a equação reduzida da recta que passa pelo ponto P = (2,−1) e quetem a direcção do vector −→u = (−1, 3) .Resolução: A equação reduzida é da forma y =mx+ b.Uma equação da recta ponto (2,−1) e tem a direcção do vector −→u = (−1, 3) é dada por:
x− 2
−1=y+ 1
3⇔ 3x− 6 = −y− 1⇔ y = −3x+ 5.
39 Novembro de 2010
Definição 42 Define-se ângulo (no sentido positivo) de duas rectas de declives m1 e m2
respectivamente, como sendo o ângulo θ ∈ [0o, 90o[ tal que:
tg θ =m2 −m1
1+m1m2
.
0
y
x1α 2α
1 1tg mα =
2 2tg mα =
θ
0
y
x1α 2α
1 1tg mα =
2 2tg mα =
θ
Definição 43 Duas rectas distintas não verticais são paralelas se e só se os seus declivesforem iguais, isto é, m1 =m2.
x
y
m1
m2m1=m2
Definição 44 Duas rectas distintas não verticais são perpendiculares se e só se os seusdeclives forem inversos negativos entre si, isto é, m1 = − 1
m2.
x
y
m1
m2
m1=-1/m2
Exemplo 30 Determine a equação reduzida da recta que passa pelo ponto (2,−1) e que é:
1. paralela à recta 2x− 3y = 5;
2. perpendicular à recta 2x− 3y = 5.
Resolução:
1. A recta 2x− 3y = 5 pode ser escrita na sua forma reduzida como
2x− 3y = 5⇔ −3y = −2x+ 5⇔ y =2
3x−
5
3,
onde o seu declive é dado por m = 23.
A recta que passa no ponto (2,−1) e é paralela à recta dada também tem o declive 23e
é definida pela seguinte equação:
y+ 1 =2
3(x− 2)⇔ y =
2
3x−
4
3− 1⇔ y =
2
3x−
7
3.
2. Calculando o inverso negativo do declive da recta dada, pode-se determinar o declivede uma recta perpendicular a essa:
m = −123
= −3
2.
Assim, a recta que passa pelo ponto (2,−1) e é perpendicular à recta dada tem aseguinte equação:
y+ 1 = −3
2(x− 2)⇔ y = −
3
2x+ 3− 1⇔ y = −
3
2x+ 2.
40 Novembro de 2010
Definição 45 A distância de um ponto P = (x1, y1) a uma recta de equação reduziday =mx+ b é dada por:
d =|y1 −mx1 − b|√
1+m2.
Se a recta for definida pela equação geral Ax+ By+C = 0, então:
d =|Ax1 + By1 +C|√
A2 + B2.
Exemplo 31 Determine a distância do ponto P = (−2,−3) à recta 8x+ 15y+ 27 = 0.
Resolução: A distância é dada por
d =|8 (−2) + 15 (−3) + 27|√
82 + 152=34
17= 2.
Definição 46 A mediatriz de um segmento de recta AB é o lugar geométrico dos pontosdo plano que estão à mesma distância do ponto A = (x0, y0) e do ponto B = (x1, y1) . Nessecaso um ponto X = (x, y) está na mediatriz se e só se
d (X,A) = d (X,B)⇔q(x− x0)
2 + (y− y0)2 =
q(x− x1)
2 + (y− y1)2.
A BM
Mediatriz
A BM
Mediatriz
Propriedade 4 A mediatriz de um segmento de recta AB tem as seguintes propriedades:
1. é eixo de simetria de AB;
2. passa pelo ponto médio de AB;
3. é perpendicular a AB.
Exemplo 32 Escreva a equação da mediatriz do segmento de recta AB, onde A = (1,−1)e B = (−2, 3) .
Resolução: Sendo M o ponto médio de AB, M =¡1−22, −1+3
2
¢=¡−12, 1¢e−→AB = A− B =
= (−3, 4) . Sendo m o declive da recta AB, m = −43. Como a mediatriz é perpendicular à
recta AB, tem declive 34, sendo a sua equação da forma y = 3
4x+ b. Além disso, passa pelo
ponto M. Assim, 1 = 34
¡−12
¢+ b ⇔ 1 = −3
8+ b ⇔ b = 1 + 3
8⇔ b = 11
8. Uma equação da
mediatriz de AB é: y = 34x+ 11
8.
Definição 47 A bissectriz de duas rectas é a recta que passa pelo vértice do ângulo formadopor estas e que o divide ao meio.
Exemplo 33 A bissectriz dos quadrantes pares é a recta y = −x.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
y=-x
41 Novembro de 2010
2.3 Cónicas
O primeiro estudo sistemático das cónicas deve-se a Apolónio (260-200 a.c.). Este estudouas cónicas como resultado de secções feitas por um plano num cone e num duplo cone debase circular. Foi Apolónio que atribuiu às cónicas as designações ainda hoje utilizadas —elipse, parábola e hipérbole.
Definição 48 Uma superfície cónica de revolução é a superfície gerada pela rotação com-pleta de uma recta (geratriz) em torno de outra recta (eixo), formando com esta sempre omesmo ângulo, até completar uma revolução (volta completa). Ao ponto comum à geratriz eao eixo chama-se vértice. É chamada de cónica toda a linha que se obtém como intersecçãode um plano que não passa pelo vértice (plano secante) com uma superfície cónica, as quaisvamos estudar de uma forma mais aprofundada. Quando o plano que intersecta a superfíciecónica passa pelo vértice, a secção obtida é uma cónica degenerada (um ponto, uma recta ouum par de rectas concorrentes). Este tipo de cónicas não será estudado.
René Descartes (1596-1650) generalizou a utilização das cónicas e identificou-as como equaçõesdo 2o grau. Mas nem todas as equações do 2o grau representam cónicas.
Propriedade 5 As cónicas são curvas definidas por equações do 2ograu em x e y de tipo:
Ax2 + Bxy+Cy2 +Dx+ Ey+ F = 0 Equação Geral
onde A e C não são ambos nulos.Em particular, as equações do tipo
Ax2 +Cy2 +Dx+ Ey+ F = 0 (B = 0)
definem cónicas em que os eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados.
Propriedade 6 Considerando ∆ = B2−4AC, as cónicas dividem-se em três grandes grupos:
1. Elipse ou Circunferência, caso ∆ < 0;
2. Parábola, caso ∆ = 0;
3. Hipérbole, caso ∆ > 0.
Para cada caso, é sempre possível passar da equação geral para a respectiva equação reduzida.
42 Novembro de 2010
2.3.1 Elipse e Circunferência
Se o plano secante intersecta todas as posições da geratriz e é oblíquo em relação ao eixo, alinha obtida é uma elipse.
Se o plano é perpendicular ao eixo, a elipse obtida é uma circunferência.
Definição 49 Uma elipse é um conjunto de pontos P do plano em que a soma das dis-tâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (chamados focos da elipse), designadas d1 e d2respectivamente, é constante e maior que a distância entre F1 e F2.
1F 2F
2d1d
P
1 2 2 (constante)d d a+ =
vértice vértice
vértice
vértice
centro
c
a
b
eixo menor
eixo maior
1F 2F
2d1d
P
1 2 2 (constante)d d a+ =
vértice vértice
vértice
vértice
centro
c
a
b
eixo menor
eixo maior
Equação Reduzida da ElipseConsiderando uma elipse de centro (c1, c2) em que os focos estão na recta y = c2, paralelaao eixo xx (caso a > b), ou na recta x = c1, paralela ao eixo yy (caso b > a), obtem-se aseguinte equação reduzida da elipse:
(x−c1 )2
a2+ (y−c2 )
2
b2= 1 .
Propriedade 7 A elipse tem as seguintes características:
1. é simétrica em relação às rectas y = c2 e x = c1;
2. a soma das distâncias do ponto P aos focos é dada por d1 + d2 = 2a;
3. a distância entre os focos (distância focal) é 2c e a > c;
43 Novembro de 2010
4. centro da elipse: (c1, c2) ;
5. vértices: (c1 ± a, c2) e (c1, c2 ± b) ;
Focos sobre a recta y = c2 (a > b) Focos sobre a recta x = c1 (b > a)a2 = b2 + c2 b2 = a2 + c2
Focos: (c1 ± c, c2) Focos: (c1, c2 ± c)Eixo maior: 2a Eixo maior: 2bEixo menor: 2b Eixo menor: 2a
Excentricidade: e = ca, onde 0 < e < 1 Excentricidade: e = c
b, onde 0 < e < 1
Directrizes: x = c1 − aee x = c1 + a
eDirectrizes: y = c2 − b
ee y = c2 + b
e
y
x0 1c
2c1F 2F
2y c=ab
c
y
x0 1c
2c1F 2F
2y c=ab
c
y
x0 1c
2c
1F
2F
1x c=
a
b
c
y
x0 1c
2c
1F
2F
1x c=
a
b
c
Definição 50 Uma circunferência é um conjunto de pontos do plano equidistantes de ummesmo ponto (centro).
x
y
1c2c
r
x
y
1c2c
r
Equação da CircunferênciaA circunferência é um caso particular da elipse, cuja excentricidade (desvio do centro) énula. Considerando a equação reduzida da elipse e tomando a = b = r, obtem-se a equaçãoreduzida da circunferência de centro (c1, c2) e raio r:
(x− c1)2
r2+(y− c2)
2
r2= 1⇔ (x− c1)
2+ (y− c2)
2= r2 .
2.3.2 Parábola
Se o plano secante é paralelo apenas a uma posição da geratriz, a linha obtida é uma parábola.
44 Novembro de 2010
Definição 51 Uma parábola é um conjunto de pontos P do plano em que a distância d1de P a um ponto fixo F (chamado foco da parábola) é igual à distância d2 de P a uma rectafixa D (chamada directriz da parábola).
F
1d
2d P
1 2d d=
D
vérticecentro
12 p
F
1d
2d P
1 2d d=
D
vérticecentro
12 p
Equação Reduzida da ParábolaConsiderando uma parábola de vértice (c1, c2) em que o foco está na recta y = c2 ou narecta x = c1, obtem-se uma das seguintes equações reduzidas da parábola:
x− c1 = p (y− c2)2 ou y− c2 = p (x− c1)
2.
Propriedade 8 A parábola tem as seguintes características:
1. é simétrica em relação à recta que passa pelo foco e é perpendicular à directriz;
2. a distância do ponto P ao foco ou à directriz é dada por d1 = d2 = 14p;
3. a distância do foco à directriz é 12p;
4. vértice: (c1, c2) ;
5. a excentricidade da parábola (que indica a razão das distâncias de qualquer um dospontos ao foco e à directriz) é e = 1;
Foco sobre a recta y = c2Foco:
³c1 +
14p, c2
´Directriz: x = c1 − 1
4p
p > 0 p < 0
voltada para a direita voltada para a esquerda
x
y
1c
2c F
D
x
y
1c
2c F
D
x
y
1c
2c F
D
x
y
1c
2c F
D
45 Novembro de 2010
Foco sobre a recta x = c1
Foco:³c1, c2 +
14p
´Directriz: y = c2 − 1
4p
p > 0 p < 0
voltada para cima voltada para baixo
x1c
y
2c
F
Dx
1c
y
2c
F
D
x1c
y
2c
F
D
x1c
y
2c
F
D
2.3.3 Hipérbole
Se o plano secante é paralelo ao eixo, a linha obtida é uma hipérbole.
Definição 52 Uma hipérbole é um conjunto de pontos P do plano em que o módulo dadiferença das distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (chamados focos da hipérbole),designadas d1 e d2 respectivamente, é constante e menor que a distância entre F1 e F2.
1F 2F
2d1dP
1 2 2 (constante)d d a− =
vértice
centro
eixo não transverso
eixo transverso
1A2A
c b
a
1F 2F
2d1dP
1 2 2 (constante)d d a− =
vértice
centro
eixo não transverso
eixo transverso
1A2A
c b
a
Equação Reduzida da HipérboleConsiderando uma hipérbole de centro (c1, c2) em que os focos estão na recta y = c2 ou narecta x = c1, obtem-se uma das seguintes equações reduzidas da hipérbole:
Focos sobre a recta y = c2 Focos sobre a recta x = c1(x−c1 )
2
a2− (y−c2 )
2
b2= 1 (y−c2 )
2
b2− (x−c1 )
2
a2= 1
46 Novembro de 2010
Propriedade 9 A hipérbole tem as seguintes características:
1. é simétrica em relação à recta que passa pelos focos;
2. o módulo da diferença das distâncias do ponto P aos focos é dado por |d1 − d2 | = 2a;
3. a distância entre os focos (distância focal) é 2c e c > a;
4. centro da hipérbole: (c1, c2) ;
5. c2 = a2 + b2;
6. Assimptotas: y = c2 − ba(x− c1) e y = c2 + b
a(x− c1);
Focos sobre a recta y = c2 Focos sobre a recta x = c1Vértices: (c1 ± a, c2) Vértices: (c1, c2 ± b)Focos: (c1 ± c, c2) Focos: (c1, c2 ± c)Eixo transverso: 2a Eixo transverso: 2b
Eixo não transverso: 2b Eixo não transverso: 2aExcentricidade: e = c
a, onde e > 1 Excentricidade: e = c
b, onde e > 1
Directrizes: x = c1 − aee x = c1 + a
eDirectrizes: y = c2 − b
ee y = c2 + b
e
1F 2F
b a
y
x1c
2c
0
2y c=
1F 2F
b a
y
x1c
2c
0
2y c=
1F
2F
b
a
y
x0
2c
1c
1x c=
1F
2F
b
a
y
x0
2c
1c
1x c=
Exemplo 34 Considere a cónica definida pela equação −2x2+y2−4x−4y = 0. Determinea sua equação reduzida, identifique o tipo de cónica e represente-a graficamente.
