map05 lista 4

Programa de Pos-Graduacao em Matematica Aplicada - UFRGSMAP05 - Metodos Matriciais Computacionais

Lista de Exercıcios 4

Leticia Tonetto

Professor Joao Batista Carvalho

26 de novembro de 2012

Exercıcio 1 (3.2.4 - Golub)

Descrever uma variante da eliminacao Gaussiana que introduz zeros nas colunas de A n =−1 : 2, e que produz a fatorizacao A = UL onde U e uma matriz triangular unitaria Lmatriz triangular inferior. Apresente um exemplo em Matlab com A ∈ R4×4.

Resolucao

Para o caso de A ∈ R4×4 teremos

A = ULa11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

=

1 u12 u13 u14

1 u23 u24

0 1 u34

1

l11l21 l22 0l31 l32 l33l41 l42 l43 l44

(1)

com

U = AM1M2M3M4

e entao

1

A = UM−14 M−1

3 M−12 M−1

1

ou seja,

L = M−14 M−1

3 M−12 M−1

1

A matriz M1 e uma matriz triangular inferior que age na matriz A a fim de zerar oselementos da segunda a quarta linha e tornar 1 o elemento da diagonal, da primeira coluna

M1 =

m11 0 0 0m21 1 0 0m31 0 1 0m41 0 0 1

(2)

sendo que m11, m21, m31 e m41 sao determinados resolvendo o sistemaa11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

m11

m21

m31

m41

=

1000

(3)

A matriz M2 e uma matriz triangular inferior que age na matriz AM1 a fim de zerar oselementos da terceira e quarta linha e tornar 1 o elemento da diagonal, da segunda coluna

M2 =

1 0 0 00 m22 0 00 m32 1 00 m42 0 1

(4)

sendo que m22, m32 e m42 sao determinados resolvendo o sistema a22 a23 a24a32 a33 a34a42 a43 a44

m22

m32

m42

=

100

(5)

M3 age na matriz AM1M2 a fim de zerar o elemento da quarta linha e tornar 1 o elementoda diagonal, da terceira coluna

M3 =

1 0 0 00 1 0 00 0 m33 00 0 m43 1

(6)

com

2

(a33 a34a43 a44

) (m33

m43

)=

100

(7)

E M4 age em AM1M2M3 tornando 1 o elemento da diagonal da quarta coluna

M4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 m44

(8)

com

m44 =1

a44.

Exemplo em MatLabFuncao fatoracao UL

function [Af,U,L]=ul321(A)

[m n]=size(A);

%Matriz Af formada por U e L

Af=A;

for k=n:-1:2

rows=k-1:-1:1;

Af(rows,k)=Af(rows,k)/Af(k,k);

Af(rows,rows)=Af(rows,rows)-Af(rows,k)*Af(k,rows);

end

%Obter U e L

U=triu(Af);

for k=1:n

u(k,k)=1;

end

L=tril(Af);

end

Na janela de comandos

3

>> A=[1 4 7 2;2 5 8 3;3 6 10 4;1 2 8 3]

A =

1 4 7 2

2 5 8 3

3 6 10 4

1 2 8 3

>> [Af,U,L]=ul321(A)

Af =

0.8333 3.6667 -2.5000 0.6667

1.0000 3.0000 0 1.0000

1.6667 3.3333 -0.6667 1.3333

1.0000 2.0000 8.0000 3.0000

U =

1.0000 3.6667 -2.5000 0.6667

0 1.0000 0 1.0000

0 0 1.0000 1.3333

0 0 0 1.0000

L =

0.8333 0 0 0

1.0000 3.0000 0 0

1.6667 3.3333 -0.6667 0

1.0000 2.0000 8.0000 3.0000

>> U*L

ans =

1.0000 4.0000 7.0000 2.0000

4

2.0000 5.0000 8.0000 3.0000

3.0000 6.0000 10.0000 4.0000

1.0000 2.0000 8.0000 3.0000

Exercıcio 2 - (P3.2.5 - Golub)

Estender (3.2.5) de modo que possa ser usado quando A tem mais linhas do que colunas.Apresentar um exemplo de A ∈ R5×3 em Matlab.

