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MANCAIS MAGNÉTICOS: UM MINICURSO

Afonso Celso Del Nero Gomes∗[email protected]

Andrés Ortiz Salazar†[email protected]

Fernando A. N. Castro Pinto‡[email protected]

José Andrés Santisteban§[email protected]

Richard Magdalena Stephan∗[email protected]

∗Programa de Engenharia ElétricaCOPPE-UFRJ

Rio de Janeiro, RJ, Brasil

†DCAUFRN

Natal, RN, Brasil

‡Programa de Engenharia MecânicaCOPPE-UFRJ

Rio de Janeiro, RJ, Brasil

§Depto. de Engenharia ElétricaUFF

Niterói, RJ, Brasil

Revista Controle & Automação/Vol. no. /setembro 2010 1

Abstract

Bearings able to support high loads in high rotating speeds are always needed in applications. Classical solutions usingballs or fluidic devices exist, but their limitations are hard to overcome. The idea of contactless bearings, using field forces andcapable of outperform the classical devices became true only recently.The development irradiated from Switzerland, Germany,France, USA and Japan. In Brasil, the Centro Tecnológico da Marinha (CTM-SP) has developed, and uses, magnetical bearingsfor its high-speed centrifuges. In addition to this, isolated results are found in publications and academic works, mainly fromUFRJ, UFF, UFRN and USP. The perfectioning of Magnetical Bearings constitutes a mechatronical example that emphasizesthe interdisciplinarity of engineering. This work shows part of the nationaleffort in the field, aiming to present it in an accesiblemanner in order to improve the overall knowledge and increase the national autonomy in the field.

KEYWORDS: Bearings, rotordymanics, magnetic bearings, control of,implementation aspects of.

Resumo

Mancais para cargas elevadas ou altas velocidades de rotação são sempre necessários em aplicações. Soluções mecânicasclássicas atendem a este mercado, mas há limitações de desempenho. A idéia de mancais sem contato, suportados por forças decampo, e capazes de superar os limites tradicionais, tornou-se realidade recentemente. O desenvolvimento partiu de trabalhosna Suíça, Alemanha, França, EUA e Japão; no Brasil, o Centro Tecnológico da Marinha desenvolveu e usa mancais magnéticosem suas ultra-centrífugas. Além disto, há trabalhos publicados e teses acadêmicas de universidades, especialmente, UFRJ, UFF,UFRN e USP. Os Mancais Magnéticos são um exemplo de mecatrônica que mostra a interdisciplinaridade da engenharia. Estetrabalho aglutina parte do esforço nacional no assunto, objetivando apresentá-lo de forma didática para a preparação de umamassa de conhecimento que resulte na autonomia brasileira no tema.

PALAVRAS-CHAVE : Mancais, dinâmica de rotores, mancais magnéticos, controle dos, aspectos da implementação dos.

SUMÁRIO

1 Prefácio 4

2 Conceituação Básica 5

2.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Métodos de levitação magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Levitação Eletrodinâmica (EDL) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.2 Levitação Supercondutora (SML) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.3 Levitação Eletromagnética (EML) . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Componentes de um MM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Mancal Magnético e Motor Mancal Magnético . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Circuitos Magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5.1 Recordação das Equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5.2 Circuito elétrico equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5.3 Determinação de forças eletromagnéticas . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5.4 Comparação das forças de levitação magnéticas . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.5 Aplicação: força para a levitação de uma esfera . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Revista Controle & Automação/Vol. no. /setembro 2010

2.5.6 Aplicação: força para um circuito diferencial . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 13

3 Dinâmica Mecânica 13

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Mancais mecânicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Dinâmica de rotores rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 18

3.5 Simulações dinâmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.6 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 24

4 Controladores Para MMs 24

4.1 Levitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Levitação simples por DEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Problema da Levitação Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3.1 Linearização do PLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 27

4.3.2 Controle em malha fechada do PLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3.3 Controles com ação integradora, e outros . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4 Variáveis de estado no PLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.5 Levitação magnética, DEMAs e MMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.5.1 Posicionamento Planar por DEMAs . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.6 Mancais Magnéticos em rotor vertical . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.7 Estratégias de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.7.1 Desacoplamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 38

4.7.2 Controles centralizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.7.3 Controles descentralizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.7.4 Controles para rejeitar degraus . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.7.5 Controles para rejeitar outros sinais . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.8 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 40

5 Eletrônica de Potência Aplicada a MMs 41

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 41


5.2 Circuitos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.3 Circuitos chaveados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3.1 Fonte de tensão com circuito chaveado . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3.2 Fonte de corrente com circuito chaveado . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3.3 Circuitos chaveados com condução unidirecional e bidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.4 Interfaces de disparo (drivers) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.5 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 48

6 Aspectos de Realização e Considerações Finais 48

6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 48

6.2 Princípios dos sensores de deslocamento . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.3 Sistemas eletrônicos embarcados em MMs . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.3.1 Memória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 49

6.4 DSPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 50

6.5 Motores aproveitados em Máquinas sem Mancais . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.6 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 53

1 PREFÁCIO

O estabelecimento de um novo produto com base tecnológica depende, pelo menos, de 3 fatores:

1. existência de mercado

2. disponibilidade industrial para produção

3. congregação de pessoas com habilidades técnicas, comerciais e financeiras que estabeleçam a ligação entre mercado eindústria.

Mancais capazes de suportar cargas elevadas ou altas velocidades de rotação encontram-se entre as principais necessidadesde sistemas mecânicos e eletromecânicos. Como será visto naseção 3, soluções empregando esferas ou fluidos de interfaceatendem a estemercado.No entanto, existem limitações de difícil transposição. A idéia de um mancal sem contato, suportadopor forças elétricas ou magnéticas de atuação à distância, em condição de superar os limites de peso e velocidade atingidospelos mancais com contato, só pôde se tornar uma realidade comercial com adisponibilidade industrial, a partir do final doséculo XX, principalmente de:

• Processadores digitais de baixo custo capazes de supervisionar, controlar e simular a operação de mancais magnéticos(como será visto na seção 6),

• Dispositivos semi-condutores de potência capazes de condicionar sinais de corrente e tensão para produzir eficientementeas forças eletromagnéticas necessárias (seção 5),

• Sensores e transdutores capazes de colocar precisamente e em termos de sinais elétricos as informações de posição evelocidade de eixos girantes (seção 6).


O aprimoramento de um novo produto tecnológico, chamado de Mancal Magnético (MM), bem como aspessoasque otornaram realidade, encontra-se historicamente registrado na série dos “International Symposium on Magnetic Bearings —ISMB”, evento que ocorre a cada dois anos desde 1988. Seguindo esta linha histórica, constata-se que o desenvolvimento sedeu a partir de trabalhos na Suíça, Alemanha, França, EUA e Japão. No Brasil, o Centro Tecnológico da Marinha (CTM-SP)desenvolveu e utiliza mancais magnéticos para suas ultra-centrífugas de enriquecimento de Urânio. Além desta experiênciade sucesso, trabalhos isolados encontram-se em publicações e teses de mestrado e doutorado provenientes de universidades,especialmente, UFRJ, UFF, UFRN e USP.

Trata-se de um exemplo de mecatrônica que fortalece o aspecto interdisciplinar, importantíssimo no trabalho de engenharia. Apresente publicação aglutina parte do esforço nacional, objetivando apresentar o assunto de forma didática para a preparaçãode uma massa de conhecimento e mão de obra qualificada que resulte na autonomia brasileira no tema. Pretende-se criar oGrupo de Estudo em Mancais Magnéticos Ativos — GEMMA — para facilitar o intercâmbio de experiências e concretizaçãodeste ideal.

2 CONCEITUAÇÃO BÁSICA

Richard Magdalena Stephan.

2.1 Motivação

Os mancais tradicionais apresentam limitações de ordem térmica e estrutural mecânica. Estas barreiras podem ser ultrapassa-das evitando-se o contato entre as partes girantes. Graças ao desenvolvimento da eletrônica digital, da eletrônica de potência,de novos materiais magnéticos e supercondutores, especialmente no final do século XX, passou a ser possível construir rotoressuportados por forças magnéticas. Os sistemas assim construídos recebem o nome de Mancais Magnéticos e exemplificam oque se classifica na literatura técnica como mecatrônica, uma combinação de conhecimentos de mecânica, eletrônica, controlee processamento de sinais. Mancais Magnéticos encontram oportunidade de aplicação em diversas áreas, por exemplo:

Aeroespaciais e de Alto-Vácuo,onde não se admite lubrificação.

Alimentos, devido ao alto grau de pureza e não contaminação exigida.

Medicamentos, pelo mesmo motivo acima.

Alta e baixa temperatura, pela dificuldade de dispor de lubrificante adequado.

Atmosferas explosivas,para evitar pontos de possível atrito e ignição.

Armazenadores de Energia Cinéticos (flywheel),para diminuir o atrito.

Equipamentos médicos,pela grande exigência de performance.

Destacam-se as seguintes principais vantagens dos MancaisMagnéticos:

• ausência de lubrificação

• altas velocidades

• baixas perdas

• menor custo de manutenção

• maior vida útil

• dinâmica controlável

• alta precisão


• diagnóstico de operação on-line

• identificação de parâmetros on-line.

E as seguintes desvantagens:

• maior custo

• tecnologia sofisticada exigindo mão de obra qualificada

• tecnologia em rápido desenvolvimento

• dados de confiabilidade (MTBF) ainda incipientes.

2.2 Métodos de levitação magnética

Para efeito de entendimento, as técnicas de levitação podemser classificadas como mecânicas, elétricas ou eletromagnéticas,(Stephan et al., 2002). Dentre as técnicas mecânicas, estãoas que usam força pneumática, como é explorado no conhecidohovercraft, ou ainda forças aerodinâmicas, como usado nos aviões.

Como técnica elétrica, podemos conceber uma situação em quecargas elétricas de mesma polaridade estejam dispostas frentea frente. A proposta implementada por Naudin (http://jnaudin.free.fr) ou Moreirão (http://www.coe.ufrj.br/~acmq)também pode ser classificada como elétrica, porém, diferentemente da concepção acima, emprega a força oriunda de descar-gas elétricas (efeito Corona).

Finalmente, podemos citar os métodos magnéticos. Estes métodos valem-se sempre da intensidade de um campo magnético,como apresentaremos nas próximas seções. Neste ponto, deve-se ainda registrar a levitação com materiais diamagnéticos,mas cuja força resultante é bem menor, (Simon et al., 2001). Por sua vez, os métodos de levitação magnética são subdivididosem três grupos, descritos abaixo, (Sotelo et al., 2010):

2.2.1 Levitação Eletrodinâmica (EDL)

-velocidade

6força

arraste

levitação

Figura 1: Forças de arraste e de levitação (EML)

Este tipo de levitação necessita do movimento de umcampo magnético nas proximidades de um material condu-tor. A proposta japonesa de trem de levitação, LEVMAG(http://www.rtri.or.jp/index.html), está calcada neste prin-cípio (Sinha, 1987). Se um material magnético realizar ummovimento relativo a uma lâmina condutora (alumínio, porexemplo), correntes parasitas serão induzidas no condutor. Estascorrentes por sua vez, gerarão um outro campo magnético oqual, pela lei de Lenz, opor-se-á ao campo criado pelo materialmagnético. A interação entre estes dois gerará uma força repulsivano material magnético. Esta força é a responsável pela levitação docorpo. Uma outra força também existente neste modo de levitação,só que contrária ao movimento do material magnético (força dearraste). Esta última força é similar à desenvolvida em um motor deindução, bastando observar que a velocidade corresponde aoescorregamento de um motor de indução rotativo, (figura 1).

2.2.2 Levitação Supercondutora (SML)

Este tipo de levitação baseia-se no efeito Meissner de exclusão de campo magnético do interior dos supercondutores, e.g.(Moon, 1994).No caso dos supercondutores do tipo II, esta exclusão é parcial, o que diminui a força de levitação, mas conduzà estabilidade da levitação (figura 2). Este fenômeno, que sópôde ser devidamente explorado a partir do final do séculoXX com o advento de novos materiais magnéticos e pastilhas supercondutoras de alta temperatura crítica, que se tornam


supercondutoras a temperaturas muito mais elevadas do que os supercondutores convencionais. Os novos supercondutoresde alta temperatura crítica podem ser resfriados com nitrogênio liquido (temperatura de ebulição−196C) enquanto queos supercondutores convencionais precisam ser refrigerados com hélio liquido (temperatura de ebulição−269C), o quetorna o custo da refrigeração proibitivo para aplicações industriais. Estes novos supercondutores estão sendo usadosnapesquisa de um novo tipo de trem de levitação em diferentes países, incluindo Brasil (http://www.dee.ufrj.br/lasup),China (http://asclab.swjtu.edu.cn) e Alemanha (http://ifwdresden.de).

Figura 2: Disco magnético levitando sobre uma pastilha supercondutora

2.2.3 Levitação Eletromagnética (EML)

Este tipo de levitação tem na proposta alemã de trem de levitação, Transrapid (http://www.transrapid.de), que está atual-mente implementado na China numa conexão de 30km entre Pudong Shanghai International Airport e Shanghai Lujiazui, umdistrito financeiro, e na proposta japonesa HSST (http://hsst.jp) grandes exemplos de sucesso. Tal sistema de levitação étipicamente instável, obrigando a realização de um sistemade controle em malha fechada. Este é o método mais empregadoem Mancais Magnéticos e encontra-se detalhado neste texto.

2.3 Componentes de um MM

Os constituintes básicos de um Mancal Magnético são:

Atuador, constituído de circuitos de eletrônica de potência.

Controlador, usualmente um processador digital.

Sensoresde posição, corrente e velocidade.

Circuito magnético, constituído de bobinas e núcleos ferromagnéticos.

Mancal mecânico de proteção.

Todas estas partes devem operar em conjunto. Por isto mesmo,os mancais magnéticos podem ser tomados como um excelenteexemplo de mecatrônica. A figura 3, cedida pela SKF, apresenta um mancal magnético comercial. As direções ortogonais 1e 2 são controladas por mancais magnéticos radiais, o mesmo valendo para as direções 3 e 4. A direção 5 deve ser controladapor um mancal axial, também presente na figura. O único grau deliberdade corresponde à rotação, indicada por 6. Osatuadores, basicamente circuitos de eletrônica de potência, e os controladores, estes embarcados em processadores digitais,encontram-se na cabine. A figura não indica os sensores.


Figura 3: Componentes de um sistema com mancal magnético

Os fabricantes mundiais mais conhecidos de mancais magnéticos são:

S2M http://www.s2m.fr

MECOS http://www.mecos.ch

SKF http://www.skf.com

Foster-Miller ttp://www.foster-miller.com

Wauk http://www.waukbearing.com

2.4 Mancal Magnético e Motor Mancal Magnético

Mancal

Radial

4 inv 1Φ

Motor

1 inv 3Φ

Mancal

Radial

4 inv 1Φ

Man

cal

Axi

al

2 inv 1Φ

a

bMotor

Mancal

1 inv 3Φ

Motor

Mancal

1 inv 3Φ

Man

cal

Axi

al

2 inv 1Φ

Figura 4: Motor e MMs (a) Motor-mancal Magnético (b)

A figura 4(a) mostra um motor convencional commancais convencionais substituídos por magnéti-cos. São necessários dois mancais radiais, paraposicionar o eixo na direção perpendicular ao eixode rotação, e um mancal axial, para controlar des-locamentos na direção do rotor. Por sua vez, comoserá explicado mais adiante, cada mancal radial éconstituído de quatro bobinas, e o mancal axialpor duas bobinas. Para a alimentação de cada bo-bina necessita-se de um inversor monofásico quecontrolará a corrente de alimentação. Assim, se-rão necessários 10 inversores monofásicos paraestas tarefas. Além disto, a alimentação do mo-tor emprega usualmente um inversor trifásico parao controle da velocidade e torque da máquina. Natentativa de diminuir a quantidade de inversores, aproposta ilustrada na figura 4(b) utiliza dois moto-res alimentados com inversores trifásicos. As cor-rentes impostas nos enrolamentos destes motores garantem tanto o posicionamento radial quanto a produção de torque. Esteassunto será mencionado na seção 6. Esta configuração continua solicitando um mancal axial alimentado por dois inversoresmonofásicos, mas a diminuição dos equipamentos de eletrônica de potência fica patente.


2.5 Circuitos Magnéticos

2.5.1 Recordação das Equações de Maxwell

O relacionamento entre campos elétricos e magnéticos encontra-se bem estabelecido nas equações de Maxwell, reproduzidasabaixo nas suas formas integral e diferencial.

Equações de Maxwellforma integral forma diferencial

∫

D.dS =∫

ρdV ∇.D = ρ∫

B.dS = 0 ∇.B = 0∫

E.dl = −dΦ/dt ∇× E = −dB/dt∫

H.dl = Ni ∇×H = J

Em que:D representa a densidade de fluxo elétrico,E a intensidade do campo elétrico,B a densidade de fluxo magnético,H a intensidade de campo magnético,i a corrente elétrica,N o número de enlaces de corrente elétrica,ρ a densidadevolumétrica de carga elétrica,Φ o fluxo magnético,J a densidade de corrente elétrica. E também,dS denota o diferencial deárea,dV o de volume,dl o de comprimento edt o de tempo. Para o estudo dos circuitos magnéticos, bastam a segunda e aquarta equações. O exemplo abaixo (figura 5) ilustra esta afirmação, mostrando um circuito magnético básico. Um núcleo dematerial ferromagnético, com um espaço (“gap”) de ar de comprimentod está enlaçadoN vezes por uma correntei.

