lucas lima reis de pinho
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VALIDAÇÃO DE EQUIVALENTES DE REDE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
Lucas Lima Reis de Pinho
Rio de Janeiro
Agosto de 2015
Projeto de Graduação apresentado ao curso de
Engenharia Elétrica da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte
dos requisitos necessários para obtenção do grau de
Engenheiro Eletricista.
Orientador: João Pedro Lopes Salvador
VALIDAÇÃO DE EQUIVALENTES DE REDE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
Lucas Lima Reis de Pinho
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DA ESCOLA POLITÉCNICA
DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE
ENGENHEIRO ELETRICISTA.
Examinado por:
_______________________________________
Prof. João Pedro Lopes Salvador, M. Sc.
_______________________________________
Prof. Antonio Carlos Siqueira de Lima, D. Sc.
_______________________________________
Profª. Karen Caino de Oliveira Salim, D. Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
AGOSTO DE 2015
iii
Pinho, Lucas Lima Reis de
Validação de Equivalentes de Rede no Domínio da Frequência
– Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica, 2015.
X,52p.: il.; 29,7cm.
Orientador: João Pedro Lopes Salvador
Projeto de Graduação – UFRJ/Escola Politécnica/ Curso de
Engenharia Elétrica, 2015.
Referências Bibliográficas: p.51-52
1.Transitórios Eletromagnéticos. 2. Equivalentes de Rede 3.
Transformada Wavelet
I.Salvador, João Pedro Lopes. II. Universidade Federal do Rio
de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Elétrica.
III. Título
iv
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte
dos requisitos necessários para obtenção do grau de Engenheiro Eletricista.
Validação de Equivalentes de Rede no Domínio da Frequência
Lucas Lima Reis de Pinho
Agosto/2015
Orientador: João Pedro Lopes Salvador
Curso: Engenharia Elétrica
As contingências às quais a rede de transmissão de energia elétrica está
submetida geram a necessidade da análise dos transitórios eletromagnéticos resultantes
destas possíveis mudanças de topologia da rede. Os estudos destes fenômenos podem
ser otimizados quando se utilizam Equivalentes de Rede no Domínio da Frequência
(FDNE). Tais equivalentes ensejam a substituição de porções grandes da rede elétrica
por circuitos de menor complexidade que mimetizam o comportamento da rede original
em um determinado espectro de frequências, incorrendo em menores custos
computacionais e possibilitando a análise focada em partes específicas da rede elétrica.
O objetivo deste trabalho é obter um FDNE para parte de uma rede que se
assemelha a uma porção do Sistema Interligado Nacional (SIN) através da aproximação
racional da resposta em frequência através do algoritmo do Ajuste Vetorial.
Posteriormente, o comportamento do circuito equivalente sintetizado a partir do ajuste
realizado é validado ao comparar as respostas obtidas pela rede original e o FDNE em
simulação no domínio do tempo no software ATP Draw. Na etapa de validação, é
utilizado como ferramental auxiliar a Transformada Wavelet na decomposição dos
sinais obtidos em diferentes resoluções, visando uma análise mais minuciosa.
Palavras-chave: Análise de Transitórios Eletromagnéticos, Equivalente de Rede no
Domínio da Frequência, Ajuste Vetorial, Transformada Wavelet.
v
Dedico este trabalho aos meus
familiares, professores e amigos.
Dedico este trabalho aos meus
familiares, professores e amigos.
vi
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente aos meus pais José Francisco e Maria da Aparecida,
que apesar da distância, me deram o apoio necessário para que eu pudesse seguir em
frente e concluir esse curso de graduação. Agradeço ao meu orientador João Pedro
Lopes Salvador pelos conselhos e orientações que tornaram esse trabalho possível.
Agradeço ainda aos meus amigos e colegas de faculdade, pelo apoio e ajuda, durante
toda essa jornada da graduação.
vii
Sumário
Lista de Figuras
Lista de Tabelas
1 Introdução ................................................................................................................... 1
1.1 – Motivação ............................................................................................................ 1
1.2 – Objetivos .............................................................................................................. 2
1.3 – Estrutura do Documento ...................................................................................... 2
2 Revisão Teórica ........................................................................................................... 4
2.1.1 – Transformada de Fourier................................................................................... 4
2.1.2 – Transformada Wavelet ..................................................................................... 5
2.1.3 – Análise em Multirresolução .............................................................................. 7
2.1.4 – Transformada Wavelet Estacionária ................................................................. 9
2.2 – Equivalentes de Rede no Domínio da Frequência ............................................. 10
2.2.1 - Síntese Matricial .............................................................................................. 11
2.2.2 - Ajuste Vetorial ................................................................................................. 14
2.2.3 - Imposição de Passividade ................................................................................ 18
3 Resultados no Domínio da Frequência ................................................................... 20
3.1 – Descrição da Rede Elétrica em Estudo .............................................................. 20
3.2 – Resultados das Simulações no EMTP/ATP Draw ............................................. 26
3.3 – Resultados do Ajuste Vetorial ........................................................................... 29
4 Resultados Obtidos no Domínio do Tempo ............................................................ 33
4.1 – Resultados da Simulação Temporal ................................................................... 33
4.2 – Aplicação da Transformada Wavelet aos Resultados ........................................ 43
5 Conclusão .................................................................................................................. 49
5.1 – Trabalhos Futuros .............................................................................................. 50
Referências Bibliográficas ........................................................................................... 51
viii
Lista de Figuras
Figura 2.1 - Decomposição de uma aproximação A(j+1), , evidenciando a redução da
frequência de amostragem. ............................................................................................... 8
Figura 2.2 - Decomposição da aproximação A(j+1), utilizando TWE. ............................ 9
Figura 2.3 - Decomposição utilizando TWE. ................................................................. 10
Figura 2.4 - Medição dos elementos da j-ésima coluna de Y. ........................................ 12
Figura 2.5 - Terminais para obtenção da matriz de admitâncias [6x6]. ......................... 13
Figura 3.1 - Diagrama unifilar da rede. Fora de escala. ................................................. 21
Figura 3.2 - Rede elétrica no ATP Draw. ....................................................................... 22
Figura 3.3 - Parâmetros dos condutores (500 kV). ......................................................... 24
Figura 3.4 - Parâmetros dos condutores (230 kV). ......................................................... 24
Figura 3.5 - Disposição dos condutores nas torres de transmissão. ............................... 25
Figura 3.6 - Configuração do modelo de linha com transposição. ................................. 25
Figura 3.7 - Configurações do frequency scan. .............................................................. 26
Figura 3.8 - Elementos próprios. .................................................................................... 27
Figura 3.9 - Elementos mútuos. ...................................................................................... 27
Figura 3.10 - Elementos da matriz de admitâncias 6x6. ................................................. 28
Figura 3.11 - Ajuste vetorial com 300 polos. ................................................................. 30
Figura 3.12 - Ajuste Vetorial da matriz de admitâncias 6x6. ......................................... 31
Figura 4.1 - Síntese do FDNE no formato de circuito RLC no ATP Draw. ................... 34
Figura 4.2 - Resposta ao degrau no domínio do tempo. ................................................. 35
Figura 4.3 - Resposta à corrente senoidal no domínio do tempo. .................................. 35
Figura 4.4 - Energização do banco de capacitores utilizando FDNE. ............................ 36
Figura 4.5 - Comparação de correntes medidas nos terminais da Barra #1. .................. 37
Figura 4.6 - Comparação das correntes medidas nos terminais da Barra #4. ................. 37
Figura 4.7 - Correntes nas fases da Barra #1. ................................................................. 39
Figura 4.8 - Correntes nas fases da Barra #4. ................................................................. 39
Figura 4.9 - Resultado para Desequilíbrio Angular Brando. .......................................... 41
Figura 4.10 - Resultado para Desequilíbrio Angular Severo.......................................... 41
ix
Figura 4.11 - Resultado para Desequilíbrio entre Amplitudes Brando. ......................... 42
Figura 4.12 - Resultado para Desequilíbrio entre Amplitudes Severo. .......................... 42
Figura 4.13 - Análise aproximada da corrente em regime permanente da Barra #4. ..... 43
Figura 4.14 - Transformada Wavelet aplicada à resposta ao degrau: Fase A. ............... 44
Figura 4.15 - Transformada Wavelet aplicada à resposta ao degrau: Fases B e C. ........ 45
Figura 4.16 - Transformada Wavelet aplicada à resposta à corrente alternada: Fase A. 45
Figura 4.17 - Transformada Wavelet aplicada à resposta à corrente alternada: Fases B e
C. .................................................................................................................................... 46
Figura 4.18 - Histograma para a resposta ao degrau: Fase A. ........................................ 47
Figura 4.19 - Histograma para a resposta ao degrau: Fase B. ........................................ 47
Figura 4.20 - Histograma para a resposta à corrente alternada: Fase A. ........................ 48
Figura 4.21 - Histograma para a resposta à corrente alternada: Fase B. ........................ 48
x
Lista de Tabelas
Tabela 3.1 - Disposição da subestações abaixadoras em relação as barras. ................... 23
Tabela 3.2 - Comparação entre os valores RMS dos erros e das admitâncias. .............. 30
Tabela 3.3 – Resultados para Violação de Passividade. ................................................. 31
Tabela 3.4 – Resultados para Violação de Passividade do ajuste de matriz 6x6. .......... 32
Tabela 4.1 - Análise da discrepância na resposta contínua. ........................................... 35
Tabela 4.2 - Análise da discrepância na resposta alternada. .......................................... 36
Tabela 4.3 - Análise da discrepância nos terminais da Barra#4. .................................... 38
Tabela 4.4 - Análise da discrepância nos terminais da Barra#5. .................................... 38
Tabela 4.5 – Esquema utilizado no teste dos desequilíbrios. ......................................... 40
1
1 Introdução
1.1 – Motivação
Em regime permanente, o Sistema Interligado Nacional (SIN) opera com a
frequência elétrica de 60 Hz e é dotado de vários mecanismos de controle regulatórios
para que seja mantido o sincronismo dos geradores. Porém, esta condição de equilíbrio
está sujeita a algumas externalidades como surtos atmosféricos, curto-circuitos e
manobras responsáveis pela mudança da topologia, que causam variações bruscas nos
perfis de tensão e corrente em um curto intervalo de tempo antes que seja novamente
instaurado um ponto de equilíbrio [1]. A análise desses transitórios eletromagnéticos é
essencial para a otimização da operação do sistema elétrico, principalmente na formação
do arcabouço necessário para o planejamento da proteção e coordenação de isolamentos
dos equipamentos.
