CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO MARANHÃO DIRETORIA DE ENSINO SUPERIOR – DESU

NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA – NUEAD UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL – UAB

MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO

Barra do Corda 2009

2

SUMÁRIO

MODULO I - FUNDAMENTOS DE LÓGICA MATEMÁTICA.............................. 4 Capitulo 1 Introdução ao Estudo da Lógica Formal............................................ 5

1.1. Caracterização e Histórico da Lógica ...................................................... 5 1.2. Conceito de Proposição........................................................................... 6 1.3. Valores Lógicos das Proposições............................................................ 7 1.4. Classificação das Proposições ................................................................ 8 1.5. Valor Lógico de Proposições Compostas ................................................ 9 1.6. Operações Lógicas................................................................................ 10

1.6.1. Negação.......................................................................................... 10 1.6.2. Conjunção ....................................................................................... 11 1.6.3. Disjunção ........................................................................................ 13 1.6.4. Condição ......................................................................................... 14 1.6.5. Bicondição....................................................................................... 16

1.7. Fórmulas bem Formuladas e Tabelas-Verdade..................................... 18 1.8. Tautologias, Contradições e Contingências........................................... 23 1.9. Disjunção Exclusiva............................................................................... 25

Leitura Complementar...................................................................................... 26 Capítulo 2 Cálculo Proposicional...................................................................... 33

2.1. Conceito de Argumento – Argumentos Válidos ..................................... 33 2.2. Equivalência Lógica e Implicação Lógica .............................................. 36 2.3. Dedução no Cálculo Proposicional ........................................................ 39

Capítulo 3 Lógica de Predicados...................................................................... 48 3.1. Predicados e Quantificadores................................................................ 48 3.2. Domínio de Interpretação de uma Expressão Predicativa – Valores Lógicos ......................................................................................................... 52 3.3. Fórmulas Predicativas: Tradução e Validade ........................................ 53 3.4. Dedução na Lógica de Predicados ........................................................ 56

3.4.1. Particularização Universal (PU)....................................................... 57 3.4.2. Particularização Existencial (PE)..................................................... 58 3.4.3. Generalização Universal (GU) ........................................................ 59 3.4.4. Generalização Existencial (GE)....................................................... 59

Leitura Complementar...................................................................................... 62 MODULO II TEORIA DOS CONJUNTOS E FUNÇÕES .................................. 67 Capitulo 4 - Introdução à Teoria dos Conjuntos ............................................... 68

4.1. Noção Intuitiva de Conjunto e Relações de Pertinência ........................ 68 4.2. Alguns Conjuntos Especiais .................................................................. 70 4.3. Relações entre Conjuntos...................................................................... 71

4.3.1. Relação de Continência .................................................................. 71 4.3.2. Igualdade de Conjuntos .................................................................. 72 4.3.3. Conjunto Universo........................................................................... 72

4.4. Diagramas de Venn ............................................................................... 74 4.5. Conjuntos Numéricos............................................................................. 77

4.5.1. Conjunto dos Números Naturais ..................................................... 77 4.5.2. Conjunto dos Números Inteiros....................................................... 77 4.5.3. Conjunto dos Números Racionais ................................................... 78 4.5.4. Conjunto dos Números Irracionais .................................................. 79 4.5.5. Conjunto dos Números Reais ......................................................... 79 4.5.6. Conjunto dos Números Complexos................................................. 81

3

Capítulo 05 Álgebra dos Conjuntos.................................................................. 87 5.1. União de Conjuntos ............................................................................... 87 5.2. Interseção de Conjuntos ........................................................................ 89 5.3. Complemento de um Conjunto – Diferença ........................................... 90 5.4. Conjunto das Partes .............................................................................. 93 5.5. Produto Cartesiano................................................................................ 94 5.6. Identidades de Conjunto ........................................................................ 96 5.6.1. Dualidade............................................................................................ 98 5.7. Conjuntos finitos e princípio da enumeração ......................................... 99

Tópico Extra: Diferença Simétrica .................................................................. 103 Capitulo 06 Estudo das Funções.................................................................... 108

6.1. Noções sobre Relações....................................................................... 108 6.2. Conceitos Introdutórios sobre Funções ............................................... 113

6.2.1. Propriedades das Funções ........................................................... 119 6.2.2. Composição de Funções............................................................... 122 6.2.3. Funções Inversas.......................................................................... 124

6.3. Funções Matemáticas.......................................................................... 126 6.3.1. Funções Floor e Ceiling ................................................................ 126 6.3.2. Funções Valor Inteiro e Valor Absoluto ......................................... 127 6.3.3. Função Resto................................................................................ 127 6.3.4. Função Exponencial e Função Logarítmica .................................. 128

Referências .................................................................................................... 136

4

MODULO I - FUNDAMENTOS DE LÓGICA MATEMÁTICA Objetivos

- Compreender a lógica em seu contexto histórico; - Reconhecer e trabalhar com os símbolos que são usados nas

lógicas, proposicional e de predicados; - Determinar o valor lógico de uma expressão na lógica

proposicional; - Verificar se argumento sentencial é válido; - Manipular tabelas-verdade; - Verificar se uma sentença é tautologia, contradição ou

contingência; - Utilizar a lógica de predicados para representar sentenças; - Determinar o valor lógico de alguma interpretação de uma

expressão na lógica de predicados; - Utilizar o método dedutivo para demonstrar a validade de

argumentos na lógica proposicional e na lógica de predicados. Conteúdo

- Introdução ao Estudo da Lógica Formal - Lógica Proposicional - Lógica de Predicados

5

Capitulo 1 Introdução ao Estudo da Lógica Formal

O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no raciocínio, na compreensão de conceitos básicos, na verificação formal de programas e melhor os prepara para o entendimento do conteúdo de tópicos mais avançados.

(Celina Abar, 1999) Por ter relação direta com a Ciência da Computação, o estudo da Lógica mostra-se indispensável ao estudante da área de Informática. São várias as possibilidades de aplicações diretas do raciocínio lógico-matemático: desde linguagens de programação mais simples até resolução de problemas com Inteligência Artificial. Todo o fundamento da computação tem suas raízes na matemática, uma vez que esta é quem possibilita à Ciência a formalização de vocabulários e notações com alto poder de definição. Também é graças à matemática que podemos fazer abstrações e raciocínios precisos e rigorosos. Tudo isto só é possível devido ao uso da lógica para entendimento do raciocínio matemático, sendo utilizados princípios que possibilitam a distinção entre raciocínios válidos e outros não válidos. Neste capitulo serão apresentados os conceitos básicos da lógica matemática, cujo domínio é essencial para estudos futuros sobre linguagens de programação, teoria da computação, sistemas digitais e inteligência artificial.

1.1. Caracterização e Histórico da Lógica Há na literatura inúmeras definições para a Lógica, dentre as quais destacamos:

“a lógica é o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar.”

(WIKIPEDIA, 2009)

“A Lógica é o estudo dos processos válidos e gerais pelos quais atingimos a verdade [...] É a ciência das leis do pensamento.”

(FONTES, 2008) Percebemos pelas definições apresentadas que a Lógica é o estudo das leis gerais do pensamento e as diferentes maneiras de aplicar corretamente essas leis na investigação da verdade. Em outras palavras, podemos dizer que a Lógica é a ciência dos argumentos, ou seja, ela trata das conclusões a que chegamos a partir das evidências que as sustentam. De maneira mais geral, é possível dizer que a Lógica é “o estudo do raciocínio” (D’OTAVIANO; FEITOSA, 2003). A Lógica teve seu início com Aristóteles, no século IV a.C., como uma ciência dedicada ao estudo dos atos do pensamento a partir de sua estrutura ou forma lógica, sem levar em consideração qualquer conteúdo material (FONTES, 2008). Em termos mais simples, diz formas de raciocínio

6

através das quais seria possível a obtenção de novos conhecimentos a partir de conhecimentos já existentes e que fossem considerados verdadeiros. É o chamado método dedutivo ou, simplesmente, dedução. As principais contribuições de Aristóteles para a lógica estão em sua obra Organon, na qual são destacados os pontos centrais da lógica aristotélica: a lei da não contradição, o princípio do terceiro excluído e a teoria dos silogismos, que trata dos enunciados categóricos. Esses princípios são considerados válidos até os dias atuais e constituem as bases da chamada lógica formal. As principais críticas à Lógica Aristotélica surgiram por volta do século XVI, oriundas de filósofos como Francis Bacon (1561– 1626) e René Descartes (1596 - 1650). Bacon lançou as bases para a formalização do método na obtenção de uma conclusão geral a partir de um conjunto de fatos conhecidos, mediante observação. Em outras palavras, a indução consiste em afirmar acerca de todos, aquilo que foi observado em alguns. Nesta época, a lógica formal um período de descrédito, mas, apesar disso, continuou motivando muitas pesquisas, a partir das quais surgiram novas teorias sobre o raciocínio. A maior revolução sofrida pela lógica ocorreu em meados do século XIX, quando estudiosos como Boole e Bertrand Russel conceberam uma maneira de converter a lógica numa álgebra. Tendo a matemática como modelo, eles formalizaram uma linguagem simbólica para expressar o pensamento lógico. Foi o surgimento da lógica matemática ou simbólica. A partir de então, o raciocínio passou a ser visto como cálculo matemático. Ao longo do século XX, a lógica atingiu elevado grau de formalização. Atualmente, já dispomos de um poderoso sistema de símbolos e regras de combinação de símbolos que nos possibilita obter conclusões válidas (FONTES, 2008).

1.2. Conceito de Proposição O primeiro conceito que é preciso dominar para compreender as estruturas da lógica formal é o de proposição, também chamada de sentença. Uma proposição ou sentença é qualquer oração que pode ser avaliada como verdadeira ou falsa. As proposições constituem o alicerce das estruturas fundamentais da Lógica Matemática, que, por sua vez, é fundamentada em dois princípios básicos (ou axiomas) (ALENCAR FILHO, 2002): 1º) PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO: uma proposição nunca será verdadeira e falsa simultaneamente. 2º) PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: uma proposição sempre assume um dos valores lógicos: ou é verdadeira ou é falsa.

7

Além desses princípios básicos, podemos afirmar que toda proposição, por ser uma oração, possui sujeito e predicado, além de sempre ser uma oração declarativa (IEZZI; MURAKAMI, 1993). Exemplo 1.1 – Proposições Considere as seguintes orações: a) Cinco é menor que oito. b) Como é o seu nome? c) Ai, que susto! d) Sete menos três. e) Vá dormir. A frase (a) é uma proposição, pois é possível definir que ela é verdadeira. As frases (b) e (c) não podem ser avaliadas como verdadeira ou falsa, portanto não são proposições. Note que a frase (b) é uma pergunta e a frase (c) é uma exclamação. Quanto à frase (d), nota-se que ela não possui predicado, por isso ela também não constitui uma proposição. A frase (e) também não assume nenhum valor lógico e, portanto, não é uma proposição. Auto Avaliação 1.1 Analise as orações seguintes e diga quais delas são proposições. 1. Que horas são? 2. Cristóvão Colombo descobriu o Brasil. 3. A raiz quadrada de 25 é 5. 4. Realize suas tarefas com atenção. 5. Não se desespere, este exercício é muito fácil!

1.3. Valores Lógicos das Proposições O valor lógico de uma proposição está diretamente associado ao resultado de sua avaliação como verdadeira ou falsa. Neste caso, dizemos que o valor lógico verdade (V) está associado às proposições verdadeiras, assim como o valor falsidade (F) está vinculado às proposições falsas. Lembre-se: Pelos princípios da não contradição e do terceiro excluído, toda proposição possui UM, e apenas UM, dos valores lógicos (V ou F). Exemplo 1.2 – Valores Lógicos das Proposições Considere as seguintes proposições: a: O Brasil é dividido em cinco regiões. b: Santos Dumont é o pai da Informática. O valor lógico da proposição (a) é a verdade (V) e o valor lógico da proposição (b) é a falsidade (F).

8

As representações simbólicas destes valores são respectivamente: V(a) = V e V(b) = F Auto Avaliação 1.2 Determine o valor lógico de cada uma das proposições seguintes. 1. A cor do cavalo branco de Napoleão é branca. 2. Imperatriz é a Capital do Maranhão. 3. A raiz quadrada de 16 é menor que a metade de 10. 4. O Brasil é uma República Presidencialista. 5. A metade de 5 menos 2 é um número inteiro positivo.

1.4. Classificação das Proposições As proposições do Exemplo 1.2 são ditas proposições simples ou atômicas, uma vez que não é possível decompô-las em proposições mais simples. Existem, ainda, proposições mais complexas, chamadas de proposições compostas ou moleculares, formadas por duas ou mais proposições simples ligadas por meio de conectivos lógicos. São cinco os conectivos lógicos: E – OU – NÃO – SE ... ENTÃO – SE, E SOMENTE SE Exemplo 1.3 – Proposições Compostas Nas proposições seguintes, os conectivos estão destacados. a) Pelé é brasileiro e Maradona é argentino. b) Windows não é um software livre. c) Vou à praia ou ao cinema. d) Se eu estudar, então serei aprovado em Matemática para Computação. e) Serei aprovado em Matemática para Computação se, e somente se, eu estudar. Em geral, as proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas e as proposições compostas por letras latinas maiúsculas. Assim, podemos representar a proposição Pelé é brasileiro pela letra a e a proposição Maradona é argentino pela letra b, por exemplo. A proposição composta, Pelé é brasileiro e Maradona é argentino podem ser representados A e escrita da seguinte maneira: A: Pelé é brasileiro e Maradona é argentino. Antes de passar para o próximo tópico, tente responder a pergunta abaixo.

9

Pare e Reflita Como determinar o valor lógico de uma proposição composta?

1.5. Valor Lógico de Proposições Compostas Sabemos, pelo princípio do terceiro excluído, que uma proposição simples p ou é verdadeira ou é falsa. Os possíveis valores lógicos de uma proposição simples podem ser representados, por meio de uma tabela ou como uma árvore de possibilidades, conforme ilustração a seguir.

O valor lógico de uma proposição composta é definido em função dos valores lógicos das proposições simples que a compõe e levando-se em consideração os conectivos empregados. Para facilitar este cálculo, utiliza-se uma estrutura conhecida como tabela-verdade.

“Uma tabela-verdade é uma tabela que descreve os valores lógicos de uma proposição em termos das possíveis combinações dos valores lógicos das proposições componentes e dos conectivos usados.”

Menezes (2008) Exemplo 1.4 – Tabela Verdade Considerando-se uma proposição composta formada pelas proposições simples a e b, os possíveis valores lógicos de a e b são representados numa tabela verdade.

a b 1 V V 2 V F 3 F V 4 F F

Observe que a tabela mostra todas as combinações possíveis de valores lógicos para a e b: VV, VF, FV e FF. Note, ainda, que os valores estão dispostos na tabela de acordo com a seguinte árvore de possibilidades:

10

Para cada possibilidade de valor da proposição a, devem ser associadas todas as possibilidades para a proposição b. Auto Avaliação 1.3 Considere as seguintes proposições simples: p: A raiz quadrada de 9 é igual 3. q: 5 menos 2 é igual a 3. r: O dobro de 1,5 é igual a 3. Deseja-se formar uma proposição composta S utilizando-se as proposições p, q e r. Monte uma árvore de possibilidades e escreva a tabela-verdade com todas as combinações possíveis de valores lógicos para p, q e r. Agora que você já sabe como representar numa tabela-verdade as possíveis combinações de valores lógicos para um conjunto de proposições simples, podemos prosseguir e analisar de que forma os conectivos interferem na definição do valor lógico de uma proposição composta. Os conectivos estão associados a operações lógicas, as quais são realizadas sobre as proposições e obedecem a algumas regras. Na Tabela 1, são mostradas as operações lógicas, com seus respectivos operadores (conectivos) e símbolos.

Tabela 1: Operações e Operadores Lógicos Operação Operador Símbolo Negação NÃO ¬

Conjunção E ∧ Disjunção OU ∨

Condicional SE ... ENTÃO → Bicondicional SE, E SOMENTE SE ↔

O detalhamento de cada uma dessas operações é dado a seguir e o seu entendimento é essencial para o estudo e compreensão da Lógica Matemática.

1.6. Operações Lógicas

1.6.1. Negação Podemos utilizar o conectivo NÃO (¬) para formar uma nova proposição, cujo valor lógico é oposto ao da proposição original. Se tivermos uma proposição p, sua negação será ¬p. Caso o valor lógico de p seja V, o valor de ¬p será F, e vice versa. A representação desta operação na tabela-verdade é a seguinte:

11

Exemplo 1.5 – Negação Sejam as proposições: a: A capital do Maranhão é São Luís. b: Todos os alunos de Licenciatura em Informática aprenderão Lógica. c: Existem alunos estudiosos. A negação da proposição (a) é definida com o uso do advérbio NÃO. Desta forma: ¬a: A capital do Maranhão não é São Luís. É possível, ainda, escrever a negação de (a) da seguinte forma: É falso que a capital do Maranhão é São Luís. As demais proposições deste exemplo exigem um pouco mais de atenção. A negação de b (¬b) seria: Nem todos os alunos de Licenciatura em Informática aprenderão Lógica ou Existem alunos de Licenciatura em Informática que não aprenderão Lógica, ou, ainda, Há alunos de Licenciatura em Informática que não aprenderão Lógica. Quanto a proposição (c), sua negação (¬c) pode ser escrita da seguinte forma: Não existem alunos estudiosos ou Todos os alunos não são estudiosos.

1.6.2. Conjunção Com o uso do conectivo E (∧) é possível ligar duas proposições, formando uma nova proposição chamada conjunção, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ambas as proposições que a compõem forem verdadeiras. Deste modo, p ∧ q (lê-se “p e q”) é a conjunção das proposições p e q e tem como valor lógico a verdade quando os valores de p e de q forem simultaneamente a verdade. A representação desta operação na tabela-verdade é a seguinte:

Para melhor entendimento, acompanhe a seguinte situação: A empresa fictícia SoftHard abriu uma vaga para programador de sistemas, com a exigência de que os candidatos soubessem programar em C e em Java. Desta situação podem ser extraídas duas proposições:

12

p: O candidato sabe programar em C. q: O candidato sabe programar em Java. Suponha que quatro candidatos se apresentaram para a seleção: João, que programa em C e em Java; Marcos, que programa em C, mas não programa em Java; Ari, que não programa em C, mas programa em Java e Simone, que não programa nem em C nem em Java. Você certamente já sabe quem será classificado, pois a exigência da empresa é bem clara. Note que tal exigência é representada por uma conjunção: o candidato deve programar em C E em Java. Portanto, com o uso da tabela-verdade da conjunção é possível determinar, com exatidão, quem será contratado pela empresa. Assim, temos:

João, que sabe programar em C (p = V) e sabe programar em Java (q = V), poderá ser contratado, pois atende simultaneamente às duas exigências (p ∧ q = V). Marcos, que sabe programar em C (p = V) e não sabe programar em Java (q = F), não pode ficar com a vaga, pois só atende a uma das exigências (p ∧ q = F). Da mesma forma, Ari não será contratado, pois não sabe programar em C (p = F), mesmo sabendo programar em Java (q = V). Simone também não poderá ser contratada, pois não programa nem em C (p = F) nem em Java (q = F). Uma conjunção só é verdade quando ambas as proposições que a compõe forem simultaneamente verdade. Exemplo 1.6 – Conjunção Sejam as proposições: a: Lula é brasileiro. b: O Maranhão pertence ao Paraguai. a ∧ b: Lula é brasileiro e o Maranhão pertence ao Paraguai. c: 5 – 3 = 2 d: 10 é um número par. c ∧ d: 5 – 3 = 2 e 10 é um número par. A conjunção a ∧ b tem como valor lógico a falsidade. Observe:

13

V(a) = V e V(b) = F, portanto V(a ∧ b) = V(a) ∧ V(b) = V ∧ F = F

A conjunção c Ù d tem como valor lógico a verdade. Observe:

V(c) = V e V(d) = V, portanto V(c ∧d) = V(c) ∧ V(d) = V ∧ V = V

1.6.3. Disjunção Quando usamos o conectivo OU (∨) é possível ligar duas proposições para formar uma terceira proposição denominada disjunção, cujo valor lógico é a falsidade quando ambas as proposições que a compõe forem simultaneamente falsas. Assim, p ∨ q (lê-se “p ou q”) é disjunção das proposições p e q e tem como valor lógico a falsidade se p e q assim o forem simultaneamente. A representação desta operação na tabela-verdade é a seguinte:

Considere que a empresa SoftHard modificou a exigência para a contratação do programador de sistemas. Agora, os candidatos devem programar em C ou programar em Java. Neste caso, a definição de quem será contratado é baseada na operação lógica disjunção, cujos operandos são: p: O candidato sabe programar em C q: O candidato sabe programar em Java A tabela-verdade para este caso é a seguinte:

Neste caso, João poderá ser contratado (p ∨ q = V), pois sabe programar em C (p = V) e também em Java (q = V). Marcos, que programa em C (p = V), apesar de não programar em Java (q = F), poderá ser contratado (p ∨ q = V), pois é bastante programar em pelo menos uma das duas linguagens, conforme a exigência da empresa. Do mesmo modo, Ari, que não programa em C (p = F), mas programa em Java (q = V) também poderá ser contratado (p ∨ q

14

= V). Apenas Simone não seria contratada (p ∨ q = F), pois não programa nem em C (p = F) nem em Java (q = F). Uma disjunção só é uma falsidade quando ambas as proposições que a compõe forem simultaneamente uma falsidade. Exemplo 1.7 – Disjunção Sejam as proposições: a: Gonçalves Dias é um poeta maranhense. b: A lua é quadrada. a ∨ b: Gonçalves Dias é um poeta maranhense ou a lua é quadrada. c: 5 – 3 > 2 d: 10 é um número primo. c ∨ d: 5 – 3 > 2 ou 10 é um número primo. A disjunção a ∨ b tem como valor lógico a verdade. Observe:

V(a) = V e V(b) = F, portanto V(a ∨ b) = V(a) ∨ V(b) = V ∨ F = V A disjunção c ∨ d tem como valor lógico a falsidade. Observe:

V(c) = F e V(d) = F, portanto V(c ∨ d) = V(c) ∨ V(d) = F ∨ F = F

1.6.4. Condição Dadas duas proposições p e q, é possível escrever uma nova proposição p → q (lê-se “se p então q” ou “p implica q”), chamada condição ou implicação, onde p é chamado antecedente e q conseqüente, e cujo valor verdade é a falsidade quando p for uma verdade e q uma falsidade. Existem outras maneiras de expressar p → q em linguagem natural, como: “p é condição suficiente para q”, “p somente se q”, “q é condição necessária para p” ou “p é conseqüência de q”. Por exemplo, a proposição “Uma alimentação equilibrada é uma condição necessária para uma vida saudável” pode ser reescrita da seguinte maneira “Uma vida saudável é conseqüência de uma alimentação equilibrada” ou ainda, “Se tens uma vida saudável, então tens uma alimentação equilibrada”. Note que o antecedente é “uma vida saudável” e o conseqüente é “uma alimentação equilibrada”. A tabela-verdade da condição é a seguinte:

15

Para o entendimento desta operação, considere que um amigo de faculdade fez a seguinte afirmação: “Se eu passar em todas as disciplinas que estou cursando este semestre, vou para Barreirinhas curtir as férias.” Desta afirmação, podem ser retiradas duas proposições: p: Se eu passar em todas as disciplinas que estou cursando este semestre. q: Vou para Barreirinhas curtir as férias. Caso seu amigo realmente seja aprovado em todas as disciplinas do semestre (p = V) e viaje para Barreirinhas (q = V), a afirmação foi uma verdade (p → q = V). Se ele, entretanto, for aprovado em todas as disciplinas (p = V) e não viajar (q = F), a afirmação consistiu numa falsidade (p → q = F). Agora, supondo que ele tenha ficado reprovado (p = F), independente de ele ter ido (q = V) ou não (q = F) a Barreirinhas, não podemos dizer que a afirmação é falsa, pois ele nada afirmou quanto a ficar reprovado. Em qualquer destes casos a afirmação é tida como verdade (p → q = V). A proposição p → q, é uma verdade se p e q forem simultaneamente verdade ou se p for uma falsidade. Caso p seja uma verdade e q uma falsidade, p → q será uma falsidade. Exemplo 1.8 – Condição Sejam as proposições: a: O relógio marca as horas. b: Grande parte da Amazônia Legal fica no Brasil. a → b: Se o relógio marca as horas, então grande parte da Amazônia Legal fica no Brasil. c: Machado de Assis escreveu Dom Casmurro. d: 10 é um número primo. c → d: Se Machado de Assis escreveu Dom Casmurro, então 10 é um número primo. e: O Brasil foi colonizado pelos franceses. f: A capital do Maranhão é Teresina. e → f: Se o Brasil foi colonizado pelos franceses, então a capital do Maranhão é Teresina. A implicação a → b tem como valor lógico a verdade. Observe:

V(a) = V e V(b) = V, portanto V(a → b) = V(a) → V(b) = V → V = V A implicação c → d tem como valor lógico a falsidade. Observe:

V(c) = V e V(d) = F, portanto V(c → d) = V(c) → V(d) = V → F = F A implicação e → f tem como valor lógico a verdade. Observe: V(e) = F e V(f) = F, portanto V(e → f) = V(e) → V(f) = F → F = V Observe no Exemplo 1.8 que nem sempre o conseqüente se deduz ou é conseqüência do antecedente. Note que o fato de grande parte da

16

Amazônia Legal estar no Brasil não se deduz do simples fato de o relógio marcar as horas. Da mesma forma, não se poderia afirmar que 10 é um número primo em conseqüência de Machado de Assis ter escrito Dom Casmurro. A única relação existente entre o antecedente e o conseqüente é relativa aos seus valores lógicos. O que uma condicional afirma é somente uma relação entre os valores lógicos do antecedente e do conseqüente.