?i

N

?d6

6

?

Figura 5: Circuito básico

Considerando a intensidade de campo magnético constante nointerior do material ferro-magnético (fe) e também no espaço de ar, a aplicação da quartalei leva a:

lfeHfe + 2dHar = Ni (1)

Já a segunda lei permite escrever:

BfeAfe = BarAar (2)

Por sua vez, admitindo qued seja suficientemente pequeno para desprezar a dispersão decampo magnético, as áreas de ferro e ar podem ser tomadas iguais, o que resulta:

Bfe = Bar = B (3)

O relacionamento entreB eH é dado pela permeabilidade magnéticaµ:

Bfe = µ0µrHfe e Bar = µ0Har

Combinando as equações acima, chega-se a:

B =µ0Ni

lfeµ−1r + 2d

(4)

Sabe-se queµr >> 1, o que resulta em

B =µ0Ni

2d(5)

2.5.2 Circuito elétrico equivalente

A segunda equação de Maxwell ensina que o fluxo magnético em umcircuito é constante. Com isto, o fluxo se assemelha àcorrente em um circuito elétrico, regida pela lei de Kirchoff de Corrente. Por outro lado, a quarta equação diz que o somatório


das parcelasHl deve ser igual ao produtoNi, conhecido como força magnetomotriz. Isto lembra a lei de Kirchoff de Tensão.Mais ainda:

Ni = Hl =Bl

µ=

Φl

µA= Φ

l

µA(6)

A Relutância de um circuito magnético de comprimentol e áreaA é definida comoR = l/(µA). Esta definição, por suavez, lembra a resistência de um condutor elétrico. Finalmente, o circuito magnético analisado no item anterior pode agora sertratado pelo circuito elétrico equivalente da figura 6.

Rfe

Fmm

Rar

Φ

Rfe = (µ0µr)−1lfeA

−1

Fmm = Ni

Rar = µ−10 2dA−1

Figura 6: Circuito elétrico equivalente

Resolvendo como um circuito elétrico, chega-se a:

Φ =Ni

Rfe +Rar=

µ0NiA

2d+ lfeµ−1r

(7)

Os encaminhamentos apresentados nas seções 2.5.1 e 2.5.2 levam, portanto, ao mesmo resultado.

2.5.3 Determinação de forças eletromagnéticas

A determinação de forças em sistemas eletromecânicos fica facilmente abordada partindo do princípio de conservação deenergia. Considerando o sistema ilustrado na figura 7 pode-se escrever:Ee = Ea + Ep + Es

Figura 7: Ilustração das energias em jogo em um sistema eletromecânico

Derivando-se em relação ao tempo, chega-se à expressão de potência:

Pe =d

dt(Ea + Ep) + Ps (8)

A potência elétrica de entrada (Pe) fica determinada porPe = vi em quev = dλ/dt. Já a potência de saída (Ps) poderesultar de um movimento de rotação ou translação:Ps = f(dx/dt). Desprezando-se a parcela de perdas dos sistemaseletromecânicos e combinando-se a equação (8) com as devidas substituições, vem:

idλ

dt=

dEa

dt+ f

dx

dt⇒ dEa = idλ− fdx (9)

Percebe-se que a energia armazenada é uma função do fluxo enlaçado e da posição. Isto permite escrever:

Ea = Ea(λ, x) ⇒ dEa =∂Ea

∂λdλ+

∂Ea

∂xdx (10)


A comparação das equações (9) e (10) leva a:

f = −∂Ea

∂xe i =

∂Ea

∂λ(11)

Assim, a força fica determinada pela taxa de variação da energia armazenada com relação ao deslocamento. Sabe-se que aenergia armazenada em uma região em que se encontra presenteum campo magnético é dada pela integral de volume:

Ea =1

2

∫

B.HdV (12)

Para o circuito da figura 5 vale:

Ea =1

2BaHaVa =

1

2BaHaAa2d (13)

f =∂Ea

∂x=

1

2BaHa2Aa (14)

f =1

2µ0B2

a2Aa (15)

f =1

4µ0N

2Aa

(

i

d

)2

= k

(

i

d

)2

(16)

No caso particular de um sistema linear, valem as expressõesλ = Li, dEm = idλ, Em = ((1/2)Li2 e finalmente

f = −1

2i2dL

dx(17)

2.5.4 Comparação das forças de levitação magnéticas

Fluxos magnéticos da ordem de 1Tesla são usualmente encontrados em configurações práticas. Substituindo este valor naequação (15) vem:

B = 1T ⇒f

2Aa=

1

2

B2a

µ0= 40Ncm−2

Uma comparação das pressões obtidas com as diferentes técnicas de levitação encontra-se na Tabela 1 abaixo, retirada de(Sotelo et al., 2010).

Tabela 1: Comparação de valores práticos obtidos com forçasmagnéticas

Método de levitação Pressão (Ncm−2) “gap” usual (mm)

EML 40 10EDL 25 100SML 4 10

2.5.5 Aplicação: força para a levitação de uma esfera

A equação (16) linearizada em torno de um ponto de equilíbrioleva a:

f = f(i, d) = k

(

i

d

)2

⇒ f = f0 +∂f

∂i(i− i0) +

∂f

∂d(d− d0) = f0 + ki∆i + kx∆x (18)


ondeki = ∂f/∂i = 2ki0d−20 e kx = ∂f/∂d = 2ki20d

−30 . Aplicando-se estas relações para o caso de levitação de uma

esfera, ilustrado na figura 8, segue:

fm = k

(

i

x

)2

donde fm −mg = md2x

dt2

Figura 8: Levitação de uma esfera

O ponto de equilíbrio ocorre comF0 = mg, logo:

fm = ∆fm +mg ⇒ ∆fm = ki∆i + kx∆x

o que leva a

md2∆x

dt2= kx∆x + ki∆i (19)

onde∆i = i− i0, ∆x = x− x0, ki > 0, kx > 0. Esta equação admite a representação por diagrama de blocosda figura 9.

∆i - ki+- - 1

ms- 1

s

∆x-

kx

6+

Figura 9: Modelo para esfera levitando em torno de ponto de equilíbrio

Os pólos deste sistema encontram-se emp1,2 = ±√

kx/m. Masmg = ki20d−20 , logo |p1,2| =

√

2gd−10 . Para gaps de

aproximadamente1cm, vem:

|p1,2| =

√

2gd−10 ≈ 20/0.01 ≈ 45rd/s

o que corresponde a uma constante de tempoτ ≈ 20ms. Este resultado independe da massa da esfera.

2.5.6 Aplicação: força para um circuito diferencial

Usualmente, os mancais magnéticos trabalham de forma diferencial, como ilustrado na figura 10. Este procedimento, alémde melhorar a linearidade, garante forças iguais em ambos ossentidos e faz com que os coeficienteski e kx possam serestabelecidos livremente, uma vez quei0 não depende mais do peso do corpo a ser levitado.


Figura 10: Mancal magnético com força diferencial

f+ =A

2µ0(B0 +∆B)2 f− =

A

2µ0(B0 −∆B)2 (20)

f+ = k

(

i0 + ixd− x

)2

f− = k

(

i0 − ixd+ x

)2

(21)

f = f+ − f− =2AB0

µ0∆B (22)

Logo∆f = kiix + kxx ondeki = 4ki20d−3, kx = 4ki0d

−2.

2.6 Conclusões

As bases para o entendimento dos mancais magnéticos foram apresentadas nesta seção introdutória. Alguns elementos decontrole, dinâmica e acionamento já apareceram nestas primeiras linhas. As seções seguintes aprofundarão este estudo,aproximando-se das necessidades e implementações práticas.

3 DINÂMICA MECÂNICA

Fernando A. N. Castro Pinto

3.1 Introdução

O uso de mancais magnéticos implicitamente significa a suportação e guiagem de peças ou componentes de um mecanismo.Esse suporte pode se dar de forma linear, como no caso de guiaslineares, ou de forma a permitir a rotação dos elementossuportados em torno de um eixo. Este livro concentra a sua atenção em princípios da levitação magnética que podem seraplicados a ambos os casos. No entanto grande parte das aplicações se dá para eixos girantes que aqui serão chamadosgenericamente de rotores. A dinâmica da rotação, própria dos rotores, embora não seja conceitualmente diferente da dinâmicada translação, envolve o aparecimento de comportamentos não-lineares, como por exemplo o efeito giroscópico, os quais


muitas vezes fogem à intuição natural do engenheiro acostumado com as leis de Newton aplicadas apenas a partículas ousistemas de partículas, ou seja para estudo da translação.

Este capítulo, além de uma pequena introdução aos mancais mecânicos de rotação e às cargas por eles suportadas em sistemasmecânicos, procura fazer uma breve revisão da dinâmica clássica enfatizando os aspectos relacionados à dinâmica de rotores.Alguns exemplos de rotores são ainda avaliados à luz de simulações computacionais. A correta compreensão da naturezadas cargas mecânicas impostas ao sistema girante, e em última análise aos mancais, é fundamental para a avaliação dascaracterísticas dos sistemas de controle necessários paraa manutenção da estabilidade dos mancais em sua versão magnética.

Os rotores podem ainda ser classificados como rígidos ou flexíveis. Este texto prende-se mais à dinâmica dos rotores rígidos,muito embora a sua suportação leve em consideração a rigidezdos mancais e portanto uma certa flexibilidade. A dinâmicade rotores flexíveis é ainda mais rica e complexa e não será alvo de maiores detalhamentos dentro do escopo deste texto.

3.2 Mancais mecânicos

Os mancais mecânicos podem ser considerados como mancais

• de deslizamento;

• de rolamento;

• aerostáticos.

Sua função principal consiste em exercer sobre o eixo ou rotor os esforços necessários para que o mesmo possa executarseu movimento de rotação conforme esperado. A cinemática domovimento, especialmente para mancais muito rígidos, ficaentão determinada pelo movimento da base ou carcaça na qual os mancais estão fixos. Neste texto a carcaça será consideradafixa em um referencial inercial para facilitar a apresentação da dinâmica do rotor. Entretanto a derivação das equações podeser feita para outros sistemas sem maiores problemas.

Figura 11: Mancal de deslizamento

Mancais de deslizamento basicamente consistem de superfícies, em geral lubrifi-cadas, que permitem a rotação do eixo. Dada a sua natureza é intrínseca a existên-cia de uma certa folga entre o eixo e o próprio mancal levando auma mobilidadepossível na direção transversal ao giro. A órbita do eixo é uma característica im-portante para a avaliação do estado de operação do mancal e dadinâmica do rotor.A rigidez destes mancais, exceto pela folga, pode ser bastante elevada. De acordocom o tipo de lubrificação encontrada o mancal pode ser hidrostático ou hidrodi-nâmico. A figura 11, ao lado, adaptada de (Web, n.d.), mostra esquematicamenteum mancal de deslizamento a partir de um catálogo comercial.

Os mancais de rolamento consistem de uma pista interna, solidária ao eixo, e umapista externa, solidária à carcaça, entre as quais se encontram elementos rolantes.Estes elementos rolantes podem assumir diferentes formas:

• esferas;

• rolos cilíndricos;

• rolos cônicos;

• agulhas. . .

porém sempre com a função de permitir o rolamento entre estese as pistas. Deste modo se conseguem mancais com baixoatrito porém com diversas partes móveis submetidas a desgaste e maior inércia. Outro problema, em função das partesmóveis, é uma maior limitação quanto ao seu uso em altas velocidades de rotação. A figura 12, adaptada de (Web, n.d.),mostra esquematicamente um mancal de rolamento a partir de um catálogo comercial.


Figura 12: Mancal de rolamento de esferas

Os mancais aerostáticos são similares aos de deslizamento porém uma camada de ar é mantida sob pressão entre o mancale o eixo para diminuir o atrito. A rigidez não é tão elevada. Ainda com relação às suas funções os mancais podem sersubdivididos entre mancais:

• radiais;

• axias ou

• combinados,

em função do tipo e direção das forças transmitidas pelos mesmos. A figura 13, adaptada de (Web, n.d.), ilustra alguns tiposde mancais quanto às cargas suportadas.

Figura 13: Mancais de diferentes tipos

3.3 Dinâmica de rotores rígidos

A dinâmica newtoniana tem como princípio fundamental o de que a modificação no estado de movimento de uma partícula éproporcional à força exercida sobre esta. Matematicamenteeste modelo pode ser expresso pela equação

d

dt(mv) = F (23)

ondem representa a massa da partícula ev o vetor1 velocidade da mesma. O produto destas grandezas é o vetor quantidadede movimento. Sua variação temporal, expressa pela derivada na equação (23) é então proporcional à força, também expressapor um vetor,F . Este princípio, no entanto, somente é válido quando a derivação do vetor velocidade é feita em umareferência dita inercial. A discussão sobre as características que levam um sistema de referência a poder ser consideradoinercial, e mesmo a real existência de um tal sistema, se estenderiam além do escopo deste texto. Para nossos propósitos basta

1Neste texto, vetores serão representados em negrito, e não com a flechinha em cima. . .


considerarmos que a velocidade do corpo e a sua derivada são tomadas em um referencial que não se encontra acelerado.Formalmente podemos admitir que (23) é válida quando os resultados por ela preditos são suficientemente próximos docomportamento observado experimentalmente. A indicação do referencial no qual a velocidade e a derivação são feitas seráobservada em nossa notação, quando necessário, pela aposição de um índice sobrescrito ao vetor. Isto é exemplificado porRemRv indicando que a velocidade é calculada no referencialR.

A extensão deste modelo para a análise do movimento de corpos, rígidos ou não, envolve as contribuições de Euler para amecânica newtoniana. Para o estudo da dinâmica da rotação torna-se então necessário calcular os momentos dos vetores naequação (23) tomados em relação a um ponto qualquer especificado. Estes momentos são obtidos pela pré-multiplicaçãovetorial do vetor posição relativa entre a posição da partícula K considerada em (23) e um pontoO especificado,pK/O. Afigura 14 esquematiza os vetores considerados.

Figura 14: Momento de um vetorv com relação a um pontoO

Deste modo a equação (23) fica:

pK/O ×d

dt(mv) = pK/O × F (24)

Para analisarmos um rotor devemos considerar a aplicação das equações de movimento (23) e (24) a elementos infinitesimaisde massa compondo o corpo sob análise, resultando então em:

∫

C

R d

dt

(

Rv)

dm =

∫

C

dF (25)

eR d

dt

∫

C

pm/O × Rv dm =

∫

C

pm/O × dF (26)

onde a integração é feita sobre o volume do corpoC do rotor em questão. Cada elemento de massadm se encontra naposiçãopm/O em relação ao pontoO e possui sua própria velocidadeRv no referencialR, usado também para a derivaçãoda quantidade de movimento. As forças atuantes sobre cada elemento de massa,dF , são também integradas para compor aação das forças sobre o corpo em questão. Estas forças incluem ações a distância de campos como o gravitacional, elétrico,magnético, etc. . . e também forças de contato, especialmente na superfície do corpo. Consideradas entretanto em (24) estãotodas as forças atuantes sobre os elementos de massa. As forças internas, entre cada elemento e seus adjacentes tem que serconsideradas nesta integração.

Felizmente os princípios da dinâmica newtoniana, de forçasde ação e reação, permitem mostrar que a integral do lado direitoem (25) se resolve para o somatório das forças externas exercidas sobre o corpo. Isto significa que as forças internas, exercidasentre os próprios elementos de massa por eles mesmos, se cancelam. Já a integral do lado esquerdo de (25) se resolve parauma ponderação sobre a distribuição de massa do corpo que se exprime matematicamente por:

mC

R d

dtvCM = Fext (27)

sendomC a massa total do corpo e a derivada da velocidade representa aaceleração de um ponto específico do corpodenominado centro de massa. A posição deste ponto, do centrode massa, é obtida pela média ponderada das posições de


cada elemento de massadm, sendo o peso desta ponderação a própria distribuição de massa. As sucessivas derivações notempo desta posição, no referencialR considerado, correspondem à velocidade e aceleração do centro de massa,RvCM eRaCM respectivamente. Alternativamente pode se escrever o ladoesquerdo de (26) como a derivada daQuantidade deMovimento do Centro de Massarepresentada porRGCM = mC

RvCM . A equação (27) permite a simulação e o estudo domovimento do corpo, entretanto, somente traz informação a respeito da translação do mesmo.

