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Ano: 2016
FUNÇÃO AFIM Aulas 01 a 03 + EXTRA
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
Sumário O CONCEITO DE FUNÇÃO AFIM .............................................................................................................................. 2
OS COEFICIENTES DE UMA FUNÇÃO AFIM ............................................................................................................. 2
O coeficiente é chamado ......................................................................................................................... 2
O coeficiente é chamado ......................................................................................................................... 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO AFIM ................................................................................................................... 2
CASOS PARTICULARES ............................................................................................................................................. 3
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 3
O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM........................................................................................................................ 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
Função polinomial do 1° grau .......................................................................................................... 3
Função linear .................................................................................................................................... 4
Função constante ............................................................................................................................. 4
CRESCIMENTO e DECRESCIMENTO de uma FUNÇÃO AFIM ................................................................................... 4
ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO AFIM ............................................................................................................ 4
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
CAIU EM TESTE ................................................................................................... Erro! Indicador não definido.
CAIU NO VEST ................................................................................................................................................... 7
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 2
AULA 01
O CONCEITO DE FUNÇÃO
AFIM Uma função é denominada função afim se
existem constantes reais e , tais que pode ser
escrita como , para todo .
Exemplos:
1) 3)
2) 4)
OS COEFICIENTES DE UMA
FUNÇÃO AFIM
Considere uma função com ,
em que e são constantes reais.
O coeficiente é chamado:
Coeficiente de x.
Taxa de variação (constante) da função.
Pois, sendo e pontos do
gráfico de , tem-se:
Coeficiente angular.
O coeficiente é chamado:
Termo independente de x.
Coeficiente linear.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Seja uma função afim. Sabendo que
e , determine:
a) A lei da função , utilizando sistema.
b) A lei da função , utilizando taxa de variação.
1.2. Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao
Maracanã 90.000 torcedores. Três portões foram
abertos às 12 horas e, até às 15 horas, entrou um
número constante de pessoas por minuto. A partir
desse horário, abriram-se mais 3 portões e o fluxo
constante de pessoas aumentou.
Os pontos que definem o número de pessoas dentro
do estádio em função do horário de entrada estão
contidos no gráfico a seguir:
Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o
relógio estava marcando 15 horas e
(A) 15 min (B) 20 min (C) 30 min
(D) 40 min (E) 50 min
RAIZ OU ZERO DE UMA
FUNÇÃO AFIM Determinar a raiz de uma função f é buscar um
número tal que
Considere uma função com ,
em que e são constantes reais.
Se , tem-se
Obs.4: A função afim, tal que , com ,
não tem raiz.
Obs.5: A função identicamente nula possui uma
infinidade de raízes, pois para todo x real.
TAREFA 1 – Ler os quadros verdes na página seguinte, a e
fazer os PSA 3(d,e,f), 4, 5, 6 e 7.
TAREFA 2 –PSA. 8(b,c,d,e) e 10(b,c,f).
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AULA 02
CASOS PARTICULARES
Considere que todos os casos a seguir tratem de uma
função afim, isto é, uma função com
, em que e são constantes reais.
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 2.1. Classifique as funções a seguir em polinomial do
1º grau, linear ou constante.
a)
b)
c)
Obs.1: A função cuja lei é é denominada
função IDENTIDADE.
Obs.2: A função cuja lei é , para todo
real, é denominada função IDENTICAMENTE NULA.
Note que não se trata de identificar a raiz de , mas
sim da própria lei de formação da função .
Obs.3: A relação entre duas Grandezas Diretamente
Proporcionais é expressa por funções lineares, ou seja,
. Se , então as duas grandezas
envolvidas não são diretamente proporcionais.
O GRÁFICO DE UMA
FUNÇÃO AFIM Do ponto de vista da representação cartesiana, é
possível mostrar que o gráfico de uma
função afim é uma reta.
Obs.1: Uma reta vertical jamais representa o gráfico
de uma função.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.2. Construa o gráfico de cada função afim a seguir:
a)
b)
c)
Função polinomial do 1° grau Os gráficos das funções polinomiais do 1° grau são
retas oblíquas (inclinadas) em relação ao
do plano cartesiano.
FUNÇÃO LINEAR
FUNÇÃO
POLINOMIAL DO 1° GRAU
FUNÇÃO CONSTANTE
O que significa resolver uma equação?
Ao tentar resolver uma equação, o que estamos buscando
responder é:
Existem um ou mais números, pertencentes ao
universo dado, que, quando colocados no lugar da
variável, tornam a sentença verdadeira? Isto é, existe
algum número que faz as contas do 1° membro
resultarem no mesmo número que as contas do 2°
membro?
Como determinar a lei de uma função afim?
Toda função afim tem a lei do tipo .
Sendo assim, para determinar a lei de uma função
afim faz-se necessário determinar os valores das
constantes e . Para tal, temos dois principais
métodos:
1. Substitua valores numéricos gerando um sistema.
2. Use a fórmula da taxa de variação para
determinar e em seguida substitua um valor
numérico para determinar .
