Variáveis Aleatórias Definição:

Uma variável aleatória v.a. é uma função que associa elementos do

espaço amostral a valores numéricos, ou seja, X : → I , em que I .

Esquematicamente:

As variáveis aleatórias são classificadas em dois tipos:

VA discreta: é aquela para a qual o conjunto I é um conjunto finito ou infinito enumerável Exs.: I = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, I = N = {0, 1, 2, 3, 4,.......∞}, etc.

VA contínua: é aquela para a qual o conjunto I é um conjunto infinito não enumerável, ou seja, é uma v.a. que assume valores em intervalos de números reais

Exs.: I = = (−∞,∞), I = [0,1] , etc.

Notas: Para v.a.’s contínuas, a função que normalmente associa pontos

de ao conjunto I , é a função identidade;

Para v.a.’s discretas, a função que normalmente associa pontos

de ao conjunto I , é uma contagem ou soma.

Exemplo: Três jogadores A, B e C cobram um penalti cada um

(independentemente) e marcam o gol com probabilidades 90%, 88% e

85%, respectivamente.

a) Quais os resultados possíveis?

b) Como definir uma v.a.?

c) Como associar probabilidade a essa uma v.a.?

Sejam os eventos A = o jogador A marca o penalti, B = o jogador B marca

o penalti e C = o jogador C marca o penalti.

a) = ABC, AcBC, ABcC, ABCc, AcBcC, AcBCc, ABcCc, AcBcCc é o espaço

amostral.

b) Temos pelo menos duas formas para definir uma variável aleatória

para esse caso:

(i) X1 = número de gols marcados nas três cobranças ou

(ii) X2 = número de gols perdidos nas três cobranças.

Vamos considerar X = número de gols marcados nas três cobranças

X(ABC) = 3

X(AcBC) = X(ABcC) = X(ABCc) = 2

X(AcBcC) = X(AcBCc) = X(ABcCc

) = 1

X(AcBcCc) = 0

Vamos simplificar a notação para os possíveis valores da v.a.:

X(ABC) X = 3

X(AcBC) = X(ABcC) = X(ABCc) X = 2

X(AcBcC) = X(AcBCc) = X(ABcCc

) X = 1

X(AcBcCc) X = 0

Assim pode-se escrever:

P(X = 3) = P(ABC) = 0.900.880.85 = 0.6732

P(X = 2) = P(AcBC ABcC ABCc) = 0.2854

P(X = 1) = P(AcBcC AcBCc ABcCc) = 0.0396

P(X = 0) = P(AcBcCc) = 0.0018

Normalmente reperentam-se os valores numa tabela com a

distribuição das probabilidades, chamada de função de probabilidade:

Tabela: Função de probabilidade da v.a.

X = gols marcados nas 3 cobranças.

Valores da v.a. X Probabilidades

0 0.6732

1 0.2854

2 0.0396

3 0.0018

Função de probabilidade de uma v.a. discreta

A função que associa probabilidades aos possíveis valores de uma v.a.

discreta X, é chamada de função de probabilidade (fp) ou função massa

de probabilidade (fmp), sendo representada por:

p(x) = P(X = x), x I,

I = conjunto dos possíveis valores de X.

Propriedades:

a) 0 p(x) 1;

b) 1)(I

x

xp .

Exemplos:

a) No exemplo dos 3 jogadores, temos I = { 0, 1, 2, 3 } e:

x p(x) função que associa

probabilidades à v.a.

número de gols

narcados nas 3

cobranças de penaltis.

0 0.0018

1 0.0396

2 0.2854

3 0.6732

b) Uma indústria que produz placas para componentes eletrônicos, usadas

na fabricação de celulares, afirma que no processo de produção dessas

placas, 1% sai com defeito nas furações. Considerando que na inspeção

dessas placas, 10 unidades são selecionadas aleatoriamente e avaliadas,

i) Defina uma variável aleatória para esse caso.

