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LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR

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1. (cps 2015) A apresentação de motociclistas dentro do globo da morte é sempre um

momento empolgante de uma sessão de circo, pois ao atingir o ponto mais alto do

globo, eles ficam de ponta cabeça. Para que, nesse momento, o motociclista não caia, é

necessário que ele esteja a uma velocidade mínima (v) que se relaciona com o raio do

globo (R) e a aceleração da gravidade (g) pela expressão: v R g, com R dado em

metros.

Considere que no ponto mais alto de um globo da morte, um motociclista não caiu, pois

estava com a velocidade mínima de 27km h.

Assim sendo, o raio do globo é, aproximadamente, em metros,

Adote 2g 10m/ s

a) 5,6.

b) 6,3.

c) 7,5.

d) 8,2.

e) 9,8.

2. (Unifesp 2015) Uma pista de esqui para treinamento de principiantes foi projetada de

modo que, durante o trajeto, os esquiadores não ficassem sujeitos a grandes acelerações

nem perdessem contato com nenhum ponto da pista. A figura representa o perfil de um


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trecho dessa pista, no qual o ponto C é o ponto mais alto de um pequeno trecho circular

de raio de curvatura igual a 10 m.

Os esquiadores partem do repouso no ponto A e percorrem a pista sem receber nenhum

empurrão, nem usam os bastões para alterar sua velocidade. Adote 2g 10 m/ s e

despreze o atrito e a resistência do ar.

a) Se um esquiador passar pelo ponto B da pista com velocidade 10 2 m s, com que

velocidade ele passará pelo ponto C?

b) Qual a maior altura Ah do ponto A, indicada na figura, para que um esquiador não

perca contato com a pista em nenhum ponto de seu percurso?

3. (Ita 2015) Uma massa puntiforme é abandonada com impulso inicial desprezível do

topo de um hemisfério maciço em repouso sobre uma superfície horizontal. Ao

descolar-se da superfície do hemisfério, a massa terá percorrido um ângulo θ em

relação à vertical. Este experimento é realizado nas três condições seguintes, I, II e III,

quando são medidos os respectivos ângulos I,θ IIθ e III :θ

I. O hemisfério é mantido preso à superfície horizontal e não há atrito entre a massa e o

hemisfério.

II. O hemisfério é mantido preso à superfície horizontal, mas há atrito entre a massa e o

hemisfério.

III. O hemisfério e a massa podem deslisar livremente pelas respectivas superfícies.

Nestas condições, pode-se afirmar que


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a) II Iθ θ e III I.θ θ

b) II Iθ θ e III I.θ θ

c) II Iθ θ e III I.θ θ

d) II Iθ θ e III I.θ θ

e) I III.θ θ

4. (Fuvest 2014) Uma estação espacial foi projetada com formato cilíndrico, de raio R

igual a 100 m, como ilustra a figura abaixo.

Para simular o efeito gravitacional e permitir que as pessoas caminhem na parte interna

da casca cilíndrica, a estação gira em torno de seu eixo, com velocidade angular

constante .ω As pessoas terão sensação de peso, como se estivessem na Terra, se a

velocidade ω for de, aproximadamente,

Note e adote:

A aceleração gravitacional na superfície da Terra é g = 10 m/s2.

a) 0,1 rad/s

b) 0,3 rad/s

c) 1 rad/s

d) 3 rad/s

e) 10 rad/s

5. (Fuvest 2014) Duas pequenas esferas, cada uma com massa de 0,2 kg, estão presas

nas extremidades de uma haste rígida, de 10 cm de comprimento, cujo ponto médio está


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fixo no eixo de um motor que fornece 4 W de potência mecânica. A figura abaixo

ilustra o sistema.

No instante t = 0, o motor é ligado e o sistema, inicialmente em repouso, passa a girar

em torno do eixo. Determine

a) a energia cinética total E das esferas em t = 5 s;

b) a velocidade angular ω de cada esfera em t = 5 s;

c) a intensidade F da força entre cada esfera e a haste, em t = 5 s;

d) a aceleração angular média α de cada esfera, entre t = 0 e t = 5 s.

Note e adote:

As massas da haste e do eixo do motor devem ser

ignoradas.

Não atuam forças dissipativas no sistema.

6. (Unesp 2014) Em um show de patinação no gelo, duas garotas de massas iguais

giram em movimento circular uniforme em torno de uma haste vertical fixa,

perpendicular ao plano horizontal. Duas fitas, F1 e F2, inextensíveis, de massas

desprezíveis e mantidas na horizontal, ligam uma garota à outra, e uma delas à haste.

