ln análise combinatória.lista01.resolução

7/25/2019 LN Anlise Combinatria.lista01.Resoluo

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LN CURSOS E CONCURSOS MATEMTICA/PMPE PROF JONAS

LISTA 01 - COMBINATRIA

Tel. (75)3281-2285 www.lnconcursos.com.br1

I. PRINCPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM (PFC)

01. (FGV - SP) - Um restaurante oferece no cardpio duas saladasdistintas, quatro tipos de pratos de carne, cinco variedades de be-

bidas e trs sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada,um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas ma-neiras a pessoa poder fazer seu pedido?

a) 90 b) 100 c) 110 d) 130 e) 120

Temos:

Pelo PFC, basta multiplicarmos os valores dados:

T = 2 . 4 . 5 . 3 = 120

02. (UFBA) Existem cinco ruas ligando os supermercados S1e S2e trs ruas ligando S2e S3. Para ir de S1a S3, passando por S2, onmero de trajetos diferentes que podem ser utilizados :

a) 15 b) 10 c) 8 d) 5 e) 3

Temos:


T = 5 . 3 = 15

03. (ITA - SP) - Quantos nmeros de trs algarismos distintos po-demos formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9?

a) 60 b) 120 c) 240 d) 40 e) 80

Temos: ____ ____ ____

Para a 1 posio, h 5 possibilidades, para a 2, como no podehaver repetio, h 4 possibilidades, e, para a 3, sobram 3 possi-

bilidades.

Pelo PFC, basta multiplicarmos esses nmeros que indicam aspossibilidades:

T = 5 . 4 . 3 = 60

04. (FATEC - SP) Se A = {1, 2, 3, 4, 5}, a quantidade de nme-ros formados por dois algarismos no repetidos e tomados de A :

a) 20 b) 22 c) 25 d) 28 e) 44

Temos: ____ ____

Para a 1 posio, h 5 possibilidades, e, para a 2, como no podehaver repetio, h 4 possibilidades.


T = 5 . 4 = 20

05. (FAAP - SP) - Num hospital existem 3 portas de entrada quedo para um amplo saguo no qual existem 5 elevadores. Um vi-sitante deve se dirigir ao 6 andar utilizando-se de um dos eleva-dores. De quantas maneiras diferentes poder faz-lo?

Temos:


T = 5 . 3 = 15

06. (UFGO) - No sistema de emplacamento de veculos que seriaimplantado em 1984, as placas deveriam ser iniciadas por 3 letrasdo nosso alfabeto. Caso o sistema fosse implantado, o nmero m-ximo possvel de prefixos, usando-se somente vogais, seria:

a) 20 b) 60 c) 120 d) 125 e) 243

Temos: ____ ____ ____

Para a 1 posio, h 5 possibilidades, pois existem 5 vogais. Paraa 2 posio tambm h 5 possibilidades, pois o enunciado noafirma que as letras no possam ser repetidas. O mesmo ocorrecom a 3 posio.


T = 5 . 5 . 5 = 125

07. (CEFET - PR) - Os nmeros dos telefones da Regio Metro-politana de Curitiba tm 7 algarismos, cujo primeiro dgito 2. O

nmero mximo de telefones que podem ser instalados :

a) 1.000.000b) 2.000.000c) 3.000.000d) 6.000.000e) 7.000.000

Temos:

Para a 1 posio, h uma possibilidade, que deve ser o 2. Para

cada uma das seis posies restantes h 10 possibilidades, pois oenunciado no afirma que os algarismos no possam ser repetidos,de modo que qualquer um deles pode assumir um valor de 0 a 9.


T = 1 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 1.000.000

08. (UEPG-PR) Quantos nmeros pares, distintos, de quatro alga-rismos, podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4, sem os

repetir?

a) 156 b) 60 c) 6 d) 12 e) 216

2


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Temos: ____ ____ ____ ____

Para um nmero natural seja par, necessrio e suficiente que seultimo algarismo seja par.

