UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PAR

CENTRO DE CINCIAS SOCIAIS E EDUCAO

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA, ESTATSTICA E INFORMTICA

ESTATSTICA E PROBABILIDADE

PROFESSOR: DORIVAL LOBATO JUNIOR

Exerccios de Probabilidade

1. Uma moeda viciada de modo que as caras (H) so duas vezes mais provveis de ocorrer que as coroas (T).

Encontre P(T) e P(H).

2. Dois homens e trs mulheres , esto num torneio de xadrez. Os do mesmo sexo tm igual

probabilidade de vencer, mas cada homem tem duas vezes mais probabilidade de ganhar do que qualquer mulher.

a) Encontre a probabilidade de que uma mulher vena o torneio.

b) Se so casados, encontre a probabilidade de que um deles vena.

3. Duas cartas so retiradas aleatoriamente de um baralho comum de 52 cartas. Encontre a probabilidade p de que:

a) Ambas sejam de espada;

b) Uma seja espada e a outra copas.

4. Trs lmpadas so escolhidas aleatoriamente dentre 15 lmpadas, das quais 5 so defeituosas. Encontre a

probabilidade p de que:

a) Nenhuma seja defeituosa;

b) Exatamente uma seja defeituosa;

c) Pelo menos uma seja defeituosa.

5. Numa classe h dez homens e 20 mulheres; metade dos homens e metade das mulheres tm olhos castanhos. Ache

a probabilidade p de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser um homem ou ter olhos castanhos.

6. Lana-se um par de dados no-viciados. Se a soma 6, qual a probabilidade de ter ocorrido a face 2 em um deles?

7. Um homem visita um casal que tem dois filhos. Uma das crianas, um menino, vem sala. Encontre a

probabilidade p de o outro tambm ser um menino se:

a) Sabe-se que a outra criana mais nova

b) Nada se sabe sobre a outra criana

8. Num lote de 12 peas, 4 so defeituosas. Trs peas so retiradas aleatoriamente, uma aps a outra. Encontre a

probabilidade p de todas essas trs peas serem no-defeituosas.

9. A probabilidade de A acertar no alvo e de B acertar 2/5. Qual a probabilidade do alvo ser atingido se ambos

atiram no alvo?

10. Um homem tem em sua mo 4 cartas de espadas de um baralho de 52 cartas. Se ele receber mais trs cartas,

encontre a probabilidade p de, ao menos uma das cartas recebidas ser tambm de espadas.

11. Sejam A= evento em que uma famlia tem crianas de ambos os sexos e B= evento em que uma famlia tem no

mximo um menino.

a) Mostre que A e B so independentes se uma famlia tem trs crianas;

b) Mostre que A e B so dependentes se uma famlia tem duas crianas.

12. As probabilidades de trs homens acertarem um alvo so, respectivamente, 1/6, e 1/3. Cada um dispara uma vez

no alvo.

a) Encontre a probabilidade p de exatamente um deles acertar o alvo

b) Se somente um acerta o alvo, qual a probabilidade de ter sido o primeiro homem?

13. Um certo tipo de mssil acerta um alvo com probabilidade 0,3. Quantos msseis deveriam ser lanados para que

houvesse uma probabilidade de pelo menos uma probabilidade de 80% de acertar o alvo?

14. Numa classe h 10 meninos e 5 meninas. Trs estudantes so selecionados aleatoriamente, um aps o outro.

Encontre a probabilidade de:

a) Dos dois primeiros serem meninos e o terceiro ser menina;

b) Do primeiro e do terceiro serem meninos e o segundo menina;

c) Do primeiro e do terceiro serem do mesmo sexo e o segundo ser do sexo oposto;

15. Em certo colgio, 25% dos meninos e 10% das meninas esto estudando matemtica. As meninas constituem 60%

do corpo de estudantes. Se um estudante selecionado aleatoriamente e est estudando matemtica, determine a

probabilidade de ele ser menina.

16. Num certo colgio, 4% dos homens e 1% das mulheres tm mais do que 1,60m de altura. Alm disso, 60% dos

estudantes so mulheres. Se um estudante selecionado aleatoriamente e tem mais do que 1,60m de altura, qual a

probabilidade de o estudante ser uma mulher?

