Instituto de Matemática e Estatística - Universidade de São Paulo

MAT0412 – Análise de Textos Didáticos

Andre Avila, N° USP: 8943278

Carlos Henrique Netto, Nº USP: 9298771

Jordan Carvalho de Almeida, Nº USP: 9298830

Matheus Serpa, Nº USP: 9010196

São Paulo

2019

Razão entre

grandezas de

espécies

diferentes

(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas

grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade

demográfica.

Grandezas

diretamente

proporcionais e

grandezas

inversamente

proporcionais

(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações

de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas,

inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de

variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

Introdução

Uma viagem de amigos

Julia, Gabriela, Bruna e João são quatro

amigos que vão fazer uma viagem,

saindo de São Paulo até a cidade do Rio

de Janeiro. O Percurso que vão fazer

tem aproximadamente 450 Km e eles

levariam, aproximadamente, 5 horas e

meia para chegar.

Qual estratégia você tomaria para         

encontrar a velocidade deles, em média,           

durante esta viagem? Qual seria o resultado             

obtido?

Sabendo que o carro da Júlia, que está sendo usado na viagem, faz 12 quilômetros

por litro de Biocombustível, quantos litros esse carro precisaria, no mínimo, para fazer a

viagem?

Sabendo que O Biocombustível em São Paulo custa R$ 4,00 o litro, quanto custaria

a compra da gasolina necessária para a viagem? E se eles dividissem esse valor entre os 4

amigos, quanto cada um pagaria?

Uma passagem de ônibus de São Paulo para o Rio de Janeiro custa R$110,00.

Seria mais barato para os amigos irem de carro ou de ônibus? Por quê? E se Júlia fosse

sozinha, qual seria mais barato?

Note que de carro eles levam 5h30 e de ônibus 6h30 para percorrer o mesmo

trajeto. Qual é mais rápido?

De acordo com sua resposta na primeira questão, como você explicaria a relação

entre o tempo, a distância e a velocidade?

Discussão

Vamos analisar um pouco as situações apresentadas na página anterior. Veja uma

tabela de custo feita a partir das informações dadas na segunda questão.

Distância percorrida no carro de Jordan Biocombustível necessário

12 Quilômetros 1 Litro de Biocombustível

24 Quilômetros 2 Litros de Biocombustível

36 Quilômetros 3 Litros de Biocombustível

48 Quilômetros 4 Litros de Biocombustível

60 Quilômetros 5 Litros de Biocombustível

72 Quilômetros 6 Litros de Biocombustível

... ...

Veja conforme a coluna da esquerda aumenta, a da direita também aumenta. De

fato, note que a coluna esquerda tem os múltiplos de 12 e a da direita tem os múltiplos de 1,

ambos escritos em ordem crescente. Assim observamos: que

Na 2ª linha da tabela estão os números 24 = 12 x 2 e 2 = 2 x 1;

Na 3ª linha estão os números 36 = 12 x 3 e 3=3 x 1;

Na 3ª linha estão os números 48 = 12 x 4 e 4 = 4 x 1;

e assim por diante.

Isto é, o número que aparece na linha n na coluna esquerda da tabela tem o valor

n.12 e na coluna direita tem o valor n. Na situação da viagem queremos saber quanta

gasolina os amigos precisarão para a viagem, tendo como informação que a distância é de

450 km. Assim, vamos descobrir em qual linha da tabela está o 450 km:

n x 12 = 450

n = 450 / 12

n = 37,5

Como achamos a linha 37,5? Isso tem sentido?

Para entender, vamos achar a linha 37:

... ...

444 Quilômetros 37 Litros de Biocombustível

456 Quilômetros 38 Litros de Biocombustível

... ...

Como 450 não é um múltiplo de 12, ele não aparece na coluna esquerda, porém ele

está entre outros dois múltiplos, 444 e 456, por isso podemos afirmar que a quantidade de

biocombustível necessário para a viagem está entre 37 e 38 litros.

A primeira tabela foi montada a partir da informação de que o carro de Jordan anda

12 km a cada 1 Litro de biocombustível. Mas e se o carro percorre-se menos de 12 km? Por

exemplo: Se ele andasse 6 km, quanto biocombustível seria necessário?

Como 6 é a metade de 12, podemos considerar que precisaríamos da metade 1 litro

de biocombustível, isto é 0,5 L. Essa afirmação vem da ideia de que conforme o carro anda

menos, ele utiliza menos biocombustível.