Enquanto as garotas patinam, as fitas, a haste e os centros de massa das garotas

mantêm-se num mesmo plano perpendicular ao piso plano e horizontal


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Considerando as informações indicadas na figura, que o módulo da força de tração na

fita F1 é igual a 120 N e desprezando o atrito e a resistência do ar, é correto afirmar que

o módulo da força de tração, em newtons, na fita F2 é igual a

a) 120.

b) 240.

c) 60.

d) 210.

e) 180.

7. (Fuvest 2014) Há um ponto no segmento de reta unindo o Sol à Terra, denominado

“Ponto de Lagrange L1”. Um satélite artificial colocado nesse ponto, em órbita ao redor

do Sol, permanecerá sempre na mesma posição relativa entre o Sol e a Terra.

Nessa situação, ilustrada na figura acima, a velocidade angular orbital Aω do satélite em

torno do Sol será igual à da Terra, T.ω

a) Tω G, da massa MS do Sol e da distância R

entre a Terra e o Sol;

Aω em rad/s;


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c) a expressão do módulo Fr da força gravitacional resultante que age sobre o satélite,

em função de G, MS ,MT, m, R e d, sendo MT e m, respectivamente, as massas da Terra

e do satélite e d a distância entre a Terra e o satélite.

Note e adote:

71ano 3,14 10 s.

O módulo da força gravitacional F entre dois corpos de massas M1 e M2, sendo r a

distância entre eles, é dado por F = G M1 M2/r2.

Considere as órbitas circulares.

8. (Unesp 2013) A figura representa, de forma simplificada, o autódromo de Tarumã,

localizado na cidade de Viamão, na Grande Porto Alegre. Em um evento comemorativo,

três veículos de diferentes categorias do automobilismo, um kart (K), um fórmula 1 (F)

e um stock-car (S), passam por diferentes curvas do circuito, com velocidades escalares

iguais e constantes.

As tabelas 1 e 2 indicam, respectivamente e de forma comparativa, as massas de cada

veículo e os raios de curvatura das curvas representadas na figura, nas posições onde se

encontram os veículos.


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TABELA 1 TABELA 2

Veículo Massa Curva Raio

kart M Tala Larga 2R

fórmula 1 3M do Laço R

stock-car 6M Um 3R

Sendo FK, FF e FS os módulos das forças resultantes centrípetas que atuam em cada um

dos veículos nas posições em que eles se encontram na figura, é correto afirmar que

a) FS < FK < FF.

b) FK < FS < FF.

c) FK < FF < FS.

d) FF < FS < FK.

e) FS < FF < FK.

9. (Ibmecrj 2013) Um avião de acrobacias descreve a seguinte trajetória descrita na

figura abaixo:

Ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória a força exercida pelo banco da aeronave

sobre o piloto que a comanda é:

a) igual ao peso do piloto.

b) maior que o peso do piloto.

c) menor que o peso do piloto.

d) nula.

e) duas vezes maior do que o peso do piloto.


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10. (Epcar (Afa) 2013) Em um local onde a aceleração da gravidade vale g, uma

partícula move-se sem atrito sobre uma pista circular que, por sua vez, possui uma

inclinação .θ Essa partícula está presa a um poste central, por meio de um fio ideal de

comprimento que, através de uma articulação, pode girar livremente em torno do

poste. O fio é mantido paralelo à superfície da pista, conforme figura abaixo.

Ao girar com uma determinada velocidade constante, a partícula fica “flutuando” sobre

a superfície inclinada da pista, ou seja, a partícula fica na iminência de perder o contato

com a pista e, além disso, descreve uma trajetória circular com centro em C, também

indicado na figura.

Nessas condições, a velocidade linear da partícula deve ser igual a

a) 3

g2

b) g

c) 3 g

d) 4 2 g

11. (Fgv 2013) Em um dia muito chuvoso, um automóvel, de massa m, trafega por um

trecho horizontal e circular de raio R. Prevendo situações como essa, em que o atrito

dos pneus com a pista praticamente desaparece, a pista é construída com uma sobre-

elevação externa de um ângulo α , como mostra a figura. A aceleração da gravidade no

local é g.


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A máxima velocidade que o automóvel, tido como ponto material, poderá desenvolver

nesse trecho, considerando ausência total de atrito, sem derrapar, é dada por

a) m g R tgα .

b) m g R cosα .

c) g R tgα .

d) g R cosα .

e) g R senα .

