MAT 1351 : Calculo para Funcoes de UmaVariavel Real I

Sylvain Bonnot (IME-USP)

2016

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Informacoes gerais

I Prof.: Sylvain BonnotI Email: sylvain@ime.usp.brI Minha sala: IME-USP, 151-A (Bloco A)I Site: ver o link para MAT 1351 na pagina

http://www.ime.usp.br/~sylvain/courses.html

Nessa pagina: as notas de aulas, informacoes gerais, listasde exercıcios etc...

I Monitor: aguardando para ver se tem um...I Avaliacao: P1 (07/04), P2 (12/05), P3 (16/06), PSub

(fechada: 23/06)

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Programa resumidoI Equacoes e inequacoes; definicao de funcao e graficos;

funcoes polinomiais de primeiro e segundo graus;I funcoes modulares; funcoes inversıveis; funcoes

exponenciais e logarıtmicas; funcoes trigonometricas esuas inversas.

I Taxa de variacao, velocidade, coeficiente angular da retatangente; o conceito de derivada em um ponto; a funcaoderivada; aproximacoes e linearidade local;

I conceitos intuitivo e definicoes de limite, de continuidadee de diferenciabilidade;

I regras de derivacao. O Teorema do Valor Medio e suasaplicacoes.

I O comportamento de uma funcao: um estudo qualitativo;o grafico de uma funcoes, comportamento no infinito,

I regras de L’Hospital.I Problemas de otimizacao. Aproximacao de funcoes:

formula de Taylor com resto de Lagrange.3

Bibliografia

I J. Stewart. CALCULO, volume I, Editora Pioneira -Thomson Learning, Sao Paulo 2001.

I Outros textos: Guidorizzi, vol. 1;D. Hughes-Hallett et alii,Calculo, volume I, Editora Edgard Blucher Ltda, Sao Paulo,1999; G.F. Simmons, Calculo com Geometria Analıtica,volume 1, MacGraw-Hill, Sao Paulo, 1987; L. Leithold, OCalculo com Geometria Analıtica, volume 1, Harbra, SaoPaulo, 1977; J. P. Boulos, Introducao ao Calculo, volume I.

I Qualquer livro que parece ajudar,I Notas do web,I Aulas do youtube, artigos da wikipedia,I Minhas notas de aulas, no meu site...

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Numeros

I Numeros naturais: N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Podemos definir aadicao a + b dos numeros naturais, mas nao podemosdefinir a subtracao, porque 2− 5 nao e um natural.

I Numeros inteiros: Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}(vem da palavra alemao ”Zahlen”). Temos as operacoes desoma, subtracao e multiplicacao (o resultado e um inteiro).Problema: nao existe um inteiro x tal que 3x = 5. Entaotemos que considerar um conjunto de numeros maior:

I Numeros racionais: Q ={ a

b | a ∈ Z, b ∈ Z com b 6= 0}

,onde a ∈ Z significa ”a e elemento de Z”.Agora podemos finalmente definir as 4 operacoes. Naverdade os gregos como Pitagoras aceitavam somente osnumeros racionais. Problema: Hipasus mostrou que temnumeros que nao sao racionais. Os outros estudantes dePitagoras expulsaramHipasus da Escola e o afogaram nomar...

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Necessidade dos numeros reais

Teorema√2 nao e um numero racional.

Figura : Pitagoras e o teorema de Pitagoras

Demonstracao

Vamos supor a existencia de um racional pq tal que

(pq

)2= 2,

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Necessidade dos numeros reais II

Demonstracao

e tal que a fracao pq e reduzida (significando: que nao tem um inteiro

que pode dividir p e q ).Podemos ver que p2 = 2q2, entao p tem que ser um numero par(porque o quadrado de um numero ımpar e ımpar). Isso significa queeu posso escrever p = 2r (isto e exatamente a definicao de um numeropar), mas entao p2 = (2r)2 = 4r2, e eu obtenho:

4r2 = 2q2 ⇒ 2r2 = q2 (essa flecha significa ”implica”),

OK, mas agora eu sei que q e um numero par tambem, isto e, existeum inteiro s tal que q = 2s (impossivel! porque eu poderia reduzir afracao p

q = 2r2s =

rs ).

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Numeros reaisI Definicao: um numero real e dado por um inteiro com

sinal mais ou menos, mais uma virgula, mais um numerofinito ou infinito de casas decimais depois. Os numerosreais sao os numeros da calculadora, mas compossibilidade de ter um numero infinito de decimais.

I Examplos -351,121112211122211122 . . . e um numero real,π,√

21 tambem . . .I Convencao: voces ja sabem que 23, 99999999 = 24. Na

verdade, e facil mostrar isso:

Demonstracao

Vamos escrever x = 23, 99999 . . .. Entao 10x = 239, 9999 . . ..Depois de uma subtracao, temos que 9x = 239, mas isso significa quex = 24.

I Cuidado! O numero 23, 88888888 nao e igual a 23, 9!I Notacao: o conjunto de todos os reais e R.I Relacao com os outros numeros:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R 8

√2 e um numero real ou nao?

TeoremaExiste um numero real, escrito

√2, cujo quadrado e igual a 2.

Demonstracao (ideia principal)

Vamos simplesmente construir o numero real√

2, com todas asdecimais dele:

I ”Parte inteira”: e claro que 12 = 1 < 2, mas 22 = 4 > 2, entao√2 tem que ter uma parte inteira igual a 1.