Assim, podemos montar uma nova tabela:

Distância percorrida no carro de Jordan Biocombustível necessária

6 Quilômetros 0,5 Litro de Biocombustível

12 Quilômetros 1 Litro de Biocombustível

18 Quilômetros 1,5 Litros de Biocombustível

24 Quilômetros 2 Litros de Biocombustível

30 Quilômetros 2,5 Litros de Biocombustível

36 Quilômetros 3 Litros de Biocombustível

... ...

n.6 Quilômetros n. 0,5 Litros de Biocombustível

... ...

Note que usando um método semelhante ao da tabela anterior, podemos achar o

valor da distância da viagem nessa tabela. Veja:

n.6 = 450

n = 450/6

n = 75

Assim, a Quantidade de biocombustível será:

L = 0,5.75

L = 37,5

Essa segunda tabela nos permite um resultado mais preciso, mas veja que ambas

só foram possíveis pois estamos observando dois fatos do problema:

● Quanto mais o carro anda, mais biocombustível ele gasta.

● Quanto menos o carro anda, menos biocombustível ele gasta.

A quantidade que o carro anda e a biocombustível gasto são Grandezas: Distância

(Km) e Volume (L), respectivamente.

Tudo isso mostra que existe uma relação entre essas grandezas na situação

proposta pela pergunta. Essa relação é conhecida popularmente como Consumo do

Veículo. Esta característica é muito importante na hora da compra de um veículo, pois ela

explicita quantos quilômetros o carro anda a cada litro de combustível que colocamos nele,

de modo que aquele que andar mais, economiza mais gasolina. Essa medida fica clara na

tabela se você dividir qualquer valor da coluna esquerda pelo valor da coluna direita que

está na mesma linha. Você pode conferir! verá que a divisão da sempre 12.

Assim, podemos dizer que o Consumo do carro da Júlia é de 12 km/L

Essa notação, Km/L, indica que esse número resultou de uma Razão de duas grandezas

de naturezas distintas (distância e volume).

Vamos ver a terceira pergunta feita no problema inicial: Sabendo que a

biocombustível em São Paulo custa R$ 4,00 o Litro, quanto iria custar a compra da

biocombustível necessário para a viagem?

Novamente, podemos pensar que:

● Quanto mais dinheiro se gasta, mais biocombustível se compra.

● Quanto menos dinheiro se gasta, menos biocombustível se compra.

Assim, poderíamos montar uma tabela novamente, com uma coluna de preços e

outra de quantidade de biocombustível correspondente. Verifique construindo apenas

algumas linhas dessa tabela que ao dividir um valor por outro que estaria na mesma linha

da tabela, daria sempre o mesmo valor. Se r é a quantidade de reais e l é a quantidade de

litros de biocombustível, temos que:

Logo, só o que precisamos fazer é pensar que para o problema, o carro precisa de

37,5 L, ou seja:

Portanto, a gasolina iria custar R$120,00, sendo R$37,50 para cada amigo. Essas

informações nos permitem pensar sobre a quarta questão, comparando cada um desses

valores com a passagem do ônibus.

Agora é com você!

Depois da análise e da discussão desse problema, veja como as ideias

apresentadas podem te ajudar com o seguinte problema:

Você ganhou um prêmio! uma agência de viagens vai financiar uma viagem para

você e mais três pessoas para qualquer lugar do Brasil. Funciona assim: A empresa pagará

o custo do seu transporte e da sua estadia com o limite de R$ 2.000,00, mas você pode

gastar a mais se estiver disposto a pagar. Sendo assim, você precisa pensar em como vai

distribuir esse dinheiro.

Para isso, faça uma pesquisa e converse com seu conhecidos para descrever sua

viagem com base nas seguintes questões:

Para qual lugar você vai viajar?

Quem vai levar com você?

Quantos dias vai ficar lá?

Quando é sua viagem?

Quais tipos de transporte você pode usar para a sua viagem? (Carro, ônibus, avião, …)

Quanto vai custar cada transporte?

Quanto tempo vai levar, ida e volta, cada transporte para realizar esta viagem?

Qual o transporte mais rápido?

Considerando o tempo e o custo de cada um, qual você escolheria?

Se você mudasse a data da viagem, ela ficaria mais barata?

Se você mudasse o lugar para o qual vai viajar, a viagem seria mais barata?

