logica de computacao para lei (1)

Lgica de computao

paraleigos

Tecnologia em Anlisee Desenvolvimento de Sistemas(Sistema Presencial Mediado)

Lgica

Universidade do Estado do Amazonas

Computaode

para

leigos

Vicente de Paulo Queiroz Nogueira

Escola Superior de Tecnologia

Diretor

Ficha Tcnica

Universidade do Estado do Amazonas.Lgica para computao / Coordenao Salvador Ramos Bernardino

da Silva Manaus/AM: UEA, 2007. (Tecnologia em Anlise e Desenvolvimento de Sistemas.

U58l

125 p.: il.; 23 cm.

Inclui bibliografia e anexo.

1. Lgica - Informtica. I. Silva, Salvador Ramos Bernardino da (coord.). II. Srie. III. Ttulo.

CDU (1997): 004.314

Governo do Estado do AmazonasCarlos Eduardo de Souza Braga

Omar Jos Abdel Aziz

Governador do Estado

Vice-Governador do Estado

Universidade do Estado do AmazonasMarilene Corra da Silva Freitas

Carlos Eduardo de Souza Gonalves

Fares Franc Abinader Rodrigues

Osail Medeiros de Souza

Edinea Mascarenhas Dias

Jos Luiz de Souza Pio

Rogelio Casado Marinho Filho

Reitora

Vice-Reitor

Pr-Reitor de Administrao

Pr-Reitor de Planejamento

Pr-Reitora de Ensino de Graduao

Pr-Reitor de Ps-Graduao e Pesquisa

Pr-Reitor de Extenso e Assuntos Comunitrios

Curso Superior de Tecnologia em Anlise e Desenvolvimento de Sistemas(Sistema Presencial Mediado por Tecnologia)

Odwald Schreder

ngela Timtia Pereira Lima

Ednaldo Coelho Pereira

Projeto grficoAurelino da Silva Bentes

Reviso ngela Timtia Pereira Lima

Coordenador Geral

Coordenadora Pedaggica

Coordenador Tcnico Administrativo

Salvador Ramos Bernardino da Silva (Coordenador)

Manoel S. S. Azevedo

Cludio de Oliveira Santos

Professor da Escola Superior de Tecnologia (EST/UEA)Especialista em Desenvolvimento de Sistemas UFAM

Professor da Escola Superior de Tecnologia (EST/UEA)Mestre em Engenharia Eltrica-UFCG

Professor da Escola Superior de Tecnologia (EST/UEA)Especialista em Metodologia do Ensino Superior - FSDB

Perfil dos Autores

Palavra da Reitora

Ns ltimos anos, o avano da tecnologia da informtica mudou os conceitos de ensino e de trabalho. A preocupao com o que se denominou de incluso digital passou a ser um problema urgente a ser enfrentado pelos dirigentes do Pas, j que todos os processos de novas tecnologias desguam no conhecimento de informtica. No Amazonas, a dificuldade de locomoo na regio, por falta de rodovias, por sua grande extenso territorial, pela baixa densidade demogrfica e pelo subdesenvolvimento secular imposto populao ribeirinha, torna-se rduo o esforo do Governo para tornar realidade incluso digital.

A UEA, que j nasceu moderna, incorporando tecnologias educacionais de ponta, utilizando-se particularmente da informtica pela massificao do uso de microcomputadores combinados com uma rede complexa de acesso Internet, no poderia ficar alheia a essa necessidade premente. Por isso, props e realizou o primeiro vestibular para levar a 12 municpios um curso que formasse a mo-de-obra inicial que tornasse a incluso digital uma realidade em nosso Estado.

A proposta do curso de Tecnologia em Anlise e Desenvolvimento de Sistemas oferecido pela UEA vislumbra criar mo-de-obra qualificada em um nmero significativo de localidades do Estado, cabendo s pessoas beneficiadas com essa iniciativa a tarefa de irradiar o uso de tecnologias de informtica, abrindo caminhos novos e suscitando novos empregos para a populao local, consolidando, assim, o exerccio da cidadania.

Professora Doutora Marilene Corra da Silva FreitasReitora da Universidade do Estado do Amazonas

09

Sumrio

1. INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 O que lgica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Origem da lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Classificao da lgica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. A LGICA PROPOSICIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1 Elementos fundamentais da sintaxe da linguagem da Lgica

Proposicional: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1 Formalizao de uma proposio: . . . . . . . . . . . 19

2.2 Semntica da lgica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 Interpretao dos conectivos lgicos . . . . . . . . . . 23

2.2.1.1 Negao de uma proposio . . . . . . . . . . . . 232.2.1.2 Conjuno de duas proposies . . . . . . . . . . 262.2.1.3 Disjuno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.1.4 Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.1.5 Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.1.6 Disjuno exclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.2 Interpretao de uma fbf . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3. O CLCULO PROPOSICIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1 Ordem de precedncia entre os operadores . . . . . . . . . 343.2 Tabela verdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Propriedades semnticas da lgica proporcional . . . . . . 43

3.3.1 Tautologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3.2 Contradio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3.3 Frmula satisfatvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.4 Equivalncia lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.5 Implicao lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4. VALIDADE DE UM ARGUMENTO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1 Argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Mtodos para avaliar a validade de um argumento . . . . . 53

4.2.1 Mtodo da tabela verdade . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2.2 Mtodo da rvore Semntica. . . . . . . . . . . . . . . 554.2.3 Mtodo da negao (ou absurdo) . . . . . . . . . . . . 614.2.4 Deduo lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.4.1 Regras de deduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2.4.2 Outras regras de deduo: . . . . . . . . . . . . . 74

5. QUANTIFICADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.1 Quantificador universal e existencial . . . . . . . . . . . . . 81

6. RECORRNCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.1 Seqncia definida por recorrncia . . . . . . . . . . . . . . 886.2 Algoritmo definido por recorrncia . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2.1 Construindo uma algoritmo recorrente . . . . . . . . . 91 6.2.2 Como um algoritmo recorrente executa . . . . . . . . 95

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Respostas dos Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Anexo (Exerccios) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

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A atividade de desenvolver sistemas leva, com freqncia, o desenvolvedor a lidar com raciocnios e estruturas lgicas.

Um programa de computador um problema estruturado dentro de um formato lgico especfico. A programao de computadores uma atividade que requer o desenvolvimento da lgica de programao, que, por sua vez, tem seus fundamentos na lgica matemtica.A lgica proposicional permite os conceitos abstratos e afirmaes sejam transformadas em funes proposicionais que apresentam duas nicas solues possveis, verdadeiro ou falso; A lgica muito utilizada em circuitos eletrnicos e sistemas computacionais por permitir que as mquinas interpretem informaes do ambiente e respondam de maneira esperada pelo programador.

Durante os captulos compreenderemos melhor a lgica proposicional, no s como ferramenta de simplificao da linguagem corrente, mas como ferramenta de analise da validade de um argumento.

1.1 O que lgica?

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IntroduoCaptulo I

Lgica para ComputaoTecnologia em Anlise e Desenvolvimento de Sistemas

A lgica uma cincia de ndole matemtica e fortemente ligada Filosofia. J que o pensamento a manifestao do conhecimento, e que o conhecimento busca a verdade, preciso estabelecer algumas regras para que essa meta possa ser atingida.

12

Lgica para ComputaoTecnologia em Anlise eDesenvolvimento de Sistemas

Assim, a lgica o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um

.

A lgica estuda os princpios e mtodos usados para distinguir o raciocnio correto do incorreto. (COPI, 1978, p. 19).

instrumento do pensar

Lgica a cincia do raciocnio. (Malba Tahan)

Lgica a cincia das leis do pensamento e a arte de aplica-las corretamente na pesquisa e na demonstrao da

verdade. (R. Solivete)

A Lgica a cincia que dirige, por meio de leis, as operaes de nossa razo, para que ordenada, facilmente

alcance a verdade. (Sinibaldi)

No se pretende afirmar, com essas definies, que s se pode argumentar corretamente com uma pessoa que tenha estudado lgica. Assim como um bom nadador no necessita estudar fsica e a fisiologia do seu corpo para nadar bem, uma pessoa pode argumentar corretamente sem ter estudado lgica. No entanto, quando a pessoa estuda lgica e pratica os exerccios correspondentes, tem maior possibilidade de raciocinar corretamente. (COPI, 1978, p. 19).

O estudo da lgica foi iniciado pelo filsofo grego Aristteles (384 322 a.C.), nascido em Estagira, na Macednia. Criou a Cincia da lgica, cuja essncia era a teoria do silogismo. Reuniu essa teoria nos escritos denominados , ou Instrumento da Cincia.

Ainda na Grcia, distinguiram-se duas escolas, a PERIPATTICA, derivada de Aristteles e a ESTICA, fundada por Zeno (326 264 a.C.) e desenvolvida por Crisipo (280 250 a.C.).

No perodo que vai de Aristteles at o sculo XIX, no foram registrados estudos significativos sobre lgica, exceto os trabalhos desenvolvidos por Gottfried Wilhem Leibiniz (1646 1716), que s foram apreciados e conhecidos no sculo XIX.

O Perodo Booleano (1840 1920) iniciou-se com as obras de George Boole e Augustus de Morgan, que publicaram os fundamentos da chamada lgebra da lgica, respectivamente com e

A partir do sculo XIX, diversos estudiosos dedicaram-se ao estudo da lgica. Surgiram outros ramos da lgica.

rganon

MATHEMATICAL ANALYSIS OF LOGIC FORMAL LOGIC.

1.2 Origem da lgica.

12


13

1.3 Classificao da lgica:

No h unanimidade quanto classificao da lgica. Alguns autores classificam a lgica como:

a) Lgica Indutiva ocupa-se dos argumentos indutivos e dos testes para medir a probabilidade indutiva.

b) Lgica dedutiva a lgica na qual, dada uma causa, possvel determinar suas conseqncias.

A lgica dedutiva , freqentemente, dividida em:

a) Lgica clssica Considerada como o ncleo da lgica dedutiva. o que chamamos hoje de CLCULO DE PREDICADOS.

Trs princpios regem a Lgica Clssica: 1. da IDENTIDADE: A A, ou seja, uma coisa ela prpria

sem possibilidade de contestao.

2. da CONTRADIO: A no pode ser, ao mesmo tempo A e no-A, ou seja, ou A ou no A.

3. do TERCEIRO EXCLUDO: A ou Y ou Z, no admitindo uma terceira possibilidade. Exemplo: A ou tem valor verdadeiro ou tem valor falso e no admite um terceiro valor.Exemplos: paracompletas e intuicionistas

13


14

b) LGICAS COMPLEMENTARES DA CLSSICA: So lgicas que tm alguns princpios alm dos princpios da lgica clssica e, de alguma forma complementam a lgica clssica.

