lista especial 03 - matemática assunto: prismas de acordo ... · 09.a figura representa parte de...

1. INTRODUÇÃO

Vamos considerar dois planos paralelos e , R uma região

poligonal em um dos planos e r uma reta que intersecta os dois planos.

O conjunto de todos os segmentos paralelos à reta r que ligam um

ponto de R a um ponto do outro plano forma um prisma.

1.1. Definição

Prismas são poliedros que têm duas faces paralelas e congruentes,

chamadas bases, e as demais faces têm a forma de paralelogramos e

são chamadas faces laterais.

1.2. Classificação

O prisma é reto quando as arestas laterais são perpendiculares às

bases, e oblíquo quando não o são.

De acordo com a região poligonal das bases, o prisma recebe

nomes especiais. Por exemplo:

1º) Prisma Reto de Base triangular ou Prisma Reto Triangular

DEF e ABCBases

BCFE e ACFD ABDE;Laterais Faces

BE e CF ;ADLaterais Arestas

2º) Prisma Reto de Base Pentagonal ou Prisma Reto Pentagonal

FGHIJ e ABCDEBases

ABGFe AEJFDEJI; CDIH; BCHG; Laterais Faces

DI e CH ;EJ ;BG ;AFLaterais Arestas .

3º) Prisma Reto de Base Retangular ou Paralelepípedo Retorretângulo

Lista Especial 03 - Matemática Assunto: Prismas Prof. Lizias

4º) Cubo ou Hexaedro Regular

2. PRISMA REGULAR

Se um prisma reto tem, em cada base, uma região poligonal cujo

contorno é um polígono regular, dizemos que ele é um prisma regular.

Exemplos:

1. Prisma Regular Tiangular

sEquilátera esTriangular RegiõesBases

esRetangular RegiõesLaterais Faces

2. PRISMAS REGULAR HEXAGONAL

Regulares Hexagonais RegiõesBases

esRetangular RegiõesLaterais Faces

2.1. Área da Base de um Prisma Regular

A área da base de um prisma regular, depende da forma de sua

base. Assim, por exemplo, se a base é um triângulo equilátero, a área

da base deste prisma será a área do triângulo equilátero.

As áreas mais usadas são: Triângulo Equilátero, Quadrado e

Hexágono Regular.

Vamos lembrar essas áreas:

Triângulo

Equilátero

Quadrado

Hexágono

Regular

2.2. Área Lateral de um Prisma Regular

É a soma de das áreas de todas as faces laterais do prisma. Se é

regular, todas as faces laterais são retângulo congruentes, logo,

podemso assim relacionar:

Onde:

2.3. Área Total de um Prisma Regular

É a soma de todas as áreas do prisma. Assim:

Onde:

2.4. Volume de um Prisma Regular

É o produto da área da base pela altura do prisma. Assim:

Onde:

3. Paralelepípedo Reto–Retângulo

3.1. Definição

Todo prisma de bases retangulares é chamado de paralelepípedo

reto–retângulo.

Onde:

a ⇒ Comprimento da

Base

b ⇒ Largura da Base

c ⇒ Altura ou

Profundidade

3.2. Medida da Diagonal

222

2222

cbaD

ou

cbaD

3.3. Área Total

c)bcab(a2At

3.3. Volume

cbaV

4. Cubo (Hexaedro Regular)

4.1. Definição

O Cubo (Hexaedro Regular) é um paralelepípedo reto–retângulo

cujas arestas têm todas as mesmas medidas.

Onde:

a ⇒ Aresta do Cubo

4.2. Medida da Diagonal

3aD

2ad

Onde:

d ⇒ Diagonal da

face

D ⇒ Diagonal do

cubo

4.3. Área Total

2t a6A

4.4. Volume

3a V

EXERCICIOS 01. As torres Puerta de Europa, também conhecidas por Torres KIO,

são duas torres inclinadas uma contra a outra em Madri, Espanha. A

inclinação das torres é de 15° com a vertical e ambas têm altura de 114

m, com 26 andares.

Reprodução

Essas torres apresentam a forma de

a) pirâmides oblíquas de base triangular.

b) pirâmides oblíquas de base quadrada.

c) troncos de pirâmides oblíquas de base quadrada.

d) prismas oblíquos de base quadrangular.

e) prismas oblíquos de base decagonal.