Resolução:
−2x2 + y2 − 4x− 4y = 0 ⇔ ¡−2x2 − 4x
¢+¡y2 − 4y
¢= 0⇔⇔ −2
¡x2 + x
¢+¡y2 − 4y+ 4
¢= 4⇔⇔ −2
¡x2 + x+ 1
¢+¡y2 − 4y+ 4
¢= 4− 2⇔⇔ −2 (x+ 1)2 + (y− 2)2 = 2⇔⇔ −2(x+1)2
2+ (y−2)2
2= 2
2⇔
⇔ (y−2)2
2− (x+ 1)
2= 1.→ Equação reduzida da hipérbole
vertical de centro (−1, 2) , ondea = 1 e b =
√2.
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
( ) ( )2
221 1
2y
x−
− + =
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
( ) ( )2
221 1
2y
x−
− + =
47 Novembro de 2010
2.4 Exercícios Propostos
Exercício 65 Em que quadrantes se encontram os pontos (x, y) tais que x · y > 0?
Exercício 66 Considere o ponto A = (3, 1) . Indique as coordenadas dos pontos simétricosa A em relação:
1. à origem O;
2. ao eixo yy;
3. ao eixo xx.
Exercício 67 Num referencial o.n., considere os pontos A = (3, 2) e B = (2,−1) .
1. Calcule as coordenadas de−→AB;
2. Determine a norma e o versor de−→AB;
3. Indique o valor lógico da seguinte afirmação: "A distância de A a B é maior do que4".
Exercício 68 Determine as coordenadas do ponto P do eixo xx que é equidistante dos pontosA = (0, 5) e B = (−2,−2) .
Exercício 69 Calcule a distância do ponto P = (3,−4) ao ponto médio do segmento derecta AB, onde A = (1, 2) e B = (5, 4) .
Exercício 70 Num referencial o.n., considere o ponto A = (−1, 1) e os vectores −→u = (1, 2)e −→v = (0, 3) .1. Calcule as coordenadas dos seguintes objectos: A + −→u e −→u − 2−→v . Represente-os noplano.
2. Determine o coseno de −→u ^−→v .Exercício 71 Considere a recta r cuja equação é dada por x+ y+ 10 = 0.
1. Indique o declive e a ordenada na origem de r;
2. Determine a abcissa do ponto de r cuja ordenada é 5.
Exercício 72 Escreva uma equação da recta que passa pelos pontos A = (3, 0) e B = (0, 2) .
Exercício 73 Escreva a equação reduzida da recta s que passa pelo ponto P = (−1, 1) e quetem a direcção do vector −→u = (1, 2) .Exercício 74 Considere o ponto A = (−2,−3) e a recta r definida pela equação15x− 3y+ 27 = 0.
1. Indique a equação reduzida da recta paralela à recta r que passa pelo ponto A;
2. Determine a distância do ponto A à recta r;
3. Escreva a equação reduzida da mediatriz do segmento de recta AB, onde B = (1,−2) .
48 Novembro de 2010
Exercício 75 Determine o ponto de intersecção das rectas 2x+ y− 4 = 0 e x+ y+ 1 = 0.
Exercício 76 Determine o centro, os focos, os vértices e as directrizes da elipse cuja equaçãoreduzida é x2
4+ (y+1)2
3= 1. Represente-a graficamente.
Exercício 77 Mostre que a equação 4x2 + 3y2 − 8x + 12y − 32 = 0 representa uma elipsee calcule as coordenadas do seu centro, dos focos e dos vértices; escreva as equações dasdirectrizes.
Exercício 78 Escreva a equação reduzida da circunferência e represente-a graficamente:
1. de centro (−1, 3) e raio 2;
2. de centro (0,−2) e raio√2;
3. que passa pelos pontos (1,−2) , (0, 1) e (9, 4) .
Exercício 79 Represente a parábola dada pela equação x = −2 (y+ 1)2+ 1, apresentando
o respectivo foco e directriz.
Exercício 80 Escreva a equação reduzida da parábola cujo vértice é o ponto (5, 4) e cujadirectriz é y = 8. Indique as coordenadas do foco.
Exercício 81 A equação 9y2 − 16x2 + 64x + 54y + 161 = 0 representa uma hipérbole.Determine o seu centro, focos, vértices e assimptotas.
Exercício 82 Identifique as seguintes cónicas e faça um esboço do seu gráfico:
1. 4x2 + 9y2 − 16x+ 18y− 11 = 0;
2. 25x2 − 36y2 − 100x− 72y− 836 = 0;
3. y2 − 4y− 12x− 8 = 0.
Exercício 83 A Terra move-se à volta do Sol com uma órbita elíptica e o Sol ocupa um dosfocos. O comprimento do eixo maior é 14957000 km e a excentricidade é 0, 0167. Determinea que distância a Terra fica do Sol, quando esta se situa no vértice mais próximo do Sol.
Exercício 84 O tecto de uma igreja tem 30 metros de largura e a forma de uma semi-elipse.No centro da igreja a altura é de 16 metros e as paredes laterais têm de altura 10 metros.Determine a altura da igreja a 5 metros de uma das paredes laterais.
10m 10m
30m5m 5m
16m
10m 10m
30m5m 5m
16m
49 Novembro de 2010
Exercício 85 A figura representa o esquema de uma ponte que se apoia no solo em A eB. AOB é um arco de parábola de eixo de simetria OD. Sabemos que d (A,B) = 80 m ed (O,D) = 120 m. Tomando por unidade 1 metro e considerando o referencial ortonormadode origem O cujo semieixo positivo das abcissas é OC.
E O C
A B
S
T
D
E O C
A B
S
T
D
Determine:
1. Uma equação da parábola que contém o arco AOB;
2. As coordenadas dos pontos da parábola cuja distância ao solo é 90 m;
3. A altura do poste [AS] , sabendo que ST é tangente à parábola com declive 1.
Exercício 86 Os cabos de suspensão da ponte (na figura) estão presos a duas torres quedistam 480 m e têm 60 m de altura. Os cabos tocam a ponte no centro. Determine aequação da parábola que tem a forma dos cabos.
y
xO
( )240,60
y
xO
( )240,60
50 Novembro de 2010
2.5 Soluções
Solução 65 No 1o e 3o quadrantes.
Solução 66 .
1. (−3,−1) .
2. (−3, 1) .
3. (3,−1) .
Solução 67 .
1.−→AB = (−1,−3) .
2.°°°−→AB°°° = √10 e vers−→AB = ³−√
1010,−3
√1010
´.
3. Falso.
Solução 68 P =¡174, 0¢.
Solução 69 7.
Solução 70 .
1. A+−→u = (0, 3) e −→u − 2−→v = (1,−4) .
0 x
y
1 2
1
2
-2
-1
3
-3
-4
A u+r
2u v−r r
0 x
y
1 2
1
2
-2
-1
3
-3
-4
A u+r
2u v−r r
2. cos¡−→u ^−→v ¢ = 2
√55.
Solução 71 .
1. m = −1 e b = −10.
2. x = −15.
Solução 72 2x− 3y− 6 = 0.
Solução 73 y = 2x+ 3.
Solução 74 .
1. y = 5x+ 7.
2. d =√2613.
3. y = −3x− 4.
51 Novembro de 2010
Solução 75 (5,−6) .
Solução 76 Centro: C = (0− 1) , Focos: F1 = (−1,−1) e F2 = (1,−1) , Vértices:
A1 = (2,−1) , A2 = (−2, 1) , B1 =³0,−1−
√3´e B2 =
³0,−1+
√3´, Directrizes: x = −4
e x = 4.
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
·· ·F1 F2CA2 A1
B1
B2
Solução 77 Centro: C = (1− 2) , Focos: F1 = (1, 0) e F2 = (1,−4) , Vértices:
A1 =³1+ 2
√3,−2
´, A2 =
³1+ 2
√3,−2
´, B1 = (1, 2) e B2 = (1,−6) , Directrizes:
y = −10 e y = 6.
Solução 78 .
1. (x+ 1)2 + (y− 3)2 = 4.
-4 -3 -2 -1 0 1 2
1
2
3
4
5
6
x
y
·
2. x2 + (y+ 2)2 = 2.-2 -1 0 1 2
-4
-3
-2
-1
xy
·
3. (x− 5)2 + (y− 1)2 = 25.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
y
·
52 Novembro de 2010
Solução 79
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
·F
x=9/8
Solução 80 y− 4 = − 116(x− 5)
2 e F = (5, 0) .
Solução 81 Centro: C = (2− 3) , Focos: F1 = (−3,−3) e F2 = (7,−3) , Vértices:V1 = (−1,−3) e V2 = (5,−3) , Assímptotas: y+ 3 = −4
3(x− 2) e y+ 3 = 4
3(x− 2).
Solução 82 .
1. Elipse de equação reduzida: (x−2)2
32+ (y+1)2
22= 1, com a = 3, b = 2 e c =
√5. Centro:
C = (2,−1) , Vértices: A1 = (−1,−1) , A2 = (5,−1) , B1 = (2,−3) e B2 = (2, 1) .
-1 1 2 3 4 5 6
-3
-2
-1
1
2
x
y
CA1 A2
B1
B2
F1· F2·
2. Hipérbole de equação reduzida: (x−2)2
62− (y+1)2
52= 1, com a = 6, b = 5 e c =
√61.
Centro: C = (2,−1) , Vértices: V1 = (−4,−1) e V2 = (8,−1) .
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
·C· ·V1 V2· ·F1 F2
3. Parábola de equação reduzida: x+ 1 = (y−2)2
12, com p = 1
12. Vértice: V = (−1, 2) .
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
x
y
·V ·F
53 Novembro de 2010
Solução 83 7 353 609.1 km.
Solução 84 14.472 m.
Solução 85 .
1. y = − 340x2.
2. P1 = (20,−30) e P2 = (−20,−30).
3. ≈ 83.33.
Solução 86 y = x2
960.
54 Novembro de 2010
3 Funções Reais de Variável Real
3.1 Definição
O médico, teólogo, astrónomo e matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) desenvolveutrabalhos em quase todos os ramos da Matemática, com destaque para a Análise - estudosdos processos infinitos - desenvolvendo a ideia de função. Foi também o responsável pelaadopção do símbolo f (x) para representar uma função de x.O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática. O uso de funçõespode ser encontrado em inúmeras situações da vida corrente; por exemplo, na tabela depreços de uma loja, onde a cada produto corresponde um determinado preço, ou no preço aser pago numa conta de luz, que depende da quantidade de energia consumida. Na análisecientífica de fenómenos em Física, Biologia ou Economia por exemplo, há a necessidade douso de funções.O conceito básico de função surge quando nos deparamos com a necessidade de estabele-cer uma correspondência entre dois conjuntos de objectos que faça a associação de todoo elemento do primeiro conjunto a um único elemento do segundo. Para se poder definiruma função é necessário começar por apresentar os conceitos de produto cartesiano e decorrespondência.
Definição 53 Dados dois conjuntos não vazios X e Y, define-se produto cartesiano entreX e Y, denotado por X × Y, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x, y)onde x ∈ X e y ∈ Y.Simbolicamente escrevemos:
X× Y = {(x, y) : x ∈ X∧ y ∈ Y} .
Observação 4 Se X possui m elementos e Y possui n elementos, então X×Y possui m×nelementos.
Exemplo 35 Dados os conjuntos X =©−1, 0, 1
2
ªe Y = {−2, 0}, defina os produtos carte-
sianos X× Y e Y × X.Resolução:X× Y =
©(−1,−2) , (−1, 0) , (0,−2) , (0, 0) ,
¡12,−2
¢,¡12, 0¢ªe
Y × X =©(−2,−1) , (−2, 0) ,
¡−2, 1
2
¢, (0,−1) , (0, 0) ,
¡0, 1
2
¢ª.
Observação 5 O produto cartesiano de R por R é o conjunto
R×R = R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} .
Definição 54 Qualquer subconjunto de X× Y diz-se uma correspondência (ou relação)de X para Y.
Exemplo 36 Relativamente ao produto cartesiano do exemplo anterior
X× Y =¯(−1,−2) , (−1, 0) , (0,−2) , (0, 0) ,
µ1
2,−2
¶,
µ1
2, 0
¶°,
indique algumas correspondências de X para Y.
Resolução:R1 = {(−1,−2) , (−1, 0) , (0,−2)}, R2 =
©(−1, 0) ,
¡12, 0¢ªou R3 = ∅.
55 Novembro de 2010
Definição 55 Sejam X e Y conjuntos não vazios. Uma função (ou aplicação) f definidaem X com valores em Y (ou, uma função f de X em Y) é uma correspondência que a cadaelemento x ∈ X faz corresponder um único elemento y ∈ Y.Simbolicamente escrevemos:
∀x∈X∃1y∈Y : y = f (x) .
É habitual representar-se a função f como:
f : X → Y
x 7→ y = f (x)
Observação 6 Para que exista uma função de X em Y, exige-se que a cada x ∈ X estejaassociado um único y ∈ Y, podendo no entanto existir y ∈ Y que não esteja associado anenhum elemento pertencente ao conjunto X.
Exemplo 37 Observando os seguintes diagramas, indique, justificando quais das relaçõessão funções:
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
X Y1R
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
X Y1R
1
3
5
7
-1
0
1
2
3
X Y2R
1
3
5
7
-1
0
1
2
3
X Y2R
2
4
6
8
0
1
4
3
5
X Y
6
9
3R2
4
6
8
0
1
4
3
5
X Y
6
9
3R
Resolução:R1 não é uma função, pois o elemento 1 do conjunto X não está associado a nenhum elemen-to do conjunto Y.R2 não é uma função, pois o elemento 5 do conjunto X está associado a mais de um elementodo conjunto Y.R3 é uma função, pois todo o elemento do conjunto X está associado a somente um elementodo conjunto Y.
Definição 56 A cada elemento x ∈ X dá-se o nome de objecto; se um elemento x ∈ X es-tiver associado a um elemento y ∈ Y, diz-se que y é a imagem de x, denotando-se y = f (x).Como x e y têm valores que variam nos conjuntos X e Y, recebem o nome de variáveis. Avariável x é chamada variável independente e a variável y é chamada variável depen-dente, pois o valor de y depende do valor de x.Chama-se expressão analítica de uma função a uma expressão que traduza a regra queassocia os objectos às respectivas imagens, representando-se por f (x).
