livro do professor (ensinos fundamental e médio)

República Federativa do Brasil

Ministério da Educação – MEC

Secretaria Executiva do MEC

Instituto Nacional de Estudos ePesquisas Educacionais Anísio Teixeira – INEP

Diretoria de Avaliação para Certificação de Competências

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Matemática

Matemática e suas Tecnologias

Livro do Professor

Ensino Fundamental e Médio

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Brasília

MEC/INEP

2003

Matemática

Matemática e suas Tecnologias

Livro do Professor

Ensino Fundamental e Médio

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Coordenação Geral do ProjetoMaria Inês Fini

Coordenação de Articulação de Textos do Ensino FundamentalMaria Cecília Guedes Condeixa

Coordenação de Articulação de Textos do Ensino MédioZuleika de Felice Murrie

Coordenação de Texto de ÁreaEnsino FundamentalMatemáticaCélia Maria Carolino PiresEnsino Médio

Matemática e suas TecnologiasMaria Silvia Brumatti Sentelhas

Leitores Críticos

Área de Psicologia do DesenvolvimentoMárcia Zampieri TorresMaria da Graça Bompastor Borges DiasLeny Rodrigues Martins TeixeiraLino de MacedoÁrea de MatemáticaÁrea de Matemática e suas TecnologiasEduardo Sebastiani FerreiraMaria Eliza FiniMaria Cristina Souza de Albuquerque Maranhão

Diretoria de Avaliação para Certificação de Competências(DACC)

Equipe TécnicaMaria Inês Fini – DiretoraAlessandra Regina Ferreira Abadio

Andréia Correcher PittaAndré Ricardo de Almeida da SilvaAugustus Rodrigues GomesCélia Maria Rey de CarvalhoDavid de Lima SimõesDenise Pereira FraguasDorivan Ferreira GomesÉrika Márcia Baptista CaramoriFernanda Guirra do AmaralFrank Ney Souza LimaIldete FurukawaIrene Terezinha Nunes de Souza InacioJane Hudson AbranchesKelly Cristina Naves PaixãoMarcio Andrade MonteiroMarco Antonio Raichtaler do ValleMaria Cândida Muniz TrigoMaria Vilma Valente de AguiarMariana Ribeiro Bastos MigliariNelson Figueiredo FilhoSuely Alves WanderleyTeresa Maria Abath PereiraValéria de Sperandyo Rangel

CapaMilton José de Almeida (a partir de desenhos deLeonardo da Vinci)

Coordenação EditorialZuleika de Felice Murrie

© O MEC/INEP cede os direitos de reprodução deste material às Secretarias de Educação, que poderão reproduzi-lo respeitando aintegridade da obra.

M425 Matemática : matemática e suas tecnologias : livro do professor : ensinofundamental e médio / Coordenação Zuleika de Felice Murrie . - Brasília :MEC : INEP, 2002.150p. ; 28cm.

ISBN 85-296-0033-9.

1. Matemática (Ensino fundamental). I. Murrie, Zuleika de Felice.

CDD 372.73

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SUMÁRIO

I. AS BASES EDUCACIONAIS DO ENCCEJAI. AS BASES EDUCACIONAIS DO ENCCEJAI. AS BASES EDUCACIONAIS DO ENCCEJAI. AS BASES EDUCACIONAIS DO ENCCEJAI. AS BASES EDUCACIONAIS DO ENCCEJA....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................99999A. A PROPOSTA DO ENCCEJA PARA CERTIFICAÇÃO

DO ENSINO FUNDAMENTAL .......................................................................................14B. A PROPOSTA DO ENCCEJA PARA CERTIFICAÇÃO

DO ENSINO MÉDIO .......................................................................................................18II. EIXOS CONCEITUAIS QUE ESTRUTURAM O ENCCEJAII. EIXOS CONCEITUAIS QUE ESTRUTURAM O ENCCEJAII. EIXOS CONCEITUAIS QUE ESTRUTURAM O ENCCEJAII. EIXOS CONCEITUAIS QUE ESTRUTURAM O ENCCEJAII. EIXOS CONCEITUAIS QUE ESTRUTURAM O ENCCEJA ............................................................................................................................................................................... 2323232323

A. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS .....................................................................................24B. AS ORIGENS DO TERMO COMPETÊNCIA ..................................................................27C. AS COMPETÊNCIAS DO ENEM NA PERSPECTIVA DAS

AÇÕES OU OPERAÇÕES DO SUJEITO .........................................................................31III. AS ÁREAS DO CONHECIMENTO CONTEMPLADAS NO ENCCEJAIII. AS ÁREAS DO CONHECIMENTO CONTEMPLADAS NO ENCCEJAIII. AS ÁREAS DO CONHECIMENTO CONTEMPLADAS NO ENCCEJAIII. AS ÁREAS DO CONHECIMENTO CONTEMPLADAS NO ENCCEJAIII. AS ÁREAS DO CONHECIMENTO CONTEMPLADAS NO ENCCEJA ...................................................................... 3939393939

MATEMÁTICA - Ensino Fundamental ........................................................................39MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Ensino Médio .........................................51

IV. AS MATRIZES QUE ESTRUTURAM AS AVALIAÇÕESIV. AS MATRIZES QUE ESTRUTURAM AS AVALIAÇÕESIV. AS MATRIZES QUE ESTRUTURAM AS AVALIAÇÕESIV. AS MATRIZES QUE ESTRUTURAM AS AVALIAÇÕESIV. AS MATRIZES QUE ESTRUTURAM AS AVALIAÇÕES ............................................................................................................................................................................... 6363636363MATEMÁTICA - Ensino Fundamental ........................................................................64MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Ensino Médio .........................................70

V. ORIENTAÇÃO PARA O TRABALHO DO PROFESSORV. ORIENTAÇÃO PARA O TRABALHO DO PROFESSORV. ORIENTAÇÃO PARA O TRABALHO DO PROFESSORV. ORIENTAÇÃO PARA O TRABALHO DO PROFESSORV. ORIENTAÇÃO PARA O TRABALHO DO PROFESSOR

MATEMÁTICA - Ensino Fundamental .............................................................................76MATEMÁTICA - Ensino Médio ...................................................................................117

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I. As bases educacionais do ENCCEJA

Os brasileiros têm ampliado suaescolaridade. É o que demonstra o Censo2000, em recente divulgação feita peloInstituto Brasileiro de Geografia eEstatística (IBGE). O principal fato acomemorar é a ampla freqüência àsescolas do nível fundamental que, noano 2000, acolhiam 94,9% das criançasentre 7 e 14 anos. Pode-se afirmar,portanto, que o Ensino Fundamental, noBrasil, é quase universal para a faixaetária prevista e correspondente. Alémdisso, comparando-se dados de 1991 e2000, há crescimento na freqüênciaescolar em todos os grupos de idade.

Persiste, entretanto, um contingentepopulacional jovem e adulto que carece daformação fundamental. Segundo o referidoCenso, 31,2% da população brasileira commais de 10 anos de idade tem apenas até 3anos de estudo; logo, cerca de um terçodos brasileiros (mais de 50 milhões depessoas) não concluiu nem a primeiraparte do Ensino Fundamental. Essescidadãos que não tiveram possibilidadesde completar seu processo regular deescolarização, em sua maioria, já sãoadultos, inseridos ou não no mundo dotrabalho, e têm constituído diferentessaberes, por esforço próprio, em respostaàs necessidades da vida. Nesse sentido,assinala-se, nos termos da Lei, o direito acursos com identidade pedagógica própriaàqueles que não puderam completar aalfabetização, mas que, ao pertencerem aum mundo impregnado de escrita, se

envolveram, de alguma forma, empráticas sociais da língua. É desse modoque se pode entender que o analfabetopossui um certo conhecimento daslinguagens, ao assistir a um telejornal(que usa, em geral, a linguagem escrita,oralizada pelos locutores), ao ditar umacarta, ao apoiar-se numa lista mental deprodutos a serem comprados ou aoreconhecer placas e outros sinais urbanos.Evidencia-se, assim, a importância dereconhecer, como ponto de partida, que oestilo de vida nas sociedades urbanasmodernas não permite grau zero deletramento.

Há uma possibilidade de “leitura domundo” em todas as pessoas, até paraaquelas sem nenhuma escolarização.

O Censo Escolar realizado pelo Inepindica um total de 3.410.830 matrículasem cursos de Educação de Jovens eAdultos (EJA), em 1999. Desse total,mais ou menos 1.430.000 freqüentamcursos correspondentes ao segundosegmento do ensino fundamental, de 5ª a8ª série. Nesses cursos, encontra-se umpúblico variado e heterogêneo, umaimportante característica da EJA. Entreeles, há uma parcela dos jovens de 15 a17 anos de idade freqüentando a escolae que, segundo o IBGE, representa quase79% da população dessa faixa. Os demais21%, por diversos motivos, masprincipalmente por pressões oucontingências socioeconômicas,deixaram precocemente o ambienteescolar.

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Livro do Professor

1 Índice de Desenvolvimento Humano, indicador estabelecido pelo Programa de Desenvolvimento Humano daUNESCO, que considera a esperança de vida ao nascer, o nível educacional e o PIB per capita.

2 Programa do governo federal de gerenciamento intensivo de ações e programas federais de infra-estruturasocial, de combate à exclusão social e à pobreza e de redução das desigualdades regionais pela melhoria dascondições de vida nas áreas mais carentes do Brasil.

Sendo dever dos poderes públicos e dasociedade em geral oferecer condiçõespara a retomada dos estudos em salasde aula, destinadas especificamente ajovens e adultos, diversos projetos têmsido desenvolvidos no âmbito dogoverno federal. Para atender osmunicípios do Norte e Nordeste combaixo IDH

1, o Ministério da Educação

(MEC) é parceiro no Projeto Alvorada2,

organizando o repasse de verbas aEstados e Municípios. Em apoio aoprojeto, a Coordenadoria de Educaçãode Jovens e Adultos (COEJA), daSecretaria do Ensino Fundamental (SEF–MEC), tendo como parceira a AçãoEducativa, organização nãogovernamental de reconhecidaexperiência no campo de formação dejovens e adultos, apresentou PropostaCurricular para Educação de Jovens eAdultos, 1º Segmento, que visa aoprograma Recomeço – Supletivo deQualidade. Além disso, em resposta àsdemandas dos sistemas públicos(estaduais e municipais) que aderiramaos Parâmetros Curriculares Nacionais(PCN) em ação, a mesma COEJApromoveu a formulação e vemdivulgando uma Proposta Curricularpara a EJA de 5ª a 8ª série,fundamentada nos ParâmetrosCurriculares Nacionais desse segmento.O Programa Alfabetização Solidária, porsua vez, foi lançado em 1997 e relata aalfabetização de 2,4 milhões de jovensem 2001. Em 2002, encontra-se em2.010 municípios. Caracteriza-se por serum trabalho de ação conjunta entrediferentes parceiros, coordenados pororganização não governamental, e queinclui universidades, estados,municípios, empresas e até pessoas

físicas interessadas em colaborar.

Os objetivos desses programas ouprojetos são oferecer vagas e subsidiarprofessores que trabalham com oscidadãos que não puderam iniciar ouconcluir seus estudos em idade própriaou não tiveram acesso à escola. Emconjunto com diversas outras iniciativasde organizações não governamentais(ONGs), universidades ou outras formasde associação civil respondem ao enormedesafio de minimizar os efeitos daexclusão do Ensino Fundamental,fenômeno histórico em nosso país quehoje está sendo superado na faixa etáriacorrespondente. Contudo, mais do queem razão do número de alunos em salasde aula (ainda pequeno, considerando-seo enorme contingente de jovens eadultos não-escolarizados), tais ações dogoverno e da sociedade civil têmoferecido educação aos cidadãos maisafastados da cultura letrada, por viveremem lugares quase isolados do nosso país-continente ou por estarem desenraizadosde sua cultura de origem, habitando asperiferias das grandes cidades.

Já nos primeiros artigos da Lei deDiretrizes e Bases da Educação Nacional(LDB), de 1996, valorizam-se aexperiência extra-escolar e o vínculoentre a educação escolar, o mundo dotrabalho e a prática social.

Esse fato sinaliza o rumo que aeducação brasileira já vem tomando emarca posição quanto ao valor doconhecimento escolar, voltado para opleno desenvolvimento do educando,seu preparo para o exercício dacidadania, e sua qualificação para otrabalho (Artigo 2). Essas orientaçõessão reiteradas em muitas outras partesda mesma Lei, como nas diretrizes para

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os conteúdos curriculares da educaçãobásica, anunciadas no seu Artigo 27,destacando-se a primeira delas, quepreconiza a difusão de valoresfundamentais ao interesse social, aosdireitos e deveres dos cidadãos, derespeito ao bem comum e à ordemdemocrática.

Ainda outros documentos do Ministérioda Educação, como os ParâmetrosCurriculares Nacionais, para os níveisFundamental e Médio, a PropostaCurricular da EJA (5ª a 8ª série) e aMatriz de Competências e Habilidadesdo Exame Nacional do Ensino Médio(ENEM), abordam o currículo escolar,integrado por competências ehabilidades dos estudantes, ou norteadopor objetivos de ensino/aprendizagem,em que os conteúdos escolares sãoplurais e só têm sentido e significado semobilizados pelo sujeito doconhecimento: o estudante. Pode-sereconhecer, no conjunto dessesdocumentos e em cada um deles,esforços coletivos por um melhor emaior comprometimento dacomunidade escolar brasileira com umnovo paradigma pedagógico. Umparadigma multifacetado, comocostuma acontecer com as tendênciassociais em construção, diverso em suasnomenclaturas e que se vale denumerosas pesquisas, em diferentescampos científicos, muitas ainda emfase de produção e consolidação.

Esse rico cenário acadêmico precisaainda ser mais eficazmente disseminadono ambiente complexo e plural daeducação brasileira. Mesmo assim, oconjunto dos documentos queestruturam e orientam a EducaçãoBásica no Brasil é coeso em seus

propósitos e conceitos centrais: adifusão dos valores de justiça social edos pressupostos da democracia, orespeito à pluralidade, o crédito àcapacidade de cada cidadão de ler einterpretar a realidade, conforme suaprópria experiência.

Respondem por um paradigma, comlastro nos legados de Jean Piaget ePaulo Freire, verificando-se, com eles,que é necessário disseminar aspedagogias que buscam promover odesenvolvimento da inteligência e aconsciência crítica de todos osenvolvidos no processo educativo,tendo, na interação social e no diálogoautêntico, o mais importanteinstrumento de construção doconhecimento. Um paradigma comdenominações variadas, pois usufrui dediferentes vertentes teóricas, mas comalgo em comum: a crítica à tradição docurrículo enciclopédico, centrado emconhecimentos sem vínculo com aexperiência de vida da comunidadeescolar e na crença de que a aquisiçãodo conhecimento dispensa o exercícioda crítica e da criação por parte dequem aprende. Mas é essa tendênciaque ainda orienta a maioria doscurrículos praticados e,conseqüentemente, os exames deacesso a um nível escolar ou paracertificação.

Os exames de certificação para osjovens e adultos não constituemexceção, uma vez que, na sua maioria,submetem os alunos a provas massivas,sem o correspondente cuidado com aqualidade do ensino e o respeito com oeducando, como se encontra assinaladonas Diretrizes Curriculares Nacionais daEducação de Jovens e Adultos

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(DCNEJA). Por outro lado, recomenda-se que o estudante da EJA, com amaturidade correspondente, devaencontrar, nos cursos e nos examesdessa modalidade, oportunidades parareconhecer e validar conhecimentos ecompetências que já possui. A mesmaDiretriz prevê a importância daavaliação na universalização daqualidade de ensino e certificação deaprendizagem, ao apontar que osexames da EJA devem primar pelaqualidade, pelo rigor e pela adequação.

A proposta do Exame Nacional deCertificação de Competências de Jovense Adultos (ENCCEJA) busca satisfazeresses fundamentos político-pedagógicos,expressos de forma mais abrangente naLei maior da educação brasileira, e, demodo mais detalhado ou com ênfasesespeciais, nas Diretrizes, Parâmetros eoutros referenciais que a contemplam,inclusive, o Documento Base do ExameNacional do Ensino Médio (ENEM).

Com base na experiência dosespecialistas e nesses documentos,buscou-se identificar conteúdos emétodos para a construção de umquadro de referências atualizado eadequado ao Encceja. Um dosresultados do processo são as Matrizesde Competências e Habilidades, emnível de Ensino Fundamental e em nívelde Ensino Médio.

As Matrizes de Competências eHabilidades constituem referencial deexames mais significativos para oparticipante jovem ou adulto, maisadequados às suas possibilidades de lere de interagir com os problemascotidianos, com o apoio doconhecimento escolar.

Embora que não seja possível, em âmbitonacional, prever a enorme gama deconhecimentos específicos estruturadosem meio à vivência de situaçõescotidianas, procurou-se levar emconsideração que o processo deestruturação das vivências possibilitaaquisições lógicas de pensamento que sãouniversais para os jovens e adultos e quese, de um lado, devem ser tomadas comoponto de partida nas diversasmodalidades de ofertas de ensino paraessa população, de outro, devemparticipar do processo de avaliação paracertificação.

Desse modo, objetivou-se superar aconcepção de estruturação de provasfundamentadas no ensino enciclopedista,centradas em conteúdos fragmentados edescontextualizados, quase sempreassociados ao privilégio da memória sobreo estabelecimento de relações entreidéias. Ainda que se reconheça oinequívoco papel da memória para oconhecimento de fenômenos, das etapasdos processos, ou mesmo, de teorias, épreciso considerar, nas referências deprovas, bem como na oferta de ensino, asmúltiplas capacidades de operar cominformações dadas. Ou seja, está-sevalorizando a autonomia do estudante emler informações e estabelecer relações apartir de certos contextos e situações. E,assim, o exame sinaliza e valoriza umcidadão mais apto a viver num mundo emconstantes transformações, onde éimportante possuir estratégias pessoais ecoletivas para a solução de problemas,fundamentadas em conhecimentosbásicos de todas as disciplinas ou áreas daeducação básica.

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O processo de elaboração das Matrizesde Competências e Habilidades doENCCEJA, Fundamental e Médio, tevecomo meta principal garantir umaproposta de continuidade e coerênciaentre o que se estabeleceria para osexames em nível de Ensino Médio ouFundamental. Dessas etapas resultarama definição das quatro áreas dos examese um conjunto de proposições para cadauma delas, que foram tambémreconsideradas à luz das DiretrizesCurriculares Nacionais da EJA(DCNEJA), das políticas educacionaisvigentes em âmbito federal e naspropostas estaduais, a fim de organizaros quadros de referência dos exames.

As Matrizes de referência para a prova decada área ou disciplina foram organizadasem torno de nove competências amplas,por sua vez desdobradas em habilidadesmais específicas, resultantes daassociação desses conteúdos gerais àscinco competências do ENEM. Ascompetências já definidas para o ENEMcorrespondem aos eixos cognitivosbásicos, a ações e operações mentais quetodos os jovens e adultos devemdesenvolver como recursos mínimos queos habilitam a enfrentar melhor o mundoque os cerca, com todas as suasresponsabilidades e desafios.

Nas Matrizes do ENCCEJA, os conteúdostradicionais das ciências, da arte e dafilosofia são denominados competênciasde área, à semelhança dos conceitos jáconsagrados na reforma do ensinomédio, porque já demonstram aglutinararticulações de sentido e significação,superando o mero elenco de conceitos eteorias. Essas competências, em cadaárea, foram submetidas ao tratamento

cognitivo das competências do sujeitodo conhecimento e permitiram adefinição de habilidades específicas, queestabelecem as ações ou operações quedescrevem desempenhos a seremavaliados nas provas. Nessa concepção,as referências de cada área descrevem asinterações mais abrangentes oucomplexas (nas competências) e as maisespecíficas (nas habilidades) entre asações dos participantes, que são ossujeitos do conhecimento, com osconteúdos disciplinares, selecionados eorganizados a partir dos referenciaisadotados.

Para a elaboração das competências doEnsino Médio, foram consideradas ascompetências por área, definida pelasDiretrizes do Ensino Médio. Constituiu-se um importante desafio à elaboraçãodas matrizes do ENCCEJA para o EnsinoFundamental, especificamente no quediz respeito à definição dascompetências gerais das áreas. Issoporque, para o Ensino Fundamental, osParâmetros Curriculares Nacionais (PCN)e as Diretrizes Curriculares Nacionaistrazem outra abordagem, não tendoincorporado a discussão mais recente,que visa à determinação decompetências e habilidades deaprendizagem como produto daescolarização, ainda que preservem eampliem consideravelmente outroselementos didático-pedagógicos domesmo paradigma.

Os documentos legais permitiramconstruir matrizes semelhantes para oENCCEJA - Ensino Fundamental, apesarde oferecerem contribuições distintaspara a configuração das competências ehabilidades a serem avaliadas.

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Livro do Professor

A. A PROPOSTA DO ENCCEJAPARA A CERTIFICAÇÃO DOENSINO FUNDAMENTAL

Considerando-se a população que nãocompletou seus estudos do nívelfundamental, é possível aventar aexistência de significativo número depessoas desejosas de recuperar oreconhecimento social da condiçãoletrada, obtendo certificação deconhecimentos por meio de ExameSupletivo do Ensino Fundamental.

Essas pessoas, tendo-se afastado daescola há bastante tempo ou mesmotendo retomado estudos parciais deforma esporádica, continuaramaprendendo pela prática de leitura eanálise de textos escritos, de cálculos eoutros estudos em situações específicasde seu interesse. Participam de meiosinformais, eventuais, ou mesmo,incidentais de educação com diferentespropósitos. Por exemplo, em cursosoferecidos por empresas para capacitaçãode pessoal, em grupos de estudocomunitários, ou mesmo através deprogramas educativos na TV, no rádioou outras mídias. Assim, são capazes deleitura autônoma para efeito de lazer,demandas do exercício da cidadania oudo trabalho. Desse modo, lêem revistasesportivas e folhetos de instruçãotécnica, programas de candidatos acargos eletivos e publicações vendidasem banca de jornal que dão instruçõespara a realização de muitas atividades.Além disso, calculam para fins decompra e venda, analisam situações dequalidade de vida (ou sua carência).

Logo, já são leitores do mundo,superaram um estágio de decifração decódigos da língua materna, ao qual

pertence um número maior debrasileiros. Esses jovens e adultos, játrabalhadores com experiênciaprofissional, leitores, participantes devias informais da educação, comexpectativa de melhor posicionamentono mercado de trabalho e/ou daretomada dos estudos em nível médio,precisam ter reconhecidos e validadosos seus conhecimentos. Para eles, foielaborado o Encceja, correspondente aonível fundamental.

Tendo a LDB diminuído a idade mínimapara a certificação por meio de examessupletivos, instalou-se uma questãocontraditória na educação nacional, poisé supostamente desejável apermanência dos jovens de 15 anos naescola, a fim de desenvolver suascapacidades e compartilharconhecimentos, com o apoio e amediação da comunidade escolar.Entretanto, alguns precisaraminterromper os estudos por motivoscontingenciais e financeiros, pormudança de domicílio ou para ajudar afamília, entre outros motivos. Alémdisso, como já apontado nas DiretrizesCurriculares Nacionais para Educação deJovens e Adultos (DCNEJA), há aquelesque, mesmo tendo condiçõesfinanceiras, não lograram êxito nosestudos, por razões de carátersociocultural. Para esses jovens, acertificação do Ensino Fundamental pormeio do ENCCEJA significa apossibilidade de retomar os estudos nomesmo nível que seus coetâneos, nãosofrendo outras penalidades alémdaquelas já impostas por suas condiçõesde vida até então.

As Diretrizes do Ensino Fundamentalcontribuem diretamente para a seleção de

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conteúdos a serem avaliados peloENCCEJA de, pelo menos, duas maneiras.

Primeiramente, ao esclarecer a naturezados conteúdos mínimos referentes àsnoções e conceitos essenciais sobrefenômenos, processos, sistemas eoperações que contribuem para aconstituição de saberes, conhecimentos,valores e práticas sociais indispensáveisao exercício de uma vida de cidadaniaplena, e, depois, ao recomendar: aoutilizar os conteúdos mínimos, jádivulgados inicialmente pelos ParâmetrosCurriculares Nacionais, a serem ensinadosem cada área de conhecimento, éindispensável considerar, para cadasegmento (Educação Infantil, 1ª a 4ª e 5ª a8ª séries), ou ciclo, que aspectos serãocontemplados na intercessão entre asáreas e aspectos relevantes da cidadania,tomando-se em conta a identidade daescola e de seus alunos, professores eoutros profissionais que aí trabalham.Decorre que também a EJA doFundamental deve considerar os aspectospróprios da identidade do jovem e adultoque retoma a escolarização, tanto paraefeito de cursos, como para exames. Poroutro lado, corrobora a referência aosconteúdos (conceitos, procedimentos,valores e atitudes) debatidos nos PCN de5ª a 8ª série (subsidiários à PropostaCurricular da EJA), na escolha dosconteúdos do Encceja do EnsinoFundamental.

A segunda linha de contribuições resideno levantamento do rol de aspectos davida cidadã que devem estar articuladosà base nacional comum, quais sejam: asaúde, a sexualidade, a vida familiar esocial, o meio ambiente, o trabalho, aciência e a tecnologia, a cultura e as

linguagens. Ressalte-se que essesaspectos guardam evidente proximidadecom os Temas Transversais,desenvolvidos no PCN do EnsinoFundamental: Ética, Meio Ambiente,Saúde, Orientação Sexual, Trabalho eConsumo, e Pluralidade Cultural.

Com os mesmos propósitos, estudaram-setambém os textos da V ConferênciaInternacional sobre Educação deAdultos, com uma orientação temáticade mesma natureza que os PCN e DCNdo Ensino Fundamental. Isso pode serexemplificado pela menção especial dostemas I, IV e VI.

I- Educação de adultos e democracia: oEducação de adultos e democracia: oEducação de adultos e democracia: oEducação de adultos e democracia: oEducação de adultos e democracia: odesafio do século XXI. desafio do século XXI. desafio do século XXI. desafio do século XXI. desafio do século XXI. Algunscompromissos desse tema: desenvolverparticipação comunitária, favorecendocidadania ativa; sensibilizar com relaçãoaos preconceitos e à discriminação noseio da sociedade; promover uma culturada paz, o diálogo intercultural e osdireitos humanos;IV- A educação de adultos, igualdade eA educação de adultos, igualdade eA educação de adultos, igualdade eA educação de adultos, igualdade eA educação de adultos, igualdade eeqüidade nas relações entre homem eeqüidade nas relações entre homem eeqüidade nas relações entre homem eeqüidade nas relações entre homem eeqüidade nas relações entre homem emulher e a maior autonomia damulher e a maior autonomia damulher e a maior autonomia damulher e a maior autonomia damulher e a maior autonomia damulher. mulher. mulher. mulher. mulher. Esse tema tem como um doscompromissos promover a capacitaçãoe autonomia das mulheres e a igualdadedos gêneros pela educação de adultos,entre outros.

VI- A educação de adultos em relaçãoA educação de adultos em relaçãoA educação de adultos em relaçãoA educação de adultos em relaçãoA educação de adultos em relaçãoao meio ambiente, à saúde e àao meio ambiente, à saúde e àao meio ambiente, à saúde e àao meio ambiente, à saúde e àao meio ambiente, à saúde e àpopulação. população. população. população. população. Esse tema tem comocompromissos promover a capacidade ea participação da sociedade civil emresponder e buscar soluções para osproblemas de meio ambiente e dedesenvolvimento, estimular oaprendizado dos adultos em matéria depopulação e de vida familiar, reconhecer

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Livro do Professor

o papel decisivo da educação sanitária napreservação e melhoria da saúde públicae individual, assegurar a oferta deprogramas de educação adaptados àcultura local e às necessidadesespecíficas, no que se refere à atividadesexual.

Todas essas recomendações foramconsideradas para a seleção de valores econceitos integrados às competências ehabilidades organizadoras do Encceja doEnsino Fundamental. Já para a definiçãodo escopo e redação das competênciasdas áreas e disciplinas, consideraram-seespecialmente os objetivos gerais paraensino e aprendizagem delineados naProposta Curricular da EJA (5ª a 8ª série)de Matemática, Língua Portuguesa,Ciências Naturais, História e Geografia,e os objetivos gerais de todo o EnsinoFundamental dos PCN e dos TemasTransversais.

Assim, foram constituídas as referênciaspara as provas de:

1- Língua Portuguesa, Artes, LínguaEstrangeira e Educação Física, sendo astrês últimas áreas de conhecimentoconsideradas sob a ótica da constituiçãodas linguagens e códigos, não comoconteúdos conceituais isolados paraavaliação;

2- Matemática;

3- História e Geografia;

4- Ciências Naturais.

A Matriz para o Encceja concorre para apromoção de provas que dêemoportunidade para jovens e adultosaproveitarem o que aprenderam na vidaprática, trabalhando com aspectos básicosda vida cidadã, como a tomada dedecisões e a identificação e resolução deproblemas, a descrição de propostas e a

comparação entre idéias expressas porescrito, considerando valores e direitoshumanos. Tais ações ou operações doparticipante estão representadas na matrizdo Encceja, nas diferentes habilidades.

Não se deve supor, contudo, que umaprova organizada a partir de habilidades(articulações entre operações lógicas comconteúdos relevantes) negligencie asexigências básicas de conteúdos mínimose a capacidade de ler e escrever.

Para o participante da prova, éimprescindível a prática autônoma daleitura, que possibilita a percepção depossíveis significados e a construção deopiniões e conhecimentos ao ler um texto,um esquema ou outro tipo de figura.

Espera-se, de fato, que o jovem e oadulto, ao certificarem-se com aescolaridade fundamental pelo Encceja,já estejam lendo autonomamente, comcerta fluência, a partir de sua experiênciacom textos diversos, em situações emque faça sentido ler e escrever. Cabe aeles construir os sentidos de um texto,ao colocar em diálogo seus própriosconhecimentos de mundo e de língua,como usuários dela, e as pistas do texto,oferecidas pelo gênero, pela situação decomunicação e pelas escolhas do autor:

Nessa perspectiva, entende-se que ler não é

extrair informação, decodificando letra por

letra, palavra por palavra. Trata-se de uma

atividade que implica estratégias de seleção,

antecipação, inferência e verificação, sem as

quais não é possível proficiência. É o uso desses

procedimentos que possibilita controlar o que

vai sendo lido, permitindo tomar decisões

diante de dificuldades de compreensão,

avançar na busca de esclarecimentos, validar

no texto suposições feitas.(Brasil, c2000, v. 2, p. 69, 7º parágrafo)

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Devem-se considerar, entretanto,diferentes níveis de proficiência naleitura dos códigos e linguagens queconstituem as informações da realidade.A meio termo da formação básica, naconclusão do Ensino Fundamental, ostextos lidos ou formulados peloestudante da EJA já evidenciam umavisão de mundo um tanto complexa,ainda que expressa em discurso maissintético, mais direto, com muitosnomes do cotidiano preservados eelementos do senso comum, secomparados com produções doestudante em nível de Ensino Médio.É a partir dessas concepções de leituraque as provas são elaboradas, comopossibilidades de abordagem pedagógicadas competências e habilidades doEncceja na avaliação para certificação.Para tanto, os textos oferecidos emquestões de prova são rigorosos do pontode vista conceitual, ao observarem osmarcos teóricos de referência em cadaárea de conhecimento. Contudo, procura-se delimitar cuidadosamente a diversidadedo vocabulário utilizado, além damagnitude da rede conceitual empregadae das operações lógicas exigidas. Issoporque o participante precisa de situaçõesadequadas para estabelecer relações maisabrangentes e mais próximas das teoriascientíficas. Não se pode perder de vistaque, em nível fundamental, ele necessitade orientação clara e concisa, além de umtempo maior para a observação dasrepresentações de fenômenos, para ascomparações, as análises, a produção desínteses ou outros procedimentos.Com esses cuidados, é desejável proporaos jovens e adultos uma variedade dequestões, envolvendo temas das áreas deconhecimento, sempre explicitandoconceitos mais complexos e

problematizando-os para que, por meioda reflexão própria, ele reconheça o quejá sabe e estabeleça conexões com oconhecimento novo apresentado. Assim,para enfrentar situações-problema, sãomobilizados elementos lógicospertinentes ao raciocínio científico etambém ao cotidiano, podendo explorarinterações entre fatos e/ou idéias, paraentre eles estabelecer relações causais,espaço-temporais, de forma e função, ouseqüenciando grandezas.Não se pode perder de vista, tampouco, oexercício simplificado da metacogniçãopor parte daqueles que poucofreqüentaram a escola. Não é de se esperarque possam raciocinar com desenvolturasobre a estrutura do conhecimento em si,uma qualidade intelectual daqueles quefreqüentaram a escola (Oliveira, 1999).Respeitar essa característica representauma exigência para a formulação de umaprova em que se reconhecem aspossibilidades intelectuais dos cidadãosque não tiveram oportunidade de exercitara compreensão dos objetos deconhecimento descontextualizada de suasligações com a vida imediata.Portanto, sem perder de vista apluralidade das realidades brasileiras e adiversidade daqueles que buscam acertificação nesse nível de ensino,propõe-se uma prova que apresenta umatemática atualizada, em nível pertinenteaos jovens e adultos que, para realizá-la,se inscrevem. Deve representar umdesafio consistente, mas possível,exeqüível e motivador, para que osparticipantes exercitem suaspotencialidades lógicas e sua capacidadecrítica em questões de cidadania,reconhecendo e formulando valoresessenciais à cultura brasileira, ao convíviodemocrático e ao desenvolvimentopessoal.

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B. A PROPOSTA DO ENCCEJAPARA CERTIFICAÇÃODO ENSINO MÉDIO

Pode-se afirmar que são múltiplos ediversos os fatores que estimulam abusca de certificação do ensino médio naEducação de Jovens e Adultos.

Dentre eles, destaca-se a exigência domundo do trabalho, pois, atualmente, anecessidade da certificação no ensinomédio se faz presente em diferentesatividades e setores profissionais.Ressaltam-se, também, os fatorespessoais da busca do cidadão pelacertificação: a vontade de continuar osestudos e a vontade política de obter odireito da cidadania plena. Essesaspectos são mais significativos doponto de vista daqueles que discutem aEducação de Jovens e Adultos paracertificação no ensino médio. Ela édirecionada para jovens e adultos commais de dezenove anos que, por motivosdiversos, não puderam freqüentar aescola no seu tempo regular.

Tal fato é previsto na LDB 9.394/96quando considera o ensino médio comoetapa final da educação básica e a EJAcomo uma das modalidades deescolarização. O direito políticosubjetivo do cidadão de completar essaetapa e, por sua vez, o dever de ofertaeducacional pública que permita superaras diferenças e aponte para umaeqüidade possível são princípios quenão podem ser relegados, como afirmao Parecer da Câmara de EducaçãoBásica do Conselho Nacional deEducação - Parecer CNE/CEB 11/2000,Diretrizes Curriculares Nacionais para aEducação de Jovens e Adultos:

Desse modo, a função reparadora da EJA,

no limite, significa não só a entrada no

circuito dos direitos civis pela restauração

de um direito negado: o direito a uma

escola de qualidade, mas também o

reconhecimento daquela igualdade

ontológica de todo e qualquer ser humano.

