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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA POLITÉCNICA

LUÍS FERNANDO MAIA LIMA

TERMO DE ATRITO EM ESCOAMENTO

TRANSITÓRIO PARA CONDUTOS FORÇADOS

São Paulo

2006

LUÍS FERNANDO MAIA LIMA

TERMO DE ATRITO EM ESCOAMENTO

TRANSITÓRIO PARA CONDUTOS FORÇADOS

Tese apresentada à Escola Politécnica da

Universidade de São Paulo para obtenção do

Título de Doutor em Engenharia.

Área de Concentração:

Engenharia Hidráulica

Orientador:

Prof. Dr.

Podalyro Amaral de Souza

São Paulo

2006

FOLHA DE APROVAÇÃO

Luís Fernando Maia Lima Termo de atrito em escoamento transitório para condutos forçados

Tese apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do Título de Doutor em Engenharia. Área de Concentração: Engenharia Hidráulica

Aprovado em:

Banca Examinadora

Prof. Dr. ___________________________________________________________________

Instituição:___________________________

Assinatura:_______________________________

Prof. Dr. ___________________________________________________________________

Instituição:___________________________

Assinatura:_______________________________

Prof. Dr. ___________________________________________________________________

Instituição:___________________________

Assinatura:_______________________________

Prof. Dr. ___________________________________________________________________

Instituição:___________________________

Assinatura:_______________________________

Prof. Dr. ___________________________________________________________________

Instituição:___________________________

Assinatura:_______________________________

Dedicado à Ana Lúcia Cunha da Silva (in memoriam).

O presente trabalho só foi possível porque alguém, em tempos imemoriais, sacrificou sua vida

em prol de outros quatros seres humanos. Mais do que justo, portanto, dedicar esta vitória à

Srª. Orlanda Maia Lima.

Dedicado também aos remanescentes do clã Maia Lima, bem como à minha esposa Alzira

Monteiro dos Santos, que me acompanhou desde o início nesta jornada.

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Dr. Podalyro Amaral de Souza e família, mais do que um amigo e orientador, e sim

um grande conselheiro, pela confiança depositada conosco.

À Srª. Orlanda Maia Lima, que lutou com toda a força pela educação de seus filhos.

Ao pai Messilindo Teixeira Lima, meus irmãos Emmanuel Augusto, Paulo Vítor e família,

Luís Flávio, tia Therezinha, padrinhos Hélio e Tereza e Profª. Alair. À Alzira Monteiro dos

Santos, pelo companheirismo e dedicação nestes últimos anos.

Aos amigos Fábio César, Leonardo Gomes, Éber Moraes, Mário Benone, Alexandre

Guimarães, Dr. Emanuel Pinheiro e família, Dr. Elinaldo e família, Antônio Claudino, Prof.

Pedro Accorsi, Pedro Alves, Michele, Francis, Lair, Isabel, Nália, Sr. Ezequiel e família.

Aos meus colegas e amigos de trabalho em Belém do Pará e também as Profas. Marília

Ferreira Emmi, Tereza Ximenes e Edna Castro pela liberação de carga horária.

Aos funcionários e amigos do Centro Tecnológico de Hidráulica e Recursos Hídricos (CTH),

da secretaria do Departamento de Engenharia Hidráulica e Sanitária, da secretaria de Pós-

Graduação e das Bibliotecas de: Engenharia Civil, Engenharia Mecânica, Engenharia

Química e Central, pela constante ajuda dispensada, e à todos que, direta ou indiretamente,

colaboraram na execução deste trabalho, bem como os amigos do município de Salinas, no

Estado do Pará.

Aos Professores do Departamento de Engenharia Hidráulica e Sanitária, pelo constante

estímulo e aprendizagem, ao João Batista Mendes e Elizandra Amaral Monteiro pelo auxílio

computacional, e ao Sr. Gustavo Amaral pela compilação dos dados experimentais.

Aos professores João Frutuoso Dantas Filho e Luiz Otávio Mota Pereira, que concederam as

cartas de recomendações. E também à copiadora do Cachá.

“Eu não me envergonho de corrigir e mudar as minhas opiniões, porque não me envergonho

de raciocinar e aprender”.

Alexandre Herculano

“A sociedade não é mais que o desenvolvimento da família: se o homem sai da família

corrupto, corrupto estará para a sociedade”.

Henri Lacordaire

“Há homens que lutam um dia, e são bons. Há homens que lutam um mês, e são muito bons.

Há também os que lutam por um ano, e estes são ainda melhores. Mas há aqueles que lutam a

vida inteira, e estes são imprescindíveis”.

Franklin Delano Roosevelt

“Nunca são esquecidas as lições aprendidas na dor”.

Provérbio Africano

“As lições da desgraça são as sumas lições da vida”.

Giacomo Leopardi

“As únicas desgraças completas são as desgraças com as quais nada aprendemos”.

William Ernest Hucking

“A verdadeira medida de um homem não é como ele se comporta em momentos de conforto e

conveniência, mas como ele se mantém em tempos de controvérsia e desafio”.

Martin Luther King Jr.

“Não importa o quão difícil tenha sido o passado. Podemos sempre recomeçar”.

J. Kornfield

“Por que cometer erros antigos se há tantos erros novos a escolher?”.

Bertrand Russel

RESUMO

LIMA, L. F. M. Termo de atrito em escoamento transitório para condutos forçados. 2006. 131 f. Tese (Doutorado) – Escola Politécnica, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2006. O presente trabalho versa sobre o termo de atrito em escoamento transitório em condutos forçados, partindo de uma modelação matemática da tensão de cisalhamento transiente, usando conceitos do princípio da entropia máxima. Usa-se a modelação deste termo de atrito na análise do transitório hidráulico, comparando-se com dados experimentais já publicados de um sistema Reservatório-Tubo-Válvula.

Palavras-chave: Transientes hidráulicos, Golpe de aríete, Tubulações

ABSTRACT

LIMA, L. F. M. Friction term for hydraulic transient in closed conduits. 2006. 131 f . Thesis (Doctoral) – Escola Politécnica, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2006.

This report contains a friction term for hydraulic transient in closed conduits. We use a

mathematical model for the shear stress, derived by principle of maximum entropy.

Then, we use this friction term for an analysis in a system reservoir-tube-valve, comparing

our results with anothers already published in the literature.

Keywords: Hydraulic Transients, Waterhammer, Pipelines.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Gráfico comparativo entre valores experimentais e numéricos da variação de

pressão ao longo tempo de uma válvula redutora de pressão ....................................8 Figura 2 - Gráfico comparativo entre valores experimentais e numéricos da variação de

pressão ao longo tempo de um fechamento brusco de uma válvula em um sistema RTV ...........................................................................................................................9

Figura 3 - Gráfico do perfil de velocidade (termos oscilatórios) para kR = 1 .........................15 Figura 4 - Gráfico do perfil de velocidade (termos oscilatórios) para kR = 3 .........................16 Figura 5 - Gráfico do perfil de velocidade (termos oscilatórios) para kR = 5 .........................17 Figura 6 - Gráfico do perfil de velocidade (termos oscilatórios) para kR = 10 .......................18 Figura 7 - Gráfico dos coeficientes de amplitude e defasagem da velocidade média seccional

para diversos valores de kR (Pulsação monocromática) .........................................19 Figura 8 - Coeficientes de amplitude e defasagem da tensão cisalhante para diversos valores

do parâmetro kR (Pulsação monocromática) ........................................................20 Figura 9 – Fator de atrito em escoamento transitório em função do Número de Reynolds

baseado na velocidade média temporal (ilustração do efeito da frequência) .......24 Figura 10 – Fator de atrito para escoamento oscilatório em função da vazão relativa

instantânea, para número de Reynolds igual a 105, amplitude da oscilação periódica da vazão igual a 0,5 da freqüência adimensional ω0 = ωD2/ν igual a 104 para a curva 1 e ω0 = 106 para a curva 2 ...............................................................26

Figura 11 – Fator de atrito para escoamento oscilatório (vazão média nula) em função da

vazão relativa instantânea, para número de Reynolds igual a 50000 e freqüência adimensional ω0 = ωD2/ν igual a 106 ....................................................................27

Figura 12 – Teste nº 1: Resultados experimentais com o histórico temporal da pressão e perfis

de velocidade correspondentes ..............................................................................42 Figura 13 - Teste nº 2: Resultados experimentais com o histórico temporal da pressão e perfis

de velocidade correspondentes ..............................................................................43 Figura 14 - Teste nº 2: Resultados experimentais com o histórico temporal da pressão e perfis

de velocidade correspondentes. (continuação) .....................................................44 Figura 15 – Perfis de velocidade (transitório laminar) para diversas manobras de fechamento

da válvula. Passagem da primeira onda positiva ................................................47 Figura 16 – Perfil de velocidade do escoamento turbulento pela fórmula da equação (56), para

vários valores do parâmetro “γ”. Comparação com dados experimentais de vários autores ......................................................................................................49

Figura 17 – Perfil de velocidade do escoamento turbulento pela fórmula da equação (56), para

valor do parâmetro “γ” igual a 10. Comparação com dados experimentais de Brunone et al. (2000) .............................................................................................50

Figura 18 - Perfis de velocidade (transitório turbulento) para fechamento instantâneo da

válvula. Passagem da primeira onda positiva .......................................................51 Figura 19 – Malha Escalonada Cruzada

...................................................................................70 Figura 20 – Comparação entre o modelo teórico usando o fator de atrito “f” constante durante

o transitório(em azul) e dados experimentais (em vermelho) ...............................76 Figura 21 – Comparação entre o modelo teórico usando o fator de atrito “f” variável durante o

transitório (em azul) e dados experimentais (em vermelho) .................................78 Figura 22 – Comparação entre o modelo teórico usando a tensão de cisalhamento entrópica de

regime permanente (assumindo “M” constante e modelação de 1ª ordem para o termo de atrito) aplicado ao transitório hidráulico (em azul) e dados experimentais (em vermelho) ...............................................................................87

Figura 23 – Comparação entre o modelo teórico usando a tensão de cisalhamento entrópica de

regime permanente (assumindo “M” constante e modelação de 2ª ordem para o termo de atrito) aplicada ao transitório hidráulico (em azul) e dados experimentais (em vermelho) .......................................................................................................91

Figura 24 – Comparação entre o modelo teórico usando tensão de cisalhamento entrópica de

regime permanente (assumindo “M” constante e modelação de ordem mista para o termo de atrito) aplicado ao transitório hidráulico (em azul) e dados experimentais (em vermelho) ...............................................................................94

Figura 25 – Comparação da modelação entrópica de ordem mista e modelação com fator de

atrito “f” variável com dados experimentais .........................................................99 Figura 26 – Malha Regular

.....................................................................................................105 Figura 27 – Comparação entre o modelo teórico usando a tensão de cisalhamento entrópica de

regime oscilatório (assumindo “M” constante), aplicado ao transitório hidráulico (em azul), e dados experimentais (em vermelho) ...............................................108

Figura 28 – Comparação da modelação entrópica de regime permanente e modelação

entrópica de regime oscilatório com dados experimentais .................................109 LISTA DE SÍMBOLOS

H carga hidráulica total (m) t tempo (s) a celeridade (m/s) g aceleração gravitacional (m/s2) A amplitude do movimento (m) A área do tubo (m2) Amín área mínima da tomada d’água (m2) Amáx área máxima da tomada d’água (m2) Ai área na secção “i” considerada da tomada d’água (m2) Q vazão em volume (m3/s) x coordenada longitudinal (m) X distância contada a partir da válvula (sistema RTV) (m) D diâmetro hidráulico (m) L comprimento da tubulação (m) L termo englobando a inertância (s2/m3) L comprimento da coluna líquida no tubo em “U” (m) ρ massa específica (kg/m3) ν viscosidade cinemática (m2/s) µ viscosidade dinâmica (kg/m.s) ω velocidade angular (rad/s) ω freqüência oscilatória (rad/s) fu fator de atrito para o escoamento não-permanente (-) f fator de atrito para o escoamento permanente (-) τwu tensão de cisalhamento na parede correspondente ao regime transitório (N/m2)

τws tensão de cisalhamento na parede devido ao escoamento permanente (N/m2) τ tensão de cisalhamento instantânea (N/m2) V velocidade média numa secção qualquer (m/s) Vmín velocidade mínima (que ocorre na secção de área máxima “Amáx”) (m/s) Vmáx velocidade máxima (que ocorre na secção de área mínima “Amín”) (m/s) V velocidade média instantânea (m/s) ϑ ordem de grandeza (-) Re número de Reynolds (-) Cr adimensional (número de COURANT) que caracteriza a estabilidade numérica (-) ∆Q variação de vazão (m3/s) ∆t intervalo de tempo (s) Qa vazão conhecida da interação numérica anterior (m3/s) Qp vazão a ser calculada (m3/s) t* tempo adimensionalizado (-) t0* tempo adimensionalizado (-) td tempo de amortecimento das oscilações na secção X (s) T período da tubulação (s) T tempo de relaxação (-) R raio do tubo (m) R resistência do tubo (s/m3) Ω parâmetro de Valensi (-) i unidade imaginária (-) xω associado a amplitude do gradiente de pressão oscilatório (m/s2) xo associado ao gradiente de pressão médio temporal (m/s2) xcω representa amplitude das vibrações (m/s2)

xsω idem (m/s2) p pressão (N/m2) r raio genérico (m) r raio adimensional (-) Jo função de Bessel de ordem zero (-) J1 função de Bessel de ordem um (-) I0 função modificada de Bessel (-) I1 função modificada de Bessel (-) I2 função modificada de Bessel (-) k inverso da profundidade de penetração (m-1) σu representa uma amplitude da velocidade média seccional δu representa a defasagem da velocidade média seccional στ representa uma amplitude da tensão cisalhante na parede do tubo δτ representa a defasagem da tensão cisalhante na parede do tubo p(0,t) pressão na válvula em qualquer instante (N/m2) pv pressão na válvula em t = 0 (N/m2) U velocidade média inicial (m/s)

W(t-t’) função peso (-) I inertância (Kg/m3) ω0 freqüência adimensional (-) γ constante de propagação (m-1) γ parâmetro adimensional (-) γ parâmetro similar ao parâmetro M de entropia (-) Q0 vazão média em regime permanente (m3/s)

C compliância (m) Zc impedância característica (s/m2) α fator de atenuação (m-1) φ fator de dissipação (-) ∆ espessura da camada limite em regime permanente (m) θ parâmetro adimensional (-) ξ fator de atrito constante (-) ωn freqüência natural de oscilação (-) K fator de amortecimento por atrito (s-1) Kr fator de rugosidade relativa (m) q vazão relativa (-) ∆J correção de tensão de cisalhamento (-) λ1 caracteriza efeitos especiais de inércia (-) λ2 caracteriza efeitos especiais de inércia (-) Cj coeficiente de influência (s2/m) α’ coeficiente de quantidade de movimento (-) ∆P := queda de pressão (N/m2) ∆PN,X Queda de amplitude de pressão no instante N, na secção X (N/m2) ∆PN-1,X Queda de amplitude de pressão no instante anterior (N – 1), na secção X (N/m2) KX constante de amortecimento na secção X (-) K” coeficiente de amortecimento devido ao atrito interno da coluna líquida (-) δX coeficiente representando as perdas distribuídas ao longo da tubulação (-) Γ (s) operador de propagação (-) Z (s) impedância característica para tubulação com atrito dependente da freqüência (s/m2) s variável de Laplace (s-1)

Ju perda de carga unitária do escoamento transitório (-) Js perda de carga unitária do escoamento estacionário (-) k3 constante relacionando efeitos do regime transitório sobre a inércia local e o atrito (-) Uτ0 velocidade de atrito, correspondente ao regime permanente (m/s) sgn função sinal (-) ui (r) velocidade longitudinal adimensional (-) H(x) entropia de um sistema. (-) p(x) função de densidade de probabilidade da variável x. (-) F(u) função de distribuição cumulativa da velocidade (-) u velocidade média (m/s) λ1 multiplicador de Lagrange (-) λ2 multiplicador de Lagrange (-) K1 constante similar a de Von-Karman (-) u* velocidade de atrito (m/s) y coordenada vertical (medida a partir do fundo) (m) D profundidade do escoamento (m) u velocidade longitudinal na altura “y” (m/s) umáx velocidade máxima longitudinal (m/s) J declividade da linha de energia (m/m) τ tensão de cisalhamento na posição “y” (N/m2) τ0 tensão de cisalhamento no leito do canal (“y” = 0) (N/m2) F(τ) função de distribuição cumulativa da tensão de cisalhamento (-) η coordenada curvilínea baseada nas linhas de isovelocidade (m) ξ coordenada curvilínea baseada nas linhas de isovelocidade (m)

ξ0 valor mínimo da coordenada ξ (m) ξmáx valor máximo da coordenada ξ (m) M parâmetro de entropia (-) h parâmetro que controla a inclinação e a forma da curva de distribuição de velocidade

próxima à superfície da água. (m) α coeficiente de energia (-) β coeficiente de quantidade de movimento (-) ε0 coeficiente de quantidade de movimento na parede do tubo (m2/s) (du/dr)r=R gradiente de velocidade na parede do tubo (s-1) ∀i volume da tomada d’água até a secção “i” considerada (m3) ∀t volume total da tomada d’água (m3) k rugosidade absoluta (m) aC termo de aceleração (m/s2) LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ASCE American Society of Civil Engineers ASME American Society of Mechanical Engineers

BHRA British Hydromechanics Research Association DAEE Departamento de Águas e Energia Elétrica IAHR International Association for Hydraulic Research IMPREM Impulse Response Method (ou método da resposta impulso) ISA Instrument Society of America JSCE Japan Society of Civil Engineers JSME Japan Society of Mechanical Engineers PEM Princípio da Entropia Máxima RTV Reservatório-Tubo-Válvula LISTA DE TABELA Tabela I – Valores da Inertância (em forma adimensional) como função do número de

Reynolds, para baixas freqüências ........................................................................23 Tabela II – Resultados Obtidos por Jelev (1989) – Fechamento rápido da válvula ................34

Tabela III – Dados experimentais de Bergant e Simpson, Apud Ghidaoui e Mansour (2002)

72

Tabela IV – Cargas transitórias na válvula. Experiência de Bergant e Simpson, apud Ghidaoui e Mansour (2002) ................................................................................................74

Tabela V – Comparação entre o modelo teórico usando o fator de atrito “f” variável, o modelo

teórico usando o fator de atrito “f” constante e dados experimentais durante o transitório ............................................................................................79

Tabela VI – Comparação entre os três tipos de modelação entrópica. (Valores de Carga

Hidráulica na Válvula (m)) .................................................................................94 Tabela VII – Comparação entre o modelo teórico usando o fator de atrito “f” variável, o

modelo teórico da formulação entrópica mista e dados experimentais durante o transitório ............................................................................................................97

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 1

2 OBJETIVOS 4 3 JUSTIFICATIVA 5 4 REVISÃO DA LITERATURA 11 5 O PRINCÍPIO DA ENTROPIA MÁXIMA (PEM) 55 6 MODELAÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO APLICADA AO TRANSITÓRIO HIDRÁULICO EM CONDUTOS FORÇADOS 69 6.1 USO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO EM REGIME PERMANENTE APLICADA AO ESCOAMENTO TRANSITÓRIO (FATOR DE ATRITO “f” CONSTANTE) 69 6.2 USO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO EM REGIME PERMANENTE APLICADA AO ESCOAMENTO TRANSITÓRIO (FATOR DE ATRITO “f” VARIÁVEL) 77 6.3 USO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO ENTRÓPICA EM REGIME PERMANENTE APLICADA AO ESCOAMENTO TRANSITÓRIO (PARÂMETRO “M” CONSTANTE E TERMO DE ATRITO DE 1ª ORDEM) 82 6.4 USO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO ENTRÓPICA EM REGIME PERMANENTE APLICADA AO ESCOAMENTO TRANSITÓRIO (PARÂMETRO “M” CONSTANTE E TERMO DE ATRITO DE 2ª ORDEM) 89 6.5 USO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO ENTRÓPICA EM REGIME PERMANENTE APLICADA AO ESCOAMENTO TRANSITÓRIO (PARÂMETRO “M” CONSTANTE E TERMO DE ATRITO MISTO) 92 6.6 COMPARAÇÃO DA MODELAÇÃO ENTRÓPICA DE ORDEM MISTA E MODELAÇÃO COM FATOR DE ATRITO “f” VARIÁVEL 97 6.7 USO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO ENTRÓPICA EM REGIME OSCILATÓRIO APLICADA AO ESCOAMENTO TRANSITÓRIO (PARÂMETRO “M” CONSTANTE) 101 7 CONCLUSÕES 110 8 RECOMENDAÇÕES PARA FUTURAS PESQUISAS 111 9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 112 10 BIBLIOGRAFIA ADICIONAL 125

1

1. INTRODUÇÃO.

Transitório hidráulico em conduto forçado ou golpe de aríete é o nome dado ao

fenômeno de variação de pressão que se verifica em um conduto forçado quando ocorre a

variação de velocidade devido a ação, ou alteração funcional, de algum equipamento, como

por exemplo, bombas, turbinas e válvulas. O transitório hidráulico em conduto forçado é um

processo periódico, onde ocorrem deformações elásticas tanto no líquido como na tubulação.

Há cerca de 44 anos, V. L. Streeter e C. Lai (1962) apresentaram um trabalho

de análise de transitório hidráulico que incluía o fator de atrito. Desde então, surgiram

diversos métodos de análise das equações do escoamento transitório em condutos forçados,

sendo o mais usual o já consagrado método das características. Outros métodos são: implícito,

elementos finitos, diferença finita, integral de contorno, espectral e da análise linear (que

inclui a resposta em freqüência e de vibração livre). No caso da resposta em freqüência, o

método da resposta impulso é útil para quantificar vários fatores dependentes do tempo

(“frequency-dependent”).

Seguem mais algumas definições:

- Escoamento permanente: não há mudança nas condições em um ponto com o

tempo (em termos de valores médios temporais).

- Escoamento não-permanente: as condições em um ponto variam com o

tempo.

- Escoamento transitório: é usado como sinônimo do escoamento não-

permanente.

- Escoamento permanente-oscilatório, oscilatório, periódico ou pulsativo: a

condição do escoamento varia com o tempo, mas repete-se identicamente em

um intervalo fixo de tempo, este intervalo de tempo denominado período de

oscilação.