Definição 57 Seja f uma função qualquer de X em Y (f : X→ Y). O conjunto onde f estádefinida, X, é o conjunto de partida (ou domínio) de f e representa-se por Df; o conjuntoY é o conjunto de chegada (ou codomínio) de f ; ao conjunto f (X) ⊆ Y dá-se o nomede conjunto das imagens (ou contradomínio) de f e representa-se por D0
f ou CDf.
Observação 7 Para caracterizar uma função é necessário definir o seu domínio (Df), oseu contradomínio
¡D
0f
¢e uma lei ou expressão y = f (x) que relacione cada elemento do
domínio a um e só um elemento do contradomínio.
56 Novembro de 2010
Exemplo 38 Considere a função f : X→ Y representada pelo diagrama seguinte:
1
-3
3
2
0
1
9
4
6
X Yf1
-3
3
2
0
1
9
4
6
X Yf
Determine:
1. O domínio de f;
2. O codomínio de f;
3. f (1) ; f (−3) ; f (3) e f (2) ;
4. O contradomínio de f;
5. A expressão que define f.
Resolução:
1. Df = X = {−3, 1, 2, 3} ;
2. Y = {0, 1, 4, 6, 9} ;
3. f (1) = 1, f (−3) = f (3) = 9 e f (2) = 4;
4. D0f = {1, 4, 9} ;
5. f (x) = y = x2.
Definição 58 A função f diz-se uma função real de variável real (f.r.v.r.) quando, quero domínio quer o contradomínio, são subconjuntos do conjunto dos números reais (R) , istoé, Df ⊆ R e D
0f ⊆ R.
f : Df ⊆ R → Rx 7→ y = f (x)
Observação 8 O domínio de uma função real de variável real, se não é especificado, é omaior conjunto de valores de R para os quais a sua expressão analítica tem sentido, isto é, éo conjunto de todos os valores atribuíveis à variável independente x relativamente aos quaisas operações indicadas em f (x) são possíveis.
Exemplo 39 Considere a função real de variável real f (x) = 1x. Determine o seu domínio
e o seu contradomínio.
Resolução:Df = R\ {0} , pois não existe a divisão por zero; D
0f = R\ {0}, pois y = 1
x⇔ x = 1
ye portanto
y também não pode ser zero.
57 Novembro de 2010
Exemplo 40 Considere as seguintes funções reais de variável real, indicando para cada umao seu domínio:
1. f (x) = 5x+1;
2. f (x) =√2x− 4;
3. f (x) =√x−2√3−x.
Resolução:
1. Como x+ 1 é o denominador, este não poderá ser nulo (não existe divisão por zero).Portanto, x+ 1 6= 0⇔ x 6= −1. Logo, Df = R\ {−1} .
2. Como√2x− 4 só é possível em R se 2x− 4 ≥ 0⇔ x ≥ 2, então Df = [2,+∞[ .
3. Analisando o numerador,√x− 2 só é possível em R se x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2.
Relativamente ao denominador,√3− x só é possível em R se 3 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3.
Mas além disso,√3− x também está em denominador e portanto
√3− x 6= 0 ⇔⇔ 3− x 6= 0⇔ x 6= 3. Juntando as duas condições deve ter-se x < 3. Logo,
Df = {x ∈ R : x ≥ 2∧ x < 3} = {x ∈ R : 2 ≤ x < 3} = [2, 3[ .
3.2 Representação Gráfica
O gráfico de uma função permite ver, muito facilmente, toda a evolução da função. Porisso, cada vez mais no mundo actual é importante possuir algumas competências relativasà leitura e interpretação de gráficos. Os gráficos estão presentes, por exemplo, nos exameslaboratoriais, nas sondagens, nas acções da bolsa de valores, etc....
Definição 59 Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real de domínio Df.
O gráfico de uma função no plano é o conjunto de pares ordenados (x, y) ∈ R2 tais quey = f (x) e x ∈ Df.
Simbolicamente escrevemos:
Gf =©(x, y) ∈ R2 : x ∈ Df ∧ y = f (x)
ª.
Propriedade 10 Dado o gráfico cartesiano de uma função f : Df ⊆ R → R, pode-se dizerque:
1. A projecção da curva sobre o eixo xx dá-nos o domínio da função;
2. A projecção da curva sobre o eixo yy dá-nos o contradomínio da função;
3. Toda a recta vertical (r) que passa por um ponto do domínio da função, intercepta ográfico da função em, no máximo, um ponto (P).
58 Novembro de 2010
Exemplo 41 Considere a função f : Df ⊂ R→ R com a seguinte representação gráfica:
6
x
y
1 4
2
y = f(x)
r
P
6
x
y
1 4
2
y = f(x)
r
P
Determine o domínio e o contradomínio de f.
Resolução: Df = [1, 4] e D0f = [2, 6] .
Exemplo 42 Justifique que a seguinte representação gráfica não é uma função.
0 x
y
2-2
2
-2
x = 0
0 x
y
2-2
2
-2
x = 0
Resolução:Este gráfico não representa uma função pois ao considerar, por exemplo, a recta verticalx = 0, esta intersecta o gráfico em dois pontos diferentes. Ou seja, para o mesmo x existemdois y correspondentes. Por exemplo: f (0) = 2 ou f (0) = −2, o que contraria a definiçãode função.
Observação 9 Para construir o gráfico de uma função f, basta atribuir valores do domínio àvariável x na sentença matemática que define a função e calcular os valores correspondentesda variável y.
Exemplo 43 Construa o gráfico da função f : R→ R tal que f (x) = x2.
Resolução:Como Df = R, podem-se escolher alguns valores reais para a variável x. Constrói-se aseguinte tabela:
x y = f (x) = x2
−2 −22= −1
−1 −12= −1
2
0 02= 0
12
12
2= 1
4
1 12
59 Novembro de 2010
Colocam-se os pontos (−2,−1) ,¡−1,−1
2
¢, (0, 0) ,
¡12, 14
¢e¡1, 1
2
¢no plano e conclui-se que
o gráfico da função é uma recta que passa pelos cinco pontos encontrados.
210-1-2
2
1
-1
-2
x
y
-1/2
1/2
1/2
1/4
( )2xxfy ==
210-1-2
2
1
-1
-2
x
y
-1/2
1/2
1/2
1/4
( )2xxfy ==
3.3 Transformações do gráfico de uma função
Consideremos a função f : Df ⊆ R→ R, uma função real de variável real qualquer, e b umaconstante real positiva (b > 0) .Pretende-se comparar o gráfico da função f com o gráfico de uma outra função g, cujosgráficos têm a mesma forma básica. Neste caso diz-se que g é uma transformação dafunção f.Vejamos os tipos básicos de transformações:
• g (x) = f (x+ b) - Deslocamento horizontal de b unidades para a esquerda.
• g (x) = f (x− b)−Deslocamento horizontal de b unidades para a direita.
0 x
yf(x) f(x-b)f(x+b)
(-b,0) (b,0)
0 x
yf(x) f(x-b)f(x+b)
(-b,0) (b,0)
• g (x) = f (x)+b - Deslocamento vertical de b unidades para cima.
• g (x) = f (x)−b - Deslocamento vertical de b unidades para baixo.
0 x
yf(x)
f(x)-bf(x)+b
(0,b)
(0,-b)0 x
yf(x)
f(x)-bf(x)+b
(0,b)
(0,-b)
60 Novembro de 2010
• g (x) = f (−x) - Reflexão em torno do eixo yy.
• g (x) = −f (x) - Reflexão em torno do eixo xx.
• g (x) = −f (−x) - Reflexão em torno da origem.
0 x
y f(x)f(-x)
0 x
y f(x)f(-x)
0 x
y f(x)
-f(x)
0 x
y f(x)
-f(x)
x
yf(x)
-f(-x)
0 x
yf(x)
-f(-x)
0
• g (x) = f (bx) , b > 1 - Contração horizontal uniforme de b unidades.
• g (x) = f (bx) , 0 < b < 1 - Expansão horizontal uniforme de b unidades.
0 x
y f(x)f(mx)
m > 1
0 x
y f(x)f(mx)
m > 1
0 x
y f(x)
f(mx)
0 < m < 1
0 x
y f(x)
f(mx)
0 < m < 1
• g (x) = bf (x) , b > 1 - Expansão vertical uniforme de b unidades.
• g (x) = bf (x) , 0 < b < 1 - Contração vertical uniforme de b unidades.
0 x
y mf(x) f(x)
m > 1
0 x
y mf(x) f(x)
m > 1
0 x
y f(x) mf(x)
0 < m < 1
0 x
y f(x) mf(x)
0 < m < 1
• g (x) = |f (x)| - Reflexão em torno do eixo xx da parte do gráfico que fica abaixo desteeixo.
g (x) = |f (x)| =
¯f (x) , f (x) ≥ 0−f (x) , f (x) < 0
.
0 x
y
f(x)
|f(x)|
0 x
y
f(x)
|f(x)|
61 Novembro de 2010
Exemplo 44 Na figura seguinte está parte da representação gráfica de uma função real devariável real f : R→ R :
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y f(x)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y f(x)
Represente graficamente a função g definida por:
1. g (x) = f (x+ 2) ;
2. g (x) = f (x− 1) ;
3. g (x) = f (x) + 2;
4. g (x) = f (x)− 1;
5. g (x) = f (−x) ;
6. g (x) = −f (x) ;
7. g (x) = f (2x) ;
8. g (x) = f¡x2
¢;
9. g (x) = 2f (x) ;
10. g (x) = f(x)
2;
11. g (x) = |f (x)| ;
12. g (x) = 1+ f (x− 2) .
Resolução:
1. 2. 3.
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
g(x) = f(x+2)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
g(x) = f(x+2)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(x-1)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(x-1)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
g(x) = f(x)+2
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
g(x) = f(x)+2
62 Novembro de 2010
4. 5. 6.
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(x) - 1
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(x) - 1
420-2-4
4
2
-2
-4
x
yg(x) = f(-x)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
yg(x) = f(-x)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
yg(x) = - f(x)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
yg(x) = - f(x)
7. 8. 9.
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(2x)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(2x)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(x/2)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(x/2)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = 2 f(x)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = 2 f(x)
10. 11. 12.
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(x)/2
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = f(x)/2
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = |f(x)|
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = |f(x)|
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = 1+ f(x-2)
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = 1+ f(x-2)
3.4 Propriedades
Apresentam-se em seguida algumas propriedades que caracterizam as funções.
3.4.1 Classificação
Seja f (x) uma função qualquer de X para Y (f : X→ Y) .
Definição 60 A função f é sobrejectiva se o contradomínio coincide com o conjunto dechegada. Isto equivale a afirmar que todo elemento de Y é imagem de pelo menos um elementode X.Simbolicamente escreve-se:
∀y∈Y∃x∈X : y = f (x) .Diagrama
X YfX Yf
Figura 2: f é sobrejectiva
63 Novembro de 2010
Definição 61 A função f é injectiva se a objectos diferentes correspondem imagens diferentes.Simbolicamente escrevemos:
∀x1 ,x2∈X : x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2)⇔⇔ ∀x1 ,x2∈X : f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Diagrama
X YfX Yf
Figura 3: f é injectiva
Definição 62 A função f é bijectiva se é simultaneamente injectiva e sobrejectiva.Simbolicamente escrevemos:
∀y∈Y∃1x∈X : y = f (x) .Diagrama
X YfX Yf
Figura 4: f é bijectiva
Exemplo 45 Estude as seguintes funções reais de variável real relativamente à sobrejectivi-dade e injectividade.
1. f : R→ R definida por f (x) = 2x;
2. g : R→ R definida por g (x) = x2.Resolução:
1. Pela observação do gráfico da função f conclui-se que o contradomínio da função f éD
0f = R, que coincide com o conjunto de chegada. Logo, f é sobrejectiva. Conclui-
se também que a objectos diferentes correspondem imagens diferentes, pelo que f éinjectiva, isto é, ∀x1 ,x2∈R : f (x1) = f (x2) ⇔ 2x1 = 2x2 ⇔ x1 = x2. Portanto, f é umafunção bijectiva.
210-1-2
2
1
-1
-2
x
y f(x) = 2x
210-1-2
2
1
-1
-2
x
y f(x) = 2x
64 Novembro de 2010
2. Pela observação do gráfico da função g conclui-se que o contradomínio da função gé D
0f = R+0 6= R. Logo, g não é sobrejectiva (portanto, g não é uma função bijec-
tiva). Conclui-se também que a objectos diferentes correspondem a mesma imagem(por exemplo g (−1) = g (1) = 1), pelo que g não é injectiva.
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = x2
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = x2
3.4.2 Paridade
Seja f uma função real de variável real qualquer de domínio Df (f : Df ⊆ R→ R) .
Definição 63 A função f diz-se par num subconjunto A do seu domínio se,f (−x) = f (x) para todo o x e −x em A.Simbolicamente escrevemos:
∀x, −x∈A : f (−x) = f (x) .Graficamente, se a função f é par, o seu gráfico é simétrico relativamente ao eixo yy.
0 x
y f(x)f(-x)
0 x
y f(x)f(-x)
Observação 10 Se f é uma função par, então não é injectiva.
Definição 64 A função f diz-se ímpar num subconjunto A do seu domínio se,f (−x) = −f (x) para todo o x e −x em A.Simbolicamente escrevemos:
∀x, −x∈A : f (−x) = −f (x) .
Geometricamente, se a função f é ímpar, o seu gráfico é simétrico relativamente à origemdo referencial.
x
yf(x)
-f(-x)
0 x
yf(x)
-f(-x)
0
Observação 11 Se uma função f não é par nem ímpar, diz-se que f não possui paridade.
65 Novembro de 2010
Exemplo 46 Classifique as seguintes funções reais de variável real em pares, ímpares ousem paridade.