Quando chegar lá, onde vai se hospedar?(Hotel, casa de parentes, pousada, …)

Quanto vai custar sua estadia?

O transporte e a estadia são essenciais para qualquer viagem. Depois que decidiu como

eles seriam, como ficou sua despesa? Você passou o limite da empresa? Por quê?

Obs.: Você não precisa responder cada pergunta individualmente, pode apenas descrever

sua viagem de maneira resumida, de modo que leve em consideração todas as perguntas.

Grandezas, Razão e Proporção _________________________________________________________________________

Grandezas

Um pouco de história. O desenvolvimento científico e tecnológico exigiu maneiras mais precisas de definir

unidades, aperfeiçoar as medidas já determinadas e estabelecer padrões para grandezas

que ainda não possuíam, como a eletricidade. Assim, em 1960, na XI Conferência

Internacional de Pesos e Medidas foi adotado o Sistema Internacional de Unidades – SI,

onde unidades como o metro e o segundo foram redefinidos e as grandezas fundamentais

foram estabelecidas: Comprimento, Superfície, Volume, Capacidade, Massa, Tempo,

Intensidade, Eletricidade, Temperatura e Intensidade Luminosa. (Pereira, 1987). Dessa

forma, o Sistema Internacional de Unidades define o símbolo e a unidade-padrão para cada

grandeza a ser medida.

Entendemos por grandezas tudo o que pode ser medido, e contado, de forma que

estas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas.

Alguns exemplos de grandeza são: O volume, a massa, a superfície, o comprimento, a

capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.

É comum no dia a dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas.

Você sabe dizer algumas?

Por exemplo:

● Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade,

menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o

tempo.

● Em um forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o

tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o

tempo e a produção.

Razão entre grandezas

A palavra razão, na matemática, vem do latim ratio e aparece na matemática a muito tempo,

vindo da ideia de relação de Euclides.

Chama-se de razão a relação entre duas grandezas, expressas na mesma unidade ou não. A

razão pode ter dimensão (ex. velocidade: m/s, km/h etc.) ou ser adimensional (quando dividimos

coisas do mesmo tipo (área por área, etc.)

Usamos a razão para fazer comparação entre duas grandezas. Sabendo que

existem duas grandezas a e b, o quociente da divisão de a por b, é representado por a / b,

ou qualquer outra forma equivalente.

Exemplo 1:

9/15 = 9:15 = ⅗ = 0,6 = 60/100 = 60%

Todas essas são formas de escrever a razão entre os números 9 e 15.

Obs.: Note que para esse quociente existir, b não pode ser zero.

Exemplo 2:

O consumo médio de combustível de um carro é um exemplo para entendermos onde

podemos usar essa ideia. Veja a seguir:

André foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse

percurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido?

O que significa essa razão?

Solução:

Razão =

Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro")

Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km.

Agora é com você!

1. Cinco marcas de pão integral apresentam as seguintes concentrações de fibras

(massa de fibra por massa de pão):

- Marca A: 2 g de fibras a cada 50 g de pão;

- Marca B: 5 g de fibras a cada 40 g de pão;

- Marca C: 5 g de fibras a cada 100 g de pão;

- Marca D: 6 g de fibras a cada 90 g de pão;

- Marca E: 7 g de fibras a cada 70 g de pão.

Recomenda-se a ingestão do pão que possui a maior concentração de fibras.

Disponível em www.blog.saude.gov.br Acesso em 25 de fev de 2013

A marca a ser escolhida é:

a) A b) B c) C d) D e) E

2. (Sejus ES 2013 – Vunesp). Em uma população carcerária de 14 400 presos, há 1

mulher para cada 11 homens nessa situação. Do total das mulheres, 2/5 estão em

regime provisório, correspondendo a:

a)840 mulheres.

b)480 mulheres.

c)1200 mulheres.

d)640 mulheres.

e)450 mulheres.

3. (BB 2012 – Cesgranrio). Numa pesquisa sobre acesso à internet, três em cada

quatro homens e duas em cada três mulheres responderam que acessam a rede

diariamente. A razão entre o número de mulheres e de homens participantes dessa

pesquisa é, nessa ordem, igual a 1/2. Que fração do total de entrevistados

corresponde àqueles que responderam que acessam a rede todos os dias?

a)5/7

b)8/11

c)13/18

d)17/24

e)25/36

4. (Bombeiros ES 2011 – Cespe). Os salários mensais de Carlos e Paulo são

diretamente proporcionais aos números 23 e 47, respectivamente, e somam R$

7.000,00. A respeito dessa situação hipotética, julgue os itens a seguir.

a)O salário de Paulo é inferior a R$ 4.600,00.

b)O salário de Carlos é superior a R$ 2.200,00.

