lógica e teoria dos conjuntos introdução à lógica bivalente teste 1
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Lógica e Teoria dos Conjuntos
Introdução à Lógica BivalenteTeste 1
Sempre que tiver dúvidas, consulte o Essencial e recorra ao sítio
http://www.wolframalpha.com/ para testar as suas hipóteses.
«A Rita afirma que tem um tio e uma tia.»
Na afirmação da Rita podemos identificar duas proposições:
p: A Rita tem um tio.
q: A Rita tem uma tia.
Para que valores lógicos de p e de q se considera que a afirmação da Rita é
verdadeira?
Questão 1
Resolução
Dadas as proposições:
p: A Rita tem um tio.
q: A Rita tem uma tia.
A afirmação «A Rita afirma que tem um tio e uma tia» pode traduzir-se pela
proposição .
Como a conjunção de proposições só é verdadeira se ambas as proposições
forem verdadeiras, conclui-se que a afirmação da Rita é verdadeira quando
as proposições p e q são verdadeiras.
qp
«O João afirma que no próximo fim de semana vai à praia ou ao cinema.»
Na afirmação do João podemos identificar duas proposições:
p: O João vai à praia.
q: O João vai ao cinema.
Para que valores lógicos de p e de q se considera que a afirmação do João
é falsa?
Questão 2
Resolução
«O João afirma que no próximo fim de semana vai à praia ou ao cinema.»
Dadas as proposições:
p: O João vai à praia.
q: O João vai ao cinema.
A afirmação do João pode traduzir-se por .
Como a disjunção de proposições é falsa somente quando ambas as
proposições são falsas, conclui-se que a afirmação do João é falsa quando
p e q são ambas falsas.
qp
Questão 3
Sejam p, q e r proposições. Simplifique as proposições:
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
qpp ~
qpqp ~
rpqp ~~~
qprrp ~
pqpq ~~~
pqqp ~
qp ~~~
Resolução
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
qpqpqp ~~~~~~~
qpqpVqpppqpp ~~~~~
pVpqqpqpqp ~~
rqprqp
rpqprpqprpqp
~~~
~~~~~~~~~
qrpqrVpqrrrpqrrprpqrprrp
qrprrpqprrp
~~~~~~~~
~~~
3.6
3.7
pqFpq
pppqppqpVpqpqqpqpqpqpqpq
pqpqpqpq
~~~~~
~~~~~~~~~~
~~~~~~~
qFqppq
pqqppqqp~~~~
~~~~
Resolução
Questão 4Considere as proposições:
p: A Cristina joga ténis.
q: A Cristina pratica atletismo.
r: A Cristina pratica natação.
Seja a a proposição .
4.1 Escreva, sem utilizar o símbolo , uma expressão simplificada de a.
4.2 Escreva uma expressão simplificada de .
4.3 Escreva, em linguagem corrente, a negação da proposição a.
4.4 Num determinado mês sabe-se que é verdadeira.
Identifique que desportos pratica a Cristina nesse mês.
rqp ~
rqp ~~~
Resolução
4.1
4.2
4.3 A Cristina joga ténis, pratica atletismo e pratica natação.
4.4 Se é verdadeira, então é falsa.
Sabe-se, então, que é verdadeira e é falsa. Logo, p é falsa.
Como é falsa, então é falsa e r também é falsa, ou seja, q é verdadeira
e r é falsa.
Portanto, nesse mês a Cristina pratica atletismo (não joga ténis nem pratica
natação).
rqp ~~~
rqprqprqp ~~~~
rqprqprqp ~~~~
rqp ~~
rq ~
rq ~
Questão 5
p q a
F F V
F V F
V F V
V V V
Indique uma proposição a , com as proposições p e q e envolvendo
e , que admita a seguinte tabela de verdade: ,
Resolução
Considere-se . qppa ~~
p q
F F F V F V
F V V V V F
V F V F F V
V V V F F V
qp qpp ~ qpp ~~
Questão 6
Considere as proposições:
Identifique, se existirem, proposições equivalentes.
rqp ~~
qpr
rqp
qpr ~~~
p q r
V V V V F F F F
V V F V F F V F
V F V V F V F F
V F F V F V V F
F V V V V F F F
F V F V V F V F
F F V F V V F V
F F F F V V V V
qp qp ~~
Resolução
V V V V
V V F F
V V V V
V V F F
V V V V
V V F F
V F V V
F V V V
qpr rqp qpr ~~~
Resolução
Por observação da tabela de verdade construída conclui-se que apenas as expressões
e
são equivalentes.
Nota: Observe-se que as proposições são contrarrecíprocas.No sítio http://www.wolframalpha.com/ poderá verificar as respostas rapidamente.
rqp
qpr ~~~
Resolução
Questão 7
Usando tabelas de verdade, verifique que:
7.1 As proposições e são equivalentes.
7.2 As proposições e são equivalentes.
qp qpqp ~~
rqrp rqp
Resolução
7.1
p q
V V V F F V F V
V F F F V F F F
F V F V F F F F
F F V V V F V V
qp qp qp ~~ qpqp ~~
As proposições são equivalentes.
7.2
As proposições são equivalentes.
p q r
V V V V V V V V
V V F F F F V F
V F V V V V V V
V F F F V F V F
F V V V V V V V
F V F V F F V F
F F V V V V F V
F F F V V V F V
rp rq rqp qp rqrp
Resolução
Questão 8
Prove que são tautologias as proposições:
8.1 ;
8.2 .
qpqp ~
qpq
Resolução
8.1
p q
V V F V V V
V F V F V V
F V F V F V
F F V V V V
qp qp ~ qpqp ~
é uma tautologia. qpqp ~
p q
V V V V
V F F V
F V V V
F F V V
qp
é uma tautologia.
qpq
qpq
Resolução
8.2
Sabendo que é verdadeira, determine o valor
lógico das proposições p e q.
pqqp ~~~~
Questão 9
Como a conjunção de duas proposições é verdadeira apenas se as duas
forem verdadeiras, conclui-se que e são
proposições verdadeiras. Portanto, p é uma proposição falsa.
Se p é falsa, então é uma proposição verdadeira e é
falsa. Como é uma proposição verdadeira, é
verdadeira, ou seja, q é verdadeira.
Conclusão: p é uma proposição falsa e q é uma proposição verdadeira.
qqp ~~~ p~
qp qp~
qqp ~~~ q~~
Resolução
Considere as seguintes proposições:
p: 3 é solução de
q:
r:
10.1 Determine o valor lógico de p, q e r.
0322 xxx
02:1 2 xxIRx
12:3 xIRx
Questão 10
10.2 Indique o valor lógico de:
10.2.1
10.2.2
10.2.3
10.2.4
10.2.5
10.2.6
10.2.7
10.2.8
10.2.9
10.2.10
qp
qp
rp
rq
qp ~
qp ~
rq ~
qp ~
rqp ~
rqp ~
Questão 10
10.1 Como , 3 é solução de .
Logo, p é verdadeira.
Como , .
Logo, q é falsa.
Como , .
Logo, r é verdadeira.
2211211 2
11123
003333232 0322 xxx
02:1 2 xxIRx
12:3 xIRx
Resolução
10.2
10.2.1 é falsa.
10.2.2 é verdadeira.
10.2.3 é verdadeira.
10.2.4 é falsa.
10.2.5 é verdadeira.
10.2.6 é verdadeira.
10.2.7 é verdadeira.
10.2.8 é falsa.
10.2.9 é verdadeira.
10.2.10 é verdadeira.
qp
qp
rp
rq
qp ~
qp ~
rq ~
qp ~
rqp ~
rqp ~