1. f : R→ R definida por f (x) = x2;
2. g : R→ R definida por g (x) = x3;
3. h : R→ R definida por h (x) = x2 + 2x.Resolução:
1. f (−x) = (−x)2= x2 = f (x) , ∀x∈R. Assim, f é par; observa-se que o seu gráfico é
simétrico relativamente ao eixo yy :
420-2-4
4
3
2
1
y
x
f(x) = x2
420-2-4
4
3
2
1
y
x
f(x) = x2
2. g (−x) = (−x)3 = −x3 = −g (x) , ∀x∈R. Assim, g é ímpar; observa-se que o seu gráficoé simétrico relativamente à origem do referencial:
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = x3
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y g(x) = x3
3. h (−x) = (−x)2 + 2 (−x) = x2 − 2x 6= h (x). Assim, h não é par. Comoh (−x) 6= −h (x), então h não é ímpar. Conclui-se que h é uma função sem pari-dade; observa-se que o seu gráfico não é simétrico nem em relação ao eixo yy nem emrelação à origem:
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y h(x) = x2 + 2x
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y h(x) = x2 + 2x
3.4.3 Funções periódicas
Há importantes fenómenos que são representados por funções cujos gráficos são "modu-lares", isto é, são formados por conjuntos de pontos que se repetem em intervalos com umacerta amplitude T (a mesma para cada função deste tipo). Os fenómenos referidos dizem-seperiódicos.
66 Novembro de 2010
Definição 65 Seja f uma função real de variável real qualquer de domínio Df
(f : Df ⊆ R→ R) . A função f diz-se periódica de período T se, para todo o x e x + Tpertencentes a Df, existe pelo menos um número real não nulo T tal que f (x+ T) = f (x).Simbolicamente escrevemos:
∀x, x+T∈Df∃T 6=0 : f (x+ T) = f (x) .
Ao menor número positivo T que satisfaz a equação anterior chama-se período de f.
Observação 12 Se f é uma função periódica então não é injectiva.
Exemplo 47 Observe os gráficos das seguintes funções reais de variável real e verifique sesão funções periódicas. Em caso afirmativo indique o seu período.
1. f : R→ R definida por f (x) = x;
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y f(x) = x
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y f(x) = x
2. g : R→ R definida por g (x) = senx;
π0
2
1
-1
-2
x
y
2π 3π-π-2π-3π
( ) sen g x x= 2π
π0
2
1
-1
-2
x
y
2π 3π-π-2π-3π
( ) sen g x x= 2π
Resolução:
1. Pela observação do gráfico da função f, conclui-se que não é uma função periódica.
2. Pela observação do gráfico da função g, conclui-se que é uma função periódica cujoperíodo é 2π.
3.4.4 Sinal
A observação de um gráfico de uma função permite de imediato perceber em que pontosdo domínio a função é positiva, negativa ou nula, isto é, as abcissas dos pontos do gráficosituados, respectivamente, acima do eixo das abcissas, abaixo deste ou no próprio eixo.
67 Novembro de 2010
Definição 66 Seja f uma função real de variável real de domínio Df (f : Df ⊆ R→ R) edesignemos por A uma parte do seu domínio (A ⊆ Df) .
(i) f é positiva em A se f (x) > 0 para qualquer x pertencente a A.Simbolicamente escrevemos:
∀x∈A : f (x) > 0.
(ii) f é negativa em A se f (x) < 0 para qualquer x pertencente a A.Simbolicamente escrevemos:
∀x∈A : f (x) < 0.
(iii) Quando f (x) = 0, para algum x pertencente a A, f diz-se nula em x e x diz-se umzero (ou raíz) de f.Simbolicamente escrevemos:
∃x∈A : f (x) = 0.
Exemplo 48 Observe a representação gráfica da função f, indique os pontos onde f se anulae os intervalos onde f é positiva e negativa.
-2 2 4
- 2-1
123
x
y
-1 3 51
( )f x
-2 2 4
- 2-1
123
x
y
-1 3 51
( )f x
Resolução: f é positiva em ]−∞,−1[∪ ]3, 5[ e negativa em ]−1, 3[∪ ]5,+∞[ ; x = −1, x = 3e x = 5 são os zeros de f.
Exemplo 49 Determine, se possível, os zeros da função real de variável real f (x) =√x−1.
Resolução: Df = R+ e f (x) = 0⇔ √x− 1 = 0⇔ √x = 1⇔ ¡√x¢2= 12 ⇔ x = 1 ∈ Df.
Logo, x = 1 é o único zero de f.
3.4.5 Monotonia
Outra informação que se pode de imediato extrair da representação gráfica de uma funçãodiz respeito ao sentido de variação da função, isto é, se a função aumenta, diminui ou se semantém constante num determinado intervalo do seu domínio.
Definição 67 Seja f uma função real de variável real de domínio Df (f : Df ⊆ R→ R) edesignemos por A uma parte do seu domínio (A ⊆ Df) .
(i) f é crescente (respectivamente, estritamente crescente) em A se, para quaisquerx1 e x2 pertencentes a A tais que x1 > x2, se tem f (x1) ≥ f (x2) (resp. f (x1) > f (x2)) .Simbolicamente escrevemos:
∀x1 ,x2∈A : x1 > x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2) .
68 Novembro de 2010
Graficamente:
x2x10 x
y
f (x1)
f (x2)
f (x)
x2x10 x
y
f (x1)
f (x2)
f (x)
(ii) f é decrescente (respectivamente, estritamente decrescente) em A se, para quais-quer x1 e x2 pertencentes a A tais que x1 > x2, se tem f (x1) ≤ f (x2) (resp. f (x1) < f (x2)) .Simbolicamente escrevemos:
∀x1 ,x2∈A : x1 > x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2) .
Graficamente:
0x
y
x2x1
f (x2)
f (x1)
f (x)
0x
y
x2x1
f (x2)
f (x1)
f (x)
(iii) f é constante em A se f (x1) = f (x2) , quaisquer que sejam os valores de x1 e x2pertencentes a A.Simbolicamente escrevemos:
∀x1 ,x2∈A : f (x1) = f (x2) .
Graficamente:
0x
y
x2x1
f (x1) = f (x2) f (x)
0x
y
x2x1
f (x1) = f (x2) f (x)
Definição 68 A função f diz-se monótona em A se é crescente ou decrescente em A.
Observação 13 .
• A soma de duas funções crescentes (respectivamente, decrescentes) é uma função cres-cente (respectivamente, decrescente).
• O produto de duas funções crescentes e positivas é uma função crescente.
• Se f é uma função crescente (respectivamente, decrescente) então a sua simétrica −fé uma função decrescente (respectivamente, crescente).
• Se f é uma função crescente (respectivamente, decrescente) e positiva então o seuinverso 1
fé uma função decrescente (respectivamente, crescente).
69 Novembro de 2010
Exemplo 50 Estude quanto à monotonia as seguintes funções reais de variável real.
1. f : R→ R definida por f (x) = x+ 3;
2. g : R→ R definida por g (x) = −x+ 2.
Resolução:
1. Considerando quaisquer x1, x2 ∈ R tais que x1 > x2 ⇒ x1+3 > x2+3⇔ f (x1) > f (x2) ,
isto é, quando os valores do domínio crescem, as suas imagens também crescem. Logo,f (x) é uma função estritamente crescente em R.
-4 -2 2 4
-2
2
4
6
x
y
f(x)=x+3
2. Considerando quaisquer x1, x2 ∈ R tais que x1 > x2 ⇔ −x1 < −x2 ⇔⇔ −x1+2 < −x2+2⇔ g (x1) < g (x2) , isto é, quando os valores do domínio crescem,as suas imagens decrescem. Logo, g (x) é uma função estritamente decrescente em R.
-4 -2 2 4
-2
2
4
6
x
y
g(x)=-x+2
Observação 14 .
• Se o domínio de uma função é uma reunião de intervalos e se a função é crescente(decrescente) no seu domínio, ela é crescente (decrescente) em cada um dos subinter-valos que o constitui. A recíproca é falsa, por exemplo, a função f definida em [0, 2]por
f (x) =
¯x , 0 ≤ x < 1
x− 1 , 1 ≤ x ≤ 2cujo gráfico é
2
12
x
y
1
( )f x
2
12
x
y
1
( )f x
é crescente em [0, 1[ e em [1, 2] , mas não é crescente em [0, 2] . Mais geralmente, seuma função é crescente (decrescente) emA e em B, ela não é necessariamente crescente(decrescente) em A ∪ B.
70 Novembro de 2010
• Quando se define crescimento e decrescimento num conjunto A não se faz qualquerrestrição às características desse conjunto.Assim uma função pode ser crescente oudecrescente em conjuntos abertos, fechados ou não abertos nem fechados. Convém terem conta situações como:
0
1
x
y
1
( )f x
0
1
x
y
1
( )h x
0
1
x
y
1
( )g x
-10
1
x
y
1
( )f x
0
1
x
y
1
( )h x
0
1
x
y
1
( )g x
-1
A função f é crescente em [0, 1] ; a função g não é crescente em [0, 1] mas é crescenteem [0, 1[ ; a função h não é crescente em [0, 1] mas é crescente em ]0, 1[ .
3.4.6 Extremos
Definição 69 Seja f uma função real de variável real de domínio Df (f : Df ⊆ R→ R) .
Extremos locais .
(i) f tem um máximo local (ou relativo) em x = a ∈ Df (ou f (a) é um máximo local def (x)) se existe uma vizinhança de a, Va = ]a− ², a+ ²[ , tal que
∀x∈Va∩Df : f (x) ≤ f (a) .
(ii) f tem um mínimo local (ou relativo) em x = a ∈ Df (ou f (a) é um mínimo local def (x)) se existe uma vizinhança de a, Va = ]a− ², a+ ²[ , tal que
∀x∈Va∩Df : f (x) ≥ f (a) .
Extremos absolutos .
(i) f tem um máximo absoluto em x = a ∈ Df (ou f (a) é o máximo absoluto de f (x)) se
∀x∈Df: f (x) ≤ f (a) .
(ii) f tem um mínimo absoluto em x = a ∈ Df (ou f (a) é o mínimo absoluto de f (x)) se
∀x∈Df: f (x) ≥ f (a) .
Graficamente:
0 x
y
a b c df (a) mínimo absoluto
f (b) máximo relativo
f (c) mínimo relativo
f (d) máximo absoluto
0 x
y
a b c df (a) mínimo absoluto
f (b) máximo relativo
f (c) mínimo relativo
f (d) máximo absoluto
71 Novembro de 2010
Observação 15 .
• Um extremo absoluto é um extremo local. No caso da função ter máximo absoluto (resp.mínimo absoluto), este coincide com o maior (resp. menor) dos máximos relativos(resp. mínimos relativos). Mas uma função pode ter máximos e mínimos locais no seudomínio e não ter máximo nem mínimo absolutos.
• No caso de funções contínuas no seu domínio, se uma função é crescente (decrescente)à esquerda de x = a e decrescente (crescente) à direita de x = a, então ela tem ummáximo relativo (mínimo relativo) em x = a.
Exemplo 51 Observe a representação gráfica da função f, indicando os extremos relativose absolutos de f.
- 3 -2 -1 1 2 3 4-6
5
11
x
y
-15
( )f x
- 3 -2 -1 1 2 3 4-6
5
11
x
y
-15
( )f x
Resolução:f tem um máximo relativo: f (3) = 0, um máximo absoluto: f (−1) = 11, um mínimo relativo:f (2) = −6 e um mínimo absoluto: f (−3) = −15.
3.4.7 Concavidade
Definição 70 Seja f uma função real de variável real de domínio Df (f : Df ⊆ R→ R) edesignemos A uma parte do seu domínio (A ⊆ Df) .
(i) f tem a concavidade voltada para cima em A se o gráfico de f está acima da rectatangente em qualquer um dos pontos de A.Graficamente:
(ii) f tem a concavidade voltada para baixo em A se o gráfico de f está abaixo da rectatangente em qualquer um dos pontos de A.Graficamente:
72 Novembro de 2010
3.4.8 Pontos de Inflexão
Definição 71 Seja f uma função real de variável real de domínio Df (f : Df ⊆ R→ R) .Diz-se que f tem um ponto de inflexão em x = a se o sentido da concavidade à esquerdade a e à direita de a é diferente.Graficamente:
Ponto de Inflexão
" "Concavidadevoltada para cima
" "Concavidadevoltada para baixo
Ponto de Inflexão
" "Concavidadevoltada para cima
" "Concavidadevoltada para baixo
Exemplo 52 Observe a representação gráfica da função f, indicando as concavidades e pon-tos de inflexão de f.
- 3 -2 -1 1 2 3 4-6
5
11
x
y
-15
( )f x
- 3 -2 -1 1 2 3 4-6
5
11
x
y
-15
( )f x
Resolução:f tem a concavidade voltada para baixo em ]−3, 0[ e voltada para cima em ]0, 3[ ; f tem umponto de inflexão em x = 0.
3.4.9 Função Limitada
Definição 72 Seja f uma função real de variável real de domínio Df (f : Df ⊆ R→ R) edesignemos por A uma parte do seu domínio (A ⊆ Df) . A função f diz-se limitada em A
se f (A) = {f (x) : x ∈ A} é um conjunto limitado, ou seja, se f (A) é um conjunto majoradoe minorado.Simbolicamente escrevemos:
∃m, M∈R∀x∈A :m ≤ f (x) ≤M⇔⇔ ∃M>0∀x∈A : |f (x)| ≤M.
Definição 73 Uma função f diz-se ilimitada em A se não for limitada em A.
Exemplo 53 Verifique se as seguintes funções são limitadas no conjunto I.
1. f : R→ R definida por f (x) = x2, onde I = [−1, 1] ;
2. g : R\ {0}→ R definida por g (x) = 1x, onde I = ]0, 1] .
73 Novembro de 2010
Resolução:
1. Da observação do gráfico da função f (x) = x2 resulta que f ([−1, 1]) = [0, 1], isto é,0 ≤ f (x) ≤ 1, ∀x∈[−1,1]. Logo, f é limitada no conjunto I = [−1, 1] .
-1 0 1
1
x
y
( ) 2f x x=
-1 0 1
1
x
y
( ) 2f x x=
2. Observando o gráfico da função g (x) = 1x, verifica-se que g (]0, 1]) = [1,+∞[, isto é,
g (x) ≥ 1, ∀x∈]0,1]. Logo, g não é limitada no conjunto I = ]0, 1] .
