l~tetim de ~iÊn~iu e~~n~mi~u

l~tETIM DE ~IÊN~IU E~~N~MI~U SUPLEMENTO AO BOLETIM DA FACULDADF. DE DIREITO

VOLUME X

1 9 6 7

FACULDADE DE DIREITO

COIMBRA

Versão integral disponível em digitalis.uc.pt

Pro urou Tinb >r'~ n rl'l1111r, numa. .... íntl" oJl:-.trutiv<l,

onh 'C111l1'11tO

C Illleia: teoria

até nUo <lJ"pl'r"o:-, por \ .trio" ramo:-. da.

) on' mie,). (teO\ü do" 'i 'lo. 'c nóm ieo

do Lf" imento t' onômi o; mode1o:-. dinàmi o· sob a forma

til . I t 'm,b d' equ.l -l'" !-imultân 'a:-.). ,l\1áli:-. > ma tem '!tira

(trat.tm ' l1to dI.' ,,\:-.t ma" linâmico:-. 'omo t'quaçõ" às dif ,

r 'n a:-., ordin.tna ou c tn ástl a,,) método l':-.latí:-.ticos ( ':-.ti

maç ào . te de hipote l' ,) ( ~ ). Jlai:-. importante ainda, 001"-

ti 'nou o. onh cim'nto:-. te'ri o

on..,truçà de moddo .... dinâ)11ilo:-.

Embora a:-. r 'laçõe. mat\:n Ati ,1." apre:-.entauas I 01' Till

her T '11 ,ti\l' em c gTupada" 'm :-.i~t m s, a . tima ào dos

parim troo fazia-s eparadam nt por quaçõ p la apli-

a ao do m't d d mínimo quadrad S. " .... ist ma usa lo~

lor > te autor ã d tipo re ur:-.iyo', amo salientar mos n

nún1('ro eruintc-.,· 1 'Títima a aplica(;ào dir cta do métod

UL' mínimo quadrad ne :-. i..,t mas .

Em 1~)-t3, Haa\' 'Imo hama a atençã para o fa to

d o nu' "m rit rio d mínim s quadrados produzir esti

matrize . ·c'ntrica quand as quaçõ . r pr ntativa duma

trutura ..,tão r unida numi"t 'ma int rdep ndente para

a nec "idade d encontra7', para tai si t mas, outr pro-

e-."'o" d timaçào do parâm tro .

E a foi a principal tar fa da 07 . ...tC ollllHi lOn no ano

e.CTuinte e em 19-0 publica-o a prim ira obra d vulto

obre e tImaçào imultân a, -lal islical lnferCllce in Dynamic

Ecollomic .l/ode! . que, a par de um e tudo ir un .... tanciado

de m . todo .... d ~timaçào d parâm tro , refere ao pro

bl ma da id ntificaçào. até aí ó a id ntalm nt abordado.

Tr'" ano. d pois a oli.'le ommi ion publica nova olec-

(~ H O .. -\ . \\'old (19-9. páa . 356).


3

tânea d studos, .(·itudics út Economctrlc Jl!ctltod, em qu'

"ao abordados alguns dCh t mas já in luíclos na obra ant<,rior,

mas agora escritos d f rma mais ar' ,sívcl, e a C[ll - se juntam trabalhos ntretanto 'laborados.

Desd' 'ntao, grande número d estudos foram publi

cados sob r . tim çao ele parâm tros m moei los economé

tri o,>. Dado que os m todos de má'ima verosimilhança

- sobretudo o d' informaçao ompleta - são muito tra

balho , pro uraram- outros proc s. o alt rnatlvos que,

mbora mant ndo todas, ou alguma,>, propri -dades óptimas

daqu la stimatrizc. , foss m d' cálculo mais acessível.

J .2 OBJECTIVO DE TE E T DO

orno sab, a r solução d um probl ma cono-

m trico comporta, m r gra, e. ta quatro fase ... : a sp ci

Ii a ào, a tima ão, a verificação a predição. Delas obre

ai, pela ua importância p la: di cu ,ões a qu t m dado

orig m, a tima ão, a úni a fas a que nos ref riremos.