A análise de transitórios eletromagnéticos em sistemas de potência exige
elevado custo computacional, já que requer um modelo detalhado equivalente a uma
grande área da rede elétrica. Além disso, fenômenos desta natureza são responsáveis
pelo surgimento de componentes de corrente e tensão de frequência discrepante em
relação à frequência de operação em regime permanente, suscitando a necessidade da
utilização de métodos que incluam a dependência da frequência inerente a alguns
componentes da rede elétrica.
Logo, a obtenção de um equivalente de rede no domínio da frequência (FDNE,
Frequency Dependent Network Equivalent, em inglês) permite a simulação desdes
transitórios eletromagnéticos a partir de uma simplificação da rede original ao longo de
uma faixa de variação da frequência, com a vantagem de incorrer em menores esforços
computacionais e possibilitar estudos focados somente na área elétrica de interesse.
Como os componentes de simulação de transitório eletromagnéticos no Eletromagnetic
Transient Program (EMTP) são modelados no domínio do tempo, o conceito do FDNE
baseia-se na modelagem de tais componentes no domínio da frequência, e a partir deste
modelo, sintetizar um equivalente que possa ser inserido de volta no domínio do tempo.
2
Um equivalente no domínio da frequência pode ser obtido através do ajuste, i.e,
aproximação, da resposta em frequência de um componente isolado ou parte da rede.
Neste trabalho, o método utilizado para alcançar tal objetivo é do Ajuste Vetorial
(Vector Fitting, em inglês) que ajusta a resposta em frequência por uma função de
transferência dada por uma soma de frações parciais.
1.2 – Objetivos
Este trabalho tem como objetivo a síntese de um FDNE para uma rede elétrica
500kV/230kV baseada na área Norte-Nordeste do Sistema Interligado Nacional (SIN)
através do Ajuste Vetorial e analisar o sucesso do equivalente de rede no domínio
sintetizado através de comparações das respostas no domínio do tempo do FDNE e da
rede original, no ambiente do EMTP/ATP Draw (interface gráfica do Alternative
Transient Program).
De posse dos resultados obtidos das simulações temporais, a Transformada
Wavelet (TW), é utilizada como ferramental adicional de processamento de sinais para
análise dos resultados no domínio do tempo. Através da técnica de multirresolução,
objetiva-se uma comparação das respostas obtidas em diferentes níveis de resolução e
detalhes, no intuito de avaliar algum possível comportamento anômalo do FDNE em
relação ao comportamento da rede completa suficiente para invalidar sua utilização
como um equivalente de rede.
1.3 – Estrutura do Documento
No primeiro capítulo desde documento, expõe-se a descrição do problema na
análise de transitórios eletromagnéticos utilizando largas parcelas da rede elétrica e o
objetivo deste trabalho em sintetizar um equivalente de rede no domínio da frequência e
validar o ajuste realizado através de ferramenta de processamento de sinal e comparação
de respostas no domínio do tempo.
3
O Capítulo 2 é essencialmente, de caráter expositivo em relação à aspectos
teóricos e procedimentos realizados ao longo do trabalho, sendo este referente à
Transformada Wavelet, à metodologia aplicada para síntese dos equivalentes de rede no
domínio da frequência e o procedimento algébrico do Ajuste Vetorial.
Já o Capítulo 3 inicia a etapa de exposição dos aspectos práticos realizados.
Primeiramente, mostra uma breve descrição da rede elétrica em estudo, com
especificação de alguns elementos utilizados. Posteriormente, exibe os resultados
associados às simulações no domínio da frequência, juntamente com o ajuste vetorial
realizado no Matlab a partir do algoritmo do Vector Fitting. Estes resultados são
utilizados para a síntese do FDNE elaborado no ambiente do EMTP/ATP Draw e
utilizados nas simulações no domínio do tempo, expostas no Capítulo 4 em processo
comparativo com o comportamento da rede original. Ainda no Capítulo 4, são
mostrados os resultados associados à análise obtida a partir da Transformada Wavelet.
O Capítulo 5 destaca as principais conclusões parciais do trabalho realizado.
4
2 Revisão Teórica
Uma transformada é uma operação que permite representar um sinal em outro
domínio. Em sua forma integral de um sinal contínuo, constitui no produto interno entre
o sinal e uma função núcleo, que estabelece o mapeamento do domínio do tempo para o
domínio da transformada [2].
As transformadas são ferramentas matemáticas amplamente utilizadas em
técnicas de processamento de sinais, onde uma das mais conhecidas seja a
Transformada de Fourier (TF), que será apresentada na seção 2.1.1 para um melhor
entendimento do contexto em que se fez necessário o surgimento da Transformada
Wavelet (TW) explicitada na seção 2.2.2.
2.1.1 – Transformada de Fourier
A transformada de Fourier possibilita a transformação de um sinal periódico do
domínio do tempo para o domínio da frequência, ao descrevê-lo como um somatório de
senos e cossenos. A função responsável pela transformação é dada por (2.1.1) para
casos contínuos e (2.1.2) para dados discretizados [3]. Em (2.2.1), observa-se que o
produto interno entre o sinal contínuo f(t) e a função núcleo .
(2.1.1)
(2.1.2)
onde é a frequência angular, T é o intervalo de tempo total medido, corresponde
aos intervalos de tempo discretos e é o valor do sinal discreto no instante k. O
número total de amostras é igual a N= e
para n=1,2,3,...,N-1.
5
Analisando a equação (2.1.1) para uma função contínua é possível observar que
a TF é baseada na integração de toda a função para o cálculo de cada frequência. Isso
não caracteriza problemas em sinais estacionários, em que não há variação durante o
tempo.
Para análise de tais sinais com oscilações no domínio do tempo, surge uma
derivação da TF denominada Windowed Fourier Transform (WFT) [4] ou
Transformada de Fourier em Janelas, utilizando tradução livre. Esta técnica foi
proposta por Denis Garbor em 1946 [5] e consiste em adaptar a transformada de Fourier
para uma pequena porção do sinal em torno de um instante de tempo t. A WFT se
baseia em uma função j(t) que, de maneira abstrata, realiza o papel de uma janela em
que se obtém a TF da parte do sinal enquadrado e que pode ser transladado e modulado
a partir de operadores matemáticos, como exposto em (2.1.3) para um caso contínuo.
