matemática apicada - mecânico geral cai

7/23/2019 Matemtica Apicada - Mecnico Geral CAI

1/71

Matemtica aplicada

SENAI-SP

Trabalho revisto e atualizado pela Gerncia de Educao da iretoria T!cnica do SENAI-SP" a partir deconte#dos e$tra%dos da apostila &ate'(tica aplicada" do curso )or'ao de Supervisores de Pri'eira

*inha+,oordenadores de Euipe.

Euipe respons(vel

,oordenao ario do A'aral )ilho/eviso e atualizao Aparecido ,a'pos

Edson &itsu0i I'a'ura1air Esteves Alavase1oaui' &i2io Shi'ura

,apa 1os! 1oaui' Pece3ueiro

i3italizao 4NI,5& - Terceirizao de Servios *tda.

SENAI Servio Nacional de Aprendiza3e' Industrialeparta'ento /e3ional de So PauloAv. Paulista" 6767 - ,erueira ,!sarSo Paulo - SP,EP 86766-9:7

Tele;one 76?@-888

Tele;a$ 76?@-:78SENAI on-line 8B88-CC-6888

E-'ail senaiDsp.senai.br

o'e pa3e httpF++.sp.senai.br


2/71

&ate'(tica aplicada

Sumrio

5b0etivos C5peraHes co' ;raHes e co' n#'eros relativos. 4nidades de 'edida de

co'pri'ento e te'po Potenciao - /adiciao 7

/azo - Proporo - /e3ra de trs ?9

Euao de 6o3rau C9

Geo'etria 6olu'e - ,apacidade - &assa 96

Tri3ono'etria 68

)unHes 6:9

Euao do :

o

3rau6?C

Geo'etria anal%tica 6CCAn(lise co'binatJria 6@C

SENAI-SP - INT/ANET


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&ate'(tica aplicada

Objetivos

Ao estudar esta unidade de ensino voc dever( ser capaz deF

eter'inar o '%ni'o '#ltiplo entre dois ou 'ais n#'erosK

/esolver proble'as ue envolva' ;raHes ordin(riasKE;etuar operaHes co' n#'eros relativosK

istin3uir 'edidas e unidades de 'edida re;erentes ao co'pri'ento e te'po" suas

si'bolo3ias e operaHesK

,alcular a potncia de u' n#'ero" operar co' radicais e si'pli;icar e$pressHesK

Identi;icar os ter'os de u'a razo e de u'a proporoK

/esolver proble'as utilizando razo e proporoK

/esolver proble'as aplicando re3ra de trs si'ples e co'postaK

/esolver proble'as aplicando euaHes de 6o3rauK

,alcular per%'etros e (reas de pol%3onos re3ulares e irre3ulares" c%rculo e coroacircularK

Identi;icar unidades do volu'e de capacidade e de 'assaK

e;inir 'assa espec%;icaK

eter'inar o volu'e" a capacidade de recipientes e a 'assa de sJlidosK

/esolver proble'as ue envolva' aplicao das relaHes tri3ono'!tricas nos

triLn3ulos retLn3ulos e nu' triLn3ulo ualuerK

Identi;icar ;unHes 'ate'(ticasK

/epresentar pontos no siste'a de coordenadas cartesianasK

/esolver euaHes do :o3rau usando a ;Jr'ula de Mas2haraK

eter'inar a distLncia entre dois pontos no plano cartesianoK

eter'inar o coe;iciente an3ular de u'a retaK

eter'inar a euao de u'a reta de dois pares ordenadosK

/esolver proble'as si'ples de conta3e'.

SENAI-SP - INT/ANET C


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&ate'(tica aplicada

@ SENAI-SP - INT/ANET


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&ate'(tica aplicada

Operaes com fraes e

com nmeros relativosUnidades de medida de

comprimento e tempo

Mnimo mltiplo comum (MMC)

ltiplo de u' n#'ero ! o produto desse n#'ero por u' inteiro ualuer.

? ? ? ? ? ?$ 7 $ 6 $ $ 9 $ 6: $ ?

6: ? :B 7@ ?B 6@

ltiplos de ?

ltiplo co'u' de dois ou 'ais n#'eros ! u' n#'ero ue" dividido pelos n#'eros

dados" no ter( resto" ou se0a" dar( u'a diviso e$ata.

ltiplos de ?F ?" B" 6:" 6@" :8" :?" :B" 7:" ...

ltiplos de 7F 7" @" 9" 6:" 6C" 6B" :6" :?" :" ...

PortantoF

6: e :? so '#ltiplos co'uns de 7 e ?.

5 'enor '#ltiplo co'u' entre dois ou 'ais n#'eros ! cha'ado ta'b!' de mnimo

mltiplo comum (MMC) 5 &&, deve ser se'pre di;erente de u'.

SENAI-SP - INT/ANET


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&ate'(tica aplicada

,alcula-se o &&, por dois '!todosF

,olocando-se lado a lado e co'parando-se os '#ltiplos dos n#'eros dados.

&&, entre C" @ e 68

ltiplos de CF C" 68" 6C" :8" :C" 78" 7C" ...

ltiplos de @F @" 6:" 6B" :?" 78" 7@" ?:" ...

ltiplos de 68F 68" :8" 78" ?8" C8" @8" 8" ...

&&, < C" @" 68> 78

Pela deco'posio e' ;atores pri'os.

&&, entre 6:" 6@" e :?6: - 6@ - :? :

@ - B - 6: :

7 - ? - @ :

7 - : - 7 :

7 - 6 - 7 7

6 - 6 - 6 : $ : $ : $ : $ 7 ?B

&&, ?B

!raes ordinrias " Operaes

Para representar u'a ou 'ais partes do inteiro so necess(rios dois n#'eros.