5. (Caixa 2006 – Cespe). Conheça o título de pagamento único CAIXACAP DA

SORTE, da CAIXA CAPITALIZAÇÃO, e dê mais chances à sua sorte. Você escolhe

o valor que quer investir, de R$ 200,00 a R$ 900,00, múltiplos de R$ 100,00, paga

uma única vez e concorre, todo mês, a 54 prêmios de até R$ 700 mil. E, ao final do

prazo de capitalização, você recebe 100% do valor guardado, atualizado pela taxa

referencial de juros (TR). Além dos sorteios mensais, tem o sorteio nos meses de

julho durante a vigência do título, com premiação em dobro: serão 2 clientes

contemplados com o prêmio de até R$ 700 mil. Além de tudo isso, em julho de 2007

ocorrerá o sorteio especial, quando você concorrerá durante 1 semana a 7 prêmios,

um por dia, de até R$ 1 milhão, como mostra a tabela abaixo. Os sorteios serão

realizados pela Loteria Federal do Brasil, sempre no último sábado de cada mês. Se

você for sorteado, continua concorrendo, exceto ao sorteio especial, realizado em

julho de 2007.

Avalie como verdadeira ou falsa a seguinte afirmação justificando-a:

“Considerando-se apenas os títulos de R$ 200,00 a R$ 800,00, são equivalentes as frações

de numerador igual ao valor do título e denominador igual ao valor do prêmio especial

correspondente.”

Proporção

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Podemos dizer que essas frações estão em proporção, na ordem dada, se e

somente se, a razão entre a e b for igual à razão entre c e d.

Lê-se a está para b, assim como c está para d.

Uma propriedade importante: Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Aplicando esta propriedade, podemos determinar o valor de uma incógnita na proporção.

Exemplo:

Para fazer 600 pães, são gastos, em uma padaria, 100 Kg de farinha. Quantos pães podem

ser feitos com 25kg de farinha?

Estabelecemos a seguinte relação:

600 -------------- 100

x -------------- 25

Podem ser feitos 150 pães.

Agora é com você!

1. Calcule os valores de a e b, sabendo que a+b = 30 e que .

2. Admita que, para escovar os dentes, seja necessário, em média, 1 litro de água.

Caso a torneira permaneça aberta durante toda a escovação, serão gastos, em

média, 11 litros, havendo desperdício de 10 litros.

Considere uma família de quatro pessoas que escovam os dentes três vezes ao dia,

mantendo a torneira aberta.

Em 365 dias, o desperdício de água dessa família, em litros, será igual a:

a) 21900 b) 43800 c) 65700 d) 87600

3. (UERE 2012) Segundo uma reportagem, a razão entre o número total de alunos

matriculados em um curso e o número de alunos não concluintes desse curso, nessa

ordem, é de 9 para 7. A reportagem ainda indica que são 140 os alunos concluintes

desse curso. Com base na reportagem, pode-se afirmar, corretamente, que o

número total de alunos matriculados nesse curso é

a) 180 b) 260 c) 490 d) 520 e) 630

4. (VNSP 2012) Em uma padaria, a razão entre o número de pessoas que tomam café

puro e o número de pessoas que tomam café com leite, de manhã, é 2/3. Se durante

uma semana, 180 pessoas tomarem café de manhã nessa padaria, e supondo que

essa razão permaneça a mesma, pode-se concluir que o número de pessoas que

tomarão café puro será:

a) 72 b) 86 c) 94 d) 105 e) 112

5. (PUC-SP) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta

R$ 1.026.00. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia?

 

Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a

outra aumenta na mesma razão da primeira. Exemplo: Um veículo que percorre:

80km em 1 hora.

160km em 2 horas.

240km em 3 horas.

Enquanto o tempo aumenta, a distância percorrida também aumenta. Dizemos

então, que o tempo e a distância são grandezas diretamente proporcionais.