0 1 2 3
1
2
3
x
y
( ) 1g xx
=
0 1 2 3
1
2
3
x
y
( ) 1g xx
=
3.5 Operações com Funções
Entre funções podem realizar-se diversas operações que originam outras funções.Dadas duas funções reais de variável real f e g (f : Df ⊆ R→ R e g : Dg ⊆ R→ R) e duascontantes k ∈ R e n ∈ N, as expressões
k× f (x) ; f (x) + g (x) ; f (x)− g (x) ; f (x)× g (x) ;
f (x)
g (x);
1
f (x); (f (x))n ; n
pf (x); |f (x)|
representam novas funções de x que se chamam, respectivamente, produto de uma cons-tante k por f, soma de f com g, diferença entre f e g, produto de f por g, quocientede f por g, o inverso de f, potência n de f, raíz de índice n de f e módulo de f.Em relação ao domínio destas funções, tem-se o seguinte:
Dkf = Dfn = D|f| = Df
Df+g = Df−g = Df×g = Df ∩Dg
D fg= Df ∩Dg ∩ {x ∈ R : g (x) 6= 0}
D 1f= Df ∩ {x ∈ R : f (x) 6= 0}
D n√f =
¯Df , n ímpar
Df ∩ {x ∈ R : f (x) ≥ 0} , n par.
74 Novembro de 2010
• Função composta
— Composição de f com g : (f ◦ g) (x)Se g (Dg) ⊆ Df, faz sentido definir a composição da função f com a função g comosendo uma nova função, representada por (f ◦ g) (x) . Primeiro determina-se g (x)e o resultado obtido é o objecto para a função f. Tem-seDf◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x) ∈ Df} .
f ◦ g : Df◦g ⊆ R → Rx 7→ y = (f ◦ g) (x) = f [g (x)] .
( )( ) ( )
g f
g g fD g D D
x g x f g x
→ ⊆ →
⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎡ ⎤⎣ ⎦
f go
( )( ) ( )
g f
g g fD g D D
x g x f g x
→ ⊆ →
⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎡ ⎤⎣ ⎦
f go
— Composição de g com f : (g ◦ f) (x)Se f (Df) ⊆ Dg, faz sentido definir a composição da função g com a função f, comosendo uma nova função, representada por (g ◦ f) (x) . Primeiro determina-se f (x) eo resultado obtido é o objecto para a função g. Tem-seDg◦f = {x ∈ R : x ∈ Df ∧ f (x) ∈ Dg} .
g ◦ f : Dg◦f ⊆ R → Rx 7→ y = (g ◦ f) (x) = g [f (x)] .
( )( ) ( )
f g
f f gD f D D
x f x g f x
→ ⊆ →
⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎡ ⎤⎣ ⎦
g fo
( )( ) ( )
f g
f f gD f D D
x f x g f x
→ ⊆ →
⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎡ ⎤⎣ ⎦
g fo
Observação 16 .
• Mesmo quando existem as duas funções compostas g ◦ f e f ◦ g, tem-se geralmenteg ◦ f 6= f ◦ g.
• A composta de duas funções crescentes (decrescentes) é uma função crescente (decres-cente).
• A composta de uma função crescente com uma função decrescente é uma função de-crescente.
75 Novembro de 2010
• A inversa de f : f−1 (x)
Se f é uma função injectiva, a função inversa da função f é uma nova função, representadapor f−1 (x) , em que os objectos são as imagens dadas por f.
f−1 : Df−1 ⊆ R → D0f−1
x 7→ y = f−1 (x) .
De notar que o contradomínio de uma função é o domínio da sua inversa e vice-versa, ouseja,
Df−1 = D0f e D
0
f−1 = Df.
Os gráficos de f e f−1 são simétricos relativamente à bissectriz dos quadrantes ímpares y = x.
0 x
yy = xf
f-1
0 x
yy = xf
f-1
Observação 17 .
•¡f ◦ f−1
¢(x) =
¡f−1 ◦ f
¢(x) = x.
• Para se obter a inversa de uma função, pode proceder-se da seguinte forma:1. Isolar a variável x;2. Trocar o x por y e o y por x.
Exemplo 54 Considere as funções f (x) = 2x − 5 e g (x) = x2 + 2 cujos domínios sãoDf = Dg = R, com as seguintes representações gráficas:
1050-5-10
10
5
-5
-10
x
y ( ) 52 −= xxf
1050-5-10
10
5
-5
-10
x
y ( ) 52 −= xxf
1050-5-10
10
5
-5
-10
x
y
( ) 22 += xxg
1050-5-10
10
5
-5
-10
x
y
( ) 22 += xxg
Determine as seguintes funções, represente-as graficamente e indique os respectivosdomínios:
1. (5f) (x) ;
2. (f+ g) (x) ;
3. (f× g) (x) ;
4.³fg
´(x) ;
5. f2 (x) ;
6. 3√g (x) ;
76 Novembro de 2010
7. |f| (x) ;
8. (f ◦ g) (x) ;
9.¡1f
¢(x) ;
10. f−1 (x) .
Resolução:
1. (5f) (x) = 5× f (x) = 5× (2x− 5) = 10x− 25 e D5f = R
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
f(x)=10x-25
2. (f+ g) (x) = f (x) + g (x) = (2x− 5) +¡x2 + 2
¢= x2 + 2x− 3 e Df+g = R ∩R = R
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
f(x)+g(x)=x²+2x-3
3. (f× g) (x) = f (x) × g (x) = (2x− 5) סx2 + 2
¢= 2x3 − 5x2 + 4x − 10 e
Df×g = R ∩R = R
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-20
-10
10
x
y
f(x)×g(x)=2x³-5x²+4x-10
4.³fg
´(x) = f(x)
g(x)= 2x−5
x2+2e D f
g= R ∩R ∩
©x ∈ R : x2 + 2 6= 0
ª= R
( )( ) 2
522 +−
=x
xxgxf
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
( )( ) 2
522 +−
=x
xxgxf
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
5. f2 (x) = (f (x))2 = (2x− 5)2 = 4x2 − 20x+ 25 e Df2 = R
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
f²(x)=4x²-20x+25
77 Novembro de 2010
6. 3√g (x) = 3
pg (x) = 3
√x2 + 2 e D 3
√g = R
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
( ) 3 23 2g x x= +
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
( ) 3 23 2g x x= +
7. |f| (x) = |f (x)| = |2x− 5| =
¯2x− 5 , 2x− 5 ≥ 0
− (2x− 5) , 2x− 5 < 0=
¯2x− 5 , x ≥ 5
2
−2x+ 5 , x < 52
e
D|f| = R
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
|f(x)|=|2x-5|
8. (f ◦ g) (x) = f [g (x)] = f¡x2 + 2
¢= 2
¡x2 + 2
¢− 5 = 2x2 − 1 e
Df◦g =©x ∈ R : x ∈ R∧
¡x2 + 2
¢∈ R
ª= R
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
(fog)(x)=2x²-1
9.¡1f
¢(x) = 1
f(x)= 1
2x−5e D 1
f= R ∩ {x ∈ R : 2x− 5 6= 0} = R\
©52
ª( ) 52
11−
=xxf
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
( ) 5211−
=xxf
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
10. f (x) = 2x− 5⇔ y = 2x− 5⇔ x = y+52assim f−1 (x) = x+5
2e Df−1 = D
0f = R
( )2
51 +=− xxf
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
( )2
51 +=− xxf
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
78 Novembro de 2010
3.6 Funções Algébricas
Grande parte dos fenómenos naturais podem ser representados pelas chamadas funções ele-mentares. Tratam-se de funções definidas por fórmulas que contêm um número finito deoperações algébricas ou trigonométricas efectuadas com o argumento, com a função e comalgumas constantes. As funções elementares dividem-se em algébricas e transcendentes.As funções transcendentes mais frequentemente utilizadas incluem as funções exponenciais,logarítmicas e trigonometricas (que serão vistas em outros capítulos).De seguida apresentam-se algumas funções algébricas bem conhecidas.
Definição 74 As funções algébricas mais simples são as funções polinomiais (ou funçõesalgébricas racionais inteiras) que têm a seguinte expressão
f (x) = anxn + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0
em que an, an−1, . . . , a0 são números reais designados coeficientes; se an 6= 0, a funçãopolinomial é de grau n, onde n é um número inteiro positivo.
Definição 75 Seja f (x) = (x− α)k.P(x) uma função polinomial de grau n + k, onde
α ∈ R, k ∈ N e P (x) é um polinómio de grau n Diz-se que α é uma raíz real de fde multiplicidade k.
Exemplo 55 A função f (x) = 2x6 + 6x5 + 8x4 + 8x3 + 6x2 + 2x tem duas raízes reais:α1 = −1 e α2 = 0, de mulplicidades 3 e 1 respectivamente. De facto, este polinómio podeescrever-se da seguinte forma:
f (x) = 2x6 + 6x5 + 8x4 + 8x3 + 6x2 + 2x = 2 (x+ 1)3 x(x2 + 1).
Faz-se em seguida uma breve referência às funções polinomiais de grau n = 1 (função afim);n = 2 (função quadrática) e n = 3 (função cúbica).
3.6.1 Função afim
Definição 76 As funções da forma f (x) =mx+b, ondem e b 6= 0, são chamadas funçõesafins. Estas funções têm as seguintes propriedades:
1. Df = D0f = R;
2. O seu gráfico é uma recta oblíqua;
3. m é o declive (ou inclinação) da recta em relação ao eixo das abcissas;
4. b é a ordenada na origem (ou ponto de intersecção) da recta com o eixo das ordenadas;
5. Tem um único zero em x = − bm;
6. Se m > 0, a função é crescente ∀x ∈ R, positiva se x > − bme negativa se x < − b
m;
79 Novembro de 2010
7. Se m < 0, a função é decrescente ∀x ∈ R, positiva se x < − bme negativa se x > − b
m.
0
b
x
ym > 0
0
b
x
ym < 0
y mx b= + y mx b= +
bm
−bm
−0
b
x
ym > 0
0
b
x
ym < 0
y mx b= + y mx b= +
bm
−bm
−
Definição 77 Considerando a função afim f (x) = mx + b, com b = 0 e m 6= 0, ou seja,f (x) = mx, a função afim designa-se por função linear (ou função de proporciona-lidade directa). Estas funções têm as mesmas propriedades que as funções afins com aparticularidade de:
1. O seu gráfico é uma recta que passa pela origem, pois b = 0;
2. Tem um único zero em x = 0;
3. Se m > 0, a função é crescente ∀x ∈ R, positiva se x > 0 e negativa se x < 0;
4. Se m < 0, a função é decrescente ∀x ∈ R, positiva se x < 0 e negativa se x > 0.
0 x
y
0 x
yy = mxm > 0
y = mxm < 0
0 x
y
0 x
yy = mxm > 0
y = mxm < 0
Definição 78 Considerando a função afim f (x) =mx+b, comm = 0, ou seja, f (x) = b, afunção afim designa-se por função constante. Estas funções têm as seguintes propriedades:
1. Df = R e D0f = {b} ;
2. O seu gráfico é uma recta horizontal, paralela ao eixo xx;
3. Não tem zeros;
4. Se b > 0, a função é positiva ∀x ∈ R;
5. Se b < 0, a função é negativa ∀x ∈ R.
0
b
x
y
y = b
b > 0
0b
x
y
y = b
b < 0
0
b
x
y
y = b
b > 0
0b
x
y
y = b
b < 0
80 Novembro de 2010
Observação 18 As funções lineares e afins são chamadas funções polinomiais de primeirograu e a função constante é chamada função polinomial de grau zero.
Exemplo 56 Indique as propriedades das seguintes funções e represente-as graficamente:
1. f (x) = 2x+ 1;
2. g (x) = −x;
3. h (x) = 1.
Resolução:
1. A função f (x) = 2x + 1 é uma função afim com Df = R e D0f = R; o seu gráfico é
uma recta oblíqua com declive m = 2 e ordenada na origem b = 1; tem um único zeroem x = −1
2; como m > 0, a função é crescente ∀x ∈ R, positiva se x > −1
2e negativa
se x < −12.
210-1-2
2
1
-1
-2
x
y f(x) = 2x + 1
210-1-2
2
1
-1
-2
x
y f(x) = 2x + 1
2. A função g (x) = −x é uma função linear com Dg = R e D0g = R; o seu gráfico é uma
recta oblíqua que passa pela origem com declive m = −1; tem um único zero em x = 0;como m < 0, a função é decrescente ∀x ∈ R, positiva se x < 0 e negativa se x > 0.
210-1-2
2
1
-1
-2
x
yg(x) = -x
210-1-2
2
1
-1
-2
x
yg(x) = -x
3. A função h (x) = 1 é uma função constante com Dh = R e D0h = {1}; o seu gráfico é
uma recta horizontal paralela ao eixo xx; não tem zeros e é positiva ∀x ∈ R.
210-1-2
2
1
-1
-2
x
y
h(x) = 1
210-1-2
2
1
-1
-2
x
y
h(x) = 1
3.6.2 Função quadrática
Dentro das dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são:faróis de carros, antenas parabólicas, radares, lançamento de projécteis, etc.
81 Novembro de 2010
Definição 79 Uma função quadrática (ou função polinomial do 2o grau) é umafunção expressa por um polinómio de segundo grau, ou seja, com uma expressão da formaf (x) = ax2+bx+c, onde a, b, c ∈ R e a 6= 0. Estas funções têm as seguintes propriedades:
1. Df = R;
2. O seu gráfico é uma parábola que passa pelo ponto (0, c);
3. Os zeros ou raízes são dados pela fórmula resolvente;
4. A soma das raízes é −bae o produto c
a;
5. As coordenadas do vértice da parábola são V =¡− b2a,− ∆
4a
¢, onde ∆ = b2 − 4ac;
6. O ponto F =³− b2a, 1+4ac−b
2
4a
´é o foco da parábola;
7. A recta y = −1+4ac−b2
4aé a directriz da parábola;
8. O valor absoluto de a determina a abertura da função, ou seja, quanto maior for |a|mais fechada é a parábola;
9. Concavidade:
a > 0 a < 0
Concavidade voltada para cima; Concavidade voltada para baixo;V é o mínimo da função; V é o máximo da função;D
0f =
£− ∆4a,+∞£ . D
0f =
¤−∞,− ∆
4a
¤.
