ma36 - recursos computacionais no ensino de matemática

Recursos Computacionais no Ensino

de Matemática (MA36)

Victor Giraldo (UFRJ), Francisco Mattos (UERJ), Paulo Caetano (UFSCar)

Concepção do Material

De forma geral, o livro é estruturado por atividades

seguidas de discussão sobre essas atividades, enfocando:

• objetivos;

• conteúdos matemáticos tratados;

• papel do uso da tecnologia (vantagens e limitações).

Essas discussões não são precedidas de textos teóricos de

educação matemática ou sobre tecnologias no ensino. Os

docentes responsáveis pela disciplina podem acrescentar

textos com essas características, quando considerarem

apropriados.

Toda a reflexão sobre o uso de tecnologias digitais em sala de

aula de Matemática é organizada a partir das discussões

sobre as atividades propostas.


As atividades são planejadas para execução, prioritariamente, em

softwares gratuitos. Os capítulos são organizados pelos tipos de

recursos empregados.

Entretanto, o foco da discussão não está nos softwares ou nos

recursos computacionais específicos, e sim nas atividades

em si. Assim, muitas atividades podem ser feitas com diversos

softwares diferentes.

O livro não é concebido para ser um manual de uso de softwares

educacionais, mas sim para aprofundar a reflexão dos

professores sobre o uso de tecnologias digitais em sala de

aula de Matemática.

O objetivo é capacitar o professor para planejar a integração de

tecnologias digitais na sala de aula, escolhendo softwares e recursos

de acordo com as especificidades de cada contexto.


Procuramos explorar não só as potencialidades técnicas dos

softwares, mas sobretudo suas limitações (erros de

arredondamento, interpolação, etc.).

Os objetivos são:

• evitar que os alunos formem uma ideia sobre o computador

como “critério absoluto de validação de fatos matemáticos”,

mostrando que os resultados da máquina devem sempre ser

interpretados à luz de argumentos matemáticos (e não ao

contrário);

• aproveitar a exploração dessas limitações para aprofundar a

compreensão dos alunos da “Matemática que está por trás”.


De forma geral, as atividades procuram conduzir a conclusões

e generalizações matemáticas, sem o apoio do

computador.

Os professores devem ser orientados no sentido de que, em

sala de aula, as atividades com o computador devem, sempre

que possível, ser complementadas com discussões e

argumentações matemáticas, sem o uso de tecnologias.

As abordagem pedagógica com o uso de tecnologias digitais

deve ser planejada de tal forma que a aprendizagem dos

conceitos matemáticos dos alunos não dependa

permanentemente do apoio dessas tecnologias.


De forma geral, as atividades não são planejas para a aplicação

direta em sala de aula.

O objetivo é capacitar o professor a refletir e avaliar o

uso de tecnologias e, a partir daí, criar suas próprias

atividades, de acordo com as especificidades de cada público

de alunos. Este deve ser o principal papel da disciplina.

Muitas atividades estão em nível superior à Matemática dos

ensinos fundamental e médio, visando colocar o professor em

uma posição de aprendiz com o uso de tecnologias, com

estratégia para promover as reflexões acima.


Visando as considerações feitas anteriormente, ao final de cada

grupo de atividades com objetivos (mais ou menos)

semelhantes são propostas atividades de fechamento do

tipo:


Os professores-cursistas devem ser estimulados a fazer essas

atividades de fechamento e trazer suas propostas para

discussão em sala de aula, com os colegas e docente

responsável pela disciplina.

Recomendamos também que as atividades de fechamento

sejam empregadas na avaliação da disciplina.


O livro é estruturado em 8 capítulos, divididos em seções,

totalizando 24 seções.

Na estrutura do PROFMAT, cada seção corresponde a uma

Unidade. Em cada semana de aulas, são abordadas 2

Unidades.

Nesta oficina, discutiremos atividades dos 5 capítulos iniciais:

1. O Uso da Calculadora no Ensino de Matemática

2. Planilhas Eletrônicas

3. Ambientes Gráficos

4. Ambientes de Geometria Dinâmica

5. Sistemas de Computação Algébrica e Simbólica

Recursos Computacionais no Ensino de Matematica

Victor Giraldo (UFRJ)

Paulo Caetano (UFSCar)Francisco Mattos (UERJ / CP2)

13 de Janeiro de 2012

Conteudo

1 O Uso da Calculadora no Ensino de Matematica 51.1 Operacoes e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Aproximacoes, Arredondamentos e Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Planilhas Eletronicas 172.1 Simbologia Algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Tratamento da Informacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Ambientes Graficos 313.1 Articulando Representacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2 Famılias de Funcoes Dependendo de Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Pontos de Vista e Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4 Mais Exploracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 Ambientes de Geometria Dinamica 634.1 Explorando a Geometria de Forma Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2 Aprofundando a Exploracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.3 Articulando Geometria e Funcoes: Manipulando Graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.4 Articulando Geometria e Funcoes: Novos Olhares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5 Sistemas de Computacao Algebrica e Simbolica 815.1 Explorando Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2 Operando com Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.3 Conceitos Basicos do Calculo Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4 Exploracoes Aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6 Ensino a Distancia 916.1 Ambientes Virtuais de Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2 Aprendizagem Colaborativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.3 Projetos de Ensino a Distancia – Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.4 Projetos de Ensino a Distancia – Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7 Pesquisas Eletronicas, Processadores de Texto e Hipertexto 997.1 Pesquisas Eletronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.2 Processadores de Texto e Hipertexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8 Criterios e Instrumentos para Avaliacao de Softwares Educativos 1158.1 Avaliacao de Softwares Educativos – Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.2 Avaliacao de Softwares Educativos – Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

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Capıtulo 1

O Uso da Calculadora no Ensino deMatematica

Introducao

A entrada das tecnologias digitais na sala de aula de Matematica, sobretudo nas ultimas duas decadas,foi acompanhada de um intenso debate sobre seus efeitos na aprendizagem. Inicialmente, este debate,que nao se restringiu ao Brasil e se espalhou por todos os paıses em que recursos computacionais foramsistematicamente introduzidos na escola, concentrou-se na tentativa de responder a questao se taisefeitos seriam “beneficos” ou “maleficos”. Por exemplo, especificamente sobre o uso de calculadorasno ensino de Matematica, o pesquisador ingles David Tall [57] ja observava ha 10 anos passados:

O uso de calculadoras e computadores em Matematica nem sempre tem sido tao bem sucedidoquanto poderia ser. Na Inglaterra, o uso de calculadoras com criancas tem sido desencorajado naesperanca de que sua ausencia permitiria que as criancas construissem relacoes aritmeticas men-tais. Talvez esta atitude tenha mais a ver com o mal uso da calculadora (para efetuar calculossem ter que pensar) do que com qualquer falha inerente ao proprio aparato. Bem usada – paraencorajar reflexao sobre ideias matematicas – a calculadora pode ser muito benefica.

David Tall, 2001, p.212 (traducao nossa)

Neste sentido, temores iniciais de que o uso de calculadoras na sala de aula, por si so, atrofiariaas habilidades aritmeticas dos alunos eram, de certa forma, mal colocados. Os efeitos da ferramentana aprendizagem estao muito mais relacionados com a forma como ela e usada do que com suascaracterısticas intrınsecas. De fato, esta constatacao aplica-se a qualquer tecnologia usada no ensino,seja esta de natureza computacional ou nao. Hoje, as tecnologias digitais estao cada vez mais presentesem praticamente todos os setores da atividade humana, portanto nao faria sentido bani-las da sala deaula – sob pena de tornar a escola tao anacronica em relacao a vida exterior a seus muros a ponto de terum efeito inocuo na formacao dos alunos. Paralelamente a isso, a reflexao sobre os usos pedagogicosdessas tecnologias vem amadurecendo. Assim, o foco do debate deslocou-se da questao de se as tecno-logias digitais tem efeitos beneficos para a aprendizagem, para a questao de como usa-las de formaque seus efeitos sejam beneficos para a aprendizagem.

As calculadoras sao certamente as tecnologias digitais mais simples, baratas e de mais facil uso.Mesmo as calculadoras com menos recursos matematicos podem ser usadas de forma a enriquecer signi-ficativamente a abordagem. Seu uso como instrumento didatico oferece ao contexto de sala de aula, emsituacoes especıficas, uma metodologia de ensino que permite ao professor dinamizar de modo simplesas aulas teoricas tratadas geralmente com metodologias tradicionais. O objetivo central deste primeiro

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6 CAPITULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMATICA

Capıtulo e discutir como e possıvel desenvolver atividades pedagogicas1 interessantes e enriquecedorasmesmo quando se dispoe apenas de recursos computacionais mınimos. Por isso, todas as atividadespropostas podem ser feitas com a calculadoras simples (em geral chamadas calculadoras de bol-so), que dispoem apenas das quatro operacoes elementares. Atividades de natureza mais complexa, quedemandariam mais recursos tecnologicos serao abordadas nos capıtulos subsequentes. O Capıtulo estadividido em duas secoes: na primeira, o foco das atividades estara mais na estrutura as operacoes e suaspropriedades; e na segunda nas caracterısticas da representacao decimal, com enfase em aproximacoese erros.

1.1 Operacoes e Propriedades

Nesta secao, propomos atividades com objetivo de utilizar a calculadora para enriquecer a aprendizagemda estrutura das operacoes elementares (principalmente com numeros inteiros) e suas propriedades. Emgeral, essas propriedades sao ensinadas como “regras”, enunciadas no quadro negro. Atividades coma calculadora podem articular-se com a abordagem tradicional de sala de aula, oferecendo aos alunosuma oportunidade de lidar com a estrutura das operacoes de forma mais concreta e dinamica.

Para que esses objetivos sejam atingidos, e fundamental que os alunos sejam encorajados a in-terpretar matematicamente os resultados da maquina e a desenvolver uma atitude crıticaem relacao a estes – em lugar de simplesmente aceita-los como verdades inquestionaveis. Assim,o papel da calculadora em sala de aula nao deve se limitar a apenas “conferir” resultados obtidosmanualmente. Seu uso e mais rico em situacoes cuja interpretacao pelos alunos leve ao aprofundamentoda compreensao sobre as propriedades matematicas envolvidas, por exemplo, por meio da exploracao deresultados inesperados ou aparentemente errados. Por este motivo, o papel do professor em planejar eaplicar adequadamente as atividades e decisivo – nao e a calculadora, por si so, que pode trazer efeitospositivos (ou negativos) a aprendizagem, e sim a forma como ela e empregada em sala de aula.

Atividades

1. Considere os numeros: 49, 71 e 180. Com a ajuda da calculadora, construa exemplos de operacoes(adicao, subtracao, multiplicacao e divisao), que tenham cada um desses numeros como resulta-dos.

(a) Primeiro, de exemplos de operacoes envolvendo apenas numeros naturais.

(b) Agora, use quaisquer numeros (podendo ser inteiros, racionais ou irracionais).

2. Suponha que voce queira fazer uma conta envolvendo numeros grandes, como por exemplo:987123 × 110357. E bem provavel que use uma calculadora para obter o resultado. Comose tratam de numeros com muitos algarismos, mesmo com uma calculadora, nao e impossıvelenganar-se ao digitar algum algarismo e obter um resultado errado.

(a) Suponha que depois de digitar os dados, tenha aparecido no visor o seguinte resultado:989455911. Este resultado pode estar certo? Justifique a sua resposta.

(b) Constatando que o resultado anterior nao estava correto, voce apaga e digita novamente osdados. Desta vez o visor mostra o seguinte: 108935822554. E este resultado, pode estarcerto? Justifique a sua resposta.

(c) Quantos algarismos voce espera que o resultado tenha?

1Grande parte as atividades propostas neste Capıtulo foram inspiradas ou adaptadas diretamente de [46]. Agradecemoso autor e amigo Carlos Mathias pelas ideias e conversas inspiradoras.

1.1. OPERACOES E PROPRIEDADES 7

(d) Qual deve ser o ultimo algarismo do resultado?

(e) Voce seria capaz de descobrir que erros voce cometeu nos ıtens (a) e (b)?

3. Suponha que voce queira saber o resultado da conta 7× (581 + 399), com ajuda de uma calcu-ladora. Voce digita os dados e a maquina fornece o resultado 4466. O resultado esta correto? Oque voce acha que aconteceu?

As atividades iniciais 1 a 3 procuram explorar apenas as propriedades das operacoes elementares,sendo apropriadas para alunos do 1o. segmento ou do inıcio do 2o. segmento de ensino fundamental. Aatividade 1 tem por objetivo inverter a logica usual de resolver contas e obter resultados, propondo queos alunos inventem diferentes contas que levem a um mesmo resultado dado. O exercıcio de inventarcontas pode ser explorado pelo professor para a reflexao sobre as propriedades das operacoes, alemde colaborar com a pratica de calculo mental, estimulando os estudantes a pensarem sobre a relacaoentre as ordens de grandeza do resultado e dos operandos. Para isso, o professor pode ainda incluir naatividade questoes chave mais direcionadas, como por exemplo:

• Quantas multiplicacoes voce consegue exibir, envolvendo apenas numeros naturais, cujo resultadoseja 49? E 71? E 180?

• Observando que 90 + 90 = 180, como voce pode descobrir outras contas de adicao que deem omesmo resultado?

• Observando que 2× 90 = 180, como voce pode descobrir outras contas de multiplicacao, apenascom numeros inteiros, que deem o mesmo resultado?

• Observando que 2 × 90 = 180, como voce pode descobrir outras contas de multiplicacao, comnumeros inteiros ou fracoes, que deem o mesmo resultado?

• Pode existir uma adicao, envolvendo apenas numeros naturais, cujo resultado seja 49 e uma dasparcelas seja 60?

• Pode existir uma adicao, envolvendo numeros inteiros, cujo resultado seja 49 e uma das parcelasseja 60?

• Pode existir uma multiplicacao, envolvendo apenas numeros naturais, cujo resultado seja 49 e umdos fatores seja 60?

• Pode existir uma multiplicacao, envolvendo apenas numeros naturais, cujo resultado seja 49 e umdos fatores seja 40?

• Pode existir uma multiplicacao cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 60?

• Pode existir uma multiplicacao cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 40?

• Em uma adicao, quando voce aumenta uma das parcelas, o que deve acontecer com a outra paraque o resultado nao se altere?

• Em uma subtracao, quando voce aumenta um dos termos, o que deve acontecer com o outropara que o resultado nao se altere?

• Em uma multiplicacao, quando voce aumenta um dos fatores, o que deve acontecer com o outropara que o resultado nao se altere?

• Em uma divisao, quando voce aumenta o dividendo, o que deve acontecer com o divisor para queo resultado nao se altere?

• Que propriedades das operacoes voce empregou para chegar as conclusoes acima?


Questoes como as exemplificadas acima podem contribuir com a compreensao de algumas proprie-dades importantes das operacoes. Por exemplo, quando adicionamos um numero a uma das parcelasde uma soma, para manter o mesmo resultado, devemos subtrair o mesmo numero da segunda parcela.Verificacoes analogas podem ser propostas para as demais operacoes. Tais verificacoes podem favorecera exploracao da relacao entre as operacoes e sua respectivas inversas, alem da relacao entre as ordensde grandeza do resultado e dos operandos. As questoes podem ainda ser empregadas na exploracao daslimitacoes das operacoes em cada um dos conjuntos numericos. Em particular, e importante chamaratencao para o fato de que a quantidade de multiplicacoes resultando em numero dado esta relacionadacom a quantidade de fatores primos deste numero (por exemplo, no caso da atividade 1 proposta acima,sao dados um numero primo e dois numeros compostos, sendo um quadrado de um primo e o outro comdiversos divisores distintos). Finalmente, o exercıcio de procurar por um dos termos de uma operacao,dados o outro termo e o resultado, pode ser explorado como uma introducao a nocao de equacao.

Na atividade 1, o papel da calculadora e apenas o de dar mais agilidade aos calculos, permitindoque o aluno foque mais atencao na reflexao sobre o comportamento dos resultados e as propriedadesoperatorias empregadas. E importante observar que a atividade nao deve se resumir a meraverificacao de resultados com a calculadora. Seu desenvolvimento em sala de aula devesempre incluir as justificativas matematicas desses resultados. Por outro lado, o uso da calcu-ladora em sala de aula nao precisa – e nao deve – limitar-se simplesmente a facilitar ou conferir contas.As atividades 2 e 3 enfocam a interpretacao crıtica de resultados produzidos por usos erroneos dacalculadora, visando estimular a formacao de uma expectativa para os resultados, e o desenvolvimentopratica da verificacao por meio de estimativas e calculo mental.

Quando os alunos no ensino fundamental memorizam os algoritmos das operacoes, sem entender suaestrutura, dificilmente eles desenvolverao qualquer nocao das relacoes entre o resultado e os operandos.Nestes casos, resultados provenientes de erros na aplicacao dos algoritmos sao aceitos, mesmo quandoclaramente incompatıveis com a conta efetuada. Se os calculos sao feitos com a calculadora, os resul-tados sao geralmente aceitos como corretos sem hesitacao.

Na atividade 2, podemos verificar que os resultados dados nos ıtens 2a e 2b sao incompatıveis comos fatores da multiplicacao. Uma estimativa simples fornece-nos uma ideia da ordem de grandeza dosresultado da conta. Como 987123 > 9×105 e 110357 > 105, entao 987123×110357 > 9×105×105 =9×1010, isto e, 987123×110357 tem pelo menos 11 algarismos. Alem disso, como os fatores terminamcom os algarismos 3 e 7, o ultimo algarismo do produto deve ser necessariamente 1. Os resultados989455911 e 108935822554 dos 2a e 2b sao obtidos pela omissao ou troca de algarismos na conta.Assim, 989455911 = 87123× 11357 e 108935822554 = 987122× 110357. De forma semelhante, naatividade 3, percebemos que o resultado de 7× (581+399) deve ser multiplo de 10, portanto nao podeser 4466. O erro decorre da omissao dos parenteses, isto e, 4466 = 7× 581 + 399.

Ha uma ampla gama de atividades com objetivos semelhantes a estes que podem ser propostas,dependendo do ano escolar. As atividades anteriores constituem apenas alguns exemplos. Sugerimosque voce formule outras, levando em conta as especificidades de seu publico de alunos.

Atividades

4. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 3.

(a) Quais sao os principais conceitos matematicos enfocados?

(b) Quais sao, na sua opiniao, os objetivos das atividades?

(c) Qual e o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades?

(d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para aaprendizagem dos conceitos enfocados, em relacao a abordagens com recursos convencionais(isto e, sem o uso da calculadora)?


5. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 3, que seja adequada paraas turmas em que voce leciona. Que questoes chave voce incluiria na atividade, para ajudar adirecionar a resolucao dos alunos.

Reconhecendo Padroes e Regularidades

As atividades a seguir exploram o reconhecimento de padroes nos resultados de operacoes aritmeticas.Em livros didaticos do ensino fundamental, nao e incomum encontrarmos exercıcios do tipo “completea sequencia”, que pedem que o aluno reconheca e generalize um padrao numerico ou geometrico emuma sequencia, a partir de um pequeno conjunto de termos dados. O reconhecimento de padroes esem duvida uma habilidade fundamental para o desenvolvimento do pensamento matematico elementar.Entretanto, e importante considerar que a regra de formacao de uma sequencia nao pode ser inferidatendo como base apenas a verificacao de um conjunto finito de exemplos (uma sequencia numerica naoprecisa nem mesmo ter uma regra algebrica de formacao).

Assim, as atividades que se seguem nao visam apenas inferir o padrao a partir da verificacao dosexemplos dados e generaliza-lo para outros numeros quaisquer. O objetivo e reconhecer o padrao, jus-tifica-lo matematicamente, e determinar para que outros numeros este pode ser generalizado. A buscapor essas justificativas matematicas pode ajudar na compreensao dos algoritmos das operacoes e suasrelacoes com a estrutura do sistema de numeracao decimal. As atividades propostas abordam padroesnas representacoes decimais de numeros naturais (6 e 7) e de numeros racionais (8 e 9).

Atividades

6. Use a calculadora para fazer as seguintes contas de multiplicacao por 11: 13 × 11, 24 × 11,35× 11. Observe que ha um padrao nos resultados.

(a) Descreva o padrao observado.

(b) Explique o padrao, com base no algoritmo da multiplicacao.

(c) Este padrao vale para qualquer multiplicacao de um numero de dois algarismos por 11?Justifique sua resposta.

(d) O que acontece se multiplicamos um numero com mais de dois algarismos por 11? Tambemobservaremos algum tipo de padrao? Justifique sua resposta.

7. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 21× 202, 48× 202, 35× 202, 17× 202.

(a) Descreva o padrao observado nos resultados.

(b) Explique o padrao, com base no algoritmo da multiplicacao.

(c) Para que tipo de multiplicacao esse padrao vale? Justifique sua resposta.

8. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 1 ÷ 9, 2 ÷ 9, . . ., 8 ÷ 9. Explique o padraoobservado nos resultados.

9. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 1 ÷ 99, 25 ÷ 9, 43 ÷ 9, 76 ÷ 9. Explique opadrao observado nos resultados.

Na atividade 6, observamos que se um numero natural n possui 2 algarismos quando representadona forma decimal, entao podemos escreve-lo na forma n = 10a+b, com a, b ∈ N, 0 6 a, b < 10. Logo:

11n = 11 (10a+ b) = 10 (10a+ b) + (10a+ b) = 100a+ 10 (a+ b) + b


Observe que o desenvolvimento acima reproduz os passos do algoritmo usual da multiplicacao. Por-tanto, se n = 10a+b e um numero com 2 algarismos, cuja soma e menor que 10, entao a representacaodecimal de 11n tem tres algarismos, sendo o das centenas a, o das dezenas a + b e o das unidadesb. Na atividade 7, o padrao observado pode ser justificado de forma analoga. O papel da calculadoranessas atividades e justamente permitir que o aluno obtenha os resultados sem usar o algoritmo, paraposteriormente refletir sobre o mesmo com base no padrao observado.

Nas atividades 8 e 9, e interessante chamar a atencao dos alunos para a determinacao da fracaogeratriz de um dızima periodica como soma de uma progressao geometrica infinita.

Atividades






11. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 6 a 9, que seja adequada paraas turmas em que voce leciona.

Aprofundando a Compreensao das Operacoes

Como ja comentamos, existem muitas outras formas de explorar os recursos das calculadoras simplespara enriquecer a aprendizagem das operacoes elementares, sua estrutura e suas propriedades. A ideiageral e aproveitar os recursos da calculadora para oferecer aos alunos uma visao das opera-coes que seja diferente da abordagem usual de sala de aula, e que se articula e enriquecaessa abordagem. Nas atividades a seguir, damos mais alguns exemplos. Porem leitor e fortementeencorajado a elaborar outras, de acordo com as caracterısticas e dificuldades especıficas de seu publicode alunos (como vimos propondo). Atividades como as 14 a 17 podem ser aplicadas em forma de jogoentre os alunos.

Atividades

12. (a) Digite 2 + 3 na calculadora. Em seguida, tecle o sinal de = varias vezes. Tome nota dosnumeros que vao aparecendo na tela. Que tipo de sequencia esses numeros formam?

(b) Agora, faca a mesma experiencia com a multiplicacao: digite 2 × 3 na calculadora e, emseguida, o sinal de = varias vezes. Que tipo de sequencia esses numeros formam?

13. (a) Suponha que voce tenha depositado R$150, 00 em uma caderneta de poupanca que rende0, 7% ao mes. Passado o primeiro mes, voce tera R$150, 00+R$150, 00× 0,7

100= R$150, 00×

1, 007 = R$151, 05. Quantos meses voce devera esperar (sem fazer nenhum saque ou novodeposito) para obter 10% a mais da quantia aplicada?

Voce podera responder esta pergunta usando uma calculadora de bolso apenas com as quatrooperacoes elementares. Multiplique 150 por 1, 007 e aperte a tecla = sucessivamente, ateque o resultado mostrado na tela fique ultrapasse 150 × 1, 1 = 165. Conte o numero devezes que a tecla = foi pressionada.


(b) Repita a experiencia, supondo agora que voce tenha aplicado R$350, 00 e queira obter umlucro de 10% da quantia inicial.

(c) As respostas dos ıtens anteriores dependem da quantia aplicada? Justifique sua respostascom base em argumentos matematicos.

14. Complete as espacos em branco nas expressoes abaixo, com os sinais das quatro operacoeselementares (+, −, × e ÷), de forma que as igualdades sejam validas.

(a) (53 36) 15 = 1335 (b) 53 36 15 = 1923(c) 17 (25 83) = −41 (d) 11 17 23 = 4301(e) (14 66) 16 = 5 (f) 14 66 16 = 18, 125

15. Use uma calculadora para encontrar aproximacoes para os numeros a seguir, empregados apenasas teclas numericas e as teclas + , − , × , ÷ ,

√e = (isto e, sem empregar a tecla de

potenciacao a um expoente qualquer, se houver).

(a) 30,5 (b) 3−0,125 (c) 4√

3 (d) 33,125

16. Em uma calculadora defeituosa, apenas as teclas 3 , 8 , + , − e = estao funcionando.Voce conseguiria obter todos os numeros naturais de 1 a 10 apenas usando essas teclas?

17. Em uma calculadora defeituosa, apenas as teclas 5 , + , − , × , ÷ e = estao funcionando.Obtenha cada um dos numeros naturais de 1 a 10 apenas usando o menor numero possıvel deteclas.

Na maior parte das calculadoras de bolso, quando pressionamos a tecla correspondente ao sinal deigualdade seguidamente, a ultima operacao realizada e repetida. Este recurso pode ser empregado noensino de diversas maneiras. As atividades 12 e 13 apresentam duas sugestoes neste sentido.

Na atividade 14, em lugar de obter os resultados conhecendo os operandos e as operacoes, a propostae que os alunos descubram as operacoes conhecendo os operandos e os resultados. Para escolher ossinais que tornam as igualdades verdadeiras, eles deverao avaliar as relacoes entre os operandos e osresultados (tais como ordens de grandeza e caracterısticas da representacao decimal), assim como nasatividades 2 e 3.

A atividade 15 visa a exploracao das propriedades de potenciacao e radiciacao, por meio da decom-posicao potencias de diversos expoentes em raızes quadradas. De forma semelhante, na resolucao dasatividades 16 e 17, os alunos deverao decompor numeros naturais de 1 a 10 de diferentes maneiras.O exercıcio de decompor numeros naturais de diferentes formas e importante para a compreensao dossistema de numeracao decimal e das estruturas dos algoritmos das quatro operacoes.

Atividades








1.2 Aproximacoes, Arredondamentos e Erros

Na secao 1.1, destacamos a importancia do desenvolvimento de uma atitude de interpretacao crıticados resultados produzidos pela calculadora por parte dos alunos. As atividades 2 e 3 daquela secaovisavam a formacao dessa atitude crıtica a partir de usos erroneos da maquina, isto e, erros cometidospelo proprio usuario. Entretanto, nao sao apenas erros de uso que provocam resultados aparentementeerrados ou inesperados – estes podem ser causados por limitacoes inerentes a propria maquina.

Tais resultados sao produzidos, de forma geral, por erros de arredondamento: como uma calculadoraso tem capacidade para armazenar numeros com representacao decimal finita, todos os numeros comrepresentacao infinita (e mesmo aqueles com representacao finita, porem superior a capacidade damaquina) sao aproximados por numeros com representacao finita. Isto e, as calculadoras (pelo menosas mais simples) nao operam com numeros com representacao decimal infinita, e sim com aproximacoespara esses numeros. A imprecisao nos resultados de calculos aproximados pode aumentar quandoos erros de arredondamento sao propagados, isto e, quando resultados aproximados sao usados emnovos calculos, gerando aproximacoes sobre aproximacoes. Evidentemente, algumas maquinas possuemcapacidade de armazenamento superior a outras, podendo produzir resultados mais precisos, poremtodas tem capacidade finita. Portanto calculos com decimais infinitos envolverao necessariamenteimprecisoes e erros de alguma ordem.

Desta forma, a atitude de interpretacao crıtica dos resultados por parte dos alunos nao se refereapenas a seus proprios eventuais erros de uso, mas sobretudo ao funcionamento e as limitacoes damaquina. A consciencia das limitacoes da calculadora e do fato de que ela pode produzir resultadosimprecisos ou aparentemente errados e fundamental para a compreensao de que a maquina naopode ser usada como criterio de validacao matematica. Os resultados da maquina devem serinterpretados e avaliados com base em argumentos matematicos (e nao ao contrario). Este sera oenfoque desta secao.

Algumas das atividades propostas a seguir (1 a 3) visam especificamente chamar atencao para aslimitacoes da calculadora, por meio da interpretacao de resultados aparentemente errados ou imprecisos.As seguintes (6 a 10) abordam processos de aproximacoes sucessivas, que podem ser empregados comointroducao ao conceito de limite. A princıpio, pode-se pensar que os erros de aproximacao da maquinaconstituem-se necessariamente em um obstaculo para a aprendizagem do conceito de limite. Porem,justamente esses erros podem ser explorados pelo professor para introduzir de forma mais explıcitaa natureza matematica da nocao de limite: o conceito matematico de limite escapa da precisao damaquina, por melhor que esta seja, ou de qualquer precisao finita.

Atividades

1. As figuras abaixo representam resultados de certas operacoes matematicas feitas em uma cal-culadora, mostrados no visor. Sem saber as operacoes que foram efetuadas, e possıvel saber seesses numeros sao racionais ou nao, apenas nos resultados do visor? Justifique sua resposta.

1.2. APROXIMACOES, ARREDONDAMENTOS E ERROS 13

2. Ao usar uma calculadora de bolso para fazer uma conta cujo resultado nao e um numero inteiro,o visor mostrara uma aproximacao desse resultado, usando todas as casas decimais disponıveis.Levando isso, em conta, responda as perguntas a seguir, justificando suas respostas.

(a) Use a calculadora para fazer a conta 1 ÷ 3. Se voce multiplicar o resultado mostrado novisor por 3, voce encontrara o numero 1 novamente?

(b) Use a calculadora para fazer a conta√

2. Se voce elevar o resultado mostrado no visor aquadrado, voce encontrara o numero 2 novamente?

3. Considere a conta 0, 0000111 × 9999456 ÷ 9999123. Como sabemos, podemos fazer efetuaressa conta de diversas maneiras diferentes: (0, 0000111 × 9999456)÷ 9999123, ou 0, 0000111 ×(9999456 ÷ 9999123), ou ainda (0, 0000111 ÷ 9999123) × 9999456. As propriedades das ope-racoes de multiplicacao e divisao garantem-nos que obteremos o mesmo resultado. Use umacalculadora para fazer a conta dessas duas maneiras. Compare os resultados. Voce pode explicaro que aconteceu?

Muitos livros didaticos do ensino basico apresentam exercıcios propondo a classificacao de numeroscomo racionais ou irracionais, com base em sua representacao decimal. Entretanto, frequentementetais exercıcios nao incluem informacoes suficientes para a conclusao pedida. O objetivo da atividade1 e mostrar que, apenas com uma amostra finita da representacao decimal de um numero real, naoe possıvel concluir se este e racional ou nao. Por exemplo, embora a expressao que aparece na telada esquerda possa sugerir a representacao de um numero irracional (pois os algarismos nao repetem),trata-se apenas de uma expressao decimal finita que pode representar uma aproximacao, tanto paraum irracional quanto para um racional. De fato, a representacao decimal da fracao 1

19e uma dızima

periodica cujo perıodo tem 18 dıgitos, sendo os 16 primeiros coincidentes com a expressao dada:

1

19= 0, 052631578947368421 .

Em continuidade, as atividades 2 e 3 ilustram erros causados por arredondamentos. Para fazer aexperiencia proposta na atividade 2, os alunos poderao anotar o resultado da primeira operacao quee mostrado na tela, limpar a memoria da calculadora, digitar o mesmo resultado, efetuar a operacaoinversa, verificando que nao se retorna ao numero original. A atividade 3 exemplifica uma situacao emque um erro de arredondamento pode fazer com que a calculadora forneca resultados diferentes parauma mesma operacao efetuada em ordens diferentes (dependendo da precisao da calculadora utilizada).Observe que neste exemplo, essencialmente, estamos multiplicando um numero proximo de 0 por umnumero proximo de 1. Assim, se a divisao for efetuada primeiro, em uma calculadora com precisaobaixa, esse resultado parcial pode ser arredondado para 1, afetando o resultado final.

Atividades





(d) Faria sentido aplicar essas atividades sem o uso da calculadora?



Aproximacoes e Limites

Nas atividades a seguir, lidamos com aproximacoes – ou em termos matematicos formais, limites desequencias de numeros reais. O conceito de limite e um dos mais importantes e centrais de toda aMatematica, e mesmo nao figurando explicitamente nos currıculos, este pode (e deve) ser introduzidoinformalmente no ensino basico, por meio da ideia intuitiva de aproximacao. A calculadora pode serum recurso didatico de grande ajuda para esta introducao.

Em particular, a ideia de aproximacao e importante para o ensino do conceito de numero irracional.Em geral, a abordagem de numeros irracionais no ensino basico e bastante restrita. Usualmente, rece-bem pouca enfase as motivacoes para a propria necessidade de ampliacao do conjuntos dos numerosreais (isto e, de que problemas matematicos os numeros racionais nao dao conta), e as justificativas parapropriedades referentes a representacao decimal de irracionais (tais como, um numero e irracional se,e somente se, sua expressao decimal e infinita e nao periodica), ou mesmo para as expressoes decimaisde exemplos especıficos de numeros irracionais. Aproximacoes para numeros irracionais, desenvolvidascom ajuda da calculadora, pode enriquecer significativamente a abordagem de numeros irracionais, suarepresentacao decimal e localizacao na reta real.

Atividades

6. O objetivo desta atividade e determinar aproximacoes decimais para√

2. Sabemos que 12 =1 < 2 < 4 = 22. Isto nos permite concluir que 1 <

√2 < 2. De forma analoga, temos que

1, 42 = 1, 96 < 2 < 2, 25 = 1, 52. Continuando este procedimento, use a calculadora (semempregar a tecla

√) para completar a tabela abaixo, obtendo aproximacoes para

√2 com n

casas decimais.

n√

2 ∼=12345

7. Conhecendo aproximacoes com n casas decimais depois da vırgula para√

2, podemos determinaraproximacoes para 2

√2. Complete a tabela abaixo.

n√

2 ∼= 2√

2 ∼=1 1, 42 1, 413 1, 4144 1, 41425 1, 41421

O procedimento acima pode nos dar certeza do numero da casas decimais exatas das aproximacoespara 2

√2 obtidas? Justifique sua resposta.

8. Digite um numero positivo qualquer na calculadora. Em seguida, digite a tecla√

sucessivas

vezes. Em algum momento o visor mostrara o numero 1. Explique o que aconteceu.

1.2. APROXIMACOES, ARREDONDAMENTOS E ERROS 15

Em livros didaticos do ensino basico, as expressoes decimais aproximadas para numeros irracio-nais sao quase sempre apresentadas como se fossem simplesmente dadas, sem quaisquer justificativasteoricas. Na atividade 6, propomos um processo para determinar aproximacoes decimais para

√2,

usando apenas a potenciacao numeros racionais. Por meio desse processo, podemos (pelo menos teo-ricamente) determinar quantas casas decimais quisermos para o numero

√2. Atividades como esta sao

muito importantes para que os alunos no final do ensino fundamental e no ensino medio formem umaideia mais concreta dos numeros irracionais e sua localizacao na reta real.

A atividade 7 tem como objetivo introduzir um significado intuitivo (e nao formalizado) para a po-tenciacao de expoente irracional. A operacao de potenciacao e definida primeiramente para expoentesnaturais, e posteriormente generalizada para expoentes inteiros e naturais por meio de argumentos ba-seados na preservacao de certas propriedades aritmeticas (por exemplo, devemos ter a0 = 1 para a 6= 0,pois caso contrario nao valeria aman = am+n, para m,n ∈ Z). Entretanto, raramente encontramos emlivros didaticos alguma forma de conceituacao para a potenciacao com expoentes irracionais. Contra-ditoriamente, alguns capıtulos a frente, a funcao exponencial e definida com domınio em R, sem queesta inconsistencia seja sequer apontada. De fato, a extensao da operacao de potenciacao dos numerosracionais para os irracionais nao pode ser justificada apenas por meio de argumentos algebricos (comoas extensoes anteriores), e requer necessariamente uma ideia de convergencia, o que a torna a suaformulacao teorica de difıcil compreensao, mesmo no ensino medio. Isto nao e justificativa, no entanto,para que este problema nao seja tratado, mesmo que de forma intuitiva. Em geral, os estudantes noensino medio nao tem maiores dificuldades em explicar o que significam potenciacoes com expoentesinteiros ou racionais (por exemplo, 2−3 = 1

23, ou 2

3

4 =4√

23 ). Mas, e preciso tambem que eles atribuamalgum significado a expressoes do tipo 2π – que numero e esse? Uma introducao a esta discussao, quepode ser feita com ajuda da calculadora, e o que propoe a atividade 7.

Nas atividades 6 e 7 e fundamental que fique claro para os alunos que a expressoes decimais obtidasrepresentam aproximacoes para os

√2 e 2

√2. Os erros associados a cada uma dessas aproximacoes

podem ser feitos tao pequenos quanto se queira, isto e, tratam-se de sequencias de numeros reaisconvergindo aos numeros

√2 e 2

√2. Porem, essas aproximacoes jamais coincidirao com os numeros.

A atividade 8 envolve uma situacao em que os arredondamentos feitos pela maquina geram umresultado erroneo. Sabemos que, se a > 0 entao lim

n→+∞n√a = 1, portanto o erro | n

√a− 1| pode ser

feito tao pequeno quanto se queira, para n ∈ N suficientemente grande. Entretanto, nao podemos tern√a = 1 para nenhum a 6= 1. A discussao proposta na atividade 8 pode ser usada para mostrar que, por

melhor que seja a precisao de uma calculadora, e sempre possıvel tomar n grande o suficiente para quea diferenca entre n

√a e 1 fique ainda menor que esta precisao. Assim, pode-se ilustrar concretamente

o fato de que dizer que n√a tende a 1 significa dizer que | n

√a− 1| fica menor que qualquer precisao

finita.

Atividades

9. Use o mesmo procedimento da atividade 6, encontre aproximacoes para os numeros abaixo, comerro menor que 0, 01.

(a)√

3 (b) 3√

2 (c) 32

3

10. Use o mesmo procedimento da atividade 7, encontre aproximacoes sucessivas para o numero 10π.




Capıtulo 2

Planilhas Eletronicas

Introducao

Os recursos disponıveis nas planilhas eletronicas possibilitam diversas aplicacoes no ensino de Matema-tica. Dentre esses recursos destacam-se:

• manipulacao e operacoes com grandes quantidades de dados numericos;

• articulacao entre diversas formas de representacao;

• ferramentas logicas;

• ferramentas estatısticas.

Neste Capıtulo, propomos atividades com planilhas eletronicas, explorando os recursos acima emdois campos do ensino de Matematica: simbologia algebrica, equacoes e funcoes; e tratamento dainformacao.

Quando os alunos no ensino basico tem os primeiros contatos com a simbologia algebrica, nao saoincomuns as dificuldades com os diferentes significados dos sımbolos (variaveis, incognitas, constantes,parametros) e com as regras sintaticas a que estao sujeitas esses sımbolos. As planilhas eletronicaspossuem um sistema simbolico proprio. A propria experiencia concreta de codificacao e manipulacao dasimbologia nesse sistema, especialmente a verificacao de erros de codificacao indicados pelo software,pode ajudar os alunos a entenderem os significados e regras sintaticas dos sımbolos. No ensino defuncoes, as planilhas eletronicas possibilitam a articulacao de diversas formas de representacao,que podem ser construıdas concretamente no software pelo proprio aluno, em cada situacao. Essasrepresentacoes podem tambem ser utilizadas para a resolucao numerica de equacoes, ou mesmo desistemas de equacoes, especialmente em situacoes que envolvam modelos aproximados, permitindo aprocura de solucoes aproximadas em um determinado intervalo.

Na abordagem de tratamento da informacao e Matematica Financeira, as planilhas podem ser em-pregadas com dados extraıdos de situacoes concretas, que podem ser coletados pelos proprios alunos.As ferramentas estatısticas e graficas disponıveis nas planilhas eletronicas possibilitam a representacaodesses dados de diferentes formas numericas e graficas, e a analise, comparacao e inter-pretacao dessas representacoes, visando a formulacao de conclusoes e hipoteses.

17

18 CAPITULO 2. PLANILHAS ELETRONICAS

2.1 Simbologia Algebrica

Explorando Regularidades e Limites

Nesta secao, propomos atividades utilizando os recursos das planilhas eletronicas para a exploracao deregularidades e limites de sequencias numericas. Atividades com objetivos semelhantes ja foram propos-tas no capıtulo anterior. Entretanto, alem das planilhas oferecem muito mais recursos e funcoes que ascalculadoras de bolso, seu uso em atividades desta natureza apresenta algumas diferencas importantesdo ponto de vista pedagogico, em relacao ao uso da calculadora:

• De forma geral as planilhas possuem maior precisao que as calculadoras, portanto possibilitam avisualizacao e o tratamento de dados numericos com mais casas decimais.

• Os recursos das planilhas tambem oferecem a possibilidade de manusear os dados das atividadede forma mais dinamica e com menos uso de teclas, uma vez que as formulas e dados digitadosem uma celula podem ser generalizados para outras por meio do recurso de arrastar.

• Aa planilhas geram automaticamente um registro tanto das operacoes e funcoes matematicasempregadas no problema, quanto dos dados da solucao. Para guardar tais registros com o usoda calculadora, e preciso manter um controle paralelo em papel.

• Por outro lado, os sımbolos encontrados nas calculadoras de bolso sao essencialmente os mesmose obedecem as mesmas regras com que os alunos estao acostumados a lidar desde a alfabetizacaomatematica nos anos inicias, enquanto as planilhas eletronicas possuem simbologia e sintaxeproprias, cuja aprendizagem por si so demanda maior maturidade por parte do aluno.

Essas caracterısticas podem ser mais ou menos aproveitadas, dependendo dos objetivos pedagogi-cas da atividade em questao e do ano escolar dos alunos. Por exemplo, para explorar propriedades dasoperacoes e propriedades aritmeticas com alunos dos anos inicias do ensino fundamental, a calculadorae possivelmente mais adequada, por possibilitar um foco mais especıfico nesses objetivos. Por outrolado, a planilha eletronica pode ser adequada em anos escolares mais adiantados, contribuindo com umatransicao gradativa do trabalho com aritmetica nos anos inicias, em direcao ao pensamento algebrico-simbolico, de natureza mais sofisticada e abstrata. A atividade 1 visa justamente comparar as vantagense desvantagens da realizacao das mesmas atividades com a calculadora e com a planilha.

O uso da planilha eletronica para construir aproximacoes para numeros irracionais (como propoemas atividades 1 a 4) pode enriquecer significativamente a abordagem desses numeros. Em geral, ex-pansoes decimais para numeros irracionais sao apresentadas no ensino basico sem maiores justificativasmatematicas e ou manipulacoes concretas. As aproximacoes construıdas em planilhas eletronicas, em-pregadas em uma abordagem cuidadosamente planejada pelo professor, podem promover uma maiorfamiliaridade dos alunos com as representacoes decimais para numeros irracionais e suas pro-priedades, especialmente quando a programacao e feita por eles proprios. Em particular, a experienciacom planilhas pode fornecer uma ideia mais concreta para o fato de que as aproximacoes decimaisfinitas para um numero real dado constituem os termos de uma sequencia convergente, cujo limite eeste numero. Entretanto, como no Capıtulo 1, e importante observar ainda que devem ser exploradasnao sao as potencialidades tecnicas, como tambem as situacoes em que o software produz resultadosinesperados ou aparentemente errados.

Atividades

1. Repita as atividades 6 e 7 da secao 1.2 usando uma planilha eletronica. Aumente o numero decasas decimais da aproximacao. Que vantagens e desvantagens pedagogicas voce ve no uso daplanilha, em relacao ao uso da calculadora, para realizar esta atividade?

2.1. SIMBOLOGIA ALGEBRICA 19

2. Digite o numero 2 na celula A1 de uma planilha eletronica. Na celula A2, digite=(A1+2/A1)/2.Em seguida, selecione e arraste a celula A1 ao longo da coluna A. De que numero os valores queaparecem nessa coluna estao se aproximando? Justifique matematicamente a sua resposta.

3. Utilizando a mesma ideia da atividade 2, crie uma sequencia de numeros reais que tenda a√

3.

4. Digite o numero 1 na celula A1 de uma planilha eletronica. Na celula A2, digite =(A1+1)∧0,5.Em seguida, selecione e arraste a celula A1 ao longo da coluna A.

De forma analoga a atividade 2, podemos concluir que o numero para o qual os valores da colunaA estao se aproximando satisfaz a equacao x2 − x − 1 = 0. Esta equacao possui duas raızes

reais: x1 =1 +√

5

2e x2 =

1−√

5

2. Por que os valores que aparecem na planilha se aproximam

da primeira raiz, e nao da segunda?

5. Um aluno estava estudando o comportamento de duas sequencias numericas infinitas, para tentardescobrir para onde elas tendiam. Sem pistas para obter a resposta, ele decidiu recorre a umaplanilha eletronica. Para programar essa planilha, o aluno procedeu da seguinte forma:

1. A coluna A foi numerada com numeros naturais em sequencia de 1 a 1.

2. Nas posicoes correspondes a primeira linha das colunas B, C, D e E, ele escreveu, respec-tivamente: =1/A1; =B1; =1/A1∧2; =D1.

3. Nas posicoes correspondes a segunda linha das colunas B, C, D e E, ele escreveu, respec-tivamente: =1/A2; =C1+B2; =1/A2∧2; =E1+D2.

4. A primeira e a segunda linhas da tabela foram selecionadas e arrastadas ate completar amilesima linha.

A figura abaixo mostra um trecho da planilha programada por ele.


(a) Explique o comportamento dos valores mostrados nas colunas B, C, D e E da planilha.

(b) Na sua opiniao, que sequencias o aluno estava tentando estudar?

(c) Voce considera que a planilha pode ajuda-lo a determinar os limites procurados?

(d) Se o aluno arrastasse ate a milionesima linha, em lugar de parar na milesima, voce acha queele teria mais pistas para a resposta do problema?

(e) Determine os limites.

Como ja comentamos, um primeiro objetivo das atividades anteriores e o entendimento da propriasimbologia e regras sintaticas das planilhas eletronicas, em particular, como as formulas inicial-mente digitadas em uma celula se generalizam com a ferramenta de arrastar.

Na atividade 2, os valores que aparacem na coluna A correspondem aos termos da sequencia denumeros reais definida recursivamente da seguinte forma:

x1 = 2

xn+1 =xn + 2/xn

2∀n > 1

(2.1)

Observando a planilha, podemos perceber que os valores que aparecem na coluna A parecem seaproximar do numero

√2. Para ter certeza da validade deste fato, devemos buscar uma justificativa

matematica. Empregando as operacoes aritmeticas com limites observamos que, caso o limite dasequencia (xn)n∈N definida em 2.1 exista, teremos:

lim xn+1 = lim

(xn + 2/xn

2

)=

lim xn + 2/ limxn2

.

Alem disso, e claro que lim xn+1 = lim xn. Portanto, x = lim xn devera satisfazer a equacao:

x =x+ 2/x

2,

que e equivalente a x2 = 2. Um argumento de inducao finita garante-nos que, se comecamos comum termo inicial x1 > 0, entao todos os demais termos da sequencia (xn) definida em 2.1 serao todospositivos. Isso nos leva a concluir que, de fato, lim xn =

√2.

Entretanto, este argumento nao esta completo! Para que ele seja valido precisamos, de antemao,ter certeza que o limite existe, pois caso contrario nenhuma das operacoes que foram feitas com eleseria valida. Para demonstrar a existencia do limite, comecamos considerando a funcao real f : R→ R

definida por:

f(x) =x + 2/x

2.

A analise da derivada de f nos diz que a funcao possui um mınimo absoluto no ponto (√

2,√

2),isto e, f(x) >

√2 ∀ x > 0. Como xn+1 = f(xn) e ja sabemos que xn > 0 ∀n ∈ N, entao xn+1 >

√2

∀n > 1, isto e, xn >√

2 ∀n > 2. Como x1 = 2 >√

2, entao, xn >√

2 ∀n > 1. Logo, a sequencia(xn) e limitada inferiormente por

√2.

Agora, observe que: xn >√

2⇒ x2n > 2⇒ xn > 2

xn. Portanto:

xn+1 =xn + 2/xn

26xn + xn

2= xn ∀n > 1.

Logo, (xn) e monotona decrescente. Assim a sequencia e limitada inferiormente e monotona de-crescente, o que garante que (xn) e convergente, isto e, existe o limite.


A atividade 3 pede uma adaptacao da atividade 2. De forma mais geral, dados a ∈ R, a > 0, e k ∈N, voce podera obter aproximacoes para o numero k

√a, utilizando a sequencia definida recursivamente

da seguinte forma (verifique):

x1 = 1

xn+1 =(k − 1) xn + a/xn

k∀n > 1

A atividade 4 explora uma ideia semelhante a da atividade 2, para construir uma sequencia conver-gindo ao numero aureo.

Na atividade 5, as colunas B, C, D e E da planilha representam, respectivamente, os termos dasseguintes sequencias:

an =1

nsn =

n∑

k=1

1

kbn =

1

n2tn =

n∑

k=1

1

k2.

Entretanto, uma analise pouco cuidadosa dos valores mostrados na planilha pode sugerir conclusoeserroneas sobre o comportamento das sequencias. Sabemos que o comportamento de convergenciadessas sequencias e como dado abaixo. Provas para estes fatos podem ser facilmente encontradas emlivros de analise real.

lim1

n= lim

1

n2= 0 lim

n∑

k=1

1

k= +∞ lim

n∑

k=1

1

k2=π2

6.

Assim, as sequencias (an) e (bn) tem ambas limite 0. Porem, as colunas B e D da planilha (quecorrespondem, respectivamente, a seus termos) parecem sugerir comportamentos distintos: os valoresmostrados nessas colunas parecem se estabilizar em 0, 001 e 0, respectivamente. Como a sequencia(an) tende a 0, seus termos nao podem se estabilizar em 0, 001; e embora (bn) tenda a 0, seus termosnunca atingem o valor 0. Isto ocorre porque (bn) converge a 0 a uma taxa inferior que a de (an).

Por outro lado, (sn) e (tn) tem comportamentos distintos: a primeira diverge a infinito, enquanto asegunda converge a um valor finito. Porem, as colunas C e E podem sugerir o mesmo comportamentopara essas sequencias: ambas parecem se estabilizar em valores finitos. Isto ocorre porque (sn) tendea +∞ a uma taxa de crescimento muito baixa.

Os exemplos da atividade 5 mostram que a simples verificacao do comportamento dos termos de umasequencia no computador pode sugerir conclusoes erroneas sobre a existencia ou nao de seus limites.Sem duvida, a programacao e manipulacao de sequencia de numeros reais em planilhas eletronicaspropicia uma experiencia concreta, que pode contribuir significativamente com a aprendizagem dosalunos. Porem, como ja observamos, as conclusoes devem sempre ser sustentadas por argumentosmatematicos.

Atividades

6. Na atividade 2, comecamos digitando o numero 2 na celula A1 da planilha. Isto significa que oprimeiro termo da sequencia definida e 2.

(a) Aproveite a planilha que voce construiu na atividade 2 e altere o valor da celula A1 para 1.O valor do limite da sequencia continua o mesmo?

(b) Experimente alterar a celula A1 para outros valores positivos. Observe o comportamentoda sequencia.

(c) Agora, altere a celula A1 para valores negativos. Observe o comportamento da sequencia.

(d) Investigue e justifique matematicamente o que voce observou nos ıtens anteriores.


7. Na atividade 2, a planilha eletronica foi empregada para representar o comportamento de umasequencia definida recursivamente. Frequentemente utilizamos as propriedades de operacoes comlimites para determinar o limite de sequencias desse tipo. Entretanto, para isso, devemos tergarantia de antemao da existencia desses limites. Caso contrario, estaremos aplicando operacoessem validade, que podem levar a conclusoes erroneas. Como exemplo desses erros, considere asequencia de numeros reais (an)n∈N definida da seguinte forma:

a1 = 2an+1 = 1

2(a2

n + 1), se n ≥ 1.

(a) Mostre que (an) e crescente.

(b) Use uma planilha eletronica para representar os termos de (an).

(c) Considere o seguinte argumento para determinar o limite de (an):

Temos que x = lim an+1 = lim an. Entao, podemos tomar x = lim an+1 = lim an. Logo,

an+1 =1

2(a2

n + 1)⇒ lim an+1 =1

2

((lim an)2 + 1

)⇒

x =1

2(x2 + 1)⇒ x2 − 2x + 1 = 0⇒ x = 1

Logo, lim an = 1.

Este argumento esta correto? Justifique sua resposta.

(d) O que voce pode concluir sobre a convergencia desta sequencia? Justifique sua resposta.

Suponhamos que o limite da sequencia (an) da atividade 7 exista. Entao este limite deve ser, porum lado, maior ou igual a 2 (pois, pelo item 7a, (an) e crescente e seu primeiro termo e 2), e poroutro, igual 1 (pelo argumento do item 7c). Logo, (an) nao e convergente. Por isso, a aplicacao daspropriedades operatorias com o limite – que nao existe – levam-nos a uma conclusao contraditoria.

Nas atividades anteriores, observamos diferentes exemplos, em que as representacoes para assequencias numericas nas planilhas eletronicas nem sempre sugerem, pelo menos a primeiravista, comportamentos consistentes com o comportamento matematico. Desta forma, vimosexemplos de: sequencias convergentes e sequencias divergentes a infinito cujo comportamento podeser facilmente observado nas planilhas, assim como sequencias convergentes que parecem tender a umlimite diferente do verdadeiro e sequencias divergentes a infinito que parecem convergir um limite finitoquando representadas nas planilhas. Ressaltamos que a busca pelas justificativas matematicaspara essas aparentes diferencas de comportamento podem ser explorados pelo professorpara enriquecer a compreensao dos alunos sobre sequencias e representacao decimais denumeros reais.

Atividades




(c) Qual e o papel da planilha eletronica no desenvolvimento das atividades?

(d) Que vantagens e desvantagens o uso da planilha nas atividades pode trazer para a aprendi-zagem dos conceitos enfocados, em relacao a abordagens com recursos convencionais (istoe, sem o uso de recursos computacionais)?



Articulando Representacoes

As atividades 10 a 13 propostas a seguir procuram explorar os recursos das planilhas eletronicas para otracado de funcoes reais de variavel real. Este tema sera tratado em mais detalhes no Capıtulo 3, em quesera discutido o uso de softwares desenhados especialmente para esse objetivo. Este nao e o caso dasplanilhas eletronicas: o recurso que adaptamos para tracar graficos de funcoes reais e originariamenteconcebido para a representacao de dados estatısticos em graficos de linhas. Essa adaptacao causaalgumas limitacoes para a realizacao das atividades.

Em primeiro lugar, os graficos sao obtidos pela interpolacao de pontos por meio de segmentos dereta. Assim, eles podem ter aspecto mais de poligonais do que de curvas suaves. Alem disso, nao e pos-sıvel ter controle do intervalo de visualizacao no eixo vertical, pois este e determinado automaticamentepelo software a partir dos valores da variavel. Em alguns casos, isso pode prejudicar a visualizacaodos graficos. Entretanto, estas limitacoes nao inviabilizam o uso das planilhas eletronicas para a abor-dagem de graficos de funcoes em sala de aula. Como ja comentamos, as limitacoes tecnicas dossoftware podem ser exploradas como potencialidades pedagogicas, para motiva exploracoesmatematicas. Por exemplo, as situacoes em que os graficos adquirem o aspecto de poligonais podemser usadas para mostrar que o metodo de tracar graficos simplesmente por meio de marcacao e inter-polacao de pontos pode conduzir a erros. Esta discussao e proposta aos alunos nos ıtens 10b e 11c.Retomaremos e aprofundaremos essa questao no Capıtulo 3.

Atividades

10. Nesta atividade, propomos a construcao de graficos de funcoes a partir de tabelas de valores.Neste exemplo inicial, ficaremos restritos a curvas de grau menor ou igual a 2, descrevendo oprocedimento passo a passo.

1. Insira diferentes valores de entrada da funcao (elementos do domınio) na coluna A daplanilha.

2. Escreva a formula para a funcao escolhida na primeira celula da coluna B e arraste estacelula para baixo ao longo da coluna, ate o fim dos valores inseridos na coluna A.

3. Em seguida, selecione a coluna B e use o recurso do software para construir um grafico comos dados inseridos.

4. A figura abaixo exemplifica um tipo de saıda possıvel para uma parabola do tipo y =ax2 + bx + c, com a = −1, b = −1 e c = 2.

(a) Atribua novas valores a, b e c e interprete o comportamento da funcao.

(b) Observe que o grafico mostrado parece ser formado por pequenos segmentos de reta. Comovoce explica esse comportamento?


11. (a) Numere a coluna A de uma planilha de −3 a 3, de 1 em 1. Escreva =A1∧2 na primeiracelula da coluna B e arraste esta celula para baixo ao longo da coluna, ate o fim dos valoresinseridos na coluna A. Selecione a coluna B e use o recurso do software para construirgraficos. Observe o grafico tracado.

(b) Agora, repita a operacao, numerando a coluna A de −3 a 3, de 0, 5 em 0, 5. Trace o graficoe compare com o aspecto do grafico anterior.

(c) Qual dos graficos melhor retrata a curva y = x2? Como voce poderia melhorar mais oaspecto desse grafico?

12. Numere a coluna A de uma planilha de −3 a 3, de 0, 5 em 0, 5.

(a) Escreva =A1+1 na celula B1 e =B1+1 na celula C1. Em seguida, arraste as celulas B1e C1 para baixo, ate o fim dos valores inseridos na coluna A. Selecione as colunas B e Cuse o recurso do software para construir graficos. Qual e relacao entre os graficos tracados?

