LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA

1) A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho).

Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:

Gab.)

a)V b)V c)F d)V e)V f)V g)F h)V i)F j)V

k)V l)V m)F n)V o)V p)V q)V r)F s)V t)V

2) A figura a baixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou

falsa cada uma das afirmações abaixo:

Gab.)

a)V b)F c) V d)V e)V f)V g)F h)F

3)A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos

coordenados e de medidas 2,1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste

sólido, sabendo que A (2, –1,2).

Gab.)

B(2, –3,2), C(3, –3,2) , D(3, –1,2), E(3, –1,5), F(2, –1,5), G(2, –3,5) e H(3, –3,5)

4) Determine x para que se tenha , sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e

D(2x,x+6).

Gab.) x=2

5) Escreva o vetor (7,–1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,–1) e

outro paralelo ao vetor (1,1).

Gab.) x = 3 e y = 4

6) Dados A(–1,–1) e B(3,5), determinar C, tal que

a) b) .

Gab.) a) x = 1 e y = 2 b) e y =3

7) Dados os vetores =( 2,–1 ) e =( 1,3) , determinar um vetor , tal que:

a) b)

Gab.)

a) = b)

8) Dados os vetores =(–1,1,2) e =( 2,0,4), determine o vetor , tal que:

Gab.)

9) Sendo A(1, –1,3) e B(3,1,5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no

sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor?

Gab.) (9,7,11)

10) Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são

=(4,2,–3) e =(–2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices.

Gab.) C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3)

11) Dados os vetores =(1,–1,0), =(3,–1,1), =(2,2,1) e =(4,–3,1). Determinar o vetor

=(x,y,z), tal que : ( + ) e ( + ) .

Gab.) =( –10,4,–3)

12) Sendo = ( 2,3,1) e = ( 1,4, 5) . Calcular:

a) b) ( – ) c)( + )2 d) (3 – 2 )2

e) (2 -3 )( +2 )

Gab.)a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205 f)–28

13)Sendo =(2,–1,1), =(1,–2,–2) e =(1,1,–1). Calcular um vetor =(x,y,z), tal que

= 4, = –9 e = 5.

Gab.) =(3,4,2)

14)Sejam os vetores =(1,–m,–3), =(m+3,4–m,1)e =(m,–2,7).Determinar m para que

=( + ) .

Gab.) m=2

15) Sejam os pontos M(1,2,2) e P(0,1,2), determine um vetor colinear à e tal

que

Gab.)

16) Achar um vetor de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor =6 –2 –3

.

Gab.)

17) No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(–2,3) e C(0,5):

a) determinar a natureza do triângulo;

b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC.

Gab.) a) isósceles b) =

18) Sejam . Determine um versor dos vetores

abaixo:

a) + B) 2 –3 c) 5 +4

Gab.) a) (3,3,–5) b) c) (13,14,–23)

19) Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são

=(4,2,–3) e =(–2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices.

Gab.) C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3)

20) Sabendo que A (1,1), B(5,1) e C(6,4) são vértices de um paralelogramo,determinar o

quarto vértices de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados.

Gab.) (2,2), (0,−4), e (10,6)

21) Dados os vetores =(3,2), =(2,4) e =(1,3), exprimir como a combinação linear

de e .

Gab.)

22) Dados os vetores =(1,–1,0), =(3,–1,1), =(2,2,1) e =(4,–3,1). Determinar o vetor

=(x,y,z), tal que : ( + ) e ( + ) .

Gab.) =( –10,4,–3)

23) Sendo = ( 2,3,1) e = ( 1,4, 5) . Calcular:

a) b) ( – ) c)( + )2 d) (3 – 2 )2

e) (2 -3 )( +2 )

Gab.) a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205 f)–28

24) Sendo =(2,–1,1), =(1,–2,–2) e =(1,1,–1). Calcular um vetor =(x,y,z), tal que

= 4, = –9 e = 5.

Gab.) =(3,4,2)

25) Sejam os vetores =(1,–m,–3), =(m+3,4–m,1)e =(m,–2,7).

