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Lógica Proposicional Formas Normais e Resolução

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Lógica Proposicional

Formas Normaise Resolução

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Formas normais e {,v,^}

Um literal é um símbolo proposicional ou sua negação

Um bom conjunto completo é {,v,^}

Formas normais são obtidas a partir desse conjunto de conectivos

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Forma normal disjuntiva Uma fórmula está na forma normal

disjuntiva (fnd ou DNF, em inglês) se é uma disjunção de conjunções de literais

F é da forma F1 v F2 v ... v Fn, onde Fi é uma conjunção (da forma A1

^ A2 ^ ... ^ An ) e Ai é um literal

Ex: H=(P^Q) v (R^Q^P) v (P^S)

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Forma normal conjuntiva Uma fórmula está na forma normal

conjuntiva (fnc ou CNF, em inglês) se é uma conjunção de disjunções de literais

F é da forma F1 ^ F2 ^ ... ^ Fn, onde Fi é uma disjunção (da forma

A1 v A2 v ... v An ) e Ai é um literal

Ex: G=(PvQ) ^ (RvQvP) ^ (PvS)

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Obtenção de formas normais

Observe que H e G são parecidos H=(P^Q) v (R^Q^P) v (P^S), DNF G=(PvQ) ^ (RvQ vP) ^ (PvS), CNF

Para obtê-las a partir de fórmulas quaisquer usam-se algoritmos duais Os mesmos, trocando-se T por F

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Algoritmos usando leis (repetidamente) 1 -Leis de eliminação

PQ = (PvQ) P Q = (P Q)^(Q P)

2 -Lei da negação (H) H

2 -Leis de De Morgan (PvQ) = P ^ Q (P^Q) = P v Q

3 -Leis distributivas: F v (G^H) = (FvG) ^ (FvH) F ^ (GvH) = (F^G) v (F^H)

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Exercícios

Obter DNF de (P v Q) R = (PvQ) v R (eliminação de ) = (P ^ (Q)) v R (De Morgan) = (P ^ Q) v R (negação)

Obter CNF de (P^(QR))S

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Exercícios de obtenção de formas normais

Obter DNF de (P ^Q) R Obter CNF de (P ^Q) R

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Notação na forma de conjuntos H=(PvQvR)^(PvQ)^(PvP) Representação na forma de

conjuntos: H={[P,Q,R],[P,Q],[P]} Note que

(PvQvR) = [P,Q,R] (PvP)=[P]

Não é necessário representar duplicidade na forma de conjuntos

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Cláusulas e literais complementares

Cláusula em lógica proposicional é uma disjunção de literais Usando a notação de conjuntos: C1={P,Q,R}, C2={P,Q}, C3={P}

Dois literais são complementares quando um é a negação do outro

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Resolvente de 2 cláusulas Supondo 2 cláusulas C1={A1,..., An}

e C2={B1, ..., Bn}, com literais complementares A, um conjunto de literais em C1, tal que -A, um conjunto de literais

complementares a A, estão em C2 Resolvente de C1 e C2: Res(C1,C2)=(C1-A)U(C2- -A) Res(C1,C2) pode ser {}

Resolvente vazio ou trivial

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Exemplo de resolvente

C1={P,Q,R} e C2={P,R} Res (C1,C2) = {Q,R}, que

também é uma cláusula D1={P,Q} e D2={P,Q} Res (D1,D2) = {}, que também é

uma cláusula

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Sistema com Resolução

Alfabeto da Lógica Proposicional Conjunto de cláusulas da Lógica

Proposicional A regra de resolução

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Regra de Resolução

Supondo 2 cláusulas C1={A1,..., An} e C2={B1, ..., Bn}, a Regra de Resolução aplicada a C1 e C2 é: Deduzir Res(C1,C2)

Para verificar satisfabilidade Empregar várias vezes até obter a

cláusula vazia Expansão por resolução

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Expansão por resolução {[P,Q,R],[P,R],[P,R]} 1. [P,Q,R] 2. [P,R] 3. [P,R] 4. [Q,R] Res (1,2) 5. [Q,P] Res (3,4) 6. [P] Res (2,3) (Não conseguimos obter a cláusula

vazia...)