(b) Agora, altere a celula B1 para =A1∧2 e arraste esta celula para baixo ao longo da colunaB, ate o fim dos valores inseridos na coluna A, sem alterar a coluna C. Observe as mudancasnos dois graficos tracados. Qual e relacao entre esses graficos?

(c) Altere novamente a celula B1 para =SEN(A1) e repita a operacao do item anterior: arrasteesta celula para baixo ao longo da coluna B, ate o fim dos valores inseridos na coluna A,sem alterar a coluna C. Qual e relacao entre os graficos tracados?

13. (a) Aproveitando a construcao da atividade 12, insira =A1+1 na celula B1 e =ABS(B1) nacelula C1 e arraste estas celulas para baixo ate o fim dos valores inseridos na coluna A.Use o recurso do software para construir os graficos correspondentes aos dados nessas duascolunas. Explique a relacao entre os graficos tracados.

(b) Altere a celula B1 para =A1∧2-1 e arraste-a para baixo, ate o fim dos valores inseridos nacoluna A. Observe as mudancas nos graficos e explique a relacao entre eles.

(c) Agora, altere a celula B1 para =SEN(A1) e arraste-a para baixo, ate o fim dos valoresinseridos na coluna A. Mais uma vez, observe as mudancas nos graficos e explique a relacaoentre eles.

(d) Repita os ıtens anteriores, alterando a celula C1 para B1∧2. Compare o comportamentodos diferentes graficos tracados.

(e) Faca novas alteracoes nas colunas B e C, sempre procurando explicar o comportamento dosgraficos tracados.

As atividades 10 e 11 sao de carater introdutorio e visam a familiarizacao com os recursos disponıveisem planilhas eletronicas para o tracado de graficos. Como comentamos no inıcio desta secao, a propriaaprendizagem da simbologia e da sintaxe do software pode ser um exercıcio enriquecedor por si so.A representacao e manipulacao de objetos matematicos na planilha eletronica deve obedecer a regrassintaticas especıficas – assim como a linguagem simbolica matematica usual. Porem, no caso do soft-ware, a correcao das regras e condicao necessaria para a obtencao de resultados, o que nao ocorrequando o aluno resolve problemas com papel e lapis. Assim, a experiencia com a planilha podecontribuir com aprendizagem da simbologia algebrica e com a transicao do pensamentopuramente aritmetico para o pensamento algebrico.

As atividades 12 e 13 exploram a ideia de composicao de funcoes. A coluna B e C da planilha frepresentam respectivamente os valores de uma funcao f e de uma funcao composta gf . Na atividade12, a funcao g e mantida fixa e a funcao f e alterada (figura 2.1). Na atividade 13, as funcoes f e g


sao alteradas (figura 2.2). Os recursos do software permitem que as mudancas de comportamento nosgraficos de f e de g f sejam visualizadas ao mesmo tempo que as funcoes sao alteradas.

No ensino medio, em geral os exercıcios sobre composicoes de funcoes reduzem-se a procedimentospara determinar expressoes algebricas das compostas, dada as expressoes algebricas das funcoes origi-nais. O uso do computador permite a comparacao das propriedades das funcoes compostas com aspropriedades das funcoes originais, a partir da articulacao das representacoes algebricas, numericas egraficas.

Figura 2.1: Composicao de funcoes em planilhas eletronicas: os graficos de y = g(x+ 1), y = g(x2) ey = g( sen x), sendo g(x) = x+ 1.

Figura 2.2: Composicao de funcoes em planilhas eletronicas: os graficos de y = g(x+ 1), y = g(x2) ey = g( sen x), sendo g(x) = |x|; e de y = g(x+ 1), y = g(x2) e y = g( sen x), sendo g(x) = x2.

Atividades








2.2 Tratamento da Informacao e Matematica Financeira

Os recursos tecnologicos disponıveis, atualmente com amplo uso na sociedade, ampliaram as possibilida-des de tratamento de dados de modo a transforma-los em informacoes com grande potencial de analise eaplicacao em diversos campos do conhecimento. Tais possibilidades tem sido cada vez mais aplicadas noensino basico de Matematica, mobilizando os conhecimentos desenvolvidos pelos alunos em estatısticabasica. Inclui-se aı a analise de dados obtidos em coletas empıricas que, mesmo quando emgrande volume, podem ser organizados e interpretados, por meio de graficos de diversos tipos,tabelas, e de medidas estatısticas de tendencia central, como media, mediana e moda. Tais ferramentasconceituais podem cumprir dupla finalidade. Por um lado, contribuem com a formacao cidada doaluno, na medida em que oferecem acesso, de modo rapido, a diversificadas formas de apresentacaoda informacao, que possibilitam interpretacoes de situacoes e dao suporte a tomadas de decisoes. Aomesmo tempo, permitem a utilizacao de contextos familiares do dia a dia para o aprendizado deconceitos matematicos e sua articulacao com outros campos do conhecimento.

Assim, abordagem de tratamento da informacao com apoio de recursos computacionais pode pro-mover uma nova dinamica a sala de aula. No ensino basico, espera-se que o trabalho com Estatısticaseja calcado em um processo investigativo, por meio do qual o estudante manuseie dados desde acoleta ate a interpretacao, e formulacao de conclusoes finais.

Apresentamos a seguir algumas atividades que visam explorar o uso de planilhas eletronicas paraapresentar a coleta, organizacao, interpretacao e apresentacao de dados numericos em tabelas e graficos.Exploramos ainda o calculo de medidas estatısticas como media, mediana, moda e seus significados.

Atividades

1. Solicite aos alunos da turma formem grupos de ate seis componentes e construam uma tabelaque relacione a altura (em metro) com o tamanho do palmo (em centımetros) de cada um dosestudantes. Cada grupo deve anotar esses dados em uma planilha eletronica e usar os recursosdisponıveis para responder as questoes a seguir.

(a) Determine os valores da media, moda e mediana para os dados de seu grupo.

(b) Explique o significado estatıstico da media, da moda e da mediana. Podemos afirmar quenecessariamente existe um aluno da grupo cuja altura coincide exatamente com o valor damedia? E da mediana? E da moda? Justifique suas respostas.

(c) Construa uma tabela de frequencia para cada uma das medidas: altura e palmo.

(d) Escolha uma representacao conveniente e represente graficamente os dados: altura × palmo.

(e) Voce considera que ha alguma relacao entre a altura e o tamanho do palmo dos colegas?Justifique sua resposta.

(f) Anote os dados de cada um dos outros grupos e compare os dados tabelados e os valoresdas medidas estatısticas calculadas no item 1a.

(g) Voce considera que ha alguma relacao entre a media, da moda e da mediana das alturas edos tamanhos dos palmos dos diferentes grupos? Justifique sua resposta.

2. Formule uma atividade de coleta e organizacao de dados que possa ser aplicada em uma turmade ensino medio.

(a) Escolha a melhor representacao grafica dentre as possibilidades da planilha eletronica.

(b) Use as funcoes da planilha de calculo e determine os valores da media, moda e mediana.

(c) Relate que conclusoes voce pode inferir sobre os dados coletados com base nas repre-sentacoes graficas e nas medidas?

2.2. TRATAMENTO DA INFORMACAO E MATEMATICA FINANCEIRA 27

Outro campo em que a educacao para a cidadania pode se articular com a aprendizagem de conceitosmatematicos importantes e a Matematica Financeira. No estagio economico por que passa o Brasil,com grande parte da populacao tendo acesso a creditos e financiamentos em modelos diversificados,cabe ao ensino basico de Matematica oferecer ao aluno uma formacao solida neste campo.

A Matematica Financeira aplicada aos diversos ramos da atividade economica pode repre-sentar importante instrumento para auxiliar em analises e decisoes de ordem pessoal e social.Assim, alem de servir como aporte a conceitos de outros campos, o aprendizado de Matematica Fi-nanceira instrumentaliza o cidadao a melhor entender, interpretar e escolher adequadamente dıvidas,crediarios, descontos, reajustes salariais, aplicacoes financeiras. Dentre essas decisoes, destacamos asescolhas entre de propostas de financiamentos a longo, medio e curto prazo, relacionadas a experienciasdo cotidiano.

A seguir apresentamos atividades que exploram analises de diferentes modos de composicao definanciamentos com pagamentos periodicos muito utilizados em creditos de longo prazo para aquisicaode veıculos (carros, motos) e imoveis.

Atividade

3. Para a maioria das operacoes financeiras as taxas de juros compostos sao aplicadas a cada perıodosobre um capital aplicado ou a uma dıvida contratada. Desse modo, se o perıodo de capitalizacaoou incidencia dos juros difere do perıodo da taxa de juros informada e necessario uma conversaode modo a adequar o perıodo a taxa. A tabela abaixo pode ser construıda com as funcoes deuma planilha de calculo.

(a) Reproduza esta planilha para as conversoes indicadas e proponha a conversao para outrosvalores de taxas, considerando os perıodos do exemplo.

(b) Apesar de nao estar explıcita, a conversao acontece para valores de taxas dadas ao ano eque devem ser calculadas para valores ao mes. Que valores estariam nas celulas Q e R se ataxa dada fosse calculada ao ano e as taxas aplicadas ao trimestre?

(c) Simule conversoes para diferentes perıodos (por exemplo: semestre para bimestre, etc).

(d) Observe a funcao referente a celula S3. Escreva uma justificativa matematica para estafuncao. Que conceito matematico e empregado para encontrar os valores?

(e) Com esta mesma tabela de conversao, sem mudar a funcao, e possıvel converter uma taxadada ao mes no sistema de juros compostos para o equivalente ao ano? Em caso afirmativo,qual e a justificativa matematica para tal conversao?


O foco das atividades 4 a 7 a seguir esta nos sistemas utilizados para financiamentos de longo prazo.Nestes tipos de financiamentos, consideram-se sempre parcelas periodicas constituıdas por duas partes:a amortizacao, que corresponde ao que e efetivamente abatido da dıvida; e os juros, calculados sobreo saldo devedor no perıodo do pagamento. Ha duas modalidades principais encontradas no mercadopara este tipo de financiamento:

• No sistema SAC (Sistema de Amortizacao Constante), um valor constante e amortizado a cadaparcela. Portanto, o valor das parcelas decresce com o tempo. Este sistema e muito usado emfinanciamentos de casa propria.

• No sistema PRICE, as parcelas constantes sao mantidas constantes. Este pode ser mais encon-trado em financiamentos de veıculos e bens duraveis. Muitas vezes, o sistema PRICE e informadopelos vendedores como sendo sem juros, porem os juros totais sao calculados e diluıdos nasparcelas fixas.

Podemos utilizar as funcoes estatısticas das planilhas eletronicas para calcular valores para essasmodalidades de financiamento.

Atividades

4. O trecho da tabela abaixo representa um financiamento pelo sistema SAC, no valor de R$50.000,00 para compra de um imovel em um perıodo de 300 meses, com taxa de 0,9% aomes.

(a) Reproduza esta tabela do Sistema SAC em uma planilha de calculo.

Observe que para utilizar celulas que terao valor constante devemos utilizar o rotulo dacoluna sempre entre $. Por exemplo, toda vez que nesta tabela usar a taxa fixa de 0,9%devo criar referencia a $B$3. Os valores da coluna B, de B4 em diante sao obtidos pelasubtracao de 1 do valor antecessor: E5=E4-1.


(b) Justifique matematicamente cada um dos valores numericos presentes nas celulas da linha4 (B4:F4).

(c) O que podemos observar relacionado a cada uma das colunas?

(d) Qual o comportamento das parcelas da prestacao neste sistema? Justifique.

(e) Utilize o assistente de graficos da planilha e em unico sistema cartesiano represente os valoresdas colunas C, D, E, e F com as parcelas da coluna B.

(f) Experimente variar os valores da quantidade de parcelas ou da taxa de juros. O que podemosobservar em cada caso?

5. A tabela abaixo apresenta o mesmo financiamento da atividade 4, utilizando o sistema PRICE.

(a) O que podemos observar diferente nesta tabela? Justifique.

A figura abaixo ilustra a situacao retratada pela tabela PRICE acima. Ou seja, temos umvalor principal e devemos encontrar as parcelas iguais, em modo composto, obtidas a partirdo VF. Cabe ressaltar que este valor pode ser obtido por meio das funcoes estatısticas daplanilha. Por exemplo o conteudo obtido em K4 e dado por Calculo da Prestacao Constante:

=PGTO(i%; n; -VP; Vf; 0) em que:

• i e a tx de juros;

• n e a quantidade de perıodos;

• VP e o valor do emprestimo;

• VF e usualmente zero;

• 0 indica que os pagamentos serao ao final do perıodo.


(b) Justifique matematicamente cada um dos valores numericos presentes nas celulas da linha4 (J4:M4).

(c) Observe a funcao referente a celula S3. Escreva uma justificativa matematica para estafuncao. Que conceito matematico e empregado?

(d) Qual o comportamento das parcelas da prestacao neste sistema? Justifique.

(e) Utilize o assistente de graficos da planilha e em unico sistema cartesiano represente os valoresdas colunas C, D, E, e F, com as parcelas da coluna B.

(f) Experimente variar os valores da quantidade de parcelas ou da taxa de juros. O que podemosobservar em cada caso?

6. Construa em uma mesma planilha as tabelas com os sistemas SAC e PRICE. Para cada um doscasos, represente em eixos cartesianos a amortizacao, os juros, as prestacoes e saldo devedor.Comente as vantagens e desvantagens de cada sistema.

7. Construa as tabelas analogas as anteriores, para o caso da taxa dada ao ano com perıodos deprestacoes mensais. Veja a figura abaixo, como uma sugestao para inserir a nova entrada comtaxa ao ano.

Fecharemos este Capıtulo com uma atividade interessante (e talvez surpreendente) de MatematicaFinanceira. Alem do numero π, o numero irracional transcendente mais conhecido e importante daMatematica e certamente a constante de Euler:

e = 2, 718281828459 . . .

Embora o numero e tenha um papel importante em Matematica superior, alem de inumerasaplicacoes na modelagem de problemas em diversas areas, motivacoes para a sua introducao no ensinobasico nao sao muito difundidas – diferentemente do que ocorre com o numero π, cuja definicao comorazao entre o perımetro e a diagonal do cırculo tem forte apelo geometrico. No caso da constante deEuler, uma dificuldade esta no fato de que, embora haja algumas formas equivalentes de definir estenumero, todas envolvem de alguma forma o conceito de limite. Podemos definir e por meio do seguintelimite, conhecido como Segundo Limite Fundamental do Calculo:

e = limn→+∞

(1 +

1

n

)n

.

Uma das formas de motivar a definicao da constante de Euler envolve uma situacao de MatematicaFinanceira, apresentada na atividade 8. Como observara, a planilha eletronica tem um papel importante


nessa atividade, pois sao necessarios muitos calculos. Como nas atividades 1 a 6 da secao 2.1, paraaplicar esta atividade no ensino medio, nao e necessario empregar linguagem de limites, mas apenasfazer com que os alunos percebam intuitivamente o processo de aproximacao, que pode ser usado comopreparacao para a futura introducao ao conceito de limite.

Atividade

8. Em uma planilha eletronica, considere as colunas A, B, e C. Nessas colunas realize as seguintesoperacoes:

1. Na coluna A, digite nas celulas A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9 e A10, respectiva-mente, os valores 1, 2, 3, 4, 6, 12, 365, 8760, 525600 e 31536000.

2. Digite =1+1/A1 na celula B1 e =B1∧A1 na celula C1.

3. Arraste as celulas B1 e C1, ao longo das colunas B e C, ate o final dos valores digitadosna coluna A.

(a) Na coluna C estamos calculado(1 + 1

n

)npara n igual a cada um dos valores digitados na

coluna A. O que voce observa nestes calculos?

(b) Como explicar que(1 + 1

n

)naproxima-se de um numero real a medida que n aumenta?

Uma explicacao intuitiva para a convergencia de(1 + 1

n

)nquando n aumenta indefinidamente esta

na Matematica Financeira, mais precisamente nos juros pagos por uma caderneta de poupanca. Penseque voce possui uma quantia Q0 aplicada na caderneta de poupanca de um certo banco, que paga pelaaplicacao dessa quantia uma taxa de rendimentos de 100% ao ano, e voce ainda decide as datas paraa capitalizacao de sua aplicacao.

Se voce optar pela capitalizacao anual (uma vez ao ano), a cada ano o banco paga a voce o saldointegral (100% = 1) existente na capitalizacao anterior. Assim, apos um ano voce tera:

• capitalizacao anual: Q0 +Q0 = 2Q0 .

Se voce optar pela capitalizacao semestral (duas vezes ao ano), a cada seis meses o banco paga avoce metade (50% = 1

2) do saldo existente na capitalizacao anterior. Assim, apos seis meses voce tera

Q0 + 12Q0 =

(1 + 1

2

)Q0 e apos um ano voce tera

(1 + 1

2

)Q0 + 1

2

(1 + 1

2

)Q0 =

(1 + 1

2

) (1 + 1

2

)Q0 de

saldo, ou seja:

• capitalizacao semestral:(1 + 1

2

)2Q0 = 2, 25Q0 .

Se voce optar pela capitalizacao quadrimestral (tres vezes ao ano), a cada quatro meses o bancopaga a voce um terco do saldo existente na capitalizacao anterior. Assim, apos quatro meses seu saldo

sera(1 + 1

3

)Q0, apos oito meses seu saldo sera

(1 + 1

3

)2Q0 e apos um ano seu saldo sera:

• capitalizacao quadrimestral:(1 + 1

3

)3Q0 = 2, 370Q0 .

Desta forma, o juro anual da aplicacao e parcelado linearmente no perıodos de capitalizacao, ou seja,dividido em partes iguais pelo numero de capitalizacoes anuais. Ao fim de cada perıodo de capitalizacao,este juro parcelado e aplicado sobre o saldo da capitalizacao existente ao fim do respectivo perıodo.Perceba que, ao final de um ano, os juros sobre juros vao aumentando seu rendimento inicial Q0 amedida que aumentamos o numero de capitalizacoes anuais. Assim, se voce optar pela capitalizacaotrimestral (4 vezes ao ano), bimestral (6 vezes ao ano), mensal (12 vezes ao ano), diaria (356 vezes aoano), ao final do ano o saldo total da aplicacao sera cada vez maior:


• capitalizacao trimestral:(1 + 1

4

)4Q0 = 2, 44140625Q0.

• capitalizacao bimestral:(1 + 1

6

)6Q0 = (2, 521626 . . .)Q0.

• capitalizacao mensal:(1 + 1

12

)12Q0 = (2, 613035 . . .)Q0.

• capitalizacao diaria:(1 + 1

365

)365Q0 = (2, 714567 . . .)Q0.

Nao ha no mercado aplicacoes com prazo de capitalizacao inferior a um dia, mas se pudessemosaumentar indefinidamente o numero de capitalizacoes anuais, diminuindo consequentemente o perıodode capitalizacao, verificarıamos que o saldo da aplicacao ao final do ano continuaria aumentando.Hipoteticamente, poderıamos pensar por exemplo em capitalizacao horaria (365× 24 = 8760 vezes aoano), minuto a minuto (8760 × 60 = 525600 vezes ao ano) ou segundo a segundo (525600 × 60 =31526000 vezes ao ano). Assim, terıamos:

• capitalizacao horaria:(1 + 1

8756

)8756Q0 = (2, 718127 . . .)Q0.

• capitalizacao minuto a minuto:(1 + 1

525600

)525600Q0 = (2, 718279 . . .)Q0.

• capitalizacao segundo a segundo:(1 + 1

31536000

)315360006Q0 = (2, 718282 . . .)Q0.

Mas, sera que o fato deste saldo final anual aumentar significa que ele aumenta ilimitadamente?Isto e, podemos obter um saldo final tao grande quanto queiramos, tomando perıodos de capitalizacaosuficientemente pequenos? Veremos que a resposta e nao: o saldo final sempre aumenta, mas nuncaultrapassa certa cota superior. Perceba que os valores calculados na planilha eletronica na atividade8 correspondem as taxas finais de rendimentos, (isto e, as razoes entre cada saldo final anual obtidoe o respectivo valor aplicado inicialmente) correspondes aos perıodos de aplicacao relacionadas acima.Esses valores parecem convergir para um numero proximo de 2, 71828. Entretanto, para ter certezadessas respostas, precisamos abordar o problema matematicamente.

As taxas finais de rendimentos, para uma aplicacao com n capitalizacoes anuais, sao dadas pelasequencia de exponenciais:

en =

(1 +

1

n

)n

, n = 1, 2, 3, . . .

Evidentemente, a existencia do limite dessa sequencia, que determina a constante de Euler, precisaser demonstrada matematicamente. Essa demonstracao passa por mostrar que a sequencia de numerosreais (en) e estritamente crescente e limitada superiormente por 3. Demonstrado isso, a completudedos numeros reais garante a existencia do limite, que chamaremos de e. Observe inicialmente que apotencia en se expande em n + 1 parcelas, como abaixo:

(1 +

1

n

)n

= 1 +1

nn+

n(n− 1)

2

1

n2+n(n− 1)(n− 2)

2!

1

n3+ · · ·+ n

1

nn−1+

1

nn.

A (j + 1)-esima parcela, do ponto de vista de1

j!, se escreve como

n(n− 1)(n− 2) · · · (n− j + 1)

j!

1

nj=

n(n− 1)(n− 2) · · · (n− j + 1)

nj

1

j!

=n

n

n− 1

n· · · n− j + 1

n

1

j!

=

(1− 1

n

)(1− 2

n

)· · ·(

1− j − 1

n

)1

j!


Como cada um dos parenteses acima aumenta de valor se trocarmos n por n+1, segue que en < en+1

para todo n. Alem disso, cada um desses parenteses e sempre menor do que 1, tornando a parcela em

questao menor do que1

j!. Assim:

en =

(1 +

1

n

)n

< 1 +1

1!+

1

2!+

1

3!+

1

4!+

1

5!+ · · ·+ 1

n!

A soma das quatro primeiras parcelas da desigualdade acima resulta em 83. Para as demais parcelas

vamos usar que1

n!<

1

2npara todo n ≥ 4. Podemos entao limitar en por

en =

(1 +

1

n

)n

<8

3+

1

24+

1

25+ · · ·+ 1

2n

<8

3+

1

24

(1 +

1

2+

1

4+

1

8+ · · ·

)

=8

3+

1

16· 2 =

67

24= 2, 7916 < 3

O numero

e = limn→+∞

(1 +

1

n

)n

conhecido na matematica como a constante de Euler, e um valor que aparece naturalmente na mode-lagem matematica de problemas reais, conforme ja vimos no exemplo do rendimento da caderneta depoupanca.

Note que o que foi provado acima e que o limite da sequencia en existe e e um numero real menor ouigual a 3, que chamamos de e. Portanto, por enquanto sabemos apenas que 0 < e 6 3. A experienciaque realizamos com a planilha eletronica fornece aproximacoes para o numero e. Porem, apenas combase nessa experiencia, nao ha como saber quantos algarismos das aproximacoes geradas em cada passocoincidem com as casas decimais exatas de e. Determinar com precisao as casas decimais de e e outroproblema, que demanda outras ferramentas matematicas, como por exemplo polinomios de Taylor.

Cabe observar ainda que, evidentemente, juros de 100% ao ano nao e uma situacao realista. En-tretanto, estabelecemos este valor apenas para facilitar as contas. Se, em lugar disso, fixassemos umataxa p de juros qualquer, as taxas finais de rendimentos, em funcao do numero n de aplicacoes anuais,seriam dadas por: (

1 +p

n

)n, n = 1, 2, 3, . . .

E possıvel mostrar que a sequencia acima converge para o numero ep.

Atividades







Capıtulo 3

Ambientes Graficos

Introducao

No ensino basico, as principais formas de representacao empregadas na abordagem de funcoes reaisde variavel real sao: algebricas (formulas), graficas (graficos) e numericas (tabelas). Entretanto, deforma geral, observa-se grande enfase em formulas e procedimentos algebricos rotineiros executadossem maiores reflexoes, o que tende a favorecer a concepcao de funcao simplesmente como formula. Emconsequencia, nao e incomum que os alunos passem a considerar funcao como tudo aquilo que temuma formula, negligenciando outros aspectos importantes do conceito, e confundindo-o com outrasideias, especialmente a de equacao. O modelo usado em grande parte dos exercıcios com essas formasprincipais de representacao para funcoes segue o roteiro (ilustrado na figura 3.1):

1. partir de uma formula dada;

2. construir uma tabela por substituicao de valores (em geral, inteiros positivos e negativos proximosde 0);

3. marcar os pontos correspondentes no plano cartesiano e ligar esses pontos, obtendo um esbocodo grafico.

Formula

Tabela

Grafico

Figura 3.1: Representacoes para funcoes na escola: relacoes limitadas.

Este e um modelo essencialmente quantitativo, pois se baseia apenas nos valores da funcao em umnumero finito (e em geral pequeno) de elementos do domınio, com pouca reflexao matematica levandoem conta caracterısticas qualitativas especıficas da funcao. Tanto a escolha dos elementos do domıniopara compor tabelas quanto a interpolacao de pontos para tracar graficos sao em geral feitas de formaindiscriminada, o que, efetivamente, pouco contribui para uma melhor compreensao do comportamentoda funcao. Assim, esse modelo envolve relacoes limitadas entre as formas de representacoes.

E um objetivo importante para o ensino de funcoes procurar “completar” o diagrama da figura3.1, como mostra a figura 3.2, enriquecendo a abordagem com atividades que promovam articulacoesmultiplas entre diferentes formas de representacao e, desta forma, contribuam para uma com-preensao mais qualitativa sobre funcoes reais. Por exemplo, relacionar as caracterısticas geometricas do

35

36 CAPITULO 3. AMBIENTES GRAFICOS

grafico de uma funcao diretamente com as propriedades algebricas de sua formula, sem a intermediacaode tabelas de valores.

Formula

Tabela

Grafico

Figura 3.2: Representacoes para funcoes na escola: completando articulacoes.

Existem alguns softwares disponıveis que podem ajudar neste objetivo (por exemplo, [2, 7]). Es-ses programas nao requerem comandos ou sintaxe de programacao especıficos e permitem manipulargraficos de funcoes de forma integrada com representacoes algebricas e numericas, usando essencial-mente a mesma simbologia algebrica usual. Neste capıtulo, exploraremos possibilidades de uso dessetipo de software no ensino basico. Assim como no caso do capıtulo 1, o objetivo central e destacara riqueza das exploracoes matematicas que podem ser feitas com recursos tecnologicos relativamentesimples e acessıveis. As atividades propostas podem ser feitas com os programas Graphmatica [2],WinPlot [7] (que podem ser facilmente encontrados na internet), com outros equivalentes de sua pre-ferencia, ou ainda com planilhas eletronicas que tenham recursos para tracar graficos disponıveis (comoveremos no capıtulo 2, a seguir).

3.1 Articulando Representacoes

As atividades que seguem o modelo representado na figura 3.1 nao sao necessariamente ruins. Porempara que contribuam de fato para a aprendizagem do conceito de funcao, e importante que tanto aescolha dos valores na tabela quanto a construcao do grafico nao sejam feitas de forma mecanica, elevem em consideracao as propriedades especıficas da funcao dada. Observe os exemplos da atividadesa seguir.

Atividades

1. Considere a funcao f1 : R→ R dada por f1(x) = 9x2 − 9x + 2.

(a) Construa uma tabela de valores e esboce o grafico desta funcao com lapis e papel.

(b) Agora, construa o grafico da funcao no computador.

(c) Qual e o menor valor atingido pela funcao?

(d) Que valores voce escolheria para construir uma tabela, de forma a realmente ajudar aentender o comportamento desta funcao?

(e) Como a reta y = 2 pode ajudar a entender este grafico?

2. Considere a funcao f2 : R→ R dada por f2(x) = (x− 1) (4x− 1) (4x− 3).



(c) Determine para que valores de x a funcao e positiva e para que valores de x a funcao enegativa.


3.1. ARTICULANDO REPRESENTACOES 37

3. Considere a funcao f3 : R \

12

→ R dada por f3(x) =

1

(2x− 1).



(c) Esta funcao esta definida para todos os valores x ∈ R?


(e) Como a reta x = 12pode ajudar a entender este grafico?

As tres atividades acima sao variacoes da mesma ideia, mas com graus de dificuldade progressiva-mente crescentes, pois envolvem exemplos de funcoes cada vez menos familiares aos alunos. Basica-mente, a ideia basica e propor exercıcios envolvendo construcao de tabelas e esboco graficos sem o usodo computador, e em seguida usar a visualizacao dos graficos no computador para questionar, por meiode uma questao chave, as escolhas possivelmente feitas durante as resolucoes. Nesses tres exemplos,se os valores escolhidos restringirem-se a numeros inteiros e os pontos correspondentes forem ligadosindiscriminadamente, entao os esbocos dos graficos obtidos deixarao de captar aspectos importantesdo comportamento de cada uma das funcoes, que ocorrem para valores de x entre 0 e 1. Portanto, enecessario escolher os valores e ligar os pontos convenientemente. O software Graphmatica dispoe deum recurso que exibe uma tabela de valores determinada automaticamente de acordo com o intervaloem que o grafico e tracado. Este recurso pode ser usado para explorar a relacao entre os valores databela e o grafico no proprio software.

Na atividade 1, e dada uma funcao polinomial do segundo grau, que deve ser familiar aos alunosa partir do final do ensino fundamental. Portanto, eles nao devem ter dificuldades em perceber queo ponto de mınimo da funcao ocorre em

(12,−1

4

). A partir daı, os alunos poderao constatar que a

estrategia de substituir apenas valores inteiros e ligar os pontos, sem levar em conta as propriedades dafuncao dada, pode nao ser eficiente para tracar o grafico (figura 3.3). Esta constatacao pode ajuda-losa questionar a estrategia tambem no caso de exemplos menos familiares, como nas atividades 2 e 3.

Figura 3.3: O grafico de f1(x) = 9x2 − 9x + 2 tracado no software Graphmatica, com uma tabela devalores.


A funcao f2 da atividade 2 e polinomial do terceiro grau. Como a funcao ja e dada na formafatorada, podemos determinar facilmente suas raızes: x1 = 1

4, x2 = 3

4e x3 = 1. Alem disso, a analise

de sinais do produto permite concluir que f2 e:

• negativa para x < 14;

• positiva para 14< x < 3

4;

• negativa para 34< x < 1;

• positiva para x > 1.

Com base nessas informacoes (como f2 e contınua), e possıvel concluir que f2 tem (pelo menos) ummaximo local em

]14, 3

4

[e um mınimo local em

]34, 1[. Os graficos de funcoes polinomiais de terceiro

grau nao tem as mesmas propriedades de simetria das funcoes de segundo grau, portanto, nao podemosconcluir, por exemplo, que esses pontos de maximo e mınimo ocorrem em pontos medios das raızes, oude valores de x para determinado valor dado de y. Para determinar sua localizacao analiticamente, serianecessario recorrer a metodos do calculo infinitesimal. Entretanto, uma tabela de valores pode ajudara encontrar sua posicao aproximada e, assim, entender melhor o comportamento da funcao. Porem,para este fim, a tabela deve incluir pontos entre 0 e 1

4, entre 1

4e 3

4e entre 3

4e 1 (ver figura 3.4). Neste

caso, a questao chave da atividade e: Determine para que valores de x a funcao e positiva e para quevalores de x a funcao e negativa.

Figura 3.4: O grafico de f2(x) = (x− 1) (4x− 1) (4x− 3) tracado no software Graphmatica, com umatabela de valores.

A funcao f3 da atividade 3 nao esta definida em x = 12. Alem disso, como o numerador de f3 e igual

a 1 e seu denominador se anula neste ponto, entao, nos pontos proximos a x = 12, a funcao assume

valores indefinidamente grandes em modulo (positivos do lado direito e negativos do lado esquerdo).Em termos de limites, sabemos que:

limx→ 1

2

+f3(x) = +∞ e lim

x→ 1

2

−

f3(x) = −∞ .


Entretanto, nao e necessario recorrer a linguagem de limites para dar uma ideia intuitiva do compor-tamento da funcao. Isto pode ser feito por meio da observacao da relacao entre o comportamento dografico e os valores da funcao em pontos proximos x = 1

2(ver figura 3.5). Como veremos na secao 2.1,

tabelas de valores (que podem ser feitas por meio de planilhas eletronicas) podem ajudar a construiruma ideia intuitiva do comportamento de limites infinitos e limites no infinito, sem que seja precisoempregar linguagem de limites. Este comportamento nao seria percebido se construıssemos uma tabelaapenas com valores inteiros de x e, especialmente, se ligassemos os pontos em considerar a interrupcaodo grafico em x = 1

2. A questao chave neste caso e: Esta funcao esta definida para todos os valores

x ∈ R?

Figura 3.5: O grafico de f3(x) =1

(2x− 1)tracado no software Graphmatica, com uma tabela de

valores.

Cabem ainda algumas observacoes importantes sobre as atividades anteriores. Em primeiro lugar,os valores para montar as tabelas devem ser calculados com a ajuda dos recursos do proprio software,de outros softwares ou de uma calculadora. Estes calculos podem ser trabalhosos, e o objetivo dasatividades nao e treinar a destreza em contas e sim enfatizar as relacoes qualitativas entreas propriedades da formula algebrica, o comportamento do grafico e os valores da funcao.Por este mesmo motivo, estas representacoes devem ser discutidas pelo professor de formaarticulada: quando cada uma delas for enfocada, e importante, sempre que possıvel, fazer referenciaas demais e explicitar as relacoes. O software pode ser um aliado importante para estabelecer maisclaramente estas articulacoes. Outra forma particularmente interessante de fazer isso e relacionar osconceitos de funcao e equacao, que em muitos casos aparecem separados nos currıculos e livros didaticose sao frequentemente confundidos pelos alunos. Para tracar o grafico de uma funcao f , e util determinarsuas raızes, isto e, encontrar os valores de x no domınio de f tais que f(x) = 0. Para discutir maisestas ideias, veja as atividades 6 a 7.

Alem disso, e fundamental observar que a ideia nao e simplesmente usar o software paraverificar o que esta certo ou errado no grafico da funcao. Em lugar disso, a visualizacao nosoftware deve ser explorada para motivar reflexoes e conjecturas sobre as funcoes, que devem serverificadas posteriormente por meio de ferramentas matematicas. Esta observacao esta alinhada como objetivo mais geral de usar o computador para promover aprendizagem matematica solida o


suficiente para permanecer e se transferir para outras situacoes – mesmo sem o apoio damaquina. Assim, para que o computador nao se torne um criterio absoluto de verdade matematica paraos alunos, e importante explorar situacoes envolvendo resultados inesperados ou aparentemente errados,cuja interpretacao exija a compreensao mais aprofundada dos conceitos matematicos relacionados.Neste sentido, veja as atividades 1 a 5, da secao 3.3.

Atividades

4. Responda as perguntas a seguir, considerando as atividades 1, 2 e 3.


(b) Quais sao, na sua opiniao, os principais objetivos dessas atividades?

(c) Qual e o papel das questoes chave feitas em cada uma das atividades?

(d) Que outras perguntas voce proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos das ativida-des?

(e) Que relacoes entre as representacoes das funcoes como formula, grafico e tabela podem serexploradas com as atividades?

(f) Qual e o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do softwarepode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em relacao a abordagemconvencional (isto e, sem o computador)?

(g) Que obstaculos e desvantagens voce considera que seriam enfrentados na aplicacao dessasatividades em sala de aula?

5. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1, 2 e 3, que seja adequada paraas turmas em que voce leciona. Procure incluir uma ou mais questoes chave na atividade quevoce elaborar, para ajudar a encaminhar a resolucao dos alunos.

Funcoes e Equacoes

Observamos acima que a relacao entre os conceitos de funcao e equacao pode ser uma maneira inte-ressante de articular diferentes representacoes. As nocoes de equacao e de funcao sao frequentementeabordadas por meio de procedimentos algebricos rotineiros, levando os alunos a desenvolverem umaconcepcao confusa de equacao e de funcao simplesmente como formula. Por isso, e muito importanterelacionar estas nocoes, de forma a deixar clara a diferenca conceitual entre elas, e articular repre-sentacoes numericas, algebricas e graficas na resolucao de equacoes. Em geral, quando esbocamos ografico de uma funcao f , procuramos resolver a equacao f(x) = 0 (como abordamos no ultimo itemda atividade 1). De forma mais geral, podemos procurar os elementos x do domınio de f cujas imagenssao iguais a um valor fixado a ∈ R, isto e, resolver a equacao f(x) = a. Isto pode ajudar, por exemplo,a explorar propriedades graficas de simetria no caso das parabolas, como propoe a atividade 6.

Atividades

6. Considere a funcao g1 : R→ R, g1(x) = x2 − 4x+ 3.

(a) Esboce o grafico de g1.

(b) Resolva as equacoes: g1(x) = 0, g1(x) = 3, g1(x) = −1 e g1(x) = −2.

(c) Qual e a relacao entre as solucoes das equacoes acima e o ponto x = 2?

(d) Represente as solucoes das equacoes do item 6b graficamente.


(e) Determine todos os valores de a ∈ R tais que a equacao g1(x) = a tenha: duas solucoesreais distintas, uma unica solucao real, nenhuma solucao real.

(f) De forma geral, qual e a relacao entre as solucoes das equacoes acima e o ponto x = 2?

(g) Relacione a resposta do item 6e com o grafico de g1.

7. Considere a funcao g2 : R→ R, g2(x) = (x+ 1) (x− 1)2.

(a) Esboce o grafico de g2.

(b) Resolva as equacoes g2(x) = 0.

(c) Quantas solucoes tem a equacao g2(x) = −1? Voce saberia determinar o valor exato dasolucao desta equacao?

(d) Existe algum valor a ∈ R tal que g2(x) = a tenha exatamente duas solucoes reais distintas?Justifique sua resposta.

(e) Existe algum valor a ∈ R tal que g2(x) = a tenha exatamente tres solucoes reais distintas?Justifique sua resposta.

(f) Existe algum valor a ∈ R tal que g2(x) = a nao tenha solucoes reais? Justifique suaresposta.

(g) Relacione as respostas dos ıtens anteriores com o grafico de g2.

A atividade 6 tem como objeto uma funcao polinomial do segundo grau, que deve ser familiar aoalunos. Assim, eles deverao ser capazes de resolver as equacoes analiticamente e que estabelecer umainterpretacao grafica para as solucoes: as solucoes das equacoes f(x) = a sao dadas pelos pontos deintersecao entre o grafico de f e a reta horizontal y = a (figura 3.6, a esquerda).

Figura 3.6: Os graficos de g1(x) = x2 − 4x + 3 e g2(x) = (x + 1) (x− 1)2, com solucoes graficas deequacoes.

Assim, a atividade 6 pode preparar os alunos para a 7. Esta envolve uma funcao polinomial doterceiro grau, que e menos familiar aos alunos e nao pode ser manipulada algebricamente com asferramentas matematicas usualmente ensinadas no ensino medio. Como a funcao e dada na formafatorada, os estudantes podem concluir que as solucoes da equacao g2(x) = 0 sao −1 e 1. No entanto,eles nao terao ferramentas para determinar respostas analıticas exatas para as demais seguintespropostas na atividade. Este e um aspecto determinante para esta atividade, pois e justamente issoque pode leva-los a buscar as respostas por meio da interpretacao do grafico: a equacao f(x) = −1tem uma unica solucao real, existem valores a ∈ R tais que a equacao f(x) = a tem duas (um dosquais sendo a = 0) e tres solucoes reais, mas nao existem valores a ∈ R tais que f(x) = a nao tenhasolucoes reais. Lembramos ainda que podemos elaborar atividades envolvendo valores aproximados parasolucoes de equacoes, com calculadoras (ver capıtulo 1) ou planilhas eletronicas (ver capıtulo 2).


Atividades

8. Responda as perguntas a seguir, considerando as atividades 6 e 7.



(c) Qual e o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do softwarepode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em relacao a abordagemconvencional (isto e, sem o computador)?

(d) Que obstaculos e desvantagens voce considera que seriam enfrentados na aplicacao dessasatividades em sala de aula?

9. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 6 e 7, que seja adequada paraas turmas em que voce leciona.

3.2 Famılias de Funcoes Dependendo de Parametros

Em muitas situacoes de sala de aula, desejamos estudar a influencia de determinados coeficientes nosaspectos dos graficos de certas famılias de funcoes. Por exemplo, sabemos que o coeficiente angularde uma funcao polinomial de primeiro grau determina a inclinacao de seu grafico. A possibilidade dearticular representacoes graficas e algebricas de forma dinamica em ambientes computacionais graficospode ajudar em exploracoes deste tipo, especialmente em casos nao tao simples.

Funcoes Polinomiais do Segundo Grau

Quando estudamos funcoes polinomiais do segundo grau, sabemos que o coeficiente a esta relacionadocom a concavidade da parabola, e o coeficiente c translada o grafico verticalmente. Mas qual e ainfluencia do coeficiente b, do termo de primeiro grau, no aspecto da parabola? Observe as atividadesa seguir.

Atividades

1. Considere a famılia de parabolas y = 2 x2 + b x + 3, com b ∈ R.

(a) Esboce as parabolas desta famılia para b ∈ Z, −10 ≤ b ≤ 10.

(b) De que forma o parametro b influi o aspecto grafico das curvas?

(c) Determine a equacao do lugar geometrico do vertices da famılia de parabolas.

2. De forma mais geral, determine a equacao do lugar geometrico dos vertices de uma famılia deparabolas y = ax2 + bx + c, em que a e c sao mantidos constantes e b ∈ R varia.

Na atividade 1, em primeiro lugar, pede-se que sejam esbocados os graficos da famılia de parabolasdada no computador (figura 3.7). Estes graficos dao uma ideia intuitiva do movimento no plano quea variacao do coeficiente b provoca e sugerem que o lugar geometrico descritos pelos vertices e umacurva com a forma semelhante a uma parabola.

3.2. FAMILIAS DE FUNCOES DEPENDENDO DE PARAMETROS 43

Figura 3.7: A famılia de parabolas y = 2 x2 + b x + 3.

Assim, a visualizacao dos graficos na tela pode indicar um caminho para resolucao analıtica doproblema. Para determinar analiticamente a equacao deste lugar geometrico, devemos empregar asformulas de coordenadas do vertice de uma parabola:

xv = − b

2ae yv = −∆

4a.

Portanto, no caso da nossa famılia de parabolas, temos:

xv = − b4

e yv = −b2 − 24

8= −b

2

8+ 3 .

Logo:

yv = −2 x2v + 3 .

Em seguida, podemos tracar o grafico que a equacao acima representa na mesma tela em que foramtracados os graficos da famılia de parabolas, ilustrando visualmente a conclusao obtida (figura 3.8).

Figura 3.8: A famılia de parabolas y = 2 x2 + b x + 3, e o lugar geometrico de seus vertices.


A atividade 2 pede a generalizacao da conclusao da da atividade 1. Observe que, nesta atividade,o computador nao e usado diretamente. O papel do software foi motivar a exploracao inicial de umexemplo particular para levar a uma conclusao geral. Novamente, tomamos as formulas de coordenadasdo vertice, considerando a e c como constantes e b como uma parametro variando em R:

xv = − b

2ae yv = −∆

4a.

Isto e:

x2v =

b2

4a2e yv = −b

2 − 4ac

4a= − b

2

4a+ c .

Logo:

yv = −a x2v + c .

Observe o encaminhamento das duas atividades anteriores, como proposto acima. Primeiro, par-timos da exploracao de um exemplo particular no ambiente grafico, o que nos permitiu chegar a umaconjectura sobre a solucao do problema. Em um segundo momento, verificamos matematicamente a va-lidade desta conjectura. Em seguida, voltamos ao computador para a interpretacao grafica do resultado.Finalmente, generalizamos o resultado, por meio de argumentos matematicos. Este encaminhamentoe ilustrado na figura 3.9.

computadorexploracao inicial

conjecturas

verificacaomatematicado problema

computadorinterpretacaoda solucao

generalizacaomatematicada solucao

Figura 3.9: O papel do computador na exploracao inicial e interpretacao de resultados.

No exemplos destas atividades, o computador desempenha um papel importante ao permitir que umgrande numero de graficos seja tracado com facilidade. O objetivo das atividades nao e desenvolver ouavaliar da destreza dos alunos em tracar graficos, e sim estimular a compreensao qualitativa do problema.Provavelmente, sem o computador, o trabalho dos estudantes para tracar os graficos seria tamanho,que sua atencao ficaria focada nos aspectos tecnicos, desviando-se dos objetivos das atividades. Alemdisso, e importante destacar que, no encaminhamento proposto acima, nao e papel do computadorconverter-se em um criterio para verificar ou confirmar a validade matematica da solucao. O papelfundamental do computador e o de motivar conjeturas e indicar caminhos para a solucao doproblema e para a generalizacao desta solucao, alem de enriquecer a compreensao destasolucao por meio da articulacao entre as representacoes algebrica e grafica. A validade ou naoda solucao devem ser baseadas exclusivamente em criterios de argumentacao matematica.

Graficos e Transformacoes no Plano

A seguir, propomos mais algumas atividades com estrutura semelhante a das anteriores. As resolucoesdevem seguir essencialmente a mesma estrutura proposta acima. Por exemplo, no caso de funcoestrigonometricas, podemos explorar os significados dos parametros a, b, c e d na famılia de funcoesf : R→ R, f(x) = c sen (d x+ b) + a. E o que propomos nas atividades 3 a 5 a seguir. Para facilitaro encaminhamento, analisamos separadamente os casos f(x) = sen (x + b) + a e f(x) = c sen (d x),e em seguida combinamos as conclusoes.


Atividades

3. Considere a famılia de funcoes f : R→ R, f(x) = sen (x+ b) + a, em que a e b sao parametrosreais.

(a) Trace o grafico de f para a = b = 0.

(b) Considere b = 0 e trace os graficos de f para varios valores diferentes de a. Escolha valorespositivos e negativos para a. O que voce observa no aspecto de grafico de f em cada umdestes casos?

(c) Agora, considere a = 0 e trace os graficos de f para varios valores diferentes de b. Escolhavalores positivos e negativos para b. O que voce observa no aspecto de grafico de f emcada um destes casos?

(d) Trace os graficos de f para varios valores, variando a e b simultaneamente.

(e) Qual e a influencia dos parametros a e b no aspecto grafico de f?

4. Considere a famılia de funcoes f : R → R, f(x) = c sen (d x), em que c e d sao parametrosreais.

(a) Trace o grafico de f para c = d = 1.

(b) Considere d = 1 e trace os graficos de f para varios valores diferentes de c. Escolha valorespara c tais que |c| < 1 e |c| > 1. O que voce observa no aspecto de grafico de f em cadaum destes casos?

(c) Agora, considere c = 1 e trace os graficos de f para varios valores diferentes de d. Escolhavalores para d tais que |d| < 1 e |d| > 1. O que voce observa no aspecto de grafico de fem cada um destes casos?

(d) Trace os graficos de f para varios valores, variando c e d simultaneamente.

(e) Qual e a influencia dos parametros c e d no aspecto grafico de f?

5. Considere agora a famılia de funcoes f : R → R, f(x) = c sen (d x + b) + a, em que a, b, c ed sao parametros reais. Trace os graficos de f para varios valores de a, b, c e d. Tenha certezade escolher valores para a e b positivos e negativos e para c e d com modulos menores e maioresque 1.

Como nas atividades 3 a 5, o computador tem o papel de possibilitar as exploracoes inicias do pro-blema, permitindo que sejam tracados um grande numero de graficos, e a interpretacao das conclusoes,articulando diferentes representacoes. Neste caso, podemos concluir que:

• os parametros aditivos a e b determinam translacoes horizontais e verticais nos graficos dasfuncoes (figura 3.10);

• os parametros multiplicativos c e d determinam dilatacoes horizontais e verticais nos graficos dasfuncoes (figura 3.10).

No caso da atividade 3, nao e difıcil entender o que ocorre quando variamos o parametro aditivo a.Como estamos somando uma mesma constante as ordenadas de cada um dos pontos pertencentes aografico, o resultado e um deslocamento vertical:

• no sentido positivo do eixo (para cima), se o valor do parametro for positivo;

• no sentido negativo do eixo (para baixo), se o valor do parametro for negativo.


Figura 3.10: A funcao f(x) = sen x, suas translacoes f(x) = sen x + 1, f(x) = sen(x− π

4

)

e f(x) = sen(x− π

4

)+ 1 (a esquerda), e suas dilatacoes f(x) = 1

2sen x, f(x) = sen (3 x) e

f(x) = 12

sen (3 x) (a direita).

No entanto, pode ser mais difıcil para interpretar a influencia do parametro b no grafico. A somade uma constante positiva a variavel independente da funcao (dentro dos parenteses) acarreta em ummovimento e para a esquerda, e nao para a direita como poderia ser inicialmente esperado pelos alunos.Neste caso, justamente porque definimos uma nova funcao somando b unidades a variavel x, para queum elemento do domınio da nova funcao tenha a mesma imagem que um elemento do domınio dafuncao original, este deve ser subtraıdo de b unidades. Isto provoca um deslocamento horizontal dografico:

• no sentido positivo do eixo (para a direita), se o valor do parametro for negativo;

• no sentido negativo do eixo (para a esquerda), se o valor do parametro for positivo.

Uma tabela com valores conhecidos da funcao seno tambem pode ajudar a entender o efeito dedeslocamento horizontal. Considere o exemplo de f(x) = sen

(x− π

4

). Observe na tabela abaixo a

relacao entre os valores da variavel x, de x− π4e da variavel y. Compare esses valores com os graficos

de f(x) = sen (x) e f(x) = sen(x− π

4

)na figura 3.10.

x− π4

x y

0 π4

0π2

3π4

1π 5π

40

3π2

7π4−1

2 π 9π4

0

De forma semelhante, na atividade 3, podemos perceber que, ao multiplicarmos a funcao por c,estamos multiplicando por um o parametro com valor positivo as ordenadas de cada um dos pontospertencentes ao grafico. O resultado e uma dilatacao vertical. Se o parametro tiver valor negativo,alem da dilatacao, o grafico sofre tambem uma reflexao em relacao ao eixo horizontal. Assim, temos:

• um esticamento vertical se valor do parametro for maior que 1;

• um encolhimento vertical se valor do parametro estiver entre 0 e 1;

• um esticamento vertical composto com reflexao em relacao ao eixo horizontal se valor do parametrofor menor que −1;

• um encolhimento vertical composto com reflexao em relacao ao eixo horizontal se valor doparametro estiver entre −1 e 0.


Resta entender o efeito do parametro d. Como construımos uma nova funcao multiplicando avariavel dependente por uma constante d, para que um elemento do domınio da nova funcao tenhaa mesma imagem que um elemento do domınio da funcao original, este deve ser dividido por d. Istoprovoca uma dilatacao horizontal do grafico, que sera composta com uma reflexao em relacao ao eixovertical, se o valor o parametro tiver valor negativo:

• um encolhimento horizontal se valor do parametro for maior que 1;

• um esticamento horizontal se valor do parametro estiver entre 0 e 1;

• um encolhimento horizontal composto com reflexao em relacao ao eixo vertical se valor doparametro for menor que −1;

• um esticamento composto com reflexao em relacao ao eixo vertical se valor do parametro estiverentre −1 e 0.

Como no caso das translacoes horizontais, uma tabela pode ajudar a entender o efeito de dilatacaohorizontal. Considere o exemplo de f(x) = sen

(12x). A tabela abaixo relaciona os valores da variavel

x, de 12x e da variavel y. Compare esses valores com os graficos de f(x) = sen (x) e f(x) = sen

(12x)

na figura 3.10.

12x x y

0 0 0π2

π 1π 2 π 03π2

3 π −12 π 4 π 0

Escolhemos o exemplo da funcao seno nas atividades anteriores porque o formato de seu graficofacilita a visualizacao dos efeitos dos parametros. Porem, e claro que as conclusoes obtidas sao gerais,e nao exclusivas das funcoes trigonometricas Considere, por exemplo, as atividades 6 e 7 a seguir.Observe que, na atividade 6, o objetivo e aplicar as conclusoes obtidas com suporte da exploracaocomputacional, mas computador nao e usado diretamente. Alem disso, nao e dada nenhumainformacao sobre a formula algebrica da funcao. Portanto, o aluno deve resolver o problema apenascom os dados graficos.

Atividades

6. Abaixo vemos os graficos de duas funcoes q1 : R → R (a esquerda) e q1 : R → R (a direita).Sabemos que na forma q1(x) = p(a x+ b) + c, em que a, b e c sao constantes reais. Determineos valores de a, b e c. Justifique sua resposta.

1 2−1−2

1

2

−1

−2

x

y

1 2 3 4 5 6−1−2

1

2

3

−1

−2

x

y


7. Considere a funcao 1 : R→ R, h(x) = |x2 − 1|. Esboce os graficos de h e das funcoes definidaspor h1(x) = h(x + 1)− 2, h2(x) = 3 h(2 x) e h3(x) = 1

2h(3 x− 1)− 2.

Uma aplicacao interessante de translacoes de graficos e a obtencao das formulas de coordenadasdo vertices de uma parabola (que usamos nas atividades 1 e 2 desta secao) por meio de translacoes deuma parabola com vertice em na origem. Primeiro, devemos escrever uma parabola y = a x2 + b x+ cqualquer na chamada forma canonica, completando quadrados:

y = a x2 + b x + c =

= a

(x2 +

b

ax+

)+ c =

= a

(x2 +

b

ax +

b2

4a2

)− b2

4a+ c =

= a

(x +

b

2a

)2

+4ac− b2

4a.

Portanto:

y = a (x− x0)2 + y0 .

em que: x0 = − b

2ae y0 =

4ac− b2

4a= −∆

4a.

Estas sao as conhecidas formulas de coordenadas do vertice de uma parabola. Pelo que ja estudamosde translacoes, sabemos que a parabola acima e dada pela translacao de y = a x2, de x0 unidades nahorizontal e y0 unidades na vertical. Assim, podemos deduzir a seguinte propriedade: qualquer parabolae dada por uma translacao de uma parabola com mesmo valor de a e vertices na origem. Decorre aindadesta propriedade que quaisquer duas parabolas com mesmo valor de a sao congruentes, isto e, umaqualquer uma delas pode ser obtida a partir da outra por meio de uma translacao. Da forma canonica,podemos deduzir tambem outras propriedades importantes das parabolas, como a existencia do eixo desimetria vertical e a propria formula das raızes. Em sala de aula, esta discussao pode ser conduzida,partindo-se de exemplos mais simples, ate a conclusao geral. Este e o objetivo da atividade 8.

Atividades

8. Considere a funcao p : R→ R, p(x) = 2 x2. Esboce os graficos de p e das funcoes definidas porp1(x) = p(x− 2), p2(x) = p(x) + 1 e p3(x) = p(x− 2) + 1. Qual e relacao entre estes graficos?

9. Determine a equacao de uma parabola y = a x2 + b x+ c, com a = 2 e vertice no ponto (−1, 3).

10. Responda as perguntas a seguir, considerando as atividades 1 a 9 propostas nesta secao.


(b) Quais sao, na sua opiniao, os principais objetivos das atividades?

(c) Qual e o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do softwarepode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em relacao a abordagemconvencional (isto e, sem o computador)?

(d) Que obstaculos e desvantagens voce considera que seriam enfrentados na aplicacao dessasatividades em sala de aula?

11. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das propostas nesta secao, que seja adequadapara as turmas em que voce leciona.

3.3. PONTOS DE VISTA E PERSPECTIVAS 49

3.3 Pontos de Vista e Perspectivas

Como salientamos anteriormente, e importante explorar pedagogicamente nao so as potencia-lidades como tambem as limitacoes tecnicas do computador. A interpretacao de resultadosaparentemente errados ou inesperados pode motivar exploracoes matematicas, alem de contribuir paraa formacao de uma postura crıtica dos estudantes. No caso de ambientes graficos, este tipo de resultadoesta relacionado principalmente com arredondamento de valores numericos e interpolacao de pontospara tracar graficos. Observe o exemplo da atividade a seguir.

Atividade

1. A figura ao lado representa o grafico da

funcao h : R? → R, h(x) =x

|x| , tracadoem um programa de computador. Voceconsideraria este grafico correto? Expliquepor que o grafico adquiriu este aspecto.

Para interpretar a figura da atividade acima, devemos entender a estrutura dos algoritmos maissimples usados pelos programas computacionais para tracar graficos, baseados essencialmente em subs-tituicao e interpolacao: dada uma formula algebrica, montar uma tabela por substituicao de valores (emgeral, em grande quantidade), interpolar os pontos correspondentes no plano cartesiano. E interessanteobservar que este e basicamente o mesmo metodo do modelo de exercıcios comentado no comeco destasecao (figura 3.1, p. 35). A diferenca e que o computador tem capacidade de calculo e precisao muitomaiores que as do ser humano, o que permite a construcao de tabelas com muito mais valores.

Por outro lado, para tracar o grafico da atividade 1, o software nao levou em conta uma propri-edade qualitativa importante da funcao1: x = 0 nao faz parte do domınio e ha uma interrupcao dografico neste ponto. Este exemplo pode ser usado para mostrar aos estudantes que este metodo podeconduzir a erros – mesmo com a capacidade de calculos do computador – e que, portanto, evidenciar aimportancia de levar em consideracao propriedades qualitativas da funcao. As atividades 2 a 3 a seguirtambem envolvem respostas do software cujas interpretacoes podem ser usadas para motivar exploracaomatematica.

No desenvolvimento de atividades deste tipo, e recomendavel que os alunos tenham liberdadepara manusear livremente o software, alterando janelas graficas da forma que desejarem. Aomesmo tempo, eles devem ser estimulados a procurar entender o comportamento dos graficose os aspectos adquiridos em diferentes janelas graficas a luz de argumentos matematicos.Sem orientacoes especıficas do professor neste sentido, os alunos podem se perder na manipulacaodo software e na mudanca de janelas graficas. Estas manipulacoes devem sempre ser orientadas pelaanalise matematica dos dados do problema e das questoes propostas, de forma a ajudar de fato nacompreensao do problema.