Qual é a probabilidade de que a inspeção encontre:

ii) exatamente uma placa com defeito?

iii) pelo menos uma placa com defeito?

iv) no máximo três placas com defeito?

Escrevendo as probabilidades em termos da v.a.:

a) Seja a v.a. X = número de itens com defeito encontrados na

inspeção de n = 10 placas.

Então, temos que I = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, ou seja

p(x) = P(X = x), em que x { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }.

b) Probabilidade de que a inspeção encontre exatamente uma placa

defeituosa: P(X = 1).

Se o índice de placas com defeitos na produção é de 1%, então, uma

placa tem probabilidades 0.01 de ser defeituosa e 0.99 de ser boa.

Sendo D = placa com defeito e b = placa boa, temos que

b/D D b b b b b b b b b

prob. 0.01 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99

item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Assim, a probabilidade de que a inspeção encontre exatamente uma

placa defeituosa, senda esta a primeira é igual a: (0.01)(0.99)9

Como a placa com defeito pode ser a primeira placa ou a segunda ou a

terceira . . . ou a décima, então temos dez vezes essa probabilidade, i.e.:

P(X = 1) = 10(0.01)(0.99)9 =

1

10(0.01)1

(0.99)9 = 0.09135

c) Se a inspeção encontrar pelo menos uma placa com defeito, então,

pode ser uma placa com defeito ou duas ou três . . . ou as dez.

Portanto, a probabilidade da inspeção encontrar pelo menos uma

placa com defeito é dada por:

P(X 1) =

10

1

)(x

xXP P(X = 1) + P(X = 2) + ...+ P(X = 10).

Mas, utilizando o evento complementar, podemos escrever essa

probabilidade como sendo um menos a probabilidade de que todas as

placas sejam boas, ou seja:

P(X 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – (0.99)10

= 0.09562

d) A probabilidade da inspeção encontrar no máximo três placas com

defeito é escrita como:

P(X 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3).

Em que:

P(X = 0) =

0

10(0.01)0 (0.99)10 = 0.90438

P(X = 1) =

1

10(0.01)1 (0.99)9 = 0.09135

P(X = 2) =

2

10(0.01)2 (0.99)8 = 0.00415

P(X = 3) =

3

10(0.01)3 (0.99)7 = 0.00011

Logo, P(X 3) = 0.99999 1

O modelo binomial

No exemplo acima podemos escrever uma fórmula geral para as

probabilidades:

P(X = x) =

x

10 (0.01)x (0.99)10 – x

Generalizando um pouco mais, podemos pensar num processo de

fabricação com índice de defeitos diferente de 1%.

Como esse índice de defeitos pode ser expresso como uma

proporção entre 0 e 1, podemos definir uma quantidade p, 0 p 1,

como sendo a probabilidade de que uma placa seja defeituosa.

Considerando que a inspeção pode ser aplicada a um número n

qualquer de placas, se X é a v.a. que conta o número de defeitos nas n

placas inspecionadas, então podemos generalizar a probabilidade P(X =

x) por:

P(X = x) =

x

n px (1 – p)n – x, x = 0, 1, 2, ..., n.

Esse modelo é conhecido como modelo binomial.

O modelo binomial está associado à ensaios ou eventos

independentes com apenas dois resultados possíveis:

sim/não;

ocorre/não ocorre;

0 ou 1.

Os ensaios com essas características são chamados de ensaios de

Bernoulli.

Nos ensaios de Bernoulli estamos interessados na ocorrência de

apenas um dos resultados ao qual chamaremos de sucesso sendo que, a

não ocorrência do evento de interesse vamos chamar de fracasso.

Desta forma, para o modelo binomial temos que:

p = P(sucesso) e (1 – p) = P(fracasso)

No exemplo acima, ocorre sucesso quando a inspeção detecta uma

placa com defeito e fracasso quando a placa não apresenta defeito.