(ALENCAR FILHO, 2002)

1.6.5. Bicondição Dadas duas proposições p e q, é possível escrever uma nova proposição p ↔ q (lê-se “p se, e somente se, q”), chamada bicondição, cujo valor verdade é a verdade quando p e q forem simultaneamente uma verdade ou uma falsidade. Perceba que a bicondição é uma implicação válida “nos dois sentidos”, ou seja, são duas condições simultâneas. No sentido da ida, p é o antecedente e q é o conseqüente e no sentido da volta, q é o antecedente e p o conseqüente.

(MENEZES, 2008). A tabela-verdade da bicondição é seguinte:

Antes de prosseguir, tente responder a pergunta abaixo:

Pare e Reflita: Como se chegou a esta tabela-verdade para p ↔ q?

A tabela-verdade da bicondição foi construída levando-se em consideração que ela é, na verdade, uma conjunção de duas implicações: (p → q) ∧ (q → p). Podemos, portanto, construir uma tabela-verdade para a conjunção das duas implicações, como segue:

17

Uma bicondição é verdadeira quando as proposições que a compõe possuem o mesmo valor lógico. Exemplo 1.9 – Bicondição Sejam as proposições: a: O Brasil fica na América do Sul. b: No verão faz calor. a ↔ b: O Brasil fica na América do Sul se, e somente se, no verão faz calor. c: 13 é divisível por 2. d: 10 é um número primo. c ↔ d: 13 é divisível por 2 se, e somente se, 10 é um número primo. e: Domingo é um dia útil. f: O Sol é uma estrela. e ↔ f: Domingo é um dia útil se, e somente se, o Sol é uma estrela. A bi-implicação a ↔ b tem como valor lógico a verdade. Observe:

V(a) = V e V(b) = V, portanto V(a ↔ b) = V(a) ↔ V(b) = V ↔ V = V A implicação c ↔ d tem como valor lógico a verdade. Observe:

V(c) = F e V(d) = F, portanto V(c ↔ d) = V(c) ↔ V(d) = F ↔ F = V A implicação e ↔ f tem como valor lógico a falsidade. Observe:

V(e) = F e V(f) = V, portanto V(e ↔ f) = V(e) ↔ V(f) = F ↔ V = F Assim como na implicação, a bi-implicação afirma somente uma relação entre os valores lógicos do antecedente e do conseqüente. Auto Avaliação 1.4 Determine o valor lógico das proposições a seguir: (a) A metade de dois é um e cinco é um número primo. (b) Gonçalves Dias é francês ou os macacos são répteis pré-históricos. (c) Se o relógio marca as horas, então sen30° = 1. (d) São Luís é uma ilha se, e somente se, os papagaios podem voar.

18

1.7. Fórmulas bem Formuladas e Tabelas-Verdade É possível encadearmos diversas proposições, simples e compostas, por meio dos conectivos lógicos e com o uso de parênteses ou colchetes. Desse encadeamento surgem novas proposições, como, por exemplo:

(p → q) ∧ (q → p) Este encadeamento ou arranjo de proposições, conectivos e parênteses (ou colchetes) não pode ser feito de qualquer jeito. Como em qualquer linguagem, é preciso seguir regras de sintaxe para que se escrevam proposições válidas. Proposições válidas são chamadas de Fórmulas Bem Formuladas ou simplesmente fórmulas. Menezes (2008) define fórmula como “uma sentença lógica corretamente construída, sobre um alfabeto cujos símbolos são conectivos, parênteses, identificadores, constantes, etc.” Desta definição, infere-se que é fórmula: a) uma proposição simples (também chamada de fórmula atômica); b) uma proposição composta; c) um encadeamento de proposições simples e/ou compostas, por meio de conectivos e parênteses. Exemplo 1.10 – Fórmulas São fórmulas (escritas de maneira simbólica): a) p b) p ∧ q c) ¬(p ∧ q) ↔ (w ∧ t) d) p → (~a Ù b) Não são fórmulas: a) ∧ p ¬q b) ¬p ∧∧ (a ↔ p¬) c) p q r ∧ s ¬t Em muitos casos, a escrita simbólica de fórmulas mais complexas pode apresentar alguns problemas. Considere o seguinte exemplo: p ∧ q → r, onde p: Maria adoeceu. q: João viajou. r: Hércules não pode sair de casa. A fórmula acima, da forma como está escrita, pode indicar duas expressões diferentes: “Se Maria adoeceu e João viajou, então Hércules não pode sair de casa” ou “Maria adoeceu e, se João viajou, então Hércules não pode sair de casa.”

19

E agora, como saber qual das duas expressões está representada pela fórmula? Para solucionar problemas deste tipo, os conectivos obedecem a uma ordem de precedência, que é a seguinte: 1. Conectivos entre parênteses, dos mais internos para os mais externos; 2. Negação (¬); 3. Conjunção (∧) e disjunção (∨); 4. Condição (→); 5. Bicondição (↔). Com base no exposto, pode-se afirmar que na fórmula p ∧ q → r a conjunção tem precedência sobre a condição. Então, a expressão simbolizada pela fórmula é “Se Maria adoeceu e João viajou, então Hércules não pode sair de casa”. Para representar a segunda expressão, é preciso fazer uso de parênteses: p ∧ (q →r).

Pare e Reflita: Como se constrói uma tabela-verdade de uma fórmula?

Para determinar o valor lógico de uma fórmula é comum recorrer-se a construção de uma tabela-verdade, a qual mostrará todos os casos em que a fórmula será verdadeira (V) ou falsa (F). A seguir é apresentado um conjunto de passos que auxiliam na construção de tabelas-verdade. Regra prática 1. Conte o número de proposições simples e calcule o número de linhas da tabela, sabendo que uma fórmula composta de n proposições simples gera uma tabela com 2n linhas; 2. Desenhe a tabela e escreva cada proposição simples sobre a primeira linha; 3. Para a iésima proposição simples (i ≤ n), atribua alternadamente 2n – i valores V seguidos da mesma quantidade de valores F. 4. Em seguida, realize as operações lógicas, obedecendo à ordem de precedência. Para cada operação, crie uma nova coluna na tabela. Considere a seguinte fórmula: p → (q ∧ r). Aplicando a regra 1, notamos que existem três proposições simples na fórmula dada, o que implica dizer que a tabela-verdade terá 23 = 8 linhas. Assim, temos (regra 2):

20

Pela regra 3, temos que p é a primeira proposição simples, assim, devemos preencher a coluna correspondente com 23 –1 = 22 = 4 valores V seguidos da mesma quantidade de valores F.

Para a segunda e a terceira proposições temos, respectivamente: 23–2 = 21 = 2 valores V, seguidos da mesma quantidade de valores F, alternadamente e 23–3 = 20 = 1 valor V e também 1 valor F, alternadamente.

A regra 4 indica a resolução de cada uma das operações lógicas, seguindo uma ordem de precedência. Assim, iniciamos por resolver a conjunção entre parênteses.

21

Por fim, resolvemos a condição. Ficando com a seguinte estrutura:

A última coluna corresponde à combinação dos possíveis valores lógicos da fórmula p → (q ∧ r). Exercício Resolvido Construa a tabela-verdade para a seguinte fórmula: (p ∨ q) → (p ∧ q) Solução

É possível, ainda, determinarmos o valor lógico de uma fórmula, conhecendo o valor lógico de cada uma das proposições que a compõem. Exemplo 1.11 – Valor Lógico de uma Fórmula Determinar o valor lógico de cada uma das fórmulas a seguir: a) p → (a ∨ b), onde V(p) = V, V(a) = F e V(b) = V. b) p ∧ (q ↔ r), onde V(p) = V, V(q) = F e V(r) = F.

22

Para determinar qual será o valor lógico de cada uma das fórmulas apresentadas, devemos substituir os valores lógicos das proposições simples que a compõem e realizar as operações lógicas indicadas. Assim, para fórmula mostrada na letra (a), temos:

V → (F ∨ V) = V → V = V Portanto, o valor lógico da fórmula p → (a ∨ b) é a verdade (V). Para a fórmula apresentada na letra (b), temos:

V ∧ (F ↔F) = V ∧ V = V Portanto, o valor lógico da fórmula p ∧ (q ↔ r) também é a verdade (V). Exercícios Resolvidos 1. Sabendo que V(p) = V e V(r) = F, determine o valor lógico da proposição A(p,r)

(¬p → r) ∧ (p ∨ ¬ r) ↔ (p ∧ r) SOLUÇÃO: Substituindo os respectivos valores lógicos na expressão, temos:

V(A) = (F → F) ∧ (V ∨ V) ↔ (V ∧ F) Resolvendo cada operação lógica entre parênteses, vem:

V(A) = V ∧ V ↔ F Resolvendo a conjunção, temos:

V(A) = V ↔ F Por fim, resolvendo a bicondição, temos:

V(A) = F Portanto, o valor lógico da proposição A(p, r) é a falsidade (F) 2. Determine o valor lógico da proposição “Se o Brasil é um país em desenvolvimento e o Maranhão é o maior estado do Nordeste, então a raiz quadrada de 25 é igual ao dobro de 100 ou o Maranhão não é o maior estado do Nordeste”. SOLUÇÃO: Inicialmente devemos escrever a proposição em forma simbólica. a: o Brasil é um país em desenvolvimento. b: o Maranhão é o maior estado do Nordeste. c: a raiz quadrada de 25 é igual ao dobro de 100

(a ∧ b) → (c ∨ ¬b)

23

Agora, substituímos os valores lógicos de cada proposição simples na sentença encontrada. Assim,

(V ∧ F) → (F ∨ V) Resolvendo as operações lógicas entre parênteses, encontramos

F → V Por fim, resolvemos a implicação, tendo como resultado a verdade. Portanto, a proposição tem a verdade (V) como valor lógico. Auto Avaliação 1.4 Escreva a proposição a seguir em linguagem simbólica e em seguida determine seu valor lógico. “A Terra é o planeta vermelho e a metade de 15 é maior que 4 se, e somente se, Tiradentes morreu atropelado ou a metade de 15 é menor que 4.”

1.8. Tautologias, Contradições e Contingências Denomina-se tautologia, ou proposição tautológica, toda fórmula cujo valor lógico é sempre a verdade, independente dos valores lógicos das proposições simples que a compõe. Como conseqüência imediata desta definição, podemos afirmar que as fórmulas p ∨ ¬p, p → p e p ↔ p são tautologias, já que seus valores lógicos são sempre a verdade (V). Comprovamos que determinada fórmula é uma tautologia, através da construção de sua tabela-verdade. Exemplo 1.12 – Tautologia A fórmula p ∧ r → ¬q ∨ r é uma tautologia. Tal fato constata-se na tabela-verdade.

24

O caso oposto ao de uma tautologia, chamado contradição, consiste em fórmulas que são sempre falsas para quaisquer valores das proposições simples componentes. Uma definição formal de contradição é dada por Alencar Filho (2002): Contradição é toda proposição composta P(p, q, r, ...) cujo valor lógico é sempre F (falsidade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p, q, r, ... É imediata a conclusão de que uma contradição corresponde à negação de uma tautologia, pois se uma tautologia é sempre verdadeira (V), então sua negação será sempre falsa (F).

Pare e Reflita: Você pode demonstrar que as fórmulas p ∧ ¬p e p ↔ ¬p são contradições?

Assim como as tautologias, uma contradição pode ser demonstrada por meio de uma tabela-verdade. Exemplo 1.13 – Contradição A fórmula p → q ∧ (p ∧ ¬q) é uma contradição. Tal fato constata-se na tabela-verdade.

As fórmulas que não se constituem nem tautologias nem contradições são chamadas de contingências. Exemplo 1.14 – Contingência A fórmula p ∧ (q → ¬p) é uma contingência. Tal fato constatamos na tabela-verdade.

25

Podemos afirmar que a fórmula dada é insatisfatível, ou inconsistente, quando e q forem ambas verdadeiras e que é satisfatível, ou consistente, para as demais combinações de valores lógicos para p

1.9. Disjunção Exclusiva Considere as seguintes proposições compostas: P: Adriano é aluno de Licenciatura em Informática ou Camila é brasileira. Q: Marina foi aprovada ou reprovada em Matemática para Computação. Note que na primeira proposição indica que pelo menos uma das proposições “Adriano é aluno de Licenciatura e Informática”, “Camila é brasileira” é verdadeira, sendo possível que ambas as sejam verdadeiras. Na segunda proposição, percebemos que apenas uma das proposições poderá ser verdadeira, pois é impossível que Marina seja aprovada e reprovada em Matemática para Computação. No primeiro caso, temos uma disjunção inclusiva, enquanto que no segundo temos uma disjunção exclusiva, também chamada de operação XOR, que é simbolizada por ⊕. Assim, a proposição p ⊕ q é uma disjunção exclusiva e é lida da seguinte forma: “ou p ou q”. A tabela-verdade para a disjunção exclusiva é a seguinte:

TAREFA Mostre que p ⊕ q ↔ ¬(p ↔q) é uma tautologia.

26

Leitura Complementar Lógica nas Linguagens de Programação

(extraído de: MENEZES, Paulo Blauth. Matemática Discreta para Computação e Informática. Porto Alegre: Bookman, 2008) Em geral, as linguagens de programação possuem o tipo de dado lógico ou boolenano pré-definido. No caso da linguagem Pascal, o tipo de dado é denominado boolean, e os correspondentes valores lógicos V e F são denotados por true e false, respectivamente. A declaração (definição) das variáveis p, q e r deste tipo é como segue: p, q, r: boolean A linguagem Pascal (assim como a maioria das linguagens de programação) possui os seguintes conectivos lógicos: not (negação) and (conjunção) or (disjunção) <= (condição) = (bicondição) Suponha que é desejado desenvolver um programa em Pascal capaz de calcular e informar o valor lógico da fórmula p ∨ (q ∧ r) para quaisquer valores de p, q e r fornecidos. Assim, o programa necessita ler os valores de p, q e r, calcular o valor lógico da fórmula para os valores lidos e imprimir o resultado. Um programa para o problema é apresentado a seguir: program valor_logico (input, output); var p, q, r: boolean; begin read (p, q, r); if p or (q and r) then write(‘verdadeiro’); else write(‘falso’); end. A primeira linha define o nome do programa e informa que os procedimentos pré-definidos input e output serão usados para entradas (leituras) e saída (impressões), respectivamente.

27

A segunda linha define as variáveis p, q e r as quais são do tipo boolean. Entre as palavras begin e end são especificados os comandos (definem as ações). O comando de leitura read lê os valores lógicos de p, q e r a serem considerados. O comando if-then-else tem a seguinte semântica: se a expressão lógica após a palavra if for verdadeira, então o comando após a palavra then é executado, senão, o comando após a palavra else é executado. Portanto, se os valores de p, q e r lidos, se o valor-verdade de p ∨ (q ∧ r) for verdadeiro, o texto verdadeiro é impresso; senão, o texto falso é impresso.

28

RESUMO

• Uma proposição é qualquer sentença declarativa que pode ser classificada como verdadeira ou falsa.

• Toda proposição possui um, e apenas, um dos valores lógicos: verdadeiro ou falso.

• Uma proposição pode ser simples ou composta. • Uma proposição composta é formada por duas ou mais proposições

simples, ligadas por conectivos lógicos. • São cinco os principais conectivos lógicos: NÃO, E, OU, SE... ENTÃO,

SE E SOMENTE SE. • Para cada conectivo lógico, uma operação lógica é definida. • O valor lógico de uma proposição composta é definido pelo valor lógico

das proposições simples que a compõe e pelos conectivos empregados. • Para definição do valor lógico de uma proposição composta são

utilizadas estruturas conhecidas como tabelas verdade. • A operação de negação consiste na inversão do valor lógico da

proposição original. • Uma conjunção será verdadeira quando as proposições que a compõem

forem ambas verdadeiras. Para os demais casos, será falsa. • Uma disjunção só será falsa quando ambas as proposições que a

compõem forem simultaneamente falsas. Para as demais combinações, o valor lógico será a verdade.

• Uma condição é falsa quando um antecedente verdadeiro implicar numa falsidade. Para os demais casos, a condição é verdadeira.

• Uma bicondição só é verdadeira quando ambos os operandos tiverem o mesmo valor lógico.

• Uma proposição é válida quando obedece a regras sintáticas na sua escrita.

• Toda proposição válida é chamada de fórmula. • Denomina-se tautologia toda fórmula cujo valor lógico é sempre

verdadeiro. • Chama-se contradição a fórmula que possui a falsidade como valor

lógico, em qualquer situação. • As fórmulas que não são tautologias nem contradições são chamadas

de contingências.

29

Exercícios Propostos (01)

Leonardo Delgado

1. Analise as seguintes frases e indique quais delas são proposições, justificando suas respostas. Para as que forem proposições, indique seu valor lógico. a) A Lua é uma estrela da quinta grandeza. R. É uma proposição, no entanto o seu valor é falso. Então: V(a) = F b) Em que região brasileira fica localizado o Estado do Maranhão? R. Não é uma proposição e sim uma pergunta. c) O dobro de qualquer número inteiro positivo sempre é par. R. É uma proposição e seu valor é verdadeiro. Então V(c) = V. d) Já que você está cansado, levante-se e vá dormir. R. É uma proposição composta, onde foi aplicada a função condicional. Então V(d)→V(d’) e) 21 é um número primo. R. É uma proposição, cujo valor é falso. Então: V(e) = F. f) A cidade de Imperatriz fica às margens do rio Itapecuru. R. É uma proposição e seu é verdadeiro. Então: V(f) = V. g) Como estes exercícios são fáceis! R. Não é uma proposição e sim uma exclamação h) Não é verdade que Cabral descobriu a América. R. É uma proposição onde foi aplicada a operação de negação, cujo o valor é verdadeiro. Então ~V(h) = V. i) A raiz quadrada da soma de 5 com 4 é 3. R. É uma proposição e seu é verdadeiro. Então: V(i) = V. j) A soma do quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. R. É uma proposição e seu é verdadeiro. Então: V(j) = V. 2. Sejam a, b e c as seguintes sentenças: a: André gosta de estudar. b: André é inteligente. c: André fala vários idiomas.

30

Escreva as sentenças abaixo em notação simbólica: a) André é inteligente, mas não gosta de estudar.

V(b) ¬ V(a) ou V(b) ~V(a) b) Se André gosta de estudar ou fala vários idiomas, então ele é inteligente.

V(a) ∨ V(c) →V(b) c) André é inteligente ou fala vários idiomas, mas não gosta de estudar.

V(b) ∨ V(c) ¬ V(a)

d) É falso que André é desinteressado pelos estudos ou que não é inteligente. V(a) ∨ ~V(b)

e) Ou André não fala vários idiomas, mas é inteligente, ou ele não gosta de estudar.

~V(c) ∨ V(b) ∨ ~V(a)

3. Escreva as seguintes sentenças em notação simbólica. a) Ou vou ao Shopping ou vou ao Cinema, mas não ambos.

(p ∨ q)→(p ∧q)

b) Beberei água ou, se sentir fome, comerei um pedaço de bolo. (p ∨ q) → r

c) Se o tempo estiver bom, iremos à praia, mas se estiver chovendo ficaremos em casa ou, se estiver nevando, iremos esquiar.

(p → q)→r ∨ (s →t)

d) Comprarei uma casa nova apenas se meu salário aumentar ou se receber nova gratificação.

(p → q) ∨ r e) Se meu salário não aumentar, comprarei uma nova casa caso receba nova gratificação.

~p →(q→r) 4. (ALENCAR FILHO, 2002 e GERSTING, 2003) Construa as tabelas-verdade para as seguintes fórmulas. Indique as tautologias e as contradições. a) (p → q) → (p ∧ r → q ∧ r) p q r p ∧ r q ∧ r p → q p ∧ r → q ∧ r (p → q) → (p ∧ r → q ∧ r)

V V V V V V V V V V F F F V V V V F V V F F F V V F F F F F V V F V V F V V V V F V F F F V V V F F V F F V V V F F F F F V V V

A fórmula (p → q) → (p ∧ r → q ∧ r) é uma tautologia

31

b) (p → q) ↔ ¬p ∨ q p q p → q ¬p ∨ q (p → q) ↔ ¬p ∨ q V V V V V V F F F V F V V V V F F V V V

A fórmula (p → q) ↔ ¬p ∨ q é uma tautologia c) ((p ∨ q) ∧ ¬r) → ¬p ∨ r

p q r p ∨ q ¬r ((p ∨ q) ∧ ¬r) ¬p ∨ r ((p ∨ q) ∧ ¬r) → ¬p ∨ r V V V V F F V V V V F V V V V V V F V V F F F V V F F V V V F F F V V V F F V V F V F V V V V V F F V F F F V V F F F F V F V V

A fórmula ((p ∨ q) ∧ ¬r) → ¬p ∨ r é uma contingência. d) p ∧ q ↔ ¬q ∨ ¬p

p q p ∧ q ¬q ∨ ¬p p ∧ q ↔ ¬q ∨ ¬p V V V F F V F F V F F V F V F F F F V F

A fórmula p ∧ q ↔ ¬q ∨ ¬p é uma contradição. e) (p ∧ q → r) ∨ (¬p ↔ q ∨ ¬r) p q r p ∧ q p ∧ q → r ¬p q ∨ ¬r (¬p ↔ q ∨ ¬r) (p ∧ q → r) ∨ (¬p ↔ q ∨ ¬r) V V V V V F V F V V V F V F F V F F V F V F V F F V V V F F F V F V F V F V V F V V V V V F V F F V V V V V F F V F V V F F V F F F F V V V V V A fórmula (p ∧ q → r) ∨ (¬p ↔ q ∨ ¬r) é uma contingência. 5. Determine o valor lógico de cada uma das seguintes sentenças. a) São Luís é a capital do Maranhão, e 2 + 2 = 5 ou 6 é o dobro de 3. V(q) ∧ v(p) ∨ V(r) = V ∧ F ∨ V = V b) É falso que o Sol é um satélite natural da Terra, e, se o Brasil fica na África, então o rio Amazonas deságua no Oceano Atlântico. ~V (q) ∧ V (p) → V(r) V ∧ F → V = V

32

c) Se a raiz quadrada de 16 é 8 e 5 – 3 resulta em um número par, então 10 > 5. V(q) ∧ V(p)→ V(r) F ∧ V → V = V d) (q ∧ r) ∧ s → (p ↔ s), sabendo que V(p) = V, V(r) = V, V(q) = F e V(s) = F. (F ∧ V) ∧ F → (V ↔F) F ∧ F → F F → F = V e) (p ∧ (¬q → p)) ∧ ¬ ((p ↔ ¬q) → q ∨ ¬p), sabendo que V(p) = F e V(q) = V. (F ∧ (F → F)) ∧ ¬ ((F ↔ F)→V ∨ V) (F ∧ V) ∧ ¬ (V →V) F ∧ F = F

33

Capítulo 2 Cálculo Proposicional No capítulo anterior utilizamos a notação da lógica formal para representar proposições de maneira simbólica como fórmulas. Essas fórmulas são conhecidas como fórmulas proposicionais. Todo sistema formal que faz uso de fórmulas proposicionais é chamado de lógica proposicional ou cálculo proposicional. O cálculo proposicional consiste no uso dos recursos da lógica formal para se chegar a conclusões a partir de proposições dadas (GERSTING, 2003). Neste capítulo, estudaremos métodos de raciocínio expressos sob a forma de argumentos, que consistem numa série de proposições, chamadas hipóteses, a partir das quais se pode inferir outra proposição, a conclusão (PINTO, 2000). Vamos lá?