Desta negação, evidente na história

brasileira, resulta uma perda: o acesso a

um bem real, social e simbolicamente

importante. Logo, não se deve confundir a

noção de reparação com a de suprimento.

É muito provável que, com as elevadastaxas de repetência e evasão nas últimasdécadas do século XX, muitos alunosque não tiveram sucesso no sistemaeducacional regular optem por essamodalidade de ensino. Soma-se a essefato o difícil acesso à escola básica pormotivos socioeconômicos diversos.

Segundo o IBGE, em 1999, havia cercade 13,3% de analfabetos acima de 15anos. Em 2000, a distorção idade/série,no ensino médio, de acordo com dadosdo MEC/INEP, é da ordem de 50,4%. Nomesmo ano, os dados registram,aproximadamente, 3 milhões de alunosmatriculados em cursos da EJA. A ofertada Educação de Jovens e Adultos para oensino médio (EM) está principalmentea cargo dos sistemas estaduais, emparceria, muitas vezes, com redesprivadas.

Nesse sentido, as Secretarias deEducação têm-se mobilizado para criaruma rede de atendimento e umaproposta de escola média coerente comas necessidades previstas para essapopulação, diversificando oatendimento no País.

Deve ser também ressaltada a

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importância da avaliação e certificaçãonessa modalidade de ensino. De acordocom o Art. 10 da Resolução CNE/CEB 1/2000, que estabelece as diretrizescurriculares nacionais para a Educaçãode Jovens e Adultos: no caso de cursossemi-presenciais e a distância, os alunossó poderão ser avaliados, para fins decertificados de conclusão, em examessupletivos presenciais oferecidos porinstituições especificamente autorizadas,credenciadas e avaliadas pelo poderpúblico, dentro das competências dosrespectivos sistemas...

O Exame Nacional de Certificação deCompetências de Jovens e Adultos doEnsino Médio (ENCCEJA/EM) estáarticulado tanto para atender a essaprerrogativa quanto para responder àdemanda, em sintonia com a lógica daavaliação nacional. Nesse sentido, oEncceja/EM constitui uma possibilidadede avaliação que, ao mesmo tempo,respeita a diversidade e estabelece umaunidade nacional, ao apontar o que ébasicamente requerido para acertificação no ensino médio que fazparte atualmente da educação básica.

A Constituição de 1988, no Inciso II doArt. 208, já apontava para a garantia dainstitucionalização dessa etapa deescolarização como direito de todocidadão. A LDB estabeleceu, por sua vez,a condição em norma legal, quandoatribuiu ao EM o estatuto de educaçãobásica (Art. 21), definindo suasfinalidades, ou seja, desenvolver oeducando, assegurar-lhe a formaçãocomum para o exercício da cidadania efornecer-lhe meios para progredir notrabalho e em estudos posteriores. (Art.22)

Por sua vez, o Art. 4º da ResoluçãoCNE/CEB 1/2000 diz que as DiretrizesCurriculares Nacionais (DCN),estabelecidas na Resolução CNE/CEB 3/98e vigentes a partir da sua publicação, seestendem para a modalidade daEducação de Jovens e Adultos noensino médio, sua organização eprocessos de avaliação.

A direção curricular proposta pelasDCN-EM destaca o desenvolvimento decompetências e habilidades distribuídasem áreas de conhecimento: Linguagens,Códigos e suas Tecnologias, CiênciasHumanas e suas Tecnologias, Ciências daNatureza e Matemática e suasTecnologias. O caráter interdisciplinardas áreas está relacionado ao contextode vida social e de ação solidária,visando à cidadania e ao trabalho.

Vale a pena lembrar que a LDB é a basedas DCNEM. No Art. 36, a LDB destacaque o currículo do ensino médio deveobservar as seguintes diretrizes: aeducação tecnológica básica; acompreensão do significado da ciência,das letras e das artes; o processohistórico de transformação da sociedadee da cultura; a língua portuguesa comoinstrumento de comunicação, acesso aoconhecimento e exercício da cidadania.

Além disso, dois aspectos merecemmenção especial, pois marcam adiferença em relação à organizaçãocurricular do ensino médio: o eixo datecnologia e dos processos cognitivosde compreensão do conhecimento.

Assim, a caracterização das áreas procuraser uma forma de estabelecer relaçõesinternas e externas entre osconhecimentos, de abordá-los sob oângulo das correspondências próprias àsua divulgação para o público que

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necessita dos saberes escolares para avida social, o trabalho, a continuidadedos estudos e o desenvolvimento pessoal.A definição na LDB do que é próprio aosensinos fundamental e médio não écolocada como forma de ruptura, mas simde aprofundamento (compreensão) econtexto (produção e tecnologia). Se, noensino fundamental, o caráter básico dossaberes sociais públicos foi desenvolvido,cabe, no ensino médio, aprofundá-los ou,então, desenvolvê-los. Essa consideração,para EJA/EM, se deve ao fato de que acertificação no ensino médio não está, porlei, atrelada à certificação no ensinofundamental, havendo, no entanto, umacontinuidade entre as duas etapas daeducação básica. De qualquer forma, aotérmino do EM, espera-se que o cidadãotenha desenvolvido competênciascognitivas e sociais inseridas em umdeterminado sistema de valores e juízos,ou seja, aquele referente à ética e aomundo do trabalho.No caso do público participante da EJA/EM, isso se torna mais evidente. Aidade, a participação no mundo dotrabalho, as responsabilidades sociais ecivis são outras, diferentes daquelas dosalunos da escola regular que sepreparam para a vida. O público da EJA/EM está na vida atuando comotrabalhador, pai de família, provedor.Entretanto, se o ponto de partida édiferente, o ponto de chegada não o é.Ao final do EM, espera-se que essepúblico possa dar continuidade aosestudos com qualificação, disputar umaposição no mercado de trabalho eparticipar plenamente da cidadania,compartilhando os princípios éticos,políticos e estéticos da unidade e dadiversidade nacionais, colocando-se

como ator no contexto de preservação etransformação social.A noção de desenvolvimento eavaliação de competências podepermitir alguma compreensão desseprocesso de diversidade e unidade.O foco sobre a noção de competência,nos documentos oficiais referentes àeducação básica e no discursoacadêmico educacional, principalmentea partir de 1990, instaura um eixo parareestruturação dos conteúdos escolarese de suas formas de transmissão eavaliação, ou seja, é uma proposta demudança que procura aproximar aeducação escolar da vida socialcontemporânea. Nessa proposta,destaca-se a perspectiva daflexibilização da organização daeducação escolar, em respeito àdiversidade e identidade dos sujeitos daaprendizagem. Quais são ascompetências comuns que devem sersocializadas para todos? A resposta aessa pergunta fundamenta a educaçãobásica. Em seqüência, há outra questãonão menos relevante: como avaliá-las?O respeito à diversidade não deve seridentificado com o caos. Daí, anecessidade da responsabilizaçãopolítica e institucional em traçar um fiocondutor que delimite os saberes e ascompetências gerais com os quais todoe qualquer processo deve comprometer-se, principalmente o de avaliação.As diretrizes legais para a organizaçãoda educação básica estão expressas emum conjunto de princípios que indica atransição de um ensino centrado emconteúdos disciplinares (didáticos)seriados e sem contexto para um ensinovoltado ao desenvolvimento decompetências verificáveis em situações

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específicas. A avaliação assume umpapel fundamental nessa perspectiva,definindo o sentido da escolarização.

A ação prevista pelos sujeitos envolvidosna educação básica extrapoladeterminados padrões de pensamento atéentão valorizados pela escolarizaçãoacrítica (identificar, reproduzir,memorizar, repetir) e aponta para anecessidade de a escola sistematicamenterealizar, em situações de aprendizagem, odesenvolvimento de movimentos depensamento mais complexos (analisar,comparar, confrontar, sintetizar). Talproposição, amparada pelos estudos daPsicologia Cognitiva, Sociologia,Lingüística, Antropologia, exerce umefeito de reestruturação na Didática. Osaber, que por si só já é ação do sujeito,ganha o status de uma intenção racional eintelectual situada socialmente. O sujeitodesse saber é compreendido como um serúnico no contexto social. O saber fazerenvolve o conhecimento do contexto, dasideologias e de sua superação, em prol deuma democracia desejada, para que ohomem possa conquistar de fato seusdireitos.

O poder público e a administraçãocentral assumem a responsabilidade deindicar a formação requerida para ossujeitos na educação básica, namodalidade de EJA/EM, e mais,propõem formas de avaliação dasaprendizagens.

A avaliação é assumida como diálogocom a sociedade, garantindo o direitodemocrático da população interessada emsaber o que de fato deve ser aprendido (eaquilo que deveria ter sido aprendido),para que possa compreender a função doprocesso educativo e exigir os direitos de

uma educação de qualidade para todos.Educação básica e avaliação, portanto,têm por objetivo promover a eqüidade naparticipação social.A proposta do ENCCEJA para certificaçãodo Ensino Médio assume parte dessepapel institucional, procurando, por meiode uma prova escrita, aferir, em condiçõesobserváveis e com exigências definidas,as competências previstas para aeducação básica.O foco do ENCCEJA é a situação-problema para cuja resolução oparticipante deve mobilizar saberescognitivos e conceituais (competências).A aprendizagem é destacada comoreferência à autonomia intelectual dosujeito ao final da educação básica,mediada pelos princípios da cidadania edo trabalho, na atualidade. Ascompetências para a participação socialincluem a criatividade, a capacidade desolucionar problemas, o senso crítico, ainformação, ou seja, o aprender aconhecer, a fazer, a conviver e a ser.A Matriz de Competências indicada paraa avaliação do ENCCEJA/EM é umproduto de discussão coletiva deinúmeros profissionais da educação,buscando contemplar os princípioslegais que regem a educação básica(Brasil,1999a; Brasil,1996; CNE, 1998;CNE, 2000).O ENCCEJA/EM está estruturado combase em Matrizes de referência queconsideram a associação de cincocompetências do sujeito com novecompetências previstas na BaseNacional Comum para as áreas deconhecimento (Linguagens, Códigos esuas Tecnologias; Ciências Humanas esuas Tecnologias; Ciências da Natureza

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e Matemática e suas Tecnologias), cujoscruzamentos definem as habilidades aserem avaliadas. As competênciascognitivas básicas a serem avaliadassão: o domínio das linguagens, acompreensão dos fenômenos, a seleçãoe organização de fatos, dados econceitos para resolver problemas, aargumentação e a proposição.

Essas competências cognitivas sãoarticuladas com os conhecimentos ecompetências sociais construídos erequeridos nas diferentes áreas, tendopor referência os sujeitos/interlocutores

da aprendizagem que se apropriam dosconhecimentos e os transpõem para avida pessoal e social. No elenco dashabilidades de cada área, estãovalorizadas as experiências extra-escolares e os vínculos entre a educação,o mundo do trabalho e outras práticassociais, de tal maneira que o exame,estruturado a partir das matrizes, nãoperca de vista a pluralidade de realidadesbrasileiras e não deixe de considerar adiversidade de experiências dos jovens eadultos que a ele se submetem.

BIBLIOGRAFIA

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II. Eixos conceituais queestruturam o ENCCEJA

O ENCCEJA se vincula a um conceitomais estrutural e abrangente dodesenvolvimento da inteligência econstrução do conhecimento. Essaconcepção, de inspiração fortementeconstrutivista, acha-se já amplamentecontemplada nos textos legais queestruturam a educação básica no Brasil.

Tal concepção privilegia a noção de quehá um processo dinâmico dedesenvolvimento cognitivo mediado pelainteração do sujeito com o mundo que ocerca. A inteligência é encarada não comouma faculdade mental ou como expressãode capacidades inatas, mas como umaestrutura de possibilidades crescentes deconstrução de estratégias básicas de açõese operações mentais com as quais seconstroem os conhecimentos.

Nesse contexto, o foco da avaliaçãorecai sobre a aferição de competências ehabilidades com as quais transformamosinformações, produzimos novosconhecimentos, reorganizando-os emarranjos cognitivamente inéditos quepermitem enfrentar e resolver novosproblemas.

Estudos mais avançados sobre a avaliaçãoda inteligência, no sentido da estruturaque permite aprender, ainda são poucopraticados na educação brasileira.

Ressalte-se, também, que a própriadefinição de inteligência e a maneiracomo tem sido investigada constituempontos dos mais controvertidos nas áreasda Psicologia e da Educação. O que se

constata é que alguns pressupostosaceitos no passado tornaram-segradativamente questionáveis e, atémesmo, abandonados diante deinvestigações mais cuidadosas.

Em que pese os processos avaliativosescolares no Brasil caracterizarem-se,ainda, por uma excessiva valorização damemória e dos conteúdos em si, aospoucos essas práticas sustentadas pelapsicometria clássica vêm sendosubstituídas por concepções maisdinâmicas que, de um modo geral, levamem consideração os processos deconstrução do conhecimento, oprocessamento de informações, asexperiências e os contextos socioculturaisnos quais o indivíduo se encontra.

A teoria de desenvolvimento cognitivo,proposta e desenvolvida por Jean Piagetcom cuidadosa fundamentação em dadosempíricos, empresta contribuições dasmais relevantes para a compreensão daavaliação que se estrutura com o Encceja.

Para Piaget (1936), a inteligência é um“termo genérico designando as formassuperiores de organização ou deequilíbrio das estruturas cognitivas (…) ainteligência é essencialmente umsistema de operações vivas e atuantes”.Envolve uma construção permanente dosujeito em sua interação com o meiofísico e social. Sua avaliação consiste nainvestigação das estruturas doconhecimento, que são as competênciascognitivas.

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Para Piaget, as operações cognitivaspossuem continuidade do ponto devista biológico e podem ser divididasem estágios ou períodos que possuemcaracterísticas estruturais próprias, asquais condicionam e qualificam asinterações com o meio físico e social.Deve-se ressaltar que o estágio dedesenvolvimento cognitivo quecorresponde ao término da escolaridadebásica no Brasil denomina-se período dasoperações formais, marcado peloadvento do raciocínio hipotético-dedutivo.

É nesse período que o pensamentocientífico torna-se possível,manifestando-se pelo controle devariáveis, teste de hipóteses, verificaçãosistemática e consideração de todas aspossibilidades na análise de umfenômeno.

Para Piaget, ao atingir esse período, osjovens passam a considerar o real comouma ocorrência entre múltiplas eexaustivas possibilidades. O raciocíniopode agora ser exercido sobre enunciadospuramente verbais ou sobre proposições.

Outra característica desse período dedesenvolvimento, segundo Piaget,consiste no fato de as operações formaisserem operações à segunda potência, ouseja, enquanto a criança precisa operardiretamente sobre os objetos,estabelecendo relações entre elementosvisíveis, no período das operaçõesformais, o jovem torna-se capaz deestabelecer relações entre relações.

As operações formais constituem,também, uma combinatória que permiteque os jovens considerem todas aspossibilidades de combinação deelementos de uma dada operação

mental e sistematicamente testem cadauma delas para determinar qual é acombinação que os levará a umresultado desejado.Em muitos dos seus trabalhos, Piagetenfatizou o caráter de generalidade dasoperações formais. Enquanto asoperações concretas se aplicavam acontextos específicos, as operaçõesformais, uma vez atingidas, seriam geraise utilizadas na compreensão de qualquerfenômeno, em qualquer contexto.As competências gerais que sãoavaliadas no ENCCEJA estãoestruturadas com base nascompetências descritas nas operaçõesformais da Teoria de Piaget, tais como acapacidade de considerar todas aspossibilidades para resolver umproblema; a capacidade de formularhipóteses; de combinar todas aspossibilidades e separar variáveis paratestar a influência de diferentes fatores;o uso do raciocínio hipotético-dedutivo,da interpretação, análise, comparação eargumentação, e a generalização dessasoperações a diversos conteúdos.O ENCCEJA foi desenvolvido com basenessas concepções, e procura avaliar paracertificar competências que expressamum saber constituinte, ou seja, aspossibilidades e habilidades cognitivaspor meio das quais as pessoas conseguemse expressar simbolicamente,compreender fenômenos, enfrentar eresolver problemas, argumentar e elaborarpropostas em favor de sua luta por umasobrevivência mais justa e digna.

A. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Desde o princípio de sua existência, ohomem enfrentou situações-problemapara poder sobreviver e, ainda, em seu

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II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA

estado mais primitivo, desprovido dequalquer recurso tecnológico, já buscavaconhecer a natureza e compreender seusfenômenos para dominá-la e, assim,garantir sua sobrevivência como espécie.No entanto, à medida que, em seuprocesso histórico, foi alcançando formasmais evoluídas de organização social,seus problemas de sobrevivência imediataforam sendo substituídos por outros. Acada novo passo de evolução, o homemsuperou certos problemas abrindo novaspossibilidades de melhor qualidade devida, mas, ao mesmo tempo, abriu asportas para novos desafios, importantespara sua continuidade e sobrevivência.

A história do homem registra oenfrentamento de contínuos desafios esituações-problema, sempre superadosem nome de novas formas deorganização social, política, econômicae científica, cada vez mais evoluídas ecomplexas. Pode-se dizer que oenfrentamento de situações-problemaconstitui uma condição que acompanhaa vida humana desde sempre.

Cada vez mais tecnológica e globalizada,a sociedade que atravessou os portais doséculo XXI convida o homem à resoluçãode grandes problemas em virtude dascontínuas transformações em todas asáreas do conhecimento. Exige, ainda,constantes atualizações, seja no mundodo trabalho ou da escola, seja no ritmo enas atribuições de enfrentamento docotidiano da vida, como, também, umaoutra qualidade de respostas, à proporçãoque assume características bemdiferenciadas daquelas que,anteriormente, percorreram a história.

Durante muitos séculos, o homem, pararesolver problemas, contou com apossibilidade de se orientar a partir dos

conhecimentos que haviam sidoconstruídos e adquiridos no passado, àmedida que ele podia contar com atradição ditada pelos hábitos ecostumes da sociedade de sua época,com aquilo que sua cultura jádeterminava como certo. Ascaracterísticas culturais, sociais, moraise religiosas, entre outras, serviam-lhecomo referências, indicando-lhecaminhos ou respostas.

Dessa maneira, ele orientava seupresente pelo passado, tendo nestepassado o organizador de suas novasações. Como resultado, ele podiaplanejar seu futuro como se este jáestivesse escrito e determinado emfunção de suas ações presentes.

O avanço tecnológico dos dias atuaisdesencadeou uma nova ordem detransformações sociais, culturais, políticase econômicas, imprimindo ao mundonovas relações numa velocidade tal, quetraz para o homem, neste século, umaoutra necessidade: a de se pautar não sónas referências que o passado oferececomo garantias ou tradições, mas,também, naquilo que diz respeito aofuturo.Quanto mais as sociedadescontemporâneas avançam em seusconhecimentos tecnológicos ecientíficos, mais distanciado parece estaro homem de sua humanidade. Quantomais conforto e comodidade a vidamoderna pode oferecer, mais seacentuam as diferenças sociais, culturaise econômicas, criando verdadeirosabismos entre os povos e entre aspopulações de um mesmo país. Quantomais se conhece e se aprende, mais ficadistanciada uma boa parte da populaçãomundial do acesso à escolaridade, de

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modo que, muito antes de se erradicar oanalfabetismo da face da Terra, já há apreocupação com a exclusão digital.Quanto mais se vivencia a globalização,mais complicadas ficam as possibilidadesde entendimento e comunicação, pois osideais e valores – que preconizam aliberdade do homem, a solidariedadeentre os povos, a convivência entre aspessoas e o exercício de uma verdadeiracidadania – não correspondem a açõesconcretas e efetivas. Dessa forma, omundo se debate entre guerras,terrorismo, drogas, doenças, ignorância emiséria. Essa é a natureza das situações-problema que o homem contemporâneoenfrenta. Então, como preparar ascrianças e jovens com condições paraque possam aprender a enfrentar esolucionar tais problemas, superando-osem nome de um futuro melhor?Pensando na educação dessas crianças ejovens, tal realidade traz sériasimplicações e a necessidade deprofundas modificações no âmbitoescolar. Cada vez mais é preciso que osalunos saibam como aprender, comocompreender fatos e fenômenos, comoestabelecer suas relações interpessoais,como analisar, refletir e agir sobre essanova ordem de coisas. Hoje, porexemplo, um conhecimento científico,uma tecnologia ensinada na escola érapidamente substituída por outra maismoderna, mais sofisticada e atualizada,às vezes, antes mesmo que os alunostenham percorrido um único ciclo deescolaridade. Dessa maneira, vivem-setempos nos quais os mais diferentespaíses revisam seus modeloseducacionais, discutem e implementamreformas curriculares que sejam maisapropriadas para atender às demandas

da sociedade contemporânea, umasociedade que, em termos deconhecimento, está aberta para todos ospossíveis, para todas as possibilidades.O homem do século XXI, portanto, estádiante de quatro grandes situações-problema que implicam necessidades deresolução: aprender a conhecer,aprender a ser, aprender a fazer eaprender a conviver. Como conhecer ouadquirir novos conhecimentos? Comoaprender a interpretar a realidade emum contexto de contínuastransformações científicas, culturais,políticas, sociais e econômicas? Comoaprender a ser, resgatando a suahumanidade e construindo-se comopessoa? Como realizar ações em umaprática que seja orientadasimultaneamente pelas tradições dopassado e pelo futuro que ainda não é?Como conviver em um contexto detantas diversidades, singularidades ediferenças e em que o respeito e o amorestejam presentes?Em uma perspectiva psicológica, e,portanto, do desenvolvimento,conhecer e ser são duas formas decompreensão, à medida que seexpressam como maneiras de interpretarou atribuir significados a algo, de saberas razões de algo, do ponto de vista doraciocínio e do pensamento, exigindodo ser humano a construção deferramentas adequadas a uma leituracompreensiva da realidade. Fazer econviver são formas de realizaçâo, poisse expressam como procedimentos,como ações que visam a um certoobjetivo. Por sua vez, realizar econviver implicam que o ser humanosaiba escrever o mundo, construindomodos adequados de proceder em suasações. Por isso, é preciso que

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preparemos as crianças e jovens paraum mundo profissional e social que oscoloque continuamente em situações dedesafio, às quais requerem cada vezmais saberes de valor universal que ospreparem para serem leitores de ummundo em permanente transformação.É preciso, ainda, que os preparemoscomo escritores de um mundo que pedea participação efetiva de todos os seuscidadãos na construção de novosprojetos sociais, políticos e econômicos.

Portanto, do ponto de vistaeducacional, tais necessidades implicamo compromisso com uma revisãocurricular e pedagógica que supere omodelo da simples memorização deconteúdos escolares que hoje se mostrainsuficiente para o enfrentamento darealidade contemporânea. Os novostempos exigem um outro modeloeducacional, voltado para odesenvolvimento de um conjunto decompetências e de habilidades essenciais,a fim de que crianças e jovens possamefetivamente compreender e refletirsobre a realidade, participando e agindono contexto de uma sociedadecomprometida com o futuro.

B. AS ORIGENS DO TERMOCOMPETÊNCIA

O sentido original da palavracompetência é de natureza jurídica, ouseja, diz respeito ao poder que tem umacerta jurisdição de conhecer e decidirsobre uma causa. Gradativamente, osignificado estendeu-se, passando otermo a designar a capacidade dealguém para se pronunciar sobredeterminado assunto, fazer determinadacoisa ou ter capacidade, habilidade,

aptidão, idoneidade.Recentemente, competência tornou-seuma palavra difundida, com freqüência,nos discursos sociais e científicos.Entretanto, Isambert-Jamati (1997)afirma que não se trata simplesmente demodismo porque o caráterrelativamente duradouro do uso dessanoção e a existência de uma certacongruência em relação ao seusignificado, em esferas como as daeducação e do trabalho, podem serreveladores de mudanças na sociedade ena forma como um grupo social partilhacertos significados. Nesse sentido, otermo competência não é só reveladorde certas mudanças como também podecontribuir para modelá-las, ou seja,comparece no lugar de certas noções,ao mesmo tempo em que modifica seussignificados. Pode-se dizer que, nogeral, o termo competência vemsubstituindo a idéia de qualificação nodomínio do trabalho, e as idéias desaberes e conhecimento no campo daeducação.As razões da invasão do termocompetência, segundo Tanguy (1997),nas diferentes esferas da atividadesocial, são difíceis de precisar, embora,no caso da educação e do trabalho,possam estar associadas a uma série demovimentos geradores de concepçõesnesses dois campos, bem como dasinter-relações entre eles. Dentre taisconcepções ou crenças, podemosdestacar: necessidade de superar oaspecto da instrução pelo da educação;reconhecimento da importância dopoder do conhecimento por todos osmeios sociais e de que a transmissão doconhecimento não é tarefa exclusiva daescola; institucionalização e

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sistematização de princípios sobreformação contínua fora do âmbitoescolar; exigência de superar aqualificação profissional precária emecânica; necessidade de rever o ensinodisciplinar e o saber academicista oudescontextualizado; preocupação decolocar o aluno no centro do processoeducativo, como sujeito ativo.A intervenção desses elementos sobre aproblemática da formação eaprendizagens profissionais, além danecessidade de novas adaptações aomundo do trabalho e da escola,acabaram por proporcionar umaapropriação geral da noção decompetência em vários países,provavelmente na expectativa deatribuir novos significados às noçõesque ela pretende substituir nasatividades pedagógicas. Maisespecificamente, no entanto, essereferencial sobre a noção decompetência tem-se imposto nasescolas, inicialmente, por meio daavaliação. Essas inter-relaçõesproduziram uma contaminação designificados, e o termo competênciapassou a ser usado com freqüência nosistema educativo, no qual ganhououtras conotações.

Dado esse caráter polissêmico da noçãode competência, trata-se de precisar emque sentido pretendemos utilizá-la.

A NOÇÃO DE COMPETÊNCIA: A QUE SE APLICA?

Embora o uso do termo competência sejacomum, é difícil precisar o seusignificado. Se tentarmos descrever umadas nossas competências,conseguiremos, no máximo, elencar umasérie de ações que realizamos paraenfrentar uma situação-problema, taiscomo uma análise de fenômeno, um ato

de leitura, ou a condução de umautomóvel. Mesmo tendo consciênciadessa série, não conseguiremos encontraralgo que possa traduzir a totalidadedesses atos.

Por outro lado, do ponto de vistaexterno, quando observamos os outros,conseguimos, com relativa facilidade,concluir sobre a existência desta oudaquela competência. Ao fazê-lo, noentanto, ultrapassamos a mera descriçãodos atos, significando que aquela sériede ações é interpretada na suatotalidade ou no conjunto que a traduz.Supõe-se, portanto, que há algo internoque articula e rege as ações,possibilitando que sejam eficazes eadequadas à situação, conformedescreve Rey (1998).

Ao observarmos um bom patinador nogelo, diz o autor, bastam algunsminutos para concluirmos se ele sabepatinar, ou seja, se ele é competente.Em outras palavras, interpretamos que asucessão de seus movimentos não émeramente uma série qualquer, mas queela é coordenada por um princípiodominado pelo sujeito, residindo aí suacompetência. Ao atribuirmos esse poderao patinador, assumimos a idéia de queseus futuros movimentos serãoprevisíveis, no sentido de que serãoadequados e eficazes.

O que o autor quer mostrar é que acompetência revela um poder interno e sedefine pela anterioridade, ou seja, apossibilidade de enfrentar uma situaçãoproblema está, de certa forma, dada pelascondições anteriores do sujeito. Aomesmo tempo, essa previsibilidade dá-nosa impressão de continuidade. Acompetência não é algo passageiro, é algoque parece decorrer natural eespontaneamente.

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Em síntese, a idéia de competênciaretrata dois aspectos antagônicos massolidários, que podem ser traduzidos devárias maneiras: interno e externo,implícito e explícito, o da visibilidadesocial e o da organização interna, o quena ação é observável e maisestandardizado e o que é mais ligado aosujeito, portanto, singular e obscuro.

Esses aspectos podem ser encontradosnas teorias que fundamentam a noçãode competência, as quais abordam essaquestão em dois pólos opostos. Noprimeiro pólo, estão as teorias que usamo termo competência como referência aatos observáveis ou comportamentosespecíficos, empregados, sobretudo, naformação profissional e na concepçãoda aprendizagem por objetivos. Nosegundo pólo encontram-se, autoresque analisam as capacidades do sujeitoresultantes de organização interna enão-observáveis diretamente:

Assim, tanto a competência é concebida

como uma potencialidade invisível,

interna, pessoal, susceptível de engendrar

uma infinidade de “performances”, tanto

ela se define por componentes

observáveis, exteriores, impessoais.(Rey, 1998, p. 26)

Esses dois sentidos do termocompetência são usados e convivemalternadamente, tanto no mundo dotrabalho como no mundo da escola.A concepção de competência comocomportamento é a manifestação de ummodelo teórico que guarda parentescocom o behaviorismo, o qual temembasado o uso da noção decompetência de duas formas. No sentido

mais restrito, competência é tida comocomportamento objetivo e observável eque se realiza como resposta a umasituação. Essa forma de entendercompetência se manifesta no campo daformação profissional quando pressupõeque a cada posto de trabalhocorresponda uma lista de tarefasespecíficas. No campo da educação, essanoção de competência compareceassociada à pedagogia por objetivos(Bloom,1972 e Mager, 1975), cuja idéiacentral é a de que, para ensinar, é precisotraçar objetivos claros e específicos, semambigüidades, de tal forma que oprofessor possa prever que seus alunosserão capazes de alcançá-los. Para tanto,as competências devem-se confundircom o comportamento observável. Talconcepção está, portanto, diretamenteassociada às idéias de performance eeficácia (Ropé e Tanguy, 1997), bemcomo acaba por fomentar a elaboraçãode listagens de comportamentosexigíveis em diferentes níveis dosprogramas de ensino. Na medida em quea competência se reduz aocomportamento observável, elimina-sedo mesmo o seu caráter implícito.Esse mesmo modelo, no sentido maisamplo, toma uma outra forma: a da açãofuncional, ou seja, ser competente não éapenas responder a um estímulo e realizaruma série de comportamentos, mas,sobretudo, ser capaz de, voluntariamente,selecionar as informações necessárias pararegular sua ação ou mesmo inibir asreações inadequadas. Na realidade, essaconcepção pretende superar a falta desentido produzida na consecução deobjetivos. Ao introduzir a idéia definalidade ao comportamento, fato que apedagogia por objetivos desconsiderou,

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acentua-se que, subjacente a umcomportamento observável, consciente ouautomaticamente, existe uma organizaçãorealizada pelo sujeito, da qual se depreendea existência de um equipamento cognitivoque organiza, seleciona e hierarquiza seusmovimentos em função dos objetivos aalcançar. Em outras palavras, acompetência não é redutível aoscomportamentos estritamente objetivos,mas está vinculada sempre a uma atividadehumana que, ligada à escola ou aotrabalho, caracteriza-se por sua relaçãofuncional a tais atividades definidassocialmente.Em síntese, embora existam essasvariações no sentido de competênciacomo comportamento, em ambos ela évista no seu caráter específico edeterminado: no primeiro caso, é limitadapelos estímulos que a provocam; nosegundo, pela função que apresenta nasituação ou contexto que a exige.Como já dissemos, um outro pólo daanálise teórica sobre competência não aidentifica com comportamento; ela éconsiderada como uma capacidade geralque torna o indivíduo apto adesenvolver uma variedade de açõesque respondem a diferentes situações.Competência, nesse caso, refere-se aofuncionamento cognitivo interno dosujeito. Essa concepção de competênciafoi formulada em contraposição à idéiade competências como comportamentosespecíficos, a partir das teorias decompetência lingüística, proposta porChomsky (1983) e da auto-regulação dodesenvolvimento cognitivo, propostapor Piaget (1976). Embora divergindo arespeito da origem das competênciascognitivas, esses autores têm emcomum a crença de que nenhum

conhecimento é possível sem haver umaorganização interna.Para Chomsky (1983), a competêncialingüística não se confunde comcomportamento. Ela deriva de um poderinterno (núcleo fixo inato), expresso porum conjunto de regras do qual o sujeitonão tem consciência, que possibilita aprodução de comportamentos lingüísticos.Na abordagem piagetiana, a idéia decompetência está atrelada à organizaçãointerna e complexa das ações humanas,mas, diferentemente de Chomsky,Piaget (1983) discorda do caráter inatodessa organização e enfatiza a suadimensão adaptativa. Sustenta que aprogressividade do desenvolvimentomental se apóia em um processo deconstrução, no qual interferem omínimo de “pré-formações” e o máximode auto-organização. A competência,nesse sentido, diz respeito à construçãoendógena das estruturas lógicas dopensamento que, à medida que seestabelecem, modificam o padrão daação ou adaptação ao meio e queMalglaive (1995) denomina de estruturadas capacidades.A abordagem piagetiana, comosabemos, teve como preocupaçãomostrar as estruturas lógicas comouniversais. Mesmo afirmando que todoconhecimento se dá em um contextosocial e descrevendo o papel dainteração entre os pares comofundamental para o desenvolvimento doraciocínio lógico, essa investigação nãoprivilegiou a forma de atuação docontexto social ou das situações nodesenvolvimento das competênciascognitivas. A partir de contribuições dasociologia e da antropologia, váriosestudos têm sido realizados no sentido

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de mostrar as relações entre contextosculturais e cognição, conforme descritopor Dias (2002). Nesse sentido, valeressaltar as reflexões de Bordieu (1994),quando afirma que a compreensão não ésó o reconhecimento de um sentidoinvariante, mas a apreensão dasingularidade de uma forma que sóexiste em um contexto particular.COMPETÊNCIAS COMO MODALIDADES

ESTRUTURAIS DA INTELIGÊNCIA

A ressignificação da noção competência– nos meios educacionais e acadêmicos –está muito provavelmente atrelada ànecessidade de encontrar um termo quesubstituísse os conceitos usados paradescrever a inteligência, os quais semostraram inadequados, quer pelaabrangência, quer pela limitação. Noprimeiro caso, sabemos das dificuldadesde trabalhar com termos comocapacidade para expressar aquilo quedeve ser objeto de desenvolvimento, atémesmo porque essa idéia carregaconotações de aptidão, difíceis deprecisar. No segundo caso, a vinculaçãoda inteligência à aquisição decomportamentos produziu uma visãopontual e molecular que reduz odesenvolvimento a uma listagem desaberes a serem adquiridos. Comocontraponto, a noção de competênciasurgiu no discurso dos profissionais daeducação como uma forma decircunscrever o termo capacidade ealargar a idéia de saber específico.Nesse sentido, o construtivismocontribuiu, de forma significativa, parapensar a inteligência humana comoresultado de um processo de adaptaçõesprogressivas, portanto não polarizadono meio ou nas estruturas genéticas. Poroutro lado, o conceito de operações

mentais permite colocar a aprendizagemno contexto das operações e não apenasno do conhecimento ou docomportamento.