O estudo do escoamento transitório em conduto forçado apresenta como

variáveis de mérito a pressão (p) e a velocidade (v), ou similarmente, a carga hidráulica (H) e

a vazão (Q), dependente de uma posição “x” genérica da tubulação e do instante “t”

correspondente. Assim, o interesse do engenheiro da área civil está focado na determinação

de valores discretos associados as duas funções H(x,t) e Q(x,t), havendo pois o mister de duas

equações para a resolução do problema.

Para tanto, as equações da Conservação de Massa e do Momentum, aplicadas à

engenharia hidráulica, escrevem-se respectivamente como:

2

02

=∂∂

+∂∂

xQ

gAa

tH (1)

02

=+∂∂

+∂∂ QQ

DAf

xHgA

tQ (2)

sendo:

H := carga hidráulica total (m)

t := tempo (s)

a := celeridade (m/s)

g := aceleração gravitacional (m/s2)

A := área da secção transversal do tubo (m2)

Q := vazão em volume (m3/s)

x := coordenada longitudinal (m)

f := fator de atrito em escoamento permanente (-)

D := diâmetro hidráulico interno (m)

As hipóteses que conduzem à obtenção das equações (1) e (2) são:

1 – O fluido é “ligeiramente” compressível (ou, de maneira similar, o fluido é quase-

incompressível). O efeito de compressibilidade é caracterizado por um módulo de elasticidade

volumétrico constante.

2 – A tubulação é cilíndrica circular de parede linearmente elástica (ou seja, a tensão entre a

parede da tubulação e o fluido é proporcional à deformação, portanto, vale a lei de Hooke).

3 – O escoamento é unidimensional.

4 – A pressão e a velocidade são uniformes nas extremidades do volume de controle.

5 – A velocidade radial (devida à expansão e contração), sendo pequena, não é incluída na

análise, mas os seus efeitos são levados em conta na celeridade.

6 – Os termos da aceleração convectiva são de pouca monta.

7 - A dilatação da área do tubo é desprezível, ou seja, 012 ≅∂∂xA

A e 01

2 ≅∂∂tA

A.

8 – Não ocorre a vaporização do líquido durante o transitório, ou seja, não há escoamento

bifásico nem cavitação, não existindo separação da coluna líquida.

9 – Não ocorre escoamento distribuído lateral.

10 – A fórmula usada para o cálculo da perda de carga em escoamento permanente continua

válida durante a condição transitória (hipótese quase-estacionária).

11 – O termo da energia cinética é desprezível.

3

12 – Despreza-se a inércia da tubulação e também que o eixo da tubulação permanece em

repouso.

13 – O efeito do módulo de Poisson não é levado em conta na dedução, mesmo para condutos

com junta de expansão.

14 – A interação dinâmica entre o fluido e o tubo é negligenciada.

As deduções das equações (1) e (2) podem ser encontradas em Chaudhry

(1987); Wylie e Streeter (1993); Souza, Martins, e Fadiga Júnior (1991); e Almeida e Koelle

(1992).

O objeto da presente tese encontra-se na terceira parcela da equação do

momentum: a modelação da tensão de cisalhamento durante o transitório, o qual gera o termo

de atrito no método das características.

2. OBJETIVOS.

4

A presente tese visa modelar o termo de atrito (ou a modelação da tensão de

cisalhamento) em escoamento pressurizado transitório, levando em conta os parâmetros tais

como: número de Reynolds, rugosidade equivalente e freqüência (ou tempo).

A primeira formulação usará a tensão de cisalhamento de escoamento

permanente, oriundo do princípio da entropia máxima, para análise do transitório hidráulico.

A segunda formulação usará a tensão de cisalhamento de escoamento

oscilatório, também oriundo do princípio da entropia máxima (através de analogia), para

análise do transitório hidráulico.

Ambos os modelos usarão o método das características, e os resultados teóricos

serão confrontados com dados experimentais disponíveis na literatura.

3. JUSTIFICATIVA.

5

O estudo do transitório hidráulico em condutos forçados reveste-se de

importância em projetos de sistemas de tubulações. É mister quantificar as cargas hidráulicas

máximas e mínimas, bem como a freqüência dessas oscilações. Quando esta análise não é

levada em conta, podem ocorrer sérios problemas, tais como:

a) Rompimento de tubo devido ao efeito da sobrepressão.

b) Fechamento de tubo devido ao efeito da subpressão (pressões inferiores à pressão

atmosférica) ou separação da coluna líquida.

c) Rompimento da tubulação por fadiga, pela ocorrência de um elevado número de

solicitações periódicas de alta freqüência (ressonância).

d) Queima de motor elétrico, devido a rotação reversa de bomba.

e) Disparo de turbina.

f) Destruição de bens materiais e perdas de vidas humanas.

g) Interrupção do controle normal de circuitos.

h) Ruído excessivo

Linsley e Franzini (1978) reportaram que em junho de 1950, houve um sério

incidente na Usina Oigawa, no Japão, pois o fechamento abrupto de uma válvula borboleta

gerou uma sobrepressão que rompeu um trecho de cerca de 7 metros de comprimento bem a

montante da válvula. Com isso, uma vazão excessiva escoou pelo conduto interrompido,

formando um vácuo a montante do trecho rompido, e mais de 50 metros de tubulação foram

destruídos por amassamento.

Em 1934 houve um acidente na estação de bombeamento Lec Blanc Lac Noir

(França), com ocorrência de fatalidade humana, consoante citado por Chaudhry (1987)

Vale lembrar que a interrupção do abastecimento de água causa um transtorno

considerável à população.

A modelação do fator de atrito em escoamento transitório geralmente é feita ou

considerando-o igual ao do regime permanente em cada instante, ou considerando-o constante

e de valor igual ao do escoamento permanente inicial. Mas não é levado em conta que,

durante o transitório, o perfil de velocidade altera-se a cada instante, inclusive havendo o

escoamento reverso. Durante um transitório é possível a ocorrência de um perfil de

velocidade que gere uma vazão nula com tensão de cisalhamento na parede diferente de zero.

O uso de um fator de atrito constante pode conduzir a um erro de previsão no

estudo do fenômeno da separação de coluna líquida durante a passagem das ondas refletidas.

6

Além disto, um uso correto do fator de atrito durante o escoamento transitório

é mister para modelos de localização e quantificação de vazamentos, consoante cita Mpesha,

Gassman e Chaudhry (2001).

Outro problema que pode aparecer é a variação do módulo de elasticidade

volumétrica para baixas pressões. Chaudhry (1987) informa que testes experimentais em

modelos e protótipos mostram que bolhas de ar tendem a aparecer quando a pressão é

reduzida, mesmo quando a pressão permanece acima da pressão de vapor. Segundo Wylie e

Streeter (1993), o problema situa-se mais em definir as reais condições do fluido durante o

transitório do que nos princípios básicos usados no desenvolvimento das equações.

Wylie e Streeter (1993) também expõem que no estudo da ressonância, o

comportamento do fator de atrito ou da celeridade, ambos dependentes da freqüência, influem

de modo significativo no comportamento dinâmico do sistema fluido durante a condição

oscilatória, devido a uma extraordinária dissipação de energia ou variação de celeridade. A

omissão destes aspectos pode conduzir a resultados inúteis, especialmente em faixas de maior

freqüência.

Outras variáveis que intervêm no problema são: a celeridade é admitida

constante, e o transitório hidráulico depende do modo como é feita a manobra do

equipamento (manobra lenta ou manobra rápida).

Além do fator de atrito f, há algumas considerações sobre a terceira parcela da

equação do momentum, que representa as perdas por atrito: QQDAf

2

Se for usada uma aproximação de primeira ordem, onde considera-se que a

vazão Q é devida ao regime permanente ou à vazão calculada na interação anterior, Chaudhry

(1987) expõe que esta abordagem fornece valores satisfatórios para aplicações práticas da

engenharia, mas se o termo de atrito torna-se significativo, então a aproximação de primeira

ordem pode fornecer resultados instáveis, por exemplo em tubos rugosos ou diâmetro de tubo

pequeno ou variação elevada de vazão ou elevado intervalo de tempo numérico. A mesma

análise é comentada acerca da convergência e estabilidade do método das características: o

termo de atrito deve ser pequeno, caso contrário, gera instabilidade, mesmo que a malha

atenda às condições de estabilidade de Courant-Friedrich-Lewy (“CFL condition”). Também

deve-se evitar esta aproximação de primeira ordem em tubulações muito longas.

7

Para minimizar problemas com a aproximação de primeira ordem pode-se: usar

um intervalo de tempo pequeno, ou um procedimento interativo para avaliar o termo de atrito

ou usar uma aproximação de ordem elevada.

Ainda no assunto de estabilidade numérica, Chaudhry (1987) apresenta valores

oriundos de um estudo empírico:

a) Define-se o seguinte adimensional:

)**4/)**( ADtQfCr ∆∆= (3)

Cr := adimensional (número de COURANT) que caracteriza a estabilidade numérica (-)

∆Q := variação de vazão (m3/s)

∆t := intervalo de tempo computacional (s)

b) Se for usada uma aproximação de primeira ordem do tipo: aa QQDAf

2∆t, têm-se Cr ≤

0,5; onde Qa := vazão conhecida da interação numérica anterior (m3/s). Para uma acurácia de

1ª ordem, deve-se ter Cr < < 0,5.

c) Se for usada uma aproximação de segunda ordem : 2

)(2

ppaa QQQQDAf +

∆t, deve-se ter

Cr ≤ 0,79; onde Qp := vazão a ser calculada (m3/s).

d) Se for usada outra aproximação de segunda ordem : 22

)(2

papa QQQQDAf ++

∆t, têm-se

Cr ≤ 0,56.

e) Se for usada uma aproximação de segunda ordem do tipo: ap QQDAf

2∆t, qualquer valor

de Cr fornece resultados estáveis. Para uma melhor acurácia, deve-se ter Cr ≤ 0.79.

Nos casos (c) e (d) acima, como a vazão “Qp” é desconhecida, há necessidade

de interação. No caso (e), resulta uma equação linear que pode ser diretamente resolvida, e

que segundo Anderson et. al. (1991) é a melhor modelação.

Finalmente, Wylie e Streeter (1993) também citam que nos casos de

escoamento não-permanente, nos quais as perdas de energia devido aos efeitos viscosos são

muito importantes, a aproximação introduzida na integração do termo de atrito pode ser fonte

de problema, e assim a modelação imprecisa do termo de atrito será um resultado incorreto, o

qual pode, ou não, ser prontamente aparente.

Retornando ao estudo do fator de atrito transitório Chaudhry (1987), ao estudar

o fenômeno do golpe de aríete em uma válvula reguladora de pressão, dentro do projeto do

8

“Jordan River Redevelopment”, localizada na “British Columbia”, Canadá, obteve o seguinte

resultado:

Figura 1 – Variação da pressão (eixo y) ao longo do tempo (eixo x) em uma válvula redutora

de pressão. Comparação entre valores medidos (linha cheia) e valores simulados (linha

tracejada)

Fonte: CHAUDHRY (1987)

Os valores teóricos e medidos da pressão transitória concordam bem até 18s.

Depois disto, há uma boa concordância dos resultados, entretanto os resultados experimentais

evidenciam que as ondas de pressão são mais rapidamente dissipadas do que as indicadas pelo

modelo teórico. Além do mais, o período medido das oscilações de pressão é menor que o

período teórico. Uma das causas dessas discrepâncias, segundo Chaudhry, pode ser o uso do

fator de atrito em escoamento permanente para simular as perdas por atrito em regime

transitório. Um outro motivo pode ser a redução da celeridade quando ocorre os valores

mínimas da pressão durante o transitório (aparecimento de bolhas de ar).

A modelação usada por Chaudhry (1987), para a obtenção da figura (1), é o

método das características. Na modelação é usado o termo cinético, e também são levados

em conta as perdas localizadas. O autor assumiu que as perdas localizadas podem ser

modeladas como perdas de cargas distribuídas.

Wylie e Streeter (1993) tecem mais considerações do que Chaudhry (1987). Há

a seguinte ilustração:

9

Figura 2 – Variação da pressão (adimensional; e no eixo y) ao longo do tempo (adimensional;

e no eixo x). Comparação entre valores experimentais (linha contínua mais grossa), valores

simulados usando um fator de atrito variável (linha contínua fina) e valores simulados usando

fator de atrito em escoamento permanente (linha tracejada). O regime permanente inicial era

laminar. Fechamento instantâneo da válvula.

Fonte: WYLIE e STREETER (1993)

O gráfico acima refere-se ao histórico da pressão correspondente a um

fechamento de válvula em um sistema RTV com perda significativa. Os dados da linha

tracejada correspondem a um fator de atrito em regime permanente laminar, obtidos de um

programa básico de transitório hidráulico. Há uma razoável concordância dos dados teóricos

com os dados experimentais para os primeiros (2L/a) segundos, onde L é o comprimento da

tubulação e a é a celeridade; depois os resultados físicos mostram um amortecimento mais

rápido da pressão, com arredondamento da forma do gráfico à medida que o tempo aumenta,

até chegar a uma forma de decaimento de onda senoidal. Esta falta de concordância depois do

período inicial sugere que o método numérico não está fornecendo uma descrição apropriada

do comportamento transitório do sistema físico.

Alguns fatores, segundo Wylie e Streeter (1993), que não estão incluídos no

modelo computacional, e que podem estar influenciando o amortecimento físico da onda

incluem: comportamento inelástico não-linear da parede do tubo, comportamento inelástico

não-linear do fluido, gás livre no líquido ou liberação de gases dissolvidos durante a fase do

ciclo no qual a pressão é baixa, propriedades da parede do tubo dependentes da freqüência ou

perdas por atrito dependentes da freqüência. No caso de escoamento laminar oscilatório, o

último mecanismo demonstrou ser uma razão para perdas adicionais. No escoamento

turbulento a modelação do caso oscilatório tem recebido extensivos esforços.

10

Finalmente, Wylie e Streeter (1993) concluem que o programa básico é

suficientemente preciso durante o tempo inicial, e que a dependência da freqüência é mais

pronunciada quando ocorrem altas freqüências e em fluidos muito viscosos, e é menos

significante em número de Reynolds elevado.

11

4. REVISÃO DA LITERATURA.

Richardson e Tyler (1929) conduziram experimentos usando ar como fluido, e

observaram um pico de velocidade elevada nas vizinhanças da parede do tubo no caso de

escoamento oscilatório laminar (vazão média nula). Estes picos de velocidades eram maiores

que a velocidade no centro do tubo. Este efeito ficou conhecido como o efeito Richardson.

Sexl (1930) analisou analiticamente o efeito Richardson partindo das equações

de Navier-Stokes para o escoamento laminar oscilatório, encontrando um perfil de velocidade

onde aparece a função de Bessel, e discutiu a influência da freqüência de oscilação sobre o

perfil de velocidade.

Szymanski (1932) estudou escoamentos laminares dependentes do tempo. No

caso em que o fluido estava inicialmente em repouso e um gradiente de pressão constante é

aplicado, o autor encontrou um perfil de velocidade que também depende da função de

Bessel. Quando o tempo tende ao infinito, o perfil de velocidade derivado assume a forma do

perfil de velocidade de Poiseuille, sendo que para t* = (tν)/(R2) = 0,75, o perfil é praticamente

parabólico, onde:

t* := tempo adimensionalizado (-)

t :=tempo (s)

ν := viscosidade cinemática (m2/s)

R := raio do tubo (m)

Valensi (1947) analisou o escoamento laminar oscilatório em um tubo em U, e

obteve o seguinte parâmetro (adimensional):

νω 2R

=Ω (4)

Ω := parâmetro de Valensi (similar ao número de Stokes) (-)

ω := freqüência oscilatória (rad/s)

- Se Ω < 20; o perfil de velocidade será parabólico como no regime

permanente.

- Se Ω > 70, há um núcleo central no escoamento, quase livre das forças

cisalhantes, o qual é circundado por uma camada de escoamento oscilatório

próximo à parede do tubo.

Segundo Valensi, o fator de atrito é dado pela seguinte expressão:

f = 5,784πµ (5)

12

µ := viscosidade dinâmica (Pa.s)

A tensão cisalhante na parede, para o perfil turbulento, é dada por:

τ = 0,82µV(Ω)1/2R-1 (6)

τ := tensão de cisalhamento instantânea (N/m2)

V := velocidade média instantânea (m/s)

Iberall (1950) fez um estudo teórico sobre a atenuação e defasagem da variação

de pressões oscilatórias em linhas instrumentais com escoamento laminar. O parâmetro de

amortecimento é também função das equações de Bessel.

Uchida (1956) forneceu uma solução exata para o escoamento viscoso laminar

unidimensional plenamente desenvolvido e pulsatório (com vazão média temporal diferente

de zero) de um fluido incompressível em tubos. Uchida (1956) parte das equações de Navier-

Stokes, expressando o gradiente de pressão por uma série de Fourier. Este gradiente de

pressão possui um valor médio temporal e outra parcela representando as oscilações

temporais. O perfil de velocidade também apresenta uma parcela com valor médio temporal e

mais uma parcela com oscilações temporais:

∑∞

=

+=∂∂

−1

1ω

ωωρ

tio exx

xp (7)

xω = xcω + ixsω (8)

i := unidade imaginária (-)

xω := associado a amplitude do gradiente de pressão oscilatório (m/s2)

xo := associado ao gradiente de pressão médio temporal (m/s2)

ω := frequência angular (rad/s)

t := tempo (s)

xcω := representa amplitude das vibrações (m/s2)

xsω := idem (m/s2)

O perfil de velocidade encontrado é:

∑∞

=

−−−∂∂

−=

1 23

23

22 ])(

)(1[)(

4

)(

ω

ωω

ωµti

o

o ekRiJ

kriJixrRx

p

u (9)

)(xp∂∂

− := gradiente de pressão média temporal (N/m3)


r := raio genérico (m)

13

Jo := função de Bessel de ordem zero (-)

k := inverso da profundidade de penetração (inverso da espessura da camada de Stokes) (m-1)

k = (ω/ν)1/2 (10)

O atraso de fase da variação de velocidade com o gradiente de pressão aumenta

de zero no movimento permanente para (π/2) em pulsações de freqüência infinita.

Uchida também analisou as seguintes simplificações:

a) Vibração lenta: kR << 1

Quando um líquido altamente viscoso pulsa fracamente em um tubo estreito, o

parâmetro kR torna-se pequeno e é possível fazer simplificações na eq. (9). O perfil de

velocidade neste caso é dado por:

]1)[(41 22

xprRu∂∂

−−=ρν

(11)

A distribuição de velocidade é dada por uma parábola como no caso do

escoamento permanente de Poiseuille, enquanto que a magnitude da velocidade varia

periodicamente na mesma fase do gradiente de pressão.

b) Vibração rápida: kR → ∞

Quando um líquido fracamente viscoso pulsa rapidamente em um tubo largo, o

parâmetro kR torna-se elevado de modo que quando kR > 10 novamente é possível fazer

simplificações na eq. (9). O perfil de velocidade próximo ao eixo da tubulação é dado pela

seguinte expressão, considerando-se que neste caso, kR → ∞ e kr → 0 :

∑∞

=

−+−+−∂∂

−=

1

22 )2

sen()2

cos()(4

)(

ω

ωω πωω

πωωµ

tx

tx

rRxp

u sc (12)

Agora, na pulsação rápida, o fluido escoa no centro do tubo defasado de (π/2)

da onda do gradiente de pressão, e a amplitude da velocidade diminui com o aumento da

freqüência.

O movimento próximo à parede do tubo é feito fazendo-se kR → ∞ e kr → ∞,

e o perfil de velocidade resultante é dado por:

14

∑∞

=

−∂∂

−+−∂∂

−=

12

222 )[sen(

)(8)(

8)(

4

)(

ω

ω ωµµ

tkRx

xxpRrRx

p

uo

c

∑∞

=

−−−−

−+−+−

−−1

2)(

22

)(

cos()cos([)(

8)]2

)(sen(ω

ω ωωω terRt

kRxxrRkte

rR rRk

o

srRk

)]2

)( rRk −− (13)

Uchida (1956) observa que o valor da velocidade máxima ocorre nas

vizinhanças da parede do tubo no caso da vibração rápida, consoante o efeito anular de

Richardson.

Uchida (1956) também disponibiliza gráficos para 4 tipos de perfis de

velocidades em função do parâmetro kR e de pulsação monocromática, ilustradas nas figuras

(3), (4), (5) e (6). Estes gráficos representam a parcela do perfil de velocidade que possui as

oscilações temporais.

15

Figura 3 – Gráfico (adimensional) da parcela do perfil de velocidade (que possui as oscilações

temporais) para o parâmetro kR = 1.

Fonte: UCHIDA (1956)

16

Figura 4 – Gráfico (adimensional) da parcela do perfil de velocidade (que possui as

oscilações temporais) para o parâmetro kR = 3.


17

Figura 5 – Gráfico (adimensional) da parcela do perfil de velocidade (que possui as oscilações



18

Figura 6 - Gráfico (adimensional) da parcela do perfil de velocidade (que possui as oscilações



19

Uchida (1956) calculou a velocidade média seccional, fornecendo a amplitude

e a defasagem, conforme a figura (7), para o caso de pulsação monocromática:

Figura 7 – Coeficientes de amplitude e defasagem da velocidade média seccional em relação

ao gradiente de pressão para diversos valores do parâmetro kR (Pulsação monocromática).


Na figura (7), temos que σu representa uma amplitude da velocidade média seccional e δu

representa a defasagem da velocidade média seccional em relação ao gradiente da onda de

pressão.

Uchida (1956) calculou o coeficiente de atrito superficial (Cf), tanto para um

número elevado de pulsações como para a pulsação monocromática. No caso da pulsação

monocromática, há novamente um gráfico, ilustrado na figura (8) que relaciona a amplitude e

a defasagem:

20

Figura 8 – Coeficientes de amplitude e defasagem da tensão cisalhante em relação ao

gradiente de pressão para diversos valores do parâmetro kR (Pulsação monocromática).


Na figura (8) temos que στ representa uma amplitude da tensão cisalhante na

parede do tubo e δτ representa a defasagem de fase da tensão cisalhante na parede do tubo em

relação ao gradiente da onda de pressão.

Observa-se que o ângulo de defasagem de fase da velocidade média seccional

está muito mais atrasada em relação a onda pulsativa do gradiente de pressão comparada ao

coeficiente de atrito superficial, que encontra-se menos atrasada em relação ao mesmo

gradiente de pressão.