Resolucao

Funcao no Matlab

%caso m>n

function [L,U]=lu325(A)

[m n]=size(A);

L=eye(m,n);

I=zeros(n,n);

v=rand(m,1);

for j=1:n

if j==1

v(j:m)=A(j:m,j);

else

x=L(1:j-1,1:j-1)^(-1);

z=x*A(1:j-1,j);

U(1:j-1,j)=z;

v(j:m)=A(j:m,j)-L(j:m,1:j-1)*z;

end

if j<n

L(j+1:m,j)=v(j+1:m)/v(j);

end

U(j,j)=v(j);

end

Exemplo no Matlab

5

>> A=[3 4 5; 6 7 8; 9 10 11; 12 13 14 ; 15 16 17]

A =

3 4 5

6 7 8

9 10 11

12 13 14

15 16 17

>> [L U]=lu325(A)

L =

1 0 0

2 1 0

3 2 1

4 3 0

5 4 0

U =

3 4 5

0 -1 -2

0 0 0

>> L*U

ans =

3 4 5

6 7 8

9 10 11

12 13 14

15 16 17

6


Suponha x = A−1b. Mostre que se e = x− x(erro) e r = b− Ax(resıduo), entao

||r||||A||

≤ ||e|| ≤ ||A−1||||r||

Resolucao

Primeira parte

∥ r ∥∥ A ∥

=∥ b− Ax ∥

∥ A ∥=

∥ Ax− Ax ∥∥ A ∥

=∥ A(x− x) ∥

∥ A ∥≤ ∥ A ∥

∥ A ∥∥ x− x ∥=∥ e ∥

entao

∥ r ∥∥ A ∥

≤∥ e ∥ .

Segunda parte

Ax = b− r ⇒ x = A−1(b− r)

e

x = A−1b

logo

x− x = A−1r

Entao

∥ x− x ∥=∥ A−1r ∥≤∥ A−1 ∥∥ r ∥ .

Da primeira e segunda

||r||||A||

≤ ||e|| ≤ ||A−1||||r||.

7


Seja A = LU a fatorizacao LU da matriz n × n A com |lij ≤ 1. aTi e uTi denotam as

i-esimas colunas de A e U, respectivamente. Verifique a equacao

uTi = aTi −

i−1∑j=1

lijuTj

e use isso para mostrar que

∥ U ∥∞≤ 2n−1 ∥ A ∥∞ .

Resolucao

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

. . ....

an1 · · · ann

=

l11 l12 · · · l1nl21 l22 · · · l2n...

. . ....

ln1 · · · lnn

u11 u12 · · · u1n

u21 u22 · · · u2n...

. . ....

un1 · · · ann

(9)

uij = 0 para i > jlii = 1 e lij = 0 para i < j

a11a12...

a1n

=

l11u11 + l12u21 + · · ·+ l1nun1

l11u12 + l12u22 + · · ·+ l1nun2...

l11u1n + l12u2n + · · ·+ l1nunn

aT1 = l11︸︷︷︸1

u11

u12...

u1n

︸︷︷︸

uT1

+ l12

u21

u22...

u2n

︸︷︷︸

0

+ · · ·+ l1n

un1

un2...unn

︸︷︷︸

0

(10)

entao

uT1 = aT1

8

a21a22...

a2n

︸︷︷︸

aT2

=

l21u11 + l22u21 + · · ·+ l2nun1

l21u12 + l22u22 + · · ·+ l2nun2...

l21u1n + l22u2n + · · ·+ l2nunn

aT2 = l21

u11

u12...

u1n

︸︷︷︸

uT1

+ l22︸︷︷︸1

u21

u22...

u2n

︸︷︷︸

uT2

+ · · ·+ l2n

un1

un2...unn

︸︷︷︸

0

+

(11)

entao

uT2 = aT2 − l21u

T1

E para a linha n an1an2...