C. AS COMPETÊNCIAS DO ENEMNA PERSPECTIVA DAS AÇÕES OUOPERAÇÕES DO SUJEITO

Considerando as características domundo de hoje, quais os recursoscognitivos que um jovem, concluinte daeducação básica, deve ter construído aolongo desse período? A matriz decompetências do ENEM expressa umahipótese sobre isso, ou seja, assume opressuposto de que os conhecimentosadquiridos ao longo da escolarizaçãodeveriam possibilitar ao jovem domíniode linguagens, compreensão defenômenos, enfrentamento desituações-problema, construção deargumentações e elaboração depropostas. De fato, tais competênciasparecem sintetizar os principaisaspectos que habilitariam um jovem aenfrentar melhor o mundo, com todasas suas responsabilidades e desafios.Quais são as ações e operaçõesvalorizadas na proposição dascompetências da matriz? Como analisaresses instrumentos cognitivos em suafunção estruturante, ou seja,organizadora e sistematizadora de umpensar ou um agir com sentidoindividual e coletivo? Em outraspalavras, o que significam dominar efazer uso (competência I); construir,aplicar e compreender (competência II);selecionar, organizar, relacionar,interpretar, tomar decisões, enfrentar(competência III); relacionar, construirargumentações (competência IV);recorrer, elaborar, respeitar e considerar(competência V)?

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DOMINAR E FAZER USO

A competência I tem como propósitoavaliar se o estudante demonstra“dominardominardominardominardominar a norma culta da LínguaPortuguesa e fazer usofazer usofazer usofazer usofazer uso da linguagemmatemática, artística e científica”.

Dominar, segundo o dicionário, significa“exercer domínio sobre; ter autoridadeou poder em ou sobre; ter autoridade,ascendência ou influência total sobre;prevalecer; ocupar inteiramente”. Fazeruso, pois, é sinônimo de dominar, já queexpressa ou confirma seu exercício naprática.

Dominar a norma culta tem significadosdiferentes nas tarefas de escrita ouleitura avaliadas. No primeiro caso, odomínio da norma culta pode serinferido, por exemplo, pela correção daescrita, coerência e consistência textual,manejo dos argumentos em favor dasidéias que o aluno quer defender oucriticar. Quanto às tarefas de leitura, taldomínio pode ser inferido pelacompreensão do problema eaproveitamento das informaçõespresentes nos enunciados das questões.

Além disso, sabemos hoje que o mundocontemporâneo se caracteriza por umapluralidade de linguagens que seentrelaçam cada vez mais. Vivemos naera da informação, da comunicação, dainformática. Basicamente, todas asnossas interações com o mundo social,com o mundo do trabalho, com asoutras pessoas, enfim, dependem dessamultiplicidade de linguagens para quepossamos nos beneficiar das tecnologiasmodernas e dos progressos científicos,realizar coisas, aprender a conviver, etc.

Dominar linguagens significa, portanto,saber atravessar as fronteiras de um

domínio lingüístico para outro. Assim,tal competência requer do sujeito, porexemplo, a capacidade de transitar dalinguagem matemática para a linguagemda história ou da geografia, e dessas,para a linguagem artística ou para alinguagem científica. Significa ainda sercompetente para reconhecer diferentestipos de discurso, sabendo usá-los deacordo com cada contexto.

O domínio de linguagens implica umsujeito competente como leitor domundo, ou seja, capaz de realizarleituras compreensivas de textos que seexpressam por diferentes estilos decomunicação, ou que combinemconteúdos escritos com imagens,charges, figuras, desenhos, gráficos, etc.Da mesma forma, essa leituracompreensiva implica atribuirsignificados às formas de linguagem quesão apropriadas a cada domínio deconhecimento, interpretando seusconteúdos. Ler e interpretar significaatribuir significado a algo, apropriar-sede um texto, estabelecendo relaçõesentre suas partes e tratando-as comoelementos de um mesmo sistema.

Dominar linguagens implica ainda umsujeito competente como escritor darealidade que o cerca, um sujeito quesaiba fazer uso dessa multiplicidade delinguagens para produzir diferentestextos que comuniquem uma proposta,uma reflexão, uma linha deargumentação clara e coerente.

Por isso, dominar linguagens implicatrabalhar com seus conteúdos nadimensão de conjecturas, proposições esímbolos. Nesse sentido, a linguagemconstitui o instrumento mais poderosode nosso pensamento, à medida que elalhe serve de suporte.

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Por exemplo, pensar a realidade comoum possível, como é próprio doraciocínio formal (Inhelder e Piaget,1955), seria impraticável sem alinguagem, pois é ela que nos permitetransitar do presente para o futuro,antecipando situações, formulandoproposições. Não seria possível tambémfazer o contrário, transitar do presentepara o passado, que só existe como umalembrança ou como uma imagem. Damesma maneira, raciocinar de umaforma hipotético-dedutiva tambémdepende da linguagem, pois sem ela nãoteríamos como elaborar hipóteses, idéiase suposições que existem apenas em umplano puramente representacional evirtual.

CONSTRUIR, APLICAR E COMPREENDER

O objetivo da competência II é avaliar se oestudante sabe “construirconstruirconstruirconstruirconstruir e aplicaraplicaraplicaraplicaraplicarconceitos das várias áreas doconhecimento para a compreensãocompreensãocompreensãocompreensãocompreensão defenômenos naturais, de processoshistórico-geográficos, da produçãotecnológica e das manifestaçõesartísticas”.

Construir é uma forma de domínio que,no caso das questões das provas, podeimplicar o exercício ou uso de muitashabilidades: estimar, calcular,relacionar, interpretar, comparar, medir,observar etc. Em quaisquer delas, odesafio é realizar operações quepossibilitem ultrapassar uma dadasituação ou problema, alcançandoaquilo que significa ou indica suaconclusão. Construir, portanto, éarticular um tema com o que qualificasua melhor resposta ou solução, tendoque, para isso, realizar procedimentosou dominar os meios requeridos,considerando as informaçõesdisponíveis na questão.

Hoje, a compreensão de fenômenos,naturais ou não, tornou-seimprescindível ao ser humano que sequer participante ativo de um mundocomplexo, onde coabitam diferentespovos e nações, marcados por umaenorme diversidade cultural, científica,política e econômica e, ao mesmo tempo,desafiados para uma vida em comum,interdependente ou globalizada.

Compreender fenômenos significa sercompetente para formular hipóteses ouidéias sobre as relações causais que osdeterminam. Ou seja, é preciso saber queum dado procedimento ou ação provocauma certa conseqüência. Assim, se odesmatamento desenfreado ocorre emtodo o planeta, é possível supor que esseevento, em pouco tempo, causarádesastres climáticos e ecológicos, porexemplo.

Além disso, a compreensão defenômenos requer competência paraformular idéias sobre a explicação causalde um certo fenômeno, atribuindosentido às suas conseqüências. Voltandoao exemplo anterior, não basta ao sujeitoconstruir e aplicar seus conhecimentospara saber que as conseqüências dodesmatamento serão os desastresclimáticos ou ecológicos, mas é precisotambém que ele compreenda as razõesque esse fato implica, ou seja, queestabeleça significados para ele.

Para isso, é necessário determinarrelações entre as coisas, inferir sobreelementos que não estão presentes emuma situação, mas que podem serdeduzidos por aquelas que ali estão,trabalhar com fórmulas e conceitos.Nesse sentido, também fazemos uso dalinguagem, à medida que formulamoshipóteses para compreender umfenômeno ou fato, ou elaboramos

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conjecturas, idéias e suposições emrelação a ele. Nesse jogo de elaboraçõese suposições, trabalhamos, do ponto devista operatório, com a lógica dacombinatória (Inhelder e Piaget, 1955), apartir da qual é preciso considerar, aomesmo tempo, todos os elementospresentes em uma dada situação.

SELECIONAR, ORGANIZAR, RELACIONAR,INTERPRETAR, TOMAR DECISÕES E ENFRENTAR

SITUAÇÕES-PROBLEMA

O objetivo da Competência III é avaliarse o aluno sabe “selecionarselecionarselecionarselecionarselecionar, organizarorganizarorganizarorganizarorganizar,relacionarrelacionarrelacionarrelacionarrelacionar, interpretarinterpretarinterpretarinterpretarinterpretar dados einformações representados de diferentesformas, para tomar decisõestomar decisõestomar decisõestomar decisõestomar decisões e enfrentarenfrentarenfrentarenfrentarenfrentarsituações-problemasituações-problemasituações-problemasituações-problemasituações-problema”.

Talvez a melhor forma de analisarmos asações ou operações avaliadas nessacompetência seja fazermos a leitura emsua ordem oposta: enfrentar umasituação-problema implica selecionar,organizar, relacionar e interpretar dadospara tomar uma decisão. De fato, assimé. Tomar uma decisão implica fazer umrecorte significativo de uma realidade, àsvezes, complexa, ou seja, que pode seranalisada de muitos modos e que podeconter fatores concorrentes, no sentidode que nem sempre é possível darprioridade a todos eles ao mesmotempo. Selecionar é, pois, recortar algodestacando o que se considerasignificativo, tendo em vista um certocritério, objetivo ou valor. Além disso,tomar decisão significa organizar oureorganizar os aspectos destacados,relacionando-os e interpretando-os emfavor do problema enfrentado.

Reparem que enfrentar uma situação-problema não é o mesmo que resolvê-la. Ainda que nossa intenção, diante de

um problema ou questão, seja encontrarou produzir sua solução, a ação ouoperação que se quer destacar é a desaber enfrentar, sendo o resolver, porcerto, seu melhor desfecho, mas não oúnico. Ou seja, o enfrentamento desituações-problema relaciona-se àcapacidade de o sujeito aceitar desafiosque lhe são colocados, percorrendo umprocesso no qual ele terá que vencerobstáculos, tendo em vista um certoobjetivo. Quando bem sucedido nesseenfrentamento, pode-se afirmar que osujeito chegou à resolução de umasituação-problema. Produzir resultadoscom êxito no contexto de uma situação-problema pressupõe o enfrentamento damesma. Pressupõe encarar dificuldades eobstáculos, operando nosso raciocíniodentro dos limites que a situação noscoloca. Tal como em um jogo detabuleiro, enfrentar uma partidapressupõe o jogar dentro das regras – ojogar certo –, sendo as regras aquilo quenos fornecem as coordenadas e oslimites para nossas ações, a fim depercorrermos um certo caminho durantea realização da partida. No entanto, nemsempre o jogar certo é o suficiente paraque joguemos bem, isto é, para quevençamos a partida, seja porque nossoadversário é mais forte, seja porque nãosoubemos, ao longo do caminho,colocar em prática as melhoresestratégias para vencer. (Macedo, Pettye Passos, 2000)

Da mesma maneira, uma situação –problema traz um conjunto deinformações que, por analogia, funcionamcomo as regras de um jogo, as quais, demaneira explícita, impõem certos limitesao jogador. É a partir desse dado real – asregras – que o jogador enfrentará o jogo,

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mobilizando seus recursos, selecionandocertos procedimentos, organizando suasações e interpretando informações paratomar decisões que considere as melhoresnaquele momento.

Tendo em vista esses aspectos, o que acompetência III busca valorizar é apossibilidade de o sujeito, ao enfrentarsituações-problema, considerar o realcomo parte do possível (Inhelder ePiaget, 1955). Se, para ele, asinformações contidas no problema foremconsideradas como um real dado quedelimita a situação, pode transformá-loem uma abertura para todos os possíveis.

RELACIONAR E ARGUMENTAR

O objetivo da competência IV é verificarse o aluno sabe “relacionarrelacionarrelacionarrelacionarrelacionar informações,representadas em diferentes formas, econhecimentos disponíveis em situaçõesconcretas, para construirconstruirconstruirconstruirconstruirargumentaçãoargumentaçãoargumentaçãoargumentaçãoargumentação consistente”.

Relacionar refere-se às ações ouoperações por intermédio das quaispensamos ou realizamos uma coisa emfunção de outra. Ou seja, trata-se decoordenar pontos de vista em favor deuma meta, por exemplo, defender oucriticar uma hipótese ou afirmação. Paraisso, é importante sabermos descentrar,ou seja, considerar uma mesma coisasegundo suas diferentes perspectivas oufocos. Dessa forma, a conclusão ousolução resultante da prática relacionalexpressa a qualidade do que foi analisado.Saber construir uma argumentaçãoconsistente significa, pois, saber mobilizarconhecimentos, informações, experiênciasde vida, cálculos, etc. que possibilitemdefender uma idéia que convence alguém(a própria pessoa ou outra com quemsediscute) sobre alguma coisa.

Consideremos que convencer significavencer junto, ou seja, implica aceitarque o melhor argumento pode vir demuitas fontes e que nossas idéias departida podem ser confirmadas oureformuladas total ou parcialmente nojogo das argumentações. Assim, saberargumentar é convencer o outro ou a simesmo sobre uma determinada idéia.Convencer o outro porque, quandoadotamos diferentes pontos de vistasobre algo, é preciso elaborar a melhorjustificativa para que o outro apóienossa proposição. Convencer a simesmo porque, ao tentarmos resolverum determinado problema,necessitamos relacionar informações,conjugar diversos elementos presentesem uma determinada situação,estabelecendo uma linha deargumentação mental sem a qual setorna impossível uma soluçãosatisfatória. Nesse sentido, construirargumentação significa utilizar a melhorestratégia para apresentar e defenderuma idéia; significa coordenar meios efins, ou seja, utilizar procedimentos queapresentem os aspectos positivos daidéia defendida.

Por isso, a competência IV é muitovalorizada no mundo atual, tendo emvista que vivemos tempos nos quais associedades humanas, cada vez maisabertas, perseguem ideais de democraciae de igualdade. Em certo sentido, a vidapede o exercício dessa competência, poishoje a maioria das situações queenfrentamos requerem que saibamosconsiderar diversos ângulos de umamesma questão, compartilhandodiferentes pontos de vista, respeitando asdiferenças presentes no raciocínio decada pessoa. De certa forma, essa

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competência implica o exercício dacidadania, pois argumentar hoje se referea uma prática social cada vez maisnecessária, à medida que temos queestabelecer diálogos constantes,defender idéias, respeitar e compartilhardiferenças.

RECORRER, ELABORAR, RESPEITAR E CONSIDERAR

O objetivo da competência V é valorizar apossibilidade de o aluno “recorrerrecorrerrecorrerrecorrerrecorrer aosconhecimentos desenvolvidos na escolapara elaboraçãoelaboraçãoelaboraçãoelaboraçãoelaboração de propostas deintervenção solidária na realidade,respeitandorespeitandorespeitandorespeitandorespeitando os valores humanos econsiderandoconsiderandoconsiderandoconsiderandoconsiderando a diversidadesociocultural”.

Recorrer significa levar em conta assituações anteriores para definir oucalcular as seguintes até chegar a algoque tem valor de ordem geral. Uma dasconseqüências, portanto, da recorrência ésua extrapolação, ou seja, podermosaplicá-la a outras situações ou encontraruma fórmula ou procedimento quesintetiza todo o processo. Elaborarpropostas, nesse sentido, é uma forma deextrapolação de uma recorrência. Proporsupõe tomar uma posição, traduzir umacrítica em uma sugestão, arriscar-se asair de um papel passivo. Por extensão,acarreta a mobilização de novasrecorrências, tornando-se solidário, issoé, agindo em comum com outras pessoasou instituições. Este agir em comumimplica aprender a respeitar, ou seja,considerar o ponto de vista do outro,

articular meios e fins, pensar e atuarcoletivamente.

A sociedade contemporânea diferencia-se de outras épocas por suastransformações contínuas em todos ossetores. Dessa maneira, as mudançassociais, políticas, econômicas, científicase tecnológicas de hoje se fazem comuma rapidez enorme, exigindo dohomem atualizações constantes. Nãomais é possível que solucionemos osproblemas apenas recorrendo aosconhecimentos e à sabedoria que ahumanidade acumulou ao longo dostempos, pois estes muitas vezes semostram obsoletos. A realidade nosimpõe hoje a necessidade de criar novassoluções a cada situação queenfrentamos, sem que nos pautemosapenas por esses saberes tradicionais.

Por essas razões, elaborar propostas éuma competência essencial, à medidaque ela implica criar o novo, o atual.Mas, para criar o novo, é preciso que osujeito saiba criticar a realidade,compreender seus fenômenos,comprometer e envolver-se ativamentecom projetos de natureza coletiva. Valedizer que tal competência exige acapacidade do sujeito exercerverdadeiramente sua cidadania, agindosobre a realidade de maneira solidária,envolvendo-se criticamente com osproblemas da sua comunidade, propondonovos projetos e participando dasdecisões comuns.

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III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA

Este texto tem a finalidade decontribuir para o trabalho deprofessores e especialistas emEducação de Jovens e Adultos. Eleestá organizado em duas partes.

Inicialmente apresentamos algunselementos sobre o conhecimentomatemático e seu papel na formação docidadão do novo milênio, para, emseguida, relacionar essa reflexão àformulação das diferentes competênciasque devem ser constituídas por umjovem ou adulto ao final do EnsinoFundamental.

Como aprender Matemática é um direitobásico desses jovens e adultos, a linhaorientadora deste trabalho evidencia opapel dessa área de conhecimento naformação de todas as pessoas, atendendoa suas necessidades individuais e sociais.

Sabemos que a falta de recursos paraobter e interpretar informações impede aparticipação efetiva e a tomada dedecisões em relação aos problemassociais e dificulta o acesso às posições detrabalho numa sociedade que depende

cada vez mais do conhecimentotecnológico. Explicitar essa necessidadeé uma das contribuições deste material.

A proposta de construção autônoma deconhecimentos por estudantes, com ou sema interferência da escola, nos remete ao queDowbor (1994) aponta comotransformações significativas em termos dochamado “espaço do conhecimento” quecaracteriza sociedades contemporâneas:

• é necessário repensar de forma maisdinâmica a questão do universo deconhecimentos a trabalhar;

• neste universo de conhecimentos,assumem maior importância relativa àsmetodologias, reduzindo-se ainda maisa dimensão “estoque” de conhecimentosa transmitir;

• aprofunda-se a transformação dacronologia do conhecimento: a visão dehomem que primeiro estuda, depoistrabalha e depois se aposenta, torna-secada vez mais anacrônica e acomplexidade das diversas cronologiasaumenta;

A Matemática no Ensino FundamentalCélia Maria Carolino Pires

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Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental

• modifica-se profundamente a função doeducando, em particular do adulto, comosujeito da própria formação diante dadiferenciação da riqueza dos espaços deconhecimento nos quais deverá participar;

• a luta pelo acesso aos espaços deconhecimento vincula-se ainda maisprofundamente ao resgate da cidadania ,em particular para a maioria pobre dapopulação, como parte integrante dascondições de vida e de trabalho;

• finalmente, longe de tentar ignorar astransformações, ou de atuar de formadefensiva, precisamos penetrar nasnovas dinâmicas para entender sob queforma os seus efeitos podem serinvertidos, levando a um processoreequilibrador da sociedade, ao passoque hoje apenas reforçam aspolarizações e desigualdades(Dowbor, p.119).

MATEMÁTICA, OS JOVENS E OS ADULTOS

As pessoas e os grupos sociais têm o

direito de serem iguais quando a

diferença os inferioriza e o direito de

serem diferentes quando a igualdade os

descaracteriza.(Santos, 1988)

Quando se discute a educaçãomatemática e sua apropriação por jovense adultos com pouca escolarização, aafirmação acima é bastanteesclarecedora, pois:

• jovens e adultos têm direito de seapropriar de conhecimentosmatemáticos para não seremdiscriminados, inferiorizados;

• jovens e adultos têm o direito de seapropriar de conhecimentosmatemáticos, de forma coerente e

compatível com os saberes queconstruíram ao longo de sua vivência.

Assim, a Matemática a ser ensinada eavaliada deve ter, por um lado, umcaráter prático, na medida em que ajudaa resolver problemas do cotidiano daspessoas, não só permite que não sejamenganadas, mas também possibilita oexercício de sua cidadania. Por outrolado, também deve contribuir para odesenvolvimento do raciocínio, dalógica, da coerência, o que transcendeos aspectos práticos.

Quanto maiores forem a gama e adiversidade de conhecimentos trabalhadospor jovens e adultos, maior poderá ser asua compreensão da Matemática. Dessemodo, diferentes campos da Matemáticadevem integrar, de forma articulada, asatividades e experiências matemáticas emqualquer projeto educativo. Não apenas asquestões aritméticas e algébricas devemmerecer atenção, mas também sãofundamentais os trabalhos geométricos emétricos e os trabalhos que envolvem oraciocínio combinatório, o probabilístico eas análises estatísticas.

Essa população deve compreender aatividade matemática como inserida nomundo contemporâneo ao trabalhar comestimativa tanto quanto com cálculosexatos, ao fazer bom uso dosequipamentos tecnológicos (como porexemplo, a calculadora), ao explorar ocálculo mental e dominar procedimentospara a validação de resultados etc. Issopressupõe superar formas de trabalhoempobrecedoras em que se manipulamresultados, fórmulas, regras, na resoluçãomecânica de exercícios padronizados.

Aspectos importantes, especialmentepara jovens e adultos que nãoconcluíram o ensino fundamental, são a

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seleção e a organização de informaçõesrelevantes. Num mundo em que há umagrande massa de informações, algumascontraditórias, outras pouco relevantes, énecessário que o cidadão consiga fazeruma triagem e uma avaliação constantes.

Outro aspecto fundamental é o uso dalíngua materna e de suas relações com alinguagem e as representaçõesmatemáticas. Os textos matemáticossão, geralmente, os grandes ausentesnos estudos dessa disciplina. Assim, éimportante que esses jovens e adultospossam ler e escrever pequenos textosrelatando suas conclusões, justificandoas hipóteses que levantam - nãoimporta se de forma correta ou não.

Também o auto-conceito que cadapessoa faz de sua “capacidadematemática” é um dos fatoresrelevantes do sucesso ou do fracasso desua aprendizagem. Por esse motivo, énecessário que os estudantes percebamque são capazes de resolver problemas,de raciocinar, como fazem,cotidianamente, na sua luta pelasobrevivência, e que relacionem suasestratégias de solução com as propostaspelas formas canônicas da matemática.

Finalmente, o significado daMatemática para um jovem ou umadulto deve ser ampliado para que elecompreenda que o mesmo resulta deconexões entre os diferentes temasmatemáticos e as demais áreas doconhecimento e as situações docotidiano.

Assim, o estabelecimento de relações éfundamental para que o estudantecompreenda efetivamente os conteúdosmatemáticos, pois, abordados de formaisolada, eles não se tornam umaferramenta eficaz para resolver

problemas e para a aprendizagem/construção de novos conceitos.Perrenoud explicita essa idéia.

A supremacia do conhecimentofragmentado de acordo com asdisciplinas impede freqüentemente quese opere o vínculo entre as partes e atotalidade, e deve ser substituída por ummodo de conhecer capaz de apreender osobjetos em seu contexto, suacomplexidade, seu conjunto.

Para dimensionar o papel da Matemáticana formação de um jovem ou de umadulto é importante que se discuta, deum lado, a natureza desse conhecimento,suas características principais e seusmétodos particulares; de outro, éfundamental discutir suas articulaçõescom outras áreas de conhecimento esuas efetivas contribuições para aformação da cidadania e para aconstituição de sujeitos daaprendizagem.

MATEMÁTICA: A NATUREZA DE

UM CONHECIMENTO MILENAR

A Matemática compõe-se de umconjunto de conceitos e procedimentosque engloba métodos de investigação eraciocínio, formas de representação ecomunicação. Compõem-na tanto osseus modos próprios de compreender,atuar, organizar e indagar o mundo,construídos historicamente, como oconhecimento gerado nesses processosde interação do homem com oscontextos naturais, sociais e culturais.

A Matemática tem sido consideradamuitas vezes como um corpo deconhecimento imutável e verdadeiro, quedeve ser assimilado pelo sujeito. Noentanto, ela é uma ciência viva, tanto nocotidiano dos cidadãos, como nos

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centros de pesquisa ou de produção denovos conhecimentos, os quais têm-seconstituído instrumentos úteis nasolução de problemas científicos etecnológicos, em diferentes áreas doconhecimento. Jovens e adultos precisamde informações adequadas que lhespermitam conceber a Matemática dessaforma, para encará-la sem medo e sem ospreconceitos tão comuns. Eles podemconstruir uma relação mais rica com oconhecimento matemático na medida emque descobrirem que a Matemática seaplica às mais variadas atividadeshumanas – das mais simples utilizaçõesna vida cotidiana às mais complexaselaborações de outras ciências.

É interessante observar que, mesmo entrematemáticos, nem sempre há consensoquanto à natureza do conhecimento daárea. A esse respeito, podemos destacar oque Davis & Hersh (1986) apresentamsobre os dogmas-padrão presentes emqualquer discussão sobre os fundamentosda matemática, ou seja, o Platonismo, oFormalismo e o Construtivismo.

Segundo o Platonismo, os objetosmatemáticos são reais. Sua existência éfato objetivo, totalmente independentede nosso conhecimento sobre eles. Estesobjetos não são, naturalmente, físicos oumateriais. Existem fora do espaço e dotempo da experiência física. Sãoimutáveis - não foram criados e nãomudarão ou desaparecerão. CitandoThom (1971), adepto entusiasta doplatonismo, aqueles autores destacam aseguinte afirmação:

Levando tudo em conta, os matemáticosdeveriam ter a coragem de suasconvicções mais profundas ao afirmarassim que as formas matemáticas têm,com efeito, uma existência que é

independente da mente que ascontempla. No entanto, a qualquertempo, os matemáticos têm somenteuma visão incompleta e fragmentáriadeste mundo das idéias (ibid, p. 360).

Já para o Formalismo, não há objetosmatemáticos. A Matemática consistesomente de axiomas, definições eteoremas, em outras palavras, fórmulas.Em uma visão extrema, existem regraspor meio das quais se deduz umafórmula da outra, mas as fórmulas nãose referem à coisa alguma, eles sãosomente cadeias de símbolos.

Se por um lado, formalistas e platonistasestão em extremos opostos do problemada existência e da realidade, por outro,ambos não discutem por que osprincípios de raciocínio deveriam seradmissíveis na prática matemática.Opostos a ambos estão os construtivistasque consideram matemática genuínasomente o que pode ser obtido por umaconstrução finita.

Há, portanto, maneiras diferentes econtroversas no que diz respeito ao quevêm a ser a matemática e o pensamentomatemático. Evidentemente, também nãohá concordância absoluta quando sediscutem propostas para o ensino e aaprendizagem dessa disciplina.

A ATIVIDADE MATEMÁTICA COMO CRIAÇÃO,PRODUÇÃO, FABRICAÇÃO

Em parte significativa da produçãodidática para o ensino de Matemática,podem-se perceber alguns consensos.

Em primeiro lugar, a atividadematemática da sala de aula passa a servista não mais como o olhar e odesvelar, mas como a criação, aprodução, a fabricação.

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Em segundo lugar, os conceitosmatemáticos não são mais entendidoscomo sendo transmitidos hereditariamente,como dom, ou socialmente, como capitalcultural, mas, sim, como o resultado de umtrabalho do pensamento – o dosmatemáticos, no curso da história, e o doaluno, no curso de sua aprendizagem.

Um outro aspecto que agrega um grandenúmero de adeptos refere-se aocompromisso com a democratização doensino dessa disciplina, o que supõe orompimento com uma concepção elitistade um universo matemático que existiriaem si mas que só seria acessível aalgumas pessoas. Hoje se pensa aatividade matemática como um trabalhoacessível a todos, desde que se atendamcertas orientações pedagógicas.

Há, atualmente, uma grande preocupaçãono sentido de desfazer dois mitos: oprimeiro, do tipo biológico/genético,segundo o qual “Matemática é algo paraquem tem dom”, para quem égeneticamente dotado de certas qualidades;outro, do tipo sociológico, segundo o qual épreciso ter um capital cultural para atingir ouniverso matemático.

Contrapor o “trabalho” à dupla “dom/capital” é um desafio a que se respondepela idéia de que fazer matemática éfundamental. Isso significa não maisreceber coisas prontas para memorizar, esim desenvolver um trabalho em que opensamento constrói conceitos. Aoresolver problemas partindo de conceitosjá construídos, levantando hipóteses,testando-as, fazendo transferências, é queos conceitos matemáticos se constroem.

Nesse contexto, as investigaçõespredominantes hoje são as que buscam,de um lado, explicações sobre os

processos pelos quais os conceitosmatemáticos se formam e sedesenvolvem, fornecendo o quadro dascaracterísticas próprias da atividadematemática na história. De outro lado,buscam a compreensão dos processosgerais do pensamento presentes naconstrução do conhecimentomatemático de cada indivíduo.

Desse modo, quer na explicitação daformação histórica dos conceitos eprocessos matemáticos, de suascontradições, rupturas, reestruturações,do desenvolvimento e interrelações dosvários campos da matemática, quer naexplicação da formação dos conceitospelos indivíduos, a presença daEpistemologia no campo da Didática daMatemática fica patente e mostra quesão dois campos inseparáveis emqualquer reflexão sobre o ensino.

Ainda sobre essa questão, Charlot(1987) considera que as concepçõestradicionais de aprendizagem daMatemática baseavam-se em umconjunto de crenças que resume daseguinte forma:

O matemático revela as verdades e oprofessor deve dirigir o ‘olhar da alma’do estudante para essas verdades. Emconseqüência, o que o professor retirada atividade do matemático não é maisa atividade, ela mesma, que muito maisfreqüentemente ele próprio ignora, ouquando não silencia, mas são osresultados dessa atividade, os teoremas,as demonstrações, as definições, osaxiomas. O professor é também levado asupervalorizar a forma na qual essesresultados são apresentados.

De acordo com as tendências maisrecentes, o rigor de pensamento e a

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correção do vocabulário não se colocamcomo exigências impostas ao estudante.Eles continuam sendo um dos objetivosessenciais da aprendizagem matemática,mas adquirem novos contornos: o rigor,em si mesmo não faz sentido, ou seja,espera-se que o estudante possa usar alinguagem matemática não de formaarbitrária mas como uma necessidade dequem deseja comunicar os resultados desua atividade e também defendê-losdiante das contestações.

Outro aspecto relevante econstantemente reforçado é o de que oponto de partida da atividadematemática não é a definição, mas oproblema. Esse problema não écertamente um exercício em que o alunodeve aplicar, de forma quase mecânica,uma fórmula ou um procedimento.Espera-se que o aluno possa enfrentar oproblema interpretando-o e estruturandoa situação em que é apresentado. Alémdisso, é preciso que ele não só encontrerespostas para uma questão mas tambéme, principalmente, saiba formular aquestão pertinente quando se encontradiante de uma situação problemática.

A recompensa de um problema resolvidonão é apenas a sua solução, mas asatisfação do indivíduo em resolvê-lopor seus próprios meios, é a imagemque ele pode ter de si mesmo, comoalguém capaz de resolver problemas, defazer matemática, de aprender.Portanto, importa também que o alunoforme uma imagem positiva de si dianteda Matemática, do saber escolar, domundo adulto, do futuro.

Desse modo, destacam-se além dosaspectos psicológicos e culturais, oenfoque social e político, na medida emque se ressalta a importância de

desenvolver nos alunos a capacidade de seposicionar diante das estatísticas, daspesquisas, dos índices, das tabelas, dosgráficos, da utilização da argumentaçãomatemática nos discursos sociais epolíticos, fazendo com que não sejamlevados a conceber a Matemática comoum universo muito particular e inacessível.É, enfim, a aprendizagem matemáticarepousando sobre uma concepção dehomem e de suas relações diante do saber,da cultura, da história e dos outroshomens. Como afirma Santos (1988):

Todo conhecimento é autoconhecimento:a ciência moderna consagrou o homemenquanto sujeito epistêmico masexpulsou-o, tal como a Deus, enquantosujeito empírico. Um conhecimentoobjetivo, factual e rigoroso não tolerava ainterferência dos valores humanos oureligiosos. Foi nessa base que se construiua distinção dicotômica sujeito/objeto.Hoje o objeto é a continuação do sujeito,por outros meios (...). No futuro não setratará tanto de sobreviver como de saberviver. Para isso, é necessária uma outraforma de conhecimento, umconhecimento compreensivo e íntimo quenão nos separe e antes nos unapessoalmente ao que estudamos.

COMPETÊNCIAS E HABILIDADESMATEMÁTICAS EM DISCUSSÃO

As reflexões sobre o conhecimentomatemático, sua natureza, seu papel nasociedade hoje, sua construçãoindividual e coletiva trazem para aeducação de jovens e adultos o desafiode refletir a respeito da colaboração quea Matemática tem a oferecer com vistasà formação da cidadania. Ou seja, suacontribuição para a constituição de

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condições humanas de sobrevivência,para a inserção das pessoas no mundodo trabalho, das relações sociais e dacultura, com o desenvolvimento deposicionamento crítico e propositivodiante das questões sociais.

Nesse sentido, é fundamental quejovens e adultos sejam estimulados aconstruir competências como as queserão destacadas e comentadas a seguir.

1. Compreender a matemática comoconstrução humana, relacionando o seudesenvolvimento com a transformaçãoda sociedade.

A importância da constituição destacompetência tem como justificativa anecessidade de que o conhecimentomatemático seja percebido pelo estudantecomo historicamente construído. Noentanto, não basta o estudantecompreender os fatos históricos. Étambém necessário que ele faça ligações etome como referência os conceitosdecorrentes das vivências pessoais einterações sociais. Jovens e adultos têmconhecimentos bastante diversificados epodem enriquecer a abordagem escolarformulando questionamentos,confrontando possibilidades, propondoalternativas a serem consideradas.

No que se refere à Matemática, muitosjovens e adultos, mesmo com poucaescolarização, dominam noçõesmatemáticas que foram aprendidas demaneira informal ou intuitiva nas suasvivências práticas. Espera-se quepossam ressignificar essas noções,utilizando representações simbólicasconvencionais, e construindo relaçõesmais amplas.

Os estudantes devem reconhecer arelevância dos saberes assim

constituídos, como também relacioná-los à utilização em outros contextosinternos da própria matemática e emproblemas históricos.

O reconhecimento desses saberes éfundamental para compor a malha designificados de muitos conteúdos a seremestudados, embora seja importanteconsiderar que esses significados tambémdevem ser explorados em outroscontextos, como por exemplo, nasquestões internas da própria Matemática eem problemas históricos.

2. Ampliar formas de raciocínio eprocessos mentais por meio de intuição,dedução, analogia e estimativa, utilizandoconceitos e procedimentos matemáticos.

No geral, acredita-se que a Matemática éa ciência do certo ou errado, em queaquilo que conta é saber antecipadamentecomo resolver um dado problema. Aovalorizar a prática dos processosheurísticos de pensamento, pretende-seque o estudante desenvolva a autonomiapara pensar e resolver problemas.

Nas situações gerais de aprendizagem,mas principalmente na EJA, odesenvolvimento dessa competênciadepende do envolvimento do estudanteem processos de raciocínio eargumentação lógica que permitem criaruma cultura positiva em relação àmatemática, muito diferente daquela emque se valorizam apenas procedimentosalgorítmicos e respostas rápidas e certas.