1Ha softwares com recursos mais sofisticados que permitem considerar propriedades qualitativas como a da atividade1, como veremos no capıtulo 5. Entretanto, neste capıtulo, visamos enfocar o uso de softwares graficos com recursosmais limitados. O objetivo destas atividades nao e discutir que programa possui recursos mais sofisticados, e sim destacarjustamente a possibilidade de empregar as proprias limitacoes dos softwares como potencialidades pedagogicas.


Atividades

2. A figura ao lado representa o grafico da funcao p :

R? → R definida por p(x) = x2 +1

x2, tracado em

um programa de computador para −100 ≤ x ≤100, 0 ≤ y ≤ 5000. Justifique suas respostas.

(a) O grafico de p e uma parabola?

(b) A funcao p possui pontos de mınimo locais ou absolutos? Em caso afirmativo, que pontossao estes?

(c) A funcao p possui assıntotas verticais ou horizontais?

(d) Discuta o aspecto do grafico na figura, considerando as respostas dos ıtens anteriores.

3. A figura ao lado representa o grafico da funcao r :R→ R, r(x) =

√x2 + 1, tracado na janela grafica

−1000 ≤ x ≤ 1000, 0 ≤ y ≤ 1000.Explique porque o grafico adquire este aspecto.

4. A figura ao lado representa o grafico da funcao q :R→ R, q(x) = (5 x− 7)(x2 − 2).

(a) Quais sao as raızes reais de q? Voce conseguevisualizar estas raızes no grafico ao lado?

(b) Encontre uma janela grafica na qual sejapossıvel visualizar todas as raızes de q.

5. Considere a funcao u : R→ R, u(x) =1

x6 + 100.

(a) Trace o grafico de u na janela −10 ≤ x ≤ 10, −10 ≤ y ≤ 10. A funcao u e constante iguala 0? Explique o ocorrido.

(b) Trace o grafico de u na janela −0, 1 ≤ x ≤ 0, 1, −0, 1 ≤ y ≤ 0, 1. A funcao u e constanteigual a 0, 01? Explique o ocorrido.

(c) Qual o maior valor atingido por u? Escolha uma janela grafica na qual seja possıvel visualizaro grafico de u.

Na atividade 2, a figura com o grafico da funcao sugere que a curva e uma parabola. No entanto,esta impressao erronea se deve a escala em que o grafico foi tracado. A inspecao da formula algebricada funcao mostra que esta nao e polinomial do segundo grau, portanto o grafico nao pode ser umaparabola. Alem disso, x = 0 nao e um ponto mınimo, como uma primeira olhada no grafico poderiasugerir. Este ponto nem mesmo pertence ao domınio de p e corresponde a uma assıntota vertical dafuncao. Uma mudanca na janela grafica revela melhor o comportamento de p na vizinhanca de x = 0,como monstra figura 3.11 (em que o grafico de p e mostrado e azul e a parabola y = x2 em cinza).

Verificamos que, para valores grandes da variavel x, o termo1

x2fica proximo de 0, portanto p(x) ≈ x2.


Por isso, o grafico fica muito parecido com uma parabola em janelas com valores grandes de x. Porem,

para valores de x proximos de 0, e o termo x2 que fica proximo de 0, portanto p(x) ≈1

x2, cuja aparencia

nada tem a ver com a de uma parabola. Em atividades deste tipo, os alunos devem ser estimuladosa observar a formula algebrica da funcao e alterar livremente as janelas no computador. Desta forma,a articulacao das representacoes grafica e algebrica contribui para uma compreensao mais profunda docomportamento da funcao.

Figura 3.11: O grafico de p(x) = x2 +1

x2e a parabola y = x2, para −10 ≤ x ≤ 10, −10 ≤ y ≤ 100.

Como na atividade 2, o aspecto do grafico exibido na atividade 3 e determinado pela ordem degrandeza dos intervalos horizontal e vertical da janela grafica. Quando aumentamos os valores de x,a constante 1 tende a ficar desprezıvel em relacao ao termo x2. Assim, para valores grandes de xtemos que

√x2 + 1 ≈

√x2 = |x|. Por isso, o grafico tende a adquirir o aspecto da curva y = |x|.

E importante observar que esta aproximacao so e razoavel para valores grandes de x. A figura 3.12mostra a janela grafica −5 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 5, em que se pode distinguir claramente o grafico de r(em azul) da curva y = |x| (em cinza).

Figura 3.12: O grafico de r(x) =√x2 + 1 e a curva modular y = |x|, para −5 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 5.


Como a funcao polinomial da atividade 4 ja e dada na forma fatorada, podemos determinar semdificuldades suas raızes: x1 = 7

5, x2 =

√2 e x3 = −

√2. Como os valores de x1 e x2 sao proximos (sua

diferenca e da ordem de centesimos), a escala em que o grafico e mostrado nao permite a distincaodestas raızes. Para distinguir x1 e x2, e necessario alterar a janela grafica para valores de x proximosde 1, 4, e valores de y proximos de 0 (figura 3.13, a esquerda). Para distinguir as tres raızes em umamesma janela, e necessario tomar para valores de x proximos do intervalo entre a menor raiz e a maiorraiz, e valores de y proximos de 0. (figura 3.13, a direita). Como na atividade anterior, uma observacaosuperficial do grafico mostrado pode levar a uma conclusao erronea sobre a funcao, e uma analise maiscuidadosa da formula algebrica e necessaria.

Figura 3.13: O grafico de q(x) = (5 x − 7)(x2 − 2), para 1, 39 ≤ x ≤ 1, 42, −0, 001 ≤ y ≤ 0, 001 ecom −1, 5 ≤ x ≤ 1, 5, −0, 001 ≤ y ≤ 0, 001, respectivamente.

Verificamos que a funcao u da atividade 5 e estritamente positiva e atinge um maximo absolutono ponto

(0, 1

100

). Logo, a imagem da funcao e o intervalo

]0, 1

100

]. Entao, se tracarmos o grafico

para −10 ≤ x ≤ 10, −10 ≤ y ≤ 10, os valores da funcao serao muito pequenos em relacao a escalada janela, e o grafico adquirira um aspecto semelhante ao da reta horizontal y = 0 (figura 3.14, aesquerda). Por outro lado, se reduzirmos muito os valores de x e de y, por exemplo −0, 1 ≤ x ≤ 0, 1,−0, 1 ≤ y ≤ 0, 1, observaremos que o grafico ficara semelhante a reta horizontal y = 1

100(figura 3.14, a

direita). Isto ocorre por que, para valores pequenos de x, temos que x6 fica muito proximo de 0, entaou(x) ≈ 1

100. A unica maneira de visualizar a variacao da funcao no grafico e escolher escalas muito

diferentes para as duas variaveis: valores grandes para x, para que a variacao de u(x) nao fiquem muitoproximos de 1

100; e valores pequenos para y, para que os valores de u(x) nao fiquem muito pequenos

em relacao a escala do eixo vertical (figura 3.15).

Figura 3.14: O grafico de u(x) =1

x6 + 100, para −10 ≤ x ≤ 10, −10 ≤ y ≤ 10 e −0, 1 ≤ x ≤ 0, 1,

−0, 1 ≤ y ≤ 0, 1, respectivamente.


Figura 3.15: O grafico de u(x) =1

x6 + 100, para −5 ≤ x ≤ 5, −0, 005 ≤ y ≤ 0, 1.

Em atividades desta natureza, em que os graficos adquirem aspectos distintos conforme alteramosas janelas graficas, e importante que fique claro para os alunos que o que muda nao e o graficoda funcao, mas apenas o seu aspecto. Isto e, quando alteramos a janela grafica nao passamos aobservar um grafico diferente, nem o grafico que estamos observando muda de comportamento. Apenaso aspecto do grafico e alterado, pois o estamos observando de outra janela grafica, isto e, de outroponto de vista. Por exemplo, no caso da atividade 3, r nao passa a ser uma funcao modular na janelagrafica mostrada no enunciado da questao. A funcao continua sendo a mesma. O que ocorre e que,em comparacao a ordem de grandeza das variaveis na janela grafica de observacao, a diferenca entreo grafico de r e o da funcao modular e tao pequena que nao pode ser percebida. Quando alteramosa janela grafica na figura 3.12, em comparacao aos valores da nova janela, esta mesma diferenca naoe mais tao pequena, e pode ser claramente percebida. O mesmo ocorre na 2 com relacao ao graficode p e a parabola. Como os exemplos acima mostram, observar um mesmo grafico de diferentespontos de vista pode ajudar a perceber propriedades da funcao e, portanto, a entender maisprofundamente o seu comportamento. Em alguns casos, os alunos estao acostumados a ideia deque o grafico de uma funcao tem “uma unica cara”, e ideia que um mesmo grafico possa ter aspectosradicalmente distintos em janelas graficas diferentes pode causar alguma resistencia inicialmente.

Atividades

6. Responda as perguntas a seguir, considerando as atividades 2 a 5.

(a) Quais sao os principais conceitos matematicos enfocados nas atividades?


(c) Em cada uma das atividades, sao propostas questoes chave para ajudar na interpretar dografico gerado pelo computador. Identifique essas questoes.


(e) Qual e o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do softwarepode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em relacao a abordagemconvencional (isto e, sem o computador)?

(f) Que obstaculos e desvantagens voce considera que seriam enfrentados na aplicacao dessasatividades em sala de aula?



Comportamento Assintotico de Funcoes Polinomiais e Racionais

Ja sabemos que um mesmo grafico pode adquirir aspectos bem distintos em janelas graficas diferentes,dependendo das escalas empregadas. Nas atividades a seguir, usaremos esta ideia para entender melhoro comportamento assintotico (isto e, o comportamento da funcao quando a variavel independente tendea ±∞) de funcoes polinomiais e racionais.

Atividade

8. Considere as funcoes f, f1, f2 : R→ R, dadas respectivamente por f(x) = x2 + 10 x, f1(x) = x2

e f2(x) = 10 x.

(a) Trace, na janela −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1, os graficos das tres funcoes. Os graficos deduas das funcoes ficaram muito semelhantes. Que funcoes sao estas?

(b) Mude a janela para −1000 ≤ x ≤ 1000, −10000 ≤ y ≤ 10000. Os graficos de duas dasfuncoes ficaram muito semelhantes. Que tres funcoes sao estas?

(c) Explique o observado nos ıtens anteriores.

Como nas atividades da secao 3.2, o que esta em jogo sao as ordens de grandeza das janelasgraficas empregadas. Quando tracamos os graficos para −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1, o termo x2

fica muito pequeno em comparacao ao termo 10 x (figura 3.16, a esquerda). Entao, neste caso temosf(x) = x2 + 10 x ≈ 10 x = f2(x). Por outro lado, para −1000 ≤ x ≤ 1000, −10000 ≤ y ≤ 10000,e 10 x que fica muito pequeno em comparacao a x2 (figura 3.16, a direita). Logo, temos f(x) =x2 + 10 x ≈ x2 = f1(x). Portanto, o grafico de f fica muito parecido com o de f2 na janela grafica daesquerda e com o de f1 na janela grafica da direita. Para entender mais claramente essas aproximacoes,e importante sugerir que os alunos substituam alguns valores para as tres funcoes nos intervalos a cadauma das janelas graficas e comparem os resultados. Tambem e interessante propor aos alunos queaumentem gradativamente a janela grafica, e observem o grafico de f “descolar” aos poucos de f2 e“colar” em f1.

Ainda nesta atividade, podemos observar que, quanto mais aumentamos a janela grafica, o graficode f fica mais parecido com o de f1. Isto ocorre porque, na funcao f(x) = x2 + 10 x, embora ocoeficiente do termo de grau 2 seja bem menor que o do termo de grau e 1 (1 e 10, respectivamente),para valores de x suficientemente grandes, o termo de grau 1 fica desprezıvel em relacao ao de grau 2.De fato, esses termos se igual quando x = 10 e, a partir daı, x2 passa a crescer a uma taxa muito maiorque x: x2 passa a ser x vezes maior que 10 x e, para valores cada vez maiores de x, esta razao e cadavez mais significativa. Portanto para valores grandes de x, o comportamento da funcao e dominado pelotermo de maior grau x2. Esta propriedade e valida em geral: o comportamento de funcao polinomial edominado pelo termo de maior, independente dos coeficientes de seus termos. Outros exemplos comoeste podem ser usados para motivar esta conclusao generica, que deve ser enunciada precisamente everificada formalmente.

Seja f : R→ R, f(x) = anxn + . . .+a2x

2 +a1x+a0, com an, . . . , a0 ∈ R, uma funcao polinomialreal de grau n. Pondo o termo de maior grau em evidencia, podemos escrever f da seguinte forma(para x 6= 0):

f(x) = anxn

(1 +

an−1

anx. . .+

a1

anxn−1+

a0

anxn

).

Seja g(x) =an−1

anx. . .+

a1

anxn−1+

a0

anxn. Entao: lim

x→−∞g(x) = lim

x→−∞g(x) = 0.


Figura 3.16: Os graficos de f(x) = x2 + 10 x, f1(x) = x2 e f2(x) = 10 x, para −1 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 1 e para −1000 ≤ x ≤ 1000, −10000 ≤ y ≤ 10000, respectivamente.

Uma primeira propriedade que podemos deduzir daı e que f(x) e anxn tem o mesmo sinal para |x|

suficientemente grande. De fato, como g(x) fica tao pequeno pequeno queiramos, temos que g(x) < 1para valores de x com modulo suficientemente grande. Para esses valores de x, teremos 1 + g(x) < 0,portanto terao o mesmo sinal. Esta propriedade da uma ideia inicial de que o termo anx

n domina ocomportamento assintotico de f , independente dos demais termos. Alem disso, sabemos anx

n tende a−∞ ou a +∞ quando x tende a −∞ ou a +∞ (dependendo do sinal de an e da paridade de n). Daı,segue a propriedade mais forte:

limx→−∞

f(x) = limx→−∞

(anxn) e lim

x→+∞f(x) = lim

x→+∞(anx

n) .

Podemos tambem usar mudancas de janelas graficas para motivar o estudo do comportamentoassintotico de funcoes racionais, isto e funcoes dadas pela razao de duas funcoes polinomiais. Observeas atividades a seguir.

Atividades

9. Considere a funcao p1 : R→ R definida por p1(x) =x2

x2 − 1.

(a) Trace o grafico de p1 na janela −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5.

(b) Amplie gradativamente a janela grafica, aumentando o intervalo da variavel x e mantendo ointervalo da variavel y fixo. Que aspecto adquire o grafico de p1? Explique o comportamentoobservado.


x2 − 1.


(b) Amplie gradativamente a janela grafica, aumentando simultaneamente os intervalos das va-riaveis x e y. Que aspecto adquire o grafico de p2? Explique o comportamento observado.


x2 − 1.


(b) Amplie gradativamente a janela grafica, aumentando simultaneamente os intervalos das va-riaveis x e y. Que aspecto adquire o grafico de p3? Explique o comportamento observado.


Figura 3.17: O grafico de p1(x) =x2

x2 − 1, para −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5 e para −100 ≤ x ≤ 100,

−5 ≤ y ≤ 5, respectivamente.


x2 − 1, para −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5 e para −100 ≤ x ≤ 100,



x2 − 1, para −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5 e para −100 ≤ x ≤ 100,


Nas tres atividades acima, quando observamos os graficos das funcoes em janelas com valores pe-quenos das variaveis (figuras 3.17, 3.18 e 3.19, a esquerda), podemos observar algumas caracterısticasdas funcoes, tais como maximos e mınimos locais e assıntotas verticais nos pontos em que os denomi-nadores se anulam. Quando aumentamos as janelas graficas nao somos mais capazes de enxergar essascaracterısticas locais, porem outro tipo de comportamento e revelado: as funcoes p1, p2 e p3 ficam pa-recidas com uma reta horizontal, com uma reta vertical e com uma parabola, respectivamente. (figuras3.17, 3.18 e 3.19, a direita). Para entender o que esta acontecendo, devemos observar que, quandoaumentamos os valores de x, a constante 1 no denominador tende a ficar desprezıvel em relacao aostermos polinomiais. Portanto, para valores grandes de x, valem as aproximacoes a seguir,que explicamo comportamentos dos graficos:


p1(x) =x2

x2 − 1≈ x2

x2= 1 , p2(x) =

x3

x2 − 1≈ x3

x2= x e p3(x) =

x4

x2 − 1≈ x4

x2= x2 .

Como na atividade 8, podemos generalizar a conclusao para qualquer funcao racional. Seja q : D ⊂R→ R uma definida por q(x) =

f(x)

g(x), em que f(x) = amx

m + . . .+ a0 e g(x) = bnxn + . . .+ b0 sao

dois polinomios. Em primeiro lugar, devemos observar que os limites de q quando x→ ±∞ dependemda relacao entre os graus do numerador e do denominador. Uma maneira de determinar esses limites edividir o numerador e o denominador de q pelo termo de maior grau.

Caso 1. m < n

Neste caso, dividimos o numerador e o denominador de p por xn:

p(x) =amx

m + . . .+ a0

bnxn + . . .+ b0=

amxn−m + . . .+ a0

xn

bn + bn−1

x+ . . .+ b0

xn

.

Na expressao acima, o numerador tende a 0 e o denominador tende a constante bn 6= 0. Entao,concluımos que:

limx→−∞

p(x) = limx→+∞

p(x) = 0 .

Caso 2. m = n

Neste caso, dividimos o numerador e o denominador de p por xm = xn:

p(x) =amx

m + . . .+ a0

bmxm + . . .+ b0=am + am−1

x+ . . .+ a0

xn

bm + bm−1

x+ . . .+ b0

xn

.

Na expressao acima, o numerador e o denominador tendem respectivamente as constante am 6= 0e bm 6= 0. Entao, concluımos que:

limx→−∞

p(x) = limx→+∞

p(x) =ambm

Caso 3. m > n

Neste caso, dividimos o numerador e o denominador de p por xm:

p(x) =amx

m + . . .+ a0

bnxn + . . .+ b0=am + am−1

x+ . . .+ a0

xn

bnxm−n + . . .+ b0

xn

.

Na expressao acima, o numerador tende a constante am 6= 0 e o denominador tende a 0. Entao,concluımos que os limites lim

x→−∞p(x) e lim

x→+∞p(x) = 0 sao ambos infinitos. Os sinal entre desses

limites depende da relacao entre dos sinais de am e bn.

Em resumo, os limites no infinito de uma funcao racional sao determinados pela relacao entre astaxas de crescimento do numerador e o denominador, que, por sua vez, depende de qual destes temo maior grau. Se o denominador tem grau maior, entao a funcao tende a 0. Se o denominador enumerador tem o mesmo grau, entao a funcao tende a uma constante nao nula. Se o numeradortem grau maior, entao a funcao tende a infinito. Este resultado e usualmente estudos em cursos decalculo em uma variavel. A atividade 9 e um exemplo do caso 2 acima, enquanto as atividades 10 e 11exemplificam o caso 3.


Embora as atividades 10 e 11 representem o mesmo tipo de comportamento assintotico – tender ainfinito – a funcao p2 da atividade 10 fica parecida com uma reta e a funcao p3 da atividade 11 comum parabola. Essa diferenca de comportamento – que em geral nao e estudada nos cursos de calculo– corresponde a maior aprofundamento matematico do caso em que a funcao racional tende a infinito,pois estabelece formas qualitativamente diferentes de tender a infinito. Com base nesses dois exemplos,podemos intuir que o comportamento assintotico dessas funcoes seja determinado pela diferenca entreos graus do numerador e do denominador. Na verdade, podemos obter uma conclusao matematicamais precisa que esta.

Como estamos tratando do caso em que ∂f > ∂g, pelo divisao polinomial, sabemos que existempolinomios q e r (quociente e resto), com ∂r < ∂g tais que:

f(x) = q(x) g(x) + r(x) .

Logo:

p(x) =f(x)

g(x)= q(x) +

r(x)

g(x).

Como ∂r < ∂g, podemos concluir pelo caso 1 acima que:

limx→±∞

(p(x)− q(x)) = limx→±∞

r(x)

g(x)= 0 .

Assim, sempre que tracarmos o grafico de um funcao racional, cujo numerador tem grau maior queo denominador, e aumentarmos progressivamente a janela grafica, observaremos este grafico ficar cadavez mais parecido com o do polinomio quociente entre o numerador e o denominador. Em particular ografico da funcao racional adquirira o aspecto de um polinomio cujo grau e diferenca entre os graus donumerador e do denominador. Voltando aos exemplos das atividades 10 e 11, se efetuarmos as divisoespolinomiais, concluiremos que:

x3 = x (x2 − 1) + x e x4 = (x2 + 1) (x2 − 1) + 1 .

Logo:

p2(x) =x3

(x2 − 1)= x +

x

(x2 − 1)e p3(x) =

x4

(x2 − 1)= (x2 + 1) +

1

(x2 − 1).

Portanto:

limx→±∞

(p2(x)− x) = limx→±∞

x

(x2 − 1)e lim

x→±∞

(p3(x)− (x2 + 1)

)= lim

x→±∞1

(x2 − 1).

Como limx→±∞

(p2(x)− x), dizemos que a reta y = x e uma assıntota inclinada de p2: os valo-

res da funcao ficam muito proximos dos valores da reta, quando x cresce indefinidamente. Comolim

x→±∞

(p3(x)− (x2 + 1)

), a parabola y = x2 + 1 tem esse mesmo papel em relacao a funcao p3. E

interessante fazer mais exemplos para observar desse comportamento no computador.Observe que o computador tem um papel importante na argumentacao para chegar a essa conclusao,

pois a partir da visualizacao dos diferentes graficos na tela, podemos perceber essas diferentes formas detender a infinito. Nao e absurdo supor que uma das razoes pelas quais esse aprofundamento matematiconao e abordado em geral nos cursos de calculo e o fato de que software graficos ainda sao poucoexplorados. E importante destacar ainda que o papel do computador aqui e o mesmo das atividadesanteriores neste capıtulo: possibilitar uma exploracao que sugere um fato matematico que deve ser

3.4. MAIS EXPLORACOES 59

verificada por meio de argumentacao dedutiva. Neste caso, passamos da ideia informa de aproximacaopara a ideia formal de limite. No ensino basico, a ideia formal de limite nao precisa ser tratada. Mesmoassim, as atividades nao podem ser reduzir a exploracao no computador. As conclusoes devem sersistematizadas por meio de argumentacao dedutiva compatıvel com cada nıvel escolar.

Atividades


(a) Quais sao os principais conceitos matematicos enfocados nas atividades?


(c) Que ideias matematicas podem ser motivadas por essas atividades, que nao sao em geraltratadas abordagem convencional (isto e, sem o computador)?

(d) Qual e o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do softwarepode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em relacao a abordagemconvencional (isto e, sem o computador)?

(e) Que obstaculos e desvantagens voce considera que seriam enfrentados na aplicacao dessasatividades em sala de aula?

13. Seria possıvel formular uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 8 a 11, que sejaadequada para as turmas em que voce leciona? Justifique sua resposta.

3.4 Mais Exploracoes

Neste capıtulo, foram propostas atividades com ambientes computacionais graficos simples, isto e cujouso nao requer a aprendizagem de comandos especıficos, visando expor aspectos dos conceitos ma-tematicos que seriam difıceis de ser abordados com recursos e representacoes convencionais.Alem disso, procurou-se empregar potencialidades e, especialmente, limitacoes tecnicas dos softwarespara motivar exploracoes das questoes matematicas envolvidas, alem de incentivar o desenvolvimentode uma postura crıtica por parte dos estudantes em relacao aos resultados mostrados na tela.

Nesta secao, apresentamos mais algumas atividades com esse espırito, em que relacoes e proprieda-des entre funcoes que sao usualmente tratados no ensino medio. Entretanto, o uso do software permiteque essas relacoes e propriedades sejam abordadas de um novo ponto de vista, e que as apliquemos aexemplos de funcoes que normalmente nao sao estudados.

Atividades

1. Considere a funcao s : R→ R definida por s(x) = x sen x.

(a) Esboce o grafico de s, juntamente com as retas y = x e y = −x.(b) Explique o comportamento do grafico. Como as retas podem ajudar a entender esse com-

portamento?

(c) Voce deve ser observado que as retas tangenciam o grafico de s em certos pontos. Quepontos sao esses? Esses pontos correspondem a maximos e mınimos locais da funcao s?Justifique suas respostas.

(d) Que propriedades da funcao seno voce usou para responder as questoes acima?

(e) Que aspecto voce espera que tenha o grafico de t(x) = x2 sen x?

2. Considere a funcao u : R→ R definida por u(x) = 2 sen x.


(a) Esboce o grafico de u.

(b) Determine a imagem de u.

(c) A funcao u e periodica? Justifique sua resposta.

(d) Que propriedades das funcoes exponencial e seno voce usou para responder as questoesacima?

3. Considere a funcao v : R→ R definida por v(x) = sen (2x).

(a) Esboce o grafico de v.

(b) Determine a imagem de v.

(c) A funcao v e periodica? Justifique sua resposta.

(d) Que propriedades das funcoes exponencial e seno voce usou para responder as questoesacima?

4. Considere a funcao ω : R→ R definida por ω(x) = sen (log10 x).

(a) Esboce o grafico de ω, na janela grafica 0 ≤ x ≤ 10, −2 ≤ y ≤ 2.

(b) Determine as raızes de ω. E possıvel determinar a menor raiz de ω? E a menor? Justifiquesuas respostas.

A funcao s da atividade 1 e dada pelo produto da funcao seno por x. Como a funcao seno variaentre −1 e 1, entao s varia entre −x e x (figura 3.20). De forma mais geral, podemos concluir que,sempre que multiplicarmos a funcao seno pelo por outra funcao f , o resultado sera uma funcao que variaentre −f(x) e f(x). A pergunta do item 1d tem por objetivo ajudar o aluno a perceber a sistematizaresta propriedade, e a pergunta do item 1e visa leva-los a perceber sua generalizacao.

Figura 3.20: O grafico de s(x) = x sen x, com as retas y = −x e y = x.

Nos pontos em sen x = 1, temos que s(x) = x, nos pontos em sen x = −1, temos que s(x) = −x,e nos demais pontos, temos −1 < s(x) < 1. Portanto, o grafico de s a reta y = x para x = π

2+ 2kπ,

e a reta y = −x para x = −π2

+ 2kπ, com k ∈ Z. A imagem do grafico mostrada na tela, alem do fatodestes valores de x corresponderem a pontos de maximo e mınimo da funcao seno, pode sugerir queesses sejam tambem maximos e mınimos de s. Entretanto, justamente o fato do grafico tangenciar asretas nesses pontos fornece um argumento para mostrar o contrario: em pontos de maximos e mınimo


a reta tangente (caso exista) sao horizontais, porem nesse casos elas tem inclinacao ±1. Assim, noexemplo desta atividade o grafico mostrado na tela pode sugerir uma ideia, que se revela falsa – e e ajustamente a exploracao motivada pela visualizacao desse grafico que pode indicar o caminho para oargumento matematico para refuta-la.

Na atividade 2 (figura 3.21, a esquerda), o menor valor e o maior valor atingidos por u ocorrem paraos mesmos valores de x em que ocorrem o menor valor e o maior valor da funcao seno. Portanto, aimagem de u e o intervalo

[12, 2]. E importante observar aqui que so podemos chegar a esta conclusao

porque a funcao exponencial e estritamente crescente. Isto e, a funcao u e uma composicao u(x) =f ( sen (x)), de uma funcao estritamente crescente com a funcao seno, portanto a ordem dos valoresda funcao seno e preservada ( sen x1 < sen x2 ⇒ 2 sen x1 < 2 sen x2). Nao terıamos esta garantia seestivessemos compondo uma funcao que nao fosse crescente com a funcao seno (para fixar as ideias,experimente esbocar o grafico de y = ( sen x)2, por exemplo). Alem disso, temos que u e periodica, comperıodo 2 π. A justificativa para isto tambem esta no fato de que u e a composicao u(x) = f ( sen (x)):como os valores da funcao seno repetem-se, os valores tambem se repetirao quando uma funcao fqualquer e calculada sobre a funcao seno.

Na atividade 3 (figura 3.21, a esquerda), o valor maximo de v ocorre nos pontos em que sen (2x) =1, isto e x = log2

(π2

+ 2 k π), com k ∈ Z; e o valor mınimo nos pontos em que sen (2x) = −1, isto

e x = log2

(−π

2+ 2 k π

), com k ∈ Z. Portanto, a imagem de v e o intervalo [−1, 1]. Neste caso, a

funcao u e uma composta v(x) = sen (f(x)). Como −1 6 sen x 6 1, entao −1 6 sen (f(x)) 6 1qualquer que seja a funcao f .

Alem disso, observamos que v oscila entre os valores −1 e 1, porem esta oscilacao nao ocorre emintervalos regulares. Assim, embora a funcao seno seja periodica, v nao sera periodica, pois a funcaoexponencial nao e. Na verdade, percebemos que a oscilacao de v fica cada vez mais “intensa” (tantoque ocorre um erro de interpolacao no grafico tracado pelo software), isto e, os intervalos entre doispontos de maximo (ou de mınimo) consecutivos ficam cada vez mais curtos. Esta propriedade estarelacionada com o crescimento acentuado da funcao exponencial. Para entender essa propriedade,podemos tambem voltar a observar as abscissas dos pontos de maximo: xk = log2

(π2

+ 2 k π), com

k ∈ Z. Como a funcao logarıtmica e crescente (pois a derivada primeira log2 e positiva), entao xk ecrescente. Porem, como a taxa de crescimento da funcao logarıtmica e cada vez menor (pois a derivadasegunda log2 e negativa), entao a distancia entre xk e xk+1 e cada vez menor.

Figura 3.21: Os graficos de u(x) = 2 sen x e v(x) = sen (2x).

Nas questoes 1 a 3, incluımos uma questao chave: Que propriedades das funcoes voce usou pararesponder as questoes acima? Com isso, procuramos direcionar a atencao dos estudantes para os argu-mentos matematicos que justificam as propriedades observadas na tela e suas possıveis generalizacoes.Nessas atividades lidamos essencialmente com operacoes entre funcoes (produto na atividade 1 e com-posicao nas atividades 2 e 3), que sao topicos usualmente presentes nos currıculos e livros didaticos doensino medio. Porem, procuramos usar o ambiente computacional para olhar para esses topicos


de um novo ponto de vista. Em geral, os exercıcios envolvendo operacoes entre funcoes reduzem-se a procedimentos rotineiros para determinar funcoes compostas e coisas assim. Aqui, procuramospropor atividades em que as propriedades qualitativas da funcao produto ou composta sejamestudadas a luz da analise das propriedades qualitativas das funcoes originais. Alem disso,buscamos ampliar o universo de funcoes familiares aos estudantes, empregamos exemplos cujosgraficos em geral nao sao tracados no ensino basico. Tracar tais graficos seria provavelmente umatarefa de difıcil realizacao em sala de aula, sem o apoio do recurso computacional. E claro que aabordagem com o computador nao deve se reduzir a tracar esses graficos, mas sobretudo motivar aexploracao matematica e a compreensao de suas propriedades.

Continuando para a atividade 4, a visualizacao do grafico na janela indicada, pode sugerir que amenor raiz da funcao ω seria x = 1 (figura 3.22). No entanto, as raızes de ω sao os pontos x taisque sen (log10 x) = 0, isto e, x = 10kπ, como k ∈ Z. Portanto, nao existe uma maior raiz (pois oconjunto das raızes nao e limitado superiormente), nem uma menor raiz de ω (pois, embora o conjuntodas raızes seja limitado inferiormente, dada qualquer raiz, sempre podemos exibir outra menor queesta). E interessante observar ao contrario do que ocorre com a funcao v da atividade 3, a oscilacaode ω e bastante “espacada”. Mais precisamente, a razao entre duas raızes consecutivas e de 10π, istoe, cada raiz e mais de 1.000 vezes maior que imediatamente anterior. Em consequencia, embora afuncao tenha infinitas raızes, em cada intervalo escolhido para o eixo horizontal so e possıvel visualizarclaramente uma delas, pois as demais ou sao muito pequenas ou muito grandes para a janela. Alemdisso, a diferenca de ordens de grandeza das raızes faz com o grafico adquira aspectos completamentediferentes em cada nova janela (figura 3.23).

Figura 3.22: O grafico de ω(x) = sen (log10 x).

Figura 3.23: O grafico de ω(x) = sen (log10 x), em novas janelas.


Logaritmos e Escalas Logarıtmicas

Alguns software (incluindo o Graphmatica [2]) possuem um recurso para tracar graficos em sistemas deeixos graduados em escalas logarıtmicas. Em um eixo em escala logarıtmica de base β > 1, as potenciasinteiras de β sao representadas em intervalos com um comprimento fixo (figura 3.24). Assim, conformecaminhamos no sentido positivo do eixo, cada um desse intervalos corresponde a uma multiplicacaopela base (e nao a soma de uma constante, como em um eixo linear convencional). Portanto, dadox ∈ R+, se x′ e a posicao que representa x no eixo em escala logarıtmica de base β, vale a seguinterelacao: x′ = logβ x.

. . . . . .x′

β−4 β−3 β−2 β−1 1 β β2 β3 β4

Figura 3.24: Um eixo em escala logarıtmica de base b.

Atividades

5. As figuras abaixo representam as famılias de curvas y = k x (a esquerda) e y = xk (a direita),ambas com k =, tracadas em um sistema de coordenadas logarıtmicas decimais x′y′, na janelagrafica 10−3 ≤ x ≤ 103, 10−3 ≤ y ≤ 103.

(a) Explique porque as curvas adquirem o aspecto de retas neste sistema de coordenadas.

(b) Caracterize todas as funcoes f : R+ → R+ cujos graficos adquirem o aspecto de retas nosistema de coordenadas logarıtmicas decimais.

6. No exercıcio anterior, os dois eixos do sistema de coordenadas sao graduados em escalas logarıt-micas. Podemos tambem graduar apenas um dos eixos em escala logarıtmica e manter o segundoem escala linear convencional.

(a) Em um sistema de coordenadas xy ′, em que apenas o eixo vertical e graduado em escalalogarıtmica decimal, enquanto o eixo horizontal e mantido em escala linear convencional,caracterize todas as funcoes f : R→ R+ cujos graficos adquirem o aspecto de retas.

(b) Em um sistema de coordenadas x′y, em que apenas o eixo horizontal e graduado em es-cala logarıtmica decimal, enquanto o eixo vertical e mantido em escala linear convencional,caracterize todas as funcoes f : R+ → R cujos graficos adquirem o aspecto de retas.

7. Explique em que tipo de situacoes, envolvendo variacao de grandezas, voce considera que e con-veniente empregar sistemas coordenadas com: ambos os eixos graduados em escalas logarıtmicas;com apenas o eixo vertical graduado em escala logarıtmica; com apenas o eixo horizontal graduadoem escala logarıtmica.


Na atividade 5, o aluno deve ser estimulado a explorar livremente a visualizacao dos graficos nocomputador, em particular alterando a janela de visualizacao entre eixos em escalas logarıtmicas e eixoscartesianos convencionais. E importante observar que a alternacao entre diferentes sistema de coorde-nadas para visualizacao de uma famılia de curvas, e observacao imediata das mudancas de aspecto nascurvas, consiste em uma possibilidade de exploracao oferecida pelo software, que dificilmentepoderia ser reproduzida sem recursos computacionais. Da mesma foram que sugerimos em di-versas atividades anteriores, a exploracao deve conduzir a alguma forma de sistematizacao matematica.Este e o objetivo do item 5b. Um grafico de funcao que tenha o aspecto de uma reta no sistema x′y′

deve ter equacao na forma y′ = a x′ + b, com a, b ∈ R+. Assim, teremos:

y′ = a x′ + b⇒ log10 y = a log10 x + b⇒ y = 10a log10 x+b = 10b xa = c xa .

Portanto, as funcoes f : R+ → R+ cujos graficos adquirem o aspecto de retas no sistema decoordenadas logarıtmicas decimais sao aquelas na forma f(x) = c xa, com a, c ∈ R+.

A abordagem do conceito de logaritmo no ensino medio com frequencia reduz-se a series de exercıciosrotineiros envolvendo, por exemplo, empregar as propriedades algebricas dos logaritmos em resolucaode equacoes ou para a determinacao de valores numericos. Em exercıcios deste tipo, ha pouco enfoqueconceitual na ideia de logaritmo, suas relacoes com ordens de grandeza, ou o comportamento e a variacaodas funcoes logarıtmicas. Atividades envolvendo escalas logarıtmicas, especialmente com o apoio deambientes graficos, podem ser usadas para fornecer um novo olhar para o conceito de logaritmo. Emescalas logarıtmicas, representamos as ordens de grandeza dos numeros (em relacao a uma base fixada),em lugar de seus valores absolutos. Assim, sistemas de coordenadas logarıtmicas sao convenientes paraestudar fenomenos envolvendo amplas variacoes de ordens de grandeza, desde valores muito proximosde 0 ate valores muito grandes.

Por exemplo, voltemos a atividade 8 da secao 3.3. Foi observado que o grafico de f(x) = x2 +10 x eaproximado por f2(x) = 10 x, para valores de x muito proximos de 0; e por f1(x) = x2, para valores dex muito grandes (figura 3.16). Entretanto, quando a janela e pequena o suficiente para distinguirmosvalores de x muito proximos de 0, os valores grandes ficam de fora; e quando aumentamos a janela paraincluir valores grandes de x, nao podemos mais distinguir valores muito proximos de 0. Portanto, naoe possıvel visualizar essas duas aproximacoes ao mesmo tempo em uma mesma janela grafica – pelomenos no sistema de coordenadas cartesianas convencional. Porem, quando mudamos o sistema deeixos para coordenadas cartesianas passamos a enxergar nao os valores das variaveis, mas suas ordensde grandeza, e o grafico de f adquire outro aspecto (figura 3.25, a esquerda). Podemos entao visualizarao mesmo tempo, em uma mesma janela grafica, as aproximacoes de f por f2(x) = 10 x, para valoresde x muito proximos de 0, e por f1(x) = x2 para valores de x muito grandes (figura 3.25, a direita).

Figura 3.25: O grafico de f(x) = x2 + 10 x e o grafico de f(x) = x2 + 10 x com f1(x) = x2 e f2(x) =10 x, tracado em um sistema de coordenadas logarıtmicas, para −10−3 ≤ x ≤ 105, −10−3 ≤ y ≤ 105.


De forma semelhante, se tracarmos o grafico da funcao ω da atividade 4 em um sistema de coorde-nadas em que o eixo horizontal e graduado em escala logarıtmica e o vertical e mantido em escala linearconvencional, seremos capazes de visualizer diversas oscilacoes em uma mesma janela grafica (figura3.26).

Figura 3.26: O grafico de ω(x) = sen (log10 x), tracado em um sistema de coordenadas com eixohorizontal em escala logarıtmica, para −10−7 ≤ x ≤ 107, −2 ≤ y ≤ 2.

Atividades




(c) Qual e o papel das questoes chave feitas em cada uma das atividades?


(e) Qual e o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do softwarepode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em relacao a abordagemconvencional (isto e, sem o computador)?


9. (a) Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 5, que seja adequadapara as turmas em que voce leciona.

(b) Que questoes chave voce proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos da atividadeproposta?

Capıtulo 4

Ambientes de Geometria Dinamica

Introducao

Segundo um conhecido dito popular, uma imagem vale mais do que mil palavras. Em ambientes degeometria dinamica, sao utilizadas literalmente centenas de imagens sobrepostas, que se articulam entresi e sao manipuladas de forma interativa. Imagine, entao, quantas ideias podem ser traduzidas, com oauxılio da geometria dinamica!

As ferramentas de geometria dinamica permitem a construcao de objetos geometricos de acordocom propriedades ou relacoes estabelecidas. Estes podem entao ser manipulados dinamicamente, detal maneira que as propriedades e relacoes sejam preservadas. Esse modo particular de construcaogeometrica apresenta caracterısticas especiais, que podem ter consequencias importantes para a apren-dizagem. Quando um objeto geometrico e representado por meio de papel e lapis, em geral procura-seempregar certas notacoes para indicar suas propriedades. Portanto, essas propriedades determinam amaneira de se representar, e se fazem notar na representacao. Entretanto, o processo de construir umarepresentacao para um objeto em ambientes de geometria dinamica dispara outra qualidade de reflexaosobre suas propriedades e relacoes matematicas. Por exemplo, quando esbocamos um losango com pa-pel e lapis (figura 4.1), comumente marcamos pequenos tracos sobre cada um dos lados para indicar asua congruencia. Porem, se construımos um losango em geometria dinamica (figura 4.2), alem de saberque um losango e, por definicao, um quadrilatero com todos os lados congruentes, somos impelidos arefletir sobre como garantir, na propria construcao, que esses lados sejam de fato congruentes.

Figura 4.1: A representacao de um losango, com papel e lapis.

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68 CAPITULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

Figura 4.2: A representacao de um losango, em geometria dinamica.

Assim, em uma representacao feita com papel e lapis apenas (sem nenhum outro instrumento), aspropriedades dos objetos sao indicadas apenas pela notacao usada. Em geometria dinamica, por outrolado, a garantia de validade das propriedades e relacoes matematicas do objeto representadoe incorporada concretamente no proprio processo de construcao da representacao. Destaforma, as proprias experiencias de construir representacoes em geometria dinamica ja constituem, porsi so, exercıcios que demandam um maior nıvel de conhecimento matematico dos objetos. Essas expe-riencias podem ainda fornecer pistas sobre outras propriedades e relacoes dos objetos construıdos, alemdaquelas que fazem parte de suas definicoes ou sao dadas nos enunciados dos problemas, sugerindoporque estas sao validas (ou nao validas) e indicando caminhos para sua deducao. Assim, o processode construcao pode nos levar a perceber ou a conjecturar propriedades, que, evidentemente, deveraoser confirmadas ou refutadas por argumentos matematicos. No caso do losango dinamico da figura 4.2,podemos questionar, por exemplo as possıveis relacoes entre congruencia e paralelismo dos lados:

A congruencia dos lados e suficiente para garantir seu paralelismo. Isto e, todo losango eum paralelogramo.Mas, sera que a congruencia dos lados e tambem necessaria para garantir seu paralelismo?Isto e, sera todo paralelogramo um losango?

E claro que, em construcoes com de regua nao graduada e compasso (fısicos) ou outros instrumentosmecanicos de desenho, a validade das propriedades matematicas tambem e incorporada no processode construcao, como ocorre em geometria dinamica. De fato, a concepcao dos ambientes de geo-metria dinamica e primordialmente inspirada nas construcoes com regua nao graduada e compassofısicos, os assim chamados instrumentos euclidianos. No entanto, uma diferenca importante entre essesambientes e os instrumentos euclidianos esta justamente no aspecto dinamico das construcoes. Comregua e compasso, uma construcao geometrica, uma vez feita, e estatica. Em geometria dinamica,as construcoes nao apenas podem ser manipuladas, como tambem as condicoes que a determinaraminicialmente sao preservadas pela manipulacao. O aspecto dinamico dos ambientes pode indicar avalidade matematica das construcoes, e especialmente sua nao validade. Voltando ao exemploda figura 4.2, para construir nosso losango em geometria dinamica, nada nos impede de simplesmentemarcar quatro pontos que, visualmente parecam formar um paralelogramo quando ligados. Entretanto, ofato de que a construcao nao leva em conta garantias matematicas para a congruencia desses segmentosficara claro quando esses pontos forem arrastados.

Alguns pesquisadores em educacao matematica (e.g. [15, 41]) destacam duas modalidades distintasde concepcao de imagens materiais de objetos matematicos, do ponto de vista da aprendizagem: umdesenho, se a imagem e vista como representacao particular de um objeto isolado; ou uma figura,se a imagem e percebida como representacao generica de uma classe de objetos matematicos, que

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compartilham um conjunto comum de propriedades. Neste sentido, perceber a imagem material deum losango como uma figura corresponde a entende-la nao apenas com um desenho isolado, mascomo um representante de um classe de quadrilateros, sendo desta forma capaz de incorporar todas aspropriedades matematicas comuns a esta classe. As potencialidades destacadas anteriormente sugeremque os ambientes de geometria dinamica podem ser explorados para ajudar os estudantes a expandiremsua concepcao de uma representacao geometrica de desenho para figura – o que constitui um passo deabstracao matematica. Tais potencialidades fornecem, portanto, um terreno vasto para a exploracaode objetos matematicos e formulacao de conjecturas sobre suas relacoes e propriedades, que deveraoser comprovadas ou refutadas por meio de argumentos matematicos formais.

Por outro lado, alguns autores (e.g. [61]) apontam uma preocupacao com um possıvel efeito inde-sejavel do uso de ambientes de geometria dinamica no ensino: seus recursos, em particular a ferramentade arrastar, podem tornar as propriedades de objetos geometricos tao evidentes ao ponto de convenceros estudantes de que demonstra-las como teoremas matematicos seria desnecessario. Uma forma deprevenir esse efeito e tambem propor aos estudantes situacoes em que nem tudo transcorre comoo esperado, como aquelas envolvendo limitacoes dos ambientes de geometria dinamica e resultadossurpreendentes ou contrarios a sua intuicao. Tais reflexoes evidenciam, mais uma vez, que os efeitosdo uso de recursos computacionais no ensino de Matematica nao sao determinados unicamente porsuas caracterısticas intrınsecas, mas principalmente pela forma como eles sao usados na abordagempedagogica. Portanto, destaca-se o papel central do professor, em planejar adequadamente a abordagemcom tecnologias computacionais.

Este capıtulo abordara o uso de ambientes de geometria dinamica no ensino de Matematica, emdois campos principais: geometria euclidiana plana e funcoes. Em particular, como nos capıtulos ante-riores, serao exploradas nao so as potencialidades, como tambem as limitacoes tecnicas dos softwarese situacoes em que sao produzidos resultados inesperados ou aparentemente errados. Desta forma,objetiva-se destacar a impossibilidade de tomar os resultados do computador como criterio de verdadematematica e enfatizar a necessidade de argumentos formais. No campo da geometria, serao propostasatividades envolvendo construcoes geometricas elementares, com enfase no estudo das propriedades dasfiguras planas que permanecem invariantes nas construcoes geometricas dinamicas.

Embora as aplicacoes dos ambientes de geometria dinamica no ensino de geometria plana sejammais difundidas, seu uso tambem pode ser muito enriquecedor para o ensino de funcoes reais. Porexemplo, podem ser exploradas relacoes entre as propriedades algebricas e o comportamento qualitativode graficos de famılias de funcoes dependendo de parametros, de maneira semelhante as atividadespropostas no capıtulo 3. Porem, tais exploracoes podem agora ser realizadas de forma dinamica, istoe, em lugar de digitar valores numericos para os parametros, o aluno pode controlar esses valores pormeio da ferramenta de arrastar dos ambientes, observando em tempo real as mudancas de aspectoprovocadas nos graficos.

Alem disso, os ambientes de geometria dinamica permitem a abordagem do conceito de funcao emsituacoes que usualmente sao pouco exploradas no ensino basico, tais como relacoes de dependenciafuncional em construcoes geometricas (isto e, situacoes em que certos elementos das construcoessao funcoes de outros). De fato, em construcoes geometricas ocorrem naturalmente relacoes de de-pendencias entre objetos, que valem a pena ser exploradas. Se a construcao e feita em geometriadinamica, essas relacoes, que muitas vezes podem passar despercebidas, tornam-se mais evidentes. Porexemplo, se construımos um quadrado inscrito em um cırculo, entao o lado e a area do quadrado saofuncoes do raio cırculo – ou podemos mesmo dizer que neste caso o proprio quadrado e funcao docırculo. Em geometria dinamica, se alteramos o cırculo, podemos ver as alteracoes acarretadas noquadrado inscrito; e se apagamos o cırculo, o quadrado inscrito (que dele e dependente) tambem desa-parecera. Situacoes como essa oferecem algumas possibilidades de exploracao pedagogica que podemser muito enriquecedoras.


• E possıvel estudar o comportamento de funcoes diretamente por meio da dinamica do ambiente,sem a mediacao das representacoes usuais em sala de aula, especialmente a representacao grafica.Isto e, o comportamento da funcao pode ser analisado ao se alterar um objeto no ambiente, eobservar as consequentes alteracoes nos objetos que sao dependentes deste. Assim, a propriadinamica do ambiente converte-se em uma forma nao convencional de representacao.

• Alem disso, pode-se ampliar o universo de funcoes familiares aos alunos, uma vez que sao apresen-tados exemplos de funcoes cujos domınios ou contradomınios nao sao numeros, e sim conjuntosde objetos geometricos. Nos livros didaticos, em geral a abordagem de funcoes tem inıcio com adefinicao de funcao em contexto abstrato, como relacao entre dois conjuntos genericos. Entre-tanto, quase todos os exemplos que se seguem sao de funcoes entre conjuntos numericos. Destaforma, verifica-se lacuna brusca na abordagem – e a apresentacao de exemplos de funcoes deoutra natureza e importante para preenche-la.

• Finalmente, como sao construıdas funcoes entre objetos geometricos, essas situacoes estabele-cem uma articulacao entre geometria e funcoes, campos da Matematica que quase sempre saoabordados de forma dissociada no ensino basico.

Nas atividades propostas neste capıtulo, teremos como referencia os softwares GeoGebra [1] eTabulæ [6]. A razao para esta escolha deve-se apenas ao fato de que esses softwares podem ser encon-trados facilmente e sem custo na internet. Entretanto, como ja observamos, nosso foco nao estara emnenhum software especıfico, e sim na discussao sobre as vantagens e limitacoes que o uso de ambientesde geometria dinamica em geral pode trazer para o ensino e a aprendizagem de conceitos matematicos.

4.1 Explorando a Geometria de Forma Dinamica

De forma geral, os ambientes de geometria dinamica fornecem uma representacao computacional parao plano euclideano, e suas ferramentas basicas sao concebidas para reproduzir regua nao graduada ecompasso fısicos – os chamados instrumentos euclidianos. Esta estrutura permite a simulacao de cons-trucoes geometricas que podem ser feitas com os instrumentos euclidianos, sendo que nesses ambientes,as construcoes tornam-se dinamicas, isto e, podem ser manipuladas de forma que as propriedades erelacoes dos objetos construıdos sejam preservadas. A maior parte dos ambientes de geometria dinami-ca incorpora ainda outros recursos, tais como tracado de lugares geometricos, representacao de secoesconicas, coordenadas cartesianas e medidas aproximadas para comprimentos e areas.

Cabe ressaltar que, em virtude das limitacoes inerentes ao software, as representacoes computa-cionais apresentam diferencas importantes em relacao ao modelo matematico. De fato, no modelomatematico teorico, o plano euclidiano constitui-se de infinitos pontos, e completo (isto e, desprovidode “buracos”) e ilimitado. Nas representacoes em geometria dinamica, por outro lado, lidamos semprecom uma regiao retangular formada por uma quantidade muito grande, porem finita de pixels.

O objetivo das atividades a seguir e apresentar possibilidades de uso de ambientes de geometriadinamica no ensino de geometria euclidiana plana, tanto para a aprendizagem de conceitos geometricosespecıficos quanto para o desenvolvimento do raciocınio matematico dedutivo envolvido, buscandosempre a forma mais geral e solida possıvel para que os conhecimentos adquiridos possamser reconhecidos e aplicados, mesmo sem o apoio do computador. As atividades iniciais (1 a 6)visam a ambientacao com os ambientes geometria dinamica, que de um modo geral possuem ferramentassemelhantes. Propomos construcoes relativamente simples e procuramos explorar a investigacao dosconceitos matematicos envolvidos. As atividades propostas envolvem, principalmente, a investigacao deregularidades, a generalizacao de propriedades, a formulacao de conjecturas, e como desdobramento, aconfirmacao ou refutacao dessas conjecturas por meio de argumentos matematicos.

4.1. EXPLORANDO A GEOMETRIA DE FORMA DINAMICA 71

Atividades

1. Foi proposta a uma turma do ensino medio a tarefa de construir um triangulo equilatero delado AB dado, usando um ambiente de geometria dinamica. Um dos alunos da turma propos aseguinte solucao:

1. trace a mediatriz do segmento AB;

2. usando o recurso para tracar cırculos do ambiente, escolha o ponto A como centro e movao cursor ate que o cırculo “encoste” no ponto B, marcando assim um ponto C, que defineo raio AC;

3. marque o ponto D, de intersecao entre a mediatriz de AB e esse cırculo;

4. ligue os pontos, obtendo o triangulo ABD.

(a) Voce considera que a construcao esta correta?

(b) Qual e o segmento que determina a medida do raio do cırculo construıdo? Este segmentodepende de AB?

(c) Usando a construcao proposta pelo aluno, arraste o ponto C. O que acontece com otriangulo construıdo?

(d) O que podemos garantir sobre esse triangulo, com base na construcao do aluno? Isto e,o que, de fato o aluno esta construindo? Justifique sua resposta por meio de argumentosmatematicos.


2. Para resolver a mesma tarefa da atividade 1, outro aluno da turma propos a seguinte construcao:

1. trace a mediatriz do segmento AB;

2. usando o recurso para tracar cırculos, escolha o ponto A como centro e mova o cursor ateque o cırculo “encoste” no ponto B, de forma que o ponto C, que define o raio AC, estejasobre a mediatriz de AB;

3. ligue os pontos, obtendo o triangulo ABC.

Responda as mesmas perguntas da atividade 1, para esta construcao.

3. Descreva uma maneira correta de construir um triangulo equilatero de lado AB dado em um ambi-ente de geometria dinamica, isto e, uma construcao de forma que a propriedade de ser equilateroseja preservada quando quaisquer dos elementos da construcao forem arrastados. Justifique avalidade de sua construcao por meio de argumentos matematicos.

4. Agora, o professor propos a essa mesma a construcao, em um ambiente de geometria dinamica,de um quadrado de lado AB dado. Um aluno propos a seguinte solucao:

1. trace um cırculo de centro em A e raio AB;

2. trace um cırculo de centro em B e raio AB;

3. marque um ponto C sobre o cırculo de centro A de tal forma que o segmento AC sejavisualmente perpendicular a AB, e um ponto D sobre o cırculo de centro B de tal formaque o segmento BD seja visualmente perpendicular a AB;

4. ligue os pontos, obtendo o quadrado ABDC.


(a) Voce considera que a construcao esta correta?

(b) O que garante a perpendicularidade dos lados do quadrilatero nesta construcao?

(c) Usando a construcao proposta pelo aluno, arraste o ponto C e, em seguida, o ponto D. Oque acontece com o quadrilatero?

(d) O que podemos garantir sobre esse quadrilatero, com base na construcao do aluno? Isto e,o que, de fato o aluno esta construindo? Justifique sua resposta por meio de argumentosmatematicos.

5. Questionando a solucao do colega, outro aluno da turma propos a seguinte construcao para atarefa da atividade 4:

1. trace um cırculo de centro em A e raio AB;

2. trace um cırculo de centro em B e raio AB;

3. marque um ponto C sobre o cırculo de centro A de tal forma que o segmento AC sejavisualmente perpendicular a AB;

4. trace um cırculo de centro em C e raio CB;

5. marque o ponto, de intersecao dos cırculos de centro B e de centros C;

6. ligue os pontos, obtendo o quadrado ABDC.

Responda as mesmas perguntas da atividade 4, para esta construcao.


6. Descreva uma maneira correta de construir um quadrado de lado AB dado em um ambiente degeometria dinamica, isto e, uma construcao de forma que a propriedade de ser quadrado sejapreservada quando quaisquer dos elementos da construcao forem arrastados. Lembre-se de que,para garantir que um quadrilatero seja um quadrado, precisamos garantir a congruencia dos ladose dos angulos internos, pois uma nao implica na outra, como ocorre no caso dos triangulos.Justifique a validade de sua construcao por meio de argumentos matematicos.

As atividades anteriores envolvem construcoes em que nao ha garantias de que o objeto geometricoobtido de fato satisfaz as condicoes dadas no problema. Estas atividades ilustram como os ambien-tes de geometria dinamica, em particular o recurso de arrastar, podem ser explorados para motivar adistincao entre argumentos matematicamente validos e argumentos empıricos ou indutivos,que implicam logicamente nas propriedades desejadas. Para que estes objetivos sejam atingidos, e fun-damental que as conclusoes dos alunos sejam fundamentadas em argumentos matematicos,e nao na simples visualizacao do software. Note que foram incluıdas questoes chaves nas atividades,com o papel de disparar essa discussao.

Por exemplo, no caso das atividades 1 e 2, so e possıvel garantir que os triangulos construıdos saoisosceles, mas nao necessariamente equilateros. Esta conclusao decorre, por um argumento baseadoem congruencia de triangulos, do fato do vertice oposto ao lado AB estar sobre a mediatriz deste lado.Na atividade 4 a construcao so garante a congruencia de tres dos lados do quadrilatero, e na 5 detodos os lados. Na atividade 5 obtemos apenas um quadrilatero equilatero, isto e, um losango, que naonecessariamente e equiangulo, portanto nao necessariamente e um quadrado. Desta forma, pode-semotivar uma discussao sobre as relacoes entre congruencia dos lados e dos angulos de um polıgono:apenas nos casos dos triangulos essas propriedades sao equivalentes.


Observe que a maior parte dos principais softwares de geometria dinamica preservam o registro dasconstrucoes efetuadas. Esses registros podem e devem ser explorados em sala de aula, pois ajudam aestabelecer pontes entre as construcoes geometricas e os argumentos matematicos que as justificam.

Atividades

7. (a) Mostre que um triangulo e equilatero se, e somente se, e equiangulo.

(b) Mostre que a propriedade do item anterior nao vale para polıgonos com numero de ladosmaior ou igual a 4.




(c) Qual e o papel do ambiente de geometria dinamica no desenvolvimento das atividades?

(d) Qual e o papel das questoes chave feitas em cada uma das atividades?

(e) Que outras perguntas voce proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos das ativida-des?

(f) Na sua opiniao, que discussoes sobre propriedades de triangulos e quadrilateros podem sermotivadas pela resolucao das atividades?

(g) Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinamica pode trazer para aaprendizagem dos conceitos enfocados, em relacao a abordagens com recursos convencionais(isto e, sem o uso de recursos computacionais)?

(h) Que obstaculos e desvantagens voce considera que seriam enfrentados na aplicacao dessasatividades em sala de aula?

9. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 6, que seja adequada para asturmas em que voce leciona. Procure incluir uma ou mais questoes chave na atividade que voceelaborar, para ajudar a encaminhar a resolucao dos alunos.

Nas atividades a seguir, damos continuidade a apresentacao de situacoes de geometria plana comapoio de ambientes de geometria dinamica, enfocando as possibilidades de exploracao dos ambientespara a formulacao de conjecturas sobre as propriedades geometricas dos objetos.

Atividades

10. (Adaptado de [11])

(a) Em um ambiente de geometria dinamica, construa polıgonos de n lados, com n = 3, 4, 5, 6.Use os recursos do software para medir a soma dos angulos internos de cada um dessespolıgonos. Arraste os vertices dos polıgonos e observe o que acontece. O valor da soma dosangulos internos varia?

(b) Deduza um formula para a soma dos angulos internos de um polıgono, em funcao do numerode lados.

(c) Agora, use os polıgonos que voce construiu para calcular a soma dos angulos externos (istoe, os complementares dos angulos internos) dos polıgonos.

(d) Deduza um formula para a soma dos angulos externos de um polıgono, em funcao do numerode lados.


11. (Adaptado de [11]) O objetivo desta questao e investigar, com apoio de um ambiente de geome-tria dinamica, sob que condicoes dois triangulos, com um grupo de elementos (lados e angulos)congruentes, sao congruentes.

(a) Dado um triangulo ABC, construa outro triangulo DEF , satisfazendo: DE = AB e

A = D. Arraste os vertices desses triangulos e investigue a relacao entre eles.

(b) Dado um triangulo ABC, construa outro triangulo DEF , satisfazendo: DE = AB, A = D

e B = E. Arraste os vertices desses triangulos e investigue a relacao entre eles.

(c) E possıvel construir um triangulo DEF com um lado e dois angulos congruentes a um lado edois angulos de ABC, mas que nao seja congruentes a ABC. Em caso afirmativo, construaeste triangulo. Caso contrario, justifique sua resposta.

(d) Quantos lados e angulos nao congruentes podem ser encontrados nos triangulos nao con-gruentes construıdos no item anterior?

(e) E possıvel construir um par de triangulos nao congruentes, com cinco pares de elementoscorrespondes congruentes? Em caso afirmativo, construa estes triangulos. Caso contrario,justifique sua resposta.

(f) E possıvel construir um par de triangulos nao congruentes, com seis pares de elementoscorrespondes congruentes? Em caso afirmativo, construa estes triangulos. Caso contrario,justifique sua resposta.

12. (a) Em um ambiente de geometria dinamica, construa um trapezio ABCD qualquer, de formaque as posicoes de todos os vertices possam ser alteradas, preservando o paralelismo dasbases.

(b) Construa as diagonais de ABCD e chame de G seu ponto de intersecao. Em seguida, traceuma paralela as bases por G e chame de F e E, seus pontos de intersecao com os ladosAD e BC, respectivamente.

(c) Agora, arraste os vertices do trapezio e observe os triangulos EGD e GCF . O que vocepode afirmar sobre a relacao entre essas areas?

(d) Justifique matematicamente a propriedade que voce observou no item anterior.

(e) Como as propriedades dinamicas do software ajudou a formular a conjectura?


13. O objetivo desta atividade e demonstrar a existencia dos chamados pontos notaveis de umtriangulo qualquer. Esses pontos sao definidos da seguinte forma:

• incentro: intersecao das bissetrizes relativas a cada um dos angulos internos de um triangulo;

• circuncentro: intersecao das mediatrizes relativas a cada um dos lados de um triangulo;

• baricentro: intersecao das medianas relativas a cada um dos lados de um triangulo;

• ortocentro: intersecao das alturas relativas a cada um dos lados de um triangulo.

Portanto, demonstrar a existencia desses pontos corresponde a provar que cada uma das linhasnotaveis (bissetriz, mediatriz, mediana e altura) se interceptam em um unico ponto. Para entenderclaramente as definicoes acima, voce devera recordar as definicoes de bissetriz, mediatriz, medianae altura.

(a) Em um ambiente de geometria dinamica, construa uma representacao para cada uma dassituacoes propostas neste problema. Arraste os vertices dos triangulos e verifique o queocorre com os pontos notaveis.

(b) Demonstre formalmente a existencia do incentro e do circuncentro. Essas provas decorremdiretamente das definicoes de bissetriz e mediatriz, respectivamente.

(c) Demonstre formalmente a existencia do baricentro. A dica e tomar o ponto de intercessaoentre duas das medianas (que certamente existe) e determinar as razoes entre as medidasdos segmentos determinados por este ponto em cada uma das duas medianas.

(d) Demonstre formalmente a existencia do ortocentro. Esta prova e provavelmente mais difıcildas quatro. Neste caso, a dica e a seguinte. Dado um triangulo ABC, construa um trianguloDEF de tal forma que cada um dos lados de DEF contenha um dos vertices de ABC eseja paralelo ao lado ABC oposto a este vertice. Qual e a relacao entre as alturas de ABCe o triangulo DEF ? Faca esta construcao no ambiente de geometria dinamica e escreva aprova formal.

(e) Com ajuda do ambiente de geometria dinamica, investigue quais dos pontos notaveis saosempre interiores ao triangulo. Justifique suas conclusoes por meio de argumentos formais.

(f) Verifique se as demonstracoes que voce escreveu no ıtens 13b, 13c e 13d continuam valendono caso dos pontos serem exteriores ao triangulo.

(g) A razao para os nomes incentro e circuncentro esta nos seguintes teoremas:

• O incentro de um triangulo e o centro do cırculo inscrito neste este triangulo.• O circuncentro de um triangulo e o centro do cırculo circunscrito a este triangulo.

Represente estes enunciados no ambiente de geometria dinamica e justifique-os formalmente.

14. Considere o seguinte problema:

Dados uma circunferencia C, de centro O e raio r, e uma reta a, construir todos oscırculos simultaneamente tangentes a C e a a, passando por um ponto P ∈ a fixado.

O objetivo desta atividade e analisar as solucoes do problema, levando em conta todas as diferentespossibilidades para as posicoes relativas entre o cırculo C e a reta a. Suponha, inicialmente, quea nao corte C.

(a) Quantas solucoes tem o problema? Isto e, existem quantos cırculos simultaneamente tan-gentes a C e a a, e passando por P ?


(b) Em um ambiente de geometria dinamica, faca a seguinte construcao.

1. Trace a reta b, perpendicular a a que passa por P .2. Sobre a reta b, marque os pontos C e D tais que AP = BP = r.3. Trace as mediatrizes dos segmentos OA e OB.4. Marque os pontos M e N de intersecao dessas mediatrizes com a reta b.

Mostre que M e N sao os centros dos cırculos tangentes procurados. Construa os cırcu-los tangentes, com centros em M e em N e raios em MP e em NP , respectivamente.Para completar, construa as retas MP e NP e marque os pontos de tangencia S e T ,respectivamente.

(c) A construcao do item 14b tambem vale no caso em que a e secante a C?(d) O que acontece quando a e tangente a C?(e) Existe algum caso em que o problema tenha menos de duas solucoes? E mais de duas

solucoes? A construcao do item 14b tambem vale nestes casos?

(f) Agora, suponha que voce uma pequena alteracao no final da construcao do item 14b.Proceda da mesma forma ate obter os pontos M e N . Em seguida, construa primeiro asretas MP e NP e marque os pontos de tangencia S e T . Depois, construa os cırculostangentes, com centros em M e em N e raios em MS e em NT .

As construcoes sao equivalentes?

Arraste a reta a ate que ela seja secante a C. A construcao e preservada? Explique oobservado.

15. Na Matematica da Grecia antiga, os problemas de determinacao de areas de figuras planas eramchamados problemas de quadraturas. Isto por que esses problemas nao eram interpretados comode medicoes numericas, como fazemos hoje, e sim como construcoes geometricas (realizadas comos instrumentos euclidianos). Assim, para os gregos, determinar uma area significava construir,com regua nao graduada e compasso, um quadrado com mesma area da figura dada. Considere oseguinte problema a seguir. Com ajuda de um ambiente de geometria dinamica, vamos resolve-loda forma como os gregos antigos fariam.


Dado um pentagono qualquer, construir um quadrado com mesma area.

(a) A resolucao deste problema pode ser facilitada com algumas construcoes auxiliares. Faca asseguintes construcoes em um ambiente de geometria dinamica:

i. construir um retangulo com mesma area de um triangulo qualquer dado;ii. construir um quadrado com mesma area de um retangulo qualquer dado;iii. construir um quadrado cuja area seja igual a soma das areas de dois outros quadrados

dados.

(b) Como voce pode usar as construcoes do item anterior para resolver o problema proposto?

16. As homotetias sao transformacoes no plano que correspondem a ampliacoes ou reducoes. Assim,as homotetias preservam medidas angulares e multiplicam todas as medidas lineares por uma razaoconstante k ∈ R. Portanto, podemos tambem chamar as homotetias de transformacoes de seme-lhanca, pois as figuras transformadas sao sempre semelhantes as originais. Diversas construcoesgeometricas e demonstracoes podem ser resolvidas com a ajuda de homotetias. A construcao dehomotetias em ambientes de geometria dinamica pode ajudar os alunos a perceberem os efeitosdessas transformacoes de maneira mais concreta. Considere o seguinte problema:

Dados uma circunferencia C e um segmento de reta AB, inscrever na circunferencia,um triangulo equilatero que tenha um lado paralelo ao segmento AB.

(a) Inicialmente descreva as ideias e conceitos matematicos que podem ajudar na solucao doproblema.

(b) Construa no ambiente de geometria dinamica os elementos enunciado do problema.

(c) Como o conceito de homotetia pode ajudar na solucao?

(d) Agora que a construcao esta concluıda, apresente uma prova formal para a sua solucaoenvolvendo transformacoes de homotetia.

17. (Adaptado de [53]) Considere o seguinte problema:

Dado um triangulo ABC qualquer, inscrever um quadrado QRST neste triangulo.

(a) Identifique os dados do problema e as condicoes iniciais do problema.

(b) O que e desconhecido neste problema?

(c) Quais as condicoes para a construcao da solucao?

(d) E possıvel resolver este problema? Use um ambiente de geometria dinamica para investigaras possibilidades de solucao.

Caso a solucao nao lhe pareca trivial, uma possıvel estrategia e pensar em um problema similar,com menos hipoteses. Observe que, para que QRST esteja inscrito em ABC, e preciso que todosos vertices de QRST estejam sobre os lados de ABC. Assim, podemos propor, por exemplo oseguinte problema:

Dado um triangulo ABC qualquer, construir um quadrado QRST que tenha tres deseus vertices sobre os lados de ABC.

Quando diminuem-se as exigencias de um problema, e natural que sua solucao torne-se maissimples.


(e) Experimente construir com um ambiente de geometria dinamica uma figura que satisfacaas condicoes deste problema.

(f) Como as propriedades dinamicas do ambiente podem ajudar a relacionar este novo problemacom o proposto originalmente?

(g) Utilize as propriedades dinamicas do ambiente para investigar a localizacao do quarto vertice.

(h) Escreva uma prova matematica para o resultado obtido.

As atividades 10 e 11 foram desenhadas para provocar sensacoes de surpresa ou incerteza nos alunos(ver [31]). Como observamos na introducao deste capıtulo, situacoes em que o computador produzresultados inesperados ou aparentemente errados sao importantes para evidenciar aos estudantes anecessidade de construir argumentos matematicos, e evitar que eles atribuam ao computadorum estatuto de verdade matematica. As atividades 11 e 10 sao apenas exemplos. Evidentemente,a escolha do tipo de questoes que podem ter este efeito depende do publico de alunos, seu ano escolare sua bagagem de conteudos.

Na atividade 11, observamos que a soma dos angulos internos de um polıgono convexo, dada porSn = 180(n − 2), depende do numero de lados, e cresce com esse numero. Como cada angulo ex-terno depende do angulo interno correspondente, isto pode sugerir que a soma dos angulos externostambem varia com o numero de lados do polıgono. No entanto, a soma dos angulos externos deum polıgono convexo e constante, igual a 360. Alem disso, como o calculo de valores numericos dosambientes de geometria dinamica envolve arredondamentos, este pode produzir resultados aproximados,que podem inclusive mudar de aluno para aluno. A discussao sobre as razoes matematicas destes errosde arredondamento pode, mais uma vez, ser usada para evidenciar a necessidade de buscar argumentosmatematicos.

A atividade 10 envolve varias situacoes investigativas, em que a exploracao no computador podeser duvidosa ou inconclusiva. Algumas das situacoes propostas serao mais familiares aos alunos, eoutras menos. Assim, o professor pode conduzir a atividade para a necessidade de buscar argumentosmatematicos para decidir que condicoes garante a congruencia. Esta investigacao pode levar ainda adiscussao sobre o que significa enunciar os chamados “casos de congruencia de triangulos”: estabelecercondicoes suficientes para a congruencia, isto e condicoes que impliquem na congruencia.

Note que, nos enunciados das atividades 12, 13 e 15, empregamos os termos “trapezio qualquer”,“triangulo qualquer” e “pentagono qualquer”. Nosso objetivo com isto e chamar atencao para aimportancia da generalidade das construcoes no ambiente. Isto e, estas devem corresponder exatamenteas condicoes estabelecidas nos enunciados dos problemas, sem propriedades que tornem os objetosrepresentados mais particulares ou mais gerais. Por exemplo, a construcao feita na atividade 12 naopode gerar apenas trapezios isosceles, por um lado, nem quadrilateros que deixem de ser trapezios, poroutro – deve ser construıdo um trapezio generico. Portanto, a unica suposicao que pode ser usada eo paralelismo das bases. A propriedade dinamica do ambiente ajuda a verificar a generalidade dessaconstrucao, uma vez que as alteracoes sofridas pelo polıgono podem ser observadas quando seus verticessao arrastados.

Um aspecto importante no desenvolvimento do pensamento dedutivo em Matematica e a compreen-sao de que, em uma demonstracao nao podem ser usadas suposicoes diferentes daquelas estabelecidaspelas hipoteses dadas. Quando fazemos uma representacao estatica (isto e, em papel e lapis) para umobjeto geometrico, somos quase que inevitavelmente obrigados a incorporar na representacao carac-terısticas mais particulares que as hipoteses dadas. Por exemplo, quando temos a intencao de desenharum triangulo qualquer, quase sempre representamos nosso triangulo com base na posicao “horizontal” etodos os angulos agudos. Em alguns casos, as particularizacoes nas representacoes podem levar a parti-cularizacoes indevidas nos argumentos matematicos. Por outro lado, o uso de representacoes dinamicas,especialmente por meio da ferramenta de arrastar, pode ajudar a tornar mais evidente o fato de que


devemos pensar em uma figura como uma representacao generica, que incorpora todas asrelacoes e propriedades comuns a classe de objetos matematicos representada. Um dos obje-tivos da atividade 13, especialmente nos ıtens 13e e 13f, e explorar a relacao entre a generalidade dasrepresentacoes e a generalidade dos argumentos matematicos.

Na atividade 14, a construcao e valida em geral se a nao intercepta C. De fato (figura 4.3, aesquerda), pelo caso lado-angulo-lado de congruencia de triangulos, temos que ACM ≡ OCM , logoAM ≡ OM . Como, por construcao OS = PA = r, entao MS ≡ MP . Daı, decorre o fato de ocırculo de centro M e raio MS = MP e tangente a C e a a (por que?). Analogamente (figura 4.3, adireita), temos que BDN ≡ ODN , logo BN ≡ ON , Como, por construcao OS = PA = r, entaoNT ≡ NP . Segue que o cırculo de centro N e raio NT = NP e tangente a C e a a (por que?).

Figura 4.3: Construcao dos cırculos tangentes a um cırculo C e a uma reta a, passando por um pontoP ∈ a fixado, no caso a exterior a C.

Se a e secante a C, a construcao vale, a nao ser no caso em que P esta sobre o cırculo C. Se P 6∈ C,a justificativa da construcao vem das congruencias de triangulos ACM ≡ OCM e BDN ≡ ODN ,como acima (figura 4.4). Entretanto, no caso em que P ∈ C, temos que OP = r. Como alem disso,por construcao, PA = PB = r, entao, PA ≡ OP e PB ≡ OP . Portanto, P esta nas mediatrizesdos segmentos PA e PB, logo P e o ponto de intersecao destas mediatrizes com a reta a. Por isso,M e N coincidirao com P . Assim, nao e possıvel construir os cırculos tangentes. De fato, neste casoo problema nao tem solucao, isto e, nao existe nenhum cırculo tangente a C e a a, passando por P .

Figura 4.4: Construcao dos cırculos tangentes a um cırculo C e a uma reta a, passando por um pontoP ∈ a fixado, no caso a secante a C.


Finalmente, vejamos o que acontece se a e tangente a C. Se a 6∈ C, podemos repetir a construcao,porem uma das mediatrizes tracadas e paralela a a (figura 4.5). Portanto, so conseguimos obter umcırculo tangente a C e a a. De fato, o problema tem uma unica solucao. No caso em que P ∈ C (istoe, P e o proprio ponto de tangencia entre C e a), ambas as mediatrizes seriam paralelas a a. Portanto,nao conseguirıamos construir nenhum cırculo tangente. De fato, neste caso, o problema tem infinitassolucoes, isto e, existem infinitos cırculos tangentes a C e a a, passando por P .

Figura 4.5: Construcao dos cırculos tangentes a um cırculo C e a uma reta a, passando por um pontoP ∈ a fixado, no caso a tangente a C.

A tabela 4.1 resume o numero de solucoes do problema proposto na atividade 14, para todos oscasos possıveis. Existem varios outros problemas envolvendo tangencia a objetos geometricos, cujadiversidade de solucoes torna a investigacao enriquecedora. Nestes casos, os ambientes de geome-tria dinamica podem dar um suporte importante as exploracoes dos aluno, desde que estassejam acompanhadas dos devidos argumentos matematicos.

numero de solucoes

P 6∈ C P ∈ Ca exterior a C 2 —a secante a C 2 0a tangente a C 1 ∞

Tabela 4.1: Numero de solucoes do problema de construcao dos cırculos tangentes a um cırculo C e auma reta a, passando por um ponto P ∈ a fixado.

Neste sentido, o item 14f exemplifica uma situacao em que a dinamica do ambiente torna evidentea importancia de cada escolha feita em uma construcao – ou, em outras palavras, a importancia deprecisao com que cada objeto e definido na generalidade de um argumento matematico.Com a “pequena” alteracao proposta na construcao, observamos que esta nao se preserva para o casoem que a reta a e secante a C, pois um dos cırculos construıdos passa a ser tangente apenas a a, masnao a C (figura 4.6). Como entender por que isto ocorre?

Observe que, a diferenca fundamental entre as construcoes propostas nos ıtens 14b e 14f esta nadefinicao dos raios dos cırculos tangentes: estes sao definidos como MP e NP em 14b, e como MS


e NT em 14f. Os pontos S e T , por sua vez, sao definidos pelas intersecoes entre a reta OM e Ce entre a reta ON e C. Porem, cada uma destas retas possui dois pontos de intersecao com C, massomente um de cada dois sao os pontos de tangencia procurados. Portanto, em 14f o raio dos cırculosconstruıdos sao definidos tendo como base nao os pontos de tangencia, mas sim pontos de C que podemou nao coincidir com os pontos de tangencia. Por isso, a construcao nao e estavel, ou seja quando oselementos sao movidos, os cırculos construıdos podem deixar de ser tangentes.

Figura 4.6: Por que a construcao nao se preserva?

Desta forma, a exploracao no ambiente de geometria dinamica de uma escolha inadequada (pois naovale para todos os casos que a construcao deve contemplar) permite o aprofundamento da compreensaoda propria construcao geometrica e dos conceitos matematicos envolvidos. Sem o recurso dinamico doambiente, a diferenca entre as escolhas e suas consequencias para a construcao poderiam facilmentepassar despercebidas. Portanto, como nas atividades 10 e 11, a incerteza que esta situacao pode causarnos alunos pode ser aproveitada pelo professor para motivar a exploracao matematica de aspectos poucoevidentes do problema.

A atividade 15 explora a ideia de determinar a area de uma figura geometrica por meio de composicaoe decomposicao em figuras mais simples. Na matematica grega, estas eram ideias fundamentais na abor-dagem dos problemas de quadraturas, expressas por duas das nocoes comuns (ou axiomas) enunciadaspor Euclides:

Se iguais sao somados a iguais, entao os todos sao iguais.Se iguais sao subtraıdos de iguais, entao os restos sao iguais.

No ensino basico, a abordagem de areas (e tambem de volumes) frequentemente reduz-se a umrepertorio de formulas, apresentadas sem justificativas, que devem ser memorizadas pelos alunos. Iro-nicamente, isto faz com que a abordagem de geometria na escola seja mais algebrica ou numericado que geometrica! Em geral, os alunos tem pouca oportunidade de explorar relacoes e propriedadesgeometricas em um contexto puramente geometrico, antes da apresentacao de formulas. Por exemplo,e fundamental para a aprendizagem da nocao de area explora-la e percebe-la antes de mais nada comoum atributo de natureza geometrica das figuras planas, ao qual, eventualmente, podem-se atribuirmedidas numericas (uma vez fixada uma unidade) e que – em certos casos muito particulares – podeser representado por formulas algebricas. Assim, o resgate da abordagem de areas por composicaoe decomposicao e muito importante, e os ambientes de geometria dinamica podem ser grande ajuda


em atividades desse tipo. No caso da atividade 15, a ideia e decompor o pentagono em triangulos(figura 4.7) e usar equivalencias de areas dos triangulos para obter a quadrado com mesmo area que opentagono (figura 4.8).

Figura 4.7: Um pentagono decomposto em triangulos.

Figura 4.8: Um retangulo com mesma area de um triangulo dado; um quadrado com mesma area deum retangulo dado; e um quadrado cuja area e a soma de dois quadrados dados.

Na atividade 16, a ideia e usar o fato de que, uma vez que as homotetias preservar angulos, emparticular, preservam paralelismo (figura 4.9). O ambiente de geometria dinamica oferece uma repre-sentacao mais concreta da transformacao: os alunos podem efetivamente ver e manipular suaacao em figuras geometricas.

Figura 4.9: Aplicando uma transformacao de homotetia para resolver uma construcao geometrica.

4.2. APROFUNDANDO A EXPLORACAO GEOMETRICA 85

O encaminhamento da atividade 17 e inspirado na abordagem de Polya1 para a resolucao de proble-mas. A estrategia empregada para resolver um problema relativamente difıcil e pensar primeiro em umproblema semelhante, com condicoes mais simples. Por sua propria natureza, este tipo de estrategiaenvolve a investigacao livre de diversos casos e, possivelmente, a formulacao e verificacao de diversasconjecturas intermediarias. Para esse processo, os ambientes de geometria dinamica podem ser degrande ajuda.

Atividades





(d) Que questoes chave voce proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos das atividades?

(e) Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinamica pode trazer para aaprendizagem dos conceitos enfocados, em relacao a abordagens com recursos convencionais(isto e, sem o uso de recursos computacionais)?



4.2 Aprofundando a Exploracao Geometrica

Existem incontaveis maneiras de aproveitar os recursos dos ambientes de geometria dinamica no ensino.Na secao anterior, selecionamos algumas atividades como exemplos, com o objetivo principal de discutiralguns aspectos relevantes para o planejamento da abordagem de geometria euclidiana plana comapoio desses ambientes. Nesta secao, apresentamos mais algumas sugestoes de atividades, enfocandoconteudos um pouco mais avancados.

Lugares Geometricos

A maior parte dos ambientes de geometria dinamica dispoem de ferramentas de lugar geometrico2 ourastro, que geram representacoes geometricas para o conjunto descrito por um ou mais pontos de umaconstrucao, quando um de seus elementos e variado. Essas ferramentas acrescentam aos recursosdinamicos de arrastar, os registros geometricos das variacoes consequentes. Isto e, alem deobservar essas variacoes, pode-se obter um registro concreto para elas. Desta forma, e possıvel revelarnovas relacoes entre os elementos de uma construcao (que nao sao percebidas em uma primeira analise),

1Gyorgy Polya (1887-1985) foi um matematico hungaro. Alem de ter contribuıdo em diversos campos da pesquisa emMatematica, seu importante trabalho em Ensino de Matematica tornou-se uma referencia para a pesquisa em resolucaode problemas.

2Do ponto de vista matematico, o termo lugar geometrico nada mais e que um sinonimo do conceito de conjunto,empregado no contexto particular da geometria plana ou espacial. Alguns autores criticam o uso do termo, argumentandoque isto pode causar a impressao de que se tratam de conceitos matematicos diferentes. Neste texto, optamos por mantero termo lugar geometrico, nao apenas por ele ser usado na maioria dos softwares de geometria dinamica, como tambempor julgar que, do ponto de vista pedagogico, seu uso enfatiza a ideia de definir conjunto de pontos do plano quecompartilham uma propriedade em comum.


visualizar os lugares geometricos descritos pela variacao desses elementos e explorar suas propriedades –levando a resultados as vezes surpreendentes. As atividades 1 e 2 a seguir apresentam alguns exemplosde exploracao dessas ferramentas.

Atividades

1. O objetivo desta atividade e utilizar a ferramenta de lugar geometrico do ambiente de geometriadinamica para construir a imagem de um objeto por uma transformacao no plano. Neste caso,usamos o exemplo da construcao da imagem de um cırculo por uma homotetia.

Considere um ponto H e um numero real k > 0 fixados (por exemplo, tome k = 1, 5). Construaum cırculo C, de centro O e raio r > 0 qualquer (considere inicialmente H exterior a C). Marqueum ponto P sobre C. Construa o ponto P ′ na reta que contem H e P , tal que P ∈ HP ′ e:

HP ′

HP= k .

(a) Temos que P ′ e a imagem de P pela homotetia de centro H e razao k. Justifique estaafirmacao.

(b) Arraste o ponto P ao longo do cırculo C e observe o comportamento de P ′. O que voceverifica?

(c) Use os recursos de ambiente para tracar o lugar geometrico de P ′ quando P percorre C.Este lugar geometrico corresponde a imagem de C pela homotetia de centro H e razao k.Mostre que este lugar geometrico tambem e um cırculo.

(d) Qual e a medida do raio do cırculo construıdo no item 1c? Como se pode construir o centrodesse cırculo?

(e) Se construirmos outra figura geometrica, como por exemplo um quadrado, qual seria aimagem dessa figura pela homotetia?

(f) Mova o ponto O ate que H fique interior a C. Em seguida, mova O ate que ele coincidacom H. Justifique matematicamente o que voce observa.

(g) Agora, repita toda a construcao acima, alterando a razao de homotetia k para um numeromenor que 1 (tome, por exemplo, k = 0, 5). Justifique matematicamente o que voceobserva.

2. Aproveite as telas que voce construiu na atividade 14 da secao 4.1 para tracar os lugares geome-tricos dos centros dos cırculos simultaneamente tangentes a uma reta e um cırculo dados.

(a) Para isso, use o recurso do ambiente geometria dinamica para gerar os lugares geometricosdos centros dos cırculos tangentes ao cırculo C e a reta a, quando o ponto P varia sobre a.Considere os casos: a exterior a C, a secante a C e a tangente a C.

(b) Que tipo de subconjuntos dos planos sao esses lugares geometricos? Justifique sua respostascom argumentos matematicos.

As ferramentas de lugar geometrico e rastro dos ambientes de geometria dinamica propiciam umnovo nıvel de analise das construcoes geometricas. Como exploramos em diversas situacoes na secaoanterior, ferramentas como a de arrastar permitem observar de forma dinamica as alteracoes em umaconstrucao quando um de seus elementos varia. As ferramentas de lugar geometrico acrescentam aesse recurso a possibilidade de gerar registros concretos de tais alteracoes. Esses registros podem entaoser percebidos e estudados como objetos geometricos em si – cujas alteracoes tambem podem ser


observadas dinamicamente de acordo com a variacao de elementos da construcao. Assim, epossıvel analisar propriedades comuns a um ou mais pontos de uma construcao geometricae suas relacoes com a variacao das condicoes iniciais da construcao, do ponto de vista dossubconjuntos do plano euclidiano formados por esses pontos.

Por exemplo, na atividade 1, pode-se construir primeiro a imagem pela transformacao de homotetiade um ponto P fixado no cırculo C. Em seguida, pode-se construir o conjunto formado pelas imagensde todos os pontos P ∈ C, isto e, a imagem de C (figura 4.10). Em em segundo nıvel de analise,pode-se observar o que acontece com esse conjunto imagem quando sao alteradas as condicoes iniciaisda construcao, tais como a posicao relativa entre o centro de homotetia e o centro do cırculo (figura4.11), ou a razao de homotetia (figura 4.12).

Figura 4.10: A imagem de um cırculo por uma transformacao de homotetia.

Figura 4.11: O que acontece quando a posicao relativa entre o centro de homotetia e o centro docırculo e alterada.

Figura 4.12: O que acontece quando a razao de homotetia e alterada.


Na atividade 2, no caso em que a e exterior a C, a visualizacao no ambiente de geometria dina-mica sugere que o lugar geometrico dos centros dos cırculos simultaneamente tangentes a C e a a euniao de duas parabolas (figura 4.13). Para provar matematicamente este fato, observamos que umponto X no plano e centro de um cırculo simultaneamente tangente a C e a a se, e somente se,d(X,O) = d(X, a) + r (este e o caso do ponto M na figura) ou d(X,O) = d(X, a)− r (este e o casodo ponto N na figura). Assim, essas parabolas tem focos em O e diretrizes nas retas paralelas a a quedistam r unidades de a.

Figura 4.13: O lugar geometrico dos cırculos tangentes a um cırculo C e a uma reta a, no caso aexterior a C.

No caso em que a e secante a C (figura 4.14), a posicao de uma das parabolas inverte-se. O lugargeometrico e formado pelas duas parabolas, excluıdos os pontos de intersecao entre C e a. De fato, oargumento acima continua valido, mas esses pontos nao sao centros de nenhum cırculo tangente a C ea a. Analogamente, no caso em que a e tangente a C (figura 4.15), o lugar geometrico e formado poruma unica parabola, da qual e excluıdo o (unico) ponto de intersecao entre C e a.

Figura 4.14: O lugar geometrico dos cırculos tangentes a um cırculo C e a uma reta a, no caso asecante a C.


Figura 4.15: O lugar geometrico dos cırculos tangentes a um cırculo C e a uma reta a, no caso atangente a C.

Atividades

3. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 e 2.




(d) Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinamica pode trazer para aaprendizagem dos conceitos enfocados, em relacao a abordagens com recursos convencionais(isto e, sem o uso de recursos computacionais)?



Geometria Espacial

Podemos empregar representacoes em geometria dinamica para a geometria especial da mesma formaque fazemos quando usamos papel e lapis: usamos representacoes planas para representar objetos tri-dimensionais. Assim, podemos aproveitar os recursos e funcionalidades dos ambientes de geometriadinamica para explorar o espaco, assim como fazemos com a geometria plana, como discutimos nasecao anterior. No caso da geometria especial, essas funcionalidades permitem alterar o ponto de vistade observacao de um objeto tridimensional de forma dinamica, contribuindo com a exploracao do espacoe com o desenvolvimento da visualizacao espacial.

Entretanto, e importante lembrar sempre que ainda lidamos com representacoes planas para objetostridimensionais. Esta limitacao na forma de representar e sem duvida um obstaculo para o ensino degeometria espacial, que nao e sanado pelo uso de ambientes de geometria dinamica. Da que maneiraque fazemos esbocos de objetos tridimensionais em papel e lapis, ao construir representacoes para desses


objetos em geometria dinamica, buscamos retratar aspectos relacionados a visualizacao, mas abrimosmao da preservacao das propriedades metricas. Por exemplo, a representacao do cubo da atividade6 deve ser de tal forma que os movimentos no ambiente nao distorcam as intersecoes entre arestas efaces.

Poderıamos obter representacoes um pouco mais precisas usando, por exemplo, conceitos da geome-tria projetiva. Porem, nas atividades a seguir, optamos por propor representacoes simples, respeitandoprincipalmente as relacoes de incidencia e paralelismo entre os elementos, sem levar em conta as pro-priedades metricas dos objetos originais. Acreditamos que esta opcao e suficiente para os objetospedagogicos das atividades.

Atividades

5. Seja ABCD um tetraedro regular. Considere R e S os pontos medios de BC e de AD, respecti-vamente. Utilize o ambiente de geometria dinamica para investigar se as afirmacoes a seguir saoverdadeiras ou falsas. De uma justificativa formal para cada um de suas conclusoes.

(a) O segmento AR e altura do triangulo ABC.

(b) O segmento RS e altura do triangulo ARD.

(c) O segmento RS e mediana do triangulo BSC.

(d) O triangulo BSC e isosceles.

(e) O triangulo ARD e equilatero.

6. (Adaptado de Provao/2000) Considere um cubo, em que CC ′ e uma aresta e ABCD e A′B′C ′D′

sao faces opostas. O plano que contem o vertice C ′ e os pontos medios das arestas AB e ADdetermina no cubo uma secao.

(a) Entao, essa secao e um:

i. triangulo isosceles;ii. triangulo retangulo;iii. quadrilatero;iv. pentagono;v. hexagono.

Justifique sua resposta.


(b) Construa uma representacao para este cubo e a secao em um ambiente de geometria dina-mica. Examine novamente a resposta do item 6a?

(c) Como o ambiente de geometria dinamica ajudo a responder 6a?

Como ja observamos, as representacoes para objetos tridimensionais nas atividades propostas devemrespeitar principalmente a incidencia e o paralelismo entre os elementos. Por exemplo, para construiro cubo da atividade 6a, podemos partir do quadrado frontal BCB ′C ′ e construir as demais arestasde forma que o paralelismo entre as demais arestas seja respeitado. Assim, para que a dinamica daconstrucao preserve a visualizacao do objeto geometrico tridimensional, podemos tomar como base asseguintes relacoes espaciais (figura 4.16):

• A reta determinada pelos pontos M e N esta contida no plano superior ABCD. Portanto, oponto I1, de intersecao entre as retas MN e BC pertence ao mesmo plano.

• Como a reta BC tambem esta contida no plano BCB ′C ′, entao I1 tambem pertence a esteplano. Assim, a reta determinada por I1 e C ′ esta contida no plano BCB ′C ′ e necessariamenteintercepta a aresta BB ′. Chamamos de R o ponto de intersecao entre as retas I1C

′ e BB′.

• Como I1 pertence a reta MN (por construcao) e esta reta esta contida no plano C ′MN , entaoI1 pertence a este plano. Como C ′ tambem pertence ao plano C ′MN , entao a reta I1C

′ estacontida neste plano. Isto garante que o ponto R pertence ao plano C ′MN .

• Analogamente, tomamos o ponto I2, de intersecao entre as retas MN e CD, definimos S oponto de intersecao entre as retas I2C

′ e DD′, e temos a garantia de que S pertence ao planoC ′MN .

Figura 4.16: Representando de um objeto tridimensional em geometria dinamica.


Com esta construcao, garantimos que os pontos C ′,M , N , R e S, que sao os vertices do pentagonosao, de fato, coplanares. Experimente movimentar os pontos livres da construcao do cubo. Voce deveraverificar que, apesar de qualquer deformacao visual (ou mudanca do ponto de vista) que o movimentopossa produzir na representacao do cubo, sempre teremos a imagem de um pentagono (figura 4.17).Observe ainda que existe uma posicao que o pentagono e visto como um segmento de reta. O que istosignifica?

Figura 4.17: Movimentando um objeto tridimensional em geometria dinamica.

Atividades

7. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 5 e 6.







Haberdasher’s Puzzle

Existem diversos quebra-cabecas matematicos que podem ser usados para a exploracao ludica de relacoesentre figuras geometricas bidimensionais e tridimensionais. Alguns desses quebra-cabecas podem terpecas suas construıdas em ambientes de geometria dinamica.

Apresentamos a seguir uma proposta de uso do GeoGebra para explorar a dinamica de um quebra-cabecas geometrico criado por Henry Dudeney3 em 1902: o Haberdasher’s Puzzle. Este quebra-cabecaconsiste em fazer cortes retilıneos em um triangulo equilatero para montar um retangulo com os pedacosrecortados (figura 4.18).

3Henry Ernest Dudeney (1857-1930) foi um matematico ingles autor de diversos jogos e quebra-cabecas matematicos.


[foto:http://es.wikipedia.org/wiki/Henry Dudeney]

Figura 4.18: Ilustracao do Haberdasher’s Puzzle.

No Haberdasher’s Puzzle, para se obter pedacos com quatro angulos retos compatıveis com a mon-tagem de um retangulo sao suficientes tres cortes retilıneos. Esses cortes dividem o triangulo equilateroem tres pedacos quadrangulares e um pedaco triangular:

• o primeiro corte deve partir de um ponto F na base do triangulo equilatero, a uma distancia x(menor do que a metade do lado do triangulo) de um dos vertices, e chegar no ponto medio dolado oposto a este vertice;

• o segundo corte deve ser perpendicular ao primeiro corte e partir de um segundo ponto G na basedo triangulo equilatero, a uma distancia do primeiro ponto igual a metade do lado do triangulo;

• o terceiro corte tambem deve ser perpendicular ao primeiro corte a partir do ponto medio E dounico lado do triangulo equilatero que nao foi seccionado pelos outros dois cortes.

Para montar o quadrado basta fixar o primeiro pedaco quadrangular, dar um giro de 180 nos outrosdois pedacos quadrangulares e transladar o pedaco triangular.

A seguir apresentamos uma sequencia de expressoes (figura 4.2) que, apos digitadas no campo deEntrada do GeoGebra, produzem o Haberdasher’s Puzzle em geometria dinamica (figura 4.19). Nestaconstrucao, toda a geometria dinamica do Haberdasher’s Puzzle e determinada pela posicao do pontoF , que pode arrastado ao longo do lado AB do triangulo equilatero, entre o vertice A e o ponto mediodeste lado. Os pontos D e F sao os medios dos lados BC e CA, respectivamente. O ponto G semove de forma que FG = 1

2AB, e os pontos H e I se movem de forma que os segmentos GH e EI

sejam ambos perpendiculares a FD. Os pedacos do triangulo ficam reposicionados, numa configuracaoretangular II ′LH ′ que depende da distancia x do ponto F ao vertice A.

Com a dinamica do Haberdasher’s Puzzle, podemos perceber que e possıvel encontrar uma posicaodo ponto F de tal forma que II ′LH ′ seja um quadrado. Assim, e natural propor o seguinte problema.

Qual e a distancia x do ponto F ao vertice A que corresponde a configuracao quadrada nageometria dinamica do Haberdasher’s Puzzle?

Se a pergunta acima fosse de multipla escolha provavelmente a alternativa x = 14AB seria a mais

escolhida. Porem, por mais provavel que se pareca, essa alternativa nao e a correta. A atividade 9 aseguir fornece um roteiro para encontrar a resposta correta para esse problema.


1. A = (0, 0)

2. B = (6, 0)

3. C = girar[B, 60, A]Observacao: o sımbolo da unidade graus deve ser selecionado na caixa de escolha logo ao lado do campo

Entrada.

4. a = Segmento[B,C]

5. b = Segmento[A,C]

6. c = Segmento[A,B]Observacao: desabilitar a exibicao dos rotulos dos segmentos a, b e c.

7. D = PontoMedio[B,C]

8. E = PontoMedio[A,C]

9. F = Ponto[Segmento[A,PontoMedio[A,B]]]Observacao: provavelmente esse ponto sera criado sobre o vertice A: movimente-o para um lugar proximo a

este vertice.

10. G = F +Vetor[A,B]/2

11. corte1 = Segmento[F,D]

12. H = Intersecao[corte1,Perpendicular[G, corte1]]

13. corte2 = Segmento[G,H]

14. I = Intersecao[corte1,Perpendicular[E, corte1]]

15. corte3 = Segmento[E, I]Observacao: desabilitar a exibicao dos rotulos dos segmentos corte1, corte2 e corte3.

16. pedaco1 = Polıgono[C,D, I, E]Observacao: desabilitar a exibicao dos rotulos dos segmentos criados.

17. pedaco2 = Girar[Polıgono[A,E, I, F ], 180 , E]Observacao: desabilitar a exibicao dos rotulos dos segmentos criados e dos pontos A′ e E′.

18. pedaco3 = Girar[Polıgono[B,D,H,G],−180, D]Observacao: desabilitar a exibicao dos rotulos dos segmentos criados e dos pontos B ′ e D′.

19. pedaco4 = Transladar[Transladar[Polıgono[F,G,H],Vetor[F,C]],Vetor[F,A]]Observacao: desabilitar a exibicao dos rotulos dos segmentos e dos pontos criados.

Tabela 4.2: Construcao do Haberdasher’s Puzzle em geometria dinamica.


Figura 4.19: Geometria dinamica do Haberdasher’s Puzzle.

Atividades

9. O objetivo desta atividade e determinar a medida da distancia x de tal forma que o retanguloformado no Haberdasher’s Puzzle seja um quadrado.

(a) Mostre que a regiao retangular formada e bem definida, isto e, os pontos F ′, C e G′ estaoalinhados.

(b) Mostre que o segundo e o terceiro cortes tem a mesma medida, ou seja, GH = EI.

(c) Mostre que as medidas dos lados do retangulo formado sao dadas pelo primeiro corte e pelodobro do segundo corte, isto e, DF e 2 ·GH.

(d) Da equivalencia entre as areas do triangulo inicial e do retangulo formado, conclua que

DF ·GH =

√3

8·AB2

.

(e) Mostre que o retangulo formado sera um quadrado quando

DF =4√

3

2· AB .

(f) Das relacoes metricas do trianguloBFD, conclua que o retangulo formado sera um quadradoquando

x =3−

√4√

3− 3

4· AB .

Observamos que o numero

3−√

4√

3− 3

4' 0, 25450761671624 . . .

e construtıvel com regua e compasso.

10. Explore a geometria dinamica do Haberdasher’s Puzzle para um triangulo qualquer, refazendosua construcao com C = (3, 5) e movimentando, alem do ponto F , os pontos A, B e C. Facaconjecturas sobre as condicoes para a existencia de configuracoes retangulares e quadradas.

11. Idealize uma sequencia didatica com o Haberdasher’s Puzzle em uma aula de 50 minutos. Quaisconceitos geometricos podem ser explorados? De que forma esses conceitos podem ser explora-dos?


4.3 Articulando Geometria e Funcoes: Graficos Dinamicos

Esta secao e a seguinte abordarao o uso de ambientes de geometria dinamica no ensino de funcoes.Embora esses ambientes sejam mais largamente usados no ensino de geometria plana, seu uso tambempode contribuir com aspectos importantes da aprendizagem de funcoes, nao apenas no que dizrespeito as diferentes representacoes de funcoes e das relacoes entre elas, como tambem aoproprio conceito de funcao. Alem disso, as atividades envolvendo funcoes em ambientes de geometriadinamica promovem naturalmente a articulacao entre funcoes e geometria – campos da Matematicaque em geral sao apresentados de forma estanque nos livros didaticos e currıculos do ensino basico. Talarticulacao se da fundamentalmente em dois sentidos: por um lado, quando graficos de funcoesreais sao construıdos em geometria dinamica, e necessario aplicar diversos conceitos dageometria plana; e por outro lado, os recursos dinamicos dos ambientes permitem reconhecere explorar concretamente relacoes funcionais entre objetos geometricos.

Nesta secao, enfocaremos a construcao de graficos de funcoes reais de uma variavel real em am-bientes de geometria dinamica. A propria construcao de graficos em geometria dinamica e, por si so,um exercıcio interessante, que mobiliza e articula diversos conceitos geometricos de funcoes. Alemdisso, e possıvel explorar relacoes entre as propriedades algebricas e o comportamento qualitativo degraficos de famılias de funcoes dependendo de parametros. Atividades dessa natureza com ambientescomputacionais graficos ja foram discutidas no capıtulo 3. No entanto, os ambientes de geometriadinamica acrescentam aos recursos graficos usuais a possibilidade de controlar os valores numericos dosparametros por meio da ferramenta de arrastar, propiciando uma nova perspectiva de exploracao defuncoes.

Danca com Graficos

O software GeoGebra e concebido para integrar recursos geometricos e algebricos em um so ambiente(daı vem o seu nome). Com isso, podemos facilmente gerar graficos de funcoes reais elementares apartir de suas expressoes algebricas, como propoe a atividade 1. Alem disso, e possıvel introduzir um oumais parametros reais nos graficos tracados, gerando-se assim famılias de funcoes reais, como propoemas atividades 2 em diante. A variacao dinamica desses parametros modifica o grafico original da funcaoem um movimento contınuo, como em uma danca. Cada parametro, quando alterado dinamicamente,conduz o grafico nesta danca com um passo caracterıstico, em um movimento especıfico. Neste baile dasfuncoes elementares, a aprendizagem dos conceitos envolvidos pode se tornar muito mais significativacom o auxılio da geometria dinamica.

Atividades

1. Use o software GeoGebra para gerar graficos de varias funcoes reais elementares a sua escolha.Para isto, basta digitar as expressoes algebricas das funcoes no campo Entrada, como mostra afigura abaixo. Compare esta atividade com as que voce realizou no capıtulo 3. Voce ve algumavantagem no uso do ambiente de geometria dinamica?

2. Use agora o GeoGebra para representar famılias de funcoes reais dependendo de parametros, pormeio de graficos dinamicos. Como exemplo, consideremos as funcoes f : R → R definidas porf(x) = a cos(b x + c), com a, b, c ∈ R. Exploraremos o movimento grafico de f , a partir damudanca dinamica nos valores dos parametros.

4.3. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNCOES: GRAFICOS DINAMICOS 97

(a) Primeiro, voce devera definir os seletores de valores para os parametros a, b e c. Paradefinir cada um deles, escolha a opcao Seletor na barra de ferramentas superior (comomostra a figura abaixo) e, em seguida, clique na area de trabalho para marcar a posicaoem que o respectivo seletor aparecera. Depois, digite f(x) = a cos(b x + c) e, em seguida,g(x) = cos(x) no campo Entrada. Os valores dos parametros podem ser controlados ar-rastando os seletores que aparecem na tela. Assim, voce podera observar as mudancas nografico dinamico, comparando-as com o grafico de g, que e fixado como referencia.

(b) Que questoes voce pode propor aos seus alunos com esta atividade?

3. Como ja comentamos, muitas das atividades com ambientes computacionais graficos propostasno capıtulo 3 tambem podem ser realizadas em geometria dinamica. Em alguns casos, os recursosdinamicos podem trazer vantagens pedagogicas a estas atividades.

Por exemplo, repita a atividade 1 da secao 3.2 usando o ferramenta Seletor do GeoGebra paradefinir os parametros. Que vantagens e desvantagens pedagogicas voce ve no uso do ambientede geometria dinamica, em relacao ao ambiente grafico, para realizar esta atividade?

4. Crie um roteiro para ajudar seus alunos a responderem as questoes propostas nas atividades 6 e7 da secao 3.2, com apoio de um ambiente de geometria dinamica.

5. Crie um roteiro para ajudar seus alunos a responderem as questoes propostas nas atividades 8 e9 da secao 3.2, com apoio de um ambiente de geometria dinamica.


6. Considere a famılia de funcoes polinomiais h : R+ → R definida por h(x) = xk, com k ∈ R. Useo GeoGebra para criar um grafico dinamico representando essa famılia.

(a) Explique o comportamento dos graficos, considerando os casos em que k < 0, 0 6 k < 1 ek > 1.

(b) Voce observara que para alguns valores de k o programa mostra um trecho do grafico parax < 0. Que valores sao esses? Explique por que isso ocorre.

7. Considere a famılia de funcoes polinomiais do terceiro grau p : R → R definida por p(x) =x (x − 1) (x − a), com a ∈ R. Use o GeoGebra para criar um grafico dinamico representandoessa famılia.

(a) Varie a e observe as mudancas no grafico de p.

(b) Para que valores reais de a a funcao admite tres raızes reais distintas? Quantas raızes reaistem p para os demais valores de a? Justifique sua resposta.

8. Considere a famılia de funcoes polinomiais do terceiro grau q : R → R definida por q(x) =x (x2 − a), com a ∈ R. Use o GeoGebra para criar um grafico dinamico representando essafamılia.

(a) Varie a e observe as mudancas no grafico de p.

(b) Para que valores reais de a a funcao admite tres raızes reais distintas? Quantas raızes reaistem p para os demais valores de a? Justifique sua resposta.

(c) Voce observara que, quando os valores positivos de a aumentam, o grafico parece adquiriro aspecto de uma reta. Por que isso ocorre?

A atividade 1 visa simplesmente a familiarizacao com os recursos de GeoGebra para o tracado degraficos de funcoes reais. Como o enunciado da atividade sugere, procure comparar o uso de ambientesgraficos com o uso de ambientes de geometria dinamica para gerar graficos de funcoes reais elementares.As vantagens dos ambientes de geometria dinamica no ensino de funcoes reais tornam-semais significativas quando seus recursos sao explorados para gerar graficos dinamicos. Porexemplo, no caso da atividade 3, e possıvel mover dinamicamente a parabola e observar o movimentodo vertice ao longo do lugar geometrico descrito por y = −2 x2 + 3 (figura 4.20).

Figura 4.20: Grafico dinamico da famılia de parabolas y = 2 x2 + b x+ 3.


Assim como na atividade 2, as atividades 4 e 5 envolvem a aplicacao de transformacoes em graficosde funcoes (figura 4.21). Como sabemos (ver capıtulo 3):

• os parametros aditivos determinam translacoes horizontais e verticais nos graficos;

• os parametros multiplicativos determinam dilatacoes horizontais e verticais nos graficos.

Com os recursos do ambiente de geometria dinamica, e possıvel criar seletores para controlar osvalores dos parametros por meio da ferramenta de arrastar, que permitem manipular dinamicamente evisualizar os efeitos das transformacoes de translacao e dilatacao nos graficos.

Figura 4.21: O efeito dinamico de transformacoes de translacao e dilatacao em graficos de funcoesreais.

As atividades 6 a 8 exploram a variacao dinamica de parametros em funcoes polinomiais. De formasemelhante ao que ja discutimos no capıtulo 3, atividades desta natureza podem contribuir para aaprendizagem de funcoes reais em pelo menos dois aspectos fundamentais. Em primeiro lugar, osrecursos do ambiente computacional permitem a exploracao das propriedades qualitativas dasfuncoes, articulando representacoes algebricas e graficas de forma dinamica. Isto e, o alunopode manipular dinamicamente os valores dos parametros e observar, ao mesmo tempo, as alteracoesconsequentes nos graficos. Em segundo lugar, torna-se mais acessıvel o estudo de tipos de funcoes cujaabordagem no ensino basico apenas com recursos usuais seria difıcil (tais como funcoes polinomiais degrau maior que 2). Este aspecto possibilita a expansao do repertorio de funcoes reais familiaresaos alunos – que muitas vezes sao levados a desenvolver uma imagem bastante limitada, por teremsido apresentados apenas a funcoes polinomiais de grau menor ou igual a 2.

Atividades





(d) Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinamica pode trazer paraa aprendizagem dos conceitos enfocados, em comparacao com abordagens com recursosconvencionais (isto e, sem o uso de recursos computacionais), e com ambientes graficossimples (como aqueles discutidos no capıtulo 3)?


10. Para cada um dos ıtens a seguir, elabore uma atividade usando graficos dinamicos de funcoesdependendo de parametros, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 8, que seja adequadapara as turmas em que voce leciona. Formule tambem uma sequencia didatica para aplicacao decada uma das atividades que voce elaborar em uma aula de 50 minutos. Especifique os objetivos,os conceitos matematicos explorados e de que maneiras esses conceitos podem ser explorados.


(a) funcoes polinomiais;

(b) funcoes trigonometricas;

(c) funcoes exponenciais e logarıtmicas.

Construindo Graficos Como Lugares Geometricos

Nesta secao, estamos enfocando a construcao de graficos de funcoes reais em ambientes de geometriadinamica. Ate aqui, lancamos mao, para este fim, dos recursos especıficos incorporados no GeoGe-bra: eixos cartesianos, digitacao direta de expressoes algebricas no campo Entrada, uso de Seletorespara controlar valores de parametros (se quisermos usar graficos dinamicos para representar famılias defuncoes). Tais recursos nao estao disponıveis em todos os softwares de geometria dinamica. Entretanto,mesmo naqueles que nao os oferecem, tambem e possıvel gerar graficos de funcoes. Nesses casos, porem,e preciso construir do inıcio toda a estrutura matematica necessaria para representar esses graficos –isto e, deve-se munir o plano euclidiano sintetico com um sistema de coordenadas cartesianas.

Evidentemente, quando o objetivo esta em ensinar topicos especıficos sobre funcoes reais e o com-portamento de seus graficos, nao ha motivo para desprezar os recursos do software que tornam seuestudo mais acessıvel. Por outro lado, o exercıcio de construir um sistema de coordenadas cartesianasem um ambiente de geometria dinamica pode ser muito enriquecedor para a aprendizagem dos con-ceitos que fundamentam a geometria analıtica. Por exemplo, ao se construir o sistema cartesiano, enecessario pensar em como estabelecer precisamente, com as ferramentas disponıveis no software, aunidade linear, a orientacao dos eixos, sua perpendicularidade (se for o caso), e assim por diante. Oproprio processo de construcao ressalta a importancia teorica desses conceitos, que sao taoelementares que seu papel constituinte na teoria e em geral esquecido. Alem disso, uma vezestabelecido o sistema cartesiano, para construir o grafico de uma funcao, emprega-se basicamente aferramenta de lugar geometrico do ambiente. O uso dessa ferramenta tem como base o proprio conceitomatematico de grafico: o lugar geometrico dos pontos do plano cartesiano cujas coordenadas verificama lei de formacao da funcao. Em geral, os alunos aprendem tantos procedimentos para tracar graficosem casos particulares, que essa nocao fundamental fica em segundo plano. Em suma, quanto me-nos ferramentas prontas estao disponıveis para a construcao, mais conceitos matematicoselementares sao mobilizados.

Outro aspecto importante dessas construcoes e a integracao de diversos conceitos da geometriaeuclidiana no estudo de geometria analıtica, funcoes reais e graficos. Alem da propria ideia de lugargeometrico sao explorados os conceitos de paralelismo, perpendicularidade, razao entre medidas, trans-formacoes no plano (homotetias). Assim, e possıvel explicitar na abordagem pedagogica as multiplasrelacoes de um mesmo conceito a diversos campos da Matematica, em lugar de atrela-lo a uma formaespecıfica de representacao.

As atividades a seguir constituem um roteiro para a construcao de um sistema de coordenadascartesianas e de graficos de funcoes reais em ambientes de geometria dinamica que nao possuemessas ferramentas especıficas incorporadas. Ao longo das atividades, procuraremos ressaltar elementosgeometricos e conceitos relacionados com cada construcao. Teremos como referencia o software Tabulæ.Esse roteiro sera organizado em tres etapas, mas ou menos independentes, a saber:

• construcao do sistema de coordenadas cartesianas, a partir de um tela em branco (atividade 11);

• construcao de graficos de funcoes reais como lugares geometricos, a partir de uma tela comsistema cartesiano previamente construıdo (atividade 12);

• definicao de parametros e construcao de graficos dinamicos, representando famılias de funcoes(atividade 13).


Atividades

11. (Adaptado de [27]) O roteiro a seguir visa a construcao de um sistema de coordenadas cartesianasem geometria dinamica.

1. Construa uma reta livre de referencia (preferencialmente em posicao visualmente horizontal).Construa uma reta paralela e uma reta perpendicular a reta de referencia. Chame essasduas retas de ox e oy, respectivamente. Chame de O o ponto de intersecao entre ox e oy.Esconda a reta de referencia.

2. Marque um ponto Ux na reta ox, a direita do ponto O. Construa um cırculo de centro Oe raio OUx. Chame de Uy o ponto de intersecao entre esse cırculo e a reta oy, que estaacima do ponto O. Esconda o cırculo construıdo.

3. Marque um ponto livre X sobre o eixo ox, e um ponto livre Y sobre o eixo oy. Use aferramenta Razao por 3 pontos para definir as razoes x = OX

OUxe y = OY

OUy.

4. Trace as retas perpendiculares a ox passado por X e a oy passando por Y , e chame de P oponto de intersecao destas retas. Se quiser, voce podera esconder essas retas em seguida.

(a) No primeiro passo, foi construıda uma reta de referencia, que depois foi escondida. Qual ea vantagem de construir essa reta? Por que nao construir diretamente os eixos horizontal evertical?

(b) No sistema cartesiano construıdo, qual e o papel dos pontos Ux e Uy?

(c) Qual e o significado das razoes x = OX

OUxe y = OY

OUycalculadas? Arraste os pontos X e Y

ao longo dos eixos e observe a variacao desses valores.

(d) Observe que, a partir de certo ponto da construcao, passamos a usar a palavra eixo em lugarde reta. Por que esta palavra nao foi usada desde o comeco?

(e) Arraste o ponto Ux ao longo do eixo horizontal, mantendo os pontos X e Y parados.Observe o que acontece com os valores de x e y enquanto voce arrasta Ux. Interprete essesresultados nos casos em que:

i. Ux esta entre O e X;ii. X esta entre O e Ux;iii. O esta entre X e Ux.

(f) Suponha que voce faca a seguinte alteracao na construcao proposta: em lugar de marcar oponto Uy como intersecao do cırculo com o eixo oy, marque Uy como um ponto livro nesseeixo. Assim, voce podera mover os pontos Ux e Uy independentemente. Que diferenca estaalteracao representa no sistema de eixos construıdo?


12. (Adaptado de [27]) O roteiro a seguir visa a construcao do grafico de uma funcao real em geome-tria dinamica, a partir de um sistema de coordenadas cartesianas previamente construıdo. Assim,comece com uma tela com um sistema de eixos cartesianos construıdo.

1. Como na atividade anterior, marque um ponto livre X sobre o eixo ox, e use a ferramentaRazao por 3 pontos para definir a razao x = OX

OUx.