0 x
y
ab2
−
a4∆
−V
0 x
y
ab2
−
a4∆
−V
0 x
y
ab2
−
a4∆
− V
0 x
y
ab2
−
a4∆
− V
10. Sinal:
(a) ∆ > 0
a > 0 a < 0
Negativo: Negativo:
x ∈i−b−
√∆
2a, −b+
√∆
2a
hx ∈
i−∞, −b−√∆
2a
h∪i−b+
√∆
2a,+∞h
Positivo: Positivo:
x ∈i−∞, −b−√∆
2a
h∪i−b+
√∆
2a,+∞h x ∈
i−b−
√∆
2a, −b+
√∆
2a
h
0 x
y
ab
2∆−−
ab
2∆+−
+ +
−0 x
y
ab
2∆−−
ab
2∆+−
+ +
−
0 x
y
ab
2∆−−
ab
2∆+−
+
−−
0 x
y
ab
2∆−−
ab
2∆+−
+
−−
82 Novembro de 2010
(b) ∆ = 0a > 0 a < 0
Positivo: ∀x ∈ R\©− b2a
ªNegativo: ∀x ∈ R\
©− b2a
ª
0 x
y
ab
2−
+ +
0 x
y
ab
2−
+ +
0 x
y
ab
2−
−−
0 x
y
ab
2−
−−
(c) ∆ < 0a > 0 a < 0
Positivo: ∀x ∈ R Negativo: ∀x ∈ R
0 x
y
+ ++
0 x
y
+ ++ 0 x
y
−− −
0 x
y
−− −
11. Monotonia
a > 0 a < 0
Decrescente: x ∈¤−∞,− b
2a
£Decrescente: x ∈
¤− b2a,+∞£
Crescente: x ∈¤− b2a,+∞£ Crescente: x ∈
¤−∞,− b
2a
£
0 x
y
ab2
−
0 x
y
ab2
−
0 x
y
ab
2−0 x
y
ab
2−
Observação 19 .
• A função f (x) = ax2 + bx+ c, onde a 6= 0, pode escrever-se na forma
f (x) = a (x− h)2+ k,
onde h = − b2a, k = 4ac−b2
4ae V = (h, k) .
• Se x1 e x2 são as raízes reais da função f (x) = ax2 + bx + c, então para todos osvalores reais de x
f (x) = ax2 + bx+ c = a (x− x1) (x− x2) .
• Se a função f (x) = ax2 + bx + c apenas tiver uma raíz real, x1, então para todos osvalores reais de x
f (x) = ax2 + bx+ c = a (x− x1)2.
83 Novembro de 2010
Exemplo 57 Indique as propriedades das seguintes funções e represente-as graficamente:
1. f (x) = x2 + 2x− 3;
2. g (x) = −2x2 + x− 2.
Resolução:
1. f (x) = x2 + 2x− 3. Logo, a = 1, b = 2 e c = −3.
• Df = R;• zeros: f (x) = 0 ⇔ x2 + 2x − 3 = 0 ⇔ x = −2±
√4+122
⇔ x = −3 ∨ x = 1; afunção f tem duas raízes reais (∆ > 0), podendo escrever-se f (x) = x2 + 2x+ 1 == (x+ 3) (x− 1) ;
• V =¡−22,−16
4
¢= (−1,−4) ;
• como a > 0, Gf tem a concavidade voltada para cima e V é o mínimo da função;• f é positiva em ]−∞,−3[ ∪ ]1,+∞[ e negativa em ]−3, 1[ ;
• f é decrescente em ]−∞,−1[ e crescente em ∀x ∈ ]−1,+∞[ .
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
f(x)=x²+2x-3
2. g (x) = −2x2 + x− 2. Logo a = −2, b = 1 e c = −2.
• Dg = R;
• zeros: g (x) = 0⇔ −2x2 + x− 2 = 0⇔ x = −1±√1−162
; a função g não tem raízes
reais (∆ < 0) mas, pode escrever-se g (x) = −2¡x− 1
4
¢2− 15
8;
• V =¡− 1
−4,−1−16
−8
¢=¡14,−15
8
¢;
• como a < 0, Gg tem a concavidade voltada para baixo e V é o máximo da função;• g é negativa em R;• g é decrescente em
¤14,+∞£ e crescente em ¤
−∞, 14
£.
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
xy
g(x)=-2x²+x-2
84 Novembro de 2010
3.6.3 Função cúbica
Definição 80 Uma função cúbica (ou função polinomial do 3o grau) é uma função ex-pressa por um polinómio de terceiro grau, ou seja, com uma expressão da formaf (x) = ax3 + bx2 + cx + d, onde a, b, c, d ∈ R e a 6= 0. Esta função tem as seguintespropriedades:
1. Df = D0f = R;
2. O seu gráfico passa pelo ponto (0, d);
3. Tem pelo menos um zero, podendo ter no máximo três zeros distintos;
4. Tem um ponto de inflexão em x = − b3a;
5. Concavidades e limites:
a > 0 a < 0
Conc. voltada para baixo em¤−∞,− b
3a
£; Conc. voltada para baixo em
¤− b3a,+∞£ ;
Conc. voltada para cima em¤− b3a,+∞£; Conc. voltada para cima em
¤−∞,− b
3a
£;
limx→+∞f (x) = +∞; lim
x→+∞f (x) = −∞;limx→−∞f (x) = −∞; lim
x→−∞f (x) = +∞;
Exemplo 58 Indique as propriedades da seguinte função real de variável real f (x) = x2 (x− 1)e represente-a graficamente.
Resolução: f (x) = x2 (x− 1) = x3 − x2. Logo a = 1, b = −1 e c = d = 0.
• Df = D0f = R;
• zeros: f (x) = 0 ⇔ x2 (x− 1) = 0 ⇔ x2 = 0 ∨ x − 1 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1;
a função f tem apenas duas raízes reais;
• f é positiva em ]−∞, 0[ ∪ ]1,+∞[ e negativa em ]0, 1[ ;
• f é crescente em ]−∞, 0[ e em ¤23,+∞£ ; decrescente em ¤
0, 23
£;
• máximo relativo: (0, 0) ; mínimo relativo:¡23,− 4
27
¢;
• f tem a concavidade voltada para baixo em¤−∞, 1
3
£e voltada para cima em
¤13,+∞£ ;
85 Novembro de 2010
• ponto de inflexão:¡13,− 2
27
¢.
- 2 - 1 1 2
-2
-1
1
2
x
y( ) ²( -1)f x x x=
- 2 - 1 1 2
-2
-1
1
2
x
y( ) ²( -1)f x x x=
3.6.4 Função algébrica racional fraccionária
Definição 81 A função algébrica racional fraccionária pode escrever-se como o quo-ciente de dois polinómios, isto é, expressa-se na forma
f (x) =p (x)
q (x)=anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0
bmxm + bm−1xm−1 + · · ·+ b1x+ b0
em que p (x) e q (x) são, respectivamente, polinómios de graus n e m e q (x) 6= 0. Assimsendo, as funções f (x) = x2
x+1e g (x) = x3+2
1+2x2são exemplos de funções algébricas racionais
fraccinárias.
3.6.5 Função algébrica irracional
Definição 82 Uma função algébrica diz-se irracional se não for racional. Entende-sepor função racional uma função que pode ser representada por uma expressão algébrica quecontém as operações de adição, subtracção, multiplicação e divisão, não incluindo extracções
de raíz. Assim sendo, as funções f (x) =√x, g (x) = 3
√x2 + 2x− 1 e h (x) = x
12 +3√1+2x2
sãoexemplos de funções algébricas irracionais.
Observação 20 A expressão algébrica√x4 + 4x2 + 4, apesar de incluir uma extracção de
raíz, define uma função racional uma vez que√x4 + 4x2 + 4 =
q(x2 + 2)
2= x2 + 2.
86 Novembro de 2010
3.7 Exercícios Propostos
Exercício 87 Considere os conjuntos A = {−2, 0, 1} e B =©−1, 1, 3
2
ª.
1. Defina o produto cartesiano A× B;
2. Indique uma correspondência de A para B.
Exercício 88 Observe os seguintes diagramas e considere os conjuntos A = {−2, 0, 1, 3} eB = {1, 2, 3} . Quais dos diagramas se encaixa na definição de função de A em B?
-2
0
1
3
1
2
3
b)
-2
0
1
3
1
2
3
a)
-2
0
1
3
1
2
3
c)
A A AB B B-2
0
1
3
1
2
3
b)
-2
0
1
3
1
2
3
a)
-2
0
1
3
1
2
3
c)
A A AB B B
Exercício 89 Considere a função f : X→ Y representada pelo diagrama seguinte:
2
4
6
8
0
1
3
5
7
X Y
6
9
2
4
6
8
0
1
3
5
7
X Y
6
9
Determine:
1. O domínio de f;
2. O codomínio de f;
3. f (2) ; f (4) ; f (6) e f (8) ;
4. O contradomínio de f;
5. A expressão que define f.
Exercício 90 Considere a função f : X→ Y definida por:
-6
-3
0
3
6
X Y
2
1
0
-1
-2
f-6
-3
0
3
6
X Y
2
1
0
-1
-2
f
1. Indique o domínio e o contradomínio de f;
2. Calcule f (−3) + f (3);
3. Resolva as equações:
(a) f (x) = −2;
(b) f (x) + 1 = f (0) ;
87 Novembro de 2010
(c) 4− f (x) = f (−6) ;
4. Construa outra função com o mesmo domínio, mas cujo contradomínio seja o conjunto{0, 1, 2} .
Exercício 91 Considere as seguintes funções reais de variável real e indique para cada umao seu domínio:
1. f (x) = 2x− 5;
2. f (x) = 3x−22x−8
;
3. f (x) =√x− 5;
4. f (x) = 3x+ 5 3√x− 4;
5. f (x) =√2x−1
3√6−2x
;
6. f (x) = 1|x|−3
;
7. f (x) =p2− |x− 1|;
8. f (x) = 3
q1+ 1
x;
9. f (x) = 3
qx+21+x2
;
10. f (x) = 3√x+ 5;
11. f (x) = 5
qx−3
x2−7x+10;
12. f (x) =p2− |x|;
13. f (x) =√x− 1+
√x+ 1;
14. f (x) = 1+√2−x
x2−4;
15. f (x) = 3x√x−1
x−4;
16. f (x) = 1x−|x|
;
17. f (x) =√4x+1
2x+√3x+1
;
18. f (x) =¯ √
x− 1 , x > 1√x
x, x < 1
;
19. f (x) =¯
x−2x+3
, x < 5√x+ 1 , x ≥ 5 ;
20. f (x) =
⎧⎨⎩√1− x , x < 02x
, 0 ≤ x ≤ 1x+√x− 3 , x > 1
88 Novembro de 2010
Exercício 92 Observe os seguintes gráficos e relacione-os com as respectivas funções:
210-1-2
4
2
-2
-4
x
y
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
210-1-2
4
2
-2
-4
x
y
b)a) c) d)
210-1-2
4
2
-2
-4
x
y
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
210-1-2
4
2
-2
-4
x
y
210-1-2
4
2
-2
-4
x
y
b)a) c) d)
1. f (x) = x3 − 1;
2. g (x) = 2;
3. h (x) = 2x+ 2;
4. j (x) = x2 − 2.
Exercício 93 Construa um esboço gráfico das seguintes funções:
1. f (x) = 2x− 2;
2. g (x) = x2;
3. h (x) = x3.
Exercício 94 Considere a função f : Df ⊂ R→ R com a seguinte representação gráfica:
1 2 3 4
3
5
x
y
( )f x
2
4
1 2 3 4
3
5
x
y
( )f x
2
4
Determine o domínio e o contradomínio de f.
Exercício 95 Use o gráfico da função f (x) para associar cada uma das seguintes funçõescom o seu gráfico.
- 8 -6 -4 -2 2 4 6
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y( )f xa
b
c
d
e
- 8 -6 -4 -2 2 4 6
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y( )f xa
b
c
d
e
1. f (x) + 3;
2. −f (−x)− 2;
3. f (x− 3) ;
4. −f (x− 4) ;
5. f (x+ 2)− 3.
89 Novembro de 2010
Exercício 96 Qual dos gráficos representa uma função:
1. sobrejectiva?
b)a) c)
A A AB B B
d)
A B
b)a) c)
A A AB B B
d)
A B
2. injectiva?
b)a) c)
A A AB B B
d)
A B
b)a) c)
A A AB B B
d)
A B
Exercício 97 Seja g : Z −→ Z uma função definida por g (x) = x2.
1. Mostre que esta função não é injectiva nem sobrejectiva.
2. Defina uma restrição de g que seja injectiva.
Exercício 98 Considere a função h : N0 → N definida por h (x) = x+ 1.
1. Qual é o contradomínio de h?
2. Averigue se h é uma função injectiva. Justifique.
Exercício 99 Considere as seguintes funções reais de variável real e indique, justificando,se são ou não bijectivas.
1. f : R→ R definida por f (x) = 3x+ 2;
2. g : R→ R definida por g (x) = x2 + 5;
3. h : R→ [0,+∞[ definida por h (x) = x2.Exercício 100 Dos gráficos seguintes, indique a respectiva paridade:
1.
-1
1
x
y
cos x
2π
2π
−03
2π
−32π5
2π
−52π
-1
1
x
y
cos x
2π
2π
−03
2π
−32π5
2π
−52π
90 Novembro de 2010
2.
-1
1
x
y
0 π 2π 3π3π− 2π− π−
sen x
-1
1
x
y
0 π 2π 3π3π− 2π− π−
sen x
Exercício 101 Estude a paridade das seguintes funções:
1. f (x) = 5x;
2. g (x) = x4 + 1;
3. h (x) = 3x2−x
+ x.
Exercício 102 Seja f : R→ R a função definida por:
f (x) =
¯(x− 1)
2, x > 0
g (x) , x < 0.
Determine g (x) de modo que f seja:
1. par;
2. ímpar.