Nesse caso, o nmero deve terminar em 0, 2 ou 4.

Vejamos cada caso:

Terminando em 0:

Nesse caso, sobram 4 algarismos para a 1 posio e, como nopode haver repetio, sobraro 3 para a 2 posio e 2 para a 3posio.


T0= 4 . 3 . 2 = 24

Terminando em 2:

Devemos lembrar que o 1 algarismo, o da esquerda, no pode serzero (Lembre-se: zero esquerda de um inteiro no valenada).

Nesse caso, sobram trsalgarismos para a 1 posio, que so 1,3 e 4.Aps escolhermos um desses algarismos para a 1 posio, ficaroos dois restantes e, agora, tambm o zero, para disputarem a 2

posio, ou seja, haver trspossibilidades para esta posio e,

como no pode haver repetio, sobraro duaspossibilidades paraa 3 posio.


T2= 3 . 3 . 2 = 18

Terminando em 4:

O raciocnio o mesmo feito para o 2.

Logo: T4= 18

Assim, a resposta 24 + 18 + 18 = 60

09. (UEL - PR) - Para responder a certo questionrio, preenche-seo carto apresentado abaixo, colocando-se um "x" em uma s res-

posta para cada questo.

De quantas maneiras distintas pode-se responder a esse questio-nrio?

a) 3125 b) 120 c) 32 d) 25 e) 10

Temos: ___ ___ ___ ___ ___

Para cada questo h duas possibilidades de resposta: Sim ou No.


T = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32

10. Uma placa de automvel, em determinado pas, possui 3 letrase 4 algarismos. Quantas placas pode haver nesse pas?

Temos:

Os trs primeiros espaos sero preenchidos com letras, e podehaver repetio. Existem 26 letras disponveis para cada um des-ses espaos.Os quatro espaos seguintes sero preenchidos com algarismos, e

pode haver repetio. Existem 10 algarismos disponveis paracada um desses espaos.

Pelo PFC, basta multiplicarmos as quantidades possveis paracada espao:

T = 26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175.760.000

11. No caso das placas de automveis com 3 letras e 4 algarismos,quantas so as placas possveis atendendo todos os critriosabaixo?

As duas primeiras letras devem ser vogais distintas; A ltima letra no pode ser vogal e no pode ser W; Os algarismos so maiores do que 2 e so pares.

Temos:

A primeira letra tem cincopossibilidades: A, E, I, O, U.

Depois de escolhermos a letra da primeira posio, sobraro qua-tr opossibilidades para a segunda posio.

Para a terceira letra h vintepossibilidades, pois, das 26 letras doalfabeto, s no queremos as vogais ou o W para esta posio.

Cada um dos quatro algarismos da placa s pode ser, pelo enunci-ado, 4, 6 ou 8, ou seja, h trspossibilidades para escolhermoscada algarismo (Pode haver repetio, conforme o enunciado).

Pelo PFC, basta multiplicarmos as quantidades possveis paracada espao:

T = 5 . 4 . 20 . 3 . 3 . 3 . 3 = 32.400

0

2

4


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12. Uma moa vai desfilar vestindo saia, blusa, bolsa e chapu. Oorganizador do desfile afirma que trs modelos de saia, trs de

blusa, cinco de bolsa e um certo nmero de chapus permitemmais de duzentas possibilidades de diferentes escolhas deste traje.Assinale a alternativa que apresenta o nmero mnimo de chapusque torna verdadeira a afirmao do organizador.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 11

Temos:

A modelo deve escolher uma pea de cada tipo, porm no sabe-mos a quantidade de chapus disponveis, que chamaremos de x.

Pelo PFC, basta multiplicarmos as quantidades possveis para en-contrarmos o total de possibilidades.

Assim, T = 3 . 3 . 5 . x

Esse resultado tem que ser maior do que 200, conforme o enunci-ado.