Para estudo da dinâmica da rotação será feita ainda a suposição de que o rotor, o corpo C, possa ser considerado rígido. Destemodo considerações cinemáticas permitem que a velocidade de um ponto qualquer do corpo possa ser expressa em função davelocidade conhecida de um ponto do corpo. A aplicação destes conceitos a (26), em analogia a (25), cuja exposição passo apasso seria muito extensa para este texto, nos leva à equaçãode movimento relacionada à rotação expressa por:

R d

dtRHC/O = MO

ext (28)

Nesta equação o momento das forças externas e torques aplicados ao corpo é expresso porMOext. Do mesmo modo que

em (25) os esforços internos se anulam. A contrapartida rotacional para a quantidade de movimentoRGCM é expressa porRHC/O, denominadaQuantidade de Movimento Angularou simplesmenteMomento Angular. O cálculo deste MomentoAngular se apresenta mais complexo do que a simples multiplicação de uma inércia, ou seja massa, pela velocidade do centrode massa. Em função das integrais em (26), juntamente com a suposição de rigidez do rotor temos então:

RHC/O = ~IC/O.RωC (29)

onde o vetor Momento Angular é calculado, analogamente, como o produto escalar entre uma inércia~IC/O e o vetor velo-cidade angular do corpoRωC em relação ao referencialR. Diferentemente da inércia escalar, representada pela massamC

no caso da dinâmica da translação, a riqueza e complexidade de comportamentos da dinâmica da rotação é, em grande parte,função da inércia de rotação ser representada por um tensor,positivo definido, como resultado das integrais em (26). Ostermos do tensor são calculados de acordo com a equação:

R~IC/O =

∫

C

p22 + p23 −p1p2 −p1p3−p2p1 p21 + p23 −p2p3−p3p1 −p3p2 p21 + p22

dm (30)

na qualp1, p2 ep3 são as componentes do vetorpm/O segundo três direções coordenadas ortogonais. Fica tambémexplícitoo caráter simétrico do tensor. É importante ressaltar que, representados na notação, existe uma dependência:

• da geometria do corpo, segundo as integrações;

• do sistema de referência utilizado para expressar o vetor, no caso sistemaR;

• do ponto de referênciaO escolhido.

A derivação em (28) assume expressões mais simples se:

• o pontoO for um ponto fixo, portantoR

ddtp

O = RvO = 0 ⇒R

ddtp

m/O = Rvm − RvO = Rvm

• ou o ponto O escolhido for o centro de massa CM do corpo.

Esta derivada, entretanto, deve ser calculada no referencial inercialR, onde, devido ao movimento geral do corpo, o tensorde inércia não será constante, devendo também ser diferenciado no tempo. Por outro lado, o fato de o corpo ser tomadocomo rígido faz com que a expressão para o tensor de inércia, em um sistema de referênciaA, fixo ao corpo seja expressopor termos constantes. Se também observarmos que as derivadas de um vetoru (ou de um tensor) em diferentes sistemas dereferência são relacionadas entre si pelo vetor velocidadeangular de um sistema em relação ao outro, segundo a equação:

R d

dtu =

A d

dtu+ RωA × u (31)


temos queR d

dtRHC/O =

R d

dt

(

~IC/O.RωC)

= ~IC/O.RαC + RωC × ~IC/O.RωC (32)

onde a derivada do vetor velocidade angular, chamada aceleração angular, é representada porRαC . Na equação (32)considerou-se a aplicação de (31) sendo o tensor de inércia~IC/O expresso no sistema de referência do próprio corpo,C,e portanto constante neste sistema,C(d/dt)~IC/O = 0, e ainda tomado em relação ao pontoO. A equação de movimento docorpo, relativa à sua dinâmica de rotação quando consideramos o ponto O como sendo o seu centro de massa, ou alternativa-mente um ponto fixo, fica

~IC/O.RαC + RωC × ~IC/O.RωC = MOext (33)

a qual juntamente com a equação (27) constituem as equações diferenciais de movimento a serem resolvidas simultaneamentepara que se conheça o comportamento dinâmico do rotor. Na ausência de momentos externos a equação (28) garante queo Momento Angular se manterá constante, tanto em módulo quanto em direção. Caso os momentos externos não sejamnulos o comportamento do corpo será regido por ambos os efeitos, forças referentes à translação do centro de massa emomentos referentes à dinâmica da rotação. A presença dos mancais é necessária para que a movimentação do rotor obedeçaà cinemática desejada, basicamente que o eixo de rotação mantenha sua orientação em relação à máquina ou equipamento deque faz parte, na presença das forças de perturbação em função do próprio funcionamento.

Figura 15: Modelo: rotor rígido com mancais

Seja de que natureza for, mecânica (rolamento ou deslizamento), magné-tica ou aerostática, o mancal irá contribuir, em maior ou menor grau, com oaparecimento de uma flexibilidade na suportação do rotor e, consequente-mente, com uma certa possibilidade de o rotor alterar a direção de seu eixode rotação mesmo em equipamentos estacionários. Em rotoresde equi-pamentos móveis, como por exemplo uma turbina de aeronave, indepen-dentemente da flexibilidade nos mancais, a direção do eixo derotação serámodificada em função da cinemática do movimento em si. Deste modo,mesmo que se mantenha a velocidade de rotação do rotor inalterada, se faznecessária a imposição de momento ao eixo, momento esse que será ori-ginado das reações, forças, nos mancais. A figura (15) ilustra o modelosimplificado de rotor rígido, com suportes flexíveis, estudado aqui.

As implicações, especialmente da equação (33) no movimentoe no aparecimento de esforços nos mancais são discutidas aseguir.

3.4 Aplicações

Para estudarmos o aparecimento e a natureza dos esforços nosmancais precisamos nos ater mais detalhadamente às compo-nentes das equações diferenciais, vetoriais, (27) e (33). Este estudo é fundamental para entendermos os diferentes tipos decarregamento nos mancais, tanto do ponto de vista de sua magnitude quanto de sua posição espacial em relação à carcaça dorotor (estator):• cargas síncronas;• cargas assíncronas;• cargas espacialmente fixas;• cargas aleatórias.

Considerações sobre a disposição espacial das cargas serãofundamentais para a modelagem da entrada de distúrbios nossistemas de controle, normalmente necessária para a estabilização de um mancal magnético, tratados posteriormente nestetexto. As componentes das equações diferenciais serão agora escritas e analisadas em um sistema de referência fixo no rotor,e portanto girando com o mesmo. Este é o mesmo sistema utilizado para expressar o tensor de inércia em termos constantesuma vez que o rotor é considerado rígido. Além disto faremos aescolha do pontoO, para cálculo dos momentos e do tensorde inércia, como sendo o centro de massa do rotor.

É importante notar que (27) e (33) foram estabelecidas para um referencial inercial, e representam relações entre vetores, osquais representam grandezas físicas concretas. Estes vetores podem, matematicamente entretanto, ser projetados em qualqueroutro sistema de referência, seja ele inercial ou não. O fundamental é que as derivações na obtenção das equações tenham sido


feitas em relação ao referencial inercial. O sistema no qualos vetores serão posteriormente expressos, quer dizer projetados,é indiferente. Tomando-se então um equipamento estacionário, ou seja com sua carcaça, na qual estão fixos os mancais,estacionária, considera-se dois sistemas de referência:

1. R, inercial e fixo em relação à carcaça estacionária, e

2. C, fixo em relação ao rotor e portanto girando com a mesma velocidade angular deste.

Para diferenciar um sistema do outro as componentes dos vetores projetados emR serão chamadas dex, y e z, enquantoque as projeções emC serão chamadas de 1,2 e 3. Escrevendo tanto as equações (27) e(33) quanto os vetoresRαC , RωC ,MCM

ext , RαCM , RvCM , Fext e o tensor~IC/CM com suas componentes projetadas no sistemaC fixo ao corpo temos oseguinte sistema de equações diferenciais escalares para orotor rígido:

mC

a1a2a3

=

F1

F2

F3

(34)

I11α1 + I12α2 + I13α3

I12α1 + I22α2 + I23α3

I13α1 + I23α2 + I33α3

+

(I13ω1 + I23ω2 + I33ω3)ω2

(I11ω1 + I12ω2 + I13ω3)ω3

(I12ω1 + I22ω2 + I23ω3)ω1

−

(I12ω1 + I22ω2 + I23ω3)ω3

(I13ω1 + I23ω2 + I33ω3)ω1

(I11ω1 + I12ω2 + I13ω3)ω2

=

M1

M2

M3

(35)

nas quais os índices relativos ao referencial, corpo, centro de massa, etc. . . foram omitidos por brevidade. As equações(34) e(35) são conhecidas como equações de Newton-Euler. Fica clara a complexidade da dinâmica de rotação (35) em comparaçãocom a da translação (34). As componentesIij do tensor podem ser simplificadas se as direções do sistema dereferência fixoao corpo forem escolhidas de forma a anular os termos cruzados I12, I13 e I23. Isto é possível solucionando o problema deautovalor/autovetor estabelecido, procurando-se em que situações os vetoresRHC/O eRωC na equação (29) sejam paralelos.As soluções, autovalores e autovetores de~IC/O, determinam as direções principais de inércia, ortogonais, a serem utilizadascomo referência. O tensor assume uma forma mais simples fazendo com que (34) e (35) se reduzam a

mC

a1a2a3

=

F1

F2

F3

e

I11α1

I22α2

I33α3

+

(I33 − I22)ω3ω2

(I11 − I33)ω1ω3

(I22 − I11)ω2ω1

=

M1

M2

M3

(36)

neste sistema. Apesar de mais simples ainda se nota o caráternão-linear destas equações pelas multiplicações das compo-nentes da velocidade angular. Mesmo se descrita neste sistema através de equações mais simplificadas a complexidade domovimento continua presente. Passamos agora a avaliar a influência de alguns carregamentos típicos para rotores tais como:• peso próprio;• desbalanceamento estático;• desbalanceamento dinâmico;• desbalanceamento elétrico em motores e/ou geradores;• cargas de corte em máquinas ferramentas etc. . .

Peso Próprio. O efeito do peso próprio do rotor não causa muitos problemas do ponto de vista da rotação. Uma vez que oefeito da gravidade pode ser considerado como aplicado no centro de massa do corpo ele não produz momentos em torno domesmo. Considerando também que o eixo não saia da posição de suportação a solução das equações de movimento (34) e(35) se resume à distribuição estática destas cargas pelos mancais. Sendo o peso direcionado na vertical estas cargas serãoespacialmente fixas em relação à carcaça dos mancais. Do ponto de vista de controle essa carga significa um valor constanteda força magnética que deve ser aplicada pelos mancais.

Desbalanceamento estático.Considerando inicialmente o rotor como homogêneo e simétrico em relação ao seu eixo derotação, o desbalanceamento estático consiste em uma perturbação desta homogeneidade na forma de uma pequena massamd, situada a uma distânciad do centro de massa do rotor sem o desbalanceamento, na direção coordenada 2 do sistemaC,no plano perpendicular ao eixo de rotação, direção coordenada 1 por exemplo, contendo o centro de massa, ver figura 16.


Figura 16: Desbalanceamento estático

Deste modo a posição do centro de massa fica deslocada de uma distân-ciae nesta direção no plano perpendicular dada por:

e =md

mCd (37)

e sendomC ≫ md o valor dee será pequeno para valores típicos ded. Os termos do tensor de inércia também se alteram. No entantoostermos cruzados, nulos no caso do rotor simétrico, continuam nulos e,do mesmo modo ainda, o termoI22 não se altera. Os termosI11 e I33ficam modificados por:

Iii = Iaii + (mC +md)d2 m

2d

m2C

ondeIii corresponde aos termosI11 e I33 e o índice sobrescritoa corresponde à inércia do rotor na condição inicial dehomogeneidade. Sendo aindamC ≫ md, estas alterações nos valores da inércia são pequenas quando comparadas com ostermos originais, para casos típicos. Assim, podemos analisar o efeito do desbalanceamento estático a partir da trajetória docentro de massa, ou seja um círculo com raio determinado por (37). Para o caso de uma velocidade de rotaçãoω e aceleraçãoangularα, a aceleração do centro de massa multiplicada pela massa do rotor fornece as forças nos mancais, dadas por:

0ω2mddαmdd

=

F1

F2

F3

onde a massa total do rotormC +md ≈ mC , uma vez que o desbalanceamento é pequeno. As forças são proporcionais aoprodutomdd, que resume o efeito do desbalanceamento para diferentes valores de massa e de posicionamento do mesmo.Como as componentes são fixas nas direções 2 e 3, projetando asreações nas direções fixas na carcaça, sistemaR, estasgiram com a mesma velocidade da rotação do eixo. As forças sãofixas no sistema do rotor e portanto, para o controle,variam harmonicamente nos mancais, com freqüência igual à determinada pela velocidade angular do eixo. No entanto,como o desbalanceamento se localiza no plano onde originalmente se encontrava o centro de massa, ele não causa momentosexternos e as forças nos mancais ficam em fase entre si. A massado desbalanceamento pode tanto ser considerada positiva,um excesso de massa em um ponto do rotor, quanto negativa, a falta de massa em um ponto do rotor.

Desbalanceamento dinâmico.

Figura 17: Desbalanceamento dinâmico

Novamente a partir do rotor inicialmente homogêneo e simétrico emrelação ao seu eixo de rotação, o desbalanceamento dinâmicocon-siste em uma perturbação desta homogeneidade na forma de duaspequenas massas idênticas de desbalanceamento,md, situadas auma distânciad do centro de massa do rotor sem o desbalancea-mento, na direção coordenada 2 do sistemaC. Entretanto, nestecaso, uma das massas situa-se na direção positiva, enquantoa ou-tra na direção negativa, do eixo da coordenada 2. Além disto estãotambém posicionadas distantes del, uma a frente e outra atrás, daposição do centro de massa na direção 1. O desbalanceamento dinâ-mico está esquematizado na figura 17.

É importante notar que a distribuição das massas de desbalanceamento não altera a localização do centro de massa do rotor.Ele permanece na mesma posição do caso desbalanceado. As diferenças de inércia se concentram então nos termos do tensorde inércia. As equações de movimento relativas à translação, equações (34), se tornam identicamente nulas já que não haveráaceleração do centro de massa do rotor. Os termos do tensor deinércia ficam então alterados por:

R~IC/O =

Ia11 0 00 Ia22 00 0 Ia33

+

2mdd2 −2mdld 0

−2mdld 2mdl2 0

0 0 2md(l2 + d2)

(38)


onde se nota um certo aumento nos termos da diagonal, pequenoem comparação com os termos originais, poismd é pequena.Entretanto o novo tensor de inércia é qualitativamente bem diferente do original já que não é mais puramente diagonal. Apesarde pequenos, os termosI12 e I21 são não nulos. Considerando estes termos nas equações (35),a dinâmica da rotação fica:

I11α1 + I12α2

I12α1 + I22α2

I33α3

+

(I33ω3)ω2

(I11ω1 + I12ω2)ω3

(I12ω1 + I22ω2)ω1

−

(I12ω1 + I22ω2)ω3

(I33ω3)ω1

(I11ω1 + I12ω2)ω2

=

M1

M2

M3

(39)

Considerarando que o rotor gira, rapidamente, com velocidade angularΩ em torno de seu eixo, coordenada 1 do sistemaC, eque as componentes da velocidade angular nas demais direções perpendiculares,ω2 eω3, são pequenas em comparação comω1, os termos que envolvemω2ω3 podem ser desprezados e a equação (39) se simplifica:

I11α1 + I12α2

I12α1 + I22α2

I33α3

+

0I11Ωω3

I12Ω2 + I22Ωω2

−

I12Ωω3

I33ω3ΩI11Ωω2

=

M1

M2

M3

(40)

Caso os mancais sejam ainda considerados como infinitamenterígidos as componentes das velocidade e aceleração angularesnas direções transversais ao eixo de rotação, direções 2 e 3,serão nulas e (40) torna-se:

I11α1

I12α1

0

+

00

I12Ω2

=

M1

M2

M3

(41)

No caso bastante comum de rotor em regime permanente, com rotação constante, o primeiro termo em (41) se anula, poisα1

também se torna zero. Neste caso há a necessidade de um momentoM3, proporcional ao desbalanceamento e ao quadrado davelocidade de rotação, na direção 3 fixa no sistema do rotor. Este momento será, como as forças de desbalanceamento no casoestático, girante no sistema fixo à carcaça e será conseguidopor intermédio de forças nos mancais, defasadas espacialmenteem suas posições angulares em relação ao eixo de rotação por180. No caso estático as forças estariam em fase. Quandoos mancais apresentam uma rigidez que não é elevada o suficiente para desprezarmos as componentes das velocidades eacelerações angulares transversais ao eixo de rotação as equaçõe (40) têm que ser consideradas, o que é feito de formanumérica através de simulações dinâmicas. De modo geral, noentanto, permanecerá a defasagem entre as forças nos mancais.

Desbalanceamento genérico.O caso genérico de desbalanceamento é um conjunto correspondente ao efeito estático edinâmico combinados. A combinação das forças nos mancais, geradas por cada um dos efeitos simultâneos, leva a forçasdefasadas porém de um ângulo que dependerá da razão das magnitudes dos desbalanceamentos estático e dinâmico.