12. (Fuvest 2013) O pêndulo de um relógio é constituído por uma haste rígida com um

disco de metal preso em uma de suas extremidades. O disco oscila entre as posições A e

C, enquanto a outra extremidade da haste permanece imóvel no ponto P. A figura

abaixo ilustra o sistema. A força resultante que atua no disco quando ele passa por B,

com a haste na direção vertical, é

(Note e adote: g é a aceleração local da gravidade.)

a) nula.

b) vertical, com sentido para cima.

c) vertical, com sentido para baixo.

d) horizontal, com sentido para a direita.

e) horizontal, com sentido para a esquerda.

13. (Esc. Naval 2013) Um pêndulo, composto de um fio ideal de comprimento

L 2,00 m e uma massa M 20,0 kg, executa um movimento vertical de tal forma que a

massa M atinge uma altura máxima de 0,400 m em relação ao seu nível mais baixo. A

força máxima, em newtons, que agirá no fio durante o movimento será


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Dado: 2g 10,0 m s

a) 280

b) 140

c) 120

d) 80,0

e) 60,0

14. (Unesp 2012) Uma pequena esfera de massa m, eletrizada com uma carga elétrica

q 0 , está presa a um ponto fixo P por um fio isolante, numa região do espaço em que

existe um campo elétrico uniforme e vertical de módulo E, paralelo à aceleração

gravitacional g, conforme mostra a figura. Dessa forma, inclinando o fio de um ângulo

em relação à vertical, mantendo-o esticado e dando um impulso inicial (de

intensidade adequada) na esfera com direção perpendicular ao plano vertical que

contém a esfera e o ponto P, a pequena esfera passa a descrever um movimento circular

e uniforme ao redor do ponto C.

Na situação descrita, a resultante das forças que atuam sobre a esfera tem intensidade

dada por

a) (m g q E) cos

b) (m g q E 2) sen

c) (m g q E) sen cos

d) (m g q E) tg

e) m g q E tg


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15. (Uff 2012) Uma criança se balança em um balanço, como representado

esquematicamente na figura a seguir. Assinale a alternativa que melhor representa a

aceleração a da criança no instante em que ela passa pelo ponto mais baixo de sua

trajetória.

a)

b)

c)

d)

e)

16. (Uftm 2012) Ao se observar o movimento da Lua em torno da Terra, verifica-se

que, com boa aproximação, ele pode ser considerado circular e uniforme.

Aproximadamente, o raio da órbita lunar é 438,88 10 km e o tempo gasto pela lua para

percorrer sua órbita é 27 dias.

Considerando a massa da Lua igual a 227,3 10 kg, adotando o centro do referencial

Terra-Lua no centro da Terra e 3,π determine:


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a) a velocidade escalar média de um ponto localizado no centro da Lua, em km h.

b) o valor aproximado da resultante das forças, em newtons, envolvidas no movimento

orbital da Lua.

17. (Ita 2012) Um funil que gira com velocidade angular uniforme em torno do seu

eixo vertical de simetria apresenta uma superfície crônica que forma um ângulo θ com

a horizontal, conforme a figura. Sobre esta superfície, uma pequena esfera gira com a

mesma velocidade angular mantendo-se a uma distância d do eixo de rotação. Nestas

condições, o período de rotação do funil é dado por

a) 2 d / g senπ θ

b) 2 d / g cosπ θ

c) 2 d / g tanπ θ

d) 2 2d / g sen2π θ

e) 2 dcos / g tanπ θ θ

18. (Udesc 2011) Considere o “looping” mostrado na Figura, constituído por um trilho

inclinado seguido de um círculo. Quando uma pequena esfera é abandonada no trecho

inclinado do trilho, a partir de determinada altura, percorrerá toda a trajetória curva do

trilho, sempre em contato com ele.

Sendo v a velocidade instantânea e a a aceleração centrípeta da esfera, o esquema que

melhor representa estes dois vetores no ponto mais alto da trajetória no interior do


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círculo é:

a)

b)

c)

d)

19. (Uesc 2011)

A figura representa as forças que atuam sobre um piloto que tomba sua motocicleta em

uma curva para percorrê-la com maior velocidade.

Sabendo-se que a massa do conjunto moto-piloto é igual a m, a inclinação do eixo do

corpo do piloto em relação à pista é θ , o módulo da aceleração da gravidade local é g e

que o raio da curva circular é igual a R, contida em um plano horizontal, em movimento

circular uniforme, é correto afirmar que a energia cinética do conjunto moto-piloto é

dada pela expressão

a) 2mR

2gtgθ

b) mRtg

2g

θ

c) mgR

2tgθ


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d) mgRtg

2

θ

e)

2m gRtg

2

θ

20. (Uff 2011) Medidas para facilitar o uso de bicicletas como meio de transporte

individual estão entre aquelas frequentemente tomadas para diminuir a produção de

poluentes pelo trânsito urbano. Numa bicicleta, o freio é constituído por sapatas de

borracha que, quando acionadas, comprimem as rodas . Analise as três possibilidades de

posicionamento das sapatas indicadas em vermelho nas figuras a seguir. Chame de T1,

T2 e T3 o tempo necessário para a parada total das rodas da bicicleta com cada um

desses arranjos.