Resolução

Alternativa correta: D

As torres representam prismas oblíquos de base quadrangular,

conforme a figura a seguir.

02. A escola de Pedro propôs a organização de um acampamento

para festejar o dia das crianças à comissão de pais. Cada aluno deveria

levar seus equipamentos de segurança enquanto a escola ficaria

responsável por todo o bom funcionamento do evento. Uma das coisas

que a escola teria que fornecer aos alunos seriam as barracas de lona

em forma de prisma triangular, cujo triângulo é isósceles, conforme a

mostrado na figura.

A quantidade de lona necessária para produzir todas as faces do

poliedro que representa essa barraca é

a) 66 m².

b) 84 m².

c) 90 m².

d) 108 m².

e) 132 m².

Resolução

Alternativa correta: E

Como o triângulo é isósceles, então sua base fica dividida em dois

segmentos de 4 m cada. Seja x a hipotenusa do triângulo retângulo

mostrado. Pelo Teorema de Pitágoras, conclui-se que x = 5 m.

Dessa forma, a área total de lona necessária para produzir todas as

faces de uma dessas barracas é calculadas assim:

03. Em uma atividade de sala, o professor Robério planificou um cubo

e escreveu nas faces os numerais de 1 a 6 conforme a figura a seguir.

De acordo com a ilustração,

a) a soma dos numerais das faces opostas é sempre um numeral par.

b) o produto dos numerais das faces opostas é sempre um numeral

par.

c) a soma dos numerais das faces opostas é sempre um divisor de 3.

d) a soma dos numerais das faces não opostas à face 1 é um numeral

múltiplo de 3.

e) o produto dos numerais das faces não opostas à face 6 é igual a 20.

Resolução


Montando o cubo que está planificado, obtém-se a figura a seguir:

Observe que a face 6 é oposta à face 3, a face 4 é oposta à face 2 e a

face 5 é oposta à face 1. Então, as faces não opostas à face 1 são 2, 3, 4

e 6, cuja soma é 15, que é um numeral múltiplo de 3.

04. Alguns supermercados têm usado um prisma de madeira para

separar, no caixa, as compras dos clientes que já foram registrados.

Suponha que esse prisma seja triangular regular maciço e que a aresta

da base tenha 2 cm e a altura 20 cm. Usando ≅1,7, o volume

desse prima, em cm³, é

a) 34 cm³.

b) 33 cm³.

c) 32 cm³.

d) 31 cm³.

e) 30 cm³.

Resolução

Alternativa correta: A

O referido prisma possui base triangular regular. Desse modo, o volume

é dado por .

05. Um chocolate é vendido no formato de prisma triangular regular,

conforme mostra a figura.

A aresta da base desse prisma é 5 cm e sua altura mede 18 cm. Qual a

densidade absoluta desse chocolate?

a) 2,1 g/cm³

b) 2,5 g/cm³

c) 2,9 g/cm³

d) 3,3 g/cm³

e) 3,7 g/cm³

Resolução


06. Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem,

colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação

denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja

forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura.

Considere um silo de 2 m de altura, 6 m de largura de topo e 20 m de

comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem

0,5 m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de

forragem ocupa 2 m3 desse tipo de silo.

EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em:

www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).

Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em

toneladas, é

a) 110.

b) 125.

c) 130.

d) 220.

e) 260.

Resolução


h = 2 m

B = 6 m

C = 20 m

b → para cada metro de altura do silo B, tem-se 0,5 m a mais. Portanto,

em 2 m de altura, B tem 1 m a mais.

b = 5 m

Volume do prisma = Ab . h

07.A base do cesto reto da figura é um quadrado de lado 25 cm. Se a

parte lateral externa e o fundo externo do cesto devem ser forrados

com um tecido que é vendido com 50 cm de largura, o menor

comprimento de tecido necessário para a forração é

a) 1,115 m.

b) 1,105 m.

c) 1,350 m.

d) 1,250 m.

e) 1,125 m.

Resolução


08.Quando se diz que numa determinada região a

precipitação pluviométrica foi de 10 mm, significa que a

precipitação naquela região foi de 10 litros de água por metro

quadrado, em média.