Outros tipos de esforços.As forças mencionadas nos itens anteriores tinham duas características especiais: ou guardavamuma posição angular fixa e definida em relação ao eixo ou em relação à carcaça. Sendo fixas em relação ao eixo podem serchamadas de síncronas e, em relação aos mancais variam harmonicamente com o ângulo. No caso mais comum de velocidadede rotação constante, do eixo, essa variação é harmônica no tempo também. No caso das cargas fixas em relação à carcaçaesta mesma variação é agora sentida no que diz respeito ao eixo. O sincronismo das cargas fixas em relação ao eixo indicaque a freqüência de variação das mesmas na carcaça equivale àprópria velocidade de rotação do eixo, expressa em Hz.

De forma genérica podemos encontrar outros tipos de carregamento, que não guardem posição fixa em relação ao eixoou à carcaça. Estes esforços serão então forçosamente assíncronos, podendo ou não guardar alguma relação, múltipla ousubmúltipla, com a velocidade angular do eixo. Exemplos destas cargas podem ser flutuações aleatórias nas forças de cortede uma máquina ferramenta, flutuações de pressão na passagemde palhetas pela seção do bocal em um compressor rotativo outurbina, cargas de desbalanceamento em compressores alternativos ou motores de combustão interna, esforços nos dentes deferramentas de corte, etc. . . Não sendo portanto síncronas epodendo então assumir qualquer configuração junto aos mancais,não será feita aqui uma modelagem explícita desta grande variedade de cargas, bastando nos atermos aos modelos anteriorese utilizarmos valores para freqüências de excitação ou perturbação diferentes daquela oriunda da velocidade angular.


3.5 Simulações dinâmicas

Parâmetro Valor Parâmetro Valor

massa 1, 6 kg desbalanceamento 0, 00415 kgI11 0, 000286 kg/m2 raio do desbalanceamento 15 mmI22 0, 000394 kg/m2 diâmetro do eixo 10 mmI33 0, 000394 kg/m2 diâmetro do rotor 40 mm

I12, I13, I23 0 kg/m2 comprimento do eixo 250 mmmancal 1 100 mm do CM comprimento do rotor 150 mmmancal 2 100 mm do CM comprimento do rotor 150 mm

A solução das equações diferenciais as-sume grande importância para se obter in-formações quantitativas a respeito de parâ-metros de rotores. Como a solução numé-rica destas equações foge ao escopo destetexto, serão aqui apresentados resultadosdo programa de simulação Universal Me-chanism, adequado para a simulação dinâ-mica de sistemas multi-corpos em geral,permitindo também a simulação de dife-rentes tipos de forças externas, inclusive a simulação da operação de mancais magnéticos com sistemas de controle próprios.O objetivo é apenas o de mostrar qualitativamente, e em partequantitativamente, o comportamento previsto pelas equações(27) e (32). Estas estão na base deste sistema de simulação, cuja interface permite a exploração de diversos aspectos do movi-mento através de diferentes formatos de gráficos de diversasgrandezas associadas à dinâmica simulada. Para exemplificaçãoserá utilizado um rotor com as características resumidas natabela acima.

Figura 18: Rotor modelado no softwareUniversal Mechanism

A figura 18 ilustra o modelo simulado. Se-rão mostrados resultados com mancais rí-gidos com desbalanceamento dinâmico egenérico, bem como simulações para man-cais com alguma flexibilidade e rotor comdesbalanceamento genérico. Considera-seo rotor na horizontal e sem cargas na di-reção longitudinal. Nas simulações commancais rígidos o rotor gira a1800rpm. Asmassas de desbalanceamento estão simbo-lizadas, apenas para efeitos de visualiza-ção, pelas protuberâncias no rotor.

No caso do desbalanceamento dinâmicocada massa de aproximadamente0, 004kgestá posicionada a20mm do CM do rotor,uma à frente e outra atrás. As massas estão

angularmente defasadas de180 em relação ao eixo do rotor. O CM está situado, devido à simetria, na posição média doeixo/rotor.

Figura 19: Forças horizontais nos mancais (rígidos): desbal. dinâmico

O desbalanceamento genérico in-clui uma terceira massa igual às an-teriores, no plano do CM do rotor,porém defasada de120 em rela-ção à primeira das anteriores. A fi-gura 19, ao lado, ilustra o compor-tamento da componente horizontaldos esforços nos mancais 1 e 2, con-siderados rígidos. Pode ser obser-vado o comportamento de oposiçãode fase entre as forças nos man-cais. Para o caso geral de desbalan-ceamento observa-se na figura 20uma defasagem entre os esforços,diferente de180. Mantendo-se omesmo caso de desbalanceamento


geral e considerando os mancais como flexíveis com rigidez finita de10×106N/m e um pequeno amortecimento de75Ns/m ocomportamento das forças é bem distinto dos casos anteriores. Nesta simulação o rotor encontra-se inicialmente em repousoe é acelerado por um torque contante de2Nm, alcançando uma velocidade máxima de aproximadamente133000rpm.

Figura 20: Forças horizontais nos mancais (rígidos): desbal. geral

Figura 21: Forças horizontais no mancal 1 (flexível): desbal. geral

A figura 21 ilustra os esforçoshorizontais no primeiro man-cal e a 22 o deslocamento doeixo. Na figura 21 pode ser no-tada a grande diferença de mag-nitude dos esforços, em rela-ção aos casos com mancais to-talmente rígidos. As grandesamplitudes são explicadas pelaexcitação das ressonâncias doconjunto rotor e mancais du-rante o processo de aceleraçãodo rotor, mostrada na figura 22.Os deslocamentos do eixo sãorelativamente pequenos, da or-dem de1, 2mm, porém geramcargas elevadas nos mancais.Além disso a velocidade do ro-tor nas ressonâncias é conside-ravelmente alta, levando a car-gas também elevadas. A pri-

meira ressonância corresponde ao movimento em fase nos mancais, uma translação do rotor inteiro, ocorrendo a cerca de34700rpm. A segunda ressonância corresponde a uma rotação do rotor em um eixo perpendicular ao eixo de rotação, emcerca de73600rpm. O comportamento do rotor nestas condições implica no aparecimento das componentes de velocidadeangular perpendiculares ao eixo de rotação original e uma maior complexidade na aceleração do mesmo. É clara a implicaçãono tempo de duração do transiente das ressonâncias nas altascargas nos mancais.

O amortecimento nos mancais é fator importante nas amplitudes destas vibrações, o que gera uma preocupação no caso dosmancais magnéticos, onde o amortecimento é pequeno e geradopelo sistema de controle. Este comportamento global torna-se ainda mais complexo ao se levar em conta também a eventual flexibilidade do próprio rotor. A discussão destes tópicosencontra-se além dos objetivos deste texto mas é muito importante para os rotores de alta velocidade.


Figura 22: Desl. do eixo no mancal 1 (flexível): desbal. geral

3.6 Conclusões

A dinâmica da rotação mesmo de um corpo rígido, expressa pelas equações (34) e (35), apresenta uma diversidade de compor-tamentos que precisam ser levados em consideração para o dimensionamento de mancais em geral e magnéticos em particular.Como os mancais magnéticos ativos dependem de leis de controle é importante que os esforços nos mancais, em especial suadependência temporal e espacial, sejam conhecidas ou pelo menos estimadas para o correto projeto dos controladores.

Dada a complexidade dos sistema de equações diferenciais envolvidos, simulações computacionais são ferramentas importan-tes para o estudo da dinâmica dos rotores. Especialmente no caso da análise de transientes na aceleração e/ou desaceleração,eles constituem um método de grande utilidade. Com base nas equações aqui mostradas podem ainda ser discutidos proble-mas de estabilidade de rotação dos rotores rígidos porém nãoforam tratados neste texto.

Este capítulo lidou com a dinâmica de rotores rígidos emboratenha-se permitido uma certa rigidez finita nos mancais. Estaaproximação é válida para uma grande gama de rotores suportados por mancais magnéticos. Para trabalho em velocidadesmuito elevadas torna-se necessário considerar também a flexibilidade do próprio rotor. Entretanto o estudo dos rotoresflexíveis foge ao escopo aqui contemplado.

4 CONTROLADORES PARA MMS

Afonso Celso Del Nero Gomes

4.1 Levitação

6

h

!! não deixar cair !!

manter a altura constante

Figura 23: Levitação: idéia básica

Muito possivelmente, a palavra levitação evoca na maioria daspessoas imagens de mágicos com roupas escuras e capas de seda,belas assistentes de palco deitadas e que de repente começamaflutuar, e com lentidão desafiam a lei da gravidade e o entendi-mento da platéia. Neste minicurso a levitação será encaradadeum modo bem menos romântico, e a única coisa em comum comas imagens acima é que se deseja equilibrar o efeito da gravidadeem um dado corpo. A distânciah deste corpo em relação a umplano horizontal de referência deve se manter constante, comoilustrado na figura 23. A figura 24 a seguir ilustra uma possível


solução para esse problema . . . Bem pouco interessante esta solução, seu uso de tecnologia é bem pequeno. E além disto,embora a altura seja realmente constante, não se pode alterar o seu valor de modo simples, seria preciso uma custosa obraestrutural.

covardia . . .

!! não vale !!

Figura 24: Levitação: primeira solução

A figura 25a apresenta uma solução mais interessante, mas queainda deixa muito a desejar pois a mudança da posição deequilíbrio continua problemática, e o conjunto todo pode oscilar, o que vai contra o objetivo básico da levitação. É certoque as prováveis oscilações são um grande defeito da soluçãoanterior, mas também é certo que há métodos conhecidos eeficientes para lidar com elas, como se vê na figura 25b abaixo.

amelhorou . . .

mas pode oscilar ! b

bem melhor,

uma bela

solução mecânica

Figura 25: Levitação: segunda e terceira soluções

A levitação dos palcos é feita — aparentemente, claro — sem qualquer tipo de contacto ou suporte, o que parece realmentemágico e garante o sucesso duradouro dessas apresentações.Mas a Física também é capaz desse truque, nela também há açõesque se manifestam sem a necessidade de contacto, como as geradas por campos. Pronto, feito, se o corpo a ser suspenso formetálico, e magnetizável, que tal usar um ímã? A figura 26 mostra a idéia.

! novidade !

uma solução magnética

. . . mas instável . . .

Figura 26: Levitação: quarta solução

Se, de algum modo, o campo magnético for regulável, então a idéia está salva, pois sempre que a esfera começar a cair bastaaumentar a intensidade do campo para aumentar a força e interromper a queda; sempre que o empuxo magnético for fortedemais e tender a colar a esfera, basta aliviar o campo. Campos magnéticos reguláveis existem, e são até mesmo fáceisde conseguir: eletroímãs. A montagem da figura 27 ilustra a situação. Esta montagem, aliás, já havia aparecido antes, nafigura 8 da seção 2. Os sensores captam os movimentos do corpo e, de algum modo, o campo é regulado a partir destainformação, aumentando ou diminuindo a força de atração resultante. Mas isto é chamado de controle ativo, é algo estudadohá muito tempo e que se consegue fazer com muita eficiência, namaioria das vezes. Pode-se dizer que este esquema funcionamuito bem e fornece uma solução satisfatória para o problema. Trata-se de um posicionamento sem contacto, uma levitaçãomagnética. Esta levitação magnética é algo simples, presente como exemplo introdutório em um sem número de textos de


controle. Mas mesmo sendo um caso bem simples, esta levitação pode ajudar muito em situações mais complicadas, comopor exemplo os Mancais Magnéticos (MMs).

- eletroimã

?i 6

- sensores

Figura 27: Levitação: quinta solução

4.2 Levitação simples por DEMA

Na primeira parte deste minicurso, na seção 2.5.3, vários aspectos da geração de força e relutância foram explicados, como intuito de deixar claro o funcionamento de eletroímãs. A partir de agora se usará a idéia de Dispositivo Eletromagnéticode Atração, DEMA, para representar esquematicamente um eletroímã, algo com a capacidade de gerar uma força de atraçãoFm que depende da intensidadei da corrente fornecida e da distânciad do corpo a ele:Fm = Fm(i, d). Os DEMAs serãorepresentados graficamente não pela tradicional forma de ferradura, como em 8, mas como na figura 28. Em alguns casos,como já visto na equação 2 da seção 2.5.3, a expressão da forçamagnética é razoavelmente simples:Fm = Kmi2/d2. Apartir de agora, a hipótese de que esta fórmula é válida será sempre feita. Na figura 28 também se ilustra a aplicação simplesda lei de Newton para o corpo suspenso, sujeito apenas às forças verticais indicadas; comoH mede a distância do DEMA aoplano de referência a espessura do “gap” é dada pord = H − h.

-i(t)

6

?

Fm(t)

mg

6

H

h(t)

6

Fm = Fm(i, d) = Km

(

id

)2

Lei de Newton: Fm(t)−mg = mh(t)

mh(t)−Km

(

i(t)H−h(t)

)2

= −mg

Figura 28: Dispositivo Eletromagnético de atração: DEMA

A equação básica resultante da aplicação da Lei de Newton é, como anotado na figura acima:

Fm(t)−mg = mh(t)

Usando a simbologia tradicional dos diagramas de blocos pode-se representar esta expressão como na figura 29 a seguir.De um ponto de vista global pode-se identificar na situação ilustrada nessa figura uma relação de causa e efeito entrei e de, consequentemente, entrei e h. Relações de causa e efeito, entradas e saídas, ações e reações, é exatamente aqui, nesteterreno, que entram a teoria e a prática de Controle.

4.3 Problema da Levitação Simples

Deseja-se manter fixa a posição vertical da esfera. Este primeiro problema de controle pode ser ilustrado pela figura 29, eformulado rigorosamente: dada a posição de referênciahr, encontrar uma correntei(t) tal que


-i(t)

6

?

Fm(t)

mgh(t)

6

Fm = Fm(i, h) = Km

(

iH−h

)2

-i Fm(i, h) -−

?+

mg

- 1m

- ∫ - ∫ -h

6

Figura 29: Levitação por DEMA, diagrama de blocos e PLS

se h(0) = hr então h(t) = hr ∀tse h(0) 6= hr então limt→∞ h(t) = hr

Para um primeiro ataque ao PLS deve-se pensar em que correntecausa, quando injetada no DEMA, uma força magnética demódulo igual ao do peso do corpo. É direto verificar que

i = (H − hr)

√

mg

Km= ir ⇒ Fm(ir, hr) = F r

m = mg

Com a imposição desta corrente haverá equilíbrio! Isto responde à primeira exigência do PLS, mas para responder à segunda

exigência é preciso determinar se este equilíbrio é estávelou instável. Supondo quei = (H − hr)√

mgKm

= ir é mantida

constante e que a posiçãoh é perturbada porh = hr + y é fácil, apelando para a intuição, concluir que sey < 0 entãoFm < mg e o corpo cai, e sey > 0 entãoFm > mg e o corpo cola. A conclusão é óbvia, o equilíbrio obtido com correntede alimentação fixa é instável. Qualquer possibilidade de sucesso fica assim atrelada à necessidade de se variar a correnteinjetada. O PLS pode então ser formulado em termos mais precisos, como a seguir.

h(t) = hr + y(t)i(t) = ir + u(t)

u(·) = ? para que

y(0) = 0⇒ y(t) = 0 ∀ty(0) 6= 0⇒ limt→∞ y(t) = 0y(0) 6= 0⇒ limt→∞ y(t) = h∗

Note-se que uma exigência adicional foi feita, para permitir que o corpo seja eventualmente equilibrado em uma posiçãoh∗

não necessariamente igual ahr. Entrando com a expressão específica para a força magnética nas equações mecânicas quegovernam o movimento do corpo leva a

mh = Fm −mg

Fm = Km

(

iH−h

)2

⇒ my −Km

(

ir + u

H − hr − y

)2

= −mg

Esta equação relacionando a variável de entradau (a corrente adicionada air) à variável de saíday (desvio da posição dereferênciahr) é o modelo geral não linear para a levitação por DEMA abordada. Sua não linearidade dificulta muito a análisedo sistema e a síntese de controladores estabilizantes: é preciso linearizar.

4.3.1 Linearização do PLS

Comomg = Fm(ir, hr) = Kmi2r/d2r, ondedr = H − hr, a expressão básica do modelo pode ser reescrita.

my = −Km

(

irdr

)2

+Km

(

ir + u

dr − y

)2

= g(u, y)


É razoável supor que,∀t u(t) ≈ 0 ey(t) ≈ 0. Em outras palavras,y eu permanecem sempre nas proximidades do ponto deoperaçãoy0 = 0 eu0 = 0. Assim, pode-se aplicar Taylor à expressão acima em torno dopontoPO = (0, 0) para obter

my = g(0, 0) +∂g

∂u

∣

∣

∣

∣

PO

(u− u0) +∂g

∂y

∣

∣

∣

∣

PO

(y − y0) + · · ·

Desprezando os termos de ordens superiores, calculando os valores das derivadas parciais e batizando-as deki e kd e lem-brando finalmente queg(0, 0) = 0 vem

my = kiu+ kdy onde ki = 2Kmir/d2r e kd = 2Kmi2r/d

3r

que permite o traçado de diagramas de blocos lineares para o problema, vistos na figura 30.