2.1. Conceito de Argumento – Argumentos Válidos O nosso dia a dia é repleto de situações que envolvem o conceito de argumentação.

• Ao justificar uma falta à aula de Matemática para Computação. • Ao explicar a razão de não ter sido aprovado em uma

determinada disciplina. • Ao defender um ponto de vista.

O que seria, então, um argumento? Para responder a esta pergunta, considere as seguintes expressões: a) Todo gato tem sete vidas. Garfield é um gato. Logo, Garfield tem sete vidas. b) Se Marcos é engenheiro, então ele gosta de matemática. Marcos é engenheiro. Portanto, Marcos gosta de matemática. Perceba que as expressões dadas são um conjunto de proposições, onde a última delas é conseqüência das anteriores. Partindo desta observação, podemos dizer o que é um argumento. Denomina-se argumento a afirmação de que de um dado conjunto de proposições P1, P2, ... , Pn, chamadas premissas ou hipóteses, decorre uma proposição Q, chamada conclusão. (PINHO, 2000) Assim, nos argumentos apresentados, temos:

34

a) Hipóteses: Todo gato tem sete vidas Garfield é um gato. Conclusão: Garfield tem sete vidas. b) Hipóteses: Se Marcos é engenheiro, então ele gosta de matemática. Marcos é engenheiro. Conclusão: Marcos gosta de matemática. Utilizando a linguagem simbólica, podemos representar um argumento como:

P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn → Q onde P1, P2, ... Pn são as hipóteses do argumento e Q é a conclusão. Alguns autores utilizam a seguinte notação para representar argumentos:

P1, P2, P3,..., Pn Q A segunda notação apresentada é a mais comum na bibliografia. Para responder a esta pergunta, considere os seguintes argumentos:

Pare e Reflita: Todo argumento é válido?

a) O Brasil é o maior país da América do Sul em extensão territorial. Teresina é a capital do Piauí. Portanto, o homem é um ser racional. b) Se eu estudar Matemática Discreta, então aprenderei Lógica. Se eu aprender Lógica, serei aprovado. Logo, se eu estudar Matemática Discreta, serei aprovado. O argumento (a) possui duas hipóteses: 1. O Brasil é o maior país da América do Sul em extensão territorial. 2. Teresina é a capital do Piauí. A conclusão é: O homem é um ser racional. Note que embora as hipóteses e a conclusão apresentem, individualmente, como valor lógico a verdade, esta não decorre diretamente daquelas. A conclusão é um fato verdadeiro isolado, não estando relacionado com as hipóteses. Por esta razão, o argumento é dito inválido.

35

Para o argumento (b), temos as seguintes hipóteses: 1. Se eu estudar Matemática Discreta, então aprenderei Lógica. 2. Se eu aprender Lógica, serei aprovado. E a conclusão: Se eu estudar Matemática Discreta, serei aprovado. Neste caso, nota-se claramente que a conclusão é decorrente das hipóteses. Portanto, trata-se de um argumento válido. Se um argumento é válido, então a condicional que o representa é sempre verdadeira, independente dos valores lógicos das proposições componentes (PINHO, 200). Em outras palavras, podemos dizer que um argumento P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn → Q é válido quando for uma tautologia. Considerando os argumentos apresentados acima, temos: a) p: O Brasil é o maior país da América do Sul em extensão territorial. q: Teresina é a capital do Piauí. r: O homem é um ser racional. Em linguagem simbólica: p ∧ q → r.

A fórmula não é uma tautologia, o que prova que o argumento é inválido. b) P(a, b): Se eu estudar Matemática Discreta, então aprenderei Lógica. a: Estudar Matemática Discreta. b: Aprenderei Lógica Q(b, c): Se eu aprender Lógica, serei aprovado. c: Serei aprovado R(a, c): Se eu estudar Matemática Discreta, serei aprovado Em linguagem simbólica: (a → b) ∧ (b → c) → (a → c).

36

Perceba que a fórmula correspondente à representação simbólica do argumento é uma tautologia. Portanto, trata-se de um argumento válido. Auto Avaliação 2.1 Analise o seguinte argumento: “Se José pegou as jóias ou André mentiu, então ocorreu um crime. Se ocorreu um crime então Raimundo estava na cidade. Raimundo não estava na cidade. Portanto, ou José não pegou as jóias ou André não mentiu.”

FONTE: PINHO, Antonio de Almeida. Introdução à Lógica Matemática. Existem dois tipos de argumentos: argumentos indutivos e dedutivos. Dizemos que um argumento é indutivo se sua validade ou invalidade for independente de sua forma lógica. Um argumento é dito dedutivo se, e somente se, sua validade depender apenas de sua forma lógica. A lógica formal prevê um sistema de regras de dedução que modificam uma fórmula, preservando seu valor lógico.

2.2. Equivalência Lógica e Implicação Lógica Considere a fórmula abaixo e sua respectiva tabela-verdade. p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

37

Observe que a fórmula dada é uma tautologia. Note também que ela é composta por duas outras fórmulas, p ∨ (q ∧ r) e (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), cujas tabelas-verdade são idênticas. Neste caso, dizemos que as fórmulas p ∨ (q ∧ r) e (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) são logicamente equivalentes, ou seja, constituem uma equivalência lógica, simbolizada por ⇔. Assim, podemos escrever p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r). Chama-se equivalência lógica, ou simplesmente equivalência, toda tautologia representada por uma proposição bicondicional (p ↔ q). Neste caso, diz-se que p e q são logicamente equivalentes. Segundo Menezes (2008), podemos dizer que, se duas fórmulas sintaticamente diferentes são logicamente equivalentes, então elas possuem o mesmo significado. De fato, duas proposições são equivalentes quando expressam a mesma idéia.

Pare e Reflita: Com base na definição apresentada, justifique a seguinte afirmação: “Se duas proposições são equivalentes, então possuem a mesma tabela-verdade, e, reciprocamente, se duas proposições têm a mesma tabela-verdade, são equivalentes.” (PINHO, 2005)

A seguir são apresentadas algumas das principais equivalências lógicas. Tabela 2.1: Equivalências Lógicas

A lista de equivalências apresentada é apenas exemplificativa, uma vez que existem infinitas tautologias. Procuramos listar as equivalências mais importantes do ponto de vista de sua utilidade.

38

Exemplo 2.1. – Equivalência Lógica Uma equivalência muito importante é a chamada Redução ao Absurdo.

p → q ⇔ p ∧ ¬q → r

onde r é uma proposição cujo valor lógico é a falsidade (F). Constatamos tal fato na tabela-verdade.

Analisaremos agora as tautologias da forma p → q, que são chamadas de implicações lógicas ou inferências lógicas. O símbolo da implicação lógica é ⇒. Chama-se implicação lógica, ou simplesmente implicação, toda tautologia representada por uma proposição condicional (p → q). Neste caso, diz-se que p implica logicamente q. Em outras palavras, podemos dizer que p implica logicamente q se a veracidade da primeira arrastar necessariamente a veracidade da segunda (PINTO, 2000). A seguir são listadas as principais regras de implicação lógica. Tabela 2.2: Implicações Lógicas

A demonstração das implicações citadas é simples. Basta a construção da tabela-verdade da condicional correspondente. Exemplo 2.2 – Implicação Lógica Considere a implicação lógica Modus Ponens.

(p → q) ∧ p ⇒ q

39

Prova-se que essa regra é uma implicação lógica, através da sua tabela-verdade

Auto Avaliação 2.2 Você pode demonstrar as regras apresentadas na Tabela 2 e na Tabela 3, por meio da construção de tabelas-verdade.

2.3. Dedução no Cálculo Proposicional Como demonstrado nas seções anteriores, é possível mostrarmos a validade ou invalidade de um argumento por meio da construção de sua tabela- -verdade. Entretanto, quando temos muitas proposições simples envolvidas no argumento, o número de linhas da tabela verdade é grande, o que inviabiliza sua construção. Por exemplo, se temos um argumento com 8 proposições simples, a tabela-verdade terá 28 = 256 linhas. Para resolver este problema, foram desenvolvidos outros métodos para mostrar a validade de um argumento. Esses métodos são chamados de métodos dedutivos e consistem na aplicação de regras que modificam uma fórmula sem alterar seu valor lógico. A dedução parte das hipóteses P1, P2, ..., Pn, supostamente verdadeiras, e, através da aplicação de regras de dedução, termina com a conclusão Q, que deve ser verdadeira, pois os valores lógicos são preservados sob aplicação das regras (GERSTING, 2003). As regras de dedução para a lógica proposicional podem ser de dois tipos: equivalências e inferências. Tais regras foram apresentadas nas seções anteriores e consistem na reescrita de fórmulas sem alteração de seus valores lógicos, no caso da equivalência, e na dedução de novas fórmulas a partir de outras, no caso da inferência. Dizemos que um argumento é válido quando for possível obter a conclusão Q através da dedução. Em caso contrário, o argumento é dito inválido. Um algoritmo para o processo de dedução foi formulado por Pinho (2005) e é apresentado a seguir.

40

O processo de Dedução Dado um argumento P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn → Q, faça: 1. Defina o conjunto P formado pelas premissas {P1, P2, ..., Pn}; 2. Para um ou mais elementos do conjunto das premissas, aplique regras de equivalência ou de inferência conhecidas, obtendo novas proposições e as inclua no conjunto P; 3. Repita o passo 2 até que a proposição incluída em P seja o conseqüente Q. Exemplo 2.3 – Dedução na Lógica Proposicional Vamos provar o seguinte argumento:

(p → q) ∧ (q → ¬r) ∧ (¬s ∨ r → t) ∧ (p ∧ ¬s) → (¬r ∧ t) que também pode ser escrita como

p → q, q → ¬r, ¬s ∨ r → t, p ∧ ¬s ├ ¬r ∧ t Para provar a validade de um argumento, devemos construir uma seqüência de demonstração. Essa seqüência consiste na aplicação de regras de equivalência ou de inferência sobre as hipóteses, a fim de obtermos a conclusão. Deste modo, temos: 1 p → q (hipótese) 2 q → ¬r (hipótese) 3 ¬s ∨ r → t (hipótese) 4 p ∧ ¬s (hipótese) 5 p 4 simplificação 6 p → ¬r 1,2 silogismo hipotético 7 ¬r 5, 6 modus ponens 8 ¬s 4 simplificação 9 ¬s ∨ r 8 adição 10 t 9, 3 modus ponens 11 ¬r ∧ t 7, 10 conjunção Observe que cada passo foi numerado para facilitar a seqüência de demonstração. As 4 hipóteses foram escritas nas 4 primeiras linhas. A partir do passo 5 foram aplicadas regras de equivalência e inferência para obter uma nova proposição, indicando ao lado como esta foi obtida.

41

Exercícios Resolvidos 1. Demonstrar que o argumento a∨(b∧c), a∨b→d a∨d é valido SOLUÇÃO A demonstração consiste numa seqüência de demonstração, como segue: (1) a∨(b∧c) (hipótese) (2) a∨b→d (hipótese) (3) (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) 1 lei distributiva (4) a ∨ b 3 simplificação (5) d 4, 2 modus ponens (6) a ∨ d 5 adição 2. Provar a validade do argumento: “Se eu responder todos os exercícios corretamente ou tirar 10 nas provas de Matemática para Computação, então serei aprovado e sairei de férias. Se eu sair de férias ou ganhar duas passagens de presente, irei conhecer os Lençóis Maranhenses. Logo, se eu responder todos os exercícios corretamente, irei conhecer os Lençóis Maranhenses.” SOLUÇÃO Inicialmente é preciso escrever o argumento em linguagem simbólica. a – responder todos os exercícios corretamente b – tirar 10 nas provas de Matemática para Computação. c – ser aprovado. d – sair de férias. e – ganhar duas passagens de presente. f – conhecer os Lençóis Maranhenses. Deste modo o argumento é representado por a∨b→c∧d, d∨e→f a→f Este é um caso especial de demonstração, no qual a conclusão é uma condicional. Para a sequência de prova, devemos, pois, considerar o antecedente da conclusão como uma hipótese e deduzir o conseqüente. Assim, o argumento a ser provado torna-se ∨b→c∧d, d∨e→f f A demonstração consiste numa seqüência de demonstração, como segue. a∨b→c∧d, d∨e→f a→f (1) a∨b→c∧d (hipótese) (2) d∨e→f (hipótese) (3) a (hipótese)

42

(4) a ∨ b 3 adição (5) c ∧ d 4, 1 modus ponens (6) d 5 simplificação (7) d ∨ e 6 adição (8) f 7, 2modus ponens RESUMO

• Um argumento é um conjunto de proposições das quais decorre outra proposição.

• Um argumento é válido quando o mesmo representar uma tautologia.

• Chama-se equivalência toda tautologia representada por uma proposição bicondicional.

• Define-se implicação como toda tautologia representada por uma proposição condicional.

• Dedução é o processo utilizado para de demonstrar a validade de um argumento, que consiste num conjunto de regras utilizadas para modificar uma fórmula sem alterar seu valor lógico.

43

Exercícios Propostos (02)

Leonardo Delgado 1. A prova de argumentos na lógica proposicional podem se dar pela aplicação de regras de equivalência e implicação ou pela construção de tabelas-verdade. Explique em que consiste cada uma dessas técnicas, explicitando suas vantagens e desvantagens. As regras de equivalência e implicação lógicas é uma forma de utilizar a álgebra das proposições, no emprego do método dedutivo, como forma de comprovar a validade de um argumento. O método das tabelas-verdade permite demonstrar, verificar ou testar a validade de qualquer argumento, mas o seu emprego torna-se cada vez mais trabalhoso à medida que aumenta o número de proposições simples componentes dos argumentos. 2. (ALENCAR FILHO, 2002) Por meio da construção de tabelas-verdade, prove a validade dos seguintes argumentos. a) (p ∧ ¬q) ∧ (¬r ∧ q) → (p ∧ r)

p q r ~q ~r p ∧ ¬q (¬r ∧ q) (p∧¬q)∧(¬r∧q) (p∧r) (p∧¬q)∧(¬r∧q)→(p∧r)V V V F F F F F V F V V F F V F V F F F V F V V F V F F V F V F F V V V F F F F F V V F F F F F F F F V F F V F V F F F F F V V F F F F F F F F F V V F F F F F

Esse argumento não é valido é um sofisma b) p ∨ q, q → r, p → s, ¬s r ∧ (p ∨ q)

p q r s p ∨ q q → r p → s ~s r ∧ (p ∨ q) V V V V V V V F V V V V F V V F V V V V F V V F V F F V V F F V F F V F V F V V V V V F V V F V F V V F V V V F F V V V V F F V F F F V V F V F F V V V V V V F V F V V F V V V V V ←10 F V F V V F V F F F V F F V F V V F F F V V F V V F F F F V F F V V V F F F F V F V V F F F F F F F V V V F

O argumento é válido

44

c) p → q ∧ r, ¬(q ∧ r), ¬p → s ¬p ∧ s p q r s q ∧ r p→q∧ r ¬(q∧r) ¬p ¬p→s ¬p∧s V V V V V V F F V F V V V F V V F F V F V V F V V V F F V F V V F F V V F F V F V F V V F F V F V F V F V F F F V F V F V F F V F F V F V F V F F F F F V F V F F V V V F V V V V V ←9 F V V F F V V V F F F V F V F V V V V V ←11 F V F F F V V V F F F F V V F V V V V V ←13 F F V F F V V V F F F F F V F V V V V V ←15 F F F F F V V V F F

O argumento é válido d) (p ∨ ¬q) ∧ ¬p ∧ (¬(p ∧ r) → q) → r

p q r ¬q ¬p p∨¬q (p∧r) ¬(p∧r) (¬(p∧r)→q) V V V F F V V F V V V F V F V F V V V F V F F V V F V V F F V F V F V F F V V F V F F V V F V F V V V F V V F F V F V F F V F F F F V V V F V F

Esse argumento não é valido é um sofisma 3. (PINHO, 2005; ALENCAR FILHO, 2002) Faça o mesmo que na questão 2, porém utilizando o método dedutivo. a) (p ∨ ¬q) ∨ r, ¬p ∨ (q ∨ ¬p) q → r (1) (p ∨ ¬q) ∨ r P (2) ¬p ∨ (q ∧ ¬p) P (3) ¬p∨q 2-SD (4) p→q 3-COND (5) q∨¬q∨r 3,1MP (6)q∨q→r 5 – COND (7) q→r 6- ID b) p → q, q ↔ s, t ∨ (r ∧ ¬s) p → t (1) p → q P (2) q ↔ s P (3) t ∨ (r ∧ ¬s) P (4) (q → s) ∧ (s → q) 2- BICOND (5) q→s 4 -SIMP (6) p→s 1,5- SH (7) (t∨r)∧(t∨¬s) 3- DIST

45

(8) t∨¬s 7- SIMP (9) ¬s∨t 8 -COM (10) s→t 9 -COND (11) p→t 6,10-SH c) p ∧ q → r, r ∨ q → ¬p ∨s, s → q, p r ↔ s (1) p ∧ q → r P (2) r ∨ q → ¬p ∨s P (3) s → q P (4) p P (5) p→q→r 1.(EI) (6) r∨q→p→s 2. COND (7) p∨q 4.AD (8) (r∨q)→(s∨q) 5,6. MP (9) r∨q→s 8,3. MP Obs. Tentei de diversas formas mas não consegui resolver essa questão d) p → q, r → s, q ∨ s → ¬t, t ¬p ∧ ¬r (1) p → q P (2) r → s P (3) q ∨ s → ¬t P (4) t_ P_ (5) ¬¬t 4 -DN (6) ¬(q ∨ s) 3,5 - MT (7) ¬q∧¬s 6-DM (8) ¬q 7-SIMP (9) ¬s 7-SIMP (10) ¬p 1,8-MT (11) ¬r 2,9-MT (12) ¬p∧¬r 10,11-CONJ 4. (PINHO, 2005; GERSTING, 2003; ALENCAR FILHO, 2002) Escreva os argumentos abaixo em linguagem simbólica. a) Ou pagamos a dívida ou o déficit aumenta; se as exportações crescerem, o déficit não aumenta. Logo, ou pagamos a dívida ou as exportações não crescem. p-pagar a divida q-defict aumenta r- exportações crescem

p∨q, r→~q p→~r

46

b) Se o programa é eficiente, ele executará rapidamente: ou o programa é eficiente ou ele tem um erro. No entanto, o programa não executa rapidamente. Logo, o programa contém um erro. p-programa eficiente q-executar rapidamente r-tem um erro

(p→q)∧(p∨r), ~q r c) A Rússia tinha um poder superior, e ou a França não era forte ou Napoleão cometeu um erro. Napoleão não cometeu um erro, mas se o exército não tivesse falhado, a França seria forte. Portanto, o exército falhou e a Rússia tinha um poder superior. p- Rússia tinha um poder superior q- França era forte r- Napoleão cometeu um erro s- o exército falhou

p∧(~q∨r), ~r→(~s→q) s∧p d) Se trabalho, não posso estudar. Trabalho ou passo em Matemática para Computação. Eu trabalhei, logo passei em Matemática para Computação. p-trabalho q-poder estudar r- passar em matemática para computação

p→~q, p∨r p→r 5. Investigue a validade dos argumentos da questão 4. a)p∨q, r→~q p→~r

p q r ~q ~r p∨q r→~q p→~r V V V F F V F F V V F F V V V V ←2 V F V V F V V F ←3 V F F V V V V V ←4 F V V F F V F V F V F F V V V V F F V V F F V V F F F V V F V V

Esse argumento não é valido é um sofisma, devido a linha três a falsidade da conclusão.

47

b)(p→q)∧(p∨r), ~q r

p q r p→q p∨r (p→q)∧(p∨r) ~q V V V V V V F V V F V V V F V F V F V F V V F F F F F V F V V V V V F F V F V V V F F F V V V V V ←7 F F F V F F V

Esse argumento é valido na linha 7. c) p∧(~q∨r), ~r→(~s→q) s∧p p q r s ~q ~q∨r p∧(~q∨r) ~s ~s→q ~r ~r→(~s→q) s∧p V V V V F V V F V F V V ←1 V V V F F V V V V F V F ←2 V V F V F F F F V V V V V V F F F F F V V V V F V F V V V V V F V F V V ←5 V F V F V V V V F F V F ←6 V F F V V V V F V V V V ←7 V F F F V V V V F V F F F V V V F V F F V F V F F V V F F V F V V F V F F V F V F F F F V V V F F V F F F F F V V V V F F F V V V V F F V F V F F F V F V V F V F F V F F F F V V V F F V V V F F F F F V V F V F V F F Esse argumento não é valido, nas linhas 2 e 6, logo é um sofisma. d)p→~q, p∨r p→r

p q r ~q p→~q p∨r p→r V V V F F V V V V F F F V F V F V V V V V ←3 V F F V V V V ←4 F V V F V V V ←5 F V F F V F V F F V V V V V ←7 F F F V V F V

Esse argumento é valido.

48

Capítulo 3 Lógica de Predicados Nos capítulos anteriores, estudamos a lógica proposicional, que trata das relações lógicas geradas pelos operadores ¬, ∧, ∨, → e ↔. Entretanto, a validade de alguns argumentos não depende somente desses operadores (PEREIRA, 2008). Considere o seguinte argumento: “Raimundo é maranhense. Todos os maranhenses são brasileiros. Logo,

Raimundo é brasileiro.” Dele, temos: p: Raimundo é maranhense; q: Todos os maranhenses são brasileiros; r: Raimundo é brasileiro. Utilizando a notação proposta pela lógica proposicional, este argumento tem a seguinte representação:

p ∧ q → r Embora seja possível determinar intuitivamente que esse argumento é válido, não há como demonstrar que a conclusão r é uma conseqüência lógica das hipóteses p e q, já que o mesmo não é uma tautologia (comprove pela construção da tabela-verdade). Segundo Pereira (2008), a validade desse argumento depende do significado da palavra todos, que não pode ser expresso na lógica proposicional. Muitos outros argumentos também não podem ser representados e analisados por meio da lógica proposicional, pois dependem do significado lógico de palavras como “todo”, “algum”, “cada”, “nenhum”, etc. Como a lógica proposicional disponibiliza um modelo de raciocínio muito limitado, a análise de argumentos dessa natureza é feita por meio dos recursos oferecidos pela lógica de predicados, que será nosso objeto de estudo neste capítulo. E aí, vamos lá?

3.1. Predicados e Quantificadores Iniciemos nossa discussão pela análise da proposição “Todos os maranhenses são brasileiros”. O significado desta proposição é expresso a seguir: Para todo x, se x é maranhense, então x é brasileiro.

49

Esta proposição apresenta novos elementos: um quantificador (para todo), uma variável (x) e um predicado (se x é maranhense, então x é brasileiro). Um quantificador representa, como o nome já diz, a quantidade de objetos1 que possuem determinada propriedade. Esta propriedade é o que chamamos de predicado2. Uma variável, neste contexto, possui definição semelhante à dada pela álgebra: seu uso permite a expressão de fatos sobre determinados objetos sem que seja necessário dizer explicitamente quem são esses objetos (GERSTING, 2003) (PEREIRA, 2008). No nosso exemplo, foi utilizado o quantificador “para todo”, que permite a expressão de fatos sobre todos os objetos em determinado contexto. Este quantificador é chamado quantificador universal e é simbolizado por ∀. Deste modo, é possível escrever a proposição dada em notação simbólica:

(∀x)(se x é maranhense, então x é brasileiro) Esta representação pode ser simplificada, já que é padronizada uma notação para simbolizar o predicado. Neste caso, podemos escrever: maranhense(x), onde maranhense é o que se diz de x e, do mesmo modo, brasileiro(x). Com isso, nossa proposição será escrita da seguinte maneira:

(∀x)(maranhense(x)→brasileiro(x))

É possível simplificar ainda mais esta proposição, utilizando uma notação mais genérica para o predicado. maranhense(x) = M(x) brasileiro(x) = B(x) Com isso, temos: (∀x)(M(x) → B(x)) Esta é a notação utilizada para a representação simbólica de sentenças na lógica de predicados. Além do quantificador universal, podemos utilizar o quantificador existencial, simbolizado por ∃, por meio do qual é representada a existência de pelo menos um objeto que possua determinada propriedade. Assim, a proposição (∃x)M(x) expressa que “existe x, tal que x é maranhense”. Para melhor entendimento do uso de quantificadores, analise atentamente o exemplo que segue.

1 Um objeto é qualquer coisa a respeito da qual se diz algo. 2 Predicado é o que se diz dos objetos, podendo ser entendido como uma relação entre os objetos de determinado contexto (PEREIRA, 2008).