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Exemplo de expansão por resolução {[P,Q],[P,R],[P,Q],[Q,R]} 1. [P,Q] 2. [P,R] 3. [P,Q] 4. [Q,R] 5. [Q,R] Res (1,2) 6. [P,R] Res (3,5) 7. [Q,R] Res (1,6) 8. {} Res(4,7) Expansão fechada – contém a cláusula

vazia

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Forma clausal

Dada uma fórmula H, a forma clausal associada a H é Uma fórmula Hc, uma conjunção de

cláusulas equivalente a H Toda fórmula proposicional possui

uma forma clausal associada

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Exercício

Achar a a forma clausal associada a:

(H^(GvH)) (H^G)v(H^H) (H G) (H G) ((H) H

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Prova por resolução

Dadas uma fórmula H e Hc, a forma clausal associada a H

Uma Prova de H por resolução é uma expansão fechada sobre Hc

H é um teorema do sistema de resolução

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Exemplo de Prova por resolução

H=((P1vP2vP3)^(P1P4)^(P2P4)^ (P3P4)) P4

Determinar Hc associada a H Hc=(((P1vP2vP3)^(P1P4)^(P2P4)^

(P3P4)) P4)) =(((P1vP2vP3)^(P1P4)^(P2P4)^(P3P

4))vP4) =(P1vP2vP3)^(P1vP4)^(P2vP4)^(P3vP4)

^ P4 ={[P1,P2,P3],[P1,P4],[P2,P4],[P3,P4],

[P4]} Agora, é só fazer a expansão por resolução!

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Exemplo de Prova por resolução (cont.) 1. [P1,P2,P3] 2. [P1,P4] 3. [P2,P4] 4. [P3,P4] 5. [P4] 6. [P2,P3,P4] Res(1,2) 7. [P3,P4] Res(3,6) 8. [P4] Res(4,7) 9. {} Res(5,8)

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Exercício

H=((P1vP2)^(P1P4)^(P2P4)^ (P3P4)) P3

Determinar Hc associada a H Fazer a expansão por resolução

Aberta ou fechada?

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Conseqüência lógica na resolução

Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses

={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica de

por resolução se existe uma prova por resolução

de (H1^H2^...^Hn) H

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Notação de Conseqüência Lógica por Resolução

Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses ={H1,H2,...Hn} por resolução, diz-se que: ├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H

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Exercício de Conseqüência Lógica por Resolução Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um

perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente

“Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima??

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Solução

Provar H=(P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1)) P1

Mostrando que H é absurdo (P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1))

P1) gera uma expansão por resolução fechada a partir da sua forma clausal?

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Resolução e Tableaux

Quais as relações entre eles??

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Resolução e Tableaux [Fitting 1990]

Métodos por negação Implementáveis

Resolução [Julia Robinson 1965] Prolog [Colmerauer 1972]

Uma expansão fechada por resolução equivale a um tableau fechado

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Resolução x Tableaux Olha para o

significado da fórmula Uma disjunção

mantém-se numa cláusula

Uma conjunção “bifurca” cláusulas

Linhas de resoluções Pega-se uma

conjunção de disjunções e tenta-se simplificá-la

Olha para o valor da fórmula

As regras disjuntivas bifurcam tableaux

São usadas árvores Representam

naturalmente disjunções entre ramos

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Em resolução...

Na CNF, para converter uma fórmula para a forma clausal, os ‘v’s criam cláusulas seqüenciais e os ‘^’s separam os termos Exs: AvB = {[A,B]}; A^B ={[A],[B]} o que, na prática, vira uma bifurcação Resolução ocorre sobre CNFs

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Exercícios de Formalização

A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. (C, S, A)

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Solução A proposta de auxílio está no correio. Se

os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira.

C: A proposta de auxílio está no correio.S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira.A: Os árbitros analisarão a proposta.

{C, SA, CS} |-- A

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Exercício

Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.

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Exercício Se hoje é Quinta-feira, então

amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta-feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.