(2.1.3)
onde b é o parâmetro de translação e modula o tamanho da janela.
A limitação de tal transformada provém do fato de que uma vez definido o
tamanho da janela, esta será constante ao longo de todas as frequências. Alguns sinais
podem apresentar algumas singularidades que necessitam um enfoque mais flexível,
exigindo uma ampliação da escala obtida através da variação do tamanho da janela de
forma que seja possível detectar o conteúdo local da frequência [6].
2.1.2 – Transformada Wavelet
A Transformada Wavelet (TW) é uma técnica com dimensões de janelas
variáveis. As funções wavelet, diferentemente da transformada de Fourier, permitem a
representação de um sinal a partir do suporte local ao invés do suporte global, pois são
funções de duração limitada, em que seu domínio é igual a zero ao longo de um
extensão finita determinada por seus parâmetros e igual a zero em todo o resto. Na
utilização das wavelets, a decomposição do sinal não é mais feita em termos de senos e
6
cossenos como na WTF, mas em termos de funções localizadas no tempo e sem escala
fixa, fornecendo não só a identificação da frequência como também a sua localização no
tempo (domínio híbrido tempo-frequência) [7]. A TW é utilizada em detrimento à
Transformada de Fourier Janelada neste trabalho devido o fato da última apresentar
tratamento inconsistente para cada nível de frequência: nas frequências baixas existem
tão poucas oscilações dentro da janela que a localização da frequência é perdida,
enquanto o efeito contrário é observado em altas frequências, onde o elevado número de
oscilações culmina na perda da localização do tempo [7].
As funções wavelets são, por definição, quadráticas integráveis, centradas em
t=0, oscilatórias e representadas por (2.1.4).
(2.1.4)
Além disso, tais funções devem atender as características:
Área total sob a curva da função é zero;
(2.1.5)
A energia da função é finita
(2.1.6)
Para um melhor entendimento da técnica utilizada, é importante ressaltar que a
Transformada Wavelet representa o sinal ambos no domínio do tempo e da frequência.
Analisando a equação (2.1.4), pode-se observar que a função wavelet terá sua translação
ao longo do plano tempo-frequência coordenada pelo parâmetro b, enquanto o
parâmetro a determina a magnitude de sua compressão ou dilatação. Considerando que
a área da janela é constante, valores muito baixos de a significa uma compressão
elevada e uma diminuição do suporte temporal, permitindo a análise de uma porção do
sinal em um curto espaço de tempo e possibilitando captura de detalhes contidos em
7
altas frequências. Analogamente, valores elevados do parâmetro a são utilizados para
análises em escala global.
A partir de (2.1.4), também é possível constatar que a translação e dilatação de
fornece a geração de uma nova família de funções com as mesmas características
elementares, sendo a chamada wavelet mãe. Existem vários tipos destas funções
primordiais, sendo os mais comuns Daubechies, Haar, Coiflet e Symmlet [8].
Existem métodos que propõem critérios para melhor seleção da wavelet mãe de
acordo com o sinal a ser processado. Alguns destes métodos são Correlation Based
Waved Selection (CWBS), Energy Based Wavelet Selection (EWBS), Restrição a
Wavelets Biortogonais de Fase Linear e Método Baseado na Máxima Seletividade de
Filtros, que foram explicitados conjuntamente em [2]. Este trabalho conteve-se ao
método heurístico, através de tentativas e erros utilizando as wavelet mãe supracitadas e
disponíveis na ferramenta wavemenu do Matlab. Nos testes realizados, a wavelet mãe
que apresentou os melhores resultados foi a Daubechies.
Finalmente, a transformada Wavelet de um sinal contínuo f(t) será dada por
(2.1.7).
(2.1.7)
onde representa o complexo conjugado de .
No tocante à Transformada Wavelet Discreta (TWD), sua principal aplicação
reside na decomposição de sinais, sendo importante destacar a análise em
multirresolução desenvolvida em [8].
2.1.3 – Análise em Multirresolução
A teoria da Análise em Multirresolução se baseia na capacidade da TW de
decompor um sinal de entrada em diferentes níveis de resolução com diferentes escalas.
O processo se equivale a filtrar recursivamente um sinal com filtros passa-baixa e passa-
8
alta, onde o primeiro irá gerar detalhes (indicados por “D”) e o último, aproximações
(indicadas por “A”) [8]. Desta maneira, é possível obter decomposições mais simples
em relação ao sinal original, mas que mantenha algumas características específicas.
Considerando G(s) e H(s) como filtros discretos passa-baixa e passa-alta,
respectivamente, o sinal de detalhe pode ser obtido a partir da convolução da
aproximação com o filtro G(s) e retendo a outra amostra da saída [8], de forma
que a cada ciclo de decomposição a frequência de amostragem é reduzida pela metade.
O mesmo ocorre para obtenção das aproximações, como pode ser representado pela
ilustração da Figura 2.1. Tal problema relacionado à quantidade de dados obtidos após a
decomposição pode ser mitigado com a utilização de Transformadas Wavelet
Estacionárias (TWE), que serão abordadas na seção 2.1.4.
Figura 2.1: Decomposição de uma aproximação A(j+1), , evidenciando a redução
da frequência de amostragem. Baseada em figura presente em [9].
Outro ponto importante a ser observado é que durante a TW ocorre conservação
de energia, permitindo que o sinal seja reconstruído a partir do somatório da
aproximação e dos níveis de detalhamento, que serão de número igual ao nível de
aproximação utilizado. Como exemplo, consideremos um sinal discreto f( )
representado através de uma TW com nível de aproximação igual a 5. Ele poderá ser
reconstruído, de forma que (2.1.8) se confirme.
(2.1.8)
9
2.1.4 – Transformada Wavelet
Estacionária
Na seção anterior, foi mostrado que uma característica inerente ao processo de
análise em multirresolução utilizando TWD é a redução da quantidade de dados
presentes no sinal original. Isto pode ser uma interferência no resultado em casos que
primam pela manutenção das características dos sinais originais em suas representações
menos complexas. Desta forma, a Transformada Wavelet Estacionária (TWE) se torna
uma opção mais adequada nestas circunstâncias.
A Transformada Wavelet Estacionária (TWE) é uma alternativa para o fato de a
TWD não ser invariante no tempo e fornecer uma representação do sinal original com a
metade do número de amostras. Ao se utilizar a TWE, não há divisão do sinal a cada
ciclo de decomposição, tornando a extração de características do sinal mais
confiável [9]
Logo, o diagrama de blocos da decomposição de através de TWE
explicitado na Figura 2.2 não irá apresentar o bloco referente ao descarte de uma das
amostras da saída. Na Figura 2.3, evidencia-se o fato de a TWE poder ser obtida a partir
da TWD por meio de um upsampling (aumento de amostras) do resultado da
convolução do sinal, mantendo o número de amostras igual em cada etapa do processo.
Figura 2.2: Decomposição da aproximação A(j+1), utilizando TWE.
10
Figura 2.3: Decomposição utilizando TWE. Baseada em figura presente em [9].
O processo de upsampling é uma modificação dos filtros utilizados na TWD
interpolando zeros a cada duas amostras da transformada não-estacionária [10].
2.2 – Equivalentes de Rede no Domínio
da Frequência
Para contornar as dificuldades apresentadas no Capítulo 1 para análise de
fenômenos eletromagnéticos transitórios, utilizamos o Frequency-Dependent Network
Equivalent (FDNE) ou Equivalente de Rede no Domínio da Frequência (tradução livre),
que constitui em uma representação de elementos da rede elétrica em funções analíticas
da frequência. Neste trabalho, foi realizada a substituição de um modelo de
componentes de rede da área de interesse de estudo por um equivalente de rede que
represente de maneira satisfatória o comportamento de tal porção da rede, considerando
as variações de frequência. Tais modelos podem ser inseridos em programas de
transitório eletromagnético (EMTP,Eletromagnetic Transient Program, em inglês)
através de circuitos equivalentes com parâmetros concentrados [11] ou convolução
recursiva [12].
