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Probabilidade e Modelos Probabilísticos

2ª Parte: modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas, modelo uniforme, modelo exponencial, modelo

normal

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Distribuição de Probabilidades

A distribuição de probabilidades, ou modelo probabilístico de uma variável aleatória:

quais são os resultados possíveis;

qual é a probabilidade de cada resultado acontecer.

Variável discreta: pares valores – probab.

Variável contínua: função densidade de probabilidades

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Exemplo 1

Construir a distribuição de probabilidades para o ângulo () obtido neste experimento.

4

f(x)

0o 360o x

Área = 1

1

360

X = variável aleatória que

indica o ângulo formado

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Exemplo 1

Qual é a probabilidade de obter um ângulo entre 30o e 60o?

f(x)

0o 360o x

1

360

= área = 0,0833

P(30o < X < 60o)

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Variável aleatória contínua Valor esperado e variância

dxxxfXE )()(

dxxfxXV )()()( 22

dxxfxXE )()( 22onde:

22 )()( XEXVou

7

Distribuição Uniforme

f(x)

x

f(x) = 1

1

8

Distribuição Uniforme

P(a < X < b) = b - a

f(x)

x a b

12

)(

2)(

2

XVar

XE

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Distribuição Exponencial

Intervalo de tempo entre ocorrências

Variável aleatória X de Poisson tem média de ocorrências em um intervalo de tempo, então o intervalo de tempo T entre ocorrências segue uma distribuição exponencial e tem média de 1/. Em média chegam 2 pessoas/min em uma fila, o tempo

médio entre a chegada de pessoas à fila é 0,5 minuto.

Em média atendem-se 10 pedidos de suprimentos/dia, o tempo médio de atendimento de um pedido é 0,1 dia.

10

Distribuição Exponencial

f(t) = e-t, t > 0

- parâmetro da distribuição ( > 0

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t0

P(T > t0) = e - t0

Distribuição Exponencial

f(t) = e - t, t > 0

f(t)

t

2

1)(

1)(

TVar

TE

12

Justificativa para a fórmula da exponencial

0 t A primeira ocorrência

ser depois do tempo t

Nenhuma ocorrência

em [0, t]

T > t Xt = 0

T = tempo até a próxima ocorrência (distrib. exponencial)

Xt = núm. de ocorrências até t (distrib. de Poisson)

!

)()(

k

etkXP

tk

t

t

t eXPtTP > )0()((distrib. exponencial)

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Exercício 1

O setor de manutenção de uma empresa fez um levantamento das falhas de um importante equipamento, constatando que há, em média, 0,75 falha por ano e que o tempo entre falhas segue uma distribuição exponencial. Qual é a probabilidade do equipamento não falhar no próximo ano?

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Resposta

= 0,75

P(T > t) = e - t

P(T > 1) = e -(0)1 = 0,4724 ou 47,24%

15

Exercício 2

A vida útil de um certo componente eletrônico é, em média, 10.000 horas e apresenta distribuição exponencial. Qual é a percentagem esperada de componentes que apresentarão falhas em menos de 10.000 horas?

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Resposta

= 1 / 10000 = 0,0001

P(T < t) = 1 - e - t

P(T < 10.000) = 1 - e -(0,0001)(10000) = = 1 - 0,3679 = = 0,6321 ou 63,21%

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Exercício 2 – cont.

A vida útil de um certo componente eletrônico é, em média, 10.000 horas e apresenta distribuição exponencial. Após quantas horas se espera que 25% dos componentes tenham falhado?

18

Resposta

= 1 / 10000 = 0,0001

P(T > t) = e - t

P(T > t) = e -(0,0001) t = 1 - 0,25 = 0,75

-(0,0001) t = ln(0,75)

t = 2.876,82 horas

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Exemplo 2 (Distribuição normal)

Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X a sua altura, em centímetros.

Apresenta-se, a seguir, uma possível distribuição de probabilidades para este caso.

130 140 150 160 170 180 190 200 210 x

f(x)

altura (em cm.)

20

Exemplo 2 Representar: o evento “estudante selecionado tem 180 cm

ou mais” (X 180) e sua probabilidade, P(X 180)

130 140 150 160 170 180 190 200 210 x

f(x)

altura (em cm.)