50

Exemplo 3.1 – Lógica de Predicados Considere as seguintes expressões: a) Todo número inteiro par é divisível por 2. b) Existe um número natural que não é divisível por 2. c) Nem todo político é corrupto. Vamos simbolizar esses exemplos: a) P(x) = x é um número inteiro par Q(x) = x é divisível por 2 (∀x)(P(x) → Q(x)) b) Q(x) = x é divisível por 2 (∃x)(¬Q(x)) c) P(x) = x é um político C(x) = x é corrupto (∃x)(P(x) ∧ ¬C(x)) Até então, todos os predicados com os quais trabalhamos envolvem propriedades de apenas uma variável, sendo, por isso, chamados de predicados unários ou monádicos. Quando um predicado envolve propriedades de mais de uma variável ele é chamado de predicado poliádicos3, ou binário, ternário, etc. de acordo com a quantidade de variáveis envolvidas na sentença. Neste contexto, a sentença “São Luís é a capital do Maranhão”, pode ser expressa como capital (São Luís, Maranhão), onde capital é a relação (ou predicado) entre os objetos São Luís e Maranhão. Esta sentença pode ser generalizada, através do uso de variáveis: capital (x, y), ou simplesmente, A(x, y), onde o predicado poliádico A significa “é capital de”. Em predicados poliádicos, a ordem em que as variáveis aparecem é muito importante, pois interfere no significado da sentença. Normalmente, quando utilizamos predicados poliádicos, é necessário o uso de mais de um quantificador. Neste caso, devemos ficar atentos à ordem em que os quantificadores são empregados, uma vez que isto pode mudar completamente o significado da expressão. Exemplo 3.2 – Predicado Poliádico Considere as seguintes expressões: (∀x)(∃y)P(x, y) (∃x)(∀y)P(x, y) 3 Alguns autores chamam o predicado poliádico de relação.

51

onde x e y são números reais e P(x, y) é a propriedade de que x é o dobro de y. A primeira expressão tem o seguinte significado: para todo número real x existe um número real y, tal que x é o dobro de y. A interpretação para a segunda expressão é: existe um número x real tal que para todo número y real, x é o dobro de y. Veja como a ordem em que os quantificadores foram empregados alterou completamente o sentido da expressão. É importante saber que todos os conectivos e operações lógicas definidas para a lógica proposicional são igualmente válidos para a lógica de predicados, possuindo aqui o mesmo significado. Considere a seguinte expressão “Alunos que são assíduos às aulas e estudam em casa, são aprovados em Matemática para Computação”. Desta expressão é possível extrair os seguintes predicados: A(x) = x é assíduo. E(x) = x estuda em casa. P(x) = x foi aprovado em Matemática para Computação. A expressão pode ser escrita da seguinte forma:

A(x) ∧ E(x) → P(x) Auto Avaliação 3.1 Represente simbolicamente as seguintes expressões predicativas: a) Todos os macacos gostam de banana. b) Todos os alunos estudiosos gostam de Matemática para Computação. c) Alguns alunos não são estudiosos, mas gostam de Matemática para Computação. d) Nem todos os macacos gostam de banana. Agora que você já entendeu a estrutura de uma expressão na lógica de predicados, tente responder a pergunta que segue.

Pare e Reflita: Como é determinado o valor lógico de expressões como (∀x)M(x) e (∃x)M(x)?

52

3.2. Domínio de Interpretação de uma Expressão Predicativa – Valores Lógicos Na lógica de predicados, o valor lógico de uma expressão não depende somente do significado dos conectivos utilizados, mas também do contexto no qual ela (a expressão) é interpretada. Para Gersting (2003), esse contexto é representado por um conjunto de objetos sob os quais a interpretação é feita, sendo chamado de Domínio de Interpretação ou Conjunto Universo. Exemplo 3.3 – Domínio de Interpretação Considere a seguinte expressão:

(∀x)P(x)

Adotando como domínio de interpretação os habitantes de sua cidade, e sendo P(x) a propriedade de que x seja aluno do curso de Licenciatura em Informática, temos: A interpretação da expressão é que todos os habitantes da sua cidade são alunos do curso de Licenciatura em Informática. O valor lógico desta expressão neste domínio de interpretação é a falsidade. Agora, tomando por domínio de interpretação o conjunto dos números naturais, e sendo P(x) a propriedade de que x é maior ou igual a zero, temos: Para este caso, a interpretação da expressão é de que todo número natural é maior ou igual a zero, o que nos permite afirmar que a sentença é verdadeira. Um conceito formal de interpretação para uma expressão predicativa foi apresentado por Gersting (2003): Uma interpretação para uma expressão envolvendo predicados consiste em:

a) Um conjunto de objetos (Domínio de Interpretação), com pelo menos um objeto; b) A especificação de uma propriedade dos objetos no domínio para cada predicado da expressão; c) A atribuição de um objeto particular no domínio de interpretação para cada símbolo da expressão.

Para melhor entendimento deste conceito, considere a expressão (∀x)(∃y)P(x, y) apresentada no exemplo 3.2.

53

Inicialmente devemos definir o domínio de interpretação com pelo menos um elemento. Consideremos, pois, que este domínio seja o conjunto dos números reais. Em seguida, especificamos uma propriedade pertinente ao domínio para o predicado P(x, y). Podemos dizer, então, que P(x, y) é a propriedade de que x é o dobro de y. Por fim, atribuímos objetos particulares do domínio para as variáveis x e y, a fim de constatarmos o valor lógico da expressão. Considerando x = 2, notamos que existe y = 1; para x = -5, existe y = -2,5; para x = 10, existe y = 5 e, assim, sucessivamente. Induzimos, então, que a expressão é verdadeira dentro do domínio de interpretação considerado, já que para qualquer número real x, existe outro número real (y) que é exatamente o dobro de x. Auto Avaliação 3.2 Forneça uma interpretação na qual o valor lógico da expressão (∀x)P(x) seja a verdade e outra no qual seja a falsidade. Para isso, apresente o domínio de interpretação e o significado do predicado P(x).

3.3. Fórmulas Predicativas: Tradução e Validade Uma expressão predicativa é construída através da combinação de predicados com quantificadores, parênteses (ou colchetes) e conectivos lógicos (GERSTING, 2003). Da mesma forma que as expressões proposicionais, as predicativas devem obedecer a um conjunto de regras sintáticas para sua escrita. Com isso, podemos falar em fórmulas predicativas, da mesma maneira como falamos de fórmulas proposicionais no capítulo 1. É comum utilizarmos apenas o nome fórmula para identificar tanto as fórmulas predicativas quanto as fórmulas proposicionais. Os parênteses (ou colchetes) são utilizados para delimitar o escopo4 de um quantificador. Quando não há parênteses, o escopo do quantificador limita-se ao predicado que o sucede. Considerando as expressões (∃x)(P(x) → Q(x)) e (∃x)P(x) → Q(x), dizemos que o quantificador ∃ atua sobre P(x) → Q(x), no primeiro exemplo, e sobre P(x) no segundo. Disto, concluímos que a presença dos parênteses interfere no escopo de um quantificador e, como conseqüência, modifica o significado da expressão como um todo. Referente a esta situação, é preciso ainda introduzir dois conceitos importantes: o de variável livre e o de variável ligada. Chama-se variável livre

4 Chama-se escopo de um quantificador a parte da expressão sobre o qual ele atua (PINHO, 2005).

54

aquela que aparece em uma fórmula predicativa fora do escopo de um quantificador que envolva esta variável. Por outro lado, uma variável que está vinculada a um quantificador é chamada de variável ligada. Na expressão (∃x)P(x) → Q(x) a variável x é dita livre em sua segunda ocorrência, pois está fora do escopo do quantificador existencial. Na primeira ocorrência, x é uma variável ligada. Não esqueça: Uma variável pode ser ao mesmo tempo livre e ligada em uma fórmula predicativa. Uma fórmula predicativa que possui variáveis livres pode não ter valor lógico para algumas interpretações. Uma tarefa que pode parecer difícil é a tradução de expressões em português para a notação simbólica da lógica de predicados. Para facilitar este trabalho, são apresentados a seguir quatro tipos especiais de sentenças, denominadas enunciados categóricos.

• Universal Afirmativo: são enunciados da forma (∀x)(P(x)→Q(x)). Neste caso, temos expressões como “todos os maranhenses são brasileiros”. Ou seja, para todo x, se x é maranhense, então x é brasileiro.

• Universal Negativo: são enunciados da forma (∀x)(P(x)→¬Q(x)). Um exemplo de sentença que se enquadra nesta categoria de enunciado é “nenhum maranhense é marciano”. Ou seja, para todo x, se x é maranhense, então x não é marciano.

• Particular Afirmativo: são enunciados da forma (∃x)(P(x)∧Q(x)). Aqui, as expressões são similares a “alguns maranhenses são torcedores do Sampaio Corrêa”. Ou seja, existem um x, tal que x é maranhense e x é torcedor do Sampaio Corrêa.

• Particular Negativo: são enunciados da forma (∃x)(P(x)∧¬Q(x)). A expressão “alguns maranhenses não são torcedores do Sampaio Corrêa” é um exemplo de sentença que se encaixa nesta categoria. Neste caso, existe um x, tal que x é maranhense e x não é torcedor do Sampaio Corrêa.

Exemplo 3.4 – Enunciados Categóricos Considere as seguintes expressões: a) Armas de fogo são perigosas. b) Alguns alunos não são estudiosos. c) Existem políticos honestos. d) Não existem homens verdes. Analisando as expressões apresentadas, percebemos que a expressão (a) é do tipo universal afirmativo, visto que se um objeto x é uma arma de fogo, então este objeto é perigoso. Chamando A(x) = x é arma de fogo e P(x) = x é perigoso, temos (∀x)(A(x) → P(x)).

55

A expressão (b) é do tipo Particular Negativo e pode ser escrita como (∃x)(A(x) ∧ ¬E(x)), onde A(x) é a propriedade de x ser um aluno e E(x) a propriedade de x ser estudioso. A expressão (c) é um enunciado Particular Afirmativo, sendo simbolizado por (∃x)(P(x)∧H(x)), em que P(x) = x é político e H(x) = x é honesto. A expressão (d) é do tipo Universal Negativo, e pode ser representada por (∀x)(H(x) → ¬V(x)), cujo significado é se x é um homem, então x não é verde. Não esqueça: ∀ está associado a → , enquanto que ∃ está associado a ∧. Agora, vamos ao problema: dada uma expressão em português, construir sua representação simbólica. Para realizar esta tarefa, muitas vezes é útil escrever outra proposição intermediária em português e só depois simbolizá-la (GERSTING, 2003). Esteja atento também para o fato de uma expressão poder ser representada de diferentes maneiras (PEREIRA, 2008). Além, disso não deixe de se preocupar com o escopo dos quantificadores e com o uso de conectivos lógicos, quando necessário. Seja a expressão: “não existem extraterrestres”. Este é um caso muito simples, em que há apenas um quantificador e um predicado monádico. Tal expressão pode ser escrita de duas maneiras distintas. Considerando que o predicado E(x) representa a propriedade de x ser extraterrestre, temos as seguintes interpretações: 1. Não existe x tal que x seja extraterrestre, ou seja, ¬ (∃x)E(x). 2. Para todo x, x não é extraterrestre, ou seja, (∀x)( ¬E(x)). Agora, consideremos a expressão “O morcego é um mamífero que voa”. Note que esta sentença é do tipo universal afirmativo, ou seja, se um objeto x é um morcego, então ele é um mamífero e voa. Perceba também que será necessário utilizar um conectivo lógico (conjunção). Deste modo, temos: P(x) = x é um morcego. M(x) = x é um mamífero. V(x) = x voa. Simbolicamente:

(∀x)(P(x) → M(x) ∧ V(x))

Para a expressão “Alguns homens são corajosos e outros são covardes”, o que podemos perceber de imediato é a necessidade da utilização de duas variáveis, visto que existe um x tal que x é homem (H(x)) e x é corajoso (C(x)), e existe um y tal que y é homem (H(y)) e y é covarde (D(y)). Assim, temos:

(∃x)(H(x) ∧ C(x)) ∧ (∃y)(H(y) ∧ D(y))

56

Por fim, considere a seguinte expressão, extraída de Pinho (2005), “Existe um ancestral comum a todas as pessoas”. Esta sentença pode ser simbolizada de duas maneiras diferentes. Considerando P(x) = x é uma pessoa e A(x, y) = x é ancestral de y temos:

1. Para todo y, se y é uma pessoa, existe um x tal que x é ancestral de y, ou seja, (∀y)(P(y) → (∃x)(A(x, y))).

2. Existe um x tal que para todo y, se y é uma pessoa, então x é ancestral de y, ou seja, (∃x)(∀y)(P(y) → A(x, y)).

Observe a presença de dois quantificadores e de duas variáveis. Perceba também que, para cada uma das duas representações, o escopo dos quantificadores é diferente, embora o signifivado das expressões em português seja o mesmo. Não esqueça: Podem existir mais de uma interpretação correta para afirmações em português. Auto Avaliação 3.3 Para cada expressão, escreva sua representação simbólica: a) Os mamíferos não são sempre terrestres. b) Alguns alunos são atentos, outros não. c) Todos os professores têm alunos. Já falamos anteriormente que o valor lógico de uma fórmula predicativa depende da interpretação. Com base nisto, é possível afirmar que uma fórmula predicativa é válida se ela assumir a verdade como valor lógico para todas as interpretações possíveis. Para dizermos que uma formula é invalida, basta apresentar uma interpretação em que seu valor lógico seja falsidade.

3.4. Dedução na Lógica de Predicados Nosso interesse na lógica de predicados é, como na lógica proposicional, determinar a validade de argumentos. Os conceitos de argumento, regra de inferência e dedução apresentadas quando estudamos o cálculo proposicional permanecem válidas para a lógica de predicados. Como os argumentos na lógica de predicados apresentam maior nível de complexidade, devido ao uso de quantificadores e variáveis, devemos nos valer dos enunciados categóricos vistos na seção anterior como um meio facilitador na definição do valor verdade de uma fórmula. Além disso, a adoção de algumas regras que possibilitam a adição e/ou eliminação de quantificadores das hipóteses podem ajudar neste processo. Essas regras são apresentadas na Tabela 3.1.

57

Tabela 3.1: Regras de Inferência (FONTE: GERSTING, 2003)

Pinho (2005) apresenta um método geral para o processo de dedução de argumentos na lógica de predicados. O processo de Dedução na Lógica de Predicados 1. Elimine os quantificadores das hipóteses. 2. Deduza a conclusão com as equivalências e inferências do cálculo proposicional. 3. Insira (se for o caso) os quantificadores na conclusão. Com base neste processo, as regras mostradas na Tabela 3 são detalhadas a seguir.

3.4.1. Particularização Universal (PU) Baseia-se na afirmação de que se todos os objetos de um dado domínio de interpretação possuem certa propriedade, então um objeto particular desse domínio também possui essa propriedade. Consideremos o argumento:

Todos os maranhenses são brasileiros. Raimundo é maranhense. Logo, Raimundo é brasileiro.

Representando este argumento simbolicamente, temos: (∀x)(M(x) → B(x)) M(Raimundo)

B(Raimundo) Provamos a validade deste argumento, através de dedução. Acompanhe: 1 (∀x)(M(x) → B(x)) (hipótese) 2 M(Raimundo) (hipótese) 3 M(Raimundo) → B(Raimundo) 1, PU 4 B(Raimundo) 2, 3, modus ponens

58

Observe que no passo 3, a particularização universal consistiu na substituição da variável x por objeto particular do domínio, Raimundo.

3.4.2. Particularização Existencial (PE) A particularização existencial significa que aquilo que é verdade para algum objeto é igualmente verdade para um dado objeto, desde que esse objeto não tenha sido utilizado anteriormente na dedução. Seja o argumento:

Todos os maranhenses são brasileiros. Alguns homens são maranhenses. Logo, alguns homens são brasileiros.

Representando este argumento simbolicamente, temos: (∀x)(M(x) → B(x)) (∃x)(H(x) ∧ M(x))

(∃x)(H(x) ∧ B(x)) Acompanhe o processo de dedução a seguir. 1 (∀x)(M(x) → B(x)) (hipótese) 2 (∃x)(H(x) ∧ M(x)) (hipótese) 3 H(p) ∧ M(p) 2, PE 4 M(p) → B(p) 1, PU 5 H(p) 3, simplificação 6 M(p) 3, simplificação 7 B(p) 6, 4 modus ponens 8 H(p) ∧ B(p) 5, 7 conjunção 9 (∃x)(H(x) ∧ B(x)) 8, GE A hipótese 2 afirma que existe um x tal que esse x é homem e é maranhense. Devido a isso, é possível, em 3, nomear esse elemento como p, onde p é um objeto qualquer do domínio de interpretação. Note que a hipótese 1 afirma que, qualquer que seja x, se x é maranhense, então x é brasileiro. Portanto, podemos afirmar particularmente que se p é maranhense, então ele é brasileiro (passo 4). Importante: Só aplique a particularização existencial após certificar-se de que o termo a ser particularizado não tenha sido usado anteriormente no processo de dedução. As particularizações têm a função de retirar o quantificador de expressões que estão no escopo desse quantificador. Portanto, muito cuidado para não fazer deduções inválidas como, por exemplo:

59

1 (∃x)H(x) ∧ M(x) (hipótese) 2 H(p) ∧ M(p) 1, PE A particularização é inválida, pois o escopo do quantificador é somente o predicado H(x).

3.4.3. Generalização Universal (GU) Esta regra de inferência obedece ao seguinte enunciado: “se um determinado objeto, escolhido aleatoriamente no domínio de interpretação, possuir certa propriedade, todos os objetos desse domínio também terão essa propriedade”. Seja o argumento: Todos os maranhenses são brasileiros. Todos os ludovicenses são maranhenses. Logo, todos os ludovicenses são brasileiros. Representando este argumento simbolicamente, temos: (∀x)(M(x) → B(x)) (∀x)(L(x) → M(x))

(∀x)(L(x) → B(x)) Provamos a validade deste argumento, através de dedução. Acompanhe: 1 (∀x)(M(x) → B(x)) (hipótese) 2 (∀x)(L(x) → M(x)) (hipótese) 3 M(p) → B(p) 1, PU 4 L(p) → M(p) 2, PU 5 L(p) → B(p) 4, 3 silogismo hipotético 6 (∀x)(L(x) → B(x)) 5, GU Note que nos passos 3 e 4 foi utilizada a particularização universal, substituindo-se a variável x por um objeto arbitrário p. No passo 6, foi aplicada a generalização universal sobre L(p) → B(p), visto que p é qualquer objeto do domínio de interpretação. Importante: Uma generalização universal não é válida nos casos em que o predicado for deduzido de uma hipótese na qual haja uma variável livre.

3.4.4. Generalização Existencial (GE) Neste caso, podemos afirmar que “aquilo que é verdade para um dado objeto, é verdade para algum objeto”.

60

Consideremos o seguinte argumento:

Todos os maranhenses são pessoas hospitaleiras. Raimundo é maranhense. Logo, existem pessoas hospitaleiras.

Representando este argumento simbolicamente, temos: (∀x)(M(x) → H(x)) M(Raimundo)

($x)H(x) Provamos a validade deste argumento através de dedução. Acompanhe: 1 (∀x)(M(x) → H(x)) (hipótese) 2 M(Raimundo) (hipótese) 3 M(Raimundo) → H(Raimundo) 1, PU 4 H(Raimundo) 2, 3 modus ponens 5 (∃x)H(x) 4, GE Como no passo 4 obtivemos que Raimundo é uma pessoa hospitaleira, então existe pelo menos uma pessoa hospitaleira, o que é expresso no passo 5 pela generalização existencial. Você deve ter percebido que, para provar a validade de argumentos na lógica de predicados, o procedimento é similar ao da lógica proposicional. A seguir é apresentado mais um exemplo. Analise-o com atenção. Exemplo 3.5 – Dedução na Lógica de Predicados Provar o seguinte argumento: (∀x)(P(x) ∧ Q(x)) → (∀x)P(x) ∧ (∀x)Q(x) Temos a seguinte seqüência de demonstração: 1 (∀x)(P(x) ∧ Q(x)) hipótese 2 P(p) ∧ Q(p) 1 PU 3 P(p) 2 simplificação 4 Q(p) 2 simplificação 5 (∀x)P(x) GU 3 6 (∀x)Q(x) GU 4 7 (∀x)P(x) ∧ (∀x)Q(x) 5, 6 conjunção Exercício Resolvido (adaptado de GERSTING, 2003) Demonstrar que o argumento “todos os estudantes sabem ler. Alguns estudantes falam Inglês. Portanto, alguns estudantes sabem ler e falam Inglês” é válido.

61

SOLUÇÃO Inicialmente, vamos escrever o argumento em notação simbólica. Para isso, consideremos: E(x): x é um estudante. L(x): x sabe ler. I(x): x fala inglês. O argumento é: (∀)(E(x) → L(x)) (∃x)(E(x) ∧ I(x))

(∃x)(E(x) ∧ L(x) ∧ I(x)) A seqüência de demonstração a seguir comprova a validade deste argumento. 1 (∀x) (E(x) → L(x)) (hipótese) 2 (∃x)(E(x) ∧ I(x)) (hipótese) 3 E(p) ∧ I(p) 2 PE 4 E(p) → L(p) 1 PU 5 E(p) 3 simplificação 6 L(p) 5, 4 modus ponens 7 E(p) ∧ I(p) ∧ L(p) 3, 6 conjunção 8 E(p) ∧ L(p) ∧ I(p) 7 propriedade comutativa 9 (∃x)( E(x) ∧ L(x) ∧ I(x)) 8 GE

62

Leitura Complementar

Programação Lógica (extraído de: GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. São Paulo: LTC, 2003) Na lógica de predicados, usamos regras de inferência para chegarmos a teses a partir das hipóteses. Se uma tese tiver sido demonstrada como conseqüência de determinada hipótese, então, em uma interpretação na qual a hipótese seja verdadeira, a tese também será verdadeira. A linguagem de programação Prolog, que significa progamming in logic, também ajuda a chegar a teses a partir das hipóteses. A linguagem inclui predicados, conectivos lógicos e regras de inferência. Ela permite a descrição de uma interpretação, ou melhor, de hipóteses verdadeiras em uma interpretação. As linguagens de programação com as quais você provavelmente já tem familiaridade, tal como Pascal, são conhecidas como linguagens procedurais. A maior parte dos programas escritos em linguagens procedurais destinam-se a resolver o problema à mão. O programador, portanto, diz ao computador como resolver o problema. Prolog, no entanto, é uma linguagem declarativa (também chamada de linguagem descritiva). Um programa Prolog consiste em declarações ou descrições sobre uma interpretação, isto é, quais as hipóteses que são verdadeiras em uma interpretação. O conjunto de declarações é também chamado de base de dados do Prolog. Para determinar se uma dada tese, posta na forma de uma pergunta pelo usuário, é ou não verdadeira para a interpretação, Prolog usa sua base de dados e aplica suas regras de inferências (sem a necessidade de qualquer instrução por parte do programador). Itens em uma base de dados do Prolog podem ter duas formas, conhecidas em Prolog como fatos e regras. (Porém as regras do Prolog são apenas outro tipo de fatos, e não devem ser confundidas com as regras de inferência.) Os fatos do Prolog permitem definir predicados. Por exemplo, suponhamos que desejemos criar umprograma Prolog que descreva as cadeias alimentares em uma determinada região ecológica. Devemos começar com um predicado binário come. Então descreveremos este predicado fornecendo os pares de elementos no domínio que tornam come verdadeiro. Portanto, teríamos os fatos. come(urso, peixe) come(urso, raposa) come(urso, veado) Em nossa base de dados. (Os detalhes exatos dos comandos Prolog variam de implementação para implementação, portanto daremos aqui apenas

63

o espírito da linguagem através do uso de um pseudocódigo semelhante ao Prolog.) Neste exemplo, "urso", "peixe", "raposa", "veado" e "mato" são constantes porque representam elementos específicos do domínio. Como o domínio propriamente dito não é especificado, exceto na declaração dos predicados, neste ponto podemos fazer inferir que o domínio consiste em "urso", "peixe", "raposa", "veado" e "mato". E saudável que o usuário mantenha um entendimento e faça um uso consistente dospredicados em um programa Prolog. Portanto,come(urso, peixe) Pode ser usado tanto para representar o fato de que ursos comem peixes ou de que peixes comem ursos! Arbitramos a convenção de que come(x, y) significa "x come y'. Podemos incluir descrições de dois predicados unários, animal e planta para a base de dados incluindo os fatos animal(urso) animal(peixe) animal(raposa) animal(veado) planta(mato) De posse deste programa Prolog (base de dados), podemos fazer algumas perguntas simples. A pergunta is(animal(urso)) Simplesmente pergunta se o fato animal(urso) está na base de dados. Como este fato está na base de dados, o Prolog responderá à pergunta com yes. Outros diálogos com o Prolog poderiam incluir is(come(veado,mato)) yes is(come(urso, coelho)) no Perguntas podem incluir variáveis, como mostrado no próximo exemplo. A pergunta which(x: come(urso,x)) produz peixe raposa Como resposta. O Prolog respondeu à pergunta procurando em sua base de dados por todos os fatos que se ajustassem ao padrão come(urso, x),

64

onde x é uma variável. A resposta "peixe" é dada antes porque as regras são percorridas da primeira para a última. As perguntas podem, ainda, conter os conectivos lógicos and, or e not. O segundo tipo de item em uma base de dados Prolog é uma regra Prolog. Uma regra é uma descrição de um predicado através de uma implicação. Por exemplo, poderíamos usar uma regra para definir um predicado para presa: presa(x) if come(y, x) and animal{x) Isto indica que x é uma presa se for animal que é comido. Se incluirmos esta regra a nossa base de dados, então para a pergunta which(x: presa(x)) Teremos a resposta peixe raposa

65

RESUMO • A lógica de predicados é uma extensão da lógica proposicional, através

do uso de quantificadores e da adição de parâmetros às proposições, transformando-as em predicados.