Determinar dado =( + ) .

Gab.) m=2

26) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2),

B(3,1,3) e C(a+1,–2,3).

Gab.) –1 ou

27) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine:

a) se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual?

b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores .

Gab.) a) Paralelogramo b) .

28) Os vetores e formam um ângulo de 600. Sabe-se que =8 e =5, calcule:

a) + b) – c) 2 +3 d) 4 – 5

Gab.) a) b)7 c) d)

29) Os vetores e formam um ângulo de 1500, sabe-se que = e que = ,

Calcule:

a) + b) – c) 3 +2 d) 5 – 4

Gab.) a) b) c) d)

30) Determinar o valor de x para que os vetores = x –2 +3 e =2 – +2 , sejam

ortogonais.

Gab.) x=–4

31) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores =(2,6,–1) e =(0,–2,1).

Gab.)

32) Dados =(2,1,–3) e =(1,–2,1), determinar o vetor , e =5.

Gab.)

33) Dados dois vetores =(3,–1,5) e =(1,2,–3), achar um vetor , sabendo-se que ele

é perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: =9, e =–4.

Gab.) =(2,–3,0)

34) Seja o cubo de aresta a representado na figura abaixo. Determinar:

Gab.) a)0 b)0 c)0 d) e)a2 f)

g) h)

35) Um vetor forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados

positivos. Calcule suas coordenadas sabendo que = 3.

Gab.) .

36) Um vetor unitário forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 600 e com os

outros dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de .

Gab.) ou

37) O vetor forma um ângulo de 600 com o vetor , onde A (0,3,4) e

B(m, 1,2). Calcular o valor de m.

Gab.) m=–34 ou m=2

38) Os vetores e formam um ângulo = , calcular o ângulo entre os vetores = +

e = – , sabendo que = e = 1.

Gab.) cos= ,40053'36,2''

39) Dados =(2,–3,–6) e =3 –4 –4 , determine:

a) a projeção algébrica de sobre ( norma do vetor projeção de sobre );

b) 0 vetor projeção de sobre .

Gab.) a)6 b)

40) Decomponha o vetor =(–1,2,–3) em dois vetores e , tais que e , com

=(2,1,–1).

Gab.) e

41) São dados os vetores = (1,1,1), =(–1,2,3) e =(26,6,8). Decompor o vetor

em dois vetores e ortogonais entre si, sendo simultaneamente ortogonal a

e a .

Gab.) =(1,–4,3) e =(25,10,5)

42) São dados =(3,2,2) e =(18,–22,–5), determine um vetor , que seja ortogonal à

e a , tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que =28.

Gab.) =(–8,–12,24)

43) Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as

coordenadas do vetor , onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ.

Gab.) =(2,2,1)

44) Dados os vetores =( –1,3,2), =(1,5,–2) e =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos

vetores:

a) b) c) ( ) d) ( ) e)

( + )( + ) f) ( – )

Gab.) a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(24,72,48) e)(24,0,64)

f)(–3,–13,18)

45) Determinar o vetor , paralelo ao vetor ao vetor =(2,–3,0) e tal que = , onde

=(1,–1,0) e =(0,0,2).

Gab.) =(4.–6,0)

46) Determinar o vetor , sabendo que ele é ortogonal ao vetor =(2,3,1) e ao vetor

=(1,2,3) e que satisfaz a seguinte condição; .

Gab.)

47) Determinar , tal que seja ortogonal ao eixo dos y e que ,sendo

e .

Gab.) =(1,0,1)

48) Dados os vetores =(0,1,1), =(2,0,0) e =(0,2,3).Determine um vetor , tal que

// e = .

Gab.) =(0,4,6)

49) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores =(–1,–1,0) e =(0,–1–1).

Gab.)

50) Ache tal que = e é ortogonal a =(2,3,1) e a =(2,4,6). Dos

encontrados, qual forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0).

Gab.)