2. Use a ferramenta Calculadora para inserir a expressao algebrica da funcao cujo grafico vocedeseja tracar. Neste exemplo, tracamos o grafico de y = x2− 4x+ 3. Para inserir a expres-sao na calculadora, voce devera selecionar x na propria tela e digitar os numeros e sinais noteclado da calculadora que aparecera na tela. Chame de y o valor gerado.

3. Para marcar o ponto Y no eixo vertical cuja ordenada e y = x2 − 4x+ 3, voce devera usara ferramenta Homotetia. Construa a imagem do ponto Uy pela homotetia de centro O erazao y.

4. Trace as retas perpendiculares a ox passado por X e a oy passando por Y , e chame de Po ponto de intersecao destas retas.

5. Agora voce podera representar o grafico de y = x2− 4x+ 3, usando as ferramentas Rastrode objetos ou Locus (lugar geometrico). Para usar a ferramenta Rastro de objetos, vocedevera marcar o ponto P e, em seguida, selecionar a ferramenta. Para usar a ferramentaLocus, voce devera marcar o ponto P e, em seguida, selecionar a ferramenta. Para usara ferramenta Locus, selecione a ferramenta e, em seguida marque os pontos P e X: comisso, o software representara o lugar geometrico de P quando X varia.


(a) Justifique o uso da transformacao de homotetia, incluindo a escolha de y e O como razaoe centro de homotetia, para determinar o ponto no eixo oy que corresponde a ordenada doponto P .

(b) Discuta como o uso das ferramentas Rastro e Locus nesta atividade pode contribuir com aaprendizagem do conceito de funcao. Compare o uso dessas duas ferramentas, do ponto devista pedagogico.

(c) Arraste o ponto Ux ao longo do eixo horizontal, mantendo os pontos X e Y parados.Observe e explique as mudancas sofridas pelo grafico.

(d) Explique por que a parabola sempre passa pelo ponto OUx, quanto arrastamos os pontos Xe Ux. Qual deve ser a relacao entre os segmentos OX e OUx para que o ponto P coincidacom o outro ponto em que a parabola intercepta o eixo horizontal? Justifique sua resposta.

(e) Qual deve ser a relacao entre os segmentos OX e OUx para que o ponto P coincida como vertice da parabola? Justifique sua resposta.

13. (Adaptado de [27]) O roteiro a seguir visa a construcao de um grafico dinamico para representaruma famılia de funcoes reais dependendo de um ou mais parametros, a partir de um sistema decoordenadas cartesianas previamente construıdo. Como na atividade anterior, comece com umatela com um sistema de eixos cartesianos construıdo.

1. Como nas atividades anteriores, comece marcando um ponto livre X sobre o eixo ox, e usea ferramenta Razao por 3 pontos para definir a razao x = OX

OUx.

2. Para definir os parametros, voce devera proceder de forma semelhante a construcao dascoordenadas x e y na atividade 11. Primeiro, trace uma reta r, sobre esta marque doispontos Oa e Ua. Esta reta servira como eixo de variacao do parametro, e os pontos Oa eUa servirao para marcar o zero e a unidade. Agora, marque um ponto livre A sobre a retar e use a ferramenta Razao por 3 pontos para definir a razao a = OA

OUa.

Por meio desse procedimento, voce podera definir quantos parametros quiser.

A partir daı, a construcao segue como a anterior.

3. Usar a ferramenta Calculadora para inserir uma expressao algebrica. Neste exemplo, tracamosa famılia de parabolas y = a x2 + b x + c, com a, b, c ∈ R. Construa os parametros a, b ec. Para insercao na calculadora, selecione x, a, b e c na propria tela. Chame de y o valorgerado.


4. Use a ferramenta Homotetia para marcar o ponto Y no eixo vertical cuja ordenada e y =a x2 + b x + c.

5. Trace as retas perpendiculares a ox passado por X e a oy passando por Y , e chame de Po ponto de intersecao destas retas.

6. Crie um grafico dinamico para representar a famılia y = a x2 + b x + c com a ferramentaLocus.

(a) Altere os valores dos parametros. Observe e explique as mudancas no grafico.

(b) Observe que nesta construcao nao nos preocupamos em garantir que as unidades dos di-ferentes parametros fossem iguais. Ao definir mais de um parametro em uma construcaocomo esta, e necessario que haja algum tipo de relacao entre as unidades fixadas para cadaum deles? Justifique sua resposta.

(c) Compare esta atividade as anteriores desta secao, e com aquelas do capıtulo 3 que envolvemfuncoes dependendo de parametros. Discuta as vantagens e desvantagens pedagogicas.

Observe que com a ferramenta Calculadora disponıvel no Tabulæ, e possıvel definir funcoes polino-miais, trigonometricas, exponenciais, logarıtmicas e combinacoes destas. Procure pensar em atividadessemelhantes abordando diferentes tipos de funcoes reais e compare-as com as desta secao e as docapıtulo 3. Estes processos de construcao exercitam a compreensao de conceitos sobre quais em geralnao se reflete quando sao empregados software com mais recursos prontos.


Por exemplo, os ıtens 11e, 11f e 12c tratam dos efeitos de mudancas de coordenadas em pontose em subconjuntos do plano cartesiano (no caso, graficos de funcoes). Cabem algumas observacoesimportantes a esse respeito. Nos ıtens 11e e 11f, arrastar os pontos Ux e Uy corresponde a alteraras escalas dos eixos coordenados. Quando essas escalas sao alteradas, a posicao de P permanecefixa, porem os valores de suas coordenadas mudam. De fato, o ponto P e construıdo de maneiraindependente dos pontos Ux e Uy, entretanto suas coordenadas x e y dependem de Ux e Uy, pois saodefinidas como razoes:

x =OUx

OXy =

OUy

OY(4.1)

Assim, arrastar os pontos Ux e Uy corresponde a observar as alteracoes dos valores das coordenadasde um ponto fixo, enquanto sao aplicadas mudancas no sistema de coordenadas do plano. No caso, asmudancas de coordenadas em questao correspondem simplesmente a alteracoes de escala, porem essasnao sao as unicas formas possıveis de mudancas de coordenadas no plano (ver atividade 15).

Na atividade 12, como o objetivo nao e construir pontos X e Y independentes, mas estabeleceruma dependencia funcional entre eles, a construcao e feita de forma diferente. As relacoes 4.1 tambemsao verdadeiras, porem a ordem da construcao e diferente. Para entender bem essas diferencas e seussignificados matematicos, voce devera percorrer atentamente os passos da construcao. Exatamentecomo em 11, o ponto X e construıdo de maneira independente de Ux e Uy; e, em seguida, a coordenadax e definida como razao entre OX e OUx. Entretanto, a diferenca esta na construcao da coordenadavertical: a coordenada y e definida primeiro, como funcao da coordenada x; e o ponto Y e construıdoem seguida, como imagem de Uy pela homotetia de centro O e razao y. Assim, Y depende de y, que,por sua vez, e funcao de x. Isto e, o ponto Y e o valor de y nao sao arbitrarios, e sim funcoes de

x. A relacao y = OUy

OYe valida, mas neste caso nao e a definicao da coordenada y (como em 11), e

sim uma consequencia da construcao do ponto Y como imagem por uma homotetia. Em consequenciadessa construcao, no item 12c, quanto Ux e arrastado, a posicao do ponto X permanece fixa, mas ade Y muda. Ou seja, quando as escalas sao alteradas, tanto a posicao de P quanto os valores de suascoordenadas mudam.

Alem disso, em 12c, quando o ponto Ux e arrastado, o aspecto do grafico da funcao tambemse altera. Isto ocorre porque a equacao que define o lugar geometrico permanece fixa, enquanto aescala dos dois eixos e alterada. Ou seja, a parabola visualizada permanece sendo o conjunto (x, y) ∈R2 | y = x2 − 4x + 3, porem a escala dos eixos muda. Portanto, arrastar o ponto Ux corresponde aampliar ou reduzir a escala de visualizacao deste conjunto. Os ıtens 12e e 12d podem ajudar a entendereste aspecto: quando X ou Ux sao arrastados, o efeito e o mesmo se a relacao entre esses pontos (istoe, a razao entre os segmentos OX e OUx) for mantida.

E importante observar ainda que, no item 11e, as escala dos dois eixos coordenados estao vinculadasentre si. Portanto, as mudancas de coordenadas em questao consistem da aplicacao de uma transfor-macao por homotetia. Por outro lado, no item 11f as escala dos eixos nao estao vinculadas, isto e, epossıvel altera-las independentemente.

Compare essas atividades com as da secao 3.3 que envolve mudancas de escala. Por exemplo, nasatividades 4 e 5 daquela secao (p. 50), e preciso usar escalas muito diferentes nos eixos para entendero comportamento das funcoes.

Atividades

14. Proponha um roteiro para a construcao de graficos de funcoes, de forma que seja possıvel alteraras escalas dos eixos coordenados independentemente (como no item 11f).


15. Evidentemente, existem outras formas de mudancas de coordenadas no plano, alem daquelasdiscutidas nas atividades 11 e 12. De fato, qualquer transformacao invertıvel R2 → R2 podeser vista como uma mudanca de coordenadas (e o mesmo vale em R3, bem como em dimensoessuperiores). Como exemplo, proponha um roteiro para uma construcao que permita visualizar osefeitos das mudancas de coordenadas dadas por rotacoes no plano cartesiano.

16. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 11, 12 e 13.



(c) Como se pode usar essas atividades para promover a articulacao entre conceitos de geometriaeuclidiana, geometria analıtica e funcoes em sala de aula?

(d) Qual e o papel do ambiente de geometria dinamica no desenvolvimento das atividades?

(e) Que obstaculos e desvantagens voce considera que seriam enfrentados na aplicacao dessasatividades em sala de aula? Que estrategias voce adotaria para superar esses obstaculos.

4.4 Articulando Geometria e Funcoes: Novas Formas de Olhar

Na secao anterior, apontamos dois aspectos importantes do uso de ambientes de geometria dinamicano ensino de funcoes reais (p. 99): articular representacoes algebricas e graficas dinamicamente, eexpandir o repertorio de exemplos familiares aos alunos. Entretanto, as potencialidades de aplicacaodesses ambientes no ensino de funcoes vao ainda mais alem. Por exemplo, e possıvel empregar outrasformas de representacao para funcoes reais, diferentes daquelas usualmente presentes em sala deaula no ensino basico (tipicamente, algebricas e graficas). Esta e a proposta do aplicativo apresentadona tabela 4.3 e das atividades 2 a 8, a seguir. Alem disso, e possıvel estudar o comportamento defuncoes reais sem a mediacao das representacoes usuais, por meio da exploracao dinamicada dependencia funcional entre objetos em uma construcao geometrica, como propoem asatividades 10 a 14.

Tais aplicacoes ainda dizem respeito ao campo das funcoes reais – porem a geometria dinamicaoferece caminhos interessantes para se explorar alem desse territorio. Os recursos dinamicos permitema experiencia concreta com funcoes cujos domınios e contradomınios nao sao conjuntosnumericos. Por exemplo, as atividades 17 a 20 enfocam transformacoes no plano. Assim, alem deapresentar novas representacoes e expandir o repertorio de exemplos de funcoes reais apenas, e possıvelampliar o proprio universo de funcoes abordadas, articulando os campos de geometria planae funcoes e aproximando mais a abordagem pedagogica da generalidade matematica doconceito de funcao.

Desenrolando o Seno

Ensinar o conceito de radiano nao e uma tarefa facil. Muitos alunos saem do ensino medio sem qualquerpercepcao intuitiva de medidas angulares em radianos. Esse fato pode ser verificado, solicitando aosalunos que representem medidas angulares em graus e em radianos por meio de aberturas com osbracos: provavelmente, eles nao terao dificuldades para representar uma abertura de 60, por exemplo,mas nao terao ideia de como abrir os bracos para indicar 1 rad.

Apresentaremos a seguir o aplicativo Desenrolando o Seno, que permite relacionar graus com radia-nos e, de quebra, desenrolar arcos no eixo horizontal para tracar o grafico da funcao seno (figura 4.22).Os passos da construcao desse aplicativo no GeoGebra sao dados na tabela 4.3. A geometria dinamica

4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNCOES: NOVAS FORMAS DE OLHAR 107

do aplicativo Desenrolando o Seno da-se pelo movimento do ponto P sobre o eixo horizontal, desde aorigem O ate o ponto A de abscissa igual a π. Diversos aspectos interessantes da trigonometria podemser explorados observando o desenrolar do arco de circunferencia no eixo horizontal, juntamente com otracado do grafico do seno.

Figura 4.22: Aplicativo GeoGebra: Desenrolando o Seno.


1. O = (0, 0)Propriedades desse ponto: na aba basico habilitar a opcao Fixar Objeto.

2. C = (−1, 0)Propriedades desse ponto: na aba basico habilitar a opcao Fixar Objeto.

3. c = Cırculo[C,O]Propriedades desse cırculo: na aba basico desabilitar Exibicao de Rotulo, na aba estilo mudar o estilo da linha

para tracejado.

4. A = (2pi, 0)Propriedades desse ponto: na aba basico habilitar a opcao Fixar Objeto.

5. P = Ponto[Segmento[O,A]]Propriedades desse ponto: na aba cor escolher vermelho, na aba estilo escolher Espessura da Linha 5;

movimente esse ponto sobre o eixo horizontal ate a abscissa 1.

6. radiano = Segmento[O,P ]Propriedades desse segmento: na aba basico em Exibir Rotulo escolher a opcao Valor, na aba cor escolher

verde escuro, na aba estilo escolher Espessura da Linha 9.

7. Q = Girar[O, radiano,C]Propriedades desse ponto: na aba cor escolher vermelho.

8. grau = Angulo[O,C,Q]Propriedades desse angulo: na aba basico em Exibir Rotulo escolher a opcao Valor, na aba estilo escolher

Tamanho 50.

9. cc = Arco[c,Q,O]Propriedades desse arco: na aba basico desabilitar Exibir de Rotulo, na aba cor escolher verde escuro, na aba

estilo escolher Espessura da Linha 9.

10. h = Reta[Q,EixoX]Propriedades dessa reta: na aba basico desabilitar Exibir de Rotulo, na aba estilo escolher Estilo da Linha

pontilhado.

11. v = Perpendicular[P,EixoX]Propriedades dessa reta: na aba basico desabilitar Exibicao de Rotulo, na aba estilo escolher Estilo da Linha

pontilhado.

12. seno = Funcao[sin(x), x(O), x(A)]Propriedades desse grafico: na aba cor escolher vermelho, na aba estilo escolher Espessura da Linha 9.

Tabela 4.3: Construcao do aplicativo Desenrolando o Seno.

Atividade

1. Elabore uma sequencia didatica com a utilizacao do aplicativo Desenrolando o Seno, apresentadona tabela 4.3 em uma aula de 50 minutos. Quais conceitos trigonometricos podem ser explorados?De que forma esses conceitos podem ser explorados?


Eixos Paralelos

As atividades 2 a 8 a seguir apresentam uma forma diferente de analisar o comportamento de funcoesreais em geometria dinamica: as variaveis independente e dependente sao representadas em um sistemade eixos paralelos, em lugar de perpendiculares. Assim, quando o ponto X que representa a variavelindependente em um dois eixos e arrastado, o ponto Y que representa a variavel dependente no segundoeixo move-se de acordo com os valores correspondentes da funcao. Se os pontos XY sao ligados porum segmento de reta, o comportamento da funcao pode ser mais claramente percebido por meio daobservacao do movimento do segmento XY . O exercıcio de compreender o comportamento de umafuncao real, a partir da interpretacao de uma forma de representacao diferente das mais familiares, podeser enriquecedor para os alunos. Nas construcoes a seguir, teremos como referencia o GeoGebra.

Atividades

2. (Adaptado de [35]) A seguir, apresentamos um roteiro para construcao de um sistema de eixosparalelos para representar funcoes reais no GeoGebra. Neste roteiro, construımos eixos paraleloshorizontais. Porem, esta escolha e arbitraria, uma vez que a posicao dos eixos nao tem qualquerpapel no desenvolvimento das atividades.

1. Marque os pontos Ox = (0, 0), Ux = (1, 0), Ox = (0, 2), Ux = (1, 2). A maneira maisfacil de faze-lo e digitar diretamente no campo Entrada. Selecione a opcao Fixar Objeto nasPropriedades de cada um destes pontos.

2. Trace as retas ox, passando por Ox e Ux, e oy, passando por Oy e Uy.

3. Marque um ponto livre X na reta ox.

Os pontos Ox e Oy representarao as origens dos eixos ox e oy, respectivamente, e os segmentosOxUx e OyUy as unidades desses eixos. Observe que na construcao acima a distancia entre oseixos ox e oy e igual 2, porem esta distancia e arbitraria e voce podera escolhe-la como quiser.

Agora, voce podera usar esse sistema de eixos paralelos para representar o comportamento deuma funcao real. Para isso, siga o roteiro abaixo, em que damos o exemplo da funcao f : R→ R,f(x) = x2.

1. No campo Entrada, defina k =RazaoAfim[Ox, Ux, X].

2. No campo Entrada, defina o ponto Y = (k2, 2) (basta escrever Y=(k^2,2)).

3. Construa um segmento ligando os pontos X e Y .


O numero k corresponde a coordenada do ponto X em relacao ao eixo ox. Usamos a letra k,em lugar de x, porque x e um “sımbolo reservado” no GeoGebra, isto e, tem um significadoespecıfico.

(a) Justifique cada passo da construcao acima.

(b) Arraste o ponto X ao longo do eixo de ox e observe o movimento do segmento XY .Explique esse comportamento.

3. (Adaptado de [35]) Voce podera usar o roteiro proposto na atividade 2 para representar diversasfuncoes reais. Para isso, basta alterar a definicao do ponto Y , entrando nas Propriedades doponto. Verifique as funcoes disponıveis no GeoGebra no campo localizado logo a direita deEntrada.

Como exemplo, represente em eixos paralelos a funcao f : R? → R, f(x) =1

x. Arraste o ponto

X ao longo do eixo de ox e observe o movimento do segmento XY .

(a) Explique o comportamento do segmento XY quando voce aproxima o ponto X de Ox. Porque o ponto Y parece “sumir” e “reaparecer” do outro lado?

(b) Explique o comportamento do segmento XY quando voce afasta o ponto X de Ox.

4. Represente em eixos paralelos a funcao f : R → R, que, a cada x ∈ R associa a parte inteirade x. Para isto, use a funcao floor do GeoGebra. Arraste o ponto X ao longo do eixo de oxe observe o movimento do segmento XY . O segmento XY parece dar pequenos “saltos”. Porque isto ocorre?

5. Tambem e possıvel usar o sistema de eixos paralelos para representar mais de uma funcao simul-taneamente. Por exemplo, a figura abaixo mostra a representacao das funcoes f1, f2 : R → R,dadas por f1(x) = x2 e f2(x) = x3.

(a) Faca essa construcao, adaptando o roteiro proposto na atividade 2. Para fazer esta adaptacao,voce devera definir um ponto Y1, da mesma forma que o ponto Y foi definido na atividade 2,e definir um segundo ponto Y2 no eixo oy. Como este segundo ponto deve ser construıdo?

(b) Arraste o ponto X ao longo do eixo de ox e explique o comportamento dos segmento XY1

e XY2.

6. Voce podera ainda usar eixos paralelos para representar operacoes entre funcoes, tais como soma,produto ou composicao. Por exemplo, a figura abaixo representa as funcoes f1, f2 : R → R,dadas por f1(x) = x2 e f2(x) = f1(x) + 1.


(a) Faca essa construcao, adaptando o roteiro proposto na atividade 2. Para fazer esta adaptacao,voce devera definir p =RazaoAfim[Oy, Uy, Y1], por meio do campo Entrada. Em seguida,defina o ponto Y2 = (p+ 1, 2).

(b) Arraste o ponto X ao longo do eixo de ox e explique o comportamento dos segmento XY1

e XY2.

Como as atividades anteriores ilustram, diversos aspectos interessantes sobre o comportamento defuncoes reais podem ser explorados por meio de sistemas de eixos paralelos. Observe que, nas ativi-dades 3 e 4, foram incluıdas questoes chave para ajudar seu desenvolvimento pelos alunos. No casoda atividade 3, essas questoes procuram encaminhar a analise dos limites infinitos e no infinito dafuncao. Assim, o “sumir e reaparecer do outro lado” corresponde a existencia de um assıntota verticalem x = 0. Na atividade 4, os “pequenos saltos” correspondem aos infinitos pontos de descontinui-dade da funcao. Questoes como essas, se convenientemente formuladas, podem ajudar a entender aspropriedades particulares de cada exemplo abordado.

Atividades

7. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 2 a 6, que seja adequada para asturmas em que voce leciona. Procure incluir questoes chave (como as propostas nas atividades3 e 4).

8. Outra possibilidade de exploracao de representacao de funcoes em eixos paralelos e fornecerconstrucoes prontas e pedir para que os alunos tentem adivinhar a funcao representada. Elaboreuma atividade desta natureza, que seja adequada para as turmas em que voce leciona. Incluaquestoes chave que ajudem os alunos a chegarem a resposta.


(a) Quais sao os principais conceitos matematicos enfocados? Que questoes conceituais podemser exploradas quando utilizamos os eixos paralelos para representar funcoes?



(d) Como voce considera que atividades como essas podem contribuir com a aprendizagem defuncoes reais no ensino basico?



Relacoes de Dependencia entre Grandezas Geometricas

O objetivo das atividades 10 a 14 a seguir e investigar relacoes de dependencia funcional entre grandezasgeometricas (basicamente, comprimentos e areas), com o apoio de ambientes de geometria dinamica.Essas atividades (que tem como referencia o software GeoGebra) sao organizadas de acordo com aseguinte estrutura:

• Em primeiro lugar, procura-se investigar as relacoes de dependencia sem a mediacao de represen-tacoes algebricas e graficas, explorando-se apenas a construcao geometrica dinamica.

• Em seguida, a variacao dos valores das funcoes e explorada por meio de pontos variaveis sobreum eixo.

• Somente depois dessa exploracao inicial, e construıdo o grafico da funcao, ainda se empregandoos recursos do software. Propoe-se entao que as perguntas feitas em cada problema sejam res-pondidas por meio de metodos analıticos.

Esta estrutura visa incentivar uma percepcao intuitiva da variacao das funcoes reais, antes de analisa-las por meio de representacoes algebricas e graficas. Tais representacoes sao muito poderosas para aresolucao de problemas modelados por funcoes reais e, por isso, sao as mais largamente empregadasem sala de aula. Entretanto, justamente devido a esse grande poder de resolucao, as representacoesalgebricas e graficas sao muitas vezes abordadas de forma mecanizada e com pouca reflexao, o que podecomprometer seriamente o desenvolvimento da ideia intuitiva de variacao. A investigacao de relacoesdependencia entre grandezas geometricas constituem uma oportunidade para recuperar apercepcao intuitiva da ideia de variacao, e os ambientes de geometria dinamica podem fornecerum apoio importante para esse objetivo.

Atividades

10. (Adaptado de [10]) O objetivo desta atividade e investigar a variacao da area de um retangulo,quando um de seus lados e mantido fixo e o segundo varia. Em um ambiente de geometriadinamica, construa um retangulo ABCD de lados AB = CD = 4 e BC = DA = 3. Marqueum ponto livre X ∈ AB e um ponto Y ∈ CD tal que XY ⊥ AB.

(a) Use os recursos do software para exibir o comprimento de AX e a area do retangulo AXYD.Arraste o ponto X ao longo de AB e observe a variacao da area de AXYD. Como vocecaracterizaria essa variacao?


(b) Construa um eixo para representar a variacao da area de AXYD. Para fazer isso no Geo-Gebra, voce podera seguir o roteiro abaixo. Neste roteiro, construımos um eixo vertical,porem esta e uma escolha arbitraria e voce podera construı-lo na posicao que desejar.

1. Marque os pontos O = (0, 0), U = (0, 1), por meio do campo Entrada, e selecione aopcao Fixar Objeto nas Propriedades de cada um destes pontos.

2. Trace a reta ox passando por O e U .3. Defina S=Area[A,X,Y ,D], digitando esta expressao no campo Entrada. Com isso,

voce criara uma variavel numerica S, cujo valor e a area de AXYD.4. Marque o ponto P = (0, S), pelo campo Entrada. Portanto, este ponto variara sobre

a reta determinada por O e U .

Arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ponto P .

(c) Agora construa, no ambiente de geometria dinamica, o grafico que representa a area deAXYD em funcao do lado AX. Para fazer isso no GeoGebra, voce podera seguir o roteiro:

1. Selecione a opcao Exibir Eixos no menu.2. Defina k=Comprimento[Vetor[A,X]], pelo campo Entrada.3. Defina S=Area[A,X,Y ,D], pelo campo Entrada.4. Marque o ponto P = (k, S), pelo campo Entrada.

Antes de completar a construcao, arraste X ao longo de AB e observe o movimento doponto P . E o caminho deste ponto que descreve o grafico de S.

5. Construa o lugar geometrico do ponto P = (k, S), quando X varia sobre AB.

(d) Defina a funcao S que a cada k = AX associa a area do retangulo AXYD, especificandoseu domınio e seu contradomınio. Qual e a imagem desta funcao?

11. (Adaptado de [10]) Suponha que agora voce pretenda investigar a variacao da area de um trianguloretangulo, quando um de seus lados varia. Nesta atividade, a investigacao sera conduzida seguindoos mesmos passos da atividade 10. Construa em um ambiente de geometria dinamica um trianguloretangulo ABC de catetos AB = 4 e BC = 3. Marque um ponto livre X ∈ AB e um pontoZ ∈ BC tal que XZ ⊥ AB.


(a) Exiba o comprimento de AX e a area do triangulo AXZ no ambiente geometria dinamica.Arraste o ponto X ao longo de AB e observe a variacao da area de AXZ. Como vocecaracterizaria essa variacao?

(b) Construa um eixo para representar a variacao da area de AXZ, adaptando o roteiro dado noitem 10b. Arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ponto P que voce construiusobre o eixo. Voce considera que esta exploracao pode ajudar a entender a variacao da areado triangulo AXZ?

(c) Construa, no ambiente de geometria dinamica, o grafico que representa a area de AXZ emfuncao do lado AX adaptando o roteiro de 10c. Antes de completar a construcao, arrasteX ao longo de AB e observe o movimento do ponto P .

(d) Defina a funcao S1 que a cada k = AX associa a area do triangulo AXZ, especificandoseu domınio e seu contradomınio. Qual e a imagem desta funcao?

12. (Adaptado de [10]) Considere uma alteracao no problema proposto na atividade 11. Com omesmo enunciado, agora voce investigara a variacao da area do trapezio retangulo BXZC, emfuncao dos valores de XB. Repetiremos os passos das atividades 10 e 11.


(a) Exiba o comprimento de BX e a area do trapezio BXZC. Arraste X ao longo de AB eobserve a variacao da area de BXZC. Como voce caracterizaria essa variacao?

(b) Construa um eixo para representar a variacao da area de BXZC, adaptando o roteiro dadono item 10b. Arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ponto P . Voce consideraque esta exploracao pode ajudar a entender a variacao da area?

(c) Construa, no ambiente de geometria dinamica, o grafico que representa a area de BXZCem funcao do lado XB adaptando o roteiro de 10c. Antes de completar a construcao,arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ponto P .

(d) Defina a funcao S2 que a cada k = XB associa a area de BXZC, especificando seudomınio e seu contradomınio. Qual e a imagem desta funcao?

(e) Qual e a relacao entre as funcoes S (definida na atividade 10), S1 (definida na atividade11) e S2 (definida nesta atividade)?

13. (Adaptado de [11]) Considere o seguinte problema.

Dentre todos os triangulos isosceles ABC com AB = AC = a fixos, determine aqueleque tem a maior area.

Para investigar a solucao deste problema, seguiremos os mesmos passos das atividades anteriores.

(a) Em um ambiente de geometria dinamica, construa um triangulo ABC tal que os compri-mentos AB = AC = 1 sejam fixos e o comprimento de BC seja variavel. Use os recursosdo software para exibir os valores do comprimento de BC e da area de ABC. Arraste ospontos B e C e observe a variacao da area do triangulo ABC.

(b) Como a existencia do ponto de maximo procurado pode ser justificada, apenas com basenas condicoes geometricas do problema? Como a exploracao feita no item anterior podeajudar a responder esta questao?

(c) Construa um eixo para representar a variacao da area de ABC, adaptando o roteiro dado noitem 10b. Arraste os pontos B e C e observe o movimento do ponto P e o seu valor maximo.Com base nesta exploracao, voce e capaz de ter uma ideia de que triangulo isosceles tem amaior area?

(d) Construa, no ambiente de geometria dinamica, o grafico que representa a area de ABC emfuncao do lado BC adaptando o roteiro de 10c. Antes de completar a construcao, arrasteB e C e observe o movimento do ponto P .

(e) Defina a funcao S que a cada k = BC associa a area de ABC, especificando seu domınioe seu contradomınio. Qual e a imagem desta funcao?

(f) Determine analiticamente o ponto de maximo absoluto da funcao S.


14. (Adaptado de [27]) Considere o seguinte problema.

Dentre todos os retangulos com perımetro p fixo, determine aquele com a maior area.

Para investigar a solucao deste problema, seguiremos os mesmos passos das atividades anteriores.

(a) Em um ambiente de geometria dinamica, construa um retangulo ABCD, cujos lados possamser alterados mantendo-se fixo o perımetro. Uma maneira de fazer essa construcao no Geo-Gebra e dada no roteiro a seguir. Nesta construcao, fixamos o perımetro do retangulo em20 unidades, mas esta e um escolha arbitraria.

1. Marque um ponto A qualquer. Defina o ponto W = A+ (10, 0), pelo campo Entrada.Trace o segmento AW . Marque um ponto livre B no segmento AW . Esta construcaogarante que o ponto B nunca podera ficar a uma distancia de A superior a 10 unidades.Em seguida, esconda o ponto W e o segmento AW .

2. Defina a=Comprimento[Vetor[A,B]], pelo campo Entrada.3. Defina b = 10− a, pelo campo Entrada.4. Defina C = B + (0, b) e D = A + (0, b), pelo campo Entrada.5. Ligue os pontos A, B, C e D por segmentos de reta, e defina o polıgono ABCD.

Agora, use os recursos do software para exibir os valores do comprimento de BC e da areade ABCD. Arraste o vertice B do retangulo e observe a variacao da area de ABCD.

(b) Como a existencia do ponto de maximo procurado pode ser justificada, apenas com basenas condicoes geometricas do problema? Como a exploracao feita no item anterior podeajudar a responder esta questao?

(c) Construa um eixo para representar a variacao da area do retangulo ABCD em funcao davariacao de AB, adaptando o roteiro dado no item 10b. Arraste o vertice B e observe omovimento do ponto P e o seu valor maximo. Com base nesta exploracao, voce e capaz deter uma ideia de que retangulo tem a maior area?

(d) Construa, no ambiente de geometria dinamica, o grafico que representa a area de ABCDem funcao do lado AB adaptando o roteiro de 10c. Antes de completar a construcao,arraste o ponto B e observe o movimento do ponto P .

(e) Defina a funcao S que a cada k = AB associa a area de ABCD, especificando seu domınioe seu contradomınio. Qual e a imagem desta funcao?

(f) Determine analiticamente o ponto de maximo absoluto da funcao S.


No problema proposto na atividade 10, e possıvel verificar que acrescimos iguais no lado variaveldo retangulo implicam em acrescimos iguais em sua area. Isto pode ser constatado, observando quea medida do lado XY permanece constante enquanto a medida de AX varia. Este tipo de variacaocaracteriza as funcoes afins, o que e confirmado pelo tracado do grafico da funcao S (figura 4.23) epor sua definicao:

S : [0, 4]→ R , S(x) = 3 x .

Figura 4.23: O grafico da funcao area do retangulo, construıdo em geometria dinamica.

Ja nos problemas das atividades 11 e 12, verifica-se que os acrescimos nos valores nas funcoes naodependem apenas dos acrescimos nas variaveis independentes. E claro que tanto a area do trianguloquanto a area do trapezio crescem quando os respectivos lados variaveis aumentam. Isto e, as funcoesS1 e S2 sao ambas crescentes. Entretanto, os acrescimos da funcao S1 crescem, enquanto que os dafuncao S2 decrescem quando os lados aumentam. Esses acrescimos nas areas do triangulo e do trapeziopodem ser observados por meio das variacoes nas medidas dos lados XZ de cada um dos polıgonos,enquanto as medidas dos lados AX e XB, respectivamente, variam. Em termos de calculo diferencial,isto equivale a dizer que tanto S1 quanto S2 tem derivadas positivas, porem S1 tem derivada segundapositiva e S2 tem derivada segunda negativa (ver, por exemplo [48]). Assim, as medidas dos lados XZrepresentam “acrescimos infinitesimais” nas funcoes area.

Finalmente, podemos construir os graficos das funcoes S1 e S2 no ambiente de geometria dinamica(figuras 4.24 e 4.25) e escrever suas definicoes:

S1, S2 : [0, 4]→ R , S1(x) =3

8x2 , S2(x) =

1

2x

(6− 3

4x

)= 3 x− 3

8x2 .


Figura 4.24: O grafico da funcao area do triangulo, construıdo em geometria dinamica.

Figura 4.25: O grafico da funcao area do trapezio, construıdo em geometria dinamica.

Assim, e possıvel verificar que, para cada valor de x, vale a relacao:

S(x) = S1(x) + S2(x) .

Esta relacao pode ser interpretada geometricamente de forma simples, que tambem pode ser repre-sentada em geometria dinamica, como mostra a figura 4.26.


Figura 4.26: A relacao entre as areas, representada em geometria dinamica.

Na atividade 13, a exploracao da construcao geometrica dinamica no ambiente pode ajudar aperceber a justificativa geometrica para a existencia da solucao do problema. De fato, nos casos emque B = C e em que BC = 2AB, o triangulo se degenera em segmentos de reta, e a area vale 0.Como a area assume apenas valores positivos e varia continuamente, entao esta assume um maximoabsoluto para algum valor de BC entre 0 e 2AB. Em termos do calculo diferencial, esta conclusaoe consequencia do Teorema de Weierstrass (ver, por exemplo [48]). A princıpio, a intuicao pode nossugerir que a solucao do problema esteja no ponto medio de 0 e 2AB, isto e, que o triangulo isoscelesde maior area possıvel seja o triangulo equilatero. Entretanto, o grafico que representa a area (figura4.27) sugere que a solucao nao e essa. Tomando AB = AC = a, temos que a funcao area e definidada seguinte forma:

S : [0, 2 a]→ R , S(x) =1

4x√

4 a2 − x2 .

Para determinar analiticamente o ponto de maximo a partir dessa funcao, precisamos de metodosdo calculo. Determinando a derivada de S, obtemos:

S ′(x) =2 a2 − x2

2√

4 a2 − x2

Como a solucao da equacao S ′(x) = 0 e x = a√

2 , podemos concluir que este e o ponto demaximo de S. Portanto, o triangulo isosceles de maior area possıvel e o triangulo retangulo isosceles.Assim, a solucao do problema e “metade de um quadrado”. Esta observacao nos lembra um problemaequivalente, cuja solucao e mais intuitiva: Dentre todos os losangos com lado fixo, aquele que tem amaior area e quadrado.


Figura 4.27: O grafico da funcao area do triangulo isosceles, construıdo em geometria dinamica.

De maneira analoga, na atividade 14, observamos que, se AB = 0 ou AB =p

2, o retangulo se

degenera em segmentos de reta, e a area vale 0. Entao, como a area e positiva e contınua, podemos

concluir que a area assume um maximo absoluto para algum valor de AB entre 0 ep

2. A figura 4.28

mostra o grafico que representa a area tracado em um ambiente de geometria dinamica. A funcao areae definida por:

S :[0,p

2

]→ R , S(x) = x

(p2− x).

Portanto, a solucao do problema e a quadrado de ladop

4.

Atividades





(d) Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinamica pode trazer para aaprendizagem dos conceitos estudados, em relacao a abordagens com recursos convencionais(isto e, sem o uso de recursos computacionais)?




Figura 4.28: O grafico da funcao area de um retangulo com perımetro fixo, construıdo em geometriadinamica.

Transformacoes no Plano

A partir de agora, apresentamos alguns exemplos de atividades em ambientes de geometria dinamicaque envolvem funcoes cujos domınios e contradomınios nao sao conjuntos de numeros reais, visando aampliacao do universo de funcoes exploradas pelos alunos no ensino basico.

Transformacoes no plano podem ser vistas como funcoes R2 → R2. A maioria dos ambientes degeometria dinamica, incluindo o GeoGebra e o Tabulæ, dispoem de recursos prontos que permitem aconstrucao direta e a exploracao das propriedades dos principais tipos de transformacoes no plano, taiscomo homotetias, reflexoes, rotacoes, translacoes e inversoes. Por outro lado, construcoes de trans-formacoes no plano em geometria dinamica desde o comeco, sem que esses recursos prontos sejamutilizados (como propoe as atividades 18 a 19), tambem podem ser exercıcios interessante, pois mobi-lizam os elementos e propriedades fundamentais que servem para definir cada tipo de transformacao.O objetivo dessas atividades e justamente aprofundar o conhecimento sobre as definicoes das trans-formacoes. Ja no caso da atividade 20, em que se pede que seja usado o recurso pronto disponıvel noGeoGebra, o objetivo e usar a dinamica do ambiente para explorar as propriedades da transformacao e,posteriormente, justificar sua validade com base na definicao formal.

Atividades

17. Reveja as atividades 16 da secao 4.1 e 1 da secao 4.2, que enfocam propriedades das trans-formacoes de homotetia. Responda as perguntas a seguir, justificando as suas respostas. Lembre-se que, para que uma homotetia fique bem definida e preciso que sejam conhecidos seu centro(um ponto no plano) e sua razao (um numero real).

(a) Escreva a definicao de homotetia.


(b) Homotetias sao funcoes injetivas?

(c) Homotetias sao funcoes sobrejetivas?

(d) Seja C um cırculo de centro O e raio r. Mostre que a imagem de C tambem e um cırculo.Como se pode encontrar o centro e o raio do cırculo imagem a partir do centro e do raio docırculo original?

(e) Se A e um subconjunto qualquer do plano, explique a relacao entre A e seu conjuntoimagem por uma homotetia.

18. Existem dois tipos principais de reflexoes ortogonais no plano: as centrais (em relacao a umponto) e as axiais (em relacao a uma reta). Uma reflexao axial pode ser definida da seguinteforma.

Seja r uma reta fixada no plano.

A reflexao ortogonal em relacao a r e definida como a funcao R : R2 → R2 que a cadaponto P no plano associa o (unico) ponto P ′ 6= P tal que:

(i) PP ′ e perpendicular a r;(ii) se Q e o ponto de intersecao entre PP ′ e r, entao PQ ≡ P ′Q.

(a) Com base na definicao acima, elabore um roteiro para construcao da reflexao de um pontoP em relacao a uma reta em um ambiente de geometria dinamica.

(b) Use a ferramenta Lugar geometrico do ambiente para obter as imagens de uma reta e deum cırculo pela reflexao que voce construiu.

(c) Seja R : R2 → R2 uma reflexao ortogonal em relacao a uma reta. Se P e um ponto e A eum subconjunto no plano, o que se pode afirmar sobre R(R(P )) e R(R(A))? Justifique asua resposta.

19. Repita a atividade 18 para reflexoes centrais.

20. As inversoes sao tipos de transformacoes do plano, definidas da seguinte forma.

Seja C um cırculo, de centro O e raio r, fixado no plano.

A inversao em relacao a C e definida como a funcao que a cada ponto P no planoassocia o (unico) ponto P ′ pertence a semi-reta

−→OP tal que:

OP ·OP ′ = r2 .

Use os recursos do GeoGebra para fazer a seguinte construcao.

1. Construa um cırculo C de centro O.

2. Marque um ponto livre P . Use o recurso do software para marcar o ponto P ′, dado pelaimagem de P pela transformacao de inversao em relacao ao cırculo C.

3. Construa uma reta r e marque um ponto livre A sobre r. Marque A′, imagem de A pelainversao em relacao a C. Use a ferramenta Locus para construir o lugar geometrico de A′

quanto A varia sobre r. Esse conjunto corresponde a imagem da reta r pela transformacaode inversao.

4. Construa um cırculo K de centro C e marque um ponto livre B sobre K. Marque B ′,imagem de B pela inversao em relacao a C. Use a ferramenta Locus para construir o lugargeometrico de B ′ quanto B varia sobre K. Esse conjunto corresponde a imagem da reta Kpela transformacao de inversao.


(a) Mova livremente o ponto P . Observe o que acontece com P ′, nos casos em que P : eexterior a C; e interior a C; esta sobre a circunferencia de C. O que acontece quando P seaproxima de O? E quanto P se afasta muito de O?

(b) Voce observara que a imagem da reta r pela transformacao de inversao e um cırculo, quechamaremos de r′. Mova livremente a reta r. Observe o que acontece com o cırculo r ′, noscasos em que r e: exterior a C; secante a C; tangente a C. O cırculo r ′ sempre passa pelocentro de C?

(c) Voce observara que a imagem do cırculo K pela inversao tambem e um cırculo, que chama-remos de K′. Mova livremente o cırculo K. Observe o que acontece com K′, considerandoas diferentes posicoes relativas entre K e C. O que acontece quando os centros de K e deC coincidem? Existe alguma situacao em que o cırculo K′ passe pelo centro de C?

(d) Demonstre rigorosamente todas as propriedades observadas nos ıtens anteriores, com basena definicao de inversao.









Anexo: Utilizando o GeoGebra

O GeoGebra [1] e um software livre de matematica dinamica idealizado para professores e alunos detodos os nıveis educacionais. Disponibilizado gratuitamente na internet, o GeoGebra reune recursos degeometria dinamica, algebra e calculo em um mesmo programa, e com o mesmo grau de importancia.

Do ponto de vista da geometria, ıcones em uma barra de ferramentas localizada na parte superior doaplicativo permitem a construcao dinamica de diversos objetos geometricos por meio da manipulacao domouse do computador. Do ponto de vista da algebra, um campo de entrada localizado na parte inferiordo aplicativo permite a digitacao de equacoes e coordenadas para a construcao desses mesmos objetosgeometricos. No GeoGebra, uma expressao na janela de algebra a esquerda do aplicativo correspondea um objeto na janela de visualizacao geometrica a direita do aplicativo, e vice-versa.

Figura 4.29: Aplicativo GeoGebra.

Por exemplo, na figura 4.29 vemos um triangulo e sua circunferencia circunscrita. Para fazeressa construcao via barra de ferramentas geometricas, na parte superior do aplicativo, basta realizar aseguinte sequencia de acoes:

1. habilitar a opcao Polıgono:

clicar em tres locais distintos na janela de visualizacao geometrica para definir os vertices dotriangulo; clicar novamente no primeiro vertice para fechar o ciclo de vertices do triangulo.

2. habilitar a opcao Mediatriz:

selecionar um lado ou dois vertices para construir uma primeira mediatriz; selecionar outro ladoou outros dois vertices para construir uma segunda mediatriz.


3. habilitar a opcao Intersecao de Dois Objetos:

selecionar as mediatrizes construıdas para construir o ponto onde elas se cruzam.

4. habilitar a opcao Cırculo definido pelo centro e um de seus pontos:

selecionar o encontro das mediatrizes e um vertice do triangulo para construir a circunferenciacircunscrita.

5. habilitar a opcao Mover:

usar o mouse para movimentar qualquer um dos vertices do triangulo; voce ira vivenciar o poderda geometria dinamica.

Para fazer essa mesma construcao via campo de entradas algebricas, na parte inferior do aplicativo,basta digitar no campo Entrada a seguinte sequencia de expressoes e comandos:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Alem das construcoes via campo de entrada ou barra de ferramentas, o GeoGebra permite a ma-nipulacao e formatacao dos objetos construıdos. A seguir listamos algumas dicas que podem ser uteisdurante uma construcao geometrica no GeoGebra. Com esse software, voce pode:

• usar os ıcones Desfazer e Refazer no lado direito da barra de ferramentas para desfazer ou refazera(s) ultima(s) construcao(coes);

• esconder objetos clicando sobre eles com o botao direito do mouse e escolhendo Exibir objetopara desativar ou reativar a exibicao;

• alterar a aparencia dos objetos (nome, cores, espessura, etc), clicando sobre eles com o botaodireito do mouse e escolhendo Propriedades para habilitar a caixa de dialogo especıfica para essefim;

• arrastar a janela de visualizacao com o mouse habilitando o ıcone Deslocar Eixos na barra deferramentas;

• escolher letras gregas e comandos algebricos diversos ao lado do campo de entrada;

• ativar ou desativar a exibicao de muitos objetos e elementos graficos na opcao de menu Exibir;

• alterar muitas coisas na opcao de menu Opcoes.

Capıtulo 5

Sistemas de Computacao Algebrica

Introducao

Os sistemas de computacao algebrica (CAS, abreviacao do termo em ingles Computer Algebra Systems)sao softwares matematicos que integram recursos numericos, graficos e simbolicos. Do pontode vista numerico e grafico, os sistemas de computacao algebrica podem ser vistos como poderosascalculadoras cientıficas, capazes de efetuar calculos e produzir graficos com grande precisao e versa-tilidade. Porem, seu aspecto mais interessante e a possibilidade de operar com expressoes simbolicasque representam objetos matematicos. Por exemplo, se efetuamos o calculo 2

√48 + 4

√144 numeri-

camente em uma calculadora, a resposta fornecida sera uma aproximacao decimal para o resultado,como por exemplo 0, 12830005981992. Os recursos dos sistemas de computacao algebrica permitemtambem operar simbolicamente com esta expressao numerica, fornecendo como resultado a expressaosimplificada 10

√3. Os sistemas de computacao algebrica podem, alem disso, operar com expressoes

algebricas simbolicas. Assim, e possıvel operar com 2√

16 x +4√

16 x2, por exemplo, obtendo 10√x

como resultado.

Os recursos disponıveis nos sistemas de computacao algebrica fornecem ferramentas para abordar,numerica e simbolicamente, problemas envolvendo uma ampla gama de conceitos matematicos: desdeos mais basicos, como operacoes aritmeticas elementares, passando por graficos em duas ou tres di-mensoes, resolucao de equacoes e sistemas, operacoes vetoriais e matriciais, ate os mais avancados, taiscomo limites, derivadas, integrais, expansoes em series de funcoes, resolucao de equacoes diferenciais.Entretanto, o uso de tais recursos requer linguagem de programacao com comandos e sintaxe especıficos,que podem ser bastante sofisticados, e cuja aprendizagem pode ser difıcil para alunos no ensino basico.Por outro lado, esse grau de dificuldade pode ser dosado de acordo com o nıvel escolar, por meio doplanejamento de atividades envolvendo sintaxe mais elementar. Como veremos neste capıtulo, mesmocom alguns poucos comandos, e possıvel realizar uma grande variedade de atividades nos sistemas decomputacao algebrica. A propria aprendizagem de uma sintaxe de programacao ja constitui,por si so, exercıcios de simbolizacao matematica de natureza diferente daqueles que faze-mos com papel e lapis. De fato, quando aprendemos certa simbologia matematica, devemos nosfamiliarizar com a consistencia logica de suas regras para expressar ideias e procedimentos matematicosadequadamente. Quando aprendemos as regras sintaticas de uma linguagem de programacao compu-tacional, as eventuais inconsistencias logicas cometidas ja sao indicadas pelo proprio software, na formade mensagens de erro. Isto e, de certa forma, o software responde as tentativas (corretas ou incorretas)do usuario para expressar procedimentos matematicos.

Calculos simbolicos nao acarretam em erros acumulados gerados por arredondamentos ou apro-ximacoes, como ocorre com calculos numericos, pois seus resultados nao sao aproximacoes numericas,e sim representacoes simbolicas. Entretanto, isto nao significa que as ferramentas simbolicas

127

128 CAPITULO 5. SISTEMAS DE COMPUTACAO ALGEBRICA

dos sistemas de computacao algebrica sejam isentas de limitacoes. Como voce observara emdiversos exemplos neste capıtulo, essas ferramentas podem produzir resultados inesperados ou aparen-temente contraditorios, mesmo em situacoes relativamente simples. Desta forma, a interpretacaode resultados produzidos por ferramentas computacionais simbolicas, mesmo nos sistemasde computacao algebrica mais poderosos, nao dispensa ou substitui o conhecimento dosconceitos matematicos envolvidos.

Neste capıtulo, enfocaremos apenas uma fracao bastante restrita das vastas possibilidades de apli-cacao dos sistemas de computacao algebrica. Serao priorizados exemplos de atividades que tenhamrelacao mais direta com os conteudos do ensino basico e cujo desenvolvimento nao demande o usode um grande numero de comandos ou sintaxe excessivamente complicada. Tambem serao propostasalgumas atividades sobre conceitos um pouco mais avancados, que, embora esses conceitos nao figuremexplicitamente nos currıculos escolares, envolvem ideias importantes para a fundamentacao teorica daabordagem de Matematica no ensino basico. Essas atividades sao mais direcionadas a reflexao doproprio professor. De forma geral, as sugestoes propostas neste capıtulo tem objetivo de enriquecer orepertorio de recursos didaticos do professor. Deste modo, o professor pode incorporar algumas dasatividades aqui apresentadas em seus planos de aula, e sobretudo adquirir autonomia para elaboraroutras, mais adequadas as turmas em que leciona, na medida que passa a dominar as ferramentastecnologicas para o ensino de Matematica.

Existem diversos sistemas de computacao algebrica disponıveis, cujas sintaxes de programacao po-dem diferir muito. Por isso, neste capıtulo teremos como principal o software Maxima [3]. Comonos capıtulos anteriores, esta escolha deve-se ao fato de o Maxima poder ser obtido gratuitamente nainternet. Alem disso, a a interface wxMaxima, tambem disponıvel gratuitamente, oferece um conjuntode atalhos que tornam o programa consideravelmente mais amigavel. Cabe ressaltar que o objetivodeste capıtulo nao e aprender a sintaxe especıfica do Maxima, e sim usa-la como exemplo para ilustraro que pode ser feito com sistemas de computacao algebrica e como esses sistemas podem contribuirpara o ensino basico de Matematica.

A secao 5.1 visa fornecer um panorama geral das ferramentas basicas do Maxima que podem seraplicadas a abordagem de conteudos matematicos do ensino medio. Procuraremos ainda discutir paraque situacoes os sistemas de computacao algebrica sao realmente vantajosos. Como o uso desses sis-temas requer a familiarizacao com linguagens de programacao especıficas, em geral vale a pena usa-losquando suas ferramentas especıficas sao relevantes de fato para as questoes tratadas. Na secao 5.2,apresentamos algumas ferramentas mais sofisticas, porem ainda com foco em conteudos do ensinomedio. Nas secoes 5.3 e 5.4, passamos a enfocar conceitos matematicos um pouco mais avancados, decalculo infinitesimal e de aritmetica, respectivamente.

5.1 Integrando Calculo Numerico e Simbolico

Nesta secao, serao explorados as ferramentas basicas do Maxima para resolver equacoes, definir funcoese tracar graficos. Procuraremos comparar o desenvolvimento das atividades com o sistema de compu-tacao algebrica, com de atividades semelhantes propostas em capıtulos anteriores, visando avaliar quepotencialidades pedagogicas podem ser acrescentadas pela integracao de recursos simbolicos. Como noscapıtulos anteriores, tambem serao enfocadas algumas limitacoes tecnicas dos sistemas de computacaoalgebrica, destacando a possibilidade de converte-las em potencialidades pedagogicas.

Basicamente, na interface wxMaxima, voce podera digitar os comandos diretamente na linha decomando. Para indicar o encerramento de cada bloco de comandos, voce devera pressionar simulta-neamente as teclas Shift e Enter. O software executara entao a instrucao programada, registrando aentrada e a resposta, respectivamente, nas linhas indicadas pelos sımbolos %i e %o (abreviacoes dos

5.1. INTEGRANDO CALCULO NUMERICO E SIMBOLICO 129

termos em ingles input e output), seguidos de um numero. Por exemplo, a figura 5.1 mostra o calculosimbolico de

√12. Para efetuar o mesmo calculo numericamente, voce devera acrescentar na instrucao

o comando numer (figura 5.2).

Figura 5.1: Calculos simbolicos basicos no wxMaxima.

Figura 5.2: Calculos numericos basicos no wxMaxima.

Alternativamente, e possıvel efetuar primeiro o calculo simbolicamente e depois obter o resultadonumerico (figura 5.3), usando o comando float. O sımbolo % e usado para representar o resultado docomando imediatamente anterior. Assim, no caso da instrucao da figura 5.3, o sımbolo % representa2√

3. E possıvel ainda executar dois comandos dentro de um mesmo bloco. Para isto, basta encerrarcada linha com o sımbolo ; e separar da linha seguinte pressionando a tecla Enter (lembre-se que paraencerrar cada bloco de comandos, e preciso pressionar simultaneamente Shift e Enter).

Figura 5.3: Calculos simbolicos e numericos basicos no wxMaxima.

Para atribuir letras a constantes numericas, ou a objetos matematicos em geral, o sımbolo : eempregado (figura 5.4). Assim, para representar por exemplo a =

√12 e b =

√27, voce devera digitar

a:sqrt(12) e b:sqrt(27). Voce podera entao operar com estes sımbolos. Alem disso, os propriossımbolos %i e %o, de input e output, podem ser usados para representar e operar com objetosmatematicos (figura 5.5).


Figura 5.4: Atribuindo nomes a objetos no wxMaxima.

Figura 5.5: Atribuindo nomes a objetos no wxMaxima.

Para resolver equacoes, o comando basico do Maxima e o solve. Este comando pode ser digitadodiretamente, porem a interface wxMaxima oferece uma opcao que facilita seu uso e dispensa a me-morizacao de sua sintaxe. Assim, basta escolher no menu superior a opcao Equacoes e em seguidaResolver. O sistema abrira uma caixa com campos para digitacao da equacao a ser resolvida e suaincognita correspondente (figura 5.6).

Figura 5.6: Resolvendo equacoes com o wxMaxima.


O comando permite tambem a resolucao de equacoes envolvendo constantes literais. Por isso, enecessario especificar qual e a incognita (figura 5.7 e 5.8). O comando solve pode ser usado ainda pararesolver sistemas de equacoes (figura 5.9). Para isso, as equacoes, assim como as incognitas, devemser separadas por vırgulas.



Figura 5.9: Resolvendo sistemas de equacoes com o wxMaxima.


Para tracar graficos de funcoes reais de uma variavel, o comando basico e o wxplot2d. Assimcomo no caso do solve, este comando pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, bastandopara isso escolher a opcao Grafico e em seguida Grafico 2d. O sistema abrira uma caixa com campospara digitacao da expressao algebrica da funcao, dos intervalos dos dois eixos nos quais o grafico seravisualizado, dentre outras opcoes. Tambem e possıvel tracar graficos de varias funcoes em uma mesmajanela grafica (figura 5.10).

Figura 5.10: Tracando graficos com o wxMaxima.

Atividades

1. Para definir funcoes no Maxima, o sımbolo := deve ser usado. Considere como exemplo a funcaopolinomial g : R → R, g(x) = x3 − 2 x + 1. Faca o que e pedido abaixo no software. Use, afigura a seguir como guia.

(a) Defina a funcao g. Note que, uma vez definida g, voce nao precisara digitar novamentesua expressao algebrica cada vez que a funcao for usada. A partir de agora, basta digitarsimplesmente g(x).


(b) Trace o grafico de g na janela −5 ≤ x ≤ 5, −10 ≤ y ≤ 10.

(c) Encontre as raızes de g.

(d) Determine representacoes decimais para as raızes de p.

(e) Determine os valores de g em x = −3, x = −1, x = 1 e x = 3.

(f) Determine representacoes decimais para esses valores.

2. Considere a funcao de segundo grau definida por p(x) = x2 − 5 x + 3, para x ∈ R. Como vocesabe, se p possui raızes reais, entao sua media aritmetica e a abscissa do ponto de mınimo dografico da funcao. Para determinar o ponto de mınimo com o Maxima, usando este fato, siga oroteiro abaixo.

(a) Defina a funcao p.


(b) Encontre as raızes de p, usando a opcao Equacoes e Resolver.

(c) Atribua nomes a esta raızes. Para isto, voce precisara acessar os numeros que foram obtidosna linha de comando anterior, que e indicada pelo sımbolo%o2. Em primeiro lugar, devemosobservar que a linha anterior e formada por uma lista ordenada com duas entradas (noMaxima, listas ordenadas sao representados por colchetes). Cada um dos elementos de umalista ordenada e representado pelo nome da lista seguido da respectiva ordem entre colchetes.Assim, neste caso, %o2[1] e %o2[2] representam, respectivamente, as expressoes x =

−√

13− 5

2e x =

√13 + 5

2. Em segundo lugar, observamos que queremos associar nomes

aos lados direitos destas expressoes. O comando em Maxima para fazer isso e rhs (do ingles,right hand side). Assim, devemos definir x1=%o2[1] e x2=%o2[2].

(d) Encontre xv a media aritmetica das duas raızes.

(e) Voce observara que o software nao gerara o resultado em sua forma mais simplificada.Porem, o comando ratsimp pode ser usado para efetuar a simplificacao. Este comandopode ser acessado no menu do wxMaxima, nas opcoes Simplificar e, em seguida, Simplificarexpressao.

(f) Calcule yv = p(xv).

(g) Simplifique tambem a expressao de yv.


3. E possıvel ainda definir funcoes por mais de uma expressao com o Maxima. Para isso, devem serusados os comandos if, then e else.

(a) Considere a funcao u : R→ R definida por:

u(x) =

x2 se x < 0x se x > 0

Para definir esta funcao no Maxima, devemos escrever u(x):=(if x<0 then xˆ2 else x);.Isto significa dizer que: se x < 0. entao u(x) = x2; para os demais valores de x, u(x) = x.

Assim, pode-se tracar o grafico de u, com o comando wxplot.

(b) Considere agora a funcao v : R→ R definida por:

v(x) =

x2 se x < 0

x− 1 se x > 0

Defina a funcao v no maxima e trace seu grafico. O que voce observa? O grafico foi tracadocorretamente? Como voce interpreta esse resultado?