?6


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&ate'(tica aplicada

5 pri'eiro" cha'ado nu'erador" indica uantas partes ;ora' to'adas do inteiro.

5 se3undo" cha'ado deno'inador" di;erente de zero" indica e' uantas partes" de

'es'a ;or'a e de 'es'o ta'anho" ;oi dividido o inteiro.

nu'erador

deno'inador

nu'erador

6@ deno'inador

#ipos de fraes

)rao prJpria - 'enor ue 6 76

"

C:

" 6@C

" 6:B6:6

" .....

)rao i'prJpria - 'aior ue 6

C "

B7"

66@"

6:B6:6" ....

Nu'eral 'isto - 'aior ue 6 6

?6

" 77B" : ?

7" .....

)rao aparente


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SENAI-SP - INT/ANET 9


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&ate'(tica aplicada

:>

#ransforma$o de fra$o impr%pria em numeral misto

ivide-se o nu'erador pelo deno'inador


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&ate'(tica aplicada

:> 78 F : = 6C F 7 = C = C O )rao irredut%vel

?: F : :6 F 7

'edu$o de fraes ao mesmo denominador

o processo de trans;or'ao das ;raHes dadas e' ;raHes euivalentes de 'es'odeno'inador. Para reduzir ;raHes ao 'es'o deno'inador" ! necess(rio observar os

se3uintes passosF

eter'inar o &&, dos deno'inadores das ;raHes. 5 resultado ! o novo

deno'inador.

7?" 7

6" C

:

&&,


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&ate'(tica aplicada

6 $ :8 = :8

7 $ :8 @8c> : @8 F C 6:

C

: $ 6: = :?C $ 6: @8

EntoF

7 " 6 " : = ?C " :8 " :?

? C @8 @8 @87

'esumo

di$o de fraes

!raes de mesmo denominador

eve-se 'anter o deno'inador e so'ar os nu'eradores.

: + 6 + C = B

@ @ @ @

B = ? = 6 6

@ 7 7

6: SENAI-SP - INT/ANET


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&ate'(tica aplicada

!raes de denominadores diferentes

eve'-se reduzir as ;raHes ao 'es'o deno'inadorK e' se3uida" conservando-se o

'es'o deno'inador" deve'-se so'ar os nu'eradores.

? Q : &&, < C" 7 > 6CC 7

6: Q 68 :: 6 6C 6C 6C 6C

Subtra$o de fraes

!raes de mesmo denominador

eve-se 'anter o deno'inador e subtrair os nu'eradores.

- C : 6

B B B ?

!raes de denominadores diferentes

eve'-se reduzir as ;raHes ao 'es'o deno'inador e" e' se3uida" aplicar a re3ra

anterior.

R : &&,


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&ate'(tica aplicada

&&, < 6" 7" C > 6C

= C + 7C + 6: = 6:: = B :6C 6C 6C 6C 6C

Multiplica$o de fraes

Para 'ultiplicar ;raHes" deve-se e;etuar o produto dos nu'eradores


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&ate'(tica aplicada

6> ? $ 6 7 $ 6 =

B := ? $ 66 $ 6 =

6 B :

6 66 6 66

= $ $ = = : 76 : : ? ?

6> B 6 F 7 = 77 F 7 =

? ? 677 $ 6 = 66 $ 6 =

? 7 ? 6

= 66 = : 7

? ?

Convers$o de fraes ordinrias em nmeros decimais

Para converter ;raHes ordin(rias e' n#'eros deci'ais" basta apenas e;etuar a

diviso do nu'erador pelo deno'inador.

?6 =6 F ? = 8":C

676@ =67 F 6@ = 8"B6:C

Para converter n#'eros 'istos e' n#'eros deci'ais" basta trans;or'(-los

e' ;raHes ordin(rias e se3uir o 'es'o racioc%nio anterior.

7 6 = 67

? ?

67 F ? 7":C

7 ?6

=7":C

SENAI-SP - INT/ANET 6C


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&ate'(tica aplicada

Convers$o de nmeros decimais em fraes ordinrias ou nmeros mistos

Masta trans;or'ar o n#'ero deci'al e' ;rao ordin(ria e e;etuar a si'pli;icao da

;rao.

6>

vinte e cinco cent!si'os

:C F C = CF C

= 6

688F C :8 F C ?

8":C 6

?

7"@ 7 68@

687@

7@ F : = 6B

68 F : C6B

C 7 7

7 7 C

*meros relativos " Operaes

s vezes" aparece' situaHes onde ! necess(rio re3istrar nu'erica'ente variaHes

de valores e' sentidos opostos" ou se0a" 'aiores ou aci'a de zero e

'enores ou abai$o de zero " co'o" por e$e'plo" as 'edidas de

te'peratura ou cruzados e' d!bito ou e' haver" etc.

Esses n#'eros" ue se estende' inde;inida'ente tanto para o lado direito

co'o para o lado esuerdo " so cha'ados nmeros relativos

6@ SENAI-SP - INT/ANET


17/71

&ate'(tica aplicada

+alor absoluto de u' n#'ero relativo ! o valor do n#'ero ue ;az parte de sua

representao" se' o sinal.

valor absoluto de -7 ! 7K representa-se U-7U 7.

valor absoluto de QB ! B e representa-se UQBU B.

+alor sim,trico de u' n#'ero ! o 'es'o nu'eral co' sinal oposto.

Q ? si'!trico - ?Q 6@ si'!trico - 6@

Q : si'!trico - :

di$o de nmeros relativos

Se os nu'erais possu%re' o 'es'o sinal" basta adicionar os valores absolutos e

conservar esse sinal.

