C E N T R O U N I V E R S I TÁ R I O U N A I n s t i t u t o P o l i t é c n i c o

Sistemas de Controle – Lista 6 Professor: Thiago Madureira Braga

Tema: Sistemas de Primeira Ordem 1. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP1) A velocidade de rotação em rad/s de um rotor em várias situações é dada

pelas seguintes funções do tempo, a partir de t=0:

(a) 𝜔(𝑡) = 10𝑒−5𝑡

(b) 𝜔(𝑡) = 100(1 − 𝑒−0,05𝑡)

(c) 𝜔(𝑡) = −50𝑒−2𝑡

Faça, para cada caso, um esboço de 𝜔 em função do tempo, indicando a velocidade inicial, a velocidade final e a constante de tempo. 2. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP2) Consideremos um motor de corrente contínua (c.c.) considerado como

sistema de 1ª ordem, cuja entrada é a tensão aplicada e a saída é a velocidade de rotação 𝜔(𝑡) em rpm. Para um tensão de 20 V, a velocidade final adquirida pelo motor é de 500 rpm. Além disso, verificou-se que decorrem 25 s para que a rotação atinja 316 rpm. Determine a função de transferência do motor. Escreva também a equação da rotação (em rpm), em função do tempo.

3. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP3) O motor elétrico do problema anterior está funcionando há algum tempo

com velocidade de regime permanente quando subitamente desligado pela abertura de uma chave. Determine a equação da velocidade em rpm, a partir do instante em que foi deligado. Quanto tempo decorre até a parada completa que se admite ocorrer 5 constantes de tempo depois de desligado?

4. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP4 – modificado) Um sistema possui uma função de transferência:

𝐺(𝑠) =20

𝑠 + 5 .

Determine a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de acomodação. Quais as constantes de ganho impróprio e estático? Qual o valor final da resposta a um degrau unitário?

5. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP6) Um bloco de massa 𝑀 = 1 kg pode deslizar sobre uma plataforma

horizontal, mas fica sujeito na base a um atrito viscoso de coeficiente 0,1 Ns/m. No instante 𝑡 = 0, é aplicada uma força de impacto muito intensa (10.000 N), mas de curta duração (0,01 s). Essa força pode ser

considerada como sendo um impulso. Qual o valor desse impulso? Qual a velocidade 𝑣(𝑡) do bloco a partir

de 𝑡 = 0?

6. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP10) Um bloco retangular de massa 𝑀 = 2 kg pode deslocar-se sobre um

plano horizontal, estando sujeito apenas a um atrito viscoso de coeficiente 𝐵 = 0,5 N/(m/s). Inicialmente em repouso, esse bloco é submetido a uma força horizontal de 1.000 N durante um intervalo de 0,01 s. Qual a velocidade inicial? Qual a constante de tempo desse sistema? Supondo que ele esteja praticamente em repouso depois de 5 constantes de tempo, qual a distância total percorrida?

7. A resposta ao degrau de um sistema dinâmico linear traz informações importantes a respeito da sua

dinâmica. Considere que um processo físico, representado por um sistema linear de primeira ordem, é submetido a um ensaio de resposta ao degrau de amplitude 10, e os dados coletados do sinal de saída são:

Figura do exercício 7.

(a) O sistema é estável? Justifique. (b) Determine a função de transferência do sistema. Justifique claramente a escolha de cada um dos

parâmetros e como foram obtidos. Determine a equação resposta ao degrau mostrada no gráfico.

Tema: Sistemas de Segunda Ordem 8. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP16) Sendo a função de transferência de um sistema:

𝑌(𝑠)

𝑈(𝑠)=

100

𝑠2 + 6𝑠 + 25

(a) Calcule a resposta desse sistema a um degrau unitário. (b) Verifique se o gráfico da figura abaixo descreve corretamente a resposta do problema.

0 20 40 60 80 100 1200

5

10

15

20

25

30

35

40

saíd

a

tempo(s)

Figura do exercício 8.

9. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP17) Um bloco de massa 𝑀 ligado por um amortecedor de uma mola a uma

parede fixa está sob a ação da força 𝑓(𝑡), como indica a figura abaixo. Sendo a força 𝑓(𝑡) aplicada como um

degrau de amplitude 160 N, determine a função de transferência 𝐺(𝑠) = 𝑋(𝑠)/𝐹(𝑠), o deslocamento e a velocidade em função do tempo, para o caso da força descrita. Qual a velocidade máxima alcançada pelo móvel?

Dados: 𝑀 = 1 kg; 𝐵 = 20 N/(m/s); 𝐾 = 64 N/m.

Equação diferencial governante: 𝑀𝑥′′(𝑡) + 𝐵𝑥′(𝑡) + 𝐾𝑥(𝑡) = 𝑓(𝑡)

Figura do exercício 9.

10. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP20) Sendo a função de transferência de um circuito:

𝑉2(𝑠)

𝑉1(𝑠)=

1600

𝑠2 + 10𝑠 + 160

(a) Calcule a resposta desse circuito a um degrau unitário de tensão. (b) Faça um esboço cuidadoso da curva de resposta encontrada no item anterior.

11. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP26) Para o sistema de 2ª ordem indicado a seguir, determine o grau de

amortecimento 𝜁, a frequência de ressonância natural do sistema (𝜔𝑛), a frequência de ressonância do

sistema com amortecimento (𝜔𝑑), o tempo de subida (𝑡𝑠 – critério de 0 a 100%), o tempo de pico (𝑡𝑝), o

tempo de acomodação (𝑡𝑎𝑐) e o percentual de ultrapassagem (𝑃𝑈%). Faça um esboço da resposta do sistema a um degrau unitário.

𝐹(𝑠) =169

𝑠2 + 10𝑠 + 169

12. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP27) A figura abaixo representa a resposta ao degrau de um sistema.

Determine a partir do gráfico: o tempo de pico; a ultrapassagem; e o tempo de acomodação. Determine também a função de transferência.

Figura do exercício 12.

13. Um sistema LIT é descrito pela equação diferencial abaixo:

2𝑦′′(𝑡) + 12𝑦′(𝑡) + 68𝑦(𝑡) = 34𝑥(𝑡) (a) Determine a função de transferência do sistema. (b) Qual o ordem do sistema? Justifique sua resposta. (c) Classifique o sistema quanto ao grau de amortecimento. Justifique sua resposta. (d) Determine a resposta do sistema ao impulso unitário. (e) Determine a resposta do sistema ao degrau de amplitude 3.

Tema: Sistemas Gerais (com Zeros, de Ordem Superior, com tempo morto) 14. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP13) Calcule a resposta a um degrau unitário do sistema cuja função de

transferência é dada abaixo.

𝐺(𝑠) =20(𝑠 + 1)

(𝑠 + 4)(𝑠 + 5)

15. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP14) A resposta de determinado sistema a um degrau unitário aplicado no

instante 𝑡 = 0 é

𝑣(𝑡) = 10𝑒−𝑡 sen(2𝑡) .

Determine a função de transferência desse sistema e desenhe cuidadosamente o gráfico de 𝑣(𝑡) em função do tempo.

16. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP15) A resposta de determinado sistema a um degrau unitário aplicado no

instante 𝑡 = 0 é

𝑣(𝑡) = 10𝑒−𝑡 cos(2𝑡) .

Determine a função de transferência desse sistema e desenhe cuidadosamente o gráfico de 𝑣(𝑡) em função do tempo.

17. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP18) Dado o sistema cuja função de transferência é

𝐺(𝑠) =𝑌(𝑠)

𝑈(𝑠)=

12𝑠 + 40

𝑠2 + 10𝑠 + 24

Determine as constantes de tempo e as respostas ao impulso e ao degrau unitários.

18. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP24) Obtenha a resposta 𝑦(𝑡) do sistema cuja função de transferência é indicada a seguir, a um degrau unitário e a uma rampa unitária.