3. Construir significados e ampliar os jáexistentes para os números naturais,inteiros e racionais.

O pensamento numérico é sem dúvidauma das importantes balizas doconhecimento matemático. Dessemodo, é necessário que o sujeito não

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apenas amplie mas também construanovos significados para os númerosnaturais, inteiros e racionais.

Essa ampliação se verifica tanto quandoo estudante realiza a exploração desituações presentes no contexto social,como pela análise de alguns problemashistóricos que motivaram suaconstrução. Espera-se que o alunoconstrua significados numéricosmediante resolução de situações-problema (articuladas ao cotidiano) queenvolvem números naturais, inteiros,racionais, ampliando suas formas deraciocínio. Essa competência refere-setambém à possibilidade que tem o alunode identificar, interpretar e utilizar asdiferentes representações dos númerosnaturais, racionais e inteiros indicadospor diferentes noções.

4. Utilizar o conhecimento geométricopara realizar a leitura, a representaçãoda realidade e agir sobre ela.

A constituição de um pensamentogeométrico a partir de contextos queenvolvam a leitura de guias, plantas emapas e a exploração de conceitos eprocedimentos (tais como direção esentido, ângulo, paralelismo eperpendicularismo, figuras geométricas,relações entre figuras espaciais e suasrepresentações planas, decomposição ecomposição de figuras, transformaçãode figuras, ampliação e redução defiguras) é de enorme importância para oexercício da cidadania.

O estudo do espaço e das formas develevar o estudante à observação, àcompreensão de relações e à utilizaçãodas noções geométricas para resolverproblemas e não à simples memorizaçãode fatos e de um vocabulário específico.

A percepção dos aspectos estéticos dageometria e a sua relação com contextosricos e estimulantes, como os da natureza,da arte e da arquitetura, devempossibilitar o estabelecimento de vínculospositivos entre o aluno e matemática.

5. Construir e ampliar noções de grandezase medidas para a compreensão da realidadee a solução de problemas do cotidiano.Talvez um dos mais férteis assuntospara o estabelecimento de conexõesseja o estudo de grandezas e medidas.Por um lado os estudantes devem, combase em contextos práticos queenvolvam a atividade matemática, usarestratégias de estimativa, de julgamentosobre o grau de exatidão, utilizaçãoadequada de instrumentos específicos(como balanças, relógios, escalímetro,transferidor, esquadro, trenas,cronômetros) e seleção de instrumentose de unidades de medida adequadas àexatidão desejada. Por outro ladodevem estabelecer articulações comoutros temas matemáticos, sejam elesgeométricos, algébricos, numéricos,estatísticos etc.

6. Construir e ampliar noções devariação de grandezas para acompreensão da realidade e a soluçãode problemas do cotidiano.

A idéia de proporcionalidade, ao lado deoutras idéias, como, por exemplo, a deequivalência e a de igualdade,constituem verdadeiros eixosvertebradores do conhecimentomatemático. A proporcionalidadeaparece na resolução de problemasmultiplicativos, nos estudos deporcentagem, de semelhança de figuras,na matemática financeira, na análise detabelas, gráficos e funções.

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Desenvolver a capacidade de analisar anatureza da interdependência de duasgrandezas em situações-problema emque elas sejam diretamenteproporcionais, inversamenteproporcionais, ou não proporcionais éuma competência fundamental pararesolver problemas diversos. Além disso,é também importante saber exploraresses problemas e expressar sua variaçãopor meio de uma sentença algébrica,evidenciando uma das importantesfunções da álgebra.

7. Construir e utilizar conceitos algébricospara modelar e resolver problemas.A abordagem de determinados conceitosfundamentais na construção/aquisição deconhecimentos matemáticos é muitasvezes suprimida ou excessivamenteabreviada sob a alegação de que “nãofazem parte da realidade dos alunos ounão têm uma aplicação prática imediata”.Tal alegação muitas vezes se baseia numavisão estereotipada da “realidade”, dopotencial de jovens e adultos, e numaconcepção reducionista da própriaMatemática, cuja importância parece ficarrestrita à sua “utilidade prática”.

É importante que o conhecimentomatemático construído ao longo da vidade cada pessoa não fique vinculado apenasa um contexto concreto e único, mas quepossa ser generalizado e transferido aoutros contextos. Um conhecimento só épleno se for mobilizado em situaçõesdiferentes daquelas que serviram para lhedar origem, sendo transferível para novassituações, em outras palavras, osestudantes devem perceber que osconhecimentos podem serdescontextualizados, e novamentecontextualizados em outras situações. Paratanto, o desenvolvimento de um

pensamento algébrico pelo estudante éprimordial.

8. Interpretar informações de naturezacientífica e social obtidas da leitura degráficos e tabelas, realizando previsãode tendência, extrapolação,interpolação e interpretação.

No mundo atual, é fundamental que osestudantes compreendam as informaçõesestatísticas representadas de diferentesformas e possam interpretaradequadamente seus significados,permitindo tomar decisões diante dequestões políticas e sociais que dependemda leitura crítica e interpretação de índicesdivulgados pelos meios de comunicação.

9. Compreender conceitos e estratégiase situações matemáticas numéricas paraaplicá-los a situações diversas nocontexto das ciências e da tecnologia eda atividade cotidiana.Saber Matemática, hoje, é cada vez maisnecessário, pois ela se faz presente tantona quantificação do real – contagem,medição de grandezas – como criandosistemas abstratos que organizam, inter-relacionam e revelam fenômenos doespaço, do movimento, das formas e dosnúmeros associados quase sempre afenômenos do mundo físico.

Com o advento das calculadoras ecomputadores que permitem maiorrapidez na realização dos cálculosnuméricos ou algébricos, torna-se cadavez mais ampla a gama de problemasque podem ser resolvidos por meio doconhecimento matemático.

A educação matemática para a cidadaniasupõe tornar os indivíduos capazes deusar metodologias que enfatizem aconstrução de estratégias, a comprovaçãoe justificativa de resultados, a

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criatividade, a iniciativa pessoal, otrabalho coletivo e a autonomia advindada confiança na própria capacidade paraenfrentar desafios.

ALGUMAS CONCLUSÕES

Matemáticos em todo o mundo têmchamado atenção para o fato de que háuma mudança de suas prioridades namedida em que o mundo passa portransformações e as sociedades tomamoutros rumos passando a requerer dosujeito novas competências.

Da mesma forma, educadores matemáticosdevem estar atentos ao fato de que, noensino dessa disciplina, as prioridadestambém mudam. Inovar os currículos, aspráticas, as formas de abordar osconteúdos pode evitar o risco de quejovens e adultos vejam a Matemáticacomo conhecimento alienado edesinteressante.

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A Matemática é uma criação cultural dahumanidade ligada à necessidade de ohomem resolver problemas cotidianos,problemas advindos dodesenvolvimento cultural e tecnológicoe problemas internos à própriaMatemática. É uma ciência que possuium vasto corpo de práticas e conceitosque se mantêm em construção.

Como criação cultural, a Matemática é,em essência, resultado da reflexão dohomem sobre a realidade que permitemelhor compreender essa realidade. Daí,considerar-se como elementospredominantes no conhecimentomatemático, a ser desenvolvido noEnsino Médio, uma maior reflexão sobrefatos reais e a realização de abstraçõesdecorrentes dessas reflexões, de modo agarantir a funcionalidade desseconhecimento.

A posição de que o ensino deMatemática tem como função prepararcidadãos para agir de maneira crítica econsciente em uma sociedade altamentecomplexa é a que prevalece tanto nos

documentos oficiais como entreeducadores matemáticos brasileiros.Passou-se do que ensinar ao comoensinar, bem como ao porquê ensinarem uma perspectiva socioculturalvisando à formação da cidadania:

Defende-se a necessidade de

contextualizar o conhecimento

matemático a ser transmitido, buscar suas

origens, acompanhar sua evolução,

explicitar sua finalidade ou seu papel na

realidade do aluno. É claro que não se

quer negar a compreensão, nem tampouco

desprezar a aquisição de técnicas, mas

ampliar a repercussão que o aprendizado

daquele conhecimento possa ter na vida

social daquele que o aprende.(Fonseca,1995, p. 53)

A contextualização evoca os elementospresentes na vida pessoal, social ecultural mobilizando conhecimentosdisponíveis, possibilitando odesenvolvimento de competências. Anecessidade da contextualização do

A Matemática no Ensino MédioMaria Silvia B. Sentelhas

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Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio

conhecimento matemático coloca emevidência o fato de que muitas dasquestões originárias da Matemáticasurgiram de questões não matemáticas eque parte importante de sua produçãotem utilização em todos os ramos doconhecimento.

Destaca-se a importância de, no ensinoe na avaliação, não tratar a Matemáticade modo isolado e desvinculado dasexigências de ação do sujeito fora daescola. Tanto assim que a Lei 9394/96,que estabelece as diretrizes e bases daEducação Nacional (LDB), ao apresentaras diretrizes específicas para oscurrículos do ensino médio (Art.36,incisos e parágrafos), estabelece ainserção da Matemática na área deCiências da Natureza.

O PARECER CEB 15/98 QUE ESTABELECE AS

DIRETRIZES CURRICULARES NACIONAIS PARA OENSINO MÉDIO EXPLICA ESSA INSERÇÃO:

O agrupamento das ciências da natureza

tem ainda o objetivo de contribuir para a

compreensão do significado da ciência e

da tecnologia na vida humana e social de

modo a gerar protagonismo diante das

inúmeras questões políticas e sociais para

cujo entendimento e solução as ciências

da natureza são uma referência relevante.

A presença da Matemática nessa área se

justifica pelo que de ciência tem a

matemática, pela sua afinidade com as

ciências da natureza, conhecimentos

destas últimas, e finalmente pela

importância de integrar a matemática

com os conhecimentos que lhe são mais

afins. (p. 59)

OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA OENSINO MÉDIO EXPLICITAM A NECESSIDADE DO

TRATAMENTO INTEGRADO DAS DISCIPLINAS DA ÁREA:

Os objetivos do Ensino Médio em cada

área do conhecimento devem envolver,

de forma combinada, o desenvolvimento

de conhecimentos práticos,

contextualizados, que respondam às

necessidades da vida contemporânea, e o

desenvolvimento de conhecimentos mais

amplos e abstratos, que correspondam a

uma cultura geral e a uma visão de

mundo. Para a área das Ciências da

Natureza, Matemática e Tecnologias, isto

é particularmente verdadeiro, pois a

crescente valorização do conhecimento e

da capacidade de inovar demanda

cidadãos capazes de aprender

continuamente, para o que é essencial

uma formação geral e não apenas um

treinamento específico. (MEC, 1998, p. 6)

A contextualização do conhecimentomatemático e o tratamentointerdisciplinar proposto para seu ensino eaprendizagem são imprescindíveis quandose tem por objetivo o desenvolvimento decompetências humanas relacionadas aesse conhecimento, tal como propostopela LDB/96.

A ÁREA MATEMÁTICA NO ENCCEJA

As discussões realizadas pelosproponentes do ENCCEJA quanto àrealização de uma prova, com questões demúltipla escolha, visando a avaliar ascompetências relativas às áreas deconhecimento ou disciplinas quecompõem a educação básica, sempreesbarravam na dificuldade – pelo númeroexcessivo de questões – de se considerarnessa avaliação a área de Ciências daNatureza, Matemática e suas Tecnologias.

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A especificidade própria da Educação deJovens e Adultos (EJA) e os princípiosque norteiam o Exame Nacional deCertificação de Competências de Jovense Adultos – (ENCCEJA) levaram àconstituição da área Matemática, Encceja– Ensino Médio separada da área dasCiências da Natureza. O parágrafo únicodo artigo 5º da Resolução CNE/CBE 1/2000, que estabelece as DiretrizesCurriculares Nacionais da EJA,fundamenta essa alteração:

Parágrafo único: como modalidadedestas etapas da Educação Básica, aidentidade própria da Educação deJovens e Adultos considerará assituações, os perfis dos estudantes, asfaixas etárias e se pautará pelosprincípios de eqüidade, diferença eproporcionalidade na apropriação econtextualização das diretrizescurriculares nacionais e na proposiçãode um modelo pedagógico próprio, demodo a assegurar:

I - quanto à eqüidade, a distribuiçãoespecífica dos componentes curricularesa fim de propiciar um patamarigualitário de formação e restabelecer aigualdade de direitos e de oportunidadesface ao direito à educação;

II - quanto à diferença, a identificação e oreconhecimento da alteridade própria einseparável dos jovens e dos adultos emseu processo formativo, da valorização domérito de cada qual e do desenvolvimentode seus conhecimentos e valores;

III - quanto à proporcionalidade, adisposição e alocação adequadas doscomponentes curriculares face àsnecessidades próprias da Educação deJovens e Adultos com espaços e temposnos quais as práticas pedagógicas

assegurem aos seus estudantesidentidade formativa comum aos demaisparticipantes da escolarização básica.

Esta separação se dá apenas do pontode vista prático para viabilizar arealização das provas pelos alunos. Otratamento dado à área Matemáticanesse projeto respeita e mantém ascaracterísticas propostas nosdocumentos oficiais referentes aoEnsino Médio.

O tratamento de caráter interdisciplinardado neste trabalho procura estimular apercepção da contribuição daMatemática para a compreensão daproblemática ambiental e para odesenvolvimento de uma visãoarticulada do ser humano em seu meionatural como construtor etransformador deste meio. Desse modo,há uma estreita relação entre as áreas deCiências da Natureza, Ciências Humanase Linguagens e Códigos e a visão deformação integral do sujeito. Odesenvolvimento de competências ehabilidades é um meio de proporcionaressa formação integral.

Ao defender a aprendizagem deconteúdos de Matemática articulada como desenvolvimento de competências,assumimos que trabalhar para odesenvolvimento de competências não selimita a torná-las desejáveis propondouma imagem convincente de seupossível uso, nem ensinando a teoria,deixando entrever sua colocação emprática. Trata-se de “aprender, fazendo, oque não se sabe fazer”. (Perrenoud,1999, p. 55)

Consideramos que a resolução deproblemas é a abordagem metodológicaque pode potencializar odesenvolvimento de competências:

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No campo da educação escolar, praticar

mais e mais não é o suficiente. Até no

campo das artes, dos esportes ou dos

ofícios, em que o exercício constante é

indispensável, é preciso confrontar-se

com dificuldades específicas, bem

dosadas, para aprender a superá-las. No

campo dos aprendizados gerais, um

estudante será levado a construir

competências de alto nível somente

confrontando-se, regular e intensamente,

com problemas numerosos que mobilizem

diversos recursos cognitivos.(Parrenoud, 1999, p. 57)

É preciso, no entanto, evitar confusõessobre a noção de problema. Nessaproposta, é considerado problema umasituação que coloca o aprendiz diante deuma série de decisões a serem tomadaspara alcançar um objetivo proposto,devendo oferecer uma resistênciasuficiente de modo que o sujeito invistanão só seus conhecimentos disponíveiscomo também suas representações.

Os problemas também podem sersituações de aprendizagem organizadasde modo a possibilitar a aquisição denovos conhecimentos. Deve ser umproblema imerso em uma situação quelhe dê sentido, não um problemaartificial e descontextualizado:

Os problemas escolares tendem a ser

apresentados, efetivamente, como

enunciados perfeitamente elaborados cujos

textos costumam esconder a problemática

que lhes deu origem. Isso acontece a tal

ponto que poderíamos falar de um autêntico

“desaparecimento” das questões ou das

tarefas reais que originaram as obras

matemáticas estudadas na escola.(Chevallard, Bosch e Gascon, 2001, p. 130)

Os jovens e adultos envolvidos nesseprocesso trazem uma carga deexperiências e de expectativas deinserção ou de ascensão no mercado detrabalho que devem ser consideradas, aose pensar a contextualização dosproblemas. Predomina neste trabalho ocontexto de vivência cotidiana damaioria das pessoas. Aproveitamos o queaprenderam no convívio da família, nosagrupamentos sociais, com a televisão ecom outros meios de comunicação paracolocar em relevo as ações de cunhomatemático que ocorrem no cotidianodas pessoas. Da valorização dessessaberes partimos para uma proposta emque são possibilitadas ao sujeitomelhores condições de decodificar,analisar o que os meios de comunicaçãoe as demais instâncias ensinam.

Colocamos em relevo a relaçãopragmática com o saber, seu usoimediato prevalece sobre a organizaçãometódica dos conhecimentos.Entendemos que esse é um modo daMatemática contribuir para a inserção dojovem ou adulto na sociedade que omarginalizou porque, para essasociedade, não dispunha decompetências para participar de seuprocesso produtivo.

Nessa ótica, procuramos evidenciar aimportância de se desenvolver oconhecimento matemático, ligando-o auma verdadeira necessidade de suautilização para responder a questões oupara realizar tarefas exigidas pelasociedade complexa na qual estamosinseridos.

É preciso mudar radicalmente o pontode vista: sair da 3ª série do 2º grau(especialmente do interesse real oupresumido dos alunos que vão fazer um

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curso técnico ou, então cursossuperiores de “exatas”) para se pôr nolugar dos alunos que deixam a escola,por uma razão ou por outra, antes dechegar até lá, coisa que ocorre com 88%dos que ingressam juntos na escola acada ano. Para essa imensa maioria, énecessário que a Matemática tenhaaplicação prática e que esta seja tãoimediata e diretamente percebidaquanto possível, como, aliás, oaprendizado da leitura e da escrita.(Cunha, 1993, p. 181)

No entanto, ressaltamos que o ensino ea aprendizagem de Matemática, naEducação de Jovens e Adultos do EnsinoMédio, mesmo que envolvidos com arealidade, não devem prescindir dereflexões, abstrações e definições.

COMPETÊNCIAS DA ÁREA

As nove competências de área indicamos conhecimentos matemáticos a seremavaliados nas provas do ENCCEJA.

1. Compreender a Matemática comoconstrução humana, relacionando seudesenvolvimento com a transformaçãoda sociedade.

O reconhecimento da evolução dosregistros e conhecimentos matemáticosusados nas soluções de problemas que ohomem enfrentou em seu cotidiano desdeo início de sua história e a identificaçãodo conteúdo matemático que permitiu suasolução e como esse conteúdo é aplicadonas situações cotidianas de nosso tempo,é um modo de avaliar essa competência.Em situações propostas o estudante devesaber identificar e interpretar, a partir daleitura de textos apropriados, diferentesregistros do conhecimento matemático aolongo do tempo, e, também, identificar o

recurso matemático utilizado pelohomem, ao longo da história, paraenfrentar e resolver problemas.

A contribuição da Matemática nodesenvolvimento de outras áreas doconhecimento, sempre que ahumanidade tem seu interesse voltadopara o estudo dos fenômenos queobserva ocorrerem ao seu redor, tambémdeve ser avaliada, bem como questõesque surgiram dentro da própriaMatemática que impulsionaram seudesenvolvimento e de outras áreas,permitindo ao estudante reconhecer acontribuição da Matemática nacompreensão e análise de fenômenosnaturais, e da produção tecnológica aolongo da história.

Situações-problema em que se valoriza autilização de conteúdos matemáticoscomo recurso para a argumentação eviabilização de intervenção nacomunidade permitem que se identifiquea Matemática como importante recursopara a construção de argumentação eque se reconheça, a partir da leitura detextos apropriados, a importância daMatemática na elaboração de propostade intervenção solidária na realidade.

2. Ampliar formas de raciocínio eprocessos mentais por meio de indução,dedução, analogia e estimativa, utilizandoconceitos e procedimentos matemáticos.A importância dessa competência naatividade matemática reside na habilidadede formular hipóteses e conjecturas paradepois examinar sua validade e, senecessário, reformulá-las. Trata-se deraciocinar com o provável paradesenvolver o pensamento matemáticoplausível. Este complementa o raciocíniodedutivo que utiliza leis lógicas parademonstrar resultados matemáticos.

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Para avaliar essa competência algumassituações são apresentadas com oobjetivo de verificar se o estudanteutiliza procedimentos matemáticos emdiferentes circunstâncias, de modo aidentificar e interpretar conceitos eprocedimentos matemáticos expressosem diferentes formas.

Outras situações são propostas parapermitir ao estudante utilizar conceitos eprocedimentos matemáticos paraexplicar fenômenos ou fatos docotidiano.

O emprego de procedimentosmatemáticos na construção deraciocínios pode ser avaliado pelahabilidade do estudante em utilizarconceitos e procedimentos matemáticospara construir formas de raciocínio quepermitam aplicar estratégias para aresolução de problemas.

Destacando-se a diferença entre asconclusões obtidas de modo formal emMatemática e as conclusões e decisõesdo cotidiano que são aceitáveis,possibilita-se a avaliação da habilidadede identificar e utilizar conceitos eprocedimentos matemáticos naconstrução de argumentação consistente.

Situações-problema de realidadecotidiana permitem aferir a habilidadedo estudante em reconhecer a adequaçãoda proposta de ação solidária, utilizandoconceitos e procedimentos matemáticos.

3. Construir significados e ampliar os jáexistentes para os números naturais,inteiros, racionais e reais.

O uso cotidiano dos números deve seravaliado na forma como são expressosnas situações socioculturais. O objetivoé verificar se o aluno sabe identificar,interpretar e representar os números

naturais, inteiros, racionais e reais.

O conhecimento que as pessoasadquirem ao resolverem os problemasque se apresentam em diferentessituações da atividade humana deve serampliado. Situações nas quais acompreensão dos conceitos e dasrelações envolvidas e a identificação deregularidades possibilitam construir eaplicar conceitos de números naturais,inteiros, racionais e reais, para explicarfenômenos de qualquer natureza, sãoadequadas para verificar essa ampliação.

Da análise de experiências práticasemergem noções intuitivas dos númerose suas operações. A familiaridade doestudante com diferentes representaçõesdos números pode levá-lo a perceberqual é mais adequada para expressar umresultado, evitando-se desenvolver umtratamento exclusivamente formal. Noentanto, a verificação da irracionalidadede um dado número só é possível noâmbito da própria Matemática. Nenhumaverificação empírica, nenhuma mediçãode grandezas, por mais precisa que seja,provará que uma medida tem valorirracional. Porém, para o número p, umadiscussão sobre a razão entre ocomprimento de uma circunferência eseu diâmetro é uma possibilidade deconduzir o leitor na interpretação desseresultado. Com essa abordagem o que sebusca verificar é se o aluno sabeinterpretar informações e operar comnúmeros naturais, inteiros, racionais ereais, para tomar decisões e enfrentarsituações-problema.

Situações de estimativa ou deenquadramento de resultados são umaforma de desenvolver e avaliar ahabilidade de utilizar os números

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naturais, inteiros, racionais e reais, naconstrução de argumentos sobreafirmações quantitativas de qualquernatureza. Discussões nas quais ascomparações numéricas são destacadaspossibilitam a compreensão de expressõescomo “os números falam por si”.

Diversos problemas que a humanidadeenfrenta hoje são quantificados eapresentados numericamente. A análise deproblemas dessa natureza a partir daavaliação dos números envolvidos é umaforma de se indicar ao estudante qual podeser sua ação no sentido de contribuir paraa alteração da situação estudada. Dessemodo, propõe-se a verificação dodesenvolvimento da habilidade: recorrer àcompreensão numérica para avaliarpropostas de intervenção frente aproblemas da realidade.

4. Utilizar o conhecimento geométricopara realizar a leitura e a representaçãoda realidade, e agir sobre ela.

A quarta competência da área refere-seao uso de formas e propriedadesgeométricas na representação evisualização de partes do mundo em queestamos inseridos. Também se refere àcompreensão e ampliação da percepçãodas relações existentes entre situaçõesque rotineiramente vivemos e ageometria, cujos argumentos justificamalguns usos e costumes adquiridos. Aconstrução de modelos é um dosrecursos que se tem para interpretarquestões e visualizar soluções. O objetivoé avaliar se o estudante sabe identificare interpretar fenômenos de qualquernatureza expressos em linguagemgeométrica e construir e identificarconceitos geométricos no contexto daatividade cotidiana.

O reconhecimento de semelhanças entreobjetos do mundo real com os entesgeométricos, a percepção das relaçõesentre representações planas e os objetosque lhes deram origem e suaspropriedades a partir dessasrepresentações são essenciais para aleitura do mundo. Ações envolvendoessas relações permitem ao estudanteinterpretar informações e aplicarestratégias geométricas na solução deproblemas do cotidiano. Além disso, oconhecimento de propriedades dos entesgeométricos fornece segurança nasjustificativas das soluções. Asjustificativas são o ponto chave dasdiscussões realizadas sobre as soluçõesdos problemas propostos. Essa é umaforma de se aquilatar se o estudanteutiliza conceitos geométricos na seleçãode argumentos propostos como soluçãode problemas do cotidiano.

Outro objetivo dessa competência é ode indicar como a geometria pode serútil na solução de problemas docotidiano das pessoas, não importandoa comunidade a que pertençam. Seuestudo pode fornecer os elementosnecessários para uma intervenção narealidade de modo a melhorar ascondições de vida das pessoas e, assim,poder recorrer a conceitos geométricospara avaliar propostas de intervençãosobre problemas do cotidiano.

5. Construir e ampliar noções degrandezas e medidas para acompreensão da realidade e a soluçãode problemas do cotidiano.

Nesta competência valoriza-se o fato deque as medidas quantificam grandezasdo mundo físico, e que conhecê-las esaber tratar por meio delas as situações

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abundantes em nossa sociedade é defundamental importância.

Para utilizar bem as medidas énecessário que a pessoa saiba recorrer aregistros das diversas unidades quepodem ser úteis no cotidiano, de modo aidentificar e interpretar registros de talmodo que a notação convencional demedidas possa ser desenvolvida.

As possibilidades de integração daMatemática com outras áreas do ensinosão muitas quando se trata do assuntograndezas e medidas. As grandezas defenômenos físicos ou sociais comodensidade, velocidade, energia elétrica,densidade demográfica, escalas de mapase guias são exemplos dessaspossibilidades. Resolver situações-problema dessa natureza permiteestabelecer relações adequadas entre osdiversos sistemas de medida. Arepresentação de fenômenos naturais edo cotidiano são fundamentais para asua interpretação.

Situações em que o sujeito escolhe aunidade de medida mais adequada paracada grandeza considerada, em quetenha de estabelecer relações entre asmedidas fornecidas e operar com essasmedidas são as que possibilitam avaliarse ele sabe selecionar, compatibilizar eoperar com informações métricas dediferentes sistemas ou unidades demedida na resolução de problemas docotidiano.

A exploração dos significados e usosadequados de diferentes formas demensuração, inclusive as nãopadronizadas, em situações de tomadade decisão e justificativas de escolha,permitem verificar a habilidade deselecionar e relacionar informações

referentes a estimativas ou outrasformas de mensuração de fenômenos dequalquer natureza com a construção deargumentação que possibilitem suacompreensão.

Outro aspecto fundamental no trabalhocom medidas é o de colocar o estudanteem situação na qual com o emprego demedidas e estimativas delas decorrentesele possa vislumbrar possibilidades deinterferir na realidade para modificá-la,ou seja, reconhecer propostasadequadas de ação sobre a realidade,utilizando medidas e estimativas.

6. Construir e ampliar noções devariação de grandeza para acompreensão da realidade e a soluçãode problemas do cotidiano.Comparações de grandezas como ospreços no supermercado, os ingredientesde uma receita, a velocidade média e otempo são muito comuns em nosso dia-a-dia. Situações-problema desse tipo sãoapresentadas de modo a permitir aoestudante estabelecer comparações eperceber que existem formas de se prevera variação de uma das grandezas seconhecermos o comportamento de outra.Outras situações são propostas para usode porcentagens. Essas situaçõespermitem verificar se o estudanteidentifica grandezas direta einversamente proporcionais, interpreta anotação usual de porcentagem, identificae avalia variações de grandezas paraexplicar fenômenos naturais, processossocioeconômicos e da produçãotecnológica.

Problemas de contexto variadoenvolvendo grandezas de diversasnaturezas, direta ou inversamenteproporcionais, têm o objetivo de

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ampliar a percepção do estudante sobreas diferentes situações nas quais essesconceitos são aplicados e, com isso,avaliar o desenvolvimento da habilidadede resolver problemas envolvendograndezas direta e inversamenteproporcionais e porcentagem.

Para compreender, avaliar e decidirsobre algumas situações da vidacotidiana, tais como qual a melhorforma de pagar uma compra ou deescolher um financiamento, é necessárioconhecimento de juros simples ecompostos. Problemas com essescontextos devem ser apresentados com oobjetivo de verificar se o aluno sabeutilizar esses conhecimentos para agircom segurança em situações semelhantesque venha a viver. Esses problemaspossibilitam ainda avaliar se ele sabeidentificar e interpretar variaçõespercentuais de variável socioeconômicaou técnico-científica como importanterecurso para a construção deargumentação consistente.

O conhecimento de cálculos comporcentagem e de relações entre grandezasé um recurso bastante poderoso em nossasociedade. Para avaliar isso pode serinteressante apresentar ao aluno situaçõesem que deve analisar dados e informaçõesreais, verificando se percebe suaimportância como elemento participativoda comunidade.

7. Aplicar expressões analíticas paramodelar e resolver problemas,envolvendo variáveis socioeconômicasou técnico-científicas.

Partindo de situações vividas pelamaioria das pessoas, busca-se darsignificado à linguagem e às idéiasmatemáticas. Situações-problemavariadas vão permitir observar se o

estudante reconhece diferentes funçõesda álgebra e sabe, assim, modelar eresolver problemas utilizando equações einequações com uma ou mais variáveis.

A percepção da possibilidade derepresentar fenômenos na forma algébricae na forma gráfica é colocada emdestaque. O uso de representaçõesgráficas em problemas de localização éexplorado como um conhecimento jáadquirido para se partir para asrepresentações analíticas em Matemática.A partir de discussões sobre a leituradessas representações é possível avaliar seo estudante é capaz de identificar einterpretar representações analíticas deprocessos naturais ou da produçãotecnológica e de figuras geométricascomo pontos, retas e circunferências, oque constitui uma habilidade fundamentalnão só para a Matemática como tambémpara as áreas de Ciências Humanas e deCiências da Natureza.

Com situações-problema bastantediversificadas o estudante podedesenvolver a capacidade de integrar osconhecimentos relativos às tabelas,expressões algébricas e representaçõesanalíticas e, por esse meio, indicar secompreende o significado e sabe realizaroperações com o uso dessas ferramentas.

Problemas nos quais o estudante possaexpressar-se de forma gráfica ou escrita,nos quais valoriza a precisão dalinguagem matemática e oreconhecimento de representaçõesequivalentes de um mesmo conceito,relacionando procedimentos associadosàs diferentes representações, são ummodo de avaliar a utilização damodelagem analítica como recursoimportante na elaboração deargumentação consistente.

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Situações nas quais o estudantenecessita interpretar informaçõesutilizando-se de ferramentas analíticaspara formar uma opinião própria que lhepermita expressar-se criticamente sobreproblemas da atualidade permitem aferiro desenvolvimento da habilidade deavaliar, com auxílio de ferramentasanalíticas, a adequação de propostas deintervenção na realidade.

8. Interpretar informações de naturezacientífica e social obtidas da leitura degráficos e tabelas, realizando previsãode tendência, extrapolação,interpolação e interpretação.Situações-problema cujo contexto estáem estreita relação com o todo social ecultural da maioria das pessoas sãousadas para situar a linguagem dastabelas e gráficos apresentados comoinstrumentos de expressão e raciocínio,favorecendo a verificação dodesenvolvimento das habilidades dereconhecer e interpretar as informações,de natureza científica ou social,expressas em gráficos ou tabelas.

A leitura e interpretação das informaçõescontidas nas tabelas e gráficos serve comoinstrumentos de elaboração e compreensãode estimativas e de previsão. Issopossibilita que a habilidade de identificarou inferir aspectos relacionados afenômenos de natureza científica ou social,a partir de informações expressas emgráficos ou tabelas, seja avaliada. Tambémpermite observar se o aluno sabe retirardos gráficos ou tabelas as informaçõespertinentes ao problema proposto,indicando, assim, que sabe selecionar einterpretar informações expressas emgráficos ou tabelas para a resolução deproblemas.

A análise de dados de situações reaisapresentados em gráficos e tabelas como intuito de interpretar, criticar e preverresultados, além de ser um modo deaplicar conhecimentos e métodosmatemáticos em situações reais,possibilita o desenvolvimento dahabilidade de analisar o comportamentode variável, expresso em gráficos outabelas, como importante recurso para aconstrução de argumentaçãoconsistente. Essa análise crítica e acapacidade de inferir e prever resultadostambém possibilitam ao estudanteavaliar, com auxílio de dadosapresentados em gráficos ou tabelas, aadequação de propostas de intervençãona realidade.

9. Compreender o caráter aleatório e nãodeterminista dos fenômenos naturais esociais, e utilizar instrumentosadequados para medidas e cálculos deprobabilidade, para interpretarinformações de variáveis apresentadasem uma distribuição estatística.

O cidadão comum se vê hoje imerso emuma enorme quantidade de informaçõesde natureza estatística ou probabilística,difundidas em grande escala pelos meiosde comunicação. Desenvolver habilidadesque permitam ao estudante ler, interpretare saber utilizar-se desses recursos torna-seimprescindível a uma educação quepretende inseri-lo na sociedade comomembro atuante. Nessa competência, assituações-problema propostas valorizamdiscussões sobre o caráter aleatório dosfenômenos para possibilitar ao alunoidentificar, interpretar e produzir registrosde informações sobre fatos ou fenômenosde caráter aleatório. Diferentes fenômenosdevem ser analisados quanto a sua chance

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de ocorrência, nas condições propostas,de modo que o aluno aplique as idéias deprobabilidade e análise combinatória afenômenos naturais e do cotidiano epossa resolver problemas envolvendoprocessos de contagem, medida e cálculode probabilidades.

Situações que envolvam grandequantidade de dados exigem doestudante inferências e predições. Daí, éimportante avaliar se ele sabecaracterizar ou fazer inferências sobreaspectos relacionados a fenômenos denatureza científica ou social, a partir deinformações expressas por meio de umadistribuição estatística.

Técnicas e raciocínios estatísticos sãoempregados como instrumentos deanálise de distribuição estatística pararealizar inferências e previsões fazendouma avaliação crítica dos resultados.Desse modo, pode-se observar se oaluno sabe analisar o comportamento de

variável, expresso por meio de umadistribuição estatística, comoimportante recurso para a construção deargumentação consistente. Por outrolado, essas técnicas e raciocíniosestatísticos são, sem dúvida,instrumentos tanto das Ciências daNatureza quanto das Ciências Humanasque, cada vez mais, se utilizam, emquestões do mundo real, de dadosapresentados na forma de distribuiçãoestatística. O domínio desseconhecimento é fator imprescindívelpara que um cidadão possa desenvolvera habilidade de avaliar, com auxílio dedados apresentados em distribuiçõesestatísticas, a adequação de propostasde intervenção na realidade.

As competências propostas para essacertificação possibilitam ao jovem ouadulto atuar na sociedade tendo aMatemática como instrumento demediação.