Exercício 103 Observe os gráficos das seguintes funções reais de variável real e verifique sesão funções periódicas. Em caso afirmativo, indique o seu período.
1. f : R→ R tal que
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
x
y
f
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
x
y
f
2. h : R→ R definida por h (x) = cos2 x.
1
x
y
( ) 2cosh x x=
π0 2π 3π-π-2π-3π
π1
x
y
( ) 2cosh x x=
π0 2π 3π-π-2π-3π
π
91 Novembro de 2010
Exercício 104 Determine, se possível, os zeros das seguintes funções reais de variável real:
1. f (x) = x2 + 6x+ 9;
2. f (x) = 1− 3√x− 1;
3. f (x) =√x+3
1−√x+2;
4. f (x) =¯
x−2x+3
, x < 5√x+ 1 , x ≥ 5 ;
5. f (x) = 8− x3;
6. f (x) = x3 + x2;
7. f (x) = x−1x2+1
;
8. f (x) = x2−4x+2
;
9. f (x) = x+√x
x2−4;
10. f (x) = x−√x2;
11. f (x) =√x+1−
√2x
1−x;
12. f (x) =¯2− x , x ≤ −2
x2 − 4 , x > −2.
Exercício 105 A função real de variável real h (x) está definida por ramos como se indica:
h (x) =
⎧⎨⎩ 2x+ 4 , − 2 < x < 0
−2x+ 4 , 0 ≤ x < 2|x|− 2 , x ≤ −2∨ x ≥ 2
.
1. Faça um esboço do gráfico da função.
2. Resolva as equações:
(a) h (x) = 0;
(b) h (x) = 3.
Exercício 106 Considere a função real de variável real definida por:
y = −2−√x+ 5
1. Determine o domínio e o contradomínio da função;
2. Mostre que a função não tem zeros.
92 Novembro de 2010
Exercício 107 Considere o seguinte gráfico de uma função f definida em [−7, 3]
-7 -6 -5 -4 - 3 - 2 - 1 1 2 3
-2
-1
1
2
x
y
-7 -6 -5 -4 - 3 - 2 - 1 1 2 3
-2
-1
1
2
x
y
A partir do gráfico,
1. estude f quanto ao sinal;
2. estude f quanto à monotonia;
3. indique os extremos relativos e absolutos de f;
4. indique, caso existam, subintervalos do domínio onde uma restrição de f é:
(a) par;
(b) ímpar.
Exercício 108 Estude as seguintes funções quanto ao sinal, à monotonia e às concavidades:
1. f (x) = 8x+ 2;
2. g (x) = −x3;
3. h (x) = 3x;
4. j (x) = −x2 + 4x− 4.
Exercício 109 Indique, justificando, se as seguintes funções são limitadas no conjunto I.
1. f (x) =√x− 1, onde I = Df;
2. g (x) = x3, onde I = [−2, 2] ;
3. h (x) = x2
x+1, onde I = [−2, 0] ;
4. j (x) = |x|
x, onde I = Dj.
Exercício 110 Considere as funções f (x) =√x− 1 e g (x) = 1
x−2. Determine o domínio e
a expressão analítica das seguintes funções reais de variável real:√2f, f + g, f × g, f
g, f2,
3√f e |g| .
Exercício 111 Caracterize as funções f+ g e fg, sendo f e g duas funções reais de variável
real:
1. f (x) = x− 2 e g (x) = x2 − 4;
2. f (x) =√x+ 5 e g (x) =
√3− x.
93 Novembro de 2010
Exercício 112 Considere as funções f (x) = 2x− 4 e g (x) = 3x+ a, onde a ∈ R. Sabendoque f (1)− g (0) = 6, quanto vale f (2)− 5g (7) ?
Exercício 113 Definidas as funções f, g e h, pelos diagramas:
1
2
3
1
2
3
f g h1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
f g h1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
determine f ◦ g, g ◦ h, h ◦ f, g ◦ g nos pontos 1, 2 e 3.
Exercício 114 Se f (x) = 3x− 5 e g (x) = x2 + 2x− 3, obtenha (f ◦ g) (2) e (g ◦ f) (3) .
Exercício 115 Na figura seguinte estão representadas duas funções f e g
20
4
3
2
1
y
x
f
1
g
20
4
3
2
1
y
x
f
1
g
Determine:
1. as expressões analíticas de f e g;
2. Dg◦f;
3. g ◦ f¡12
¢;
4. Qual das representações seguintes pode ser a de g ◦ f (x) ?
0
4
3
2
1
y
x120
4
3
2
1
y
x1 0
4
3
2
1
y
x1 2 20
4
3
2
1
y
x1 2
a) b) c) d)
0
4
3
2
1
y
x120
4
3
2
1
y
x1 20
4
3
2
1
y
x1 0
4
3
2
1
y
x1 2 20
4
3
2
1
y
x1 2
a) b) c) d)
Exercício 116 Determine as expressões analíticas das funções g ◦ f, f ◦ g, g ◦ g e f ◦ f e osrespectivos domínios, sabendo que:
1. f (x) = x2 + 1 e g (x) = 2x− 4;
2. f (x) =√x e g (x) = x2.
Exercício 117 Caracterize as funções h ◦ j e j ◦ h:
1. h (x) = 2x e j (x) = 3x+ 2;
2. h (x) =√x+ 1 e j (x) = 1
x−2.
94 Novembro de 2010
Exercício 118 Sendo f (x) =¯
x−1x+3
, x > −6
5 , x ≤ −6e g (x) = x2, determine o domínio e a
expressão analítica de f+ g, f× g, fg, g ◦ f e g ◦ g.
Exercício 119 Determine, se possível, a inversa de cada uma das seguintes funções reaisde variável real e esboce o respectivo gráfico:
1. f (x) = x−12;
2. f (x) =√2x+ 5;
3. f (x) = x2 − x;
4. f (x) = x3 + 2;
5. f (x) = 2x+3x−5
;
6. f (x) = 1x2.
Exercício 120 Dadas as funções reais de variável real f (x) = 2x+4 e g (x) = x−1x+2, obtenha
f−1 (8) e g−1 (x) .
Exercício 121 Seja g : R −→ R a função definida por g (x) = x2 − 4.
1. Determine o domínio, o contradomínio e os zeros de g;
2. Mostre que não existe g−1;
3. Indique uma restrição de g que admita inversa. Defina a inversa nessa restrição eesboce o gráfico.
Exercício 122 Seja h a f.r.v.r definida por h (x) = x+12−x
− 2.
1. Determine os reais a e b tais que h (−1) = b e h (a) = −1;
2. Se possível, caracterize h−1.
Exercício 123 Seja f (x) =mx+b uma f.r.v.r. tal que f (−3) = 9 e f (5) = −7. Determinef (1) e o zero desta função.
Exercício 124 Determine m de modo que:
1. uma das raízes do polinómio x2 − 4x+m seja 2+√2;
2. o polinómio x2 +mx+m tenha uma raíz real não nula de multiplicidade 2.
Exercício 125 Sabe-se que os zeros da função quadrática f (x) = x2 + bx+ c são p = −7 eq = −1. Determine o vértice da parábola que representa o gráfico desta função.
Exercício 126 Considerando um rectângulo cujo perímetro mede 36 m, determine os seuslados sabendo que a sua área é máxima.
95 Novembro de 2010
Exercício 127 Represente graficamente as seguintes funções reais de variável real. Deter-mine os respectivos domínios e contradomínios e faça um estudo da bijectividade, paridade,sinal, monotonia, extremos, concavidades e pontos de inflexão. Indique, justificando, se sãoou não limitadas e se existe a respectiva função inversa.
1. f (x) = −3x+ 1;
2. g (x) = 2x2 + 2x− 12;
3. h (x) = x2+xx3−2
;
4. m (x) = 3√x− 1.
96 Novembro de 2010
3.8 Soluções
Solução 87 .
1. A× B =©(−2,−1) , (−2, 1) ,
¡−2, 3
2
¢, (0,−1) , (0, 1) ,
¡0, 3
2
¢, (1,−1) , (1, 1) ,
¡1, 3
2
¢ª.
2. R =©(−2, 1) ,
¡−2, 3
2
¢, (0,−1) , (1, 1) ,
¡1, 3
2
¢ª.
Solução 88 b.
Solução 89 .
1. Df = X = {2, 4, 6, 8} .
2. Y = {0, 1, 3, 5, 6, 7, 9} .
3. f (2) = 1; f (4) = 3; f (6) = 5 e f (8) = 7.
4. D0f = {1, 3, 5, 7} .
5. f (x) = x− 1.
Solução 90 .
1. Df = {−6,−3, 0, 3, 6} ;D0f = {−2,−1, 0, 1, 2} .
2. 0.
3. (a) C.S. = {6} .
(b) C.S. = {3} .
(c) C.S. = {−6} .
4.
-6
-3
0
3
6
X Y
2
1
0
-1
-2
h-6
-3
0
3
6
X Y
2
1
0
-1
-2
h
Solução 91 .
1. D = R.
2. D = R\ {4} .
3. D = [5,+∞[ .4. D = R.
5. D =£12,+∞£ \ {3} .
6. D = R\ {−3, 3} .
7. D = [−1, 3] .
8. D = R\ {0} .
9. D = R.
97 Novembro de 2010
10. D = R.
11. D = R\ {2, 5} .
12. D = [−2, 2] .
13. D = [1,+∞[ .14. D = ]−∞,−2[ ∪ ]−2, 2[ .15. D = [1, 4[ ∪ ]4,+∞[ .16. D = R−.
17. D =¤−14,+∞£ .
18. D = R+\ {1} .
19. D = R\ {−3} .
20. D = ]−∞, 1] \ {0} ∪ [3,+∞[ .Solução 92 1→ c; 2→ d; 3→ b e 4→ a.
Solução 93 .
1.
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
f(x) = 2x-2
420-2-4
4
2
-2
-4
x
y
f(x) = 2x-2
2.
420-2-4
4
3
2
1
x
yf(x) = x2
420-2-4
4
3
2
1
x
yf(x) = x2
3.
420-2-4
4
2
-2
-4
x
yf(x) = x3
420-2-4
4
2
-2
-4
x
yf(x) = x3
98 Novembro de 2010
Solução 94 Df = [1, 4] e D0f = [2, 3[ ∪ [4, 5] .
Solução 95 1→ a; 2→ 2; 3→ c; 4→ d e 5→ b.
Solução 96 .
1. a.
2. c.
Solução 97 .
1. -
2. R−0 .
Solução 98 .
1. D0h = R.
2. h é injectiva.
Solução 99 .
1. f é bijectiva (é injectiva e sobrejectiva).
2. g não é bijectiva (não é injectiva nem sobrejectiva).
3. h não é bijectiva (não é injectiva mas é sobrejectiva).
Solução 100 .
1. é par.
2. é ímpar.
Solução 101 .
1. f é ímpar.
2. g é par.
3. h não é par nem ímpar.
Solução 102 .
1. g (x) = (x+ 1)2 .
2. g (x) = − (x+ 1)2.
Solução 103 .
1. f é periódica de período 2.
2. h é periódica de período π.
99 Novembro de 2010
Solução 104 .
1. x = −3.
2. x = 2.
3. Não tem zeros.
4. x = 2.
5. x = 2.
6. x = −1∨ x = 0.
7. x = 1.
8. x = 2.
9. x = 0.
10. x ∈ R+0 .
11. Não tem zeros.
12. x = 2.
Solução 105 .
1.
-6 -4 -2 0 2 4 6
1
2
3
4
x
y
2. (a) C.S. = {−2, 2} .
(b) C.S. =©−5,−1
2, 12, 5ª.
Solução 106 .
1. D = [−5,+∞[ e D0 = ]−∞,−2] .2. -
Solução 107 .
1. f é positiva em£−7,−20
3
£∪ ]−4, 0[ ∪
¤83, 3¤, negativa em
¤−20
3,−4
£∪¤0, 8
3
£, os zeros
de f são: x = −203∨ x = −4∨ x = 0∨ x = 8
3.
2. f é crescente em [−6,−2] e em [2, 3] , decrescente em [−7,−6] e em [−2, 2] .
100 Novembro de 2010
3. (−6,−2) e (2,−2) são pontos de mínimo absolutos, (−7, 1) e (3, 1) são pontos demáximo relativos e (−2, 2) é ponto de máximo absoluto.
4. (a) não existe.
(b) [−2, 2] .
Solução 108 .
1. f é negativa em¤−∞,−1
4
£e positiva em
¤−14,+∞£ ; x = −1
4é o zero de f; f é estrita-
mente crescente em R e não existem concavidades.
2. g é negativa e tem a concavidade voltada para baixo em R+; g é positiva e tem aconcavidade voltada para cima em R−; x = 0 é o zero de g; g é decrescente em R.
3. h é negativa e tem a concavidade voltada para baixo em R−; h é positiva e tem aconcavidade voltada para cima em R+; não existem zeros de h; h é decrescente em R−
e em R+.
4. j é negativa em R\ {2} ; x = 2 é o zero de j; j é crescente em ]−∞, 2] e decrescente em[2,+∞[ ; j tem a concavidade voltada para baixo em R.
Solução 109 .
1. f é ilimitada em I.
2. g é limitada em I.
3. h é ilimitada em I.
4. j é limitada em I.
Solução 110 D√2f = Df2 = D 3√f= Df = [1,+∞[ , Df+g = Df×g = D f
g= [1,+∞[ \ {2} e
D|g| = Dg = R\ {2} ;³√2f´(x) =
√2x− 2, (f+ g) (x) = 1
x−2+√x− 1, (f× g) (x) =
√x−1x−2
,³fg
´(x) = (x− 2)
√x− 1,
¡f2¢(x) = x−1,
³3√f´(x) = 6
√x− 1 e |g| (x) =
¯1x−2
, x > 212−x
, x < 2.
Solução 111 .
1.
f+ g : R → Rx 7→ x2 + x− 6
fg: R\ {−2, 2} → R
x 7→ 1x+2
.
2.
f+ g : [−5, 3] → Rx 7→ √
x+ 5+√3− x
fg: [−5, 3[ → R
x 7→ √x+5√3−x
.
101 Novembro de 2010
Solução 112 −65.