Exemplos: lgicas modal, que adiciona lgica clssica o princpio das possibilidades; lgica dentica, que agrega os princpios dos direitos, obrigaes e proibies; lgica epistmica, agrega o princpio da certeza, etc.

c) LGICAS NO-CLSSICAS: Assim caracterizadas por derrogarem algum ou alguns dos princpios da lgica clssica.

Exemplos: Paracompletas e intuicionistas (derrogam o princpio do terceiro excludo); paraconsistentes (derrogam o princpio da contradio); no-alticas (derrogam o terceiro excludo e o da contradio); no-reflexivas (derrogam o princpio da identidade); a lgica difusa (fuzzy logic), que trabalha com estados intermedirios ou gradaes, como o caso, ao se estudar a varivel temperatura, que pode assumir estados intermedirios entre o estado quente e frio, entre outras.

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2.1 Elementos fundamentais da sintaxe da linguagem da Lgica Proposicional:

Uma linguagem um conjunto de smbolos destinados a transmitir idias. Toda linguagem tem sua sintaxe: as regras que dizem quais formaes simblicas so vlidas para aquela linguagem.

Na lngua portuguesa os smbolos caza, cekql, no tm significado porque no esto de acordo com a sintaxe da lngua.

De acordo com Souza (2002, p. 4), o conjunto de smbolos que constitui a sintaxe da linguagem da Lgica Proposicional composto dos seguintes elementos:

constitudo por:a) smbolos de pontuao: () , .b) smbolos de verdade: .c) smbolos proposicionais: P, Q, R, S, P1, Q1, S1, A, B, ...d) conectivos proposicionais:

a) Alfabeto

true, false

, , , , .

A lgica proposicional simblica, matemtica ou setencial no difere da lgica clssica em essncia, mas distingue-se dela pelo uso de uma linguagem tcnica especfica, que lhe d mais rigor, tornando-se um instrumento mais eficaz para a anlise e deduo formal.

Captulo II


A Lgica Proposicional

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b) Proposio

uma sentena declarativa afirmativa, a respeito da qual se pode afirmar que falsa ou verdadeira.

Vejamos as seguintes sentenas:Manaus uma capital. ProposioEla muito inteligente. No proposio pois ela no est especificada.Que horas so? uma pergunta e no pode ser uma proposio.


Os smbolos de pontuao so diferentes dos utilizados na sintaxe da lngua portuguesa.

Os smbolos de verdade so originrios da lngua inglesa. H autores que utilizam T e F para represent-los. Nesse contexto, sero utilizados os smbolos V , significando os valores verdadeiro e falso, respectivamente.

Quantos smbolos proposicionais existem? Pelo exemplo acima, percebe-se que so infinitos, o que torna o alfabeto da linguagem da Lgica Proposicional infinito, ao contrrio do alfabeto de muitas outras linguagens, como o da lngua portuguesa.

Os conectivos proposicionais so utilizados com freqncia na Matemtica. denominado no. Alguns autores utilizam (apstrofo) como smbolo de negao. Ser adotado ~ (til) para representar negao. Os outros conectivos so , que se l e, , denominado ou, , para representar implicao e

denominado se e somente se, bi-implicao ou bicondicional.

Os conectivos lgicos sero vistos em detalhe na seo 2.2

(true) e F (false)

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Paris uma cidade brasileira. ProposioCinco menor que oito. Proposio.

Proposies podem ser representadas por letras. Na forma acima, uma proposio est em linguagem corrente. Quando se representa uma proposio por uma letra, usa-se a linguagem simblica.

A casa nmero 5 amarela. Pode ser representada pela letra maiscula P.

A lua feita de queijo. Pode ser representada pela letra Q.P e Q, acima, so proposies, pois so sentenas s quais

se pode atribuir um valor verdade (ou valor lgico) falso ou verdadeiro.

(ou atmicas): quando expressam uma nica idia. A lua quadrada um exemplo de proposio simples.

(ou moleculares): quando so formadas por duas ou mais proposies simples, como: A casa grande e o carro bonito,

Proposies compostas podem no serem unidas por conectivos. Exemplo: Joo gosta de correr. Jos gosta de andar.

O valor de uma proposio chamado de valor lgico ou valor verdade da proposio e pode ser VERDADEIRO ou FALSO.

Exemplos:

Proposies podem ser:Simples

Compostas


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Composio de Proposies

Composio de Proposies.

Proposio Representao

Maria tem 23 anos A

Maria menor B

BA

Maria no tem 23 anos. ~A

Maria no menor. Maria tem 23 anos Maria menor

Maria tem 23 anos Maria menorMaria no tem 23 anos Maria menorMaria no tem 23 anos Maria menor

Maria tem 23 anos Maria no menorMaria tem 23 anos Maria no menor

Maria tem 23 anos Maria menor

Maria no tem 23 anos Maria menorMaria no tem 23 anos e Maria menorMaria tem 18 anos equivalente a Maria no menor

negao conjuno disjuno implicao

equivalncia conectivos lgicos

C Maria tem 18 anos no(B) Maria no menor

B Maria menor

Podemos construir proposies a partir de outras existentes. Usando a Partindo das proposies:

Tendo como base um pas no qual a pessoa seja considerada menor de idade at os 18 anos, a proposio falsa. Como a interpretao da proposio verdadeira, temos alguns exemplos:

Proposio representao

~ B e A/\B

ou A\/B

e ~A/\B

ou ~A\/B

ou A\/~B

e A/\~B

Se ento A B

Se ento ~A B

~A/\B

C ~B

Note que, para compor proposies usou-se os smbolos ~( ), /\ ( ), \/ ( ), ) e, finalmente, ). So os chamados

. Note, tambm, que se usou um smbolo para representar uma proposio: representa a proposio

. Assim, representa , uma vez que representa .

( (

c) FrmulasConstrudas a partir dos smbolos do alfabeto, conforme as

seguintes regras:a) Todo smbolo de verdade uma frmula;b) Todo smbolo proposicional uma frmula;c) Se H uma frmula ento ~H uma frmula (negao)d) Se H e G so frmulas ento:

H G uma frmula (disjuno)H G uma frmula (conjuno)H G uma frmula (condicional)H G uma frmula (bicondicional)


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1. Marque as sentenas abaixo que so proposies, simples ou compostas. Para as sentenas que no so proposies, explique porque no o so.

a) ( ) Os gatos tm trs patas.b) ( ) Joo alto.c) ( ) Ela bonita.d) ( ) A casa pequena.e) ( ) Quem est batendo porta?f) ( ) Muitos foram chamados, mas poucos foram

selecionados.g) ( ) Talvez eu v ao teatro.h) ( ) 2 + 2 = 4i) ( ) x + y = 8j) ( ) O planeta Marte habitado.k) ( ) Possivelmente chover hoje.l) ( ) Falar fcil. Difcil fazer.m) ( ) Quem falou?

EXERCCIOS


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O item a) define as frmulas mais simples: os smbolos de verdade, que so VERDADEIRO e FALSO.

O item b) define os smbolos proposicionais. Se Q representa uma proposio, Q uma frmula da lgica proposicional.

A negao de uma proposio tambm considerada uma frmula, conforme a regra c).

A quarta regra define que duas frmulas (lembre que um smbolo proposicional uma frmula) combinadas por um conectivo lgico formam uma nova frmula.

Frmulas do tipo

frmula bem formulada

Obs.:

))A B C, A no so frmulas vlidas na lgica proporcional, pois no esto de acordo com as regras de formao acima. Pode-se dizer que so frmulas mal formuladas.

As cadeias (A C) B e (A B C) (B B1), so cadeias vlidas na Lgica Proposicional.

Uma cadeia vlida chamada de , ou, de forma abreviada, fbf.

Alguns autores adotam (em vez de fbf) que a abreviao da expresso , no idioma ingls.

wffwell formed formula

, P

As informaes da Tabela 1 ajudam a escrever frmulas da lgica proposicional, a partir de sentenas na linguagem corrente.

Seja a sentena:

Se Joo Gosta de Maria, ento Maria feliz. Joo gosta de Maria. Logo, Maria feliz.

2.1.1 Formalizao de uma proposio:

Smbolos auxiliares ( )

Se e ento no ((P /\Q) ~ P)

no se e somente se ((~ P) Q))

: , parnteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos;

:

a lua quadrada a neve branca a lua quadrada. :

A lua quadrada a neve branca. :

Exemplos


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Expresso em Portugus

E, mas, tambm, alm disso, ponto final entre duas proposies

Ou

Se A ento BA implica BA logo BA s se B, A somente se BA uma condio suficiente para BBasta A para BB uma condio necessria para A

A se e somente se BA condio necessria e suficiente para B

Conectivo lgico

Expresso Lgica

conjuno A B

disjuno A B

Condicional A B

Bicondiconal (equivalncia) A B

Tabela 1 Indicaes para formalizao de uma proposio (Geristing, 2001, p. 4).

Nessa afirmao, algumas proposies simples podero ser identificadas:

Proposio simples- Joo gosta de Maria- Maria feliz

Representao P Q

Representao na lgica proporcional: (P Q) P Q.

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Outro exemplo:Se Maria gosta de Jos e Jos feliz, ento Maria feliz.

Mas, se Maria no gosta de Jos, e Jos no feliz, ento Maria no feliz.

Identificamos:

Proposio simplesMaria gosta de JosJos felizMaria feliz

Representao P Q R

Representao da sentena, como uma fbf: (P Q) R ((~P ~Q) ~R)

Tendo-se uma frmula da lgica proposicional e conhecendo-se o significado de cada proposio simples que a compe, possvel escrever uma sentena na linguagem corrente que represente essa frmula.

Considerando A Jos atleta, B Jos gosta de correr e C Jos magro possvel escrever as frmulas da lgica proposicional dadas abaixo, como uma sentena na linguagem corrente:

a) A Bb) A B ~Cc) A B d) (A B) Ce) A (B C)

No h uma nica maneira de escrever cada uma das frmulas acima como uma sentena do nosso idioma. Apresentamos, abaixo, alguns exemplos de como cada uma pode ser escrita:

a) Se Jos atleta, ento gosta de correr.Jos atleta, logo gosta de correr.Jos ser atleta implica em gostar de correr.

b) Jos atleta, gosta de correr mas no magro.Jos atleta, gosta de correr e no magro.Jos atleta. Jos gosta de correr. Jos no magro.

c) Jos ser atleta se, e somente se, gostar de correr.d) Se Jos atleta ou gosta de correr, ento Jos magro.