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IV. As matrizes que estruturam as avaliações

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CI - Dominar a norma cultaCI - Dominar a norma cultaCI - Dominar a norma cultaCI - Dominar a norma cultaCI - Dominar a norma cultada Língua Portuguesa e fazerda Língua Portuguesa e fazerda Língua Portuguesa e fazerda Língua Portuguesa e fazerda Língua Portuguesa e fazer

uso das linguagensuso das linguagensuso das linguagensuso das linguagensuso das linguagensmatemática, artística ematemática, artística ematemática, artística ematemática, artística ematemática, artística e

científica.científica.científica.científica.científica.

CII - Construir e aplicarCII - Construir e aplicarCII - Construir e aplicarCII - Construir e aplicarCII - Construir e aplicarconceitos das várias áreas doconceitos das várias áreas doconceitos das várias áreas doconceitos das várias áreas doconceitos das várias áreas do

conhecimento para aconhecimento para aconhecimento para aconhecimento para aconhecimento para acompreensão de fenômenoscompreensão de fenômenoscompreensão de fenômenoscompreensão de fenômenoscompreensão de fenômenos

naturais, de processosnaturais, de processosnaturais, de processosnaturais, de processosnaturais, de processoshistórico-geográficos, dahistórico-geográficos, dahistórico-geográficos, dahistórico-geográficos, dahistórico-geográficos, da

produção tecnológica e dasprodução tecnológica e dasprodução tecnológica e dasprodução tecnológica e dasprodução tecnológica e dasmanifestações artísticas.manifestações artísticas.manifestações artísticas.manifestações artísticas.manifestações artísticas.

H1 - Identificar e interpretar, apartir da leitura de textosapropriados, diferentes

registros do conhecimentomatemático ao longo do

tempo.

H2 - Reconhecer a contribuiçãoda Matemática na compreensão

e análise de fenômenosnaturais, e da produçãotecnológica, ao longo da

história.

H6 - Identificar e interpretarconceitos e procedimentosmatemáticos expressos em

diferentes formas.

H7 - Utilizar conceitos eprocedimentos matemáticospara explicar fenômenos ou

fatos do cotidiano.

H11 - Identificar, interpretar erepresentar os números

naturais, inteiros e racionais.

H12 - Construir e aplicarconceitos de números naturais,

inteiros e racionais, paraexplicar fenômenos de

qualquer natureza.

M1 - Compreender aM1 - Compreender aM1 - Compreender aM1 - Compreender aM1 - Compreender aMatemática como construçãoMatemática como construçãoMatemática como construçãoMatemática como construçãoMatemática como construçãohumana, relacionando o seuhumana, relacionando o seuhumana, relacionando o seuhumana, relacionando o seuhumana, relacionando o seu

desenvolvimento com adesenvolvimento com adesenvolvimento com adesenvolvimento com adesenvolvimento com atransformação da sociedade.transformação da sociedade.transformação da sociedade.transformação da sociedade.transformação da sociedade.

M2 - Ampliar formas deM2 - Ampliar formas deM2 - Ampliar formas deM2 - Ampliar formas deM2 - Ampliar formas deraciocínio e processosraciocínio e processosraciocínio e processosraciocínio e processosraciocínio e processosmentais por meio dementais por meio dementais por meio dementais por meio dementais por meio de

indução, dedução, analogiaindução, dedução, analogiaindução, dedução, analogiaindução, dedução, analogiaindução, dedução, analogiae estimativa, utilizandoe estimativa, utilizandoe estimativa, utilizandoe estimativa, utilizandoe estimativa, utilizando

conceitos e procedimentosconceitos e procedimentosconceitos e procedimentosconceitos e procedimentosconceitos e procedimentosmatemáticos.matemáticos.matemáticos.matemáticos.matemáticos.

M3 - Construir significadosM3 - Construir significadosM3 - Construir significadosM3 - Construir significadosM3 - Construir significadose ampliar os já existentese ampliar os já existentese ampliar os já existentese ampliar os já existentese ampliar os já existentespara os números naturais,para os números naturais,para os números naturais,para os números naturais,para os números naturais,

inteiros e racionais.inteiros e racionais.inteiros e racionais.inteiros e racionais.inteiros e racionais.

Matem∙tica 39-75.pmd 11/7/2003, 09:2164

65


CV - Recorrer aosCV - Recorrer aosCV - Recorrer aosCV - Recorrer aosCV - Recorrer aosconhecimentos desenvolvidosconhecimentos desenvolvidosconhecimentos desenvolvidosconhecimentos desenvolvidosconhecimentos desenvolvidospara elaboração de propostaspara elaboração de propostaspara elaboração de propostaspara elaboração de propostaspara elaboração de propostasde intervenção solidária nade intervenção solidária nade intervenção solidária nade intervenção solidária nade intervenção solidária narealidade, respeitando osrealidade, respeitando osrealidade, respeitando osrealidade, respeitando osrealidade, respeitando os

valores humanos evalores humanos evalores humanos evalores humanos evalores humanos econsiderando a diversidadeconsiderando a diversidadeconsiderando a diversidadeconsiderando a diversidadeconsiderando a diversidade

sociocultural.sociocultural.sociocultural.sociocultural.sociocultural.

CIII - Selecionar, organizar,CIII - Selecionar, organizar,CIII - Selecionar, organizar,CIII - Selecionar, organizar,CIII - Selecionar, organizar,relacionar, interpretar dados erelacionar, interpretar dados erelacionar, interpretar dados erelacionar, interpretar dados erelacionar, interpretar dados einformações representados deinformações representados deinformações representados deinformações representados deinformações representados dediferentes formas, para tomardiferentes formas, para tomardiferentes formas, para tomardiferentes formas, para tomardiferentes formas, para tomar

decisões e enfrentardecisões e enfrentardecisões e enfrentardecisões e enfrentardecisões e enfrentarsituações-problema.situações-problema.situações-problema.situações-problema.situações-problema.

CIV - Relacionar informações,CIV - Relacionar informações,CIV - Relacionar informações,CIV - Relacionar informações,CIV - Relacionar informações,representadas em diferentesrepresentadas em diferentesrepresentadas em diferentesrepresentadas em diferentesrepresentadas em diferentes

formas, e conhecimentosformas, e conhecimentosformas, e conhecimentosformas, e conhecimentosformas, e conhecimentosdisponíveis em situaçõesdisponíveis em situaçõesdisponíveis em situaçõesdisponíveis em situaçõesdisponíveis em situaçõesconcretas, para construirconcretas, para construirconcretas, para construirconcretas, para construirconcretas, para construir

argumentação consistente.argumentação consistente.argumentação consistente.argumentação consistente.argumentação consistente.

H3 - Identificar o recursomatemático utilizado pelo

homem, ao longo da história,para enfrentar e resolver

problemas.

H4 - Identificar a Matemáticacomo importante recurso paraa construção de argumentação.

H5 - Reconhecer, pela leiturade textos apropriados, a

importância da Matemática naelaboração de proposta deintervenção solidária na

realidade.

H8 - Utilizar conceitos eprocedimentos matemáticos

para construir formas deraciocínio que permitamaplicar estratégias para aresolução de problemas.

H9 – Identificar e utilizarconceitos e procedimentos

matemáticos na construção deargumentação consistente.

H10 - Reconhecer a adequaçãoda proposta de ação solidária,

utilizando conceitos eprocedimentos matemáticos.

H13 - Interpretar informações eoperar com números naturais,inteiros e racionais, para tomardecisões e enfrentar situações-

problema.

H14 - Utilizar os númerosnaturais, inteiros e racionais,na construção de argumentossobre afirmações quantitativas

de qualquer natureza.

H15 - Recorrer à compreensãonumérica para avaliar

propostas de intervenção frentea problemas da realidade.

Matem∙tica 39-75.pmd 11/7/2003, 09:2165

66









H16 - Identificar e interpretarfenômenos de qualquernatureza expressos emlinguagem geométrica.

H17 - Construir e identificarconceitos geométricos no

contexto da atividadecotidiana.

H21 - Identificar e interpretarregistros, utilizando a notação

convencional de medidas.

H22 - Estabelecer relaçõesadequadas entre os diversos

sistemas de medida e arepresentação de fenômenos

naturais e do cotidiano.

H26 - Identificar grandezasdireta e inversamente

proporcionais, e interpretar anotação usual de porcentagem.

H27 - Identificar e avaliar avariação de grandezas para

explicar fenômenos naturais,processos socioeconômicos e

da produção tecnológica.

M4 - Utilizar oM4 - Utilizar oM4 - Utilizar oM4 - Utilizar oM4 - Utilizar oconhecimento geométricoconhecimento geométricoconhecimento geométricoconhecimento geométricoconhecimento geométricopara realizar a leitura e apara realizar a leitura e apara realizar a leitura e apara realizar a leitura e apara realizar a leitura e a

representação darepresentação darepresentação darepresentação darepresentação darealidade, e agir sobre ela.realidade, e agir sobre ela.realidade, e agir sobre ela.realidade, e agir sobre ela.realidade, e agir sobre ela.

M5 - Construir e ampliarM5 - Construir e ampliarM5 - Construir e ampliarM5 - Construir e ampliarM5 - Construir e ampliarnoções de grandezas enoções de grandezas enoções de grandezas enoções de grandezas enoções de grandezas e

medidas para amedidas para amedidas para amedidas para amedidas para acompreensão da realidadecompreensão da realidadecompreensão da realidadecompreensão da realidadecompreensão da realidadee a solução de problemase a solução de problemase a solução de problemase a solução de problemase a solução de problemas

do cotidiano.do cotidiano.do cotidiano.do cotidiano.do cotidiano.

M6 - Construir e ampliarM6 - Construir e ampliarM6 - Construir e ampliarM6 - Construir e ampliarM6 - Construir e ampliarnoções de variação denoções de variação denoções de variação denoções de variação denoções de variação de

grandeza para a compreensãograndeza para a compreensãograndeza para a compreensãograndeza para a compreensãograndeza para a compreensãoda realidade e a solução deda realidade e a solução deda realidade e a solução deda realidade e a solução deda realidade e a solução de

problemas do cotidiano.problemas do cotidiano.problemas do cotidiano.problemas do cotidiano.problemas do cotidiano.

Matem∙tica 39-75.pmd 11/7/2003, 09:2166

67










H18 - Interpretar informações eaplicar estratégias geométricasna solução de problemas do

cotidiano.

H19 - Utilizar conceitosgeométricos na seleção de

argumentos propostos comosolução de problemas do

cotidiano.

H20 - Recorrer a conceitosgeométricos para avaliar

propostas de intervenção sobreproblemas do cotidiano.

H23 - Selecionar,compatibilizar e operarinformações métricas de

diferentes sistemas ou unidadesde medida na resolução deproblemas do cotidiano.

H24 - Selecionar e relacionarinformações referentes a

estimativas ou outras formasde mensuração de fenômenosde natureza qualquer, com aconstrução de argumentação

que possibilitem suacompreensão.

H25 - Reconhecer propostasadequadas de ação sobre a

realidade, utilizando medidas eestimativas.

H28 - Resolver problemasenvolvendo grandezas direta einversamente proporcionais e

porcentagem.

H29 - Identificar e interpretarvariações percentuais de

variável socioeconômica outécnico-científica como

importante recurso para aconstrução de argumentação

consistente.

H30 - Recorrer a cálculos comporcentagem e relações entregrandezas proporcionais para

avaliar a adequação depropostas de intervenção na

realidade.

Matem∙tica 39-75.pmd 11/7/2003, 09:2167

68









H31 - Identificar, interpretar eutilizar a linguagem algébricacomo uma generalização de

conceitos aritméticos.

H32 - Caracterizar fenômenosnaturais e processos daprodução tecnológica,utilizando expressões

algébricas e equações de 1° e2° graus.

H36 - Reconhecer e interpretaras informações de natureza

científica ou social expressasem gráficos ou tabelas.

H37 - Identificar ou inferiraspectos relacionados afenômenos de natureza

científica ou social, a partir deinformações expressas em

gráficos ou tabelas.

H41 - Identificar e interpretarestratégias e situaçõesmatemáticas numéricasaplicadas em contextosdiversos da ciência e da

tecnologia.

H42 - Construir e identificarconceitos matemáticos

numéricos na interpretação defenômenos em contextosdiversos da ciência e da

tecnologia.

M7 - Construir e utilizarM7 - Construir e utilizarM7 - Construir e utilizarM7 - Construir e utilizarM7 - Construir e utilizarconceitos algébricos paraconceitos algébricos paraconceitos algébricos paraconceitos algébricos paraconceitos algébricos para

modelar e resolvermodelar e resolvermodelar e resolvermodelar e resolvermodelar e resolverproblemas.problemas.problemas.problemas.problemas.

M8 - Interpretar informaçõesM8 - Interpretar informaçõesM8 - Interpretar informaçõesM8 - Interpretar informaçõesM8 - Interpretar informaçõesde natureza científica e socialde natureza científica e socialde natureza científica e socialde natureza científica e socialde natureza científica e socialobtidas da leitura de gráficosobtidas da leitura de gráficosobtidas da leitura de gráficosobtidas da leitura de gráficosobtidas da leitura de gráficose tabelas, realizando previsãoe tabelas, realizando previsãoe tabelas, realizando previsãoe tabelas, realizando previsãoe tabelas, realizando previsãode tendência, extrapolação,de tendência, extrapolação,de tendência, extrapolação,de tendência, extrapolação,de tendência, extrapolação,interpolação e interpretação.interpolação e interpretação.interpolação e interpretação.interpolação e interpretação.interpolação e interpretação.

M9 - Compreender conceitos,M9 - Compreender conceitos,M9 - Compreender conceitos,M9 - Compreender conceitos,M9 - Compreender conceitos,estratégias e situaçõesestratégias e situaçõesestratégias e situaçõesestratégias e situaçõesestratégias e situações

matemáticas numéricas paramatemáticas numéricas paramatemáticas numéricas paramatemáticas numéricas paramatemáticas numéricas paraaplicá-los a situações diversasaplicá-los a situações diversasaplicá-los a situações diversasaplicá-los a situações diversasaplicá-los a situações diversasno contexto das ciências, dano contexto das ciências, dano contexto das ciências, dano contexto das ciências, dano contexto das ciências, da

tecnologia e da atividadetecnologia e da atividadetecnologia e da atividadetecnologia e da atividadetecnologia e da atividadecotidiana.cotidiana.cotidiana.cotidiana.cotidiana.

Matem∙tica 39-75.pmd 11/7/2003, 09:2168

69










H33 - Utilizar expressõesalgébricas e equações de 1° e 2°graus para modelar e resolver

problemas.

H34 - Analisar ocomportamento de variável,

utilizando ferramentasalgébricas como importanterecurso para a construção deargumentação consistente.

H35 - Avaliar, com auxílio deferramentas algébricas, a

adequação de propostas deintervenção na realidade.

H38 - Selecionar e interpretarinformações expressas emgráficos ou tabelas para aresolução de problemas.

H39 - Analisar ocomportamento de variável

expresso em gráficos outabelas, como importante

recurso para a construção deargumentação consistente.

H40 - Avaliar, com auxílio dedados apresentados em gráficos

ou tabelas, a adequação depropostas de intervenção na

realidade.

H43 - Interpretar informaçõese aplicar estratégias

matemáticas numéricas nasolução de problemas em

contextos diversos da ciência eda tecnologia.

H44 - Utilizar conceitos eestratégias matemáticasnuméricas na seleção de

argumentos propostos comosolução de problemas, em

contextos diversos da ciência eda tecnologia.

H45 - Recorrer a conceitosmatemáticos numéricos para

avaliar propostas deintervenção sobre problemas de

natureza científica etecnológica.

Matem∙tica 39-75.pmd 11/7/2003, 09:2169

70









H1 - Identificar e interpretar, apartir da leitura de textosapropriados, diferentes

registros do conhecimentomatemático ao longo do

tempo.

H2 - Reconhecer a contribuiçãoda Matemática na compreensão

e análise de fenômenosnaturais e da produção

tecnológica, ao longo dahistória.

H6 - Identificar e interpretarconceitos e procedimentosmatemáticos expressos em

diferentes formas.

H7 - Utilizar conceitos eprocedimentos matemáticospara explicar fenômenos ou

fatos do cotidiano.

H11 - Identificar, interpretar erepresentar os números

naturais, inteiros, racionais ereais.

H12 - Construir e aplicarconceitos de números naturais,inteiros, racionais e reais, para

explicar fenômenos dequalquer natureza.

M1 - Compreender aM1 - Compreender aM1 - Compreender aM1 - Compreender aM1 - Compreender aMatemática comoMatemática comoMatemática comoMatemática comoMatemática como

construção humana,construção humana,construção humana,construção humana,construção humana,relacionando o seurelacionando o seurelacionando o seurelacionando o seurelacionando o seu

desenvolvimento com adesenvolvimento com adesenvolvimento com adesenvolvimento com adesenvolvimento com atransformação da sociedade.transformação da sociedade.transformação da sociedade.transformação da sociedade.transformação da sociedade.

M2 - Ampliar formas deM2 - Ampliar formas deM2 - Ampliar formas deM2 - Ampliar formas deM2 - Ampliar formas deraciocínio e processosraciocínio e processosraciocínio e processosraciocínio e processosraciocínio e processosmentais por meio dementais por meio dementais por meio dementais por meio dementais por meio de

indução, dedução, analogiaindução, dedução, analogiaindução, dedução, analogiaindução, dedução, analogiaindução, dedução, analogiae estimativa, utilizandoe estimativa, utilizandoe estimativa, utilizandoe estimativa, utilizandoe estimativa, utilizando

conceitos e procedimentosconceitos e procedimentosconceitos e procedimentosconceitos e procedimentosconceitos e procedimentosmatemáticos.matemáticos.matemáticos.matemáticos.matemáticos.

M3 - ConstruirM3 - ConstruirM3 - ConstruirM3 - ConstruirM3 - Construirsignificados e ampliar ossignificados e ampliar ossignificados e ampliar ossignificados e ampliar ossignificados e ampliar os

já existentes para osjá existentes para osjá existentes para osjá existentes para osjá existentes para osnúmeros naturais, inteiros,números naturais, inteiros,números naturais, inteiros,números naturais, inteiros,números naturais, inteiros,

racionais e reais.racionais e reais.racionais e reais.racionais e reais.racionais e reais.

Matem∙tica 39-75.pmd 11/7/2003, 09:2170

71










H3 - Identificar o recursomatemático utilizado pelo

homem, ao longo da história,para enfrentar e resolver

problemas.

H4 - Identificar a Matemáticacomo importante recurso paraa construção de argumentação.

H5 - Reconhecer, pela leiturade textos apropriados, a

importância da Matemática naelaboração de proposta deintervenção solidária na

realidade.

H8 - Utilizar conceitos eprocedimentos matemáticos

para construir formas deraciocínio que permitamaplicar estratégias para aresolução de problemas.

H9 – Identificar e utilizarconceitos e procedimentos

matemáticos na construção deargumentação consistente.

H10 - Reconhecer a adequaçãoda proposta de ação solidária,

utilizando conceitos eprocedimentos matemáticos.

H13 - Interpretar informaçõese operar com números

naturais, inteiros, racionais ereais, para tomar decisões e

enfrentar situações-problema.

H14 - Utilizar os númerosnaturais, inteiros, racionais e

reais, na construção deargumentos sobre afirmações

quantitativas de qualquernatureza.

H15 - Recorrer à compreensãonumérica para avaliar

propostas de intervenção frentea problemas da realidade.

Matem∙tica 39-75.pmd 11/7/2003, 09:2171

72









H16 - Identificar e interpretarfenômenos de qualquernatureza expressos emlinguagem geométrica.

H17 - Construir e identificarconceitos geométricos no

contexto da atividadecotidiana.

H21 - Identificar e interpretarregistros, utilizando a notação

convencional de medidas.

H22 - Estabelecer relaçõesadequadas entre os diversos

sistemas de medida e arepresentação de fenômenos

naturais e do cotidiano.

H26 - Identificar grandezasdireta e inversamente

proporcionais, e interpretar anotação usual de porcentagem.

H27 - Identificar e avaliar avariação de grandezas para

explicar fenômenos naturais,processos socioeconômicos e

da produção tecnológica.

M4 - Utilizar oM4 - Utilizar oM4 - Utilizar oM4 - Utilizar oM4 - Utilizar oconhecimento geométricoconhecimento geométricoconhecimento geométricoconhecimento geométricoconhecimento geométricopara realizar a leitura e apara realizar a leitura e apara realizar a leitura e apara realizar a leitura e apara realizar a leitura e a

representação da realidade erepresentação da realidade erepresentação da realidade erepresentação da realidade erepresentação da realidade eagir sobre ela.agir sobre ela.agir sobre ela.agir sobre ela.agir sobre ela.

M5 - Construir e ampliarM5 - Construir e ampliarM5 - Construir e ampliarM5 - Construir e ampliarM5 - Construir e ampliarnoções de grandezas enoções de grandezas enoções de grandezas enoções de grandezas enoções de grandezas e

medidas para amedidas para amedidas para amedidas para amedidas para acompreensão da realidadecompreensão da realidadecompreensão da realidadecompreensão da realidadecompreensão da realidadee a solução de problemase a solução de problemase a solução de problemase a solução de problemase a solução de problemas


M6 - Construir e ampliarM6 - Construir e ampliarM6 - Construir e ampliarM6 - Construir e ampliarM6 - Construir e ampliarnoções de variação denoções de variação denoções de variação denoções de variação denoções de variação de

grandeza para agrandeza para agrandeza para agrandeza para agrandeza para acompreensão da realidadecompreensão da realidadecompreensão da realidadecompreensão da realidadecompreensão da realidadee a solução de problemase a solução de problemase a solução de problemase a solução de problemase a solução de problemas


Matem∙tica 39-75.pmd 11/7/2003, 09:2172

73







CIV - RelacionarCIV - RelacionarCIV - RelacionarCIV - RelacionarCIV - Relacionarinformações representadasinformações representadasinformações representadasinformações representadasinformações representadas

em diferentes formas eem diferentes formas eem diferentes formas eem diferentes formas eem diferentes formas econhecimentos disponíveisconhecimentos disponíveisconhecimentos disponíveisconhecimentos disponíveisconhecimentos disponíveis

em situações concretas,em situações concretas,em situações concretas,em situações concretas,em situações concretas,para construirpara construirpara construirpara construirpara construir


H18 - Interpretar informaçõese aplicar estratégias

geométricas na solução deproblemas do cotidiano.

H19 - Utilizar conceitosgeométricos na seleção de

argumentos propostos comosolução de problemas do

cotidiano.

H20 - Recorrer a conceitosgeométricos para avaliar

propostas de intervenção sobreproblemas do cotidiano.

H23 - Selecionar,compatibilizar e operarinformações métricas de

diferentes sistemas ou unidadesde medida na resolução deproblemas do cotidiano.

H24 - Selecionar e relacionarinformações referentes a

estimativas ou outras formasde mensuração de fenômenosde natureza quaisquer com aconstrução de argumentação

que possibilitem suacompreensão.

H25 - Reconhecer propostasadequadas de ação sobre a

realidade, utilizando medidas eestimativas.

H28 - Resolver problemasenvolvendo grandezas direta einversamente proporcionais e

porcentagem.

H29 - Identificar e interpretarvariações percentuais de variável

socioeconômica ou técnico-científica como importante


H30 - Recorrer a cálculos comporcentagem e relações entregrandezas proporcionais para

avaliar a adequação depropostas de intervenção na

realidade.

Matem∙tica 39-75.pmd 11/7/2003, 09:2173

74









H31 - Identificar e interpretarrepresentações analíticas de

processos naturais ou daprodução tecnológica e defiguras geométricas como

pontos, retas e circunferências.

H32 - Interpretar ou aplicarmodelos analíticos,

envolvendo equaçõesalgébricas, inequações ou

sistemas lineares, objetivandoa compreensão de fenômenos

naturais ou processos deprodução tecnológica.

H36 - Reconhecer e interpretaras informações de natureza

científica ou social expressasem gráficos ou tabelas.

H37 - Identificar ou inferiraspectos relacionados afenômenos de natureza

científica ou social, a partir deinformações expressas em

gráficos ou tabelas.

H41 - Identificar, interpretar eproduzir registros de

informações sobre fatos oufenômenos de caráter aleatório.

H42 - Caracterizar ou inferiraspectos relacionados afenômenos de natureza

científica ou social, a partir deinformações expressas pormeio de uma distribuição

estatística.

M7 - Aplicar expressõesM7 - Aplicar expressõesM7 - Aplicar expressõesM7 - Aplicar expressõesM7 - Aplicar expressõesanalíticas para modelar eanalíticas para modelar eanalíticas para modelar eanalíticas para modelar eanalíticas para modelar e

resolver problemas,resolver problemas,resolver problemas,resolver problemas,resolver problemas,envolvendo variáveisenvolvendo variáveisenvolvendo variáveisenvolvendo variáveisenvolvendo variáveissocioeconômicas ousocioeconômicas ousocioeconômicas ousocioeconômicas ousocioeconômicas outécnico-científicas.técnico-científicas.técnico-científicas.técnico-científicas.técnico-científicas.

M8 - Interpretar informaçõesM8 - Interpretar informaçõesM8 - Interpretar informaçõesM8 - Interpretar informaçõesM8 - Interpretar informaçõesde natureza científica e socialde natureza científica e socialde natureza científica e socialde natureza científica e socialde natureza científica e socialobtidas da leitura de gráficosobtidas da leitura de gráficosobtidas da leitura de gráficosobtidas da leitura de gráficosobtidas da leitura de gráficose tabelas, realizando previsãoe tabelas, realizando previsãoe tabelas, realizando previsãoe tabelas, realizando previsãoe tabelas, realizando previsãode tendência, extrapolação,de tendência, extrapolação,de tendência, extrapolação,de tendência, extrapolação,de tendência, extrapolação,interpolação e interpretação.interpolação e interpretação.interpolação e interpretação.interpolação e interpretação.interpolação e interpretação.

M9 - Compreender o caráterM9 - Compreender o caráterM9 - Compreender o caráterM9 - Compreender o caráterM9 - Compreender o caráteraleatório e nãoaleatório e nãoaleatório e nãoaleatório e nãoaleatório e não

determinístico dosdeterminístico dosdeterminístico dosdeterminístico dosdeterminístico dosfenômenos naturais e sociais,fenômenos naturais e sociais,fenômenos naturais e sociais,fenômenos naturais e sociais,fenômenos naturais e sociais,

e utilizar instrumentose utilizar instrumentose utilizar instrumentose utilizar instrumentose utilizar instrumentosadequados para medidas eadequados para medidas eadequados para medidas eadequados para medidas eadequados para medidas ecálculos de probabilidade,cálculos de probabilidade,cálculos de probabilidade,cálculos de probabilidade,cálculos de probabilidade,

para interpretar informaçõespara interpretar informaçõespara interpretar informaçõespara interpretar informaçõespara interpretar informaçõesde variáveis apresentadas emde variáveis apresentadas emde variáveis apresentadas emde variáveis apresentadas emde variáveis apresentadas emuma distribuição estatística.uma distribuição estatística.uma distribuição estatística.uma distribuição estatística.uma distribuição estatística.

Matem∙tica 39-75.pmd 11/7/2003, 09:2174

75







CIV - RelacionarCIV - RelacionarCIV - RelacionarCIV - RelacionarCIV - Relacionarinformações representadasinformações representadasinformações representadasinformações representadasinformações representadas

em diferentes formas eem diferentes formas eem diferentes formas eem diferentes formas eem diferentes formas econhecimentos disponíveisconhecimentos disponíveisconhecimentos disponíveisconhecimentos disponíveisconhecimentos disponíveis

em situações concretas,em situações concretas,em situações concretas,em situações concretas,em situações concretas,para construirpara construirpara construirpara construirpara construir


H33 - Modelar e resolverproblemas utilizando equaçõese inequações com uma ou mais

variáveis.

H34 - Utilizar modelagemanalítica como recurso

importante na elaboração deargumentação consistente.

H35 - Avaliar, com auxílio deferramentas analíticas, a


H38 - Selecionar e interpretarinformações expressas emgráficos ou tabelas para aresolução de problemas.

H39 - Analisar ocomportamento de variávelexpresso em gráficos outabelas como importante


H40 - Avaliar, com auxílio dedados apresentados emgráficos ou tabelas, a


H43 - Resolver problemasenvolvendo processos de

contagem, medida e cálculo deprobabilidades.

H44 - Analisar ocomportamento de variávelexpresso por meio de uma

distribuição estatística comoimportante recurso para a

construção de argumentaçãoconsistente.

H45 - Avaliar, com auxílio dedados apresentados em

distribuições estatísticas, aadequação de propostas deintervenção na realidade.

Matem∙tica 39-75.pmd 11/7/2003, 09:2175

76


Matem∙tica 76-150.pmd 11/7/2003, 09:2176

77

Neste bloco, são apresentadas sugestões de trabalhopara que o professor possa orientar-se no sentidode favorecer aos seus alunos o desenvolvimentodas competências e habilidades que estruturam

a avaliação do ENCCEJA –Matemática – Ensino FundamentalMatemática – Ensino FundamentalMatemática – Ensino FundamentalMatemática – Ensino FundamentalMatemática – Ensino Fundamental.

Estes textos complementam o material de orientaçãode estudos dos estudantes e ambos podem ganhar seu

real significado se incorporados à experiência doprofessor e à bibliografia didática já consagrada

nesta área.

MatemáticaEnsino Fundamental

Capítulos I ao IX

V. Orientação para o trabalho do professor

Matem∙tica 76-150.pmd 11/7/2003, 09:2177

Matem∙tica 76-150.pmd 11/7/2003, 09:2178

79

Matemática: umaconstrução humanaVinício de Macedo Santos

Partimos da suposição de que qualquerpessoa tem interesse e curiosidaderelativamente à Matemática, não sóporque faz parte da natureza humanaobservar, fazer perguntas, resolverproblemas que conduzam aoconhecimento matemático, comotambém porque é necessáriodesenvolvermos certas competênciaspara enfrentarmos situações-problemaque envolvam tal conhecimento nasnossas atividades cotidianas.

Apesar disso, percebe-se umdistanciamento e resistência de grandeparte das pessoas em relação àssituações de aprendizagem dessa áreado conhecimento. Esse fato revela-secontraditório com a importância que aMatemática passou a ter na vida daspessoas. Soma-se a isso a compreensão,hoje alcançada, de que estudar eaprender fazem parte dos direitos dequalquer cidadão.

No que se refere a ensinar e aprenderMatemática, tem ganhado força, entre

educadores, a idéia de que aprenderMatemática, além de incluir o domíniode certas noções e processos, para sesaber utilizá-los em diferentescontextos, inclui também conhecersobre a Matemática. Isto porque, entreas perguntas que qualquer estudante fazsobre os conhecimentos que podemauxiliá-lo na resolução de problemasmatemáticos ou não-matemáticos, háindagaçõesque dizem respeito à origem edesenvolvimento das nossas idéias econhecimentos em Matemática, aotipo de raciocínio e às motivações quelevaram o homem a inventara Matemática.

Assim, é necessário proporcionar aoestudante a oportunidade de travarcontato e interagir com situações em queperceba que o conhecimentomatemático, do mesmo modo que todoconhecimento, decorre da atividade dohomem empenhado em observar,compreender e transformar a natureza ea realidade.

COMPREENDER A MATEMÁTICA COMO CONSTRUÇÃO HUMANA,RELACIONANDO O SEU DESENVOLVIMENTO COM ATRANSFORMAÇÃO DA SOCIEDADE.

Matemática - Ensino FundamentalCapítulo I

Matem∙tica 76-150.pmd 11/7/2003, 09:2179

Livro do Professor – Matemática

80

Ensino Fundamental

DESENVOLVENDO ACOMPETÊNCIANo texto “A Matemática: umaconstrução humana”, , , , , procura-se fazeruma aproximação do estudante comalgumas dessas questões, informando-osobre diferentes aspectos daMatemática que utilizamos hoje, nonosso dia-a-dia, e que, muitas vezes,nem percebemos. Procura-se tambéminformá-lo sobre situações e problemascujas soluções no passado permitiramao homem adquirir novosconhecimentos e chegar aodesenvolvimento científico etecnológico atual.

Discutir com o estudante essa dimensãoda Matemática, mais especificamente,significa:

• Caracterizar esse conhecimento comouma construção humana decorrenteda interação do homem com anatureza, da observação deregularidades oferecidas por váriosfenômenos naturais (o movimento dosastros, da terra, as fases da lua) e depadrões(o fato de termos dez dedos das mãos,a presença de duas asas nos pássarosetc.).

• Recuperar alguns registrosmatemáticos históricos (números,diferentes desenhos, figuras e motivosgeométricos etc.), procurando traduziro seu significado.

• Apresentar alguns dos problemasenfrentados pelo homem e cujoprocesso de resolução levou-o aconstruir conhecimento matemático

(noções como número, medida etc.).

• Apresentar diferentes contextos emque a Matemática está presente (naescola, nos jornais, nas profissões etc.)

• Caracterizar, de modo rápido ecompreensível, que a Matemática éconstituída de diferentes campos(Aritmética, Geometria, Estatística,Probabilidades etc.)

• Traduzir e apresentar essas idéias emsituações-problema e contextos cujaanálise e esforço de resoluçãopossibilitem o desenvolvimento dasseguintes habilidades:

..... identificar e interpretar diferentesregistros matemáticos utilizadospelo homem ao longo do tempo;

..... reconhecer a contribuição daMatemática na compreensão eanálise de fenômenos naturais e daprodução tecnológica no decorrer dahistória;

..... identificar a Matemática comorecurso utilizado pelo homem paraenfrentar problemas;

..... identificar a Matemática como meiopara a construção de argumentos;

..... reconhecer a importância daMatemática na elaboração depropostas para a intervençãosolidária na realidade.

O texto constitui-se como umaorientação de estudos e, como tal,contém informações e problematizaçõesque evidenciam a presença daMatemática em fenômenos e situaçõesinterpretados pelos estudantes. Talorientação tem o propósito de auxiliar o

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estudante a recuperar, organizar eaplicar noções matemáticas jáadquiridas. A abordagem dos conceitosmatemáticos e a aplicação dos mesmospelo estudante são guiadas peloconjunto das habilidades pretendidas,definidas no âmbito global do projeto,que prevê a abordagem das dimensõeshistórica, social e cultural daMatemática e sua relação com oconhecimento científico e tecnológico.

Pretende-se que as situações-problemae as atividades apresentadas cativem ointeresse do aluno para estudar eaprender mais Matemática, para sesentir sujeito do seu próprioconhecimento ao realizar pesquisas erelacionar idéias que lhe permitamcompreender certos fenômenos,resolver problemas e tirar conclusões.

A abordagem das noções matemáticasno texto leva em conta, portanto, que aeficiência dessa orientação depende dequanto o estudante for motivado paraseguir a leitura e se envolver nasatividades propostas, já que ele mesmoconduzirá grande parte desse processo.Neste caso, o professor tem oinestimável papel de somar esforços aotrabalho pretendido com o texto,criando, potencializando edesencadeando o interesse e acapacidade desse estudante para oestudo da Matemática.