Se x = 4, ento T = 3 . 3 . 5 . 4 = 180 (No serve)

Se x = 5, ento T = 3 . 3 . 5 . 5 = 225 (serve)

Se x = 6, ento T = 3 . 3 . 5 . 6 = 270 (serve)

Se x = 7, ento T = 3 . 3 . 5 . 7 = 315 (serve)

Se x = 11, ento T = 3 . 3 . 5 . 11 = 495 (serve)

Porm, o enunciado pede a menor quantidade de chapus que faao total de possibilidades ser superior a 200, e, desse modo, a res-

posta 5.

13. (UERJ - 02) Numa cidade, os nmeros telefnicos no podemcomear por zero e tm oito algarismos, dos quais os quatro pri-meiros constituem o prefixo. Considere que os quatro ltimos d-gitos de todas as farmcias so 0000 e que o prefixo da farmciaVIVAVIDA formado pelos dgitos 2, 4, 5 e 6, no repetidos eno necessariamente nesta ordem.

O nmero mximo de tentativas a serem feitas para identificar onmero telefnico completo dessa farmcia equivale a:

a) 6 b) 24 c) 64 d) 168 e) 200

Temos:

Dos oito dgitos, os quatro ltimos j esto definidos: 0000.

Cada um dos quatro primeiros dgitos pode ser 2, 4, 5 ou 6, e no

pode haver repetio, conforme o enunciado.

Logo, pelo PFC, T = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

14. (FGV) Aconteceu um acidente: a chuva molhou o papel ondeTeodoro marcou o telefone de Aninha e apagou os trs ltimosalgarismos. Restaram apenas os dgitos 58347. Observador, Teo-doro lembrou que o nmero do telefone da linda garota era umnmero par, no divisvel por 5 e que no havia algarismos repe-tidos. Apaixonado, resolveu testar todas as combinaes numri-cas possveis. Azarado! Restava apenas uma possibilidade,

quando se esgotaram os crditos do seu telefone celular. At en-to, Teodoro havia feito um total de ligaes igual a

a) 23 b) 59 c) 39 d) 35 e) 29

Temos:

Os cinco primeiros dgitos no foram apagados. Teodoro entofar tentativas para os trs ltimos.

Como no h algarismos repetidos, os trs ltimos devem ser es-

colhidos entre 0, 1, 2, 6 ou 9.

Como o nmero par, o ltimo algarismo s pode ser 0, 2 ou 6.

Se o ltimo algarismo for zero:

Sobraro 4 possibilidades para a primeira posio e 3 para a se-gunda posio.

Logo, pelo PFC, T0= 4 . 3 = 12

Se o ltimo for 2, o clculo o mesmo, ou seja, T 2= 12

E, se o ltimo for 6, T6= 12

Assim, o total de possibilidades 12 + 12 + 12 = 36

Como s falta uma tentativa, significa que Teodoro j fez 35tentativas.

15. (UBA) Num determinado pas, todo rdio amador possui umprefixo formado por 5 smbolos assim dispostos: um par de letras,um algarismo diferente de zero, outro par de letras; por exemplo:PY 6 - CF. O primeiro par de letras sempre PY, PT ou PV; o

segundo par s pode ser constitudo das 10 primeiras letras do al-fabeto, no havendo letras repetidas. Nesse pas o nmero de pre-fixos disponveis :

a) 270 b) 1230 c) 2430 d) 2700 e) 1200

0 0 0 0

5 8 3 4 7

0


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Pelo PFC, o total de prefixos :

T = 3 . 9 . 90 = 2430

Obs.: Para as duas ltimas letras, segundo o enunciado, s podemser usadas as 10 primeiras letras do alfabeto, elas devem ser dis-tintas (diferentes).

Assim, o total de possibilidades , pelo PFC, 10 x 9 = 90.

16. (UFSM-RS) Considere o nmero de 5 algarismos distintos:

O nmero de formas possveis para preencher as lacunas, de modoa obter um mltiplo de 5, :

a) 75 b) 80 c) 82 d) 84 e) 120

Temos:

O ltimo algarismo s pode ser 0 ou 5.