Supondo que a velocidade inicial das bicicletas é a mesma e que a força feita pelas

sapatas é igual nos três casos, é correto, então, afirmar que

a) T1 = T2 = T3

b) T1 > T2 > T3

c) T1 > T2 = T3

d) T1 < T2 = T3

e) T1 < T2 < T3

21. (Cesgranrio 2011) Uma esfera de massa igual a 3 kg está amarrada a um fio

inextensível e de massa desprezível. A esfera gira com velocidade constante em módulo

igual a 4 6

15m/s, formando um cone circular imaginário, conforme a figura abaixo.


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O fio permanece esticado durante todo o movimento, fazendo um mesmo ângulo com

a vertical, cuja tangente é 8/15. A componente horizontal da tração no fio vale 16 N e é

a força centrípeta responsável pelo giro da esfera. O volume do cone imaginário, em

cm3, é

a) 280

b) 320

c) 600

d) 960

e) 1800

22. (Epcar (Afa) 2011) Um garoto, que se encontra em repouso, faz girar, com

velocidade constante, uma pedra de massa m presa a um fio ideal. Descrevendo uma

trajetória circular de raio R num plano vertical, essa pedra dá diversas voltas, até que,

em um dado instante, o fio arrebenta e ela é lançada horizontalmente, conforme ilustra a

figura a seguir.

Sujeita apenas à aceleração da gravidade g, a pedra passou, então, a descrever uma

trajetória parabólica, percorrendo uma distância horizontal x equivalente a 4R.


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A tração experimentada pelo fio toda vez que a pedra passava pelo ponto onde ele se

rompeu era igual a

a) mg

b) 2 mg

c) 3 mg

d) 4 mg

23. (Puccamp 2010) Num trecho retilíneo de uma pista de automobilismo há uma

lombada cujo raio de curvatura é de 50 m. Um carro passa pelo ponto mais alto da

elevação com velocidade v, de forma que a interação entre o veículo e o solo (peso

aparente) é mg

5neste ponto. Adote g = 10 m/s

2.

Nestas condições, em m/s, o valor de v é

a) 10

b) 20

c) 30

d) 40

e) 50

24. (Pucsp 2010) Um automóvel de massa 800 kg, dirigido por um motorista de massa

igual a 60 kg, passa pela parte mais baixa de uma depressão de raio = 20 m com

velocidade escalar de 72 km/h. Nesse momento, a intensidade da força de reação que a

pista aplica no veículo é: (Adote g = 10m/s2).

a) 231512 N

b) 215360 N

c) 1800 N

d) 25800 N

e) 24000 N


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25. (Upe 2010) Um coelho está cochilando em um carrossel parado, a uma distância de

5 m do centro. O carrossel é ligado repentinamente e logo atinge a velocidade normal de

funcionamento na qual completa uma volta a cada 6s. Nessas condições, o coeficiente

de atrito estático mínimo entre o coelho e o carrossel, para que o coelho permaneça no

mesmo lugar sem escorregar, vale:

Considere π = 3 e g = 10 m/s2.

a) 0,2

b) 0,5

c) 0,4

d) 0,6

e) 0,7

26. (Ufla 2010) Uma esfera de massa 500 gramas desliza em uma canaleta circular de

raio 80 cm, conforme a figura a seguir, completamente livre de atrito, sendo abandonada

na posição P1. Considerando g = 10 m/s2, é correto afirmar que essa esfera, ao passar

pelo ponto P2 mais baixo da canaleta, sofre uma força normal de intensidade:

a) 5N

b) 20N

c) 15N

d) πN

27. (Unesp 2010) Curvas com ligeiras inclinações em circuitos automobilísticos são

indicadas para aumentar a segurança do carro a altas velocidades, como, por exemplo,

no Talladega Superspeedway, um circuito utilizado para corridas promovidas pela

NASCAR (National Association for Stock Car Auto Racing). Considere um carro como


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sendo um ponto material percorrendo uma pista circular, de centro C, inclinada de um

ângulo α e com raio R, constantes, como mostra a figura, que apresenta a frente do

carro em um dos trechos da pista.