O modelo binomial é, então, caracterizado pela realização de n

ensaios independentes com apenas dois resultados possíveis (sucesso e

fracasso), nos quais a probabilidade de sucesso p é constante.

A v.a. binomial é definida como sendo:

Uma v.a. que conta o número de sucessos num número fixo de

ensaios de Bernoulli.

Notação: X binomial(n; p).

No exemplo das placas eletrônicas, temos p = 0.01 e n = 10, logo

X binomial(10; 0.01).

Outro exemplo: Considere a fabricação de pinos metálicos para

montagens de motores em que o índice de produtos com defeito é de

2.5%. Se um inspetor seleciona um lote com 80 pinos para inspeção, qual

a probabilidade de que:

a) apenas um seja defeituoso?

b) nenhum seja defeituo?

c) no máximo dois sejam defeituosos?

d) Qual é o número esperado de pinos defeituosos no lote?

Vamos definir a v.a. X = número de pinos defeituosos dentre os 80.

Como estamos interessados nos defeitos (sucesso defeito), então:

p = P(defeito) = 0.025 e X binomial(80; 0.025)

a) P(X = 1) =

1

80 (0.025)1(0.975)79 = 0.2706

b) P(X = 0) =

0

80(0.025)0(0.975)80 = 0.1319

c) P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.6767.

d) Espera-se: 800.025 = 2 peças defeituosas no lote, ou seja,

espera-se np peças com defeito.

Resultado: O número esperado de sucessos em n ensaios de Bernoulli, tal

que, P(sucesso) = p é dado por np.

No exemplo das placas eletrônicas, espera-se 100.01 = 0.1 placas

com defeito na inspeção.

Mais um exemplo: Segundo pesquisa Lance!/IBOPE (ago/2010) 9.2% dos

Paulistas são torcedores do Santos. Se 21 pessoas do estado de São Paulo

são escolhidas ao acaso,

a) qual é a probabilidade de que pelo menos uma seja Santista?

b) qual é a probabilidade de que no máximo duas sejam Santistas?

c) qual o número esperado de Santistas entre as 21 pessoas?

Seja a v.a. X = número de torcedores do Santos na amostra.

X binomial(21; 0.092)

a) P(X 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – (0.908)21 = 0.8682

b) P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.6962

c) E = 21 0.092 = 1.932 2 torcedores

Função de probabilidade de uma v.a. contínua

Para modelarmos as probabilidades associadas a uma v.a. contínua,

temos de considerar que estas assumem valores em intervalos dos reias.

Desta forma, o conjunto de possíveis valores que uma v.a. contínua

X pode assumir é dado por I = { x R | k1 x k2 }, k1 < k2.

Como existem infinitos pontos no intervalo [k1, k2], não faz sentido

pensarmos na probabilidade de X assumir um valor x0 I, uma vez que

essa probabilidade será igual a zero.

Desta forma, para uma v.a. contínua,

P(X = x0) = 0.

No entanto, podemos determinar a probabilidade de X assumir um

valor entre dois pontos quaisquer pertencentes a I:

P(a X b) ; P(X b); P(X a); etc…

Definição 1: Seja um função f(x) não negativa tal que

a) f(x) 0, x I;

b) 1)(I

dxxf ;

c) 0)(lim)(lim

xfxfxx

;

Então: P(a X b) = b

a

dxxf )(

A função f(x) é chamada de função densidade de probabilidade (fdp)

da v.a. X, ou simplesmente função densidade de X e serve para descrever

a distribuição de probabilidade de uma v.a. contínua.

A função de probabilidade f(x) pode ser aproximada pelo

histograma da v.a. X., conforme podemos observar pela figura 2.

Definição 2: Seja um função F(x) tal que

x

duufxXPxF )()()( .

F(x) é chamada função de distribuição acumulada (fda) da v.a.

X, ou simplesmente função de distribuição.

Nota: Da definição de fdp segue-se que:

P(a X b) = b

a

dxxf )( = F(b) – F(a)

Exemplo: Seja uma v.a. X com fdp f(x) dada por

,e2

1)( xkxf {x R | x 0}.

a) Para que valor de k, f(x) define uma fdp?