Finalmente, Uchida (1956) alerta que no movimento oscilatório com altas

freqüências e amplitudes finitas, a compressibilidade do fluido pode não ser desprezível, e

assim as análises acima deixam de ser válidas.

Streeter e Lai (1962) analisaram o transitório hidráulico levando em conta o

fator de atrito (usando para isto a tensão de cisalhamento de regime permanente). Neste

kR

21

artigo, foi considerada apenas a dependência do fator de atrito como função da velocidade

média, diâmetro, viscosidade cinemática e rugosidade relativa. No tocante ao fator de atrito,

os autores informam que pode-se adotar um fator de atrito constante (o mesmo do escoamento

permanente inicial) durante o cálculo computadorizado , ou através de uma sub-rotina de

cálculo para a avaliação do fator de atrito como sendo função do número de Reynolds

(baseado em valores de velocidade média instantâneas oriunda do próprio processo

computacional) e da rugosidade relativa. Além do estudo teórico, os autores realizaram

estudos experimentais em um sistema reservatório-tubo-válvula (RTV), validando o modelo

conceitual.

Neste mesmo trabalho, houve discrepância no caso do escoamento inicial

laminar. Na época, Streeter e Lai (1962) informaram que a possível fonte de problema poderia

ser a hipótese de escoamento uniforme na secção transversal ou refinamento na técnica

experimental, e que este tipo de discrepância deveria ser fonte de futuras pesquisas.

Holmboe e Rouleau (1967) realizaram um estudo também teórico e

experimental da queda de pressão em tubos devido ao atrito dependente da freqüência. Os

estudos originam-se das equações de Navier-Stokes, usam a transformada de Laplace, com

regime inicialmente permanente e laminar. Os autores apresentaram gráficos adimensionais

experimentais da pressão versus o tempo (este também em sua forma adimensional).

Em seus estudos, notou-se que no caso do óleo viscoso, há um amortecimento

mais rápido da onda de pressão.

Os autores apresentaram então para o primeiro ciclo da onda de pressão

(fechamento instantâneo da válvula), a seguinte equação:

3 2***

6721),0( ttt

aUptp v

ππρ+++=

− para 0 < t* < 2t0* (14)

onde

p(0,t) := pressão na válvula em qualquer instante (N/m2)

pv := pressão na válvula em t = 0 (N/m2)

U := velocidade média inicial (m/s)

t* = νt/R2 (-)

t0* = νL/aR2 (-)

L = comprimento da tubulação (m)

Os outros símbolos já foram definidos anteriormente.

22

3 2***

6721

),0(ttt

aUptp v

ππρ+++=

− + termos que dependem da função erro

complementar e enésimas integrais da função erro complementar para 2t0* ≤ t* < 4t0

* (15)

Os valores teóricos das equações (14) e (15) adequam-se bem aos valores

experimentais.

Zielke (1968) discutiu brevemente que se o gradiente de pressão é dependente

do tempo, a distribuição de velocidade (quando o escoamento é inicialmente laminar) deixa

de ser parabólico, e além disto, a tensão de cisalhamento na parede não está em fase com a

velocidade média instantânea e também forneceu a seguinte explicação: em escoamento

laminar (e também no turbulento), a tensão de cisalhamento na parede é dada por µ(∂u / ∂r)

onde µ é a viscosidade e (∂u / ∂r) é o gradiente de velocidade na parede. Quando ocorre o

regime transitório, o gradiente de pressão age e afeta o fluido diferentemente na camada

limite e na parte central do escoamento. Na camada limite, as forças de inércia são pequenas e

as forças de atrito predominam, de modo que a velocidade junto a parede responde em fase

com o gradiente de pressão.

Na parte central do escoamento predominam os efeitos inerciais, de modo que

o gradiente de pressão está em fase com a aceleração do fluido. Como resultado, o gradiente

de velocidade na parede, e consequentemente a tensão de cisalhamento na parede, mudará

antes da velocidade média. Isto significa que o termo de atrito baseado na velocidade média

não modela adequadamente as perdas no regime não-permanente.

Zielke (1968) usou uma função peso aplicada ao histórico temporal do

escoamento não-permanente laminar em uma secção para obter uma solução no domínio do

tempo com o método das características. Baseado nas equações de Navier-Stokes, a tensão de

cisalhamento na parede para o regime transitório é dada por:

∫ −∂∂

+=t

wswu dtttWtV

D 0

')'(4ρνττ (16)

τwu := tensão de cisalhamento na parede para o regime transitório (N/m2)

τws := tensão de cisalhamento na parede para o regime permanente (N/m2)

W(t-t’) := função peso.


A eq.(16) ilustra que a tensão de cisalhamento instantânea na parede é a soma

do seu correspondente regime permanente (usando como velocidade de referência a

23

velocidade média instantânea) mais um termo com um fator de ponderação que quantifica o

histórico da mudança de velocidade.

Os resultados de Zielke concordam bem com os dados experimentais de

Holmboe e Rouleau (1967).

Wood e Kao (1968) também identificaram o problema do uso do fator de atrito

do escoamento permanente para modelar o fator de atrito de escoamento transitório. Os

estudos foram baseados tanto teoricamente como experimentalmente. Os autores tentaram

adequar um fator de atrito dinâmico, sem obter sucesso. Este fator de atrito dinâmico era

função do número de Reynolds e dado por: ][ln(Re)]2532,0ln(Re)925,30983,15[ 2−+−= efu (17)

fu := fator de atrito para o escoamento não-permanente (-)

Os autores concluíram que o gradiente de velocidade local é de importância

primária, além de outras propriedades do tubo.

Brown (1969) realizou um tratamento distinto de Zielke (1968), apresentando

valores para a impedância do sistema para altas e baixas freqüências. O autor apresentou uma

tabela (reproduzida aqui como tabela I) para baixas freqüências com valores calculados para a

inertância do sistema em forma adimensional.

Tabela I – Valores da Inertância (em forma adimensional) como função do Número de

Reynolds, para baixas freqüências.

Fonte: Brown (1969)

I := inertância (Kg/m3)

Número de Reynolds I/ρ

Escoamento Laminar 4/3

2500(turbulento) 1,113

104 1,049

105 1,020

106 1,012

107 1,008

∞ 1,000

24

Já Brown, Margolis e Shah. (1969) estudaram o comportamento do regime de

escoamento turbulento oscilatório com pequenas amplitudes e diferentes freqüências, através

do uso do modelo de múltiplas camadas e pela introdução de uma modelação aproximada de

tensões turbulentas. Os autores concluem que o amortecimento da onda de pressão é também

uma função do parâmetro Ω (parâmetro de Valensi) e também que há três tipos de resposta do

escoamento:

- Se Ω é pequeno, a resposta é quase-estacionária, e o fator de atrito

instantâneo aumenta e decresce ao longo da curva do escoamento permanente.

- Se Ω é um valor intermediário, a resposta é mista, com uma estrutura

turbulenta muito agitada.

- Se Ω é elevado, a resposta é laminar, onde o fator de atrito f varia com o

número de Reynolds e com a mesma declividade do escoamento laminar [ver

figura (9)]. A magnitude do fator de atrito também aumenta com a freqüência.

A figura (9) abaixo ilustra as conclusões de Brown, Margolis e Shah (1969).

Figura 9 – Fator de atrito em escoamento transitório em função do Número de

Reynolds baseado na velocidade média temporal (ilustração do efeito da

frequência).

Fonte: BROWN, MARGOLIS e SHAH (1969)

Wood e Funk (1970) propuseram um modelo para a dissipação viscosa em

regime transitório ocorrendo em uma camada limite. O regime inicial é permanente. Através

deste modelo, os autores estudam a atenuação inicial da onda de pressão. O modelo prevê o

25

escoamento reverso na camada limite devido à passagem da onda de pressão. Através da

análise da dissipação de energia, e comparação com dados experimentais, os autores mostram

que a dissipação transitória inicial é de 3,4 a 1,4 vezes maior que a prevista usando o modelo

de regime permanente. A faixa de Reynolds usada na experiência variou de 10300 até 34000,

respectivamente.

Vasiliev e Kvon (1971) trabalharam com escoamento turbulento não-

permanente uniforme e utilizam equações de Reynolds tanto para a modelagem da turbulência

e para a equação de energia da turbulência. Impõem uma vazão periódica (com ou sem vazão

média nula), e encontram que um fator λ, associado a um fator de atrito de escoamento

transitório, pode adquirir valores negativos, pois, em alguns instantes, aparece uma

velocidade reversa na parede do tubo, enquanto a velocidade média instantânea permanece

positiva. O fator de atrito λ depende do número de Reynolds (este baseado na velocidade

média seccional da vazão média), da amplitude da oscilação periódica da vazão e da

freqüência adimensional ω0 = ωD2/ν (similar ao parâmetro de Valensi).

Os autores apresentam gráficos nas figuras (10) e (11) com o fator de atrito em escoamento

transitório.

Figura 10 – Fator de atrito para escoamento oscilatório em função da vazão relativa

instantânea, para número de Reynolds igual a 105, amplitude da oscilação periódica da vazão

26

igual a 0,5 da freqüência adimensional ω0 = ωD2/ν igual a 104 para a curva 1 e ω0 = 106 para a

curva 2.

Fonte: VASILIEV e KVON (1971)

Figura 11 – Fator de atrito para escoamento oscilatório (vazão média nula) em função da

vazão relativa instantânea, para número de Reynolds igual a 50000 e freqüência

adimensional ω0 = ωD2/ν igual a 106.

27

Fonte: VASILIEV e KVON (1971)

No caso de vazão periódica com valor médio nulo, o fator de atrito λ assume

valores infinitos quando a vazão instantânea torna-se nula (ver figura 11).

Zielke e Hack (1972) apresentam as equações sobre a resposta em freqüência:

CiLiR ωωγ )( += (18)

CiLiRZc ω

ω )( += (19)

gDAfQR /0= (20)

L = I/ρgA (21)

C = gA/a2 (22)

Onde:

γ := constante de propagação (1/m)

R := resistência do tubo (s/m3)

Q0 := vazão média em regime permanente (m3/s)

L := termo englobando a inertância (s2/m3)

C := compliância (m)

Zc := impedância característica (s/m2)

28


I := inertância (Kg/m3)

Os outros símbolos já foram anteriormente definidos.

No caso do escoamento laminar, tem-se:

(R + iωL) =

−−

−

+

νω

νω

νω

ωiDJiD

iDJ

gAi

24

21

0

1

(23)

Para baixas freqüências, têm-se as seguintes simplificações:

R = 32ν/gAD2 (24)

L = 4/3gA (25)

As equações (24) e (25) são válidas para 0,5D(ω/ν)1/2 < 0,5.

Em altas freqüências (para 0,5D(ω/ν)1/2 > 10), pode-se escrever:

R = [πν/gA2][D(ω/2ν)1/2 + 3] (26)

L = (1/gA)1 + [(8)1/2 / D(ω/ν)1/2] (27)

Funk e Wood (1974) estudaram o comportamento do decaimento de pressão

em escoamento turbulento para freqüências com pequena amplitude. O fator de atenuação

encontrado é:

α = 2νφ/aD∆ (28)

α := fator de atenuação (m-1)

φ := fator de dissipação (que é função do adimensional θ) (-)

∆ := espessura da camada limite em regime permanente (m)

∆ = 8D/(f*Re) (29)

θ = ω∆2/ν (θ é adimensional) (30)




Para θ < 2,7; os efeitos viscosos transitórios em função da freqüência são

insignificantes e uma aproximação quase-permanente é aceitável.

Trikha (1975) desenvolve uma outra função peso para o escoamento não-

permanente laminar (modificando o procedimento de Zielke (1968)), o qual oferece a

29

vantagem de não exigir armazenamento para o histórico do escoamento, reduzindo o esforço

computacional. O autor também sugere a mesma formulação para o regime transitório

turbulento:

O trabalho de Letelier e Leutheusser (1976) procurou quantificar o fator de

atrito em um tubo em “U”, para escoamento não permanente laminar, e chegaram às seguintes

equações:

fu = 8ξωnR/V (31)

fu := fator de atrito transitório (-)

ξ := fator de atrito constante (-)

ωn := freqüência natural de oscilação (rad/s)



ξ = “Re”

)(

)(

2

2

2

1

2

νων

ω

ων

RiI

RiI

Ri

n

n

n

(32)

onde “Re” representa a parte real da equação acima e os outros símbolos já são conhecidos.

ωn = (2g/L)1/2 (33)

L := comprimento da coluna líquida no tubo em “U” (m)

Para o fator (ωnR2/ν) << 10, tem-se:

ξ = 4/[(ωnR2/ν)] (34)

Para o fator (ωnR2/ν) > 100, tem-se:

ξ = cos (π/4)/[ [(ωnR2/ν)1/2] (35)

Para o regime turbulento, Kongeter (1980), apud Zielke (1983) e Wylie e

Streeter (1993), analisaram o escoamento periódico com velocidade média nula.

Kongeter(1980), apud Zielke (1983) e Wylie e Streeter(1993), apresentaram uma comparação

entre a tensão de cisalhamento transitória e a tensão de cisalhamento de regime permanente

na faixa de Reynolds entre 50000 e 150000 e para a freqüência adimensionalizada D(ωρ/µ)1/2

variando entre 470 e 900. O número de Reynolds, neste caso, é definido como:

Re = ADω/ν (36)

onde “A” é a amplitude do movimento do pistão.

As conclusões de Kongeter (1980), apud Zielke (1983) e Wylie e Streeter

(1993), são as seguintes: Para um número de Reynolds constante, quanto maior for à

30

freqüência adimensionalizada, maior será a razão entre a tensão de cisalhamento transitória e

a tensão de cisalhamento de escoamento estacionário.

Para um valor constante da freqüência adimensionalizada, quanto maior for o

número de Reynolds, menor será a razão entre a tensão de cisalhamento transitória e a tensão

de cisalhamento de escoamento estacionário.

Sharp (1981) citou que no caso de escoamento não-permanente existe uma

complexa interação no fluido, tanto na frente como atrás da onda de pressão. No caso de

líquidos, a onda de pressão nem sempre consiste de uma interface fina, mas abrange uma

região de transição “espessa” e a importância da interação da camada limite e a perda por

atrito não eram bem entendidas. O autor também expôs que os métodos numéricos sofrem de

uma falha, pois usam o fator de atrito quase-permanente, o qual não representa o fator de

atrito dependente do tempo, que é requerido quanto o transitório está presente. O mecanismo

da atenuação da pressão durante o transitório, devido ao atrito, exerce uma função importante

em sistemas altamente atenuantes, como tubulações conduzindo óleo ou tubulações de

plástico.

Almeida (1982), participou de um congresso sobre transitórios hidráulicos em

São Paulo, e questionou M. H. Chaudhry sobre o uso do fator de atrito, obtido para regime

permanente, aplicado em regime transiente. Almeida (1982), na mesma ocasião, apresentou

uma modelação da tensão de cisalhamento transiente como função do coeficiente de

Boussinesq.

M. H. Chaudhry, ao responder o questionamento de Almeida, ponderou que

como não se conhece a distribuição de velocidade, é difícil determinar o coeficiente de

Boussinesq, limitando assim o modelo de Almeida (1982). Além disto, M. H. Chaudhry

lembra que qualquer modelo não deve produzir instabilidades em um esquema de análise

numérica.

Fox (1984) também comentou que em escoamento transitório, as camadas

limites são mais espessas na presença de gradientes de pressão adversos comparadas com o

escoamento estacionário com o mesmo número de Reynolds. Se o gradiente de pressão

adverso é elevado, a camada limite pode separar-se do contorno sólido, com aumento elevado

da perda de energia.

Quando ocorre o gradiente de pressão favorável ou negativa, as camadas

limites do escoamento não-permanente são mais finas do que no caso do escoamento

estacionário com o mesmo número de Reynolds. Estas são as razões apontadas por Fox

31

(1984) para a falha dos valores do fator de atrito f de regime permanente para descrever

corretamente as condições de atrito do estado transitório.

Fox (1984) concluiu que o valor de f aceito para regime permanente não é

aplicável para o escoamento transitório, mas que os erros produzidos pelo uso de f do regime

permanente parecem não produzir erros significativos e que nenhum método satisfatório para

o cálculo de f em escoamento transitório estava disponível à época.

Stephenson (1984) afirma que f é realmente uma função da velocidade (média)

do escoamento como indicado pela equação de Colebrook-White ou pelo diagrama de

Moody, e que além disto f é também afetado pelo movimento não-permanente, mas que

nenhuma avaliação quantitativa para f estava disponível.

Brekke (1985) utilizou uma força amortecedora de atrito englobando termos de

escoamento permanente e dinâmico. Este termo dinâmico era função do coeficiente de atrito

do escoamento permanente, da secção transversal, da freqüência e da amplitude da oscilação.

A modelação de Brekke consistia nas seguintes equações:

K = τπD/ρQ0|q| (37)

K := fator de amortecimento por atrito (s-1)

Q0 := vazão em regime permanente (m3/s)

q := vazão relativa (m3/s)

q = Q/ Q0 (38)

Q := vazão instantânea (m3/s)

τ := tensão de cisalhamento instantânea (N/m2)

Desmembrando o efeito da tensão de cisalhamento, tem-se:

K = (τwsπD/ρQ0|q|) + (τwuπD/ρQ0|q|)*cos(π/8) + (τwuπD/ρQ0|q|)*i*sen(π/8) (39)

τwu := tensão de cisalhamento na parede correspondente ao regime transitório (N/m2)

τws := tensão de cisalhamento na parede devido ao escoamento permanente (N/m2)

A modelação da tensão de cisalhamento transitória será:

τwu = (1/2)fuρ(Q0|q|/A)2 (40)


A := área do tubo (m2)

E a expressão para o fator de atrito fu será:

fu = exp [-5,977 + 5,213(AKrω/ Q0|q|)0,194] (41)

32

Kr := fator de rugosidade relativa (m)


Brekke (1985) informou que a expressão para o fator de atrito transitório fu é

baseado em uma fórmula empírica de Jonnson (1978), apud Brekke (1985), sobre leitos

rugosos marítimos.

A equação para o fator de atrito “fu” é válida para Q0|q|/AKrω maior que 1,57.

Se o parâmetro Q0|q|/AKrω for menor ou igual a 1,57, tem-se:

fu = 0,4725AKrω/ Q0|q| (42)

E finalmente para o fator de rugosidade relativa Kr (também empírico):

Kr = (400/A)[(5,977 + ln f)/5.213]5.155 (43)

f := fator de atrito para o escoamento permanente (-)

Quando o fator de atrito de escoamento permanente (f) for igual ou inferior a

0,002536, tem-se Kr = 0. Neste caso, o fator de atrito transitório fu será igual a 0,002536.

As aplicações do trabalho de Brekke (1985), foram fundamentadas em testes

em túneis e tubulações (penstocks) em hidrelétricas, com uso da matriz de transferência nos

cálculos, com bons resultados.

Chaudhry (1987) informou que procedimentos corretos para o cálculo do fator

de atrito dependente da freqüência (“frequency-dependent friction”) estavam sendo

conduzidos, e que era aceitável, na prática, assumir que as perdas de cargas no regime

transitório para uma dada velocidade de escoamento eram as mesmas que no escoamento

permanente.

Novamente Fox (1989) comentou que nas equações do transitório, o fator de

atrito f é tratado como constante, mas f é realmente variável e deve ser tratado como tal nas

equações. Mais à frente, o autor informa que durante certas fases do escoamento transitório

pode ocorrer que o número de Reynolds (Re) fique abaixo de 2300, ocorrendo pois o regime

laminar, e deste modo f deve ser estimado como (64/Re) durante o período de tempo em que o

escoamento quase-laminar está acontecendo.

De novo, Stephenson (1989) argumentou que a hipótese de um fator de atrito f

de regime permanente para condições transitórias não é estritamente correta. Informa,

33

também, que testes indicam que as perdas de carga durante o escoamento transitório são

maiores que aquelas previstas usando o fator de atrito de regime permanente. Stephenson

(1989) informa que provavelmente a energia é absorvida durante o escoamento reverso,

quando a velocidade é baixa e o fator de atrito é relativamente elevado.

Almeida (1989) propôs o seguinte modelo:

τwu = τws + (1/4)ρgD[∆J + λ1 + λ2] (44)

∆J := correção de tensão de cisalhamento (-)

λ1 e λ2: caracterizam efeitos especiais de inércia (trabalho de acelerar camadas de líquido com

velocidades e acelerações distintas) (-)

∆J = Cj(∂V/∂t) (45)

Cj := coeficiente de influência que leva em conta a história do regime transitório

correspondente ao intervalo de tempo entre o instante inicial e o instante de cálculo.

Determinado por via empírica ou semi-empírica. (s2/m)


λ1 = (α’ – 1)(∂V/∂t)g-1 (46)

λ2 = (V/2g)(∂α’/∂t) (47)

α’ := coeficiente de quantidade de movimento (-)

Almeida (1989) também comentou que a hipótese quase-estacionária seria

válida quanto maior o número de Reynolds e mais lenta forem às variações de velocidade.

Jelev (1989) apresentou um modelo para o amortecimento da pressão no

escoamento transitório:

∆PN,X/∆PN-1,X = KX ≅ [1-(K” + δX)]2 (48)

∆PN,X := Queda de amplitude de pressão no instante N, na secção X. (N/m2)

∆PN-1,X := Queda de amplitude de pressão no instante anterior (N – 1), na secção X. (N/m2)

KX := constante de amortecimento na secção X. (-)

K” := coeficiente de amortecimento devido ao atrito interno da coluna líquida. (-)

δX := coeficiente representando as perdas distribuídas ao longo da tubulação. (-)

δX = (ρfV2X)/(4D∆PN-1,X) (49)

34

X := distância contada a partir da válvula (sistema RTV) (m)

No caso de X = 0 (válvula):

∆PN,0/∆PN-1,0 = K0 ≅ (1- K”)2 (50)

Jelev (1989) também forneceu o tempo de amortecimento (fórmula

aproximada) para a estabilização do novo regime permanente:

td = [1 – 1,3/log(KX)]T (51)

T = 4L/a (52)

td := tempo de amortecimento das oscilações na secção X (s)

T := período da tubulação (s)

L := comprimento da tubulação (m)


Jelev (1989) realizou experiências com tubulação de 125mm de diâmetro com

os seguintes resultados ilustrados na tabela II, para X = 0 (válvula).

