PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE GOIS

ENGENHARIA CIVIL

DISCIPLINA: ENG2033 TEORIA DAS ESTRUTURAS II

Prof. Luiz lvaro de Oliveira Jnior

AULA 4B COEFICIENTES DE RIGIDEZ

Sistemas local e global de coordenadas

Como vimos anteriormente, as estruturas reticuladas planas so formadas por elementos de

eixo reto que podem ser elementos de barra, quando possuem apenas dois graus de liberdade

translacionais em cada extremidade, elementos de prtico, quando possuem dois graus de

liberdade translacionais e um rotacional em cada extremidade ou elementos de grelha,

quando possuem um grau de liberdade translacional e dois rotacionais.

Independentemente do tipo, cada elemento possui um sistema local de coordenadas, que no

necessariamente paralelo com o sistema global de coordenadas. Por exemplo, para um

elemento genrico de prtico plano, a Figura 1 apresenta os sistemas local e global de

coordenadas.

Figura 1 Sistemas de coordenadas local e global de um elemento genrico de eixo reto.

Alinhados com o sistema local de coordenadas, esto as deslocabilidades de cada elemento

genrico. No caso do elemento de prtico plano, essas deslocabilidades so duas translaes

(direes x e y) e uma rotao em z em cada n.

Funes de forma para configuraes deformadas elementares

As configuraes deformadas elementares de uma barra isolada correspondem s elsticas

que resultam da imposio individual de deslocamentos ou rotaes nas extremidades da

barra. Esses deslocamentos so impostos em direes paralelas aos eixos locais das barras, de

modo que o eixo x possui a direo longitudinal e eixo y possui a direo transversal, como

mostra a Figura 2.

Figura 2 Elemento de prtico e suas deslocabilidades.

A Figura 2 apresenta os deslocamentos e rotaes nas extremidades (ns) de um elemento de

prtico plano. Esses deslocamentos e rotaes so as deslocabilidades nodais e esto

mostrados na Figura 2 com seus sentidos positivos (translaes positivas nos sentidos

apontados pelos eixos locais e rotao positiva no sentido anti-horrio).

Uma elstica elementar da barra de prtico definida no sistema local pelo deslocamento

axial e pelo deslocamento transversal . Da Hiptese de Pequenos Deslocamentos,

podemos admitir que os deslocamentos axial e transversal so independentes, o que significa

que o deslocamento axial s depende das deslocabilidades e , e que o deslocamento

transversal s depende das deslocabilidades , , e . A partir de agora, chamaremos

esses dois deslocamentos de campos de deslocamentos, por se tratarem de funes.

Admitindo que no exista carregamento axial no interior da barra, podemos concluir que o

deslocamento constante. Assim, empregando a equao (1) encontramos uma funo

polinomial do primeiro grau para o deslocamento , dada pela equao (2).

(1)

(2)

Por outro lado, empregando a equao de Navier (equao (3)), obtemos uma funo

polinomial de ordem 3 para o campo de deslocamentos , se considerarmos que no h

carregamento transversal atuando na barra de prtico. Essa funo dada

(3)

(4)

A elstica descrita por esses dois campos de deslocamento pode ser escrita de uma forma

alternativa, como mostra a equao (5).

(5)

(6)

As funes so chamadas de funes de forma e definem a elstica elementar do elemento

isolado.

As equaes (2) e (5) so equivalentes. A diferena que os parmetros que definem a

elstica na equao (2) so meros coeficientes de um polinmio, enquanto na equao (5) so

parmetros que possuem significado fsico: representam as deslocabilidades axiais do

elemento. De forma anloga, o mesmo pode ser dito sobre as equaes (4) e (6).