De 1e2

1)(

0

dxdxxf xk ,

fazendo w = kx, segue-se que dw = kdx.

Portanto, 1ee2

1e

2

1e

2

1e

2

1 0

000

kkk

dwdx wwxk ,

de onde se obtém: 12

1

k

2

1k .

b) Encontrar a fda

2/

0

2/

0

2/ e1e22

1e

2

1)( xxu

xu duxF .

Portanto, 2/e1)()( xxXPxF .

Desta forma, podemos encontrar P(1 X 2) = F(2) – F(1), ou seja

P(1 X 2) = 12/12/12/2 eee1e1 = 0.2387.

Valor Esperado e Variância de uma v.a.

A-) O valor esperado, esperança ou média de uma variável

aleatória é definido por:

i) Se X é uma variável discreta: x

xpxXE )()(

ii) Se X é uma variável contínua: x

dxxfxXE )()(

Propriedades de Esperança:

a) x

xpxgXgE )()()( ou x

dxxfxgXgE )()()(

b) )()()( YbEXaEbYaXE e bXaEbaXE )()(

c) kkE )( , k constante.

B-) A variância de uma variável aleatória é definida por:

222)()()()( XEXEXEXEXVar ,

em que: x

xpxXE )()( 22 ou x

dxxfxXE )()( 22

Propriedades de Variância:

a) )()( 2 XVarabaXVar

b) 0)( kVar , k constante.

Exemplos:

1) Seja uma v.a. discreta com função de probabilidade

dada por: 32

10

1)(

k

xxp , k > 0 e x { –2, –1, 0, 2, 4 }:

a) Achar o valor de k para que p(x) seja uma função de

probabilidade;

b) Calcular o valor esperado de X ;

c) Calcular a variância de X;

d) Encontre P(–1 X < 4 );

e) Quais os valores de a e b para os quais (aX + b)

tenha média zero e variância um?

a) Achar o valor de k:

1)( x

xp 110

14

10

12

10

10

10

11

10

12

33333 22222

kkkkk

110

1

10

10

43 22

kk

110 42

k

042 k 2k

Desta forma: 10

1

10

1)(

322

xxxp ou 11.0)( xxp

x –2 –1 0 2 4

p(x) 0.3 0.2 0.1 0.1 0.3

b) Valor esperado de X:

3.0)4(1.0)2(1.0)0(2.0)1(3.0)2()()( x

xpxXE

0.6)(XE

c) Variância de X:

x

xpxXE )()( 22

3.0)4(1.0)2(1.0)0(2.0)1(3.0)2( 22222

6.62.34.002.02.1

6.24 222 )6.0(6.6)()()( xEXEXVar

2.4980 24.6)(XDP

d) P(–1 X < 4 ) = 0.2 + 0.1 + 0.1 = 0.4

e) 06.0)()( babXaEbaXE

124.6)()( 22 aXVarabaXVar 0.40024.6

1a

Assim, temos que: 0.240224.6

6.0b

Resultado:

Seja uma v.a. baXY , tal que )(

)(

XDP

XEXY

, então Y é

uma v.a. padronizada, tendo média 0 e variância 1.

2) Seja uma v.a. contínua com fdp dada por:

x

kxf )( , k > 0 e { x R | 0 < x 1 }:

a) Achar o valor de k para que f(x) seja uma densidade

de probabilidade;

b) Calcular o valor esperado de X ;

c) Calcular a variância de X;

d) Encontre a função distribuição acumulada de X;

e) Encontre P(X 1/2) e P(1/4 < X < 9/16);

f) Quais os valores de k1 e k2 tal que P(X k1) = 0.05 e

P(X k2) = 0.05?

a) Achar o valor de k:

x

dxxf 1)(

12/1

1

0

2/11

0

xkdx

x

k

1)01(2 k

12 k 2

1k

Logo: x

xf2

1)( , 0 < x 1 , é uma fdp.