Q QB Q -B

Se os nu'erais possu%re' sinais di;erentes" subtrai-se o nu'eral de 'enor valor do

'aior e d(-se o sinal do 'aior nu'eral.

Q -: Q Q:

Subtra$o de nmeros relativos

Para subtrair n#'eros relativos" deve-se proceder da se3uinte 'aneiraF

,onservar o pri'eiro nu'eralK

- Q7 - C - :



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&ate'(tica aplicada

E;etuar a operao entre o sinal de subtrao co' o sinal do subtraendo" onde vale a

se3uinte re3raF

Proceder co'o na adio.

- Q7 Q C B

Multiplica$o de nmeros relativos

5 produto de dois n#'eros relativos de 'es'o sinal ! se'pre positivo.

$ Q $ Q 6:

$ Q $ Q 6:

5 produto de dois n#'eros relativos de sinais di;erentes ! se'pre ne3ativo.

$ R $ - 6:

$ R $ - 6:

ivis$o de nmeros relativos

5 uociente de dois n#'eros relativos de 'es'o sinal ! se'pre positivo.

F Q F Q:

F Q F Q7

5 uociente de dois n#'eros relativos de sinais di;erentes ! se'pre ne3ativo.

F R F -C

F R F -?

6B SENAI-SP - INT/ANET


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&ate'(tica aplicada

Unidades de medida de comprimento

Metro

&edir u'a 3randeza ! co'par(-la co' outra da 'es'a esp!cie to'ada

co'o unidade.

5 Mrasil co'o a 'aioria dos pa%ses do 'undo adota o Sistema -nternacional de

Medidas (S-). cu0a unidade de 'edida de co'pri'ento ! o 'etro.

uando ! necess(rio 'edir coisas ue tenha' 'enos de u' 'etro" usa'-se

submltiplos do metro Para 'edir distLncias ou co'pri'entos 'uito 'aiores ue o

'etro" usa'-se mltiplos do metro

Na desi3nao de 'edidas de co'pri'ento" o n#'ero ! a 'edida e o s%'bolo ! a

unidade de 'edida.

Smbolo +alor

uilV'etro 2' 6 888'

Mltiplos hectV'etro h' 688'

decL'etro da' 68'

Unidade 'etro ' 6'

dec%'etro d' 8"6'

Submltiplos cent%'etro c' 8"86'

'il%'etro '' 8"886'

'icro'etro ' 8"888886'

Converses

Para ;azer a converso entre as unidades do siste'a '!trico" basta le'brar ue se

aplica o 'es'o princ%pio de nu'erao deci'al.



20/71

&ate'(tica aplicada

Partindo-se do 'etro" para encontrar seus sub'#ltiplos" basta deslocar a v%r3ula para

a direita


21/71

&ate'(tica aplicada

As pole3adas pode' ser e$pressas e'F

N#'eros inteiros :YK

6YK etc.

)raHes ordin(rias de deno'inadores :" ?" B" 6@" 7:" @?" 6:B e nu'eradores%'pares

:6W

K ?7W

K BCW

K 6@67W

K 7::6W

K @?W

K 6:B6W

N#'eros 'istos

: :6W

K 6 ?7W

K ? BCW

K etc.

N#'eros deci'ais

6"C88YK 6":C8YK 8"CY K etc.

Convers$o de pole5adas em milmetros

Masta 'ultiplicar o n#'ero representado e' pole3adas por :C"?''" pois

6Y :C"?''.

6> CY C $ :C"?'' 6:''

:> 7W = 7 $ :C"?''

? ?7 $ :C"?'' =69"8C''

?7> 7 6W =7 6 $ :C"?'' =

? ?67 $ :C"?'' =B:"CC''

?

?> 6"7CY 6"7C $ :C"?'' 7?":9''

SENAI-SP - INT/ANET :6


22/71

&ate'(tica aplicada

Convers$o de milmetros em pole5adas

4ole5ada decimal

Para converter 'il%'etros e' pole3adas deci'ais" basta dividir o n#'ero

representado e' 'il%'etros por :C"?''.

68'' 8"797Y

68'' F :C"?'' 8"797Y

C8'' 6"9@BCY

C8'' F :C"?'' 6"9@BCY

4ole5ada fracionria

Masta dividir o n#'ero representado e' 'il%'etros por :C"? e depois 'ultiplicar por6Y ou ;rao euivalente" ou se0aF

::W

K ??W

K BBW

K 6@6@W

K 7:7:W

K @?@?W

K ou 6:B6:BW

.

Observa$o

Essa 'ultiplicao deve ser ;eita para obter a ;rao da pole3ada.

C8"B'' :Y

:C"?'' 6Y

C8"B'' $

$ C8"B'' $ 6W =:W

:C"?''

:> 68'' 8"797Y :CW

@?

68'' $ 6W=

8"797W :C"?''

8"797Y $6:B

6:B 6:BC8

=:CW

@?

:: SENAI-SP - INT/ANET


23/71

&ate'(tica aplicada

7> :'' 8"8BY @?CW

:'' $ 6W=

8"8BW

:C"?''

8"8BY $6:B

6:B 6:B68W

@?CW

Unidade de medida de tempo

A unidade ;unda'ental utilizada universal'ente para 'edir te'po ! o se3undo" cu0o

s%'bolo ! s.

Mltiplos do se5undo e suas correspond6ncias

Se3undo ..................... 6s&inuto .

