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L IVRO DO PROFESSOR MATEMÁTICA · 8O ANO 147

Explore essas relações como for-ma de identifi cação e de análise das características da variação de grandezas. É importante que os alunos retomem as propostas anteriores e verifi quem se essas relações foram satisfeitas. Ajude--os a fazer uma síntese coletiva e um registro sintético das ideias trabalhadas.

Nesta página, analisam-se três tipos diferentes de variação entre duas grandezas x e y. A observação de regularidades em cada uma das tabelas per-mitirá que os alunos percebam que grandezas são diretamente proporcionais quando = k e in-

versamente proporcionais quando xy = k, sendo k uma constante.

• Identifi car em situações--problema grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou nem direta, nem inversamente proporcionais.

tabela 1: grandezas inversamente proporcionais;

tabela 2: não são direta nem inversamente proporcionais;

tabela 3: grandezas diretamente proporcionais.

A razão é ; sim

Sim

24 10 6

Duas grandezas x e y são inversamente proporcionais quando x ∙ y = k.

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148 CADERNOS DE APOIO E APRENDIZAGEM · SMESP

Esta atividade verifi ca se os alu-nos já conhecem a regra de três. Em caso contrário, será a intro-dução deste procedimento.

• Resolver situações-problema que incluem grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas (incluindo a regra de três).

Resposta possível: Rogério usou equivalência de frações e Beatriz, regra de três.



ser equivalente a , ou seja,

tratava-se de descobrir o valor

de y na proporção: .

Beatriz usou a propriedade das proporções: 26 ∙ y = 3 ∙ 182.

Depois da atividade 2, explore outras situações envolvendo a ideia de proporção e a proprieda-de destacada anteriormente. Em dupla, os alunos podem formular outros problemas e trocá-los com os colegas, que devem verifi car se há proporcionalidade.

Na atividade 1, depois da dis-cussão deste quadro, retome o procedimento de Beatriz no problema da página anterior e compare-o com o de Rogério. Nos dois casos, apareceu uma fração com numerador 182 que deveria


Sim, pois 1 ∙ 12 = 3 ∙ 4

60 60

26 × 21 =546

182 × 3 =546

a ∙ d = b ∙ c

a ∙ d = b ∙ c



três para grandezas inversamente proporcionais e a diferença quan-do se trata de grandezas direta-mente proporcionais. Socialize os textos dos alunos e forme um texto coletivo enfati-zando o uso da regra de três em situações envolvendo grandezas diretamente proporcionais.

Para fazer esta previsão, os dois alunos verificaram, primeira-mente, se as grandezas eram diretamente proporcionais, in-versamente proporcionais ou não proporcionais. É importante destacar esta ação.Depois da análise da atividade 1, faça uma síntese das ideias tra-tadas: razão, proporção, regra de


Resposta pessoal. Por exemplo: usou o fato de que o produto é constante; usou a regra de três...



Também é bom que os alunos criem outros problemas envolven-do relações de proporcionalidade ou não entre grandezas, troquem--nos com o colega de dupla e re-gistrem o que aprenderam.

Para resolver estes problemas, os alunos, em dupla, podem esco-lher livremente sua estratégia, fazendo uso da regra de três ou não. Acompanhe as diferentes re-soluções e socialize-as, sempre discutindo por que usar cada uma delas, inclusive a regra de três.

16 horas

7 pacotes e meio; 20 pacotes



Ajude os alunos a perceber que, diferentemente das situações anteriores, na atividade 1, R$ 1.990,20 não representam o total, mas apenas 93% do preço do computador, se ele for pago à vista.

• Resolver situações-problema que abrangem o cálculo de juros simples e utilizar porcentagem para cálculo de descontos e de acréscimos simples, fazendo uso da calculadora.

R$ 2.140,00

R$ 367,36



Dê outros exemplos de situações que envolvam juros simples.

Pagar sem acréscimo.

R$ 269,00

R$ 1.168,00



di-las ou multiplicá-las, confor-me o período de tempo conside-rado. Por exemplo, um capital aplicado por 25 dias a uma taxa de 15% ao trimestre corresponde a uma taxa de 15% ÷ 90 = 0,16% ao dia. Essa resolução se aplica a juros simples. Em problemas de porcentagem envolvendo descon-

tos e acréscimos, é importante questionar os alunos sobre a pertinência da regra de três. Oriente-os a explorar essa estra-tégia e peça-lhes que perguntem a outras pessoas (da família, por exemplo) como resolveriam esses problemas e tragam as respostas para socializar.

É interessante usar calculadora para resolver as atividades desta página. Para explorar o conceito de juros simples e seu cálculo, ainda não há necessidade de fór-mulas como j = C∙i∙t. O importan-te é trabalhar com porcentagem. Como as taxas de juros simples são proporcionais, pode-se divi-


180,00

180,00

12.360,00

12.540,00

12.540,00

12.720,00

R$ 125,00

R$ 17.720,00

R$ 625,00; R$ 5.625,00



Na atividade 4, os alunos podem utilizar salários imaginários, ou calcular 20% de 120. Socialize e discuta os procedimentos.

10 trimestres, ou 30 meses

Adicionou os dois valores: 20% + 20% = 40%

Por exemplo, um funcionário que ganha R$ 1.000,00:

R$ 440 é 44%de R$ 1.000,00

Salário 1º aumento 2º aumento

1.000 1.200 1.440



As atividades 1 e 2 preparam os alunos para o cálculo de taxas percentuais.


Suco: R$ 2,45; leite: R$ 1,80; bolacha R$ 1,12; shampoo: R$ 4,79

Suco: R$ 0,75; leite: R$ 0,69; bolacha R$ 0,33; shampoo: R$ 0,71



Na atividade 4, os alunos farão os cálculos das taxas percentu-ais de lucro sobre a venda. Eles podem usar os dois procedimen-tos, ou outro que julgarem con-veniente. Socialize-os e discuta as diferentes soluções.

Rogério usa a razão entre quantias e Beatriz usa a regra de três.

Suco: 30,61%; leite: 38,33%; bolacha 29,46%; shampoo: 14,82%



Esta atividade amplia o conheci-mento dos alunos sobre regimes de juros aplicados em transações fi nanceiras e permite discutir com eles como e quando são uti-lizados. Peça uma pesquisa sobre os signifi cados das expressões

“juros simples” e “juros com-postos” e sistematize as ideias a partir das anotações dos alunos.Dê exemplos de outras situações envolvendo o regime de juros compostos.

Andréa: o valor do juro mensal é o mesmo.Banco: o valor do juro mensal muda de um mês para o outro, pois é calculado sobre o total devido no mês anterior.



Espera-se que os alunos perce-bam o que é mediana por expe-rimentação, medindo segmentos com régua. Depois, eles construi-rão medianas. Embora as medi-das empíricas gerem imprecisões,

elas são importantes para que percebam as relações que estão sendo exploradas. Na atividade 2, se for preciso, explique o signifi cado da palavra congruente.

• Explorar propriedadescomo as referentes àsmedianas de um triângulo.

congruentes

3



É interessante fazer esse expe-rimento com os alunos para que percebam o que de fato signifi ca ponto de equilíbrio do triângulo é a importância do baricentro.


Estas atividades podem ser resolvidas em dupla.

O triângulo fi ca na posição horizontal.



Espera-se que os alunos, em dupla, percebam experimental-mente que o baricentro divide cada mediana em dois segmentos cujas medidas estão na razão de 1 para 2. Explique que, com o uso de réguas, certamente ha-verá pequenas distorções nessas

medidas, de modo que as razões

calculadas serão próximas de .

Existem também programas de geometria dinâmica que po-dem ser interessantes para este trabalho. (Por exemplo, no site www.edumatec.mat.ufrgs.br).


A medida de AG é o dobro da medida de GD: estão na razão 2 para 1. (Vale o mesmo para os outros pares.)

E

2 1 2 2 1 2 3 1,5 2

3 1,5 2 3 1,5 2 3 1,5 2

G

F

D

E

G

F

D



Na atividade 4, os alunos apli-carão o que aprenderam em re-lação ao baricentro na atividade anterior.

O baricentro divide cada uma das medianas do triângulo em dois segmentos cujas medidas estão na razão de 2 para 1.

A mediana fi ca dividida em dois segmentos, de tal modo que a medida do maior é o dobro da medida do menor.

8,4 4,2

5,2 2,6

6,2 3,1

2,4 1,2

6,8 3,4

3,8 1,9



Esta seção vai aparecer no fi nal de cada Unidade, com propostas que retomam o conteúdo traba-lhado. São atividades individu-ais, e você deve analisá-las para verifi car se as expectativas de aprendizagem foram atingidas, quanto os alunos avançaram e o que precisa ser retomado.

Não é preciso que todas as tare-fas sejam feitas no mesmo dia: organize-as como achar melhor.Socialize a resolução de todos os problemas e, enquanto os alunos trabalham sozinhos, acompanhe--os e oriente aqueles que tiverem difi culdades, anotando-as para retomá-las.

R$ 1.020,00

R$ 1.035,00. O preço a prazo é R$ 135,00 a mais do que o preço à vista.



2.464,28 kg

10 semanas

Aproximadamente 16 dias e meio



10 operários

Mais novo: R$ 65,00;do meio: R$ 105,00;mais velho: R$ 130,00



x =

t = 5

Por exemplo, com a 1ª equação: o dobro do sucessor de um número menos o triplo do seu antecessor é igual à metade do número; com a 2ª equação: a metade do antecessor de um

número é igual à terça parte do seu sucessor.


2o semestre

MAT8ºANO-Parte2-PROF.indd 167MAT8ºANO-Parte2-PROF.indd 167 9/15/10 4:05 PM9/15/10 4:05 PM


A analogia entre essas operações permite que os alunos compreen-dam as relações algébricas. Além disso, outra articulação essencial que será explorada com a álgebra e a aritmética são as represen-tações geométricas por meio das áreas de fi guras retangulares.

Nesta Unidade, os temas que se-rão trabalhados se referem à ál-gebra, às propriedades das diago-nais de polígonos e quadriláteros em especial. Nessas atividades, as operações entre polinômios são propostas por meio da articulação com as operações aritméticas.

• M7 Produzir e interpretar escritas algébricas, em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões.

• M8 Construir procedimentos para calcular o valor numérico eefetuar operações com expressões algébricas, utilizando as propriedades conhecidas, em situações-problema.

• M16 Resolver situações--problema que abrangem propriedades dos quadriláteros.

• M17 Construir procedimentos para calcular o número de diagonais de um polígono pela observação de regularidades existentes entre o número de lados e o de diagonais.

Material necessário para o desenvolvimento da Unidade:

régua

transferidor

folhas de cartolinas oucolor set coloridas

malha pontilhada ou geoplano



tifi car que, além de polígonos convexos, existem os não con-vexos, isto é, aqueles nos quais o segmento determinado por dois pontos quaisquer de sua região interna não está completamente contido na região interna, como nas fi guras A e B. Ao traçar as diagonais dos polígonos não conve xos, é interessante obser-

var que, muitas vezes, as diago-nais se superpõem ou coincidem com os lados. Vale ressaltar que o aluno, para desenvolver o pensa mento geométrico, precisa vivenciar situações em que possa usar sua percepção, conjecturar, prever possíveis soluções e, prin-cipalmente, construir conceitos.