Se numa região de 10 km2 de área ocorreu uma precipitação de 5 cm,

quantos litros de água foram precipitados?

a) 5 x 107 L.

b) 5 x 108 L.

c) 5 x 109 L.

d) 5 x 1010 L.

e) 5 x 1011 L.

Resolução

Alternativa correta: B

09.A figura representa parte de uma escada construída com blocos de

concreto na forma de prisma de base quadrada, cujas arestas da base

medem 20 cm, e a altura, 1,5 m.

O volume de concreto necessário para construir a escada, em m3, é

a) 1,20.

b) 0,90.

c) 0,80.

d) 0,60.

e) 0,40.

Resolução


Percebemos degraus.

15

Cada bloco:

Volumebioco = 0,2 . 0,2 . 1,5 = 0,06 m3

Volumeescada = 15 . 0,06 = 0,9 m3

10.É muito comum ouvirmos falar da falta de água em praias,

no período de veraneio. Para prevenir-se deste problema, o Sr. Júnior

instalou uma caixa-d’água de fibra adquirida da firma Baskara S.A.,

cujas dimensões são 0,80 m, 1,00 m e 0,70 m. Sabe-se que uma caixa-

d’água nunca fica completamente cheia por causa da posição do cano

de entrada. Nesse caso, os últimos 10 cm da altura do reservatório

ficam vazios.

A capacidade, em litros, dessa caixa-d’água, que tem a forma de um

paralelepípedo, é

a) 560.

b) 480.

c) 400.

d) 360.

e) 300.

Resolução


Volumecaixa = 0,80 . (0,70 - 0,10) = 0,8 . 0,6 = 0,48 m3

Volumecaixa = 0,48 m3 = 480 L.

11. Em uma gráfica, há uma pilha de papel no formato A4 com 1 m

de altura. O papel A4 tem a forma retangular com 21 cm de largura por

30 cm de comprimento. Assim sendo, o volume ocupado pela pilha de

papel é de

a) 630 cm3.

b) 51 cm3.

c) 151 cm3.

d) 51 000 cm3.

e) 63 000 cm3.

Resolução


V = 30 21 100 = 63 000 cm3

12. Determinada empresa fabrica blocos maciços no formato de um

cubo de lado a, como ilustra a figura a seguir. Devido a exigências do

mercado, a empresa começou a produzir blocos cujos lados foram

reduzidos pela metade do cubo original.

A fração que expressa a relação entre os volumes dos cubos maior e

menor é

a) 1/2

b) 1/4

c) 1/8

d) 1/16

e) 1/64

Resolução

Alternativa correta: C

O volume do cubo original é . O volume do novo cubo

é . Portanto, a razão entre os volumes dos dois

cubos é .

13. Uma empresa responsável por produzir arranjos de parafina

recebeu uma encomenda de arranjos em formato de cone reto. Porém,

teve dificuldades em receber de seu fornecedor o molde a ser utilizado

e negociou com a pessoa que fez a encomenda o uso de arranjos na

forma de um prisma reto, com base quadrada de dimensões 5 cm × 5

cm.

Considerando que o arranjo na forma de cone utilizava um volume de

500 mL, qual deverá ser a altura, em cm, desse prisma para que a

empresa gaste a mesma quantidade de parafina utilizada no cone?

a) 8

b) 14

c) 20

d) 60

e) 200

Resolução

Alternativa correta: C

14. Em uma confeitaria, um cliente comprou um cupcake (pequeno

bolo no formato de um tronco de cone regular mais uma cobertura,

geralmente composta por um creme), semelhante ao apresentado na

figura:

Como o bolinho não seria consumido no estabelecimento, o

vendedor verificou que as caixas disponíveis para embalar o doce eram

todas em formato de blocos retangulares, cujas medidas estão

apresentadas no quadro:

A embalagem mais apropriada para armazenar o doce, de forma a não

deformá-lo e com menor desperdício de espaço na caixa, é

a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.

e) V.

Resolução


A partir da figura, o cupcake precisa de uma caixa com as seguintes

dimensões mínimas 7 x 7 x 9. Dessa forma, a alternativa D é a que mais

se aproxima.