Solução 113 (f ◦ g) (1) = 2, (f ◦ g) (2) = 3, (f ◦ g) (3) = 1, (g ◦ h) (1) = 2, (g ◦ h) (2) = 1,(g ◦ h) (3) = 3, (h ◦ f) (1) = 1, (h ◦ f) (2) = 3, (h ◦ f) (3) = 2, (g ◦ g) (1) = 3,
(g ◦ g) (2) = 1, (g ◦ g) (3) = 2.
Solução 114 (f ◦ g) (2) = 10 e (g ◦ f) (3) = 21.
Solução 115 .
1. f (x) = x2, 0 ≤ x ≤ 2 e g (x) =¯2x , 0 ≤ x < 12 , 1 ≤ x ≤ 2 .
2. Dg◦f =h0,√2i.
3. 12.
4. c.
Solução 116 .
1. Dg◦f = Df◦g = Dg◦g = Df◦f = R; (g ◦ f) (x) = 2x2 − 2, (f ◦ g) (x) = 4x2 − 16x + 17,(g ◦ g) (x) = 4x− 12 e (f ◦ f) (x) = x4 + 2x2 + 2.
2. Dg◦f = Df◦f = R+0 , Df◦g = Dg◦g = R; (g ◦ f) (x) = x, (f ◦ g) (x) = |x| , (g ◦ g) (x) = x4e (f ◦ f) (x) = 4
√x.
Solução 117 .
1.
h ◦ j : R → Rx 7→ 6x+ 4
j ◦ h : R → Rx 7→ 6x+ 2
.
2.
h ◦ j : ]−∞, 1] ∪ ]2,+∞[ → Rx 7→ q
1x−2
+ 1
j ◦ h : [−1, 3[ ∪ ]3,+∞[ → Rx 7→ 1√
x+1−2
.
Solução 118 Df+g = Df×g = Dg◦f = R\ {−3} , D fg= R\ {−3, 0} e Dg◦g = R;
(f+ g) (x) =
¯x3+3x2+x−1
x+3, x > −6
x2 + 5 , x ≤ −6, (f× g) (x) =
¯x3−x2
x+3, x > −6
5x2 , x ≤ −6,³
fg
´(x) =
¯x−1
x3+3x2, x > −6
5x2
, x ≤ −6, (g ◦ f) (x) =
¯ ¡x−1x+3
¢2, x > −6
25 , x ≤ −6, (g ◦ g) (x) = x4.
Solução 119 Df−1 = R\ {2} e f−1 (x) = 3+5xx−2
.
102 Novembro de 2010
Solução 120 .
1. f−1 (x) = 2x+ 1.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
2. f−1 (x) = x2−52.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
3. Não existe função inversa.
4. f−1 (x) = 3√x− 2.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
5. Não existe função inversa.
Solução 121 f−1 (8) = 2 e g−1 (x) = 1+2x1−x
.
Solução 122 .
1. Dg = R, D0g = [−4,+∞[ , Zeros: x = −2 e x = 2.
2. -
3. R+0 ; g−1 (x) =√x+ 4.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1
2
3
4
x
y
103 Novembro de 2010
Solução 123 .
1. a = 12e b = −2.
2.h−1 : R\ {−3} → R
x 7→ 3+2x3+x
.
Solução 124 f (1) = 1 e x = 32é o zero de f.
Solução 125 .
1. m = 2.
2. m = 4.
Solução 126 V = (−4,−9) .
Solução 127 9m× 9m.Solução 128 .
1. .
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
f(x)=-3x+1
• Df = R e D0f = R;
• f é bijectiva e não tem paridade;
• x = 13é zero de f;
• f é positiva em¤−∞, 1
3
£e negativa em
¤13,+∞£ ;
• f é decrescente em R, não existindo extremos;• não existem concavidades;
• f não é limitada e tem função inversa.
2. .
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
g(x)=2x²+2x-12
104 Novembro de 2010
• Dg = R e D0g =
£−25
2,+∞£ ;
• g não é injectiva e não tem paridade;
• x = −3 e x = 2 são os zeros de g;
• g é negativa em ]−3, 2[ e positiva em ]−∞,−3[ ∪ ]2,+∞[ ;• g é decrescente em
¤−∞,−1
2
¤e crescente em
£−12,+∞£ , g ¡−1
2
¢= −25
2é mínimo
absoluto de g;
• g tem a concavidade voltada para cima em R não existindo pontos de inflexão;• g não é limitada e não tem função inversa.
3. .
( )2
3 2x xh xx+
=−
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
x
y
( )2
3 2x xh xx+
=−
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
x
y
• Dh = R\
3√2®e D0
h = R;
• h não é injectiva e não tem paridade;
• x = −1 e x = 0 são os zeros de h;
• h é negativa em ]−∞,−1[ ∪ i0, 3√2he positiva em ]−1, 0[ ∪
i3√2,+∞h ;
• h é crescente em ]−∞,−0.462] e decrescente em h−0.462,
3√2he em
i3√2,+∞h ;
• h (−0.462) = 0.118 é máximo relativo de h;
• h tem a concavidade voltada para cima em ]−∞,−1[∪ i 3√2,+∞h e voltada para
baixo emi−1,
3√2h.
• (−1, 0) é ponto de inflexão de h;• h não é limitada e não tem função inversa.
4. .
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2-1
1
2
3
4
x
y
( ) 3 1m x x= −
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2-1
1
2
3
4
x
y
( ) 3 1m x x= −
105 Novembro de 2010
• Dm = D0m = R;
• m é bijectiva e não tem pariadade;
• x = 1 é o zero de m;• m é negativa em ]−∞, 1[ e positiva em ]1,+∞[ ;• m é crescente em R, não existindo extremos;• m tem a concavidade voltada para cima em ]−∞, 1[ e voltada para baixo em]1,+∞[ ;
• (1, 0) é ponto de inflexão de m;• m não é limitada e tem função inversa.
106 Novembro de 2010
4 Complementos sobre Equações e Inequações Algébri-cas
4.1 Equações Fraccionárias
Definição 83 Uma equação fraccionária é uma equação em que pelo menos uma das suasexpressões matemáticas está sujeita a uma divisão onde a incógnita x aparece no denomi-nador. Para resolver este tipo de equação, em primeiro lugar deve-se determinar os valoresde x que anulam os denominadores (pois não existe fracção com denominador igual a zero),encontrando-se assim o domínio da equação. Em seguida, determina-se o mínimo múltiplocomum dos denominadores, multiplicam-se os numeradores pelos factores necessários parase reduzir ao mesmo denominador e encontram-se os zeros do numerador que pertencem aodomínio da equação.
Exemplo 59 Resolva as seguintes equações fraccionárias de 2o grau:
1. 3x2−4
+ 1x+3
= 0;
2. 3x2−4
+ 1x−2
= 0.
Resolução:
1. D =©x ∈ R : x2 − 4 6= 0∧ x+ 3 6= 0
ª⇔ ©x ∈ R : x2 6= 4∧ x 6= −3
ª⇔ {x ∈ R : x 6= −2∧ x 6= 2∧Logo,D = R\ {−3,−2, 2} .m.m.c.(x2 − 4, x+ 3) =
¡x2 − 4
¢(x+ 3) .
3x2−4
+ 1x+3
= 0 ⇔ 3(x+3)+x2−4
(x2−4)(x+3)= 0 ⇔ 3x+9+x2−4
(x2−4)(x+3)= 0 ⇔ x2+3x+5
(x2−4)(x+3)= 0 ⇔
⇔ x2 + 3x+ 5 = 0⇔ x = −3±√9−202
⇔ x =−3±
√−11
2| {z }impossível
.
Logo, C.S. = ∅.
2. D =©x ∈ R : x2 − 4 6= 0∧ x− 2 6= 0
ª⇔ ©x ∈ R : x2 6= 4∧ x 6= 2
ª⇔ {x ∈ R : x 6= −2∧ x 6= 2∧Logo, D = R\ {−2, 2} .m.m.c.(x2 − 4, x− 2) = x2 − 4 = (x− 2) (x+ 2) .
3x2−4
+ 1x−2
= 0⇔ 3+x+2(x−2)(x+2)
= 0⇔ x+5(x−2)(x+2)
= 0⇔ x+ 5 = 0⇔ x = −5 ∈ D.Logo, C.S. = {−5} .
4.2 Inequações de 2o grau
Para resolver uma inequação de 2o grau, aplica-se o estudo do sinal da função quadrática.
Exemplo 60 Resolva as seguintes inequações algébricas de 2o grau:
1. x2 − 4x+ 4 < 0;
2. −2x2 + x+ 3 ≤ 0.
107 Novembro de 2010
Resolução:
1. f (x) = x2 − 4x + 4 é uma função quadrática, com a = 1, b = −4 e c = 4. Comoa = 1 > 0, a concavidade está voltada para cima. Iremos começar por encontrar oszeros da função:
x2 − 4x+ 4 = 0⇔ x =4±√16− 16
2⇔ x = 2.
+ +
2+
−∞ +∞
+ +
2+
−∞ +∞
Como f (x) < 0 é impossível, então C.S. = ∅.
2. f (x) = −2x2 + x + 3 é uma função quadrática, com a = −2, b = 1 e c = 3. Comoa = −2 < 0, a concavidade está voltada para baixo. Iremos começar por encontrar oszeros da função:
−2x2 + x+ 3 = 0⇔ x =−1±
√1+ 24
−4⇔ x = −1∨ x =
3
2.
+−
1− 32
−∞ +∞−+
−1− 3
2−∞ +∞−
Como f (x) ≤ 0⇔ x ≤ −1∨ x ≥ 32, então C.S. = ]−∞,−1] ∪ £3
2,+∞£.
4.3 Inequações Fraccionárias
Definição 84 Uma inequação fraccionária é uma inequação em que pelo menos um dostermos está sujeito a uma divisão onde a incógnita x aparece no denominador. Para resolvereste tipo de inequação, em primeiro lugar deve-se determinar os valores de x que anulam osdenominadores, encontrando-se assim o domínio da inequação. Em seguida, simplifica-sea inequação até se obter apenas uma divisão num dos termos e o valor 0 no outro termo.Encontram-se os zeros do numerador e elabora-se um quadro de sinais que permita obter asolução da inequação (que deve estar contida no respectivo domínio).
Exemplo 61 Resolva a inequação 3x− x+6x≥ 2.
Resolução: D = R\ {0} e 3x − x+6x≥ 2 ⇔ 3x2−x−6
x− 2 ≥ 0 ⇔ 3x2−3x−6
x≥ 0.
Para resolver esta inequação é necessário determinar os zeros do numerador e elaborar umquadro de sinais:
3x2 − 3x− 6 = 0⇔ x =3±√9+ 72
6⇔ x = −1∨ x = 2.
+ +−1− 2−∞ +∞
+ +−1− 2−∞ +∞
−∞ −1 0 2 +∞3x2 − 3x− 6 + 0 − − − 0 +
x − − − 0 + + +3x2−3x−6
x− 0 + s/s − 0 +
Logo, 3x2−3x−6x
≥ 0⇔ x ∈ [−1, 0[ ∪ [2,+∞[ , ou seja, C.S. = [−1, 0[ ∪ [2,+∞[ .
108 Novembro de 2010
4.4 Exercícios Propostos
Exercício 128 Resolva as seguintes equações:
1.√2x+ 3+ x = 6;
2.√x+ 2−
√x− 6 = 2;
3.√2x+ 1+
√x− 3 = 2
√x;
4. 3p1+ x
√x2 + 24 = 1.
Exercício 129 Resolva as seguintes equações fraccionárias:
1. 5x−4
= 0;
2. 1x+1
= 1;
3. 1x+1
− 1 = 4x;
4. x2−5x+6x−3
= 0;
5. x2−2x−8x−4
= 1;
6. xx+1
+ 2xx−1
= 54(x2−1)
;
7. 12+x
− 12x−x2
= 8x3−4x
.
Exercício 130 Resolva cada uma das seguintes inequações:
1. 3x2 + 8x ≤ 0;
2. x2 − 3x+ 2 > 0;
3. 3x2 − x+ 1 ≥ 0;
4. (2− 3x) (x+ 3) < 0;
5.¡x2 + 6
¢(3x+ 5) ≤ 0;
6. (x− 1)2 + x < 7;
7. x (4x− 1) ≥ 5;
8. 22x+3≥ 0;
9. x ≤ 8x−2;
10. x− 1 < − 1x;
11. 4x> 0;
109 Novembro de 2010
12. x+1x−1
< x+3x+2;
13. xx+1
> x+1x−3;
14. 3+ 1x−1≥ 1
2x+1;
15. 2x2−5x+4
≤ 1.
110 Novembro de 2010
4.5 Soluções
Solução 129 .
1. C.S. = {3} .
2. C.S. = {7} .
3. C.S. = {4} .
4. C.S. = {0} .
Solução 130 .
1. C.S. = ∅.
2. C.S. = {0} .
3. C.S. = {−2} .
4. C.S. = {2} .
5. C.S. = {−1} .
6. C.S. =©−56, 12
ª.
7. C.S. = {3} .
Solução 131 .
1. C.S. =£−83, 0¤.
2. C.S. = ]−∞, 1[ ∪ ]2,+∞[ .3. C.S. = R.
4. C.S. = ]−∞,−3[ ∪ ¤23,+∞£ .
5. C.S. =¤−∞,−5
3
¤.
6. C.S. = ]−2, 3[ .
7. C.S. = ]−∞,−1] ∪ £54,+∞£ .
8. C.S. =¤−32,+∞£ .
9. C.S. = ]−∞,−2] ∪ ]2, 4] .10. C.S. = R−.
11. C.S. = R+.
12. C.S. = ]−∞,−5[ ∪ ]−2, 1[ .111 Novembro de 2010
13. C.S. = ]−∞,−1[ ∪ ¤−15, 3£.
14. C.S. =¤−∞,−1
2
£∪h1−√7
6, 1+
√7
6
i∪ ]1,+∞[ .
15. C.S. =i−∞, 5−√17
2
i∪ ]1, 4[ ∪
h5+√17
2,+∞h .
112 Novembro de 2010