6Bh?'in6:s Q 67h7'in?Bs Q :6hC?'in7?s

6Bh ?'in 6:sQ 67h 7'in ?Bs

:6h C?'in 7?s

C:h 67B'in 9?s



24/71

&ate'(tica aplicada

E;etua-se a operao e' cada u'a das unidades isolada'ente.

Subtra$o5 processo ! o inverso da adio. uando no ! poss%vel e;etuar a subtrao" deve-se

;azer a converso entre as unidades" da 'aior para a 'enor


25/71

&ate'(tica aplicada

Si'ples'ente se ;az a operao de 'ultiplicar e" e' se3uida" a si'pli;icao.

@h6?'in:9s $ C

ivis$o

,o'o a diviso ! a operao inversa da 'ultiplicao" assi' se deve ta'b!'

proceder para ;azer a diviso. eve-se iniciar a operao pela unidade de 'aior valor"

trans;or'ando o resto da diviso na unidade i'ediata'ente in;erior.

76h6:'in:Cs F C

SENAI-SP - INT/ANET :C


26/71

&ate'(tica aplicada

Unidade de medida de 7n5ulo

A unidade de 'edida de Ln3ulo ! o 5rau< 8>. 4' 3rau corresponde a 6+7@8 de u'a

circun;erncia.

5s sub'#ltiplos do 3rau so o 'inuto < Z > e o se3undo < ZZ >.

68 @8Z 7@8Y

As operaHes co' 3rau so idnticas Xs operaHes co' horas.

82erccios

6Y representa u'a pole3ada.

6> eter'ine a cota 9na pea.

:@ SENAI-SP - INT/ANET


27/71

&ate'(tica aplicada

:> ,alcule a cota 2na pea.

7> eter'ine o co'pri'ento 2do para;uso.

?> uanto 'ede o diL'etro e$terno da arruela[

SENAI-SP - INT/ANET :


28/71

&ate'(tica aplicada

C> ual a 'edida da cota 2do para;uso[

@> ,alcule a 'edida do diL'etro interno.

> ,alcule a cota :do puno.

:B SENAI-SP - INT/ANET


29/71

&ate'(tica aplicada

B> eter'ine o diL'etro interno 2.

9> ,alcule a cota 2.

*ota;

5s ;uros so e\idistantes.

68> 5 diL'etro interno de u'a arruela ! de 6W .

?

ual ! a 'edida de 2[



30/71

&ate'(tica aplicada

4'a talhadeira de barra de ao te' o co'pri'ento de CW

B.

ual o co'pri'ento da barra necess(rio para ;azer trs talhadeiras[

eter'ine o n#'ero de peas ue pode' ser obtidas de u'a chapa co' C8Y de

co'pri'ento se a pea a ser esta'pada 'ede ? :6W.Para esta'par" deve-se observar a distLncia de C entre u'a pea e outra.

7:W

67> eter'ine .

*ota;

5s ;uros so e\idistantes.

78 SENAI-SP - INT/ANET


31/71

&ate'(tica aplicada

6?> ,alcule 2.

6C> e0a o desenho e co'plete o uadro usandoF

, 7 6

.

' Clculos C

7W 7W 7 6W . 7W = ::W . 7W = @@W=6 CW 6 CW

6@ B B B C@ :B :B6WB

W

:?

7W?



32/71

&ate'(tica aplicada

6@> Preencha o uadro

< r

a 6 6W 7W

? B

b : 7W CW

? B

c 7 W W

B 6@

d @ 7W 66W

? 6@

e : 6W 7 CW

B B

)aa as operaHes abai$oF

Q

-

- Q 68

7: SENAI-SP - INT/ANET


33/71

&ate'(tica aplicada

- @ -

.

.

.

F

F

F

,onverta e' c'F 8"7@d'" 76:''" 8"B'" 7"d'" 8"86'" @:"B''" 8"@Bd'.

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

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,onverta e' d'F 7":6'" 8"?B'" 7"?''" B"@c'" "BB''" 7:"8B'" "BCc'.

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34/71

&ate'(tica aplicada

,onverta e' ''F 6"?7c'" @"B:'" C"Bd'" 8"7'" @"@c'" 8"@BC'" 8"88?Cd'.

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

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,onverta e' 'F :"B?d'" @:6c'" 8"C''" "Bc'" 7"?6d'" ?B:"C''" 8"BCc'.

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So'e e' ''F 7"?:' Q 7?c' Q @B"6d' Q 7?"6'' Q 8"8BC' Q 7"?BCc' Q 8"8Cd'.

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

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So'e e' c'F 7"?:' Q 7Bc' Q 8"6:'' Q 8"87d' Q 8"8?C' Q 8"88BCd' Q::":c'.

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:?> ,alcule e d o resultado e' 'F B@"?' - B":c' - 7"?Cc' - 8"Bd' - 8"887?' -

8"8B:d'.

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e u'a barra uadrada de ao co' 6?78'' de co'pri'ento" retira-se 67Bc'.

ue co'pri'ento ;icou a barra e' 'etros e e' pole3adas[

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

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,alcule a altura da cabea do para;uso de 67+?Y e' ''. Para a cabea do

para;uso vale a relao de 8" do diL'etro no'inal.

7? SENAI-SP - INT/ANET


35/71

&ate'(tica aplicada

,alcule o passo da rosca para u' para;uso de 6+:ZZ e'

pole3adas e e' ''.

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

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:B> Trans;or'e as 'edidas da ;i3ura abai$o e' ''.