X 180

P(X 180)

21

Distribuição Normal

f(x)

x

f x e

x

( )( )

1

2

1

2

2

: média

: desvio padrão

22

Características

x

Área = 1

A variável aleatória pode assumir valores de - ∞ a + ∞ .

Área abaixo da curva é igual a 1 (100% de probabilidade) .

23

Características

Identificada pela

média ( e pelo

desvio padrão ( .

x

24

Média e Desvio Padrão

x 1

mesmo e diferentes µ

2

25

Média e Desvio Padrão

= 2

= 4

X

mesmo e diferentes

26

Características

Simetria em relação à média.

x

50%

27 + -

área = 68,3%

Exemplo

28

+2 -2

Exemplo

área = 95,4%

29

Exemplo

+3 -3

área = 99,7%

30

Normal Padronizada

z = x -

z - variável normal padronizada

x - variável normal

- média

- desvio padrão

31

Normal Padronizada

x

- + -2 +2

0 z

-1 1 -2 2

32

Exemplo 3 Selecionar, aleatoriamente, de uma certa

universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X o valor de sua altura, em centímetros. Admita que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm. Qual é o escore padronizado de um estudante com 190 cm?

x = 190.

z = x -

190 - 170

10 = = 2 =

20

10

33

Exemplo 3

2 z

0

190

10

= 10

x 170

34

Exemplo 3

z 2 0

190 x

170

P(X<190) = P(Z<2)

35

Exemplo 3

-1 1 -3 3 2 -2 z

0

160 180 140 200 190 150

10

= 10

x 170

36

Exercício 3: uso da tabela

Com base na tabela da normal padronizada, calcular:

a) P(Z > 1)

z 0 +1

0,1587 (tabela)

37

Exercício 4

Com base na tabela da normal padronizada, calcular:

b) P(Z > 1,23)

z 0 1,23

0,1093 (tabela)

38

Exercício 5

c) P(-2 < Z < 2)

z 0 2 -2

0,0228 (tabela)

P(-2 < Z < 2) = 1 - 2.(0,0228) = 0,9554

39

Exercício 6

Selecionar, aleatoriamente, de uma certa

universidade, um estudante do sexo masculino.

Seja X o valor de sua altura, em centímetros.

Admitindo que nesta universidade os estudantes

têm altura média de 170 cm com desvio padrão

de 10 cm, qual é a probabilidade do estudante

sorteado ter altura superior a 185 cm?

40

Exercício 6: resposta

x = 185 cm ( 10 10

z ?

z = x -

185 - 170

10 = = 1,5 =

15

10

41

Exercício 6: resposta

P(Z > 1,5)

z 0 1,5

0,0668 (tabela)

42

Aproximação da binomial pela normal

Considere que um aluno irá fazer um teste de Estatística. Pelo que estudou ele tem 50% de probabilidade de responder corretamente uma questão. Se o teste tem 10 perguntas, seja X o número de respostas corretas.

43

Exemplo 4

0,001 0,01

0,246

0,01 0,001

0,117

0,0440,044

0,205

0,117

0,205

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

P(X)

número de respostas corretas (X)

Distribuição binomial:

n=10 p=0,5

44

Exemplo 4

Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 corretas?

P(X>6)=P(7)+P(8)+P(9)+P(10)=0,117+0,044+0,010+0,001=0,172

0,001 0,01

0,246

0,01 0,001

0,117

0,044 0,044

0,205

0,117

0,205

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

P(X>6) = 0,172

45

Aproximação da Binomial pela Normal

Quando o número de ensaios (n) da binomial é grande, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma normal com média np e variância np(1- p).

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

46

Exemplo 4 (de novo)

Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 respostas afirmativas? (usando a normal)

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(X>6,5)

47

Exemplo 4 (de novo)

x 5 6,5

P(X>6,5)

48

Exemplo 4 (de novo)

z = x -

6,5 - 5

1,581139 = = 0,95

= 5 = 1,581139 x = 6,5

z 0 0,95

0,1711 Lembrando:

a probabilidade.

Exata (pela

binomial)

era de 0,1720