A atividade 2 poderá ser reali-zada em dupla e com a utiliza-ção de dobraduras. Ao dobrar as fi guras, o aluno pode “visua lizar” as diagonais de um polígono e perceber que elas ligam dois vértices não consecutivos; e que existem diagonais coincidentes, as quais dividem os polígonos em triângulos. É importante iden-

• Construir procedimentos para calcular o número de diagonais de um polígono pela observação de regularidades existentes entre o número de lados e o de diagonais.

Sim, porque unem dois vértices não consecutivos do polígono.

Nenhuma

Resposta pessoal

Duas

Duas



• Construir procedimentos para calcular o número de diagonais de um polígono pela observação de regularidades existentes entre o número de lados e o de diagonais.

Essa atividade poderá ser reali-zada pela mesma dupla, dando continuidade à proposta anterior.Destacar que a observação do que existe em comum nas duas colunas é complementada pela construção das diagonais. As duas propostas juntas permitem que os alunos identifi quem as re-

lações entre o número de lados de um polígono e suas diagonais. Peça que desenhem as diagonais com cores diferentes para per-ceberem que existem diagonais coincidentes; que, se multiplicar-mos o número de diagonais que “saem” de um único vértice pelo número de lados do polígono, o

resultado será o dobro do total de diagonais, e que, portanto, é preciso dividir por dois para ter esse número. Sugira que analisem o que acontece com os números das colunas do quadro, ou seja, o resultado da terceira coluna é a metade do produto entre as outras duas.

3

4

5

6

7

8

0

1

2

3

4

5

0

2

5

9

14

20

O número de diagonais é o número de lados menos três.

17 diagonais

d = n – 3

Não, porque, se fi zermos assim, teremos o dobro de diagonais; elas começam a se repetir, pois já foram desenhadas a partir de outro vértice.



– dois pares de lados paralelos; trapézios – apenas um par de la-dos paralelos. O uso da malha quadriculada fa-vorece os cálculos das medidas, necessitando apenas da conta-gem dos quadrinhos para verifi -car se as medidas são iguais.

O transferidor para medir os ân-gulos possibilita aos alunos ex-plorarem seu uso. Acompanhe-os nesse momento, orientando para o uso correto.

A proposta é que os alunos iden-tifi quem por meio das medidas dos lados e dos ângulos algumas propriedades dos quadriláteros, tais como: os retângulos – qua-driláteros com quatro ângulos re-tos; losangos – quatro lados de mesma medida; paralelogramos

• Resolver situações-problema que envolvam propriedadesdos quadriláteros.

B e C

B e D

B

C

A, B, C, D

A, B, C e D

E e F

A, B, C, D. Os lados opostos possuem mesma medida.

Quadrado, retângulo, losango, paralelogramo.



Essa sequência de atividades visa a ajudar os alunos a orga-nizar seus conhecimentos sobre as propriedades de alguns qua-driláteros.

E e F

Quadrado, retângulo

Quadrado, losango

F

V V

F

V V

V V

V V



X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Diagonais perpendiculares cortam-se ao meio, mas no quadrado têm a mesma medida e no losango, não. Os quatro triângulos obtidos em cada uma das duas fi guras são congruentes.

O retângulo e o quadrado possuem diagonais de mesma medida, por exemplo.

• podem-se perceber proprie-dades dos quadriláteros e identifi cá-las por meio de suas diagonais;

• as diagonais podem se intercep-tar no ponto médio de ambas; no ponto médio de uma delas; ou fora do ponto médio das duas.

As relações envolvendo os pontos de intersecção entre as diagonais de um quadrilátero possibilitam perceber quais quadriláteros es-tão sendo trabalhados.

Ao trabalharem com os quadri-láteros, é importante os alunos observarem que: • todo quadrilátero tem duas

diagonais;• uma diagonal do quadrilátero de-

termina sempre dois triângulos;• nos quadriláteros convexos as

diagonais necessariamente se interceptam;




Essas atividades estão propostas como forma de verifi car se o alu-no compreendeu as propriedades das diagonais dos quadriláteros. Se perceber alguns equívocos, é interessante desenvolver o expe-rimento com os canudinhos/vare-tas, caso não tenha sido realizada.


Quadrado

Losango (não quadrado)

Paralelogramo (não retângulo)



A ideia é o aluno identifi car um quadrilátero, que no cotidiano é chamado pipa, e verifi car o “pa-pel” das diagonais em sua constru-ção (onde se apoiam as varetas).

Essa atividade possibilita ao alu-no perceber a articulação entre conceitos geométricos e a arte por meio da análise de algumas obras do pintor Cândido Portinari.


Quadriláteros



Embora no 8o ano não tenhamos abordado ainda o tema simetria, essa ideia já foi trabalhada em anos anteriores. Pode-se conver-sar com os alunos sobre o eixo de simetria existente na diago-nal maior.A representação feita pelos alu-nos deve ser de um quadrilátero e suas diagonais (2).


Sim

Sim

Diagonal BD

Simétrica

As diagonais



medidas, como no caso da área de fi guras retangulares.Ao propor “a reforma da escola”, a intenção é que os alunos tam-bém “aprendam” a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e a apliquem nas operações entre polinômios.

Nessa sequência de ativida-des, a proposta é que os alunos estabeleçam relações entre a álgebra e a geometria, perce-bam que propriedades das ex-pressões algébricas podem ser aprendidas pela articulação dos conceitos geométricos e os de

• Produzir e interpretar escritas algébricas, em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricase padrões.

• Construir procedimentos para calcular o valor numérico e efetuar operações com expressões algébricas, utilizando as propriedades conhecidas,em situações-problema.

Sim; pela propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

Se A = 72 m2, x = 4,5 m; se A = 56 m2, x = 3,5 m.Então o comprimento pode variar de 3,5 m até 4,5 m.



Nessa atividade, aparece a região quadrangular, possibilitando re-fl exões sobre a multiplicação de monômios, e também a retomada da potenciação e de radiciação.



Bia calcula a área de uma região quadrangular, depois multiplica por 10 para achar o total. Pedro desenvolve a ideia de multiplicação na forma retangular.

Para área = 62,5 m2, y = 2,5 m. Para área = 22,5 m2, y = 1,5 m. Portanto, as medidas estão entre 1,5 m e 2,5 m.



A atividade apresenta a noção de perímetro e a soma de expres-sões algébricas.



39 m ou 41m;21 m ou 35 m



As propostas visam, mais uma vez, o estabelecimento de rela-ções entre área de fi guras retan-gulares e expressões algébricas.Essas atividades oferecem um contexto interessante para o aluno efetuar cálculos algébri-cos, que, sem a articulação com a geometria, seriam apenas ma-nipulações algébricas.


• Construir procedimentos para calcular o valor numérico e efetuar operações com expressões algébricas, utilizando as propriedades conhecidas, em situações-problema.

A = 6x3; 384 cm2

P = 12x + 2x2; 80 cm

A = 2x2 + x; 36 cm2

P = 6x + 2; 26 cm

A = 3y2 + 8y + 4; 44,25 cm2

P = 8y + 8; 36 cm



A = x2 + 3x – 4; 24 cm2

P = 4x + 6; 22 cm

A = xy + 2y; 21 cm2

P = 2x + 2y + 4; 19 cm

A = 2xy + 3y; 38,5 cm2

P = 4x + 2y + 6; 29 cm



Espera-se que os alunos analisem as informações do quadro apre-sentado, buscando semelhanças nos exemplos para “retirar daí” as informações que precisam ser conhecidas e utilizadas em ou-tros momentos do estudo com a álgebra.

As atividades dessa página, em-bora sejam de formalização e de apresentação de nomenclaturas, propõem “certo grau” de refl exão para que o aluno saiba o que são monômios, binômios e polinô-mios de modo geral.



– 4x² e 4x²

– 3ax² e 10ax²

X X

X

5xy e xy



A atividade 4 propicia a exer-citação dos conceitos sintetiza-dos sobre adição e subtração de monômios.

Na atividade 3, retomam-se os cálculos feitos nas atividades anteriores, para que se organize e se sistematize o conhecimento sobre as operações de adição e multiplicação de monômios. No item b procura-se sistematizar os conhecimentos sobre a subtração e a divisão de monômios.

10x3 –a²b² 2x²y

11ab x2 8x

6,8y xy –

Para adicionar: repete-se a parte literal e adicionam-se os coefi cientes. Para multiplicar: multiplicam-se os coefi cientes e multiplicam-se as partes literais.

O procedimento é o mesmo. Subtração: subtraem-se os coefi cientes semelhantes, repetindo-se a parte literal.Divisão: dividem-se os coefi cientes e aplica-se a propriedade de potência para a divisão (repete-se a base e subtraem-se os expoentes).



Nas atividades relativas à multi-plicação e divisão de monômios, é importante retomar as proprie-dades da potenciação.

Os alunos, com essas atividades, têm a oportunidade de verifi car se de fato aprenderam as ideias apresentadas até aqui.Acompanhe o trabalho da classe e proponha a socialização para discussão das respostas.



– 21x7

2,24x6

18x³y³

81x8y4

32a10b5

7

6

m3

X



aprenda a manipulá-las com com-preensão. Além disso, é interes-sante que entenda as estruturas algébricas que está estudando.Nessa página, inicia-se o tra-balho com a adição. Para isso é importante que o aluno explore a decomposição de um número, principalmente a decomposição em potências de base 10.

Um dos objetivos do estudo de polinômios é orientar o aluno para tratar de forma generaliza-da as operações e propriedades dos números.A proposta é que se faça uma ana-logia com os algoritmos conheci-dos das quatro operações aritméti-cas, para que o aluno compreenda as operações com polinômios e



Resposta pessoal, mas é importante que o aluno perceba a analogia existente entre operações numéricas e operações entre polinômios quando se decompõe um número em potências de base 10.

A + B = 7x5 + 11x³ + 4x² +16



Essa página explora a subtração de polinômios. É fundamental rever as operações com núme-ros inteiros, para que os alunos percebam uma analogia entre a subtração de polinômios e a sub-tração entre números negativos.



Ela adicionou o polinômio 8x³ + 5x² + 2x + 7 ao oposto do polinômio5x³ + 2x² + 2x – 3. Usou propriedades dos números inteiros: para calcular a diferença entre dois termos, soma-se o primeiro ao oposto do segundo.

8x³ + 5x² + 2x + 7– 5x³ – 2x² – 2x + 3

3x³ + 3x² + 0x + 10

13x6 + 2,5x5 + 4x3 – 4x2 – 3x + 10

16y4 + 10y² – 24y + 8

42



gulares, favorecendo o entendi-mento do produto apresentado na atividade 2.Observe que a propriedade dis-tributiva da multiplicação em re-lação à adição também pode ser analisada ao se refl etir sobre o resultado de a∙(b + c) = ab + ac.

A atividade 1 mostra o algorit-mo da multiplicação em sua for-ma decomposta, que em geral é trabalhada nos anos iniciais.Essa forma de registrar a multi-plicação auxilia na compreensão do algoritmo convencional e aqui contribui também para a articu-lação com área de fi guras retan-



y + 3 × y

y² + 3yy ∙ (y + 3) = y² + 3y



As atividades dessa página usam a multiplicação de núme-ros de dois algarismos para a compreensão da multiplicação de binômios. Seria importante retomar com os alunos a análi-se da área de fi gura retangular obtida pela soma das áreas desuas partes.



Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, pois: a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c e (y + 5) ∙ (y + 6) = y2 + y ∙ 6 + 5 ∙ y + 30 = y2 + 11 ∙ y + 30



Essa atividade propõe a reto mada dos procedimentos apren didos na atividade anterior: o uso do al-goritmo e o cálculo de área.


• Construir procedimentos para calcular o valor numérico e efetuar operações com expressões algébricas, utilizando as propriedades conhecidas,em situações-problema. A = t2 + 5t + 6

A = 10x2 + 19x + 6

A = x2 + 2xy + y2

A = a2 + 2ab + b2

A = x2 + 6x + 9

t

t 3 ∙ t

2 ∙ t

t2

2 6

3

x

x x ∙ y

y ∙ x

x2

y y2

y

a

a a ∙ b

b ∙ a

a2

b b2

b

x

x x ∙ 3

3 ∙ x

x2

3 32

3

5x

10x2 4x

15x 6

2x

3

2



Observe que o sinal de multipli-cação foi excluído. Converse com os alunos sobre isso.

Nessa página a proposta é que se aplique a propriedade distri-butiva, estabelecendo relações entre as três possibilidades de resolução: algoritmo, proprieda-de distributiva e área de fi guras retangulares.



a² + 3a + 2

x² + 7x + 12

x² – 36

a² + 2ab + b²

9a² – b²

y² + 3y – 4

3a² + 16a – 12

y² + 6x + 9





Essa página propõe que o aluno inicie a aprendizagem dos produ-tos notáveis por meio da compa-ração e estabelecimento de rela-ções com os cálculos anteriores, mostrando que o modo de obter um produto notável é o mesmo.

Além disso, é objetivo da ativida-de a análise de regularidades para que se “perceba” que o resultado (a + b)² = a² + 2ab + b² é válido para todos os casos que envolvem o quadrado de uma soma.

Nos dois casos, temos o quadrado do 1o termo, mais duas vezes o 1o termo multiplicado pelo 2o, mais o quadrado do 2o termo.




• Construir procedimentos para calcular o valor numérico eefetuar operações com expressões algébricas, utilizando as propriedades conhecidas,em situações-problema.

As atividades dessa página fazem parte da análise de regularida-des e sua aplicação em alguns cálculos.

5

–2

12

52 = 25

(–2)2 = 4

122 = 144

3² + 2 ∙ 3 ∙ 2 + 2² = 25

(–6)² + 2 ∙ (–6) ∙ 4 + 4² = 4

52 + 2 ∙ 5 ∙ 7 + 72 = 144

São iguais: (a + b)² = a² + 2ab + b²

a² + 10a + 25 y² + 20y + 100

9x² + 24x + 16 25x² + 70x + 49

Uma resposta possível: O quadrado do 1o, mais 2 vezes o 1o pelo 2o, mais o quadrado do 2o elemento.





Para calcular (a – b)² sugere-se usar o cálculo de área. Para o item b, propõe-se que o aluno recorte um quadrado em uma fo-lha de sulfi te e reproduza a fi gura apresentada no início da página.

Por meio de recortes, explore as áreas das partes que compõem a fi gura quadrangular de lado a – b para verifi car o resultado de:(a – b)² = a² – 2ab + b²

Recortar o quadrado de lado a, dobrar formando dois retângulos de lado b e recortar esses dois retângulos. Como a ideia é retirar as duas fi guras, é preciso observar que o quadradinho de área b2 é retirado duas vezes. Assim: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2



Na atividade 2, aparece a pro-priedade distributiva da multi-plicação em relação à adição.A proposta é que o aluno compa-re os diferentes procedimentos e escolha a melhor estratégia para calcular o produto de polinômios. Aqui também pode-se orientar os alunos para fazerem a relação com área de fi guras planas.

A atividade 4 sugere a aplicação do resultado do produto notável:(a – b)² = a² – 2ab + b²Na atividade 5, a proposta de escrever uma regra visa a que o aluno redija com suas palavras uma forma de memorizar esse resultado.

São, porque a área do quadrado a – b pode ser calculada tomando-se a área da região dada por: a ∙ a – ab – ba + b ∙ b

x2 – 2xy + y2

x2 – 2 · x · 4 + 42 = x2 – 8x + 16

t2 – 2 · t · 3 + 32 = t2 – 6t + 9

(2y)2 – 2 · 2y · 1 + 12 = 4y2 – 4y + 1

a – b ao quadrado é igual ao quadrado do 1o menos 2 vezes o 1o multiplicado pelo 2o mais o quadrado do 2o.

a – b multiplicado por a + b é igual ao quadrado do 1o menos o quadrado do 2o.



Resposta pessoal, mas é importante que apareça o fato de serem resultados muito utilizados nos cálculos algébricos.

x2 – 49 u2 – v2

x2 + 14x + 49 16x2 – 48x + 36

x2 – 14x + 49

m + 5

x2 + x +



A atividade 1 organiza os co-nhecimentos sobre os produtos notáveis.É interessante explicar aos alu-nos que são chamados notáveis porque são muito utilizados nos cálculos algébricos e que é im-portante memorizá-los para agili-zar os cálculos em que aparecem.

A atividade 2 visa a aplicação desse resultado e a atividade 3 propõe a articulação da represen-tação geométrica com a repre-sentação algébrica.



3x3 5x3

– 5x2 x4

0 – 3x5

3x2 + 5x + 2 x2 + x +

X

Esta seção vai aparecer no fi nal de cada Unidade, com propostas que retomam o conteúdo traba-lhado. São atividades individuais, e você deve analisá-las para veri-fi car se as expectativas de apren-dizagem foram atingidas, quan-to os alunos avançaram e o que precisa ser retomado, antes de passar para a próxima Unidade.




X

X

X

X



vando a forma da fi gura. São as isometrias. Destaca-se também a congruência dessas fi guras por sua movimentação. O tema área de fi guras planas também está presente nesta Unidade, com a utilização de fórmulas obtidas

pela composição e decomposi-ção de fi guras. Os sistemas de equação do 1o grau serão apre-sentados como ferramentas para resolver problemas, e serão estu-dados os métodos da substitui-ção e adição.

Nesta Unidade, os alunos apren-derão transformações planas, como as simetrias axial e central, refl exão, translação e rotação de fi guras. É importante a percepção de que nessas transformações as medidas dos ângulos e dos seg-mentos são conservadas, preser-

• M11 Traduzir situações--problema por sistemas de equações do primeiro grau, utilizando métodos como o da adição e da substituição para resolvê-los, discutindo o signifi cado das soluções (raízes) encontradas, em confronto com a situação proposta.

• M15 Explorar propriedades como as referentes à altura e medianas de um triângulo.

• M18 Identifi car as transformações de uma fi gura obtidas pela sua translação, identifi cando características dessa transformação(em relação às medidasdos lados, dos ângulos, da superfície da fi gura).

• M22 Explorar a congruência de fi guras planas, em situações--problema, a partir da análisede refl exões em retas, rotações e translações.

• M24 Calcular a área de superfícies planas delimitada por um paralelogramo, um triângulo, um losango e um trapézio, por meio da utilização de fórmulas.


régua

transferidor

esquadro

compasso



As atividades 1 e 2 têm como proposta levantar os conheci-mentos prévios dos alunos a respeito das simetrias. Avalie as respostas para encaminhar o trabalho sobre esse tema. As ati-vidades 3 e 4 possibilitam aos alunos retomar a ideia de fi guras simétricas, isto é, aquelas com eixos de simetria sobre elas.

• Identifi car as transformações de uma fi gura (refl exão em reta, rotação e translação) e as características dessa transformação (em relação às medidas dos lados, dos ângulos, da superfície da fi gura).

Resposta pessoal. Provavelmente aparecerão respostas que envolvem dobraduras, formas geométricas.

x x

r



Acompanhe o trabalho dos alu-nos, principalmente no traçado de fi guras simétricas em relação a um eixo inclinado, pois em geral aparecem algumas difi culdades.

As atividades dessa página e da anterior têm por objetivo retomar o conceito de simetria axial, para eixos tanto verticais e horizontais como inclinados. O uso de malha pontilhada possi-bilita ao aluno identifi car proprie-dades características de fi guras simétricas, como distância entre pontos da fi gura e o eixo.




Essa atividade possibilita ao aluno calcular as distâncias dos pontos simétricos e estabelecer a relação entre as retas que pas-sam por dois pontos simétricos e o eixo de simetria.


São perpendiculares.

São congruentes, ou seja, AY congruente a PY.

A reta e o eixo são perpendiculares.

Sim

Esses segmentos de reta são congruentes, isto é, têm a mesma medida.



Na atividade 2, aparece a cons-trução de uma nova fi gura simé-trica à segunda em relação ao eixo s. É importante discutir com os alunos que a terceira fi gura é como se fosse a primeira deslo-cada no plano. A translação pode ser vista como o deslocamento de uma fi gura no plano ou como o resultado de uma refl exão.

É necessário que os alunos perce-bam que as formas geométricas obtidas seja pela refl exão seja pela translação mantêm a forma, com ângulos correspondentes congruentes e lados correspon-dentes também congruentes.

Na atividade 1, os alunos pode-rão construir fi guras simétricas e perceber o movimento de refl e-xão. Caso haja possibilidade, pro-ponha o uso de espelhos feitos com papel espelho e cartolina para que compreendam melhor o signifi cado de refl exão.


A'

A"

B'

B"C'

C"

D'

D"

Uma iria sobrepor-se à outra.

Essas medidas são mantidas.

Sim



do movimento do triângulo ABC para que coincida com a posição do triângulo A”B”C”.Caso haja necessidade, sugira que recortem um triângulo e re-produzam o movimento desenha-do na atividade, para perceber o giro de 180º utilizado e o senti-do horário do movimento.

Na atividade 1, os alunos, usando a malha quadriculada, construi-rão fi guras por meio de rotação. Socialize com o grupo os pro-cedimentos utilizados para ob-tenção dessas fi guras. Espera-se que essa análise coletiva auxilie na resolução da atividade 2, em que é solicitada a identifi cação


Mantêm as mesmas medidas de ângulos e lados.

180º, sentido horário



Após a realização da atividade que permite a refl exão sobre o modo de obter fi guras por meio de uma rotação, a atividade 3 mos-tra como se constrói uma rota-ção com compasso e transferidor.Na atividade 4, os alunos pode-rão usar o roteiro de construção explorado na atividade anterior.



A atividade 3 retoma a questão da simetria axial. O aluno precisa usar as propriedades de fi guras simétricas em relação a um eixo xpara traçar o segmento simétrico ao segmento AB: retas que pas-sam pelos pontos simétricos e perpendiculares à reta s e as mes-mas distâncias entre os pontos simétricos e o eixo de simetria.

As atividades 1 e 2 dessa página possibilitam que o aluno utilize os instrumentos da atividade an-terior para resolvê-las. As fi guras estão desenhadas na malha qua-driculada para que o aluno em-pregue também esse recurso para verifi car a posição da nova fi gu-ra, contando os quadradinhos.




Essas atividades dão continui-dade ao trabalho de construção das fi guras simétricas. Ressalte a congruência das fi guras quan-do ocorrem refl exões, rotações ou translações.


• Explorar a congruência de fi guras planas, em situações--problema, a partir da análisede refl exões em retas, rotações e translações.

AC e DF; AB e DE

Resposta pessoal

Resposta possível: e

D

E

F



Na atividade 2 socialize e dis-cuta as isometrias escolhidas pelos alunos.