Se o ltimo for zero, sobram 7 algarismos para as duas vagas queficaram.

Logo, pelo PFC: T0= 7 . 6 = 42

Se o ltimo for 5, o clculo o mesmo:

Logo, T5= 42

Assim, o total 42 + 42 = 84

17. (Mack-SP) A quantidade de senhas de trs algarismos que tmpelo menos 2 algarismos repetidos :

a) 30 b) 280 c) 300 d) 414 e) 454

Temos:

Cada algarismo da senha, sem qualquer restrio, tem 10 possibi-lidades: 0, 1, 2, 3, ..., 9.

O total de senhas de trs algarismos, repetidos ou no, , pelo PFC,dado por:

T = 10 . 10 . 10 = 1.000

O total de senhas de trs algarismos, sem repetio, , pelo PFC,dado por:

TSR= 10 . 9 . 8 = 720

Logo, subtraindo essas quantidades, teremos a resposta do pro-blema:

1.000 - 720 = 280.

Obs.: Prezados, reflitam sobre essa resposta e, caso no tenha

ficado claro, ajudo vocs na sala de aula ou respondo por e-mail,quanto s dvidas que surgirem.

18. Existem 3 linhas de nibus ligando a cidade A cidade B e 4outras ligando B cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A C,

passando por B. Quantas linhas de nibus diferentes poder utili-zar na viagem de ida e volta, sem usar duas vezes a mesma linha?

a) 144 b) 12 c) 24 d) 72 e) 98

Temos:

Para ir e voltar haver quatro etapas, que consistem em escolheruma linha de nibus em cada trecho:

Para a ida, de A para B, h 3 possibilidades, e de B para C h 4possibilidades.

Para a volta, como no podemos repetir as escolhas da ida, de C

para B, agora, h 3 possibilidades, e de B para A, agora, h 2 pos-sibilidades.

Assim, pelo PFC, o total de possibilidades de ida e volta, dadopor:

T = 3 . 4 . 3 . 2 = 72

II. COMBINAES

19. (UFF - 05) Niteri uma excelente opo para quem gosta defazer turismo ecolgico. Segundo dados da prefeitura, a cidade

possui oito pontos tursticos dessa natureza. Um certo hotel da re-gio oferece de brinde a cada hspede a possibilidade de escolhertrs dos oito pontos tursticos ecolgicos para visitar durante suaestada. O nmero de modos diferentes com que um hspede podeescolher, aleatoriamente, trs destes locais, independentemente daordem escolhida, :

a) 50 b) 56 c) 60 d) 75 e) 82

Temos:

Como a ordem independente, devemos calcular o total de com-binaes de 8 elementos, tomados 3 a 3.

, =8!

3! . (8 3)!=

8!

3! . 5!=

8 .7 .6 .5!

3 .2 .1 .5!=

20. Marcam-se 12 pontos em uma circunferncia. Quantos trin-gulos podemos desenhar com vrtices escolhidos dentre esses

pontos?

a) 12 x 11 x 10

b) 2 x 11 x 10

c) 4 x 11 x 10

d) 5 x 11 x 7

e) 4 x 6 x 9


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Temos:

Dessa forma, devemos calcular o total de combinaes de 12 pon-tos, tomados 3 a 3.

, =12!

3! . (1 2 3)!

=12!

3! . 9!

=12 . 11 . 10 . 9!

3 .2 .1 . 9!

= . .

Obs.: Perceba que dividi 12 por 6 (3x2), o que gerou o 2 na res-posta.

21. Com um grupo de 10 professores e 5 coordenadores pedag-gicos, uma escola escolher 6 pessoas para represent-la em umcongresso. De quantos modos podem ser feitas as comisses deforma que haja 3 professores e 3 trs coordenadores?

Temos:

Total de comisses de trs professores: , =!

! .()! = 120

Total de comisses de trs coordenadores: , =!

! .()!= 10

Perceba que a ordem das pessoas escolhidas no muda a comisso.