Exemplo 1:

André foi até a casa de sua avó com Carlos, Jordan e Matheus. Sua avó disse que

faria um bolo para cada levar para casa e pediu ajuda para comprar os ingredientes. Para

fazer um bolo a receita solicita:

2 xícaras de farinha de trigo

2 xícaras de açúcar

3 ovos

200 mL de óleo

2 laranjas picadas

Quantas laranjas serão necessárias?

Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a

outra diminui na mesma razão da primeira. Exemplo: Um veículo faz um percurso em:

1 hora com velocidade de 120km/h.

2 horas com velocidade de 60km/h.

3 horas com velocidade de 40km/h.

Enquanto o tempo aumenta, a velocidade diminui. Dizemos, então, que o tempo e a

velocidade são grandezas inversamente proporcionais.

Exemplo:

Um carro percorreu uma estrada em 5 horas, à velocidade média de 100 km/h. Com

qual velocidade o carro faria o mesmo percurso em 4 horas?

Resolução:

Dispositivo prático:

As grandezas são inversamente proporcionais, pois, à medida que diminui o tempo

da viagem, é necessário que a velocidade do carro aumente, para que o carro percorra o

mesmo percurso.

Quando as grandezas são inversamente proporcionais, as flechas têm sentidos

contrários. Montando a proporção, temos:

Agora é com você!

1) Você consegue dizer se cada sentença abaixo é diretamente ou inversamente

proporcional? ● Número de pessoas em uma festa e a quantidade de refrigerante (litros) que cada

pessoa poderá consumir.

R:

● Número de erros em uma prova e a nota obtida.

R:

● Quantidade de alimento e o número de dias que poderá sobreviver em uma ilha.

R:

2) Jordan e Matheus jogaram na loteria; o Jordan entrou com R$ 140,00 e Matheus com R$

220,00. Eles ganharam um prêmio de R$ 162.000,00 que deve ser dividido em partes

diretamente proporcionais às quantias com que cada um entrou. Quanto deverá receber

cada um?

3) Três professores receberam ao todo R$ 2 550. O primeiro trabalhou 15 dias à razão de 6

horas por dia; o segundo, 25 dias à razão de 4 horas por dia; e o terceiro, 30 dias à razão

de 5 horas por dia. Quanto recebeu cada professor?

Escalas

A figura abaixo representa uma parte de um mapa do Brasil, com sua respectiva escala.

Nesta figura, de acordo com a escala usada, 1:30 000 000, a distância de Brasília a

cada uma das cidades foi dividida por 30.000.000, ou seja, cada 1 cm do desenho

corresponde a 30.000.000 cm, ou 300.000 m, ou 300 km, no real. Podemos, então dizer que

escala é uma razão entre a distância, no desenho, e a distância real correspondente.

scala(E) E = Distância realDistância no mapa

Exemplo 1:

No mapa da figura dada, a distância do Rio de Janeiro a Brasília é de 4 cm. Qual a

distância real entre Rio de Janeiro e Brasília?

Resolução:

A escala no mapa é de 1 : 30.000.000; daí temos:

Distância realDistância no mapa = 1

30 000 000

Indicando por x o comprimento real(distância do Rio de Janeiro a Brasília), temos:

= cmx4 1

30 000 000 .30 000 000 20 000 000 → x = 4 → X = 1

120 000 000 cm = 1 200 000m = 1 200 km

Resposta: A distância do Rio de Janeiro a Brasília é 1200 km.

Exemplo 2:

Na planta de uma casa, uma parede de 6 m está representado por um segmento de

12 cm. Qual é a escala dessa planta?

Resolução:

Inicialmente, vamos transformar 6 m em centímetros:

6 m = 600 cm

Como os dois comprimentos estão na mesma unidade, assim, temos:

= = ou 1 : 50Distância realDistância na planta 12

600150

Resposta: A escala usada é de 1 : 50.

A escala cartográfica pode ser apresentado de duas maneiras, a Escala Numérica e

a Escala Gráfica. A primeira, expressa a redução da distância da superfície real. É

representado por uma fração. Exemplo: 1:200.000 (lê-se, escala um por duzentos mil ou um

para duzentos mil). Portanto significa que essa escala foi reduzida 200 mil vezes. Escala

Gráfica é representada por uma linha em forma de um gráfico, indicando a distância real

com as distâncias do mapa. Exemplo:

Para refletir! Discuta com seus colegas, ou professor, o que acontece quando aumentamos ou

diminuímos uma escala na obtenção de informações de um mapa? Em outras palavras, o

que se ganha ou o que se perde ao aumentar ou diminuir uma escala?