17. Dois dgitos so selecionados aleatoriamente de 1 a 9. Se a soma par, encontre a probabilidade p de ambos os

nmeros serem mpares.

18. Trs dados honestos so lanados ao mesmo tempo. Pede-se a probabilidade da soma dos resultados dos trs dados

ser:

a) Maior que 3;

b) Maior que 16.

19. Uma urna A tem X bolas vermelhas, outra B tem Y bolas brancas e uma terceira C tem Z bolas pretas.

a) Uma urna escolhida ao acaso e dela uma bola retirada. Qual a probabilidade dela ser vermelha?

b) Uma bola retirada da urna A e depositada na urna B e, em seguida, uma retirada de B e depositada em C.

Finalmente uma bola retirada de C. Determinar a probabilidade da 3 bola ser vermelha.

c) Se depositarmos o contedo das trs urnas em uma quarta urna e dela retirarmos duas bolas, uma aps a outra,

sem reposio, qual a probabilidade das bolas serem de cores diferentes?

20. Num supermercado h 2000 lmpadas, provenientes de trs fbricas distintas X, Y e Z. A fbrica X produziu 500

lmpadas, das quais 400 so boas. A fbrica Y produziu 700, das quais 600 boas e Z produziu as restantes, das quais

400 boas. Sorteou-se uma lmpada ao acaso e verificou-se defeito na mesma. Qual a probabilidade de ter sido

produzida por X?

21. Um dado viciado, de modo que cada nmero par tem 2 vezes mais probabilidade de aparecer que qualquer nmero mpar. Encontre a probabilidade de:

a) Um nmero par aparecer; b) Um nmero primo aparecer; c) Um nmero mpar aparecer; d) Um nmero primo mpar aparecer.

22. Em uma competio de natao, a possibilidade de A vencer de 2 em 3 e a de B vencer de 1 em 4. Encontre a probabilidade e a possibilidade de que A ou B vena a competio.

23. Das 10 alunas de uma classe, 3 tm olhos azuis. Se duas entre as 10 alunas so escolhidas aleatoriamente, qual a probabilidade de:

a) Ambas terem olhos azuis? b) Nenhuma ter olhos azuis? c) Pelo menos uma ter olhos azuis?

24. De 120 estudantes, 60 estudam francs, 50 espanhol e 20 francs e espanhol. Se um estudante escolhido aleatoriamente, encontre a probabilidade de ele:

a) Estudar francs ou espanhol; b) No estudar francs nem espanhol.

25. Trs meninos e trs meninas sentam-se em fila. Encontre a probabilidade: a) Das 3 meninas sentarem juntas; b) Dos meninos e das meninas sentarem em lugares alternados.

26. Sejam A e B eventos, com ( )

( )

e ( )

. Encontre:

( ) ( ) ( ) ( ) .

27. Trs moedas no viciadas so lanadas. Se ocorrem caras e coroas, determine a probabilidade de ocorrer exatamente uma cara.

28. Um homem tem em sua mo trs cartas de espada de um baralho comum de 52 cartas. Se lhe so dadas mais quatro cartas, determine a probabilidade de pelo menos duas cartas adicionais serem tambm de espada. 29. Numa certa cidade, 40% da populao tem cabelos castanhos, 25% tem olhos castanhos e 15% tm cabelos e olhos castanhos. Uma pessoa da cidade escolhida aleatoriamente.

a) Se ela tem cabelos castanhos, qual a probabilidade de ter tambm olhos castanhos?

b) Se ela tem olhos castanhos, qual a probabilidade de no ter cabelos castanhos? c) Qual a probabilidade de no ter cabelos nem olhos castanhos?

30. Suponha que um determinado fumante esteja com duas caixas de fsforo. A caixa I com 4 palitos e a caixa II com 2 palitos. Suponha ainda que ele escolha com igual probabilidade as caixas para acender seus cigarros. Qual a

probabilidade que a caixa I acabe antes da II?

31. Os motores de um avio operam independentemente e cada um deles pode falhar, com probabilidade p. Durante o vo decorre com inteira segurana se pelo menos a metade dos motores funcionarem. Para que valores de p seria

prefervel um bimotor ou um quadrimotor?