b) Valor esperado de X :

1

0

1

022

)( dxx

dxx

xXE

3

1

2/32

11

0

2/3

x

3

1)( XE

c) Variância de X:

1

0

2/31

0

22

22)( dx

xdx

x

xXE

5

1

2/52

11

0

2/5

x

45

4

3

1

5

1)(

2

XVar

2981.045

4)( XDP

d) fda de X:

xu

duu

xF

xx

0

2/1

02/12

1

2

1)(

Logo:

1,1

10,

0,0

)(

x

xx

x

xF .

Figura: fdp e fda, respectivamente.

e) P(X 1/2) e P(1/4 X < 9/16):

i) 2

22/1)2/1()21( F/XP

ii) 4

1

2

1

4

3)4/1()16/9()1694/1( FF/XP

f) k1 e k2 tal que P(X k1) = 0.05 e P(X k2) = 0.05:

i) 05.0)( 11 kkXP 025.01 k

ii) 05.01)(1)( 222 kkXPkXP

95.02 k

9025.02 k

3) Seja X uma v.a. discreta com função de probabilidade

binomial(n, p). Calcular E(X) e Var(X).

4) Seja X uma v.a. contínua com fdp dada por:

/e

1)( xxf , > 0 e {x R | x 0}.

Calcular E(X) e Var(X).

O modelo acima é o modelo exponencial:

X exponencial()

E(X) =

Var(X) = 2

Obs: = 1/ é a taxa de ocorrência:

O modelo exponencial também aparece na forma:

xxf e)( , > 0 e {x R | x 0}.

Mais Exemplos:

1) Para o modelo binomial mostra-se facilmente que

E(X) = np e que Var(X) = np(1 – p).

Dessa forma, no exemplo das placas, como n = 10 e p = 0.01,

E(X) = 10(0.01) = 0.1 placas e

Var(X) = 10(0.01)(0.99) = 0.099

2) No exemplo da fabricação de pinos metálicos para

motores, como n = 80 e p = 0.025,

E(X) = 80(0.025) = 2 def./lote e

Var(X) = 80(0.025)(0.975) = 1.95.

3) Para o exemplo da v.a. contínua, em que ,e2

1)( 2/xxf

temos que:

0

2/

0

2/ e2

1e

2)( dxxdx

xXE xx , integrando por partes,

2)( XE .

0

2/2

0

2/2

2 e2

1e

2)( dxxdx

xXE xx , integrando p. partes

8)( 2 XE , logo, 4)( XVar .

A distribuição de probabilidade Normal.

Uma v.a. X tem distribuição normal ou Gaussiana, com parâmetros

e 2 se a sua fdp for:

,e2

1 222

xxf x , e 02 .

Notação: X normal( ; 2) ou X N( ;

2).

As principais características da distribuição normal são:

a) X tem média E(X) = e variância Var(X) = 2;

b) f(x) é uma função simétrica em torno de : f( – k) = f( + k);

c) f(x) tem pontos de inflexão em ( – ) e ( + );

d) f(x) tem o conhecido formato de sino com 95% de probabilidade

entre ( – 2) e ( + 2) (ver figura).

A função de distribuição acumulada (fda) do modelo normal não pode

ser determinada uma vez que a integral

,e2

1 222 dwxF

xw

não tem solução algébrica, o que dificulta as coisas, pois temos de

recorrer à programação numérica.

No entanto, o resultado a seguir vem facilitar as coisas:

Considere a va normal padronizada, dada pela transformação linear

XZ .

Essa transformação padroniza a va X em relação ao seu desvio padrão,

além de centralizá-la na origem.

Desta forma, tem-se que E(Z) = 0 e Var(Z) = 1.

Resultado: Seja X uma va com distribuição normal com média e

variância 2, então a variável Z tem distribuição normal padrão, com

média 0 e variância 1, ou seja: Z N(0; 1),

e a sua fdp é dada por: ,e2

1)( 22zz

z .