15. Uma fábrica que trabalha com matéria-prima de fibra de vidro

possui diversos modelos e tamanhos de caixa-d’água. Um desses

modelos é um prisma reto com base quadrada. Com o objetivo de

modificar a capacidade de armazenamento de água, está sendo

construído um novo modelo, com as medidas das arestas da base

duplicadas, sem a alteração da altura, mantendo a mesma forma.

Em relação ao antigo modelo, o volume do novo modelo é

a) oito vezes maior.

b) quatro vezes maior.

c) duas vezes maior.

d) a metade.

e) a quarta parte.

Resolução


V = a2h e V' = 4a2h. O volume do novo modelo é quatro vezes maior

que o anterior.

EXERCICIOS

01. (Espcex (Aman) 2016) As medidas das arestas de um

paralelepípedo retângulo são diretamente proporcionais a 3, 4

e 5 e a soma dessas medidas é igual a 48 cm. Então a medida

da sua área total, em 2cm , é

a) 752 b) 820 c) 1.024 d) 1.302 e) 1.504 02. (Unesp 2016) Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em dois prismas por um plano que contém as diagonais de duas faces opostas, como indica a figura.

Comparando-se o total de tinta necessária para pintar as faces externas do paralelepípedo antes da divisão com o total necessário para pintar as faces externas dos dois prismas obtidos após a divisão, houve um aumento aproximado de a) 42%. b) 36%. c) 32%. d) 26%. e) 28%. 03. (Enem 2015) Uma fábrica de sorvetes utiliza embalagens

plásticas no formato de paralelepípedo retangular reto.

Internamente, a embalagem tem 10 cm de altura e base de

20 cm por 10 cm. No processo de confecção do sorvete, uma

mistura é colocada na embalagem no estado líquido e, quando

levada ao congelador, tem seu volume aumentado em 25%,

ficando com consistência cremosa. Inicialmente é colocada na embalagem uma mistura sabor

chocolate com volume de 31.000 cm e, após essa mistura ficar

cremosa, será adicionada uma mistura sabor morango, de modo que, ao final do processo de congelamento, a embalagem fique completamente preenchida com sorvete, sem transbordar.

O volume máximo, em 3cm , da mistura sabor morango que

deverá ser colocado na embalagem é a) 450. b) 500. c) 600. d) 750. e) 1.000. 04. (Pucrj 2015) O que acontece com o volume de um paralelepípedo quando aumentamos a largura e a altura em 10% e diminuímos a profundidade em 20%? a) Não se altera b) Aumenta aproximadamente 3% c) Diminui aproximadamente 3% d) Aumenta aproximadamente 8% e) Diminui aproximadamente 8% 05. (G1 - cftmg 2015) Uma caixa, em forma de paralelepípedo

reto retângulo, cujas dimensões são 800mm de comprimento,

50cm de largura e 6dm de altura tem volume igual a

a) 30,24mm

b) 30,24cm

c) 30,24dm

d) 30,24m

06. (Pucrj 2015) O diagrama abaixo mostra uma pilha de caixas cúbicas iguais, encostadas no canto de um depósito.

Se a aresta de cada caixa é de 30 cm, então o volume total

dessa pilha, em metros cúbicos, é de: a) 0,513

b) 0,729 c) 0,810 d) 0,837 e) 0,864 07. (Pucpr 2015) Um recipiente tem a forma de um paralelepípedo retângulo reto, de base quadrada, com as

seguintes medidas: 1m 1m 2 m (internas). Esse recipiente

contém um produto na forma líquida e está ocupado em 60%

de sua capacidade. Outro produto será adicionado a esse recipiente, também na forma líquida, acondicionado em

cilindros (cilindro reto) com 20 cm de diâmetro na base e

x cm de altura (medidas internas do cilindro). Se forem

adicionadas 40 unidades do novo produto e o volume desta

mistura dentro do paralelepípedo atingir a altura de 1,828 m

da base, então, a altura do cilindro (x) será:

Use 3,14.π

a) 1m.

b) 0,5 m. c) 0,6 m. d) 0,314 m. e) 0,628 m.

08. (Unisc 2015) Um reservatório cúbico de 60 cm de

profundidade está com 1

3 de água e precisa ser totalmente

esvaziado. O volume de água a ser retirado desse reservatório é de a) 7,2 litros. b) 72 litros. c) 21,6 litros. d) 216 litros. e) 25 litros. 09. (Uepg 2014) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números 1, 2 e 3 e sua área total é igual a

2198cm . Sobre esse paralelepípedo, assinale o que for

correto.