Jos atleta ou gosta de correr. Portanto, Jos magro.e) Jos ser atleta se, e somente se, gostar de correr e for

magro.

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Tipos de implicaes

Definio: P Q

P Q P Q

Dadas s proposies compostas e , diz-se que ocorre uma implicao lgica (ou relao de implicao) entre e quando a proposio condicional uma tautologia.

Lgica: se Scrates homem e todos os homens so mortais, ento Scrates moral.

Definio: se Carlos solteiro, ento ele no casado.

Causal: se chover, ento o telhado fica molhado.

Deciso: se o BEC perder, ento eu como o meu chapu.

Discurso: se Hitler era um gnio, ento eu sou tio de um chimpanz.O que todas essas implicaes tm em comum? No pode acontecer de o antecedente ser verdadeiro e o consequnte ser falso. (implicao material)


EXERCCIOS

1. Considere as proposies simples A Est frio, B Est chovendo e C Est quente. Observando a Tabela 1 e usando o alfabeto da lgica proposicional, representar as proposies:

a) Est frio e est chovendo.b) Est frio mas no est chovendo.c) Est chovendo ou est quente.d) Se est frio ento no est quente.e) Estar frio se, e somente se, estiver chovendo.f) Est quente ou est chovendo.g) Se est frio e est chovendo, ento no est quente.h) Se est quente, ento no est chovendo nem est frio.i) Estar frio condio suficiente para chover.j) Est chovendo, logo no est quente.k) Estar chovendo implica em estar frio.

2. Considere P A casa bonita, Q A porta pequena e R A janela grande. Escreva uma sentena em linguagem corrente correspondente s seguintes frmulas da lgica proposicional:

a) P Q f) P Qb) P Q g) P Qc) ~P h) ~(P Q)d) (P Q) R i) (P Q) (P R)e) ((P Q) R) Q j) Q (P R)

2.2 Semntica da lgica proposicional

A semntica de uma linguagem se ocupa dos significados dos smbolos sintticos dessa linguagem.

No basta escrever corretamente uma fbf. Faz-se necessrio atribuir valores a essas frmulas.

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Uma proposio

PVF

Duas proposies

PVVFF

QVFVF

2.2.1.1 Negao de uma proposio

A negao de uma proposio P obtida acrescentando-se falso que ou No verdade que antes de P ou inserindo-se a palavra no em P. Representa-se a negao por ~P (alguns autores usam P, outros preferem P').

2.2.1 Interpretao dos conectivos lgicos

A semntica dos elementos sintticos da Lgica Proposicional uma funo cujo domnio so as fbf da lgica proposicional e cujo contradomnio o conjunto {V, F}, ou seja, a interpretao de uma proposio simples resultar em V ou F. Por esse motivo, ela chamada lgica bivalente.

Antes de passar semntica de cada conectivo lgico, vejamos algumas consideraes sobre a construo de tabela verdade.

Uma forma de avaliar o valor lgico de uma proposio construir a tabela verdade para essa proposio.

Inicia-se a construo de uma tabela verdade fazendo todas as combinaes possveis dos valores verdade de cada proposio simples.

Uma proposio simples tem a tabela verdade formada por duas linhas, pois s pode ter dois valores verdade possveis: verdadeiro ou falso. Se a proposio for composta por duas proposies simples, P e Q, por exemplo, sero possveis quatro combinaes de valores verdade simultaneamente: ambas falsas, ambas verdadeiras e uma falsa e outra verdadeira. Escrevendo essas possibilidades em forma de tabela temos:

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importante observar que, ao negar uma proposio composta, quando se nega cada proposio simples deve-se negar tambm o conectivo.

Observe exemplos de negao de uma proposio na Tabela 2.

Proposio Negao correta Negao incorreta

O dia est quente O dia est quente.o dia est quente.

o dia est quente.

no falso que No verdade que

Paulo baixo e gordo

falso que

no no

Paulo seja baixo e gordo.Paulo baixo gordoPaulo alto magro.

ou

ou

Paulo alto e magro.Observar que basta que ele no tenha um dos atributos para estar negada a afirmao inicial.

O rio raso ou no est poludo

falso que

No verdade que

o rio seja raso ou no esteja poludo.

o rio raso ou no est poludoO rio fundo est poludoe

O rio no raso est poludo

ou

Tabela 3 Negao de uma proposio.

ProposioValor verdade(valor lgico)

Representaosimblica

Manaus est no Brasil.Manaus no est no Brasil. falso que Manaus est no Brasil.No verdade que Manaus no est no Brasil3 + 4 = 5 falso que 3 + 4 = 53 + 4 5

VFFVFVV

P~P~P

~(~P)Q

~Q~Q

Tabela 2 Valor verdade de uma proposio.

A negao de uma proposio deve ser feita com cuidado, principalmente quando se trata de uma proposio composta. Observe a tabela 3.

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Operao Lgica da Negao

e (/\)

e e

e

Chama-se, no entanto, a ateno

nonem

A operao da negao a mais simples operao lgica, representada pelo operador ~.

Embora seja simples, negar uma proposio no apenas afirmar algo do que foi afirmado, verdadeiro no caso da proposio dada ser falsa, e falso no caso de ela ser verdadeira. Negar "2 + 2 = 5" escrever "2 + 2 = 4". A negao de "Roma a capital da Espanha" "Roma a capital da Itlia" (nem "Madri a capital da Espanha"). A negao de "Meu carro verde" no "Meu carro azul".

Quando duas proposies simples so ligadas pelo conectivo , a proposio composta resultante a das proposies simples iniciais. Por exemplo, "Joo corintiano

2 + 2 = 5", "Plato era grego Pilatos era romano" so proposies que representam conjunes de proposies simples.

A conjuno de duas proposies verdadeira apenas quando as proposies constituintes so, ambas, verdadeiras. Assim, a conjuno "Joo corinthiano 2 + 2 = 5" falsa, independentemente de Joo ser ou no corinthiano, uma vez que a segunda proposio simples (2 + 2 = 5) falsa. Por outro lado, a conjuno "Plato era grego e Pilatos era romano" verdadeira.

para o seguinte: em linguagem corrente nem sempre a negao de uma proposio se faz antepondo ao verbo da proposio, posto que a proposio se pode iniciar com " ". Assim, para l da considerao lingustica da mudana de tempo do verbo, a negao deve traduzir-se do seguinte modo:

, no princpio do enunciado singular.

diferente

no no

conjuno

no verdade que

Tabela verdade da negao:

P

V

F

~P

F

V

28


29

Exemplo:

Exemplo:

Exemplo:

Exemplos:

J: ~ J

P~ P

Q~ Q

P~ PQ~ QR~ RS~ S

O Joo est a estudar.: no verdade que o Joo esteja a estudar.

.

: Camilo escreveu Amor de Perdio.: Camilo no escreveu "Amor de Perdio".

, no princpio da frase, quando a proposio se inicia com 'Todos'.

: Todos os homens so brancos: Nem todos os homens so brancos.

- Fazendo a transformao da proposio,

servindo-nos das 2 Leis de De Morgan. Negar que todos sejam, equivale a Alguns no so; negar que nenhum equivale a Alguns so; negar que alguns so equivale a nenhum ; e negar que Alguns no so equivale a Todos so.

: Todos os homens so brancos.: Alguns homens no so brancos.

: Nenhum homem branco.: Alguns homens so brancos.

: Alguns homens so brancos.: Nenhum homem branco.

: Alguns homens no so brancos.: Todos os homens so brancos.

- fazendo a negao do verbo, quando o juzo singular

- nem todos

s


30

( ), em proposies matemticas.

: 4 = 3: 4 3 3 > 0: 3 0

diferenteExemplos:

P~ PQ:~ Q

EXERCCIOS

1. D a negao das seguintes proposies:a) O processador rpido, mas a impressora lenta.b) O processador rpido ou a impressora lenta.c) Pepinos so verdes e no tm sementes.d) A comida boa ou o servio excelente.e) Nem a comida boa nem o servio excelente.

2. D o valor lgico das proposies:a) 16 no um nmero mpar.b) No verdade que 14 um nmero mpar.c) No verdade que 11 no um nmero par.d) 3 + 5 8e) O Solimes o menor rio do mundo.

3. Qual das seguintes proposies representa ~A se A a proposio Jlia gosta de sorvete mas detesta creme.

a) Jlia detesta sorvete creme.b) Jlia no gosta de sorvete de creme.c) Jlia no gosta de sorvete adora creme.d) Jlia odeia sorvete gosta de creme.

enem mas

ou


2.2.1.2 Conjuno de duas proposies

Quando duas proposies so combinadas pelo conectivo e formam uma proposio composta, chamada conjuno.

A conjuno e entre duas proposies P, Q representada por P Q e se l P e Q.

P Q P Q V V V V F F F V F F F F

Exemplos:(1) Paris est na Frana e 2 + 2 = 4.(2) Paris est na Frana e 2 + 2 = 5.(3) Paris est na Inglaterra e 2 + 2 = 4.(4) Paris est na Inglaterra e 2 + 2 = 5.

As quatro proposies acima podem ser representadas por P e Q ou, na linguagem simblica, por P Q.

No exemplo (1), P e Q so ambas verdadeiras. Nesse caso, a conjuno verdadeira.

Nos exemplos (2) e (3) uma verdadeira e outra falsa. A conjuno resulta em valor verdade (ou valor lgico) falso.

No ltimo exemplo, ambas as proposies, P e Q, so falsas e a conjuno tambm resulta em falso.

Concluso:A conjuno entre duas proposies s verdadeira se

ambas o forem.

Tabela verdade da conjuno:

31


2.2.1.3 Disjuno

A proposio Joo alto ou Maria bonita uma proposio composta, onde Joo alto uma proposio simples e Maria bonita outra proposio simples. Quando se unem essas duas proposies simples pelo conectivo ou, tem-se uma proposio composta. A proposio composta obtida pela combinao de duas proposies simples e a palavra ou (com sentido e/ou), chamada de disjuno.

A disjuno das proposies P e Q representada por P Q.

O valor verdade da proposio composta acima ser determinado pelo valor verdade de cada uma das proposies simples que a formam. Se for verdade apenas a proposio Joo alto ou apenas a proposio Maria bonita ou, ainda, se ambas as proposies forem verdadeiras, a conjuno resultar em valor lgico verdadeiro.

A disjuno de duas proposies ser falsa somente quando ambas as proposies forem falsas.