E;etue as se3uintes operaHesF

6?7h7@'6Bs - ?Ch79':@s

6?8?@Z Q 6B687?ZZ Q 78BZ Q 986:Z 7:ZZ

E' 7:h7B'in?:s ;abrica'-se uatro peas i3uais. ,alcule o te'po para ;abricar

u'a pea.]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

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SENAI-SP - INT/ANET 7C


36/71

&ate'(tica aplicada

A ;lan3e de u' tubo ! presa co' sete para;usos. ,alcule o Ln3ulo entre os

para;usos.

A so'a de dois Ln3ulos de u' triLn3ulo ! de 67987Z ?ZZ . ,alcule o terceiro Ln3ulo

sabendo-se ue ^Q _ Q ` 6B88.

7@ SENAI-SP - INT/ANET


37/71

&ate'(tica aplicada

4otencia$o " 'adicia$o

4otencia$o

Potenciao ! a operao ue te' por ob0etivo obter o produto de ;atores i3uais.

a7 a $ a $ a

a= a $ a $ a $ a

7a 7 $ 7

: $ : $ : $ : $ : :C 7:

C ;atores i3uais

e$poente

:C 7: O potncia

Mase

5 n#'ero :" to'ado co'o ;ator" cha'a-se base.

5 n#'ero C" ue indica uantas vezes o ;ator aparece" cha'a-se e2poente.

5 n#'ero 7:" ue ! o resultado" cha'a-se pot6ncia

*eituraF

ois elevado X uinta potncia ou si'ples'ente dois elevado X uinta.



38/71

&ate'(tica aplicada

uando a base ;or 6" ualuer ue se0a o e$poente" a potncia ser( se'pre 6.

6: 6 $ 6 6

6C 6 $ 6 $ 6 $ 6 $ 6 6

uando a base ;or 8" ualuer ue se0a o e$poente di;erente de 8" a potncia ser(

se'pre 8.

8: 8

8C 8

ualuer ue se0a a base" uando elevada ao e$poente 6" a potncia ser( se'pre

a prJpria base.

B6 B

6:6 6:

ualuer base di;erente de zero elevada a zero ! se'pre i3ual a 6.

?8 6

@8

6

Para calcular u'a potncia de base 68" co' ualuer ue se0a o e$poente" basta

acrescentar tantos zeros X direita de 6 uantas ;ore' as unidades do e$poente.

68? 68 $ 68 $ 68 $ 68 68 888

? unidades ? zeros ? zeros

68C 688 888

C zeros

Observa$o

As potncias de base dez serve' para si'pli;icar a representao de u' n#'ero.

6C88888 6"C . 68@

7B SENAI-SP - INT/ANET


39/71

&ate'(tica aplicada

8"8888: : . 68-

C6+687 68-7

Multiplica$o de pot6ncias de mesma base

,onserva-se a base e adiciona'-se os e$poentes.

?7$ ?:

$ ? $ ? $ ? $ ? $ ? ?C

C ;atores C ;atores

?7$ ?: ?7 Q : ?C

ivis$o de pot6ncias de mesma base

,onserva-se a base e subtrae'-se os e$poentes.

?F : ? - : :

C:F C: C: - : C8

:C F :C 6

C8 6

4ot6ncia de pot6ncia

Para elevar u'a potncia a outra" 'ultiplica-se cada e$poente interno pelo e$terno.

: .

7: . :. :7 . : 7?. :@

: 7?. :@



40/71

&ate'(tica aplicada

'adicia$o

/adiciao ! a operao inversa da potenciao.

/epresenta'-se e deno'ina'-se os ter'os da radiciao con;or'e o esue'a

abai$oF

E$e'plos de leitura de radiciao.

7 B =: - l-se raiz terceira de oito.

6@ =? - l-se raiz se3unda de 6@.

A raiz pri'eira ou raiz u' de ualuer n#'ero ! o prJprio n#'ero.

C =C - l-se raiz pri'eira de cinco.

82tra$o de rai: &uadrada

'ai: &uadrada e2ata

/aiz uadrada de certo n#'ero ! outro n#'ero ue" 'ultiplicado por si 'es'o"

reproduz e$ata'ente o n#'ero dado.

9 = 7: =7

:C = C: =C

Observa$o

Para n#'eros ue no possue' raiz uadrada e$ata" pode'os usar u'a raiz

apro$i'ada" ou se0aF

?8 SENAI-SP - INT/ANET


41/71

&ate'(tica aplicada

'ai: &uadrada por falta

uando o n#'ero elevado ao uadrado ! apro$i'ado ao n#'ero do ual se

dese0a e$trair a raiz uadrada" por!' menorue ele.

98 9: B6 B6

98

entoF 9 ! a raiz uadrada de 98 por falta

'ai: &uadrada por e2cesso

uando o n#'ero elevado ao uadrado ! apro$i'ado ao n#'ero do ual se

dese0a e$trair a raiz uadrada" por!' maiorue ele.

98 68: 688

688 98

entoF 68 ! a raiz uadrada de 98 por e2cesso

M,todo para e2trair a rai: &uadrada

eter'inar a raiz uadrada de B?@?.

Separar" no radicando" 3rupos de : al3aris'os" da direita para a esuerda. 5 0o

5rupo a partir da esuerda poder( conter apenas0 al5arismo.

E$trair a raiz uadrada do 6o3rupo. Essa raiz ! 9 por ;alta. Escreve-se 9 na raiz.

Escrever o uadrado do n#'ero encontrado abai$o do 6o3rupo e ;azer a

subtrao.

SENAI-SP - INT/ANET ?6


42/71

&ate'(tica aplicada

Mai$ar o 3rupo se3uinte ao lado do resto" separando" no n#'ero ;or'ado" o

al3aris'o da direita co' u' ponto .

obrar a raiz - .

ividir o n#'ero X esuerda do ponto pelo dobro da raiz .