-u ki -+ - 1m

- ∫ - ∫ -y

kd6

ou -u ki -+ - 1ms2

-y

kd6

ou

-u ki

ms2−kd

-y

Figura 30: Diagramas de blocos lineares

O modelo linearizado é de 2.a ordem, sem zeros e com pólos reais e simétricos com relação à origem:p1,2 = ±√

kd/m. Opólo positivo indica a instabilidade prevista intuitivamente. Para viabilizar a levitação, a principal tarefa é a de estabilizar aesfera. O estoque de ferramentas capazes disso, fornecidaspela teoria de Controle, é vasto e poderoso; algumas delas serãorevistas a seguir.

4.3.2 Controle em malha fechada do PLS

Busca-se um controlador de malha fechadaC, ou seja, um sistema que é alimentado pelo sinal de erro entrea referênciadesejadar (um nível constante, e quase sempre nulo) e a saída efetivamente mediday = h − hr. Sendohs a característicado sensor, o diagrama na figura 31 abaixo modela a situação.

-r +

−

-e C -u ki -+ - 1m

- ∫ - ∫ -y

kd6

?d

hs

6

Figura 31: Controle em malha fechada

O símbolod na figura 31 denota distúrbios, ou seja, ações normalmente incontroláveis e imprevisíveis que podem afetar aplanta e que devem ser rejeitados por um bom controlador. A primeira estratégia tentada será um Controlador proporcionalderivativo — PD — cuja ação depende do erro e de sua derivada:u = kpe+ Tde, como se vê na figura 32.

-e C -u ≡ e

-Td- d

dt

6

- kp

?+ -u

Figura 32: Controlador PD


A teoria clássica mostra vários métodos que permitem “sintonizar” um PD, ou seja, calcular valores dos parâmetroskp eTd

com capacidade de estabilizar o sistema global. Quando, além da estabilidade global, outras especificações são exigidas, nemsempre o compensador PD é satisfatório.

Efeitos do controlador PD no PLS.Como o modelo usado é linear e invariante no tempo, a determinação do desempenhoresultante da introdução de um compensador PD na malha de controle pode ser feita por métodos analíticos tradicionais,ou então por meio de simulações numéricas. Para sistemas comdinâmicas como as do PLS verificar-se-ia que há projetoscapazes de satisfazer o requisito de estabilidade, que degraus na referênciar são rastreados sem acuidade (as saídas resultantessão constantes como as entradas, mas com valores diferentes) e que degraus de distúrbios não são rejeitados:

• estabilidade (r = 0, d = 0, y(0) 6= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .OK !!

• rastreamento de degraus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ±

• rejeição de degraus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . ×

• mas . . . tem mais !!

Seria possível identificar nesta montagem com controlador PD um comportamento global muito semelhante ao de uma sus-pensão mecânica tradicional, tipo massa-mola-amortecedor, como se vê na figura 33. Uma análise detalhada permite mesmorelacionar as constantes de projetokp eTd aos parâmetros mecânicosK eB

K B

-ir + u

6y

(K,B) ←→ (kp, Td)

Figura 33: Correspondência com MMA

Para uma análise mais detalhada do controlador PD no PLS, é necessário levar em conta as funções de transferência dossistemas e subsistemas envolvidos. O diagrama a que se chegaria após uma cuidadosa montagem é visto na figura 34.

u(s) = kpe(s) + sTde(s)

e - kp+sTd-u

ki -+- 1ms2

-y

kd

6

?

d

-e kp+sTd-u-r +

6−

hs

Figura 34: Diagrama com funções de transferência

Uma análise simples levaria à função de transferência de comando, aquela que relaciona a entrada de comandor com a saídacontroladay; supondo que não há distúrbios (d = 0) o resultado é

y(s) = T c(s)r(s) T c(s) = · · · = Ks+ z

s2 + as+ b

onde os parâmetros indicados valem

K =kiTd

mz =

kpTd

a =hskiTd

mb =

hskikp − kdm


Isto explica e justifica as afirmações anteriores sobre estabilidade e sobre a correspondência com molas e amortecedores.Com efeito, a cada par de números reais(a, b) existe outro par de reais(kp, Td), e vice-versa. Isto significa que é semprepossível projetar um PD capaz de escolher aleatoriamente oscoeficientes do polinômio característico da malha fechada e, emconsequência, os seus pólos; a estabilidade, pelo menos, está garantida. Com esta liberdade na escolha de pólos é possívelinfluir na velocidade e no transitório da resposta do sistemaglobal. Deve-se notar que a seleção de pólos muito rápidos exigeo uso de ganhos muito elevados e provavelmente impraticáveis. A localização do zeroz independe dos parâmetros do PD.Um projeto onde um dos pólos seja igual a este zero é interessante pois transformaria a malha fechada em um sistema de 1.aordem; tal cancelamento é aceitável pois se realiza na metade “permitida” do plano complexo.

A estabilização é essencial no PLS; ela pode ser associada aorastreamento de referências nulas. Para estudar o rastreamentode degraus de referência não nulos seja novamented(s) = 0, e agorar(s) = r0/s. Comoy(s) = T c(s)r(s), é possívelcalcular o valor de regime da varíávely(t): yr = limt→∞ y(t) = lims→0 y(s) = lims→0 sT

c(s)r(s), donde

yr = lims→0

sT c(s)r0/s = r0T c(0) = · · · =r0kikp

hskikp − kd

A pergunta é:yr = r0? . . . em geral não . . . masy(t)→ cte.! Isto explica a pouca acuidade do rastreamento, já mencionada.Para estudar a influência dos distúrbios deve-se obter a função de transferência de distúrbios, aquela que relaciona a entradade distúrbiod com a saída controladay; supondo que não há referência (r = 0) o resultado éy(s) = H(s)d(s) parar(s) = 0onde a função de transferência de distúrbios é dada por

H(s) =1/m

s2 + as+ b

e os coeficientesa e b do polinômio característico são como antes. A influência dosdistúrbios constantes (d(s) = d0/s) nosvalores de regime — IDVR — pode ser avaliada pelo valor de regime da varíávely(t):

IDVR = limt→∞

y(t) = lims→0

sH(s)d(s) =d0

m(hskikp − kd)

E a pergunta agora é:IDVR = 0? . . . não! . . . distúrbios afetam !!! Para entender o que deve ser feito para rejeitar distúrbiosconstantes a função de transferênciaH(s) deve ser analisada com mais detalhes, o que revelaria

H(s) =1

ms2 − kd + hskiC(s)e IDVR = lim

s→0sH(s)d(s) =

d0

hskiC(0)− kd

donde se conclui queIDVR = 0 ⇐⇒ C(0) =∞. Isto significa queC(s) deve ter um pólo na origem, ou seja, deveapresentar ação integradora.

4.3.3 Controles com ação integradora, e outros

Seja novamente o diagrama de blocos para o PLS, na figura 35: Para haver rejeição de distúrbios constantes é necessáriohaver ação integradora na malha, e esta ação deve ser fornecida pelo controlador! A hipótese mais simples a ser tentada é ade um integrador puro:C(s) = 1/Tis. Uma análise trivial revelaria que o sistema global seria instável, pena.

ki -+- 1ms2

-y

kd6

?

d

-e C(s) -u-r +

6−

hs

d(s) = d0/s

r(s) = 0

y(s) = H(s)d(s)

Figura 35: Diagrama de blocos detalhado

Um controlador menos simplório envolveria uma ação proprocional conjunta à ação integradora, é o chamado controlador PI:C(s) = kp + 1/Tis. Uma análise, menos trivial agora, revelaria que também este caso leva à instabilidade . . . Uma solução


bastante completa mostra um controlador com três efeitos simultâneos: proporcional, integrador e derivativo, o famoso PID,visualizado na figura 36.

e -

- kp

?1Ti-

∫-

-Td- ddt

6

u- C(s) = kp +1

sTi+ sTd = Td

s2+αs+βs

Figura 36: Controlador PID: tripla ação

Este componente, com três parâmetros manejáveis pelo projetista, é poderoso o suficiente para estabilizar a montagem, ecomo ele tem ação integradora, os distúrbios constantes serão rejeitados, em regime. Talvez o PID afete um pouco a respostatransitória anterior, atrapalhando na rapidez e nas oscilações, mas degraus de referência continuarão a ser rastreados. Paraavaliar o efeito de distúrbios harmônicos no PLS a figura 35 é novamente convocada, mas agora os distúrbios são periódicos:

d(t) = d0 sen (ωt); d(s) =ω

(s2 + ω2); r(s) = 0

A função de transferência de distúrbios, em função de um controlador não especificadoC(S), é

H(s) =1

ms2 − kd + hskiC(s)

e o valor de regime da saíday é dado por

y(t) = · · · em regime= αu0 sen (ωt+ φ) α = α(ω) = |H(jω)|

efeito= 0⇐⇒ C(jω) =∞⇐⇒ s2 + ω2 no denominador

Esta é uma restrição imposta ao controlador, e ele deve aindamanter a estabilidade e os comportamentos de rastreamento dedegraus . . . não é muito fácil . . .

4.4 Variáveis de estado no PLS

Sistemas lineares e invariantes no tempo podem ser descritos no espaço de estados, além de por funções de transferência.Na figura 37 o diagrama básico do DEMA é apresentado novamente, e para ele é feita a escolha mais usual de variáveis deestado.

-ir + u

6y

-u ki -+- 1m

- ∫ - ∫ -y

kd

6

?

d

x2 x1 x1 = x2

x2 = 1m (kdx1 + kiu+ d)

Figura 37: Variáveis de estado para o DEMA

A notação matricial para equações escalares como as acima é sempre muito cômoda e conveniente:[

x1

x2

]

=

[

0 1kd

m 0

] [

x1

x2

]

+

[

0ki

m

]

u+

[

01m

]

d

Designando porx o vetor[x1 x2]T e porA,B,E as matrizes acima chega-se à expressão geral, uma equação diferencial de

primeira ordem, com variável vetorial e coeficientes matriciais: x = Ax+Bu+ Ed.


Uma lei de acionamento porrealimentação de estadosé a ferramenta de síntese mais poderosa e geral em Controle.

u = f1x1 + f2x2 + v = [f1 f2]x+ v = Fx+ v

A ação básica de controle no PLS é, como já visto, a estabilização. O problema de se encontrar umaF que estabiliza osistema de malha fechada resultante é bastante conhecido, tanto do ponto de vista teórico como do prático. O diagrama deblocos na figura 38 descreve a situação. O estudo clássico dasteorias de realimentação de estados mostra que essa ferramentaconsegue, para uma classe ampla e importante de casos, alterar a localização dos autovalores da matrizA, colocando-os emquaisquer posições desejadas pelos projetistas.

-v + -u ki -+- 1m

- ∫ - ∫ -y

kd

6

?d

x2 x1

F

6x = Ax+Bu+ Ed

u = f1x1 + f2x2 + v

Figura 38: Realimentação de estados

Com escolhas apropriadas deF , tarefas para as quais existem muitos métodos conhecidos, épossível escolher os autovaloresda malha fechada, e com isto estabilizar, além de também otimizar, minimizando índices de custo. É importante frizar esteponto: a realimentação permite, de modo simples, a estabilização ótima de sistemas. O formalismo singelo de uma lei decontrole por realimentação de estados traz camuflado em si algo talvez inesperado; para perceber isso considere a seguintesequência de operações:

• escolha um real qualquerγ > 0 e obtenhaβ = −f1/γ eα = −f2/γ

• encontrer tal queαr + βr = v

• calculeu = Fx = f1x1 + f2x2 + v

• u = −βγx1 − αγx2 + v = −βγy − αγy + αr + βr

• u = β(r − γy) + α(r − γy)

• r − γy = e =⇒ u = αe+ βe

• é o PD!

Uma realimentação de estados tem sobre um sistema o mesmo efeito de um compensador PD. Aos métodos clássicos de sesintonizar PDs podem ser adicionados todos os métodos mais modernos de estabilizar, de maneira otimizada ou não, por meiode realimentação de estados. Os projetistas agradecem por esta fartura de opções. A pergunta inevitável, neste ponto, é: comoconseguir outros efeitos poderosos com realimentação de estados? É possível reproduzir o comportamento de compensadorestipo PI e/ou PID?

-u ki -+- 1m

- ∫ - ∫ -y

kd

6

?d

hs- ?

r

+

−- ∫ -x1x2x3 x = Ax+Bu+ Ed+Gr

u = f1x1 + f2x2 + f3x3 + v

Figura 39: Adição de Dinâmica a um DEMA

A resposta pode ser obtida com oconceito deadição de dinâmica.Considere novamente o DEMA. A fi-gura 39 mostra seu diagrama de blo-cos, com entradau e saíday. A saídaé medida por um transdutorhs e o re-sultado é comparado com a referên-cia r; este sinal de erro é integrado,fornecendo umavariável de estado


adicional que se juntará às variáveis originais. Neste sistema expandido, agora com três variáveis de estado, se trabalhará. Atarefa de estabilizá-lo por meio de uma leiu = Fx é simples, mesmo com a dimensão aumentada.

A lei de controle por realimentação de estados certamente estabiliza, e até de maneira ótima, mas seria esta solução capaz derastrear referênciasr e rejeitar distúrbios (constantes)d? Para o sistema expandido considere as seguintes operações:

• encontreF = [f1 f2 f3] tal queA+BF seja estável, ótimo, . . .

• façaα = −f2/hs β = −f3/hs v = βr + αr

• u = f1x1 + f2x2 + f3x3 + v = f1x1 − αhsy − βhsy + βr + αr

• u = α(r − hsy) + β(r − hsy) + f1∫

(r − hsy)

• chamer − γy = e e verifique queu = αe+ βe+ f1∫

e

• isto é o PID!

Leis de controle por realimentação de estados, quando combinadas com adição de um simples integrador permitem estabilizar,rastrear, rejeitar degraus e ainda otimizar. Para dinâmicas adicionais mais elaboradas pode-se pensar em rastrear e rejeitarsinais mais ricos que degraus.

4.5 Levitação magnética, DEMAs e MMs

É sempre bom lembrar que o estudo detalhado da relativamentesimples levitação magnética é útil pois pode ajudar muitoem casos mais complicados, como os dos mancais magnéticos (MMs) e ainda os dos motores mancais magnéticos (MMMs).DEMAs geram apenas forças atrativas, mas mesmo assim podem posicionar corpos verticalmente, como no PLS, pois agravidade ajuda ao fornecer uma ação constante (o peso) que deve ser equilibrada pelo empuxo. Para controlar a posição deum corpo em uma linha de um plano horizontal dois DEMAs são necessários, conforme ilustração na figura 40.

ie id

fd-fe

Figura 40: Posicionamento horizontal por DEMAs

Para entender o funcionamento desta montagem é preciso aplicar os conceitos básicos de geração de forças de relutância,como visto nas partes iniciais deste minicurso. O diagrama mais detalhado da figura 41 será usado.

ie(t) id(t) he - hd -

-x(t)

Figura 41: DEMAs no posicionamento horizontal

As forças de relutância são modeladas por

fe(t) = −Km

(

ie(t)

he + x(t)

)2

e fd(t) = Km

(

id(t)

hd − x(t)

)2

cuja resultantefx = fe + fd apresenta um formato bem pouco amigável: é pesadamente não linear e depende das 2 variáveisde controleie e id. Uma solução engenhosa para contornar esse inconveniente éo chamadoAcionamento diferencial. Ascorrentesie e id são obtidas compondo uma corrente de base constante e uma corrente diferencial:

i(e(t) = iE + ix(t) e id(t) = iD − ix(t)


ondeiE e iD são as correntes de base, constantes, eix(t) é a corrente diferencial. As montagens básicas podem ser vistas nafigura 42.

he - hd -

-x(t)

ie(t)=iE+ix(t) id(t)=iD−ix(t)

Figura 42: Acionamento diferencial

Os valores das correntes de baseiE e iD podem ser determinados de modo a escolher o ponto de equilíbrio do corpo ou, emoutras palavras, escolher os valores dehe ehd. Esta determinação é possível mesmo em presença de forças externas extrasatuantes! Em geral a escolha éiE = iD = i0. A corrente diferencialix(t) é a variável de controle que será usada paraestabilizar:x(t)→ 0. A fórmula básica para as forças de relutância aplicada a esta situação leva a

fe(t) = −Km

(

iE + ix(t)

he + x(t)

)2

fd(t) = Km

(

iD − ix(t)

hd − x(t)

)2

cuja resultante é dada por

fx = fd + fe = Km

(

iD − ixhd − x

)2

−Km

(

iE + ixhe + x

)2

Esta expressão pode ser linearizada:fx(t) = kdx(t) + kiix(t), uma expressão onde há apenas uma variável de controle,ix. As constanteskd e ki dependem dos parâmetros físicos e são obtidas a partir de fórmulas análogas às vistas no caso dosDEMAs.