Nota: Com este resultado, basta construir uma única tabela de

probabilidades para a distribuição normal padronizada que teremos as

probabilidades para uma va normal qualquer.

Exemplo: 1) Seja uma va X com distribuição normal com média 220 e

variância 16, ou seja, X N(220; 16). Calcular as probabilidades abaixo:

a) P(X 225)

P(X 225) = 25.14

220225

4

220

ZP

XP = 0.8943

b) P(210 X 228)

P(210 X 228) =

4

220228

4

220

4

220210 XP

00.250.2 ZP

50.200.2 ZPZP 0.9773 – 0.0062 = 0.9711

c) Qual o valor de k tal que P(X k) = 0.01?

P(X k) =

4

220

4

220 kXP = 0.01,

Da tabela temos que 33.24

220

k k = 210.38

d) Quais os valores k1 e k2 simétricos em torno de , tal que

P(k1 X k2) = 0.95?

P(k1 X k2) =

4

220

4

220 21 kZ

kP = 0.95,

Da tabela temos que

4

220

4

220 21 kZP

kZP = 0.025, e,

96.14

2201 k

k1 = 212.16

Como k1 e k2 simétricos em torno da média, então

96.14

2202 k

k2 = 227.84

Exemplo: 2) Suponha que o nível de dureza de uma peça de espuma

tenha distribuição 36 40;N . Qual a probabilidade de que:

a) Um item produzido tenha dureza inferior a 28.7?

b) Um item produzido tenha dureza superior a 50.5?

c) A especificação para esse produto é que pelo menos 95% dos itens

produzidos tenham dureza entre 28 e 52. A especificação é atendida?

a) P(X < 28.7)

P(X < 28.7) = 88.16

407.28

ZPZP = 0.0301

b) P(X > 50.5)

P(X > 50.5) = 75.116

405.50

ZPZP = 0.0401

c) P(28 < X < 52)

P(28 < X < 52) = 0.20.20.20.2 ZPZPZP

= 0.9773 – 0.0228 = 0.9545

Exemplo: 3) O tempo até a falha dos televisores da marca X-View tem

distribuição normal com média 35 mil horas ( 4 anos) e desvio padrão de

2.675 mil horas ( 3.7 meses). A empresa deseja fixar a garantia do

produto de forma que, no máximo 5% dos televisores apresentem

problemas abaixo desse limite.

a) Encontre o limite de garantia? P(X < L) = 0.05

05.0675.2

35

LZP 645.1

675.2

35

L

L = 30.6 mil horas ( 3.5 anos)

b) Os diretores da companhia traçam um plano de ação para

reduzir a variabilidade do processo de produção. De quanto deve ser

reduzido o desvio padrão do processo para que, mantido o limite obtido

em (a), o percentual de itens abaixo do limite garantia caia pela metade?

P(X < 30.6) = 0.025

025.0*

356.30

ZP 96.1

*

4.4

* = 2.245 mil horas ( 3.1 meses)

Notação:

Seja Z o quantil 100% da distribuição N(0, 1), então, Z é

tal que

P(Z Z) =

Principais quantis da distribuição Normal

Quantil Z

= 0.005 0.5% Z0.005 = –2.575

= 0.01 1% Z0.01 = –2.33

= 0.025 2.5% Z0.025 = –1.96

= 0.05 5% Z0.05 = –1.645

= 0.10 10% Z0.1 = –1.28

= 0.5 50% ou x~ Z0.5 = 0

= 0.90 90% Z0.9 = 1.28

= 0.95 95% Z0.95 = 1.645

= 0.975 97.5% Z0.975 = 1.96

= 0.99 99% Z0.99 = 2.33

= 0.995 99.5% Z0.995 = 2.575

Obs: 1) Note que Z = – Z(1–), por exemplo Z0.025 = – Z0.975;

2) No programa R os quantis da normal são obtidos pelo

comando: qnorm(), 0 1.