,olocar o uociente encontrado X direita do dobro da raiz " ;or'ando o

n#'ero 6B:" ue deve ser 'ultiplicado pelo 'es'o uociente .

E' se3uida" transportar o produto obtido para bai$o do novo radicando e

;azer a subtrao. Transportar ta'b!' o uociente para a raiz" ue passa a ser

9:.

?: SENAI-SP - INT/ANET


43/71

&ate'(tica aplicada

'ai: &uadrada de nmeros decimais

Para e$trair a raiz uadrada de n#'eros deci'ais" ! necess(rio ue se tenha u'

n#'ero de ordens se'pre par" e o n#'ero de ordens deci'ais da raiz ser( a 'etade

do n#'ero de ordens deci'ais do radicando.

?@9 ! 'aior ue ?79 e no pode ser subtra%doK deve-se to'ar ento o n#'ero lo3o

abai$o do valor do uociente encontrado


44/71

&ate'(tica aplicada

,o' apro$i'ao de 8"886" ! necess(rio ue o n#'ero do radicando tenha

seis ordens deci'ais" e assi' sucessiva'ente.

= "8888 :"@?

82erccios

/esolvaF

?:. ?7

a:. b:

aC. a?

C7. ::


45/71

&ate'(tica aplicada

@7F C:

a:F b:

?:F ?:

a ?=a:

a ?=

a

?

C : =

69:

@Ba: =

8"6a :

,alcule

S [

SENAI-SP - INT/ANET ?C


46/71

&ate'(tica aplicada

b>

d [

:96@

?"C7

8"B?7@

4' puno per;urador co' corte transversal uadrado te' :8:C'': de super;%cie.

,alcule o co'pri'ento dos lados.

?@ SENAI-SP - INT/ANET


47/71

&ate'(tica aplicada

A seco transversal de u' cordo de solda ! de 6@'':. ,alcule o co'pri'ento

dos catetos.

A ;Jr'ula da (rea de u' triLn3ulo ! A S:

:

SENAI-SP - INT/ANET ?


48/71

&ate'(tica aplicada

?B SENAI-SP - INT/ANET


49/71

&ate'(tica aplicada

'a:$o " 4ropor$o "

'e5ra de tr6s

'a:$o e propor$o

'a:$o

/azo entre dois n#'eros dados ! o uociente do pri'eiro pelo se3undo. Por

e$e'plo" de cada @ torcedores" C torce' pelo ,orinthians. Portanto" C e' @ so

corintianosF

C@=l-se C para @.

5s n#'eros dados so os ter'os da razo e" e' toda razo" o dividendo ! cha'adoantecedente e o divisor ! cha'ado conse\ente.

6: antecedente

: conse\ente

ou

6: F : conse\ente

antecedente

4ropor$o

A i3ualdade entre duas ou 'ais razHes ! deno'inada proporo.

9 = @ ou 9 F 6: @ F B

6: B

SENAI-SP - INT/ANET ?9


50/71

&ate'(tica aplicada

eve-se lerF 9 est( para 6:" assi' co'o @ est( para B.

5s n#'eros ue se escreve' nu'a proporo so deno'inados ter'os" os uais

recebe' no'es especiaisF o pri'eiro e o #lti'o ter'os recebe' o no'e de

e$tre'os e os outros dois recebe' o no'e de 'eios.

e$tre'o 'eio

9 = @

6: B'eio e$tre'o

'eios

9 F 6: @ F B

e$tre'os

A propriedade ;unda'ental das proporHes !F o produto dos e2tremos , i5ual ao

produto dos meios

=rande:as direta e inversamente proporcionais

=rande:as diretamente proporcionais

uas 3randezas so direta'ente proporcionais uando" ao se au'entar o valor de

u'a" certo n#'ero de vezes" o valor da outra au'enta o 'es'o n#'ero de vezes" ou

uando" ao se di'inuir o valor de u'a" o valor da outra di'inui o 'es'o n#'ero de

vezes.

C8 SENAI-SP - INT/ANET


51/71

&ate'(tica aplicada

Por e$e'plo" se u'a pessoa pa3a / ?"8 por litro de 3asolina" por ?C litros pa3ar(

?C $ / ?"8 / :66"C8.

5asolina preo

6 litro / ?"8: litros / 9"?8

7 litros / 6?"68

68 litros / ?"88

?C litros / :66"C8

Nas 3randezas direta'ente proporcionais" a razo entre os valores correspondentes !

constante.

?"8 = 9"?8 = 6?"68 = :66"C8 = ?"8

6 : 7 ?C

=rande:as inversamente proporcionais

uas 3randezas so inversa'ente proporcionais uando" au'entando o valor de u'a"

certo n#'ero de vezes" o valor da outra di'inui o 'es'o n#'ero de vezes.

velocidade tempo

982' por hora : horas

@82' por hora 7 horas

?C2' por hora ? horas

7@2' por hora C horas

782' por hora @ horas

Se'pre ue duas 3randezas so inversa'ente proporcionais" o produto entre os

valores correspondentes ! constante.

98 $ : @8 $ 7 7@ $ C 78 $ @ 6B8

SENAI-SP - INT/ANET C6


52/71

&ate'(tica aplicada

'e5ra de tr6s

Por 'eio da re3ra de trs pode'os deter'inar u' uarto valor de u'a proporo se

conhecer'os os outros trs valores.

A re3ra de trs baseia-se na propriedade ;unda'ental das proporHesF

O produto dos e2tremos , i5ual ao produto dos meios

'eio

F : 6? F ?

e$tre'o

= 6? : . 6? :B

: ? . ? :B

82emplos;

a> $ = 6:

: ?