𝐺(𝑠) =16𝑠

𝑠2 + 6𝑠 + 8

19. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP30) Determine a resposta ao degrau unitário do sistema cuja função de

transferência é

𝐺(𝑠) =25(𝑠 + 1)

𝑠2 + 8𝑠 + 25

20. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP32) Determine a resposta ao degrau unitário do sistema de 3ª ordem cuja

função de transferência é

𝐺(𝑠) =3

𝑠3 + 4,5𝑠2 + 5𝑠 + 1,5

21. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP35) Determine a resposta ao degrau unitário do sistema cuja função de

transferência é

𝐺(𝑠) =𝑌(𝑠)

𝑈(𝑠)=

500

(𝑠 + 10)(𝑠2 + 6𝑠 + 25)

Verifique a condição inicial.

22. (Controle Essencial, Cap. 6 – PP36) Admitindo, na questão anterior, que o par de polos complexos possa

ser considerado como polos dominantes do sistema, calcule a resposta ao degrau unitário do sistema reduzido apenas aos polos complexos, mas mantendo inalterado o valor final da resposta. Construa um gráfico comparativo das respostas.

23. Um processo industrial foi submetido a um ensaio de resposta ao degrau a fim de se determinar a relação de

causa e efeito do sistema. O engenheiro responsável pelo processo coletou os dados dos sinais de entrada e de saída do processo durante o ensaio, os quais são apresentados na figura abaixo.

Baseado nos dados coletados e considerando o sistema como linear, pode-se afirmar que a equação diferencial (x entrada e y saída) que melhor representa o sistema é:

(a) 5𝑦′(𝑡) + 𝑦(𝑡) = 2𝑥(𝑡)

(b) 𝑦′(𝑡) + 5𝑦(𝑡) = 4𝑥(𝑡)

(c) 5𝑦′(𝑡) + 𝑦(𝑡) = 4𝑥(𝑡 − 4)

(d) 5𝑦′(𝑡) + 𝑦(𝑡) = 2𝑥(𝑡 − 4)

(e) 𝑦′(𝑡) + 5𝑦(𝑡) = 2𝑥(𝑡 − 4)

Figura do exercício 23.

24. Determine a função de transferência do sistema do exercício anterior a partir da equação diferencial que

governa o sistema. Utilizando a aproximação de Padé de primeira ordem para o tempo morto, determine uma nova função de transferência para o sistema.

25. Com o intuito de investigar um sistema dinâmico linear, um engenheiro levantou o mapa S da função de transferência do sistema. O mapa S é mostrado na figura abaixo.

Analise as afirmativas abaixo a cerca do sistema:

I. O sistema é de terceira ordem. II. O sistema possui um par de zeros complexos.

III. O sistema é instável.

É correto afirmar que: (A) Somente a afirmativa I é verdadeira. (B) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. (C) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. (D) Todas as afirmativas são verdadeiras. (E) Todas as afirmativas são falsas.

Respostas:

1.