Existem diversas formas para obtenção do FDNE, sendo estas baseadas em
técnicas computacionais para estimação de parâmetros de modelos através do ajuste da
resposta em frequência do sistema elétrico original. Neste trabalho, o método utilizado
se baseia na aproximação da matriz de admitância Y por uma função racional no
domínio da frequência através do algoritmo conhecido Vector Fitting (Ajuste Vetorial,
11
tradução livre), que será explicado posteriormente. Neste procedimento, os
componentes no domínio do tempo serão representados como uma função de
transferência no formato de soma de frações parciais, i.e, uma soma de exponenciais
com decaimento dado pelos polos do ajuste e escalados pelos resíduos calculados [13].
2.2.1 - Síntese Matricial
Como mencionado anteriormente, para obtenção do equivalente de rede no
domínio da frequência, é necessário o ajuste da resposta em frequência da admitância
terminal de uma rede trifásica. Os dados necessários são obtidos através da simulação
no ATP Draw e a metodologia aplicada será brevemente explicada a seguir, tanto para o
caso de somente um terminal, quando para o caso multiporta.
O procedimento utilizado neste trabalho é similar ao utilizado por Gustavsen em
[14] para a modelagem de transformadores no domínio da frequência. A obtenção da
matriz de admitância baseia-se na relação entre a tensão aplicada e a corrente medida
saindo da fonte. Visando simplificar os cálculos, todas as fontes utilizadas neste
procedimento são de amplitude igual a 1,0 V e fase 0º.
Para o caso de somente um terminal trifásico, a Figura 2.4 representa uma das
etapas do processo. Aplica-se a tensão alternada com amplitude em um dos terminais
da rede trifásica, de modo que se obtenha o equivalente de Thévenin. A simulação é
realizada para uma larga faixa de frequência (frequency scan). A medição da corrente
nas outras fases terminais permite a obtenção da matriz de admitância terminal Y, de
forma que seus elementos são dados por (2.2.1) [14]:
(2.2.1)
12
Figura 2.4: Medição dos elementos da j-ésima coluna de Y.
Considerando uma rede trifásica e a tensão aplicada seja de amplitude igual a
1,0V e sem defasagem, os elementos da matriz de admitância de Thévenin serão
dados pela própria corrente medida em cada uma das 3 fases, possibilitando a
montagem da matriz cheia (2.2.2).
(2.2.2)
Como foi realizado o frequency scan da rede trifásica, teríamos uma matriz de
admitância para cada valor de frequência simulada. A aproximação da resposta obtida
pela simulação por uma função racional permite a representação de todas estas matrizes
através da matriz Y(s) no domínio da frequência, onde todos os elementos são funções
de s.
(2.2.3)
Em casos em que mais de uma barra do sistema seja de interesse, aplica-se a
mesma metodologia para obtenção de uma matriz que represente a resposta em
frequência. Para sistemas trifásicos com n barras de interesse, a resposta será dada na
forma de uma matriz equivalente de ordem [3n x 3n].
Retendo-se ao escopo deste trabalho, a formação de uma equivalência de uma
porção da rede localizada entre dois terminais trifásicos requer a montagem de uma
matriz de admitâncias de ordem [6x6], seguindo o modelo de (2.2.4).
13
(2.2.4)
De maneira análoga ao procedimento utilizado no caso de um único terminal, os
elementos da matriz de admitâncias (2.2.4) seguem o modelo que representa a
corrente medida no terminal i com a aplicação de uma fonte de tensão alternada de
amplitude unitária no terminal j, estão todos os outros aterrados.
Os índices em letra maiúscula se referem ao terminal trifásico ABC, enquanto os
de letra minúscula se referem ao terminal abc, representados na Figura 2.5. As
submatrizes [3x3] do canto superior esquerdo e do canto inferior esquerdo se referem ao
terminal trifásico ABC e suas mútuas e a terminal abc e suas mútuas, respectivamente.
As duas demais submatrizes descrevem a relação entre os dois terminais.
Figura 2.5: Terminais para obtenção da matriz de admitâncias [6x6].
14
2.2.2 - Ajuste Vetorial
Este método tem como finalidade ajustar as respostas obtidas no domínio da
frequência para funções racionais aproximadas, permitindo a inclusão da frequência na
análise dos transitórios eletromagnéticos. Consiste numa ferramenta para o ajuste de
equivalentes de rede no domínio da frequência.
Considerando uma função genérica dependente da frequência:
(2.2.5)
A multiplicação de ambos os lados da equação (2.2.5) pelo denominador do lado
direito permite que a equação seja enquadrada na forma linear , mas incorre em
que todas as colunas de A estejam multiplicadas por s, elevando a complexidade. Isto
limita a metodologia para aproximações de ordens muito baixas, principalmente se o
ajuste for realizado em uma ampla faixa de frequência [15].
Diante de tal dificuldade, o método em questão consiste na aproximação por
frações parciais mostrada na equação (2.2.6) através de dois estágios lineares, ambos
com polos conhecidos. Os resíduos e os polos podem ser números reais ou
complexos conjugados, enquanto os termos direto d e proporcional e são números reais.
A possibilidade de obter pares conjugados complexos para os polos obtidos através do
método garante a representação dos picos de ressonância necessários para a
aproximação dos equivalentes de rede no domínio da frequência e em outras aplicações,
como modelos de transformadores [14],[15].
(2.2.6)
Apresentada por Gustavsen e Semlyen em [15], esta metodologia consiste em
substituir um conjunto de polos iniciais por um conjunto de polos obtidos através de
15
múltiplas iterações, procedimento o qual será brevemente exposto a seguir. O código
computacional para todo o pacote Vector Fitting é de domínio público, sendo
disponibilizado em [16].
Estágio #1: Identificação dos Polos
Especifica-se um conjunto de polos iniciais para (2.2.6) e multiplica-se f(s)
por uma função desconhecida . Ao realizar a aproximação racional para , tem-
se o problema explicitado em (2.2.7):
(2.2.7)
É importante notar que em (2.2.7), a aproximação racional para tem os
mesmos polos que a aproximação de mas não há ambiguidade de soluções
devido o fato de ter valor unitário para frequências muito altas. Multiplicando a
segunda linha de (2.2.7) por f(s) fornece a seguinte relação:
(2.2.8)
ou
(2.2.9)
A equação (2.2.8) é linear em suas incógnitas , e, d e . Descrevendo (2.2.8)
para vários valores diferentes de frequência, obtemos o problema linear na forma
(2.2.10)
para cada ponto de frequência , sendo cada linha sendo dada por:
16
(2.2.11)
(2.2.12)
Devido o número de equações ser maior que o número de incógnitas, o problema
deve ser resolvido pelo método dos mínimos quadrados. No caso de polos complexos,
uma modificação é introduzida para garantir que os resíduos se apresentem na forma de
pares conjugados. Assume-se que as frações parciais i e i+1 constituem um par
complexo, i.e.,
(2.2.13)
Os elementos correspondentes são modificados da seguinte forma:
(2.2.14)
No processo de ajuste, só são utilizadas as frequências positivas. De maneira que
se preserve as propriedades dos conjugados, formula-se (2.2.10) separando as partes real
e imaginária de cada elemento, de modo a utilizar quantidades reais:
(2.2.15)
Reescrevendo (2.2.9) na forma de produtórios de polos e zeros:
(2.2.16)
e, portanto:
(2.2.17)
17
Analisando (2.2.17), podemos observar que o conjunto de polos iniciais são
cancelados no processo e os polos de f(s) são iguais aos zeros de . Portanto,
calcular os zeros de significa calcular um bom conjunto de polos que ajusta f(s).
A maneira encontrada para determinação destes zeros é definir como uma
função de transferência qualquer em que são zeros e são polos:
(2.2.18)
A determinação de parte da consideração de que os zeros de são iguais
aos polos de . Para realizar a inversão, deve-se partir para a realização em
equações de estado de no domínio do tempo, dada pelas equações (2.2.19) e
(2.2.20).
(2.2.19)
(2.2.20)
onde A é uma matriz diagonal, c é um vetor linha, d é a unidade e b é um vetor coluna
com todos os elementos unitários. Da equação (2.2.20) vem:
(2.2.21)
aplicando (2.2.21) em (2.2.19) e considerando d=1 para , obtemos a seguintes
expressão:
(2.2.22)
Da equação (2.2.22), observa-se que a matriz de estados para é dada
por . Como os polos de são determinados pelos autovalores de
, logo os zeros de que serão os polos que ajustarão f(s) podem ser calculados
por:
18
(2.2.23)
onde A é uma matriz diagonal que possui o conjunto de polos iniciais e b é um vetor
coluna onde todos os elementos são iguais a 1 e c é o vetor linha que possui os resíduos
de .