4.5.1 Posicionamento Planar por DEMAs

Montando dois pares de DEMAs com acionamentos diferenciais, como os vistos na seção anterior, em ângulo reto serápossível controlar a posição de um corpo em um plano, como se mostra na figura 43.

ie = iE + ix

id = iD − ix

ib = iB − iy

ic = iC + iy

Figura 43: Posicionamento planar por DEMAs

Entende-se que a permanência do corpo nesse plano é garantida de alguma outra maneira. Se o plano de movimento éhorizontal as correntes de baseiE , iD, iB e iC podem ser todas iguais. Se o plano de movimento é vertical então o pesodo corpo deve ser equilibrado e isto pode ser conseguido pelouso das correntes de base. Note-se também que neste casoé comum, mas não obrigatório, colocar um par de DEMAs na posição vertical; as correntes de base deste par seriam asresponsáveis únicas pelo peso do corpo.


É praxe chamar dex e y as duas direções perpendiculares definidas por um arranjo destes. É interessante verificar que asforças de relutância resultantes em cada uma destas direções — as forças posicionadorasfx e fy — são desacopladas, ouseja, cada uma delas depende apenas de parâmetros daquela direção:fx = fx(x, ix) e fy = fy(y, iy). Esta característica dedesacoplamento facilita sobremaneira a tarefa de se controlar a posição pois o controle pode ser feito em dois canais,x e y,independentes um do outro.

Até este ponto, pouco se discutiu sobre a natureza e o formatodos corpos posiciondos pelos dispositivos magnéticos: houveum entendimento mais ou menos tácito de que se tratava de esferas metálicas. A partir de agora as coisas mudam um poucoe se considera que a pequena circunferência vista no centro da figura 43 não representa mais uma esfera e sim a seçãocilíndrica de um rotor, um eixo que pode ou não estar girando ecuja dimensão longitudinal é perpendicular à folha de papel.A montagem de DEMAs representada na mesma figura recebe o nomedeMancal Magnético.

4.6 Mancais Magnéticos em rotor vertical

Dispositivos magnéticos substituem mancais em muitas e importantes aplicações práticas; nos mancais magnéticos con-vencionais as forças restauradoras são geradas por eletroímãs estrategicamente colocados, como já detalhado nas seçõesanteriores. Nos mancais motores um único elemento é usado para girar e posicionar radialmente o rotor. Nos últimos anos,a COPPE/UFRJ vem desenvolvendo um protótipo de rotor vertical magneticamente posicionado. A montagem é versátil epode aceitar diferentes configurações: ele já foi levitado magneticamente por um mancal supercondutor passivo e posicionadoradialmente por dois mancais motores. Em sua presente configuração este rotor é mantido verticalmente por um calço mecâ-nico, e é horizontalmente posicionado por um mancal magnético. A figura 44 mostra uma foto e um diagrama esquemáticodesse protótipo.

Rotor Sensores9

Mancalmagnético

Mancalmecânico

Figura 44: Protótipo do rotor: foto e diagrama

As características básicas dos pares de DEMAs acionados porcorrente diferencial podem ser obtidas nas seções anteriores;dois destes pares montados perpendicularmente formam, em última análise, um mancal magnético. Segue uma pequenarecordação de como são geradas as forças de relutância. Sendo il e ir as correntes injetadas nos DEMAs da direçãox, porexemplo, a solução usada consiste em utilizar uma corrente de base fixai0 e uma variávelix(t) tais queil(t) = i0 − ix(t) eir(t) = i0 + ix(t). Há agora uma única variável de controleix(t), a corrente diferencial, e a força resultante será

fx = Km

[

(

i0 + ixh− x

)2

−

(

i0 − ixh+ x

)2]

(42)

A constante magnética pode ser expressa porKm = µ0agn2/4 ondeµ0 é a permeabilidade elétrica no vácuo,n é o número

de espiras na bobina eag é a área do gap de ar. Percebe-se quefx depende deix e dex, e como estas variáveis são usualmentepequenas, o ponto de operaçãoix0

= x0 = 0 leva à linearizaçãofx(t) = kdx(t) + kiix(t), com constantes

kd =µ0agn

2i2bh3

e ki =µ0agn

2ibh2

(43)

Eletroímãs idênticos na direção vertical gerariamfy(t) = kdy(t)+kiiy(t). Note-se quefx efy são desacopladas, dependem


apenas dos deslocamentos e correntes nas direçõesx ey. Vários dispositivos podem desempenhar a função de mancal axial,desde um simples apoio ou calço a um sofisticado mancal supercondutor (SC).

Para a obtenção doModelo Matemático considera-se rotor rígido e sistemas padronizados de coordenadas, forças e deslo-camentos, mostrados na figura 45. Os sensores de posição nas direçõesx e y estão na cotad, e o mancal magnético nab.Um mancal mecânico foi colocado na cota inferiorc; ele também funciona como calço, para equilibrar o peso do rotor, e seráconsiderado uma articulação ideal, ou seja, o rotor permanece imobilizado nesse ponto.

rotor rígido

coordenadas padrão

articulação perfeita

6b

6d

?

c

CM

-x, α

6z

3y, β

Figura 45: Diagrama esquemático do rotor

Considerando rotor rígido e operando muito próximo da vertical, as leis gerais da Dinâmica, vistas na seção 3.3, podem seraproximadas por:

mx(t) = Fx(t) e my(t) = Fy(t) (44)

Iyβ(t)− ωrIzα(t) = Py(t) (45)

Ixα(t) + ωrIzβ(t) = Px(t) (46)

onde m é a massa do rotor,Ix, Iy eIz seus momentos de inércia eFx(t), Fy(t), Py(t) ePx(t) são as forças e torques externosno CM, nas direçõesy ex. Nota-se o efeito giroscópico causado pela rotação da peça com velocidade angularωr em tornodo eixoz. Este efeito gera interferência dos movimentos de uma direção na outra, que pode ou não ser significativa. Asimetria do rotor garanteIy = Ix = I. A origem do sistema inercial pode ser colocada na cotac, num ponto considerado umaarticulação perfeita; as distâncias, entretanto, são medidas com relação ao CM, dondeb > 0, d > 0 e c < 0. Pela hipótesede rigidez, a posição do CM é determinada apenas pelos ângulosβ eα. SendoJx eJy os momentos de inércia do rotor comrelação à articulação, o teorema dos eixos paralelos leva a:Jx = Jy = J = I +mc2. As equações rotacionais bastam paraestabelecer a dinâmica do sistema.

Jβ(t)− ωrIzα(t) = Py(t) (47)

Jα(t) + ωrIzβ(t) = Px(t) (48)

Para exprimir estas equações num formato vetorial mais cômodo e conciso é preciso definir os vetoresz = [ β − α ]T dasposições angulares ee = [ Py − Px ]T dos torques externos. Manipulando as equações anteriores vem

M z(t) +Gz(t) = e(t) (49)

onde as matrizes de inérciaM e giroscópicaG são

M =

[

J 00 J

]

; G = ωrIz

[

0 1−1 0

]

As forças restauradoras do MM, em sua versão linearizada, são dadas porfx(t) = kdxb(t) + kiix(t) e fy(t) = kdyb(t) +kiiy(t), como já mostrado. Note-se que os índicesb são adicionados aos deslocamentos para enfatizar que eles ocorrem nessa


cota, onde se encontra o mancal. Definindo o vetor de deslocamentos na cota do mancal,zB = [ xb yb ]T e o vetor deentradasu = [ ix iy ]T pode-se encontrar o vetor das forças do mancal:

fB =

[

fxfy

]

= kdzB + kiu

Estas forças geram os momentos em relação à articulação. Estes torques externos vêm apenas do MM, pois como o rotorpermanece sempre próximo da vertical, os efeitos da gravidade sobre a dinâmica podem ser desprezados.

Px = −fy(b− c) cosα e Py = fx(b− c) cosβ

Notar queb− c > 0, poisb > 0 e c < 0. Notar ainda que, como os ângulos são pequenos,cosα ≈ cosβ ≈ 1, donde

e =

[

Py

−Px

]

= (b− c)

[

fxfy

]

= (b− c)kdzB + (b− c)kiu

Mas senβ = xb/(b− c) e senα = −yb/(b− c), logo, notando novamente que os ângulos são pequenos, temos

zB =

[

xb

yb

]

= (b− c)

[

β−α

]

= (b− c)z

que permite reescrevere = (b− c)2kdz + (b− c)kiu e assim detalhar (49) em termos dez:

J z +Gz − (b− c)2kdz = (b− c)kiu

O vetor dos deslocamentos medidos pelos sensores ézS = [ xd yd ]T ; ângulos pequenos garantem quesenβ ≈ β =xd/(d− c) e senα ≈ α = yd/(d− c), levando a

zS =

[

xd

yd

]

= (d− c)

[

β−α

]

= (d− c)z

que permite a forma finalzS +GrzS −KzrzS = Kuru

ondeGr = J−1G, Kzr = kd(b− c)2J−1 eKur = ki(d− c)(b− c)J−1. Definindox = [ xd yd xd yd ]T = [ zTS

zTS]T é

possível escrever a equação de estadosx(t) = Ax(t) +Bu(t) (50)

ondeA eB são matrizes4× 4 e4× 2 dadas por

A =

[

0 IA21 A22

]

e B =

[

0B2

]

(51)

sendoA21 = Kzr, A22 = −Gr e B2 = Kur. A matrizGr depende deG que depende da velocidadeωr do rotor. Istosignifica que o modelo varia com os parâmetros e pode ser considerado fixo apenas em regime.

Ações externas imprevistas e indesejáveis, que podem ou nãoocorrer, recebem o nome geral dedistúrbios. Bons esquemasde controle devem cumprir as missões para as quais foram projetados mesmo na pfresença de distúrbios: eles devem “rejeitardistúrbios”. Para o problema de mancais magnéticos estabilizando um rotor vertical os distúrbios de interesse são forçasradiais que podem ser modeladas pelo vetord = [ dx dy ]

T . Seria fácil verificar que os torques causados por essas forçasextras entram no modelo linearizado como na expressão abaixo

x(t) = Ax(t) +Bu(t) +Bdd(t) (52)

No caso particular em que as forças de distúrbio agem na mesmacotab que as entradas de controle a matrizBd tem umaestrutura especial: ela é múltipla deB.


4.7 Estratégias de Controle

A finalidade básica dos mancais é manter a posição radial de rotores girantes, mesmo em presença de distúrbios. Mancaismagnéticos necessitam de um controle ativo para lograr tal feito, e a pergunta básica dos projetistas é: como encontrar umaentradau tal que o sistema de malha fechada seja estável, com uma dinâmica aceitável e assim permaneça mesmo quandod 6= 0. Nesta seção será feita uma resenha das principais filosofiasdos métodos de projeto existentes para o controle demancais magnéticos.

4.7.1 Desacoplamento

Um dos primeiros desafios do problema em estudo é o fato de ele ser multivariável: há duas variáveis independentes deentrada,ix = u1 e iy = u2, e duas variáveis independentes de saída são medidas por sensores:xd = x1 e yd = x2. Ocontrole de sistemas multivariáveis como este é sempre maistrabalhoso, e é uma das razões apontadas para o surgimento dastécnicas no espaço de estados, com suas poderosas ferramentas como a realimentação de estados.

Alguns sistemas multivariáveis, aqueles onde existe odesacoplamento,admitem um controle simples, baseado em técnicasclássicas de Controle. De modo geral diz-se que um sistema é desacoplado quando cada uma das suas variáveis de entradaafeta uma e apenas uma das suas variáveis de saída, e cada uma das suas varáveis de saída é afetada por uma e apenasuma varável de entrada. Para fixar as idéias, seja um sistema dinâmico descrito por uma equação como (52), onde não hádistúrbios: x(t) = Ax(t) + Bu(t). Considerando as variáveis de saíday1 = xd e y2 = yd o sistema será desacopladoquando a variável de entradau1(ix) afeta apenasy1(xd), e esta é afetada apenas poru1(ix), e a variável de entradau2(iy)afeta apenasy2(yd), e esta é afetada apenas poru2(iy).

Em sistemas desacoplados pode-se reconhecer vários canaismonovariáveis independentes, para cada um dos quais se poderiaaplicar a teoria clássica de controle, com métodos de aplicação simples e de eficiência já tradicionalmente comprovadada,como por exemplo o do Lugar das Raízes, o de resposta em frequência, e as várias sintonias possíveis para compensadoresPDs, PID, etc. . . Este é um fato: se um sistema multivariável édesacoplado o seu controle é mais simples e direto.

Uma análise dos detalhes que levaram à equação (52) mostra que a matriz giroscópica introduz acoplamentos na dinâmicado sistema em estudo, e que estes acoplamentos aumentam com avelocidade de rotaçãoωr. Mesmo assim, sistemas commancais magnéticos radiais podem ser considerados razoavelmente desacoplados e é bastante comum encontrar controlesindependentes, baseados em PDs e PIDs, para cada canal. No caso de mancais motores o acoplamento é mais intenso e o usode controles independentes é mais problemático.

4.7.2 Controles centralizados

Para o caso geral, onde não se faz qualquer hipótese de desacoplamento, seja novamente a equação (52) do modelo dinâmicolinearizado, aqui repetida.

x(t) = Ax(t) +Bu(t) +Bdd(t)

A ferramenta mais geral e poderosa de controle é a realimentação de estados: a entrada é uma combinação linear das variáveisde estado. Para o caso em estudo há duas varáveis de entradae quatro de estado, levando a

u1 = ix = f11xd + f12yd + f13xd + f14yd e u2 = iy = f21xd + f22yd + f23xd + f24yd

Quando os coeficientesfij são agrupados em uma matriz pode-se escrever

u = Fx onde F =

[

f11 f12 f13 f14f21 f22 f23 f24

]

(53)

Após a aplicação desta lei de controle o sistema de malha fechada passa a ser regido pela equação

x(t) = (A+BF )x(t) +Bdd(t)


Um dos resultados mais importantes da teoria de sistemas lineares diz que, sob condições pouco restritivas (o par <A,B>deve ser controlável) os autovalores deA+BF podem ser escolhidos com liberdade quase total no plano complexo. O únicorequisito é que se um complexo for escolhido como autovalor da malha fechada, o seu conjugado também deve ser escolhido.Em termos de controle isto é muito interessante pois permiteao projetista associar a um comportamento dinâmico desejadoum conjunto de autovalores, e posteriormente, encontrar uma matriz de ganhosF que coloca exatamente esses autovalorescomo o espectro deA+BF . Este caminho é usado, sempre, para estabilizar o sistema. Muitas vezes, quando não há distúr-bios, por exemplo, a estabilização e um comportamento transitório adequado já resolvem o problema de posicionamento derotores por mancais magnéticos. E a alocação dos autovalores da malha fechada por realimentação de estados é a ferramentaideal para estas tarefas.

Há vários algoritmos disponíveis para a obtenção deF capaz de escolher a dinâmica desejada para a malha fechada. QuandoF é usada para estabilizar e garantir um transitório adequado, o projetista deve saber, a priori, como a localização dosautovalores no plano complexo se relaciona com o comportamento dinâmico que se deseja impor ao sistema, e isto nemsempre é algo trivial. Existe um outro caminho que evita estas considerações, o chamado Regulador Linear Quadrático.Definidos índices quadráticos que quantificam o desempenho transitório e o custo do controle, este métodos permitem ocálculo de uma lei do tipou = Fx que minimiza estes indicadores. Em outras palavras, há métodos disponíveis quepermitem uma estabilização ótima, onde se garante transitório e custo de controle cirurgicamente selecionados.

Em resumo, há várias possibilidades de controle por realimentação de estados que podem ser usadas no posicionamento derotores por mancais magnéticos.

4.7.3 Controles descentralizados

Em leis de controle por realimentação de estados como em (53), quando um ganhofij se anula há uma simplificação sensívelna implementação, pois um dos amplificadores (oito, no caso)não precisa ser utilizado. Assim se conclui que um númeroelevado de elementos nulos na matrizF é algo desejável. Nada garante, infelizmente, que os métodos tradicionais de projetolevem a matrizesF com elementos nulos; o que se pode dizer, quando o sistema apresenta algum grau de desacoplamento, éque o módulo de alguns elementos é bastante menor do que o de outros. Nos métodos de busca de realimentações de estadosótimas é possível incluir restrições do tipo: alguns elementos da solução ótimaF ∗ devem ser nulos. Seja, por exemplo

u = F ∗x =

[

f11 f12 f13 f14f21 f22 f23 f24

]

x

a solução ótima de um problema sem restrições; a idéia é resolver o mesmo problema de otimização forçando algunsfij = 0.Este problema é chamado de Regulador Linear Quadrático Descentralizado. Uma pergunta é: quaisfij devem ser anulados?Uma prática muito utilizada é

u = F ∗dx =

[

f11 0 f13 00 f22 0 f24

]

x

o que resulta emu1 = ix = f11xd+f13xd eu2 = iy = f22yd+f24yd, mostrando que esta solução simula PDs independentes,e ótimos, nos canaisx ey. Esta idéia pode, e deve, ser aplicada mesmo a sistema originalmente acoplados.