timaçã pod r 'portar- e a uma só r lação mat _

máti a ou a umi t ma d r laçõc qu dev m v rificar-se njuntam nt ; diz-s , n t cas, que

imultân a . trata d e.timação

B. O crit rio d nummlzação duma orna d quadra

dos d rro , empr t m d . emp nhado um papel d pn

melr plano na timação d parâmetro 'truturais. om

ef ito, f i o m todo d mínimo quadrado qu aplicou

inicialm nt para atimação do parâmetro d uma qua-

ão trutural , qu r tratas, e d uma relação umca, qll r

fo ' uma de vária r laçõ d um i t ma. Depoi ', quando

om çaram a u 'ar-e mod I s interdepend nt ,o ritério

de mínimo quadrado pa ou aer aplicado à timação


4

de par.im tr struturai d si. temas

ficado.. .\ ne 'sidade d> nc ntrar pr

xa tam nte id 'nti

sO d aplicaçã

g ralo I ara , istemas id 'ntificáwi". !C,' tI algum aut r s a propor u o rcp tido. 111 duas ou trê tapas, do mét do

dt' mínullos quadrad .. P rqu s r "ultado btido' atra

'\' dt.: -tas última - ,,,timatrizes cio satisfatório e omp n

o m amplamente acr' lnl d> ál. ulo a que brigam.

par c-nos que de ,'cm _ r r com ndada , mpr qu não

. Ja uÍlci ntc a utiliza ào. uma ' v z, d m todo d míni-

mo quadrado:.

Rei re- o no trabalho à. apli açào d m t d

de mínim quadrado à timação imultânea.

omeçámo. por faz r. n -t núm ro, um bre"

hi -t' ric do probl ma da timação. l' núm ro . uinte, r f rimo-no ao m todo que n

i -t na aplicação directa do ritério d minimização da

oma d quadrado d rro para a e timação do parâ

m tro de urna quação -trutural. Tanto e t proce o,

com a ua eneralização - propo ta por itken a qu

também no ref rimo -, ão u ado na dedução do méto

do mai ' complexo que e eauem. Depoi - ( 3. ), tratamo da aplicação do método d

mínimo quadrado a i terna de equaç e imultânea

xactamente identificadas (r ar ão indir cta) ou me mo

obreid ntificadas (método bietápico).

Referimo-no, m eguida (4.), à timatriz de míni

mo quadrado mai r cente, denominada trietápica, reco

mendável quando o i tema contém equaçõe imultânea

obreidentificad .

Por fim C .), apreciam- e o método de e timação expla

nado no número anteriore e comparam- e com outros

método de e timação.


5

2. REGRESSÃO DIRECTA

2. 1 - PRES PO TO. PROPRIEDADE

proc s d mínimo quadrados foi propo~to pela primeira vez por L cici1dr m 18 . Pouco temp d poi ,

Lapla Gau. apre" ntaram algumas propri dades óptima

d t m todo. D sde ntão, foram muita~ as contribuiçõe por matemático ilu tres como Markov, itk n, Fi h r, DarmIe outro.

proce so de ~timação p lo qual se determinam os parâmetros e truturai pela aplicação directa do método d

mínimos quadrado é conh cido por método directo de míni

mo quadrados ou regressão directa.

B. amo ref rir-no ap nas ao caso da regressão múl-tipla, m que há diversa variá ei· «(independente ), por a

r gre ão impl er exc pcional em Economia - uma ez

qu a variaçõ numa grandeza económica dificilmente serão

xplicadas atra é da rn,odificaçõe duma ó variável -por

tipla. poder bter como ca o particular da regre ão múl-

Parta- e, poi , do princípio que a variável cuja flutuaçõe

pr tend m xplicar contém uma parte sistemática que

d p nd linearment de um certo número de variávci e

uma parte não-sistemática de cuja di tribuição de proba-bilidade conh cemo algun parâmetro.

v I ( 3) toma valore Yg (t); a variávei pnmelra variá

xplicativa a u-

( 3) vanável individuailza- e pelo índice g, que poderá igni-ficar a ordem da equação no i tema em que e tá integrada .


6

mém \"alons "1 (t), ... , "1-0: (t) t' a ' plfturbaçôl' aleatórias ,,<lo

' , pr .... ,t · por u" (t) :

(2.1) (t) = Y~I " 1 (t) + .. , + YgJo: Xh (t) + llg (t)

(t = 1, ... ,T).

critéri l1"ado n> t nll{todo o da dd rminaçào

do hip rphno II.' mínimo" qUJ.drad s.

(2.~) y: (t) = C~l Xl (t) + .. , + g K XI>: (t),

m qu as e timativas Cg k d s

da ' de forma a minimizar .... ma do

Ygkão alcula

quadrado ' do

T

rro · Z = -- u~ (t) . nsider mos Xl (t) = I, i. ., variá\'cl

t = 1

auxiliar . Faça-~c a r pr entaçào matri ial do .... i t ma d T qua-

-e (2.1) :

(2.3) yg = X Yg + Ug

em que • - é a matriz d va.lore tomado,> p la ariá IS

explicativa y , Yg U g ào o \' ctore -coluna do alo

re ' , r pecti\'ament, da variável g (t). do. coeficiente Yg k

e da.-; perturba õe aleatória ug (t) .