No caso de pares de conjugados complexos, as submatrizes de (2.2.23) são
modificadas via transformação de similaridade como:
(2.2.24)
Estágio #2: Identificação dos Resíduos
Para identificação dos resíduos, utiliza-se os zeros calculados em (2.2.23) ou
(2.2.24) como um novo conjunto de polos iniciais. Calcula-se então os resíduos de
forma mais precisa. Este processo novamente resultará em um problema linear da forma
onde o vetor solução x contém as incógnitas . A vantagem do método
Vector Fitting de tratar o ajuste de curvas amostradas como um problema de dois
estágios lineares, com escolha automatizada dos polos iniciais de ajuste.
2.2.3 - Imposição de Passividade
Em programas do tipo EMTP, é possível sintetizar um equivalente RLCG a
partir da matriz ajustada de Y, ensejando simulações no domínio do tempo. A técnica
abordada ao longo desta seção força a passividade da matriz, certificando que o
comportamento físico do modelo criado absorva potência ativa para quaisquer módulo
de tensão aplicadas, em qualquer nível de frequência [17].
Seja um componente definido por sua matriz ajustada Y:
(2.2.25)
19
com tensão , corrente e admitância . A potência
ativa é dada por:
(2.2.26)
onde representa a matriz de tensão conjugada e transposta. Logo, o critério para
passividade é que G = Re{Y} seja positiva definida [17], i.e, tenha todos seus
autovalores positivos.
A imposição de passividade é baseada em um processo de linearização [17],
onde se assume que a aproximação de Y(s) foi realizada com elevada precisão,
ensejando que a transformação de um autovalor negativo de G(s) em positivo seja
realizada através de uma pequena perturbação da matriz dos resíduos calculados no
ajuste.
20
3 Resultados no Domínio da
Frequência
Neste capítulo são expostos os resultados da simulação no software EMTP/ATP
Draw para obtenção de uma resposta em frequência de um caso que se assemelha à
porções da rede elétrica do Sistema Interligado Nacional (SIN). Previamente, é feita um
breve descrição do exemplo em questão e explicação da metodologia utilizada, assim
como os parâmetros de simulação utilizados.
3.1 – Descrição da Rede Elétrica em
Estudo
A rede elétrica utilizada para a obtenção de um equivalente na forma de uma
função racional da frequência é representada no diagrama unifilar da Figura 3.1 e no
caso montado no ATP Draw mostrado na Figura 3.2.
21
Figura 3.1: Diagrama unifilar da rede. Fora de escala.
22
Figura 3.2: Rede elétrica no ATP Draw.
23
A porção da rede elétrica na Figura 3.2 é uma representação típica das Áreas
500/230 kV do Sistema Interligado Nacional (SIN). Neste caso, tem-se 3 barras de
500 kV (#1, 2 e 3), 9 barras de 230 kV (#4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 19) e 7 barras de 69 kV
(#12, 13, 14, 15,16, 17 e 18). Os geradores estão conectados à Barra #1 (500 kV) e #19
(230 kV), enquanto as cargas se distribuem pelas barras de 230 kV e 69 kV. A Tabela
3.1 exibe a localização relativa das subestações abaixadoras em relação aos pares de
barras da rede elétrica.
Tabela 3.1 - Disposição da subestações abaixadoras em relação as barras.
Subestação
Abaixadora Par de Barras
500kV/230kV
(#1,#10)
(#1,#19)
(#2,#8)
(#3,#4)
230kV/69kV
(#5,#13)
(#6,#14)
(#7,#15)
(#8,#12)
(#9,#16)
(#10,#17)
(#11,#18)
Embora existam diversos modelos de linhas de transmissão com parâmetros
variantes na frequência, neste trabalho escolheu-se a utilização do modelo proposto por
J. Marti em [18]. Este modelo consiste em um modelo preciso para inclusão da
dependência com a frequência dos parâmetros de linhas de transmissão nas simulações
de transitórios eletromagnéticos, no domínio do tempo. O modelo no EMTP utiliza um
processo de ajuste racional baseado somente em polos reais e as impedâncias
características em cada terminal da linha são substituídas por equivalentes de rede
adequados que apresentam praticamente o mesmo espectro de frequência de As
linhas de transmissão dos ramos de 500 kV são compostas por 4 condutores por fase,
24
enquanto o circuito de 230 kV apresenta 2 condutores por fase. Para ambas as tensões,
os circuitos apresentam dois cabos pára-raios.
A Figura 3.3 é referente às configurações no ATP Draw das linhas de
transmissão de 500 kV, apresentando os parâmetros Raio Interno (Rin), Raio Externo
(Rout), Resistência DC por quilômetro de extensão (Resis), além da disposição
geométrica dos condutores (Horiz, Vtower, Vmid). Na primeira coluna de dados, os
números diferenciam as 3 fases entre si, enquanto o algarismo 0 é referente ao cabo
pára-raios. Analogamente, a Figura 3.4 explicita os mesmos parâmetros para os
circuitos de 230 kV.
Figura 3.3: Parâmetros dos condutores (500 kV).
Figura 3.4: Parâmetros dos condutores (230 kV).
A Figura 3.5 mostra a disposição dos condutores nas torres de transmissão de
acordo com cada nível de tensão, a partir das configurações expostas nas Figuras 3.3 e
3.4 e com auxílio da ferramenta Matlab.
25
Figura 3.5: Disposição dos condutores nas torres de transmissão.
Por se tratar de um circuito trifásico de corrente alternada, ocorre o acoplamento
de impedâncias de cada fase devido à interação entre os campos eletromagnéticos
induzidos devido a passagem de corrente em cada uma das fases, criando impedâncias
mútuas entre os condutores, além da impedância própria de cada fase resultante de
características intrínsecas dos cabos. Tais impedâncias mútuas variam de acordo com a
diferença entre as distâncias entre os condutores, evidenciando discrepância no
acoplamento eletromagnético fases que não são equidistantes. De modo a reduzir o
efeito deste fenômeno, o modelo utiliza as linhas idealmente transpostas, de forma que
os condutores ocupam todas as posições possíveis em trechos iguais, como pode ser
visto na Figura 3.6.
Figura 3.6: Configuração do modelo de linha com transposição.
As respostas em frequência da rede elétrica foram obtidas da simulação do
circuito da Figura 3.2 no programa EMTP/ATP Draw, sendo simulados 200 pontos por
década na faixa entre 1 Hz e 100 kHz [13]. A análise do comportamento da rede elétrica
em um espectro de frequências é realizada utilizando a ferramenta frequency scan do
EMTP/ATP Draw, como pode ser visto na Figura 3.7.
26
Figura 3.7: Configurações do frequency scan.
3.2 – Resultados das Simulações no
EMTP/ATP Draw
Seguindo a metodologia apresentada no Capítulo 2, foram obtidas as respostas
em frequência das admitâncias equivalentes referentes à Barras #4. Tais resultados são
alocados em matrizes tridimensionais de dimensões [3 x 3 x k], onde k é o número de
pontos de frequência simulados. Desta forma, valores da matriz de admitâncias próprias
e mútuas são dados para cada valor de frequência da faixa utilizada na simulação no
EMTP/ATP Draw. A congruência nos condutores utilizados em cada fase e na forma
com que estão dispostos nos circuitos quádruplos garante a equivalência entre os três
valores de admitância própria ( , ) para cada ponto de frequência. Já a
transposição das linhas, que confere a equidistância entre cada fase, assegura valores
idênticos para as admitâncias mútuas ( , . As Figuras 3.8 e 3.9
apresentam as curvas que compõem a diagonal principal e os demais elementos,
respectivamente, para a matriz de admitâncias equivalente referente à Barra #4.
27
Figura 3.8: Elementos próprios.
Figura 3.9: Elementos mútuos.
Nos gráficos dos resultados obtidos é possível observar a equivalência
impedâncias próprias e mútuas, garantida pelas condições mencionadas previamente
nesta seção. Ainda é possível constatar o comportamento decrescente do módulo das
admitâncias com o aumento da frequência, como era de se esperar em redes de caráter
predominantemente indutivo, como são as linhas de transmissão. A partir de
aproximadamente 200 Hz, começam a surgir picos de ressonância, observáveis através
das oscilações bruscas presentes na representação gráfica das admitâncias.