Tabela II – Resultados Obtidos por Jelev (1989) – Fechamento rápido da válvula

Q0 (l/s) 9,4 13,5 16,5 19,0 Experimental

K0 (-) 0,92 0,91 0,90 0,89 Experimental

td0 (s) 36,9 T 32,75 T 29,4 T 26,7 T Calculado

Fonte: Jelev (1989)

Q0 := vazão em regime permanente (l/s).

Pelos resultados obtidos por Jelev, quanto maior a vazão inicial, menor será o

tempo para a estabilização do novo regime permanente, e além disto o parâmetro K0 varia

ligeiramente, sempre decrescente com a vazão inicial.

A metodologia de Jelev (1989) concorda com razoável precisão com os dados

experimentais de Holmboe e Rouleau (1967).

Suo e Wylie (1989) apresentaram o “Impulse Response Method” (ou método

da resposta impulso), abreviado como IMPREM, que quantificam fatores dependentes da

freqüência. No caso do atrito dependente da freqüência, as modificações sugeridas pelos

autores são as seguintes:

( ) 21

0

1

/)/(/21)(

−

−=Γ

νννsirisirJ

sirJasxs (53)

35

( ) 21

0

1

/)/(/21)(

−

−=

νννsirisirJ

sirJgAasZ (54)

Γ (s) := operador de propagação (-)

Z (s) := impedância característica para tubulação com atrito dependente da freqüência

(s/m2)

s := variável de Laplace (s-1)

Os outros símbolos já foram definidos anteriormente. No caso de transitório

hidráulico laminar, a metodologia de Suo e Wylie (1989) fornece bons resultados quando

comparados com os dados experimentais de Holmboe e Rouleau (1967).

Brunone, Golia e Greco (1991) propõem a seguinte fórmula para o termo de

atrito:

Ju = Js + (k3/g)[(∂V/∂t) – a(∂V/∂x)] (55)

Ju := perda de carga unitária do escoamento transitório (-)

Js := perda de carga unitária do escoamento estacionário (-)

k3 := constante relacionando efeitos do regime transitório entre a inércia local e o atrito (-)


Entretanto, o uso da eq.(55) apresenta problema para adequar-se a malha de

cálculo do método das características, pois altera a declividade das linhas características.

Além disto, os autores informaram que como o atrito depende da aceleração local (∂V/∂t), o

sistema de equações é muito sensível a acelerações.

Brunone; Golia e Greco (1991) sugerem o valor de “k3” como igual a 0,85.

Jönsson (1991) apresentou medições do perfil de velocidade usando o laser. O

autor observou que o amortecimento de pressão do transitório real é maior do que o

quantificado usando o fator de atrito de escoamento permanente, indicando uma necessidade

de usar um fator de atrito mais elevado durante a fase transitória.

Jönsson (1991) também realizou medições de pressão e velocidades no trecho

de sucção, só que agora fechando rapidamente a válvula em aproximadamente um segundo.

Neste caso, o aumento de pressão é mais rápido e de magnitude mais elevada do que no caso

de desligamento da bomba sem fechar a válvula.

Além disto, Jönsson (1991) alerta que quando a velocidade média seccional

instantânea é nula ou próxima de zero, o termo de atrito será muito pequeno, enquanto que o

36

escoamento encontra-se reverso próximo a parede do tubo e causando uma significativa

tensão de cisalhamento.

Vardy e Hwang (1991) utilizam uma modelação baseada em cilindros

concêntricos anulares conjuntamente com o método das características. Para o regime

laminar, a tensão de cisalhamento segue a lei de Newton da viscosidade, e no regime

turbulento, os autores dividem o escoamento em 5 regiões, fazendo uso da relação entre a

viscosidade cinemática turbulenta e a viscosidade cinemática molecular. O seu modelo prevê

o escoamento reverso.

Suzuki, Taketomi e Sato (1991) aperfeiçoam o método de cálculo de Zielke

(1968), sendo que as vantagens são o tempo de processamento menor e menor

armazenamento computacional, e que os resultados encontrados pelos autores são

semelhantes ao de Zielke.

Eichinger e Lein (1992) utilizam as equações de Navier-Stokes para a obtenção

do perfil de velocidade. As tensões de Reynolds são calculadas através do modelo k-ε de

turbulência. De posse do perfil de velocidade, calcula-se então a tensão de cisalhamento

transitório e a perda de carga unitária transitória. O modelo teórico apresenta uma

concordância razoável com os dados experimentais de Homboe e Rouleau (1967). O modelo

teórico também prevê o escoamento reverso próximo à parede.

Almeida e Koelle (1992) ponderam que a perda de carga do escoamento

transitório é relacionada com a tensão de cisalhamento na parede do tubo e a intensidade de

turbulência. O campo de velocidade do escoamento pode ser perturbado pelas ondas de

pressão não-permanente e, deste modo, não é mais válido usar o fator de atrito f do regime

permanente. A perda de carga pode ser calculada como uma função de diferentes parâmetros

e da velocidade do escoamento. Ambos comentam que o fator de atrito em regime transitório

deve ser um ponto de consideração e pesquisa, apesar de ser aceitável a aplicação do fator de

atrito f constante com escoamento não-permanente turbulento hidraulicamente rugoso de

fluidos newtonianos para casos reais.

Vardy, Kuo-Lun e Brown (1993) propõem o uso de uma função peso, similar

ao trabalho de Zielke (1968), para uso em escoamento transitório turbulento. No modelo

adotado o perfil de velocidade usado exibe uma camada anular laminar e um núcleo uniforme

de velocidade.

Elansary, Silva e Chaudhry (1994) apresentaram resultados numéricos, usando

dois modelos distintos, e comparando estes cálculos com dados experimentais em um sistema

37

similar ao RTV. O primeiro modelo é baseado na formulação clássica do transitório

hidráulico, com a tensão de cisalhamento igual ao de regime permanente. A segunda

modelação usa a interação fluido-tubo, com a inclusão da velocidade axial do tubo e da tensão

axial do tubo, e esta segunda modelação permite a quantificação da tensão de cisalhamento

transitória.

O primeiro modelo de Elansary, Silva e Chaudhry (1994) apresentou bons

resultados somente junto a válvula, em outras duas secções de medição ocorreram picos

teóricos de pressão bem superiores aos experimentais.

A segunda modelação de Elansary, Silva e Chaudhry (1994) apresentou

comportamento similar a primeira modelação, sendo que os picos teóricos de pressão eram

mais próximos aos experimentais.

Silva-Araya e Chaudhry (1994) quantificam a energia dissipada durante o

transitório levando em conta a função dissipação (que possui termos laminares e turbulentos,

estes representados pelas tensões de Reynolds). A energia dissipada é dividida em dois

termos, um correspondente ao regime permanente e o outro levando em conta a energia

dissipada devido ao transitório.

Para a resolução das equações, é mister estimar o perfil de velocidade. Assim,

um modelo de turbulência para as tensões de Reynolds é utilizado, e neste caso, usa-se um

modelo de distribuição de viscosidade turbulenta para a camada adjacente ao tubo e uma

viscosidade turbulenta constante para o núcleo do escoamento. Com isto, consegue-se

calcular a energia dissipada correspondente ao regime permanente e também ao regime

transitório.

Os autores definem então o fator de dissipação de energia como a razão entre a

energia dissipada correspondente ao regime transitório e a energia dissipada correspondente

ao regime permanente.

Este fator de dissipação de energia multiplica o termo de atrito na equação de

conservação de momentum.

O modelo teórico de Silva-Araya e Chaudhry (1994) apresenta bons resultados

para o transitório laminar, comparação realizada com os dados experimentais de Holmboe e

Rouleau (1967). A concordância do modelo teórico é melhor no meio do tubo, do que

próximo à válvula, onde o amortecimento da onda de pressão experimental não é bem

modelado para tempos superiores a 8L/a. (“L” é o comprimento total do tubo e “a” é a

celeridade).

38

Vardy e Brown (1995) utilizam novamente uma função peso, agora em um

escoamento transitório turbulento liso. Nesta modelação, os autores fazem uso de um perfil de

viscosidade turbulenta variando linearmente em uma fina camada próxima à parede do tubo, e

fora desta camada há uma viscosidade turbulenta de valor infinito, correspondendo então a

um perfil de velocidade uniforme. A função peso obtida depende das equações de Bessel.

Os autores, então, utilizam uma aproximação para a função peso, e nesta nova

abordagem, a função peso fica dependente do raio do tubo, da viscosidade cinemática, do

número de Reynolds e do instante considerado.

Silva-Araya e Chaudhry (1997) apresentam uma continuação do trabalho de

1994. Os autores informam algumas limitações do seu modelo, como por exemplo, a

velocidade média é próxima ao valor nulo e o fator de dissipação de energia tende ao infinito.

Neste caso, os autores assumem que o fator de dissipação de energia é igual a um (ou igual ao

de regime permanente) e a velocidade média também é assumida entre 2% e 5% da

velocidade média inicial em regime permanente.

Os autores apresentam duas razões para as discrepâncias no transitório laminar:

devido à baixa velocidade inicial em regime permanente, a velocidade nula é alcançada

rapidamente. O outro motivo é que as componentes da velocidade radial podem ter uma

contribuição significativa quando a velocidade axial é baixa e as tensões viscosas são

significativas.

Uma vantagem do modelo é que é adaptável ao método das características,

entretanto o tempo computacional e a necessidade de armazenamento de dados são três vezes

superiores do que usando o método das características com fator de atrito constante.

Rocha (1998) realizou comparações usando a modelação de Vardy, Kuo-Lun e

Brown (1993), a modelação usando o fator de atrito “f” constante e depois usando um fator de

atrito “f” variável. O sistema analisado foi um RTV (reservatório-tubo-válvula), com uso da

malha escalonada cruzada. Rocha (1998) então recomenda o uso do modelo com fator de

atrito “f” variável.

Poll (1999) trabalhou em uma modelação matemática de válvula de controle

automática em rede hidráulica. O autor observou a necessidade de usar um termo de atrito

transitório para a correta modelação da válvula de controle automática (pois a modelação

usando o fator de atrito “f” não refletia o amortecimento real do transitório, e isto conduzia a

valores incompatíveis para a modelação da válvula de controle automático).

Poll (1999) utilizou a expressão de Brunone, Golia e Greco (1991):

39

Ju = Js + (k3/g)[(∂V/∂t) – a(∂V/∂x)] (56)

Através de simulação numérica, Poll (1999) sugere que o valor de “k3” seja

igual 0,70. Este valor foi confirmado em experiências laboratoriais. Deve-se lembrar que este

termo de atrito dado pela equação (56) altera o método das características, havendo então

necessidade de interpolação.

Pezzinga (1999) apresentou um modelo quase bi-dimensional para a

modelação do escoamento transitório. O autor usou um modelo de turbulência baseado no

comprimento de mistura para a zona turbulenta e a lei de Newton da viscosidade para a

subcamada viscosa. Com isto, o autor obtém um perfil de velocidade. O modelo teórico

adequou-se bem aos dados experimentais (tanto no transitório laminar como no transitório

turbulento), entretanto há novamente um excessivo trabalho computacional (35 vezes maior

que o correspondente modelo unidimensional).

Axworthy, Ghidaoui e McInnis (2000) usam conceitos termodinâmicos para

quantificação da dissipação de energia em escoamento transitório em tubos, apresentando

uma equação para a tensão de cisalhamento na parede:

xVTVD

tVTDws ∂

∂+

∂∂

+=44ρρττ (57)

T := tempo de relaxação (adimensional), função da secção considerada e do instante

considerado, sendo determinado experimentalmente. O tempo de relaxação é relacionado à

derivada segunda da entropia em relação à velocidade, quando a velocidade assume valor

nulo.

Este modelo altera o método das características, mas fornece bons resultados

comparados aos dados experimentais. Em seu modelo numérico, os autores utilizaram um

valor de “T” constante para facilitar a quantificação.

Larock, Jeppson e Watters (2000) também citam que o uso do fator de atrito

em regime permanente para o escoamento transitório é apenas uma aproximação, e que não é

levado em conta o comportamento fundamental do fluido em escoamento transitório: como há

uma mudança de velocidade relativamente rápida, ocorrendo também escoamento reverso, o

perfil de velocidade torna-se muito complexo e, portanto, o cálculo da tensão cisalhante e da

dissipação de energia é difícil.

He e Jackson (2000) estudam a turbulência que ocorre no escoamento

transitório. Os autores informam que a difusão da turbulência e a propagação da camada

viscosa de Stokes são características importantes para escoamentos turbulentos transitórios

40

não-periódicos. Os autores apresentam um parâmetro que caracteriza o comportamento da

turbulência no escoamento transitório:

)1(0 dt

dVUU

D

τ

γ = (58)

Uτ0 := velocidade de atrito, correspondente ao regime permanente (m/s)

U := velocidade inicial em regime permanente (m/s)

γ := parâmetro adimensional (-)

Se γ é bastante inferior a um, a estrutura de turbulência do escoamento

transitório comporta-se similarmente à estrutura de turbulência do escoamento permanente.

Se γ é superior a um, a estrutura de turbulência do escoamento transitório difere bastante do

regime permanente.

Brunone et al. (2000) realizaram um estudo experimental para a determinação

do perfil de velocidade em escoamento transitório. As secções de medição estavam

localizadas imediatamente a montante de uma válvula e no meio da tubulação de um sistema

RTV. O valor do número de Reynolds, correspondente ao regime permanente, é da ordem de

67000 para o teste nº 1 (figura 12) e de 87000 para o teste nº 2 (figuras 13 e 14).

Os perfis de velocidade, de fato, apresentam um comportamento reverso

próximo à parede do tubo, e há também assimetria no perfil de velocidade encontrado. As

figuras (12), (13) e (14) ilustram os resultados experimentais dos autores.

41

Figura 12 – Teste nº 1: Resultados experimentais com o histórico temporal da pressão (eixo

“x” é o tempo (s) e eixo “y” é a carga piezométrica (m)) e perfis de velocidade

correspondentes. No eixo “x” é a velocidade média local (mm/s) e no eixo “y” é a distância

radial adimensionalizada.

42

Fonte: BRUNONE et al. (2000)

Figura 13 - Teste nº 2: Resultados experimentais com o histórico temporal da pressão (eixo

“x” é o tempo (s) e eixo “y” é a carga piezométrica (m)) e perfis de velocidade



43


Figura 14 - Teste nº 2 (continuação): Resultados experimentais com o histórico temporal da

pressão (eixo “x” é o tempo (s) e eixo “y” é a carga piezométrica (m)) e perfis de velocidade



44


Pezzinga (2000) utiliza a função sinal para quantificar melhor o modelo de

Brunone, Golia e Greco (1991). O autor propõe:

Ju = Js + (k2/g)[(∂V/∂t)] – sgn[V(∂V/∂x)] (ak2/g)[(∂V/∂x)] (59)

Ju := perda de carga unitária do escoamento transitório (-)

Js := perda de carga unitária do escoamento estacionário (-)

k2 := constante (-)

45


sgn := função sinal

Para um sistema RTV, a aceleração convectiva é menor que zero para

fechamento de válvula à jusante, e a aceleração convectiva é maior que zero para fechamento

de válvula à montante. Pezzinga (2000) não faz uso do método das características.

O autor compara seu modelo teórico com dados experimentais próprios, e o

modelo fornece resultados precisos para os valores extremos da pressão oscilatória, apesar do

modelo não acompanhar a forma da oscilação.

Pezzinga (2000) informa que a inclusão deste seu modelo aumenta o tempo de

processamento em 40% em relação ao tempo de computação usando um fator de atrito de

regime permanente.

Viaro (2001) realiza uma comparação entre os modelos de Brunone, Golia e

Greco (1991) e Vardy, Kuo-Lun e Bronw. (1993) com dados experimentais próprios. Viaro

(2001) conclui que o modelo de Vardy, Kuo-Lun e Brown (1993) é mais complexo e além

disto não modelou bem os resultados experimentais. A modelação de Brunone et al. (1991)

fornece melhores resultados, mas o parâmetro “k3” não é constante e além disto há

necessidade de ser realizada interpolações, alterando então o método das características.

Bergant et al. (2001) recomendam o uso do modelo usando o fator de atrito “f”

de regime permanente em transitório hidráulico quando o tempo de fechamento da válvula for

superior a (20L/a). (“L” é o comprimento da tubulação e “a” é a celeridade).

Bergant, Simpson e Vítkovský (2001) apresentam suas contribuições para a

modelação do fator de atrito em escoamento transitório:

))((2xVVsigna

tV

VVkDffu ∂

∂+

∂∂

+= (60)

sign(V) = +1; se V ≥ 0; se V < 0, então sign(V) = -1.



k := coeficiente (-)

k = (1/2)(C*)1/2 (61)

C* = 0.00476 para o escoamento laminar

C* = )Re3,14log( 05,0

Re41.7

− para o escoamento turbulento. O número de Reynolds refere-se a

velocidade inicial em regime permanente.

46

Os autores também conduzem ensaios experimentais. Para o transitório

laminar, o modelo teórico fornece excelente resultado, sendo o aumento do tempo de

computação de 20% em relação ao tempo de computação usando um fator de atrito de regime

permanente.

Para o regime transitório turbulento com números de Reynolds baixos (menor

que 10.000), o modelo também possui bons resultados, com discrepâncias a partir da sexta

onda de pressão positiva.

Os autores ponderam que o modelo pode fornecer resultados melhores caso

estime-se o valor da constante “k” através de procedimento empírico ou usando uma malha

numérica mais complexa.

Bergant Simpson e Vítkovský (2001) propõem como pesquisa futura um

modelo para a constante “k” como função do número de Reynolds instantâneo, e também

pesquisas do modelo para números de Reynolds mais elevados (de 100.000 até 10.000.000).

Finalmente, Bergant, Simpson e Vítkovský (2001) estudaram a convergência e

estabilidade do modelo numérico com 8, 16 e 32 trechos, e os resultados foram

numericamente estáveis e convergentes.

Ghidaoui e Kolyshkin (2001) fizeram um estudo teórico sobre a estabilidade

linear do perfil de velocidade em escoamentos transitórios em um sistema RTV para

fechamento de válvula.

Para o escoamento inicial laminar (Poiseuille), os autores derivam o perfil de

velocidade local para a primeira passagem da onda de pressão em uma secção e também o

perfil de velocidade na mesma secção quando a onda de pressão é refletida pelo reservatório.

Estes perfis de velocidade dependem da velocidade final do novo regime

estacionário, da função erro complementar, da distância radial e o tempo de chegada da onda

de pressão até a secção considerada. A figura (15) seguinte ilustra os perfis de velocidade

para a primeira onda de pressão e para a onda de pressão refletida (escoamento inicial

laminar).

Figura 15 – Perfis de velocidade (transitório laminar) para diversas manobras de fechamento

da válvula. Passagem da primeira onda positiva. Legenda: ufav := velocidade final do novo

regime permanente. t := tempo decorrido da passagem da onda.

47

Fonte: GHIDAOUI e KOLYSHKIN (2001)

Observa-se, na figura (15), que aparece o escoamento reverso próximo a

parede. Os autores também observam em seus experimentos que ocorre o escoamento reverso

em toda a secção transversal, com pico de velocidade novamente próximo a parede. Nota-se

também que quanto mais violento for o transitório (fechamento mais rápido da válvula), mais

pronunciado será o escoamento reverso e o pico de velocidade próximo a parede.

Os parâmetros importantes que caracterizam a estabilidade do perfil de

velocidade transitório são o número de Reynolds baseado na velocidade máxima em regime

48

permanente (eixo do tubo) e o tempo adimensionalizado em função do tempo de difusão, que

é o raio do tubo elevado ao quadrado, e dividido pelo viscosidade cinemática do líquido.

Ghidaoui e Kolyshkin (2001) informam que quando a perturbação corresponde

ao modo axissimétrico, não há aparecimento da instabilidade.

Mas se a perturbação corresponde ao modo sem simetria, aparece instabilidade

no perfil de velocidade transitório.

A instabilidade tem maior influência quando não há a onda refletida. Lembrar

que toda a análise acima corresponde ao transitório laminar.

No caso de escoamento inicial turbulento, o perfil de velocidade inicial é dado

em forma adimensional como:

)()(1)(

0

0

rIrIruiγ

−= (62)

ui (r) := velocidade longitudinal adimensional, função da distância radial também

adimensional. Velocidade de referência é a velocidade máxima, e o raio de referência é o raio

do tubo.

r := raio adimensional.

“I0” representa a função modificada de Bessel, e γ representa um parâmetro

similar ao parâmetro “M” de entropia, que será comentado mais adiante.

Neste caso, a velocidade média do escoamento, em forma adimensional, é dada

pela seguinte fórmula:

)()(2

10

1

γγγ

II

uav −= (63)

uav := velocidade média longitudinal (escoamento turbulento) adimensional, velocidade de

referência é a velocidade máxima no eixo do tubo.

“I1” representa a função modificada de Bessel de ordem um.

Os autores buscam validar a eq.(63) com dados experimentais, e constatam que

a eq.(63) modela bem o escoamento permanente turbulento. As figuras (16) e (17)

corroboram a análise dos autores. Quando γ aumenta, o perfil representado pela eq.(63) torna-

se mais uniforme na região do núcleo com uma fina subcamada viscosa próxima à parede.


vários valores do parâmetro “γ”. Comparação com dados experimentais de vários autores.

49



valor do parâmetro “γ” igual a 10. Comparação com dados experimentais de Brunone et al.

(2000).

50


Os resultados comentados no perfil de velocidade transitório laminar também

se aplicam ao perfil de velocidade transitório turbulento.

Este perfil de velocidade transitório turbulento é ilustrado na figura (18). Os

autores observam que, similarmente ao perfil de velocidade transitório laminar

correspondente, o perfil de velocidade não se altera na região central, e as maiores mudanças

ocorrem junto à parede (a magnitude das velocidades reversas do escoamento transitório

laminar são maiores que a do correspondente escoamento transitório turbulento).

Figura 18 - Perfis de velocidade (transitório turbulento) para fechamento instantâneo da

válvula. Passagem da primeira onda positiva. Legenda: t := tempo decorrido da passagem da

onda de pressão.

51


O estudo teórico de Ghidaoui e Kolyshkin (2001) confirma que os resultados

de Brunone et al. (2000) situam-se na faixa de perfil instável.

Entre suas conclusões, os autores citam que:

1 – O escoamento transitório pode tornar-se instável;

2 – Esta instabilidade é assimétrica;

3 – A instabilidade desenvolve-se em um tempo de escala curto;

4 – O número de Reynolds e o tempo de escala da onda (L/a) são importantes

na caracterização da estabilidade do escoamento transitório.