Quando se fala para substituir valores numéricos é
evidente que não se deve inventá-los ou criá-los;
esses valores devem ser abstraídos da questão.
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Função linear Os gráficos das funções lineares são retas que SEMPRE
passam pela origem do plano cartesiano, ou seja, o
ponto .
Função constante Os gráficos das funções constantes são retas
perpendiculares ao do plano cartesiano.
CRESCIMENTO e
DECRESCIMENTO de uma
FUNÇÃO AFIM
Considere uma função com ,
em que e são constantes reais.
Se , então a função é crescente em .
Se , então a função é decrescente em .
Se , então a função é constante em .
Obs.2: A raiz de ,
, é a abscissa do ponto em que
o gráfico de intersecta o eixo das abscissas; ou seja,
é um ponto do gráfico de .
Obs.3: O termo independente, , é a ordenada do
ponto em que o gráfico de intersecta o eixo das
ordenadas; ou seja, é um ponto do gráfico de .
Desse modo, temos que a representação do esboço
do gráfico de uma função afim, com , tem uma
aparência semelhante a um dos casos a seguir.
AULA 03
ESTUDO DO SINAL DE
UMA FUNÇÃO AFIM Fazer o estudo do sinal de uma função é buscar
determinar para quais valores reais de (intervalos
do domínio), a função admite imagem positiva
(acima do ), negativa (abaixo do
) ou nula (sobre o ).
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1. PROP. 28(a,c).
3.2. Estude o sinal de cada uma das funções ,
tal que , em cada caso a seguir.
a) b)
c)
AQUECIMENTO – Ler os exercícios resolvidos de 7 a 11.
TAREFA 3 – Fazer os PSA 1(b,c,d), 2, 16, 17, 18(b,c,d,e)
e 20.
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Para estudar o sinal de uma função, basta seguir os
procedimentos e análises da tabela a seguir.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.3. Resolva, em , a inequação a seguir.
EXTRA
QUESTÕES EXTRAS 1) A figura a seguir apresenta, em um sistema de
eixos perpendiculares , em que ,
uma representação cartesiana da função
, com , em que
é a temperatura, em graus Celsius, na hora ,
e e são constantes reais.
Com base nos dados apresentados, o valor da
expressão
é
TAREFA 4 – Fazer os PSA. 28(b,d), 29(a,b,d), 30(b,c,d), 31,
34 e 35.
,
1. Análise do sinal de
2. Raiz de f:
3. Dispositivo prático
4. Estudo do sinal
,
_ x
+
ou
Não existe ou
Há infinitas raízes reais
CASO I
,
CASO II
,
+
x _
+
x
_
x
EXTRA – PSA: 11, 12, 14, 21, 22(a,b), 24, 25, 26 e 27.
EXTRA – Conhecendo avaliações: 1; 2; 7; 12; 14; 15;
20; 22; 26; 28; 32; 33; 36
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(A) . (B) . (C) . (D) . (E) .
2) Na figura a seguir, tem-se a representação gráfica
de uma função que representa a variação da
quantidade de um medicamento que uma pessoa
deve tomar em função do seu peso. Os valores das
quantidades desse medicamento administradas estão
em mL e os “pesos” em kgf.
Sabendo que o medicamento deverá ser aplicado em
seis doses, é correto concluir que uma pessoa que
pesa 85 kgf receberá em cada dose
a) 6 mL.
b) 7 mL.
c) 8 mL.
d) 9 mL.
e) 10 mL.
3) Em uma fábrica de bijuterias, o custo de produção
de um lote de brincos é calculado a partir de um
valor fixo de R$ 112,00, mais R$ 0,80 por unidade
produzida. Nessa fábrica são produzidos lotes de,
no máximo, 10000 brincos, sendo vendido cada
lote com 30% de lucro sobre o valor de custo.
Sabe-se que para um custo de produção C e para
um valor de venda V, o lucro L é dado por L
= V – C. O lucro na venda de um lote com 400
brincos é igual a
(A) R$ 129,60. (D) R$ 532,48.
(B) R$ 409,60. (E) R$ 561,60.
(C) R$ 432,00
4) As frutas que antes se compravam por dúzias,
hoje em dia, podem ser compradas por
quilogramas, existindo também a variação dos
preços de acordo com a época de produção.
Considere que, independente da época ou
variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o
quilograma. Dos gráficos a seguir, o que
representa o preço pago, em reais, pela compra
de quilogramas desse produto é
5) Na figura a seguir, considere os gráficos das
funções e , tais que
e .
Se o ponto P tem coordenadas
, o valor de
é
a) 3. b) 2. c) 1. d) – 2. e) – 3
6) (Discursiva – 2014) No período de 1° a 21° de
fevereiro, o saldo bancário de uma pessoa variou
linearmente de R$ 200,00 para R$ 300,00.
Determine o saldo bancário dessa pessoa no dia 5
de fevereiro.