Exemplo: 4) O diâmetro D (cm) de esferas usadas na fabricação

de um rolamento tem distribuição )106.25 0.614,( 6-N . Uma

esfera é classificada como “boa” se 618.0 0.610 D ;

“recuperável” se 610.0 0.608 D ou 620.00.618 D e como

“descarte” se 608.0D ou 620.0D . Quais as probabilidades

de uma esfera ser “boa”, “recuperável” e “descarte”?

P(“boa”) = P(0.610 D 0.618) =

0025.0

004.0

0025.0

004.0ZP

= P(Z 1.60) – P(Z –1.60)

= 0.9452 – 0.0548 = 0.8904

P(“rec”) = P(0.608 D < 0.610) + P(0.618 < D 0.620)

= [P(Z –1.60) – P(Z –2.40)]

+ [P(Z 2.40) – P(Z 1.60)]

= [0.0548 – 0.0082] + [0.9918 – 0.9452]

= 0.0466 + 0.0466 = 0.0932

P(“des”) = P(D < 0.608) + P(D > 0.620)

= P(Z –2.40) + [1 – P(Z 2.40)]

= 0.0082 + [1 – 0.9918] = 0.0164

Classificação boa recuperável descarte

probabilidade 0.8904 0.0932 0.0164

O fabricante deseja fixar limites de especificação (inferior e

superior) para o produto “bom” de tal forma que apenas 0.5%

dos rolamentos fiquem de fora. Quais devem ser esses limites?

P(k1 D k2) = 1 – 0.005

=

0025.0

614.0

0025.0

614.0 21 kZ

kP = 0.995

81.20025.0

614.00025.0

1

Zk

k1 = 0.607

Como k1 e k2 são simétricos em torno da média, então

81.20025.0

614.09975.0

2

Zk

k2 = 0.621

Logo, P( 0.607 D 0.621 ) = 0.995

Considere que cada esfera é produzida a um custo de R$ 0.15

e vendida a R$ 0.25 por unidade, calcule o lucro esperado na

venda de 50 mil unidades do produto se cada peça recuperável

tem um custo adicional de R$ 0.05 de retrabalho.

Seja L o lucro na venda de uma esfera, então

Classificação boa recuperável descarte

probabilidade 0.8904 0.0932 0.0164

Custo C 0.15 0.15 + 0.05 0.15

Venda V 0.25 0.25 0

Lucro L 0.10 0.05 – 0.15

E(L) = 0.8904(0.10) + 0.0932(0.05) + 0.0164(– 0.15)

= R$ 0.09124/esfera

Em 50 mil esferas, temos:

50000 E(L) = 50000 (0.09124) = R$ 4.562,00

Obs: Pode-se, ainda, encontrar o lucro esperado fazendo:

L = V – C E(L) = E(V) – E(C),

em que V é o valor da venda de uma esfera.

Como E(V) = R$ 0.2459/un., e

E(C) = R$ 0.15466/un., então

E(L) = R$ 0.2459 – R$ 0.15466 = R$ 0.09124/un.

Exemplo: 5) Um produto é vendido em pacotes de um

quilograma, sendo que a distribuição do peso dos pacotes é

normal com média 1005g e desvio padrão 12g.

a) Qual a probabilidade de que um pacote saia com peso 15g

abaixo da média?

b) Num fardo com 12 pacotes, qual é a probabilidade de no

máximo 2 estejam abaixo de 990g?

c) Um fiscal informou o produtor de que são aceitos apenas 5%

dos pacotes com peso abaixo de 995g. De quanto deve

diminuir a variabilidade para que esse limite seja atendido?

d) Como o processo não permite o ajuste na variabilidade, a

opção seria aumentar a média para atender a especificação.

De quanto deve ser a nova média?

e) Com a nova média obtida no item anterior, de quanto se

espera aumentar a perda do empacotador em uma tonelada

do produto.