32. Um ponto X selecionado aleatoriamente de um segmento de reta AB com ponto mdio O. Encontre a probabilidade de os segmentos AX, XB e AO formarem um tringulo.

33. Uma caixa contm 5 tubos de rdio dos quais 2 so defeituosos. Os tubos so testados um aps o outro at que os dois tubos defeituosos sejam encontrados. Qual a probabilidade do processo parar no:

a) Segundo teste? b) Terceiro teste?

34. Referindo-se ao problema anterior, se o processo pra no terceiro teste, qual a probabilidade de o primeiro tubo no ser defeituoso? 35. Uma urna contm uma bola azul e nove brancas. Uma segunda urna contm X bolas azuis e as restantes brancas, num total de 10 bolas. Realizam-se 2 experimentos, separadamente e independentes entre si:

1) Retirar ao acaso uma bola de cada urna; 2) Reunir as bolas das duas urnas e em seguida retirar duas bolas ao acaso e sem reposio.

Calcular o valor mnimo de X a fim de que a probabilidade de sarem duas bolas azuis seja maior no 2, que no

primeiro experimento. 36. A urna I tem 3 bolas brancas e 2 pretas, a II tem 4 bolas brancas e 5 pretas e a urna III tem 3 bolas brancas e 4 pretas. Passa-se uma bola escolhida aleatoriamente, de I para II. Depois disso, passa-se uma bola da urna II para a urna

III e, em seguida retira-se 2 bolas de III. Qual a probabilidade de sarem 2 bolas brancas?

Variveis Aleatrias

37. Uma varivel aleatria discreta tem distribuio de probabilidade dada por ( )

, para x= 1, 3, 5, 7.

a) Calcule o valor de K; b) Determine a distribuio de P(x).

38. Seja X uma varivel aleatria contnua, tal que:

( ) {

( )

Determinar:

a) O valor da constante A;

b) ( ) 39. A demanda diria de arroz em um supermercado, em centenas de quilos, uma funo densidade probabilidade:

( )

{

a) Qual a probabilidade, em um dia escolhido ao acaso, de se vender mais de 150 Kg? b) Em 30 dias quanto o gerente do supermercado espera vender? c) Qual o desvio padro da distribuio?

40. Um jogo consiste em se atirar um dado; se der faces dois ou cinco, a pessoa ganha R$5,00 por ponto obtido; se der faces um ou seis, a pessoa ganha R$10,00 por ponto obtido; se der faces trs ou quatro, a pessoa paga R$15,00 por

ponto obtido. Responda: o jogo honesto? Qual o desvio padro da distribuio? 41. Um processo de fabricao produz peas com peso mdio de 30 g e desvio padro de 0,7 g. Essas peas so acondicionadas em pacotes de uma dezena cada. A embalagem pesa em mdia 40 g, com varincia 2,25 g. Qual a

mdia e o desvio padro do peso do pacote? 42. Um jogador lana um dado no viciado. Se ocorrer um nmero primo ele ganha este nmero em dlares, mas se

ocorrer um nmero que no seja primo ele perde esse nmero em dlares. Pede-se:

a) A distribuio de probabilidade (tabela e grfico); b) A funo repartio e seu grfico; c) O valor esperado da partida.

43. Uma amostra de 3 objetos escolhida aleatoriamente de uma caixa contendo 12 objetos, dos quais 3 so defeituosos. Ache o nmero esperado de peas defeituosas. 44. Lana-se um dado no viciado. Seja X o dobro do nmero ocorrido, e Y igual a 1 ou 3, conforme ocorra um nmero mpar ou par respectivamente. Ache a distribuio, esperana, varincia e desvio padro de:

I) X; II) Y; III) X+Y; IV) XY.

45. Uma moeda no viciada lanada 4 vezes. Seja Y o nmero de caras consecutivas. Encontre a distribuio, a mdia, a varincia e o desvio padro de Y.

46. A probabilidade do time A vencer qualquer jogo . O time A joga contra o B num torneio. O primeiro que ganhar 2 jogos seguidos ou um total de trs jogos, vence o torneio. Encontre o n esperado de jogos no torneio. 47. Um jogador lana trs moedas no viciadas. Ganha $5,00 se ocorrerem 3 caras, $3,00 se 2 caras ocorrerem e $1,00 se somente uma cara ocorrer. Por outro lado, perde $15,00 se trs coroas ocorrerem. Encontre o valor do jogo.