Tabela verdade da disjuno:

P Q P Q V V V V F V F V V F F F

EXERCCIOS

1. D o valor lgico das proposies abaixo:a) 4 par e 6 mparb) 4 = 2 + 2 e 5 + 5 = 10c) A lua um satlite e a Terra um planeta.d) Roma capital da Frana e Londres capital do Brasil.e) 6 + 4 = 12 e Manaus a capital do Amazonas.

32


2.2.1.4 Condicional

Uma proposio do tipo se P ento Q chamada condicional e designada por P Q.

Em P Q, P a proposio antecedente, e Q a conseqente.

Considere a frase Se eu me sair bem na prova, ento irei ao cinema.

Se essa pessoa sair-se bem na prova, dizer que ela no ir ao cinema, atribuir o valor lgico falso proposio condicional, pois a mesma afirmou que, saindo-se bem na prova, ir ao cinema. Ou seja, quando o antecedente verdadeiro e o conseqente falso, o condicional falso.

Caso a pessoa saia-se mal na prova, nada se pode afirmar sobre se ir ou no ao cinema. A frase no d nenhuma informao nesse sentido. Por isso, convencionou-se que P Q ser verdadeira quando P for falsa.

A declarao o fogo condio necessria para a fumaa pode ser dito se houver fumaa ento haver fogo. Antecedente: h fumaa, conseqente h fogo. Por outro lado, o fato de haver fogo no leva concluso de h fumaa. Dizendo de outra forma: em P Q, se o fato de P ser verdadeira levar a Q ser verdadeira, no quer dizer que quando Q verdadeira P tambm ser.

1. D o valor verdade das proposies:a) O homem um animal ou 5 + 4 = 15b) Fleming descobriu a penicilina ou Newton foi um fsico.c) Ou Braslia a capital do Cear ou Fortaleza a capital

do Cear.d) Ou o Sol um satlite de Marte ou a Terra uma estrela.e) Ou o Sol uma estrela ou Pluto um planeta.

EXERCCIOS

33


EXERCCIOS

1. D o antecedente e o conseqente das seguintes proposies:

a) Se a chuva continuar, ento o rio vai transbordar.b) Uma condio suficiente para faltar energia, que a

chave central desligue.c) Uma boa dieta uma condio necessria para um gato

ser saudvel.d) A definio ficar errada apenas se for alterada.

2. D o valor verdade das proposies abaixo:a) Se a Lua um satlite ento a terra um planeta.b) Um corpo celeste no um satlite se gira em torno de

um planeta.c) Se Mimi um gato, ento tem quatro patas. (Supor que

existe um gato chamado Mimi)d) Se a Terra uma estrela ento a Lua um planeta.

2.2.1.5 Bicondicional

Uma proposio da forma P se, e somente se, Q dita bicondicional. representada por P Q.

Uma proposio bicondicional ser verdadeira quando ambas as proposies componentes so de mesmo valor verdade. E ser falsa quando as duas proposies tm valores opostos.

Tabela verdade do condicional:

P Q P Q V V V V F F F V V F F V

34


EXERCCIOS

1. D o valor verdade das seguintes proposies:a) Amarelo ser preto se, e somente se, vermelho for

branco.b) 3 + 4 = 7 se e somente se 8 x 5 = 50.c) 1 + 1 = 4 se, e somente se, 7 + 3 = 10.d) Azul no verde se, e somente se, preto for lils.e) No verdade que 1 + 1 = 3 se, e somente se, 2 + 2 = 5.

2.2.1.6 Disjuno exclusiva

Dadas duas proposies P e Q, a disjuno exclusiva definida como sendo verdadeira se apenas uma delas verdadeira. Pode-se ler P ou Q mas no ambas. Representaremos por .

A disjuno exclusiva representada em programao pelo operador XOR, que um acrnimo da expresso inglesa .exclusive or

P Q P Q V V V V F F F V F F F V

Obs.: o conectivo se e somente se pode ser escrito de forma abreviada: sse.

35


EXERCCIOS

1. D o valor verdade das proposies:a) Quando voc ligou eu estava dormindo ou estava

passeando.b) Quando voc ligou eu estava em casa ou estava

dormindo.c) Quando voc ligou eu no estava em casa ou estava

dormindo.d) Para sobremesa, ou escolho goiabada ou bananada.

Tabela verdade do ou exclusivo:

P Q P Q V V F V F V F V V F F F

Observe que a disjuno exclusiva no foi apresentada como um conectivo do alfabeto da lgica proposicional. No s esse como outros conectivos podem ser definidos a partir daqueles.

O significado de P ou Q mas no ambos como um conectivo uma simplificao da frmula (P Q) ~(P Q).

2.2.2 Interpretao de uma fbf

A interpretao de uma fbf composta depende da interpretao de cada proposio simples da frmula.

Exemplo 1:Seja H = (P Q). Existem quatro interpretaes possveis

para H. Basta observar a tabela verdade da disjuno. Qual a interpretao de H, se H = (P Q) P, sabendo que

I[P] = V e I[Q] = F?

36


Com I[P] = V e I[Q] = F, P Q resulta em verdadeiro. Verdadeiro P (verdadeiro verdadeiro) resulta em verdadeiro. Logo, I[H] = V

P Q P H V F V

P Q P H V V F V V V

Exemplo 2:

Qual a interpretao da frmula E = (( ~P Q) (R P), sabendo que I[P] = V e I[Q] = F?

Soluo:Como na anlise da frmula anterior, inicialmente lana-

se na tabela os valores das interpretaes conhecidas:

(~ P Q) (R P) E V F V

Sendo I[P] = V, I[~P] tem valor F. Conseqentemente, I[~P Q] = F. No se conhecendo a interpretao de R, no possvel concluir pela interpretao de R P. Por outro lado, ~P Q o antecedente do condicional. Quando o antecedente de um condicional falso, este resulta em verdadeiro, independente do valor lgico do conseqente. Dessa forma, pode-se concluir que I[E] = V, mesmo no se conhecendo I[Q]. O quadro final dessa anlise ser:

(~ P Q) (R P) E F V F F V V V

Para responder a essa pergunta, analisa-se o valor da frmula, a partir das interpretaes conhecidas:

37


1. Seja I uma interpretao tal que I[P Q] = F. O que se pode deduzir a respeito dos resultados das interpretaes:

a) I[~P Q]b) I[P ~Q]c) I[Q P]

EXERCCIOS

SoluoS h uma situao em que I[P Q] = F: quando I[P] = V e

I[Q] = F. Com esses valores lgicos de P e Q, analisa-se cada uma das frmulas dadas para concluir, ou no, pelo seu valor verdade.

2. Qual a interpretao da frmula G, abaixo, sabendo que I[P] = V e I[Q] = V?

G = (P (~Q R)) ~(Q (P ~R))

Exemplo 3:

Soluo:

Sendo G = P Q e sabendo-se que I[G] = V, o que se pode concluir a respeito de I[P] e I[Q]?

A disjuno verdade quanto pelo menos um de seus componentes verdadeiro, existindo trs situaes possveis. Dessa forma, nada se pode concluir sobre o valor verdade de P e de Q.

P Q G ? V ? V

38


Captulo 3


O Clculo ProposicionalTem por objetivo avaliar o valor verdade de uma frmula.

3.1 ProposiesChama-se sentena ou proposio todo o conjunto de

palavras ou smbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Sentena ou proposio se distinguem do nome, o qual designa um objeto.

Exemplo de Nomes:

PedroO co do menino.4 3

Exemplos de Proposies:

A lua um satlite da terra.O filho do Presidente do Brasil, em 1970, era mdico.

3. 3 x 5 = 5 x 34. Onde voc mora?5. Que belo jardim o desta praa!6. Escreva um verso.7. Pedro estuda e trabalha8. Duas retas de um plano so paralelas ou incidentes.9. Se Pedro estuda, ento tem xito na escola.10. Vou ao cinema se e somente se conseguir dinheiro.

1.2.

39

40

Na lgica, restringimo-nos a uma classe de proposies, que so as declarativas e que s aceitam dois valores:

Verdadeiro(V) ou r falso (F), um excluindo o outro. Assim, exclumos de nossas consideraes:

- Proposies exclamativas, como a de n 5.- Proposies interrogativas, como a do n 4. - Proposies imperativas, como a do n 6.

A lgica matemtica adota como regras fundamentais os dois seguintes princpios ou axiomas:

I.PRINCPIO DA NO CONTRADIO: Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

II.PRINCPIO DO TERCEIRO EXCLUDO: Qualquer proposio verdadeira ou falsa, no podendo ser nada mais do que isso.

Por exemplo, as proposies 1 e 3 so ambas verdadeiras, mas as 3 proposies seguintes so falsas:

Vasco da Gama descobriu o Brasil. Dante escreveu os Lusadas. um nmero inteiro.Obs: Cames escreveu Os Lusadas.

As proposies so geralmente designadas pelas letras latinas minsculas p, q, r, s... (sem ndices ou acentos).

So declarativas as nmeros 1 at 3 e as de 7 at 10.

EXERCCIOS1)Quais so os nomes e quais so as proposies?

a) O nmero 3 maior que o nmero 5.b) A terra um planeta.c) 9-12d) 9e) 8*7 = 56f) O gato da menina.g) Um bom livro de matemtica.h) 3 + 5 5 + 3


41

i) Se chover hoje, ento a rua ficar molhada.j) O sol brilha e queima as plantas.k) Jorge gacho ou Catarinense.l) Um tringulo retngulo se e se somente se tem um

ngulo reto.m) Tringulo eqiltero.n) Se um tringulo retngulo, ento, dois de seus

lados so perpendiculares

3.2 Ordem de precedncia entre os operadores

Para avaliar o valor verdade de uma frmula da lgica proposicional, a precedncia dos operadores deve ser observada. Abaixo so apresentados os operadores lgicos, da maior para a menor precedncia:

1. expresses entre parnteses, resolve-se a partir dos parnteses mais internos para os mais externos.

2. ~ (negao)3. , (conjuno e disjuno tm a mesma precedncia,

operando-se o que ocorrer primeiro, da esquerda para a direita).4. 5.

Isto significa que, para avaliar a frmula A B C, como no h parnteses, avalia-se primeiro a conjuno ( ), depois o condicional ( ).


42

3.3 Tabela verdade.

Para construir a tabela verdade de uma frmula, inicia-se pela composio, em conjunto, de todos os valores lgicos das proposies simples que compem uma frmula.

Considerando a frmula (A B) C, vemos que a mesma possui trs proposies simples. Fazendo todas as combinaes possveis dos valores verdade dessas proposies simples temos:

A B C V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Quando os conectivos lgicos foram apresentados, tnhamos tabelas verdade com duas proposies simples, cada uma com quatro linhas. No exemplo acima, temos uma frmula com trs proposies simples e a respectiva tabela verdade tem oito linhas. Podemos concluir que o nmero de linhas de uma tabela verdade obtido por 2 linhas, sendo n o nmero de proposies simples que a frmula contm.