4.7.4 Controles para rejeitar degraus

Pela primeira vez os distúrbiosd na equação geral abaixo não serão desprezados: deseja-se uma entradau que estabilize osistema de malha fechada e faça com que os efeitos em regime dedistúrbios constantes sejam nulos.

x(t) = Ax(t) +Bu(t) +Bdd(t)

ix -

iy -x

-x1∫

-x2∫

- p1

- p2

Figura 46: Adição de integradores

A solução consiste em adicionar dinâmica ao sistema. Como ossinais de distúrbiosão degraus, a dinâmica extra são pólos na origem, ou seja, integradores. A figura 46ilustra a situação; as componentesx1 = xd ex2 = yd, que devem se manter isentas,em regime, dos distúrbios constantes, serão integradas dando origem a duas novasvariáveis de estado. Com as novas variáveisp1 ep2 adicionadas, o sistema expandidopassa a terxe = [xd xd yd yd p1 p2 ] como vetor de estado; estabilizar este sistema


corresponde a projetar um mancal magnético capaz de posicionar o rotor mesmo em presença de distúrbios constantes. A leide controle básica é uma realimentação de estados dada por

u =

[

f11 f12 f13 f14 f15 f16f21 f22 f23 f24 f25 f26

]

xe = F exe

A estabilização é mais trabalhosa, afinal houve um aumento nadimensão do sistema. E se o método de projeto for centra-lizado, ótimo ou não, haverá a necessidade de 12 amplificadores na implementação prática da lei. A idéia de descentralizarsurge naturalmente, e uma proposta interessante para a estrutura desejada é

u =

[

f11 0 f13 0 f15 00 f22 0 f24 0 f26

]

xe = F edx

e

que corresponde, como é fácil notar au1 = ix = f11xd + f13xd + f15∫

xd e u2 = iy = f22yd + f24yd + f26∫

yd ouseja: dois PIDs independentes. Como já feito antes, é bom notar que este controle descentralizado (e também ótimo) podeser imposto mesmo a sistemas não desacoplados originalmente.

4.7.5 Controles para rejeitar outros sinais

Distúrbios constantes podem surgir de modo natural, como por exemplo quando o rotor não se encontra na posição verticale uma componente do seu peso será aplicada radialmente. Ao invés de de se estabelecer um novo modelo para esta situaçãopode-se considerar o mesmo modelo destas notas acrescido deum distúrbio radial constante.

Além de distúrbios constantes, um outro tipo merece atenção, os harmônicos. Para entender o porque, deve-se recordarum tópico importante da dinâmica de rotores, o efeito de desbalanceamentos, mostrado com detalhes na seção 3. Qual-quer desbalanceamento, e é muito comum a existência deles, écapaz de gerar forças radiais desestabilizantes, cuja intensi-dade cresce com a velocidade angularωr. Estes distúrbios radiais giram com o rotor e podem ser modelados por um vetord = [ d0 cosωrt d0 senωrt ]T , o que explica a importância de se estudar controles que rejeitem, em regime, distúrbiosharmônicos ou senoidais. O caminho é, como no caso anterior,um aumento na dimensão do sistema pela adição de novasvariáveis de estado. Estas novas variáveis devem introduzir uma dinâmica não mais de integradores, mas associada às di-nâmicas de senos e cossenos, ou seja, autovalores imaginários do tipo±jωr. Como há dois canais,y1 = xd e y2 = yd, oaumento na ordem do sistema deve ser de 4. Depois deve vir a estabilização . . . Este problema é bem mais complicado, emais dele não se verá nestas notas.

4.8 Conclusões

Após uma linearização simples, o controle do PLS é feito usando ferramentas clásicas do arsenal de Controle. O resultadoé tão direto e elegante que o PLS costuma ser empregado em vários livros como exemplo didático básico da aplicação detécnicas de Controle a problemas reais. O problema dos mancais magnéticos é bem mais complicado, mas muitas vezespode ser encarado como a simples justaposição de dois problemas de levitação, um para cada eixo, tratados de modo inde-pendente. O fato de que o acoplamento entre os eixos é normalmente pequeno, faz com que essa aplicação desacoplada dastécnicas clássicas simples — PD e/ou PID, funções de transferência, lugar das raízes, resposta em freqüência — seja bemsucedida. Mesmo assim, o uso de técnicas de variáveis de estado encontra também aplicação: elas podem automatizar algunsprocedimentos, como por exemplo a busca de compensadores ótimos.

Quando o objetivo é a rejeição de distúrbios constantes, as técnicas clássicas usam compensadores PID, o que também podeser feito com as variáveis de estado, e os resultados finais são bastante satisfatórios. Quando se deve rejeitar sinais maiscomplicados, como por exemplo os harmônicos, cuja influência foi mostrada na parte anterior, ainda há muitos problemas emaberto. O controle dos mancais motores magnéticos, MMMs, é bem mais sofisticado que o dos MMs. A linearização é maisproblemática e os modelos usados dependem fortemente das condições de operação (velocidade angular do rotor).

As técnicas mostradas na seções anteriores podem ser encontradas em todo e qualquer texto básico de Controle, ou então emlivros sobre MMs, como por exmplo (Schweitzer et al., 1994),(Chiba and et al, 2005) ou (Schweitzer and Maslen, 2009).


5 ELETRÔNICA DE POTÊNCIA APLICADA A MMS

J. A. Santisteban

5.1 Introdução

Nesta seção serão apresentados alguns dos circuitos mais utilizados para a alimentação das bobinas dos mancais magnéticos.O conjunto constituído pelo estator de duas bobinas opostas, o rotor e entreferro, é linearizado, levando a uma força resultantedo tipo fx = kdx + kii, e a um modelo que admite como entrada uma corrente, como já ilustrado na figura 9. Assim,uma fonte de corrente deve ser implementada. A referência decorrente será fornecida pelo controlador de posição e deveser teoricamente capaz de vencer a dinâmica inerente à presença das indutâncias e resistências das bobinas dos mancaismagnéticos. Em uma segunda estratégia, o modelo linearizado considera como entrada uma tensão fornecida pelo controladorde posição. Neste caso, a ordem do modelo matemático aumenta, devido ao fato de que se passa a considerar o modelo elétricode cada uma das bobinas do mancal magnético, deduzido a partir da equação diferencial abaixo

e(t) = Ri(t) + Ldi

dt+ kv

dx

dt(54)

ondeR,L, e(·) e i(·) são a resistência, indutância, tensão e corrente de uma bobina,x é o deslocamento do rotor em relaçãoà bobina ekv é uma constante de proporcionalidade associada à tensão induzida na bobina quando o rotor se movimenta.Trabalhando com duas bobinas opostas, no modo diferencial,uma nova equação diferencial pode deduzida

di

dt= −2

kvL

dx

dt−

R

Li+

1

Lu (55)

onde agorau(·) e i(·) representam a diferença das tensões e das correntes nas duasbobinas opostas ex é o deslocamento dorotor em torno do ponto de equilíbrio.

5.2 Circuitos lineares

Circuitos lineares baseiam-se em transistores operando naregião linear. Como exemplo, na figura 47 ao lado se ilustraum transistor bipolar (Bipolar junction Transistor, BJT) polarizado de tal modo que o seu ponto de operação estabelece umatensão coletor emissorVce = 20V, que não corresponde ao estado de corte (Vce = 40V) nem ao de saturação (Vce = 0, 2V).

Figura 47: Transistor bipolar operando na região linear

Nesta região de operação se cumpre arelaçãoic = β ib, ondeic é a correntede coletor eib é a corrente de base. Ovalor do parâmetroβ define uma famí-lia de transistores. Desta forma, no cir-cuito exemplo, a corrente de coletor éic = 40mA, a de baseib = 238µA eo valor deβ é 168. Ainda nesta figura47 a fonte senoidal V2 provoca umamudança na corrente de basei(R1) eo seu efeito pode ser observado na cor-rente de coletori(R2)).

No exemplo anterior, o comporta-mento linear está garantido porque acarga conectada ao coletor é um resis-tor (R2) e a freqüência do sinal de ex-citação da corrente de base é de1KHz,abaixo da freqüência máxima de ope-ração (largura de banda) do transistorescolhido. Isto significa que, em relação ao resistor R2, o circuito pode ser utilizado para implementar tanto uma fonte con-trolada de tensão como uma de corrente. Contudo, no caso de ummancal magnético, a carga terá uma componente indutiva,


de onde se pode esperar uma diferença no comportamento, comoobservado na figura 48a. Neste caso, a carga inclui umindutor de250mH e, apesar de se manter a mesma excitação na base do transistor, tanto a corrente de coletor como a tensãona nova carga são deformadas. No valor médio destas grandezas, observa-se o atraso entre as suas componentes harmônicas,aumentando ainda mais quando o valor do indutor aumenta para750mH, como se observa na figura 48b.

Figura 48: Transistor bipolar operando na região linear comcarga indutiva

a b

Figura 49: Circuitos push-pull básico (a) e modificado (b)

Pode-se concluir que ao utilizar o cir-cuito básico com imposição de corren-tes deveria ser levado em conta o atrasodevido à constante de tempo definidapelos valores de indutância e resistên-cia da bobina. Ou seja, o modelo docircuito teria que incluir um pólo. Con-tudo, ao se fechar a malha de controleda fonte de alimentação, aumentar a ra-pidez com que a saída acompanha a re-ferência pode consistir no aumento dovalor da fonte de alimentação do ladodo coletor. Uma característica do cir-cuito analisado é a de permitir a condu-ção de corrente num único sentido, do


coletor para o emissor. Algumas aplicações, entretanto, requerem correntes bidirecionais. Para estes casos, a estruturadenominada de push-pull mostra-se apropriada. Nessa configuração, ilustrada na figura 49a, aparecem dois transistorescom-plementares, sendo que o transistor Q2, PNP, permite a condução de corrente na carga RL1 no sentido oposto ao que épermitido pelo transistor Q1, NPN. Note-se também que duas fontes de alimentação são necessárias: uma positiva VPOS euma negativa VNEG. A fonte VS1 representa o sinal de controle. Na figura 49b se observa uma versão modificada do circuitoda figura 49a, para uma aplicação como fonte de tensão. Neste caso, com a presença dos diodos D1 e D2 e os resistores RB1e RB2 é possível reduzir a deformação na tensão de saída. Istose compreende ao conferir na figura 49a que é necessáriosuperar a queda de tensão base-emissor de aproximadamente0, 7V.

5.3 Circuitos chaveados

Uma das principais desvantagens dos circuitos de alimentação lineares é a perda de potência nas chaves semicondutoras.Por esta razão os circuitos chaveados são preferidos na maioria das implementações práticas dos mancais magnéticos.

Figura 50: Circuito chaveado: ilustração e tensão e corrente na carga R3

Como o nome sugere, aschaves semicondutoras ope-ram como se fossem inter-ruptores abertos ou fecha-dos, o que pode ser apro-ximado, na prática, levandoos semicondutores às condi-ções de corte (chave aberta)e saturação (chave fechada).A título de exemplo, na fi-gura 50(a) se ilustra a simu-lação (Pspice for Windows)de um transistor Q1 exci-tado pela fonte pulsante V2e na figura 50(b) são mos-tradas as respostas de ten-são e corrente no resistorR3. Quando V2 é iguala 5V, o transistor é levadoà condição de saturação ecom isto a tensão coletor-emissor cai para aproxida-mente0, 2V, aproximando uma condição de interruptor fechado. Ao contrário, quando V2 é igual a0V, a corrente de base énula, e como conseqüência também a corrente de coletor. Neste caso a tensão coletor-emissor se iguala ao valor da fonte V1,configurando uma condição equivalente a uma chave aberta.

5.3.1 Fonte de tensão com circuito chaveado

A operação de uma fonte de tensão chaveada pode ser entendidocom auxilio da figura 51. A tensão na carga oscila, deforma periódica, entre a tensão de entradaE, com a chave na posição A, e a tensão nula, com a chave na posição B.

Figura 51: Princípio de operação de uma fonte de tensão chaveada

A tensão de saídaV0, têm uma componente mé-dia e uma série de harmônicos. Pode-se verifi-car rapidamente que o valor médio desta tensão éproporcional à razão que existe entre o tempo emque a chave permanece na posição A (D) divididopelo período de chaveamentoT , como registradona equação (56).

V0 =D

TE (56)


Figura 52: Sistema de controle de posição com fonte de tensãochaveada

A estratégia de impor uma ten-são de valor médioV0 mudandoa larguraD e mantendoT fixose chama modulação por lar-gura de pulso ou PWM (Pulsewidth modulation). Também,pela forma de onda da tensãode saída, esta estrutura é iden-tificada como um tipo de con-versor cc-cc redutor (chopper).Na figura 52 se ilustra o em-prego desta estratégia nos man-cais magnéticos: o controladorde posição fornece um sinal dereferência proporcional à tensão desejada na bobina correspondente. Numa implementação analógica este sinal pode seruti-lizado junto a um circuito comercial que gere o padrão de disparo PWM; no caso de uma implementação digital, este poderáser gerado através das facilidades dos circuitos com microcoprocesadores. Nos mancais magnéticos, a estratégia PWM éutilizada com freqüências de chaveamento acima de10KHz. Como a carga é indutiva, para cada componente harmônicadatensão corresponde uma componente de corrente de amplitudedesprezível.

Como exemplo, na figura 53 mostra-se uma implementação da estrutura da figura 51. Neste caso a posição A é implementadasaturando o transistor Q1, de tal modo que a corrente da carga, indutiva, circula desde o coletor para o emissor. A posiçãoBé implementada levando ao corte o transistor. Neste caso, a corrente que circula pela carga é assumida pelo diodo D1, cujaqueda de tensão é pequena (0, 7V) quando comparada com a tensão de alimentação V1 (24V).

Figura 53: Circuito que implementa uma fonte de tensão chaveada

Na figura 54 se mostra o comportamento do circuito da figura 53 para três freqüências de chaveamento: (a)10Hz, (b)100Hze (c)1000Hz. A largura de pulsoD é50% do períodoT e com isso a tensão média é de12V. Visto que a componente resistivavale60ohm, observa-se que a corrente na carga tem um valor médio de0, 4A mas na freqüência de10Hz as componentesharmônicas são consideráveis. Em100Hz essas componentes tem um valor reduzido e para1000Hz elas são quase imper-ceptíveis. Uma ampliação da figura 54(c) mostra que a variação da corrente (ondulação) em torno do valor médio chega a serda ordem de12mA, como mostrado na figura 54(d), o que representa3% em relação a400mA. Esta última figura sugere quebaseado neste mesmo circuito poderia ser implementada uma fonte de corrente. Isto é o assunto do próximo ítem.


Figura 54: Fonte de tensão chaveada para diversas freqüências:D/T = 0, 5

5.3.2 Fonte de corrente com circuito chaveado

O conceito ideal de fonte de corrente se refere a um dispositivo que fornece uma intensidade de corrente independente do tipode carga. No caso dos mancais magnéticos, esta carga é indutiva e a corrente fornecida segue uma referência imposta pelo

Figura 55: Sistema de controle de posição com fonte de corrente chaveada

controlador de posição. Ao utilizarum circuito chaveado, a estratégiaconsiste em monitorar a correnteque circula pela carga e compará-la com a referência solicitada, comoilustrado no laço interno da figura55 ao lado. O erro resultante co-manda o disparo da(s) chave(s) se-micondutor(as) do circuito. Nessafigura, note-se o fato de que aose utilizar um circuito chaveado,a saída do controlador de correnteserá um sinal com estados discretos(booleanos). Por exemplo, conside-rando o circuito da figura 53, estepoderá ser0 ou 5V, que são os ní-


veis lógicos da família TTL(transistor transistor logic).Uma alternativa de implementação prática poderia consistir emassociar ao sinal do erro de corrente um dos níveis lógicos. Entretanto, esta estratégia implicaria uma freqüência de chavea-mento que tenderia ao infinito, o que seria impraticável devido à limitação física das chaves semicondutoras. Por este motivo,numa implementação real, com componentes avulsos, um circuito auxiliar é incluído para limitar esta freqüência. O modomais simples consiste em utilizar um flip-flop, cujo relógio define a freqüência máxima de chaveamento, como ilustrado nafigura 56. Uma alternativa diferente de controlar a correnteconsiste na utilização de um comparador de histerese ao invésde um comparador absoluto. Neste caso a faixa de histerese (limites superior é inferior do erro de corrente) reduz de formaautomática a freqüência de chaveamento.