Como se pretende que o estudantedesenvolva competências matemáticase se qualifique como estudante doEnsino Fundamental, participando deavaliações com bom aproveitamento emMatemática, as atividades são de dois

tipos. Há aquelas que promovem abusca e aproximação de conhecimentosmatemáticos, mediante a realização depesquisas, a observação e interpretaçãode situações e fenômenos. Há tambémquestões objetivas, algumas em formade testes de múltipla escolha, querequerem do aluno certa agilidade e omanejo de conhecimentos matemáticosem contextos bem particulares.

O estudante será solicitado, em cadasituação-problema, a ler um texto einterpretá-lo, a observar e analisar umafigura, colher informações e registrarsuas idéias e soluções.

Devido à natureza deste trabalho,grande parte das atividades e exercíciosdo texto são, posteriormente,comentados, indicando-se informaçõesadicionais e elementos que sirvam dereferência para o estudante validar suasconclusões e respostas. Aqueles itensque demandam uma resposta objetivasão contemplados com os resultados aofinal do texto.

É necessário que o estudante, a partir doestudo do texto e do incentivo doprofessor, compreenda a relação diretaque existe entre sua participação eenvolvimento nas atividades e o seuaproveitamento.

O texto contém, ainda, uma bibliografiaque serviu de apoio à sua elaboração ecujos textos principais estão aquirelacionados por se constituírem dematerial de suporte ao trabalho doprofessor. Alguns dos títulos, a critériodo professor, poderão ser utilizados nosestudos que o estudante fará a partir dotexto. Porém, as fontes para pesquisas

V - Orientação para o trabalho do professor

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Livro do Professor – Matemática

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Ensino Fundamental

dos estudantes dependem daquilo a quecada um tem acesso. Nesse sentido,dada a proximidade com o estudante, o

BIBLIOGRAFIA

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BOYER, C. B. História da matemática. 2. ed. São Paulo: E. Blücher, 1998. Tradução deElza F. Gomide.

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SOLOMON, C. Matemática. 2. ed. São Paulo: Melhoramentos, 1977. (Prisma, v. 22).Tradução de Maria Pia Brito de Macedo Charlier e Rene François Joseph Charlier.

TOLEDO, M. Didática de matemática: como dois e dois: a construção da matemática.São Paulo: FTD, 1997. (Conteúdo e metodologia).

professor pode contribuir apresentandosugestões de livros, materiais e fontesacessíveis a ele.

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A arte deraciocinarCélia Maria Carolino Pires

Na Educação de Jovens e Adultos, comonas demais modalidades de ensino, aatividade matemática deve estarorientada para integrar, de formaequilibrada, seu papel formativo dedesenvolvimento de capacidadesintelectuais para a estruturação dopensamento e seu papel funcional deaplicação na vida prática e de resoluçãode problemas nas diferentes áreas deconhecimento.

Neste texto, além da aplicabilidade dosconhecimentos matemáticos, o papelformativo merece destaque, na medidaem que se pretende que o aluno percebaque pode usar diferentes procedimentosde raciocínio, na solução de umproblema matemático. A intenção é a deestimular o aluno a observarregularidades, a elaborar conjecturas evalidá-las e a formular argumentos paradefender seus pontos de vista.Pretende-se que ele observe que oexercício da indução e da dedução sãoimportantes no desenvolvimento dacapacidade de resolver problemas, de

formular e testar hipóteses, degeneralizar e de inferir dentro dedeterminada lógica.

DESENVOLVENDO ACOMPETÊNCIAAssim sendo, podemos sintetizar afinalidade deste texto como sendo a deestimular o aluno a ampliar formas deraciocínio e processos mentais por meiode intuição, dedução, analogia eestimativa, utilizando conceitos eprocedimentos matemáticos. Essacompetência materializa-se em diferenteshabilidades:

• Identificar e interpretar conceitos eprocedimentos matemáticos expressosem diferentes formas.

• Utilizar conceitos e procedimentosmatemáticos para explicar fenômenosou fatos do cotidiano.

• Utilizar conceitos e procedimentosmatemáticos para construir formas deraciocínio que permitam aplicarestratégias para a resolução deproblemas.

AMPLIAR FORMAS DE RACIOCÍNIO E PROCESSOS MENTAIS POR

MEIO DE INDUÇÃO, DEDUÇÃO, ANALOGIA E ESTIMATIVA,UTILIZANDO CONCEITOS E PROCEDIMENTOS MATEMÁTICOS.

Matemática - Ensino FundamentalCapítulo II

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• Utilizar conceitos e procedimentosmatemáticos para identificar aconsistência de uma argumentação.

• Reconhecer a adequação da propostade ação solidária, utilizando conceitose procedimentos matemáticos.

No capítulo, os conteúdos conceituais eprocedimentais têm papel ilustrativo deconteúdos de natureza atitudinal. O quese pretende é mostrar situações em queo que está em jogo é a capacidade deinvestigar, de perseverar na busca desoluções e, principalmente, de valorizaro uso de estratégias de verificação econtrole de resultados.

Analisando diferentes estratégias pararesolver uma situação-problema ereconhecendo que existem diversasformas de resolução que podem serempregadas, o aluno poderá irmodificando suas representações sobrea atividade matemática e sobre o papeldos conteúdos. À medida que o aluno écapaz de dizer se uma regra matemáticase aplica em diversos exemplos econtra-exemplos, ele se mostra capazde utilizar conceitos como instrumentosde ação, mesmo que ainda não possaformulá-los.

A resolução de problemas é a estratégiametodológica privilegiada; desse modo, assoluções das situações apresentadas nãoestão disponíveis de início, mas podem serconstruídas pelo aluno, ao colocar em açãohabilidades de análise e interpretação dassituações e ao buscar estratégias desolução, usando diferentes formas deraciocínio.

As situações de aprendizagem estãocentradas na construção de significados, na

elaboração de estratégias e na resolução deproblemas, em que o aluno possadesenvolver processos importantes comointuição, analogia, indução e dedução, enão atividades voltadas para amemorização, desprovidas decompreensão ou de um trabalho queprivilegie a formalização de conceitos, semsignificados.

As atividades propostas caracterizam-sepela problematização de situações emque o aluno precisa identificar einterpretar alguns conceitos eprocedimentos matemáticos,relacionados a fatos do cotidiano etambém a fenômenos da natureza, dasciências humanas e das ciências sociais.Elas fazem referência a alguns aspectoshistóricos do conhecimentomatemático, buscando elucidarestratégias usadas para a resolução deproblemas. Destacam ainda algunsaspectos da lógica matemática, como asfalácias, as implicações que podem serutilizadas pelos alunos para identificar aconsistência de uma argumentação e aadequação de propostas de açãosolidária, usando ferramentasmatemáticas.

Partimos do princípio de que opensamento matemático de um alunoavança quando ele é estimulado a utilizarseus conhecimentos prévios pararesolver outros problemas, o que exigetransferências, retificações, rupturas,novas informações que possibilitam aconstituição de “novos” conhecimentos.

Para tanto, é fundamental que o alunoseja estimulado a ler textos, ainterpretar significados, a pensar deforma criativa.

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Assim sendo, ao utilizar este texto, esseprocesso de lançar mão deconhecimentos prévios e ampliá-losdeve nortear os estudos tanto emsituações de trabalho individual, comoem grupo, de modo que o aluno possadesenvolver o raciocínio, perceberformas indutivas ou dedutivas deorganização do pensamento, estabeleceranalogias, argumentar, ampliando,assim, significativamente, suacapacidade para abstrair elementoscomuns a várias situações, fazerconjecturas, generalizações e deduçõessimples.

É fundamental ainda que o trabalho nãose limite aos textos e às propostas deatividades apresentadas, mas que estetexto seja um roteiro de estudo, a serampliado pela consulta de outras fontesbibliográficas.

É interessante que o aluno vá registrandopossíveis dúvidas em relação àsatividades comentadas e também aosexercícios propostos em que sãofornecidas as respostas. O processo deauto-avaliação deve ser orientador dequais conceitos ou procedimentosprecisam ser melhor trabalhados comajuda do professor.

BIBLIOGRAFIA

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MACHADO, N. J. Epistemologia e didática: a alegoria como norma e o conhecimentocomo rede. São Paulo, 1994. Tese (Livre Docência)- Faculdade de Educação,Universidade de São Paulo.


PIRES, C. M. C. et al. Educação matemática. São Paulo: Atual, 2002.

SCHOENFELD, A. H. Mathematical problem solving. New a York: Academic Press,1985.

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Os números: seus usos eseus significadosWanda Silva Rodrigues

Construir significados e ampliar os jáexistentes para os números naturais,inteiros e racionais, a partir de seus usose significados e também relacionando-os ao seu desenvolvimento histórico, éuma das competências mais importantea ser desenvolvida no EnsinoFundamental.

A importância desse tema é bastantereconhecida por professores e alunos,pelo seu uso no cotidiano das pessoas.Os números estão presentes nas notíciasveiculadas em jornais e revistas, emtextos científicos, históricos,geográficos, nas compras e vendas, nasexpressões de medidas, nas estatísticas.

DESENVOLVENDO ACOMPETÊNCIAO propósito deste texto é, portanto,possibilitar ao leitor construir, ampliare/ou reconstruir significados para osnúmeros naturais, inteiros e racionais,por meio de sua inserção em contextossignificativos de modo a desenvolver asseguintes habilidades:

• Identificar, interpretar e representar osnúmeros naturais, inteiros e racionais.

• Construir e aplicar conceitos denúmeros naturais, inteiros e racionais,para explicar fenômenos de qualquernatureza.

• Interpretar informações e operar comnúmeros naturais, inteiros e racionais,para tomar decisões e enfrentarsituações-problema.

• Utilizar os números naturais, inteiros eracionais, na construção deargumentos sobre afirmaçõesquantitativas de qualquer natureza.

• Recorrer à compreensão numéricapara avaliar propostas de intervençãofrente a problemas da realidade.

Os números naturais são explorados nasdiferentes situações em que aparecemcom a finalidade de representar osresultados de contagens ou deordenações, e também para codificar. Éimportante que o aluno tenhaoportunidade de realizar a leitura eescrita de números “grandes” e

CONSTRUIR SIGNIFICADOS E AMPLIAR OS JÁ EXISTENTES PARA

OS NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS E RACIONAIS.Matemática - Ensino Fundamental

Capítulo III

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desenvolver uma compreensão maisconsistente das regras que caracterizamo sistema de numeração que utiliza.

Já os números inteiros negativos sãoexplorados pela análise de situações emque representam diferença, “falta”,apoiando-se em idéias intuitivas que osalunos já têm sobre esses números porvivenciarem situações de perdas eganhos num jogo, débitos e créditosbancários ou outras situações. O estudodos números racionais, nas suasrepresentações fracionária e decimal,partem da exploração de alguns de seussignificados, tais como: a relação

parte/todo, quociente, razão.

Ao longo do texto, a resolução desituações - problema com númerosnaturais, racionais e inteiros permite aampliação do sentido operacional, que sedesenvolve simultaneamente àcompreensão dos significados dosnúmeros.

Em algumas atividades explora-se acompreensão de regras do cálculo comnaturais, inteiros e racionais pelaobservação de regularidades.

A resolução de problemas é a estratégiametodológica privilegiada. Essa opçãotraz implícita a convicção de que oconhecimento matemático ganhasignificado quando, diante de situaçõesdesafiadoras, são desenvolvidasestratégias de resolução possibilitando amobilização de conhecimentos e odesenvolvimento da capacidade parageneralizar informações e argumentarsobre elas.

É na argumentação dos problemas dodia-a-dia que as idéias e os pontos de

vista expressos, cada vez com maisclareza, permitem ao leitor fazerinterpretações de significados,conjecturas, generalizações e deduçõessimples. Com isso, desenvolvem-se opensamento indutivo e o dedutivo. Essaconexão com a realidade torna possívela leitura e a interpretação dos númerosem textos jornalísticos, científicos,histórico-geográficos, e em gráficos etabelas, possibilitando tomadas dedecisão e uma intervenção frente aproblemas da realidade.

Parte significativa das atividadespropostas envolve a leitura einterpretação de textos adaptados dejornais e revistas em que os dadosnuméricos desempenham importantepapel.

Os textos foram selecionados de modo aexplicitar a relação dos conhecimentosmatemáticos com temas de interessesocial, ligados às questões ambientais, aotrabalho e ao consumo, aodesenvolvimento tecnológico, entreoutros.

Outras atividades têm como finalidadechamar a atenção sobre os aspectosmatemáticos que envolvem os estudosdos números, tão importantes quanto osque tratam de seus usos e significadossociais. Dentre essas atividades,destacam-se as que estimulam o aluno aperceber regularidades, a estabelecersemelhanças e diferenças entre escritasnuméricas, a analisar definições.

É fundamental que o estudo não selimite aos textos e propostas deatividades apresentadas, mas que estecapítulo seja um roteiro de estudo, a ser

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ampliado pela consulta de outras fontesbibliográficas. As atividadesapresentadas em forma de teste, comrespostas ao final, são uma

oportunidade para que o aluno confirasuas respostas e retome, se for o caso,pontos que ainda não foram claramentecompreendidos.

BIBLIOGRAFIA

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Geometria – leitura erepresentação da realidadeNorma Kerches de Oliveira Rogeri

O pensamento geométrico é um recursoextremamente importante pararesolução de muitos problemas da nossavida cotidiana. Muitas vezes, noentanto, nos deparamos comdificuldades na busca da solução dessesproblemas por “ausência” de habilidadesgeométricas que podem serdesenvolvidas a partir de situações ondea percepção, representação, construçãoe concepção estão presentes.

O professor, ao trabalhar com ageometria, precisa estruturar o trabalhode tal forma que possibilite ao alunodesenvolver um tipo especial depensamento que lhe permitacompreender, descrever e representar, deforma organizada, o mundo em que vive.

No capítulo, as atividades valorizam apercepção espacial para que o alunopossa estabelecer conexões entre aMatemática e as outras áreas doconhecimento, na busca de argumentoslógicos e de procedimentos degeneralização.

DESENVOLVENDO ACOMPETÊNCIAA finalidade deste texto é possibilitar aoaluno a utilização do conhecimentogeométrico para realizar a leitura e arepresentação da realidade e agir sobreela. Para isso, o aluno será estimulado aconstruir conceitos geométricos e autilizá-los por meio de atividades quepossibilitem os desenvolvimentos dashabilidades:

• Identificar e interpretar fenômenos dequalquer natureza expressos emlinguagem geométrica.

• Construir e identificar conceitosgeométricos no contexto da atividadecotidiana.

• Interpretar informações e aplicarestratégicas geométricas na soluçãode problemas do cotidiano.

• Utilizar conceitos geométricos naseleção de argumentos propostos comosolução de problemas do cotidiano.

• Recorrer a conceitos geométricos paraavaliar propostas de intervenção sobreproblemas do cotidiano.

UTILIZAR O CONHECIMENTO GEOMÉTRICO

PARA REALIZAR A LEITURA E A REPRESENTAÇÃO

DA REALIDADE E AGIR SOBRE ELA.

Matemática - Ensino FundamentalCapítulo IV

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As idéias e conceitos geométricos sãoabordados neste texto, principalmente,através de situações do cotidiano ondeaparecem como um poderoso recursopara solucionar as questões propostas.Além disso, a geometria será associadanão apenas a essas dimensões práticas,mas, também, em suas relações com aArte e a Arquitetura, ou seja, em suasrelações com a estética e a harmonia.

A resolução de problemas é a estratégiametodológica privilegiada, poispossibilita ao aluno a análise e ainterpretação de situações e,principalmente, a aplicação das idéias econceitos geométricos na busca desoluções dessas situações.

As atividades propostas caracterizam-sepela problematização de situações emque o aluno precisa identificar einterpretar conceitos e procedimentosgeométricos, usando a percepçãoespacial para compreender e representaros fenômenos da natureza, gerando,com isso, possibilidades de intervençãona realidade e na busca de melhorqualidade de vida.

Além disso, algumas situaçõespropostas sugerem o uso de conceitosgeométricos como ferramentas pararesolver problemas de grandezas e

medidas, possibilitando a articulaçãoentre os eixos temáticos da matemática.

Neste texto, as atividades foramestruturadas de tal forma quepossibilitem ao aluno perceber,representar, construir e conceber idéiase formas geométricas e, assim,desenvolver habilidades devisualização, percepção espacial,análise, criatividade, principalmente,para resolver problemas geométricos dasua vida cotidiana. No entanto, aaprendizagem não decorre dasatividades propostas ao aluno, mas sim,das relações que ele estabelece a nívelde pensamento entre significados econceitos. Assim, o texto deverepresentar uma estratégia quepossibilite e promova a reflexão doaluno sobre aspectos importantes dedeterminados conceitos que estão sendodesenvolvidos e não se limite, apenas,aos textos e às propostas de atividades.Ele deve ser um fio condutor dotrabalho, a ser ampliado também pelaconsulta de outras fontes bibliográficas.É importante que o aluno registredúvidas e questionamentos em relaçãoàs atividades do texto e que possa, comisso, ter orientação do professor paragarantir sua aprendizagem.

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As medidas e a compreensãoda realidadeDulce Satiko Onaga

Para aprender Matemática comsignificado, é importante desenvolvercompetências que permitam estabelecerconexões entre estes temas e as demaisáreas do conhecimento e entre estestemas e as situações do cotidiano.

Muitos dos fatos com os quaisconvivemos ou podemos observar nodia-a-dia envolvem medidas egrandezas. Elas nos dão informaçõessobre as distâncias que percorremos, otamanho da nossa casa, a capacidade danossa caixa d’água, a quantidade dealimentos que necessitamos, o nossogasto com energia elétrica, aorganização do nosso tempo e outrascoisas mais.

A necessidade de medir é muito antiga.Depois que os homens foram deixandode ser apenas caçadores e coletores dealimentos, foram se fixando no solo,como agricultores. Deixaram

gradativamente a vida nômade etornaram-se, aos poucos, cada vez maissedentários.

Os egípcios antigos, por exemplo,cultivavam as terras nas margens do rioNilo. Elas eram demarcadas de acordocom cada grupo de agricultores. Ascheias do rio destruíam essasdemarcações, o que os obrigavam arefazê-las todos os anos.

Para usar essas terras, os agricultorespagavam impostos ao Faraó. Hoje,pagamos IPTU (Imposto Predial eTerritorial Urbano), imposto que aPrefeitura da maioria das grandescidades recolhe dos contribuintes quepossuem um imóvel ou terreno nomunicípio.

No início, é possível que as pessoasapenas comparassem grandezas.Quando pensaram em construir suascasas, fazer suas plantações, armazenar

CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE GRANDEZAS E MEDIDAS

PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE

PROBLEMAS DO COTIDIANO.

Matemática - Ensino FundamentalCapítulo V

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seus produtos, controlar sua produção,elas se depararam com problemas demedidas. Para resolver aqueles queenvolviam comprimentos, criaramunidades de medidas que, em geral,eram provenientes do tamanho daspartes do corpo do governante de cadapaís. Como elas não eram comuns atodos, foram surgindo dificuldades,principalmente nas trocas comerciais.Começou-se então, a busca por umapadronização de unidades, o quecaracterizou melhor o desenvolvimentoda noção de medir.

DESENVOLVENDO ACOMPETÊNCIAA finalidade do capítulo é auxiliar oleitor no desenvolvimento dacompetência de construir e ampliarnoções de grandezas e medidas para acompreensão da realidade e a soluçãode problemas do cotidiano.

Esta competência é traduzida por meiodas seguintes habilidades:

• Identificar e interpretar registrosutilizando a notação convencional demedidas.

• Estabelecer relações adequadas entrediversos sistemas de medidas e arepresentação de fenômenos naturaise do cotidiano.

• Selecionar, compatibilizar e operarinformações métricas de diferentessistemas ou unidades de medidas naresolução de problemas do cotidiano.

• Selecionar e relacionar informaçõesreferentes a estimativas ou outras

formas de mensuração de fenômenosde natureza qualquer com aconstrução de argumentação quepossibilite sua compreensão.

• Reconhecer propostas adequadas deação sobre a realidade, utilizandomedidas e estimativas.

No capítulo, as atividades com medidassão desenvolvidas estabelecendorelações com os conceitos geométricose numéricos, com proporcionalidade eas representações gráficas, pretendendo,assim, vincular Medidas com Números,Geometria e Tratamento da Informação,de modo que o trabalho com essesquatro temas se dê simultaneamente.

Os temas abordam situações docotidiano em que são propostosproblemas que propiciem a reflexão, adiscussão e a resolução dos mesmos, deforma a constituir o ponto de partidapara a construção dos conceitos.

No primeiro momento, os alunos sãoconvidados a opinarem sobre a situaçãoproposta. O professor, se preferir, poderápedir pedir-lhes que leiam os textos comantecedência, ou que façam uma leiturasilenciosa em classe, e depois promoveruma discussão, encerrando com umaprimeira síntese do tema tratado.

Acreditamos que melhorar a capacidadede ler, interpretar e resolver problemasfaz parte da construção doconhecimento matemático. Além disso,explorar assuntos do interesse dosalunos despertará sua curiosidade,envolvendo-os numa busca de novosconhecimentos e enriquecendo aquelesque já possuem.

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As atividades procuram explicitar asdiferenças da natureza entre medidas decomprimento, massa, capacidade,tempo, área, volume e energia elétrica epretendem que os alunos justifiquem anecessidade da unidade padrão. Éimportante observar que a necessidadede trabalhar com as unidadesconvencionais está relacionada com umproblema de comunicação. Para efetuaruma medição escolhemos uma unidadede medida de mesma natureza dagrandeza que queremos medir.

Apresentando as unidades padrão paraessas grandezas, são propostas situaçõesque possibilitam aos alunosestabelecerem relações entre unidadesde medidas e utilizarem múltiplos esubmúltiplos das unidadesfundamentais, com ênfase apenas nasunidades mais comuns no dia-a-dia. Aoconstruírem as unidades legais espera-seque eles percebam que certoscomprimentos, ou outros tipos demedidas, não são mensuráveis comapenas uma determinada unidade e quea partir desta pode-se criar outrasunidades. Assim, eles começam aadequar as unidades de medida àsgrandezas que se deseja medir, e adescobrir a equivalência entre asunidades criadas em um mesmo sistemade medida.

As habilidades para o uso e a leitura deinstrumentos apropriados para medirdiversas grandezas vão se refinandogradativamente.

A avaliação precisa ser contínua,dinâmica e, com freqüência, informal,


para que por meio de uma série deobservações sistemáticas, o professorpossa emitir um juízo valorativo sobre aevolução dos alunos e tomar as atitudesnecessárias.

O procedimento de registro pode sersimples, exigindo pouco tempo paraanotá-lo e levando em conta:

• as respostas dos estudantes, quandoeles manifestam de forma implícita ouexplícita suas certezas, dúvidas eerros;

• as observações das ações e discussõesefetuadas durante as tarefasindividuais, em grupos pequenos oucom a classe toda;

• análise de provas, tarefas feitas emcasa, diários e trabalhos escritos.

Outras sugestões que poderão auxiliar oprofessor:

• Sugerir uma leitura complementadacom pesquisas e discussão em sala deaula ou exposição dos resultados daspesquisas realizadas.

• Organizar palestras, sessões de vídeos,visita a exposições e museus.

• Promover um trabalho integrado comoutras áreas: Ciências, Geografia,Educação Artística, explorandonotícias locais, e também, matérias dejornais e revistas.

• Utilizar a História da Matemáticaspois ela poderá despertar o interessedos alunos. Incentivá-los apesquisarem outras unidades demedida que foram usadas ao longo daHistória da humanidade.

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BIBLIOGRAFIA

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• Propiciar outras atividades demedição, utilizando unidades nãopadronizadas, nas quais os alunospoderão perceber medidas diferentes,decorrentes da diferença entre asunidades utilizadas.

• Explorar outros instrumentosutilizados na medição decomprimento, massa, capacidade efazendo-os perceber a adequação decada um às situações de medição.

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MACHADO, N. J. Matemática e língua materna: Análise de uma impregnação mútua.São Paulo: Cortez, 1990. (Educação contemporânea).

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Proporcionalidade:uma idéia fundamentalRuy César Pietropaolo

A aprendizagem de noções, conceitos eprocedimentos matemáticos éfundamental para a formação do cidadão,pois permite a aquisição de ferramentasbásicas para que ele possa resolversituações da vida diária, compreendermelhor o próprio ambiente, comunicaridéias e mesmo entender assuntos dasdiversas áreas do conhecimento. Mas,para isso, esse processo não pode limitar-se a uma simples memorização de regrase técnicas e nem ao conhecimento formalde definições.

Entre as diversas noções matemáticasque devem ser desenvolvidas pelosjovens e adultos, destaca-se a deproporcionalidade, o tema central destetexto. Essa noção é fundamental, poisestá presente no dia-a-dia das pessoasem diversas situações, tais como ainterpretação de um mapa ou da plantade um edifício, a ampliação de uma foto,a receita de uma torta, a leitura de umgráfico em jornais, estimativas de preçosetc.

Além disso, a noção deproporcionalidade é necessária paraestudar diversos temas da Matemática e

de outras áreas do conhecimento, comoFísica, Biologia, Psicologia, Geografiaetc.

DESENVOLVENDO ACOMPETÊNCIAO capítulo está voltado para odesenvolvimento da competência deconstruir e ampliar noções de variaçãode grandezas direta e inversamenteproporcionais para a compreensão darealidade e a solução dos problemas docotidiano. Mas, para isto, é fundamentalque os jovens e adultos desenvolvamum conjunto de habilidades queexpressem essa competência. São elas:

• Identificar grandezas direta einversamente proporcionais einterpretar a notação usual deporcentagem.

• Identificar e avaliar variação degrandezas para explicar fenômenosnaturais, processos socioeconômicos eda produção tecnológica.

• Resolver problemas envolvendograndezas direta e inversamenteproporcionais e porcentagens.

CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE VARIAÇÃO DE GRANDEZA



Matemática - Ensino FundamentalCapítulo VI

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• Identificar e interpretar variaçõespercentuais de variávelsocioeconômica ou técnico-científicacomo importante recurso para aconstrução de argumentaçãoconvincente.

• Recorrer a cálculos com porcentagense relações entre grandezasproporcionais para avaliar a adequaçãode propostas de intervenção narealidade.

Assim, procurou-se sugerir ao alunoque, mediante uma situação-problemaenvolvendo variação de grandezas, façaas seguintes perguntas:

• Uma grandeza depende da outra?

• Se sim, como se dá essa dependência?

• Por que é importante saber como elasse relacionam?

• É importante identificar o tipo devariação?

• No que isso pode me ajudar a resolvero problema?

Para isso, foram propostas situações emque há proporcionalidade direta ouinversa entre grandezas, além desituações em que não háproporcionalidade.

Há um significativo consenso entre oseducadores de que a utilização dasituação-problema como ponto departida da atividade matemática é umaforma de possibilitar o desenvolvimentode capacidades fundamentais, comoobservação, estabelecimento derelações, comunicação, argumentação evalidação de processos. A resolução deproblemas possibilita, assim, odesenvolvimento de formas do

raciocínio como intuição, indução,dedução e estimativa.

Desse modo, a abordagemmetodológica deste texto é a resoluçãode problemas em contextos diversos,como aqueles do cotidiano, e de outrasáreas do conhecimento, como física eeconomia.

A elaboração deste texto levou emconta que, para o desenvolvimento danoção de proporcionalidade, éfundamental a exploração de situaçõesde aprendizagem que levem o estudantea observar a variação entre grandezas,estabelecer relação entre elas e construirestratégias de solução para resolversituações que envolvam esta importantenoção.

No texto, é apresentada, de início, umasituação cujas grandezas envolvidas nãovariam proporcionalmente. O aluno, pormeio de seus conhecimentos prévios,poderá responder à questão proposta.Em seguida, é apresentada outrasituação, mas envolvendo grandezasdiretamente proporcionais. Depois, éfeita uma breve sistematização do quefoi discutido nessas duas situações:grandezas diretamente proporcionais egrandezas não proporcionais.

Ainda na primeira parte, o alunoaprenderá a identificar grandezasinversamente proporcionais e calcularporcentagens por meio daproporcionalidade. Ou seja,conhecendo-se quanto é 10% de umvalor, ele pode calcular qualquer outraporcentagem.

Na segunda parte do texto, procurou-sedestacar a representação gráfica de

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grandezas diretamente proporcionais e arepresentação de grandezasinversamente proporcionais.

O destaque da terceira parte do texto épara a propriedade fundamental dasproporções. Para a resolução dasdiversas situações propostas,envolvendo tanto as grandezas diretaquanto as inversamente proporcionais,discute-se a utilização da regra de três.

Na quarta parte do texto, os jovensterão oportunidade de analisar umproblema sobre variação de grandezasenvolvendo geometria e medidas. Notexto, discute-se que a área doquadrado é diretamente proporcionalnão ao seu lado, mas sim, ao quadradodeste. Os estudantes são convidados aanalisar a validade de algumas

argumentações, bem como elaboraroutras.

Na última parte, os alunos deverãoutilizar as noções que foramdesenvolvidas para analisar propostasde intervenção na realidade.

A maneira pela qual os conteúdos sãoabordados neste capítulo podefavorecer o processo de compreensãodo estudante sobre os conceitos eprocedimentos desenvolvidos eincentivá-lo à aplicação destes emsituações de sua realidade.

Sugerimos o uso de calculadoras nassituações em que há muitos cálculos,para agilizar os resultados e permitirque o aluno se dedique mais tempo àsquestões relevantes da situaçãoproposta.

BIBLIOGRAFIA

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Neste texto, procuraremos enfatizardiferentes funções da álgebra, para queo aluno da Educação de Jovens eAdultos, além de ampliar sua visãosobre ela, possa construir umpensamento algébrico que, juntamente,com o pensamento aritmético egeométrico, lhe permita resolverproblemas.

A Álgebra será apresentada com asfunções de:

• generalizar dados aritméticos• generalizar dados aritméticos• generalizar dados aritméticos• generalizar dados aritméticos• generalizar dados aritméticos: asvariáveis teriam a função derepresentar a generalidade de umapropriedade ou característica que ésempre observada;

• representar a relação entre• representar a relação entre• representar a relação entre• representar a relação entre• representar a relação entregrandezasgrandezasgrandezasgrandezasgrandezas: aqui, as variáveismodificam-se com a alteração daquantidade de grandeza;

• servir para manipulação• servir para manipulação• servir para manipulação• servir para manipulação• servir para manipulaçãosimbólica:simbólica:simbólica:simbólica:simbólica: essa função, muitoimportante na Matemática, encontra,hoje, aplicação prática em diversasáreas, dentre elas a eletricidade e ainformática;

• resolver problemas difíceis do pontode vista aritmético.

DESENVOLVENDO ACOMPETÊNCIAO capítulo tem como finalidade estimularo aluno a construir e utilizar conceitosalgébricos para modelar e resolverproblemas. Essa competência concretiza-se por meio de diferentes habilidades:

• Identificar, interpretar e utilizar alinguagem algébrica como umageneralização de conceitosaritméticos.

• Caracterizar fenômenos naturais eprocessos da produção tecnológica,utilizando expressões algébricas eequações do 1º e 2º graus.

• Utilizar expressões algébricas eequações do 1º e 2º graus paramodelar e resolver problemas.

• Analisar o comportamento de umavariável, utilizando ferramentasalgébricas como importante recursopara a construção de argumentaçãoconsistente.

A Álgebra, suasfunções e seus usosAngélica da Fontoura Garcia Silva

CONSTRUIR E UTILIZAR CONCEITOS ALGÉBRICOS

PARA MODELAR E RESOLVER PROBLEMAS.Matemática - Ensino Fundamental

Capítulo VII

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• Avaliar, com auxílio de ferramentasalgébricas, a adequação de propostasde intervenção na realidade.

Os conteúdos são abordados tomandocomo eixo as funções da álgebra e a sualinguagem, até a modelização e asolução de problemas.

Essa modelização se dará, num primeiromomento, com a interpretação desituações dadas, que devem sertraduzidas por uma equação: isso levaráos alunos a compreenderem osprincípios multiplicativos e aditivos daigualdade e do significado da raiz.Desse modo, procurou-se não insistirsobre aspectos puramente mecânicos emnemônicos da álgebra, mas sim, sobreseus significados, a fim de que oestudante saiba utilizá-los na resoluçãode problemas.

Evidentemente, todo este trabalhoinicial deverá ser enriquecido peloprofessor, com as discussões que faráem sua sala, de onde partirão também,por exemplo, sugestões de outraspropriedades numéricas e geométricasque poderão ser citadas e generalizadas.As traduções para a linguagem algébricapoderão ser trabalhadas utilizando-asem situações de jogos, como o damemória ou dominó, dentre outros.

A opção por este enfoque leva em contaestudos recentes que mostram queapenas a repetição mecânica deprocedimentos, prática comum até bempouco tempo na escola, contribuiumuito pouco para o desenvolvimentodo pensamento algébrico do aluno.

Para que o estudante utilize

conhecimentos algébricos em suasargumentações, apresentamos umasituação-problema: duas opções depreços que serão vantajosas ou não,dependendo do número de dias duranteos quais se pretende alugar bicicletas.Essa situação, quando tratada na sala deaula, poderá ser complementadatambém com uma solução gráfica.

Para a construção de propostas deintervenção, decidimos tratar de umasituação real, que é a do Imposto deRenda, onde os valores da parcela adeduzir existem para corrigir aspossíveis “distorções” dos impostosdevidos nos intervalos próximos aoslimites das diferentes faixas - para umasituação em que um empregador querdar um aumento escalonado aos seusfuncionários.

Enfim, a proposta é levar o estudante aobservar regularidades e identificar a leide formação de seqüência, padrões,observação de tabelas e propriedadesaritméticas, utilizando-se de análise desituações-problema e comparandopossibilidades de resolução (aritméticase algébricas) com as respostas obtidas,construindo argumentações e propostasde intervenção.

Dentre as atividades propostas,destacamos algumas situações quepodem ser introduzidas com um jogo domágico envolvendo a classe toda, ondese coloca uma tabela com o númerofalado pelo aluno e o respondido peloprofessor. Essa regra pode ser simples,inicialmente, e depois chegar a outrasque possam encontrar mais que uma

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tradução, como, por exemplo, y = 3x +3 ou Y = 3 ( x+1), ou até mesmo atabelas que incluam números racionaisou negativos. O mesmo pode ser feitocom a atividade da adivinhação.Generalizamos, também, alguns padrõesgeométricos e algumas seqüênciasnuméricas. Utilizamos a análisegeométrica da propriedade distributivapara desenvolver o quadrado da soma.

Os fenômenos naturais e processos deprodução tecnológica foramcaracterizados por expressõesalgébricas, no exemplo dos satélites eda queda de corpos. Outros exemplossimples, como o da densidade ouvelocidade média, poderiam seranalisados pela turma.

Nos problemas do cotidiano,procuramos enfocar situações queenvolvam equações e cujo principalobjetivo é fazer o estudante aplicar osconhecimentos algébricos para resolvê-las. Aqui, as diferentes formas deresolver os problemas poderão ser umatrativo maior para o exercícioconstante da reflexão crítica,desenvolvendo habilidades deraciocínio, tais como investigação,inferência, reflexão e exploração.