Fisicamente, a instabilidade no escoamento altera a estrutura e a extensão da

turbulência no tubo, resultando em forte assimetria no escoamento, e induzindo flutuações

significativas na tensão cisalhante na parede. Estes efeitos não são representados nos modelos

existentes de transitório hidráulico.

A instabilidade ocorre no tempo de escala da onda de pressão do transitório

hidráulico (L/a), ou seja:

0 < t* ≅ 0.001, onde t* = tν/R2.

t* := tempo adimensional

t := tempo

Silva-Araya e Chaudhry (2001) quantificam novamente o modelo de

dissipação de energia, agora com aplicação para escoamentos turbulentos mistos e rugosos.

Para avaliar o efeito da rugosidade do tubo, os autores usam um modelo de turbulência

52

considerando o efeito da rugosidade do tubo no perfil de velocidade. Os autores também

comentam que não é possível propor um modelo geral para a dissipação de energia no

escoamento transitório, pois há muitas possibilidades de condições transitórias.

Ghidaoui e Mansour (2002), procuram aperfeiçoar o modelo proposto por

Vardy e Brown (1995), com o fito de redução do tempo de processamento computacional,

bem como de armazenamento de dados. Há concordância razoável do modelo proposto por

Ghidaoui e Mansour (2002) em relação aos dados experimentais de outros autores.

Ghidaoui, Mansour e Zhao (2002) propõem o seguinte adimensional:

P = (2)1/2Da/2L Uτ0 (64)

Uτ0 := velocidade de atrito, correspondente ao regime permanente (m/s)

L := comprimento do tubo (m)

D := diâmetro do tubo (m)


Fisicamente, o parâmetro “P” representa a relação entre a escala de tempo para

a difusão do pulso cisalhante gerado na parede do tubo e a escala de tempo da onda de

pressão. O adimensional “P” é aplicável também para o escoamento turbulento liso ou rugoso.

Quando adimensional “P” > > 1 (ou seja a escala de tempo do transitório é muito menor que a

defasagem de tempo de produção de turbulência), a adoção de modelos de turbulência

oriundos de regime permanente é aplicável ao regime transitório.

Quando o adimensional “P” ≅ 1, o uso de modelo de turbulência de regime

permanente para regime transitório é questionável. Finalmente, quando o adimensional “P” <

< 1, o problema não pertence mais ao domínio do transitório hidráulico.

Ghidaoui, Mansour e Zhao (2002) comparam os modelos bi-dimensional de

Pezzinga (1999) e de 5 regiões de Vardy e Hwang (1991) com dados experimentais

publicados na literatura [Pezzinga e Scandura (1995) e Brunone el al. (2000)], levando em

conta o parâmetro adimensional “P”. Os valores do parâmetro “P” nas experiências de

Pezzinga e Scandura (1995) são respectivamente: 29,8; 40,7 e 59,6. O valor do adimensional

“P” na experiência de Brunone et al. é 2,0.

Ghidaoui, Mansour e Zhao (2002) concluem que, quando for aplicável o

modelo de turbulência de regime permanente e aximétrico (P > > 1), a modelação é mais

precisa com tempo de simulação menor que “PL/a”, onde “L” é o comprimento do tubo e “a”

é a celeridade.

Finalmente, Ramos et al. (2004) propõem o seguinte modelo:

53

Ju = Js + (1/gA)[(Kv1∂Q/∂t)] + (aKv2)sgn[Q] |∂Q/∂x (65)

Kv1 := coeficiente empírico de correção.

Kv2 := coeficiente empírico de correção.

Em geral, Kv1 < Kv2, e como ordem de grandeza, tem-se Kv1 ≅ 0,1Kv2.

Resumindo este capítulo, em 1929 Richardson e Tyler realizaram experiências

com escoamento oscilatório e perceberam que ocorre um pico de velocidade próximo a

parede do tubo. Em 1930 Sexl deduziu as equações que explicam este fenômeno, onde

aparecem as funções de Bessel. Em 1962, Streeter e Lai apresentaram o trabalho sobre

transitório hidráulico com a inclusão do termo de atrito e o uso do método das características.

Os resultados teóricos obtidos no escoamento turbulento adequaram-se bem aos dados

experimentais, mas não quando o escoamento inicial era laminar.

Em 1968, Zielke conseguiu uma modelação levando em conta os fatores

dependentes da freqüência para o caso de escoamento transitório laminar.

Também nesta época começou-se a verificar que a modelação transitória

usando somente o fator de atrito “f” para regime turbulento não era bem satisfatória.

Os trabalhos mais usados sobre o termo de atrito transitório remontam ao ano

de 1991, onde Brunone, Golia e Grecco levam em conta a aceleração local e aceleração

convectiva para a perda de energia. Há introdução de uma constante “k3”, a qual os autores

sugerem o valor de 0,85. Esta modelação altera o método das características.

Também na década de 1990, Vardy e outros também tentam modelar o

transitório hidráulico turbulento, fazendo sempre analogia com o trabalho de Zielke (1968).

Rocha (1998) analisou o modelo de Vardy, Kuo-Lun e Brown (1993) e a

modelação tradicional com o fator de atrito “f” variável a cada instante de cálculo e fator de

atrito “f” constante durante o transitório hidráulico turbulento. Rocha (1998) concluiu que

para problemas de engenharia deve ser usada a modelação com fator de atrito “f” variável.

Poll (1999) utiliza a formulação de Brunone et al. (1991), mas sugere que o

valor da constante “k3” seja 0,70.

Brunone et al. (2000) realizaram medições do perfil de velocidade durante o

transitório hidráulico. Observa-se realmente o escoamento reverso próximo a parede do tubo e

também a assimetria do perfil de velocidade durante o transitório hidráulico.

Pezzinga (2001) e Bergant et al. (2001) alteram ligeiramente o modelo de

Brunone et al. (1991) através da inclusão da função sinal para o termo contendo a aceleração

54

Viaro (2001) cita que o modelo de Vardy, Kuo-Lun e Brown (1993) não

modelou bem seus dados experimentais. A modelação de Brunone et al. (1991) apresentou

resultados compatíveis com os dados experimentais.

Os trabalhos mais recentes procuram analisar a estabilidade do perfil de

velocidade durante o escoamento transitório, além do uso de modelos de turbulência de

regime permanente aplicado ao transitório hidráulico.

Exceto por um trabalho de Ghidaoui e Kolyshkin (2001) sobre a estabilidade

do perfil de velocidade durante o transitório hidráulico onde há referência sobre o Princípio

da Entropia Máxima (PEM), não há até o presente momento (pelo menos do conhecimento do

autor desta tese) nenhum trabalho sobre a tensão de cisalhamento, oriunda do PEM, aplicado

ao transitório hidráulico.

O próximo capítulo então versará sobre o PEM.

5. O PRINCÍPIO DA ENTROPIA MÁXIMA (PEM).

O Princípio da Entropia Máxima (PEM), é uma contribuição de Chiu (1987) à

Engenharia Hidráulica. O PEM permite determinar, por exemplo, distribuição de velocidade,

tensão de cisalhamento e concentração de sedimentos suspensos em canais abertos, com

55

escoamento unidimensional uniforme em canal largo e com a velocidade máxima do

escoamento ocorrendo na superfície livre. O conceito de entropia aqui usado é oriundo da

Teoria da Informação (Shannon, 1948).

A equação do perfil de velocidade derivado do PEM possui vantagens

conceituais sobre a equação universal logarítmica de distribuição de velocidade de Von-

Kármán e Prandtl.

A filosofia do PEM baseia-se que, em condição de equilíbrio permanente, um

sistema tende a maximizar a entropia sob restrições prevalecentes. Assim, devido as restrições

impostas, a distribuição de probabilidade não é uniforme.

De outro modo, a maximização da entropia de um sistema fará que a

distribuição de probabilidade seja tão uniforme quanto possível de modo a satisfazer as

restrições impostas. Portanto, a lei de probabilidade que governa um sistema, e a

correspondente magnitude de entropia, dependerá das restrições impostas.

A entropia é definida para variável de estado contínua como:

H(x) = - ∫ p(x) ln[p(x)] dx (65)

H(x) := entropia de um sistema. (-)

p(x) := função de densidade de probabilidade da variável x. (-)

Imaginemos um corte longitudinal em um canal aberto, com escoamento

unidimensional uniforme supondo canal largo e declividade moderada e com a velocidade

máxima do escoamento ocorrendo na superfície livre. Sejam:

y := coordenada vertical (medida a partir do fundo) (m)

D := profundidade do escoamento (m)

u := velocidade longitudinal na altura “y” (m/s)

umáx := velocidade máxima longitudinal (m/s)

Observa-se que para qualquer distância menor que “y”, a velocidade é menor

que “u”. Assumindo que todos os valores de “y” entre o leito do canal e a superfície livre da

água são igualmente prováveis, pode-se expressar que a probabilidade da velocidade ser igual

ou menor que “u” é “y/D”, ou de outra maneira, que a função de distribuição cumulativa da

velocidade é:

F(u) = y/D (66)

F(u) := função de distribuição cumulativa da velocidade (-)

Mas, p(u) = d F(u)/du, e aplicando a regra da cadeia:

p(u) = [d F(u)/dy][dy/du] = [1/D][dy/du] = [D du/dy]-1 (67)

56

As restrições são duas: a restrição de probabilidade e a restrição de conservação de massa.

1)(0

=∫máxu

duup (Restrição de probabilidade) (68)

_

0)( uduuupmáxu

=∫ (Restrição de conservação de massa) (69)

u := velocidade média (m/s)

Usando o método do cálculo variacional, com uso dos multiplicadores de

Lagrange (λ), tem-se:

0])([)]()](ln[)(21 =

∂∂

+∂

∂+

∂−∂

puup

pup

pupup λλ (70)

λ1 e λ2 são multiplicadores de Lagrange. Desenvolvendo a expressão (70), obtém-se: 21 1)( λλ ueeup −= (71)

Inserindo a expressão (71) na equação (68), e desenvolvendo, chegamos à

seguinte equação: 1

21 )1( 21 −− −= λλ λ máxuee (72)

A equação (72) determina “λ1” como função de “λ2” e “umáx”.

Agora, introduzindo a equação (71) na expressão (69), fazendo os cálculos

necessários, encontramos:

2

1 1)1( 22

λλλ −−= −máxmáx uu

máx eeuu (73)

A equação (73) determina “λ2” como função de “u ” e “umáx” (equação

implícita). Para quantificar a entropia, basta inserir a equação (71) na equação (74),

lembrando que o limite inferior de integração é zero e o limite superior de integração é “umáx”:

H(u) = - ∫ p(u) ln[p(u)] du (74)

Após algum esforço, chega-se a:

H(u) = -λ1 + 2 – (umáx)exp(λ1 - 1 + λ2umáx) (75)

Igualando neste instante as duas expressões abaixo:

p(u) = [D du/dy]-1 (76) 21 1)( λλ ueeup −= (77)

E lembrando a seguinte condição de contorno: “y” = 0 para “u” = 0.

Chegamos ao seguinte perfil de velocidade:

])1(1ln[12

2 Dyeu máxu −+= λ

λ (78)

57

Chiu (1987) fez a seguinte hipótese:

λ2 = (K1/u*) (79)

K1 := constante similar a de Von-Kármán (-)

u* := velocidade de atrito (m/s)

E a expressão (78) modifica-se para:

])1(1ln[ *

1

1

*

Dye

Kuu

máxuuK

−+= (80)

Assim, fazendo-se “y” = 0 na equação (78), obtemos “u” = 0. Colocando-se na

equação (78) “y” = “D” obtemos “u” = “umáx”.

Outras duas expressões derivadas por Chiu (1987) são:

p(u/u*) = u* p(u) (81)

H(u/u*) = H(u) – ln(u*) (82)

Chiu (1988) começa a aprofundar os conceitos do PEM, para uso em canais

com escoamento livre, descrevendo o perfil de velocidade como função das coordenadas

verticais e transversais, sendo que agora a velocidade máxima pode ocorrer ou na superfície

livre ou abaixo da superfície livre. Neste trabalho, Chiu (1988) também derivou equação para

a localização, sobre uma vertical, da velocidade média.

Sejam:

η := coordenada curvilínea baseada nas linhas de isovelocidade (m)

ξ := coordenada curvilínea baseada nas linhas de isovelocidade (m)

ξ0 := valor mínimo da coordenada ξ (m)

ξmáx := valor máximo da coordenada ξ (m)

y := coordenada vertical (medida a partir do fundo) (m)

z := coordenada transversal (m)

A coordenada curvilínea “ξ” tem uma relação biunívoca com a velocidade.

A origem do eixo “y” é no leito do canal onde ocorre a vertical em que há a maior velocidade

longitudinal.

Para esta nova situação, a função de distribuição cumulativa de velocidade e a

função de densidade de probabilidade da velocidade são dadas respectivamente por:

F(u) = (ξ - ξ0)/(ξmáx - ξ0) (83)

p(u) = [(ξmáx - ξ0)du/dξ]-1 (84)

Os seguintes resultados da modelação de Chiu (1987) permanecem inalterados:

58

21 1)( λλ ueeup −= (85) 1

21 )1( 21 −− −= λλ λ máxuee (86)

2

1 1)1( 22

λλλ −−= −máxmáx uu

máx eeuu (87)

Seguindo a mesma seqüência da modelação de Chiu (1987), e lembrando que

os limites de integrações são: para “ξ0” temos “u” = 0. E para a coordenada genérica “ξ”

ocorre a velocidade genérica “u”, obtemos o perfil de velocidade:

])1(1ln[1

0

0

2

2

ξξξξ

λλ

−−

−+=máx

umáxeu (88)

Chiu (1988) fez neste instante a seguinte sugestão:

λ2 = (M/umáx) (89)

M := parâmetro de entropia (-)

O parâmetro “M” é uma medida da uniformidade da probabilidade e da

distribuição de velocidade. E a expressão final para a distribuição de velocidade fica:

])1(1ln[1

0

0

ξξξξ−−

−+=máx

M

máx

eMu

u (90)

A equação (87) pode ser escrita como:

Mueeuu máxMM

máx −−= −1)1( (91)

A velocidade média “u ” ocorre na coordenada “ξ ”:

])1(1ln[1

0

0

ξξξξ−−

−+=máx

M

máx

eMu

u (92)

Igualando as expressões (91) e (92), conseguimos o seguinte resultado:

11]1)1(exp[ 1

0

0

−−−−

=−− −

M

MM

máx eeMe

ξξξξ (93)

A equação (93) permite a determinação da coordenada “ξ” onde ocorre a

velocidade média.

A sugestão de Chiu (1988) para a correspondência entre a coordenada

curvilínea “ξ” e as coordenadas retangulares “y” e “z” é a seguinte, para “z” = 0.

)1exp(hD

yhD

y+

−+

=ξ (94)

59

h := parâmetro que controla a inclinação e a forma da curva de distribuição de velocidade

próxima à superfície da água. (m)

Chiu (1989) sedimenta os conceitos ilustrados anteriormente, e neste trabalho,

Chiu (1989) apresenta uma técnica numérica para estimar os parâmetros de Lagrange para os

modelos de três restrições (restrição de probabilidade, conservação de massa, conservação de

momentum) e quatro restrições (restrição de probabilidade, conservação de massa,

conservação de momentum, conservação de energia).

Chiu (1991) continua investindo no PEM aplicado a canais abertos. Neste

trabalho, Chiu (1991) ilustra as seguintes equações para o coeficiente de energia e coeficiente

de quantidade de movimento, baseado no perfil de velocidade oriundo de duas restrições:

α = 3

232

]1)1([]6)663([)1(

+−+−+−−

MeMMMee

M

MM

(95)

β = 2

2

]1)1([]2)22()[1(

+−−+−−

MeMMee

M

MM

(96)

α := coeficiente de energia (-)

β := coeficiente de quantidade de movimento (-)

Barbé, Cruise e Singh (1991) usam o PEM com 3 restrições (restrição de

probabilidade, conservação de massa, conservação de momentum) para a determinação do

perfil de velocidade monotônico crescente desde o leito do canal, onde a velocidade é nula,

até a superfície livre, onde ocorre a velocidade máxima, em escoamento livre em canal largo.

Para levar em conta a restrição de conservação de momentum, há uma

aproximação com dois termos da expansão de série exponencial de Maclaurin.

O perfil de velocidade oriundo dos cálculos é implícito.

Barbé, Cruise e Singh (1991) comparam o seu modelo teórico com o modelo

teórico de Chiu de 2 restrições, o perfil logaritmo e a lei de potência com dados experimentais

de Davoren (1985), apud Barbé, Cruise e Singh (1991).

Observa-se que o perfil logarítmico não modela bem os dados experimentais.

A modelação da lei de potência é melhor que a do perfil logarítmico, entretanto

a discrepância aumenta à medida que a profundidade aumenta.

A modelação sugerida por Barbé, Cruise e Singh é a que melhor modela os

dados experimentais, seguida pelo método de Chiu. Contudo, o aperfeiçoamento em relação

ao modelo de Chiu não é significativo.

60

Chiu e Murray (1992) ampliaram o uso do princípio da entropia máxima para

uso em escoamento permanente não uniforme em canais. Neste trabalho, Chiu e Murray

usaram a expressão (95) para quantificar o coeficiente de energia em cada secção transversal.

Com o uso da formulação entrópica, há apenas a necessidade de um perfil de velocidade em

cada secção transversal, não precisando da geometria da secção.

Em cada secção transversal, o parâmetro de entropia “M” é constante, variando

ao longo do espaço.

Chiu, Lin e Lu (1993) aplicaram os conceitos de probabilidade e entropia no

estudo do escoamento permanente em condutos cilíndricos forçados. A equação do perfil de

velocidade oriunda do PEM é única, desconsiderando se o escoamento é laminar ou

turbulento. A aplicação do perfil de velocidade encontrado conduz a novas equações

relacionando o fator de atrito e o parâmetro de entropia “M”.

A aplicação do perfil logarítmico de velocidade possui as seguintes

desvantagens conceituais:

a) Não satisfaz o princípio da aderência, ou que a velocidade deve ser nula na parede do

tubo.

b) Não satisfaz que o gradiente de velocidade deve ser nulo no eixo do tubo.

c) Não satisfaz que o gradiente de velocidade deve possuir valor finito na parede do tubo.

O perfil de velocidade oriundo do PEM com duas restrições é:

])1(1ln[1

0

0

ξξξξ−−

−+=máx

M

máx

eMu

u (97)

Para escoamento em tubos, com simetria axial, no qual as linhas de

isovelocidade são círculos concêntricos, tem-se: 2

2

22

1

−=

−=

Rr

RrR

πππξ (98)

R := Raio do tubo (m)

r := raio genérico do tubo (m)

Quando “r” = 0, ocorre a velocidade máxima, e “ξ” = “ξmáx” = 1.

Quando “r” = “R”, ocorre a velocidade nula (mínima), e “ξ” = “ξ0” = 0.

Então, para aplicação em escoamento permanente em tubos, o perfil de

velocidade sugerido é:

)]1)(1(1ln[12

2

Rre

Muu M

máx

−−+= (99)

61

O gradiente de velocidade será dado pela seguinte expressão:

( )

−−+

−

−=

2

22

111

112

Rre

Me

Rru

drdu

M

Mmáx (100)

Quando “r” = 0, o gradiente de velocidade será nulo. (Vantagem conceitual

sobre o perfil logarítmico de velocidade).

Quando “r” = “R”, ocorre a velocidade nula, obedecendo o princípio da

aderência.

Quando “r” = “R”, o gradiente de velocidade possui valor finito e é dado pela

equação (101):

−

−=

Me

Ru

drdu M

máx 12 para “r” = “R” (101)

Outra propriedade interessante do perfil de velocidade do PEM refere-se ao

escoamento laminar, quando o parâmetro “M” de entropia assume o valor zero. Mas, fazendo

“M = 0” na equação (99), obtém-se uma indeterminação (divisão de zero sobre zero). Neste

caso, deve-se aplicar a regra de L’Hôpital. Fazendo-se o limite da expressão (99) quando

“M” tende a zero, encontra-se:

)1( 2

2

Rr

uu

máx

−= (102)

A tensão de cisalhamento em condutos forçados para trechos uniformes em

escoamento estacionário escreve-se como:

τws = ∆P(R/2L) (103)

τws := tensão de cisalhamento na parede (N/m2)

∆P := queda de pressão (N/m2)

L := comprimento da tubulação (m)

Expressando a tensão de cisalhamento como função da perda de carga, temos:

τws = ρg∆H(R/2L) (104)

ρ := massa específica (kg/m3)

62


∆H := perda de carga (m)

Pode-se expressar a tensão de cisalhamento como:

τws = -ρε0(du/dr)r=R (105)

ε0 := viscosidade cinemática turbulenta na parede do tubo (m2/s)

(du/dr)r=R := gradiente de velocidade na parede do tubo (s-1)

A viscosidade cinemática turbulenta na parede do tubo (ε0) é igual a

viscosidade cinemática se o escoamento for laminar ou turbulento liso. Para escoamento

turbulento rugoso, a viscosidade cinemática turbulenta na parede do tubo (ε0) é maior que a

viscosidade cinemática, e “ε0” varia com a aspereza do tubo e com a turbulência do fluido.

Igualando as equações (104) e (105), e desenvolvendo, encontra-se:

( )

−

=∆−

gu

DL

uu

MeH

máx

M

2Re1132

21

0

νε

(106)

Assim, o fator de atrito “f” para escoamento permanente oriundo do PEM

escreve-se como:

( ) 1

0

Re1132

−

−

=máx

M

uu

Mef

νε

(107)

Inserindo a equação (91):

( ) 10 1

1Re1132

−

−

−

−

=Me

eMef M

MM

νε

(108)

Simplificando:

[ ]

=νε0)(

Re32 MFf (109)

Onde:

63

( ) 11

11)(

−

−

−−

=Me

eMeMF M

MM

(110)

Ou:

( )1

11

1)(−

−

−−= M

MM

eMeeMF (111)

Para o escoamento laminar, o parâmetro “M” de entropia assume o valor zero.

Fazendo-se agora limite da expressão (111) quando “M” tende a zero, aplicando L’Hôpital,

encontra-se:

F(M) = 2 quando M = 0, ou F(0) = 2. E lembrando que no caso laminar “ε0” é igual a “ν”,

achamos:

f = 64/Re, concordando com o resultado clássico do fator de atrito para regime laminar.