O passo seguinte analisar a frmula, de acordo com a precedncia dos operadores, um operador por coluna da tabela.

n

Exemplos:Construir a tabela verdade para as frmulas G e H abaixo:a) G = A B A B

Como a frmula acima no contm parnteses, deve-se, ento, seguir a ordem de precedncia dos operadores na anlise


Conclui-se que o valor da frmula G VVVV.

Outra maneira de fazer uma tabela verdade criar uma coluna para cada smbolo da frmula e realizar as operaes seguindo a ordem de precedncia dos operadores.

Dessa segunda maneira, a tabela verdade da frmula acima

A seguir, acrescenta-se outra coluna e faz-se a operao do conectivo

A B A B A B V V V V V F F V F V F V F F F F

Por fim, acrescenta-se mais uma coluna e avalia-se o conectivo , considerando como antecedentes os valores da 3a coluna e como conseqentes os valores da 4a coluna, completando a tabela verdade.

A B A B A B A B A B V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V

A B A B V V V V F F F V F F F F

Exemplos:Construir a tabela verdade para as frmulas G e H abaixo:

43


1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B A B A B V V V F F V F F

Etapa

inicia escrevendo toda a frmula, cada smbolo em uma coluna, e fazendo a composio de todas as possibilidades dos valores lgicos de A e B.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B A B A B V V V V V V V V V F V F F V V F F V F F V F V V F F F F F F F F

Etapa 1 2 1 3 4 3

O primeiro conectivo a ser avaliado o , o que feito em duas etapas: na etapa 1, repete-se os valores verdade de A e B das colunas 1 e 2 nas colunas 3 e 5, respectivamente e na etapa 2 opera-se o :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B A B A B V V V V V V F V F F F V F F V F F F F F

Etapa 1 2 1

A seguir opera-se o . De forma semelhante ao que foi feito nas etapas 1 e 2, a etapa 3 consiste em copiar os valores de A e B para as colunas 7 e 9, respectivamente, e na etapa 4 anota-se o resultado da disjuno entre A e B, gerando a tabela:

44


A B C A B V V V V V V F V V F V V V F F V F V V V F V F V F F V F F F F F

Obs.: A diferena bsica entre uma e outra maneira de construir a tabela verdade que na primeira forma a ltima coluna sempre corresponde ao conectivo principal, enquanto na segunda, o conectivo principal continua sendo o ltimo a ser avaliado mas no est situado na ltima coluna.

b) H = ((A B) C) (B ~C)

Aps fazer as combinaes de valores verdade das proposies simples, procede-se avaliao da expresso do parntese mais interno (A B):

Finalmente, passa-se etapa 5, que avaliar o condicional, sendo o antecedente os valores da coluna 4 (etapa 2) e os conseqentes os valores constantes da coluna 8 (etapa 4), gerando a tabela verdade final:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B A B A B V V V V V V V V V V F V F F V V V F F V F F V V F V V F F F F F V F F F

Etapa 1 2 1 5 3 4 3

45


O valor da frmula H : FFVFFFVV.

Obs.: Caso as combinaes de valores verdade iniciais (trs primeiras colunas da tabela) estejam em uma ordem diversa da apresentada acima a ordem dos valores verdade (V, F) do resultado poder ser diferente da apresentada. No caso do exemplo acima, se a combinao da 1a e da 2a linhas, estiverem

Depois, faz-se a avaliao de ~C, seguindo-se a avaliao do condicional (B ~C) e, por fim, do bicondicional, entre os valores das colunas 5 e 7.

1

2

3

4

5

6

7

8

A B C A B ((A B) C) ~C (B ~C)

V V V V V F F F V V F V F V V F V F V V V F V V V F F V F V V F F V V V V F F F F V F V F V V F F F V F V F V V F F F F V V V V

A seguir, considera-se a quarta coluna como o antecedente e a terceira coluna como conseqente, e avalia-se o condicional ( ) do parntese mais externo ((A B) C).

A B C A B ((A B) C) V V V V V V V F V F V F V V V V F F V F F V V V V F V F V F F F V F V F F F F V

46


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A B C ((A B) C) (B ~ C) V V V V V V V V F V V V V F V V V F V F F V V F F V V F V V F V F F V V F F V F F F F F F F F F

Etapa 1 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A B C ((A B) C) (B ~ C) V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

O parntese mais interno o primeiro a ser avaliado. A etapa 1 repetir os valores verdade de A e B e a etapa 2 fazer a conjuno de A e B. Aps a etapa 2 a tabela verdade assume o aspecto abaixo:

em outra posio, os dois valores F iniciais do resultado no sero os primeiros. Seja qual for a ordem das combinaes iniciais, o resultado sempre ter 5 valores F e trs V.

A frmula H = ((A B) C) (B ~C), do exemplo anterior, avaliada pelo segundo mtodo, onde se escreve cada smbolo em uma coluna, feita como da forma abaixo. Notar que importante representar os parnteses da frmula, j que esses influem na ordem das operaes. Tambm vale destacar que o smbolo de negao deve figurar em uma coluna, separado da proposio que est negando.

47


Coluna 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A B C ((A B) C) (B ~ C) V V V V V V V V V F F V V V F V V V F F V V V F V F V V V F V V F V F V V F F V V F F F F V V F F V V F V V V V V F F V F V F F V V F F V V V F F F V F F F V V F V F V F F F F F F V F F V V F

Etapa 1 2 1 4 3 5 7 6 5

Coluna 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A B C ((A B) C) (B ~ C) V V V V V V V V V V F V V V F F V F V V V F V V V F F V V F F F F V V F V V V V F V F F V V F F F F V F F F V V F F F F F F V F

Etapa 1 2 1 4 3

A etapa 5 transcrever os valores verdade de B e C para as colunas 10 e 13, respectivamente.

importante observar que a negao precede todos os outros operadores. Por isso, antes de operar o condicional da coluna 11 necessrio fazer a negao de C (coluna 12), que constitui a etapa 6. O passo 7 avaliar o condicional da coluna 11, gerando a posio abaixo da tabela verdade:

A etapa 3 transcrever os valores verdade de C para a coluna 8. A etapa 4 ser fazer o condicional entre a coluna 5 ( ), como antecedente e a coluna 8 (C), como conseqente.

48


EXERCCIOS

1. Faa a tabela verdade para as fbf abaixo:a) (A B) Cb) A B ~Ac) (A B) ~A Bd) (P (~Q R)) ~(Q (P ~R))

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A B C ((A B) C) (B ~ C) V V V V V V V V F V F F V V V F V V V F F F V V V F V F V V V F V V V F V F V V F F V V F F F F F V V F F V V F V V V V F V F F V F V F F V V F F F V V V F F F V F F F V V V F V F V F F F F F F V F V F V V F

Etapa 1 2 1 4 3 8 5 7 6 5

A coluna da etapa 8 contm o resultado. Como j se esperava, esse resultado coincide com o encontrado na tabela verdade feita anteriormente. E no poderia ser diferente, pois a mesma frmula s pode gerar um nico resultado, seja qual for o mtodo empregado para fazer sua avaliao.

Para finalizar a construo da tabela verdade, a etapa 8 consiste na avaliao do bicondicional, que ser feita entre o resultado da expresso do lado esquerdo, que consta da coluna 7 e o resultado da expresso do lado direito, que se encontra na coluna 11:

49


3.4.2 Contradio

Uma frmula (ou uma ) se, e somente se, para toda interpretao I, I[H] = F.

Exemplo: (P Q) ~(P Q)

contraditria contradio

P Q P Q ( P Q) ~(P Q) V V V V F F V F F V F F F V F V F F F F F F V F

3.4 Propriedades semnticas da lgica proporcional

3.4.1 Tautologia

Uma frmula H uma ou se, e somente se, para interpretao I, I[H] = V

Fazendo-se a tabela verdade para a fbf H = P ~( P Q), tem-se

tautologia vlidatoda

P Q P Q ~( P Q) P ~( P Q) V V V F V V F F V V F V F V V F F F V V

Observa-se que o valor lgico de H V, ou seja, para toda interpretao I, I[H] = V. Nesse caso, H uma tautologia.

EXERCCIOS1. Fazer a tabela verdade para a frmula

H = (P Q) (P Q) e verificar se a mesma uma tautologia.

2. Mostre que a frmula abaixo uma tautologia:(P Q) (~P Q)

50


EXERCCIOS

1) Mostre que as frmulas abaixo so contradies:a) ~(P Q) Qb) ~(P (P Q))

3.4.3 Frmula satisfatvel.

Uma formula (uma ou uma), se existe a interpretao I, tal que

Por essa definio, basta que apenas uma interpretao I, de H, seja verdadeira, ou seja, basta que apenas uma linha da tabela verdade de H resulte em V, para que a frmula seja classificada como satisfatvel.

Exemplo: construir a tabela verdade para a frmula G = ~((A B) A)

satisfatvel contingncia

indeterminao

I[H] = Vpelo menos um

A B (A B) (A B) A ~ V V V V F V F F V F F V V F V F F V V F

EXERCCIOS

1) Construa a tabela verdade para as frmulas abaixo e prove que so satisfatveis:

a) H = (P Q) Qb) G = (P Q) (P Q)

51


3.4.4 Equivalncia lgica (representada por )

Dadas duas frmulas H e G, G equivale a H (G H), se e somente se, para toda interpretao I, I[G] = I[H]

Fazendo a tabela verdade para a fbf H = (A B) (B A), temos:

A B A B B A (A B) (B A) V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V

Comparando a tabela verdade da frmula H, acima, com a tabela verdade frmula P Q (bicondicional, vista no item 2.2.5), verifica-se que so idnticas. Diz-se, ento, que a frmula H e o bicondicional so equivalentes.

Fazer as tabelas verdade para as frmulas G e H abaixo e verificar se so equivalentes (verificar se G H):

a) G = A B e H = ~(A B)b) G = ~(A B) e H = ~A ~B

EXERCCIOS

3.3.5 Implicao lgica (representada por )

Sejam as frmulas G e H. As trs condies seguintes so equivalentes:

(1) ~G H uma tautologia.(2) G ~H uma contradio.(3) G H uma tautologia.


52

K L (l-se K implica logicamente em L) se satisfizer a uma das trs condies acima especificadas. Escolhendo a condio (1), sua tabela verdade ser:

K L ~K ~K L V V F V F F V V V F F F F F V V

que no uma tautologia. Logo, K no implica logicamente em L.