Evidentemente, esta proposta deverá serenriquecida de modo a tornar este textoplenamente adequado aos alunos. Opapel do professor é fundamental,ampliando ou reduzindo as atividades.Seu trabalho é crucial noencaminhamento metodológicoproposto, baseado na metodologia daresolução de problemas, cujo enfoquerecai, principalmente, sobre o processoe o trabalho em grupo.

Quanto à questão da avaliação, naperspectiva do trabalho aqui proposto,ela ganha outros contornos, já que nãoseria possível acontecer numa únicaprova. É importante que o professor seutilize de diferentes instrumentos deavaliação, e que procure observar,continuamente, o desenvolvimento doseu aluno, nas produções escritas e nasdiscussões orais. Embora não tenham omesmo peso que lhes era conferidoanteriormente, as avaliações individuaisdevem continuar como parte doprocesso geral de avaliação daaprendizagem do aluno, só queacrescida de uma outra fase, em que oaluno prepara um relatório de análisedesta avaliação, garantindo ummomento de reflexão sobre o que foiavaliado anteriormente.

BIBLIOGRAFIA

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A Estatística e sua importânciano mundo da informaçãoEdda Curi

O exercício da cidadania pressupõe queas pessoas desenvolvam sua capacidadede aprender, tendo como meios odomínio da leitura, da escrita e doconhecimento matemático, de tal formaque lhes seja permitido compreender omundo, o ambiente natural, cultural epolítico à sua volta, as artes, atecnologia e os valores quefundamentam a sociedade, para nelaatuar de forma crítica e participativa.

A Matemática pode contribuir para quejovens e adultos tenham melhorcompreensão do mundo em que vivem,pois, mesmo excluídos do processoeducacional, jovens e adultos precisamcompreender informações muitas vezescontraditórias, que incluem dadosestatísticos e tomadas de decisõesdiante de questões políticas e sociaisque dependam da leitura crítica e dainterpretação de índices divulgadospelos meios de comunicação.

DESENVOLVENDO ACOMPETÊNCIAO capítulo está voltado para odesenvolvimento da competênciadestacando o estudo de Estatística, quetem especial relevância no mundo dehoje, tendo em vista que conceitos eprocedimentos estatísticos são deimportância fundamental às tomadas dedecisão diante de incertezas.

Espera-se que os jovens e adultosdesenvolvam um conjunto dehabilidades que traduzam essacompetência:

• Reconhecer e interpretar informaçõesde natureza científica ou socialexpressas em gráficos ou tabelas.

• Identificar ou inferir aspectosrelacionados a fenômenos de naturezacientífica ou social, a partir deinformações expressas em gráficos outabelas.

• Selecionar e interpretar informaçõesexpressas em gráficos ou tabelas para

INTERPRETAR INFORMAÇÕES DE NATUREZA CIENTÍFICA ESOCIAL OBTIDAS DA LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS,REALIZANDO PREVISÃO DE TENDÊNCIA, EXTRAPOLAÇÃO,INTERPOLAÇÃO E INTERPRETAÇÃO.

Matemática - Ensino FundamentalCapítulo VIII

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a resolução de problemas: analisar ocomportamento de variável expressaem gráficos ou tabelas, comoimportante recurso para a construçãode argumentação consistente.

• Avaliar, com auxílio de dadosapresentados em gráficos ou tabelas, aadequação de propostas deintervenção na realidade.

Em todo o capítulo, foram utilizadostextos de jornais e revistas, pois sãorecursos didáticos ricos em informações,com uma organização que utilizadiferentes representações: tipos de letras,fotos, tabelas, gráficos etc. Eles foramutilizados não apenas para a leitura einterpretação de gráficos e tabelas, maspara a leitura e análise de textos.

Como acontece com outrasaprendizagens, a aquisição de novosconhecimentos deve considerar osconhecimentos prévios dos alunos. Nocaso deste capítulo, foram consideradosconceitos decorrentes das vivências dosjovens e adultos, de suas interaçõessociais e de sua experiência pessoal, poisos adultos têm conhecimentos bastantediversificados que enriquecem aaprendizagem.

O capítulo privilegiou o enfoque deresolução de problemas na abordagemdos conteúdos. O trabalho com ametodologia de resolução de problemasfavorece o aprendizado, pois engloba aexploração do contexto da situação; apossibilidade de desenvolver atitudes deperseverança, nos jovens e adultos, embusca de resultados; a capacidade decomunicar-se matematicamente e deutilizar processos de pensamento

abstrato.

É importante destacar que a resolução deproblemas vem se tornando um recursoindispensável no processo de ensino eaprendizagem. O problema é o ponto departida para a atividade matemática, éuma situação que demanda a realizaçãode uma seqüência de ações para se obterum resultado, ou seja, a solução não estádisponível, mas é possível construí-la.

Outra preocupação foi a de darsignificado à atividade matemática,estabelecendo conexões entre osdiferentes temas matemáticos e,também, entre esses temas e as demaisáreas do conhecimento e as situaçõesdo cotidiano. O estabelecimento derelações é fundamental para que oestudante compreenda, efetivamente, osconteúdos matemáticos. Abordados deforma isolada, eles não se tornam umaferramenta eficaz para resolverproblemas e para a aprendizagem ouconstrução de novos conceitos.

Na primeira parte do capítulo, discute-se a necessidade de se estudaremalgumas noções de Estatística.

Na segunda parte, os jovens têm aoportunidade de ler dados (apresentadosem diferentes tipos de gráficos e detabelas simples) e de reconhecerinformações. Além dos problemasdiscutidos no texto, têm a oportunidadede resolver mais cinco problemas e deescrever um pequeno texto, no qualdescrevem suas observações em relaçãoa alguns gráficos estudados.

Na terceira parte, os jovens têm aoportunidade de interpretar dadosapresentados em tabelas de dupla

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entrada e em diferentes tipos degráficos, além de fazer inferências, apartir da interpretação de dados, comono caso do gráfico que apresenta amédia de filhos por mulher, nosúltimos anos. Além dos problemasresolvidos no texto, os jovens têm aoportunidade de resolver mais oitoatividades. Nessa parte do texto, háindicações para que o jovem aprofundeseus conhecimentos sobre construçõesde gráficos.

Na quarta parte do texto, os jovens têma oportunidade de resolver problemaspara os quais precisam interpretar osdados apresentados em tabelas ougráficos. Além dos problemas resolvidosno corpo do texto, têm a oportunidadede resolver mais sete problemas paraaprofundamento e de escrever umpequeno texto a respeito da distribuiçãode renda no país.

Na quinta parte do texto, os jovens têma oportunidade de utilizar os dadosapresentados em gráficos e tabelascomo recurso de argumentação.Também nessa parte, além dasatividades discutidas no texto, há maisquatro situações nas quais os jovenspodem exercitar sua argumentação.

Na última parte, a Estatística é usadapara analisar intervenções na realidade.Os jovens são convidados a analisarindicadores sociais no Brasil e emalguns países da América Latina,analisando a intervenção de uma ONG.Depois têm a oportunidade de proporuma intervenção, partindo da análise doindicador escolhido.

As atividades propostas podem serdesenvolvidas com os alunosorganizados em pequenos grupos, poiso trabalho em grupos gera um ambienteque se caracteriza pela proposição,investigação e exploração de diferentesidéias por parte dos alunos, bem comopela interação entre eles, pelasocialização de procedimentosencontrados para solucionar umaquestão e pela troca de informações.

As reportagens propostas foramutilizadas com a finalidade dedesenvolver a leitura e análise detextos. Considerando-se que jovens eadultos com pouca escolarização nemsempre lêem com autonomia, aestratégia que pode ser utilizada é a dediscutir previamente o tema, o título dotexto, o significado de algumas palavrascom que eles possam ter menosfamiliaridade.

Além das atividades propostas, épossível desenvolver outras noções deEstatística, como amostra, população,média aritmética, moda e mediana. Otrabalho com gráficos pode seraprofundado, com uma discussão desituações onde possam ser usados osdiferentes tipos de gráfico. Outrotrabalho que pode ser realizado é o deaprofundamento na construção dos tiposde gráficos mais comuns. A construçãodos gráficos permite o trabalho comalgumas idéias matemáticas, comoporcentagem e escala. A construção dográfico de setores permite o trabalhocom medidas de ângulos, raio e diâmetrode uma circunferência e alguns


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conteúdos procedimentais, como aconstrução de uma circunferência comcompasso, construção de ângulos comtransferidor.

Ao final do texto, o aluno deverá sercapaz de organizar e analisarinformações, construir e interpretartabelas e gráficos, formular argumentosconvincentes, tendo por base a análisede dados organizados emrepresentações matemáticas sobre

situações da realidade brasileira. Asugestão é que o aluno registre suasdúvidas em relação às atividades dotexto e, a partir desses registros,selecione os conceitos/procedimentosque precisam ser melhor trabalhadoscom ajuda do professor.

A proposta é que este texto seja umroteiro de estudo, possível de serampliado pela consulta de outras fontesbibliográficas.

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Explorando situaçõesnuméricasCláudio Saiani

Falar de Matemática na Educação deJovens e Adultos é um tanto diferentede tratar da mesma disciplina paracrianças. Permanecem os objetivos delongo alcance, conforme expressos nosParâmetros Curriculares Nacionais: amatemática desenvolve o raciocíniológico, a capacidade de abstrair,generalizar, transcender o que éimediatamente sensível (PCN, p. 9).

Por outro lado, lidando com medição,contagem e técnicas de cálculo, ela éuma importante ferramenta para tratarde aspectos práticos da realidade.

Para uma criança, esses aspectos práticospodem ser direcionados de modo aintroduzi-la no “mundo dos adultos”.Certas situações são novidade para ela e,daí, vem seu poder motivador. Ao lidarcom a Educação de Jovens e Adultos,devemos ter em mente que o estudante játraz uma bagagem tácita deconhecimentos e habilidades, diferentesdos de uma criança e, possivelmente,dentro de um trajeto distinto daquele que,em geral é ditado pela educação formal.

No capítulo, focalizamos determinadassituações retiradas de contextosdiversos da ciência e da tecnologia. Aintenção é dupla. Por um lado,instrumentalizar o aluno para a leiturade textos em que compareçam númerosque, normalmente, ele não vê em suasatividades cotidianas. Por outro,propiciar pretextos para que elepesquise sobre conceitos científicos, suaaplicação e adequação. Em suma,colaborar para que ele se torne um leitordo mundo mais proficiente ecompetente e para que as fronteiras deseu mundo se ampliem, de modo aultrapassar os limites de seu dia-a-dia.

DESENVOLVENDO ACOMPETÊNCIAA competência deste capítulo sematerializa nas seguintes habilidades:

• Identificar e interpretar estratégias esituações matemáticas numéricasaplicadas em contextos diversos daciência, da tecnologia e da vidacotidiana.

COMPREENDER CONCEITOS, ESTRATÉGIAS E SITUAÇÕES

MATEMÁTICAS NUMÉRICAS PARA APLICÁ-LOS A SITUAÇÕES

DIVERSAS NO CONTEXTO DAS CIÊNCIAS, DA TECNOLOGIA E DA

ATIVIDADE COTIDIANA.

Matemática - Ensino FundamentalCapítulo IX

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• Construir e identificar conceitosmatemáticos numéricos nainterpretação de fenômenos emcontextos diversos da ciência, datecnologia e da vida cotidiana.

• Interpretar informações e aplicarestratégias matemáticas numéricas nasolução de problemas em contextosdiversos da ciência, da tecnologia e davida cotidiana.

• Utilizar conceitos e estratégiasmatemáticas numéricas na seleção deargumentos propostos como soluçãode problemas em contextos diversosda ciência, da tecnologia e da vidacotidiana.

• Recorrer a conceitos matemáticosnuméricos para avaliar propostas deintervenção em contextos diversos daciência, da tecnologia e da vidacotidiana.

Quando procuramos matemática noscampos da ciência, da tecnologia e da vidacotidiana, logo nos deparamos com umatal variedade de escolhas que a simplesopção por um conteúdo específico já éuma tarefa difícil. Por outro lado, se asaplicações da matemática em qualquerâmbito já apresentam forte potencialmotivador, muitas vezes os obstáculosinerentes à própria matemática somam-seas dificuldades próprias da situaçãocientífica ou tecnológica em foco.

Tendo em vista esse fato, procuramosabordar conteúdos com aplicações emvários ramos da ciência (e, também, emmenor grau, da vida cotidiana), demodo a revelar a aplicabilidade dosconceitos e estratégias, ao mesmo

tempo, procurando apresentar assuntospotencialmente passíveis de umdesenvolvimento mais amplo, a critériodo professor. A escolha recaiu sobre anotação científica, as porcentagens, oPrincípio Fundamental da Contagem eas probabilidades.

Enfatizamos conceitos e habilidadesnuméricas de determinadas situações,de modo que o estudante pudesse lidarcom elas, prescindindo, por exemplo, deconhecimentos algébricos, que sãoobjeto de outro capítulo. Dessa forma, aresolução de problemas, que apenas seanuncia nos itens 1 e 2, é assumidaplenamente a partir do item 3.Procuramos situações com que o alunopudesse lidar, utilizando apenas asquatro operações, privilegiando umraciocínio aritmético.

As atividades propostas caracterizam-sepela busca da importância dos númerosem aplicações científicas e tecnológicas.Dessa forma, procuramos ampliar oleque de situações, mesmo correndo orisco de apresentar situações nãofamiliares ao leitor. O que poderiaconstituir um obstáculo, no entanto,pode servir como instrumento em favordo crescimento do estudante. O fato deele conseguir lidar com tais situações,apenas com seus conhecimentosmatemáticos, reforça o caráter damatemática como linguagemunificadora na descrição de fenômenos.Por outro lado, cada uma das atividadespode servir como pretexto para umapesquisa mais aprofundada, soborientação do professor e quem sabedentro de um projeto multidisciplinar.

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Uma vez que o conteúdo do presentetexto necessita apenas das quatrooperações, pode ser utilizado comproveito a qualquer momento dodesenvolvimento do curso. Sugere-sesua utilização para trabalhos em grupo,como instigador de pesquisasmultidisciplinares, em conjunto com asáreas de Ciências e Geografia, porexemplo. Por outro lado, asprobabilidades podem lançar uma pontepara assuntos normalmente abordadosno Ensino Médio, propiciandointeressantes temas para pesquisas

sobre jogos de dados, baralhos eloterias. É importante ressaltar que osjogos comparecem, aqui, apenas comotema de estudos, bem de acordo comoseu importante papel na história daMatemática.

Dependendo das possibilidades daescola e da comunidade, o professorpoderá orientar a amplificação dostemas abordados, mediante a utilizaçãode livros, jornais, revistas de divulgaçãocientífica e Internet. Mais do que isso,pode ajudar a desenvolver o hábito defreqüentar bibliotecas.

BIBLIOGRAFIA

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Neste bloco, são apresentadas sugestões de trabalhopara que o professor possa orientar-se no sentido de

favorecer aos seus alunos o desenvolvimento dascompetências e habilidades que estruturam a avaliação

do ENCCEJA – Matemática e suas Tecnologias –Matemática e suas Tecnologias –Matemática e suas Tecnologias –Matemática e suas Tecnologias –Matemática e suas Tecnologias –Ensino Médio.Ensino Médio.Ensino Médio.Ensino Médio.Ensino Médio.

Estes textos complementam o material de orientação deestudos dos estudantes e ambos podem ganhar seu real

significado se incorporados à experiência do professor eà bibliografia didática já consagrada nesta área.

Matemáticae suas Tecnologias

Ensino MédioCapítulos I ao IX

V. Orientação para o trabalho do professor

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O capítulo trata de alguns aspectosligados à construção do conhecimentomatemático ao longo da história dahumanidade.

A escolha desses aspectos estáintimamente ligada a certas habilidadesque os alunos deverão desenvolver aolongo da aprendizagem da Matemática.

A idéia central é levá-los a perceber quea Matemática não foi contruída por essaou aquela pessoa, mas sim pelahumanidade como um todo. É claro que,nesse processo, as pessoas desempenhampapéis diversos como, por exemplo, opoceiro desejando saber que volume deterra vai obter ao escavar um poço de“2m de boca” por “5m de fundura” e omatemático construindo umconhecimento que lhe permitadeterminar o volume de qualquercilindro.

Salientamos ainda que o texto temtambém a intenção de mostrar que oprocesso de construção doconhecimento matemático sedesenvolveu a partir de diferentesmotivações: as questões do dia-a-dia

que a humanidade enfrenta no decorrerde sua história, as questões propostaspelos outros campos do conhecimento esuas própriasquestões internas.

Assim, os exemplos referentes àconstrução do conhecimentomatemático para resolver problemas docotidiano estão, de certa maneira, maisdiretamente ligados à realidade doaluno. São exemplos: a troca de umacerta quantidade de peixes por outra deaves ou a busca de um modelo quedescreva a despesa do freguês dapadaria.

Por outro lado, as situações propostaspara mostrar o desenvolvimento doconhecimento matemático a partir desuas questões internas não são demodo algum ligadas à realidade doaluno, ao seu cotidiano. Por exemplo,não há trocas de mercadorias, nemcompras em supermercados que dêemconta da questão da criação dosnúmeros complexos! Sua criação eaceitação dependem muito mais dequestões filosóficas do que dematemáticas.

A Matemática: umaconstrução da humanidadeSuzana Candido

COMPREENDER A MATEMÁTICA COMO CONSTRUÇÃO HUMANA,RELACIONANDO O SEU DESENVOLVIMENTO COM ATRANSFORMAÇÃO DA SOCIEDADE.

Matemática - Ensino MédioCapítulo I

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Já são um pouco mais concretas assituações que nos levam aos exemplosligados à construção de conceitos e idéiasmatemáticas para responder às questõespropostas por outros campos doconhecimento, como a trigonometriadando subsídios à arquitetura ou àgeometria fornecendo modelos para aquímica.

Essas três motivações, decorrentes dosproblemas que aparecem no cotidianodo homem, nos outros campos doconhecimento e nas questões internasda própria matemática, levaram ahumanidade à construção doconhecimento matemático; elasconstituem tema de boa parte destecapítulo e estão de certa maneirasintetizadas num item final – Usando aUsando aUsando aUsando aUsando aMatemática para modificar oMatemática para modificar oMatemática para modificar oMatemática para modificar oMatemática para modificar omundomundomundomundomundo –, cuja finalidade é modificar oaluno, levando-o a perceber que ele fazparte da construção histórica desseconhecimento para modificar arealidade à sua volta.

A abordagem metodológica utilizada nocapítulo foi desenvolvida numaperspectiva da resolução de problemas.

Sempre que possível e conveniente, oaluno é colocado diante de umasituação-problema inicial, para que sedefronte com o que sabe a respeito doassunto ou mesmo comece a sefamiliarizar com ele.

A seguir, o texto oferece apoio aosproblemas apresentados, visando àcomplementação do que o aluno jáconhece ou à compreensão de conceitose procedimentos desconhecidos erequeridos em sua resolução.

Uma grande parte desses problemas têm

uma resolução descrita no própriotexto, enquanto que, para outros,apresentamos apenas a solução na folhade respostas.

Sempre que possível, também, foramescolhidos exemplos ligados aointeresse dos leitores como, porexemplo, as situações ligadas acompras, a segurança, a corrupção, àparticipação comunitária.

Assim, a sugestão de trabalho com essecapítulo também tem por base aresolução de problemas.

DESENVOLVENDO ACOMPETÊNCIAAs habilidades a serem desenvolvidas eo trabalho com este texto levaram emconta:

• o conhecimento sobre a realidadeem que os alunos do Ensino deJovens e Adultos possuem.

• a concepção de ensino eaprendizagem, que deve estarconsubstanciada na proposta desteprojeto, que, por sua vez, tem porbase as diretrizes dos ParâmetrosCurriculares Nacionais para oEnsino Médio;

• criatividade e a experiência didático-pedagógica do professor;

• a leitura do texto com o qual oprofessor poderá criar novas situaçõesde aprendizagem a serem propostas aseus alunos, para que possamdesenvolver algumas habilidades,conferindo a estes jovens ou adultos acompetência maior de compreendercompreendercompreendercompreendercompreendera Matemática como construçãoa Matemática como construçãoa Matemática como construçãoa Matemática como construçãoa Matemática como construçãohumana, relacionando ohumana, relacionando ohumana, relacionando ohumana, relacionando ohumana, relacionando o

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desenvolvimento dela com adesenvolvimento dela com adesenvolvimento dela com adesenvolvimento dela com adesenvolvimento dela com atranformação da sociedadetranformação da sociedadetranformação da sociedadetranformação da sociedadetranformação da sociedade.

As habilidades que, no capítulo,pretendemos que o aluno desenvolvanão são tratadas uma a uma, em umaseqüência linear; muitas vezes, elas semisturam, mesmo porque a linhadivisória entre elas é difusa pela suaprópria natureza.

A habilidade de identificar aMatemática como importante recursopara a contrução de argumentação, porexemplo, é desenvolvida em todos ostemas deste texto. Não há como nãoconstruir argumentos matemáticos pararesolver um problema do cotidiano queenvolva idéias matemáticas. Só paracitar dois exemplos:

• logo no início do texto, aargumentação do pescador e docaçador exemplifica a utilização de talhabilidade;

• do mesmo modo, toda vez que oleitor é solicitado a justificar suasrespostas para os problemas que lhesão propostos, ele também estaráconstruindo ou utilizando essahabilidade, como ocorre, por exemplo,no quebra-cabeça com 1 unidade amais de área; na questão dos gráficossobre as demissões por corrupção; naanálise dos moldes da maquete etc.

Muitas outras situações poderão derivardas apresentadas no texto, no sentidode levar os alunos a construíremargumentações válidas e consistentes.

Por exemplo, na contrução de processosde generalização que acabam pordesembocar na linguagem algébricautilizada para descrever funções, é

conveniente levar o aluno a argumentarantes de generalizar.

Outra habilidade que poderá serdesenvolvida, a partir do trabalho comeste capítulo, é a de identificar eidentificar eidentificar eidentificar eidentificar einterpretar, a partir da leitura deinterpretar, a partir da leitura deinterpretar, a partir da leitura deinterpretar, a partir da leitura deinterpretar, a partir da leitura detextos apropriados, diferentestextos apropriados, diferentestextos apropriados, diferentestextos apropriados, diferentestextos apropriados, diferentesregistros do conhecimentoregistros do conhecimentoregistros do conhecimentoregistros do conhecimentoregistros do conhecimentomatemático ao longo do tempomatemático ao longo do tempomatemático ao longo do tempomatemático ao longo do tempomatemático ao longo do tempo. Opróprio texto já se presta a taldesenvolvimento.

Contamos, ainda, com os textos dosproblemas sobre os quais é possíveldesenvolver um trabalho deinterpretação, confrontando, porexemplo, os vários pontos de vista dosalunos que lêem o problema. Além disso,modificar alguma condição ou restriçãodos enunciados, ou mesmo a pergunta deum problema, proporciona ao aluno achance de novas interpretações, bemcomo a oportunidade de se defrontarcom novos problemas.

Há, ainda, os textos que envolvem não só alinguagem simbólico-algébrica, mastambém os que envolvem uma “linguagemgráfica”, como o da matemática sobre asdemissões por corrupção na polícia civil deSão Paulo. Nesse sentido, os jornais erevistas fornecem ao professor um materialdidático farto, interessante e rico emsignificados.

Ainda é possível desenvolver umtrabalho com textos retirados de livrossobre história da Matemática,inadequados aos propósitos daaprendizagem que os alunos estãodesenvolvendo num determinadomomento.

Além das habilidades mencionadas,


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outras mais podem ser desenvolvidas apartir do texto:• reconhecer a contribuição da

Matemática na compreensão e análisede fenômenos naturais e de produçãotecnológica ao longo da história;

• identificar o recurso matemáticoutilizado pelo homem ao longo dahistória, para enfrentar e resolverproblemas;

• reconhecer, a partir de textosapropriados, a importância daMatemática na elaboração de propostade intervenção solidáriana realidade.

As situações no item UsandoUsandoUsandoUsandoUsandomatemática para modificar omatemática para modificar omatemática para modificar omatemática para modificar omatemática para modificar omundomundomundomundomundo exemplificam um tipo deatividade que pode ser feita com osalunos para desenvolver essa últimahabilidade. A realidade em que eles estãoinseridos e o momento em que essetrabalho está sendo desenvolvido sãoaspectos importantes para subsidiá-losna escolha dos temas a serem estudados

e das situações a serem modificadas.Por outro lado, é conveniente proporaos alunos atividades que os levem areconhecer que ferramentasmatemáticas o homem tem utilizadopara resolver problemas.Nos exemplos discutidos nestasorientações, bem como nas situaçõespropostas no capítulo, é possívelreconhecer que a contribuição daMatemática é essencial para acompreensão e análise de inúmerosfenômenos, sejam eles de natureza social,natural ou tecnológica (as técnicas deconstrução de telhados não nos deixammentir).Finalizamos, aqui, nossasconsiderações, na certeza de que oprofessor desenvolverá um trabalhosignificativo com seus alunos, para queeles possam, antes de mais nada,adquirir sua própria autonomiaintelectual, pensando e agindo sobre asquestões que enfrentam ao longo de suavida, seja no âmbito particular, seja noâmbito profissional.

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Uma das maiores virtudes do ensino daMatemática consiste em utilizarconceitos e procedimentos dessadisciplina para auxiliar o estudante aampliar suas formas de raciocínio eprocessos mentais, permitindo a ele usarferramentas como a dedução e a induçãoem situações cada vez mais complexas.O capítulo sobre o desenvolvimentodessa competência tem como objetivoprincipal apresentar um possívelcaminho a ser percorrido pelo leitor paraatingir esse propósito.

Partindo de fatos da vida cotidiana,como o uso de argumentação que aspessoas fazem diariamente quando serelacionam com outras pessoas, chega-se à discussão do que significa umargumento válido em Matemática. Comisso, pretende-se desenvolverhabilidades, tais como elaborar everificar conjecturas, justificar fatos econceitos matemáticos e do cotidiano, eidentificar erros provenientes deprocessos dedutivos não rigorosos.

O desenvolvimento desse projeto é feitode maneira a respeitar o perfil do leitora que se destina o trabalho, procurando-se, sempre que possível, lidar comsituações que não lhe sejam totalmenteestranhas e evitando-se um exagero nalinguagem que possa desmotivar sualeitura, sem perder o rigor exigido emum texto matemático.

DESENVOLVENDO ACOMPETÊNCIAAs análises de argumentos procuramsempre partir de fatos do cotidiano, paraaproveitar a experiência do leitor eenvolvê-lo nas discussões. Assim, outrosexemplos relacionados ao grupoespecífico com que se trabalha podemenriquecer bastante a aula.Paralelamente, porém, são colocadassituações dentro do contextomatemático, pois é muito importante quese faça uma comparação entre o rigorusado no dia-a-dia e o exigido namatemática.

Lógica e argumentação:da prática à MatemáticaFábio Orfali

AMPLIAR FORMAS DE RACIOCÍNIO E PROCESSOS MENTAIS POR

MEIO DE INDUÇÃO, DEDUÇÃO, ANALOGIA E ESTIMATIVA,UTILIZANDO CONCEITOS E PROCEDIMENTOS MATEMÁTICOS.

Matemática - Ensino MédioCapítulo II

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Diante desse cenário, são trabalhadas,de forma mais intensa, habilidadesrelacionadas à construção deargumentação consistente e intervençãosolidária na realidade.

Na atividade 1, é importante que o leitorperceba que analisar alguns exemplos éprimordial em Matemática, pois isso nosdá base para formular conjecturas. Essasconjecturas, porém, precisam serdemonstradas, o que nem sempre ocorrenos fatos do cotidiano. Esse aspecto éreforçado nas atividades 2 e 3: a diferençaentre um fato provável e um fato certo(pode-se aqui fazer uma ligação com oestudo de probabilidade e estatística).

Nas atividades 4 e 5, o foco se localiza nadiscussão sobre o que é válido concluir apartir de uma ou mais informações. Essadiscussão pode ser estendida ainterpretações de textos de jornais ecomerciais, incentivando o leitor aposicionar-se criticamente diante decertas argumentações malfundamentadas.

Os diagramas de Venn são utilizadosnesse ponto como um método paraorganização do raciocínio em problemasenvolvendo números de elementos dediferentes conjuntos. Assim,habilidades, tais como identificação einterpretação de conceitos matemáticosem diferentes formas e aplicação deestratégias para resolução de equações,são utilizadas nos problemas. Portanto,sugere-se, dependendo da turma, que sefaça uma pequena revisão dos tópicosnecessários.

Trata-se, no capítulo, de um conceitomuito importante em argumentações, emgeral, que é a implicação (relação de

causa-efeito). A inversão de umaimplicação constitui-se em uma fonte deerro comum quando da construção deargumentos. Por isso, as atividadesdevem ser tratadas com bastantecuidado.

Um exemplo que costuma ser bemilustrativo, podendo ser utilizadodurante a explicação do tema, é oseguinte:

“Se João é paulista, então, João ébrasileiro. Podemos afirmar que se Joãoé brasileiro, então, João é paulista? Não,pois ele pode ser carioca, baiano etc.Mas se João NÃO é brasileiro, então,João certamente NÃO é paulista.”

Novamente, nas atividades 9 e 10, ahabilidade mais marcante a sertrabalhada é a construção deargumentação consistente.

Na atividade 10 (exercício 2), sãoutilizados conceitos geométricos que,dependendo da turma, devem serrelembrados.

A dedução e a indução são analisadascom o leitor como importantesferramentas do processo de pensamentomatemático e, por extensão, dasciências em geral. A observação dedeterminado comportamento se repetenas condições consideradas.

As demonstrações de alguns fatosmatemáticos são colocadas de maneirasimples, para que o leitor tenha noçõesde sua importância dentro daMatemática. A ênfase do trabalho nãodeve ser, em hipótese alguma,desenvolver a habilidade de realizardemonstrações mais complexasrigorosamente.

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Assim, nesta parte do trabalho, ashabilidades de utilizar conceitosmatemáticos para explicar fatos docotidiano, de construir argumentaçãoconsistente e de identificar conceitosmatemáticos em diferentes formas sãoas mais desenvolvidas.

A realização da atividade 12 pode serum bom momento para fazer umaretomada de produtos notáveis, assuntoem que os alunos normalmenteencontram bastante dificuldade.

Durante a atividade 14, outrasseqüências de figuras relacionadas comnúmeros podem ser utilizadas, como aseqüência dos números triangulares.

Um trabalho mais sistematizado baseadono raciocínio indutivo é feito no item deseqüências, no qual novamente sãodesenvolvidas habilidades que utilizamconceitos matemáticos para explicar fatosdo cotidiano e identificar conceitosmatemáticos em diferentes formas, alémde aplicar estratégias para resolverproblemas.

O estudo da notação de seqüências (an)pode ser uma boa introdução para oestudo de progressões aritméticas egeométricas, o que não é feito nestecapítulo (apenas informalmente para asprogressões aritméticas).

BIBLIOGRAFIA

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CONSTRUIR SIGNIFICADOS E AMPLIAR OS JÁ EXISTENTES PARA

OS NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E REAIS.

No capítulo, utilizando situações-problema, pretendemos envolver oleitor em contextos do cotidiano emostrar sua relação com a Matemática,trabalhando as habilidades propostaspara a competência.

Iniciamos com a exploração de umtexto, em que aparecem vários registrosnuméricos (números naturais, inteiros,racionais e irracionais), na intenção deorientar o leitor na observação dasdiferentes escritas relacionadas aosdiferentes números.

Em seguida, propomos situações-problema utilizando esses números ealguns algoritmos necessários pararesolvê-los. Aproveitamos paraapresentar, nas diferentes situações, alinguagem matemática, expressa emtextos ou gráficos.

Na seqüência, encaminhamos atividadescom o objetivo de permitir aosestudantes a percepção de algunscritérios para a classificação dosnúmeros. Para isso, propomos queobservem as características dos

números naturais, inteiros, racionais eirracionais, na medida em que osproblemas estão sendo desenvolvidos.Por meio da discussão de gráficos,pretendemos indicar o uso dos númerostambém nessa forma de linguagem.

DESENVOLVENDO ACOMPETÊNCIAPara permitir o desenvolvimento dahabilidade Construir e aplicar conceitosde números naturais inteiros, racionaise reais, para explicar fenômenos dequalquer natureza, propusemossituações-problema do cotidiano, paracuja resolução os números naturais nãosão suficientes, havendo a necessidadede se recorrer aos números racionais ouinteiros, acrescentando-os aos númerosnaturais, ampliando, assim, o camponumérico para os estudantes.

De modo a introduzir os númerosirracionais, recorremos à Geometria, como teorema de Pitágoras, para resolverproblemas, como o da menor distânciaentre dois pontos.

Convivendo comos númerosElynir Maria Garrafa Borges

Matemática - Ensino MédioCapítulo III

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Sem explorar toda a estrutura doscampos numéricos, trabalhamos com osnúmeros racionais e irracionais emsituações envolvendo fenômenos deordem socioeconômica, e sua aplicaçãoa problemas em que eles representem asolução mais adequada.

Para a habilidade Interpretarinformações e operar com númerosnaturais inteiros, racionais, irracionais ereais, para tomar decisões e enfrentarsituações–problema, utilizamos aanálise de dados de tabelas e de textosextraídos de jornais, e propomossituações-problema para cuja resoluçãoé necessário operar com os númerosnaturais e inteiros.

Para os números racionais, propomossituações-problema, ligadas aocotidiano, que enfocam a fração como:

• quociente de dois números;

• relação parte – todo;

• razão.

Exploramos, ainda, a relação de ordemno conjunto dos números racionais pormeio de comparações entre escritasnuméricas ou de observações degráficos.

Os irracionais foram explorados com oobjetivo de que os estudantesreconheçam a existência dessesnúmeros e sua aplicação em problemasaos quais eles representem a soluçãomais adequada.

Para a habilidade Utilizar os númerosnaturais inteiros, racionais e reais naconstrução de argumentos sobreafirmações quantitativas de qualquer

natureza, apresentamos problemas quelevam o leitor a buscar soluções, usandocomparações numéricas, necessitandode maior reflexão para poderargumentar e decidir, apoiando-se emdados quantitativos.

Para a habilidade Recorrer àcompreensão numérica para avaliarpropostas de intervenção frente aproblemas da realidade, propomossituações que encaminham o leitor aavaliar propostas de solução deproblemas da realidade, possibilitando apercepção de que desconhecer osnúmeros e suas operações impede ainterpretação correta das informaçõesnuméricas às quais está expostodiariamente, o que dá amplaspossibilidades de ele ser manipulado elevado a tomar decisões que, na maiorparte das vezes, não o favorecem.

A metodologia para desenvolver ashabilidades é a “resolução deproblemas” proposta nos PCN. Essametodologia não significa que oestudante deva responder a uma lista deexercícios, usando um modelo, mas sima situações desafiadoras nas quais oprofessor trabalha com o grupo asdiferentes estratégias de resolução,aproveitando os conhecimentos préviosque o estudante tem sobre o assunto.Dessa forma, o conhecimento vai sendoconstruído como resposta a questõesidentificadas em situações reais, isto é,o conteúdo deve ser desenvolvido àmedida que for sendo necessário para aresolução das situações-problema.