Agora é com você!

1. (ENEM 2012) O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão

ainda sem resposta: Qual é o limite do corpo humano? O maratonista original, o

grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O americano Dean

Karnazes, cruzando sozinho as planícies da Califórnia, conseguiu correr dez vezes

mais em 75 horas.Um professor de Educação Física, ao discutir com a turma o texto

sobre a capacidade do maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de

60 centímetros, que representaria o percurso referido.

Disponível em: http://veja.abril.com.br. Acesso em: 25 jun. 2011 (adaptado).

Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a

escala entre a pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta?

a) 1: 700 b) 1: 7.000 c) 1: 70.000 d)1: 700.000 e)1 : 7.000.000

2. Em um mapa do Brasil está a inscrição escala 1 : 20.000.000. Sabendo-se que a

distância entre Itajaí e Blumenau, em Santa Catarina, é de 60 km, aproximadamente,

qual a distância entre essas duas cidades, em cm, nesse mapa?

3. Um caminhão está desenhado na escala de 1 : 100. No desenho, ele tem 9 cm de

comprimento. Qual é o comprimento real do caminhão?

4. A distância real entre São Francisco e Nova York é de 4.200 km. A distância sobre a

carta é de 105 mm. Com base nestes dados, assinale a alternativa que indica

corretamente a escala deste mapa

a) 1 : 400.000

b) 1 : 4.200.000

c) 1 : 10.500.000

d) 1 : 40.000.000

e) 1 : 105.000.000

5. (UNESP) Analise os mapas.

Considerando as escalas utilizadas nos mapas, é correto afirmar que:

a) o mapa 1 favorece maior detalhamento do terreno do que o mapa 2.

b) o mapa 2 abrange uma área menor do que o mapa 1.

c) assemelham-se, pois nos dois casos foi utilizada uma pequena escala.

d) retratam períodos diferentes de uma mesma localidade.

e) ambos os mapas apresentam o mesmo nível de detalhe

Divisão em Partes Proporcionais _________________________________________________________________________

Introdução

Carlos e Jordan vão vender cachorro quente na Praça dos Girassóis da cidade de Palmas.

Para isso compraram um carrinho de cachorro quente por R$800,00, de modo que Carlos

pagou R$200,00 e Jordan pagou R$600,00. Com o ingrediente secreto deles, tiveram um

lucro de R$1280,48 logo no primeiro mês. Seria justo dividir igualmente esse dinheiro entre

os dois? Se não, como você dividiria?

Números proporcionais

Até o momento, neste capítulo, vimos as relações de grandezas direta ou inversamente

proporcionais. Agora vamos analisar números diretamente proporcionais ou

inversamente proporcionais.

Vamos começar a análise com um exemplo de grandezas diretamente proporcionais:

Mariana é eletricista e vai realizar uma instalação em sua casa. Para isso, foi a uma loja de

materiais elétricos comprar alguns metros de cabo. Ele encontrou um tipo de cabo que

custava R$3,00 o metro.

O comprimento de um pedaço de cabo e o preço a pagar por ele são grandezas

diretamente proporcionais.

Veja alguns valores correspondentes a essas duas grandezas:

Comprimento do cabo (m) 2 5 8 10

Preço a pagar (R$) 6 15 24 30

Em casos como esse, dizemos que os números 2, 5, 8 e 10, nessa ordem, são

diretamente proporcionais aos números 6, 15, 24 e 30, respetivamente. De fato, qualquer

fração construída a partir da tabela serão equivalentes: , , e 6

2 515

824 30

10

são todas equivalentes, pois todas têm como fração irredutível.31

Assim, dizemos que os números a, b e c, nesta ordem, são diretamente proporcionais aos

números x, y e z, respectivamente se, e somente se:

xa = y

b = zc

Obs.: Estamos falando de três números, a,b e c, proporcionais a outros três números,

mas existem uma infinidade de frações equivalentes as três citadas. Logo, podemos ter

uma sequência maior de números proporcionais como no exemplo dado acima que tem 4

números proporcionais a outros 4 números.

Observe, agora, que:

2 + 5 + 8 + 106 + 15 + 24 + 30 = 75

25 = 31

Ou seja, considerando os numeradores e os denominadores da proporção criada a

partir dos números proporcionais, a razão da soma dos numeradores para a soma dos denominadores é equivalente às frações da proporção.