4. Use o Maxima para resolver a equacao cos(x) = 0, para x ∈ R. Como voce interpreta a respostado software? Foram exibidas todas as solucoes da equacao? Justifique suas respostas.

5. Considere a equacao:x√x + 1

= 1, para x ∈ R.

(a) Resolva a equacao usando o comando solve. A resposta do software soluciona o problema?

(b) O software precisa de uma “ajuda” para resolver a equacao. Eleve ao quadrado a equacaogerada no item anterior.

(c) Use novamente o comando solve para resolver a nova equacao obtida. As solucoes dadaspelo software sao de fato raızes de equacao proposta?


6. Considere a equacao: cos x = x2, para x ∈ R.

(a) Tente resolver a equacao no Maxima, por meio o comando solve. A resposta do softwaresoluciona o problema?

(b) A equacao dada tem solucoes reais?Sugestao: para responder a esta pergunta, analise os graficos das curvas y = cos x e y = x2.

(c) Voce saberia encontrar expressoes para as solucoes das equacoes?

(d) Como na atividade 5, voce observara que o comando solve nao ajuda em nada a resolvera equacao. No entanto, neste caso, as solucoes das equacoes dadas nao tem expressaoanalıtica. Porem, podemos determinar aproximacoes numericas para essas solucoes. Paraisso, use o comando find root. Para acessar o comando, escolha as opcoes Entrada eem seguida Encontrar raiz no menu superior do wxMaxima. Sera aberta uma caixa para digitacao da equacao, a incognita e o intervalo em que a raiz devera ser procurada. Opadrao deste intervalo no software e −1 a 1. Mantenha este padrao e acione o comando.

Voce observara que o software retorna uma mensagem de erro. A que se deve este erro?

(e) Como voce pode alterar os parametros de definicao escolhidos para o comando find rootno item anterior, de forma a encontrar aproximacoes numericas para cada uma das raızesreais da equacao proposta.

7. Use os recursos do Maxima para encontrar aproximacoes numericas para cada uma das raızesreais das seguintes equacoes:

(a) ln x =1

x(b) 2x = x2 (c) 2x = x3

8. Considere a funcao polinomial do terceiro grau h : R→ R, h(x) = x3 − 4 x+ 1.

(a) Defina h no Maxima e use o software para gerar o grafico da funcao. Quantas raızes reaistem h? Quantas raızes complexas tem h no total?

(b) Use o comando solve para obter as raızes de h. Para facilitar seu trabalho nas questoesa seguir, de nomes as raızes. Como na atividade 2, voce podera definir esses nomes pormeio das instrucoes x1:rhs(%o3[1]), x2:rhs(%o3[2]) e x3:rhs(%o3[3]). No Maxima,o sımbolo %i representa a unidade imaginaria i. Voce pode concluir que as raızes de hexibidas pelo software sao numeros complexos nao reais?


(c) Para verificar melhor a resposta do item anterior, voce podera determinar as partes ima-ginarias das raızes de h. Para fazer isso, use o comando imagpart do Maxima. Estecomando pode tambem ser acessado no menu do wxMaxima, escolhendo as opcoes Sim-plificar, Simplificacao complexa e Obter parte imaginaria. Agora, com base no resultadoproduzido por este comando, voce pode concluir que as raızes de h exibidas pelo softwaresao numeros complexos nao reais?

(d) Use o comando ratsimp para simplificar as partes imaginarias obtidas no item anterior.O que voce pode concluir sobre as raızes de h? Justifique sua conclusao com base emargumentos matematicos.

9. Considere a funcao polinomial do terceiro grau f : R → R, f(x) = x3 − 4 x + k, em que k euma constante real.

(a) Use Maxima para tracar o grafico de f , para k = 1. Quantas raızes reais distintas f possuineste caso?

(b) Agora, trace o grafico de f para k = 4. Quantas raızes reais distintas f possui neste caso?

(c) Considere a seguinte questao: Determine um valor de k para o qual f possua uma raiz realdupla. Os ıtens anteriores sugerem que o valor de k procurado esta entre 1 e 4, mas osistema de computacao algebrica pode ajudar a encontrar a resposta exata desta questao.

Para que f tenha uma raiz real dupla, a ordenada de um dos pontos de extremo local de fdeve ser igual 0. Para obter os valores das abscissas desses pontos de extremo local, deve-sedeterminar as raızes da derivada de f . Em seguida, deve-se determinar k tal que a imagempor f de um desses valores e 0. Assim, deve-se resolver uma equacao cuja incognita e k.

Para fazer esta operacao no Maxima, sera preciso limpar o valor de k da memoria dosoftware, uma vez o ultimo valor numerico atribuıdo a constante (no caso, k = 4) aindadeve estar guardado. Isto pode ser feito com o comando kill.


Para determinar a derivada, deve ser empregado o comando diff, que, no wxMaxima, podeser acessado no menu superior, nas opcoes Calculo e, em seguida, Diferenciar.

Em seguida, pode-se continuar a solucao da questao de acordo com o procedimento acima.

Finalmente, voce podera gerar uma representacao grafica para a solucao do problema. Paraisso, atribua a constante k o valor encontrado na equacao anterior e use este valor paragerar o grafico.

(d) O valor de k que soluciona a questao proposta no item anterior e unico? Justifique usaresposta.


10. Considere o seguinte sistema, com (x, y) ∈ R2 e em que k e uma constante real:

x2 − y = 0x− 2 y = k

Use o sistema de computacao algebrica para responder as questoes a seguir.

(a) Resolva o sistema para k = −1 e faca um esboco representando a solucao.

(b) Resolva o sistema para k = 1 e faca um esboco representando a solucao.

(c) Determine todos os valores de k para os quais o sistema tem:

i. apenas uma solucao;ii. duas solucoes;iii. nenhuma solucao.

Faca um esboco representando a solucao do sistema no caso em que a mesma e unica.

11. Repita as atividades 6 e 7 da secao 3.1 (pp. 40 a 41) usando um sistema de computacao algebrica.Procure usar os recursos do software para estudar as solucoes das equacoes propostas.

12. Repita a atividade 5 da secao 3.2 (p. 45) usando um sistema de computacao algebrica. Procureusar os recursos do software para estudar as solucoes das equacoes propostas. Compare com ouso e ambientes graficos simples e de ambiente de geometria dinamica.

13. Repita a atividade 4 da secao 3.3 (p. 50) usando um sistema de computacao algebrica. Procureusar os recursos do software para encontrar as raızes da funcao.

14. Repita a atividade 4 da secao 3.4 (p. 60) usando um sistema de computacao algebrica. Aoempregar o comando solve para encontrar as raızes da funcao ω(x) = sen (log10 x), sera possıveldeterminar todas as raızes reais? Observe a mensagem que o software retorna quando estainstrucao e executada.

15. Repita as atividades 5 e 6 da secao 3.4 (p. 63) usando um sistema de computacao algebrica.Observe que o comando solve oferece a possibilidade de gerar graficos em escalas logarıtmicas.

16. Repita as atividades 7 e 8 da secao 4.3 (p. 98) usando um sistema de computacao algebrica.Procure usar os recursos do software para estudar as raızes das funcoes.

As atividades 1 a 3 visam apresentar os recursos basicos do Maxima para definir funcoes, calcularseus valores numerica e simbolicamente, gerar graficos e resolver equacoes determinadas por funcoes.Esses recursos servirao de suporte para o desenvolvimentos das demais atividades desta secao.

De forma geral, essas atividades procuram ilustrar o fato de que o uso de sistemas de computacaoalgebrica no ensino e mais vantajoso as situacoes em que o uso das ferramentas simbolicas dosistema sao efetivamente relevantes para as questoes tratadas. Tipicamente, este e o caso dasatividades 6 e 7, que envolvem equacoes cujas solucoes reais existem, porem nao admitem expressoesanalıticas. Portanto, a integracao de ferramentas simbolicas e numericas e importante neste caso.

Por outro lado, e importante que o aluno desenvolva a consciencia de que, apesar dos poderososrecursos simbolicos dos sistemas de computacao algebrica, seus resultados sempre devem ser analisadoscriticamente. A atividade 3 ilustra este aspecto com um exemplo muito simples: o grafico de uma fun-cao descontınua. Observe que o software liga indevidamente os pontos, como se o segmento vertical de(0,−1) a (0, 0) pertencesse ao grafico (figura 5.11). Este e uma limitacao no algoritmo de interpolacao,que ja foi discutida no Capıtulo 3 (ver atividade 1 da secao 3.3, p. 49).


Figura 5.11: O grafico de uma funcao descontınua no Maxima.

Portanto, os resultados fornecidos pelos sistemas de computacao algebrica devem contri-buir para o enriquecimento dos conhecimentos matematicos dos alunos, mas nao substituı-los– esses resultados devem sempre ser encarados criticamente. Neste sentido, o papel do professore determinante, pois tal atitude crıtica por parte dos alunos nem sempre se desenvolve naturalmente.De fato, tem-se observado que, em certas situacoes, os estudantes tendem a valorizar mais os resultadosdo computador que seus proprios conhecimentos matematicos – mesmo quanto tem seguranca dessesconhecimentos (ver por exemplo, [8]). Por isso, e importante explorar situacoes simples (para as quais ouso do sistema de computacao algebrica nem mesmo seria necessario), mas cujas solucoes sao exibidasde forma incompleta pelo software.

A limitacao ilustrada na figura 5.11 e de natureza numerica, pois se deve a forma como o softwareliga pontos para gerar um grafico. Entretanto, os sistemas de computacao algebrica podem aindaapresentar limitacoes na propria estrutura simbolica, que constituem a principal especifici-dade desse tipo de software.

A atividade 4 ilustra uma limitacao dessa natureza, tambem com um exemplo bastante simples:a resolucao da equacao cos(x) = 0. Evidentemente, nao precisamos de um sistema de computacaoalgebrica para resolver essa equacao, pois sabemos que suas solucoes sao dadas por x = π

2+ k π, com

k ∈ Z. Entretanto, o software exibe apenas uma solucao x = π2(figura 5.12). Observe que o proprio

sistema retorna uma mensagem apontando para esta limitacao: Algumas solucoes serao perdidas.

Figura 5.12: Resolvendo equacoes no Maxima.

A atividade 5 exemplifica de outra maneira ainda a importancia o uso de conhecimentos matematicospara a interpretacao de resultados gerados pelo sistema de computacao algebrica. Neste caso, oMaxima


nao reconhece a manipulacao algebrica necessaria para resolver a equacao, e o aluno devera ser capazde identificar tal manipulacao para “ajudar” o software (figura 5.13).

Figura 5.13: Ajudando o Maxima a resolver uma equacao.

Alem disso, para interpretar os resultados dados pelo Maxima, o aluno tambem devera recorrer a seuconhecimento qualitativo sobre a questao proposta. Quando a equacao original foi elevada ao quadrado,a nova equacao obtida nao e equivalente a original, pois foi acrescentada uma raiz (figura 5.14). Comoa equacao original e x =

√x + 1, para que um numero x ∈ R seja raız, este deve necessariamente ser

positivo. Portanto, a solucao negativa dada pelo Maxima deve ser descartada. A unica solucao real da

equacao e

√5 + 1

2.

Figura 5.14: Interpretando resultados do Maxima.

E claro que este e um exemplo relativamente simples, que tambem poderia ser resolvido sem osistema de computacao algebrica. Entretanto, e importante entender a necessidade de interpretar osresultados do computador em situacoes mais simples, das quais temos mais clareza, para saber lidarcom aquelas em que as propriedades matematicas nao sao tao evidentes.

Uma situacao um pouco mais sutil e dada na atividade 6. Como na atividade 5, o Maxima naoconsegue resolver simbolicamente a equacao dada (figura 5.15). Porem, diferentemente da atividadeanterior, isto nao se deve apenas a uma limitacao do software em identificar a estrategia algebrica queconduz a solucao. Neste caso, as solucoes da equacao proposta nao admitem expressoes analıticas.Isto e, embora seja possıvel mostrar que a equacao possui solucoes reais, estas solucoes nao podem serexpressas como combinacoes das operacoes elementares, potencias e radicais, e das funcoes transcen-dentes elementares usuais (trigonometricas, exponenciais e logaritmos). Entao, so resta tentar encontraraproximacoes numericas para essas solucoes. No entanto, ao se tentar encontrar essas aproximacoesnumericas, a princıpio o Maxima retorna uma mensagem de erro (figura 5.16).

Figura 5.15: Tentando resolver a equacao cos(x) = x2 simbolicamente no Maxima.

Figura 5.16: Tentando resolver a equacao cos(x) = x2 numericamente no Maxima.


O grafico das curvas y = cos(x) e y = x2 podem ajudar a entender porque a mensagem de errofoi gerada. O algoritmo usado pelo software para encontrar aproximacoes numericas para solucoes deequacoes se baseia nos seguinte fato: se uma funcao contınua f : [a, b] → R e tal que f(a) e f(b)possuem sinais opostos, entao existe (pelo menos) um elemento c ∈ ]a, b[ tal que f(c) = 0 (isto e, aequacao f(x) = 0 tem pelo menos uma raiz no intervalo ]a, b[ ). Esta e uma consequencia do Teoremado Valor Intermediario (ver [48, 52]). No caso desta equacao, o software esta tentando encontrar paraa funcao f(x) = x2 − cos(x). Porem, como f(−1) e f(1) sao ambos negativos, nao ha garantias daexistencia de raızes no intervalo ] − 1, 1[ (que o intervalo padrao do comando solve no wxMaxima).Verificaremos que, na verdade ha duas raızes neste intervalo, no entanto o algoritmo do software naoconsegue encontra-las.

Figura 5.17: Explorando graficamente a equacao cos(x) = x2 Maxima.

Os graficos tambem ajudam a perceber as localizacoes das solucoes da equacao, e a escolherintervalos menores, que permitam ao software encontrar encontrar aproximacoes numericas para asmesmas. Por exemplo, temos que f(−π) = f(−π) = π2 e f(0) = −1. Logo, o Teorema do ValorIntermediario nos garante que a equacao cos(x) = x2 tem pelo menos uma raiz no intervalo ]− π, 0[e pelo menos uma raiz no intervalo ]0, π[ (figura 5.18).

Figura 5.18: Resolvendo a equacao cos(x) = x2 numericamente no Maxima.

A atividade 7 apresenta exemplos de equacoes semelhantes, que podem ser resolvidas numericamentepelo mesmo procedimento. Em particular no caso do item 7b, um primeiro olhar para os graficos dascurvas y = 2x e y = x2 (figura 5.19, a esquerda) pode sugerir que a equacao 2x = x2 possui somenteduas solucoes: uma negativa, no intervalo ]−1, 0[ , e outra igual a 2. Entretanto, temos que 4 tambeme uma solucao de 2x = x2, que pode ser visualizada se alteramos a janela grafica (figura 5.19, a direita).

Na figura 7, vemos que, para x suficientemente grande, os valores funcao exponencial ultrapassamos da funcao polinomial. De forma, mais geral, os valores de qualquer funcao exponencial ultrapassamos de qualquer funcao polinomial, para x suficientemente grande. Daı, pode-se concluir que a equacao2x = x3 tambem tem duas solucoes reais positivas, sendo uma no intervalo ]1, 2[ e outra no intervalo]9, 10[ (figura 5.20).


Figura 5.19: As curvas y = 2x e y = x2.

Figura 5.20: As curvas y = 2x e y = x3.

Equacoes cujas solucoes nao admitem expressoes analıticas podem contribuir para a ampliacao daconcepcao dos alunos sobre a resolucao de equacoes. Em geral, os alunos estao acostumados a lidarcom equacoes “bem comportadas” – cujas solucoes podem ser determinadas facilmente pela aplicacaode certos procedimentos algebricos. E importante que eles sejam apresentados tambem a exemplos emque e possıvel provar que existem solucoes reais, porem estas nao podem ser obtidas analiticamente.(De fato, em certo sentido, pode-se afirmar que estes constituem a maioria dos casos.) O uso derecursos computacionais no ensino de Matematica torna esses exemplos mais acessıveis.

Outra situacao cuja interpretacao demanda a compreensao cuidadosa dos conceitos matematicosenvolvidos ocorre na atividade 8. Ao se gerar o grafico da funcao h(x) = x3−4 x+1 com o Maxima, afigura mostrada na tela sugere que a funcao tem 3 raızes reais distintas (figura 5.21). Entretanto, ao seresolver a equacao h(x) = 0 com o software, sao exibidas 3 raızes complexas cujas partes imaginariasparecem ser diferentes de 0 (figura 5.22). Assim, ha um aparente conflito entre as representacoesgrafica e numerica produzidas pelo software. Somente apos se extrair e simplificar as partes imaginariasdessas raızes, verifica-se que estas sao nulas (figura 5.23).

Figura 5.21: O grafico de h(x) = x3 − 4 x+ 1 no Maxima.


Figura 5.22: As raızes de h(x) = x3 − 4 x+ 1 no Maxima.

Figura 5.23: Explorando o comportamento de h(x) = x3 − 4 x+ 1 no Maxima.

As atividades 9 e 10 exploram a resolucao de equacoes e de sistemas (respectivamente) dependendode parametros. Assim, os recursos do sistema de computacao algebrica sao empregados para determinaros valores dos parametros para os quais as equacoes ou sistemas tem certo numero dado de solucoes.As respostas para tais questoes envolvem a resolucao de novas equacoes, cujas incognitas passam a seresses parametros.

Na atividade 10, para determinar os valores de k para os quais o sistema tem uma unica solucao,deve-se, em primeiro lugar, obter expressoes para as solucoes do sistema, em funcao de k (figura 5.24).Em seguida, deve-se igualar as abscissas das duas solucoes do sistema e resolver a equacao em kassim formada (figura 5.25). Observe que, as solucoes do sistema sao exibidas na forma de duas listas


ordenadas dentro de uma lista ordenada. Por isso, para obter os valores de suas abscissas, precisamosusar as instrucoes solucao[1][1] e solucao[2][1], que se referem ao primeiro elemento da primeiralista e ao primeiro elemento da segunda lista. Finalmente, pode-se gerar o grafico que representa o(unico) caso em que o sistema tem uma unica solucao (figura 5.26).

Figura 5.24: Explorando o numero de solucoes de um sistema no Maxima.




Atividades

17. Discuta as vantagens e desvantagens pedagogicas do uso do sistema de computacao algebricapara realizar as atividades 11 a 16, em relacao a ambientes graficos simples ou ambiente de geo-metria dinamica. Note que, nos casos em que os recursos especıficos do sistema de computacaoalgebrica nao sao aproveitados, provavelmente seu uso provavelmente nao oferecera vantagenssignificativas.




(c) Qual e o papel do sistema de computacao algebrica no desenvolvimento das atividades?

(d) Que vantagens e desvantagens o uso do sistema de computacao algebrica pode trazer paraa aprendizagem dos conceitos enfocados, em comparacao com abordagens com recursosconvencionais (isto e, sem o uso de recursos computacionais), e com outros tipos recursos(especialmente aqueles que nao possuem recursos simbolicos)?


19. Para cada um dos ıtens a seguir, elabore uma atividade usando graficos um sistema de computa-cao algebrica, com os mesmos objetivos das atividades 4 a 10, que seja adequada para as turmasem que voce leciona.

20. Formule uma sequencia didatica para aplicacao de atividades semelhantes a 2, para cada um dostipos de funcao abaixo. Especifique os objetivos, os conceitos matematicos explorados e de quemaneiras esses conceitos podem ser explorados.




5.2 Aprofundando a Exploracao Simbolica

Nesta secao, apresentamos algumas ferramentas um pouco mais avancadas do Maxima, ainda abor-dando conteudos do ensino basico. Embora essas ferramentas envolvam sintaxe de programacao maiselaborada que aqueles apresentados na secao anterior, os resultados gerados podem ser interessantespara a sala de aula. Assim, mesmo nos casos em que a sintaxe e complicada demais para os alunos doensino medio, os recursos a seguir podem ser usados pelo professor para produzir recursos para uso emaula.

Por exemplo, na atividade 10 da secao anterior, foi abordada representacao grafica da solucao deum sistema composto pela equacao de uma reta e pela equacao de uma parabola. Na atividade 1 aseguir, e proposto um sistema composto pela equacao de uma reta e pela equacao de um cırculo. Assolucoes desse sistema nao podem, portanto, ser representadas por meio de graficos de y como funcoesde x. Neste caso, temos basicamente duas opcoes para representar graficamente as solucoes do sistema:por meio de curvas parametrizadas ou de expressoes definidas implicitamente. Para gerar curvas planasparametrizadas ou implıcitas no Maxima, pode-se empregar o comando wxdraw2d. Este comando emais geral que o wxplot2d, que permite apenas desenhar graficos de funcoes.

5.2. APROFUNDANDO A EXPLORACAO SIMBOLICA 147

Tambem apresentaremos alguns exemplos de geracao de objetos em tres dimensoes, incluindograficos de funcoes de duas variaveis reais (funcoes R2 → R) e outras curvas e superfıcies no espaco.Para isto, serao empregados os comandos wxplot3d e wxdraw3d. Serao apresentados ainda exemplosde producao de animacoes, com o comando with slider.

Representando Objetos no Plano e no Espaco

Antes de iniciar as atividades desta secao, apresentamos algumas novas ferramentas do Maxima, queajudarao no seu desenvolvimento. Comecamos apresentando uma forma diferente (e um pouco mais“economica”) de resolver a atividade 10, em que foi proposto o sistema:

x2 − y = 0x− 2 y = k

(5.1)

A atividade pede a solucao do sistema 5.1 para certos valores fixos de k e, depois, a exploracao doseu numero de solucoes, em funcao de k. Para que nao seja necessario repetir as equacoes do sistemavarias vezes, podemos usar as ferramentas do Maxima para dar nomes as equacoes (figura 5.27). Assim,o software passara a identificar pelo nome parabola a equacao x2 − y = 0.

Figura 5.27: Atribuindo um nome a um objeto matematico no Maxima.

Analogamente, podemos nomear a segunda equacao que compoe o sistema. Porem, observamosque esta equacao na verdade representa uma famılia de retas, indexada pelo parametro real k. Podemosusar a ferramenta de definir funcoes no Maxima para criar esta famılia (figura 5.28). Assim, o softwarepassara a identificar por reta(k) a equacao x− 2 y = k para um valor dado de k.

Figura 5.28: Atribuindo um nome a uma famılia de objetos matematicos no Maxima.

Esses nomes para as equacoes podem entao ser usados para efetuar quaisquer operacoes ou pro-cedimentos que as envolva no Maxima, como por exemplo resolver o sistema 5.1 para k = 1 (figura5.29), ou para k ∈ R generico (figura 5.30).

Figura 5.29: Resolvendo um sistema no Maxima.

Figura 5.30: Resolvendo um sistema no Maxima.

Na atividade 1 a seguir, serao desenhadas curvas a partir de equacoes parametricas e implıcitas,com o comando wxdraw2d, combinado com os comandos implicit ou parametric. Por exemplo, para


desenhar o cırculo de equacao x2 +y2 = 1 com o comando wxdraw2d, podemos proceder basicamentede duas maneiras:

• implicitamente (figura 5.31): a instrucao implicit(xˆ2+yˆ2=1, x,-2,2, y,-2,2) indica a curvaplana de equacao cartesiana x2 + y2 = 1, tracada na janela grafica −2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2;

• parametricamente (figura 5.32): a instrucao parametric(cos(t), sen(t), t,0,2*%pi) indica acurva plana de equacao parametrica (cos t, sen t), tracada para t ∈ [ 0, 2 π ].

O formato adquirido pela curva deve-se a uma distorcao causada pelas escalas dos eixos.

Figura 5.31: Gerando curvas por equacoes implıcitas no Maxima.

Figura 5.32: Gerando curvas por equacoes parametricas no Maxima.

As atividades 2 a 7 envolvem a representacao de objetos no espaco tridimensional. Os comandoswxplot3d e wxdraw3d podem ser usados de forma analoga aos comandos wxplot2d e wxdraw2d.Por exemplo, a figura 5.33 mostra o grafico da funcao f : R2 → R, f(x, y) = x2 + y2, geradocom o comando wxplot3d (que pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, da mesma formaque o comando wxplot2d). O grafico dessa funcao e um paraboloide circular, que tambem pode sergerado como equacao implıcita por meio do comando wxdraw3d (figura 5.34). Como voce notara,a resolucao das curvas geradas pelo comando wxplot3d e, em geral, melhor que a das geradas pelocomando wxdraw3d. Para gerar superfıcies que nao sao graficos de funcoes R2 → R, como e o casodo cilindro x2 + (y − 1)2 = 1, deve-se necessariamente usar o comando wxdraw3d (figura 5.35).


Figura 5.33: Gerando graficos de funcoes reais de duas variaveis no Maxima.

Figura 5.34: Gerando superfıcies por equacoes implıcitas no Maxima.

Figura 5.35: Gerando superfıcies por equacoes implıcitas no Maxima.


Para tracar curvas no espaco com o Maxima, deve-se representa-la parametricamente. Por exemplo,consideremos a curva C no espaco, dada pela intersecao entre o paraboloide z = x2 + y2 e o cilindrox2 + (y − 1)2 = 1. Para obter equacoes parametricas a esta curva C, observamos que ela e dada pelaimagem do cırculo de equacao x2 + (y − 1)2 = 1 pela funcao f(x, y) = x2 + y2. Uma parametrizacaodo cırculo e dada por (x(t), y(t)) = (cos t, sen t + 1). Assim, para completar a parametrizacao de C,fazemos:

z(t)=f(cos t, sen t+ 1) = (cos t)2 + ( sen t + 1)2 = cos2 t+ sen 2t+ 2 sen t+ 1=2 sen t + 2

Tendo as equacoes parametricas, pode-se usar os comandos wxdraw3d e parametric, de formaanalogo ao caso bidimensional (figura 5.36). A figura 5.37 mostra as duas superfıcies tracadas junta-mente com a curva dada por sua intersecao.

Figura 5.36: Gerando curvas no espaco por equacoes parametricas no Maxima.

Figura 5.37: Gerando objetos no espaco tridimensional no Maxima.


Atividades

1. Considere o seguinte sistema, com (x, y) ∈ R2 e em que k e uma constante real:

x2 + y2 = 12 x+ y = k

Use o sistema de computacao algebrica para responder as questoes a seguir.

(a) Resolva o sistema para k = 1 e faca um esboco representado a solucao.

(b) Determine todos os valores de k para os quais o sistema tem uma unica solucao. Para cadaum desses valores de k, faca um esboco representado a solucao do sistema.

2. O Maxima possui uma ferramenta para resolucao de sistemas lineares, por meio do comandolinsolve, que pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, na opcao Equacoes, em seguidaResolver sistema linear.

(a) Considere, por exemplo, o sistema linear:

x+ 2y + z = 02x− y − z = 1x− 2z = −1

Ao acessar o comando linsolve no wxMaxima, o sistema abrira uma caixa para digitacaodo numero de equacoes (abaixo, a esquerda), em seguida uma caixa para digitacao de cadauma das equacoes e as incognitas (abaixo, a direita).

O software retornara entao a solucao do sistema.

Use o comando linsolve para resolver os sistemas abaixo. Como voce interpreta as respostasdadas pelo Maxima?

(b)

x+ 2y + z = 02x− y − z = 13x+ y = 1

(c)

x+ 2y + z = 02x− y − z = 13x+ y = −1


3. O Maxima oferece ferramentas para definir e operar com matrizes. O comando matrix, que servepara definir matrizes, pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, na opcao Algebra, emseguida Introduzir matriz.

(a) Considere, por exemplo, a matriz associada ao sistema linear do item 2a:

A =

1 2 12 −1 −11 0 −2

Ao acessar o comando matrix no wxMaxima, o sistema abrira uma caixa para digitacao donumero de linhas e do numero de colunas (abaixo, a esquerda), em seguida uma caixa paradigitacao de cada uma das entradas da matriz (abaixo, a direita).

O software retornara entao a matriz definida.

(b) Os comandos determinant e invert servem para calcular o determinante e a inversa deuma matriz. Use esses comandos para calcular o determinante e a inversa da matriz Adefinida acima.

(c) Sabemos que todo sistema linear pode ser escrito na forma matricial. Por exemplo, o sistemalinear do item 2a pode ser escrito na forma:

1 2 12 −1 −11 0 −2

xyz

=

01−1

Portanto, para resolver o sistema, deve-se multiplicar a matriz inversa de A pelo vetor(0, 1,−1). No Maxima, deve-se usar um ponto para representar o produto entre matrizes eentre matrizes e vetores. Compare com a solucao obtida no item 2a.


(d) Escreva os sistemas dos ıtens 2b e 2c na forma matricial. E possıvel obter a solucao dessesistema por meio do produto pela matriz inversa? Justifique sua resposta.

4. Em transformacoes lineares, uma interpretacao geometrica do determinante de uma matriz e arazao entre a medida da imagem de um conjunto e a medida do conjunto original. Assim, nocaso bidimensional, sabemos que uma matriz A ∈ M2×2(R) define uma transformacao linearTA : R2 → R2, dada por:

TA(x, y) = A

(xy

)

Entao, se X ⊂ R2 e um subconjunto do plano e S(X) e area de X, temos:

S(A(X)) = | detA| S(X)

(a) Considere, por exemplo, a matriz: A =

(2 −1−2 3

).

Use o sistema de computacao algebrica para calcular o determinante de A.

(b) Considere quadrado Q em R2, cujos vertices sao os pontos (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1). Aimagem de Q por A e o paralelogramo A(Q), cujos vertices sao Q(0, 0), Q(1, 0), Q(1, 1) eQ(0, 1). Qual e a area desse paralelogramo? Faca um esboco do paralelogramo A(Q) como Maxima.Sugestao: use o software para determinar os vertices de A(Q) e escreva equacoes parame-tricas para seus lados.

(c) Qual e a interpretacao geometrica do determinante no caso em que detA = 0?

(d) Qual e a interpretacao geometrica do determinante no caso tridimensional, isto e, paraA ∈ M3×3(R)?

5. Voltemos ao sistema linear do item 2b. Podemos observar que a terceira equacao do sistema e asoma das outras duas, portanto esta pode ser eliminada. Entao, o sistema e indeterminado, istoe, possui infinitas solucoes. Mais precisamente, o sistema original e equivalente a:

x+ 2y + z = 02x− y − z = 1

Daı, podemos concluir que o conjunto solucao do sistema e a intersecao de dois planos distintosno R3. Logo, este conjunto e uma reta no espaco. A resposta dada pelo Maxima para a resolucaodo sistema por meio do comando linsolve corresponde a equacoes parametricas para essa reta(o sımbolo %r1 representa o parametro das equacoes).

(a) Represente o conjunto solucao do sistema no Maxima, por meio de equacoes parametricas.

(b) Represente o conjunto solucao do sistema no Maxima, como intersecao entre dois planos.


6. Sejam A a matriz associada ao sistema do item 2a e B a matriz associada aos sistemas dos ıtem2b e 2c.

(a) Determine e represente geometricamente os vetores A(1, 0, 0), A(0, 1, 0) e A(0, 0, 1). Quale a relacao entre esses vetores?

(b) Determine e represente geometricamente os vetores B(1, 0, 0), B(0, 1, 0) e B(0, 0, 1). Quale a relacao entre esses vetores?

7. Use o Maxima para gerar as seguintes superfıcies no espaco.

(a) z = x2 + y2 (b)x2

4+y2

9= 1 (c)

x2

2+y2

4+z2

9= 1

(d) z2 = x2 + y2 (e) z2 = x2 + y2 + 1 (f) z2 = x2 + y2 − 1

Na atividade 1, podemos atribuir nomes para as equacoes do sistema, considerando a segundaequacao como um famılia indexada pelo parametro k (figura 5.38). Assim, podemos resolver o sis-tema, por meio do comando solve, e representar a graficamente as solucoes, por meio dos comandoswxdraw2d e implicit (figura 5.39).

Figura 5.38: Resolvendo sistemas no Maxima.

Figura 5.39: Resolvendo sistemas no Maxima.


De forma analoga aos exemplos anteriores, obtemos as expressoes das solucoes do sistema, para kgenerico. Para determinar os valores de k para os quais o sistema tem uma unica solucao, igualamos asabscissas dessas solucoes e resolvemos a equacao assim obtida tendo k como incognita (figura 5.40).Em seguida, representamos graficamente o sistema, para os dois valores de k para os quais a solucaoe unica (figura 5.41).




As atividades 2 a 6 buscam chamar atencao para a integracao entre a resolucao de sistemas lineares,os conceitos de matriz e determinante, e para as interpretacoes geometricas dessas nocoes. No en-sino medio, abordagem de sistemas lineares em geral se resume a apresentacao de procedimentosde resolucao e classificacao quanto ao numero de solucoes (como determinado, indeterminado ouimpossıvel). Entretanto, pouca enfase e dada para o significado geometrico desses tipos de solucoes,para a interpretacao geometrica do determinante de uma matriz como medida e para as relacoes entreestas ideias. Por exemplo, nao e incomum que os alunos saibam identificar que um dado sistema eindeterminado e que isto significa que o mesmo tem infinitas solucoes, porem nao consigam reconhecerque solucoes sao essas e que tipo de conjunto elas formam. Os sistemas de computacao algebricapodem ajudar a produzir recursos que tornem essas nocoes mais concretas para os alunos.

Na atividade 2, as respostas dadas pelo Maxima indicam que os sistema do item (b) tem infinitassolucoes (figura 5.42) e o sistema do item (c) nao tem solucoes (figura 5.43).

Figura 5.42: Solucoes de sistemas lineares no Maxima.

Figura 5.43: Solucoes de sistemas lineares no Maxima.

A atividade 3 enfoca a resolucao de sistemas lineares na forma matricial, e a atividade 4 a inter-pretacao geometrica de determinante como razao entre medidas de conjuntos. No caso bidimensional,explorado na atividade 4, a medida e area. Porem, no caso tridimensional, vale a interpretacao analoga,de determinante como razao entre volumes. Para o professor, e importante que fique clara a relacaoentre essas ideias, especialmente no caso de sistemas sem solucoes ou com infinitas solucoes. Porexemplo, no caso tridimensional, temos que qualquer sistema linear pode ser escrito na forma matricial:

a11 x + a12 y + a13 z = b1

a21 x + a22 y + a23 z = b2

a31 x + a32 y + a33 z = b3

m

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

xyz

=

b1

b2

b3

Se a matriz A = (aij) tem determinante 0, isto significa que ela transforma conjuntos com volumesdiferentes de 0 em conjunto com volumes iguais a 0. Isto e, a matriz transforma objetos tridimensionaisem objetos bidimensionais ou unidimensionais. Neste caso, essa transformacao nao pode ser injetivanem sobrejetiva. Como a transformacao nao e injetiva, cada elemento da imagem esta associado amais de um elemento do domınio. Como a transformacao nao e sobrejetiva, existem elementos docontradomınio que nao estao associados a nenhum elemento do domınio (isto e, que nao pertencem aimagem). Se o vetor (b1, b2, b3) pertence a imagem de A, entao o sistema tem infinitas solucoes (comoe o caso do item 2b). Se, por outro lado, o vetor (b1, b2, b3) nao pertence a imagem de A, entao osistema nao tem solucoes (como e o caso do item 2c).


Na atividade 3, calculamos em primeiro lugar os vertices do paralelogramo A(Q) (figura 5.44).Como Q tem area 1 e detA = 4, entao a area de A(Q) e igual a 4.

Figura 5.44: Matrizes, determinantes e areas no Maxima.

Em seguida, determinamos equacoes parametricas para os lados de A(Q). Para isso, usamos o fatode que o segmento que liga u e v pode ser parametrizado por t u + (1 − t) v, com t ∈ [0, 1]. (figura5.45). Usamos entao essas equacoes parametricas para gerar uma representacao para A(Q) no Maxima(figura 5.46).




A atividade 5 explora a interpretacao geometrica da solucao do sistema linear do item 2b. Comoeste sistema e indeterminado, admite infinitas solucoes. Mais precisamente, como esse sistema pode serinterpretado com a interpretacao de dois planos no espaco (representados na figura 5.47, a esquerda),entao concluımos que seu conjunto solucao e uma reta no R3 (representada por meio de suas equacoesparametricas na figura 5.47, a direita). A figura 5.48 mostra a representacao da juntamente com osdois planos.

Figura 5.47: Interpretacao geometrica da solucao de um sistema linear no Maxima.


Figura 5.48: Interpretacao geometrica da solucao de um sistema linear no Maxima.

A atividade 6 tem como objetivo ilustrar o fato de que uma matriz M ∈ M3×3(R) transforma ve-tores nao coplanares em: vetores nao coplanares se detM 6= 0, e em vetores coplanares se detM = 0.Esta e outra interpretacao para o fato de que uma matriz com determinante nulo transforma objetostridimensionais em objetos unidimensionais ou bidimensionais. Por exemplo, temos que detB = 0 eque B(1, 0, 0) = (1, 2, 3), B(0, 1, 0) = (2,−1, 1) e B(0, 0, 1) = (1,−1, 0). Entao, podemos observarque:

B(1, 0, 0) = 3B(0, 1, 0)− 5B(0, 0, 1)

Portanto, os vetores B(1, 0, 0), B(0, 1, 0) e B(0, 0, 1) sao coplanares. Entretanto, representacoesgeometricas geradas no software nem sempre permitem uma percepcao clara desta propriedade. Porexemplo, como observamos na figura 5.49, as imagens geradas pelo Maxima nao oferecem uma per-cepcao de profundidade clara, que permita distinguir vetores nao coplanares de coplanares. Mais umavez, esta situacao ilustra o fato de que os resultados produzidos pelo computador nao dispensam acompreensao dos conceitos matematicos envolvidos.

Figura 5.49: Representacao de vetores nao coplanares (a esquerda) e de vetores coplanares (a direita)no Maxima.


Para gerar as superfıcies na atividade 7, deve-se observar em que casos em que pode ser usado ocomando wxplot3d e aqueles em que deve ser usado o comando wxdraw3d. (figuras 5.50 a 5.52).Voce percebera que a resolucao dos graficos gerados pelo software nem sempre favorece a compre-ensao imediata do aspecto geometrico das superfıcies, porem esses graficos podem ajudar a explorar aspropriedades geometricas dessas superfıcies. O Maxima possui ferramentas que permitem melhorar aqualidade das imagens geradas. Entretanto, nao e objetivo deste texto abordar estes aspectos tecnicosdo software. O leitor que se interessar nao tera dificuldades em encontrar referencias disponıveis nainternet.

Figura 5.50: Um paraboloide hiperbolico e um paraboloide elıptico no Maxima.

Figura 5.51: Um elipsoide e cone circular no Maxima.

Figura 5.52: Hiperboloide de duas folhas e de uma folha no Maxima.


Animacoes

Encerramos esta secao com um exemplo de construcao de animacoes no Maxima (atividade 8 e 9).Animacoes de graficos podem ser particularmente interessantes para o estudo do comportamentode famılias de funcoes dependendo de parametros. No Maxima, o comando basico para para ge-rar animacoes e with slider. Para empregar esse comando, devem ser declarados os valores de umparametro com os quais se deseja produzir a animacao, e a expressao algebrica de uma famılia defuncoes dependente desse parametro. de acordo com a sintaxe mostrada na figura 5.53. Os softwaregerara entao os graficos da famılia de funcoes correspondentes aos valores declarados para o parametro,e a animacao sera produzida pela projecao quadro a quadro desses graficos. O menu superior dowxMaxima dispoe de botoes para controlar a animacao.

Figura 5.53: Construindo animacoes no Maxima.

Em lugar de se digitar os valores do parametro um a um, pode se usar o comando makelist paracriar uma lista com esses valores. Por exemplo, a instrucao da linha %i2 da figura 5.54 gera umalista com valores inteiros de k de 1 a 10. Portanto, a instrucao da linha %i3 produzira um resultadoequivalente ao da figura 5.53. O comando makelist e particularmente util quando se deseja criaruma lista com uma quantidade grande de valores. Por exemplo, a instrucao mostrada na figura 5.55corresponde a geracao da lista forma pelos valores de k

4, para k inteiro variando de 1 a 40. Entretanto,

uma animacao com quantidade muito grande de quadros pode tomar um tempo de processamento peloMaxima excessivamente prolongado.




Atividades

8. Para cada um dos ıtens a seguir, elabore uma atividade usando animacoes de famılias de graficosde funcoes dependendo de parametros, que seja adequada para as turmas em que voce leciona.Formule tambem uma sequencia didatica para aplicacao de cada uma das atividades que voce ela-borar em uma aula de 50 minutos. Especifique os objetivos, os conceitos matematicos exploradose de que maneiras esses conceitos podem ser explorados.




9. Discuta as vantagens e desvantagens do uso de animacoes produzidas com sistemas de compu-tacao algebrica para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em comparacao com abordagensconvencionais (isto e, sem o uso de recursos computacionais), e com graficos dinamicos produzidosem ambiente de geometria dinamica (como os apresentados na secao 4.3).





(d) Que vantagens e desvantagens o uso do sistema de computacao algebrica pode trazer paraa aprendizagem dos conceitos enfocados, em comparacao com abordagens com recursosconvencionais (isto e, sem o uso de recursos computacionais)?

(e) Quais dessas atividades poderiam ser adaptadas para o ensino medio?


5.3 Conceitos Fundamentais do Calculo Infinitesimal

Esta secao enfocara o uso de sistemas de computacao algebrica na abordagem dos conceitos fundamen-tais do calculo infinitesimal de funcoes reais de uma variavel real: limite, derivada e integral. Emborao calculo infinitesimal nao faca parte dos currıculos da maioria das escolas no Brasil, suas ideias estaointrinsecamente ligadas com a fundamentacao matematica de muitos topicos estudados no ensino me-dio, tais como numeros reais e funcoes. Portanto, o conhecimento dessas ideias e importante para aformacao do professor.

Alem disso, diversas colecoes de livros didaticos para o ensino medio tem trazido capıtulos de“introducao ao Calculo”, porem, em grande parte dos casos, estes apresentam apenas procedimentose regras para calculo de limites e derivadas. A incorporacao de recursos computacionais no ensinoabre novas possibilidades para a abordagem de calculo infinitesimal. Por exemplo, as ferramentassimbolicas disponıveis nos sistemas de computacao algebrica permitem que o foco da abordagem naofique tao centrado em procedimentos pesados de calculo, e seja mais direcionado para a interpretacao eanalise de propriedades qualitativas de resultados. Assim, recursos computacionais, desde que integradosem abordagens pedagogicas cuidadosamente planejadas e conduzidas, podem contribuir para que osconceitos do calculo infinitesimal sejam apresentados de forma mais acessıveis e, em certos casos,possibilitar a antecipacao de sua abordagem. O Maxima dispoe de ferramentas para calcular limites,derivadas e integrais numerica e simbolicamente, como veremos a seguir.

5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CALCULO INFINITESIMAL 163

Limites

O comando basico para calculo de limites e limit, que pode ser acessado no menu superior do wxMaxima,seguindo as opcoes Calculo e Encontrar limites. Este comando permite o calculo de limites globais(figura 5.56) e laterais (figura 5.58), por meio da selecao das opcoes disponıveis no campo Direcao.

Figura 5.56: Calculando limites com o wxMaxima.


Figura 5.58: Calculando limites laterais com o wxMaxima.


Tambem podem ser calculados limites no infinito (figura 5.59). Para isto, a opcao Infinito deve serselecionada no campo Especial. Podem ainda ser calculados limites de expressoes envolvendo constantes(figura 5.60). Neste caso, e importante indicar corretamente a variavel segundo a qual o limite deveser calculado.

Figura 5.59: Calculando limites no infinito com o wxMaxima.


Atividades

1. Considere as funcoes f1, f2 : R? → R, definidas por f1(x) =1

xe f2(x) =

1

x2. Use o Maxima

para calcular os limites limx→0

f1(x) e limx→0

f2(x). Compare os resultados dados pelo software. Agora,

calcule os limites laterais limx→0−

f1(x), limx→0+

f1(x), limx→0−

f2(x) e limx→0+

f2(x). Como voce interpreta

esses resultados?

2. Considere as funcoes g1, g2 : R? → R, definidas por g1(x) =x

|x| e g2(x) = sen

(1

x

). Use o

Maxima para calcular limx→0

g1(x) e limx→0

g2(x). Compare os resultados dados pelo software. Agora,

calcule limx→0−

g1(x), limx→0+

g1(x), limx→0−

g2(x) e limx→0+

g2(x). Como voce interpreta esses resultados?


3. Repita as atividades 8 a 11 da secao 3.3 (p. 54 a 55) usando um sistema de computacao algebrica.Procure usar os recursos do software para determinar os limites necessarios. Que vantagens edesvantagens pedagogicas voce ve no uso do sistema de computacao algebrica para realizar estasatividades?

Na atividade 1, todos os limites laterais sao infinitos. Porem, os limites laterais de f1 possuem sinais

opostos, enquanto que os de f2 tem o mesmo sinal. Assim, temos que limx→0

1

x2= +∞, que corresponde

a resposta dada pelo Maxima. Porem, nao podemos representar limx→0

1

xpelo sımbolo de infinito. Por

isso, o Maxima retorna o palavra Infinity ao calculo de limx→0

1

x, significando apenas que os limites laterais

sao infinitos.

Figura 5.61: Limites infinitos no wxMaxima.

Na atividade 2, ambos os limites propostos nao existem, porem com comportamentos distintos(figura 5.62). No caso da funcao g1, o limite global nao existe porque os limites laterais existem massao diferentes. Porem, no caso de g2 nem mesmo os limites laterais existem. Para apontar essa di-ferenca de comportamento, o Maxima retorna os termos: und, no caso em que o limite global naoexiste por que os limites laterais existem mas sao diferentes; e ind no caso em que o limite nao existepor outros motivos. Para entender melhor o comportando dessas funcoes, voce podera usar o propriosoftware para tracar seus graficos1 (figura 5.63). Observe que, por exemplo, que:

sen

(1

x

)= 0 ⇐⇒ x =

1

n π, n ∈ Z

sen

(1

x

)= 1 ⇐⇒ x =

1π2

+ n π, n ∈ Z

Portanto, existem sequencias de numeros reais positivos (an)n∈N e (bn)n∈N tais que lim an =lim bn = 0, mas lim g2(an) = 0 e lim g2(bn) = 1. Por isso, nao pode existir lim

x→0+g2(x). Analo-

gamente, nao pode existir limx→0+

g2(x). Na verdade, para cada α ∈ [0, 1], podemos construir uma

sequencia de numeros reais (positivos ou negativos) (xn)n∈N tal que lim xn = 0 e lim g2(xn) = α.

1Observe que o Maxima nao representa graficamente o fato de o ponto x = 0 nao pertencer ao domınio das funcoes.Este tipo de limitacao computacional ja foi amplamente discutida no capıtulo 3.


Figura 5.62: Limites inexistentes no wxMaxima.

Figura 5.63: Limites inexistentes no wxMaxima.


Derivadas

Para calcular derivadas, o comando basico do Maxima e diff. Esse comando tambem e acessıvel nomenu superior do wxMaxima, nas opcoes Calculo e Diferenciar, em que devem ser informadas a funcaoa ser derivada, a variavel de derivacao e a ordem da derivada (figura 5.64). Assim, este comandopermite tambem o calculo direto de derivadas de ordem superior (figura 5.65). Tambem podem sercalculadas derivadas de funcoes cujas expressoes envolvem constantes ou varias variaveis, o que, emparticular, permite o calculo de derivadas parciais (figura 5.66).

Figura 5.64: Calculando derivadas com o wxMaxima.




Atividades

4. Considere a funcao h : R→ R definida por h(x) = ||x| − 1|.

(a) Use o Maxima para calcular h′. Esta derivada esta definida para todos os valores de x?

(b) Trace os graficos de h e de h′.

Como voce interpreta esses resultados?

5. Considere a funcao p : R→ R definida por p(x) = x4 − 3 x2 − 2√

2 x + 2. Use o Maxima pararesponder as questoes a seguir.

(a) Defina a funcao derivada2 de p. Para isso, siga os passos mostrados na figura abaixo: vocedevera primeiro atribuir um nome a expressao simbolica de p′ gerada pelo software e, emseguida, usar o comando ev (que serve para atribuir valores numericos a uma expressaosimbolica) para definir a funcao com essa expressao.

(b) Determine todos os valores de x ∈ R em que a p′(x) = 0. Use o comando ratsimp parasimplificar as expressoes geradas pelo programa.

(c) Determine as equacoes das retas tangentes ao grafico de p no pontos (1, p(1)), (2, p(2)), eem todos os pontos em que a reta tangente e horizontal.

(d) Esboce os graficos de p e p′ na mesma janela grafica.

(e) Esboce o grafico de p e todas as retas tangentes obtidas no item 5c na mesma janela grafica.

6. Considere a funcao q : R \

0, 12

→ R definida por q(x) =

x2 − 4

2 x2 − x . Use o Maxima para

responder as questoes a seguir.

(a) Defina a funcao derivada de q.

(b) Calcule limx→+∞

q(x) e limx→−∞

q(x).

(c) Determine todos os pontos de maximo e de mınimo locais de q.

(d) Faca esbocos do grafico de p em janelas graficas em que seja possıvel visualizar esses pontosde maximo e de mınimo.

7. Em muitos casos nao e possıvel resolver analiticamente equacoes do tipo f(x) = 0, isto e, nao epossıvel encontrar os valores exatos das raızes da funcao f . Por exemplo, considere as equacoesdadas nas atividades 6 e 7 da secao 5.1 (p. 136). Nessas situacoes, so e possıvel procurardemonstrar a existencias das raızes e buscar valores aproximados para elas.

2Voce nao podera usar o sımbolo p′ para definir uma funcao, portanto escolha outro sımbolo, que envolva apenasletras e numeros, para representar a derivada de p.


Uma das principais formas de obter aproximacoespara raızes de funcoes e o chamado metodo deNewton, que consiste no seguinte. Seja f : ]a, b[⊂R → R uma funcao cujas raızes deseja-se aproxi-mar. Comecamos com um valor x0 e encontramos areta tangente ao grafico de f no ponto (x0, f(x0)).Tomamos o ponto x1, de intersecao entre essa retatangente e o eixo x. Aplicamos entao o mesmoprocedimento a x1, obtendo o ponto x2, de in-tersecao da reta tangente ao grafico de f no ponto(x1, f(x1)) com o eixo x.Assim, construımos uma sequencia (xn)n∈N tal quexn+1 e o ponto de intersecao da reta tangenteao grafico de f no ponto (xn, f(xn)) com o eixox. Como essa reta tem equacao dada por y =f ′(xn)(x − xn) + f(xn), entao a sequencia (xn)e definida recursivamente da seguinte forma:

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn)

x

y

E possıvel mostrar que, se f tem uma raiz no intervalo ]a, b[ , e duas vezes diferenciavel com f ′′

contınua, e f ′ nao se anula, entao e possıvel escolher um valor inicial x0 para o qual a sequenciadefinida pelo metodo de Newton convirja para uma raiz de f (ver, por exemplo [48, 52]).

(a) Elabore um procedimento para aplicar o metodo de Newton no Maxima.

(b) Considere a funcao polinomial f : R→ R, f(x) = x5 + x3 + 1. Como f e de grau ımpar ef ′(x) = 5 x4 + 3 x2 > 0 ∀ x ∈ R, podemos concluir que f tem uma unica raiz real. Tenteusar o comando solve para resolver a equacao f(x) = 0 simbolicamente. Aplique o metodode Newton para encontrar uma aproximacao para essa raiz. Compare o resultado com ocomando find root, que serve resolver equacoes numericamente.

8. O objetivo desta atividade e usar o Maxima para explorar o comportamento local de uma funcaodiferenciavel f proximo a um ponto x0 de seu domınio, comparando a relacao entre o grafico def e a sua reta tangente em (x0, f(x0)) com a relacao entre o grafico e outras retas que passampor (x0, f(x0)) mas nao sao tangentes.

Em primeiro lugar, voce devera escolher: uma funcao diferenciavel f ; um ponto x0 no domıniode f ; um valor a ∈ R (que sera a inclinacao de uma reta passando pelo ponto (x0, f(x0))). Estareta tera, portanto, a seguinte equacao: r(x) = m (x− x0) + f(x0) .

No exemplo a seguir, foram escolhidos f(x) = x2, x0 = 1 e a = 2 (que e corresponde a f ′(x0)).


Agora, digite no Maxima a seguinte rotina3, que chamaremos de aproximacao linear:

O valor de h na primeira linha da rotina representa o variacao h = ∆x = x − x0. Voce poderaalterar livremente este valor, e acionar novamente a rotina. O software dara entao o seguinteretorno:

• o valor de h;

• a diferenca ρ(h) entre os valores de f e de r em x = x0 + k:

ρ(h) = f(x0 + h)− r(x0 + h) = f(x0 + h)− f(x0)− a h ;

• a razao ρ entre a diferenca acima e h:

α(h) =ρ(h)

h=f(x0 + h)− r(x0 + h)

h

=f(x0 + h)− f(x0)− a h

h=f(x0 + h)− f(x0)

h− a ;

• uma figura exibindo: os graficos de f (em azul) e de r (em lilas) no intervalo [x0−h, x0 +h];juntamente com um segmento de reta horizontal (em vermelho), cujo comprimento e |h|;um segmento de reta vertical (em vermelho), que liga esses dois graficos na extremidadesuperior do intervalo, e, portanto, cujo comprimento e igual a |ρ(h)|.

3As definicoes de y1, y2, xrange e yrange visam apenas ajustar o tamanho da janela grafica para melhor visualizacao.Portanto, nao constituem parte conceitual importante da atividade.


(a) Mantendo a = 2, acione a rotina aproximacao linear para h = 0, 1 e em seguida para

h = 0, 01. Explique os comportamentos de ρ(h), deρ(h)

he dos graficos.

(b) Agora, altere o valor de a para a = 2, 5. Acione a rotina aproximacao linear para h = 1, para

h = 0, 1 e para h = 0, 01. Explique os comportamentos de ρ(h), deρ(h)

he dos graficos.

A atividade 4 ilustra mais um exemplo de limitacoes do software, que geram resultados aparente-mente contraditorios. Observe o grafico da funcao h na figura 5.67. E claro que a derivada de h e afuncao h′ : R \ −1, 0, 1 → R dada por:

−1 se x < −1 ou 0 < x < 11 se −1 < x < 0 ou x > 1

Figura 5.67: O grafico de f(x) = ||x| − 1| no wxMaxima.

Entretanto, quando h′ e calculada simbolicamente no Maxima, nao sao considerados os pontos emque h nao e diferenciavel (figura 5.68). Observe que, de fato, a resposta do software coincide comh′(x) para os valores de x em que h′ esta definida.

Figura 5.68: Calculando derivadas no wxMaxima.

Alem disso, ao gerar o grafico do h′, o software liga indevidamente os pontos em que h′ naoesta definida (figura 5.67), gerando um grafico que nao pode representar uma funcao real. Erroscomputacionais deste tipo ja foram abordados no capıtulo 3 (ver atividade 1 da secao 3.3, p. 49).


Figura 5.69: O grafico da derivada de f(x) = ||x| − 1| no wxMaxima.

As atividades 5 e 6 visam a familiarizacao com algumas das ferramentas do Maxima que podemajudar a estudar o comportamento grafico de funcoes. Na atividade 5, e necessario simplificar as raızesda equacao p′(x) = 0 determinadas pelo software, para perceber que ambas sao reais.

Figura 5.70: Explorando derivadas no wxMaxima.

O exercıcio de analisar o grafico de uma funcao com a de sua derivada, tracados em uma mesmajanela grafica, pode ajudar na exploracao das relacoes entre as propriedades graficas da funcao e daderivada. Por exemplo, figura 5.71, podemos observar as propriedades nos graficos de h (em azul) e h′

(em vermelho):

• Nos pontos x em p′(x) = 0, no caso, x1 = −√

22

e x2 =√

2, a reta tangente ao grafico de p ehorizontal.

• Nos intervalos em p′(x) > 0, p e crescente.

• Nos intervalos em p′(x) < 0, p e decrescente.

• Analisando a primeira raiz de p′, x1 = −√

22, observamos que e possıvel encontrar um raio δ1 > 0

tal que p′(x) < 0 para x1 − δ1 < x < x1 e tambem para x1 < x < x1 + δ1. Logo, concluımosque p e decrescente em ]x1 − δ1, x1[ e tambem em ]x1, x1 − δ1[ e, portanto, que (x1, f(x1)) eponto de inflexao de p.

• Analisando a segunda raiz de p′, x2 =√

2, e possıvel encontrar um raio δ2 > 0 tal que p′(x) < 0para x2− δ2 < x < x2 e p′(x) > 0 para x2 < x < x2 + δ2. Logo, concluımos que p e decrescenteem ]x2 − δ2, x2[ e crescente em ]x2, x2 − δ2[ e, portanto, que (x2, f(x2)) e mınimo local de p.


Da analise acima, concluımos que p e decrescente em ]−∞, x2[ e crescente em ]x2,+∞[ , e que(x2, f(x2)) e, de fato, um ponto de mınimo absoluto de p.

Figura 5.71: Explorando derivadas e graficos no wxMaxima.

Para obter as equacoes das retas tangentes ao grafico de p (figura 5.72), nos pontos x0 em quep′(x0) 6= 0, no caso x3 = 1 e x4 = 2, fazemos y = p′(x0) (x − x0) + f(x0). Nos pontos x0 em que

p′(x0) = 0, no caso x1 = −√

22

e x2 =√

2, basta fazer y = f(x0). Finalmente, geramos o grafico de pcom as retas tangentes obtidas (figura 5.73).

Figura 5.72: Explorando derivadas no wxMaxima.


Figura 5.73: Explorando derivadas e graficos no wxMaxima.

Na atividade 6, verificamos que a derivada de q tem duas raızes, x1 = 8− 2√

15 e x2 = 8 + 2√

15,e, pelo teste da derivada segunda, concluımos que (x1, q(x1)) e um ponto de mınimo local e (x1, q(x1))e um ponto de maximo local (figura 5.74).

Figura 5.74: Calculando extremos locais no wxMaxima.