Veja: (Clodoaldo, Hrcules, Jonas) e (Hrcules, Jonas, Clodoaldo)correspondem mesma comisso.

Por isso, usamos o clculo das combinaes, e no dos arranjos.

Temos ento 120 comisses possveis de professores e 10 comis-

ses possveis de coordenadores.Temos que escolher uma comisso de professores e uma comissode coordenadores, para formarmos a comisso nica.

Lembram-se das calas e camisas? Foi em nossa primeira aula noLN Cursos e Concursos!

Assim, pelo PFC, a resposta T = 120 x 10 = 1.200

22. (PUC) Marcam-se 3 pontos sobre uma reta r e 4 pontos sobreoutra reta paralela a r. O nmero de tringulos que existem, com

vrtices nesses pontos,

a) 60 b) 35 c) 30 d) 9 e) 7

Temos:

Devemos escolher 3 pontos, dentre os 7 destacados. Como vimosna questo 20, a ordem dos pontos no importante.

Assim, usaremos a frmula do total de combinaes simples:

, =7!

3! . (7 3)!=

7!

3! . 4!=

7 .6 .5 . 4!

3 .2 .1 . 4!= 35

Temos, ento, 35 maneiras distintas de escolhermos os trs pon-tos, dentre os sete destacados. Porm, perceba que alguns desses35 trios de pontos, quando ligados, no formam tringulos.

Por exemplo, se ns escolhermos trs pontos da reta s, e os ligar-mos, dois a dois, em linha reta, no formaremos um tringulo, e,sim, apenas um segmento de reta.

Desse modo, escolhendo trs pontos apenas da reta r ou apenas dareta s, no formaremos tringulo.

Assim, devemos excluir as combinaes apenas dos pontos de r edevemos excluir as combinaes apenas dos pontos de s.

Vejamos:

Em r: , =!

! .()!

=!

! .!

=

.

= 1

Em s: , =!

! .( )!=

!

! .!=

. !

! . = 4

Assim, existem 5 trios de pontos que no formam tringulo.

Logo, a resposta 35 - 5 = 30.

23. Quantos cartes de seis dezenas devemos jogar na Mega-Senapara que tenhamos a certeza de eu vamos ganhar?

Temos:

Vejam dois jogos que foram feitos na Mega-Sena e foram vitori-osos no mesmo sorteio:

Jogo de vencedor de Recife:

Jogo de vencedor de Campinas:

Perceba que os jogos so os mesmos, apesar da ordem diferentedos seis nmeros.

Assim, a ordem dos nmeros no muda o jogo, ou seja, no im-portante.

Logo, devemos jogar todas as combinaes possveis de 60 deze-nas existentes, tomadas 6 a 6.

Assim:

Note que o tringulo ADJ continua sendo o mesmo,caso a ordem das letras mude: JDA, AJD, DJA, ... soo mesmo tringulo. Assim, a ordem no importante.


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Essa conta nos d 50.063.860.

Obs.: Perceba que a conta final ficou 59 x 58 x 19 x 14 x 55.

III. ARRANJOS E PERMUTAES

24. De quantos modos podemos escolher trs mulheres, dentre 8existentes, para contrat-las para trs cargos distintos: secretria,recepcionista e atendente comercial, considerando que todas soaptas aos cargos?

Temos:

Perceba que podemos contratar Ana, Beatriz e Carol, nessa ordem,

para os cargos de secretria, recepcionista e atendente comercial,nessa ordem, mas, se mudarmos a ordem, e contratarmos Beatriz,Carol e Ana, para os respectivos cargos, teremos um novo con-trato:

Veja: I.)

II.)

Temos, ento, que levar em considerao a ordem dos elementos.

Nesse caso, devemos calcular o total de arranjos simples de 8 ele-mentos, tomados 3 a 3.

Assim,, =!

()!=

!

!=

. . . !