? . $ : . 6:

$ = : . 6:

?

$ @

b> 6C = 7

$ C

$ . 7 6C . C

$=6C . C 7

$ :C

C: SENAI-SP - INT/ANET


53/71

&ate'(tica aplicada

9f = ?f

f: 9 . ?

f: 7@

f 7@

f @

82emplos de aplica$o da re5ra de tr6s5 diL'etro e o co'pri'ento de u' cone esto e' u'a razo direta de 6 F 68. ,alcule

o diL'etro correspondente ao co'pri'ento de 6C8''.

diL'etro F co'pri'ento

6 F 68

$ F 6C8

6 F 68 $ F 6C8

68 . $ 6 . 6C8

$ 6 . 6C868

$ 6C''



54/71

&ate'(tica aplicada

'e5ra de tr6s composta

A re3ra de trs co'posta consiste e' duas ou 'ais re3ras de trs si'ples.

82emplo;

4' 3rupo de 78 oper(rios" trabalhando B horas por dia" ;undiu ?8823 de ;erro e' 68

dias. uantos oper(rios sero necess(rios para ;undir @8823 trabalhando 6C dias de @

horas[

4rocedimento;

a> ispor os ele'entos da 'es'a esp!cie na posio vertical.

oper(rios

horas+dias

'aterial;undido

diastrabalhados

78op Bh+d ?8823 68d

$ op @h+d @8823 6Cd

b> ,olocar a razo ue cont!' a incJ3nita co'o pri'eira.

6a 78 op

op

eter'inar as razHes diretas e inversas colocando as setas" co'parando-as

se'pre co' a razo da incJ3nita.

78 op Bh+d ?8823 68d$ op @h+d @8823 6Cd

Escrever as razHes ;or'ando as proporHes" na 'es'a posio " ou

invertendo-as" se inversas.

C? SENAI-SP - INT/ANET


55/71

&ate'(tica aplicada

&ultiplicar e' = . 5 deno'inador ser( constitu%do por todos os n#'eros ue

aco'panha' a incJ3nita e o nu'erador pelos de'ais valores.

$ 78 $ B $ @88 $ 68

@ $ ?88 $ 6C

$ ?8

82erccios

4'a chapa de ao de B88$6?88'' deve ser representada e' u' desenho na

proporo de 6 F :8. ue co'pri'ento te' os lados do desenho[]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

A escala de u' 'apa auto'obil%stico ! de 6 F C88888. ual a distLncia entre dois

pontos ue no 'apa esto a ?"Cc'[

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

,alcule o diL'etro .

SENAI-SP - INT/ANET CC


56/71

&ate'(tica aplicada

?> ,alcule o diL'etro da polia 'enor.

C> ,alcule a rp' $.

4' auto'Jvel conso'e B"? litros de 3asolina por 6882'. ue distLncia pode

percorrer co' ?8 litros no tanue[

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

4'a li3a cont!' :23 de cobre e 6B23 de zinco. ,alcule a proporo de cobre e

zinco e' porcenta3e' .

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

C@ SENAI-SP - INT/ANET


57/71

&ate'(tica aplicada

Trabalhando @ horas di(rias" 6 oper(rios ;undira' C6823 de ;erro e' 68 dias.

uantos oper(rios sero necess(rios para ;undir 6:C23" trabalhando 6: dias e 7

horas[

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

Nu'a o;icina" 6@ '(uinas trabalhando C horas por dia ;aze' :?88 peas. Para

;azer 7888 peas" co' :8 '(uinas" uantas horas di(rias devero ser

trabalhadas[

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

4'a esta'paria produz 68C8 esta'pas por dia. Se houver u' au'ento de Bg naproduo" uanto passar( a produzir diaria'ente[

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

,o'prou-se u'a '(uina por / ?.C88.888"88 dando-se de entrada /

988.888"88. e uanto ;oi a entrada" e' porcenta3e'[

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

E;etuei u'a co'pra no valor de / ?.C88"88. Para pa3a'ento a vista" a e'presa

o;erece u' desconto de 6:gK e' 78 dias" h( u' acr!sci'o de g. Per3unta-seF

uanto pa3arei a vista[ E a prazo[

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

SENAI-SP - INT/ANET C


58/71

&ate'(tica aplicada

CB SENAI-SP - INT/ANET


59/71

&ate'(tica aplicada

8&ua$o de 0o5rau

8&ua$o do 0o5rau

As sentenas 'ate'(ticas e$pressa' se'pre u' pensa'ento co'pletoF

>dois mais cinco , i5ual a sete> ue e' lin3ua3e' si'bJlica" escreve-seF

? @ A B

A sentena 'ate'(tica ! co'posta de trs partesF

: Q C

D D D

6o'e'bro - sinal - :o'e'bro

< " " >

uando no se conhece al3u' ele'ento da sentena" este pode ser representado por

u'a letra ou por u' s%'bolo ualuer. Estas sentenas so cha'adas de sentenas

abertas

EuaHes so sentenas abertas ue possue' o sinal de i3ualdade . E cha'a'os

e&ua$o de 0o5rau a u'a euao ue tenha a incJ3nita elevada ao e$poente u'.

EuaHes de 6o3rau

z Q C 6C

$ Q 7 ?

7"B Q "@ f



60/71

&ate'(tica aplicada

As letras ou s%'bolos 2. 9. :ue representa' os valores desconhecidos recebe'

o no'e de incJ3nitas ou vari(veis.

5s valores encontrados para as incJ3nitas ou vari(veis constitue' a soluo da

euao.

4'a euao pode ser co'parada a u'a balana ue est( se'pre e' euil%brio.