51) Dado o vetor =(3,0,1).Determine o vetor =(x,y,z), sabendo-se que é ortogonal

ao eixo OX, que = , e que =4.

Gab.)

52) Sendo =(–2,1,–1) e =(0,y,z), calcule y e z de modo que = 4 e que o

vetor = faça ângulos congruentes com os eixos OX e OY.

Gab.) (0,2,2)

53) Resolva os sistemas abaixo:

a)

Gab.) a)(4,6,-2) b)(2,4,–2) c)(1,3,–1)

54) Dados os vetores =(1,1,1) e =(2,3,4), calcular:

a) A área do paralelogramo de determinado por e ;

b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor .

Gab.) a)A= b)

55) Dados os vetores =(2,1,1) e =(1,1,), calcular o valor de para que a área do

paralelogramo determinado por e seja igual a u.a.(unidades de área).

Gab.) =3

56) A área de um triângulo ABC é igual a . Sabe-se que A(2,1,0), B(–1,2,1) e que o

vértice C pertence ao eixo OY. Calcule as coordenadas de C.

Gab.) (0,3,0) ou

57) Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A (0,1,1), B(2,0,1) e C(1,2,0).

Determine a altura relativa ao lado BC.

Gab.)

58) Determine a área do triângulo ABD, obtido pela projeção do vetor sobre o vetor

, onde A (5,1,3), B(3,9,3) e C(1,1,2).

Gab.)

59) Qual é o valor de x para que os vetores =(3,–x,–2), =(3,2,x) e =(1,–3,1) sejam

coplanares.

Gab) x=14 ou x=–2

60) Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3),B(1,2,0), C(5,–1,–1) e D(2,2,k)

sejam vértices de uma mesma face de um poliedro.

Gab) k=– 1

61) Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos

vetores = 2 – + e = – e =x + –3 , seja unitário.

Gab) x=–5 ou x= –3

62) Sejam os vetores =(1,1,0), =(2,0,1) e , e .

Determinar o volume do paralelepípedo definido por , e .

Gab) V=44 u.v.

63) Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices A (2,1,–1), B(3,0,1) e C(2,–1,3).

Calcular as coordenadas do quarto vértice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo

OY.

Gab) D (0,–7,0) ou D(0,8,0)

64) São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor

de m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos

vetores e .

Gab) m=6 ou m=2

65) Determine sobre o eixo OX um ponto P, tal que, o volume do tetraedro PABC seja o

dobro do volume do tetraedro POBC. Dados: O (0,0,0) ,A(1,0,0) , B(0,1,0) e

C(0,0,1).

Gab) (–1,0,0) ou

66) Sendo =(1,1,0), =(2,1,3) e =(0,2,–1). Calcular a área do triângulo ABC e o

volume do tetraedro ABCD, onde B=A+ . C=A+ e D=A+ .

Gab) S= ,V=

67)Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,2,4) ,C(2,1,3) e D(0,6,0).

Gab)

68) Os vértices de um tetraedro são M (0,3,4), N(1,2,2) e Q(2,–1,2) e P é um ponto

pertencente ao eixo coordenado OZ. Calcule:

a) as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a

1 uv;

b)a área e o perímetro da face NMQ;

c)os ângulos internos da face MNQ;

d)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa à face MNQ.

Gab) a)P(0,0,0) ou P(0,0,2) b)S= u.a., 2p= u.c.

c)=300, =900, =600 d) u.c.

69) A figura abaixo representa uma pirâmide de base quadrada OABC em que as

coordenadas são O(0,0,0), B(4,2,4) e C(0,6,6), e o vértice V é eqüidistante dos

demais, determine:

a) as coordenadas do vértice D;

b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é

igual a 72 u.v.

Gab) a) D(–4,4,2) b) V(–2, –1,7)

70) São dados no espaço os pontos A(2,–1,0), B(1,–2,1) e C(1,0,2), determine o ponto D,

tal que , e sejam coplanares, = –28 e que o

volume do tetraedro OABD seja igual a 14.

Gab) D(0,0,–28) ou D(12,24,8)