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Segundo a proposta dos PCN, aavaliação acontece em processo,considerando vários instrumentos,através de situações que possibilitemavaliar as habilidades desenvolvidas,bem como as diferentes capacidades econteúdos em questão, de modo que o

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UTILIZAR O CONHECIMENTO GEOMÉTRICO PARA REALIZAR ALEITURA E A REPRESENTAÇÃO DA REALIDADE, E AGIR SOBRE ELA.

A tarefa de planejar um curso deGeometria para jovens e adultos nosleva a procurar um ponto de equilíbrioentre dois extremos:

• realizar um trabalho de cunhoaxiomático, em que cada novoconceito ou propriedade deve estarrelacionado com propriedades eteoremas anteriores, dando umencadeamento lógico que permita aconstrução do “edifício lógico”representado por esta disciplina;

• trabalhar fatos e conceitos isolados,respeitando o interesse econhecimento intuitivo que os alunospossuem, o que acaba por limitar aspossibilidades de um aprofundamentodos conhecimentos e métodosgeométricos, cerceando odesenvolvimento e crescimento dosalunos pela ausência de instrumentospróprios que lhes permitam enfrentarsituações novas.

A proposta para a área de Ciências daNatureza, da Matemática e das suasTecnologias no Ensino Médio (SEMTEC/MEC) recomenda que o conhecimento

prévio dos alunos, tema que temmobilizado educadores, em especial naúltima década, é particularmenterelevante para o aprendizado científicoe matemático. Os alunos chegam àescola trazendo conceitos próprios paraas coisas por eles observadas e modeloselaborados autonomamente paraexplicar a realidade pessoal vivida,inclusive para os fatos de interessecientífico. É importante levarem-se emconta tais conhecimentos, no processopedagógico, porque: o efetivo diálogopedagógico só se verifica quando háuma compreensão verdadeira de visõese opiniões; o aprendizado da ciência éum processo de transição da visãointuitiva, de senso comum ou de auto-elaboração, pela visão de carátercientífico construída pelo aluno, comoproduto do embate de visões.

DESENVOLVENDO ACOMPETÊNCIAAssim, é fundamental que o aluno tenhaoportunidade de exercer sua elaboração

Nossa realidade e asformas que nos rodeiamMariília Barros de A. Toledo

Matemática - Ensino MédioCapítulo IV

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pessoal apoiada nos seus debates comcolegas e com o professor; nasexperimentações, em que ele possaverificar a veracidade ou não dehipóteses por ele desenvolvidas; naconstrução de modelos que lhepermitam avaliar e compreender melhoras questões apresentadas; na busca domelhor encaminhamento para aresolução de um problema.

O capítulo não tem a pretensão dedesenvolver um “curso completo” deGeometria, mas apenas de apontaralguns caminhos para os jovens eadultos que buscam completar seusestudos de nível médio.

Assim, partindo de questões docotidiano, procurou-se levar o estudante

a ter interesse na busca de explicaçõespara essas questões e para as soluçõesque elas podem ter suscitado. Dessemodo, são apresentados algunsconceitos e propriedades, oferecendouma fundamentação teórica adequadaao nível de conhecimentos esperadodesse estudante.

Procurando aproximar os conceitosescolares das questões do mundo real,pretende-se valorizar esses conceitoscomo produto de uma construção daHumanidade, na tentativa decompreender e atuar em sua realidade.Desse modo, a utilização da História daMatemática é um importante recurso,mostrando, também, como surgiram e sedesenvolveram os diversos conceitosestudados.

BIBLIOGRAFIA

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CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE GRANDEZAS E MEDIDAS



Esperamos do estudante de nível médio acompreensão do conceito de medida, bemcomo o domínio de habilidadesrelacionadas ao cálculo com medidas.Nesse sentido, o capítulo do estudantetrata, em linhas gerais, dos seguintestemas: natureza do processo de medida emuma comparação com determinado padrãoestabelecido; identificação de algunsatributos mensuráveis de um determinadoobjeto; sistemas, processos de medidas;unidades de medida, submúltiplos esubdivisões; escalas, plantas e mapas, árease volumes.

Os assuntos citados acima são apresentadosno capítulo do estudante em trêsmomentos:

1- Breve apresentação de um1- Breve apresentação de um1- Breve apresentação de um1- Breve apresentação de um1- Breve apresentação de umdeterminado assuntodeterminado assuntodeterminado assuntodeterminado assuntodeterminado assunto – Interessa-nos aqui que o estudante compreendaa natureza de uma medida emcomparação com um determinadopadrão estabelecido, que ele reflitasobre dificuldades inerentes àutilização de padrões pouco precisosde medidas e que conheça o SistemaInternacional de Medidas (SI).

2- Desenvolvendo Competências2- Desenvolvendo Competências2- Desenvolvendo Competências2- Desenvolvendo Competências2- Desenvolvendo Competências –Exercícios resolvidos com a devidacontextualização na teoria. Muitasvezes, a teoria é reelaborada, oumesmo, construída ao longo daresolução de um problema. Algumasatividades deixam questões emaberto, para que o estudantecomplete o raciocínio desenvolvido(o gabarito dessas questões seencontra no final do texto para oestudante).

3- Sua vez de praticar3- Sua vez de praticar3- Sua vez de praticar3- Sua vez de praticar3- Sua vez de praticar – Esta seçãoconta com testes de múltipla escolha,para que o estudante pratique o queaprendeu, simulando uma situação deprova. Todas as questões destaatividade têm gabarito disponível aofinal do texto.

O texto para o estudante foi concebido detal forma que possa ser consultado comautonomia por parte do leitor. Contudo,algumas orientações metodológicas podemauxiliar o trabalho do professor no dia-a-dia com o estudante.

Medidas e seus usosJosé Luiz Pastore

Matemática - Ensino MédioCapítulo V

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Ensino MédioLivro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio

DESENVOLVENDO ACOMPETÊNCIAÉ importante que o leitor desenvolvacompetência na conversão de umsistema de medidas para outro, mas nãoé necessário que conheça os fatores deconversão. Por exemplo, o estudantedeverá estar apto a converter metrosem polegadas (e vice-versa), mas nãoprecisará decorar que 1 polegada =2,540 cm (esse tipo de informaçãoestará disponível no exercício). Oprofessor deverá sempre respeitar aforma particular de o aluno conduzir oraciocínio em um processo deconversões de medidas ou unidades;contudo, poderá também sistematizarprocedimentos junto com o estudante,tais como, regra de três,proporcionalidade, princípiomultiplicativo etc.

Cabe também ao professor orientar osestudantes no sentido de que autilização correta de subdivisões e

submúltiplos das principais unidades demedida é pré-requisito para a resoluçãode muitos exercícios. Nesse contexto, oestudante deverá saber, de antemão,que 1 km = 1000 m , 1 dm = 0,1 m, 1cm = 0,01 m, 1 mm = 0,001 m, 1 kg =1000 g, 1 hora = 60 minutos, 1 minuto= 60 s, 1 litro = 1000 ml.

Em relação ao trabalho com plantas emapas, é importante que o professorinsista na discussão sobre acompreensão do significado de umaescala e sua aplicação na resolução deproblemas. Em problemas envolvendoplantas, mapas e outras situações, oprofessor deverá trabalhar cálculos decomprimentos, áreas e volumes; paratanto, é necessário que motive osestudantes por meio de situaçõespráticas, tais como, o cálculo da áreadas paredes de uma casa para estimar aquantidade de tinta necessária parapintá-las; o volume de água que podeconter um poço ou um açude etc.

BIBLIOGRAFIA

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CARAÇA, B. de J. Conceitos fundamentais de matemática. Lisboa: Gradiva, 1998.

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A grandeza nodia-a-diaLuci M. Loreto Rodrigues

CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE VARIAÇÃO DE GRANDEZA



Este capítulo tem como finalidadesubsidiar os estudos de um leitor jovemou adulto que não pôde concluir oufreqüentar o processo escolar. Por isso,as atividades propostas contemplam ascompetências e habilidades e abordamas idéias matemáticas sobre variação degrandezas, porcentagem e juros, pormeio de uma linguagem simples,motivadora e relacionada à realidade,permitindo que ele possa pensar o seucotidiano a partir de diferentes pontosde vista, incentivando-o a raciocinar,buscar conhecimentos adquiridos emsuas experiências de vida e encontrarsoluções corretas.

Espera-se que a leitura do capítulo sejaagradável e desperte nesse leitor ohábito da leitura, da busca deinformações sobre os fatos. E que essasinformações, aliadas aos seusconhecimentos, lhe permita construiruma argumentação consistente para quepossa entender, explicar e participar dosdiversos processos que vivencia.

DESENVOLVENDO ACOMPETÊNCIAConstruir e ampliar noções de variaçãode grandeza para compreensão darealidade e a solução de problemas docotidiano.

Através da análise de situações-problema envolvendo grandezas, busca-se aproximar conceitos e realidades,fazendo com que o leitor perceba que jáutilizava informalmente esses conceitosmatemáticos, e, com isso, construaconhecimentos com significado eamplie as noções de variação degrandeza, para que possa usá-las commais confiança na solução de problemasdo cotidiano e na compreensão darealidade.

Para desenvolver a habilidade –Identificar grandezas direta einversamente proporcionais einterpretar a notação usual deporcentagem, apresentam-se situaçõessimples e contextualizadas em que oleitor deve analisar e identificar asgrandezas e suas variações e também

Matemática - Ensino MédioCapítulo VI

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situações que lhe permitam relacionarsua linguagem diária com a linguagem eos símbolos matemáticos, como %.

• Comparar grandezas é muito comumem nosso dia-a-dia. Por isso, é muitoimportante saber identificar e avaliaras variações das grandezas e efetuarcorretamente cálculos matemáticospara prever resultados. Essesprocedimentos permitem ao leitordesenvolver a habilidade Identificar eavaliar variações de grandezas paraexplicar fenômenos naturais,processos socioeconômicos e daprodução tecnológica e obter maisconfiança e consistência paraentender e aplicar esses cálculos emsituações reais.

• Resolver problemas envolvendograndezas direta e inversamenteproporcionais e porcentagem é umahabilidade vista por meio daapresentação de situações-problema,envolvendo grandezas direta einversamente proporcionais, incluindoas porcentagens. Enfrentar e resolverproblemas conhecidos ou novos sobrediferentes situações amplia osconceitos matemáticos e estabeleceuma ligação entre conceitos erealidade, facilitando suacompreensão.

• Identificar e interpretar variaçõespercentuais de variávelsocioeconômica ou técnico-científicacomo importante recurso para aconstrução de argumentaçãoconsistente é uma habilidadedesenvolvida com a apresentação desituações-problema presentes no dia-

a-dia sobre juros simples e compostos,em que se procura mostrar ao leitor osconhecimentos necessários paraargumentar, avaliar e decidir commais segurança sobre a melhor formade pagar uma compra, fazer umfinanciamento etc. ou vivenciar e agircom confiança em situaçõessemelhantes.

• Analisar situações e avaliar dados einformações envolvendo porcentageme relações entre grandezaspossibilitam ao leitor criar formas dese posicionar criticamente diante deuma sociedade regida pelo podersocioeconômico, bem como formas emecanismos de se proteger contra apropaganda enganosa e osestratagemas de marketing. Recorrer acálculos com porcentagem e relaçõesentre grandezas proporcionais paraavaliar a adequação de propostas deintervenção na realidade é umahabilidade que ajuda a tornar o leitorum cidadão presente, participativodentro da comunidade, com condiçõesde intervir e lutar por uma sociedademais justa e igualitária.

Alguns tópicos foram priorizados:

• Razão e proporçãoRazão e proporçãoRazão e proporçãoRazão e proporçãoRazão e proporção

Os conceitos da razão e proporção esuas aplicações são retomados comuma abordagem voltada para ocontexto do aluno do ensino médio.Exploram-se o significado e suaaplicação no cotidiano e não asdefinições formais e as propriedades.

• Grandezas direta e inversamenteGrandezas direta e inversamenteGrandezas direta e inversamenteGrandezas direta e inversamenteGrandezas direta e inversamenteproporcionais e Regra de três simples.

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Com situações presentes no cotidiano,analisou-se e interpretou-se a variaçãodas grandezas, identificando-as comograndezas diretamente ouinversamente proporcionais. E, comesses conceitos, resolveram-seproblemas, utilizando a Regra de três.

• PorcentagemPorcentagemPorcentagemPorcentagemPorcentagem

A partir da resolução e dainterpretação de situações cotidianasque tratam de porcentagem,exploram-se os conceitosmatemáticos envolvidos no cálculo deporcentagem.

• Juros simples e compostoJuros simples e compostoJuros simples e compostoJuros simples e compostoJuros simples e composto

A interpretação e resolução deproblemas do dia-a-dia relacionados aatividades comerciais e financeirasfornecem ao leitor os conhecimentosmatemáticos sobre juros necessáriospara aplicação em situações reais,como a forma de pagar uma conta ede fazer um financiamento.

Exploramos os conceitos matemáticos pormeio da análise, interpretação eresolução de problemas e situaçõespresentes no cotidiano, pois, quandoconceitos e realidade ficam próximos, oleitor percebe que já utilizavainformalmente esses conceitos, queagora passam a adquirir significado e aserem usados com mais confiança emnovas situações.

Os questionamentos e reflexõespresentes no capítulo exigem do leitor oexercício do pensamento, da busca deexperiências vividas, com o propósitode servirem de suporte na organizaçãodos conhecimentos adquiridos e dosque estão sendo construídos.

A avaliação deve ser contínua, realizadaa cada instante, fornecendo informaçõesao professor sobre os conhecimentos ehabilidades dos alunos e sobre suasdificuldades. Deve também permitir aoprofessor que acompanhe seu trabalhopedagógico e verifique se os objetivostraçados estão sendo alcançados.

Podem ser propostos problemascontextualizados para avaliar odesenvolvimento das competências ehabilidades presentes no capítulo. Aresolução pode ser feita inicialmente deforma individual e depois em grupo,para que os alunos discutam ecomparem os resultados eprocedimentos matemáticos utilizadosna resolução.

Algumas atividades são resolvidas,comentadas e questionadas com oleitor, que deve refletir sobre o tema, osconhecimentos matemáticos que possuie o modo utilizado na resolução.

As atividades estão divididas em duascategorias:

1. Questões fechadas, com respostas nofinal do capítulo, que devem serresolvidas pelo leitor como forma deverificar seu aprendizado e fixar osconceitos matemáticos.

2. Questões abertas, sem resposta, que,de modo geral, levam o leitor àreflexão, à leitura,à busca de idéias eargumentações consistentespermitindo a elaboração de propostasconcretas e solidárias de intervençãona realidade.


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A proposta do capítulo para o estudanteé, através de textos que explorem fatosdo cotidiano, despertar no leitor acuriosidade para descobrir leismatemáticas simples que estão por trásdas pequenas coisas do dia-a-dia emotivá-lo a conhecê-las para explicarmelhor o mundo a seu redor.

Juntamente com a aplicação dessas leis,é preocupação permanente do textomostrar o papel generalizador que têmos procedimentos matemáticos,preocupando-se, constantemente, emfazer analogias para mostrar queproblemas de contextos muitodiferentes podem ser resolvidos porferramentas matemáticas muitoparecidas.

A busca dessa “lei” ou modelomatemático que está por trás dos fatosque analisamos no dia-a-dia é a tônicada atividade do capítulo, que tentamostrar ao leitor que seu conhecimentoo tornará crítico, melhor capacitado acompreender o mundo à sua volta e afazer suas próprias análises einterpretações das informações que

recebe a cada instante, não serestringindo a recebê-las interpretadasou manipuladas por terceiros.

O tema central do texto é conduzir oleitor a desenvolver a competência deaplicar expressões analíticas paramodelar e resolver problemas,envolvendo variáveis socioeconômicasou técnico-científicas.

Para atingir esse objetivo, as atividadessão graduadas segundo um conjunto dehabilidades que devem serdesenvolvidas e constituem as etapas deque se compõe o trabalho.

DESENVOLVENDO ACOMPETÊNCIAO capítulo inicia propondo situaçõesmuito simples em que o leitor éconduzido a identificar e interpretarrepresentações analíticas associadas afatos do cotidiano ou a figurasgeométricas, como os pontos e as retas,dentro de situações contextualizadas e afazer analogias entre essas

APLICAR EXPRESSÕES ANALÍTICAS PARA MODELAR ERESOLVER PROBLEMAS, ENVOLVENDO VARIÁVEIS

SOCIOECONÔMICAS OU TÉCNICO-CIENTÍFICAS.

A Matemáticapor trás dos fatosWilson Roberto Rodrigues

Matemática - Ensino MédioCapítulo VII

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representações de modo a perceber ocaráter generalizador que a modelagemmatemática pode conferir à resoluçãodos problemas.

Na fase seguinte, convida-se o leitor ainterpretar ou aplicar os modelosidentificados, associando-os a novosproblemas contextualizados. Asaplicações envolvem o uso deprocedimentos algébricos simples comoequações algébricas, inequações esistemas lineares, objetivando acompreensão dos fenômenos descritosnas situações propostas. Espera-se que,ao final desta fase, o estudante estejaapto a estabelecer as relações quepossibilitem que ele próprio crie osmodelos matemáticos.

Vencida essa etapa, novas situações sãoapresentadas ao leitor, entregandoagora a ele a tarefa de modelar e aplicaros modelos obtidos na resolução deequações e inequações.

Nas fases seguintes, privilegia-se maisainda o contexto. As situações-problema propostas encaminham oleitor a dar mais ênfase à interpretação eà utilização dos resultados, procurandomotivá-lo a usar os conceitostrabalhados como ferramentas,argumentar de maneira segura econsistente e também de avaliar aadequação de propostas de intervençãona realidade. Em última análise, busca aconstrução de elementos que o ajudarãoa se transformar num indivíduoautônomo, crítico e mais preparado paraexercer em plenitude sua cidadania.

As situações-problema trabalhadasenvolvem a manipulação de ferramentas

algébricas básicas, os conceitos defunção linear, função afim, coordenadascartesianas no plano e equação da reta,embora não seja objetivo da obra trataresses conteúdos de maneira formal, masusá-los como elementos que fortaleçamprocedimentos mentais que permitamassociar leis matemáticas a descriçõesde fatos, gráficos ou tabelas, sempre nadireção da competência e dashabilidades.

A proposta de trabalho com situações-problema consiste, basicamente, nacriação de uma situação didática que oaprendiz não pode realizar sem agregaruma nova aprendizagem, e essaaprendizagem se constitui noverdadeiro objetivo da atividade.

Ela deve ser vista como um desafio parao aluno que formulará hipóteses econjecturas para sua resolução. Anecessidade de transpor o obstáculoproposto o levará a elaborar ou seapropriar coletivamente dosinstrumentos intelectuais necessários àconstrução da solução.

É importante que a situação leve oaluno a mobilizar seus conhecimentoscognitivos, afetivos e sociais anteriorese que não seja vista por eles como umdesafio intransponível. Os alunos devemse sentir intelectualmente desafiados eter consciência de sua capacidade devencer os desafios. Isso lhes trará amotivação e a autoconfiançanecessárias para prosseguir nostrabalhos.

No item “Matemática no café damanhã” pretende-se que o leitor associeleis matemáticas a fatos simples e

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perceba que essas leis estão presentesem nosso cotidiano. No item“Matemática ao sair de casa”, criou-seuma situação geométrica que conduz,de maneira contextualizada, à idéia decoordenadas cartesianas, comopreparação para a busca das leismatemáticas em situações geométricas,o que é feito no item “viajando com ascoordenadas”.

Uma vez obtidas essas leis, o item“tabela, gráfico ou lei matemática” tentalevar ao leitor a idéia de que situaçõesmuito diferentes como a compra do pãoou a descrição de uma trajetória nummapa são descritos por ferramentasmatemáticas muito parecidas, comoexpressões do tipo y=kxy=kxy=kxy=kxy=kx ou retaspassando pela origem, instigando-o afazer uso desse caráter generalizadorque têm os procedimentos matemáticos.

As atividades seguintes se valem dessasgeneralizações para que o alunodesenvolva as competências através deproblemas que exploram temas comoeconomia de energia, propostas deemprego, problemas ambientais, críticaa leituras, educação para o consumo,dentre outros.

Como proposta ao professor paraaprofundamento do tema, sugerimos acriação de situações que envolvam aexploração de gráficos comcomportamento linear extraídos depublicações, em que o aluno tenha a

oportunidade de fazer interpolações eextrapolações para argumentar ouresponder a questões referentes aocontexto. O uso da calculadorapermitirá que se construam situaçõesmais realistas, para vencer o obstáculodos cálculos demorados. Um trabalhomais personalizado pode até conduzir àconstrução de uma regra prática paraobter a equação de uma reta a partir deseu gráfico. O desenvolvimento dessasferramentas adicionais não deve perderde vista, porém, que esse trabalho sótem sentido se direcionado para aconstrução das habilidades a que otexto se propõe.

Nas atividades de avaliação, o professordeve estar atento ao fato de que oconteúdo, embora presente no trabalho,não deve ser o objeto da avaliação, masa ferramenta para o desenvolvimentodas habilidades. As provas devemcontinuar proporcionando ao alunooportunidades de aprender, porquestões bem formuladas e instigantesque requeiram análise, compreensão etomadas de decisão.

Embora não seja uma tarefa fácilelaborar questões com essascaracterísticas, o esforço em investirnelas certamente será compensador,pois estaremos criando também, comessas atividades, mais oportunidades decrescimento.


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Procuramos mostrar para o aluno que osgráficos e tabelas são encontrados nocotidiano das pessoas com o intuito defacilitar atividades rotineiras outransmitir informações de formasintetizada.

Como nosso público alvo é de jovens eadultos, acreditamos que atividadeselaboradas a partir de conhecimentosadquiridos no dia a dia serão grandesaliadas para o envolvimento,participação, compreensão e interessedos leitores.

As situações-problema pretendempropiciar o desenvolvimento da leitura einterpretação de gráficos e tabelas, alémde propiciar a manipulação dessesdados, criar uma argumentaçãoconsistente e intervir na realidade,utilizando as informações lidas einterpretadas de gráficos e tabelas.

Para o desenvolvimento dessacompetência, é fundamental que osestudantes desenvolvam um conjuntode habilidades. Essas habilidades quepodem ser interpretadas como um

“saber fazer” que levam a um “saberser” perpassam pelas atividades, sendo aaquisição delas o objetivo dassituações-problema propostas.Discutiremos a seguir as habilidades.

DESENVOLVENDO ACOMPETÊNCIAUtilizamos os primeiros capítulos paradesenvolver a habilidade, Reconhecer einterpretar as informações de naturezacientífica ou social expressas em gráficosou tabelas, propondo situações nasquais o leitor faz inferências durante aleitura, localizando dados em tabelas egráficos. Trabalhamos com valoresdiscretos e contínuos, levando oestudante a fazer aproximações einterpolações. Como as situaçõespropostas podem ser encontradas nocotidiano, acreditamos que o estudantevenha a utilizar um procedimentopróprio de solução para depois,apresentarmos nosso modo deresolução, com a sugestão de quecompare com o que foi pensado por ele.

INTERPRETAR INFORMAÇÕES DE NATUREZA CIENTÍFICA ESOCIAL OBTIDAS DA LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS,REALIZANDO PREVISÃO DE TENDÊNCIA, EXTRAPOLAÇÃO,INTERPOLAÇÃO E INTERPRETAÇÃO.

Gráficos e tabelas dodia-a-diaJayme do Carmo Macedo Leme

Matemática - Ensino MédioCapítulo VIII

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Para a habilidade, Identificar ou inferiraspectos relacionados a fenômenos denatureza científica ou social, a partir deinformações expressas em gráficos outabelas, a leitura dos gráficos e tabelasdeixa de ser o objeto de estudopassando a ser uma ferramenta para ainterpretação pretendida. É por meio daorganização e reflexão sobre a leituraque procuramos desenvolver ainterpretação das informações.

As situações-problema apresentadaspara esse fim foram as que envolviam ataxa de natalidade e a leitura detemperaturas. Nessas atividades,apresentamos um texto contendoinformações de caráter socioeconômicoe sobre fenômenos naturais, para quefossem comparados com os dadosobtidos pela leitura do gráfico e tabelaproposto.

Ao selecionar, organizar e relacionar osdados apresentados na forma de tabelaou gráfica para a resolução dassituações propostas, estamospossibilitando ao estudante quedesenvolva a habilidade de selecionarselecionarselecionarselecionarselecionare interpretar informaçõese interpretar informaçõese interpretar informaçõese interpretar informaçõese interpretar informaçõesexpressas, em gráficos ou tabelas,expressas, em gráficos ou tabelas,expressas, em gráficos ou tabelas,expressas, em gráficos ou tabelas,expressas, em gráficos ou tabelas,para resolução de problemas.para resolução de problemas.para resolução de problemas.para resolução de problemas.para resolução de problemas.

Outra habilidade é a de analisar oanalisar oanalisar oanalisar oanalisar ocomportamento de variávelcomportamento de variávelcomportamento de variávelcomportamento de variávelcomportamento de variávelexpresso em gráficos ou tabelas,expresso em gráficos ou tabelas,expresso em gráficos ou tabelas,expresso em gráficos ou tabelas,expresso em gráficos ou tabelas,como importante recurso para acomo importante recurso para acomo importante recurso para acomo importante recurso para acomo importante recurso para aconstrução de argumentaçãoconstrução de argumentaçãoconstrução de argumentaçãoconstrução de argumentaçãoconstrução de argumentaçãoconsistente.consistente.consistente.consistente.consistente.

A variação é um quantificador dasmudanças que ocorrem nos dados degráficos e tabelas. Ela mede, por

exemplo, a variação em dois momentos.A construção de argumentaçãoconsistente é pautada noreconhecimento e uso dessa variação.

As situações-problema propostas paraesse fim apresentam gráficos e tabelassobre os quais discutimos apossibilidade de se medir a variaçãoentre seus dados, propiciando aelaboração de argumentaçãoconsistente. A proposta de questões demúltipla escolha visa a colocar o leitorfrente a problemas de ordem social,econômica ou política nos quais teráque fazer uma análise crítica dosargumentos apresentados para escolherou considerar qual é o mais apropriadopara aquela situação,

Avaliar, com auxílio de dadosapresentados em gráficos ou tabelas, aadequação de propostas de intervençãona realidade.O capítulo é todo permeado de situaçõesretiradas de nossa realidade com o intuitode sinalizar ao estudante que é possívelsua participação e intervenção nasociedade em que está inserido paradesfrutar seus direitos ou para lutar poreles de modo consciente e consistente,respaldado por conhecimentos que lhepossibilitem o poder que o domínio dainformação garante.

A metodologia que propomos é a deresolução de problemas e, dessa forma,o professor terá vários papéis nessetrabalho, como:

• Organizar a classe em grupos,propondo a eles situações-problema,auxiliando-os, caso seja necessário, nainterpretação do enunciado (lembre-se

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de que interpretar o problema é bemdiferente de resolver o problema).

• Criar debates partindo das propostasde resolução levantadas pelos grupos,direcionando-as a uma resoluçãopertinente.

• Formalizar aquele conhecimentogerado pelas discussões.

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O professor, apoiado pelas habilidades ecompetência apresentadas pelocapítulo, poderá avaliar os alunospropondo, adaptando ou criandosituações semelhantes às apresentadas,que necessitem, para sua resolução, dashabilidades que se buscou desenvolver.


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COMPREENDER O CARÁTER ALEATÓRIO E NÃO DETERMINÍSTICO

DOS FENÔMENOS NATURAIS E SOCIAIS, E UTILIZAR INSTRUMENTOS

ADEQUADOS PARA MEDIDAS E CÁLCULOS DE PROBABILIDADE,PARA INTERPRETAR INFORMAÇÕES DE VARIÁVEIS APRESENTADAS

EM UMA DISTRIBUIÇÃO ESTATÍSTICA.

Iniciamos o capítulo discutindoatividades que incentivam a observaçãoe propiciam o desenvolvimento dehabilidades para a discriminação,interpretação e produção de registros defenômenos aleatórios e determinísticos.É feito o encaminhamento para aexplicação informal de fenômenosaleatório e determinístico e do conceitode probabilidade, sendo apresentadasquestões que, depois da reflexão dosalunos leitores, serão respondidas. Nãohá um aprofundamento deste tema.Pretendemos apenas focalizar oraciocínio probabilístico, a contagem eo cálculo de probabilidade queenvolvem a compreensão daamostragem, na presença do caráteraleatório de determinados fenômenos.

DESENVOLVENDO ACOMPETÊNCIAJá, no início, abordamos a questão daescolha da amostra e da possibilidadeda manipulação de dados que poderáestar camuflada na própria amostragem,

que pode gerar uma amostra viciada.Com exemplos, trabalhamos a validadedo resultado de uma pesquisa.

A Estatística surge com exemplossimulados de situações do cotidiano eos conceitos abordados anteriormentevão sendo utilizados gradativamente, demodo que o leitor possa solucionar asquestões propostas e adquirir condiçõespara caracterizar ou inferir aspectosrelacionados a fenômenos de qualquernatureza, a partir de informaçõesexpressas por meio de uma distribuiçãoestatística.

A porcentagem é apresentada como umnúmero racional, que pode serrepresentado, utilizando a escritadecimal ou a forma de fração.Acreditamos que alguns índicesrepresentados por porcentagenspoderão ser aprendidos comcompreensão e poderão sermemorizados, conforme forem sendoutilizados. É o caso, por exemplo, de:

25% • 1/4 = 25/100 ou 0,25 80% • 4/5= 80/100 ou 0,8

Uma conversa sobrefatos de nosso dia-a-diaHelenalda Nazareth

Matemática - Ensino MédioCapítulo IX

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20% • 1/5 = 20/100 ou 0,20 75% • 3/4= 75/100 ou 0,75.

Ao avaliar o trabalho do aluno, convémlembrar que pessoas diferentes poderãoter raciocínios diferentes para obter asolução do mesmo problema.Procuramos apresentar soluções quejulgamos mais fáceis, mas não podemosdeixar de valorizar as soluçõesapresentadas pelos alunos, que,certamente, serão mais fáceis para eles.Observemos alguns possíveisraciocínios:

Primeiro ExemploPrimeiro ExemploPrimeiro ExemploPrimeiro ExemploPrimeiro Exemplo

O salário mensal de uma pessoa é deR$800,00. Se houver um aumento de12%, quanto passará a ser este salário?

A solução mais comum, feita porpessoas que já têm alguma escolaridade,é calculando primeiro o aumento que,depois, será acrescido ao salário atual:

x = 800 x 12 / 100 • x = 96 reais

O salário passará a ser de 800 + 96 =896 reais

É comum que professores ensinem aregra de três para a solução deproblemas que envolvem porcentagem.Não foi este o encaminhamento quedemos no capítulo. Mas a solução éválida e deverá ser discutida no grupo,para que possa ser socializada, assimcomo toda solução diferente que surgir.

Uma solução é viável quando sabemosrepresentar a porcentagem, usando aescrita decimal do número, e quefacilita o uso da calculadora é:

1,12 x 800 = 896 reais

Sugerimos que o professor trabalhe comreportagens de jornais e revistas daépoca, propondo discussões sobre ostemas abordados e sobre a validade ounão dos fatos anunciados emmanchetes.

Vivemos, hoje, em um mundo cercadode Estatísticas. Os ParâmetrosCurriculares Nacionais recomendam aEstatística como parte integrante daprópria alfabetização, citando-a comoum conhecimento primordial para aformação do cidadão que se pretendeformar.

Aqui abordamos a Estatística,procurando apresentar ao aluno leitor ocaminho da elaboração de uma pesquisa,partindo da amostragem, sugerindo umacoleta de dados e sua representação pormeio de tabelas e gráficos. As tabelas egráficos são apresentadas de maneirainformal, sem nos preocuparmos muitocom o rigor da Estatística. Trabalhar semo rigor e sem grande formalização nãoimplica incorrer em erros. Procuramos,sempre, apresentar tabelas e quadros,gráficos de diferentes tipos, semexplicitar a sua relação com os tipos devariáveis. O histograma só deve serutilizado com variáveis contínuas. Foieste o tratamento que demos aos saláriosna página 17. Já para variáveis discretas,a representação conveniente deve serfeita com gráficos de barras ou decolunas. No exemplo sobre aescolaridade da população da cidade deSão Paulo apresentamos o gráfico debarras e, no exemplo sobre a preferênciapor sabonetes, na mesma página, o

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gráfico de colunas. Não há necessidadede nos aprofundarmos nestes detalhescom os alunos jovens e adultos, mas éessencial que eles tenham oportunidadede conhecer os diversos tipos degráficos.

Das medidas de uma distribuição,apresentamos, neste capítulo, apenas asde tendência central (média aritmética,mediana e moda). Houve umapreocupação em diferenciar as três, como auxílio de propostas que visam àcompreensão de seus conceitos, umavez que é comum cometermos erros nainterpretação de afirmações queenvolvem estas três medidas. É comumas pessoas entenderem média comosendo a moda. Na última página,propomos um problema que poderágerar uma discussão sobre esse assunto.

Segundo ExemploSegundo ExemploSegundo ExemploSegundo ExemploSegundo Exemplo

Quando os funcionários de uma empresaestavam reivindicando melhoressalários, o dono argumentou que amédia dos salários era deaproximadamente R$1.485,00 Osfuncionários acharam-se enganadosporque, com certeza, estavam pensandona moda, ou então na maioria dossalários.

Em nosso exemplo, a mediana é o 51ºsalário, que é 500 reais. Logo, a maioriarecebe salários menores ou iguais a 500reais. Talvez, por esse motivo, ostrabalhadores da empresa pensassemque o dono não dizia a verdade aoafirmar que a média dos salários era deaproximadamente 1.485,00 reais.

Há poucos salários altos que fazem com

que a média seja maior que o salário damaioria dos trabalhadores. Quasesempre, os trabalhadores pensam namaioria como sendo a média ou a moda.Com o problema apresentado, ou outrodo mesmo tipo, o professor poderáencaminhar uma discussão sobre ossignificados de:

• maioria (metade mais um)

• moda (o mais freqüente)

• média ( distribuição eqüitativa).

Se o professor tiver acesso aos dadossobre a distribuição de renda no Brasil,poderá verificar que ela ocorre mais oumenos seguindo o padrão dadistribuição dos salários do exemploaqui proposto.

É inquestionável a importância dacompreensão de conceitos básicos paraque as pessoas entendam o significadode seus cálculos e possam discutirquestões pertinentes a seu dia-a-diacom argumentos consistentes, podendodefender seus direitos, enquantocidadãos, e intervir na sociedade daqual fazem parte.

Cabe ao professor não apenas ensinar oscálculos mas promover movimentos dediscussão e reflexão em sua sala deaula.

A Matemática (e, em especial, aEstatística) vai muito além dos cálculos,envolvendo o desenvolvimento daautonomia, na medida em que oindivíduo é capaz de questionar,discutir e apresentar soluções ouperceber quando suas soluções podemser substituídas por outras apresentadaspor seus interlocutores.


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BIBLIOGRAFIA

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livro do professor (ensinos fundamental e médio)

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