K L M P Q P Q Q P Q P Q V V V V V V V F F F F V F V F V F V F F F F F F

Resumindo:

P Q K L M V V V V V V F F F V F V V F V F F F F F

Uma frmula G implica logicamente uma frmula H (G H) se uma das condies acima for satisfeita.

Exemplos: Considere as frmulas a) K = (P Q) Qb) L = P Qc) M = P Q

As tabelas verdade de K, L e M so:

53



54

Outra maneira de verificar a implicao lgica:

Dadas duas frmulas G e H, (G H) se, e somente se, para interpretao I,

se I[G] = T, ento I[H] = T

Pela definio de implicao acima, K implica M. Observe que para as duas interpretaes I[K] = V , I[M] = V tambm. Quando I[K] = F, nada se pode afirmar sobre I[M]. Da mesma forma, L implica K e L implica M. J no se pode dizer o mesmo a respeito de M em relao a L e K, uma vez que para todas as interrpretaes I[M] = V, nem todas as interpretaes de I[L] e I[K] so tambm verdadeiras.

G implica H toda

EXERCCIOS

2) Construa as tabelas verdade para as frmulas A = (~P Q) e B = (P Q) e verifique se A B, usando este ltimo critrio de implicao.

EXERCCIOS

1) Considerando as frmulas K, L, e M do ltimo exemplo, verificar se:

a) L Mb) M Kc) L Kd) K M

Usando a mesma condio (1) para testar se L K, temos:

K L ~L ~L K V V F V F F V V V F V V F F V V

resulta em uma tautologia. Logo, L implica logicamente em K.

Aplicando o critrio (2), G ~H, para verificar se L K, faz-se a tabela verdade para L ~K, chega-se ao seguinte resultado:

K L ~K L ~K V V F F F F V F V F F F F F V F

que uma contradio. Aplicando o critrio (3), que fazer a tabela verdade

para L K, verifica-se que uma tautologia.Chega-se concluso que, se duas frmulas atendem a um

dos critrios acima, pode-se afirmar que uma implica logicamente na outra, mesmo que no se teste os outros dois critrios.


57

4.1 Argumento

Suponha que seja feita a pergunta: A Terra tem luz prpria?. Uma forma de buscar a resposta procurar um termo intermedirio que se relacione com outros termos da pergunta. Esse termo pode ser planeta. A partir desse termo, pode-se formular as seguintes sentenas:

Um planeta no tem luz prpria.A Terra um planeta.Logo, a Terra no tem luz prpria.

A terceira sentena uma concluso, que foi tirada a partir das duas primeiras e, com isso, a pergunta foi respondida.

Outro exemplo:3 + 2 = 5 5 = 4 + 13 + 2 = 4 + 1

Raciocnios como os apresentados acima, so da forma .silogstica

Captulo 4


Validade de umArgumento

56

Aristteles definiu o silogismo como:

Silogismo significa ligao, ou seja, a ligao de dois termos atravs de um terceiro.

As sentenas que servem para provar ou, pelo menos, para fornecer alguma evidncia para a concluso so chamadas de premissas. Um conjunto de sentenas, onde algumas so premissas e outra a concluso chamado de argumento.

Um argumento pode ser escrito de diversas formas. Vejamos o seguinte exemplo:

Andar de bicicleta um timo exerccio. Josefina anda de bicicleta. Josefina pratica um timo exerccio.

O silogismo uma srie de palavras em que, sendo admitidas certas coisas, delas resultar necessariamente alguma outra, pela simples razo de se terem admitido aquelas.

Alguns autores preferem representar o argumento da forma:

Andar de bicicleta um timo exerccio.Josefina anda de bicicleta.Josefina pratica um timo exerccio. (trs pontos para

identificar a concluso.)

Outros autores preferem a forma:

Andar de bicicleta um timo exerccio.Josefina anda de bicicleta.Josefina pratica um timo exerccio. (o smbolo condicional

para identificar a concluso.)

57


O importante caracterizar a concluso. Na lgebra proposicional as premissas e concluso so representadas por smbolos proposicionais (letras maisculas).

Um argumento onde a concluso decorre das premissas um argumento vlido. Argumentos dessa forma so conhecidos pela expresso latina (mtodo de afirmao).modus ponens

Em um argumento vlido, as premissas so consideradas provas evidentes da verdade da concluso, caso contrrio no vlido.

Quando vlido, podemos dizer que a concluso uma conseqncia lgica das premissas, ou ainda que a concluso uma inferncia decorrente das premissas.

Exemplo 1: O argumento que segue vlido?

Se eu ganhar na Loteria, serei rico. Eu ganhei na Loteria. Logo, sou rico.

Vlido (a concluso uma decorrncia lgica das duas

premissas.)

Exemplo 2: O argumento que segue vlido?

Se eu ganhar na Loteria, serei rico Eu no ganhei na Loteria Logo, no sou rico No Vlido (a concluso no uma decorrncia lgica das duas

premissas.)A lgica se preocupa com o relacionamento entre as

premissas e a concluso, ou seja, com a estrutura e a forma do raciocnio. A verdade do contedo de cada premissa e da concluso estudo das demais cincias.

A validade do argumento est diretamente ligada forma pela qual ele se apresenta (Lgica Formal estuda a forma dos argumentos).


58

Um argumento acontece quando se pretende provar ou demonstrar uma concluso, a partir de uma ou mais premissas.

Uma maneira de representar, na lgica proposicional, um argumento :

Indicadores de premissadesde quecomoporqueassumindo quevisto queadmitindo queisto verdade porquea razo queem vista decomo conseqncia decomo mostrado pelo fato quesabendo-se quesupondo que

Indicadores de conclusologoportantoassimpor conseguintedessa maneiraneste casodade modo queentoassim sendosegue-se queo(a) qual implica queresulta quepodemos deduzir que

Existem termos que so freqentemente usados para assinalar a concluso e as premissas de um argumento. Abaixo, destacamos alguns dos mais freqentemente utilizados:

A viagem para Manacapuru dura uma hora. AJoo ir a Manacapuru BLogo, Joo viajar durante uma hora. C


59

Proposio simples- O criminoso primrio- O criminoso cometeu um descuido- O criminoso ter sua pena diminuda.

RepresentaoPQR

Representao na lgica proporcional:(P Q) (P R) ~P ~R.

Note que (P R) tem, obrigatoriamente, que vir entre parnteses. A fbf acima, se escrita da forma

, nos levaria a duas situaes: primeiro, surgiria a dvida: qual a concluso, o

primeiro ou o segundo condicional? em segunda instncia, a sua avaliao seguiria a

precedncia dos operadores e primeiro seria feito ((P Q) P), depois seria avaliado (R ~P) e, por fim, os dois condicionais restantes , o que levaria a um resultado diferente do esperado.

(P Q) P R ~P ~R

60

Na lgica proposicional, temos: A B C. Como o operador conjuno ( ) tem precedncia sobre o

condicional ( ), no necessrio escrever (A B) C. Porm, h situaes que os parnteses so obrigatrios.

Vejamos o argumento abaixo:O criminoso primrio, ou cometeu um descuido. Se o

criminoso for primrio, ento ter sua pena diminuda. O criminoso no primrio. Logo, sua pena no ser diminuda.


4.2 Mtodos para avaliar a validade de um argumentoVerificar se um argumento vlido verificar se o mesmo

uma tautologia, ou seja, se todas as interpretaes (linhas) de sua tabela verdade resultam em valor lgico verdadeiro (V). Em ltima instncia, verificar se o valor verdade do conectivo principal (o ltimo que ser analisado) verdadeiro, para todas as interpretaes do argumento.

Argumentos podem ser escritos como frmulas da linguagem da Lgica Proposicional. Entretanto, nem todas as frmulas so escritas em formato de argumento, composto de premissas e uma concluso.

Os mtodos de avaliao de um argumento, que sero vistos a seguir, so mtodos de avaliao geral e se prestam para avaliar fbf quaisquer. Assim, adotaremos o termo frmula e no argumento, ao longo dos prximos itens.

Sero estudados quatro mtodos para verificar a validade de frmulas da lgica proposicional: mtodo da tabela verdade, mtodo da rvore semntica, mtodo da negao ou absurdo e deduo lgica.

61

EXERCCIOS

1. Represente na linguagem simblica da Lgica Proposicional os argumentos:

a) Se Jonas andar e o trem sair no horrio, ele perde o trem. Se ele perder o trem, ento ele fica triste e volta para casa. Jonas andou. Portanto, Jonas voltou para casa.

b) Vou para casa somente se no chover e no estiver quente. No choveu mas est quente. Portanto, no vou para casa.


P Q P Q ~Q ~P ~Q ~P (P Q) (~Q ~P) V V V F F V V V F F V F F V F V V F V V V F F V V V V V

Para todas as interpretaes I, I[H] = V. Ento, H uma frmula vlida ( uma tautologia).

Mas o nmero de linhas de uma tabela verdade dado por 2 , onde n o nmero de proposies simples. Quando o nmero dessas proposies simples aumenta, a tabela verdade torna-se no recomendvel.

Existem outros mtodos de prova que abreviam o processo e que sero vistos a seguir.

n

4.2.1 Mtodo da tabela verdade

O mtodo da tabela verdade conhecido, tambm, como mtodo da fora bruta, por ser um mtodo exaustivo de prova. Atravs dele, tem-se os resultados de todas as interpretaes possveis de uma fbf.

Verificar se a fbf H = (P Q) (~Q ~P) vlida.

A construo da tabela verdade deve ser feita conforme o item 3.2.

Exemplo

62


Exemplo:

Construir a tabela verdade de:

((~(P Q)) ((P /\(~Q)) \/ (Q /\(~P))))

1.

EXERCCIOS

1) Usando o mtodo da tabela verdade, verificar se o argumento (S (~C ~Q)) (~C Q) ~S (letra b) do exerccio da seo anterior) vlido.

2) Construa a tabela verdade das seguintes Formulas e dia se ela uma Tautologia, Satisfatvel :

A) ((P /\Q) (Q \/ P));B) (((P \/ Q) /\(P \/ R))(P /\(Q \/ R)));C) ((PQ) /\(P(~Q))).

P Q ~P ~Q P Q ~(PQ)

P^(~Q) Q^(~P)

A B

V V F V V F F F F V

V F F V F V V F V V

F V V F F V F V V V

F F V V V F F F F V

Sendo A = (P^(~Q) V (Q^(~P)))

B = (~(P Q) ((P^(~Q)) V (Q^(~P)))


63

A proposio uma tautologia.

