Lista 03

Exercício 1. A sequência (~u,~v,~w) é LD. Verifique se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações

(justifique sua resposta):

(a) Necessariamente, um dos vetores é nulo.

(b) Se~u 6=~0, então~u é paralelo a~v.

(c) Se~u,~v,~w não são nulos, então dois deles são paralelos.

Exercício 2. Prove que:

(a) (~u,~v) é LD⇒ (~u,~v,~w) é LD.

(b) (~u,~v,~w) é LI⇒ (~u,~v) é LI.

(c) (~u,~v) é LD⇔ (~u+~v,~u−~v) é LD.

Exercício 3. Prove que:

(a) (~u,~v) é LI⇔ (~u+~v,~u−~v) é LI.

(b) (~u,~v,~w) é LI⇔ (~u+~v,~u+~w,~v+~w) é LI.

(c) (~u,~v,~w) é LI⇔ (~u+~v+~w,~u−~v,3~v) é LI.

Exercício 4. Determine a e b, sabendo que (~u,~v) é LI e que (a−1)~u+b~v = b~u− (a+b)~v.

Exercício 5. Suponha que (~u,~v,~w) seja LI. Dado~t, existem a,b,c tais que~t = a~u+b~v+ c~w. Prove que

(~u+~t,~v+~t,~w+~t) é LI⇔ a+b+ c+1 6= 0.

Nos exercícios abaixo, E denota uma base.

Exercício 6. Sendo ~u = (1,−1,3)E ,~v = (2,1,3)E , ~w = (−1,−1,4)E , determine a tripla de coordenadas

de:

(a)~u+~v (b)~u−2~v (c)~u+2~v−3~w

(d) Agora, verifique se~u é combinação linear de~v e ~w.

Exercício 7. Escreva~t = (4,0,13)E como combinação linear de ~u = (1,−1,3)E , ~v = (2,1,3)E , ~w =

(−1,−1,4).

Exercício 8. ~u=(1,−1,3)E pode ser escrito como combinação linear de~v=(1,−1,0)E , ~w=(2,3,1/3)E?.

Exercício 9. Verifique se~u,~v,~w são LD ou LI.

(a)~u=(1,0,0)E ,~v=(200,2,1)E ,~w=(300,1,2)E . (b)~u=(1,2,2)E ,~v=(1,−1,−7)E ,~w=(4,5,−4)E .

(c)~u = (1,−1,2)E ,~v = (−3,4,1)E ,~w = (1,0,9)E . (d)~u = (7,6,1)E ,~v = (2,0,1)E ,~w = (1,−2,1)E .

Exercício 10. Calcule m de modo que ~u = (1,2,2)E seja gerado por ~v = (m− 1,1,m− 2)E ,~w = (m+

1,m−1,2)E . Em seguida, determine m para que (~u,~v,~w) seja LD.

Exercício 11. Determine m para que os vetores sejam LD.

(a)~u = (m,1,m)E , ~v = (1,m,1)E . (b)~u = (1−m2,1−m,0)E , ~v = (m,m,m)E

Exercício 12. Se (~e1,~e2,~e3) é uma base, prove que (a1~e1,a2~e2,a3~e3) é uma base se, e somente se,

a1,a2,a3 não são nulos. Interprete geometricamente.

Exercício 13. Sejam E = (~e1,~e2,~e3) uma base,~u=~e1+~e2,~v=~e1+~e2+~e3, ~w= a~e1+b~e2+c~e3. Deduza

uma condição necessária e suficiente sobre a, b e c para que (~u,~v,~w) seja uma base.

Exercício 14. Sejam E = (~e1,~e2,~e3) uma base,~u = (1,2,−1)E , ~f1 =~e1 +~e2 +~e3, ~f2 = m~e1 +2m~e2−~e3,~f3 = 4~e2 +3~e3.

(a) Para que valores de m a tripla F = (~f1, ~f2, ~f3) é uma base?

(b) Nas condições do item (a), calcule m para que~u = (0,1,0)F .

Exercício 15. Sejam E = (~e1,~e2,~e3) uma base, ~f1 =~e1−~e2, ~f2 = m~e1 +~e3, ~f3 =−~e1−~e2−~e3.

(a) Para que valores de m a tripla F = (~f1, ~f2, ~f3) é uma base?

(b) Nas condições do item (a), calcule a e b de modo que os vetores ~u = (1,1,1)E e~v = (2,a,b)F sejam

LD.

Exercício 16. Sejam E = (~e1,~e2,~e3) uma base, ~f1 = 2~e1−~e2 +~e3, ~f2 =~e2−~e3, ~f3 = 3~e3.

(a) Mostre que F = (~f1, ~f2, ~f3) é uma base.

(b) Calcule m para que (0,m,1)E e (0,1,−1)F sejam LD.