Se a velocidade do carro tem módulo constante, é correto afirmar que o carro

a) não possui aceleração vetorial.

b) possui aceleração com módulo variável, direção radial e no sentido para o ponto C.

c) possui aceleração com módulo variável e tangente à trajetória circular.

d) possui aceleração com módulo constante, direção radial e no sentido para o ponto C.

e) possui aceleração com módulo constante e tangente à trajetória circular.

28. (Ufpr 2010) Convidado para substituir Felipe Massa, acidentado nos treinos para o

grande prêmio da Hungria, o piloto alemão Michael Schumacker desistiu após a

realização de alguns treinos, alegando que seu pescoço doía, como consequência de um

acidente sofrido alguns meses antes, e que a dor estava sendo intensificada pelos

treinos. A razão disso é que, ao realizar uma curva, o piloto deve exercer uma força

sobre a sua cabeça, procurando mantê-la alinhada com a vertical.

Considerando que a massa da cabeça de um piloto mais o capacete seja de 6,0 kg e que

o carro esteja fazendo uma curva de raio igual a 72 m a uma velocidade de 216 km/h,

assinale a alternativa correta para a massa que, sujeita à aceleração da gravidade, dá

uma força de mesmo módulo.

a) 20 kg.

b) 30 kg.

c) 40 kg.

d) 50 kg.

e) 60 kg.


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29. (Ufop 2010) Uma estação espacial é projetada como sendo um cilindro de raio r,

que gira em seu eixo com velocidade angular constante ù, de modo a produzir uma

sensação de gravidade de 1g = 9,8 m/s2 nos pés de uma pessoa que está no interior da

estação.

Admitindo-se que os seus habitantes têm uma altura média de h = 2 m, qual deve ser o

raio mínimo r da estação, de modo que a variação da gravidade sentida entre os pés e a

cabeça seja inferior a 1% de g?

30. (Ufla 2010) Um corpo desliza sem atrito ao longo de uma trajetória circular no

plano vertical (looping), passando pelos pontos, 1,2,3 e 4, conforme figura a seguir.

Considerando que o corpo não perde contato com a superfície, em momento algum, é

correto afirmar que os diagramas que melhor representam as direções e sentidos das

forças que agem sobre o corpo nos pontos 1,2,3 e 4 são apresentados na alternativa:

a)

b)

c)

d)


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Gabarito:

Resposta da questão 1:

[A]

Sabendo que 15

27km h m s,2

vem

15R 10 R 5,6 m.

2


a) Usando a conservação da energia mecânica entre os pontos B e C, com referencial

em B, vem:

22B C 2 2CBmec mec BC C B BC

2

C C

m vmvE E mgh v v 2gh

2 2

v 10 2 2 10 10 400 v 2 10 m/s.

b) Se o esquiador passar pelo ponto C na iminência de perder o contato com a pista, na

iminência de voar, a normal nesse ponto deve ser nula. Então a resultante centrípeta é

seu próprio peso.

2C

cent C Cmv

R P mg v r g 10 10 v 10 m/s.r

Usando a conservação da energia mecânica entre A e C, com referencial em C, vem:

2 2 2

A C C Cmec mec A C A C A

A

m v v 10E E mg h h h h h 30

2 2 g 20

h 35 m.


[C]


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Condição I - Hemisfério fixo e a descida é sem atrito.

Aplicando a conservação da energia mecânica, considerando o plano de referência

mostrado na Figura 1:

2

A B 2Bmec mec 1 B 1

m vE E mg R h v 2g R h I .

2

No ponto B, onde ocorre o descolamento, a normal se anula. Assim, a resultante

centrípeta é a componente radial do peso y(P ) .

22B

y cent I B Im v

P R m gcos v R g cos (II).R

θ θ

Mas

1I

hcos (III).

Rθ

Substituindo (III) em (II):

2 21B B 1

h v R g v gh (IV).

R

Igualando (IV) e (II):

1 1 1 1 12

gh 2 g R h h 2 h 2 R h R V .3

Substituindo (V) em (III):


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I I

2 R 23cos cos (VI).

R 3θ θ

Condição II - Hemisfério fixo e a descida é com atrito.

Como o sistema é não conservativo, a energia mecânica dissipada (Ed) entre A e C

(ponto de descolamento) é igual à diferença positiva entre energia mecânica inicial e a

final. Considerando o plano de referência indicado na Figura 2, temos:

22A C 2C d

d mec mec d 2 C

2 dC 2

2 m g R hm v 2 EE E E E m g R h v

2 m m

2 Ev 2 gR 2 gh VII .

m

Repetindo o mesmo procedimento da condição anterior, para o novo ponto de

descolamento (C), obtemos:

2

2By cent II B II

m vP R m gcos v R g cos (VIII).