I Primeira decimal depois da virgula:

(1, 3)2 = 1, 69 < (1, 4)2 = 1, 96 < 2 < (1, 5)2 = 2, 25

entao√

2 tem que comecar com 1, 4.I Segunda decimal:

√2 tem que comecar com 1, 41 porque:

(1, 41)2 = 1, 9881 < 2 < (1, 42)2 = 2, 0164

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Conclusao:

I Conclusao: dessa maneira, a gente pode construir umasequencia infinita de decimais, isto e, um numero real quevai ser exatamente

√2.

I Bem melhor: metodo de Newton para calcular√

2:queremos resolver x2 − 2 = 0:

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Reconhecer Q dentro de R

TeoremaOs numeros racionais tem uma expansao decimal periodica.

Demonstracao

Vamos ver isso com um exemplo: fracoes do tipo n/7 (por exemplo3/7).So tem um numero finito de restos possiveis, entao a sequenciade decimais vai se repetir depois de um tempo.

ExercıcioDar exemplos de numeros reais que nao sao racionais (e que nao saoraizes).

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Depois de R?Nao e o fim da historia...

Definicao

O conjunto C dos numeros complexos e

C = {a + bi | a ∈ R, b ∈ R},

onde i satisfaz i2 = −1.I Adicao: simplesmente

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

I Produto:

(a + bi).(c + di) = ac + adi + bi.c + (bi)(di)= ac + (ad + bc)i + (bd)(−1)= (ac− bd) + (ad + bc)i

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Um pouco mais sobre C

Figura : o plano complexo

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Um pouco mais sobre C: adicao e produto em C

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Numeros e funcoes

Vamos considerar dois conjuntos: o conjunto X com elementosx e o conjunto Y com elementos y.

Definicao

Uma funcao f : X→ Y (leia:”f de X em Y”) e uma regra que associaa cada elemento x de X um unico elemento y de Y.

I Domınio: o conjunto X e o domınio de f , tambem escritoDf .

I Contradomınio: o conjunto Y e o contradomınio de f .I Valor, imagem: o unico y de Y associado ao elemento x de

X e indicado por f (x) (leia: f de x), e o valor de f em x.I Imagem de f : o conjunto de todos os valores possiveis de

f (x) e chamado a imagem de f .

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FuncoesVisualizacao de uma funcao:

Figura : Funcao como uma maquina

Figura : Diagrama de flechas

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Grafico de uma funcao

Definicao

O grafico de f consiste em todos os pontos do plano com coordenadas(x, f (x)) onde x esta no domınio de f .Examplos: f : x 7→ x2, g : u 7→ u3...

Figura : Exemplo de grafico

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ExamplosExamplo 1: Dominio e imagem de f (x) = x2

Examplo 2: Encontre o domınio e a imagem de f (x) = x2x−1 , de

g(x) =√

x− 7.Examplo 3: funcao afim E simplesmente uma funcao cujografico e uma reta.

y = f (x) = mx + b,

onde m e o coeficiente angular ou inclinacao e b e o intercepto.18

Mais exemplos / Intervalos

Definicao (Intervalo aberto)

O intervalo aberto de a ate b, denotado pelo sımbolo (a, b) e definidopor:

(a, b) = {x | a < x < b}

Examplos: domınio de xx2−3

Definicao (Intervalo fechado)

O intervalo fechado de a ate b, denotado pelo sımbolo [a, b] e definidopor:

[a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}

ExercıcioEscrever a equacao de uma funcao afim, dados dois pontos na reta.Equacao de uma reta paralela a uma outra.

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Desigualdades

Regras para as desigualdades:I Se a < b entao a + c < b + cI Se a < b e c < d entao a + c < b + dI Se a < b e c > 0 entao ac < bcI Se a < b e c < 0 entao ac > bcI Se 0 < a < b entao 1/a > 1/b

ExercıcioResolva as desigualdades seguintes e ilustre o conjunto solucao sobreo eixo real:1. 3x + 9 > 42. 5x < 2x + 1 ≤ 3x + 43. 2x2 + x ≤ 14. x2 + 2x + 3 < 1.

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Praticar com desigualdades

ExercıcioResolva x3 + 3x2 > 4x.

Demonstracao

Temos que escrever tudo de um lado

x3 + 3x2 − 4x > 0

e depois re-escrever como um produto de fatores simples:

x(x− 1)(x + 4) > 0.

Finalmente, podemos determinar as solucoes da equacaox(x− 1)(x + 4) = 0 e cortar o eixo real em 4 intervalos:

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Praticar com desigualdades II

Entao o conjunto solucao e :

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Valor absoluto

Definicao

O valor absoluto (tambem chamado modulo) de um numero a,denotado por |a|, e a distancia de a ate 0 sobre o eixo real.

I Propriedade 1: para todo numero a, |a| ≥ 0.I Propriedade 2: |a| = a se a ≥ 0, e |a| = −a se a < 0.I Propriedade 3: |a||b| = |ab|.I Propriedade 4: ”Desigualdade triangular”

|a + b| ≤ |a|+ |b|.

I Propriedade 5: vamos supor a > 0, entao:

|x| = a se e somente se x = ±a

|x| < a se e somente se − a < x < a

|x| > a se e somente se x > a ou x < −a.

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Valor absoluto II: como resolver problemas

Resolva:

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Exercicios com o valor absoluto

ExercıcioElimine o valor absoluto:

|2x− 1|+ |x− 2|

|x− 2| − |x + 1|

ExercıcioDemostrar: √

x2 = |x|

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Exercicios sobre graficos

ExercıcioO conjunto {(x, y) | 3x + 4y = 5} e o grafico de uma funcao?

ExercıcioGrafico de f (x) = |x|, de |x− 6|, de 2|x|, de |x|+ 2?

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