48. Uma varivel aleatria discreta tem distribuio de probabilidade dada por: P(x) = k/x para x=1, 3, 5, 7; a) Calcular o valor de k b) Calcular P(x=5)

c) Calcular: i) ( ii) ( ) iii) ( ) iv) ( ) v) ( ) vi) ( ) 49. Seja X uma V. A. C X com f.d.p:

( ) {

i) Encontre ( ) ( ) ( ) ii) Determine e trace o grfico da funo de distribuio F de x.

50. Uma V.A.C X tem a seguinte funo densidade de probabilidade:

( ) {

( )

Pede-se:

a) Qual o valor de k? b) encontre f(x) e faa seu grfico 51. Dada a funo de distribuio (repartio):

( ) {

Calcule:

a) (

)

b) ( ) c) ( )

52. Uma V.A.C X tem uma f.d.p dada por:

( ) {

a) Determine k b) Determine a mdia c) Calcule a varincia e o desvio padro

53. X uma V.A.D tal que sua funo repartio dada por: F(-2)= 0,3 F(0)= 0,5 F(1)= 0,6 F(2)= 0,8 F(5)= 1

a) Calcule a mdia de X b) Calcule a varincia c) Calcule ( )

54. Admitindo-se que a probabilidade dos nascimentos de meninas e meninos sejam iguais, calcular a probabilidade de um casal com 6 filhos ter 4 filhos e 2 mulheres. 55. Em 320 famlias com 4 crianas cada uma, quantas se esperaria que tivessem:

a) Nenhuma menina

b) 3 meninos c) 4 meninos

56. Se 5% das lmpadas de certa marca so defeituosas, achar a probabilidade de que, numa amostra de 100 lmpadas, escolhidas aos acaso, tenhamos:

a) Nenhuma defeituosa b) trs defeituosas c) mais do que 1 boa 57. Uma carta retirada e recolocada em um baralho comum. Quantas vezes deve uma carta ser retirada do baralho de modo que:

i) Ao menos uma possibilidade de retirar uma copa? ii) A possibilidade de retirar uma copa seja menor que 3/4?

58. O departamento de matemtica tem 8 professores graduados ocupando o mesmo gabinete. Cada um tanto estuda em casa como no gabinete. Quantas escrivaninhas deve haver no gabinete de modo que cada um tenha uma em, pelo

menos, 90% do tempo? 59. Suponha que os dimetros de parafusos produzidos por uma fbrica sejam normalmente distribudos com mdia

de 0,25 polegadas e o desvio padro 0,02 polegadas. Um parafuso considerado defeituoso se seu dimetro polegadas ou polegadas. Encontre a porcentagem de parafusos defeituosos feitos pela fbrica. 60. Suponha que as notas de um exame so normalmente distribudas com a mdia 76 e desvio padro 15. 15% dos estudantes mais adiantados recebem a nota A e 10% dos mais atrasados recebem a nota F. Encontre:

a) O mnimo grau para receber um A: b) O mnimo grau para passar (no receber um F)

61. Determinada mquina enche latas baseada no peso bruto com mdia 1 Kg e desvio padro 25 g. As latas tm peso de 90 g com desvio padro 8 g. pede-se:

a) a probabilidade de uma lata conter menos de 870 g de peso lquido b) a probabilidade de uma lata conter mais de 900 g de peso lquido

62. Um avio de turismo de 4 lugares pode levar carga til de 350 kg. Supondo que os passageiros tm peso de 70 kg com distribuio normal de peso e desvio padro 20 kg, e que a bagagem de cada passageiro pese em mdia 12 Kg,

com desvio padro 5 Kg e distribuio normal do peso. Calcular a probabilidade de: a) Haver sobrecarga se o piloto no pesar os 4 passageiros e respectiva bagagem b) Que o piloto de tirar pelo menos 50 Kg de gasolina para evitar sobrecarga

63. Uma moeda no viciada lanada 400 vezes. Encontre a probabilidade do n de caras que ocorra diferir de 200 por:

a) Mais do que 10 b) Mais do que 25.