ann

︸︷︷︸

aTn

=

ln1u11 + ln2u21 + · · ·+ lnnun1

ln1u12 + ln2u22 + · · ·+ lnnun2...

ln1u1n + ln2u2n + · · ·+ lnnunn

aTn = ln1

u11

u12...

u1n

︸︷︷︸

uT1

+ln2

u21

u22...

u2n

︸︷︷︸

uT2

+ · · ·+ lnn︸︷︷︸1

un1

un2...unn

︸︷︷︸

uTn

(12)

entao

uTn = aTn − ln1u

T1 − ln2u

T2 − · · · − ln−1u

Tn−1

uTi = aTi −

i−1∑j=1

lijuij

9

Falta mostrar a desigualdadePara i = temos

uT1 = aT1 ⇒ |uT

1 |1 = |aT1 |1Para i = 2

uT2 = aT2 − l21u

T1

⇒ |uT2 |1 ≤ |aT2 |1 + |l21uT

1 |1 ≤ |aT2 |1 + |uT1 |1

⇒ |uT2 |1 ≤ max |aTi |1 +max |aTi |1 = 2max |aTi |1

⇒ |uT2 |1 ≤ 2max |aTi |1

Para i = 3

uT3 = aT3 − l31u

T1 − l32u

T2

⇒ |uT3 |1 ≤ |aT3 |1 + |l31uT

1 |1 + |l32uT2 |1 ≤ |aT3 |1 + |uT

1 |1 + |uT2 |1

⇒ |uT3 |1 ≤ max |aTi |1 +max |aTi |1 + 2max |aTi |1 = 22 max |aTi |1

⇒ |uT3 |1 ≤ 22 max |aTi |1

Supondo que vale para i = n− 1 teremos a hipotese de inducao

|uTn−1|1 ≤ 2n−2 max |aTi |1

E vamos mostrar que

|uTn |1 ≤ 2nmax |aTi |1 (13)

Temos

uTn = aTn − ln1u

T1 − ln2u

T2 − · · · − ln−1u

Tn−1

entao

|uTn |1 ≤ |aTn |+ |uT

1 |+ |uT2 |+ · · ·+ |uT

n−1|

10

≤ max |aTi |+max |aTi |+ 2max |aTi |+ 22 max |aTi |+ · · ·+ 2n−2max |aTi |1

|uTn |1 ≤ max |aTi |(1 + 20 + 21 + 22 + · · ·+ 2n − 2)

usando a formula da soma de PG

|uTn |1 ≤ max |aTi |(1 + 1

2n−1 − 1

1) ≤ 2n−1max |aTi |

Retomando

|uT1 |1 ≤ max |aTi |1

|uT2 |1 ≤ 21max |aTi |1

|uT3 |1 ≤ 22max |aTi |1

...

|uTn |1 ≤ 2n−1 max |aTi |

Entao

max1≤i≤n

|uTn |1 ≤ 2n−1 max

1≤i≤n|aTi |1

ou seja,

∥ U ∥∞≤ 2n−1 ∥ A ∥∞ .


O sistema Ax = b onde

A =

2 −1 −1−1 10−10 10−10

1 10−10 10−10

b =

2(1 + 10−10)−10−10

10−10

(14)

tem solucao x = (10−10 − 1 1).

11

(a) Mostre que se (A + E)y = b e |E| ≤ 10−8|A|, entao |x − y| ≤ 10−7|x|. Ou seja,pequenas mudancas nas entradas de A nao induzem grandes mudancas em x mesmo queκ∞(A) = 1010.

(b)Defina D = diag(10−5, 105, 105). Mostre que κ∞(DAD) ≤ 5.

κ∞(DAD) =∥ DAD ∥∞ ∥ (DAD)−1 ∥∞= 3 · 1 ≤ 5.

(c) Explique o que esta ocorrendo em termos do Teorema 2.7.3.

12

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