A atividade 1 explora a trans-lação e congruência das fi guras. Aqui aparecem duas fi guras con-gruentes, uma delas obtida por meio de translação. É importante que os alunos per-cebam que a translação não é ne-cessariamente obtida por meio de refl exão.



Translação

ou

Resposta pessoal



Bia resolveu por tentativas, escolhendo números cuja soma dá 19,e verifi cou qual das duplas de números tem como diferença 3.Pedro adicionou a diferença entre os dois números ao total e depois dividiu por 2, calculando, assim, o número maior, depois subtraiu 3 para calcular o menor. Ana resolveu o problema com duas equações que representam a soma e diferença entre os números.

Sugira aos alunos que resolvam primeiro o problema, sem ler as resoluções indicadas na atividade.Após essa primeira etapa de dis-cussão, apresente como Bia, Pedro e Ana resolveram. Ressalte os mo-dos diferentes de resolução. De-pois da análise, proponha a reso-lução dos outros dois problemas.

Nessa página, inicia-se o traba-lho com sistema de equação do 1o grau. As primeiras atividades são propostas para que os alunos resolvam os problemas utilizando estratégias pessoais.Na atividade 1, aparecem três es-tratégias diferentes de resolução.

• Traduzir situações-problema por sistemas de equações do primeiro grau, utilizando métodos como o da adição e da substituição para resolvê-los, discutindo o signifi cadodas soluções (raízes) encontradas, em confrontocom a situação proposta.



Tapete: R$ 12,50Vaso: R$ 25,00

O mais velho tem 11 anos e o mais jovem tem 6 anos.

Após a realização da atividade 2, socialize algumas estratégias utilizadas pelos alunos para re-solução desses problemas, per-mitindo com isso a ampliação do repertório de estratégias de solução de um mesmo problema.



Tem várias soluções, pois existem vários números que adicionados dão 32.

10 22 32

7 25 32

15 17 32

1 31 32

x + y = 32

y = x + 4

14 meninas e 18 meninos

para resolver esse problema. Mas é no item d que aparece a neces-sidade de buscar a intersecção das duas condições retratadas nos itens c e d, isto é, a fun-ção de um sistema de equações.

Essa atividade sugere, inicial-mente, que o aluno trabalhe com tentativas e erros na busca da so-lução, como Bia na atividade ante-rior. A partir do item c, proponha a perspectiva do uso de equações


Resposta possível: x + y = 32 e y = x + 4x + x + 4 = 322x + 4 = 322x = 28x = 14 e y (= x + 4) = 18



Meninas: 8Meninos: 24

x + y = 32

x = 2y

2y + y = 32

2y + y = 323y = 32

y =

y = 10,66

Não, pois y é o número de meninos e não pode ser 10,66.

Essa atividade apresenta novas condições para a resolução do problema da página anterior.O item e é proposto para que o aluno refl ita se é possível vali-dar a solução da equação como resposta do problema.



x + y = 2.500 + 600

x = y + 600

Trocou x por y + 600, para fi car apenas com um valor desconhecido.

O problema retoma a questão da equação vista como “uma situa-ção de equilíbrio”, por meio de balanças.Oriente os alunos para, em du-plas, analisarem as ações apre-sentadas pelos pratos das balan-ças e elaborarem equações que representam esses equilíbrios.

Na atividade 2, sugere-se, por meio das trocas, que os alunos percebam “o método da subs-tituição” como estratégia para resolução de um sistema.




Possível escrita: x + y = 2.500 + 600; x = y + 600;2y + 600 = 2.500 + 600; 2y = 2.500; y = 1.250 e x = 1.850

Resposta pessoal, mas podem aparecer situações como esta:“A soma de dois números é igual 3.100. Um dos números é resultado do segundo número mais 600. Quais são esses números?”

y y2.500 g

Resposta pessoal, mas deve ser mencionado o papel da troca feita pelo aluno em uma das ações, com a indicação da substituição feita.

Após a resolução da atividade 3, socialize os problemas elabora-dos pelos alunos e faça a análise com eles.

Analise com os alunos os pro-cedimentos de resolução apre-sentados, com a organização dosis tema de equações e o usodo mé todo da substituição para encontrar o resultado.




x = 6 e y = 9

u = e v = 0

r = 2 e s = 1

m = 1 e n = 0

x = 0 e y = 1

x = –3 e y = –7

Proponha aos alunos que resolvam os sistemas como forma de exer-citar o método da substituição.




x = 8,90; o preço do lanche.

2x + y = 21

x + y = 12,10

x = 8,90 e y = 3,20

Lanche: R$ 8,90Suco: R$ 3,20

Nessa atividade aparece outra possibilidade de resolução – o método da adição. Essa possibi-lidade surge da análise de uma situação do cotidiano, em que se propõe que o aluno calcule a diferença entre dois consumos.




Bia usou o método da substituição, e Pedro usou o método de Ana, apresentado por ela na atividade da página 173 (livro do aluno).

A atividade 1 propõe a compara-ção dos dois métodos: da adição e da substituição.Compare a resolução do problema da página anterior com o método desenvolvido por Pedro.




x = 27 e y = 15 x = 3 e y =

Na atividade 2, analise como se obtém o valor da segunda incóg-nita por meio de um cálculo men-tal ou pela substituição do pri-meiro valor em uma das equações.

Em seguida, substitui-se o valor encontrado em qualquer uma das equações originais.



O método da adição

Para somar as duas equações e trabalhar com uma incógnita apenas.

x = 3 e y = 2 x = 10 e y = 12

As atividades propõem a resolu-ção de sistemas pelo método da adição, cuja aplicação, porém, exige “transformar” uma das equações em outra equivalente.Oriente os alunos que apresenta-rem difi culdade.




Joana: R$ 500,00Diva: R$ 700,00

Pãozinho: R$ 0,25Broa: R$ 0,40

320 adultos e 230 menores


Para resolverem esses problemas, os alunos poderão utilizar dife-rentes estratégias, não necessa-riamente por meio de um siste-ma de equações. É fundamental que eles tenham a oportunidade de escolher as melhores estraté-gias, segundo os próprios crité-rios, e analisem os procedimen-tos mais efi cazes.



x = 2 e y = –3 x = –4 e y = 1

x = e y = –1

Resposta pessoal

Resposta pessoal

x = 5 e y = 2


Na atividade 1, o aluno pode-rá optar pelo procedimento que achar mais conveniente. Converse com a classe se é possível resol-ver alguns deles usando cálculo mental. Esclareça que, em mui-tas situações, o sistema é uma ferramenta interessante para resolver um problema e, em ou-

tras, o cálculo mental pode ser empregado, como no exemplo: “A soma de dois números é 20 e a diferença é 10. Quais são esses números?” Retome os problemas iniciais abordados para o ensino de sistema de equação e analise essa possibilidade.



A: 3 u2; B: 4 u2; C: 6 u2; D: 7,5 u2 E: 4 u2; F: 6 u2; G: 8 u2; H: 10 u2

9 cm2 7,5 cm2 6 cm2

• Calcular a área de superfícies planas delimitada por um paralelogramo, um triângulo,um losango e um trapézio, por meio da utilização de fórmulas.

Essas atividades poderão ser rea-lizadas em dupla.O objetivo da atividade 1 é retomar ideias trabalhadas em anos anteriores sobre área de fi -guras planas por meio da compo-sição e decomposição de formas poligonais. Isso deve ser feito por meio de fi guras desenhadas em malha pontilhada e usan-

do medidas não padronizadas.Na atividade 2, passa-se a usar a malha quadriculada, já com o estabelecimento de que cada quadradinho tem 1 cm de lado. O cálculo da área, porém, ainda é feito por contagem e, caso haja necessidade, por composição dos quadradinhos. A proposta é que os alunos retomem os conceitos

de área (recobrimento de uma superfície) e estimem os pos-síveis valores para a área antes de efetuarem a contagem de quadradinhos. Caso algum deles faça uso de fórmulas, proponha um confronto de ideias, em que se argumente o porquê dessa for-ma de raciocinar, e a comparação dos procedimentos.



Um triângulo possui 3 alturas relativas aos 3 lados.

A altura é um segmento de reta que pode coincidir com o lado do triângulo, situar-se na parte interna ou na parte externa do triângulo.

• Explorar propriedades dos triângulos como as referentesàs alturas.

Essas atividades trazem a cons-trução de um dos elementos importantes do triângulo, a altura, que será utilizada nos cálculos de área.

Há casos em que os alunos pre-cisam prolongar os lados para desenhar as alturas do triân-gulo. Or iente-os, se houver necessidade.

h2 h1

h1 h2 h1h1

h2

h1h1



Comprimento × largura, ou lado 1 × lado 2.

A = b ∙ h

A = 48 cm2


Essas atividades poderão ser rea-lizadas em dupla.As propostas iniciais sobre cál-culo de áreas de fi guras planas envolvem a experimentação. Ao recortar figuras, ou desenhá--las, para explorar a composição

e decomposição, o aluno pode perceber relações importantes que envolvem comparação entre áreas. Essas ideias auxiliarão na compreensão da linguagem al-gébrica e das fórmulas. Mas é preciso ter claro que essa é uma

etapa da aprendizagem e que, posteriormente, os alunos deve-rão trabalhar com deduções, in-ferências e induções para chegar às fórmulas, que serão resultados importantes e generalizadores a serem usados.



A área do triângulo é a metade da área do retângulo de mesma

base e altura: A = b ∙ .

30 m2

160 m2

150 mm2

4,5 cm2

• Calcular a área de superfícies planas delimitada por um paralelogramo, um triângulo, um losango e um trapézio, por meio da utilização de fórmulas.

Na atividade 1, os alunos po-derão perceber a relação entre a área da região limitada por um paralelogramo e a região trian-gular cuja base e altura são as mesmas que no paralelogramo. Essa atividade também poderá ser desenvolvida com dobraduras. Peça aos alunos que verifi quem o que ocorre com as fi guras, que

relações podem ser estabelecidas entre os triângulos formados, os paralelogramos e suas respecti-vas alturas. É importante que os alunos perce-bam a ideia de área de uma fi gura plana como recobrimento de uma superfície (a malha quadriculada contribui para isso) e a distinção entre área e perímetro.



A1 = A2 =

A = ou +

A = 20 m2 A = 6,875 cm2


Nas propostas apresentadas a respeito do cálculo de áreas de algumas fi guras planas, o objeti-vo é a exploração de estratégias “experimentais” para a “dedu-ção” das fórmulas.

São citados três tipos de tra-pézio e escolhido um deles para ser utilizado na obtenção da fórmula. Sugira que verifi quem como calcular a fórmula para os outros trapézios.




Essas atividades poderão ser rea-lizadas em dupla.A área de um losango também pode ser obtida da seguinte for-ma: desenha-se um losango, mar-cam-se suas diagonais, dobra-se e recorta-se em uma delas, ob-tendo dois triângulos. Os dois triângulos colocados lado a lado compõem um paralelogramo, cuja

base é a medida de uma das dia-gonais do losango (aquela em que foi feito o recorte) e cuja altura é a metade da outra diagonal. Considerando d a medida da dia-gonal menor e D a medida da diagonal maior, a área do para-lelogramo, e consequentemente

do losango, será A = d × .

A atividade 2 propõe essa cons-trução para que os alunos per-cebam que existem diferentes procedimentos para obter um resultado, e um deles é por meio da composição e decomposição dos quadriláteros, com a utili-zação das propriedades de suas diagonais.