01) Seu volume vale 3162cm . 02) As suas dimensões formam uma progressão aritmética. 04) A soma das medidas de todas as suas arestas é 72cm. 08) Sua diagonal é maior que 11cm. 10. (Fgv 2014) Uma piscina vazia, com formato de paralelepípedo reto retângulo, tem comprimento de 10m, largura igual a 5m e altura de 2m. Ela é preenchida com água a

uma vazão de 5.000 litros por hora.

Após três horas e meia do início do preenchimento, a altura da água na piscina atingiu: a) 25cm b) 27,5cm c) 30 cm d) 32,5 cm e) 35 cm

GABARITO: Resposta da questão 1: [E]

Sejam a, b e c as medidas das arestas do paralelepípedo.

a b ck a 3k, b 4k e c 5k.

3 4 5

3k 4k 5k 48 12k 48 k 4

Portanto, a 12 cm, b 16 cm e c 20 cm.

Então, a área total será dada por:

2TA 2 12 16 12 20 16 20 1504 cm

Resposta da questão 2: [D] A área total do paralelepípedo é dada por

22 (4 3 4 1 3 1) 38 m .

Após a divisão, foram acrescentadas duas faces retangulares de

dimensões 5 m e 1m. Logo, o acréscimo na área externa foi

de 22 5 1 10 m e, portanto, a resposta é

10100% 26%.

38

Resposta da questão 3: [C] Seja v o volume da mistura sabor morango que será colocado na embalagem. Tem-se que

31,25 (1000 v) 20 10 10 v 600cm .

Portanto, a resposta é 3600cm . Resposta da questão 4: [C]

(inicial)V a b c

(final) (inicial)V 1,1 a 1,1 b 0,8 c 0,968 V

(final) (inicial) (inicial)V V 0,032V , portanto houve uma

redução de aproximadamente 3%. Resposta da questão 5: [D] Transformando as dimensões em metros, temos:

800 mm = 0,8m 50 cm = 0,5m 6 dm = 0,6m

Daí, o volume será dado por 3V 0,6 0,5 0,8 0,24m .

Resposta da questão 6: [E]

Volume de cada cubo em 3 3 3m V (0,3) 0,027m

Total de cubos na figura: 4 4 9 4 3 32

Volume Total: 332 0,027 0,864m

Resposta da questão 7: [B]

Altura do Líquido no recipiente: 60% de 2 = 1,2m

Volume dos cilindros: 240 (0,1) x 1 1 1,828 1,2π

Daí, temos a seguinte equação:

1,256x 0,628 x 0,5m.

Portanto, a altura do cilindro é x 0,5m.

Resposta da questão 8: [B] O volume de água no reservatório é igual a

3 3 31 160 216000 72000cm 72dm 72 L.

3 3

Resposta da questão 9: 01 + 02 + 04 + 08 = 15.

Sejam a, b e c as dimensões do paralelepípedo retângulo.

Tem-se que

a ka b c

k b 2k ,1 2 3

c 3k

com k sendo um número real positivo.

Desde que a área total é igual a 2198cm , vem

2

2(ab ac bc) 198 k 2k k 3k 2k 3k 99

k 9

k 3.

Por conseguinte, encontramos a 3cm, b 6cm e c 9cm.

[01] Correto. O volume do paralelepípedo vale

3a b c 3 6 9 162cm .

[02] Correto. As dimensões formam uma progressão aritmética

com primeiro termo igual a 3 e razão igual a 3.

[04] Correto. A soma das medidas de todas as arestas é igual a

4(a b c) 4(3 6 9)

72cm.

[08] Correto. A diagonal do paralelepípedo mede

2 2 2 2 2 2a b c 3 6 9

126 cm.

Portanto, temos 126cm 121cm 11cm. Resposta da questão 10: [E] O volume de água despejado na piscina após três horas e meia

é igual a 3,5 5000 17.500 litros. Portanto, a altura h

atingida pela água é tal que

10 5 h 17,5 h 0,35 m 35cm.

lista especial 03 - matemática assunto: prismas de acordo ... · 09.a figura representa parte de...

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