Na rvore do exemplo acima, o n 1 chamado de raiz e est no primeiro nvel da rvore, os ns 2 e 3 esto no segundo nvel, os ns 4 a 7 esto no terceiro nvel, e assim, sucessivamente. Os ns que no esto ligados a nenhum n em um nvel abaixo, so chamados de ns folha. No exemplo acima, so ns folha: 4, 5, 7, 9, 10 e 11.

Uma rvore binria pode ser utilizada para verificar a validade de uma frmula da lgica proposicional.

Exemplo 1:Verificar se a fbf H = (P Q) (~Q ~P) vlida,

utilizando o mtodo da rvore semntica.

O primeiro passo construir uma rvore binria com os ns 1, 2 e 3, como no exemplo acima. A seguir, escolher uma proposio simples para analisar, por exemplo, a proposio P. Cada aresta da rvore construda representar um dos valores lgicos possveis de P.

4.2.2 Mtodo da rvore Semntica

Uma rvore uma estrutura de dados, composta por ns, unidos por arestas. Quando cada n se liga a, no mximo, dois outros ns, essa rvore chamada de rvore binria.

Exemplo de rvore binria:

1

2 3

4 5 6 7

8 9

10 11

64


A interpretao de um n corresponde a todas as interpretaes (arestas) encontradas no caminho percorrido da raiz at o n em questo.

A anlise de um n consiste em partir da interpretao desse n e tentar concluir pelo seu valor verdade.

Temos:

1

2 3

I[P] = V I[P] = F

Para analisar o n nmero 2, comeamos atribuindo o valor V a todas as ocorrncias de P na frmula H, dada. Esquematicamente:

(P Q) (~Q ~P) V V

Como P verdadeiro, segunda ocorrncia de P na frmula).

V FV

N 2 =podemos concluir que ~P falso

(

(P Q) (~Q ~P)N 2 =

O lado esquerdo do bicondicional um condicional, cujo antecedente verdadeiro. Nesse caso, o valor verdade desse condicional depende do conseqente. O lado direito do bicondicional outro condicional, cujo conseqente falso (se P verdadeiro, ~P falso), e depende do antecedente para se poder concluir pelo seu valor lgico. Como no se tem o valor verdade da expresso do lado esquerdo do bicondicional (P Q), 65


12 3

I[P] = V I[P] = F

V

Quando o antecedente de um condicional falso, esse condicional tem valor lgico V, independente do valor lgico do conseqente. Quando o valor lgico do conseqente de um condicional falso, esse condicional tem valor lgico V, independente do valor lgico do antecedente. Dessa forma, possvel concluir pelo valor lgico do bicondicional, uma vez que se tem os valores lgicos das expresses direita e esquerda deste.

nem da expresso do lado direito (~Q ~P), nada se pode afirmar sobre o valor lgico desse bicondicional e, portanto, nada se pode afirmar sobre o valor do n 2:

V ? ? ? FV

De forma semelhante, analisa-se o n 3:

F VF

(P Q) (~Q ~P)N 2 =

(P Q) (~Q ~P)N 3 =

(P Q) (~Q ~P)N 3 = F V V V VF

Quando se chega concluso do valor verdade (V ou F) da frmula, atravs da anlise de um n da rvore, esse valor representado na mesma, abaixo do n e este se torna um n folha:


66

Procede-se anlise do valor verdade dos ns 4 e 5. A interpretao do n 4 obtida percorrendo-se a rvore a partir da raiz at o n em questo. O n 4 significa que P e Q tm, ambas, valor lgico V. Lana-se esses valores na frmula e busca-se concluir pelo valor verdade desta:

(P Q) (~Q ~P)V V V V FV V FV

Procedimento semelhante deve ser adotado em ralao ao n 5. Para esse n tem-se I[P] = V e [Q] = F:

V F F V VF F FV

Como ambos os condicionais resultam em F, o bicondicional resulta em V.

rvore semntica final de H:

N 4 =

(P Q) (~Q ~P)N 5 =

Como nada se pode concluir a respeito do n 2, acrescenta-se a esse n a interpretao de outra proposio simples da frmula sob anlise:

I[P] = V I[P] = F

I[Q] = V I[Q] = F V

1

2 3

4 5


67

I[P] = V I[P] = F

1

2 3

Interpretao do n 2: O conectivo principal o segundo condicional. Como P verdadeiro, nada se pode concluir a respeito do antecedente do conectivo principal, ou seja, no possvel concluir pelo valor da expresso (P Q). Mas o conseqente do conectivo principal tem valor verdadeiro e, nesse caso, a implicao verdadeira. Logo, o n 2 tem valor verdadeiro.

(P Q) P N 2 = V ? V V

I[P] = V I[P] = F

I[Q] = V I[Q] = F V

1

2 3

4 5

V V

Como todos os ns folha resultaram em V (verdadeiro), conclui-se que H vlida ( uma tautologia).

Exemplo 2:Verificar se a frmula G = (P Q) P vlida.Soluo:Iniciando com a interpretao de P, tem-se a rvore:


68

Para que uma fbf no seja vlida, basta que 1 n folha apresente valor lgico falso. Como para I[P] = F tem-se I[G] = F, est demonstrado que G no uma fbf vlida.

Observaes:1) Como foi possvel concluir pelo valor verdade dos ns 2 e

3, conhecendo-se apenas o valor de P, a rvore no prossegue em nenhum dos dois ns. Est concluda.

2) Se todos os ns folha tiverem valor lgico falso, a frmula ser uma contradio. Caso nem todos tenham valor falso, diz-se que a mesma satisfatvel.

I[P] = V I[P] = F

1

2 3

V F

A interpretao do n 3 feita assumindo que P tem valor falso. Independente do valor de Q, o valor do antecedente do conectivo principal ser verdadeiro e seu conseqente falso. A frmula resulta em falso.

N 3 = F V F F

A rvore semntica de G tem o seguinte aspecto:

(P Q) P


69

Exemplo 1: Verifique, atravs do mtodo da negao (ou absurdo) se a

frmula G, abaixo, vlida:G = ((A B) (B C)) (A C)

EXERCCIOS

1) Construir uma rvore semntica para as frmulas F, G e H, abaixo, e verificar se so vlidas. Caso a frmula no seja vlida, diga para que interpretao I a frmula tem valor lgico falso.

a) F = (P (P Q)) (P Q)b) G = ~(P Q) ~P c) H = ((A B) (A C)) A

2) Mostre que o argumento (S (~C ~Q)) (~C Q) ~S vlido, usando o mtodo da rvore semntica.

4.2.3 Mtodo da negao (ou absurdo)

Esse um mtodo geral de demonstrao. Ser utilizado nesse contexto para provar se uma fbf uma tautologia.

Suponha que se quer provar a validade de uma frmula H. Procura-se demonstrar, a princpio, que H falsa. Recorrendo a uma srie de dedues, pode-se chegar concluso que, de fato, H falsa, ou pode-se chegar a um absurdo.

Na hiptese de se concluir que H falsa, est provado que a frmula no uma tautologia.

Quando se tenta provar que H falsa e se chega a um absurdo, conclui-se que H uma tautologia. Dizendo de outra forma: se absurdo dizer que H falsa, porque H no falsa, H vlida, uma tautologia.


70

Para que o antecedente do conectivo principal, que a conjuno , seja verdadeiro, as expresses esquerda e direita deste devem ser, ambas, verdadeiras. Na situao acima, depende-se do valor de B para se tirar uma concluso. Para que a expresso A B resulte em V, com A sendo V, B teria que ter valor V. J a expresso B C s resulta em V se B tiver valor F. Todavia, um absurdo atribuir valor verdadeiro e falso a B,

. No h como provar que G tem valor lgico falso.

Concluso:Dizer que G falso um absurdo logo, G vlida. G uma

tautologia.

ao mesmo tempo

O primeiro passo para a soluo identificar o conectivo principal, aquele que ser analisado por ltimo e atribuir valor falso a esse conectivo:

Sendo o conectivo principal um condicional, o nico caso em que ser falso quando o antecedente verdadeiro e o conseqente falso. Faz-se essa suposio:

V F FComo o conseqente uma expresso mais simples que o

antecedente, faz-se primeiro sua anlise. Este ser falso, somente quando seu antecedente for V e o conseqente for F. Assim, atribui-se valor V proposio A e F proposio C. Depois, atribui-se esses mesmos valores s demais ocorrncias das proposies A e C, na frmula, obtendo-se a situao:

V V F F V F F

G = ((A B) (B C)) (A C) F

G = ((A B) (B C)) (A C)

G = ((A B) (B C)) (A C)


71

O bicondicional resulta em falso em duas situaes: quando o termo esquerda falso e o da direita verdadeiro ou quando a situao inversa, o termo da esquerda verdadeiro e o da direita falso. Faz-se necessrio testar as duas situaes.

Poissibilidade 1: H = V F FAs expresses direita e esquerda so ambas

condicionais. H trs possibilidades de um condicional ser verdadeiro e uma de ser falso. Por esse motivo, inicia-se pelo lado direito, onde, para o antecedente ser verdadeiro e o consequente falso, P deve ter valor F e Q ter valor V. Aplicando

(P Q) (~P ~Q)

Ausncia de absurdo

Ao se tentar negar uma frmula que se supe, inicialmente, verdadeira pode-se no chegar a nenhum absurdo. Em outras palavras, pode-se chegar concluso de que, para uma determinada interpretao I, a frmula falsa. Nesse caso, pode-se afirmar que a mesma no vlida, que no uma tautologia. Entretanto, no se pode dizer que uma contradio ou que apenas satisfatvel.

Exemplo 2:Verificar se a frmula H = (P Q) (~P ~Q)

SoluoTenta-se provar que H falsa. Para tal, atribui-se o valor

lgico falso ao conectivo principal, aquele que ser avaliado por ltimo. V-se que .

H = F

(P Q) (~P ~Q)


72

EXERCCIOS

1. Verificar, usando o mtodo da negao ou absurdo, se os argumentos abaixo so vlidos:

a) G = A B ~Ab) Se Luiz o presidente, ele est feliz. Luiz est feliz.

Portanto, ele o presidente.c) H = ((A B) (A C)) A

esses valores expresso esquerda do bicondicional, chega-se concluso que esta verdadeira:

H = F V V F VF F FV

no se chegando a nenhum absurdo, provando que H falsa para a interpretao I[P] = F e I[Q] = V. Essa concluso j suficiente para afirmar que a frmula no vlida.

Para completar a anlise, vejamos a outra situao.