A região é dividida em 4 outras de áreas iguais;basta calcular a área das regiões triangulares e multiplicar por 4.

Recortar, por exemplo, pela maior diagonal.

Área da metade da região:

Multiplicar a área por 2:



209 m2

1,66 m2

166 m2

A = 36 cm2

20,25 cm2


A sugestão é que os alunos em duplas resolvam esses problemas, por meio de fórmulas ou não. Deve-se valorizar suas estraté-gias de resolução e socializá-las para o confronto de ideias e va-lidação de respostas. Na atividade 1, é interessante trabalhar com diferença de áreas.

Na atividade 2, converse com os alunos sobre área da superfície de uma caixa. Analise com eles o formato de um bloco retangular e quais fi guras planas compõem sua superfície.Na atividade 3, oriente os alu-nos para desenharem as fi guras, pois isso vai ajudá-los a resolver as questões.



X

X

Na seção “Agora, é com você” são propostos alguns problemas para que os alunos verifi quem o que aprenderam nesta Unidade. Acompanhe o trabalho dos alu-nos, propondo outras atividades, posteriormente, caso perceba al-gumas difi culdades.

Na atividade 2, embora suscite o uso de sistema de equação, os alunos podem usar outro tipo de estratégia. Oriente-os apenas para registrar o procedimento adotado.

10 cm



com predominância de estabe-lecimentos do setor de serviços.Se quiser aprofundar o tema des-ta Unidade, oriente os alunos para pesquisarem informações sobre o município de São Paulo no site da Prefeitura (www.pre-feitura.sp.gov.br).

Nesta Unidade, o tema perfi l eco-nômico da cidade de São Paulo gerará o contexto para o trabalho com frequência relativa, escala e relação entre retas paralelas cor-tadas por uma transversal, por meio da análise de mapas. Explo-re a foto, mencionando a aveni-da Luís Carlos Berrini como local

• M19 Identifi car ângulos congruentes, complementares e suplementares em feixes de retas paralelas cortadas por retas transversais, reconhecendo propriedades e utilizando-as para resolver situações-problema.

• M23 Determinar a soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer.

• M25 Construir procedimentos para medir grandezas que são determinadas pela relação de duas outras (como velocidade, densidade) e utilizá-los para resolver situações-problema.

• M26 Resolver situações--problema utilizando noções de escala e analisar plantase mapas, identifi cando as escalas utilizadas.

• M29 Compreender termos como frequência, frequência relativa, amostra de uma populaçãopara interpretar informaçõesde uma pesquisa.

• M31 Resolver situações--problema que incluem contagem, por meio de estratégias variadas, como a construção de diagramas, tabelas e esquemas sem a aplicação de fórmulas.

• M32 Resolver situações--problema que abrangem a construção de espaços amostrais e indicação da possibilidade de sucesso de um evento, pelo uso de porcentagens.


mapa da cidade de São Paulo

régua

esquadro

transferidor

calculadora



paralela, perpendicular e trans-versal – reta que corta outras no mesmo plano. Ao falar em rua transversal a outras duas, cite ruas perpendiculares, por exemplo: nesse mapa, as alame-das Joaquim Eugênio de Lima e

Campinas são paralelas, e a ala-meda Santos, transversal a elas. Diga que, com base na relação entre ruas do mapa aqui discuti-da, eles estudarão propriedades relativas às retas e aos ângulos formados entre elas.

O mapa de uma cidade ou de par-te dela oferece o contexto para a aplicação das ideias de retas pa-ralelas, perpendiculares e trans-versais, como nessa atividade. Converse com os alunos a res-peito dos signifi cados de retas

• Identifi car ângulos congruentes, complementares e suplementares em feixes de retas paralelas cortadas por retas transversais, reconhecendo propriedades e utilizando-as para resolver situações-problema.

Duas das seguintes: rua Cincinato Braga, alameda Ribeirão Preto, alameda Santos, alameda Jaú.

Não, porque é paralela à alameda Campinas.

É transversal.

Resposta pessoal



tares. Chame a atenção para a imprecisão dos valores obtidos por mensuração.A pesquisa sobre ângulos comple-mentares proposta na atividade 3 pode ser realizada em dicioná-rio. Discuta esse conceito com os alunos.

Na atividade 4, oriente-os para provar que os ângulos opostos pelo vértice possuem a mesma medida, isto é, são congruentes, por meio da relação com os ân-gulos suplementares, como des-crito na resposta ao item b.

Essas atividades propiciam a re-tomada das relações entre duas retas concorrentes e dos ângulos determinados por elas.Nas atividades 1 e 2, sugira aos alunos que meçam os ângulos com transferidor e explorem a soma entre eles para analisar a questão dos ângulos suplemen-


São todos iguais a 180º.

Quando a soma entre eles é igual a 90º.

y = 37°; x = 37°; z = 143°; w = 143°

x + z = 180º ez + y = 180º.z = 180º – x ez = 180º – y ⇒ 180º – x = 180º – y ⇒ x = y

São iguais.

180º



O objetivo desses exercícios é aplicar as ideias trabalhadas nas páginas anteriores.


Como 135º e y são ângulos opostos pelo vértice,possuem a mesma medida, então y = 135º.Como z e 135º são ângulos suplementares, sua soma é 180º, então z = 45º. Como x e z são opostos pelo vértice, possuem a mesma medida, então x = 45º.

x = 44º x = 157º



como ocorre na translação: a reta r vai se mo vimentando, manten-do-se paralela a sua posição ini-cial, até se sobrepor à reta s. Com a sobreposição, observa-se que os ângulos a e b “coincidem”, isto é, são congruentes.É fundamental que os alunos possam analisar que essa con-gruência entre os ângulos ocorre

apenas quando as retas são pa-ralelas. Se necessário, proponha que trabalhem com palitos de sorvete presos por tachinhas, para que, por meio dos movimen-tos, percebam as relações das medidas dos ângulos entre retas paralelas e o que muda quando as retas não são paralelas.

Converse com os alunos a res-peito da palavra “transversal”, incluindo a consulta ao dicioná-rio, de modo que se estabeleçam relações entre a língua materna e os signifi cados matemáticos. Para que eles percebam que os ângulos correspondentes são congruentes, a sugestão é que usem a ideia de deslocamento de uma das retas,


Coincidirão, isto é, terão a mesma medida.

Não, os ângulos não terão a mesma medida.



los, mas é importante destacar que o principal objetivo não é queos alunos a memorizem, e sim que identifi quem os pares de ângulos de mesma medida para aplicação posterior em situa-ções-problema.

A proposta dessa atividade também é estabelecer relaçõesentre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.O quadro do item b apresenta a nomenclatura de pares de ângu-


O ângulo c é congruente ao ângulo oposto, que pode ser chamado de x (opostos pelo vértice). Como x e d são correspondentes, também são congruentes. Então, c é congruente a d.

y e b c e b

a e z x e z



No item e os alunos precisarão prolongar as semirretas para de-terminar o valor de x.

Esses exercícios visam a aplica-ção do que foi visto até aqui. Entretanto nos últimos itens há aspectos não explorados an-teriormente: a necessidade de traçar uma reta paralela a m e n, passando pelo ponto x, para que se possa calcular o ângulo x (item e) e ângulos complementa-res (item f).


x = y = 46º x = y = 58º

x = 47º e y = 43º x = 105º



lígono convexo. A demonstração de que essa soma vale 180º exige também o entendimento da con-gruência entre ângulos formados por retas paralelas cortadas por transversais, assunto explorado nesta Unidade.

O segundo exemplo apresenta a análise de um quadrilátero, levan-do os alunos, na atividade 1, a re-fl etir sobre “a divisão” do polígono em triângulos e a usar essa pro-priedade para determinar a soma dos ângulos internos do polígono.

O objetivo do primeiro exemplo de problema é revisar a relação entre os ângulos internos de um triângulo, estudada em anos anteriores, para que os alunos compreendam a da soma dos ân-gulos internos de qualquer po-


• Determinar a soma dosângulos internos de umpolígono convexo qualquer.



Nas atividades 2 e 3, amplia-se a análise para o hexágono.Com essas propostas, espera-se desencadear o trabalho de cons-trução e entendimento da fórmu-la para determinar a soma dos ângulos internos de um polígono convexo.

Dividiram o quadrilátero em triângulos, cuja soma dos ângulos internos é 180º. Como são dois triângulos, a soma será 360º.

Soma = 720º

Soma = 720º



No preenchimento do quadro da atividade 1, oriente os alunos para observarem as regularidades nele presentes. A análise dessas regularidades permitirá que ob-tenham a fórmula, cuja identi-fi cação será feita na sequência de propostas da atividade 2. Socialize as descobertas.


5 3 3 × 180º

7 5 5 × 180º

6 4 4 × 180º

8 6 6 × 180º



de múltiplo de 180º ou aplicar a fórmula e perceber que n não é um número natural, não re-presentando, consequentemen-te, o número de lados de um polígono.

Na atividade 3, sugere-se a apli-cação dessa fórmula na deter-minação da soma dos ângulos in-ternos de um polígono de 20 lados.Para responder à atividade 4, os alunos podem usar a ideia

1.800º

2.340º

(n – 2) × 180º, em que n é o número de lados do polígono.

3.240º

Resposta possível: Não, porque 930° não é múltiplo de 180°; porque n não é um número natural e, portanto, não pode ser o número de lados de um polígono.



Nesses exercícios, a proposta é mais uma vez utilizar a fórmula que está sendo estudada. Entre-tanto, a atividade 2 trata tam-bém de ângulos externos, e isso surge da relação com ângulos su plementares. Com base nessa análise, pode-se identifi car a re-lação entre ângulos internos e externos de um mesmo polígono.


9

108º

360º

72º

72º

5



• orientar os alunos com difi cul-dades para calcular as porcen-tagens;

• organizar os procedimentos após a realização do cálculo de porcentagens para que os alu-nos possam aplicá-los nas pró-ximas atividades com a mesma expectativa de aprendizagem das atividades dessa página;

• orientar sobre procedimentos de arredondamentos, estraté-gia muito importante, sobre-tudo em cálculo mental.

No caso das porcentagens, orga-nize as ideias sobre como calcu-lá-las e, posteriormente, sugira a utilização de calculadora para esse fi m.

O objetivo dessas atividades é que os alunos retomem cálculos com porcentagem para posterior trabalho com a ideia de frequên-cia porcentual relativa.Você pode:• explicar os significados dos

termos “serviços”, “comércio”, “indústria”, “empregos formais” e conversar sobre eles;

• Compreender termos como frequência, frequência relativa, amostra de uma populaçãopara interpretar informaçõesde uma pesquisa.

46,26

39,4

12

2,34

Serviços: ≅ 1.430.321Indústria: ≅ 473.268Comércio: ≅ 591.585



frequên cia total. Explicite esse signifi cado depois que tiverem respondido ao item b da ativida-de 1, para realizar corretamente o que é pedido no item c.Observe que a primeira frequên-cia relativa obtida é uma dízima periódica (3,333...), que pode ser

aproximada para 3,3. O mesmo vale para outros valores, o que trará a necessidade de uma apro-ximação diferente para o maior valor, afi m de garantir 100% para a soma das frequências relativas.

Analise com os alunos o que re-presenta frequência, conversan-do sobre o uso dessa palavra no cotidiano e, então, na matemáti-ca. É importante também discutir o que é frequência relativa, ou seja, a razão entre a frequên-cia absoluta de um evento e a

• Compreender termos como frequência, frequência relativa, amostra de uma populaçãopara interpretar informaçõesde uma pesquisa.