• Um predicado é uma relação entre objetos de determinado contexto. • Quantificadores representam a quantidade de objetos que possuem

determinada propriedade. • O quantificador universal (∀) representa todos os objetos de um

contexto. • O quantificador existencial (∃) representa pelo menos um objeto de um

contexto. • Chama-se escopo de um quantificador a parte da expressão sobre o

qual ele atua. • Na lógica de predicados, o valor lógico de uma expressão depende do

contexto no qual ela é interpretada. Esse contexto é chamado de Domínio de Interpretação.

• Uma fórmula predicativa é construída através da combinação de predicados com quantificadores, parênteses e conectivos lógicos.

• Em uma fórmula predicativa, uma variável pode estar no escopo de um quantificador (variável ligada) ou fora dele (variável livre).

• Universal Afirmativo é todo enunciado que pode ser escrito na forma (∀x)(P(x)→Q(x)).

• Universal Negativo é todo enunciado da forma (∀x)(P(x)→~Q(x)). • Particular Afirmativo é todo enunciado que pode ser escrito como

(∀x)(P(x) ∧ Q(x)). • Particular Negativo é qualquer enunciado da forma (∃x)(P(x) ∧ ~Q(x)). • Uma fórmula predicativa é dita válida quando seu valor lógico é a

verdade para todas as interpretações possíveis dentro do domínio de interpretação.

• A dedução no cálculo de predicados exige a adoção de regras para eliminação/adição de quantificadores das hipóteses.

• Particularização Universal (PU): se todos os objetos de um dado domínio de interpretação possuem certa propriedade, então um objeto particular desse domínio também possui esta propriedade.

• Particularização Existencial (PE): o que é verdade para algum objeto é igualmente verdade para um dado objeto, desde que esse objeto não tenha sido usado anteriormente na dedução.

• Generalização Universal (GU): se um determinado objeto, escolhido aleatoriamente no domínio de interpretação, possui certa propriedade, então todos os objetos desse domínio também têm essa propriedade.

• Generalização Existencial (GE): o que é verdade para um dado objeto é verdade para algum objeto.

66

Exercícios Propostos 1. (adaptado de PINTO, 1999) Escreva as frases que seguem usando notação simbólica na qual x designa um aluno e P(x) significa “x gosta de estudar”. a) Todos os alunos gostam de estudar. b) Nenhum aluno gosta de estudar. c) Um aluno gosta de estudar. d) Alguns alunos não gostam de estudar. 2. (adaptado de GERSTING, 2003) Utilizando os símbolos predicados apresentados neste capítulo e os quantificadores apropriados, escreva cada expressão abaixo como uma fórmula predicativa. a) Todo dia que é ensolarado não é chuvoso. b) Todos os homens maduros admiram alguma mulher. c) Alguns alunos são estudiosos e atentos. d) Alguns alunos gostam apenas de Lógica. e) Todo aluno só gosta de Lógica f) Se existir algum homem que seja mais romântico que uma mulher, então todos os homens serão mais românticos que todas as mulheres. 3. (GERSTING, 2003) Identifique as fórmulas válidas e as inválidas, justificando suas respostas. a) P(b) ® ($x)P(x) b) ("x)("y)P(x, y) « ("y)("x)P(x, y) c) ($x)P(x) Ù ($x)Q(x) ® ($x)(P(x) Ù Q(x)) d) ("x)($y)P(x, y) ® ($x)("y)P(x, y) 4. (adaptado de ALENCAR FILHO, 2002) Sendo o conjunto dos números reais o domínio de interpretação de cada uma das sentenças, determine seu valor lógico. P á g i n a | 83 a) ("x)(x – 1 > x) b) ("x)($y)(x – y < 0) c) ($x)(x² + 2x + 10 = 0) d) ($x)(x + y = 4) 5. (GERSTING, 2003) Demonstre a validade dos seguintes argumentos, ou apresente uma interpretação para provar que não são válidos. a) Existem alguns artista que são mais ricos que outros. Todo mundo que é mais rico que os outros também paga mais impostos que os outros. Portanto, existe um artista que paga mais impostos que os outros. b) Todo estudante de Informática trabalha mais que alguém e todo mundo que trabalha mais que alguém também dorme menos que esta pessoa. Salete é uma estudante de Informática. Portanto, Salete dorme menos que outra pessoa. c) ($x)(P(x) Ù Q(x)) ® ($x)P(x) Ù ($x)Q(x). d) [("x)P(x) ® ("x)Q(x)] ® ("x)(P(x) ® Q(x)).

67

MODULO II TEORIA DOS CONJUNTOS E FUNÇÕES Objetivos

- Trabalhar com a notação da teoria de conjuntos; - Determinar relações de pertinência entre elementos e conjunto; - Determinar relações de continência entre conjuntos; - Encontrar união, interseção, complemento, diferença e produto

cartesiano de conjuntos; - Encontrar o conjunto das partes de um conjunto finito; - Utilizar técnicas de demonstração de identidades de conjuntos; - Reconhecer uma relação e identificar seus pares ordenados; - Determinar se uma relação é ou não uma função; - Verificar se uma função é injetiva, sobrejetiva e bijetiva; - Manipular funções compostas e inversas; - Determinar se uma função tem inversa e qual é essa inversa; - Manipular funções matemáticas;

Conteúdo - Introdução à Teoria dos Conjuntos - Álgebra dos Conjuntos - Estudo das Funções

68

Capitulo 4 - Introdução à Teoria dos Conjuntos Os fundamentos da teoria dos conjuntos foram lançados no final do século XIX, a partir dos trabalhos de George Cantor (1845-1918). A partir de então, está teoria passou por um forte processo de desenvolvimento, dando suporte a diversos ramos da matemática e influenciando outras áreas do conhecimento, dentre elas a Ciência da Computação. Para saber mais acesse: http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_conjuntos O conceito de conjunto é fundamental para a Ciência da Computação, uma vez que grande parte de seus conceitos, construções e resultados são escritos na linguagem dos conjuntos ou baseados em construções sobre conjuntos (MENEZES, 2008), existindo aplicações em áreas como Banco de Dados e Linguagens Formais, por exemplo. Neste capítulo, introduziremos os principais conceitos da teoria dos conjuntos, que serão indispensáveis para estudos posteriores.

4.1. Noção Intuitiva de Conjunto e Relações de Pertinência Informalmente, podemos definir um conjunto como uma coleção de objetos (ou coisas), dispostos de forma não-ordenada, onde cada objeto é chamado de elemento do conjunto. Os termos conjunto e elemento são conceitos primitivos em matemática, ou seja, são aceitos sem definição formal e fundamentam definições mais complexas. Um conjunto pode ser representado basicamente de duas maneiras: por extensão ou por compreensão. No primeiro caso, os elementos são listados exaustivamente, sendo colocados entre um par de chaves e separados por vírgulas. Por exemplo, D = {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo} Em alguns casos, esta não se mostra como a melhor forma de representação. Por exemplo, não é prático listar os elementos do conjunto de todas as pessoas de naturalidade maranhense, embora seja possível fazer o levantamento dessa lista. Em casos como este, onde o número de elementos é muito grande, devemos optar por descrever o conjunto por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos (representação por compreensão). Deste modo, podemos representar o conjunto M de pessoas com naturalidade maranhense da seguinte forma: M = { x | x é maranhense }, que é lida como “conjunto dos elementos x tal que x é maranhense”. É possível generalizar a notação da representação de um conjunto por compreensão da seguinte forma:

69

M = { x | P(x) } onde se afirma que um dado elemento i faz parte do conjunto A se a propriedade P é verdadeira para i, ou seja, se o valor lógico de P(i) for a verdade. Por exemplo, considerando o conjunto M definido anteriormente, temos que Sílvio Santos não é elemento de D, já que a propriedade P(Silvio Santos) = Silvio Santos é maranhense tem como valor lógico a falsidade. Seguindo o mesmo raciocínio, concluímos que Gonçalves Dias é elemento de M, já que P(Gonçalves Dias) = Gonçalves Dias é maranhense tem como valor lógico a verdade. Exemplo 4.1 – Conjuntos a) A = {a, e, i, o, u} b) B = {1, 3, 5, 7, ..., 15} c) C = {1, 2, 3, 4, 5,...} d) D = {n|n=2y, onde y é um número inteiro} O conjunto A foi representado por meio da listagem de todos os seus elementos. Nos conjuntos B e C, alguns elementos foram omitidos, mas podem facilmente ser deduzidos do contexto. Nos três casos, a forma de representação utilizada foi a extensão. O conjunto D, que corresponde ao conjunto D = {0, 2, 4, 6, 8, ...}, foi representado por meio da propriedade comum a seus elementos, o que constitui a forma de representação por compreensão. É importante observarmos que a propriedade que descreve os elementos de um conjunto pode ser expressa em linguagem natural, ou em linguagem simbólica, através de operadores matemáticos e lógicos. OPERADORES MATEMÁTICOS

ARITMÉTICOS: +, - , ×, ÷ RELACIONAIS: =, ≠, >, ≥, <, ≤

Todos os objetos pertencentes a um conjunto compartilham uma mesma propriedade e, daqueles que não possuem tal propriedade, dizemos que não pertencem ao conjunto. Esta é uma relação importante, chamada relação de pertinência, que é indicada pelos símbolos ∈, para o primeiro caso, e ∉, para o segundo. Considerando o conjunto D dos dias da semana, temos que:

segunda ∈ D sábado ∈D janeiro ∉ D

Exemplo 4.2 – Relações de Pertinência Considere o conjunto: A = { x | x é um país da América do Sul} Para este conjunto, podemos dizer que:

Brasil ∈ A

70

França ∉ A Venezuela ∈ A

Egito ∉ A Auto Avaliação 4.1 Descreva cada um dos seguintes conjuntos, listando seus elementos: 1. {x|x é a capital do Maranhão} 2. {y|y é um número primo menor do que 30} 3. {w|w é um estado do nordeste brasileiro} Descreva cada um dos seguintes conjuntos, através de uma propriedade que caracteriza seus elementos: 4. {1,3,5,9} 5.{SãoLuís, Teresina, Fortaleza, Natal, João Pessoa, Recife, Maceió, Aracaju, Salvador} 6. {1, 2,4,8,16}

4.2. Alguns Conjuntos Especiais Considere a seguinte situação: queremos listar todos os elementos de um conjunto A={a|a é um número natural par menor do que 2}. Então, quantos elementos o conjunto A possui? Certamente você deve ter chegado à conclusão de que o conjunto A não possui nenhum elemento, pois não existe nenhum número natural par que seja menor do que 2. Neste caso, dizemos que o conjunto A é vazio, e representamos como segue:

A = { } ou A = ∅ E se quiséssemos listar todos os elementos do conjunto B = {b|b é um número natural ímpar menor do que 2}, quantos elementos esse conjunto teria? Neste caso, B teria apenas um elemento, sendo, por isso, chamado de conjunto unitário.

B = { 1 } Ao conjunto que não possui nenhum elemento damos o nome de CONJUNTO VAZIO. Denomina-se CONJUNTO UNITÁRIO o conjunto que possui apenas um elemento. Ainda referente à quantidade de elementos, podemos dizer que um conjunto possui um número finito ou infinito de elementos. Chamamos de conjunto finito aquele que pode ser descrito por extensão, ou seja, é possível listar todos os seus elementos. Um conjunto é dito infinito quando não é possível listar exaustivamente todos os seus elementos.

71

Exemplo 4.3 – Conjuntos Especiais Considere os conjuntos: A = { Brasil } B = {y | y é um número par} C = {z | z é um brasileiro que mora em Marte} Sobre estes conjuntos, podemos dizer que A é um conjunto unitário, pois possui apenas um elemento (note que todo conjunto unitário é também um conjunto finito, por razões óbvias). O conjunto B é um conjunto infinito, uma vez que não é possível listar todos os números pares. O conjunto C é vazio, uma vez que não existem brasileiros que moram em Marte. Tenha claro que um conjunto vazio é considerado um conjunto finito. Aos conjuntos cujos elementos são números que compartilham características particulares, damos o nome de conjuntos numéricos. Tais conjuntos merecem especial atenção por sua importância para a Matemática em geral e para a Ciência da Computação. Esses conjuntos são vistos com mais detalhes na seção 4.5. Auto Avaliação 4.2 Descreva os seguintes conjuntos, indicando os conjuntos finitos, infinitos, unitários e vazios: 1. {x|x é um número natural e10 = x + 4} 2. {y|y é um estado brasileiro cujo nome inicia com vogal) 3. {z|z é um animal terrestre] 4. {w|w é um número par maior que 100}

4.3. Relações entre Conjuntos Na seção 4.1., introduzimos a noção de pertinência entre elementos e conjuntos. Além desta, outra noção importante é a de continência, a partir da qual podemos introduzir os conceitos de subconjuntos e de igualdade de conjuntos.

4.3.1. Relação de Continência Sejam dois conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Observe que todos os elementos do conjunto A são também elementos do conjunto B. Neste caso, dizemos que A está contido em B, ou que B contém A e representamos por:

A⊂B ou B⊃A Neste caso, dizemos que A é um subconjunto de B. A seguir é apresentada uma definição mais formal de subconjunto.

72

A é um subconjunto de B se (∀x)(x ∈A→x∈B) Quando A não é um subconjunto de B, ou seja, quando existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B, indicamos A ⊄ B ou B A.

4.3.2. Igualdade de Conjuntos Consideremos os conjuntos A={1, 3, 5} e B={1, 3, 5}. Não é preciso se esforçar para perceber que A é um subconjunto de B e B, por sua vez, também é subconjunto de A. Neste caso, dizemos que os conjuntos A e B são iguais. Formalmente, podemos dizer: Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Ou seja,

A = B ↔ (∀x)((x∈A→x∈b)∧(x∈B →x∈A)) Se existir pelo menos um elemento de A que não pertença a B ou existir um elemento de B que não pertença a A, dizemos que A é diferente de B. Pare e Reflita: Escreva formalmente a relação A ≠B Se A é um subconjunto de B, mas queremos enfatizar que A ≠ B, escrevemos A⊂B. Neste caso, dizemos que A é um subconjunto próprio de B. Formalmente, temos:

A⊂B↔(∀x)((x∈A→x∈B)∧(∃x)((x∈A∧x∈B)∨(x∈A∧x∈B))

4.3.3. Conjunto Universo Uma definição muito importante no contexto da teoria dos conjuntos é o de conjunto universo, que normalmente é denotado por U. Para entender o que é o conjunto universo acompanhe o seguinte exemplo: Maria e João participarão de um concurso de perguntas e respostas sobre História da Computação. As perguntas versarão sobre diferentes aspectos da história da computação como, por exemplo, personalidades históricas, fatos marcantes e características tecnológicas. Note que é possível criar vários conjuntos de perguntas, um para cada subtema do concurso (personalidades históricas, fatos marcantes, características tecnológicas). Tomando, por exemplo, o subtema personalidades históricas, muitas perguntas podem ser elaboradas, entretanto

73

todas elas devem versar sobre o tema maior: História da Computação. Neste caso, o tema maior define o que chamamos de contexto da discussão e contém todos os conjuntos de perguntas que serão consideradas válidas no concurso. Por exemplo, é possível que seja feita uma pergunta sobre Bill Gates, mas não devem ser consideradas perguntas sobre Tiradentes, pois apesar de ser uma personalidade histórica, não pertence ao contexto da discussão. Você já deve ter notado que cada subtema é um subconjunto de um conjunto maior, que define o contexto da discussão. Esse conjunto maior é o que chamamos de conjunto universo. Conjunto Universo é um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. Propriedades dos Conjuntos 1. Qualquer conjunto é subconjunto do conjunto universo; 2. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto; 3. Todo conjunto é subconjunto de si próprio; 4. Se todo elemento de um conjunto A pertence também a um conjunto B, e todo elemento de B pertence a um conjunto C, então todo elemento de A pertence a C (propriedade da transitividade). Relações de pertinência são estabelecidas entre elemento e conjunto, enquanto que as relações de continência são estabelecidas entre conjunto e conjunto. Exemplo 4.4 – Relações de Continência Considere os conjuntos: A = {1, 6, 10, 16 } B = {6, 10} C = {6, 10, 16, 50 } Sobre esses conjuntos podemos fazer as seguintes afirmações: B ⊂ C, pois todo elemento de B também pertence a C. B ⊂ A, pois todo elemento de B também pertence a A. B ⊂ A, pois todo elemento de B também pertence a A e existem elementos de A que não pertencem a B. Este sinal é utilizado nos casos em que se deseja enfatizar tal situação. A ⊄ C, pois há elementos de A que não pertencem a C. ∅ ⊂ B, pois o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto {6 }⊂ B, pois 6 também pertence ao conjunto B. Pare e Reflita: Por que a afirmação ∅ ⊄ B do exemplo 4.4 é verdadeira? Auto Avaliação 4.3 Considere os seguintes conjuntos:

74

A = {x|x é um número natural maior do que 4} B = {12,16, 24, 32} C = {x|(∃y)(y é um número natural e x = 2y)} Indique quais afirmações são verdadeiras. 1. B⊂C 2. A⊂C 3. {24} ∈B 4. B⊂A 5. {n|n é um número ímpar menor do que 10} ⊃ A

4.4. Diagramas de Venn Além das formas de representação apresentadas na seção 4.1., podemos expressar um conjunto através de diagramas de Venn, de forma a facilitar o entendimento de definições, o desenvolvimento de raciocínios e a compreensão dos componentes e relacionamentos que estejam sendo discutidos (MENEZES, 2008). Um diagrama de Venn é uma representação pictórica na qual os conjuntos são representados por áreas delimitadas por curvas no plano.

Lipschutz e Lipson (2004) Para seguir este modelo de representação, devemos observar as seguintes regras: Diagramas de Venn 1. O conjunto universo é representado por um retângulo; 2. Cada um dos demais conjuntos é representado por um círculo (ou uma elipse); 3. Cada conjunto deve ser identificado por uma letra maiúscula; A seguir, são ilustradas algumas situações para que você possa entender como utilizar Diagramas de Venn para representar conjuntos. Para representar a continência de dois conjuntos, construímos uma elipse dentro de outra, como segue:

75

Figura 4.1: Diagrama de Venn

A Figura representa a relação A⊂B, ou seja A é subconjunto de B. Perceba que a elipse que representa o conjunto A está totalmente contida na que representa o conjunto B. Isto representa que todos os elementos de A são também elementos de B, conforme a definição de subconjunto já apresentada. Observe agora a Figura:

Figura 4.2: Diagrama de Venn

Perceba que as elipses que representam os conjuntos A e B estão totalmente separadas. Isto representa que não existem elementos de A que sejam também elementos de B. Neste caso, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Pare e Reflita: E se quisermos representar dois conjuntos A e B onde seja possível que alguns elementos de A não pertençam a B e que alguns elementos de B não pertençam a A? Neste caso, a representação é como segue:

Figura 4.3: Diagramas de Venn

76

Para representar as relações de pertinência, escrevemos os elementos que pertencem ao conjunto no interior da região que o representa e, fora desta região, escrevemos os elementos que não pertencem ao conjunto. Exemplo 4.5 – Diagrama de Venn Considere os conjuntos: A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 2, 4, 6} C = {10, 12, 14} Esses conjuntos podem ser representados pelo seguinte diagrama:

Note que os elementos que os conjuntos A e B possuem elementos em comum. Já o conjunto C é disjunto de A e B.

77

4.5. Conjuntos Numéricos

4.5.1. Conjunto dos Números Naturais Chama-se conjunto dos números naturais, simbolizado por N, o conjunto formado pelos números 0, 1, 2, 3, ...

Iezzi e Murakami (1993) Representamos o conjunto dos números naturais por:

N = {0,1,2,3,4,...,n,...} onde n representa um elemento qualquer do conjunto. É importante saber que o conjunto dos números naturais é um conjunto infinito e ordenado. Esta última propriedade significa que dados dois elementos de N, é possível que eles sejam iguais ou que um seja maior ou menor que o outro (SMOLE; DINIZ, 2003).

4.5.2. Conjunto dos Números Inteiros O conjunto dos números inteiros é uma extensão do conjunto dos números naturais, sendo representado por:

Z = {...,-2,-1,0,1,2,...} Assim como o conjunto dos números naturais, o conjunto dos números inteiros também é infinito e ordenado. Todos os elementos de N pertencem também a Z, o que nos permite afirmar que N é um subconjunto de Z. Ou seja, N⊂Z ou Z⊃N.

Figura 4.4

No conjunto dos números inteiros, destacamos alguns subconjuntos notáveis:

• Z* = {..., -2, -1,1,2,...}: conjunto dos números inteiros não-nulos; • Z+ = {0,1,2,3,...} = N: conjunto dos números inteiros não-

negativos; • Z- = {..., -2, -1,0}: conjunto dos números inteiros não-positivos; • Z*+ = {1,2,3,...}: conjunto dos números inteiros positivos; • Z*- = {..., -3, -2, -1}: conjunto dos números inteiros negativos.

78

4.5.3. Conjunto dos Números Racionais Antes de definir o conjunto dos números racionais, é preciso que haja compreensão sobre o que é um número racional. Número racional é todo número que pode ser escrito na forma a/b, onde a e b são números inteiros e b≠0. Assim, dizemos que 2 é um número racional, já que pode ser escrito como 2/1. Do mesmo modo 1,75 e 0,333... também são números racionais, já que podem ser escritos, respectivamente, como 7/4 e 3/9 Todo número racional pode ser escrito na forma fracionária ou na forma decimal. Dizemos que são racionais os números cuja representação decimal é finita ou infinita e periódica. Agora é possível definir o conjunto dos números racionais. O conjunto dos números racionais, indicado por % é definido como: q = {a/b a e b ∈ Z e b≠0}. Tal qual o conjunto dos números naturais e o conjunto dos inteiros, os racionais também são infinitos e ordenados.

Q = {.... -3, -2,-1, -1/2, 0,1,2,2/5,...} Deve ficar claro que z é um subconjunto de Q, uma vez que todo número inteiro pode ser escrito na forma fracionária.

Figura 4.5

No conjunto Q destacamos, ainda, os seguintes subconjuntos: Q*: conjunto dos números racionais não nulos; Q+: conjunto dos números racionais não negativos; Q_: conjunto dos números racionais não positivos; Q*+: conjunto dos números racionais positivos; Q*_: conjunto dos números racionais negativos;

79

4.5.4. Conjunto dos Números Irracionais O conjunto dos números irracionais é composto por todos os números cuja representação decimal é infinita e não periódica. Com base nesta definição podemos afirmar que √2 é um elementos do conjunto dos irracionais, uma vez que √2 = 1,4121356237309504880168872420 ... Existem alguns números irracionais notáveis, dentre os quais destacam-se, o número π, cujo valor aproximado é 3, 141592654 e o número áureo, representado pela letra grega φ (fi).