Analogamente, o caso utilizando dois terminais para obtenção do equivalente
forneceu a resposta em frequência alocada em uma matriz de dimensões [6 x 6 x k], que
pode ser dividida em 4 submatrizes [3 x 3] onde os elementos foram previamente
explicados na Seção 2.2.1.
28
Os resultados obtidos estão expostos na Figura 3.10 e se referem à resposta em
frequência das admitâncias equivalentes referentes às Barras #1 e #4, de forma que os
índices em fonte maiúscula (A,B,C) fazem alusão às fases da Barra #1, enquanto a
utilização da letra minúscula (a,b,c) remetem aos terminais da Barra #4.
As linhas contínuas do gráfico da Figura 3.10 nas cores azul e preta representam
as admitâncias próprias referentes às Barras #1 ( ) e #4 ( ),
respectivamente. A curva cheia na cor magenta é representativa dos termos da diagonal
principal das submatrizes de interação entre os dois terminais trifásicos, ou seja, das
submatrizes do canto inferior esquerdo e canto superior direito da matriz em (2.2.4).
Da mesma forma, as linhas tracejadas são representativas dos termos fora da
diagonal principal das submatrizes, que são simétricas uma por uma devido as
disposição geométrica das fases e da transposição ideal das linhas, como já fora
explicado para o caso de um único terminal trifásico. As linhas nas cores ciano e verde
representam as admitâncias mútuas somente entre os terminais da Barra #1 e #4,
respectivamente. Já a linha tracejada magenta informa o comportamento das
admitâncias mútuas resultantes da interação entre as fases (A,B,C) e (a,b,c).
Figura 3.10: Elementos da matriz de admitâncias 6x6.
29
3.3 – Resultados do Ajuste Vetorial
As respostas em frequência da rede elétrica são utilizadas no algoritmo de Ajuste
Vetorial no software Matlab, de acordo com a metodologia apresentada no Capítulo 2.
O procedimento adotado para a escolha do número de polos do ajuste foi empírico,
tendo como ponto de partida a tentativa de 120 polos utilizada para redes complexas em
[15]. Foi utilizado o algoritmo disponibilizado em [16].
Em ordens mais baixas, o aumento do número de polos utilizado para a
aproximação da resposta em frequência geralmente resulta em curvas mais bem
ajustadas, com menor desvio quadrático médio em relação à curva original. Em
contrapartida, é desejável que a ordem do ajuste seja a menor possível, desde que
satisfaça certo grau de exigência da aproximação, pois uma ordem muito elevada
representa maiores riscos de obtenção de polos muito próximos, que poderiam acarretar
problemas de convergência quando inseridos na simulação no domínio do tempo e
maiores custos computacionais. Estes possíveis problemas são decorrentes de um
possível crescimento do valor dos resíduos em relação ao valor dos polos nestas
circunstâncias [12]. Ponderando tais condições, o número de polos igual a 300 forneceu
resultados bastante satisfatórios para o caso de um único terminal trifásico que estão
expostos na Figura 3.11.
30
Figura 3.11: Ajuste vetorial com 300 polos.
O ajuste vetorial fornece um erro quadrático médio (root mean-square ou RMS)
igual à 6,018 S, que é comparado com os valores RMS das admitâncias
próprias e mútua na Tabela 3.2.
Tabela 3.2 - Comparação entre os valores RMS dos erros e das admitâncias.
Valor RMS
(S)
Porcentagem do Erro
RMS (%)
Admitância Própria 2,739 0,022
Admitância Mútua 2,388 0,025
Em relação à imposição de passividade, foram necessárias 5 iterações para
eliminação das violações encontradas nos valores das condutâncias. O número de
violações encontradas para cada iteração, assim como a máxima violação encontrada e a
frequência equivalente estão expostas na Tabela 3.3.
31
Tabela 3.3 - Resultados para as Violações de Passividade.
Iteração Nº de violações Violação Máxima
(S)
Frequência
Violação Máxima
(Hz)
1 6 -0,199040 43029,13
2 6 -0,044762 43024,76
3 2 -0,007982 43019,65
4 2 -0,000198 43018,46
5 0 0,000000 0,000000
O ajuste da matriz de admitâncias para o caso multi-terminal incorreu no gráfico
da Figura 3.12, utilizando a mesma ordem de aproximação de 300 polos.
Figura 3.12: Ajuste Vetorial da matriz de admitâncias 6x6.
Em relação à imposição de passividade, foram necessárias 10 iterações para
eliminação das violações encontradas nos valores das condutâncias. O número de
violações encontradas para cada iteração, assim como a máxima violação encontrada e a
frequência equivalente estão expostas na Tabela 3.4.
32
Tabela 3.4 - Resultados para as Violações de Passividade para o ajuste da matriz
6x6.
Iteração Nº de violações Violação Máxima
(S)
Frequência
Violação Máxima
(Hz)
1 36 -0,0016064 9816,9355
2 23 -0,0013109 2,6779
3 4 -4,5685e-05 9824,282
4 4 -1,3566e-05 2,6779
5 3 -2,3269e-17 9792,6354
6 5 -1,7923e-05 7257,4527
7 1 -1,2053e-16 7394,7555
8 2 -7,6375e-07 7391,2616
9 0 0,00000000 0,00000000
33
4 Resultados Obtidos no Domínio
do Tempo
Neste capítulo são apresentados os resultados da comparação da resposta ao
degrau de corrente de 1 A e à uma corrente senoidal de amplitude 1 A no domínio do
tempo do equivalente dos 3 terminais referentes à Barra #4 com a resposta da rede
completa, com intuito de validar o FDNE sintetizado no EMTP/ATP Draw. Para o caso
do equivalente com os dois terminais referentes às Barras #1 e #4, foram realizadas
simulações no domínio do tempo da energização de um banco de capacitores
conectados à Barra #4, sendo o terminal trifásico da Barra #1 alimentado por uma fonte
trifásica de tensão alternada igual a 500 kV (rms, tensão de linha).
Posteriormente, foram cotejados os resultados obtidos entre a rede original e o
FDNE multi-terminal para o caso de desequilíbrios contingenciais inerentes à operação
da rede elétrica, de modo a analisar o comportamento do equivalente obtido mediante
condições anômalas do sistema elétrico. Inicialmente, foram aplicadas flutuações de
0,1pu nas amplitudes das tensões de fases e 0,5º de defasagem angular em relação
aos valores originais de referência das fases A e B do terminal trifásico da Barra #1. Em
seguida, as simulações foram realizadas para assimetrias mais severas, com variação de
0,15pu e 5º.
Na seção 4.2, estão expostos os resultados da aplicação da Transformada
Wavelet à ambas as respostas, tanto do comportamento da rede e de seu equivalente no
domínio do tempo.
4.1 – Resultados da Simulação
Temporal
Como mencionado na Seção 2.2.3, é possível sintetizar um circuito RLCG no
software EMTP do equivalente de rede obtido a partir da aproximação da resposta em
34
frequência da rede original por uma função racional. É importante ressaltar a
importância da imposição de passividade neste processo, que mitiga a probabilidade de
ocorrência de erros de convergência na simulação no domínio do tempo do FDNE.
A síntese do equivalente de rede no ambiente do EMTP é obtida através do
Matriz Fitting Toolbox, disponível em [16], que contém uma função específica para
gerar um arquivo TXT dos parâmetros do ajuste da matriz em termos de resistência ( ),
indutância (H) e capacitância (F). Este arquivo é importado para o software EMTP/ATP
Draw na criação de um modelo específico do usuário, referente ao FDNE. Os terminais
do equivalente podem ser acessados, conforme mostrado na Figura 4.1.
Figura 4.1: Síntese do FDNE no formato de circuito RLC no ATP Draw.
Na Figura 4.1, estão apresentados os resultados da medição de corrente nos
terminais das fases a, b e c da Barra #4, respectivamente, da simulação da aplicação do
degrau de corrente na terminal da fase a desta mesma barra. No gráfico, estão
sobrepostos os valores obtidos tanto para a rede original ( quanto para a
simulação realizada utilizando o FDNE (
. Analogamente, na Figura 4.2
estão expostos os resultados para a resposta da simulação com corrente alternada.