Frequência relativa (%)

3,3

5

13,3

20

7,5

1,7

48,4

0,8

São os números da segunda coluna.

48,33%



Na atividade 3, pergunte se sa-bem o que signifi cam as anota-ções de intervalo de salários na tabela. Explique que os interva-los são defi nidos por conveniên-cia de análise e que os funcio-nários da faixa não recebem o mesmo salário.

Resposta possível: Porque o Estado do Paraná apareceu 24 vezes

em um total de 120, razão ; é uma fração equivalente a ,

que corresponde a 20%.

6,7

11,7

16,6

25

40



Nessas atividades aparece a ideia de população e amostra. Discuta com os alunos a impor-tância da escolha das amostras, para que elas possam representar e dar pistas sobre a população pesquisada.

• Compreender termos como frequência, frequência relativa, amostra de uma população para interpretar informações de uma pesquisa.

200

180

424

796

Pode representar o desempenho da totalidade, pois é possível identifi car características de uma população por meio de uma amostra que seja representativa.



Resposta pessoal: Escala musical, escala de cores

A escala gráfi ca é muito usada pelos cartógrafos. As distâncias são representadas sobre uma li-nha reta graduada, na qual se costuma usar como unidade de comprimento o centímetro e, nos pontos nela marcados, os correspondentes valores em qui-lômetros. Outras unidades tam-bém podem ser usadas. Algumas

escalas trazem, à esquerda do zero, divisões para indicar o grau de precisão da escala e garantir que se chegue a resultados mais próximos das medidas reais.A escala numérica traz as no-tações do tipo 1 : 100.000, por exemplo. É fundamental que os alunos entendam o signifi cado dessa escala: nesse caso, 1 cm no

A análise de mapas oferece o in-teressante contexto para o tra-balho com escalas – nesse caso, a escala gráfi ca. Converse com os alunos sobre o signifi cado da es-cala gráfi ca e as condições para sua utilização (mesma proporção na escala e no mapa). Discuta também a diferença entre a es-cala gráfi ca e a numérica.

• Resolver situações-problema utilizando noções deescala e analisar plantas e mapas, identifi cando asescalas utilizadas.



10.000 m

30 km

Resposta pessoal

se, ao medirmos com a régua a distância entre dois pontos, en-contrarmos 4,5 cm, a distância real entre esses dois pontos será de 4,5 × 500.000 = 2.250.000 = = 22,5 km.

mapa equivale a 500.000 cm na realidade, isto é, uma medida no desenho deve ser multiplicada por 500.000 para conhecer a me-dida real correspondente. Assim,



Explore o mapa e seu signifi cado: o que representa uma região me-tropolitana e o que se considera sede para efeito de cálculo de distâncias.

Explique aos alunos que as dis-tâncias solicitadas devem ser calculadas dos pontos que iden-tifi cam as sedes dos municípios. Analise com eles o signifi cado das escalas gráfi ca e numérica.

• Resolver situações--problema utilizando noçõesde escala e analisar plantase mapas, identifi candoas escalas utilizadas.

Resposta pessoal

39 km



A proposta é que os alunos re-solvam os problemas aplicando a noção de escala e as diferentes unidades de comprimento.Socialize os diversos procedimen-tos para encontrar a resposta.

• Resolver situações--problema utilizando noçõesde escala e analisar plantase mapas, identifi candoas escalas utilizadas.

Resposta pessoal

1 : 200

5,6 m

1 : 500.000



tos, como os de razão e proporção e o de relações geométricas. Con-verse com eles sobre o trabalho com escala, visto nesta Unidade, para que também estabeleçam conexões com o tema trabalhado.

As situações-problema dessas páginas tratam de grandezas de-terminadas pela razão de outras duas. Trabalhar com grandezas e medidas permite que os alunos es-tabeleçam conexões entre concei-

• Construir procedimentos para medir grandezas que são determinadas pela relação de duas outras (como velocidade, densidade) e utilizá-los para resolver situações-problema.

30 km/h; grandeza: velocidade

32 km/h; grandeza: velocidade

5 g1 kg



Para a atividade de pesquisa do item c, indique o site do IBGE: <www.ibge.gov.br>.

Nascem aproximadamente 15,5 crianças em cada 1.000 pessoas.

Número de habitantes e área da cidade.Resposta pessoal



Na atividade 1, converse com eles sobre o procedimento iden-tifi cado como árvore das possi-bilidades e o porquê desse nome. Reproduza na lousa o esquema indicado na resposta e mostre que ele “parece” uma árvore.

Na atividade 2, aparece a compo-sição de letras e números. É im-portante que os alunos observem a multiplicação entre o total de possibilidades das letras e o total de possibilidades dos números. A organização da árvore permi-te a compreensão desse cálculo.

As situações propostas nessa pá-gina permitem a discussão sobre os problemas de contagem. Socialize as estratégias utiliza-das pelos alunos, analisando os procedimentos adotados, como desenhos, diagramas e tabelas.

• Resolver situações-problema que envolvem contagem, por meio de estratégias variadas, como a construção de diagramas, tabelas e esquemas sem a aplicação de fórmulas.

8

40

20

TIPO DE PÃO RECHEIO ACOMPANHAMENTO

hambúrguer

salsicha

queijopresunto

queijopresuntoqueijopresunto

queijopresunto

hambúrguer

salsicha

francês

fôrma



somas; o número 12 tem apenas uma. É importante, ao discuti-rem os itens a e b, que perce-bam a distinção entre o total de possibilidades, 36, e a chance de sair determinado resultado, representado por uma fração. Retome as relações entre razão e porcentagem (estudadas no volu-me 1), pois na maioria das vezes,

quando se fala em probabilidade, usa-se porcentagem.As duas propostas são apresen-tadas articuladamente – a dos lançamentos de dados e a análise do universo de possibilida des –, para que os alunos percebam que, ao lançar dados em uma situação de jogo, os resultados poderão não ser compatíveis

Na atividade 1, os alunos “brin-cam” com lançamentos de dados e anotam os resultados.Na atividade 2, surge o regis-tro de todas as possibilidades no lançamento de dois dados em uma situação ideal, em que os alunos podem perceber rela-ções interessantes, como: o nú-mero 7 é o que apresenta mais

• Resolver situações-problema que abrangem a construçãode espaços amostrais e indicação da possibilidadede sucesso de um evento,pelo uso de porcentagens.

Respostas dependem dos lançamentos dos dados.



que, com o total de lançamentos maior, os resultados sejam mais compatíveis com o ideal. Não deixe de fazer essa refl exão com eles, ou seja, o que é provável acontecer ou não. Matematica-mente, é possível ter essa “pre-visão” diante de uma situação ideal, o total de possibilidades.

No fi nal, reveja com os alunos o item c da atividade 1, que pede o cálculo de frequência relativa, analisando o signifi cado dessa palavra, visto anteriormente, com a ideia de probabilidade (razão entre o número de vezes que um evento ocorre e o total de eventos).

com os da tabela (apresentada na atividade 2). Essa análise é fundamental, pois, como se trata de jogos aleatórios, nem sempre os resultados coincidem com as “situações ideais”.É por essa razão que se propõe a organização do registro dos lan-çamentos da classe toda, para

3 + 2

2 + 3

4 + 1

1 + 4

4 + 5

5 + 4

3 + 6

6 + 3

3 + 4

4 + 3

5 + 2

2 + 5

6 + 1

1 + 6

5 + 6

6 + 5

3 + 3

4 + 2

2 + 4

5 + 1

1 + 5

5 + 5

4 + 6

6 + 4

4 + 4

5 + 3

3 + 5

6 + 2

2 + 6

6 + 6

36

18

ou , aproximadamente 16,5%. A soma dá sempre par.

ou , 25%

ou



A atividade 1 pode suscitar re-fl exão interessante por ser uma situação signifi cativa para mui-tos: o jogo de par ou ímpar. O quadro mostra todas as possibi-lidades de resultados.



(0, 3)

(1, 3)

(2, 3)

(3, 3)

(4, 3)

(5, 3)

(2, 0)

(3, 0)

(4, 0)

(5, 0)

(0, 4)

(1, 4)

(2, 4)

(3, 4)

(4, 4)

(5, 4)

(2, 1)

(3, 1)

(4, 1)

(5, 1)

(0, 5)

(1, 5)

(2, 5)

(3, 5)

(4, 5)

(5, 5)

(0, 2)

(2, 2)

(3, 2)

(4, 2)

(5, 2)

36

18

9

25%

ou , 50%



lidades) para resolver uma pro-posta como essa. Para saber o total de possibilidades e quais são elas, o uso do quadro é con-veniente, mas, para determinar otipo de resultado, ou seja, seé soma par ou ímpar, a árvore é omelhor procedimento.

Também é preciso, nessas pro-postas, retomar relações entre razão e porcentagem, vistas no volume 1.

A atividade 2 não apresenta o to-tal de possibilidades, e sim o tipode resultado no esquema (par ou ímpar), forma de resolução por meio da árvore de possibilidades. Analise com os alunos a conve-niên cia na escolha do quadro ou do esquema (árvore das possibi-

Existem quatro possibilidades de resultados e

apenas um deles apresenta par e par: ou 25%.

Nenhuma, 0%

O quadro nomeia todos os pares de números e o esquema indica apenas se os números são pares ou não.



entre elas e o espaço amostral.É interessante analisar, observando as etapas da árvore das possibili-dades, os signifi cados de expres-sões como “ocorram três caras”, “apenas uma cara”, “pelo menos uma cara” e o que elas represen-tam na resolução dos problemas.Os alunos precisam ter clareza da diferença entre as palavras “possi-

bilidade” e “probabilidade”. Por essa razão, retome problemas de conta-gem, em que eles têm de, primei-ramente, analisar o conjunto dos resultados possíveis (espaço amos-tral) e, depois, determinar a razão entre o número de resultados favo-ráveis e o número de elementos do espaço amostral, determinando a probabilidade de um evento ocorrer.

A proposta é que os alunos ex-plorem a árvore das possibilida-des como recurso para resolver esses tipos de situação-proble-ma, identifi cando o universo depossibilidades de ocorrênciade um evento (o espaço amostral) e estabelecendo relações com in-formações que se queira tirar des-se universo, expressas pela razão



1a moeda

cara

coroa

cara

coroa

cara

coroa

2a moeda25%

25%

1a moeda

cara

coroa

cara cara

cara

cara

cara

coroacoroa

coroa

coroa

coroa

cara

coroa

2a moeda 3a moeda



• rever as anotações que organi-zaram e sistematizar as apren-dizagens realizadas com esse tema;

• diferenciar os conceitos de possibilidade e probabilidade, mencionados anteriormente.

Ao resolverem os problemas, os alunos poderão:• explorar procedimentos, como

quadros, árvore das possibilida-des ou outras estratégias que apareçam no grupo;

• retomar as dúvidas na resolu-ção dos problemas anteriores;


• Resolver situações-problema que abrangem a construçãode espaços amostrais e indicação da possibilidadede sucesso de um evento,pelo uso de porcentagens.12 números: 340; 345; 370; 375; 640; 645; 670; 675; 940; 945; 970; 975

12,5%

25%

1o fi lho

menino

menina

menino

menina

menino

menina

menino

menina

menino

menina

menino

menina

menino

menina

2o fi lho 3o fi lho



Nessa página, outras situações--problema são apresentadas para que os alunos conversem sobre as ideias trabalhadas.Para resolver o item c da ativida-de 2, é necessário rever o tema múltiplos de dois números.