!=

25. Para o campeonato de basquete deste ano, dentre as 12 equi-pes, o Spike j o grande vencedor, e o Lineares ser desclassifi-cado por conduta indevida. Se os 5 primeiros colocados so pre-miados com diferentes prmios, conforme a classificao, dequantos modos, os prmios podem ser distribudos?

Temos:

Das 12 equipes, iremos levar em considerao apenas 10, hajavista o Spike j estar garantido como campeo, ou seja, ele o

primeiro colocado, e o Lineares j estar desclassificado.

Assim, temos 10 equipes lutando pelas 4 premiaes que resta-

ram.

Dessa forma, como a ordem de classificao importante, deve-mos calcular o total de arranjos simples de 10 elementos, tomados4 a 4.

Assim,, =!

()!=

!

!=

. . . . !

!= .

26. Em um campeonato de futebol, todos os clubes jogaram entresi, em jogos de ida e volta, gerando um total de 210 jogos. Quantosclubes h no campeonato?

Temos:

Suponha que havia n clubes. Devemos contar de quantos modospodemos escolher 2 deles para uma partida de futebol, levando emconsiderao que o jogo AB diferente do jogo BA. No primeirocaso, o jogo no campo de A, enquanto no segundo, no campode B.

Perceba que o total de jogos o total de arranjos dos n elementos,tomados 2 a 2.

Assim,, =!

()!=

.().()!

()!= . ( 1)

E esse resultado, conforme o enunciado, deve dar 210.

Ou seja: . ( 1) = 210

Note que 15 . 14 = 210, e, desse modo, a resposta 15.

27. Quantos so os anagramas da palavra DELMIRO?

Temos:

Como todas as 7 letras so distintas, aplicaremos a frmula do to-

tal de permutaes simples:

= !

Assim, = 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 =

28. Quantos so os anagramas da palavra ARARAS?

Temos:

Como h repetio de letras, aplicaremos a frmula do total depermutaes com repetio:

,,,

=!

! . ! . ! ...

Das 6 letras, a letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes, e aletra S ocorre 1 vez.

Assim,,,

=!

! . ! . !=

. . . !

! . . . =

29. Quantos so os anagramas da palavra DELMIRO que come-am por M e terminam em L?

Temos:

Fixemos as letras M e L como pedido:

Nome CargoAna SecretriaBeatriz RecepcionistaCarol Atendente Comercial

Nome CargoBeatriz SecretriaCarol RecepcionistaAna Atendente Comercial

M L


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Sobraram 5 letras distintas para ocuparem as 5 posies do meio.

Devemos, ento, calcular o total de permutaes de 5 elementosdistintos.

Assim: = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 =

30. De quantos modos 7 pessoas podem ficar em fila indiana?

Temos:

De forma idntica s letras da palavra DELMIRO, aplicaremos afrmula do total de permutaes simples:

= !

Assim, = 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 =

Obs.: Lembrem-se do exemplo dos trs irmo que vo ficar em

fila (Roberto, caro e Otvio).

31. De quantos modos 7 pessoas podem ficar em fila indiana, demodo que Paula e Ricardo fiquem juntos?

Temos:

Vamos imaginar que as duas pessoas so uma s. Dessa forma,onde Paula estiver, Ricardo estar do lado.

No

Sim

Aplicaremos a frmula do total de permutaes simples para 6elementos, e no para 7.

= 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

Mas, esse resultado deve ser multiplicado por 2, pois h duas ma-neiras de Paula e Roberto estarem juntos na fila: PR ou RP.

Logo, a resposta 2 x 720 = 1.440

32. De quantos modos 7 pessoas podem ficar em fila indiana, demodo que Paula e Ricardo fiquem separados?

Temos:

De quantas maneiras 7 pessoas podem ficar em fila indiana?

Vimos que a resposta = 7! = 5.040.

Paula e Ricardo esto nessas possibilidades, e vimos que em 1.440dessas possibilidades (questo 31) eles esto juntos.