Possibilidade 2: H = F F V

Desta feita, aconselhvel comear pela subfrmula do lado esquerdo, obtendo os valores P verdadeiro e Q falso. Concluindo a anlise no se chega a nenhum absurdo, reforando o resultado j obtido de que H no vlida.

Poissibilidade 2: H = V F F F FV V VF

(P Q) (~P ~Q)

(P Q) (~P ~Q)

(P Q) (~P ~Q)

73


4.2.4 Deduo lgica


74

A Lgica dispe de duas ferramentas que podem ser utilizadas pelo pensamento na busca de novos conhecimentos: a deduo e a induo, que do origem a dois tipos de argumentos: Dedutivos e Indutivos.

Os Argumentos Dedutivos pretendem que suas premissas forneam uma prova conclusiva da veracidade da concluso.

Podem ser: Vlidos: quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem

provas convincentes para a concluso. Isto , se as premissas forem verdadeiras, impossvel que a concluso seja falsa;

Invlidos: no se verifica a caracterstica anterior.

Exemplos de argumentos dedutivos:

Ela toca piano ou violo.Ela toca piano. Argumento InvlidoLogo, ela no toca violo.

Todo homem mortal.Scrates um homem. Argumento VlidoLogo, Scrates mortal.

Os Argumentos Indutivos no pretendem que suas premissas forneam provas cabais da veracidade da concluso, mas apenas que forneam indicaes dessa veracidade. (possibilidade, probabilidade)

Seguem do Raciocnio Indutivo, isto , obtm concluses baseada em observaes/experincias. Enquanto que um Raciocnio Dedutivo exigi uma prova formal sobre a validade do argumento.


75

Os termos vlidos e invlidos no se aplicam para os argumentos indutivos. Eles so avaliados de acordo com a maior ou a menor probabilidade com que suas concluses sejam estabelecidas.

Exemplo1:

Joguei uma pedra no lago, e ela afundou; Joguei outra pedra no lago e ela tambm afundou; Joguei mais uma pedra no lago, e ela tambm afundou; Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vai afundar.

Exemplo2:

A vacina funcionou bem nos ratos.A vacina funcionou bem nos macacos. Logo, vai funcionar bem nos humanos.Exemplo

((CD) C)) ((CD) D)1. ((CD) C)) HIP2. (CD) HIP3.C 1,2 MP4.D 1,2 MP

4.2.4.1 Regras de deduo

As regras de deduo so de dois tipos: regras de equivalncia e regras de inferncia.

Para testar se um argumento do tipo P1 P2 P3 P4 ... Pn Q uma tautologia, pode-se usar um sistema de regras de deduo, que modifica uma fbf preservando seu valor lgico.

A prova por deduo supe que as premissas so todas verdadeiras e segue uma seqncia de demonstrao at verificar que a concluso verdadeira.

Uma uma seqncia de fbf, na qual cada fbf uma hiptese ou obtida atravs da aplicao, s fbf anteriores, de uma das regras de deduo do sistema formal.

Uma seqncia de demonstrao para provar que Q uma concluso vlida numa fbf do tipo P1 P2 P3 P4 ... Pn Q, tem o formato:

P1 hiptese P2 hipteseP3 hiptese...Pn hiptesefbf1 deduzida de uma ou mais das fbf anteriores, por

uma regra de deduofbf2 deduzida de uma ou mais das fbf anteriores, por

uma regra de deduofbf3 deduzida de uma ou mais das fbf anteriores, por

uma regra de deduo...Q deduzida de uma ou mais das fbf anteriores, por

uma regra de deduo

seqncia de demonstrao


76

Frmula Equivale a Nome/abreviao da regra P Q P Q

Q P Q P Comutativa com

(P Q) R (P Q) R

P (Q R) P (Q R) Associatividade - ass

~(P Q) ~(P Q)

~P ~Q ~P ~Q Leis de De Morgan

P Q ~P Q Condicional cond P ~(~P) Dupla negao dn P Q (P Q) (Q P) Definio de Equivalncia - equi

Tabela 4 - Regras de equivalncia

Regras de inferncia:

De Podemos deduzir Nome da regra P, P Q Q Modus ponens mp P Q, ~Q ~ P Modus tollens mt P, Q P Q Conjuno conj P Q P, Q Simplificao - simp P P Q Adio ad

Tabela 5 - Regras de inferncia

Regras de equivalncia permitem substituir uma fbf por outra equivalente, sem mudar o valor lgico da frmula.

Relembrando equivalncia lgica, dizer que R S (R equivale logicamente a S) tem o mesmo significado de R S uma tautologia.

Embora seja possvel adotar muitas equivalncias lgicas num sistema formal de regras de deduo, ser adotado um conjunto mnimo de regras de equivalncia e de inferncia, de modo que o sistema lgico formal seja correto (os argumentos demonstrveis so vlidos) e completo (todos os argumentos vlidos devem ser demonstrveis).

Regras de equivalncia


77

Caso se tenha uma frmula constante da primeira coluna da tabela de , pode-se substituir essa frmula pela sua correspondente na segunda coluna, sem que o valor da frmula seja alterado, da mesma forma que uma frmula da segunda coluna pode ser substituda pela sua correspondente da primeira coluna.

Exemplo: A frmula P Q equivalente frmula ~P Q Uma maneira de provar a equivalncia lgica (P Q)

(~P Q) fazer a tabela verdade para (P Q) (~P Q) e verificar que uma tautologia.

Outra forma de fazer essa verificao, analisar a tabela verdade do condicional:

regras de equivalncia

P Q P Q V V V V F F F V V F F V

Observa-se que I[P Q] = V em trs situaes de P e Q em conjunto. Por outro lado, observando as interpretaes de P e de Q separadamente, v-se que quando I[P] = F, I[P Q] = V e que quando I[Q] = V, tambm I[P Q] = V. Mas I[P] = F significa que I[~P] = V. Dessa forma possvel afirmar que quando P Q for verdadeiro, ~P ou Q ser verdadeiro, ou, ainda, sabendo que ~P verdadeira ou que Q verdadeira (basta uma ser verdadeira) a implicao P Q tambm ser verdadeira.

As no podem ser utilizadas da mesma forma.

Voltando-se tabela verdade do condicional mais uma vez, percebe-se que P e P Q tm ambas valor lgico verdadeiro

regras de inferncia


78

somente na primeira linha da tabela, e nessa situao Q tambm tem valor lgico verdadeiro.

Sempre que se saiba que uma proposio P verdadeira e outra proposio P Q tambm verdadeira pode-se inferir que a proposio Q tambm o .

Voltando tabela verdade, verifica-se que Q e P Q so ambas verdadeiras em duas situaes: na primeira linha, quando P tambm verdadeira e na terceira linha, quando P falsa.

Concluso: sabendo-se que Q e P Q so ambas verdadeiras nada se pode afirmar sobre o valor de P, j que P tanto pode ter valor lgico V quanto F.

Por esse motivo, conhecendo-se o valor verdade de uma frmula da primeira coluna da tabela de regras de inferncia, pode-se concluir pelo valor da frmula correspondente, constante da segunda coluna. Entretanto, conhecendo-se o valor de uma frmula da segunda coluna NO possvel deduzir o valor da frmula da primeira coluna, como acontece com as regras de equivalncia.

Exemplo 1:Utilizando deduo lgica, prove a validade do argumento:

(A C) (C D) A D

O primeiro passo identificar as hipteses: Tem-se trs hipteses (que representam premissas), as

quais esto ligadas pelo conectivo e, e uma concluso, que C.

A prova por deduo consiste em supor que as hipteses so verdadeiras e procurar concluir que a concluso tambm o , o que torna o argumento vlido.

Identificadas as hipteses, relacionam-se as mesmas em um coluna, enumerando os passos da deduo e, ao lado, anota-


79

Aps essa concluso tem-se 4 fbf verdadeiras. Percebe-se que a partir das fbf 2 e 4, novamente usando a regra

possvel concluir que D verdadeira, concluindo a deduo:

modus ponens,

se o significado, ou como foi obtida a fbf constante da primeira coluna:

1. A C hip (Hiptese. suficiente a abreviatura)2. C D hip3. A hip

O objetivo provar que D (a concluso) verdadeira. D est na segunda hiptese. Observando as regras de equivalncia e de inferncia no possvel concluir pelo valor de D diretamente. Porm, h uma regra de inferncia que permite concluir pelo valor de C: o . Essa regra diz que, se o antecedente de uma implicao e a prpria implicao so verdadeiras, ento pode-se inferir que o conseqente dessa implicao tambm verdadeiro. Tem-se, pela hiptese 1 que A C verdadeira e na hiptese 3 que A antecedente da fbf da hiptese 1 tambm verdadeira. Assim, deduz-se que C tambm verdadeira. Esse o passo 4 da deduo:

1. A C hip 2. C D hip3. A hip4. C 1, 3 mp (que significa: da hiptese 1 e da 3,

atravs da regra , concluo que C tambm verdadeira).

modus ponens

modus ponens


80

A conjuno s verdadeira quando ambas as componentes o so. A regra de inferncia simplificao foi criada partindo desse pressuposto: sabendo que a conjuno verdadeira, conclui-se que uma componente e tambm a outra so verdadeiras.

1. A C hip 2. C D hip3. A hip

Exemplo 2:Atravs de deduo lgica, provar que o argumento abaixo

vlido:

(A (B C)) A C

Verifica-se que existem duas hipteses e o objetivo provar que C verdadeira.

1. A (B C) hip2. A hip

conhecido o valor da implicao (hiptese 1) e do antecedente desta (hiptese 2). Por conclui-se pelo conseqente. Observar que na tabela 5, a regra genrica. Em P, P Q, P pode ser uma fbf com mais de uma proposio simples, da mesma forma que Q. Nesse ltimo exemplo o conseqente, B C, corresponde ao Q da tabela:

1. A (B C) hip2. A hip3. B C 1, 2 mp

modus ponens


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Relembrando a tabela verdade da conjuno:

P Q P Q V V V V F V F V V F F F

1. A (B C) hip2. A hip3. B C 1, 2 mp4. B, C 3, simp

Provando que C verdadeira e, portanto, que o argumento vlido.

Obs.: O passo 4 significa que B verdadeira e tambm C verdadeira. Embora no seja necessrio, no estaria errado desmembr-lo em dois:

4. B 3, simp5. C 3, simp.

Exemplo 3:Provar a validade do argumento abaixo, usando deduo

lgica:((A ~B) C) (C D) A D

1. (A ~B) C hip2. C D hip3. A hip

Foram levantadas trs hipteses e o objetivo provar que a concluso, D, verdadeira. A princpio no h nenhuma regra que permita tirar concluses a par

logica de computacao para lei (1)

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