4.5.5. Conjunto dos Números Reais Quando falamos em conjunto dos números reais (R) estamos nos referindo a todos os números já vistos até aqui. Ou seja, x é um número real se x pertence ao conjunto dos números racionais ou se x pertence ao conjunto dos números racionais. Formalmente, temos: De acordo com o que vimos até agora, podemos estabelecer a seguinte relação:

Figura 4.6

Além dos conjuntos apresentados (N, Z, Q, e R), também são subconjuntos de R: • R* = {x∈R|x≠0}: conjunto dos números reais não nulos; • R+ = {x ∈ R| x ≥ 0}: conjunto dos números reais não negativos; • R_ = {x ∈ R|x ≤ 0}: conjunto dos números reais não positivos; • R*

+ = {x ∈ R |x > 0}: conjunto dos números reais positivos; • R*

- = {x ∈ R |x < 0}: conjunto dos números reais negativos;

80

O conjunto dos números reais possui subconjuntos definidos por meio de desigualdades, que são conhecidos como intervalos. Resumidamente, sendo a e b dois números reais, podemos ter: Intervalos Reais 1. Intervalo fechado de extremos a e b. {x∈R| a ≤ x ≤ b}

Notação: [a,b] 2. Intervalo aberto de extremos a e b. {x∈R| a < x < b}

Notação:] a, b[ 3. Intervalo aberto em a e fechado em b. {x ∈ R| a < x ≤ b}

Notação:] a, b] 4. Intervalo fechado em a e aberto em b. {X∈R| a < x < b}

Notação: [a,b[ Também devem ser considerados os intervalos infinitos, como segue:

81

4.5.6. Conjunto dos Números Complexos Os números complexos surgiram da necessidade de representar números como √-25, de forma a ser possível solucionar algumas equações. Foi o matemático Bombelli (1526 - 1573) que pela primeira vez considerou √-1 como um número qualquer e passou a desenvolver regras para trabalhar com esses números. A partir de então, os matemáticos passaram a trabalhar com raízes quadradas de números negativos e a desenvolver estudos sobre esses números “imaginários”, como designou Bombelli. Como fruto desses estudos, surgiu a notação a + √-b, que no final do século XVIII e início do século XIX, sobretudo a partir dos trabalhos de Friedrich Gauss, passou a ser chamado de número complexo, sendo simbolizado por a + bi. Número complexo é todo par ordenado de números reais (a, b) que pode ser escrito na forma a + bi, onde i é a unidade imaginária, ou seja, i = √-1.

82

Sendo z = a + bi, a,b∈R, dizemos que a é a parte real de z e b é a parte imaginária. Nos casos em que a = 0, z é chamado de imaginário puro, se b≠0. Se b = 0,z é real. Os diferentes conjuntos numéricos são resumidos no diagrama a seguir:

Figura 4.7

83

Exercícios Resolvidos 1. (Extraído de GERSTING, 2003) Sejam os conjuntos A = {x |x ∈ R e x2 - 4x + 3 = 0} e B = {x |x ∈ N e 1 < x < 4}. Prove que A ⊂ B. SOLUÇÃO: Seja x ∈ A. Então, x∈R e x2-4x + 3 = 0, o que nos da x=1 ou x = 3. Em ambos os casos x∈ N e 1 ≤ x ≤ 4, logo x ∈ B. Portanto, 4 ⊂ B. Como o valor 4 pertence a B, mas não pertence a B, podemos concluir que A⊂B. 2. Quais dos seguintes conjuntos são iguais {1, 3, 5}, {5, 5, 3, 1}, {1, 3, 1, 3, 5}, {1, 3, 5}? SOLUÇÃO: Todos os conjuntos apresentados são iguais, uma vez a reordenação e a repetição de elementos não alteram o conjunto. 3. (Adaptado de GERSTING, 2003) Dados os conjuntos A = {x |x é múltiplo de 6} e B = {x | x é múltiplo de 3}, prove que A⊂B. SOLUÇÃO Consideremos um elemento qualquer x pertencente a A (x∈A). Para provar que A e B, precisamos mostrar que este elemento arbitrário x, satisfaz a característica de B, ou seja, devemos demonstrar que x é múltiplo de 3. Visto que x é múltiplo de 6, ele pode ser decomposto como x = n.6, para algum número inteiro n. Esta última equação pode ainda ser escrita na forma x = n.2.3 ou ainda x = m.3, onde m = n.2. Desta forma, é possível afirmar que x é também um múltiplo de 3 e, portanto, x ∈ B. 4. Mostre que A = {2, 4, 6, 8} é um subconjunto próprio de B = {1, 2, 3, ..., 8, 9}.

SOLUÇÃO Todo elemento de A pertence a B, portanto A⊂B. Entretanto, há elementos de B que não pertencem a A. Portanto A≠B. Desta forma, A é um subconjunto próprio de B

84

RESUMO

Um conjunto é uma coleção não ordenada de objetos, onde cada objeto é chamado de elemento do conjunto.

Há basicamente duas formas de representação de conjuntos: por extensão e por compreensão. No primeiro caso, os elementos são listados exaustivamente e, no segundo, o conjunto é representado por uma propriedade que caracteriza seus elementos.

Qualquer objeto que seja elemento de um conjunto é dito pertencer a este conjunto. Esta é a relação de pertinência e é denotada por ∈. Se um objeto não faz parte de um conjunto, indica-se por ∉.

Denomina-se conjunto vazio aquele que não possui nenhum elemento. Representa-se por ∅ ou { }.

Chama-se unitário o conjunto que possui um, e somente um elemento. Qualquer conjunto que pode ser representado por extensão é chamado

de conjunto finito. Um conjunto é dito infinito quando não é possível listar todos os seus

elementos. Dois conjuntos são iguais se, e somente se, todo elemento pertencente

a um deles também pertencer ao outro e vice versa. O conjunto A é dito subconjunto de B se, e somente se, todo elemento

de A também é elemento de B. Indica-se por A ⊂ B. O conjunto A é dito subconjunto próprio de B se, e somente se, todo

elementos de A também é elemento de B e existe um x ∈ B tal que x ∉ A. Indica-se por A ⊂ B.

Chama-se conjunto universo de uma Teoria a todos os entes que são considerados como elementos nesta Teoria.

Conjuntos cujos elementos são valores numéricos são chamados de conjuntos numéricos.

Os conjuntos numéricos são os seguintes: naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos.

85

Exercícios Propostos 1. (Adaptado de Menezes, 2008) Para cada conjunto abaixo: • Descreva de forma alternativa (usando outra forma de notação); • Diga se é finito, infinito, unitário ou vazio; a) Todos os números ímpares maiores que 12. b) {x|x ∈ N e x é par e 2<x<13}. c) Todos os países do mundo. d) {Sarney, Collor, Itamar, Fernando Henrique, Lula}. e) {x|x∈ R e x2+4 = 0}. RESOLUÇÃO a) {x| x ∉ R e x é impar e x>12}, conjunto é infinito. b) {4, 6, 8, 10, 12}, o conjunto é finito. c) {x|x são todos os paises do mundo}, conjunto finito. d) { x|x são os presidentes após o regime militar}, conjunto finito 2. (GERSTING, 2003) Sejam A = {x | x ∈ N e 1< x < 50} B = {x |x∈ R e 1<x<50} C = {x|x∈Z e x ≥25] Quais das sentenças a seguir são verdadeiras? a) A ⊂ C (F) b) -40 ∈ C (F) c) ∅∈B (V) d) 17 ∈ A (V) e) √3∈B (V) f) A⊂B (V) g) {0, 1, 2}⊂ A (F) h) {x| x∈Z e x2>625}⊂C (F) 3. (LIPSCHUTZ; LIPSON, 2004) Liste os elementos dos conjuntos a seguir, considerando o conjuntos universo U = {a, b, c, ... , y, z }. Identifique os conjuntos iguais, se existirem. A = { x | x é vogal} A={a, e , i , o ,u} B = { x | x é uma letra na palavra bolo} B={b,l,o} C = { x | x precede f no alfabeto} C={a, b,c,d,e} D = { x | x é uma letra na palavra lobo} D={b,l,o} Os conjuntos B e D são iguais.

86

4. Mostre que A = {1,2,4,6,8} não é um subconjunto de B = {x|x ∈ N e x é par}. Sendo A∩B={2,4,6, 8}, e A-B={1}, observamos que existe um elementos de A que não pertencem a B, logo A não é subconjunto de B(A⊄B). 5. Mostre que A = {1,2,4,6,8} é um subconjunto próprio de B = {x|x e Z*

+}. De acordo com a definição de subconjunto próprio temos: Se B contiver elementos que não estão em A, então A diz-se um subconjunto próprio de B. Sendo os elementos de B={1, 2, 3, 4, ...}, observamos que todos os elementos de A pertencem ao conjunto B, logo A é subconjunto próprio de B.

87

Capítulo 05 Álgebra dos Conjuntos No capítulo anterior apresentamos os fundamentos da teoria dos conjuntos, dando ênfase, sobretudo, às relações entre elemento e conjunto (pertinência) e entre conjunto e conjunto (continência). Tais relações estabelecem mecanismos para a comparação de conjuntos. Para complementar esse estudo, vamos introduzir, neste capítulo, a álgebra dos conjuntos, que consiste em algumas operações que são definidas sobre conjuntos: união, interseção, complemento, diferença, produto cartesiano, entre outras. Tais operações são, na verdade, maneiras de se criar novos conjuntos a partir de conjuntos já existentes, sendo muito aplicadas em diversas áreas. Em particular na informática, existem aplicações diretas em linguagens de programação, teoria da computação, banco de dados. É importante que durante a leitura do texto e, principalmente, na resolução dos exercícios, você consiga perceber a relação existente entre os conectivos lógicos e as operações sobre conjuntos, fazendo as devidas associações. E então, vamos lá?

5.1. União de Conjuntos Chamamos união ou reunião de dois conjuntos A e B, denotada por A∪B, ao conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B. A∪B = {x|x ∈ A ∨ x∈B} Observe que A ∪ B corresponde à operação lógica disjunção, uma vez que considera os elementos que pertencem a A ou a B. A representação gráfica da união é dada a seguir. A união corresponde à área sombreada.

Figura 5.1

Considerando os conjuntos numéricos apresentados na seção 4.5., é imediata a conclusão de que o conjunto dos números reais nada mais é

88

senão a união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais.

Pare e Reflita: Tomando por base o que afirmamos sobre o conjunto dos números reais, escreva uma afirmação similar sobre o conjunto dos números complexos. Exemplo 5.1 – União de Conjuntos Considere os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4 } B = { 2, 4, 6} C = {10, 12, 14} D = {x∈lR|-1<x≤2} E = [0, 5[ Dos conjuntos apresentados, podemos calcular: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6} B ∪ C = {2, 4, 6, 10, 12, 14} A representação gráfica das operações é a seguinte:

A ∪ B B∪C

Note que os conjunto D e E são intervalos reais, para calcular D ∪ E, devemos representar esses intervalos na forma gráfica.

D∪E={x∈R|-1<x<5} ou ]-1,5[

89

5.2. Interseção de Conjuntos Chamamos interseção de dois conjuntos A e B, denotada por A ∩ B, ao conjunto de todos os elementos que pertencem simultaneamente a A e a B.

A∩B = {x|x∈A ∧ x ∈ B} Perceba que a interseção de conjuntos corresponde à operação lógica conjunção, visto que considera apenas os elementos pertencentes ao conjunto A e ao conjunto B, simultaneamente. A representação gráfica da interseção é apresentada a seguir. A região sombreada corresponde ao conjunto interseção.

Figura 5.2

Exemplo 5.2 – Interseção de Conjuntos Considere os conjuntos: A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 2, 4, 6} C = {10, 12, 14} D = {x∈lR|-1<x≤2} E = [0, 5[ Dos conjuntos apresentados, podemos calcular: A ∩ B = {2, 4} B∩C = ∅ D ∩ E = {x ∈ IR |0 < x ≤ 2} ou [0, 2] A representação gráfica das operações é a seguinte:

A ∩ B B∩C

90

Os conjuntos B e C são disjuntos, uma vez que sua interseção é o conjunto vazio. Os conjuntos D e E são intervalos reais, o cálculo da interseção é feito da seguinte forma:

D ∩ E = {x ∈ IR |0 ≤ x ≤ 2} ou [0, 2]

5.3. Complemento de um Conjunto – Diferença Lembre-se: Todos os conjuntos que são considerados em um determinado contexto são subconjuntos de um conjunto universo fixo U. Supondo o conjunto universo U, define-se o complementar de um conjunto A, denotado por AC, como o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a U, mas não pertencem a A.

Ac = {x | x ∉ A} Observe que o complemento corresponde à operação lógica negação, uma vez que considera todos os elementos que não pertencem ao conjunto em questão. A região sombreada da figura representa o complemento do conjunto A.

Figura 5.3

Exemplo 5.3 – Complemento de um Conjunto Supondo o conjunto universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e sendo A = {2, 4, 6, 8}. O complemento de A é dado por AC = {1, 3, 5, 7, 9} Graficamente, temos:

91

A área sombreada representa o complemento do conjunto A. Ou seja, contém todos os elementos do conjunto universo que não pertencem a A. Supondo o conjunto IR como conjunto universo, temos:

QC = I Ic = Q

O complementar de Q em relação ao conjunto IR é o conjunto I, uma vez que E contém todos os números reais que não são racionais. Da mesma forma, o complementar de I em relação a IR é o conjunto Q. Pare e Reflita: Para um conjunto universo U, determine o complemento do conjunto vazio. Outra importante operação entre dois conjuntos A e B é a diferença, que é definida como o conjunto dos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B. Isto é:

A-B = {x|x∈A ∧x∉B} A região sombreada representa graficamente a diferença entre os conjuntos A e B.

Figura 5.4

É importante observar que a diferença entre conjuntos não é comutativa, ou seja, A – B ≠ B – A. Exemplo 5.4 – Diferença de Conjuntos Supondo os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}. Para os conjuntos considerados, temos:

92

A – B = {1, 3, 5, 7, 9} B – A = {10, 12} Graficamente, temos: A-B B-A

A região sombreada representa a diferença e é composta pelos elementos que pertencem a um conjunto, mas não pertencem ao outro. Considerando os seguintes conjuntos R, Q e I, temos: R-Q = I Q-I = Q Se do conjunto dos números reais retirarmos o conjunto dos números racionais, teremos como resultado o conjunto dos números irracionais. Da mesma forma, se retirarmos de ℝ todos os números irracionais, teremos o conjunto ℚ como resultado. Auto Avaliação 5.1 (MENEZES, 2008) Suponha o conjunto universo U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e os seguintes conjuntos: A= {2,4,6,8} B= {1,4,5,9} C= {x|x∈Z∧2≤x<5} Determine: 1. A∪B 2. A∩C 3. A-B 4. (A ∩ B)c 5. (B-A)c∩(A-B)

93

5.4. Conjunto das Partes Pare e Reflita: Considerando A = {1,2,3), é possível determinar todos os seus subconjuntos. Já sabemos que, para um conjunto A qualquer, as relações a seguir são sempre válidas: A⊂A ∅⊂A Portanto, os subconjuntos de A são, além do conjunto vazio e dele próprio: {1},{2},{3},{l,2},{l,3}e{2,3} Com base no exposto, podemos determinar um novo conjunto cujos elementos sejam todos os subconjuntos de A. Este novo conjunto é chamado de conjunto das partes, ou conjunto potência, de A e é denotado por P(A). Supondo um conjunto A, o conjunto das partes de A, é definido como:

P(A) = {X | X ⊂ A} O conjunto das partes de um conjunto A deverá conter pelo menos ∅ e ele próprio, pois ∅⊂A e A ⊂ A. Exemplo 5.5 - Conjunto das Partes Supondo os conjuntos A = {1}, B = {2, 4} e C = {∅, 1, {2}}, temos: P(A) = {∅, {1}}, formado por todos os subconjuntos de A. P(B) = {∅, {2}, {4}, {2, 4}}, formado por todos os subconjuntos de B. Atenção para o conjunto P(C): P(C) = {∅, {1}, {∅}, {{2}}, {∅, 1}, {∅, {2}}, {1, {2}}, {∅, 1, {2}}} Observe a presença dos elementos {∅} e {{2}} em P(C). Ela é justificada pelo fato de ∅ e {2} serem elementos de C. Pare e Reflita: Supondo que um conjunto A tem n elementos, quantos elementos tem P(A)? Com base no exemplo 5.5., podemos afirmar que dado um conjunto A, com n elementos, o número de elementos do conjunto P(A) é 2n. Existem diversas maneiras de demonstrar a validade desta afirmação, a mais comum é a prova por indução, que não demonstraremos aqui. >

94

Auto Avaliação 5.2 1. O que pode ser dito sobre A se P(A) = {∅,{x},{y},{x,y}}? 2. Encontre P{B) para B = {∅}.

5.5. Produto Cartesiano Sejam dois conjuntos A e B. O produto cartesiano de A por B, denotado por A X B, é o conjunto de todos os pares ordenados5 (a, b), onde a∈A e b∈B. Isto é,

A x B = {(a,b)|a ∈A ∧ b∈ B} Em outras palavras, podemos dizer que o produto cartesiano é uma operação binária que, aplicada a dois conjuntos A e B, resulta num outro conjunto formado por seqüências de duas componentes, onde a primeira componente de cada seqüência pertence ao conjunto A, e a segunda componente pertence ao conjunto B (MENEZES, 2008). O esquema a seguir ilustra a determinação dos pares ordenados que vão compor o produto cartesiano entre os conjuntos A = {1, 2} e B = {2, 1}.

AxB = {(1, 2), (1, 1), (2, 2), (2, 1)}

Exemplo 5.6 – Produto Cartesiano Sejam os conjuntos A = {x}, B = {1, 2, 3} e C = {m, n} A X B = {(x, 1), (x, 2), (x, 3)} B X C = {(1, m), (1, n), (2, m), (2, n), (3, m), (3, n)} A x A = A2 = {(x, x)} A X N = {(x, 1), (x, 2), (x, 3), ...} BxA = {(1, x), (2, x), (3, x)} É conveniente destacar que o produto cartesiano é uma operação: a) Não comutativa, ou seja, AxB ≠ BxA; Do exemplo 5.6., temos: AxB = {(x, 1), (x, 2), (x, 3)}

5 Um par ordenado é uma seqüência de dois elementos em uma ordem fixa.

95

BxA = {(1, x), (2, x), (3, x)} Tenha em mente que (1, x) ≠ (x, 1), visto que em pares ordenados a ordem em que os elementos aparecem é levada em consideração. Com base nisto, concluímos que os conjuntos A x B e B x A são disjuntos e, portanto, diferentes. b) Não associativa, ou seja, (AxB)xC≠Ax(BxC). Considerando os conjuntos apresentados no exemplo 5.6., é possível definir: (A x B) x C = {(x, 1), (x, 2), (x, 3)}x{m, n} (A × B) × C = {((x, 1), m), ((x, 1), n), ((x, 2), m), ((x ,2), n), ((x, 3), m), ((x, 3), n)} Quando A = B, o produto cartesiano A x B (A x A) é chamado de quadrado cartesiano e é representado por A² Exemplo 5.7 - Produto Cartesiano e Conjuntos Numéricos Sendo R o conjunto dos números reais, o conjunto R2 é formado por todos os pares ordenados (x, y), tais que x ∈R e y∈R. Na ótica da Geometria Analítica Plana, cada um desses pares ordenados é identificado como um ponto no plano cartesiano. Em outra visão, o par (x,y) pode ser visto como um número complexo, que mais frequentemente é designado como x + yi. A seguir, vamos estender o conceito de produto cartesiano para n conjuntos. Sendo A1, A2, ..., An conjuntos quaisquer, o produto cartesiano de A1, A2, ..., An é o conjunto A1 X A2 X ... X An formado por todas as seqüências (x1, x2, ..., xn) tais que x1∈ A1, x2 ∈ A2, ..., xn ∈ An.

A1XA2X...XAn = {(x1, X2.....Xn) | X1 ∈ A1 ∧ X2 ∈ A2 ∧ ... ∧ Xn ∈ An} No caso em que A1=A2 = ... = An, o conjunto A1 x A2 x ... x Ané a n-ésima potência cartesiana de A, habitualmente designada por An. Supondo, portanto, um número natural qualquer, designado por n, a potência cartesiana dos números reais, Rn, é o conjunto de todas as sequências de n números reais. Auto Avaliação 5.3 Sejam A = {a, b} e B= {a,b,c}. Determine: 1. AxB 2. BxA 3. A2 4. (AxB)xA

96

5.6. Identidades de Conjunto Considerando um conjunto universo U, as igualdades apresentadas Tabela 5.1. são válidas para qualquer conjunto A⊂U. Tabela 3.1: Leis da Álgebra de Conjuntos

É possível demonstrar a validade de tais leis através da construção de diagramas de Venn, ou através da inclusão dos conjuntos em ambas as direções. Exemplo 5.8 – Identidades de Conjunto (LIPSCHUTZ e LIPSON, 2004) Demonstrar a seguinte igualdade (AUB)c = Ac∩BC Vamos ver um método que utiliza as propriedades apresentadas para um elemento x qualquer em cada lado da equação (inclusão dos conjuntos em ambas as direções). Para isso devemos provar que (A∪B)c⊂Ac∩Bc e Ac ∩BC ⊂ (A∪B)c. Etapa 01: (A ∪ B)c ⊂ Ac ∩ Bc 1. Sx ∈ (A U B)c e, então x∉(A ∪ B). 2. Logo, x ∉ A ∧ x ∉ B. 3. Portanto, x ∈ Ac ∧ x ∈ Bc. 4. Assim, x ∈ Ac ∩ Bc. Etapa 02: Ac∩Bc⊂(A∪B)c 1. Seja x∈Ac∩Bc. Então, x∈Ac∧x∈Bc. 2. Logo, x ∉ A ∧ x ∉ B. 3. Portanto, x ∉ (A ∪ B). 4. Assim, x ∈ (A U B)c. Nas duas etapas de prova, demonstramos que todo elemento (A∪B)c pertence a Ac∩Bc e que todo elemento de Ac∩Bc pertence a (A∪B)c. Essas duas inclusões permitem concluir que ambos os conjuntos possuem os mesmos elementos e, portanto, (A∪B)C = AC ∩BC.

97

Outro modo de demonstrar a identidade é por diagramas de Venn. Observe: Inicialmente determinamos (A∪B)c

Para determinar Ac∩Bc, vamos representar individualmente Ac e Bc.

Da análise dos dois diagramas, concluímos que Ac C\BC é representado por:

Como as representações são iguais, concluímos que (A∪B)c = Ac∩Bc. Quaisquer conjuntos envolvidos nas operações de união, interseção e complemento satisfazem as leis apresentadas na Tabela 1, que chamaremos aqui de identidades básicas. Por isso, é possível utilizar essas identidades básicas para construir seqüências de demonstração de equações na álgebra dos conjuntos. Para ilustrar, vamos construir uma seqüência de prova para a seguinte equação, extraída de Gersting (2003).

Vamos utilizar as identidades básicas no primeiro membro da igualdade de modo a obter o segundo membro como resultado. O primeiro passo consiste na aplicação da identidade (2ª), que corresponde à lei da associatividade. Com isso, a equação se torna:

Em seguida, aplicando a identidade (3ª), ou lei da comutatividade, a equação assume a seguinte configuração:

98

Agora, após a utilização da identidade (4ª), correspondente à lei da distributividade, ficamos com a seguinte equação:

O próximo passo consiste no uso da lei do complemento (identidade (8b)). Com isso, ficamos com:

Em seguida, a aplicação da identidade (5a), ou lei da identidade ou elemento neutro, resulta em:

Por fim, através da aplicação da identidade (8b), concluímos a sequência de demonstração.

5.6.1. Dualidade Você deve ter notado que as identidades básicas aparecem aos pares na tabela. Esta organização foi baseada no princípio da dualidade. Denomina-se dual de uma equação E da álgebra dos conjuntos a equação E* obtida pela substituição de cada ocorrência de ∪,∩, ∅ e U em E por, respectivamente, ∩,∪, ∪ e ∅.