Nas Tabela 4.1 e 4.2, seguem as comparações entre o valor RMS da discrepância
entre ambas as respostas e o valor RMS da resposta da rede original. O fato de o erro
representar apenas 0,85% e 1,35% das respostas da rede original, sempre em termos
quadráticos médios, para os sinais dos terminais de fase B e C, que apresentaram
mesma resposta, além de não haver discrepância no sinal obtido para fase A, indicam
uma boa aproximação do equivalente.
35
Figura 4.2: Resposta ao degrau no domínio do tempo.
Tabela 4.1 - Análise da discrepância na resposta contínua.
Fase Valor Corrente
RMS [A]
Erro RMS
[A]
Porcentagem do
Erro (%)
A 1,0000 0,0000 0,0000
B 0,8059 0,0069 0,8561
C 0,8059 0,0069 0,8561
Figura 4.3: Resposta à corrente senoidal no domínio do tempo.
36
Tabela 4.2 - Análise da discrepância na resposta alternada.
Fase Valor Corrente
RMS [A]
Erro RMS
[A]
Porcentagem do
Erro (%)
A 0,7017 0,0000 0,0000
B 0,5177 0,0070 1,3521
C 0,5177 0,0070 1,3521
É importante ressaltar que não houve instabilidade na simulação do FDNE,
evidenciando o sucesso da imposição de passividade.
No equivalente com dois terminais proveniente do ajuste da matriz de dimensão
[6 x 6 x k] resultante do frequency scan, a montagem do circuito com FDNE para a
simulação da energização do banco de capacitores no EMTP/ATP Draw pode ser vista
na Figura 4.4. O disjuntor localizado a montante do banco de capacitores fecha seus
contatos nos instantes de tempo iguais à 0,1s para a fase a, 0,11s para a fase b e 0,12s
para o terminal da fase c.
Figura 4.4: Energização do banco de capacitores utilizando FDNE.
37
Para comparação dos resultados obtidos, as correntes medidas para as
simulações da rede original e do FDNE são expostas nas Figuras 4.5 e 4.6, referentes
aos sinais medidos nos terminais da Barra #1 e #4, respectivamente.
Figura 4.5: Comparação de correntes medidas nos terminais da Barra #1.
Figura 4.6: Comparação das correntes medidas nos terminais da Barra #4.
38
Nas Tabela 4.3 e 4.4, seguem as comparações entre o valor RMS da discrepância
entre ambas as respostas e o valor RMS da resposta da rede original para as fases dos
terminais trifásicos das Barras #1 e #4, respectivamente. Observa-se que o erro entre a
resposta da rede original em relação ao FDNE é ligeiramente menor na comparação
entre as correntes do terminal da Barra #4, em termos percentuais.
Tabela 4.3 - Análise da discrepância nos terminais da Barra #1.
Fase Valor Corrente
RMS [A]
Erro RMS
[A]
Porcentagem do
Erro (%)
A 1023,2 77,1962 7,5445
B 1016,9 72,7326 7,1523
C 1018,3 78,9071 7,7489
Tabela 4.4 - Análise da discrepância nos terminais da Barra #4.
Fase Valor Corrente
RMS [A]
Erro RMS
[A]
Porcentagem do
Erro (%)
a 1352,0 66,3128 4,9047
b 1292,2 57,4931 4,4444
c 1275,9 69,0202 5,4095
A proporção das diferenças entre os valores RMS das correntes em relação ao
valor RMS das correntes provenientes da simulação da rede original preconizam um
bom comportamento do equivalente de rede mediante os transitórios eletromagnéticos
inerentes à manobras como a energização do banco de capacitores em que surgem
componentes de corrente e tensão em elevadas frequências. A congruência entre os
resultados obtidos é reforçada através da observação do comportamento da corrente em
cada fase isoladamente, exposta juntamente com cada desvio associado, nas Figuras 4.7
e 4.8.
39
Figura 4.7: Correntes nas fases da Barra #1.
Figura 4.8: Correntes nas fases da Barra #4.
40
Ainda nesta seção, foram realizados os testes do comportamento do FDNE
mediante desequilíbrios angulares e de amplitude entre as fases, como supracitado no
texto na introdução do Capítulo 4. Neste trabalho, os menores desvios em relação aos
valores de referência são tratados como Desequilíbrio Brando, enquanto às variações de
maior valor absoluto são classificadas como Desequilíbrio Severo. As tensões aplicadas
à rede elétrica original e ao FDNE em cada caso são expostas na Tabela 4.5.
Tabela 4.5 - Esquema utilizado no teste dos desequilíbrios.
Fase Amplitude
[p.u]
Ângulo
(º)
Desequilíbrio
Angular
Brando
A 1,0 0
B 1,0 -120,5
C 1,0 120,5
Severo
A 1,0 0
B 1,0 -125
C 1,0 125
Desequilíbrio
entre Amplitudes
Brando
A 1,1 0
B 0,9 -120
C 1,0 120
Severo
A 1,15 0
B 0,85 -120
C 1,0 120
Os resultados obtidos para os testes realizados estão expostos nas Figuras 4.9,
4.10, 4.11 e 4.12. Assim como para os gráficos do caso do FDNE com somente um
terminal trifásico, as curvas referenciadas por um asterisco (*) representam a resposta
da simulação utilizando o equivalente de rede no domínio da frequência.
41
Figura 4.9: Resultado para Desequilíbrio Angular Brando.
Figura 4.10: Resultado para Desequilíbrio Angular Severo.
42
Figura 4.11: Resultado para Desequilíbrio entre Amplitudes Brando.
Figura 4.12: Resultado para Desequilíbrio entre Amplitudes Severo.
43
A análise das curvas obtidas enseja a conclusão de que o FDNE também
apresentou um comportamento similar à rede original em condições anômalas de
operação do sistema elétrico, inclusive durante o transitório eletromagnético sobre ação
de componentes de tensão de frequência diferente de 60 Hz.
Entretanto, analisando minuciosamente os gráficos, é possível observar que em
alguns casos, no regime permanente, o FDNE apresenta uma corrente senoidal,
enquanto a resposta da rede original possui distorções harmônicas. A situação mais
expressiva ocorreu para a fase a do terminal trifásico da Barra #4 na simulação do
Desequilíbrio entre Amplitudes Severo e pode ser melhor observado na Figura 4.13.
Uma possível causa para o aparecimento das distorções é a não representação da curva
de saturação em alguns transformadores. Entretanto, neste trabalho não foi realizada
uma investigação mais profunda da causa desta distorção.
Figura 4.13: Análise aproximada da corrente em regime permanente da Barra #4.
4.2 – Aplicação da Transformada
Wavelet aos Resultados
Nesta seção, estão apresentados as aproximações e detalhes resultantes da
aplicação da Transformada Wavelet nos sinais apresentados nas Figuras 4.2 e 4.3. A
transformada foi aplicada a partir de programação no software Matlab, utilizando a
44
função swt (Stationary Wavelet Transformation), utilizando como argumentos o sinal a
ser processado, o nível de detalhamento utilizado e a especificação da wavelet ortogonal
a ser empregada.
Após uma série de testes, optou-se pela utilização da Wavelet mãe da família
Daubechies de ordem 4, ou simplesmente db4, com nível de detalhamento igual a 3 (ou
seja, gera 1 sinal de aproximação e 3 sinais de detalhes). Os resultados associados à
resposta ao degrau seguem nas Figuras 4.14 e 4.15. Para a aplicação sobre os sinais de
corrente alternada, os sinais obtidos são apresentados nas Figuras 4.16 e 4.17. Nos
gráficos abaixo, a escala de tempo utilizada para a observação dos detalhes provenientes
da TWE é diferente da escala utilizada para o sinal original s e a aproximação . Essa
diferenciação foi realizada para uma melhor análise da comparação entre a aproximação
e a resposta original ao longo de tempo todo o intervalo de simulação ao passo que o
intervalo de variação dos detalhes é bem menor, uma vez que se estabilizam em torno
de 0 rapidamente. Os resultados obtidos para as fases B e C foram aglutinados nos
gráficos das Figuras 6.4 e 6.6, já que apresentaram os mesmos valores de corrente.
Figura 4.14: Transformada Wavelet aplicada à resposta ao degrau: Fase A.
45
Figura 4.15: Transformada Wavelet aplicada à resposta ao degrau: Fases B e C.