• Resolver situações-problema que abrangem a construção de espaços amostrais e indicação da possibilidade de sucesso de um evento, pelo uso de porcentagens. X

50%

15%

10%





X

X

Ambos 110º.

3x + 20 = 5x – 40(ângulos correspondentes)x = 30º

3x + 20º = 110º;5x – 40º = 110º



1.440º 1.800º

Ângulo interno: 60ºÂngulo externo: 120º

390 g

565 g

680 g



• M7 Produzir e interpretar escritas algébricas, em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões.

• M8 Construir procedimentos para calcular o valor numérico e efetuar operações com expressões algébricas, utilizando as propriedades conhecidas, em situações-problema.

• M10 Traduzir situações--problema por inequações do primeiro grau, utilizando as propriedades da desigualdade, na construção de procedimentos para resolvê-las, discutindo o signifi cado das soluções (raízes) encontradas em confrontocom a situação proposta.

• M20 Resolver situações--problema que incluem a obtenção da bissetriz de um ângulo e a construção de alguns ângulos (90º, 45º, 60º e 30º), fazendo uso de instrumentos como régua, compasso, esquadro e transferidor.

• M22 Explorar a congruência de fi guras planas, em situações--problema, a partir da análisede refl exões em retas, rotações e translações.

• M31 Resolver situações--problema que incluem contagem, por meio de estratégias variadas, como a construção de diagramas, tabelas e esquemas sem a aplicação de fórmulas.

Nesta Unidade, os alunos vão explorar alguns casos de fato-ração de expressões algébricas, analisar propriedades das desi-gualdades e aplicá-las na reso-lução de inequações, assim como identifi car os casos de congruên-cia de triângulos e utilizá-los em situações-problema.


régua

transferidor

compasso

papel para dobradura



um mesmo número. Em seguida, é interessante também retomar a decomposição de um número em fatores primos, tema trabalhado em anos anteriores.A leitura do quadro tem por objeti-vo a refl exão sobre as propriedades das igualdades que envolvem fa-toração de expressões algébricas.

Na atividade 2, os alunos po-derão aplicar o que perceberam anteriormente. Acompanhe-os em suas descobertas e socialize os procedimentos das duplas, organizando e sistematizando o conhecimento. É importante que eles encontrem caminhos próprios para a fatoração.

A proposta dessas atividades é que os alunos estabeleçam rela-ções entre fatores de um número e fatores de expressões algébri-cas. Proponha inicialmente que retomem a multiplicação entre números naturais e os termos fatores. Solicite que escrevam e analisem diferentes fatorações de



Resposta pessoal. Exemplos:12 = 3 × 430 = 2 × 3 × 58 = 2 × 4

Multiplicação

2x3(x + 1) 4(2x + y)

11(a + 3) (a – 2)(a + 2)

(x + 7)(x + 7) (x + 3)(x + 3)

3a(a + b) 5m(n – 2)





As situações I e II trazem a pers-pectiva de articular as represen-tações geométricas que auxi-liam na compreensão do caso de fatoração que está em foco: a colocação de um termo em evi-dência. Deve-se destacar, porém, que associar expressão algébrica à representação geométrica nem sempre é possível e que é impor-

tante que os alunos aprendam os procedimentos algébricos que substituem essas representações. Oriente-os para que estabeleçam relações com a propriedade distri-butiva da multiplicação em rela-ção à adição, explicando que isso é fundamental para compreender, por exemplo, como obter a escritax ∙ (x + 2) a partir da expressão

x2 + 2 ∙ x ou 3x ∙ (3y – 2) a partir de 9xy – 6x.No preenchimento do quadro, os alunos provavelmente não terão di-fi culdade em perceber, nos dois pri-meiros itens, quais são os termos que se repetem e que serão colo-cados em evidência, enquanto nos dois últimos é preciso analisar com eles quais são os fatores comuns.

6

x

7 ∙ x

3

6 ∙ (x – y)

x ∙ (1 + 4)

7x ∙ (2y – 3z)

3 ∙ (x + 10xy + 25y)



ou calcular a área da região re-tangular de lados a + b e m + n, obtendo (a + b) (m + n). Explique que, embora a expressão (a + b) (m + n) tenha duas adições, ela representa a forma fatorada da expressão am + an + bm + bn, que também tem produtos par-ciais, mas não está escrita na forma fatorada.

Essas situações também têm por objetivo a articulação com a geo-metria para que se aprenda o caso de fatoração agrupamento.Analise a situação I com os alu-nos. Peça que observem que, para calcular a área da fi gura, pode-se encontrar a área de cada uma de suas partes e somá-las, indicando por am + an + bm + bn,





fatoração de expressões algébri-cas, destacando a relação com a propriedade distributiva da mul-tiplicação em relação à adição.Na atividade 2, os alunos apli-carão o que estão aprendendo sobre o método de agrupamento.

A atividade 1 propõe a observa-ção e análise do quadro para que se organize o que foi analisado na página anterior e se aprenda a “manipular” os cálculos algé-bricos. É importante organizar e sistematizar as ideias ligadas à

Elas colocaram em evidência termos comuns em parte da expressão, identifi cando, após esse procedimento, outro termo comum na expressão toda (caso de fatoração da página 275).

(a + b)(a + 2)

(x + 2)(2x + 3y)

(a + 5)(b – 2)

(x + 3)(y – 7)

(m – n)(m – 1)



relacionando-a com a área de fi guras quadrangulares. Depois, discuta como a área dessa mes-ma região pode ser calculada pela decomposição da fi gura e sua área calculada pela soma das áreas dessas partes, analisando as medidas de seus lados.

A atividade 1 permite que os alu-nos refl itam sobre outro caso defatoração, que é a diferençade dois quadrados. Novamente aárea de fi guras planas ofereceo contexto para facilitar e ga-rantir a compreensão. Analisecom eles o que representa a diferença de dois quadrados,



Os dois procedimentos remetem às representaçõesgeométricas e ao cálculo de áreas. Ana lembrou-se de que x² – 16 é a expressão que representa a área de parte da região

quadrangular identifi cada por A1 e a escreveu como a diferença entre duas áreas. Bia calculou essa área decompondo a fi guraem duas partes, calculou a área de cada uma e somou-as.Em seguida, aplicou o caso de fatoração aprendido anteriormente.



e peça que registrem no caderno essas “regras” para aplicá-las em futuros exercícios.Na atividade 3, espera-se que a análise das regularidades e a“elaboração das regras” rea-lizadas na atividade anterior permitam que percebam “gene-

ralizações” nessas novas situa-ções. É importante destacar que tanto na atividade 3 como na 4, é possível identifi car os resulta-dos fi nais, além dos apresentados pelas alunas, operando e simpli-fi cando as expressões algébricas.

Na atividade 2, o objetivo é que os alunos percebam regularida-des ao relacionar a forma fatora-da e a respectiva expressão, para sistematizar algumas ideias de como fatorar qualquer expressão do tipo “diferença de dois qua-drados”. Organize tais conclusões

A1 = y ∙ (y – 7)A2 = 7 ∙ (y – 7)Atotal = A1 + A2 = y ∙ (y – 7) + 7 ∙ (y – 7) = (y + 7) ∙ (y – 7)

77

y

y – 7

y – 7

A1

A2

(a + 6)(a – 6)

(x + y)(x – y)

4m² – 1

Espera-se que os alunos percebam que, no item a – uma diferença de dois quadrados –, o primeiro termo ao quadrado é (a + b) e o segundo 3. Seguindo o modelo do quadro: forma fatorada é o produto entre a soma do primeiro termo com segundo e a diferença entre eles. No item b, utiliza-se o mesmo processo: o primeiro termo é x – 2 e o segundo 5.

[(5x + 2) + 2] [(5x + 2) – 2] = 5x(5x + 4)

[(3ab – 2) + 1] [(3ab – 2) – 1] = (3ab – 1) (3ab – 3)



campos numérico e geométrico, como está sendo estudado. Nas atividades 2 e 3, é inte-ressante discutir com os alu-nos que, para calcularmos o quadrado de um número, como o de 21, não precisamos fa-zer a “conta” 21 × 21. Se sou-bermos o quadrado de 20 (po-demos usar o cálculo mental

para isso) e a diferença entre os dois quadrados [212 – 202 == (21 – 20) × (21 + 20) = 41], é simples determinar 212: basta somar 400 + 41 = 441. Portanto, é possível calcular o quadrado de qualquer número obtendo o quadrado da “dezena inteira”, “centena inteira”, “milhar intei-ro” mais próximo do número em

A proposta dessas atividades é que os alunos trabalhem com investigação e relacionem resul-tados algébricos com numéricos. Além disso, a ideia é que conhe-çam e se apropriem de outras es-tratégias de cálculo e percebam que os resultados algébricos não são “estanques”, específi cos do tema, mas se relacionam com os



Resposta pessoal, mas é importante analisar que o procedimento de Ana pode ser bastante interessante dependendo dos números propostos.

(21 + 20) ∙ (21 – 20) == 41 ∙ 1 == 41

(52 + 50) ∙ (52 – 50) == 102 ∙ 2 == 204



cálculo, sinalizando a riqueza de recursos que essa área do conhe-cimento oferece para nos ajudar no cotidiano, e a importância do estudo, da investigação e princi-palmente da troca de ideias para ampliar nosso universo de ferra-mentas de cálculo.

questão e subtrair os quadrados.A atividade 4 apresenta outra forma de calcular o quadrado de um número: por meio dos produ-tos notáveis.É fundamental, durante as au-las de Matemática, a discussão sobre diferentes estratégias de

Ela usou a diferença de dois quadrados. Encontrou o quadrado de um número simples de calcular, 300, e, para calcular o quadrado de 310, somou ao quadrado de 300 a diferençaentre os quadrados de 310 e 300, obtendo 3102.

Ana utilizou o produto notável: o quadrado da soma de dois números.

Resposta da dupla



da analogia com o equilíbrio das balanças. Os procedimentos de re-solução de inequações serão vistos posteriormente. Nesse momento, portanto, os alunos poderão resol-vê-las usando estratégias pessoais.Em razão disso, é fundamental a socialização das estratégias.

O objetivo dessas atividades é permitir que o aluno estabeleça relações entre propriedades das igualdades, exploradas na reso-lução de equações, e proprieda-des das desigualdades, presen-tes na resolução de inequaçõesdo primeiro grau, mas por meio

• Traduzir situações-problemapor inequações do primeiro grau, utilizando as propriedades da desigualdade, na construção de procedimentos para resolvê--las, discutindo o signifi cadodas soluções (raízes) encontradas em confrontocom a situação proposta.

Não, porque 5 kg é menor que 6 kg e a balança fi caria mais leve do lado esquerdo. A massa da bolinha precisa ter mais de 1 kg para que a balança se mantenha nessa posição.

Sim, pois 10 kg é maior que 7 kg.

5x > 5 + x

5x = 5 + x ⇒ x = ou x = 1,25 kg

5x > 5 + x ⇒ x > ou x > 1,25 kg



Não, porque 8 kg é menor que 11 kg e a balança fi caria mais leve do lado esquerdo. A massa da bolinha precisa ter mais de 2 kg para que a balança se mantenha nessa posição.