Chiu e Said (1995) expressaram que sob amplas variações de descarga e

profundidade, uma secção de canal em escoamento livre tem propensão a estabelecer e manter

um estado de equilíbrio que corresponde a um valor constante do parâmetro de entropia “M”.

Os autores desenvolvem uma técnica para determinar vazões a partir de um perfil de

velocidade sob uma única vertical que passa através do ponto de máxima velocidade em uma

secção transversal do canal.

Xia (1997) estudou a relação entre a velocidade média seccional e a velocidade

máxima em uma mesma secção no rio Mississipi, localizado nos Estados Unidos. Apesar dos

poucos dados experimentais, o autor encontra que a relação entre a velocidade máxima e a

velocidade média seccional é perfeitamente linear nos trechos retos, e em curvas a relação

linear conserva-se, mas variando ligeiramente com a razão entre o raio de curvatura e a

largura superficial do rio.

Araújo e Chaudhry (1998) fizeram um estudo experimental em laboratório com

escoamento bi-dimensional livre, e comparam os dados obtidos com o modelo de Chiu,

oriundo do PEM, e um modelo logarítmico. Dos cinco testes realizados, globalmente o perfil

de velocidade oriundo do PEM apresentou um erro de 12,8% e um desvio padrão de 13,5%,

contra um erro de 19,1% e desvio padrão de 51,6% do perfil parabólico.

A faixa de erro do perfil de velocidade do PEM foi entre 10,4% a 14,2%,

contra uma faixa de erro de 5,7% a 28,8% do perfil logarítmico.

Araújo e Chaudhry (1998) concluíram pela validade do perfil de velocidade do

PEM para uso na engenharia hidráulica.

64

Chiu e Chen (1999a) corroboraram o uso do perfil de velocidade oriundo do

PEM em rios e canais. Neste trabalho, os autores comentaram que o valor do parâmetro de

entropia “M” tende a variar na mudança do leito primário para o leito secundário, mas é

constante para cada situação de escoamento.

Chiu e Chen (1999a) também apresentaram aplicação do PEM no estudo do

transporte de sedimentos.

Chiu e Chen (1999b) estudaram o perfil de velocidade e medição de vazão em

um rio em Taiwan (Ásia) sob efeito de maré. Os autores encontraram que a razão entre a

velocidade média e velocidade máxima na secção de medição é constante e não varia com a

vazão e a direção do escoamento sob o efeito da maré. Além do mais, a localização do eixo

vertical onde ocorre a velocidade máxima é praticamente invariante e estável. Com base

nestas informações, os autores propuseram um método de medição de descarga aplicável a um

escoamento não permanente em rios sob efeito de maré.

Chiu, Jin e Chen (2000) apresentam uma modelação do PEM para a

distribuição de sedimentos suspensos. Na parte referente ao escoamento em rio com

geometria irregular, a modelação do perfil de velocidade segue a seguinte modelação:

])1(1ln[1

0

0

ξξξξ−−

−+=máx

M

máx

eMu

u (112)

)1exp(hD

yhD

y−

−−

=ξ (113)

h := parâmetro que controla a inclinação e a forma da curva de distribuição de velocidade

próxima à superfície da água. (m)

Sendo “ξ0” de valor nulo e “ξmáx” de valor unitário. Se a velocidade máxima

ocorrer abaixo da superfície livre, temos que “h” será maior que zero, se a velocidade máxima

ocorrer exatamente na superfície livre, o valor de “h” será nulo.

A distribuição da tensão de cisalhamento é dada por:

−−

−+

−−=

2

0 111hD

yDh

hDy

Dhττ (114)

D := profundidade do escoamento (m)

65

Chiu, Jin e Chen (2000) informaram que a equação (114) desvia do perfil

retilíneo para refletir o efeito das variadas localizações da velocidade máxima, o qual por sua

vez está sob o efeito das correntes secundárias.

Chiu e Tung (2002) forneceram uma equação empírica, baseada em dados

experimentais e de laboratório para a determinação da profundidade onde ocorre a localização

da velocidade máxima. A equação é a seguinte:

−=

3,58)(ln2,0 MG

Dh (115)

φMeMGM 1)( −

= (116)

Mee

uu

M

M

máx

11−

−==φ (117)

A equação (115) é válida para:

1 ≤ M ≤ 5,6 e 0 ≤ h/D ≤ 0,61.

Alguns trabalhos sobre o PEM produzidos aqui no Brasil são:

Araújo (1994), cujos resultados produzidos já foram comentados anteriormente

em Araújo e Chaudhry (1998).

Acosta (1996) fez a união do perfil de velocidade gerado pelo PEM com as

denominadas equações de Dressler (escoamento potencial). As equações de Dressler levam

em conta o efeito da curvatura do fundo do canal, como ocorre, por exemplo, em crista de

vertedor e na rampa da estrutura hidráulica denominada salto em esqui. A aplicação da

modelação conjunta é para escoamento livre em canais retangulares largos com fundo curvo

em perfil.

Minei (1999) desenvolveu um método para medição de vazão em rios e canais,

a partir do modelo de Chiu. Neste método é mister medir a velocidade em apenas 3 pontos de

uma única vertical, sendo esta vertical a de maior profundidade. Minei (1999) também

comprova que a média das velocidades medidas a 20% e 80% da profundidade é a velocidade

média da vertical considerada.

Minei (1999) aplicou o método para rios com largura variando desde 3,20

metros até 3211,60 metros (na bacia Amazônica) e profundidades variando de 35 centímetros

até 42,89 metros (esta última profundidade com vazão média de 103.000 m3/s).

Como há necessidade de se medir apenas três pontos, é mister que haja

cuidado, perícia e precisão nos dados levantados. A fim de dirimir qualquer dúvida, Minei

66

(1999) recomenda a medição de seis pontos na vertical de maior profundidade. Soares (2001)

aplicou o PEM com os seguintes fitos: macro-localização de estações de monitoramento da

qualidade de água, análise e avaliação de desempenho de estações de monitoramento baseado

no conceito de entropia e redimensionamento de redes de monitoramento.

Lobo (2002) verificou ser viável a aplicação do método de Chiu em canais

urbanos, desde do caso de canal largo, passando por canal estreito com escoamento bi-

dimensional e chegando ao canal estreito com escoamento tri-dimensional.

Carvalho (2001) aplicou o PEM para definir a forma da transição de secção em

escoamento forçado de tomadas de água em centrais hidrelétricas.

Carvalho (2001) inicia sua modelação através do perfil de velocidade

entrópica:

])1(1ln[1

0

0

ξξξξ−−

−+=máx

M

máx

eMu

u (118)

As hipóteses de trabalho de Carvalho (2001) são:

a) fluido incompressível

b) escoamento permanente bi-dimensional

c) secção de escoamento é circular

d) A velocidade média é dada pela seguinte expressão:

máxmín AAQu+

=2 (119)

u := velocidade média (m/s)


Amín := área mínima da tomada d’água (m2)

Amáx := área máxima da tomada d’água (m2)

Carvalho (2001) também adota as seguintes mudanças de variáveis para uso na

equação (118):

u = V – Vmín (120)

umáx = Vmáx - Vmín (121)

V := velocidade média numa secção qualquer (m/s)

Vmín := velocidade mínima (que ocorre na secção de área máxima “Amáx”) (m/s)

Vmáx := velocidade máxima (que ocorre na secção de área mínima “Amín”) (m/s)

Para escoamento através de secção variável em condutos forçados, a variável

“ξ” é representada pelo volume de transição até a posição da secção geométrica em análise.

67

ξ = ∀i/∀t (122)

∀i := volume da tomada d’água até a secção “i” considerada. (m3)

∀t := volume total da tomada d’água. (m3)

Nesta modelação de Carvalho (2001), tem-se:

ξ0 = 0 (não há volume na secção inicial) (123)

ξmáx = 1 (124)

Finalmente, a modelação de Carvalho (2001) fica:

])1(1ln[1

t

iM

mínmáx

mín eMVV

VV∀∀

−+=−−

(125)

Lembrando a relação genérica entre velocidade e vazão:

V = Q/A (126)

A := área da secção (m2)

Consegue-se transformar a equação (125) em:

( )máxt

iM

máxmíni Ae

MAAA111ln1111

+

∀∀

−+

−= (127)

Ai := área na secção “i” considerada da tomada d’água. (m2)

A expressão (127) realiza o cálculo da transição de secção em escoamento

forçado de tomada d’água. Os dados necessários são a área mínima, a área máxima,

comprimento da tomada d’água e o parâmetro “M” de entropia.

Carvalho (2001) fornece um algoritmo para a solução deste problema através

de simulação numérica, sendo obtido os seguintes resultados:

Na usina hidrelétrica de Tucuruí, o parâmetro de entropia “M” é igual a 0,726.

Para a usina hidrelétrica de Água Vermelha, o parâmetro de entropia “M” possui valor de

0,321. Para a tomada d’água de Ponte Nova, o parâmetro de entropia “M” é igual a 0,201. Na

usina hidrelétrica de Três Irmãos, o parâmetro de entropia “M” possui valor de 0,783.

É interessante observar que nos quatro casos estudados por Carvalho (2001) o

valor do parâmetro “M” de entropia é inferior a unidade, lembrando que, em geral, o

escoamento em tomada d’água não é plenamente estabelecido.

Moraes (2003) faz aplicações do PEM para a modelação do fator de atrito f

para escoamento permanente, obtendo os seguintes resultados:

Regime Laminar: f = (64/Re) (128)

Regime Turbulento Liso: f = 4,0758/[ln(Re)]3,703 (129)

68

Regime Turbulento Rugoso:

703,3

843,0

0028,01ln

0758,4

=

kD

f (130)

Regime Turbulento Misto:

703,3

843,0

0028,0Re1ln

0758,4

+−

=

Dk

f (131)

D := diâmetro hidráulico (m)

k := rugosidade absoluta (m)

Finalmente, Moraes (2003) propõe o seguinte resultado: 843,0

0 Re0028,01

+=Dk

νε (132)


6. - MODELAÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO APLICADA AO

TRANSITÓRIO HIDRÁULICO EM CONDUTOS FORÇADOS.

6.1. USO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO EM REGIME PERMANENTE

APLICADA AO ESCOAMENTO TRANSITÓRIO (FATOR DE ATRITO “f”

CONSTANTE).

A tensão de cisalhamento de regime permanente é dada pela seguinte

expressão:

τo = ρ f VV / 8 (133)

τo := tensão de cisalhamento na parede (N/m2)




69

O método das características é o de uso consagrado para a resolução de

transitórios hidráulicos em condutos forçados. Este método é bem descrito em Chaudhry

(1987), Wylie e Streeter (1993); Souza, Martins e Fadiga Jr. (1991) e Almeida e Koelle

(1992).

As equações características são dadas pelas seguintes expressões:

041 0 =++Ddt

dQAdt

dHag

ρτ (134)

válida para (dx/dt) = +a, e

041 0 =++−Ddt

dQAdt

dHag

ρτ (135)

válida para (dx/dt) = -a. Sendo:

H := carga hidráulica total (m)

t := tempo (s)



A := área da secção transversal do tubo (m2)



D := diâmetro hidráulico interno (m)

No presente momento, usaremos a malha escalonada cruzada, com fator de

atrito “f” constante. A dedução das equações resultantes pode ser encontrada em Souza,

Martins e Fadiga Jr. (1991), de modo que aqui já apresentamos diretamente as equações.

Além disto, iremos dividir a tubulação de um sistema RTV em 4 partes eqüidistantes (uso de

5 nós):

A secção de montante (x = 0, ou seja no reservatório) será dotada do índice “10”.

A secção localizada no primeiro quarto (x = ¼ de L) de montante será dotada do índice “20”.

A secção localizada no meio do tubo (x = 1/2 de L) será dotada do índice “30”.

A secção localizada a três quartos (x = ¾ de L) será dotada do índice “40”.

A secção de jusante (x = L, ou seja na válvula) será dotada do índice “50”.

Os cálculos intermediários, necessários pelo uso da malha escalonada cruzada,

serão dotados dos índices “15”, “25”, “35” e “45”.

70

Por exemplo: “Q20” significa a vazão conhecida na secção “20” (ou no

primeiro quarto de montante). “H40” significa a carga hidráulica conhecida na secção “40” (ou

no terceiro quarto de montante).

Para os cálculos intermediários: “Q25” significa a vazão calculada levando em

conta os dados conhecidos da secção “20” e da secção “30” . “Q35” significa a vazão

calculada levando em conta os dados conhecidos da secção “30” e da secção “40”. O gráfico

da figura (19) ilustra uma malha escalonada cruzada com 5 nós(numeração 10, 20, 30, 40 e

50). Os índices 15, 25, 35 e 45 são dos cálculos intermediários.

Figura 19 – Exemplo de uma malha escalonada cruzada com 5 nós.

Malha Escalonada Cruzada

0

1

2

10 15 20 25 30 35 40 45 50Posição

Tem

po

Por exemplo, para calcular a vazão intermediária “Q25” (supondo conhecidas as

vazões e cargas hidráulicas nas secções “20” e “30” no instante anterior) basta calcular da

seguinte maneira:

)](2[)()(

3020

3020103025 QQRB

QQBHHQ++

++−= (136)

B = a/(gA) (137)

R = (f ∆X) / (4gDA2) (138)

Devemos lembrar que estamos admitindo um fator de atrito “f” constante.

∆X = L/4 (Dividimos o comprimento total da tubulação “L” em 4 partes iguais) (139)

Permutando-se os índices apropriadamente, consegue-se do mesmo modo

calcular “Q15”, “Q35” e “Q45”.

71

Para o cálculo, por exemplo, da nova vazão na secção “20”, é mister seguir o

seguinte algoritmo:

Ce = H10 + BQ10 - RQ10Q15 (140)

Be = B + RQ15 (141)

Cd = H30 - BQ30 + RQ30Q25 (142)

Bd = B + RQ25 (143)

Finalmente:

de

deP BB

CCQ+−

=20 (144)

O índice “P” significa a previsão na secção considerada, neste caso, da vazão.

A nova carga hidráulica na secção “20” pode ser encontrada de duas formas:

HP20 = CE – BE QP20 (145)

HP20 = CD + BD QP20 (146)

Deste modo, permutando-se os índices, é fácil calcular todos os pontos

interiores da malha.

A condição de contorno de montante (ou seja, no reservatório) é dada por:

HP10 = constante = carga no reservatório. A nova vazão na secção “10” pode ser então

calculada pela fórmula:

15

152020201010

)(QRB

QQRBQHHQ PP +

−+−= (147)

A condição de contorno de jusante (ou seja, na válvula) é dada por:

QP50 = 0 (válvula fechada devido a um fechamento instantâneo). A nova carga na secção “50”

pode ser então calculada pela fórmula:

HP50 = H40 + B Q40 – R Q40 Q45 (148)

Esta modelação será comparada com os dados experimentais de Bergant e

Simpson [Apud Ghidaoui e Mansour (2002)], ver tabela (III) (observação: ver arquivo

BergantSimpson, programa EXCEL, planilha “F Constante”, fornecida em disquete junto com

a presente tese):

Tabela III – Dados experimentais de Bergant e Simpson [Apud Ghidaoui e Mansour (2002)]

L (m) = 37,2

Hres (m) = 30,00

D (m) = 0,022

72

a (m/s) = 1319,00

f (-) = 0,03600

Q (m3/s) = 0,000114

DX (m) = 9,30

Dt (s) = 0,0070508

N (-) = 4

Área (m2) = 0,0003801

B (s/m2) = 353704,46

R (s2/m3) = 2683881,1

Nota: “L” é o comprimento da tubulação (sistema RTV), “HRES “ é a carga no reservatório de

um sistema RTV, “D” é o diâmetro da tubulação, “a” é a celeridade, “f” é o fator de atrito em

regime permanente, “Q” é a vazão em regime permanente, “DX” é o comprimento de cada

secção, “Dt” é o intervalo de tempo de cálculo, “N” é o número de secções (igual a 4). Área é

a área do tubo, “B” e “R” são constantes. A manobra da válvula é de fechamento instantâneo.

A viscosidade cinemática é de 0,000001139 m2/s.

O número de Reynolds é igual a 5792,53. A tubulação é de cobre (aspereza “k”

de 0.00002m). Segundo Souza et al. (1991), quando (Re0.9)/(D/k) ≤ 31, pode-se classificar o

escoamento como turbulento liso. Com os dados, vem:[(5792.53)0.9]/(0.022/0.00002) = 2.21,

ou seja, o escoamento é turbulento hidraulicamente liso.

DX = L / 4 (149)

Dt = DX / a (150)

Os dados experimentais na válvula são dados na tabela (4). Estes dados foram gentilmente

cedidos pelo Engenheiro Civil Gustavo Amaral, Mestre em Engenharia Civil pela

Universidade Federal de Minas Gerais, a quem agradecemos profundamente.

73

Tabela IV – Cargas transitórias na válvula, em metros. Experiência de Bergant e Simpson,

apud Ghidaoui e Mansour (2002).

Teste 1

Tempo (s) x = L

0 29,71

0,014 71,7

0,028 71,3

0,042 72

0,056 36

0,071 -3,7

0,085 -5,3

0,099 -6,4

0,113 -6

74

0,127 65,5

0,141 69,1

0,155 68,8

0,169 68

0,183 -0,2

0,197 -3,1

0,212 -4,2

0,226 -3,7

0,24 58

0,254 66

0,268 66,6

0,282 66,4

0,296 7

0,31 2,3

0,324 -1,3

0,338 0,5

0,353 43,8

0,367 63

0,381 64,8

0,395 64

0,409 53,2

0,423 2,3

0,437 -0,6

0,451 0,7

0,465 54

0,479 58,3

0,494 62

0,508 62,8

0,522 24,4

0,536 8,5

0,55 2,7

0,564 2,7

0,578 34,4

0,592 52,3

0,606 61,7

0,62 62,4

0,635 56,6

0,649 16,8

75

0,663 3,2

0,677 3,6

0,691 7,9

0,705 35,1

0,719 56,6

0,733 60

0,747 58,8

0,761 33,3

0,776 7,4

0,79 5,4

0,804 8,3

0,818 35,6

0,832 50,7

0,846 58,1

0,86 55,4

0,874 33,8

0,888 15

0,903 7,2

1ª Coluna: Tempo (s). 2ª Coluna: Carga na válvula (m).

Compara-se então o modelo teórico com os dados experimentais na figura (20).

Figura 20 – Comparação entre o modelo teórico usando o fator de atrito “f” constante durante

o transitório (em azul) e dados experimentais (em vermelho).

Comparação (f constante) x dados experimentais

-20

0

20

40

60

80

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Tempo (s)

Car

ga (m

H2O

) na

válv

ula

H EXP.

H(f const.)

76

Observa-se então que esta modelação prevê bem os valores experimentais de

sobre-pressão da 1ª e 2ª onda, mas o amortecimento real é maior que o previsto pelo modelo

teórico a partir da 3ª onda de sobre-pressão. Para as sub-pressões, o modelo teórico prevê

valores mais discrepantes em todas as ondas. Inclusive, para a primeira onda de sub-pressão,

o modelo teórico prevê pressões negativas abaixo de – 9,0 metros de coluna de água,

indicando a ocorrência de vaporização da coluna líquida. Uma tentativa de se melhorar o

modelo é tentar variar o fator de atrito “f” a cada instante de cálculo.

6.2. USO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO EM REGIME PERMANENTE

APLICADO AO ESCOAMENTO TRANSITÓRIO (FATOR DE ATRITO “f”

VARIÁVEL).

Agora, novamente iremos usar uma malha escalonada cruzada, mas com fator

de atrito “f” variável. Mais uma vez apresentaremos diretamente as equações.

Por exemplo, para calcular a vazão intermediária “Q15” (supondo conhecidas as

vazões e cargas hidráulicas e fatores de atrito “f” nas secções “10” e “20” no instante anterior)

basta calcular da seguinte maneira:

)](2[)()(

20201010

2010201015 QfQfRB

QQBHHQ++

++−= (151)

B = a/(gA) (152)

R = (∆X) / (4gDA2) (153)

77

Devemos lembrar que neste momento estamos admitindo um fator de atrito “f”

variável a cada instante. Para o cálculo do fator de atrito “f”, usa-se a fórmula de Swamee,

apud Porto (1998).

Permutando-se os índices apropriadamente, consegue-se do mesmo modo

calcular “Q25”, “Q35” e “Q45”.

Para o cálculo, por exemplo, da nova vazão na secção “20”, basta seguir o

algoritmo abaixo:

Ce = H10 + BQ10 – R f10Q10Q15 (154)

Be = B + R f20Q15 (155)

Cd = H30 - BQ30 + R f30Q30Q25 (156)

Bd = B + R f20Q25 (157)

Finalmente:

de

deP BB

CCQ+−

=20 (158)



HP20 = CE – BE QP20 (159)

HP20 = CD + BD QP20 (160)

Assim, permutando-se os índices, é fácil calcular novamente todos os pontos

interiores da malha.




1510

15202020201010

)(QRfB

QQRfBQHHQ PP +

−+−= (161)




HP50 = H40 + B Q40 – R f40Q40 Q45 (162)

Esta modelação será também comparada com os dados experimentais de

Bergant e Simpson [Apud Ghidaoui e Mansour (2002)] (observação: ver arquivo

BergantSimpson, programa EXCELL, planilha “F Variável”, fornecida em disquete junto

com a presente tese).

78

Compara-se então o modelo teórico com os dados experimentais na figura (21).

Figura 21 – Comparação entre o modelo teórico usando o fator de atrito “f” variável durante o

transitório (em azul) e dados experimentais (em vermelho).

Comparação (f variável) x dados experimentais

-20

0

20

40

60

80

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Tempo (s)

Car

ga (m

H2O

) na

válv

ula

H EXP.

H(F var.)

Observa-se então que esta modelação com fator de atrito “f” variável novamente prevê bem

os valores experimentais de sobre-pressão da 1ª e 2ª onda, mas o amortecimento real é maior

que o previsto pelo modelo teórico a partir da 3ª onda de sobre-pressão. Para as sub-pressões,

o modelo teórico prevê valores mais discrepantes em todas as ondas. De novo, para a primeira

onda de sub-pressão, o modelo teórico prevê pressões negativas abaixo de – 9,0 metros de

coluna de água, indicando a ocorrência de vaporização da coluna líquida. Esta modelação

com uso do fator de atrito “f” variável altera muito pouco os valores de carga e vazão em

relação ao modelo com fator de atrito “f” constante durante o transitório. A tabela (V)

corrobora esta assertiva.