Como vemos pelas equaes (5) e (6), cada deslocabilidade possui uma funo de forma

associada. No caso das deslocabilidades axiais, as funes de forma podem ser obtidas

diretamente da equao (2) impondo condies de contorno adequadas para obter os

coeficientes do polinmio ( e para obter e e para

obter ).

a) Clculo de :

b) Clculo de :

Para os deslocamentos transversais podemos empregar procedimento anlogo. Vamos

utilizar a equao (4) e impor as condies de contorno adequadas para obter seus

coeficientes. Assim:

a) Clculo de :

b) Clculo de :

c) Clculo de :

d) Clculo de :

Coeficientes de rigidez de barra no articuladas

Uma vez conhecidas as funes de forma, podemos empregar o princpio dos deslocamentos

virtuais (PDV) para obter os coeficientes de rigidez de barra de um elemento de prtico plano.

Esses coeficientes representam as foras e momentos que devem atuar nas extremidades da

barra isolada, paralelamente aos seus eixos locais, para equilibr-la quando um deslocamento

(ou rotao) imposto isoladamente em uma das suas extremidades. As funes de forma

obtidas definem elsticas correspondentes a essas foras e momentos para um elemento de

prtico plano.

Cada coeficiente de rigidez no sistema local representado pela notao , em que i indica

que o coeficiente a fora (ou o momento) que deve atuar em uma extremidade da barra na

direo da deslocabilidade para equilibr-la quando uma deslocabilidade imposta.

A Figura 3 apresenta a configurao deformada de uma barra isolada de prtico plano e o

conjunto de foras e momentos que atuam nas extremidades da barra paralelamente aos seus

eixos locais, para equilibr-la nessa configurao.

Figura 3 Configurao deformada e sistema de foras e momentos em um elemento de barra.

A superposio de todas as configuraes deformadas elementares resulta em uma relao

entre cada fora nodal generalizada, que representa a fora (ou momento) que atua na direo

de uma determinada deslocabilidade para equilibrar a barra isolada, e as deslocabilidades da

barra. Por exemplo, a fora f1 obtida somando as foras axiais na extremidade esquerda da

barra, resultando em: . Todas as outras foras generalizadas podem ser

encontradas de maneira anloga. Assim, temos o sistema de foras dado pela equao (17),

que na forma matricial dado pela equao (18).

(17)

(18)

O sistema na forma matricial composto, como se pode ver, por dois vetores e uma matriz

que nos dizem que o vetor de foras atuante em uma barra igual ao produto de uma matriz

pelo vetor de deslocamentos, sendo essa matriz denominada de matriz de rigidez.

Para determinar o valor de cada termo dessa matriz, vamos utilizar o PDV. Por este princpio,

temos:

(19)

Assim, os termos , , e , so dados por:

Para os outros coeficientes, temos pelo PDV a equao (21):

(20)

Assim, o termo da matriz de rigidez dado por:

Aps empregar a equao (20) para encontrar os outros termos, dados abaixo, chegamos

forma final da matriz de rigidez de um elemento de prtico plano no sistema local de

coordenadas.

Como podemos observar, a matriz de rigidez simtrica. Isso decorre da validade do Teorema

da Reciprocidade de Maxwell que nos diz que: o deslocamento provocado em i por uma fora

aplicada em j igual ao deslocamento em j provocado por uma fora aplicada em i, isto ,

.

Coeficientes de rigidez de barra articuladas

Em muitos casos, as estruturas reticuladas apresentam barras articuladas em uma

extremidade ou em ambas. No modelo estrutural, a articulao representada por uma rtula

que libera a continuidade de rotao nessa extremidade com as outras barras adjacentes ou

com os apoios. A obteno dos coeficientes de rigidez de barras desse tipo pode ser feita da

mesma forma empregada para as barras no articuladas, isto , determinar funes de forma

e usar o PDV para encontrar os coeficientes de rigidez. No entanto, podemos obter o mesmo

resultado de maneira simplificada.

Por exemplo, seja a barra da Figura 4, que possui uma articulao no n A. Vamos substituir

essa barra por outra sem articulaes e utiliz-la para estudar duas situaes distintas: a)

rotao unitria no n B e b) momento MA no n A, as quais sero superpostas depois.