Ento, nas demais eles esto separados:

Resposta: 5.040 - 1.440 = 3.600

33. De quantos modos 6 pessoas podem ficar em fila indiana, demodo que Ana, Ricardo e Dbora fiquem juntos?

Temos:

Como na questo 31, vamos contabilizar Ana, Ricardo e Dboracomo uma s pessoa.

No

Sim

Aplicaremos a frmula do total de permutaes simples para 4elementos, e no para 6.

= 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

Mas, esse resultado deve ser multiplicado por 6, pois h seis ma-neiras de Ana, Ricardo e Dbora estarem juntos na fila:

Veja:

Logo, a resposta 6 x 24 = 144

Obs.: Se juntarmos dois elementos, devemos multiplicar a contapor 2!. Se juntarmos trs elementos, devemos multiplicar por 3!,

e, assim, por diante.

34. De quantos modos 5 pessoas podem sentar em 5 cadeiras emuma mesa circular?

Temos:

Prezados, conforme veremos na reviso, temos duas situaes:

I.) Com n elementos em fila indiana, o total de maneiras ser:

= !

I.) Com n elementos dispostos em crculo, o total de maneirasser:

= ( 1)!

Logo, para essa questo, a resposta para esta questo :

= (5 1)! = 4! =

35. Em uma fila indiana devem ficar 4 mulheres e 3 homens, po-rm, nesse lugar, mulher e homem no podem ficar lado a lado.

De quantos modos podemos formar a fila?

Do jeito que est, supondo que as pessoas ficam lado a lado emuma fila, a questo no tem soluo. Vejamos o enunciado cor-reto!

PR

ARD

ARDADRDARDRARADRDA

Lembre-se da questo feita emsala: De quantos modos Roberto,caro e Otvio podem ficar em filaindiana?

Resp.: P3= 3! = 6


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35. Em uma fila indiana devem ficar 4 mulheres e 3 homens, po-rm, nesse lugar, pessoas do mesmo sexo no podem ficar lado alado. De quantos modos podemos formar a fila?

Temos:

Vamos colocar as 7 pessoas na fila de forma alternada: Homem,

mulher, homem, mulher, ...

Perceba que a fila no pode comear com uma mulher, pois doishomens ficariam juntos. Veja:

M1 H1 M2 H2 M3 H3 H4

Dessa forma, a fila deve comear com o sexo que est em maiorquantidade, ou seja, um homem. Veja:

H1 M1 H2 M2 H3 M3 H4

Devemos pensar: De quantos modos 4 homens podem ocupar qua-

tro lugares pr-definidos em uma fila indiana?

A resposta P4= 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

E, ainda: De quantos modos 3 mulheres podem ocupar trs lugarespr-definidos em uma fila indiana?

A resposta P3= 3! = 3 . 2 . 1 = 6

Logo, devemos escolher uma das 24 maneiras dos homens ocupa-rem a fila, e uma das 6 maneiras das mulheres ocuparem a fila, oque nos d, pelo PFC,

24 x 6 = 144

Obs.: Suponha que as mulheres sejam Ana, Bete e Cida, e vamoscoloc-las na fila. Veja:

Ana Bete Cida

Ana Cida Bete

Bete Ana Cida

Bete Cida Ana

Cida Ana Bete

Cida Bete Ana

Ou seja, h 6 maneiras de dispormos as mulheres. Em qualquerdas 24 disposies que fiquem os homens, haver seis possibili-dades para disp-los com as mulheres.

Fim.

Prezados, algumas questes de PFC podem ser resolvidas usandoos conhecimentos de arranjos simples, como alguns alunos estofazendo, e isso demonstra que est havendo entendimento do con-tedo. timo.Vamos para a lista de Probabilidade, que ser entregue na prximaaula.

Prometi a alguns alunos enviar a soluo pelo zap, mas tive pro-blemas com meu celular. Foi mal!

Havendo dvidas nessa lista, entrem em contato!

At mais!

Prof. Jonas

E-mail:[email protected] (zap): 75-98843 7833 (J est beleza!)
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]

ln análise combinatória.lista01.resolução

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