7) (Discursiva – 2014) Uma função afim é
tal que os pontos e pertencem ao
gráfico de . Determine a lei dessa
função e calcule a raiz de
8) (DISCURSIVA – 2014) Construa, em um sistema de
eixos perpendiculares , em que
um esboço do gráfico da função , tal que
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 7
. Em seguida, determine o
conjunto-imagem dessa função.
9) (DISCURSIVA – 2012) Quando representados em
um mesmo sistema de eixos perpendiculares ,
em que , os gráficos das funções afins
e , ais que e ,
se intersectam em um ponto . Determine as
coordenadas do ponto .
10) (DISCURSIVA – 2015) Uma função afim ,
com , é tal que e
. Determine a lei dessa função e
determine
.
11) (TESTE – 2015) Pretende-se contratar uma
empresa para animar uma festa. A empresa P
cobra um valor fixo de R$ 400,00 mais R$ 75,00
por hora de duração da festa. A empresa Q cobra
um valor fixo de R$ 280,00 mais R$ 100,00 por
hora de duração da festa. Desse modo, é correto
concluir que a contratação da empresa P não é
mais vantajosa se a festa tiver uma duração de até
a) 3 horas e 28 minutos.
b) 3 horas e 51 minutos
c) 4 horas e 27 minutos.
d) 4 horas e 48 minutos.
e) 5 horas e 13 minutos.
CAIU NO VEST 1) (PAS – 2012)
O gráfico acima mostra o tempo alcançado pelos
atletas que venceram a corrida de 100 metros nos
Jogos Olímpicos no período de 1900 a 1980. Os
tempos alcançados pelos vencedores dos 100 metros
rasos evidenciam a tendência a um limite mínimo.
Melhorias são de 0,006 s, por ano, e de 0,015 s há um
século. É possível que o sprint de 100 metros seja
dominado pela capacidade humana, desde que
auxiliada por melhorias na dieta e no treinamento. A
tecnologia pouco tem influenciado o desempenho dos
atletas que praticam corrida.
No gráfico apresentado, foi traçada uma linha,
para se verificar a evolução dos tempos a serem
alcançados por um atleta para vencer a prova de 100
metros rasos nos Jogos Olímpicos. O segmento de
reta obtido representa o gráfico da função
, em que é
o tempo, em segundos, no ano , e e são
constantes reais. Sabendo que e
, julgue os itens.
1) O ponto pertence ao gráfico da função .
2) O coeficiente angular é negativo, pois a função é
decrescente.
3) Se , e estão em progressão aritmética (PA) e
pertencem ao domínio de , então , e
também estão em PA.
4) Os tempos que deveriam ser alcançados para se vencer
a prova dos 100 metros rasos até a década de 1980
podem ser estimados pela função linear
. Considerando que essa função tenha seu domínio
estendido para o intervalo , redija um
texto, na modalidade da língua escrita padrão,
explicando por que essa função não é adequada para a
estimativa dos tempos a serem alcançados para se
vencer a prova em um futuro distante.
2) (ENEM – 2013) NA aferição de um novo semáforo,
os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo
completo (verde-amarelo-vermelho), a luz amarela
permaneça acesa por segundos, e o tempo em que
a luz verde permaneça acesa seja igual a
do tempo
em que a luz vermelha fique acesa. A luz verde fica
acesa, em cada ciclo, durante segundos e cada ciclo
dura segundos.
Qual é a expressão que representa a relação entre
e ?
a) b) c)
d) e)
3) (AFA) Analise o gráfico abaixo das funções e e
marque a opção correta.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 8
a) O gráfico da função é uma
reta crescente.
b) O conjunto imagem da função é .
c) para qualquer .
d) para qualquer que seja .
4) (ESCS – 2015)
A figura acima apresenta os gráficos de duas funções
lineares que representam o número de pacientes
atendidos no ambulatório de um hospital e o número
de pacientes internados em uma área restrita, no
primeiro e no segundo dia de observação.
Considerando que essas funções representem os
referidos números ao longo de dias, assinale a
opção correta.
A) O número de pacientes internados na área restrita
do hospital superou o número de pacientes atendidos
no ambulatório em todos os dias após o 12º dia.
B) Ao longo de 30 dias, o número de pacientes
atendidos no ambulatório foi sempre maior que o
número de pacientes internados na área restrita.
C) No 8º dia, a diferença entre o número de pacientes
atendidos no ambulatório e o número de pacientes
internados na área restrita foi superior a 7.
D) No 11º dia o número de pacientes atendidos no
ambulatório era menor que o número de pacientes
internados na área restrita.
GABARITO:
FUNDAMENTAIS
1.1. 12 14f x x
1.2. C
2.1. a) Constante
b) Polinomial de 1º grau e linear
c) Polinomial de 1º grau
2.2. Gráficos
3.1. Livro
3.2. a)
0 3
0 3
0 3
f x x
f x x
f x x
b)
0 7
0 7
0 7
f x x
f x x
f x x
c) 0f x x
3.3. 13
|2
x x
QUESTÕES EXTRAS
1) A
2) D
3) A
4) D
5) C
6) 120
7)
8) GRÁFICO e
CAIU NO VEST
1) ECC
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2) B
3) D
4) A