Rθ θ

Mas

2II

hcos (IX).

Rθ

Substituindo (IX) em (VIII):

2 22B B 2

h v R g v gh (X).

R

Igualando (X) e (VII):


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d d d2 2 2 2

d2

2 gR2 E 2 E 2 Egh 2 gR 2gh 3gh 2 gR h

m m 3 g 3 m g

2 E2h R XI .

3 3 m g

Nota: como era de se esperar, a condição I é um caso particular da condição II, para

quando não há atrito (Ed = 0).

Comparando (V) e (XI) 2 1 II I II I h h cos cos .θ θ θ θ

Condição III - Hemisfério livre e a descida é sem atrito.

Nessa condição, na direção horizontal, o sistema é mecanicamente isolado. Assim,

durante a descida, nessa direção, o hemisfério ganha velocidade para a esquerda e a

massa ganha um adicional de velocidade para a direita. Então, ao passar por um mesmo

ponto do hemisfério, antes do descolamento, a velocidade na condição III é maior do

que na condição I.

De acordo com a equação (IV), a velocidade e a altura no ponto de descolamento

seguem a expressão:

22 v

v gh hg

Quanto maior a velocidade, mais alto é o ponto de descolamento.

Sendo 3h a altura do ponto de descolamento na condição III, esse raciocínio nos leva a

concluir que: 3 1 III I III Ih h cos cos .θ θ θ θ


[B]

A normal, que age como resultante centrípeta, no pé de uma pessoa tem a mesma

intensidade de seu peso na Terra.

2cent

g 10 1N R P m R m g

r 100 10

0,3 rad/s.

ω ω

ω



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a) Dados: P = 4 W; t 5 s.Δ

E P t 4 5 E 20 J.Δ

b) Dados: m = 0,2 kg; 2R 5 cm 5 10 m.

A energia cinética das duas esferas é:

2

2 2 2

2

m vE 2 m R E m R

2

1 E 1 20 100100

R m 0,2 55 10

200 rad/s.

ω ω

ω

ω

c) A aceleração (a) da esfera tem duas componentes: tangencial T(a ) e centrípeta C(a ).

- Componente tangencial:

22

T T T TR 200 5 10

v a t R a t a a 0,2 m/s .t 5

ωω

- Componente centrípeta:

2

2 32 2 4 2 2C Ca R 2 10 5 10 4 10 5 10 a 2 10 m/s .ω

Comparando os valores obtidos, a componente tangencial tem intensidade desprezível.

Então a intensidade da resultante é igual à da componente centrípeta.

3 2T C Ca a a a 2 10 m/ s .

Aplicando o Princípio Fundamental da Dinâmica:

3 3res

res

F m a 0,2 2 10 0,4 10

F 400 N.

d) 2 2T2

a 20,4 10 40 rad/s .

R 5 10α α



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[E]

A fita F1 impede que a garota da circunferência externa saia pela tangente, enquanto que

a fita F2 impede que as duas garotas saiam pela tangente. Sendo T1 e T2 as intensidades

das trações nas fitas F1 e F2, respectivamente, sendo T1 = 120 N, temos:

2 2

1 1 12 12 2 2

22 2

2

T m 2 R T 2 m R 120 T 2 3 3 T T 120

T 3 2 2T m 2 R m R T 3 m R

T 180 N.

ω ω

ω ω ω


Nota: o termo órbita em torno do Sol é redundante, pois a órbita já é em torno de

algo.

a) a força que o satélite exerce sobre a Terra é desprezível. Então, a resultante centrípeta

sobre a Terra é a força gravitacional que o Sol exerce sobre ela, conforme indica a

figura.

S T S2 2cent ST T T T2 3

S

T 3

G M M G MR F M R

R R

G M.

R

ω ω

ω

b) O período de translação do satélite é igual ao período de translação da Terra:


Página 26 de 41

7A TT T 1ano 3,14 10 s.

7A A7

A

2 2 3,14 2 10 rad/s.

T 3,14 10

πω ω

c) A força resultante gravitacional sobre o satélite é a soma vetorial das forças

gravitacionais que o satélite recebe do Sol e da Terra, conforme ilustra a figura.

S Tres S T 2 2

S Tres 2 2

G M m G M mF F F

dR d

M MF G m .

dR d


[B]

Como as velocidades escalares são iguais e constantes, de acordo com a figura e as

tabelas dadas, comparando as resultantes centrípetas temos:

2 2

K K

2 2 2

cp F F K S F

2 2

S S

M v M v1F F

2 R 2 R

M v 3 M v M vF F F 3 F F F .