Figura 56: Limitação da freqüência de disparo em fonte chaveada

5.3.3 Circuitos chaveados com condução unidirecional e bid irecional

Observando a figura 53 verifica-se que o sentido da corrente nacarga é único devido a que o transistor somente conduz docoletor para o emissor. Chamando deV , L e R aos componentes V1, L1 e R3, respectivamente, pode se demonstrar quequando o transistor entra em condução, por exemplo no tempot1, a corrente que passa pela carga segue a equação (57):

i(t) =V

R(1− e−tR/L) + i(t1)e

−tR/L (57)

ondei(t1) é a corrente circulando no instante imediato antes do transistor entrar em condução. Derivando em relação aotempo, a taxa de variação da corrente fica dada por:

V

L−

Ri(t1)

L(58)

Desta forma, é possível controlar esta taxa pela escolha apropriada da tensão de alimentaçãoV . Por outro lado, quando otransistor muda para o estado de corte (chave aberta), no instantet2, a corrente circula pelo diodo e decai exponencialmentecom uma velocidade determinada unicamente pela constante de tempo da bobina. A corrente e sua taxa de variação são:

i(t) = i(t2)e−tR/L e −

i(t2)R

L(59)

Figura 57: Circuito com condução unidirecional

O circuito na figura 57 também fornece corrente à carga RL num únicosentido mas, diferente do acima, possui dois transistores (IGBTs) coman-dados para se comportar como chaves, em série com a carga, quese abremou fecham simultaneamente. Quando eles entram em condução as equa-ções (57) e (58) também se aplicam e quando os transistores entram emcorte, no instantet2, os diodos D1 e D2 conduzem e se cumpre que acorrente e sua taxa de variação são

i(t) = −V

R(1− e−tR/L)+ i(t2)e

−tR/L e −V

L−

i(t2)R

L(60)

Ao comparar com a equação (59) nota-se um aumento na velocidade comque a corrente decresce e, se a tensão de alimentaçãoV fosse escolhida apropriadamente, os módulos das taxas de variação


podem ser muito próximos. É interessante notar que ao circular corrente negativa pela fonte de tensão então este circuitopode ser considerado vantajoso, se comparado com o circuitoda figura 53 pois é capaz de devolver energia, atributo desejávelquando se trata de mancais magnéticos.

Na figura 58 se mostram dois circuitos que permitem a conduçãode corrente bidirecional. Na figura 58(a) são utilizadasuma única fonte de tensão e quatro chaves semicondutoras. Trata-se da estrutura em ponte completa, H, de um inversormonofásico. Nesse caso, quando as chaves IGBT1 e IGBT2 estãofechadas, as chaves IGBT3 e IGBT4 permanecem abertase vice-versa. A tensão na carga alterna entre os valores−V e+V . Já na figura 58(b) somente duas chaves são necessáriasmas em compensação duas fontes são utilizadas. Quando algumdestes circuitos é utilizado para implementar uma fonte decorrente então recebe o nome de inversor de tensão controlado por corrente (CC-VSI).

Figura 58: Condução bidirecional: uma fonte-quatro chaves; duas fontes-duas chaves

5.4 Interfaces de disparo (drivers)

Nas figuras 52 e 55 se observam blocos denominados de interface de disparo. A função destes circuitos consiste em ade-quar os sinais elétricos vindos da etapa de controle para níveis de tensão ou corrente que comandem apropriadamente aschaves semicondutoras. A utilidade destes circuitos se aprecia ainda mais quando se lida com circuitos de potência que seencontram nas configurações em semiponte ou em ponte completa. Nesses casos os potenciais de referência de comando,das chaves semicondutoras, são diferentes. Usando transistores, por exemplo, se verifica que todos os emissores não estãoconectados ao mesmo potencial. Para efetuar o comando das chaves nessas condições, as interfaces utilizam circuitos queisolam eletricamente os circuitos de controle dos de potência, por exemplo optoacopladores ou transformadores.

A título de exemplo, na figura 59 mostra-se o diagrama esquemático do circuito SKHI20OP da Semikron. Este módulo


comanda duas chaves do tipo IGBT (isolated gate bipolar transistor). Como ilustrado, o isolamento entre as tensões decontrole das chaves e o circuito de potência é feito via optoacopladores, notando-se que existe um bloco de detecção de erro(error memory) que monitora as tensões coletor-emissor daschaves, também de forma ótica. Este bloco se ativa quandoas tensões monitoradas não são coerentes com as tensões de controle das chaves. Adicionalmente, este módulo possui umacaracterística funcional que permite programar um tempo morto entre os sinais de comando das chaves, evitando que ambasconduzam simultaneamente, produzindo um curto-circuito.

Figura 59: Interface de disparo (driver) – Cortesia da Semikron

5.5 Conclusões

Nesta seção foram mostradas as noções dos circuitos de potência utilizados para alimentar as bobinas dos mancais magnéticos.As suas estruturas dependem da estratégia de controle, sejacom imposição de corrente ou com imposição de tensão. Em geral,se prefere utilizar circuitos chaveados ao invés de circuitos lineares devido a que as perdas nas chaves, neste último caso, sóse concentram na comutação. Diversos fabricantes ofereceminterfaces de disparo as quais facilitam o comando das chavessemicondutoras. Os programas de simulação se mostram ferramentas valiosas no projeto dos circuitos de potência.

6 ASPECTOS DE REALIZAÇÃO E CONSIDERAÇÕES FINAIS

Andrés Ortiz Salazar

6.1 Introdução

Na suspensão magnética ativa, sensores de deslocamento sãonecessários para detectar a posição radial (e às vezes axial) doobjeto suspenso. Reduzir o custo do sensor é importante no desenvolvimento, uma vez que estes podem representar umaparte significatica dos gastos. Alguns problemas práticos esoluções relativas ao desenvolvimento de sensores são descritosnesta seção. Além dos sensores de deslocamento, outro parâmetro importante é a medição das correntes que dão origemaos campos magnéticos que geram as forças de posição e torque. Neste aspecto, os sensores que se valem do efeito Hallsão os mais empregados. Uma das tecnologias mais promissoras no desenvolvimento dos mancais magnéticos é a eletrônicaembarcada e, dentro disto, o aparecimento dos DSPs (DigitalSignal Processor), que também serão abordados aqui, mostrandoos principais fabricantes e características dos mais utilizados.


6.2 Princípios dos sensores de deslocamento

Há três princípios básicos para os sensores de deslocamento: laser, capacitivo e eletromagnético. Em sensores capacitivos,o comprimento do entreferro é detectado usando uma variaçãoda capacitância, logo um bom isolamento entre o sensor e ocabo é necessário. Além disso, o ar deve ser limpo de óleo e outras partículas, porque isso irá afetar o dielétrico. Em sensoreslaser, o deslocamento é detectado por luz laser refletida, demodo que uma superfície alvo uniforme é necessária para evitarruídos. Os sensores eletromagnéticos são considerados os melhores para aplicações de uso geral, logo são os descritos nospróximos parágrafos.

A figura 60 mostra a estrutura e princípio de funcionamento deum sensor de deslocamento eletromagnético: um núcleo emforma de E tem um enrolamento com dois terminais, o alvo (eixorotor) é desenhado como uma barra retangular sólida. Aimpedância de entrada nos terminais varia de acordo com o comprimento do entreferro.

Figura 60: Princípio de funcionamento do sensor de deslocamento

Se os terminais de entrada são excitados por uma tensão de alta freqüência, a impedância da bobina será dominada pelaindutância (que é a parte variável da impedância). Existem dois tipos de sensores eletromagnéticos, os indutivos e os decorrente parasita. Em sensores indutivos, o alvo é feito de um material ferromagnético de alta permeabilidade, como açosilício laminado, ferrita e aço carbono. A freqüência da tensão de excitação encontra-se na faixa de20–100KHz, a indutânciavaria em função do comprimento do entreferro (aproximadamente inversamente). Se o comprimento do entreferro é pequeno,então há alta impedância. Nos sensores de corrente parasita, o alvo é de material condutor. Aqui a indutância varia diretamentecom o compromento do entreferro.

6.3 Sistemas eletrônicos embarcados em MMs

Figura 61: Sistema embarcado genérico

Um sistema embarcado é uma combinação de hardware e software, etalvez outras partes mecânicas adicionais, projetado pararealizar umafunção específica. Na figura 61, um sistema embarcado genérico écomposto por quatro componentes: entrada(s), memória, processadore saída(s). As entradas e saídas podem ser analógicas ou digitais. Amemória pode ser RAM (volátil, permite tanto leitura quantoescrita),ROM (volátil, permite apenas leitura) ou FLASH (não-volátil, permitetanto leitura quanto escrita). O processador pode ou não tersuporte adados do tipo ponto-flutuante.

6.3.1 Memória

A tabela 2 cita alguns requisitos que devem ser levados em conta no projeto de um sistema embarcado. Pode-se inferir queum sistema embarcado de baixo custo trabalha com um processador de 4 ou 8 bits, utiliza pouca memória e possui umavida útil relativamente curta, enquanto um sistema de alto desempenho (e conseqüentemente um custo mais elevado) utilizaprocessadores de 32 bits, que por sua vez exige uma quantidade maior de memória e possui vida útil relativamente longa.


Tabela 2: Principais requisitos de projeto de sistemas embarcados

Critério $ Baixo $ Médio $ Altoprocessador 4 ou 8 bits 16 bits 32 bits

$ desenvolvimento < 100.000 100.000 a1.000.000 > 1.000.000$ produção < 10 10 a1.000 > 1.000unidades < 100 100 a10.000 > 10.000vida útil meses anos décadas

viabilidade pode falhar deve ser confiável sem falhas

6.4 DSPs

Processadores de uso geral, os microprocessadores, são projetados para ter ampla funcionalidade, para serem usados emuma extensa variedade de aplicações. Um de seus objetivos é apresentar um desempenho máximo em torno de uma longagama de aplicações. Processadores especializados (ou dedicados), por outro lado, são projetados para ter uma funcionalidadelimitada, exigida pela aplicação específica. DSP é um tipo deprocessador especializado, projetado com foco em aplicaçõesde processamento de sinais. Conseqüentemente, há pouco ou nenhum suporte a características tais como gerenciamentode memória virtual, proteção de memória e certos tipos de exceções. A tabela 3 destaca algumas aplicações que utilizamDSPs em comunicação, tratamento de sinais de áudio, imagem evídeo. Os fabricantes de DSPs mais conhecidos são AnalogDevices, Motorola e Texas Instruments. A tabela 4 mostra as principais famílias de DSPs desses fabricantes.

Tabela 3: Aplicações das famílias de DSP da Texas Instruments

C6000 C5000 C2000

Áudio × ×Automotiva ×

Comunicação × × ×Industrial ×Médica × × ×Vídeo × ×

Wireless × ×

Porque utilizar um DSP: DSP é um tipo particular de microprocessador que contém algumas características e componentescomuns, tais como CPU, memória, conjunto de instruções e barramento. Entretanto, nos DSPs, cada um destes componentesé personalizado levemente para desempenhar determinadas funções de forma mais apropriada. Um DSP tem hardware econjunto de instruções otimizadas para processamento numérico de alta velocidade e alto poder de processamento em temporeal de sinais analógicos. Para ser considerado digital de sinais é necessário que o processador:

1. Seja bom em cálculo;

2. Seja capaz de realizar milhões de multiplicações e adições por segundo;

3. Consiga processar a informação em tempo real.

Vantagens do processamento digital:Há várias vantagens no uso de processamento digital ao invésdo analógico.

Mutabilidade: é fácil reprogramar sistemas digitais para outras aplicações ou realizar uma sintonia em sistemas já existentes.Um DSP permite realizar mudanças e atualizações de forma rápida e prática em um sistema.


Tabela 4: DSPs mais comuns atualmente

Fabricante Família Ponto Velocidade máximaTMS320C24x fixo 40MHzTMS320C28x fixo/flut. 300MHzTMS320C54x fixo 160MHz

Texas Instruments TMS320C55x fixo 600MHzTMS320C62x fixo 300MHzTMS320C64x fixo 1.2GHzTMS320C67x flutuante 300MHz

ADSP218x fixo 80MHzADSP21xx fixo 160MHz

Analog Devices ADSP213xx flutuante 450MHzADSP-BF5xx fixo 750MHzADSP-TS20x fixo/flut. 600MHz

DSP56300 fixo 275MHzDSP568xx fixo 40MHz

Freescale DSP5685x fixo 120MHzMSC71xx fixo 200MHzMSC81xx fixo 400MHz

Repetibilidade: componentes analógicos têm características que podem variar com o tempo ou até mesmo com a variaçãode temperatura. Uma solução digital programável é muito mais repetitível devido à natureza programável do sistema.Sistemas com múltiplos DSPs, por exemplo, podem também executar exatamente o mesmo programa e serem bastanterepetitíveis.

Tamanho, peso e potência:uma solução com DSP implica em uma potência dissipada menor do que se fossem utilizadosapenas componentes de hardware.

Confiabilidade: sistemas analógicos são confiáveis desde que os dispositivos de hardware funcionem apropriadamente. Sealgum destes dispositivos falhar devido às condições físicas, o sistema inteiro irá se degradar ou falhar. Uma solu-ção que utilize software implementado em DSP funcionará adequadamente desde que o software seja implementadocorretamente.

Expansibilidade: para adicionar mais funcionalidade ao sistema, o engenheiro precisa adicionar mais hardware. Isso nemsempre é possível. Para adicionar a mesma funcionalidade a um DSP basta adicionar software, que é bem mais simples.

Comparação com outras plataformas digitais:

Cinco plataformas são amplamente utilizadas em sistemas que exigem processamento digital :

1. chips com propósito especial, ASICs;

2. FPGAs;

3. microprocessadores ou micro controladores de uso geral (µP/µC);

4. processadores digitais de sinais de uso geral;

5. DSPs com aceleradores de hardware para aplicações específicas.

Comparando as soluções utilizando ASICs e FPGAs, os DSPs apresentam como vantagens a facilidade no desenvolvimentodo projeto e também a reprogramação, permitindo uma futura atualização ou correção de erros. Geralmente os DSPs têm


Tabela 5: Resumo de implementação de DSP em Hardware

DSP comASIC FPGA µP/µC DSP hardware

aceleradoflexibilidade nenhuma limitada alta alta médiadesenvolv. longo médio curto curto curto

baixo médio baixo baixoconsumo baixo a a a a

médio alto médio médiobaixo médio

desempenho alto alto a a altomédio alto

$ desenvolv. alto médio baixo baixo baixo$ baixo médio baixode baixo a a a médio

produção médio alto médio

um melhor custo benefício em relação a hardware personalizado, como ASICs e FPGAs, especialmente para produção depoucas unidades. Em comparação a microcontroladores e microprocessadores, os DSPs apresentam maior velocidade, melhorgerenciamento de energia e custo mais baixo.

6.5 Motores aproveitados em Máquinas sem Mancais

As máquinas sem mancais com motores de indução utilizam duasestratégias diferentes: duplo bobinado e bo-binado dividido. Na primeira, há enrolamentos distintos noestator, e cada uma das funções de produçãode torque e de força de posicionamento radial do rotor é realizada por um dos conjuntos de enrolamentos.

Figura 62: Máquina sem mancal de duplobobinado

Na segunda, um mesmo conjunto de enrolamentos estatóricos produz torque eforças de posicionamento radial. A figura 62 mostra uma máquina sem mancalonde a produção de torque é realizada por um enrolamento tetrapolar e a pro-dução de forças radiais é realizada por um enrolamento de dois pólos. Em umamáquina com bobinado dividido, o enrolamento de quatro pólos é responsávelpor ambas as funções.

A máquina de indução do tipo bobinado dividido, desde que seja possível o usode motores convencionais de fácil aquisição, é vantajosa emrelação à máquinade duplo bobinado pois esta tem um volume maior para uma mesmapotência,porque é necessário um espaço maior para acomodar o duplo conjunto de en-rolamentos. Em relação ao controle da máquina, este se tornamais complexodevido à integração das ações para controle e velocidade sobre um mesmo en-rolamento. Dos motores de indução trifásicos comercialmente encontrados,observadas as características da máquina sem mancais do tipo bobinado divi-dido, podem-se escolher como base os motores trifásicos do tipo Dahlander ou

do tipo padrão.

Motor Dahlander: O motor Dahlander é conhecido como motor de dupla velocidade, obtida pela comutação de pólos narelação 1:2. Os arranjos das ligações determinam o número depólos e conseqüentemente a velocidade de operação do motor.A figura 63 mostra os tipos de motores com os arranjos possíveis. Podem ser encontradas máquinas com 2/4 ou 4/8 pólos.A tensão de alimentação, diferentemente dos motores de indução trifásicos padrão de seis ou mais terminais, é realizadaemuma única tensão220V, 380V ou 440V independentemente do arranjo de ligação do motor. Para o uso como máquina semmancais podem-se utilizar motores com arranjo de ligação para Potência Constante com número de 2/4 pólos, ou qualquer


dos outros dois tipos, desde que possuam 4/8 pólos. Para issoos terminais das bobinas ligadas aos pontos 1, 2 e 3 no casode se utilizar o motor com arranjo para Potência Constante, ou 4, 5 e 6 nos outros dois casos devem ser desconectados noenrolamento do estator para tornar-se acessíveis na caixa de ligação do motor. Nas máquinas sem mancais do tipo bobinadodividido, o posicionamento do rotor no centro do estator é realizado através do balanço de corrente nos enrolamentos de umamesma fase. Por esta razão, os terminais dos grupos de bobinas devem ser acessíveis individualmente.

Figura 63: Arranjos de Ligações do motor Dahlander

6.6 Conclusões

Foram apresentados, nesta seção, alguns componentes importantes para configurar um sistema de mancais magnéticos, comoos sensores de deslocamento, eletrônica embarcada e algunstipos de motores de indução trifásicos que podem ser usadoscomo máquinas sem mancais do tipo bobinado dividido. Conclui-se que a área de pesquisa de máquinas sem mancais temum vasto campo a ser estudado tanto do ponto de vista da própria máquina quanto de novas estratégias de controle paraaperfeiçoar seu comportamento.

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