3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 2 | MATEMÁTICA 3 1

Matemática 3 aula 6

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PARA SALA

1. Os itens b e c não representam uma função, pois ao traçarmos retas verticais algumas destas cortarão o grá-fico em mais de um ponto:

b) c) O item d não representa uma função, pois o domínio

não é [−2, 3], que é dado no enunciado:

Resposta correta: ⇒ D(ƒ) = [−2, 3] O item a representa uma função, pois o domínio é [−2, 3]

e ao traçamos retas verticais, cortarão em apenas um ponto o gráfico:

⇒ D(ƒ) = [−2, 3]

Resposta correta: A 2. Encontrando o domínio: Todos os valores reais são usados como abscissa, com

exceção do número 2. Portanto, D(ƒ) = R − {2}. Encontrando a imagem: Todos os valores reais são usados como ordenadas, com

exceção do número 3. Portanto, Im(ƒ) = R − {3}.

Resposta correta: E

3. O gráfico corta o eixo x em x1, x3 e x5, sendo esses valo-res as raízes, então ƒ(x1) = ƒ(x2) = ƒ(x3) = 0. Resposta correta: B

4. Observe o gráfico:

a) ƒ(−1) + ƒ(2) + ƒ(4) + ƒ(6) = 0. (F), pois 6 não faz parte do domínio da função, logo não podemos encontrar a imagem.

b) ƒ é crescente para todo x ∈ 52

92

;LNMOQP . (F) pois 4

92

;LNMOQP

a função é decrescente. c) Im(ƒ) = [−2; 2]. (F), já vimos que −2 ∉ Im(ƒ) no item

"a". d) ƒ admite exatamente 3 raízes reais. (V), pois no in-

tervalo do domínio [−1; 6) o gráfico corta 3 vezes o eixo dos (x).

Resposta correta: D 5. Temos que x1 > x2 ∈ D(ƒ) ⇒ ƒ(x1) < ƒ(x2), então a função

é decrescente. Assim temos: ƒ(2x +3) > f(x + 1) ⇒ 2x + 3 < x + 1 ⇒ x < −2

Resposta correta: x < −2

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS

1. É dada a função real ƒ(x) = 2x3 − 1. Como queremos

saber ƒ(0) + ƒ(−1) + ƒ12FHGIKJ , devemos encontrar as imagens

de "0", "−1" e "12

", onde encontraremos substituindo,

um por um, o valor no "x" da função. Assim: 1) ƒ(0) = 2.(0)3 −1 = −1 2) ƒ(−1) = 2.(−1)3 −1 = −3

3) ƒ12FHGIKJ = 2.

12

3FHGIKJ − 1 =

1 1 32. 1 1

8 4 4− = − = −

4) ƒ(0) + f(−1) + ƒ12FHGIKJ = −1 −3 −

3 194 4

−=

Resposta correta: C

2. Atenção!

1) Se "ƒ" é estritamente crescente temos: são dados "x1 e x2" elementos do domínio de "ƒ" com x1 > x2, então ƒ(x1) > ƒ(x2).

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2) Se "ƒ" é estritamente decrescente temos: são dados "x1 e x2" elementos do domínio de "ƒ" com x1 > x2, então ƒ(x1) < f(x2).

Seja "ƒ" real onde ƒ(2x + 3) > ƒ(x + 1), assim: 2x + 3 < x +1 ⇒ ƒ(2x + 3) > 2x − x < 1 − 3 ⇒ x < −2

Resposta correta: D 3. Atenção! Sabemos que uma relação é dita ou considerada uma

função se, e somente se, cada elemento do domínio se corresponde com um único elemento do contradomínio, isto é, cada elemento do domínio não deixa de se cor-responder e nem se corresponde com mais de um. a) Usaremos uma maneira bem prática para reconhecer

se um gráfico é ou não é de uma função, que é tra-çando retas paralelas ao eixo "y". Se em algum pon-to essa reta tocar em mais de um ponto isso significa que não se trata de função, pois quer dizer que um elemento do domínio tem mais de uma imagem. Se em todo gráfico isso não acontecer, o gráfico repre-sentará uma função. Vejamos:

a) d) b) e)

c)

Resposta correta: E

4. Como vimos na questão anterior, temos que essa inter-

seção só pode ser um só elemento.

Resposta correta: E 5. Observe o gráfico

a) F, pois a função só é crescente. De [−3; −1]. De [−1; 0] Função constante. b) F, pois facilmente observamos que temos intervalos

constante, decrescente e crescente. c) V, observe que a reta, a partir do 2, é sempre crescente. d) F, constante somente de [−1; 1] e [−2; −1] e crescente.

Resposta correta: C

6. Atenção! Observando o gráfico verificamos que −1 é domínio,

pois é "Bola" fechada e 4 não pertence ao domínio, pois é bola aberta. Assim D(ƒ) = [−1; 4 [ ou [−1; 4). A ima-gem é observada (no eixo y) que vai de "0" até 3, assim Im(ƒ) = [0; 3].

Resposta correta: B

7. O item E é o único que traz uma função, pois ao traçar-

mos retas verticais, estas cortarão o gráfico em apenas um ponto cada:

a) d) b) e) c)

Resposta correta: E 8. Note que:

ƒ(x) = 8x – 4 Daí, as imagens dos elementos do domínio de ƒ são: ƒ(1) = 8 . (1) – 4 ƒ(2) = 8 . (2) – 4 ƒ(3) = 8 . (3) – 4 ƒ(4) = 8 . (4) – 4 ! ƒ(n) = 8 . (n) – 4, somamos

ƒ(1) + ƒ(2) + ƒ(3) + ƒ(4) + ... + ƒ(n) . . 8(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n) – (4 + 4 + 4 + 4 + ... + 4)

n vezes ( ) ( )2

2 2

8. 1 n .n4n 4 n n 4n

2

4n 4n 4n 4n

+= − = + − =

= + − =

Resposta correta: D

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9. Atribuindo valores a x: i) Para x < 3 ƒ(x) = x x = 2 ⇒ ƒ(2) = 2 ii) Para 3 ≤ x ≤ 5 ƒ(x) = 2x x = 3 ⇒ ƒ(3) = 6 x = 4 ⇒ ƒ(4) = 8 x = 5 ⇒ ƒ(5) = 10 iii) Para x > 5 ƒ(x) = 3x x = 6 ⇒ ƒ(6) = 18 Desta maneira: ƒ(2) + ƒ(3) + ƒ(4) + ƒ(5) + ƒ(6) = 2 + 6 + 8 + 10 + 18 = 44

Resposta correta: E 10. O valor mínimo se dá quando x estiver entre d e e:

Resposta correta: B