Entretanto, se esbocamos o grafico em uma janela grafica “convencional”, como nao por exemploa da figura 5.75, nao conseguimos visualizar esses pontos de maximo e de mınimo.

Figura 5.75: O grafico de q(x) =x2 − 4

2 x2 − x na janela grafica −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5.

Para buscar janelas graficas nas quais seja possıvel visualizar os pontos de maximo e de mınimo,devemos calcular os valores de suas coordenadas (figura 5.77). Verificamos que x1 e proximo de 0, masq(x1) e relativamente grande (proximo de 30); e que x2 e relativamente grande (proximo de 15), masmas q(x2) e proximo de 1

2. Por isso, esses pontos ficaram fora da janela da figura 5.75. Para obter

uma janela grafica adequada para a visualizacao de (x1, q(x1)), deve-se escolher valores proximos dex1 na horizontal e q(x1), como por exemplo 0 ≤ x ≤ 0, 5, 30 ≤ y ≤ 35 (figura 5.77, a esquerda).Como q(x2) ∼= 1

2e y = 1

2e uma assıntota horizontal de q, a variacao da funcao q na regiao proxima a

x2 e muito sutil. Portanto, para que seja possıvel perceber visualmente essa variacao, deve-se escolherum intervalo horizontal extenso e um intervalo vertical muito proximo de q(x2), como por exemplo5 ≤ x ≤ 25, 0, 5 ≤ y ≤ 0, 51 (figura 5.77, a direita).

Figura 5.76: Calculando extremos locais no wxMaxima.


Figura 5.77: O grafico de q(x) =x2 − 4

2 x2 − x nas janelas graficas 0 ≤ x ≤ 0, 5, 30 ≤ y ≤ 35 e

5 ≤ x ≤ 25, 0, 5 ≤ y ≤ 0, 51.

Na atividade 7, verificamos que nao e possıvel resolver a equacao f(x) = 0 analiticamente no

Maxima (figura 5.78). Introduzimos no software a formula do metodo de Newton: N(x) = x− f(x)

f ′(x)(figura 5.79). Escrevemos uma instrucao para aplicar a formula a um valor x0 escolhido, obtendox1 = N(x0), e atualizamos o valor de x0, com o valor de x1 obtido. Acionado essa instrucao sucessivas,os valores obtidos aproximacao de raiz de f . Depois de algumas iteracoes, verificamos que o aproximacaoobtida para a raiz coincide com o valor dado pelo comando find root do Maxima (figura 5.80).

Figura 5.78: Uma equacao que nao pode ser resolvida analiticamente no wxMaxima.

Figura 5.79: Aplicando o metodo de Newton no wxMaxima.

Figura 5.80: Resolvendo uma equacao numericamente no wxMaxima.


Atividade 8 explora uma interpretacao para a definicao de derivada dinamicamente. Como sabemos,f : D ⊂ R→ R e diferenciavel em x0 ∈ D se existe o limite:

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h. (5.2)

O valor deste limite e chamado de derivada de f em x0 e denotado por f ′(x0). Uma formaequivalente de enunciar esta definicao e afirmar que f e diferenciavel em x0 se existe a ∈ R tal que:

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)− a hh

= 0 . (5.3)

Neste caso, temos a = f ′(x0). A equacao da reta tangente ao grafico de f no ponto (x0, f(x0))sera entao r(x) = a (x − x0) + f(x0). Fixado x0, o denominador da expressao 5.3, dado por ρ(h) =f(x0 + h)− f(x0)− a h, e chamado de resto. Assim, o resto corresponde a diferenca entre os valoresde f e da reta r em x = x0 + h.

Se tomamos agora um numero real qualquer a 6= f ′(x0), entao r(x) = a (x−x0)+f(x0) representauma reta que intercepta o grafico de f em (x0, f(x0)), mas nao e tangente ao grafico nesse ponto.Neste caso, temos que:

limh→0

ρ(h) = 0 , mas limh→0

ρ(h)

h6= 0 .

Por outro lado, se a = f ′(x0), a definicao de derivada afirma que:

limh→0

ρ(h) = limh→0

ρ(h)

h= 0 .

Desta forma, podemos dizer que qualquer reta que intercepta o grafico de f em (x0, f(x0)) aproximaa funcao nesse ponto, nos sentido em que ρ(h) tende a zero. Porem, dentre todas as retas queinterceptam o grafico de f em (x0, f(x0)), aquela cuja inclinacao e a = f ′(x0) (isto e, a reta tangente)

e a unica para a qualρ(h)

htambem tende a zero – ou seja, o resto tende a zero mesmo quando

comparado com h. Em outras palavras, limh→0

ρ(h)

h= 0 significa que, para valores pequenos de h, o resto

ρ(h) fica muito menor que h. Neste sentido, a reta tangente e a melhor aproximacao linear local paraf em (x0, f(x0)).

A rotina aproximacao linear, proposta na atividade 8, visa explorar esta interpretacao de derivada,articulando representacoes numericas e graficas de forma dinamica. Para este fim, a rotina exibe os

valores numericos de h, do resto ρ(h) e da razao α(h) =ρ(h)

h; juntamente com a os graficos de f

e da reta de equacao r(x) = a (x − x0) + f(x0), em que sao destacados um segmento vertical cujocomprimento e |ρ(h)| e um segmento horizontal cujo comprimento e |h|. Este segmento de tamanhoh determina o tamanho da janela grafica, uma vez sua dimensao horizontal e dada pelo segmento[ x0−h, x0 +h ]. Desta forma, e possıvel observar os valores ρ(h) e de h, numerica e geometricamente,e comparar seu comportamento quando h se aproxima de 0, ao mesmo tempo que se observa a relacaoentre o grafico de f e a reta r.

De fato, no caso em que a = f ′(x0) (figura 5.81), quando aproximamos os valores de h de 0,

podemos observar os valores de ρ(h) e de α(h) =ρ(h)

hse aproximando de 0. Ao mesmo tempo,

verificamos que o segmento vertical de comprimento |ρ(h)| deixar ser visıvel – pois este fica muitomenor que |h| (que determina o tamanho da janela grafica). Portanto, o grafico de f tende a seconfundir com a reta r.


Figura 5.81: Comportamento local de uma funcao diferenciavel e sua reta tangente.

Por outro lado, se a 6= f ′(x0) (figura 5.82), quando aproximamos os valores de h de 0, observamos

que os valores de ρ(h) se aproximando de 0, mas os de α(h) =ρ(h)

hnao. Verificamos que o segmento

vertical de comprimento |ρ(h)| e sempre visıvel e o grafico de f sempre pode ser distinguido da reta r.

Figura 5.82: Comportamento local de uma funcao diferenciavel e uma reta nao tangente.

E importante observar que o sistema de computacao algebrica desempenha um papel central nestaatividade, pois as representacoes numericas e graficas nao poderiam ser articuladas desta maneiraapenas com recursos didaticos nao computacionais.

Integrais

Nesta secao, nao nos aprofundaremos muito no calculo de integrais com o Maxima. Serao propostasapenas algumas atividades visando a familiarizacao com o uso do comando basico integrate, por meiode situacoes em que este e usado de forma integrada com outras ferramentas do software, apresentadasanteriormente neste capıtulo.

O comando integrate tambem pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, nas opcoesCalculo e Integrar, em que devem ser informadas a funcao integrando e a variavel de integracao. Estecomando permite o calculo de integrais indefinidas (figura 5.83) e definidas (figura 5.84). No casode integrais definidas, o Maxima retornara uma funcao primitiva da funcao integrando. Para calcularintegrais indefinidas, e necessario escolher esta opcao no menu e informar os limites de integracao.

Tambem e possıvel digitar o comando integrate diretamente, sem usar o menu. Neste caso, paracalcular uma integral definida, basta incluir os limites de integracao (de acordo com a sintaxe mostradana figura 5.84). Se os limites de integracao forem omitidas, o software interpretara a instrucao comouma integral indefinida.

Com o comando integrate e possıvel ainda calcular integrais improprias. Os limites de integracaoinfinitos podem ser selecionados na opcao Especial. Se a integral for divergente, o Maxima retornarauma mensagem com esta informacao (figura 5.85). Se a integral for convergente, o software retornarao seu valor (figura 5.86).


Figura 5.83: Calculando integrais indefinidas com o wxMaxima.

Figura 5.84: Calculando integrais definidas com o wxMaxima.

Figura 5.85: Calculando integrais improprias com o wxMaxima.

Figura 5.86: Calculando integrais improprias com o wxMaxima.


Atividades

9. Use o Maxima para calcular a integral indefinida:

∫xndx .

(a) O Maxima retornara esta solicitacao perguntando se n+ 1 e zero ou diferente de zero:

Por que voce acha que o software retorna esta pergunta?

(b) Voce podera responder a pergunta do Maxima na mesma linha de comando:

Explique o resultado dodo pelo software.

10. (a) Para cada n ∈ N, considere An a regiao limitada entre a curva y = xn e o eixo x, para0 6 x 6 1. Seja an a area de An:

an =

∫ 1

0

xn dx .

Determine limn→+∞

an. Interprete geometricamente este resultado.

(b) Para cada n ∈ N, considere tn ∈ ]0, 1[ tal que:

∫ t

0

xn dx =1

2an . Isto e, x = tn e a

reta vertical que divide An em duas regioes de igual area. Determine limn→+∞

tn. Interprete

geometricamente este resultado.

(c) Faca uma animacao para representar a famılia de curvas y = xn, quando n cresce.

11. A figura ao lado representa uma regiao plana P, de base b a alturah, delimitada por um arco de parabola e um segmento de retaperpendicular ao seu eixo de simetria.

(a) Determine uma formula para a area de P, em funcao de b eh.

(b) Determine uma formula para o volume do solido Q, geradopela rotacao de P em torno de seu eixo de simetria, em funcaode b e h. b

h

(c) Supondo que b+h = k, sendo k e uma constante real, determine a relacao entre b e h paraque a area de P seja o maior possıvel.

(d) Ainda supondo b + h = k, determine a relacao entre b e h para que o volume de Q seja omaior possıvel.


As perguntas feitas pelo software, como a exemplificada na atividade 9, visam estabelecer propri-edades dos dados que podem alterar a forma do resultado. Na atividade 10, tambem sera necessarioresponder algumas perguntas dessa natureza. Nesta atividade, usar o comando integrate para deter-

minar que an =1

n+ 1(figura 5.87). Portanto, lim

n→+∞an = 0.

Figura 5.87: Resolvendo problemas de integracao com o wxMaxima.

Em seguida, encontramos a area delimitada entre y = xn e o eixo x, para 0 6 x 6 t, que e

dada por

∫ t

0

xn dx =tn+1

n+ 1(figura 5.88). Entao, o numero tn procurado sera solucao da equacao

tn+1 =1

2 (n+ 1). Logo, tn = 2−

1

n+1 . Portanto, limn→+∞

tn = 1. Isto significa que, quando n cresce,

a area an tende a ficar mais concentrada na extremidade superior do intervalo [ 0, 1 ]. A animacaoproposta no item 10c pode ajudar a entender melhor este comportamento.


Na atividade 11, primeiro representamos o arco de parabola que delimita P como grafico de umafuncao f do segundo grau. Como P deve ter base b e altura h, podemos buscar f de tal forma quef(− b

2

)= f

(b2

)= 0 e f(0) = h. Entao, obtemos (figura 5.89):

f(x) =4 h

b2

(b2

4− x2

)


Conhecida a funcao f , podemos obter por integracao as formulas de S, a area de P, e V , o volumede V (figura 5.89):

S =2

3b h V =

π

8b2 h

O volume V foi obtido pela formula de volume solidos de revolucao: 2 π

∫ x2

x1

x f(x) dx.


Estabelecendo a restricao h = k − b, podemos definir a funcao s : [0, k] → R, que a cada valor bassocia o valor correspondente da area de P (figura 5.90):

s(b) =2

3b (k − b) =

2

3(k b− b2) .

Determinamos a derivada de s e resolvemos a equacao s′(x) = 0, obtendo b = 12k como solucao.

Portanto, a regiao de maior area possıvel e aquela tal que b = h.


Analogamente, definimos a funcao v : [0, k]→ R, que a cada valor b associa o valor correspondenteda volume de Q (figura 5.91):

v(b) =π

8b2 (k − b) =

π

8(k b2 − b3) .

Determinamos a derivada de V e resolvemos a equacao v ′(x) = 0, obtendo b = 23k como solucao.

Portanto, devemos ter h = 13k. Logo, a regiao que determina o solido de maior volume possıvel e

aquela tal que b = 2 h.



E claro que muitos dos calculos feitos nas atividades 9, 10 e 11 sao relativamente simples e naodemandariam o uso do software. Entretanto, o objetivo e empregar essas situacoes para ilustrar comoe possıvel integrar as diversas ferramentas do sistema de computacao algebrica apresentadas nestecapıtulo no encadeamento da resolucao de um problema.

Polinomios de Taylor

Encerraremos esta secao apresentando animacoes para gerar graficos de polinomios de Taylor apro-ximando funcoes reais. Como sabemos, dada uma funcao f : D ⊂ R → R, k vezes diferenciavel,definimos o polinomio de Taylor de ordem n de f em torno de um ponto x0 ∈ D como (ver, porexemplo [48, 52]):

pn(x) =n∑

k=0

f (n)(x0)

k!(x− x0)k .

Conceitualmente, o polinomio de Taylor de ordem n de f em torno de x0 e, dentre todos ospolinomios de grau menor ou igual a n, aquele que melhor aproxima o grafico de f na vizinhanca dex0. Alem disso, quanto maior for a ordem do polinomio, melhor sera a aproximacao. Por exemplo, opolinomio de Taylor de ordem 5 de f(x) = sen (x) em torno de x0 = 0 e dado por:

p5(x) = x− x3

6+

x5

120.

Como todas as derivadas de ordem par de f(x) = sen (x) em x0 = 0 se anulam, entao todos ospolinomios de Taylor de f em torno de x0 = 0 so apresentam termos de grau ımpar.

No Maxima, o comando taylor permite calcular polinomios de Taylor. Para isso, devem ser infor-mados, nesta ordem: a funcao; o ponto em torno do qual de deseja determinar o polinomio de Taylor;e a ordem do polinomio (figura 5.92).

Figura 5.92: Determinando polinomios de Taylor com o wxMaxima.

Com o Maxima, podemos construir animacoes para ilustrar graficamente a propriedade de que,quanto maior a ordem do polinomio de Taylor melhor sera a aproximacao da funcao. Para isso, devemos


usar o comando with slider (ver p. 161). Segundo a sintaxe do comando, devem ser informados, nestaordem: o parametro da animacao; os valores desse parametro; a famılia de funcoes dependendo desseparametro; e a janela grafica. Pode-se ainda usar o comando makelist para a gerar uma lista com osvalores do parametro.

Como exemplo, construiremos uma animacao para os polinomios de Taylor de f(x) = sen (x) emtorno de x0 = 0. Neste caso, a famılia de funcoes e formada pelos polinomios de Taylor, e o parametroe a ordem do polinomio. Portanto, so interessam os polinomios de ordem ımpar. Devemos gerar entaouma lista com numeros ımpares. Por exemplo, podemos gerar uma lista com os 11 primeiros numerosımpares (figura 5.93). Com esta lista, criaremos uma animacao com os polinomios de Taylor de ordens1 a 21. Usamos entao a lista gerada para criar a animacao com o comando with slider (figura 5.94).A figura 5.95 mostra os tres primeiros quadros desta animacao.




Para ilustrar mais claramente a aproximacao, podemos ainda representar os graficos dos polinomiosjuntamente com o grafico da funcao na animacao construıda (figuras 5.96 e 5.97).



5.4. EXPLORACOES ARITMETICAS 185

Atividades

12. Use o Maxima para construir animacoes para os polinomios de Taylor de:

(a) f(x) = cos x, em torno de x0 = 0.

(b) f(x) = ex, em torno de x0 = 0.

(c) f(x) = ln x, em torno de x0 = 1.








5.4 Exploracoes Aritmeticas

Conceitos como os de multiplo, divisor, numero primo, decomposicao em fatores primos, e as ideiasrelacionadas, estao entre os principais topicos abordados na aritmetica do ensino basico. E interessantesaber que conceitos tao elementares como esses podem dar origem a problemas com solucoes matemati-camente sofisticadas, incluindo ate mesmo problemas que permanecem em aberto, isto e, cujas solucoesainda nao sao conhecidas. Alguns desses problemas foram propostos ha varios seculos e apresentamenunciados simples, que sao acessıveis mesmo para alunos do ensino medio. Por outro lado, questoes en-volvendo divisibilidade e numeros primos despertam grande interesse na pesquisa matematica de pontaate os dias de hoje, pois possuem muitas aplicacoes importantes, especialmente na area de codigos ecriptografia (ver, por exemplo [24]). Assim, e possıvel estabelecer uma conexao entre Matematica ele-mentar e Matematica superior: mesmo problemas com enunciados simples, envolvendo apenasconceitos basicos que aprendemos na escola, podem ser de grande relevancia em Matematicasuperior, e levar a solucoes que demandam ferramentas matematicas avancadas.

Os sistemas de computacao algebrica permitem abordar esses problemas historicos por meio de umaperspectiva computacional, realizando alguns dos calculos pesados envolvidos e permitindo que os alunosexplorem propriedades qualitativas dos resultados. Nesta secao, utilizaremos o Maxima para realizarexploracoes aritmeticas com numeros de Fermat, primos de Mersenne e uma certa funcao aritmeticaenvolvendo numeros perfeitos (ver, por exemplo [38]). Aproveitaremos para apresentar algumas novasferramentas do Maxima.

Os Primos de Fermat e de Mersenne

Iniciamos com os numeros de Fermat, que sao obtidos a partir de um numero natural n > 0 pelaoperacao aritmetica:

Fn = 22n + 1 . (5.4)

Os primeiros quatro numeros de Fermat, obtidos a partir de n = 1, 2, 3, 4, sao:


F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537.

Em 1640, o matematico Pierre de Fermat observou que esses primeiros quatro numeros eram primose conjecturou que todos os outros numeros dados pela expressao 5.4 tambem seriam primos. Entretanto,verificar a primalidade de um numero n ∈ N grande (isto e, verificar se n e ou nao primo) pode seruma tarefa bastante difıcil, pois envolve testar a divisibilidade de n por todos os primos p 6

√n.

Supondo que todos esses numeros primos sejam conhecidos, cada uma dessas verificacoes envolve umagrande quantidade de calculos aritmeticos elementares. Na epoca de Fermat, as ferramentas disponıveis(basicamente, papel e lapis) nao possibilitavam fazer tantos calculos.

Hoje, com o auxılio de computadores, e possıvel constatar rapidamente que Fermat nao estavacorreto em sua conjectura. Por exemplo, com o Maxima (figura 5.98), verificamos que o setimo nume-ro de Fermat

F7 = 340282366920938463463374607431768211457 ,

que possui 39 algarismos, nao e primo, pois e composto pelo produto dos primos:

F7 = 59649589127497217× 5704689200685129054721 . (5.5)

Figura 5.98: Explorando os numeros de Fermat o wxMaxima.

Na tela mostrada na figura 5.98, empregamos os comandos do Maxima: slength, para determinar aquantidade de algarismos de um numero; primep para verificar a primalidade de um numero; divisorspara determinar todos os divisores de um numero. Assim, foi possıvel verificar que o numero de


Fermat F7 nao e primo, que possui dois fatores primos e que, portanto, a expressao 5.5 corresponde adecomposicao em fatores primos desse numero.

Entretanto, quando lidamos com numeros ainda maiores, a verificacao da primalidade pode serdifıcil, mesmo com o auxılio dos computadores mais poderosos de que dispomos no momento. Assim,nao conhecemos hoje nenhum outro primo de Fermat alem dos que ja eram conhecidos em 1640, enem mesmo sabemos se a quantidade desses primos e finita ou infinita. Tais questoes permanecem emaberto.

O desafio de saber a quantidade de certos numeros especiais tambem ocorre com os chamadosprimos de Mersenne, obtidos a partir de um numero primo p pela operacao aritmetica

Mp = 2p − 1 . (5.6)

Nem todos os numerosMp = 2p−1, com primo p, sao primos. Executando um sistema de computa-cao algebrica em um microcomputador comum (figura 5.99), nao e preciso esperar nem um minuto paratestar a primalidade dos numeros de Mersenne Mp = 2p − 1 correspondentes aos primeiros duzentosprimos p, e listar os catorze primos de Mersenne encontrados.

Figura 5.99: Explorando os numeros de Mersenne o wxMaxima.

Na tela mostrada na figura 5.99, utilizamos os comandos for, while e do, que servem para executaruma instrucao (especificada entre parenteses) enquanto uma condicao dada for verdadeira. Neste caso,iniciamos definindo p = 1 e criando uma lista vazia. Em seguida, comecamos a incrementar o contadori, de uma em uma unidade, e, a cada passo, executamos a seguinte instrucao:

• determinados o numero primo p seguinte, por meio do comando next prime;

• calculamos o numero de Fermat correspondente a p, fazendo Mp = 2p − 1;

• verificamos se Mp e primo, por meio da instrucao primep, e, em caso afirmativo, incluımos p nalista.


Por exemplo, quando i = 1, determinados o numero primo seguinte ao valor inicial p = 1, que ep = 2, calculamos M2 = 22 − 1 = 3 e verificamos se M2 e primo. Como M2 e primo, incluımos p = 2na lista. Em seguida, determinamos o proximo numero primo, que e p = 3, e repetimos a instrucao.Executamos essa instrucao ate que o valor do contador i seja igual a 200. Ao final desse processo,teremos produzido uma lista com os numeros p, dentre os 200 numeros primos, tais que o numero deMeresenne Mp = 2p − 1 correspondente e primo. Verificamos ainda que o decimo quarto primo deMersenne,

M607 = 531137992816767098689588206552468627329593117727031923199444138200403559860852242739162502265229285668889329486246501015346579337652707239409519978766587351943831270835393219031728127

possui 183 algarismos.Ate dezembro de 2001 eram conhecidos apenas trinta e nove primos de Mersenne. Hoje, apos

quase dez anos de computacao ininterrupta em poderosos supercomputadores, o grupo GIMPS (GreatInternet Mersenne Prime Search) de busca de primos de Mersenne conseguiu aumentar essa quantidadeem apenas oito novos numeros, sendo que o ultimo deles, M43112609, possui mais de doze milhoes dealgarismos.

Atividades

1. Utilize o Maxima para verificar que o quinto e o sexto numeros de Fermat nao sao primos eencontre a lista de seus divisores.

2. Utilize o Maxima para verificar que nao existem primos de Mersenne com 608 < p < 1278.

3. Utilize o Maxima para verificar que p = 1279 e um numero primo, gerador do primo de MersenneM1279, com 386 algarismos.

Numeros Perfeitos

Os sistemas de computacao algebrica tambem podem ser utilizados na exploracao de algumas funcoesaritmeticas interessantes envolvendo a funcao σ(n), que calcula a soma de todos os divisores positivosde um numero natural n. Dentre estas esta uma funcao f que subtrai de cada numero natural n asoma de seus divisores positivos proprios (isto e, diferentes de 0 e do proprio n). Assim, esta funcaopode ser calculada da seguinte forma:

f : N∗ → Z , n 7→ f(n) = n− [σ(n)− n] = 2n− σ(n)

De certa forma, a funcao f compara um numero natural n com a soma de seus divisores proprios.Por exemplo:

f(1) = 1 = 1− [0] = 1f(6) = 6− [1 + 2 + 3] = 0f(24) = 24− [1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12] = −12f(111) = 111− [1 + 3 + 37] = 70

Entao, os elementos do conjunto dos zeros da funcao f ,

f−1(0) = n ∈ N∗ | f(n) = 0 = 6, 28, 496, 8128, 33550336, . . .


sao os numeros naturais n com a seguinte propriedade: n e igual a soma de seus divisores proprios. Essesnumeros fascinaram os gregos antigos a ponto de serem chamados de numeros perfeitos. Atualmente, oselementos conhecidos desse conjunto sao todos pares e estao relacionados com os primos de Mersennepor meio de um teorema devido parte a Euclides e parte a Euler (para a prova, veja por exemplo [38]):

Teorema 5.1 Um numero natural n e um numero perfeito par se, e somente se, n = 2p−1Mp, ondeMp e um primo de Mersenne.

O comando divsum do Maxima calcula σ(n), para n ∈ N∗ (figura 5.100). O Maxima permitetambem criar uma lista com os pares ordenados (n, f(n)) e utilizar essa lista para gerar o grafico dafuncao f . A figura 5.101 mostra esse grafico restrito ao retangulo de visualizacao 0 < n < 10000 e−100 < f(n) < 100.

Figura 5.100: Explorando a funcao f(n) = 2n− σ(n) no wxMaxima.

Figura 5.101: O grafico da funcao f(n) = 2n− σ(n).


A dispersao dos pontos (n, f(n)) do grafico da funcao f e um verdadeiro convite a Matematica.Observe essa dispersao na figura 5.101. Muitos pontos do grafico de f se apresentam alinhados. Porque?

Para entender porque muitos pontos do grafico de f se apresentam alinhados, vamos explorarinicialmente os alinhamentos horizontais. O caso mais evidente, logo abaixo do eixo x, corresponde aosnaturais n para os quais f(n) = −12. Com o auxılio do Maxima (figura 5.102) podemos rapidamentelistar esses numeros e obter

f−1(−12) = n : f(n) = −12 = 24, 30, 42, 54, 66, 78, 102, 114, 138, 174, . . . .

Figura 5.102: Explorando o alinhamento f(n) = −12.

Observando a decomposicao em fatores primos dos naturais n para os quais f(n) = −12, temos aseguinte proposicao:

Proposicao 5.1 Se n = 6p com p primo distinto de 2 e 3, entao f(n) = −12.

Demonstracao: Como p e um primo distinto de 2 e 3 segue que 6 e p nao possuem divisores comunsalem do 1. Logo, os divisores de n = 6p sao 1, 2, 3, 6, p, 2p, 3p e 6p. A soma desses divisores eσ(n) = 12 + 12p e f(n) = 2n− σ(n) = 12p− (12 + 12p) = −12.

O segundo caso de alinhamento horizontal na figura 5.101 corresponde aos naturais n para os quaisf(n) = −56. Para este caso temos a seguinte proposicao, cuja demonstracao sera deixada comoexercıcio.

Proposicao 5.2 Se n = 28p com p primo distinto de 2 e 7, entao f(n) = −56.


Observe que, nas duas proposicoes anteriores, aparecem os dois primeiros numeros perfeitos, 6 e28. A generalizacao para os demais numeros perfeitos se da na proposicao a seguir, cuja demonstracaotambem sera deixada como exercıcio.

Proposicao 5.3 Se K e um numero perfeito e se n = Kp com p primo nao divisor de K, entaof(n) = −2K.

Passemos agora a proposicoes que justificam os alinhamentos oblıquos da figura 5.101 e tambemfornecem uma interpretacao geometrica para a raridade dos numeros perfeitos pares. Essas proposicoesenvolvem uma famılia de retas rk indexadas em k = 0, 1, 2, . . ., com inclinacoes mk = 2−k e intercep-tando o eixo vertical em bk = −

(2k+1 − 1

)(figura 5.103).

Figura 5.103: A famılia de retas rk :1

2kx−

(2k+1 − 1

).

Proposicao 5.4 Para todo k = 0, 1, 2, . . . fixo, os pontos (n, f(n)) de abscissas n = 2kp para p primodistinto de 2 pertencem a reta rk.

Demonstracao: Seja k um inteiro positivo fixo e seja n = 2kp com p primo distinto de 2. Os divisoresde n sao 1, 2, 22,. . ., 2k, p, 2p, 22p,. . . e 2kp. A soma desses divisores e:

σ(n) =(1 + 2 + 22 + · · ·+ 2k

)(1 + p) =

(2k+1 − 1

)(1 + p) .

Assim:

f(n) = 2n− σ(n) = 2(2kp)−(2k+1 − 1

)(1 + p)

= 2k+1p−(2k+1 − 1

)(1 + p) = −2k+1 + 1 + p

= p−(2k+1 − 1

)= 2−k · 2kp−

(2k+1 − 1

)

= 2−k · n−(2k+1 − 1

)


Observe que as retas rk cortam o eixo horizontal quando 0 = 2−kx−(2k+1 − 1

), ou seja, quando

x = 2k(2k+1 − 1

). Em consequencia do Teorema 1, temos a seguinte proposicao.

Proposicao 5.5 Todo numero perfeito par e o zero de alguma reta rk.

Atividades

4. Explique porque a reta y = x limita superiormente o grafico de f(n) = 2n − σ(n). Ou seja,explique porque nenhum ponto (n, f(n)) se encontra acima da reta y = x.

5. Utilize o Maxima para explorar e fazer conjecturas sobre a existencia de uma reta y = −mx(m > 0) que limita inferiormente o grafico de f(n) = 2n− σ(n).

6. Utilize o Maxima para explorar o conjunto f−1(−56) = n | f(n) = −56.

7. Utilize o Maxima para explorar o conjunto f−1(1) = n | f(n) = 1.

8. Demonstre a Proposicao 5.2. A recıproca dessa proposicao e verdadeira?

9. Demonstre a Proposicao 5.3.

10. Demonstre a Proposicao 5.5. A recıproca dessa proposicao e verdadeira?

11. Enuncie e demonstre uma proposicao envolvendo os elementos do conjunto:

f−1(1) = n | f(n) = 1 .

12. Utilize um CAS para tentar encontrar algum natural n tal que f(n) = 3.








Atencao: Se voce encontrar uma resposta conclusiva para os problemas 5 e 12, por favor, entre emcontato com os autores.

Capıtulo 6

Ensino a Distancia

Introducao

O termo Educacao a Distancia representa uma variedade de modelos educacionais que possuem umacaracterıstica em comum: estudantes e professores separados fisicamente e interligados por meio dealgum canal de comunicacao. Atualmente, muitos dos modelos de educacao a distancia usam diferentestecnologias e aplicacoes diversas. Estudantes e professores podem estar separados apenas no espaco,como tambem, em muitas das situacoes, tambem em relacao ao tempo, constituindo as modalidadesde educacao a distancia conhecidas como sıncrona e assıncrona, respectivamente. Como em outrosmodelos de ensino, a educacao a distancia pode ser concebida com base nos seguintes componentesfundamentais: conteudos curriculares; interacao com professores, colegas e equipamentos; aplicacoespraticas; e avaliacao. De forma geral, a educacao a distancia como uma possibilidade didatica deve tercomo objetivo fornecer instrucao de qualidade aos estudantes separados geograficamente dos locais deensino, oferecendo acesso ao ensino a uma parcela significativamente maior de estudantes e, ao mesmotempo, diminuindo os custos materiais e humanos do processo instrucional.

As novas tecnologias da informacao tem sido utilizadas como ferramentas importantes nos projetosde educacao a distancia. Uma categoria das novas tecnologias emergentes e a de tecnologias de cola-boracao mediada por computador. O principal desafio nesse processo e o conhecimento necessario parautilizar diferentes ferramentas que permitam efetivo aprendizado de conteudos matematicos.

Neste capıtulo, apresentaremos propostas para atividades baseadas em resolucao de problemas emque os alunos podem participar tanto estando reunidos presencialmente como distribuıdos remotamente,e tanto de modo sıncrono, como assıncrono. Serao apresentadas e discutidas as principais ferramentas,possibilidades e limitacoes de ambientes de educacao a distancia, e, com base nessa discussao, seraopropostos pequenos projetos de elaboracao e avaliacao de atividades a distancia.

6.1 Ambientes Virtuais de Aprendizagem de Matematica

Chamamos de ambientes virtuais de aprendizagem (tambem chamados sistema de gerenciamento decursos, ou sistema de gerenciamento de aprendizagem) quaisquer ambientes virtuais que permitam acriacao e gerenciamento de sıtios de aprendizagem disponıveis na internet, com acesso aberto ou res-trito (isto e, mediante apresentacao de senha), em que sao oferecidas atividades didaticas mediadaspor tecnologia computacional. Esses ambientes sao geralmente implementados em complexos sistemascomputacionais, chamados de plataformas de educacao a distancia. Atualmente, o Moodle (ModularObject-Oriented Dynamic Learning Environment) [4] e o ambiente virtual de aprendizagem mais utili-zada no Brasil e no mundo. Nesta secao, daremos uma visao geral dos principais recursos disponıveis

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194 CAPITULO 6. ENSINO A DISTANCIA

em ambientes virtuais de aprendizagem, e na proxima nos aprofundaremos nas ferramentas especıficasdo ambiente Moodle.

Um bom ambiente virtual de aprendizagem, alem de viabilizar a comunicacao entre todos os en-volvidos no processo de ensino e aprendizagem virtual, deve permitir o armazenamento de conteudose atividades didaticas, a realizacao de foruns de discussao, a entrega de trabalhos e tarefas diversas, aavaliacao de atividades com registro e divulgacao de notas, e a publicacao de mensagens e de notıcias.Os ambientes virtuais de aprendizagem geralmente possuem uma estrutura basica de usuarios que incluios perfis de administrador, de professor e de aluno:

• O administrador e o responsavel pela instalacao, configuracao e gerenciamento da plataforma.Ele pode criar ambientes, cadastrar e excluir usuarios, criar novos perfis de usuarios e designarfuncoes, alem de varias outras atividades de suporte.

• O professor e o responsavel por um ambiente especıfico da plataforma. Nesse ambiente, elegerencia parametros como insercao de alunos, escolha de formatos e aparencias, composicaodas atividades, acompanhamento e rastreamento de usuarios atraves de relatorios graficos eestatısticos, publicacao de notas e configuracao dos criterios de avaliacao.

• O aluno participa de um ambiente da plataforma, acessando as atividades programadas, realizandoas tarefas propostas, enviando arquivos e interagindo com o professor e demais alunos via forunse chats do ambiente.

Dentre os diversos recursos de um ambiente virtual de aprendizagem, destacaremos os foruns,as licoes, as tarefas e os questionarios. Essas atividades podem ser elaboradas pelo professor pararealizacao nas modalidades sıncrona ou assıncrona. Por exemplo, e possıvel restringir a realizacao deuma atividade durante uma hora de um determinado dia, obrigando todos os alunos a realizarem aatividade simultaneamente. Tambem e possıvel liberar a realizacao de uma atividade durante umasemana de um determinado mes, permitindo a cada aluno fazer e refazer a atividade a seu tempo,enquanto ela estiver disponıvel.

O Forum de Discussoes

O forum de discussoes (figura 6.1) e possivelmente o recurso mais importante para a interacao entretodos os personagens envolvidos em um ambiente virtual de aprendizagem.

As discussoes em um forum virtual sempre comecam a partir de um convite ou provocacao inicial doprofessor, instigando os alunos a publicarem novos topicos de discussao ou a responderem aos topicosja publicados (figura 6.2). O sucesso do forum depende muito dessa provocacao inicial: e preciso riscaro fosforo para que o fogo se alastre. As discussoes podem ser tanto sıncronas quanto assıncronas, dequalquer lugar onde haja um computador conectado a internet. Todas as postagens ficam registradasem ordem cronologica no historico do forum, e acessıveis a todos os usuarios do ambiente a qualquertempo. Algumas pesquisas mostram que alunos com maiores dificuldades de expressao em publico,tendem a se comunicar muito melhor em foruns virtuais (por exemplo, [51]).

Por exemplo, o professor pode criar um forum desafio, propondo um desafio matematico como pro-vocacao, como na figura 6.1, e convidando seus alunos a postarem ideias ou sugestoes que encaminhema resolucao (figura 6.2). Um outro tipo de forum muito interessante e o forum de duvidas. Nele oprofessor pode convidar seus alunos a postarem livremente duvidas sobre alguma questao especıfica oualgum conteudo em novos topicos de discussao, permitindo que todos respondam aos topicos posta-dos. As duvidas sao socializadas desta forma e qualquer aluno pode responder a duvida de um colega,cabendo ao professor monitorar as respostas e intervir quando necessario. Assim, as contribuicoesmultiplas do grupo em um forum de discussoes podem ajudar cada aluno a desenvolver suas reflexoes,relacionando-as com as dos demais colegas.

6.1. AMBIENTES VIRTUAIS DE APRENDIZAGEM DE MATEMATICA 195

Figura 6.1: Um forum de discussoes.

Figura 6.2: Topico de discussao de um forum de discussoes e respectivas respostas.


A Licao Virtual

A licao virtual e um tipo de recurso de estudo dirigido em que o aluno passa por uma sequenciaencadeada de paginas com conteudos especıficos, devendo ao final de cada pagina realizar certa acaoprogramada pelo professor para passar para a pagina seguinte. Este tipo de estudo se caracteriza comodirigido porque o resultado da acao do aluno em cada pagina determina a pagina seguinte. Por exemplo,se a acao solicitada e escolher uma dentre quatro alternativas, entao e possıvel direcionar o aluno paraquatro paginas diferentes ou para a propria pagina em questao, dependendo da escolha realizada. Poroutro lado, se a acao solicitada e digitar um numero, entao e possıvel direcionar o aluno para a proximapagina somente se o numero digitado for coerente com o estipulado na configuracao da pagina emquestao pelo professor. A figura 6.3 mostra, como exemplo, a primeira pagina de uma licao virtualsobre trigonometria, utilizando o aplicativo de geometria dinamica Desenrolando o Seno apresentadono capıtulo 4.

Figura 6.3: Uma licao virtual sobre trigonometria.

6.1. AMBIENTES VIRTUAIS DE APRENDIZAGEM DE MATEMATICA 197

A acao para se passar de uma pagina para outra em uma licao e definida e configurada pelo professor.Essa acao pode ser simplesmente clicar em um botao do tipo continuar, ou responder a questoes dediversos tipos: multipla-escolha, numericas, calculadas via uma formula, associativas, verdadeiro oufalso, dissertativas. O resultado da acao do aluno e comparado com um gabarito tambem definido econfigurado anteriormente pelo professor. Esse resultado pode determinar uma nota obtida pelo alunoem cada pagina, bem como para que pagina ele sera direcionado a seguir. O aluno podera inclusiveser redirecionado para a mesma pagina, caso o resultado seja considerado insatisfatorio. Neste caso,o professor deve definir na configuracao da licao quantas vezes o aluno pode repetir a acao em umamesma pagina, bem como um desconto na nota pela repeticao da acao.

Uma licao virtual fica disponıvel para os alunos no ambiente dentro de um perıodo definido peloprofessor. Alem disso, sua liberacao para um determinado aluno pode depender tambem de seu resultadoem uma licao anterior. Por exemplo, e possıvel restringir uma licao para um aluno que nao tenhaalcancado determinada nota, com um certo tempo de dedicacao em uma licao anterior.

A Tarefa Virtual

Uma tarefa virtual e um recurso em que os alunos geralmente produzem arquivos digitais, que podemser dos mais diversos tipos e mıdias, sobre temas e conteudos definidos pelo professor, a serem postadosno ambiente virtual dentro de um prazo estipulado. E possıvel permitir o atraso na postagem, com ousem descontos na nota da tarefa, ou permitir o atraso na postagem. A data e a hora das postagensficam registradas no ambiente e o professor publica a nota com ou sem comentarios sobre a tarefaenviada.

Figura 6.4: Uma tarefa virtual.

A forma mais simples de tarefa virtual consiste em propor uma questao e pedir que os alunos enviemsuas solucoes digitadas em arquivos, ou mesmo escritas de proprio punho e escaneadas ou fotografadas,dentro do prazo estipulado. Tambem e possıvel propor tarefas virtuais em grupo, e solicitar aos alunosque enviem vıdeos rapidos gravados em uma camera digital ou celular, explicando a participacao de cadaum no trabalho. Outro tipo interessante de tarefa virtual e a proposicao de um desafio matematico,premiando o aluno que postar primeiro a resposta correta de acordo com as datas e horas das postagens.


O Questionario Virtual

Um questionario virtual e um tipo de recurso em que os alunos respondem a uma lista de exercıciosescolhidos convenientemente de um banco de questoes previamente construıdo pelo professor no am-biente. Como nas licoes virtuais, as questoes que compoem esse banco podem ser de varios tipos:multipla-escolha, numericas (com margem de erro), calculadas via uma formula, associativas, verda-deiro ou falso, dissertativas. O professor insere suas questoes no ambiente, bem como as configuracoesde gabarito para a correcao automatica (excluindo-se, e claro, o caso de questoes dissertativas). Asquestoes sao arquivadas por categorias e podem ser disponibilizadas de forma colaborativa, para seremusadas por qualquer professor em qualquer ambiente da plataforma.

Figura 6.5: Questoes virtuais.

A partir do banco de questoes, a configuracao de um questionario virtual compreende, dentre outrascoisas: a escolha das questoes; o perıodo de disponibilidade; a forma de apresentacao de comentariose feedbacks; o sistema de avaliacao com o peso de cada questao e a possibilidade de novas tentativas;com ou sem aplicacao de descontos nas notas. Cada questao pode ser escolhida de forma especıfica oude forma aleatoria, dentro de uma categoria do banco de questoes. Tambem e possıvel estabelecer umnumero maximo de tentativas de resolucao do questionario, bem como um limite de tempo para cadatentativa. Ao concluir uma tentativa de resolucao de uma questao, o aluno recebe automaticamentea nota alcancada. A nota final do questionario pode ser configurada para ser a maior, a menor ou amedia das notas de todas as tentativas efetuadas pelo aluno dentro do prazo estipulado.

A seguir, propomos a elaboracao de algumas atividades explorando os recursos apresentados acima.Por enquanto, propomos apenas o planejamento geral dessas atividades. Na secao a seguir, daremosinstrucoes mais detalhadas para a implementacao de atividades como essas na plataforma Moodle. Paradesenvolver estas atividades, o professor necessita articular conhecimentos sobre a matematica, sobreaspectos pedagogicos do conteudo e sobre as principais dificuldades de aprendizagem dos alunos.

6.2. A PLATAFORMA MOODLE 199

Atividades

1. Planeje um forum para discussao de um problema de matematica. Pense em uma forma criativapara provocar os alunos a participarem desse forum. Procure utilizar uma linguagem dialogicacomo forma de comunicacao. Por exemplo, para provocar as discussoes, orientar os dialogos, edirecionar os estudantes durante uma atividade, experimente usar expressoes do tipo: Eu propo-nho...; Por que?; O que podemos fazer agora?; Voce concorda?; etc.

2. Planeje uma licao virtual sobre trigonometria com pelo menos 10 paginas. Se preferir, a primeirapagina pode ser a da Figura 6.3. Pense em conteudos progressivos e acoes distintas para mudancade paginas. Defina tambem a sequencia de mudanca de paginas na licao de acordo com o resultadodas acoes em cada pagina.

3. Planeje uma tarefa individual sobre equacoes do segundo grau. Imagine que tipo de arquivosdevam ser enviados (texto, vıdeos, fotos, graficos, tabelas, planilhas, etc.). Defina os prazos, aforma de correcao e os criterios para a determinacao da nota dessa tarefa.

4. Seus colegas professores do ensino medio de Matematica decidiram implementar um banco dequestoes na plataforma de educacao a distancia da escola. Cada professor ficou responsavel porinserir, semanalmente, dez questoes nesse banco, sobre o conteudo ministrado durante a semana,em cada uma das tres series do ensino medio. Discuta formas de categorizacao dessas questoes,bem como possıveis formas de utilizacoes desse banco nos anos seguintes.

5. Um professor idealizou uma olimpıada de matematica em sua cidade, em duas fases: a primeirafase em ambiente virtual e a segunda fase em sala de aula, com uma prova tradicional para osdez melhores classificados na primeira fase. Comente as vantagens e desvantagens pedagogicase economicas desse tipo de olimpıada.

6.2 A Plataforma Moodle

O Moodle e atualmente o ambiente virtual de aprendizagem mais utilizada no Brasil e no mundo. Seuprojeto e concebido para apoiar uma filosofia construcionista social de educacao, e possibilita a criacaode cursos, disciplinas, grupos de trabalho e comunidades virtuais de aprendizagem. O Moodle apresentaestrutura dinamica, modular e orientada a objetos, e e de desenvolvimento aberto e contınuo, em umacomunidade mundial (www.moodle.org) que congrega mais de 32 milhoes de usuarios, em cerca de205 paıses, falando mais de 80 idiomas.

Na linguagem do Moodle, cada um dos sıtios especıficos de aprendizagem, e chamado um curso vir-tual. Nesta secao, faremos uma descricao geral dos procedimentos basicos para usar o ambiente Moodleno ensino: cadastrar usuarios, criar e gerenciar cursos virtuais e implementar as atividades virtuaisdescritas na secao anterior. Esses procedimentos serao descritos com base no site de demonstracao doMoodle, disponıvel na pagina sobre o Moodle do portal de sua comunidade mundial, ou no enderecoeletronico demo.moodle.net (figura 6.7). Entretanto, e importante observar que todas as acoes quepodem ser feitas no site de demonstracao do Moodle reproduzem aquelas que podem ser feitas em umainstalacao local. Isto e, o site de demonstracao pode ser encarado como um treinamento para criacaoe gerenciamento de cursos virtuais e atividades em uma instalacao em uma instalacao local.

A exploracao do site de demonstracao do Moodle pode ser feita com os perfis de administrador,professor ou aluno. Cada um desses perfis possui privilegios especıficos na plataforma. Por exemplo, aspermissoes no ambiente sao mınimas para o aluno e maximas para o administrador. Compare na figura6.8 as opcoes de configuracoes do administrador, do professor e do aluno. Observamos que cada umadessas opcoes se desdobram em sub-opcoes clicando sobre o sımbolo triangular posicionado ao lado.


Figura 6.6: Portal da comunidade Moodle – www.moodle.org.

Figura 6.7: Acessando o site de demonstracao do Moodle.

Figura 6.8: Janelas de configuracao do Moodle.


Funcoes do Perfil de Administrador

Cadastrando um Novo Usuario

Para cadastrar um novo usuario na plataforma, o administrador escolhe a opcao Acrescentar novousuario, na parte reservada a Administracao do site, dentro da opcao Usuarios e sub-opcao Contas.A escolha desta opcao habilita a janela da figura 6.9, com campos para insercao dos dados do novousuario. Proximo aos campos existem cırculos com interrogacoes que habilitam explicacoes sobre afuncionalidade dos campos. Observe que os campos obrigatorios sao: nome de usuario, nova senha,nome, sobrenome, endereco de e-mail, cidade e paıs. Os demais campos nao sao obrigatorios, e poderaoser modificados pelo proprio usuario na atualizacao de seu perfil.

Figura 6.9: Pagina para cadastramento de usuarios.


Criando um Curso Virtual

Para criar um curso virtual, o administrador do escolhe a opcao Acrescentar/modificar cursos, naparte reservada a Administracao do site, dentro das opcoes de Cursos. A escolha dessa opcao leva oadministrador para uma tabela em que estao todos os cursos do ambiente, agrupados em categorias(figura 6.10). Na parte inferior dessa tabela existem dois botoes que permitem criar um novo curso ouacrescentar uma nova categoria de curso.

Figura 6.10: Pagina para agrupar cursos virtuais em categorias.

Acionando o botao Acrescentar uma nova categoria, o administrador habilita a janela da figura 6.11,com campos para insercao de dados para uma nova categoria de curso. Observe que o unico campoobrigatorio e o nome da categoria. Acionando o botao Criar um novo curso, o administrador habilita ajanela da figura 6.12, com campos para insercao de dados de um o novo curso. Observe que os camposobrigatorios sao: nome completo e nome breve do curso.

Figura 6.11: Pagina para acrescentar categorias.

Ao finalizar a criacao do curso virtual, no botao Salvar mudancas, o Moodle direciona o administra-dor para uma pagina de inscricao de usuarios no curso (Figura 6.13). Nessa pagina e possıvel inscreverqualquer usuario cadastrado na plataforma, e designar que funcao esse usuario tera no curso. Ao clicarno botao Inscrever usuarios, uma janela de busca de usuarios cadastrados na plataforma e disponibili-zada, sendo possıvel escolher um usuario, um perfil e inscrever esse usuario no curso em questao como perfil escolhido. Geralmente o administrador inscreve pelo menos um usuario com perfil de professor,deixando as demais inscricoes a criterio desse professor.


Figura 6.12: Pagina para criar cursos virtuais.

Figura 6.13: Pagina para criar cursos virtuais.


Funcoes do Perfil de Professor

Agora exploraremos o site de demonstracao do Moodle do ponto de vista de um professor, descrevendocomo ele insere atividades em um curso. O formato inicial de um curso no Moodle e uma programacao(ou agenda) contendo um forum de notıcias, seguida de uma estrutura de topicos (ou semanas).

O perfil de professor permite ativar e desativar a edicao do curso, acionando o botao que apareceno canto superior direito da pagina do curso. Com a edicao ativada, o professor pode escolher umaserie de recursos ou atividades para serem inseridos na programacao do curso ou em um de seus topicosespecıficos. Alem disso, a edicao do curso habilita uma lista de ıcones ao lado de cada recurso ouatividade, que permitem movimentar, editar, duplicar, excluir, ocultar/exibir para os alunos, definirgrupos ou designar funcoes especıficas para o recurso ou para a atividade em questao.

Figura 6.14: Modelo de um curso no formato de topicos.

Criando um Forum

Para criar um forum, o professor deve escolher a atividade Forum na caixa de escolha de atividades dolocal do curso virtual desejado para o forum. Essa escolha direciona o professor para a pagina da figura6.15. Os campos obrigatorios da pagina: Nome do forum, que aparecera no curso virtual como umlink de acesso ao forum; e Introducao ao forum, que deve conter um breve resumo do tema do forum.Alem disso, e interessante incluir nesse resumo uma provocacao para motivar a discussao sobre o tema.Os demais campos ja sao pre-definidos e devem ser alterados de acordo com os objetivos do forum. Asinterrogacoes proximos aos campos sao muito uteis, pois habilitam explicacoes sobre a funcionalidadede cada campo.

Uma vez criado, um forum e organizado como uma lista de topicos. Em geral, os participantespodem acrescentar novos topicos (de acordo com as restricoes de cada tipo de forum, descritos aseguir), e enviar mensagens dentro de cada topico. Os tipos de foruns disponıveis sao:

• Forum geral: e um forum aberto, em que todos os participantes podem iniciar topicos de discussaosempre que quiserem.

• Discussao simples: e um forum formado por um unico topico, em uma unica pagina, normalmenteusado para organizar discussoes breves com foco em um tema especıfico.


• Cada usuario inicia apenas um novo topico: cada participante pode acrescentar apenas um novotopico de discussao, mas todos podem responder livremente as mensagens. Este formato e usado,por exemplo, nas atividades em que cada participante apresenta um tema a ser discutido, e atuacomo moderador da discussao desse tema.

• Forum de perguntas e respostas: um estudante pode ler as mensagens dos outros somente apospublicar a sua mensagem, o que permite que a primeira mensagem de cada estudante seja originale independente.

Figura 6.15: Pagina de criacao de forum.


Criando uma Licao

A criacao de uma licao em um curso virtual do Moodle se da em dois momentos distintos: primeiroe preciso inserir a atividade, e depois seu conteudo. Para inserir a atividade, o professor deve escolhera opcao Licao na caixa de escolha de atividades do local do curso desejado para a licao. Essa escolhadireciona o professor para a pagina da figura 6.16. O unico campo obrigatorio e o campo Nome, queaparecera no curso virtual como um link de acesso a licao. Os demais campos sao pre-definidos e devemser alterados de acordo com os objetivos da licao. E possıvel, por exemplo, estipular um tempo maximo(em minutos) para a execucao da licao, bem como o perıodo no qual ela ficara disponıvel. Como nosdemais paginas, as interrogacoes proximos aos campos explicam a funcionalidade de cada campo.

Figura 6.16: Pagina de criacao de licao.


Ao finalizar a criacao da atividade licao, pressionando o botao Salvar e mostrar da pagina da figura6.16, o Moodle direcionara o professor para uma pagina de insercao do conteudo da licao, mostrada nafigura 6.17.

Figura 6.17: Inserindo paginas em uma licao.

Os conteudos de uma licao de matematica sao, em geral, paginas com questoes. Escolhendo aopcao Inserir pagina com questao, o professor e direcionado para a escolha do tipo de questao a serinserida como pagina da licao, que podem ser os seguintes: associacao, dissertacao, multipla escolha,numerica, resposta curta ou verdadeiro/falso. Cada um desses tipos possuem paginas especıficos, comcampos para o tıtulo da pagina, conteudo, respostas, pontuacao e destinacao (isto e, para que paginao aluno sera direcionado), tanto no caso de respostas certas quanto erradas.

Figura 6.18: Pagina para insercao de pagina em uma licao.


Criando uma Tarefa

As tarefas no Moodle podem ser dos seguintes tipos: envio de arquivo unico, modalidade avancadade envio de arquivos, texto online ou atividade offline para registro de nota de uma atividade externaao ambiente virtual do curso. Para criar uma tarefa no Moodle, o professor deve escolher o tipo detarefa desejada na caixa de escolha de atividades do local desejado. Essa escolha direciona o professorpara uma pagina (figura 6.19) em que e possıvel definir, dentre outras coisas, o tıtulo da tarefa, suadescricao, a nota maxima, os prazos para entrega e os descontos na nota no caso de envio fora doprazo.

Figura 6.19: Pagina de criacao de tarefa.


Inserindo Perguntas no Banco de Questoes

O perfil de professor disponibiliza, na janela de Configuracoes do curso, uma lista de opcoes para o Bancode questoes do ambiente. Essas opcoes permitem, basicamente, a insercao de perguntas no banco dequestoes da plataforma Moodle, e seu armazenamento por categorias. As categorias de perguntas saocriadas pelo professor na opcao Categorias. Escolhendo essa opcao, o professor e direcionado para umatabela contendo todas as categorias existentes no curso, sendo possıvel adicionar novas categorias ousubcategorias. As perguntas devem ser inseridas pelo professor na opcao Perguntas. Escolhendo essaopcao, o professor e direcionado para uma pagina de insercao de perguntas no banco de questoes (figura6.20). Nessa pagina e possıvel escolher a categoria ou subcategoria, bem como o tipo de pergunta aser inserida.

Figura 6.20: Pagina para insercao de perguntas no banco de questoes.

Os tipos de questoes possıveis sao: multipla escolha (com uma ou mais alternativas corretas),verdadeiro/falso, resposta curta (onde a resposta e uma palavra ou um texto curto), numerico (ondea resposta e um valor numerico fixo), calculado (onde a resposta e um valor numerico variavel, obtidoa partir de uma formula), associacao de ıtens, ensaio (resposta dissertativa) e respostas embutidas(combinando varios tipos numa mesma pergunta). Cada tipo de pergunta possui uma pagina especıficapara insercao, que em geral contem campos para o tıtulo, o texto da pergunta, respostas certas eerradas, definicao de percentuais de notas para respostas certas e erradas e mensagens diversas naforma de feedback. Na figura 6.21, ilustramos as paginas para insercao de questoes de multipla escolhae numerica, respectivamente, exibidas na figura 6.5 da secao anterior.


Figura 6.21: Questoes de multipla escolha e numerica.

Criando um Questionario

As questoes inseridas no banco de questoes do ambiente Moodle sao utilizadas em atividades do tipoQuestionario dos cursos virtuais. O professor pode elaborar diversos questionarios a partir do banco,escolhendo questoes de forma aleatoria ou determinada em categorias especıficas ou gerais. Para inserirum questionario, o professor deve escolher a atividade Questionario na caixa de escolha de atividadesdo local desejado. Essa escolha direciona o professor para a pagina da figura 6.22.


Figura 6.22: Pagina para criacao de um questionario.

O unico campo obrigatorio na pagina para criacao de um questionario e o seu nome, que ira aparecerno curso como um link de acesso ao questionario. Os demais campos sao pre-definidos e devem seralterados de acordo com os objetivos do questionario. Apos finalizar a criacao do questionario nobotao Salvar e mostrar, o Moodle direciona o professor para uma pagina em que e possıvel montar oquestionario com as perguntas do banco de questoes do curso, conforme ilustra a figura 6.23.


Figura 6.23: Pagina para edicao de um questionario.

Atividades

1. Acesse o site de demonstracao do Moodle (demo.moodle.net) como administrador, usando ad-min como usuario e demo como senha. Cadastre um novo usuario, crie um novo curso e inscrevaesse novo usuario como professor desse novo curso. Lembramos que voce pode baguncar esse sitea vontade, pois ele e restaurado de hora em hora: o que voce fizer no site hoje, nao permaneceranele amanha.

2. Acesse agora o site de demonstracao doMoodle com o login e senha do usuario que voce cadastrouna atividade anterior. Procure o curso que voce criou no qual esse usuario e professor. Exploreo perfil de professor desse curso para implementar as atividades 1 a 4 da secao 6.1. Para estaatividade, voce pode usar qualquer plataforma Moodle em que voce possua acesso a um cursovirtual como professor.

Capıtulo 7

Pesquisas Eletronicas, Processadores deTexto e Hipertexto

Introducao

O advento das tecnologias digitais abriu novas possibilidades para a producao e veiculacao de informacaoem larga escala. Tanto as formas de acesso a informacao quanto as formas de organizacao, expressaoe registro do conhecimento como texto escrito veem se transformando cada vez mais rapidamente – asvezes mais rapidamente que nossa propria capacidade de adaptacao aos novos modelos. Evidentemente,essas transformacoes tem impactos importantes na sala de aula, e o ensino de Matematica nao e umaexcecao.

Iniciaremos este curso abordando possibilidades de busca e organizacao de conteudos matematicosoferecidas pelas novas tecnologias computacionais para uso em sala de aula. Assim, este primeiro capıtu-lo nao enfocara propriamente o uso de recursos computacionais para o ensino de conceitos matematicosespecıficos (que sera a tonica dos capıtulos subsequentes). Tampouco nos aprofundaremos nas questoescomplexas sobre as novas formas producao e veiculacao de conhecimento academico. Nosso objetivolimita-se a apresentar e discutir algumas formas de aproveitar recursos computacionais para elaborartextos matematicos (curtos ou nao) para uso em sala de aula. A elaboracao de pequenos textos (sejamtextos teoricos ou listas de exercıcios) pelo professor pode se constituir em um enriquecimento impor-tante para os livros didaticos convencionais, pois confere ao professor a autonomia para aprofundar ecomplementar a abordagem dos conteudos com base no conhecimento dos alunos que so ele propriopode ter.