(LIPSCHUTZ; LIPSON, 2004) Desta maneira, o dual de A ∪B = B∪A é A∩B = B∩A. Na álgebra de conjuntos, se uma equação for uma identidade, então sua dual também o será. Quando demonstramos uma identidade de conjuntos usando as identidades básicas, demonstramos também sua dual. Assim, para a identidade

Sua dual é

99

Pare e Reflita: Tomando por base os conceitos apresentados, como demonstrar a validade desta última identidade? Exemplo 5.9 – Identidades de Conjunto (LIPSCHUTZ; LIPSON, 2004) Provar a seguinte identidade (AuB)n(AU Bc) = A Considerando que A, B são quaisquer subconjuntos de U, e utilizando as identidades básicas de conjuntos no primeiro membro da identidade, temos: 1. A U (S n Sc) Aplicando a Lei da Distributividade 2. ^ U 0 Aplicando a Lei do Complementar em 1 3. ^ Aplicando Lei da Identidade ou Elemento Neutro em 2 A equação dual de (A U B) n {A U Bc) = A é {A n B) U {A n Bc) = A e pode ser igualmente demonstrada pela substituição das identidades básicas utilizadas na sequência de prova por suas respectivas duais. Ao demonstrar uma identidade por meio das identidades básicas de conjuntos, estamos demonstrando também a sua dual. r Auto Avaliação 5.4 1. Prove a distributividade da união sobre a interseção. Au(BnC) = (AuB)n(AuC) 2. Demonstre a seguinte identidade: (AuB)n(AU Bc) = A

5.7. Conjuntos finitos e princípio da enumeração Já sabemos que um conjunto é dito finito quando é possível listar exaustivamente todos os seus elementos. Neste caso, é correto dizer que um conjunto finito é aquele que possui exatamente x elementos distintos, com x∈N. O número de elementos de um conjunto A é simbolizado por n(A). Para quaisquer conjuntos A e B finitos, é válido o seguinte teorema: Se A e B são dois conjuntos finitos, então A∪B e A∩B também são finitos e

n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) Pare e Reflita: E se os conjuntos A e B forem disjuntos, como ficará a fórmula?

100

A fórmula apresentada pode ser estendida para três conjuntos, assumindo a seguinte configuração:

Através da indução matemática, esta fórmula pode ser estendida para qualquer quantidade finita de conjuntos. Exemplo 5.10 – Conjuntos finitos e princípio da enumeração Foi realizada uma pesquisa com 120 estudantes do curso de licenciatura em informática sobre suas habilidades de programação. Dos entrevistados: 65 programam em C 45 programam em Java 42 programam em PHP 20 programam em C e Java 25 programam em C e PHP 15 programam em Java e PHP 8 programam nas três linguagens Com os dados apresentados podemos calcular o número de alunos que programam em pelo menos uma das três linguagens pesquisadas. Para isso, determinamos n(C U/ U P) por meio da fórmula: n(C u/ u P) = n(C) + n(J) + n(P) - n(C n/) - n(C nP)-n(/nP) + n(Cn/nP) Substituindo os dados coletados, temos: n(C U/ U P) = 65 + 45 + 42 - 20 - 25 - 15 + 8 = 100 Outra forma de resolver problemas desta natureza é através do preenchimento do diagrama de Venn. Observe atentamente: Iniciamos o preenchimento pela porção mais interna, ou seja, pela região que corresponde à interseção dos três conjuntos (C∩J∩P), que contém 8 elementos.

Figura 5.5

Em seguida, passamos às regiões intermediárias, ou seja, a interseção de conjuntos dois a dois (C n/), (/nP) e (Cn P), considerando apenas o número de elementos que pertencem estritamente a cada uma das interseções em questão. Deste modo, o número de estudantes que programam em C e Java, mas não programam em PHP é dado por: 20 - 8 = 12. De maneira análoga, calculamos o número de estudantes que programam em C e PHP, mas não em Java, e o número de estudantes que programam em Java e PHP, mas não programam em C. Respectivamente, temos os números: 25 - 8 = 17 e 15 - 8 = 7.

101

Figura 5.6

Posteriormente, preenchemos as regiões correspondentes a cada conjunto. Os valores anotados devem corresponder ao número de elementos que pertencem exclusivamente a cada conjunto. Desta forma, devemos observar o diagrama e verificar quantos elementos já estão incluídos em cada conjunto para realizar os devidos descontos. Assim, encontramos o número de estudantes que programam apenas em uma das linguagens pesquisadas. Desta forma, 65 – (12 + 17 + 8) = 28 estudantes programam apenas em C, 45 – (12 + 8 + 7) = 18 estudantes programam apenas em Java e 42 – (17 + 8 + 7) = 10 estudantes programam exclusivamente em PHP.

Figura 5.7

Com base nestes dados, podemos calcular a quantidade de estudantes que programam em pelo menos uma linguagem através da soma: 28 + 18 + 10 + 12 + 7 + 17 + 8 = 100. Podemos dizer, ainda, que dos 120 estudantes pesquisados, 20 não programam em nenhuma das três linguagens.

Figura 5.8

102

Por meio do diagrama construído somos capazes de responder a várias outras questões como, por exemplo, o número de estudantes que programam exclusivamente em uma única linguagem. Neste caso, basta efetuar a soma: 28 + 18 + 10 = 56. Auto Avaliação 5.5 1. Ainda considerando o exemplo anterior, quantos estudantes programam em, no mínimo duas linguagens de programação? E quantos programam em, no máximo, duas linguagens? 2. Sejam dois conjuntos A e B. Sabendo que ambos possuem 20 elementos e que n(AUB) = 30, determine n(AHB). < > Exercícios Resolvidos 1. (LIPSCHUTZ; LIPSON, 2004) Mostre que é possível An B = An C sem que B = C. SOLUÇÃO Para demonstrar essa igualdade vamos nos valer de um exemplo que demonstra que tal afirmação é verdadeira. Sejam os conjuntos A = {a, b}, B = {b,c}eC = {b, d}. Então: AnB = {b] Bnc = {b] Portanto, AnB=AnC, embora B * C. 2. Demonstre que P(A) n P(B) = P{A n B), sendo A e B conjuntos arbitrários. SOLUÇÃO Supondo CEP(A)nP(B). Então,CEP{A)eCEP{B). Assim, CQAeCQB. Desta última afirmação, vem: C £ A n B e, portanto, C £ P{A n B) P á g i n a | 136

103

Tópico Extra: Diferença Simétrica Chama-se diferença simétrica entre dois conjuntos A e B a operação que gera um novo conjunto formado por todos os elementos que pertencem a apenas um dos conjuntos, ou seja, todos os elementos que pertencem a A ou a B, mas não a ambos. A notação utilizada para representar este novo conjunto é A ⊕ B. Alguns autores utilizam o operador Δ para representar a diferença simétrica. Formalmente, podemos escrever: A ⊕ B = {x | (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∨ (x ∉ A ∧ x ∈ B)} Podemos ainda dizer que A ⊕ B = (A - B) ∪ (B - A). TAREFAS 1. Construa um diagrama de Venn para ilustrar a diferença simétrica entre dois conjuntos arbitrários A e B. 2. Para A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8}, calcule A ⊕ B. 3. Demonstre que A ⊕ B = (A ∪ B) - (A ∩ B), para A e B arbitrários. Resolução: Sendo A-B={1,3} B-A={6,8} Então: A ⊕ B = {1,3,6,8}

Demonstração (A∪B)-(A∪B) Sendo a propriedade da diferença de dois conjuntos: A – B = A∩Bc, temos: (A∪B)-(A∪B) =(A∪B)∩(A∪B)c Lei de Morgan (A∪B)∩(Ac∩Bc) Distributiva ((A∪B)∩Ac)∪( (A∪B)∩Bc) Distributiva ((A∩Ac)∪(B∩Ac))∪((A∩Bc)∪(B∩Bc) Elemento Neutro (∅∪(B∩Ac))∪((A∩Bc)∪∅) Diferença de Conjuntos (A-B)∪(B-A)

104

Leitura Complementar Linguagens de Programação e Conjuntos (extraído de: GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. São Paulo: LTC, 2003) O conceito de conjuntos é um conceito útil e uma noção geral que figura como tipo de dados padrão em algumas linguagens de programação, tais como Pascal. Nessa linguagem o conjunto universo S precisa ser especificado e então as variáveis que representam subconjuntos de S podem ser definidas. Existe um limite de tamanho para o conjunto universo de forma que seus subconjuntos não podem ser arbitrariamente grandes; além disso, o conjunto universo precisa ser enumerável ou contável em uma determinada ordem, como uma seqüência. A declaração de tipo Pascal a seguir define o conjunto universo Alfabeto e como o conjunto de todos os caracteres do teclado, tais como A, X, 7 e %. type Alfabeto = set of char; Agora, subconjuntos de Alfabeto podem ser definidos como variáveis no programa, através de declarações como var Iniciais : Alfabeto; Letras : Alfabeto; e as atribuições a seguir seriam válidas para essas variáveis: Iniciais : = ['A' . . 'F']; Letras := ['C . . 'G']; P á g i n a | 138 onde os pontos indicam uma seqüência na ordem de enumeração que, neste caso, é a alfabética. (Em Pascal são usados colchetes no lugar de chaves para denotar os conjuntos.) Após a atribuição acima, Iniciais tem o valor {A, B, C, D, E, F} e Letras tem o valor {C, D, E, F, G}. A ordem de enumeração é conveniente para a definição de quais são os elementos de um conjunto, mas como eles são conjuntos, a ordem dos elementos não é importante, e a atribuição Iniciais := ['B', 'A', 'D', 'F' 'E', 'C']; dá o mesmo valor a Iniciais que a atribuição anterior. Como um conjunto não é ordenado, não podemos referenciar elementos individuais do conjunto; portanto, não podemos dizer "o terceiro elemento" do conjunto Iniciais. As expressões condicionais podem ser formadas pela comparação das variáveis do tipo conjunto A e B da seguinte maneira: Sintaxe de Programação Semântica (Significado) A = B A = B A <> B A ≠ B A <= B A � B A >= B B � A Finalmente, as operações de união, interseção e diferença são oferecidas pelos operadores +, * e —, respectivamente. O conteúdo de uma variável conjunto A pode ser construído dinamicamente durante a execução do programa, iniciando-se A como um conjunto vazio, e então realizando uniões

105

de A com conjuntos com um único elemento, a fim de incluir esses elementos em A. P á g i n a | 139 RESUMO Se A e B são conjuntos, a união de A e B, denotada por A u B, é o conjunto que contém os elementos que pertencem a A ou que pertencem a B. Se A e B são conjuntos, a interseção de A e B, representada por An B, é o conjunto que contém os elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. Se A e B são conjuntos, a diferença de A e B, simbolizada por A - B, é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Sendo U o conjunto universo, chamamos de complemento de A o conjunto U - A e denotamos por Ac. Denomina-se conjunto das partes de um conjunto A o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. Se um conjunto A possui n elementos, então seu conjunto das partes tem 2n elementos. O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os pares ordenados dos elementos de A que podem ser formados com os elementos de B. Existem identidades básicas (em pares duais) que podem ser utilizadas para provar a identidades de conjuntos. Se A e B são conjuntos finitos, então AuB e AnB também o serão, sendo válida a seguinte igualdade n(A u S) = n(A) + n(B) - n(A n B). • • • P á g i n a | 140

106

Exercícios Propostos 1. Sejam os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f, g} e C = {b, d, e, g}, subconjuntos de U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}. Determine: a) A – B = {a,b} b) B – A = {e,f,g} c) (A∪C) – B = {a, b} d) (A ∩ B)C ={a, b, e, f, g, h i, j} e) (A∪B)∩CC = {a, c, f} 2. (IEZZI; MURAKAMI, 1993) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 4, 6, 8} e C = {2, 4, 5, 7}, obtenha um conjunto X tal que X ⊂ A e A - X = B ∩ C. Dados: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 2, 4, 6, 8} C = {2, 4, 5, 7} X ⊂ A A - X = B ∩ C Sendo B ∩ C = {2, 4, 5} Se X ⊂ A, então: X = A-{2, 4, 5}, logo X = {1,3, 5} 3. (GERSTING, 2003; LIPSCHUTZ; LIPSON, 2004) Sejam A, B e C subconjuntos de U. Demonstre as seguintes identidades, através da inclusão em ambas às direções ou usando as identidades básicas de conjuntos. a) A∪(B∩A) = A sendo A=p(x) e B= q(x), temos: {x| p(x)∨(q(x)∧p(x))}, usando a propriedade de simplificação temos: {x| p(x)∨p(x)}= {x| p(x)} = A b) (A∩B)∪(A∩BC) = A 1. A∩(B∪Bc) Distributiva 2. A∩U Complemento 3. A Elemento Neutro. g) A ∩ (B ∪ AC) = B ∩ A 1. (A∩B)∪(A∩Ac) Distributiva 2. (A∩B)∪∅ Complemento 3. A∩B Elemento Neutro 4. B∩A Comutativa h) (A∪B) = (A∩BC)∪(AC∩B)∪(A∩B) (A∩BC)∪(AC∩B)∪(A∩B) Comutativa (A∩BC)∪(B∩AC)∪(B∩A) Associativa (A∩BC)∪(B∩AC∪A) Distributiva (A∩BC)∪(B∩U) Elemento Neutro (A∩BC)∪B Elemento Neutro (A∪BC)∩(B∪Bc) Distributiva

107

(A∪BC)∩U Elemento Neutro A∪(BC∩U) Associativa A∪B Elemento Neutro 4. Esboce um diagrama de Venn para os conjuntos A, B e C, onde A ⊂ B, os conjuntos B e C são disjuntos, mas A e C têm elementos comuns. Não existe tal diagrama de Venn. Se A e C tem um elemento em comum x, e A⊂B, então x deve também pertencer a B, Logo, B e C também devem ter um elemento em comum. 5. (IEZZI; MURAKAMI, 1992) Sabendo que A e B são subconjuntos de U, AC = {e, f, g, h, i}, A∩B = {c, d}, A∪B = {a, b, c, d, e, f}, responda: quantos elementos têm A e B, respectivamente? Sendo: A∩B = {c, d} A∪B = {a, b, c, d, e, f} Ac={e, f, g, h, i} Temos: A∪B∪Ac=U {a, b, c, d, e, f}∪{e, f, g, h, i}={a,b,c,d,e,f,g,h,i} A=U-Ac={a,b,c,d}, logo a tem 4 elementos B=(A∩B)∪((A∪B)∩AC)={c,d,e,f}, logo B tem 4 elementos 6. (PINTO, 1999) Determine o conjunto das partes do conjunto das partes de A = { a }. P(A)={∅,{a}} 7. (IEZZI; MURAKAMI, 1992) Considerando os conjuntos A, B e C, representados no diagrama abaixo e sabendo que n(A∪B) = 24 n(A∩B) = 4 n(B∪C) = 16 n(A - C) = 11 n(B - C) = 10, calcule: a) n(A - B)=x x+4+12=24 x=24-16 x=8 b) n(A∩B∩C) n(A - C)- n(B - C)=1 c) n(B-(C∪A)) 16-4- 6=16 d) n((A∩B) - C) 4-1=3 e) n(B - (A∩B)) 16-4=12

108

Capitulo 06 Estudo das Funções O conceito de função é de fundamental importância para a Matemática e para a Ciência da Computação, pois apresenta a capacidade de representação de situações do mundo real (GERSTING, 2003). Geralmente, o conceito de função está atrelado à idéia de relacionar valores. Na verdade, uma função é um tipo especial de relação, que, por sua vez, corresponde à associação entre elementos de dois conjuntos. Neste capítulo, faremos um breve estudo sobre relações e funções, priorizando seus aspectos mais relevantes a serem aplicados na Ciência da Computação. Vamos lá?

6.1. Noções sobre Relações Certamente você já teve contato com inúmeras relações matemáticas durante seus estudos. Nos capítulos anteriores estudamos algumas delas: “está contido em”, “é um subconjunto de”, “pertence a”. Além disso, há outros exemplos de relações, como “é menor que”, “é maior que”, “é perpendicular a”, e assim por diante. Com base no exposto, podemos dizer que uma relação é uma comparação entre dois objetos (SCHEINERMAN, 2003). Toda relação é expressa em termos de um par ordenado (a, b), onde indicamos a como o primeiro elemento e b como o segundo elemento. Uma relação é um conjunto de pares ordenados. E você provalmente deve estar se perguntando: como assim, um conjunto de pares ordenados? Vamos, então, explicar melhor o que isto significa. Considere dois conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 4, 9, 16, 25}. Já sabemos que o produto cartesiano de A por B é o conjunto AxB = {(x,y)|x ∈ A ∧ y ∈ B}, formado por 15 elementos. Vamos considerar agora o conjunto dos pares ordenados (x,y) de A x B tais que y = x2. Neste caso, temos:

R = {(1,1), (2,4), (3,9)} Note que o conjunto R é um subconjunto de A x B, no qual cada elemento de A é associado a um elemento de B por meio de uma “regra” ou “correspondência”. Neste caso, dizemos que R é uma relação de A em B, representada por um conjunto de pares ordenados, nos quais o segundo elemento é igual ao quadrado do primeiro elemento. Assim, podemos afirmar para cada par ordenado (x, y):

109

i. (x,y) ∈R, x é relacionado com y, ou seja x R y.

ii. (x,y) ∉ R, x não é relacionado com y, ou seja x y. Deste modo, podemos afirmar que xRy ⇔ (x,y)∈R. Ou seja, x está associado a y pela relação R. Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária, ou simplesmente relação de A em B a todo subconjunto de A X B. Ou seja, R é relação de A em B, se e somente se, R⊂AXB. O conceito de relação pode, ainda, ser estendido para n conjuntos. Neste caso, temos uma relação n-ária, que é definida como segue: Dados dois conjuntos A1, A2, ... , An chamamos relação n-ária em A1, A2, ..., An um subconjunto de A1xA2x ...xAn. Ou seja, R é relação de em A1, A2, ..., An, se e somente se, R ⊂ A1xA2x...xAn. Exemplo 6.1 – Relações a) Sejam os conjuntos A = {Machado de Assis, Camões, Gonçalves Dias} e B = {Os Lusíadas, Canção do Exílio, Dom Casmurro}; b) Considere os conjuntos M = {1, 2, 3, 4} e N = {1, 2, 3}. Podemos definir uma relação de A em B por (x, y) R se x é autor de y. Assim: R = {(Machado de Assis, Dom Casmurro), (Camões, Os Lusíadas), (Gonçalves Dias, Canção do Exílio)} De acordo com R, Machado de Assis R Dom Casmurro, Camões R Os Lusíadas, etc. Sobre os conjuntos M e N, podemos definir R = {(x, y) | x < y}. Assim, os elementos de R são todos os pares ordenados de M x N, nos quais o primeiro elemento é menor que o segundo. Assim, temos: R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}

Pare e Reflita: Toda relação é um conjunto. Então, é possível realizar sobre relações, as operações de união, interseção e diferença, por exemplo?

110

Uma relação pode ser representada graficamente por meio de um diagrama de flechas. A seguir, temos a notação gráfica de R = {(x, y) | x < y}, apresentada no Exemplo 6.1.

Figura 6.1

É comum chamarmos o conjunto M de conjunto de partida da relação e o conjunto N de conjunto de chegada ou contradomínio da relação.

(IEZZI; MURAKAMI, 1993)

Você deve ter notado que nem todos os elementos dos conjuntos M e N aparecem como elementos dos pares ordenados que compõem a relação R. Com base nisto, podemos definir dois conjuntos especiais, conforme ilustrado na figura.

Figura 6.2

O conjunto D⊂M é chamado de domínio da relação R e contém todos os primeiros elementos dos pares ordenados que pertencem a R. Já o conjunto Im ⊂ N é conhecido como imagem de R e é formado por todos os segundos elementos dos pares ordenados que pertencem a R. Deste modo, podemos escrever para a relação R = {(x, y) | x < y}.

D = {1, 2} e Im = {2, 3}

111

Uma observação importante sobre as relações binárias é que um determinado primeiro elemento x e um certo segundo elemento y podem ser relacionados várias vezes na relação (GERSTING, 2003). Dizemos que uma relação R é biunívoca ou injetiva (ou de um-para-um) se cada primeiro elemento x e cada segundo elemento y aparecem não mais que uma vez em R Ou seja, cada elemento x faz par com um único elemento y e vice versa.

Figura 6.3

Nos casos em que um primeiro elemento x ou um segundo elemento y aparece mais de uma vez em R, temos, respectivamente, que R é uma relação um-para-vários ou vários-para-um. Em outras palavras, dizemos que em uma relação é do tipo um-para-vários quando um elemento do domínio possui mais de uma imagem correspondente. Quando um elemento do contradomínio é imagem de mais de um elemento do domínio, dizemos que a relação é do tipo vários-para-um, ou unívoca.

Figura 6.4

Figura 6.5

112

Existem, ainda, as relações do tipo vários-para-vários. Em relações deste tipo pelo menos um elemento do domínio possui mais de uma imagem e, simultaneamente, existe pelo menos uma imagem relacionada a mais de um elemento do domínio.

Figura 6.6

Auto Avaliação 6.1 Dados os conjuntos: A={-1, -2, 0, 2} B={0, 1, 2, 4, 8} C = {1,2,3,4} Para cada uma das relações abaixo, represente por diagramas de flecha, identifique domínio e imagem, classifique em um-para-um, um-para-vários, vários-para-um ou vários-para-vários. 1. R1 = {(x,y)∈A x B |x²=y}

113

2. R2={(x,y) ∈ A x C| x + y = 0}

3. R3={(x,y) ∈ A x B| x≤y}

6.2. Conceitos Introdutórios sobre Funções Para entender o que é uma função, acompanhe a seguinte simulação. Considere uma máquina conforme ilustração abaixo:

Figura 6.7

Esta “máquina” funciona da seguinte forma: ela recebe como entrada um número inteiro e apresenta como saída o número inserido

114

adicionado de 2. Em termos mais simples, podemos dizer que a “máquina” transforma um elemento de entrada através de uma regra e apresenta o resultado desta transformação na saída. A nossa máquina trabalha com valores numéricos inteiros, então apenas valores inteiros são permitidos como entrada. Mas as regras definidas para realizar as transformações não devem ser, obrigatoriamente, fórmulas algébricas. Por exemplo, podemos determinar que a entrada seja um retângulo e a saída seja o valor da diagonal desse retângulo. Neste caso, somente retângulos seriam válidos como entrada. Scheinerman (2003) afirma que o mais importante na definição da regra que transformará dados de entrada em dados de saída é uma criteriosa especificação das entradas permitidas e, para cada entrada, a saída correspondente.

Pare e Reflita: Com base no que foi apresentado, formule uma definição para função.

A seguir, apresentamos um conceito mais rigoroso de função. Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos função de A em B, denotada por f: A → B, a todo subconjunto de A X B no qual cada elemento de A aparece uma única vez como primeiro componente de um par ordenado. Pela definição, você certamente concluirá que uma função é, na verdade, um tipo especial de relação binária. Ainda, tomando por referência a definição apresentada, você notará que toda função é uma relação do tipo um-para-um ou uma relação do tipo um-para-vários. Além disso, numa função, todos os elementos do conjunto de partida precisa ser estar associado a algum elemento do contradomínio. Para melhor entendimento, acompanhe as seguintes situações (IEZZI; MURAKAMI, 1993), considerando os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4} e as seguintes relações de A em B: R = {(x,y)∈A x B | y = x + 1} S = { x,y)∈A x B | y² = x²} T = { x,y)∈A x B | y = x} V = { x,y)∈A x B |y = (x – 1 )² - 1} W = { x,y)∈A x B | y = 2} Para determinar quais das seguintes relações são funções (ou aplicações) de A em B, vamos analisar cada uma delas. A relação R pode ser representada como segue:

115

Figura 6.8

Daí, R = {(0, 1), (1, 2), (2, 3)}. Observe que cada x ∈ A, exceto o 3, está associado a apenas um y ∈ B, tal que (x, y) ∈ R Para o elemento 3 ∈ A, não é possível associar nenhum elemento y ∈ B, de forma que (3, y) ∈ R Neste caso, afirmamos que a relação R não é uma função de A em B, visto que ela não obedece à norma de que todos os elementos do domínio da relação devam estar associados a pelo menos um elemento do contradomínio. Para a relação S, temos o seguinte diagrama de flechas:

Figura 6.9

S = {(0, 0), (1, 1), (1, -1), (2, 2), (3, 3)}. Perceba que esta relação é do tipo vários-para-um, portanto já se pode afirmar que a mesma não é uma função de A em B. A relação T = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} é representada graficamente como:

Figura 6.10

116

Perceba que cada elemento x∈A está associado a apenas um y∈B. Neste caso, a relação T é uma função, já que todos os elementos do conjunto A possuem um elemento associado no conjunto B e esta associação é única. Podemos representar a relação V pelo seguinte diagrama de flechas:

Figura 6.11

V = {(0, 0), (1, -1), (2, 0), (3, 3)}. Observe que, neste caso, todos os elementos do conjunto A possuem associação com elementos do conjunto B, sendo única tal associação. Portanto, V é uma função de A em B. Por fim, considerando a relação W = {(0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2)}, temos:

Figura 6.12

Aqui, temos mais um exemplo de função, uma vez que para todo x ∈ A, existe um só y ∈ B, de forma que (x, y) ∈ W. Para que uma relação de A em B seja uma função, é necessário que todo elemento x ∈ A, sem exceção, esteja associado a um, e somente um, elemento y ∈ B. A figura abaixo mostra a representação de uma função arbitrária.