(a) 𝑣0 = 10 rad/s ; 𝑣𝑓 = 0 rad/s; 𝜏 = 0,2 s

(b) 𝑣0 = 0 rad/s ; 𝑣𝑓 = 100 rad/s; 𝜏 = 20 s

(c) 𝑣0 = −50 rad/s ; 𝑣𝑓 = 0 rad/s; 𝜏 = 0,5 s

2. 𝐺(𝑠) =1

𝑠+0,04 ; 𝜔(𝑡) = 500(1 − 𝑒−0,04𝑡), 𝑡 ≥ 0 rpm

3. 𝜔(𝑡) = 500−0,04𝑡 rpm ; Δ𝑡 = 125 s

4. 𝐾𝑔 = 4 ; 𝐾 = 20 ; 𝜏 = 0,2 s ; 𝑡𝑠 = 0,44 s ; 𝑡𝑎𝑐 = 0,8 s ; 𝑦(∞) = 4

5. Impulso = 100 Ns ; 𝑣(𝑡) = 100𝑒−0,1𝑡, 𝑡 ≥ 0

6. 𝑣𝑜 = 5 m/s ; 𝜏 = 4 s ; 𝑑 = 19,86 m

7. (a) Sim, pois é BIBO. (b) 𝐺(𝑠) =4

20𝑠+1 ; 𝑦(𝑡) = 40(1 − 𝑒−0,05𝑡), 𝑡 ≥ 0

8. 𝑦(𝑡) = 4[1 − 1,25𝑒−3𝑡 sen(4𝑡 + 53,13°)], 𝑡 ≥ 0

9. 𝐺(𝑠) =1

𝑠2+20𝑠+64 ; 𝑥(𝑡) = 2,5 −

10

3𝑒−4𝑡 +

2,5

3𝑒−16𝑡, 𝑡 ≥ 0 ; 𝑣(𝑡) =

40

3(𝑒−4𝑡 − 𝑒−16𝑡), 𝑡 ≥ 0 ;

𝑣𝑚á𝑥 = 6,3 m/s em 𝑡 = 0,116 s

10. 𝑦(𝑡) = 10[1 − 1,089𝑒−5𝑡 sen(11,62𝑡 + 66,72°)], 𝑡 ≥ 0

11. 𝜁 = 0,385 ; 𝜔𝑛 = 13 rad/s ; 𝜔𝑑 = 12 rad/s ; 𝑡𝑠 = 0,164 s ; 𝑡𝑝 = 0,262 s ; 𝑡𝑎𝑐 = 0,8 s ; 𝑃𝑈 =

27%

12. 𝑡𝑝 = 0,5 s ; 𝑃𝑈 = 27% ; 𝑡𝑎𝑐 = 1,4 s ; 𝐺(𝑠) =47,7

𝑠2+5,76𝑠+47,7

13. (a) 𝐺(𝑠) =34

2𝑠2+12𝑠+68 ; (b) Segunda. ; (c) Subamortecido

14. 𝑦(𝑡) = 1 + 15𝑒−4𝑡 − 16𝑒−5𝑡, 𝑡 ≥ 0

15. 𝐺(𝑠) =20𝑠

𝑠2+2𝑠+5

16. 𝐺(𝑠) =10(𝑠+1)

𝑠2+2𝑠+5

17. 𝜏1 = 0,25 ; 𝜏2 = 0,1667 ; 𝑦𝛿(𝑡) = 4(−𝑒−4𝑡 + 4𝑒−6𝑡), 𝑡 ≥ 0 ; 𝑦𝑢(𝑡) =5

3(1 + 0,6𝑒−4𝑡 − 1,6𝑒−6𝑡),

𝑡 ≥ 0

18. 𝑦𝛿(𝑡) = 8(𝑒−2𝑡 − 𝑒−4𝑡), 𝑡 ≥ 0 ; 𝑦𝑢(𝑡) = 2(1 − 2𝑒−2𝑡 + 𝑒−4𝑡), 𝑡 ≥ 0

19. 𝑦(𝑡) = 1 − 𝑒−4𝑡(cos(3𝑡) − 7 sen(3𝑡)) = 1 − 7,07𝑒−4𝑡 sen(3𝑡 − 188,13°) , 𝑡 ≥ 0

20. 𝑦(𝑡) = 2(1 − 2,4𝑒−0,5𝑡 + 1,5𝑒−𝑡 − 0,1𝑒−3𝑡), 𝑡 ≥ 0

21. 𝑦(𝑡) = 2[1 − 0,385𝑒−10𝑡 − 1,55𝑒−3𝑡 sen(4𝑡 + 23,39°)], 𝑡 ≥ 0

22. 𝐺(𝑠) =50

𝑠2+6𝑠+25 ; 𝑦(𝑡) = 2[1 − 1,25𝑒−3𝑡sen (4𝑡 + 53,13°)], 𝑡 ≥ 0

Figura comparativa dos dois modelos:

23. D

24. 𝐺(𝑠) =𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠)=

2𝑒−4𝑠

5𝑠+1 ; 𝐺(𝑠) =

2(1−2𝑠)

(5𝑠+1)(1+2𝑠)

25. A