Explicitam nte:

y (1) XK (1)

+

y.; (T) Xl{ (T)


7

D. método dir eto de mínimos quadrados ba eia-<)('

g ralm .nt no!-. !-.('gllinl<'!-. pr 'ssupostos ( 1 ) :

(2.5)

(1) a!-. perturba ões aI 'atórias cl' (2.3) tAm spC'rança

mat mátiea nula.: E (uI() = O;

(2) as pertmb2.ções aleatória" de (2.3) "ão homoeedás

ti as e não existe orrelação gueneial: E (u I( ug ) = = cr gg I , cr ~g < +

(3) o I -m ntos da matriz X são núm ro reai. não

estocásticos ou têm distribuição independ nte de

t d . valor pa 'sados, pr sentes futuro,> da

perturbação aI at6ria, i. " nã incluem variávei

nd6g na .

E. Pretende- minimizar o e calar

che- e a d rivada em ord m a Yg

X =- 2X'yg+ 2X'XYg Yg

igual.e- e ao v ctor nulo para obter a quaçõe normal

(2.6) X'Xcg = X'yg

(4) H . Theil (1958, pág. 20 ) e B . J. F . Murteira (1962).


8

qu apr '" ntamo tamb m xplicitament

T

(2.7)

n1 qu' as ma ~e r fer m a t = 1, ... , T.

s lu ào d (2.) u (2.7)

(2. ) Cg= (X'.,r) 1 'I .< g,

~XI g I

qu r pr "enta o hiperplano d mínim ::, quadrad , pr urad

:l1põe-~e que a matriz X t m implica T » K e a nào xi tên ia d uma r lação lin ar

xacta ntre o ' K \' ctore d ,'alore., a urnido ' p la '

,-ariá,-ei::; xplicativa. om r (. ') = K, a matriz X '., d finida po iti a,

xi -t a ua inv r -a (X 'X) 1 g d t I1nina um mínimo,

Poi ê!!"./ 2 - 2 X ' X I. Yg - .< ..t.

F. ub titua-" em (2.) g pelo valor dado em (2.3);

obtém-

(2.9) Cg = Yg + (X'X) 1 X' ug ,

o que mo tra, dada a rupót e (1) e (3) , qu E cg = Y g' i. .,

trata- e d uma ti matriz cêntrica (5) .

(5) e as \'ariá \'ei explicativa lDcluem variávei end6a enas d ia adas, a e- tlmatnz é excêntrica e o me mo e verifica para a predição condiCionada da variável dependente.


56

c ntinua v<Uido, mb ra método t nham ido m lh rad '

tenha feito um stud dos a-.05 particular a q u alient - qu m lhor r , ultad .

d vem s br -

pá 7) a afirmar, qlland r f r a

rado,' no futur próxim : «E p ro uma m lh ria na pr cião

do: ,tudo ' conom tri ' da rd m d grand za, d ' in

qu nta por ento c m rultado do m ]h r conh cim nto

do funcionam nto da

nov medida para a ariá\' i

pr ci o . Em contra t, P ro uma p qu na m lh ria d

cinco a dez por cento pelo u ' o de m todo mai pot nt

de inferência e tatí tica», ondui, porém , que: «Todo o

caminho qu conduzam ao aperf içoam nto de m er egui

do , porque todo o ganho, me mo p queno, ão pr cio o ;

todavia, deve dar- e ' diferent contribuiçõe o rele o que

merec m. A adopção de método de tatí tica matemática

mai pot nte ' não é uma panaceIa>).

B. Pelo tudo feito no número a nteriore, conclui

mo que o ~1l\1\' I poderá u ar- e quando o mod lo e tá

obreidentificado, o número de parâmetro a e timar nào

é muito elevado, e exige elevada preci ão na e timativa ,

, tá egurada a inexi tência da multicolinearidade, e ta-

mo certo de que a e pecificação u ada é a m ai conve

niente e é correcta a informação «a priorü); o MM IL poderá

usar- e quando o modelo e tá obreidentificado, no intere a

apenas e timar o parâmetro de alguma equaçõe do modelo,

e tá a egurada a inexi tência de multicolinearidade e m e mo

que haia dúvida quanto à pecificação correcta, à norma

lização mai adequada ou à veracidade da informação


57

(Ca pri ri); o método da ariáv is in trum ntai u:a-s , sobre

tudo, para mod los 5ubid ntifi ado. No r tant asos - são a qua e totalidade - os

d minim. quadra los, pecialment o de r gre -

!;ão dir ta o bi tápi o, continuam a ter a preferência,

qu r por m no xig nt quanto à ondições em que sã

apli áv i , quer pelo menor núm ro de cálculo:> a qu obri

gam.

Jo É DlO. Í I DE LMEIDA

Professor da Faculdade de Economia do Porto


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