Tabela V – Comparação entre o modelo teórico usando o fator de atrito “f” variável, o modelo

teórico usando o fator de atrito “f” constante e dados experimentais durante o transitório.[1ª

Coluna: Tempo (s)], [2ª Coluna: Carga na válvula, dados experimentais (m)], [3ª Coluna:

Carga prevista usando o fator de atrito “f” variável (m)], [4ª Coluna: Carga prevista usando o

fator de atrito “f” constante (m)].

tempo (s) H EXP (m). H(F var.)(m) H(f const.)(m)

0 29,71 29,72 29,72

79

0,014 71,7 70,11 70,11

0,028 71,3 70,18 70,18

0,042 72 70,25 70,25

0,056 36 70,32 70,32

0,071 -3,7 -9,85 -9,87

0,085 -5,3 -9,92 -9,94

0,099 -6,4 -10,00 -10,01

0,113 -6 -10,08 -10,08

0,127 65,5 69,58 69,63

0,141 69,1 69,67 69,70

0,155 68,8 69,74 69,77

0,169 68 69,83 69,84

0,183 -0,2 -9,33 -9,40

0,197 -3,1 -9,42 -9,47

0,212 -4,2 -9,50 -9,54

0,226 -3,7 -9,59 -9,61

0,240 58 69,05 69,16

0,254 66 69,18 69,23

0,268 66,6 69,25 69,30

0,282 66,4 69,36 69,37

0,296 7 -8,61 -8,93

0,310 2,3 -8,94 -9,00

0,324 -1,3 -9,01 -9,07

0,338 0,5 -9,13 -9,14

0,353 43,8 68,32 68,71

0,367 63 68,70 68,78

0,381 64,8 68,78 68,85

0,395 64 68,90 68,92

0,409 53,2 -8,09 -8,48

0,423 2,3 -8,47 -8,55

0,437 -0,6 -8,55 -8,62

0,451 0,7 -8,67 -8,69

0,465 54 67,87 68,26

0,479 58,3 68,24 68,33

0,494 62 68,32 68,40

0,508 62,8 68,45 68,47

0,522 24,4 -7,66 -8,04

0,536 8,5 -8,02 -8,11

80

0,550 2,7 -8,10 -8,18

0,564 2,7 -8,22 -8,25

0,578 34,4 67,44 67,82

0,592 52,3 67,80 67,89

0,606 61,7 67,87 67,96

0,620 62,4 68,00 68,03

0,635 56,6 -7,22 -7,61

0,649 16,8 -7,57 -7,68

0,663 3,2 -7,65 -7,75

0,677 3,6 -7,79 -7,82

0,691 7,9 67,01 67,40

0,705 35,1 67,35 67,47

0,719 56,6 67,43 67,54

0,733 60 67,57 67,60

0,747 58,8 -6,79 -7,19

0,761 33,3 -7,14 -7,26

0,776 7,4 -7,21 -7,33

0,790 5,4 -7,35 -7,39

0,804 8,3 66,56 66,98

0,818 35,6 66,92 67,05

0,832 50,7 67,00 67,12

0,846 58,1 67,14 67,19

0,860 55,4 -6,34 -6,77

0,874 33,8 -6,71 -6,84

0,888 15 -6,78 -6,91

0,903 7,2 -6,93 -6,98

.[1ª Coluna: Tempo (s)], [2ª Coluna: Carga na válvula, dados experimentais (m)], [3ª Coluna:

Carga prevista usando o fator de atrito “f” variável (m)], [4ª Coluna: Carga prevista usando o

fator de atrito “f” constante (m)].

Analisando-se a tabela (V) verifica-se que o amortecimento entre 2 ondas de

sobre-pressão (ou também de sub-pressão) é da ordem de 0,60 metros. Para as primeiras

ondas, a diferença de previsão entre os dois modelos teóricos é da ordem de 0.10 metros

O próximo tópico versará sobre o uso de uma tensão de cisalhamento, oriunda

do Princípio da Entropia Máxima (PEM), aplicada ao transitório hidráulico.

81

6.3. USO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO ENTRÓPICA EM REGIME

PERMANENTE APLICADA AO ESCOAMENTO TRANSITÓRIO (PARÂMETRO

“M” CONSTANTE E TERMO DE ATRITO DE 1ª ORDEM).

O perfil de velocidade entrópico (em regime permanente) é dado por:

)]1)(1(1ln[12

2

Rre

Muu M

máx

−−+= (163)

O gradiente de velocidade será dado pela seguinte expressão:

( )

−−+

−

−=

2

22

111

112

Rre

Me

Rru

drdu

M

Mmáx (164)

Quando “r” = “R”, o gradiente de velocidade possui valor finito e é dado pela

equação (165):

−

−=

Me

Ru

drdu M

máx 12 para “r” = “R” (165)

A tensão de cisalhamento de regime permanente é dada pela seguinte

expressão:

82

−

=−=

Me

Ru

drdu M

máxo

12µµτ , ou (166)

−

=

Me

Du Mmáx

o14µτ (167)

A velocidade máxima é relacionada com a velocidade média, “ )(u ”, de acordo

com a equação:

Mueeuu máxMM

máx −−= −1)1( , ou (168)

φuumáx = , onde (169)

Mee MM 1)1( 1 −−= −φ (170)

A tensão de cisalhamento fica então:

uMe

D

M

o

−

=

14φµτ (171)

Fazendo-se então:

−

=

Me

DC

M 14φµ , vem: (172)

uCo =τ (173)

Inserindo a expressão (173) nas equações características:

041 0 =++Ddt

dQAdt

dHag

ρτ (174)


041 0 =++−Ddt

dQAdt

dHag

ρτ (175)

válida para (dx/dt) = -a, , e após algumas operações, chega-se:

01 =++ QRdtdQ

dtdH

agA (176)


- 01 =++ QRdtdQ

dtdH

agA (177)

83

válida para (dx/dt) = -a, e onde

Me

DR

M )1(1621

−=φν (178)

Trabalhando-se, por exemplo, a equação (176), vem:

01 =++ QdtRdQdHagA (179)

Integrando-se a equação (179) entre os pontos “A” (onde todos os valores são conhecidos) e

“P” (onde serão calculados os novos valores), encontramos:

0)()( 1 =+−+− ∫ QdtRQQHHagA P

AAPAP (180)

Para calcularmos a integral contendo o termo de atrito, são possíveis três combinações:

∫ ∆=P

AA tQRQdtR 11 (modelação de 1ª ordem) (181)

∫ ∆=P

AP tQRQdtR 11 (modelação de 2ª ordem) (182)

∫ ∆+

=P

A

PA tQQRQdtR211 (modelação mista) (183)

Observação Importante: Na presente tese, adotamos o seguinte:

- Modelação de 1ª ordem significa a modelação que leva em

conta a vazão conhecida ou calculada anteriormente.

- Modelação de 2ª ordem significa a modelação que leva em

conta a vazão desconhecida ou a vazão a ser calculada.

- Modelação mista significa a modelação que leva em conta

metade da vazão conhecida e metade da vazão desconhecida.

Neste momento iremos trabalhar com a modelação de 1ª ordem, ou com a

equação (181). Assim, inserindo a equação (181) na equação (180) e continuando os cálculos,

chega-se a seguinte expressão:

gAatQRQQBHH AAPAP ∆−−−= 1)( , válida para (dx/dt) = +a (184)

84

A mesma análise acima usando agora a equação (177), entre os pontos “B”

(onde os todos os valores são conhecidos) e o mesmo ponto “P” (onde serão calculados os

novos valores), produzirá:

gAatQRQQBHH BBPBP ∆+−+= 1)( , válida para (dx/dt) = -a (185)

onde: B = a/(gA) (186)

lembrando que: a∆t = ∆X (187)

e fazendo-se R2 = (R1∆X)/(gA), igualando-se as expressões (184) e (185), consegue-se

calcular “QP”:

BQQRBHHQ BABA

P 2))(()( 2 +−+−

= (188)

O valor de “R2” será:

XMe

DgR

M

∆−

=)1(64

42 φπν (189)

O algoritmo de cálculo para uso em malha escalonada cruzada será dado pelo seguinte

conjunto de equações, para os pontos intermediários:

BQQRBHHQ

2))(()( 201022010

15+−+−

= (190)

BQQRBHHQ

2))(()( 302023020

25+−+−

= (191)

BQQRBHHQ

2))(()( 403024030

35+−+−

= (192)

BQQRBHHQ

2))(()( 504025040

45+−+−

= (193)


seguinte algoritmo:

BQQQQRQQBHHQP 2

)()()( 3025151023010301020

+++−++−= (194)



HP20 = H10 + B Q10 - R2 (Q10 + Q15) - B QP20

(195)

HP20 = H30 – B Q30 + R2 (Q30 + Q25) + B QP20 (196)

Para a secção “30”, vem:

85

BQQQQRQQBHHQP 2

)()()( 4035252024020402030

+++−++−= (197)

HP30 = H20 + B Q20 - R2 (Q20 + Q25) - B QP30

(198)

HP30 = H40 – B Q40 + R2 (Q40 + Q35) + B QP30 (199)


BQQQQRQQBHHQP 2

)()()( 5045353025030503040

+++−++−= (200)

HP40 = H30 + B Q30 - R2 (Q30 + Q35) - B QP40

(201)

HP40 = H50 – B Q50 + R2 (Q50 + Q45) + B QP40 (202)




BQQRBQHHQ P

P)()( 15202202010

10+−+−

= (203)




HP50 = H40 + B Q40 – R2 (Q40 + Q45) (204)

Finalmente, deve-se mencionar como será processado o cálculo do parâmetro

de entropia “M” (que será assumido igual ao do regime permanente e constante durante o

transitório).

Lembrando o capítulo (5) sobre o PEM, temos:

[ ]

=νε0)(

Re32 MFf (205)

Onde:

( ) 11

11)(

−

−

−−

=Me

eMeMF M

MM

(206)

Ou:

( )1

11

1)(−

−

−−= M

MM

eMeeMF (207)

Adotando a sugestão de Moraes (2003):

86

843,00 Re0028.01

+=Dk

νε

(208)


Assumem-se conhecidos, durante o regime permanente, os seguintes valores:

fator de atrito “f”, o número de Reynolds (Re) e a aspereza do tubo (k). (Se o regime for

turbulento liso, faça k = 0).

a) Calcule “ε0” através da equação (208). Se o regime é turbulento liso, adota-se k=0, vem ε0

= ν.

b) De posse de “f”, “Re” e “ε0” calcula-se “F(M)”, usando a equação (205).

c) Calculado “F(M)”, calcula-se, por iteração, o valor do parâmetro de entropia “M”, usando

as equações (206) ou (207).

d) De posse de “M”, calcula-se o valor de “φ” pela equação (117):

Mee MM 1)1( 1 −−= −φ (209)

e) Finalmente, calcula-se R2:

XMe

DgR

M

∆−

=)1(64

42 φπν (210)

∆X = L / 4 (211)

Esta modelação entrópica de 1ª ordem será comparada com os dados

experimentais de Bergant e Simpson [Apud Ghidaoui e Mansour (2002)].

Para o cálculo do parâmetro de entropia “M” basta seguir o raciocínio abaixo:

Com número de Reynolds igual a 5792,53, e já sabendo que o escoamento é

turbulento liso, calcula-se o fator de atrito “f” segundo Souza, Martins e Fadiga Jr. (1991): 2

9,0Re62.5log2

−

−=f (212)

de onde encontra-se f = 0.036. Como o escoamento é turbulento liso, temos ε0 = ν. Agora

basta seguir o algoritmo que calcula “M”. Para os dados experimentais que estamos usando,

temos que M = 2.507.

Finalmente compara-se a modelação entrópica com dados experimentais na

figura (22). (observação: ver arquivo BergantSimpson, programa EXCEL, planilha “M Const.

1ª Ordem”, fornecida em disquete junto com a presente tese):

87


regime permanente (assumindo “M” constante e modelação de 1ª ordem para o termo de

atrito) aplicada ao transitório hidráulico (em azul) e dados experimentais (em vermelho).

Comparação (M 1ª ord) x dados experimentais

-20

0

20

40

60

80

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Tempo (s)

Car

ga (m

H2O

) na

válv

ula

H EXP.

H(M 1ªord)

Observa-se então que esta modelação prevê bem os valores experimentais de sobre-pressão da

1ª, 2ª, e 3ª onda, mas o amortecimento real é maior que o previsto pelo modelo teórico a partir

da 4ª onda de sobre-pressão. Para as sub-pressões, o modelo teórico prevê valores mais

discrepantes em todas as ondas. Inclusive, para a primeira onda de sub-pressão, o modelo

teórico prevê pressões negativas abaixo de – 9,0 metros de coluna de água, indicando a

ocorrência de vaporização da coluna líquida. Um aspecto que deve ser frisado aqui é que os

picos máximos de sobre-pressões são bem modelados até a 6ª onda de sobre-pressão.

Verificaremos agora como comporta-se a modelação entrópica usando a modelação de 2ª

ordem para o termo de atrito ou a modelação mista.

88


PERMANENTE APLICADO AO ESCOAMENTO TRANSITÓRIO (PARÂMETRO

“M” CONSTANTE E TERMO DE ATRITO DE 2ª ORDEM).

Retorna-se agora à equação (180), onde usaremos agora a modelação de 2ª ordem para o

termo de atrito pela expressão (182).


AAPAP (180)

∫ ∆=P

AP tQRQdtR 11 (modelação de 2ª ordem) (182)

Assim, inserindo a equação (182) na equação (180) e continuando os cálculos,

chega-se a seguinte expressão:

gAatQRQQBHH PAPAP ∆−−−= 1)( , válida para (dx/dt) = +a (213)

Fazendo a mesma análise acima usando agora a equação (177), entre os pontos

“B” (onde os todos os valores são conhecidos) e o mesmo ponto “P” (onde serão calculados

os novos valores), produzirá:

89

gAatQRQQBHH PBPBP ∆+−+= 1)( , válida para (dx/dt) = -a (214)

onde: B = a/(gA) (215)

lembrando que: a∆t = ∆X (216)

e fazendo-se R2 = (R1∆X)/(gA), igualando-se as expressões (213) e (214), consegue-se

calcular “QP”:

)(2)()(

2RBQQBHHQ BABA

P +++−

= (217)

O valor de “R2” será:

XMe

DgR

M

∆−

=)1(64

42 φπν (218)

O algoritmo de cálculo para uso em malha escalonada cruzada será dado pelo seguinte

conjunto de equação, para os pontos intermediários:

)(2)()(

2

2010201015 RB

QQBHHQ+

++−= (219)

)(2)()(

2

3020302025 RB

QQBHHQ+

++−= (220)

)(2)()(

2

4030403035 RB

QQBHHQ+

++−= (221)

)(2)()(

2

5040504045 RB

QQBHHQ+

++−= (222)


seguinte algoritmo:

)(2)()()(

2

251523010301020 RB

QQRQQBHHQP ++−++−

= (223)



HP20 = H10 + B Q10 - R2 Q15 – (B + R2) QP20 (224)

HP20 = H30 – B Q30 + R2 Q25 + (B + R2) QP20

(225)


)(2)()()(

2

352524020402030 RB


= (226)

90

HP30 = H20 + B Q20 - R2 Q25 – (B + R2) QP30 (227)

HP30 = H40 – B Q40 + R2 Q35 + (B + R2) QP30

(228)


)(2)()()(

2

453525030503040 RB


= (229)

HP40 = H30 + B Q30 - R2 Q35 – (B + R2) QP40 (230)

HP40 = H50 – B Q50 + R2 Q45 + (B + R2) QP40

(231)




2

15220201010

)(RB

QRBQHHQ PP +

−+−= (232)




HP50 = H40 + B Q40 – R2 Q45 (233)

O cálculo do parâmetro de entropia “M” (que será assumido igual ao do regime

permanente e constante durante o transitório) é o mesmo já desenvolvido na secção anterior.

Esta modelação entrópica de 2ª ordem será comparada com os dados

experimentais de Bergant e Simpson [Apud Ghidaoui e Mansour (2002)], conforme figura

(23). (observação: ver arquivo BergantSimpson, programa EXCELL, planilha “M Const. 2ª

Ordem”, fornecida em disquete junto com a presente tese):


regime permanente (assumindo “M” constante e modelação de 2ª ordem para o termo de

atrito) aplicado ao transitório hidráulico (em azul) e dados experimentais (em vermelho).

91

Comparação (M 2ª Ordem) x dados experimentais

-20

0

20

40

60

80

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Tempo (s)

Car

ga (m

H2O

) na

válv

ula

H EXP.

H(M 2ªord)

A análise deste gráfico é similar ao já comentado usando a modelação de 1ª ordem para o

termo de atrito.

O próximo passo é usar a modelação entrópica usando a modelação de mista para o termo de

atrito.


PERMANENTE APLICADO AO ESCOAMENTO TRANSITÓRIO (PARÂMETRO

“M” CONSTANTE E TERMO DE ATRITO MISTO).

Retorna-se agora à equação (180), onde usaremos agora a modelação mista para o termo de

atrito pela expressão (183).


AAPAP (180)

∫ ∆+

=P

A

PA tQQRQdtR211 (modelação mista) (183)

Assim, inserindo a equação (183) na equação (180) e procedendo como nos

dois tópicos anteriores, já apresentamos o algoritmo de cálculo necessário para os pontos

intermediários:

92

1

20102201015 2

)()(B

QQBHHQ +−−= (234)

1

30202302025 2

)()(B

QQBHHQ +−−= (235)

1

40302403035 2

)()(B

QQBHHQ +−−= (236)

1

50402504045 2

)()(B

QQBHHQ +−−= (237)

B1 = B[1 + (R1 ∆t/2)] (238)

B2 = B[-1 + (R1 ∆t/2)] (239)

B = a/(gA) (240)

Me

DR

M )1(1621

−=φν (241)

Para o cálculo da nova vazão na secção “20”, segue-se o seguinte algoritmo:

1

25152130102301020 2

))(()()(B

QQBBQQBHHQP++−+−−

= (242)



HP20 = H10 – B2 Q10 – (B1 + B2) Q15 – B1 QP20 (243)

HP20 = H30 + B2 Q30 + (B1+B2) Q25 + B1 QP20 (244)

Permutando-se os índices, consegue-se também os valores de carga e vazão nas secções “30”

e “40”.




1

1521202201010

)()(B

QBBQBHHQ PP

+−−−= (245)




HP50 = H40 – B2 Q40 – (B1 + B2) Q45 (246)

O cálculo do parâmetro de entropia “M” (que será assumido igual ao do regime

permanente e constante durante o transitório) é o mesmo já desenvolvido anteriormente.

93

Esta modelação entrópica de ordem mista também será comparada com os

dados experimentais de Bergant e Simpson [Apud Ghidaoui e Mansour (2002)], conforme

figura (24). (observação: ver arquivo BergantSimpson, programa EXCELL, planilha “M

Const. Misto”, fornecida em disquete junto com a presente tese):

Figura 24 – Comparação entre o modelo teórico usando tensão de cisalhamento entrópica de

regime permanente (assumindo “M” constante e modelação de ordem mista para o termo de

atrito) aplicada ao transitório hidráulico (em azul) e dados experimentais (em vermelho).

Comparação (M misto) x dados experimentais

-20

0

20

40

60

80

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Tempo (s)

Car

ga (m

H2O

) na

válv

ula

H EXP.

H(M Misto)

94

A análise deste gráfico é similar ao já comentado usando as modelações de 1ª e 2ª ordem para

o termo de atrito.

A tabela (VI) compara os valores teóricos obtidos com a formulação entrópica usando os três

tipos de modelação do termo de atrito.

Tabela VI – Comparação entre os três tipos de modelação entrópica. (Valores de Carga

Hidráulica na Válvula (m))

[1ª Coluna: Modelação de 1ª Ordem], [2ª Coluna: Modelação de 2ª Ordem], [3ª Coluna:

Modelação de Ordem Mista)], [4ª Coluna: Tempo (s)].

H(M 1ªord)(m) H(M 2ªord)(m) H(M Misto)(m) tempo (s)

29,72 29,72 29,72 0

69,97 70,04 70,01 0,014

69,97 70,04 70,01 0,028

69,97 70,04 70,01 0,042

69,98 70,05 70,01 0,056

-9,42 -9,49 -9,46 0,071

-9,42 -9,49 -9,46 0,085

-9,43 -9,50 -9,46 0,099

-9,43 -9,50 -9,46 0,113

68,88 68,95 68,91 0,127

68,88 68,95 68,92 0,141

68,88 68,95 68,92 0,155

68,89 68,96 68,92 0,169

-8,34 -8,41 -8,38 0,183

-8,35 -8,42 -8,38 0,197

-8,35 -8,42 -8,38 0,212

-8,35 -8,42 -8,39 0,226

67,81 67,88 67,85 0,240

67,82 67,89 67,85 0,254

67,82 67,89 67,86 0,268

67,83 67,90 67,86 0,282

-7,29 -7,36 -7,33 0,296

-7,30 -7,37 -7,33 0,310

-7,30 -7,37 -7,34 0,324

95

-7,31 -7,38 -7,34 0,338

66,78 66,85 66,81 0,353

66,78 66,85 66,82 0,367

66,79 66,86 66,83 0,381

66,80 66,87 66,83 0,395

-6,27 -6,34 -6,31 0,409

-6,28 -6,35 -6,31 0,423

-6,29 -6,35 -6,32 0,437

-6,29 -6,36 -6,33 0,451

65,77 65,84 65,81 0,465

65,78 65,85 65,81 0,479

65,79 65,86 65,82 0,494

65,79 65,86 65,83 0,508

-5,28 -5,35 -5,31 0,522

-5,29 -5,36 -5,32 0,536

-5,29 -5,36 -5,33 0,550

-5,30 -5,37 -5,34 0,564

64,79 64,86 64,83 0,578

64,80 64,87 64,84 0,592

64,81 64,88 64,84 0,606

64,82 64,89 64,85 0,620

-4,31 -4,38 -4,35 0,635

-4,32 -4,39 -4,36 0,649

-4,33 -4,40 -4,37 0,663

-4,34 -4,41 -4,38 0,677

63,84 63,91 63,87 0,691

63,85 63,92 63,88 0,705

63,86 63,93 63,89 0,719

63,87 63,94 63,90 0,733

-3,37 -3,44 -3,41 0,747

-3,38 -3,45 -3,42 0,761

-3,39 -3,46 -3,43 0,776

-3,41 -3,47 -3,44 0,790

62,91 62,98 62,95 0,804

62,92 62,99 62,96 0,818

62,94 63,00 62,97 0,832

62,95 63,02 62,98 0,846

-2,46 -2,53 -2,49 0,860

96

-2,47 -2,54 -2,51 0,874

-2,48 -2,55 -2,52 0,888

-2,50 -2,56 -2,53 0,903

[1ª Coluna: Modelação de 1ª Ordem], [2ª Coluna: Modelação de 2ª Ordem], [3ª Coluna:

Modelação de Ordem Mista)], [4ª Coluna: Tempo (s)].