9 C Q $

9 C Q $

C Q $ 9

uando adiciona'os ou subtra%'os al3u' valor a u' 'e'bro" devere'os adicionar

ou subtrair o 'es'o valor ao outro 'e'bro para 'anter o euil%brio.

9 C Q $

9 - C C Q $ - C

? $

'e5ras bsicas para resolu$o de e&ua$o do 0o5rau

A incJ3nita deve se'pre ;icar so'ente e' u' 'e'bro da euao .

$ Q C - $

@8 SENAI-SP - INT/ANET


61/71

&ate'(tica aplicada

$ Q C Q$ - $ Q$

:$ Q C

Se'pre ue u' valor 'udar de 'e'bro" ter( a operao inversa da ue tinha no outro'e'bro .

7 . $ @

$ 7@

Pode'-se inverter os 'e'bros de u'a euao" pois os dois 'e'bros so i3uais.

B $ Q 7

$ Q 7 B

5 pri'eiro ele'ento da euao no deve ser ne3ativo. ,aso isso acontea" deve'-

se 'ultiplicar a'bos os 'e'bros da euao por " para ue se 'antenha a

i3ualdade.

-7$ ?

. -7$ ? .

7$ -?

,aso a incJ3nita este0a e' u'a ;rao" ela deve ;icar se'pre no nu'erador da ;rao"

nunca no deno'inador.

7$ 6:

7$ . $ 6: . $

7 6:$

SENAI-SP - INT/ANET @6


62/71

&ate'(tica aplicada

82emplos de resolu$o de e&uaes;

6>

:>

7>

?>

@: SENAI-SP - INT/ANET


63/71

&ate'(tica aplicada

C>

@>

>

B>



64/71

&ate'(tica aplicada

9>

8&uaes do 0o 5rau com duas inc%5nitas (variveis)

A euao $ Q f C possui duas vari(veis . Pode'-se atribuir in;initos valores

para $ e obter in;initos valores de f ue satis;aria' a euao.

82emplo;

,onsiderando-se $ Q f CF

Se $ 7 7 Q f C f C - 7 f :

Se $ -: -: Q f C f C Q : f

Se $ ? ? Q f C f C - ? f 6

Se $ -7 -7 Q f C f C Q 7 f B

Se $ 6 6 Q f C f C - 6 f ?

Se $ @ @ Q f C f C - @ f -6

Se $ 8 8 Q f C f C - 8 f C

Se $ C C Q f C f C - C f 8

uando h( duas incJ3nitas" so necess(rias" no '%ni'o" duas euaHes para

che3ar a u'a resoluo. So representados da se3uinte ;or'aF

$ +f =C$ - f =7

@? SENAI-SP - INT/ANET


65/71

&ate'(tica aplicada

Para resolver essas euaHes" ! 'uito co'u' o '!todo da substitui$o" ue

consiste e' achar o valor de u'a das incJ3nitas da euao e substitu%-la na outra.

82emplos;

$ +f =C < 6 >$ - f =7 < : >

$ C - f" ue substituindo e' te'-seF

< : > $ - f 7< C$ - f > - f 7

C - :f 7

-:f 7 - C

-:f -:

f - :

- :

6

Sabendo-se o valor de u'a incJ3nita" pode-se encontrar o valor da outraF

$ Q f C $ Q6 C

$ C -

6 $ ?

:> :$ B $ Q f @

:$ B ? Q f @

$ B f @ - ?

:

$ ? f :

Observa$o

Para co'provar os valores encontrados para as incJ3nitas" basta coloc(-los na

euao e e;etuar as operaHes. 5btendo-se os 'es'os resultados " os valores estaro corretos.

SENAI-SP - INT/ANET @C


66/71

&ate'(tica aplicada

7$ - f 8

:$ Q f C

:$ Q f C 7$ - 8

f Q :$ C 7$ Q :$ Cf C - :$ C$ C

$ CC

$ 6

< : > :$ Q f C

f C - :

f 7

?> $ +:f =6? < 6 >

$= C < : >

f

< : > $ =C Cf Q :f 6?

ff 6?

$ Cf f :

Se $ Q :f 6? e f

: $Q 6?

$ Q ? 6?

$ 68

,o'parao do e$e'plo ?F

f : troca'-se as letras pelos valores encontrados na euao.$ 68

$ +:f =6?

$ =C

f

68 +< : . : > =6? 68 =C

:

@@ SENAI-SP - INT/ANET


67/71

&ate'(tica aplicada

5s valores esto corretos.

82erccios

eter'ine o valor de $.

@ Q $ 6B

6B - $ 6?

$ - @ :?

b Q $ 6B

d - $ 6?

$ - 7 :?

6? Q $

z @ - $

: . ?

9 - 7B

SENAI-SP - INT/ANET


68/71

67


69/71

&ate'(tica aplicada

2> $ = $ - : =67

: 7l> 7$ = C$ -

? : :

:> eter'ine o valor de h.

a> h =C

7b> C = h

?c> 7 = :h

9

h@=8"C

6Bh=7:

A =b . h

:

a . h

S h

@B SENAI-SP - INT/ANET


70/71

&ate'(tica aplicada

' Q h . p

5s trs lados de u' triLn3ulo t' u' co'pri'ento total de 76B''. ,alcule a base

uando os outros dois lados 'ede' respectiva'ente 66?'' e @:''.

?> ,alcule o valor de l.

C> ,alcule o valor de l:.



71/71

&ate'(tica aplicada

,alcule o valor de $ e f.

$ +7f =6?7 - f =:

6:$ - :f =7?

$ +f =? $ =:

?

matemática apicada - mecânico geral cai

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