Figura 4.16: Transformada Wavelet aplicada à resposta à corrente alternada: Fase
A.
46
Figura 4.17: Transformada Wavelet aplicada à resposta à corrente alternada:
Fases B e C.
A Transformada Wavelet Estacionária foi utilizada com a finalidade de manter
as mesmas dimensões do sinal original, objetivando evitar a perda de dados referentes
às respostas da simulação no domínio do tempo. Sendo empregada como uma
ferramenta auxiliar da validação dos resultados do ajuste vetorial, os sinais gerados pela
TWE corroboram as análises anteriores da eficiência da aproximação realizada para o
equivalente. A congruência dos sinais de aproximação e detalhes gerados indicam
respostas satisfatoriamente semelhantes entre a rede completa e o FDNE.
As Figuras 4.18, 4.19, 4.20 e 4.21 apresentam os histogramas dos detalhes
gerados pela aplicação da TWE sobre as respostas do FDNE e comparam os
perfis dos histogramas dos sinais de aproximação e da resposta original para as fases
a e b (resposta idêntica a fase c), em cada um dos casos. Tais histogramas foram obtidos
a partir do comando wavemenu no Matlab, de modo que representam as características
dos detalhes e aproximações obtidos a partir da aplicação da Transformada Wavelet
Discreta Unidimensional, que apresentou resultados semelhantes à TWE.
47
Figura 4.18: Histograma para a resposta ao degrau: Fase A.
Figura 4.19: Histograma para a resposta ao degrau: Fase B.
48
Figura 4.20: Histograma para a resposta à corrente alternada: Fase A.
Figura 4.21: Histograma para a resposta à corrente alternada: Fase B.
Através da análise dos histogramas dos detalhes, é possível observar a
concentração dos valores em tornos de 0, evidenciando a insignificante energia dos
sinais na decomposição do sinal de corrente nos terminais de corrente do
equivalente para ambos os casos de alimentação contínua e alternada. No tocante a
comparação entre as aproximações e o sinal original, é perceptível uma distribuição
semelhante das frequências de ocorrência dos valores. Tais fatos ensejam a conclusão
de que a síntese de um circuito RLC referente ao FDNE no ambiente EMTP e a
imposição de passividade não acarretaram em desvios significantes em torno do valor
obtido na simulação da rede original, indicando ser o equivalente uma representação
segura da rede elétrica completa.
49
5 Conclusão
Este trabalho apresentou a proposta de síntese de um equivalente de rede no
domínio da frequência da rede elétrica e a sua posterior validação com auxílio da
Transformada Wavelet Estacionária.
A primeira etapa de aproximação das respostas em frequência dos componentes,
obtidas a partir do EMTP/ATP Draw, por uma função de transferência na forma de
soma de frações parciais apresentou um ajuste satisfatório, a prima facie, quando
realizado na ordem de 300 polos. O número de violações durante a imposição de
passividade foram 18 ocorrências durante todo o processo de 5 iterações.
A comparação entre os comportamentos do FDNE e da rede original completa
nas simulações no domínio do tempo no EMTP/ATP Draw para ambos os casos da
resposta à um degrau unitário de corrente e à uma excitação de corrente senoidal de
amplitude 1A obtiveram erros quadráticos médios de 0,85% e 1,35%, respectivamente,
dos valores obtidos na simulação da rede original. O baixo valor do módulo de tais
discrepâncias evidenciam que um bom ajuste foi realizado e o circuito RLC elaborado
no EMTP reproduz satisfatoriamente o comportamento da rede elétrica completa,
caracterizando um bom equivalente.
Os resultados obtidos com o processamento dos dados a partir da Transformada
Wavelet Estacionária corroboram a eficiência do FDNE. A congruência do perfil das
aproximações geradas entre a resposta da rede elétrica original e do equivalente gerado
a partir da aproximação por função racional da resposta em frequência, além do irrisório
nível de energia dos detalhes preconizam a ausência de flutuações significantes da
resposta do FDNE em relação à resposta original que pudessem tolher a utilização do
circuito sintetizado como um equivalente da rede elétrica.
50
5.1 – Trabalhos Futuros
Os tópicos a seguir podem ser destacados como propostas de trabalhos futuros:
investigar a utilização dos demais tipos de wavelet nas análises.
investigar metodologias de proteção de distância incluindo as
representações da wavelet da resposta do FDNE.
realizar estudos de curto-circuito com o FDNE.
51
Referências Bibliográficas
[1]. PORTELA, C. M. J. C. M., Regimes Transitórios - Volume 1, COPPE/UFRJ, 1983.
[2]. CARVALHO, A. T., “Seleção de Bases Wavelet para a Redução do Ruído de
Banda Larga em Medições de Descargas Parciais em Máquinas Síncronas”, Tese de
D.Sc., COPPE/UFRJ, 2014.
[3]. GAO. R.; YAN. R., “Wavelets. Theory and Application for Manufacturing”,
Chapter 2, Springer, 2011.
[4]. SHUMAN, D., RICAUD, B., VANDERGHEYNST, P., "A windowed graph
Fourier transform," in Proceedings of the IEEE Statistical Signal Processing Workshop
(SSP), Ann Arbor, MI, Aug. 2012, pp. 133-136.
[5]. GARBOR, D., “Theory of Communication” in Journal of The Institute of Electrical
Engineers, 93, 429-457, 1946.
[6]. SANTOS, C. A. G.; FREIRE, P. K. M.; TORRENCE, C., “A Transformada
Wavelet e sua Aplicação na Análise de Séries Hidrológicas”, Revista Brasileira de
Recursos Hídricos, Vol. 18, nº3, pp. 271-280, Jul/Set 2013,.
[7]. ZHENGYOU, H., QINGQUAN, Q., ZHIBING, W., “Wavelet Analysis and
Electric Power Market E-Commerce”, Parallel and Distributed Computing,
Applications and Technologies, pp. 725-729, 2003.
[8]. SALVADOR, J. P. L., “Investigação de Metodologia para Caracterização de Cargas
Elétricas Residenciais”, Projeto Final de Graduação, Escola Politécnica/UFRJ,2012.
[9]. MALLAT, S., “A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: The Wavelet
Representation”, IEEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Intelligence, v.
11, n. 07, pp. 674-693, 1989.
[10]. INGAROCA, N. S. C., VILLANUEVA, J., FREIRE, R., CATUNDA, S., “Wind
Speed Measurement Method Using Ultrasonic Sensors with Stationary Wavelet
Transform”, Instrumentation and Measurement Technology Conference (I2MTC), 2012
IEEE International, pp. 1759-1763, 2012.
52
[11]. MORCHED, A. S., OTTEVANGERS, J. H., MARTÍ, J. L., “Multi-port Frequency
Dependent Network Equivalents for the EMTP”, IEEE Transaction on Power Delivery,
v. 08, n. 03, pp. 1402-1412, 1993.
[12]. GUSTAVSEN, B., MO, O., “Interfacing Convolution Based Linear Models to an
Electromagnetic Transients Program” in Proc. Int. Conf. Power Systems Transients,
Lyon, France, Jun. 4–7, 2007, p. 6.
[13]. SALVADOR, J. P. L., “Estudo de Equivalentes de Rede em Ampla Faixa de
Frequência”, Dissertação de M. Sc., COPPE/UFRJ, 2014.
[14]. GUSTAVSEN, B., “Wide Band Modeling of Power Transformers”, IEEE
Transactions of Power Delivery, v. 19, n. 01, pp. 414-422, 2004.
[15]. GUSTAVSEN, B., SEMLYEN, A., “Rational Approximation of Frequency
Domain Responses by Vector Fitting", IEEE Transactions on Power Delivery, v. 14, n.
3, pp. 1052-1059, 1999.
[16]. GUSTAVSEN, B., The Vector Fitting Web Site. Disponível em:
http://www.sintef.no/Projectweb/VECFIT/, 1998.
[17]. GUSTAVSEN, B., SEMLYEN, A., “Enforcing Passivity for Admittance Matrices
Approximated by Rational Functions”, IEEE Transactions on Power Delivery, v.16,
n.01, pp. 97-104, 2001.
[18]. MARTÍ, J. R., “Accurate Modeling of Frequency Dependent Transmission Line in
Electromagnetic Transient Simulations”, IEEE Transaction on Power Apparatus and
Systems, v. PAS-101, pp. 147-157, 1982.