R R R

6 M v M vF F 2

3 R R


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[B]

Observe a figura abaixo onde estão mostradas as forças que agem no piloto.

Como o movimento é circular deve haver uma força centrípeta apontando para cima.

Portanto, a força da aeronave sobre o piloto deve ser maior que o peso.


[A]

Observe na ilustração abaixo as forças exercidas sobre a esfera.

/ 2 1sen

2

30

θ

θ


Página 28 de 41

Porém, a componente Tx representa a resultante centrípeta, logo:

CP

2y x

x cp y

2 2

2

T P TP v mg T cosR m

T R T r T sen

v g cos30 v g ( 3 / 2)

cos30 sen30 (1/ 2)( 3 / 2)

3v g

2

3v g

2

θ

θ


[C]

A figura 1 mostra as forças (peso e normal) agindo nesse corpo. A resultante dessas

forças é a centrípeta (figura 2).


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Na figura 2, o triângulo é retângulo:

22

2C

m vR vRtg tg v R g tg P m g R g

v R g tg .


[B]

No ponto considerado (B), a componente tangencial da resultante é nula, restando

apenas a componente centrípeta, radial e apontando para o centro da curva (P). Portanto,

a força resultante tem direção vertical, com sentido para cima.


[A]

Para calcularmos a tração máxima no fio usaremos a dinâmica do movimento circular:

c máxF T P (1)

Sabendo que: 2

máxc

vF m

R e P mg

2máx

máx c máxv

T F P T m mgR

(2)

Da conservação de energia, tiramos o valor de máxv


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M(A) M(B)E E

22máxmáx

mvmgh v 2gh

2 (3)

Substituindo (3) em (2):

máx máx

máx

2gh 20 2 10 0,4T m mg T 20 10

R 2

T 280 N


[D]

As figuras ilustram a situação descrita.

A Fig. 1 mostra as forças que atuam sobre a esfera.

Força Peso: P m g ;

Força Elétrica: F q E ;


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Tração no fio: T.

A Fig. 2 mostra a soma dessas forças (regra da poligonal) e a força resultante R .

Nessa figura:

R

tg R F P tg R m g q E tg .F P


[C]

Desenhando as forças que atuam na criança, temos a força peso e a força de tração no

fio:

Verificamos que não há força tangente a trajetória, há apenas forças radiais, ou seja, não

há aceleração tangencial, mas apenas aceleração centrípeta (radial).

Como a criança está no ponto mais baixo de sua trajetória circular, a aceleração

centrípeta deve ser vertical para cima, ou seja, radial à trajetória para o centro da

mesma.

A existência da aceleração centrípeta só é possível pelo fato da força de tração no fio ser

maior que a força peso (T>P), ou seja, por existir uma força resultante (F) vertical para

cima: F T P


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Dados: 3;π 4 7r 38,88 10 km 38,88 10 m; T = 27 dias = 648 h.

a) Aplicando a definição de velocidade média:

42 3 38,88 102 rSv

t T 648

v 3.600 km / h.

πΔ

Δ

b) Como o movimento é considerado uniforme, a força resultante sobre a Lua é

centrípeta.

222

219

res res7

1.4407,3 10

m v 3,6F F 3,00 10 N.

r 38,88 10


[C]

A figura mostra as forças que agem no corpo: normal N e peso P .


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A componente da normal na direção horizontal tem a função de resultante centrípeta e a

componente vertical equilibra o peso.

centrípeta

2

2 2

x res

y

2

2 2 2

2 2

2

mvN F Nsen Nsen mv v

tan dNcos mgd gd

N P Ncos mg

2 d 4 d 4 dv gdtan gdtan gdtan T

T T gtan

dT 2 .

gtan

θ θθ

θθ

π π πθ θ θ

θ

πθ


[A]

A figura mostra a velocidade tangencial da esfera e as forças atuantes. A resultante será

para baixo e a aceleração também.


[C]

Observe a figura abaixo.


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No triângulo sombreado podemos afirmar:

R

vm

mg

F

Ftg

2at

n

tg

Rgvgtg

R

v 22

tg2

mRg

tg

Rg.m.

2

1v.m.

2

1E 2

C


[E]

Quanto maior for o torque (momento) proporcionado pela força de frenagem, menor o

tempo para a parada total.

Mas o torque de uma força é dado pelo produto da força pelo braço (distância da linha

de ação da força até o eixo de rotação).

Na sequência apresentada, o torque é maior na primeira figura e menor na terceira.