De modo geral, vale a seguinte Propriedade das Proporções:

Se , então xa = y

b = zc x + y + z

a + b + c = xa = y

b = zc

Obs.: Uma demonstração desta propriedade será feita mais adiante no capítulo.

Além das igualdades citadas, lembre-se para toda fração existe uma fração

equivalente irredutível. Neste caso, essa fração recebe o nome de Coeficiente de Proporcionalidade.

No exemplo dado, o coeficiente de Proporcionalidade é .31

Quando certa quantia vai ser distribuída igualmente em um grupo de pessoas, as

grandezas correspondentes ao número de pessoas e ao que vai receber cada uma são

grandezas inversamente proporcionais.

Veja os valores correspondentes a essas duas grandezas quando a quantia a ser

distribuída é de R$180,00:

Número de pessoas 2 3 4 6

Quantia para cada uma

(R$)

90 60 45 30

Em casos como esse dizemos que os números 2, 3, 4 e 6 são inversamente

proporcionais ao números 90, 60, 45 e 30. De fato, observe agora que a proporção existe

dos números da primeira linha para com o inverso dos números da segunda linha:

, , e 21

90

31

60

41

45

61

30

são todas equivalentes, pois todas têm 180 como fração irredutível. Isto é, 180 é

coeficiente de proporcionalidade. Outra coisa que podemos notar é que a multiplicação de

dois números numa mesma coluna também é 180. Curioso, não?

Assim, dizemos que os números a, b e c, nesta ordem, são inversamente proporcionais

aos números x, y e z, respectivamente se, e somente se:

ax1 = b

y1 = c

z1 u a o · x = b · y = c · z

Obs.: Estamos falando de três números, a,b e c, proporcionais a outros três números,

mas existem uma infinidade de frações equivalentes as três citadas. Logo, podemos ter

uma sequência maior de números proporcionais como no exemplo dado acima que tem 4

números proporcionais a outros 4 números.

Agora é com você!

1. Verifique se os números 9,15,21 e 6 são ou não proporcionais aos números 6, 10,

14 e 4, respectivamente. Se sim, determine o coeficiente de proporcionalidade e

verifique a propriedade das proporções.

2. Os números 6, 10, 18 e 30 são diretamente proporcionais aos números de outra

sequência e o coeficiente de proporcionalidade é 2. Quais são os números dessa

outra sequência.

3. Verifique se os números 9, 6 e 2 são inversamente proporcionais aos números 4, 6 e

18. Em caso afirmativo, qual é o coeficiente de proporcionalidade?

4. Verifique se os números da primeira sequência são direta ou indiretamente

proporcionais aos da segunda, na ordem que aparecem. Em cada caso que existir a

proporção, calcule o Coeficiente de proporcionalidade:

a. 24, 56,16 e 15,35,10.

b. 2, 4, 8 e 20, 10, 5.

c. 6, 10, 9 e 5, 3, 4.

d. 6, 10, 14, 9 e 24, 40, 56, 36.

Divisão em Partes Diretamente proporcionais

Situações como a ilustrada no quadradinho de Chris Browne são comuns no

cotidiano. A divisão necessária nesse caso não é feita do modo tradicional, em partes

iguais, mas sim uma divisão proporcional ao que cada um pediu no restaurante.

Para isso, vamos usar a Propriedade das Proporções:

O Pai de André (de 4 anos), Sofia (5 anos) e Renato (6 anos) vai jogar futebol com

eles e pediu para cada um deles fazer uma corrida de aquecimento, um de cada vez. Ele

quer o tempo de corrida de cada um seja diretamente proporcional a idade de cada filho.

Ele pensou em fazer um aquecimento de 30 minutos quanto tempo cada filho deverá

correr?

Como as idades são diferentes, os tempos também serão, então vamos indicar os

tempos de André, Sofia e Renato por x, y e z, respectivamente. Como ele quer que cada

tempo seja proporcional a idade de cada filho, temos:

x4 = 5

y = z6

Então podemos usar a Propriedade das Proporções:

, mas então:x4 = 5

y = z6 = x + y + z

4 + 5 + 6 0 x + y + z = 3

x4 = 5

y = z6 = x + y + z

4 + 5 + 6 = 1530 = 2

Por tanto, já sabemos que Coeficiente de Proporcionalidade é 2 e, assim, podemos

calcular cada tempo individualmente

x4 = 2 ⇒ x = 2 · 4 ⇒ x = 8

0 5y = 2 ⇒ y = 2 · 5 ⇒ y = 1

2 z6 = 2 ⇒ z = 2 · 6 ⇒ z = 1

Então André deve aquecer por 8 minutos, a Sofia por 10 minutos e o Renato por 12

minutos.