Não, pois 12 kg é menor que 13 kg e não se manteria esse desequilíbrio.

4x > 7 + 2x

3,5 kg

4x > 7 + 2x ⇒ x > ou x > 3,5 kg



inequação apareceu como fer-ramenta interessante para solu-cionar os problemas. Além disso,é muito importante verifi car se a solução da inequação também é a solução do problema.

A proposta é que os alunos iden-tifi quem a inequação do primeiro grau como bom recurso para re-solver problemas.Analise com eles as estratégias de resolução e se, de fato, a


5 m < largura do portão < 6,30 m

AD > 378,75 m



por meio da análise da localiza-ção de números na reta numéri-ca e da relação de ordem entre eles, se, somando um mesmo número aos membros da desi-gualdade ou o subtraindo deles, a relação de ordem se mantém ou não.

As relações numéricas discuti-das nessas atividades utilizam propriedades das desigualdades e podem auxiliar os alunos na compreensão dos procedimen-tos utilizados na resolução de inequações do primeiro grau. A ideia é que eles possam refl etir,


Sim

–2 0

0

1–2 –2

–2 < 1

–2 – 2 < 1 – 2–4 < –1

–4 –1

–2 0

0

1–2 –2

–2 < 1

1 – 2 > –2 – 2–1 > –4

–4 –1

–2 0

3

1+2 +2

1 > –2

1 + 2 > –2 + 23 > 0

0

b) c) d)



Na atividade 2, os alunos podem perceber o que acontece com o sinal de uma desigualdade quan-do multiplicamos por um número qualquer seus dois membros, seja ele positivo ou não.O objetivo é que eles apliquem essas ideias na resolução de pro-blemas e de inequações.

A atividade 1 permite a discus-são a respeito da multiplicação de um número qualquer por –1 e o que ocorre com sua localização na reta numérica. Explore o fato de que, ao efetuarmos essa mul-tiplicação, obtemos o oposto na reta numérica.


–2, –1, 0, , 4

–4, , 0, 1, 2

–2 –1 0 4

210–4

Os números são opostos aos anteriores em relação ao zero.

>

>

>

>

<

<

<

<

A desigualdade permanece a mesma.

A desigualdade muda.



dividimos os dois membros por um número negativo?

É importante organizar a discus-são e registrar afi rmações com diferentes números, como no quadro relativo à multiplicação da página anterior. Explore essas propostas com números racionais também.

A classe pode ser dividida em pequenos grupos para analisar questões como:• O que acontece com o sentido

de uma desigualdade quando dividimos os dois membros por um número positivo?

• O que acontece com o sentido de uma desigualdade quando


> <

>

> <

< >

<

a : c > b : c a : c < b : c

a : c < b : c a : c > b : c



É importante que você os aju-de a compreender as regras com perguntas como: o que cada jogador deve fazer depois de uma cartela ser desvirada?Peça que façam registros apóso jogo:• O que eu aprendi com o jogo?• Quais as dicas para ganhar o

máximo de pontos?

Proponha também problemas com base no jogo. Por exemplo:• Pedro desv irou a car tela

5 – x < 2 e localizou o número. Ele fez uma boa jogada.

Por quê?

O jogo tem por objetivo realizar operações numéricas explorando propriedades das desigualdades e relações de ordem.Além disso, contribui para que os alunos tomem decisões, ve-rifi quem se as escolhas foram as mais adequadas, confrontem ideias e as justifi quem, manten-do-as ou refutando-as.




Na atividade 2, a proposta é que explorem as notações de intervalo, relacionando-as com os conjuntos numéricos e com as relações de pertinência.

Peça aos alunos que leiam o título dessa página e explique que inequações são as sentenças matemáticas que contêm uma in-cógnita e indicam desigualdades.O objetivo da atividade 1 é que eles utilizem as propriedades das desigualdades discutidas anteriormente na resolução de inequações.


y – 6 + 6 > 8 + 6

∙ 3 < 12 ∙ 3

(–x) ∙ (–1) < 4,5 ∙ (–1)

2 – 4x – 2 < –14 – 2

(–3x) : (–3) < 10 : (–3)

6 + 2t – 6 ≤ 20 – 6

y > 14

x < 36

x < –4,5

–4x < –16 ⇒(–4)x : (–4) > –16 : (–4) ⇒x > 4

x <

2t ≤ 14 => t ≤ 7

{1}

{0, 1, 2, 3}

{–2, –1, 0, 1, 2}



Na atividade 2, peça que regis-trem suas justifi cativas pela es-colha realizada e socializem seus procedimentos, para que refl itam sobre diferentes formas de reso-lução e defendam suas escolhas.

Na atividade 1, os alunos, ao analisarem as duas maneiras de resolver a inequação, poderão re-fl etir sobre as propriedades das desigualdades e compreender o que, de fato, é possível utili-zar na resolução de inequações. Além disso, é interessante que possam também usar outras for-mas de resolução.


Sim, porque ambos aplicaram propriedades das desigualdades. Bia dividiu os dois membros por um número positivo e depois trabalhou com soma e subtração de um mesmo termo aosdois membros. Vítor explorou a subtração de um mesmo termo aos dois membros.

Bia colocou o número 3 em evidência no segundo membro e, em seguida, dividiu os dois membros por 3; depois, somou 7 aos membros e também subtraiu x dos dois. Vítor manteve o segundo membro sem colocar termo em evidência, subtraiu 6 e 6x dos dois membros e os dividiu por –3, invertendo o sinal da desigualdade.

x > –3 x ≥ –21



6 páginas

R$ 1.800,00

Plano C; custo de R$ 30,00

A partir de 50 minutos.

Acompanhe e auxilie os grupos na tradução dos dados de cada problema para a linguagem algé-brica; informe-os de que podem utilizar a calculadora, para que se concentrem nos procedimen-tos de resolução.

Sugira a utilização das anotações das sistematizações das ideias feitas anteriormente.

As refl exões sobre os procedi-mentos de resolução de inequa-ções continuam com essas ati-vidades. É interessante que os alunos as realizem em duplas, validando suas respostas para posterior socialização com a classe toda.




Desenho de um círculo dividido pela metade, depois a metade em 3 partes iguais e depois a metade em 6 partes iguais.

Utilize essas propostas para ex-plorar a nomenclatura de ângulos agudos e obtusos.

Essa atividade permite que os alunos retomem, por meio de do-braduras, alguns ângulos muito utilizados na resolução de pro-blemas. A ideia é que tenham a “visão” de quanto medem esses ângulos e estimem, por exemplo, se um ângulo é menor ou não que 90º quando em um problema se pede tal verifi cação.

• Resolver situações-problema que incluem a obtenção da bissetriz de um ângulo e a construção de alguns ângulos (90º, 45º, 60º e 30º).



AB60º 45º

C

D

E

120º

F

Sim

Sim

congruência de fi guras planas,de que trata esta Unidade.As atividades iniciais de cons-trução de triângulos por recorte possibilitam que os alunos con-frontem suas fi guras entre si, es-tabelecendo relações entre elas e percebendo as condições para congruência de fi guras planas.

Na Unidade 6, os alunos anali-saram fi guras obtidas de outra fi gura utilizando a refl exão em reta, a translação e a rotação e puderam observar que as medi-das dos lados e dos ângulos da fi gura dada e da transformada se mantiveram as mesmas. Es-sas ideias são importantes para o desenvolvimento da noção de




Sim, IJKL e QRST, pois possuem as mesmas medidas de ângulos e lados.

Sim, UVXW e MNOP, pois apresentam ângulos correspondentes e lados com a mesma medida.

Não são congruentes, pois, embora os lados tenham medidas respectivamente iguais, os ângulos não têm respectivamente as mesmas medidas.

Essas atividades com quadriláte-ros possibilitam a refl exão sobre congruência de outros polígonos que não sejam triângulos. Orien-te os alunos para que usem régua e transferidor na verifi cação dos itens solicitados.




Os casos de congruência de triân-gulos são apresentados para que os alunos possam explorá-los na resolução de problemas.Proponha que façam essa análise em duplas. Se necessário, soli-cite que reproduzam as fi guras em folhas de papel e explorem por sobreposição a ideia de con-gruência.




Sim, LAL

Não

x = 4,5 cm; y = 3,2 cm; z = 5,2 cm;Â = 60°; caso de congruência LAL

Proponha a resolução desses exercícios para verifi car se os alunos compreendem os casos de congruência.




Resposta pessoal, por exemplo: (1, 5, 3), (3, 4, 2), (2, 6, 1)

Não

1

56

342

Esse tipo de proposta suscita “postura” investigativa, uma vez que é necessário analisar as dife-rentes respostas e buscar padrões que permitam generalizações.Discuta com os alunos quais são as condições para formar um triângulo mágico: as ternas de núme ros cuja soma tenha o mesmo resultado. Sugira a cons-

trução de um quadro com os nú-meros de 1 a 6, como mostra o modelo da página seguinte, para que percebam quais ternas podem representar um triân gulo mágico com esses números: aquelas que apresentam a mesma soma três vezes e os números que aparecem duas vezes dentro dessas ternas estarão nos vértices.

É importante trabalhar com os alunos situações em que eles tenham de resolver problemas por tentativa e erro. Isso traz a possibilidade de inferência de resultados por indução, tão im-portante na aprendizagem da Ma-temática. O raciocínio combina-tório também é fundamental na resolução de diversos problemas.




Regularidades: os três números menores nos vértices do triângulo e os três maiores no meio.

Resposta pessoal,por exemplo:(1, 4, 5), (5, 2, 3), (3, 6, 1)

Os números ímpares nos vértices e os pares no meio.

Os números pares nos vértices e os ímpares no meio.

Os números maiores nos vértices e os menores no meio.

Terna Soma

1, 2, 5 8

1, 2, 6 9

1, 3, 6 10

2, 3, 4 9

2, 3, 5 10

1, 3, 5 9

1

46

523

2

53

416



Sim. (4, 7, 2), (4, 3, 6), (6, 5, 2), soma 13

Resposta pessoal

Resposta do grupo. Pode ser, por exemplo, um quadro, como mostrado na orientação ao professor anterior.

Lembre-os de que, para verifi car a possibilidade de esses números formarem um triângulo mágico, as somas têm de aparecer pelo menos três vezes e um mesmo número deve aparecer duas ve-zes, pois será um dos vérticesdo triângulo.

As propostas dessa página permi-tem a busca da generalização dos padrões que se supõem válidos.Na atividade 1, oriente os alu-nos para que organizem um qua-dro com possíveis ternas obtidas pela variação desses seis núme-ros e suas respectivas somas.




x > –22 x >

X



Sim. Como os triângulos são retângulos, eles têm ângulos de 30°, 60° e 90°. Os ângulos ABC e FGE medem 60°, os ângulos BAE e GFE medem 90°. Como os lados BA e FG são congruentes, então os dois triângulos são congruentes pelo caso ALA.



(3x + 1) (7y – 4)

x(x – 4)

3xy(2xy – 3x + 5y)

(a – 5) (a + 1)

(10 + x) (10 –x)

(100 – 2)2 = 10.000 – 2 ∙ 100 ∙ 2 + 22 = 9.604

(102 – 100) ∙ (102 + 100) = 404

(1.000 + 1)2 = 1.000.000 + 2 ∙ 1.000 + 1 = 1.002.001


livro do professor oportal.sme.prefeitura.sp.gov.br/portals/1/files/12069.pdflivro do professor ano...

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