Portanto:

T1 < T2 < T3.


[B]


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2

2 2

2 2

4 6

15mV / R V 8 8 96 96x15tg R 0,08m 8cm

mg Rg 15 10R 15 15 x10R 80x15α

R 8 8tg h 15cm

h 15 hα

2 2 31 1V R h .8 .15 320 cm

3 3π π π


[C]

A figura mostra as forças que agem na pedra imediatamente antes de o fio arrebentar.


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No lançamento horizontal, o tempo de queda independe da velocidade inicial,

dependendo apenas da altura (h) e da intensidade do campo gravitacional local (g),

como na queda livre. Assim:

22 2R1 2h 4R

h g t t t t .2 g g g

No eixo x o movimento é uniforme, pois a velocidade horizontal de lançamento

permanece constante. Então:

2

2 2 2

2

4R 4R 4Rx v t 4R v 4R v 16R v

g g g

v 4Rg.

Imediatamente antes de o fio arrebentar, as forças que agem na pedra são a tração e o

peso, como mostra a figura, sendo a soma vetorial das duas a resultante centrípeta.

2

C

m 4RgmvT P R T mg T mg T 4mg mg

R R

T 3mg.


[B]

No ponto mais alto, a força centrípeta é a diferença entre o peso e a normal.

2 22V V mg 4mg

m mg N m mg V 400 V 20m / sR 50 5 5


[D]


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Dados: r = 20 m; v = 72 km/h = 20 m/s; m = (800 + 60) = 860 kg e g = 10 m/s2.

Sendo FN a força de reação da pista e P o peso do conjunto, analisando a figura, temos

que a resultante centrípeta é:

RC = FN – P FN = RC + P FN =

2 2

Nm v 860 (20)

m g F 860 (10) 17.200 8.600r 20

FN = 25.800 N.


[B]

A figura mostra as forças agindo no coelho.

A força de atrito é a componente centrípeta das forças que agem no coelho e a normal

equilibra o peso.

2 22N m R R

mg m RgN mg

eq 01

1rot 2 rad1,0rd / s

6s 6s

Voltando à equação 01: 21 5

0,510


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[C]

Dados: m = 500 g = 0,5 kg; R = 80 cm = 0,8 m; g = 10 m/s2.

Para encontrar a expressão da velocidade (v) da esfera no ponto P2, apliquemos a

conservação da energia mecânica, tomando como referencial para energia potencial o

plano horizontal que passa por esse ponto:

1 2

Mec MecP PE E

2m vm g R

2 v

2 = 2 g R. (I)

A resultante centrípeta no ponto P2 é:

Rc = N – P = 2m v

R. (II)

Substituindo (I) em (II), vem:

N – m g = m (2 g R)

R N – m g = 2 m g N = 3 m g N = 3 (0,5) (10)

N = 15 N.


[D]

Conforme o diagrama anexo, as forças que agem no carro são o peso P e a normal N .

Como o movimento é circular e uniforme, a resultante dessas forças é centrípeta

(radial), CR


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tg =

c cc

R m aa g tg

P m g. Como e g são constantes, a aceleração centrípeta

(radial, dirigida para o centro) tem módulo constante.


[B]

Dados: v = 216 km/h = 60 m/s; m = 6 kg; r = 72 m.

A força que o piloto deve exercer sobre o conjunto cabeça-capacete é a resultante

centrípeta.

RC = 2mv

r=

26(60) 3.600

72 12 RC = 300 N.

Para que um corpo tenha esse mesmo peso, quando sujeito à gravidade terrestre, sua

massa deve ser:

m = P 300

g 10

m = 30 kg.


Dados: h = 2 m; g = 9,8 m/s2; ac = 1% g =

g

100= 0,098 m/s

2.

Um habitante (da cabeça aos pés) gira com a mesma velocidade angular () da nave.

A diferença entre as acelerações centrípetas nos pés peca e na cabeça cab

ca deve ser

igual a 1% da aceleração da gravidade na Terra.


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Para os pés: pe 2ca r = g;

Para a cabeça: cab 2ca (r h) .

Equacionando:

pe cabc c

ga a

100 2 2 2 2 2g g

r (r h) r r h100 100

2g g (2) 0,098 2 = 0,049.

Mas

2r = g 0,049 r = 9,8 r =

9,8

0,049

r = 200 m.


[A]

Se não há atrito, as únicas forças que agem sobre o corpo são seu próprio peso ( )vP ,

vertical para baixo, e a normal ( )vN , perpendicular à trajetória em cada ponto.

A figura abaixo ilustra essas forças em cada um dos pontos citados.


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