A divisão de um número em partes proporcionais é feita usando a Propriedade das Proporções e o fato que a soma das partes proporcionais deve ser o número dividido em

questão.

Dividindo o número 48 em partes proporcionais a 2, 4 e 6.

Vamos indicar as partes como x, y e z, de modo que x+y+z=48.

x2 = 4

y = z6 = x + y + z

2 + 4 + 6 = 1248 = 4

Então o Coeficiente de Proporcionalidade é 4. Assim, podemos calcular cada parte

individualmente:

x2 = 4 ⇒ x = 4 · 2 ⇒ x = 8

6 4y = 4 ⇒ y = 4 · 4 ⇒ y = 1

4 z6 = 4 ⇒ z = 4 · 6 ⇒ z = 2

Divisão em Partes Inversamente proporcionais

Podemos aplicar a mesma ideia para uma divisão em partes diretamente

proporcionais:

A mãe de Beatriz, Pedro e Giovana quer que cada um reserve algumas horas da

semana para estudo. Ela quer que esse número de horas seja inversamente proporcional a

média das notas de escola de cada um. A média de Beatriz é 8, a de Pedro é 6 e a de

Giovana é 4. Se a quantidade total de horas que eles estudam por semana é 26 quanto

cada um estuda por semana?

Como as médias são diferentes, os tempos também serão, então vamos indicar os

tempos de Beatriz, Pedro e GIovana por x, y e z, respectivamente. Como ela quer que cada

tempo seja inversamente proporcional a média de cada filho, temos:

x81 = y

61 = z

41

Então podemos usar a Propriedade das Proporções:

, mas então:x81 = y

61 = z

41 = x + y + z

+ + 81

61

41 8

1 + 61 + 4

1 = 2413

8x81 = y

61 = z

41 = x + y + z

+ + 81

61

41 =

241326 = 4

Por tanto, já sabemos que Coeficiente de Proporcionalidade é 2 e, assim, podemos

calcular cada tempo individualmente

8 8 x81 = 4 ⇒ x · 8 = 4 ⇒ x = 6

8 8 y

61 = 4 ⇒ y · 6 = 4 ⇒ y = 8

8 8 2 z41 = 4 ⇒ z · 4 = 4 ⇒ z = 1

Então Beatriz deve estudar 6 horas por semana, Pedro deve estudar 8 horas por

semana e GIovana deve estudar 12 horas por semana.

Note que é a divisão em partes inversamente proporcionais é equivalente a uma divisão

diretamente proporcional ao inverso dos denominadores.

Dividir o número 27 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6

Vamos indicar as partes como x, y e z, de modo que x+y+z=27.

6x3 = 4

y = z6 = x + y + z

+ + 31

41

61 = 9

12

27 = 3

Então o Coeficiente de Proporcionalidade é 4. Assim, podemos calcular cada parte

individualmente:

6 6 2 x31 = 3 ⇒ x · 3 = 3 ⇒ x = 1

6 6 y

41 = 3 ⇒ y · 4 = 3 ⇒ y = 9

6 6 z61 = 3 ⇒ z · 6 = 3 ⇒ z = 6

Agora é com você!

1. Divida o número 27 em partes proporcionais a 9 e 18.

2. Reparta 444 em partes inversamente proporcionais a 4, 5 e 6.

3. Divida o número 120 em:

a. duas partes iguais;

b. partes diretamente proporcionais a 2 e a 3;

c. partes inversamente proporcionais a 2 e a 4.

Demonstração da Propriedade das Proporções:

Seja uma proporção qualquer. Isso significa que essas frações são equivalentes, ba = y

x

então existe um número k, onde

k · a = x

k · b = y

Logo,

a fração .b + ya + x = b + b·k

a + a·k = b (1 + k)a (1 + k)

Portanto, existe um número, k+1, que multiplica a e b para compor esta fração b (1 + k)a (1 + k)

Logo, ela é uma fração equivalente a e portanto também é equivalente à .ba x

y