Verifica-se que no presente caso, os valores das três formulações não diferem

muito. Analisando-se a tabela (VI) verifica-se que o amortecimento entre 2 ondas de sobre-

pressão (ou também de sub-pressão) é da ordem de 1,00 metro, superior ao amortecimento

gerado usando a modelação com fator de atrito “f”. Vamos então comparar a modelação

entrópica de ordem mista e a modelação usando o fator de atrito “f” na próxima secção.

6.6. COMPARAÇÃO DA MODELAÇÃO ENTRÓPICA DE ORDEM MISTA E

MODELAÇÃO COM FATOR DE ATRITO “F” VARIÁVEL.

(Observação: ver arquivo BergantSimpson, programa EXCEL, planilha “Comparação”,

fornecida em disquete junto com a presente tese):

A tabela (VII) reúne os dados necessários para a comparação:

Tabela VII – Comparação entre o modelo teórico usando o fator de atrito “f” variável, o

modelo teórico da formulação entrópica mista e dados experimentais durante o transitório. [1ª

Coluna: Tempo (s)], [2ª Coluna: Carga na válvula, dados experimentais (m)], [3ª Coluna:

Carga prevista usando o fator de atrito “f” variável (m)], [4ª Coluna: Carga prevista usando a

modelação entrópica mista (m)].

tempo (s) H EXP.(m) H(F var.)(m) H(M Misto)(m)

0 29,71 29,72 29,72

0,014 71,7 70,11 70,01

0,028 71,3 70,18 70,01

0,042 72 70,25 70,01

0,056 36 70,32 70,01

0,071 -3,7 -9,85 -9,46

0,085 -5,3 -9,92 -9,46

97

0,099 -6,4 -10,00 -9,46

0,113 -6 -10,08 -9,46

0,127 65,5 69,58 68,91

0,141 69,1 69,67 68,92

0,155 68,8 69,74 68,92

0,169 68 69,83 68,92

0,183 -0,2 -9,33 -8,38

0,197 -3,1 -9,42 -8,38

0,212 -4,2 -9,50 -8,38

0,226 -3,7 -9,59 -8,39

0,240 58 69,05 67,85

0,254 66 69,18 67,85

0,268 66,6 69,25 67,86

0,282 66,4 69,36 67,86

0,296 7 -8,61 -7,33

0,310 2,3 -8,94 -7,33

0,324 -1,3 -9,01 -7,34

0,338 0,5 -9,13 -7,34

0,353 43,8 68,32 66,81

0,367 63 68,70 66,82

0,381 64,8 68,78 66,83

0,395 64 68,90 66,83

0,409 53,2 -8,09 -6,31

0,423 2,3 -8,47 -6,31

0,437 -0,6 -8,55 -6,32

0,451 0,7 -8,67 -6,33

0,465 54 67,87 65,81

0,479 58,3 68,24 65,81

0,494 62 68,32 65,82

0,508 62,8 68,45 65,83

0,522 24,4 -7,66 -5,31

0,536 8,5 -8,02 -5,32

0,550 2,7 -8,10 -5,33

0,564 2,7 -8,22 -5,34

0,578 34,4 67,44 64,83

0,592 52,3 67,80 64,84

0,606 61,7 67,87 64,84

0,620 62,4 68,00 64,85

98

0,635 56,6 -7,22 -4,35

0,649 16,8 -7,57 -4,36

0,663 3,2 -7,65 -4,37

0,677 3,6 -7,79 -4,38

0,691 7,9 67,01 63,87

0,705 35,1 67,35 63,88

0,719 56,6 67,43 63,89

0,733 60 67,57 63,90

0,747 58,8 -6,79 -3,41

0,761 33,3 -7,14 -3,42

0,776 7,4 -7,21 -3,43

0,790 5,4 -7,35 -3,44

0,804 8,3 66,56 62,95

0,818 35,6 66,92 62,96

0,832 50,7 67,00 62,97

0,846 58,1 67,14 62,98

0,860 55,4 -6,34 -2,49

0,874 33,8 -6,71 -2,51

0,888 15 -6,78 -2,52

0,903 7,2 -6,93 -2,53

[1ª Coluna: Tempo (s)], [2ª Coluna: Carga na válvula, dados experimentais (m)], [3ª Coluna:

Carga prevista usando o fator de atrito “f” variável (m)], [4ª Coluna: Carga prevista usando a

modelação entrópica mista (m)].

Colocando os dados da tabela (VII) em forma gráfica, tem-se a figura (25).

Figura 25 – Comparação da modelação entrópica de ordem mista (em azul) e modelação com

fator de atrito “f” variável (em preto) com dados experimentais (em vermelho).

99

Comparação dados experimentais x (f var) x (M Misto)

-20

0

20

40

60

80

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Tempo (s)

Car

ga (m

H2O

) na

válv

ula

H EXP.

H(F var.)

H(M Misto)

Verifica-se então que a formulação entrópica de ordem mista (em azul no

gráfico da figura (25)), neste caso, possui uma adequação melhor aos dados experimentais

(em vermelho no gráfico da figura (25)), do que a modelação usando o fator de atrito “f”

variável (em preto no gráfico da figura (25)). Uma explicação possível é que a modelação

entrópica utiliza o expoente linear para a velocidade média, ao passo que o expoente é

quadrático na formulação usando o fator de atrito “f” variável.

Cabe agora ressaltar que tanto a formulação entrópica como a formulação

usando o fator de atrito “f”, prevêem o valor nulo para a tensão de cisalhamento quando a

velocidade média for nula (e conseqüentemente a vazão média também for nula). Ocorre que

durante o transitório pode ocorrer a existência de um perfil (com escoamento reverso próximo

à parede do tubo) que gere velocidade média nula, mas a tensão de cisalhamento não será

nula.

Tendo isto em mente, vamos tentar usar uma tensão de cisalhamento em

escoamento oscilatório, usando a formulação entrópica, aplicada ao transitório hidráulico.

100


OSCILATÓRIO APLICADO AO ESCOAMENTO TRANSITÓRIO (PARÂMETRO

“M” CONSTANTE).

Seja um escoamento unidimensional laminar oscilatório [Bird et al. (1960)] em

um conduto circular. A equação de Navier-Stokes associada será:

2

21rV

rV

rxP

tV XXX

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

ρµ

ρµ

ρ (247)

VX:= velocidade (m/s)

t := tempo (s)


P := pressão (N/m2)


ν := viscosidade cinemática (m2/s)

µ := viscosidade dinâmica (kg/m.s)


r := raio genérico (m)

101

Admitindo que o gradiente de pressão seja oscilatório e que o perfil de velocidade também

seja oscilatório (método da separação de variáveis e usando notação dos números complexos),

vem:

tiCeax

P ω

ρ−=

∂∂

−1 (248)

aC := termo de aceleração (m/s2)

VX = V e-iωt (249)

V:= velocidade, que depende somente do raio genérico (m/s)

A equação (249) produz as seguintes derivadas:

(∂VX/∂t) = -iωV e-iωt (250)

(∂VX/∂r) = (dV/dr) e-iωt (251)

(∂2VX/∂r2) = (d2V/dr2) e-iωt (252)

Inserindo as equações (248), (250), (251), (252) na equação (247) e desenvolvendo, obtemos:

012

2

=+++µρ

µρω CaVi

drdVrdr

Vd (253)

A expressão (253) é uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem. Apresentaremos a

solução geral da equação (253):

V = C J0 (Kr) + (aC/ω)i (254)

C := constante de integração

Jo :=função de Bessel de ordem zero (-)

K2 = (ρωi)/µ (255)

K = (1+i)/δ (256)

δ = (2ν/ω)1/2 (257)

Aplicando a condição de contorno (princípio da aderência), quando “r” = “R” (raio do tubo),

temos que “V” = 0, determinamos a constante de integração “C”.

C = (-aC i)/[ω J0 (KR)] (258)

Finalmente, o perfil de velocidade do escoamento oscilatório laminar será:

VX = (aC/ω) (i e-iωt)1-[J0(Kr)/J0(KR)] (259)

Comparando a equação (259) com o perfil de velocidade de escoamento permanente laminar:

VX = Umáx(1-(r/R)2) (260)

Umáx := velocidade máxima no eixo do tubo (m/s)

Iremos fazer a seguinte analogia entre o escoamento permanente laminar e o escoamento

oscilatório laminar:

102

Umáx = (aC/ω) (261)

(1-(r/R)2) = 1-[J0(Kr)/J0(KR)] (262)

O termo (i e-iωt) fica sem correspondente no regime permanente laminar.

Lembrando agora o perfil de velocidade oriundo do PEM:

)]1)(1(1ln[ 2

2

Rre

MUu Mmáx −−+= (263)

Inserindo as expressões (261) e (262) em (263), temos duas possibilidades de expressar o

perfil de velocidade de escoamento turbulento oscilatório via analogia com escoamento

turbulento permanente:

)])()(1)(1(1ln[),(

0

0

KRJKrJe

Mieatru M

tiC −−+=

−

ω

ω

(264)

)])()()(1)(1(1ln[),(

0

0 tiMC ieKRJKrJe

Matru ω

ω−−−+= (265)

Não iremos entrar no mérito de verificar qual destas duas equações fornece o perfil mais

correto, pois nossa preocupação está em determinar a tensão de cisalhamento na parede do

tubo, para usar no método das características. Apesar disto, cabe citar aqui que fazendo o

limite das equações (264) e (265) quando “M” tende ao valor nulo, obtêm-se a equação (259),

que é o perfil de velocidade de escoamento laminar oscilatório. Além disto, quando “r” = “R”,

ocorre a velocidade nula, obedecendo o princípio da aderência em ambas equações (264) e

(265).

Fazendo a derivada parcial de “u” em relação a “r” de ambas equações (264) e (265),

encontramos o mesmo valor:

( )

−−+

−

=

∂∂ −

)()(111

)()()1(

0

0

1

KRJKrJe

KRJKrJe

MKiea

ru

oM

Mti

C

ω

ω

(266)

Quando “r” = 0, o gradiente de velocidade será nulo.

Quando “r” = “R”, o gradiente de velocidade possui valor finito:

( )tiM

C ieKRJKRJ

MeKa

ru ω

ω−

−

=

∂∂

)()(1

0

1 para “r” = “R” (267)

A tensão de cisalhamento para este caso é dada por:

( )tiM

Co ie

KRJKRJ

MeKa

ru ω

ωµµτ −

−

−=

∂∂

−=)()(1

0

1 (268)

103

Finalmente, pegando a parte real da equação (268)

( ))sen()cos()()(1

0

1 ttKRJKRJ

Mea M

Co ωω

ωδµτ −

−

= (269)

K = 1/δ (270)

δ = (2ν/ω)1/2 (271)

−≅

4

tan)()(

0

1 πKRKRJKRJ , quando “KR” tende a valores elevados (KR >>1). (272)

Pode-se fazer também:

−

−

= )

4tan(1 π

ωδKR

MeaCM

C (273)

De modo que:

( ))sen()cos( ttCo ωωµτ −= (274)

Inserindo a expressão (274) nas equações características:

041 0 =++Ddt

dQAdt

dHag

ρτ (275)


041 0 =++−Ddt

dQAdt

dHag

ρτ (276)

válida para (dx/dt) = -a, e após algumas operações, chega-se :

[ ] 0)sen()cos(4=−++ ttC

DA

dtdQ

dtdH

agA ωω

ρµ (277)


- [ ] 0)sen()cos(4=−++ ttC

DA

dtdQ

dtdH

agA ωω

ρµ (278)

válida para (dx/dt) = -a.

Trabalhando-se, por exemplo, a equação (277), vem:

[ ] 0)sen()cos(4=−++ dtttC

DAdQdH

agA ωω

ρµ (279)

Integrando-se a equação (279) entre os pontos “A” (onde os todos os valores são conhecidos)

e “P” (onde serão calculados os novos valores), encontramos:

[ ] 0)cos()cos()sen()sen(4)()( =−+−+−+− APAPAPAP ttttCDAQQHH

agA ωωωω

ων (280)

Continuando os cálculos, obtemos a seguinte expressão:

104

[ ])cos()cos()sen()sen()( APAPAPAP ttttDQQBHH ωωωω −+−−−−= (281)

A mesma análise acima usando agora a equação (278), entre os pontos “B”

(onde os todos os valores são conhecidos) e o mesmo ponto “P” (onde serão calculados os

novos valores), produzirá:

[ ])cos()cos()sen()sen()( APAPBPBP ttttDQQBHH ωωωω −+−+−+= (282)

onde: B = a/(gA) (283)

D = (8νCa)/(ωRg) (284)

igualando-se as expressões (281) e (282), consegue-se calcular “QP”:

BttttDQQBHHQ APAPBABA

P 2)]cos()cos()sen()[sen(2)()( ωωωω −+−−++−

= (285)

Para esta modelação, iremos usar a malha regular, e não a malha escalonada cruzada. A figura

(26) ilustra uma malha regular.

Figura 26 – Malha Regular

Malha Regular

0

1

2

10 20 30 40 50Posição

Tem

po

Para o cálculo, por exemplo, da nova vazão na secção “20”, é necessário seguir

o seguinte algoritmo:

BttttDQQBHHQ APAP

P 2)]cos()cos()sen()[sen(2)()( 30103010

20ωωωω −+−−++−

= (286)



[ ])cos()cos()sen()sen()( 10201020 APAPPP ttttDQQBHH ωωωω −+−−−−= (287)

105

[ ])cos()cos()sen()sen()( 30203020 APAPPP ttttDQQBHH ωωωω −+−+−+= (288)


BttttDQQBHHQ APAP

P 2)]cos()cos()sen()[sen(2)()( 40204020

30ωωωω −+−−++−

= (289)




BttttDQQBHHQ APAP

P 2)]cos()cos()sen()[sen(2)()( 50305030

40ωωωω −+−−++−

= (292)






BttttDBQHHQ APAPP

P)]cos()cos()sen()[sen()( 202010

10ωωωω −+−−+−

= (295)




HP50 = H40 + B Q40 - D[sen(ωtP)-sen(ωtA)+cos(ωtP)-cos(ωtA) (296)

Notamos que o termo de atrito na equação (296) não é necessariamente nulo,

apesar de que a vazão média seja nula, pois a válvula está fechada.

O parâmetro de entropia “M” será assumido igual ao do regime permanente e

constante durante o transitório.

Esta modelação entrópica da tensão de cisalhamento oscilatória, aplicada ao

transitório hidráulico, será comparada com os dados experimentais de Bergant e Simpson

[Apud Ghidaoui e Mansour (2002)].

O roteiro de cálculo é o seguinte:

a) Calcula-se “aC”. Há duas possibilidades: a primeira é fazer “aC = - (a∆V)/(∆X)”, onde:

∆V := Variação de velocidade que ocorrerá no transitório. Como a válvula ficará fechada, a

velocidade final será nula, de modo que:

106

∆V = (0 – Vo) = - V0 (297)

∆X = L / 4 (lembrar que estamos dividindo o tubo em quatro partes iguais) (298)

Assim:

aC = (aV0)/(∆X) (299)

A segunda possibilidade é substituir “∆X” por “L” na equação (299). Logo:

aC = (aV0)/(L) (300)

Destas duas possibilidades, a única que gerou amortecimento durante o transitório foi a

equação (300). Portanto, deve-se escolher para “aC”:

aC = (aV0)/(L) (300)

b) Calcula-se o período “T”.

T = 4L/a (301)

c) Calcula-se “ω”.

ω = 2π/T (302)

d) Dada a viscosidade cinemática “ν”, calcula-se “δ”.

δ = (2ν/ω)1/2 (303)

e) Calcula-se “K”

K = 1/δ (304)

f) Calcula-se “KR – (π/4)”. Depois a tangente (em radianos) deste argumento. (“R” é o raio

do tubo)

g) Dado o parâmetro de entropia “M” (calculado do escoamento permanente inicial),

determina-se a constante “C”.

−

−

= )

4tan(1 π

ωδKR

MeaCM

C (305)

h) Calcula-se a constante “D”

D = (8νCa)/(ωRg) (306)

107

Devemos ressaltar que esta formulação entrópica com tensão de cisalhamento oscilatória,

aplicada ao transitório hidráulico, deve acompanhar o caminho da onda de pressão. Em outras

palavras, o trecho da tubulação que ainda não foi atingido pela onda de pressão é modelado

como ainda em regime permanente. A parte da tubulação que já foi percorrida pela onda de

choque é modelada com a tensão de cisalhamento entrópica oscilatória.

Finalmente compara-se a modelação entrópica com dados experimentais na figura

(27). (observação: ver arquivo BergantSimpson(5ªVersãoTESE), programa EXCELL,

planilha “TAU Oscilatório”, fornecida em disquete junto com a presente tese):

Figura 27 – Comparação entre o modelo teórico usando a tensão de cisalhamento entrópica,

de regime oscilatório (assumindo “M” constante), aplicada ao transitório hidráulico (em azul),

e dados experimentais (em vermelho).

Comparação (M misto) x dados experimentais

-20

0

20

40

60

80

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Tempo (s)

Car

ga (m

H2O

) na

válv

ula

H EXP.

H50(Osc.)

Pode-se observar pela figura (27) que na primeira onda de sobre-pressão o

modelo teórico fornece valores razoáveis. Da segunda até a quinta onda de sobre-pressão

apenas os picos máximos são bem modelados, depois há uma degeneração do modelo teórico.

Para as ondas de sub-pressões, o modelo não reflete bem a realidade, inclusive gerando picos

de pressão negativa de –11 metros de coluna de água. Devemos lembrar novamente que o

modelo segue a onda de choque, sendo uma desvantagem em relação ao modelo de tensão de

cisalhamento entrópico de regime permanente aplicado ao transitório hidráulico.

108

A figura (28) compara a modelação de tensão de cisalhamento entrópico de

regime permanente aplicado ao transitório hidráulico, com a modelação de tensão de

cisalhamento entrópico de regime oscilatório aplicado ao transitório hidráulico e contra os

dados experimentais. (observação: ver arquivo BergantSimpson (5ªVersãoTESE), programa

EXCEL, planilha “Comparação”, fornecida em disquete junto com a presente tese):

Figura 28 – Comparação da modelação entrópica de regime permanente (M constante e

modelação mista), em azul e modelação entrópica de regime oscilatório (em preto) com dados

experimentais (em vermelho).

Comparação dados experimentais

-20-10

01020304050607080

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1Tempo (s)

Car

ga (

mH

2O)

na v

álvu

la

H EXP.

H(M Misto)

H(Bird)

Pode-se então concluir que ambas modelações não modelam bem as ondas de

sub-pressão, sendo que a modelação de tensão de cisalhamento entrópica oscilatória fornece

os melhores valores dos picos de sobre-pressão. Esta figura (28) sugere a tentativa de usar

uma modelação da tensão de cisalhamento usando as duas formulações em conjunto. Assim,

tentou-se uma modelação levando em conta metade da tensão de cisalhamento entrópica de

regime permanente com metade da tensão de cisalhamento entrópica de regime oscilatório.

Entretanto, esta nova modelação também não produziu bons resultados e não será mostrada

neste trabalho.

109

7. CONCLUSÕES

Neste trabalho tentamos utilizar o Princípio da Entropia Máxima no transitório

hidráulico. A tensão de cisalhamento entrópica de regime permanente aplicado ao transitório

apresentou melhores resultados do que o uso da tensão de cisalhamento de regime permanente

usando o fator de atrito “f” e a velocidade média elevada ao expoente dois.

Apesar desta melhora nos resultados teóricos, as ondas de sub-pressões ainda

não conseguem ser bem modeladas. O amortecimento das cargas transitórias também não são

bem refletidas pela modelação teórica. Deve-se lembrar que a celeridade é admitida constante

durante o transitório hidráulico, e que a própria perda de energia influi para a redução da

celeridade, o que não é refletida pelo modelo computacional.

Tentou-se também usar uma tensão de cisalhamento entrópica de regime

oscilatório no transitório hidráulico, mas os resultados teóricos não refletem bem os dados

experimentais. Além disto, esta modelação apresenta como desvantagem o fato de ser

necessária seguir a onda de choque, o que pode dificultar a sua implementação em sistemas

hidráulicos mais complexos que o sistema reservatório-tubo-válvula.

Houve também uma tentativa de se unir as duas tensões entrópicas (de regime

permanente e de regime oscilatório), entretanto os resultados não foram encorajadores e não

foram ilustrados.

110

8. RECOMENDAÇÕES PARA FUTURAS PESQUISAS

No presente trabalho, usamos a tensão de cisalhamento entrópica de regime

permanente aplicada ao transitório hidráulica. A hipótese assumida foi a de que o parâmetro

de entropia “M”, calculado em regime permanente, permaneça constante durante o transitório

hidráulico. Assim, a primeira sugestão é variar o valor do parâmetro de entropia “M” durante

o transitório. Esta mesma observação sobre a variação do parâmetro de entropia “M” é válida

para a tensão de cisalhamento entrópica de regime oscilatório.

Outra sugestão é a verificar se as equações (265) e (266) realmente modelam

bem o escoamento oscilatório turbulento:

)])()(1)(1(1ln[),(

0

0

KRJKrJe

Mieatru M

tiC −−+=

−

ω

ω

(265)

)])()()(1)(1(1ln[),(

0

0 tiMC ieKRJKrJe

Matru ω

ω−−−+= (266)

Outra recomendação possível é tentar uma nova modelação para o termo de

aceleração do escoamento oscilatório (“aC”).

Como usamos apenas uma única experiência para testar nossa modelação

teórica entrópica (sendo o escoamento permanente turbulento liso e número de Reynolds

baixo)l, é necessário também comparar a nossa modelação teórica entrópica com outros dados

experimentais já publicados na literatura, por exemplo, para escoamento turbulento rugoso,

ou com fechamento lento da válvula.

Finalmente, tentar ajustar a celeridade durante o transitório, usando ou não o

parâmetro de entropia “M” para esta modelação da celeridade.

111

9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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