Na situao (a) aplicamos sobre o n B uma rotao unitria. Pelo que vimos na deduo dos

coeficientes de rigidez de uma barra de prtico plano, surgir nesse n um momento cujo

valor 4EI/L no sentido anti-horrio e uma reao para baixo igual a 6EI/L2. Fazendo o

equilbrio de momentos no n A, encontramos nesse n um momento igual a 2EI/L. Pelo

equilbrio de foras verticais, a reao no n A igual do n B, mas com sentido contrrio.

Na situao (b) aplicamos o momento MA no n A com o sentido contrrio de modo que este

momento anule o momento que havia no n A da barra estudada na situao (a). Vimos que

quando o n sofre uma rotao unitria, surge um momento igual a 4EI/L no n. Entretanto,

estamos agora aplicando metade desse momento, de modo que se a barra for constituda de

material elstico-linear, os esforos que vo surgir so iguais metade dos esforos que

surgiram na situao (a), mas com sentidos opostos.

Figura 4 Barra articulada.

Assim, somando os efeitos obtidos nas situaes (a) e (b), encontramos os coeficientes de

rigidez indicados na Figura 5, e verificamos a condio de momento fletor nulo na rtula. De

modo anlogo, os coeficientes de rigidez que surgem nos ns de uma barra de prtico quando

a rtula est no n da direita so iguais.

Figura 5 Coeficientes de rigidez de uma barra articulada na extremidade.

Procedimentos anlogos podem ser feitos para determinar os outros coeficientes de rigidez

da barra com articulao na esquerda. Os resultados disso esto mostrados na Figura 6.

Figura 6 Coeficientes de rigidez para uma barra com articulao na extremidade esquerda

(MARTHA, 2010).

Calculando agora para uma barra com articulao no n direito, obtemos os coeficientes de

rigidez indicados na Figura 7.

Figura 7 Coeficientes de rigidez para uma barra articulada na extremidade direito

(MARTHA, 2010).

No mtodo dos deslocamentos comum lidarmos com barras definidas por ns

completamente engastados (barras internas do sistema hipergeomtrico) ou barras

engastadas-rotuladas (barras do sistema hipergeomtrico ligadas aos apoios reais). Nesses

casos, precisamos ter em mente que nos engastes das barras duplamente engastadas, a rigidez

vale 4EI/L, sendo o coeficiente de transmisso igual a 0,5, isto , no n que sofre o giro

causado pela deslocabilidade rotacional, a rigidez vale 4EI/L enquanto no n oposto da

mesma barra a rigidez vale 2EI/L. De maneira anloga, uma barra engastada-rotulada possui

rigidez rotacional igual a 3EI/L no n engastado. Por outro lado, se a barra sofrer um recalque

em um dos apoios, a rigidez que surge no outro apoio igual a 6EI/L2 se a barra for

duplamente engastada, ou 3EI/L se a barra for engastada-rotulada.

Tabela 1 Coeficientes de rigidez para elementos de prtico engastados e engastados-

rotulados (Sssekind, 1973).

Esforos de engastamento perfeito

Alm dos coeficientes de rigidez, precisamos tambm dos esforos de engastamento perfeito

para aplicar o mtodo dos deslocamentos na anlise de estruturas reticuladas. Esses esforos

so aqueles obtidos em barras biengastadas ou em barras engastadas-apoiadas para

diferentes tipos de carregamento externo. Uma tabela com os momentos de engastamento

perfeito pode ser encontrada em Pinheiro et al. (2010).

Bibliografia

Martha, L. F., Mtodos bsicos de anlise estrutural. Rio de Janeiro, Elsevier, 2010.

Sssekind, J. C. Curso de Anlise Estrutural, V. 3, Rio de Janeiro, Ed. Globo, 1973.

La Rovere, H. L. e Moraes, P. D., Notas de Aula da Disciplina: ECV5220 Anlise Estrutural.

Santa Catarina, 2005.

Pinheiro, L. M. et al. Tabelas de Vigas: Deslocamentos e Momentos de Engastamento Perfeito,

Escola de Engenharia de So Carlos (EESC-USP), 2010, 10 p.