117

Figura 6.13

Neste caso, f é uma função de A em B, que é representada por f: A→B. A associação dos elementos de A com os elementos de B é um conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y), onde x∈A e y∈B. y é o valor de B que a função associa ao valor x de A, ou seja, f(x) = y (GERSTING, 2003). Como em qualquer relação, o conjunto A é denominado domínio da função, o conjunto B é o contradomínio e cada elemento y = f(x) é chamado de imagem de x. Ao conjunto de todos os valores de imagem denominamos imagem de f. Exemplo 6.2 – Função Considere os conjuntos A = {-1, 0, 1} e B = {0, 1} e as seguintes relações binárias de A em B: R ={(x,y) ∈ A x B |x – y = 0} S = {(x,y) ∈ A x B | y = x²} Para definir quais das relações apresentadas são funções, vamos analisar cada uma delas. A relação R = {(0, 0),(1, 1)} não é função, pois existe um elemento de A que não está associado a algum elemento de B. Observe o diagrama:

A relação S = {(-1, 1), (0, 0), (1, 1)} é função, a qual vamos denominar f. Observe o diagrama:

118

O domínio da função é o conjunto D = {-1, 0, 1}. O contradomínio da função é o conjunto CD = {0, 1} Para determinar a imagem de cada elemento do domínio, é preciso aplicar a função a cada um, como segue: f(-1) = (-1)2 = 1 f(0) = 02 = 0 f(1) = 12 = 1 A imagem de f é o conjunto Im = {0, 1} Auto Avaliação 6.2 (GERSTING, 2003) Quais das relações a seguir definem funções do domínio no contradomínio indicados? Nos casos em que não forem funções, justifique sua resposta. 1.f: A→B, onde A = B = {1,2,3}, f = (1, 1), (2, 3), (3,1), (2,1)} Não é uma função: 2 ∈S tem dois valores associados (2,3) e (2,1) 2. g: Z→Z, onde g é definida por g(x) = |x|. Sendo uma relação um-para-varios, onde x∈Z, concluímos que é uma função. 3. f: S → T, onde S é o conjunto de todas as pessoas em sua cidade maiores de 18 anos, T é conjunto dos números de carteira de identidade e f associa cada pessoa ao número de carteira de identidade. Não é função, nem todo elemento de S tem um número de RG. Exercícios Resolvidos 1. Dada a função f: R→R definida por f(x) = 2x² - 4. Determinar a imagem de -2. SOLUÇÃO: A imagem pedida é dada pela aplicação da função ao elemento do domínio -2 da seguinte forma:

119

f(-2)=2. (-2)2-4 = 2 . 4 - 4 = 8-4 = 4 Portanto, a imagem de -2 em f é 4. 2. Seja a função f: R → R definida por f(x) = x – 5/2. Qual é o elemento do domínio que tem – 1/2 como imagem? SOLUÇÃO: 1 Queremos determinar o valor de x tal que f(x) = -1/2. Para isso, é bastante resolver a seguinte equação: (x-5)/2= -1/2. Resolvendo a equação, temos: (x-5)/2 = - ½ ⇔ 2. (x – 5) = -1.2⇔2x-10 = -2⇔2x = -2 + 10⇔x= 8/2 ⇔x = 4 Portanto, o elemento do domínio procurado é x = 4

6.2.1. Propriedades das Funções 6.2.1.1. Sobrejetividade Considere a função f: A → B, definida por f(x) = x², onde A = {-1, 0,1} e B = {0, 1}. Esta função pode ser representada como segue:

Figura 6.14

Note que todo elemento do conjunto B é imagem de algum elemento pertencente ao conjunto A. Ou seja, o conjunto imagem de f é igual ao seu contradomínio. Neste caso, dizemos que a função f é sobrejetiva. Uma função f: A → B é dita sobrejetiva (ou sobrejetora) se seu conjunto imagem for igual o seu contradomínio. 6.2.1.2. Injetividade Seja a função f: A→B, definida por f(x) = x, onde A = {0, 1} e B = {0, 1, 2}. Esta função pode ser representada como segue:

120

Figura 6.15

Observe não existe elemento em B que seja imagem de mais de um elemento de A, ou seja, a relação entre os conjuntos A e B é de um-para-um. Neste caso, dizemos que a função f é injetiva (ou injetora). Uma função f: A → B é dita injetiva se a relação que a define for do tipo um-para-um. 6.2.1.3. Bijeção Uma função f: A → B é dita bijetiva se for, simultaneamente, sobrejetiva e injetiva. Exemplo 6.3 – Bijeção Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {1, 2, 3}. A função f: A → B, definida por f(x) = x + 1, é bijetiva. De fato, para cada elemento de A existe um único correspondente em B. Além disso, o contradomínio coincide com o conjunto imagem de f.

121

Exercícios Resolvidos 1. (GERSTING, 2003) Provar que a função f: R → IR, definida por g(x) = x3 é uma função sobrejetiva. SOLUÇÃO: Já sabemos que uma função é sobrejetiva quando seu conjunto imagem é igual ao seu contradomínio. Para provar isto, basta mostrar que CD ⊂ Im. Portanto, seja r um número real qualquer e seja x = ³√r. Então x é um número e, portanto, pertence ao domínio de f. Aplicando a função a x, temos: g(x) = (³√r)³= r. Com isso, provamos que qualquer número no contradomínio é imagem por g de algum número no domínio e, portanto, CD ⊂ Im. 2. A função apresentada na questão anterior é injetiva? SOLUÇÃO: A resposta é sim, pois para dois números quaisquer do domínio, é válido que se x ≠ y, então g(x) ≠ g(y). Ou seja, quaisquer que sejam x e y reais, se x ≠ y, então x³ ≠ y³. Auto Avaliação 6.3 1. (LIPSCHUTZ; LIPSON, 2004) Determine se cada uma das seguintes funções é injetora. a) A cada pessoa no estado do Maranhão, associe o número correspondente à sua idade. Não é injetora, pois pode haver pessoas de mesma idade. b) A cada livro escrito por um único autor, associe o autor. Não é injetora, pois um autor pode escrever mais de um livro. c) A cada aluno da sua classe, associe seu número de matrícula. É uma função injetora. d) A cada cidade maranhense, associe o nome de seu prefeito. È um função injetora. 2. (GERSTING, 2003) Quais dos itens a seguir representam funções? Quais são injetivas? Quais são sobrejetivas? a)f: {1,2,3}→{p,q,r}, onde f = {(1,q), (2, r), (3, p)} É sobrejetiva e injetiva, conclusão é bijetiva b)f:Z→N, onde f (x)=x² + 1. Função polinomial do 2° grau. c)f:N→ N, onde f(x) = 2x . Função exponencial, injetiva.

122

6.2.2. Composição de Funções Na Matemática, é muito comum a obtenção de novas funções a partir de funções já existentes. Um dos objetivos deste tipo de construção é, segundo Smole e Diniz (2003), o estudo de propriedades de uma função mais complexa a partir de outras mais simples. Sejam as funções f: A→B e g: B→C, isto é, o contradomínio de f é o domínio de g. Então, podemos definir uma nova função de A para C, denominada composição de f e g e denotada por g ° f, como segue:

(g ° f) (x) ≡ g (f(x)) Esta definição pode ser ilustrada como segue:

Figura 6.16

A função g ° f é aplicada da direita para a esquerda. Ou seja, f é aplicada primeiro, e então aplica-se a função g. Acompanhe o exemplo ilustrativo para melhor entendimento. Sejam A = {-1, 0, 1}, B = {0, 1, 2} e C = {0, 2, 4} e as funções f: A→B, definida por f(x) = x2, e g: B→C, definida por g(x) = 2x. Queremos calcular as imagens da função composta g ° f. Como já sabemos, inicialmente é aplicada a função f. Assim, temos: f(-1) = (-1)2 = 1 f(0) = 02 = 0 f(1) = 12 = 1 Em seguida, é aplicada a função g. Desta forma, temos: g(0) = 2.0 = 0 g(1) = 2.1 = 2 g(2) = 2.2 = 4 A função composta g ° f: g(f(-1)) = g(1) = 2.1 = 2 g(f(0)) = g(0) = 2.0 = 0 g(f(1)) =g(1) =2.1 = 2

123

Representando f, g e g ° f por diagramas, temos:

Figura 6.17

Para obtermos a lei de correspondência da função composta g ° f, devemos aplicar g à função f, substituindo x em g por f(x). Ou seja, se f(x) = x2 e g(x) = 2x, então a lei de correspondência da composta g ° f é dada por: g(f(x) = 2 . f(x) = 2 . x². Assim, (g ° f)=2x². Exemplo 6.4 – Composição de Funções Seja f: R→R a função definida por f (x)= x -2 e seja g: R→R a função definida por g(x) = 1 – x². A fórmula que define a função composta f ° g é a seguinte: f(g(x)) = g(x) – 2 f(g(x) = 1 – x² = -x² - 1 Para calcular (f ° g) (1) podemos utilizar a fórmula encontrada. Assim, f(g(1)=-1² - 1 = -1-1 = -2 Auto Avaliação 6.4 Seja f: N→N definida por f(x) = 3x - 1 e g: N→N definida por g(x) = 2x. Calcule o seguinte: 1. (g ° f)(3) f(3)=3.3-1=8 g ° f = g(f(3))=2.8=16

124

2. f(g(3)) g(3)=2.3=6 f(g(3))=3.6-1=17 3. (f ° g)(x) f ° g = f(g(x))=f(2x)=3.(2x)-1=6x-1 4. (g ° f) (x) g ° f = g(f(x))=g(3x-1)=2.(3x-1)=6x-2

6.2.3. Funções Inversas De acordo com Smole e Diniz (2003), o objetivo das funções inversas é criar novas funções a partir de outras. É possível, ainda, fazer uso da noção de funções inversas para estudar relações entre duas funções. A seguir, mostraremos como obter a inversa de uma função e qual o seu significado. Acompanhe atentamente o exemplo. Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 5, 7}. Consideremos, ainda, a função f: A→B definida por f(x) = 2x + 1.

Figura 6.18

Observe que a função f é bijetora e que D(f)=A e lm(f) = B. Agora vamos considerar a relação f-1 = {(y,x)|(x,y) ∈ f }, inversa de f. Podemos afirmar que f -1 também é uma função, uma vez que para todo y ∈ B existe um único x ∈ A de modo que (y,x) ∈ f -1 .

125

Figura 6.19

Note que D(f -1)= B e Im(f -1) = A Com base no exposto, podemos afirmar que: Uma função f: A→B é inversível se a relação inversa é uma função de B para A. Além disso, considerando uma função f: A→B, afirmamos que a relação inversa f -1 é uma função de B em A se, e somente se, f é uma função bijetiva. Para finalizar esta seção, é conveniente demonstrar uma maneira de determinar a função inversa de uma função / dada. Comumente, utilizamos a regra prática apresenta a seguir (IEZZI; MURAKAMI, 1993). Determinação da Função Inversa Dada uma função bijetora f: A→B, definida por y = f(x), a função inversa f -1 é calculada por meio da execução dos seguintes passos: 1. Na sentença y = f(x) fazemos uma mudança de variável, trocando x por y. Assim, obtemos x =f(y); 2. A partir da expressão x = f(y), escrevemos y em função x, obtendo y = f -1(x). Exemplo 6.5 – Funções Inversas Seja a função f: A→B definida por f(x)= 2x + 1, apresentada no inicio da seção 4.2. Para determinar a função f -1, inversa de f, procedemos como segue: Aplicando a regra 1, ficamos com a seguinte expressão: x=2y + 1 Em seguida, isolamos y:

126

2y=x-1⇒y=(x-1)/2 Esta última expressão é a função f -1 Auto Avaliação 6.5 Para cada uma das seguintes bijeções f: R→R, calcule f -1. 1. f(x) = 8x x=8y⇒y=x/8, logo f -1(x)= x/8 2. f(x)=(x-3)/2 x=(y-3)/2⇒y=2x+3, logo f -1(x)= 2x+3 3. f(x) = x5 x=y5 y=5√x

6.3. Funções Matemáticas O objetivo desta seção é apresentar algumas funções que possuem aplicações freqüentes na Ciência da Computação, sobretudo no desenvolvimento e na análise de algoritmos (LIPSCHUTZ; LIPSON , 2003).

6.3.1. Funções Floor e Ceiling As funções floor e ceiling podem ser entendidas como funções de arredondamento. Se x é um número real qualquer, então podemos afirmar que x está entre dois números inteiros conhecidos como floor e ceiling de x (LIPSCHUTZ; LIPSON, 2005). [x] é chamado floor de x e expressa o maior inteiro menor ou igual a x. Por exemplo: [1,75] = 1, [3,14] = 3, [√2] = 1 e [-5,67] = -6. [x] é chamado ceiling de x e denota o menor inteiro maior ou igual a x. Por exemplo: [1,75] = 2, [3,14] = 4, [√2| = 2 e [-5,67] = -5. Quando x é um número inteiro, [x]=[x]. Caso contrário, [x]+1=[x].

127

6.3.2. Funções Valor Inteiro e Valor Absoluto A função valor inteiro, é conhecida como função de truncamento, sendo escrita como INT(x). INT(x) transforma x em um valor inteiro, eliminando sua parte fracionária. Por exemplo, INT(1,75) = 1, INT(3,14) = 3, INT(√2) = 1 e INT (-5,67) = -5. A função valor absoluto, ABS(x), representa o módulo de x. Pode também ser denotada por |x|. O valor absoluto de um número real x, denotado por ABS(x), é dado por:

ABS(x) = x, se x≥0 -x, se x<0 Por exemplo: ABS(1,75) = 1,75, ABS(-0,675) = 0,675 e ABS(-5,67) = 5,67.

6.3.3. Função Resto Como o próprio nome já sugere, a função resto expressa o resto inteiro da divisão de um número inteiro x qualquer por um número inteiro positivo y. Denotamos por x(mod y). É preciso ter atenção para dois casos: o primeiro quando x for positivo e o segundo quando x for negativo.

Para x positivo, a operação é muito simples. Basta dividir x por y e obter o resto;

Para x negativo, a operação é realizada dividindo-se |x| por y, obtendo o resto z'. O resultado de x(mod y) é expresso por y - z'.

Por exemplo: 32(mod 7) = 4, -36(mod 5) = 5 - 1 = 4 e 215(mod 2) = 1. Auto Avaliação 6.6 Determine os valores numéricos das seguintes expressões. 1. [-2.45] + [√10]-[-3,34] Chamado floor, temos: -3+3-(-4)=4

128

Chamado ceiling, temos: -2+4-(-3)=5 2. [-1.25]+INT(6,75)-43(mod 4) Chamado floor, temos: -2+6-3=1 Chamado ceiling, temos: -1+6-3=2 3. [3,14].(INT(-1,54)+[4,43]) Chamado floor, temos: 3.(-1)+4=1 Chamado ceiling, temos: 4.(-1)+5=1 4. -17(mod 3) • INT(5,42) -2.5=-10

6.3.4. Função Exponencial e Função Logarítmica As funções exponencial e logarítmica estão intimamente relacionadas e possuem inúmeras aplicações na Ciência da Computação, dentre as quais destaca-se seu uso na análise da complexidade de algoritmos. Uma função f. R→R, definida por f(x) = ax, onde a é qualquer número real positivo e a é diferente de 1, é chamada de função exponencial de base “a”.

Pare e Reflita: Por que foram impostas duas restrições para a base a(a>0 e a≠1)?

A seguir são apresentadas as características da representação gráfica da função exponencial. Representação Gráfica da Função Exponencial O gráfico cartesiano da função f: R → R definida por ax com a > 0 e a≠1:

1. Situa-se acima do eixo Ox, uma vez que ax > 0, ∀x ∈ R; 2. Tem imagem dada pelo conjunto Im = R*

+ e corta o eixo Oy no ponto (0, 1), pois a0 = 1;

129

Ao trabalhar com funções deste tipo, devemos ter sempre na lembrança as seguintes regras, referentes à exponenciação:

Exemplo 6.6 – Função Exponencial Considere a função real f(x)=(2/3)x. Analisando cada termo da função, definimos que f é decrescente. De fato 0 < a < 1. Este fato pode ser escrito como: Se p < q, então (2/3)p > (2/3)q� A afirmação é válida e pode ser comprovada pela análise do gráfico de f(x). A construção do gráfico fica como exercício. A imagem para x = -2 por f é dada por:

f(-2)=(2/3)-2 = (3/2)2 = 9/4 O elemento do domínio que possui imagem igual a 16/81é dados por f(x)=16/81. Substituindo f(x), temos: (2/3)x=16/81. A partir deste ponto, o cálculo de x é feito pela aplicação das propriedades da exponenciação.

(2/3)x=24/34 ⇒ (2/3)x = (2/3)4 ⇒x=4 Assim, o elemento do domínio procurado é x = 4.

130

A função logarítmica é a função inversa da função exponencial e pode ser definida, formalmente, como segue: A função f: R*

+→R, definida por f(x)=logax, onde a > 0 e a ≠1, é chamada de função logarítmica de base a. Lembre-se:

Logbb = x⇔ax=b A seguir são apresentadas as características da representação gráfica da função logarítmica. Representação Gráfica da Função Logarítmica O gráfico cartesiano da função f:R*

+→R definida por logax, com a>0 e a≠1:

1. Situa-se à direita do eixo Oy, uma vez que D(f) = R*+;

2. Tem imagem dada pelo conjunto Im = R e corta o eixo Ox no ponto (1, 0), pois loga 1 = 0;

Existem algumas propriedades que são inerentes à função logarítmica. A validade dessas propriedades decorre da própria definição de logaritmo ou de propriedades correspondentes da função exponencial.

131

Além das propriedades apresentadas na tabela, é importante ter em mente que a função logarítmica é sempre crescente, isto é, se p < q, então logap < loga q.

Pare e Reflita: A função logarítmica é sobrejetiva ? É injetiva?

Exemplo 6.7 – Função Logarítmica Considere a seguinte expressão

1+log2a-log2b-2log2c Com a, b e c positivos reais. É possível reescrever a expressão, através da aplicação das propriedades dos logaritmos.

Exercício Resolvido (Extraído de GERSTING, 2003) Demonstre que se 2k < n < 2k+1, então k = [log2 n] e k+1 = [log2n] SOLUÇÃO:

132

Auto Avaliação 6.7 1. Seja a função real definida por f(x) = (3/2)x, determine: a) A imagem de para x = -2. b) O elemento do domínio cuja imagem é 2,25. c) A representação gráfica de f a) f(-2)=(3/2)-2=4/9 b)f(x)=(3/2)x (3/2)x =225/10 (3/2)x= 5².3²/5².2² (3/2)x=(3/2)² (3/2)x=(3/2)² X=2 x f(x)=(3/2)x -3 8/27 -2 4/9 -1 2/3 0 1 1 3/2 2 9/4 3 27/8 2. Calcule os logaritmos. a)log264-log101000 6-3=3 b)log55 + log3(34)-log381 1+4-4=1 c)log3(log464)-[log651 + log5625] log33-(0+4)= 1-4=-3

133

RESUMO

Uma relação é um conjunto de pares ordenados. Dados dois conjunto A e B, chama-se relação de A em B todo

subconjunto de A x B. Chamamos A de conjunto de partida da relação e B de contradomínio.

Chama-se domínio de uma relação R de A em B ao conjunto D ⊂ A que contém os primeiros elementos dos pares ordenados que pertencem a R.

O conjunto imagem de uma relação R de A em B é o conjunto Im ⊂ B que contém os segundos elementos dos pares ordenados que pertencem a R.

As relações podem ser dos seguintes tipos: um-para-um, um-para-vários, vários-para-um e vários-para-vários.

Uma relação de A em B é uma função se todo elemento x e A, estiver associado a um, e somente um, elemento y e B.

Uma função é sobrejetiva se seu conjunto imagem for igual ao seu contradomínio.

Uma função é injetiva se a relação que a define é do tipo um-para-um. Uma função é bijetiva se for simultaneamente sobrejetiva e injetiva. Sejam duas funções f: A → B e g: A → B, a função h:B→C é chamada

de composição de f e g, sendo denotada por (g ° f). Uma função f:.A→B é inversível se a relação inversa é um função de B

em A. [x] é chamado de floor de x e expressa o maior inteiro menor ou igual a

x. [x]é chamado de ceiling de x e expressa o menor inteiro maior ou igual a

x. A função INT(x) transforma x em um inteiro, eliminando sua parte

fracionária. O valor absoluto de um número real x é denotado por ABS(x), onde

ABS(x) = x, se x≥0

-x, se x<0 A função resto expressa o resto inteiro da divisão de um número inteiro

x qualquer por um número inteiro positivo y. Denotamos por x(mod y). A função f: R→R, definida por f(x) = ax, onde a>0 e a≠1 é chamada de

função exponencial de base a. A função f: R*

+→R, definida por f(x) = loga x, onde a > 0 e a≠1 é chamada de função logarítmica de base a.

A função logarítmica é inversa da função exponencial.

134

Exercícios Propostos QUESTÕES

1. (GERSTING, 2003) Classifique cada uma das relações a seguir em um-para-um, um-para-vários, vários-para-um ou vários-para-vários. a) R = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 3), (4, 3)} Vários-para-vários b) S = conjunto de todas as mulheres de São Luís f = {(x, y) ∈ S x S | x é filha de y} Vários-para-um c) K = {(x, y) ∈ R2| x = 5} Um-para-um d) L = {(2, 7), (8, 4), (2, 5), (7, 6), (10, 1)} Um-para-vários 2. (GERSTING, 2003) As funções a seguir são aplicações de M em R. Encontre as fórmulas que descrevam as funções compostas g° f e f ° g para cada um dos seguintes itens. a) f(x) = 6x3, g(x) = 2x g ° f = g(f(x))=g(6x³)=2(6x³)=12x³ f ° g = f(g(x))=f(2x)=6.(2x)³=48x³ b) f(x)=(x-1)/2, g(x)=4x2 g ° f = g(f(x))=g((x-1)/2)=4.((x-1)/2)²=4.(x²-2x+2)/4= x²-2x+2 f ° g = f(g(x))=f(4x²)=(4x²-1)/2 c) Para a alternativa a, determine g ° f(3) e f ° g(0) g ° f (3) = 12(3)³=324 f ° g (0)=48.(0)³=0 d) Para a alternativa b, determine os elementos do domínio para que se tenha f ° g(x) = 0. f ° g (0) = (4x²-1)/2=0⇒x²=1/4⇒x=±1/2 3. (IEZZI; MURAKAMI, 1993) Seja a função f de R - {-2} em R - {-4} definida por f(x) = (4x-3)/(x+2). Determine o valor do domínio f -1 com imagem 5. Sendo f(5)=a, temos: a=f(5)=(4.5-3)/5+2=17/7 ⇒ a=17/7 4. Defina função bijetiva e demonstre que f, definida no intervalo 0<x<s, (s>0) como f(x) =(2x-s)/x(s-x), é uma função bijetiva desse intervalo nos reais. Definimos função bijetora, como a função que é sobrejetora e injetora. A função é sobrejetora pois existe imagem para a função f(x)=(2x-s)/x(s-x), para o intervalo 0<x<s. Sendo s-x≠0, temos s≠x, então f(s)≠f(x), logo concluímos que a função é injetora.

135

5. Demonstre que 1 + log2 n < n para n ≥ 3. 1+ log2 n < n Observamos que para n≥ 3, temos: 2(n-1)> n Portanto, pela propriedade 1 de logaritmos,

log2 n < log2 2(n-1) Pela propriedade 5 de logaritmos, log2 2(n-1) = n - 1. Portanto:

log2 n < n - 1 ou

1 + log2n<n para n≥3

136

Referências FERREIRA, Jaime Campos. Elementos de Lógica Matemática e Teoria dos Conjuntos. Lisboa: Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico, 2001. GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Rio de Janeiro: LTC, 2003. IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1: conjuntos e funções. São Paulo: Atual, 1993. IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 2: logaritmos. São Paulo: Atual, 1993. LIPSCHUTZ, Seymour; LIPSON, Marc. Matemática Discreta. São Paulo: Bookman, 2004. MENEZES, Paulo Blauth. Matemática Discreta para Computação e Informática. Porto Alegre: Instituto de Informática da UFRGS, 2008. NOTARE, Márcia Rodrigues. Matemática Discreta. Caxias do Sul: Universidade de Caxias do Sul, 2003. PINTO, José Sousa. Tópicos de Matemática Discreta. Universidade de Aveiro, 1999. SCHEINERMAN, Edward S. Matemática Discreta: uma introdução. São Paulo: Thomsom, 2003. SMOLE, Katia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática 1. São Paulo: Saraiva, 2003. SMOLE, Katia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática 3. São Paulo: Saraiva, 2003.