7.1 Pesquisas Eletronicas

Cada vez mais o acesso a Internet permite a qualquer indivıduo recursos que permitem a procurapor todo o tipo de informacoes, documentos, notıcias, aplicativos, sugestoes para a sala de aula,conteudos matematicos, livros e praticamente tudo que temos no mundo real esta de algum mododisponıvel no mundo virtual, alem da facilidade de comunicacao. A rede mundial de computadores epor outro lado uma ferramenta para publicacao e divulgacao de todo o tipo de producao, e por este meioconfigura-se um espaco onde podemos disponibilizar ao grande publico qualquer producao individual,sem a necessidade de maiores controles em relacao ao que se deseja publicar. E neste cenario deinteracao virtual em atividades diversas atuam professores, licenciandos, alunos, a famılia, formadores,pesquisadores dentre outros profissionais.

Os diversos aplicativos e ferramentas possibilitam a formacao de comunidades virtuais que por meio

213

214 CAPITULO 7. PESQUISAS ELETRONICAS, PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO

de trabalho colaborativo ou individual trabalham com o objetivo de prover e trocar os mais diversostipos de informacoes. No ensino de Matematica e usual um grande volume de informacoes por estescanais. O professor que busca por pesquisas eletronicas para atividades educacionais ou para propriaformacao necessita cuidado quanto a natureza e alcance destas atividades, uma vez que na maioriadas vezes nao existem mecanismos de controle e certificacao academica a respeito de muitas das in-formacoes disponıveis nos meio eletronicos. Mantendo o cuidado em confrontar as informacoes colhidaspor pesquisas eletronicas com producoes academicas e possıvel utilizar em diferentes possibilidades deaprendizagem, bem como em atividades que podem contribuir para o ensino de diversos conteudos apartir de valorosas contribuicoes disponibilizadas na rede.

Dar exemplos de coisas inadequadas na internet.

7.2 Processadores de Texto e Hipertexto

Ao redigir textos matematicos, enfrentamos comumente algumas dificuldades particulares, no que dizrespeito tanto a forma da redacao quanto a organizacao de seu conteudo. As dificuldades quanto aforma devem-se ao fato de a Matematica usar sımbolos graficos proprios, alem daqueles que consti-tuem escrita usual (quase como se tratasse de outra lıngua, com um alfabeto proprio). Os sımbolosmatematicos nao estao disponıveis (pelo menos de forma adequado) nos editores de texto convencio-nais. O LATEX e o processador de texto padrao em Matematica, que permite a representacao graficade qualquer sımbolo matematico, alem de dispor de outros recursos importantes para a edicao de tex-tos. Quanto a organizacao de conteudo, pode ser interessante estabelecer ligacoes multiplas entre asideias matematicas que queremos expor, de forma a apontar as relacoes de um mesmo topico comvarios outros. Para este fim, pode nao ser suficiente organizar o texto em estrutura linear, em que ostopicos vao simplesmente se sucedendo uns aos outros e cada um deles liga-se diretamente apenas aoprecedente e ao seguinte. Neste caso, pode-se recorrer a uma estrutura em rede, em que cada topiconao precisa estar ligado somente a um precedente e um seguinte, mas a varios outros. Este tipo deestrutura chama-se hipertexto.

Editando Textos Matematicos

Nesta secao, apresentamos apenas uma introducao geral a alguns dos recursos mais basicos do LATEX,que permita a preparacao de pequenos textos teoricos, provas, ou listas de exercıcios. Para umaabordagem mais abrangente sobre o LATEX, porem ainda acessıvel, recomendamos a leitura de [18].Para os que desejem se aprofundar mais, ha diversas referencias disponıveis, como por exemplo [31],alem de uma extensa variedade de recursos disponıveis na internet.

Antes de mais nada, e preciso entender que o LATEX nao e um editor de texto convencional, e sim umalinguagem de programacao. Isto significa que os textos nao sao digitados e visualizados diretamente(como nos editores convencionais). Os documentos LATEX sao programados, por meio de um codigosintaxe especıfica, e compilados para que o texto seja gerado. As estruturas basicas dessa sintaxe sao:

• comandos (identificados pelo sımbolo \);

• ambientes (demarcados pelos comandos \begin e \end).

Uma estrutura mınima para um documento em LATEX e exemplificado na figura 7.1 a seguir. O textopropriamente dito deve ser digitado entre os comandos \begindocument e \enddocument (istoe, dentro do comando document). Esta e a parte que sera visualizada apos a compilacao do arquivo. Aparte anterior ao comando \begindocument e chamado preambulo e nela devem ser declaradas asconfiguracoes quanto a formatacao do documento. A declaracao mınima no preambulo e o comando

7.2. PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO 215

\documentclass, que indica o estilo (que define a formatacao geral) e o tamanho de letra padrao parao documento (no caso do exemplo da figura 7.1, article e 12pt, respectivamente). Ha outros estilosdisponıveis em LATEX (como report e book), e tambem e possıvel criar um proprio, porem article eo mais simples e conveniente para redigir pequenos textos. No preambulo tambem e possıvel declararoutras propriedades gerais da formatacao do documento, tais como tamanho das paginas e das margins,estilo de paginacao, etc.

\documentclass[12pt]article

\begindocument

\enddocument

Figura 7.1: Estrutura mınima para um documento LATEX.

Alem disso, em LATEX devemos diferenciar o modo de texto comum do modo matematico, usadopara representar a simbologia matematica. Ha duas formas principais de demarcar o modo matematicoem LATEX: $ e $$. A diferenca e que o demarcador simples $ gera a simbologia matematica dentro dapropria linha de texto, e faz algumas adaptacoes de formato para tornar o sımbolo menor, enquantoo demarcador duplo $$ gera a simbologia em destaque, centralizado em uma linha. Esta diferenca eexemplificada nos quadros a seguir, em que mostramos os codigos fonte LATEX e os respecvos resultadosgerados.

Exemplos: Demarcadores de modo matematico.

1. Se tentarmos resolver a equa\cc\~ao racional

$$\frac1x^2+1 = 1$$ n\~ao encontraremos

solu\cc\~oes reais.

Se tentarmos resolver a equacao racional

1

x2 + 1= 1

nao encontraremos solucoes reais.

2. Se tentarmos resolver a equa\cc\~ao racional

$\frac1x^2+1 = 1$ n\~ao encontraremos

solu\cc\~oes reais.

Se tentarmos resolver a equacao racional

1

x2 + 1= 1

nao encontraremos solucoes reais.

Os exemplos acima ilustram ainda alguns aspectos importantes da sintaxe de LATEX:


• Alguns comandos de LATEX dependem de parametros que, neste caso, sao demarcados por: .Por exemplo, este e o caso do comando \frac, que aparece nos exemplos acima. O comandoserve para representar fracoes e depende de dois parametros, que correspondem ao numerador eao denominador.

• Quebras de linha e espacos digitados no codigo fonte em LATEX nao geram quebras de linha eespacos correspondentemente no resultado gerado. Este e um recurso que permite melhor orga-nizacao do codigo fonte, pois as quebras de linha e os espacos podem ser usados para este fim.Ha comandos especıficos para gerar espacos horizontais e verticais no modo matematico e nomodo texto.

• A sintaxe para gerar acentos em LATEX segue o padrao: \ acento letra. Com isso, podemos botarqualquer acento sobre qualquer letra, nao apenas as vogais usualmente acentuadas em portugues.Por exemplo, os codigos \~n e \^z geram n e z, respectivamente. O comando \c gera o sinal decedilha, que tambem pode se posto sob qualquer letra. Por exemplo, \cs gera s. Ha editoresde codigo LATEX que simplificam esta sintaxe, permitindo incluir os acentos como fazemos noseditores de texto usuais, inclusive com correcao ortografica.

A seguir, veremos como escrever simbologia no modo matematico. Os quadros abaixo, mostramalguns exemplos genericos de codigos fonte LATEX, seguidos dos respectivos resultados gerados, emque procuramos percorrer os sımbolos mais usados: sinais da quatro operacoes elementares; sinaisde diferente, maior ou igual e menor ou igual; ındices inferiores e superiores; fracoes; letras gregas;funcoes trigonometricas; logaritmos; somatorios; limites; integrais; quantificadores e implicacoes logicas;operacoes e relacoes entre conjuntos. Em todos os exemplos o modo matematico foi demarcado com$$. Experimente escrever os exemplos 2, 5, 8, 9 e 11 demarcando com $, e observe as diferencas deformatacao.

Exemplos: Simbologia matematica em LATEX.

1. \ [ (2+3) - 5 ] \times 6 \ \div 7 \neq 1

[(2 + 3)− 5]× 6 ÷ 7 6= 1

2. \sqrt[4] \frac14 = \frac\sqrt22

4

√1

4=

√2

2

3. (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \: \forall\, a,b\in\mathbbR

(a + b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 ∀ a, b ∈ R

4. | |a|-|b| | \leq |a+b| \leq |a|+|b| \: \forall\, a,b\in\mathbbR

||a| − |b|| ≤ |a+ b| ≤ |a|+ |b| ∀ a, b ∈ R

5. \frac2x^2-1 = \frac1x-1 - \frac1x+1

2

x2 − 1=

1

x− 1− 1

x+ 1


6. \sec^2 \theta = 1 - \tan^2 \theta

sec2 θ = 1− tan2 θ

7. (1+\alpha)^n \geq 1+n\,\alpha \: \forall\,\alpha>0,n\in\mathbbN

(1 + α)n ≥ 1 + nα ∀α > 0, n ∈ N

8. \sum_j=1^n a_1\,q^j-1 = a_1\, \fracq^j-1q-1

n∑

j=1

a1 qj−1 = a1

qj − 1

q − 1

9. \sum_n=1^+\infty \frac1n^2 = \frac\pi^26

+∞∑

n=1

1

n2=π2

6

10. \lim_h\rightarrow0 (1+h)^\frac1h = e

limh→0

(1 + h)1

h = e

11. \int_1^e x^k\ln x \,dx =

\frace^k+1k+1 - \frac1k+1 \int_1^e x^k \,dx

∫ e

1

xk lnx dx =ek+1

k + 1− 1

k + 1

∫ e

1

xk dx

12. \forall\,\varepsilon>0 \: \exists\,\delta>0 \:|\:

0<|x-x_0|<\delta \: \Rightarrow \: |f(x)-a|<\varepsilon

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 | 0 < |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− a| < ε

13. 2|n \Leftrightarrow 2|n^2

2|n⇔ 2|n2

14. \Omega = \ x\in\mathbbR \:|\: x\not\in\mathbbQ \ \subset

\mathbb\R

Ω = x ∈ R | x 6∈ Q ⊂ R

15. \ 2\,k \:|\: k\in\mathbbZ \ \not\supset

\ 3\,k \:|\: k\in\mathbbZ \

2 k | k ∈ Z 6⊃ 3 k | k ∈ Z


16. \ 2\,k \:|\: k\in\mathbbZ \ \cap

\ 3\,k \:|\: k\in\mathbbZ \ =

\ 6\,k \:|\: k\in\mathbbZ \

2 k | k ∈ Z ∩ 3 k | k ∈ Z = 6 k | k ∈ Z

17. (A\cup B) \setminus C = (A\setminus C) \cup (B\setminus C)

(A ∪B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)

Cabem algumas observacoes sobre a sintaxe no modo matematico:

• O comando \mathbb serve para gerar o tipo de fonte que usamos para representar os conjuntosnumericos N, Z, Q, R e C. Podemos usar este comando para representar qualquer letra nestetipo de fonte, nao somente as que representam usualmente os conjuntos numericos, por exemplo:A ou Y.

• O comando \not serve para sobrepor o traco de negacao ao sımbolo seguinte. Assim, porexemplo, os codigos \not\exists e \not\subset geram os sımbolos 6 ∃ e 6⊂, respectivamente.

• Como comentamos acima, ha comandos especıficos para gerar espacos entre os sımbolos no modomatematico. Os comandos \, \; \: que aparecem nos exemplos acima tem esta funcao.

Alem disso, comentamos outro aspecto sobre comandos dependendo de parametros:

• Observe que, para gerar o sımbolo de raiz quarta, empregamos o codigo \sqrt[4]. A expressaoque aparece entre colchetes corresponde a um parametro opcional do comando \sqrt. Deforma geral, os comandos de LATEX podem ter parametros obrigatorios e parametros opcionais.Os parametros opcionais podem ser omitidos, mas os obrigatorios devem necessariamente serincluıdos no codigo, caso contrario a compilacao indicara um erro. Os parametros obrigatoriosaparecem entre chaves, e os opcionais entre colchetes. Por exemplo, o comando \sqrt possuium parametro obrigatorio, o radicando, e um parametro opcional, o ındice da radiciacao. Nocaso da omissao do parametro opcional, o sımbolo gerado sera o de raiz quadrada.

Em muitos casos, deseja-se ajustar o tamanho de delimitadores de expressoes matematicas (comoparenteses, colchetes ou chaves) de acordo com o que esta dentro. Em LATEX, isto e feito com oscomandos \left e \right. Veja os exemplos a seguir.

Exemplos: Delimitadores em LATEX.

1. \left( \frac12 + \frac23 \right) \times \frac78 =

\frac1415 (1

2+

2

3

)× 3

4=

7

8

2. \left[ \left( \frac12 + \frac13 \right) \times

\left( \frac14 + \frac15 \right) \right] - 1 =

-\frac58 [(1

2+

1

3

)×(

1

4+

1

5

)]− 1 = −5

8


3. \left] \frac1n+1 , \frac1n \right[ \subset

\left[ \frac1n+1 , \frac1n \right[ \subset

\left[ \frac1n+1 , \frac1n \right]

]1

n + 1,

1

n

[⊂[

1

n + 1,

1

n

[⊂[

1

n + 1,

1

n

]

4. \mathbbQ = \left\ \fracmn \;|\;

\left\ \fracmn \;|\;

m\in\mathbbZ, n\in\mathbbZ^\star \right\

Q =mn| m ∈ Z, n ∈ Z?

5. \left| \int_a^b f(x)\:dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|\:dx

∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(x)| dx

6. \|u\| = \sqrt \left[ \sun_i=1^n x_i^2 \right]

‖u‖ =

√√√√(

n∑

i=1

x2i

)

7. \left\| \left( \frac12,\frac23 \right) \right\|^2 =

\left\langle \left( \frac12,\frac23 \right),

\left( \frac12,\frac23 \right) \right\rangle =

\frac2536

∥∥∥∥(

1

2,2

3

)∥∥∥∥2

=

⟨(1

2,

2

3

),

(1

2,

2

3

)⟩=

25

36

Para criar matrizes, tabelas ou para dispor sımbolos em arranjo retangular no modo matematicoem LATEX, usa-se o ambiente array. Como veremos nos exemplos a seguir, o numero de colunase o alinhamento dos sımbolos em cada coluna sao definidos pelo parametro que segue o comando\beginarray. Ha tres formas principais de alinhamento de colunas em arrays: centralizado (c), aesquerda (l), a direita (r). Por exemplo, \beginarraycc abre um array com duas colunas, todascentralizadas; \beginarraylcr abre um array com tres colunas, sendo a primeira alinhada aesquerda, a segunda centralizada, e a terceira alinha a direita. No interior de uma ambiente array,usa-se & para mudar de coluna dentro de cada linha, e \\ para mudar de linha. Para criar arranjosretangulares fora do modo matematica, usa-se o ambiente tabular, cuja sintaxe e exatamente a mesmado ambiente array.

Exemplos: Tabelas em LATEX.


1. \det\left[ \beginarraycc a & b \\ c & d \endarray \right] =

ad-bc

det

[a bc d

]= ad− bc

2. \left( \beginarrayrrr

2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2

\endarray \right) \cdot

\left( \beginarrayc x \\ y \\ z \endarray \right) =

\left( \beginarrayc

2x-y-z \\ -x+2y-z \\ -x-y+2z

\endarray \right)

2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

·

xyz

=

2x− y − z−x + 2y − z−x− y + 2z

3. \left\ \beginarraylcc

2x-y-z &=& 0 \\ -x+2y-z &=& 0 \\ -x-y+2z &=& 0

\endarray \right.

2x− y − z = 0−x + 2y − z = 0−x− y + 2z = 0

4. (x+y)^n = \sum_k=0^n

\left( \beginarrayc n \\k \endarray \right) x^n y^n-k

(x + y)n =

n∑

k=0

(nk

)xnyn−k

5. \beginarraycccl

f: & \mathbbR & \longrightarrow & \mathbbR \\

& x & \longmapsto & ax^2+bx+c

\endarray

f : R −→ R

x 7−→ ax2 + bx + c

A partir dos exemplos acima, Cabe uma observacao sobre o uso de delimitadores:

• No exemplo tres, desejamos delimitar o sistema com chaves a esquerda e sem nada a direita.Em situacoes como essa, deve-se fechar a delimitacao com o comando \end. para que definir otamanho ao qual o delimitador deve se ajustar.

Outra tipo de ambiente muito util em LATEX sao os ambientes tipo lista, que servem para criar listasde ıtens, numeradas ou nao. Os dois principais tipos de ambiente tipo lista sao o itemize, que geralistas nao numeradas, o enumerate, que gera listas numeradas. No interior de um ambiente lista, cadaitem e iniciado com o comando item. E possıvel configurar todos os parametros em um ambiente


tipo lista, incluindo as distancias das margens, dos paragrafos anterior e posterior, entre os ıtens, etc.,alem do tipo de marcador utilizado. E possıvel tambem definir novos ambientes tipo lista. Entretanto,nao nos aprofundaremos nesses aspectos neste texto. Os interessados poderao encontrar um descricaocompleta dos recursos dos ambientes tipo lista nas referencias recomendadas.

Exemplos: Tabelas em LATEX.

1. \beginenumerate

\item primeiro item

\beginenumerate

\item primeiro subitem

\beginenumerate

\item primeiro subsubitem

\item segundo subsubitem

\item terceiro subsubitem

\endenumerate

\item segundo subitem

\item terceiro subitem

\endenumerate

\item segundo item

\item terceiro item

\endenumerate

1. primeiro item

(a) primeiro subitem

i. primeiro subsubitem

ii. segundo subsubitem

iii. terceiro subsubitem

(b) segundo subitem

(c) terceiro subitem

2. segundo item

3. terceiro item


2. \beginitemize

\item primeiro item

\beginitemize

\item primeiro subitem

\beginitemize

\item primeiro subsubitem

\item segundo subsubitem

\item terceiro subsubitem

\enditemize

\item segundo subitem

\item terceiro subitem

\enditemize

\item segundo item

\item terceiro item

\enditemize

• primeiro item

– primeiro subitem

∗ primeiro subsubitem

∗ segundo subsubitem

∗ terceiro subsubitem

– segundo subitem

– terceiro subitem

• segundo item

• terceiro item

Como ja comentamos, esta secao visa apenas fornecer uma visao geral sobre o processador de textoLATEX, suficiente para comecar a utiliza-lo na preparacao de pequenos textos para uso em sala de aula,especialmente apostilas, provas e listas de exercıcios. Por isso, optamos por nao propor exercıciosespecıficos. Procure pensar em exemplos de simbologia matematica que voce queira representar e tenteexpressa-los em LATEX. Se preferir, [18] contem uma grande quantidade de exercıcios.

Organizando Conteudos na Forma de Hipertexto

Textos convencionais sao organizados em estrutura linear, na qual os topicos se sucedem uns aos outrosde maneira sequencial. Entretanto, dependendo de seus objetivos, um texto pode ser consideravelmenteenriquecido se sao estabelecidas ligacoes diversificadas entre as ideias tratadas. Este e o caso de textosmatematicos com fins didaticos, em que geralmente se deseja estabelecer ligacoes multiplas que apontempara diferentes aspectos de um mesmo conceito e para diferentes conceitos relacionados. Por outrolado, tambem e desejavel equilibrar essa multiplicidade de ligacoes, de forma que a linha principal dotexto seja preservada e este nao se torne excessivamente disperso ou perca o foco. Evidentemente, emtextos convencionais, essas ligacoes multiplas podem ser feitas como referencias, a outras partes doproprio texto ou a outros textos e materiais.

Em um hipertexto, os conteudos sao organizados de forma nao sequencial e nao hierarquica. Asligacoes (ou hiperlinks) tornam-se mais concretas e acessıveis, pois o leitor pode, a qualquer momento


o leitor pode se desviar ou retornar facilmente a leitura anterior. Assim, a estrutura de hipertexto abrea possibilidade de criar relacoes mais dinamicas entre ideias abordadas e, ao mesmo tempo,preservar a linha principal do texto. Essa estrutura permite que um mesmo material sejapercorrido de diversas maneiras – neste sentido, um hipertexto incorpora diversas possibilidades detextos em um unico material. Como o proprio leitor pode construir seu percurso atraves do hipertexto,essa estrutura pode ser aproveitada pelo professor para contemplar as necessidades e os diferentesritmos de aprendizagem de um publico diversificado de estudantes. Por exemplo, enquantoalguns alunos podem se deter mais na revisao de pre-requisitos para um dado conteudo, outros podemficar livres para explorar seus aprofundamentos teoricos.

Alem disso, os hiperlinks nao precisam apontar apenas para textos escritos, mas tambem paramateriais em outras mıdias (tais como imagens, vıdeos, softwares, animacoes, jogos, etc.), que podemser disponibilizados tanto localmente como pela internet (caso haja possibilidade de acesso). Destaforma, os hipertextos podem ser utilizados em processos de ensino/aprendizagem em Matematica, demodo a contribuir para o incremento e diversificacao das atividades. E claro que o uso de hipertextosdemanda a utilizacao de tecnologias digitais. Em particular, havendo a possibilidade de acesso a internet,o uso de hipertextos pode permitir uma expansao do espaco da sala de aula, agregando pesquisas ou deaprofundamentos relacionados a temas que nao estariam necessariamente no contexto usual de aula, eque, por este meio, podem ser acessados e compartilhados em ambientes virtuais. Os diversos modosde ensino a distancia, que utilizam computadores e internet como meio, fazem uso de hipertextos eoutras mıdias para formar uma rede que interliga conhecimento. A caracterizacao do hipertexto, pelapossibilidade de ligacao entre um grande numero de textos e outros materiais enredados de modonao sequencial, permite a criacao de diversificadas possibilidades de atividades. A propria internetesta repleta de materiais (com fins educacionais ou nao) estruturados em forma de hipertexto (porexemplo, Wikipedia e um grande hipertexto). Podemos assim propor atividades em disponibilizamosaos estudantes indicacoes de hiperlinks a vıdeos, softwares, relacoes com a historia da Matematica,textos de aprofundamento sobre o conteudo abordado, e uma serie de outros caminhos que podemcompor a atividade e permitir ao aluno maior acesso ao conhecimento abordado.

No planejamento de um hipertexto e importante selecionar os topicos que serao apontados por meiode hiperlinks e as mıdias adequadas para cada um deles, levando-se em conta os objetivos do material eo publico alvo. Estes topicos podem contemplar diferentes nıveis de relacoes: aprofundamentos teoricos,revisao de pre-requisitos, fundamentacao historica, conexoes com outros conceitos, e assim por diante.E claro que a elaboracao do texto devera levar em conta o fato de que havera materiais disponıveisem hiperlinks, o que tambem determinara seu conteudo e sua organizacao. Portanto, um hipertextonao precisa necessariamente ser concebido como um texto raiz no qual sao “pendurados” hiperlinks,embora este seja um modelo basico e de mais simples elaboracao que pode ser util em muitas situacoes.A concepcao dos conteudos e mıdias disponıveis nos diversos hiperlinks articulam-se mutuamente.

Para montar um hipertexto para uso em sala de aula, voce podera utilizar materiais disponıveisna internet, desde que nao haja violacao de direitos autorais. Considere o exemplo do texto a seguir1.Nele, indicamos (em azul), alguns trechos que podem ser vinculados a hiperlinks apontando para outrosmateriais. Em seguida, discutipos que tipo de materiais seriam esses e alguns criterios de selecao.

Representacao Decimal dos Numeros Reais

Na escola, lidamos frequentemente com numeros racionais representados na forma decimal.De fato, este tipo de representacao se aplica ao conjunto dos reais como um todo. Sao sem-pre ensinados alguns fatos importantes sobre este conteudo, tais como: toda fracao podeser representada como um decimal finito ou uma dızima periodica [1]; e, reciprocamente,

1Adaptado de ProfMat – Mestrado Profissional em Matematica em Rede Nacional, Sociedade Brasileira de Matema-tica, roteiros para a disciplina Numeros, Conjuntos e Funcoes Elementares, 2011.


toda dızima periodica pode ser representada na forma de fracao [2]. Uma consequenciaimediata deste fato e que um numero e racional se, e somente se, sua representacao decimale finita ou periodica. Algumas questoes importantes relacionadas a esta propriedade temmerecido pouca enfase no ensino basico de Matematica.

Em primeiro lugar, escrever um numero real positivo em representacao decimal significaexpressa-lo como uma soma cujas parcelas sao produtos de algarismos entre 0 e 9 porpotencias de 10, de expoentes inteiros, positivos e negativos. Esta e a generalizacao darepresentacao decimal para numeros naturais [3], em que aparecem apenas expoentes posi-tivos. Entretanto, quando se tratam de numeros reais, as somas podem ter uma quantidadeinfinita de parcelas com expoentes negativos. Assim, um numero real positivo a se escrevena forma

a = a0 + a110−1 + a210−2 + · · · (7.1)

sendo a0 um numero natural e os ai, i > 0, algarismos entre 0 e 9.

Neste caso, nao se tratam mais de simples somas no sentido algebrico, que teriam neces-sariamente que ser finitas, mas sim, de somas infinitas, o que e representado pelo sımbolode reticencias. Isto e, tratam-se de series [4].

Mas, o que e uma serie? Bem, a princıpio uma serie pode ser pensada simplesmente comouma soma formal com infinitas parcelas

S = x0 + x1 + x2 + · · ·+ xn + · · · .

Porem, calcular o “resultado” desta soma nao e o mesmo que calcular o resultado de umasoma finita. A soma de uma serie deve ser encarnada como o limite de uma sequencia [5].Assim, dizemos que a serie S converge quando a sequencia de suas somas parciais

S0 = x0, S1 = x0 + x1, S2 = x0 + x1 + x2, . . . , Sn = x0 + x1 + · · ·+ xn, · · ·

for convergente. O fato, que se assume tacitamente, de que as series como em (7.1) saosempre convergentes – o que equivale a dizer que o conjunto dos numeros reais e completo[6]. Na verdade pode-se demonstrar, assumindo a completude de R que estas series saoconvergentes por meio de uma comparacao com series geometricas [7] convergentes.

Portanto, ao fazermos operacoes com dızimas periodicas para obter fracoes geratrizes,estamos na verdade efetuando operacoes com limites – que so sao legıtimas porque sabemosde antemao que as series envolvidas sao convergentes.

Para entender dızimas periodicas como limites, e fundamental compreender bem a igualdade1 = 0, 9999 . . . [8], que e fonte de muitas duvidas. Muitos estudantes concebem estaigualdade como nao exata, ou como uma aproximacao. Talvez estas concepcoes estejamrelacionadas com certa confusao entre os termos de uma sequencia e seu limite. Nao eincomum ouvirmos comentarios do tipo “o limite da sequencia tende a x”. O limite de umasequencia e um numero fixo, portanto, nao pode tender a lugar algum! O correto e dizerque “o limite da sequencia e igual a x”, ou entao que “a sequencia tende a x”. Neste caso,os termos da sequencia se aproximam indefinidamente de seu limite. No caso da igualdade1 = 0, 9999 . . ., observamos que o sımbolo 0, 9999 . . . representa o limite da sequencia cujostermos sao x1 = 0, 9, x2 = 0, 99, x3 = 0, 999, e assim por diante. Podemos mostrar queesta sequencia tende a 1 [9]. Assim, podemos dizer que os termos x1 = 0, 9, x2 = 0, 99,x3 = 0, 999, . . . se aproximam de 1, mas o limite 0, 9999 . . . e igual a 1!


Para converter dızimas periodicas em fracoes, usamos o procedimento que envolve multi-plicacoes por potencias de 10 e adicoes. Como ja comentamos, esse procedimento envolveoperacoes com limites. Reciprocamente, para converter fracoes em representacoes deci-mais, empregamos divisoes sucessivas. Como ha uma quantidade finita de restos possıveise, a partir da primeira vez que um resto se repetir todos os algarismos do quociente se repe-tirao, obtemos necessariamente uma dızima periodica. Em particular, se aparecer um resto0, temos um decimal finito. Tais procedimentos, se devidamente organizados, constituem-se em um prova matematica rigorosa para o fato de que um numero real e racional se, esomente se, sua representacao decimal e finita ou periodica [10].

A prova de que R nao e enumeravel [11], argumento conhecido como Diagonal de Cantor[12], tambem se baseia na representacao decimal (ou na representacao binaria [13]) paraos numeros reais. Como Q e enumeravel [14], uma consequencia direta deste fato e que oconjunto dos numeros irracionais tambem e nao enumeravel. Assim, em um certo sentido,existem muito mais numeros irracionais do que racionais. Este fato e surpreendente e podeparecer anti-intuitivo, pois na escola, em geral, os alunos tem muito mais contato comexemplos diversos de racionais do que de irracionais. No entanto, se pensarmos mais umavez na representacao decimal, como os racionais sao dızimas periodicas e os irracionais, nao,poderemos verificar, de um ponto de vista intuitivo, o seguinte: se pudessemos formar umaexpressao decimal infinita, sorteando ao acaso dıgito por dıgito de 0 a 9, a probabilidadede obtermos um irracional e muito maior que a de obtermos um racional. Isto seria comojogarmos um dado (honesto) infinitamente e esperar que os dıgitos obtidos aleatoriamentese repetissem em um mesmo padrao para sempre! De fato, a probabilidade de obtermosum numero racional com este processo e igual a zero [15].

Para conceber um hipertexto no qual o texto acima esteja inserido, dois aspectos importantes devemser considerados:

• o publico alvo, que neste caso constitui-se de professores de Matematica do ensino basico;

• os objetivos centrais, que neste caso podem ser resumidos como discutir a estrutura da repre-sentacao decimal para numeros reais, sua importancia e suas aplicacoes.

Basicamente, os hiperlinks selecionados neste exemplo referem-se a tres tipos de relacoes com oconteudo do texto: revisoes de pre-requisitos basicos (no caso de [1], [2], [3], [7], [13]); aprofundamentosde conteudos avancados relacionados (no caso de [4], [5], [6], [14]); aprofundamentos do proprioconteudo (no caso de [8], [9], [10], [11], [12], [15]). Essa classificacao leva em conta o publicoalvo e os objetivos destacados acima. Assim, aprofundamentos teoricos do proprio conteudo do textoreferem-se diretamente aos objetivos centrais do hipertexto. Os revisoes de pre-requisitos basicos eos aprofundamentos de conteudos avancados relacionados levam em conta o conhecimento esperadodo publico alvo. Devemos observar que tambem que a linguagem empregada foi concebida para sercompatıvel com o publico alvo, e os materiais selecionados para o hiperlinks devem ser preferencialmentetambem coerentes com esta linguagem. Lembramos ainda que os materiais vinculados aos hiperlinksnao precisam se limitar a textos, e podem se incluir mıdias diversas. Por exemplo, no caso dos hiperlinks[3], [4], [5] e [7], e possıvel encontrar softwares e animacoes. A estrutura de hipertexto permite organizaro material de forma que as ideias principais fiquem concentradas e suas relacoes e aprofundamentosramifiquem-se em estrutura de rede.


Atividades

1. Selecione materiais em diversas mıdias na internet, que possam ser vinculados aos hiperlinksmarcados no texto Representacao Decimal dos Numeros Reais acima. Leve em conta os criteriosdiscutidos na secao anterior.

2. Considere o texto a seguir2. Suponha que voce queira inseri-lo como parte de um material emforma de hipertexto.

(a) Escolha trechos que possam ser vinculados a hiperlinks apontando para outros materiais.Explique e justifique seus criterios de escolha, levando em conta o publico alvo e os objetivosdo hipertexto.

(b) Selecione materiais em diversas mıdias na internet, que possam ser vinculados a cada um doshiperlinks escolhidos. Leve em conta os criterios discutidos na secao anterior, certificando-seque cada informacao disponibilizada seja correta.

Trigonometria no Triangulo e no Cırculo

A trigonometria e certamente um dos topicos cuja abordagem no Ensino Medio e maisartificialmente mistificada. Em primeiro lugar, observamos que, em geral, a aborda-gem de trigonometria em livros didaticos e fortemente calcada por uma quantidadeexcessiva de formulas (em muitos casos redundantes) e procedimentos memorizados,apresentados com interpretacao geometrica insuficiente.

Um segundo problema esta relacionado com os dois contextos matematicos fundamen-tais em que a trigonometria e desenvolvida: a trigonometria no triangulo retangulo e atrigonometria no chamado cırculo trigonometrico. No triangulo retangulo, o seno e ocosseno de um angulo agudo sao definidos como razoes entre comprimentos de lados.Portanto, neste contexto, falamos de seno e cosseno de angulos, definidos como razoestrigonometricas. No contexto do cırculo trigonometrico, tomamos como referencia umcırculo unitario C, com centro na origem de um sistema de eixos cartesianos e consi-deramos os angulos centrais que possuem um dos lados no eixo horizontal e o outrodefinido por um segmento OB, em que B e um ponto sobre a circunferencia. Se Besta no primeiro quadrante, os angulos determinados sao agudos e tudo ocorre comono contexto das razoes trigonometricas no triangulo retangulo. Como as hipotenusasdos triangulos medem uma unidade, o seno e o cosseno corresponderao as medidasdas suas projecoes sobre os eixos cartesianos. Existe uma correspondencia entre osangulos centrais e os arcos correspondentes determinados por este angulos. Portanto,podemos pensar que o seno e o cosseno dependem apenas do comprimento dessesarcos – por isso, o radiano aparece como um unidade natural no contexto das funcoestrigonometrica. Agora, podemos mover livremente o ponto B sobre a circunferencia,obtendo angulos obtusos, dando mais de uma volta completa no cırculo e andando nosentido negativo (horario). Desta forma, os conceitos inicialmente construıdos, tendoo triangulo retangulo como referencia, sao estendidos e, assim, passamos a tratar deseno e cosseno de numeros reais. Isto nos possibilita definir as funcoes trigonometricas,com domınio em R. O problema e que esses dois contextos sao tratados de forma com-pletamente estanque, sem que as relacoes entre eles sejam explicitadas e devidamenteesclarecidas. Isto pode ate mesmo causar nos alunos a impressao de que, quando fa-lamos de seno e cosseno no triangulo retangulo, ou no cırculo trigonometrico, ou nas

2Adaptado de ProfMat – Mestrado Profissional em Matematica em Rede Nacional, Sociedade Brasileira de Matema-tica, roteiros para a disciplina Numeros, Conjuntos e Funcoes Elementares.


funcoes trigonometricas, estamos nos referindo a conceitos matematicos inteiramentedesconectados, que talvez “por acaso” tenham o mesmo nome.

Antes de mais nada, e importante observar a importancia do conceito de semelhancapara a boa definicao das razoes trigonometricas no triangulo retangulo. De fato, sedois triangulos retangulos possuem um angulo agudo em comum, entao estes seraonecessariamente triangulos semelhantes. Portanto, as razoes entre seus lados corres-pondentes serao iguais. Isto nos garante que o seno e o cosseno fiquem bem definidos,isto e, que seus valores dependam apenas do angulo, e nao do triangulo retanguloescolhido. De forma geral, ao ler esta secao, procure atentar para o fato de que to-das as relacoes entre razoes trigonometricas sao na verdade expressoes algebricas depropriedades geometricas envolvendo os triangulos retangulos, seus lados e angulos.Por exemplo, o fato de que o seno de um angulo e igual ao cosseno de seu comple-mentar e uma consequencia direta da Lei Angular de Tales e das proprias definicoesdas razoes trigonometricas. Chamar atencao para essas interpretacoes geometricas,dando significado as relacoes algebricas, deve ser uma atitude permanente no ensinode trigonometria na Educacao Basica.

A construcao do cırculo trigonometrico pode ser feita por meio da funcao de EulerE : R → C, que enrola a reta no cırculo a partir do ponto (1, 0) = E(0). Observecomo o radiano surge naturalmente neste contexto como uma unidade de medida linearde comprimento de arco. Como ja observamos, o seno e o cosseno sao representadosgeometricamente pelas projecoes do raio do cırculo nos eixos coordenados. A partir daı,suas principais propriedades apresentam representacoes geometricas simples no cırculotrigonometrico. O cırculo trigonometrico e a base para a construcao das funcoes tri-gonometricas.

3. Suponha que voce queira elaborar um pequeno resumo, em formato de hipertexto, empregandoreferencias de sites encontrados na internet, para introduzir o conceito de logaritmo para alunosdo Ensino Medio.

(a) Elabore uma lista de topicos relacionados que voce incluiria no corpo do texto principal ecomo hiperlinks. Explique e justifique seus criterios de escolha, levando em conta o publicoalvo e os objetivos do hipertexto.

(b) Selecione materiais em diversas mıdias na internet, que possam ser vinculados a cada um doshiperlinks escolhidos. Leve em conta os criterios discutidos na secao anterior, certificando-seque cada informacao disponibilizada seja correta.

(c) Elabore a estrutura geral para o hipertexto, utilizando os topicos e hiperlinks relacionadosnos ıtens anteriores.

4. Considere um problema abaixo3. Suponha que voce queira propor a seus alunos um roteiro deestudos para a solucao do problema, que forneca diversas possibilidades para exploracao. O roteirodeve ser baseado em pesquisa eletronica e utilizacao de hipertexto.

Se dois paralelepıpedos tem uma base comum e suas bases superiores pertencem aum mesmo plano, paralelo ao plano da base comum, entao esses dois paralelepıpedospossuem o mesmo volume.

(a) Escreva o problema proposto e o roteiro que os alunos devem executar.

3Proposicao VII do Livro VI dos Elementos de Geometria de Adrien Marie Legendre [46].


(b) Acrescente ao roteiro hiperlinks para:

i. informacoes historicas pesquisadas na internet;ii. formas de representacoes ou simulacoes para o problema, tais como aplets, construcoes

com geometria dinamica, softwares de representacao 3D.iii. textos que reproduzam a solucao do problema, que possam ser consultados pelos alunos.

Ao selecionar o conteudo desses hiperlinks, leve em conta os criterios discutidos na secaoanterior, certificando-se de sua correcao.

(c) Peca que cada estudante apresente uma solucao para o problema e que utilize as diversasformas de representacao fornecida pelo editor e os hiperlinks fornecidos.

5. Desenvolva o exercıcio 4 em dois modelos:

(a) utilizando links remotos cujo acesso e obtido por internet;

(b) modo reuna todo material possıvel em um diretorio local, de modo que o problema podeser desenvolvido como atividade em local onde nao ha disponibilidade de acesso a internet.

Capıtulo 8

Criterios para Selecao de RecursosComputacionais no Ensino de Matematica

Introducao

Nos capıtulos anteriores, apresentamos algumas modalidades de recursos computacionais e discutimossuas possibilidades de aplicacao a diferentes topicos do ensino basico de Matematica. Neste capıtulofinal, em lugar de conduzir a discussao sob perspectiva dos recursos computacionais, abordaremos aescolha de modalidades de recursos computacionais adequadas a partir dos topicos a serem apresentados.Isto e, discutiremos criterios para selecao de recursos computacionais no ensino de Matematica.

Como procuramos exemplificar em diversas situacoes ao longo deste texto, a incorporacao de tecnolo-gias computacionais no ensino de Matematica possibilita novas abordagens, em alguns casos revelandoaspectos dos conceitos matematicos que dificilmente poderiam ser ensinados por meio de recursos con-vencionais. Desta forma, surgem novos problemas e sao necessarias novas estrategias para resolve-los. Aintroducao de uma ferramenta tecnologica em sala de aula deve se orientar por objetivos e competenciasa serem adquiridas pelos estudantes. Caso contrario, e bastante provavel que a ferramenta nao sejarealmente integrada ao processo de ensino, convertendo-se apenas em um simples adereco. Este pro-cesso deve envolver a compreensao da adequacao da ferramenta aos conceitos matematicosabordados, bem como as perspectivas didaticas em que ocorre a integracao da tecnologia. Efundamental que sejam consideradas ainda as potencialidades e provaveis limitacoes dos recursostecnologicos quando aplicados ao contexto de ensino e aprendizagem em questao.

Face a esta problematica, a avaliacao crıtica da incorporacao de tecnologias computacionais no en-sino de Matematica, levando em conta tanto os aspectos conceituais dos topicos matematicos, quantoas especificidades de cada contexto educacional, nao e um problema de solucao trivial. Nas duas secoesa seguir, apresentamos exemplos de planos de aula empregando recursos computacionais, e discuti-mos a escolha e adequacao desses recursos aos objetivos conceituais e pedagogicos. Neste sentido, eimportante destacar que tais objetivos nao podem ser estabelecidos a priori, como se o planejamentofosse concebido para uma aula convencional – a propria opcao em usar recursos computacionaiscria novas possibilidades instrucionais. Procuramos selecionar exemplos de atividades que possi-bilitem o uso de mais de uma modalidade de recursos computacionais. Assim, serao discutidos criteriospara selecao desses recursos para um determinado contexto educacional, em ambientes de sala de aulaconvencional ou de laboratorio, levando em conta as especificidades de cada situacao.

231

232CAPITULO 8. CRITERIOS PARA SELECAO DE RECURSOS COMPUTACIONAIS NO ENSINO DEMATEMATICA

8.1 Interpretando Dados do Cotidiano

Analisar e interpretar dados numericos reais e, sem duvida, uma boa proposta de aula com recursostecnologicos. Em muitos casos, dados numericos que podem ser facilmente pesquisados na internetpossuem consequencias relevantes para a vida cotidiana, porem sua analise pode envolver calculospesados, difıceis de serem realizados manualmente. Softwares computacionais acessıveis a professores ealunos do ensino basico podem ser usados para analisar e interpretar esses dados. Trazer essas analisespara a sala de aula e discutir seus resultados a luz dos conteudos matematicos ensinados pode tornara aprendizagem muito mais significativa.

Como exemplo, vamos apresentar como usar dados relacionados ao clima de uma regiao para en-contrar funcoes periodicas que ajustam esses dados ao longo dos meses do ano. Temperaturas medias,volume de chuvas e outros dados climaticos podem ser facilmente obtidos na internet, e uma boa fontede busca e o Banco de Dados Climaticos do Brasil, da Embrapa1. Nesse banco e possıvel encontrardados de muitas cidades brasileiras, em perıodos significativos (figura 8.1).

Figura 8.1: Banco de dados climaticos do Brasil.

O professor pode planejar uma aula em que cada aluno trabalhe com os dados climaticos de umadeterminada cidade brasileira. Assim cada aluno tera seu proprio conjunto de dados. O trabalho podese concentrar, por exemplo, nos dados relativos as temperaturas medias mensais da cidade escolhida.Vamos desenvolver essa proposta com a cidade de Curitiba. As temperaturas mensais medias da capitalparanaense no perıodo de 1963 a 1990 sao mostradas na segunda coluna da tabela da figura 8.1. Osalunos podem calcular inicialmente alguns valores que exprimem o comportamento desses dados, taiscomo:

1www.bdclima.cnpm.embrapa.br/resultados

8.1. INTERPRETANDO DADOS DO COTIDIANO 233

• temperatura media anual: 16, 5C (aproximadamente);

• maior temperatura media mensal: 19, 9C (fevereiro);

• menor temperatura media mensal: 12, 2C (junho);

• variacao das temperaturas medias mensais: 7, 7C;

• temperatura media mensal mais proxima da media anual: 16, 5C (outubro).

Dependendo da quantidade e complexidade dos dados, calculos como os acima podem ser feitos comuma calculadora de bolso, ou como uma planilha eletronica. Usar uma planilha eletronica tambem podeser uma primeira opcao para representar os dados graficamente (figura 8.2). A interpretacao grafica podeajudar os alunos a perceberem mais claramente a tendencia do comportamento dessas temperaturas aolongo das estacoes do ano. Essa discussao pode ser feita mesmo com alunos do ensino fundamental,e constitui uma maneira interessante de introduzir representacoes graficas nesse segmento escolar.Alem disso, o comportamento das medias mensais de temperatura serao influenciados pelas condicoesclimaticas da cidade em questao, o que propicia uma oportunidade de abordagem interdisciplinar coma disciplina de Geografia.

Figura 8.2: Grafico das temperaturas mensais medias em Curitiba no perıodo de 1963 a 1990.

Uma questao, um pouco mais avancada que pode ser proposta a partir da visualizacao do graficoe a seguinte: Que tipo de funcao pode ser usada para aproximar o comportamento das temperaturasmedias ao longo do ano? Como a variacao anual das temperaturas apresenta certa periodicidade(mesmo que nao no sentido matematico estrito do termo), uma opcao razoavel pode ser procurar umafuncao trigonometrica que ajuste a curva mostrada na figura 8.2. Tal funcao de ajuste pode ter aforma:

T (x) = a+ b sen (cx+ d) .

Os parametros a, b, c, d da funcao T podem ser explorados empiricamente por meio de umaconstrucao em um software de geometria dinamica (como mostraremos a seguir). Tal exploracao podeajudar os alunos a entenderem o comportamento de funcoes trigonometricas de forma mais concreta,tornando seu ensino mais interessante. No GeoGebra, a construcao pode ser feita de acordo com osseguintes passos:


1. introduza os pontos (x, T ) correspondentes aos valores tabelados para os meses x e para astemperaturas medias, digitando no campo Entrada;

2. ajuste a janela de visualizacao geometrica para uma variacao horizontal (eixo do tempo t emmeses) de −1 a 13 e vertical (eixo das temperaturas T em graus Celsius) de −1 a 30;

3. introduza os parametros a, b, c, d como variaveis dinamicas do aplicativo, com a variando de 10a 30, b variando de 0 a 10, c variando de 0 a 2 e d variando de −10 a 0;

4. construa o grafico da funcao T (x) = a+ b sen(cx+d), digitando a expressao no campo Entrada.

Figura 8.3: Ajuste trigonometrico no GeoGebra.

Apos esses passos, os alunos podem brincar a vontade, variando os parametros a, b, c, d para buscar,via observacao da geometria dinamica, valores dos parametros que resultem em um bom ajuste dospontos ao grafico da funcao. Na figura 8.3 temos um possıvel resultado dessa brincadeira para a cidadede Curitiba, que resultou no ajuste

f(x) = 16, 5 + 3, 85 sen (0, 52 x− 5, 2) .

Ao final da brincadeira com a construcao dinamica, o professor podera explorar questionamentossobre as propriedades matematicas da funcao de ajuste, como aqueles propostos na atividade 1.

8.2. RESOLVENDO UM PROBLEMA DE DIVERSAS FORMAS 235

Atividades

1. (a) O parametro a e muito proximo da temperatura media anual. Por que?

(b) O parametro b e muito proximo da metade da variacao das temperaturas medias mensais.Por que?

(c) O parametro c e muito proximo de π12. Por que?

(d) O parametro d possui uma relacao com o mes em que a temperatura media mensal foi maisproxima da temperatura media anual. Qual seria essa relacao?

2. Considerando a exploracao de dados numericos proposta nesta secao, responda as questoes aseguir.

(a) Quais sao os objetivos matematicos (isto e, que conceitos matematicos podem ser aborda-dos) da exploracao com apoio da planilha eletronica?

(b) Como a planilha eletronica pode enriquecer a exploracao?

(c) Para que etapas do ensino basico voce considera que o uso da planilha eletronica nestaexploracao e adequado?

(d) Que questoes voce proporia a seus alunos para ajudar a exploracao dos dados com apoio daplanilha eletronica?

3. Considerando a exploracao de dados numericos proposta nesta secao, responda as questoes aseguir.

(a) Quais sao os objetivos matematicos (isto e, que conceitos matematicos podem ser aborda-dos) da exploracao com apoio do ambiente de geometria dinamica?

(b) Como o ambiente de geometria dinamica pode enriquecer a exploracao?

(c) Para que etapas do ensino basico voce considera que o uso do ambiente de geometriadinamica nesta exploracao e adequado?

(d) Que propriedades de funcoes trigonometricas podem ser estudadas nesta exploracao comapoio do ambiente de geometria dinamica?

(e) Que questoes voce proporia a seus alunos para ajudar a exploracao dos dados com apoio doambiente de geometria dinamica?

8.2 Resolvendo um Problema de Diversas Formas

Muitos problemas de otimizacao, que recaem em funcoes do segundo grau, sao acessıveis a alunosensino medio. Considere, por exemplo, o seguinte problema.

Dentre todos os retangulos com 10 cm de perımetro, determine aquele que tem a maiorarea.

Se chamamos de x e y os lados do retangulo, entao temos que y = 5−x. Logo, a area do retanguloe dada em funcao de x por S = x(5− x). Portanto, para resolver este problema, devemos determinaro ponto de maximo da funcao:

S : ]0, 5[→ R , S(x) = x(5− x) .

Assim, concluımos que o retangulo procurado e o quadrado de lado 2, 5 cm.


Outros problemas de otimizacao sao modelados por funcoes cuja analise requer tecnicas de calculodiferencial. Mesmo esses problemas podem ser explorados no ensino medio, com o apoio de recursoscomputacionais. Para ilustrar esse tipo de exploracao, considere o problema a seguir.

Sera construıda uma caixa (sem tampa) com uma folha quadrada decartolina com 2m de lado. Para isso, sera cortado um quadrado delado x em cada vertice da folha, como mostra a figura ao lado. Emseguida, as abas assim determinadas serao dobradas e coladas, for-mando a caixa. Qual deve ser o valor de x para que a caixa tenha omaior volume possıvel?

A caixa assim construıda sera um paralelepıpedo reto cuja base e um quadrado de lado 1− 2x e aaltura e igual a x. Logo, o volume da caixa e dado por V = x (2− 2x)2. Os valores de x variam entre0 e 1. Portanto, para resolver este problema, devemos buscar o ponto de maximo da funcao:

V : ]0, 1[→ R , V (x) = x (2− 2x)2 .

Como V e uma funcao do terceiro grau, para resolver o problema precisarıamos determinar a derivadade V . Entretanto, a existencia da solucao deste problema e a busca por uma solucao aproximada podemser exploradas no ensino medio, por meio de softwares computacionais.

Uma primeira opcao e empregar um ambiente grafico simples para tracar o grafico da funcao (figura8.4, a esquerda). E importante alertar os alunos para o dato de que o domınio da funcao V no problemaem questao e o intervalo aberto ]0, 1[ (que corresponde aos valores de x que fazem sentido para oproblema). Portanto, embora, de forma geral, o software gerara o grafico para todos os valores dex ∈ R, so devemos considerar o trecho correspondente a 0 < x < 1. Observando o grafico gerado, epossıvel perceber a existencia de um ponto de maximo no intervalo ]0, 1[ . Em seguida, e possıvel usaros recursos do software para aproximar a janela grafica desse ponto de maximo (figura 8.4, a direita).Pode-se verificar assim que o valor da abscissa do ponto de maximo e proximo de 0, 33.

Figura 8.4: Aproximando a solucao do problema de otimizacao em um ambiente grafico.

Observe que a existencia (mas nao a unicidade) do ponto de maximo pode ser justificada analiti-camente pela analise do sinal da funcao. De fato, como V (0) = V (1) = 0 e V (x) > 0 para x ∈ ]0, 1[(e V e contınua), deve existir pelo menos um ponto de maximo no intervalo ]0, 1[ . Entretanto, paradeterminar analiticamente o valor desse ponto de maximo, sao necessarias tecnicas do calculo diferen-cial. Os alunos podem supor, por exemplo, que o ponto de maximo encontra-se no ponto medio dasraızes, generalizando indevidamente a propriedade familiar a funcoes do segundo grau. O professor devealertar, neste caso, que essa propriedade nao se aplica a funcoes polinomiais de grau maior ou igual a3, com apoio de visualizacao no ambiente grafico. Estas discussoes sao acessıveis ao ensino medio e


corresponde a maneira de abordar funcoes polinomiais pouco explorada em geral. Alem disso, e possıvelmotivar a necessidade de outras tecnicas para determinar o valor exato do ponto de maximo, quantoos metodos algebricos estudados no ensino medio nao sao suficientes.

Outra opcao e, em um ambiente de geometria dinamica, construir o grafico da funcao, diretamentea partir da situacao geometrica. Para isso, no GeoGebra, iniciamos fazendo a construcao geometricacorrespondente ao problema. Primeiro, construımos um quadrado ABCD de lado 2 (figura 8.5).

Figura 8.5: Explorando um problema de otimizacao GeoGebra.

Em seguida, completamos a construcao geometrica (figura 8.6) por meio dos seguintes passos:

1. Marque M , o ponto medio do lado AB do quadrado, e marque um ponto movel X1 sobre AM .Trace o cırculo de centro A e raio AX1, e marque o ponto X2, de intersecao desse cırculo como lado AD.

2. Trace a reta perpendicular ao lado AD passando por X2, e marque o ponto X3, de intersecaodessa reta com o lado BC. Trace o cırculo de centro B e raio BX3, e marque o ponto X4, deintersecao desse cırculo com o lado AB.

3. Trace a reta perpendicular ao lado AB passando por X4, e marque o ponto X5, de intersecaodessa reta com o lado CD. Trace o cırculo de centro C e raio CX5, e marque o ponto X6, deintersecao desse cırculo com o lado BC.

4. Trace a reta perpendicular ao lado BC passando por X6, e marque o ponto X7, de intersecaodessa reta com o lado AD. Trace a reta perpendicular ao lado AB passando por X1, e marqueo ponto X8, de intersecao dessa reta com o lado AD.



Finalmente, usamos essa construcao para gerar o grafico da funcao volume V . Para isso, exiba oseixos cartesianos no GeoGebra, e digite a seguinte sequencia de expressoes no campo Entrada:

1. X = comprimento[vetor[A,X1]]que corresponde ao valor da altura da caixa (Usamos X maiusculo, pois x e y minusculos saoreservados no software para as variaveis associadas aos eixos cartesianos);

2. L = comprimento[vetor[X1, X4]]que corresponde ao valor do lado da base da caixa;

3. P = (X,X ∗ L ∗ L)que corresponde ao ponto no plano cuja abscissa e o valor de x, e a ordenada e o valor de V (x)correspondente.

Agora, voce podera pedir que os alunos movam o ponto X1 sobre o segmento AM e observem omovimento consequente do ponto P (figura 8.7). Em seguida, podemos usar a ferramenta de lugargeometrico do software para gerar o lugar geometrico do ponto P quanto X1 varia, que correspondeao grafico da funcao V (figura 8.8).




E importante observar que tanto as exploracoes descritas acima, tanto no ambiente grafico quantono ambiente de geometria dinamica, ajudam a entender o problema de otimizacao, fornecem abordagenspara funcoes reais diferentes das usuais, e podem servir como motivacao para a introducao do calculodiferencial. No entanto, estas nao conduzem a solucao exata do problema. No caso de alunos que jatem familiaridade com calculo, este problema pode ainda ser explorado em um sistema de computacaoalgebrica, como o Maxima (figura 8.9).

Figura 8.9: Explorando um problema de otimizacao Maxima.

Assim, o valor de x que gera a caixa de maior volume e x0 =1

3, que corresponde a V (X) =

4

9.

Atividades

1. Considerando a exploracao do problema de otimizacao proposta nesta secao, responda as questoesa seguir.

(a) Quais sao os objetivos matematicos (isto e, que conceitos matematicos podem ser aborda-dos) da exploracao com apoio do ambiente grafico?

(b) Como o ambiente grafico pode enriquecer a exploracao?

(c) Para que etapas do ensino basico voce considera que o uso do ambiente grafico nestaexploracao e adequado?

(d) Que questoes voce proporia a seus alunos para ajudar a exploracao dos dados com apoio doambiente grafico?



(a) Quais sao os objetivos matematicos (isto e, que conceitos matematicos podem ser aborda-dos) da exploracao com apoio do ambiente de geometria dinamica?

(b) Como o ambiente de geometria dinamica pode enriquecer a exploracao?

(c) Para que etapas do ensino basico voce considera que o uso do ambiente de geometriadinamica nesta exploracao e adequado?

(d) Que questoes voce proporia a seus alunos para ajudar a exploracao dos dados com apoio doambiente de geometria dinamica?


(a) Quais sao os objetivos matematicos (isto e, que conceitos matematicos podem ser aborda-dos) da exploracao com apoio do sistema de computacao algebrica?

(b) Como o sistema de computacao algebrica pode enriquecer a exploracao?

(c) Para que etapas do ensino basico voce considera que o uso do sistema de computacaoalgebrica nesta exploracao e adequado?

(d) Que questoes voce proporia a seus alunos para ajudar a exploracao dos dados com apoio dosistema de computacao algebrica?

4. Suponha que elaborar uma atividade, com apoio de recursos computacionais, abordando o con-ceito de logaritmo para alunos do ensino medio.

(a) Escolha pelo menos duas modalidades de recursos computacionais diferentes, levando emconta:

• as potencialidades e limitacoes especıficas dos recursos computacionais;• a adequacao dos recursos computacionais a etapa escolar dos alunos;• a adequacao dos recursos computacionais ao conceito matematico escolhido.

Justifique a escolha dos recursos computacionais, com base nos criterios acima.

(b) Elabore um plano de aula para a atividade, explicitando seus objetivos.

(c) Qual e o papel dos recursos computacionais no desenvolvimento das atividades?

(d) Que vantagens e desvantagens o uso do dos recursos computacionais pode trazer paraa aprendizagem dos conceitos enfocados, em comparacao com abordagens com recursosconvencionais?


5. Escolhe um topico do ensino fundamental e elabore um plano de aula com apoio de recursoscomputacionais, respondendo as mesmas questoes da atividade 4.

6. Escolhe um topico do ensino medio e elabore um plano de aula com apoio de recursos computa-cionais, respondendo as mesmas questoes da atividade 4.

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ma36 - recursos computacionais no ensino de matemática

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