MINISTÉRIO DA DEFESA EXÉRCITO BRASILEIRO

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA CARTOGRÁFICA

Asp Of R/2 ROBSOM ALVARENGA LIMA

TEORIA DAS CATÁSTROFES APLICADA À ENGENHARIA CARTOGRÁFICA

Rio de Janeiro

2007

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

Asp Of R/2 ROBSOM ALVARENGA LIMA

TEORIA DAS CATÁSTROFES

APLICADA À ENGENHARIA CARTOGRÁFICA

PROJETO DE FIM DE CURSO Orientador: Prof Douglas Corbari Corrêa – Cap QEM

Rio de Janeiro 2007

2

C2007

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

Praça General Tibúrcio, 80 – Praia Vermelha

Rio de Janeiro - RJ CEP: 22290-270

Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluí-lo em base de

dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer forma de arquivamento.

É permitida a menção, reprodução parcial ou integral, a transmissão entre bibliotecas deste

trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha a ser fixado, para

pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem finalidade comercial e que seja feita a

referência bibliográfica completa.

Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do autor e do orientador.

3

S767 Lima, Robsom Alvarenga TEORIA DAS CATÁSTROFES APLICADA À ENGENHARIA CARTOGRÁFICA / Robsom Alvarenga Lima - Rio de Janeiro: Instituto Militar de Engenharia, 2007.

40 f. : il., graf., tab. : - cm. Projeto de Fim de Curso - Instituto Militar de Engenharia, 2007. 1. Generalização. 2. Catástrofe. 3. Engenharia Cartográfica.

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INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

Asp Of R/2 ROBSOM ALVARENGA LIMA

TEORIA DAS CATÁSTROFES

APLICADA À ENGENHARIA CARTOGRÁFICA

Projeto apresentado ao curso de Engenharia Cartográfica do Instituto Militar de Engenharia,

como requisito para a obtenção do grau na disciplina Projeto de Fim de Curso.

Orientador: Prof Douglas Corbari Corrêa.

Aprovado em 13 de agosto de 2007 pela seguinte banca examinadora:

Cap QEM Douglas Corbari Corrêa – M.C. do IME – Presidente

Cap QEM Ermírio de Siqueira Coutinho – M.C. do IME

Cap QEM Marcos de Meneses Rocha – M.C. do IME

Rio de Janeiro

5

RESUMO

Este trabalho tem o objetivo de encontrar uma aplicação da Teoria das Catástrofes no

entendimento de fenômenos e na solução de problemas ligados à Engenharia Cartográfica, seja

qualitativa ou quantitativa, através do estudo, da análise e da seleção das atuais aplicações desta

teoria nas áreas mais diversas.

Um dos desafios foi a pesquisa bibliográfica, dado o fato desta teoria não ser muito difundida

no Brasil e de ser uma teoria criada na década de 50. As bibliografias utilizadas foram, em sua

grande maioria, encontradas no Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), mas todas do

século passado.

A aplicação encontrada é relativa à área da Geodésia e consiste essencialmente no fato da

fórmula do potencial ser, em uma aproximação até a quinta ordem, a mesma equação de uma

cúspide. Deste modo, foi possível modelar o formato da Terra por uma das catástrofes

fundamentais.

6

ABSTRACT

This paper aims to find an application of Catastrophe Theory to the understanding of

phenomena and to the solution of problems linked to Cartographic Engineering, both qualitatively

and quantitatively, through the analysis of current applications of this theory in diversified areas.

One of the challenges was the bibliographical research, since this theory was presented in the

50’s and, in Brazil, information and data about it is still very scarce. The majority of the literature

used was found at the Institute of Pure and Applied Mathematics (IMPA). All of the material used

was published in the 20th century.

The application found is relative to Geodesy and it essentially consists in the Earth potential

being an approximation of the cusp formula until the fifth order. This made it possible to model the

Earth’s shape using one of the fundamental catastrophes.

7

SUMÁRIO

LISTA DE ILUSTRAÇÕES............................................................................. 08

LISTA DE TABELAS....................................................................................... 09

1 INTRODUÇÃO................................................................................................. 10

1.1 Contextualização................................................................................................. 10

1.2 Objetivo............................................................................................................... 10

1.3 Motivação........................................................................................................... 11

1.4 Estruturação do Trabalho.................................................................................... 11

2 A TEORIA DAS CATÁSTROFES.................................................................. 12

2.1 As sete catástrofes elementares de Thom............................................................ 12

2.2 Axiomas de Thom e definição de Catástrofe...................................................... 14

2.1 A catástrofe Cúspide........................................................................................... 17

3 ÁREAS DA ENGENHARIA CATOGRÁFICA............................................. 20

3.1 Cartografia........................................................................................................... 20

3.2 Imageamento....................................................................................................... 22

3.3 Posicionamento.................................................................................................... 23

4 A GEODÉSIA.................................................................................................... 25

4.1 A Terra................................................................................................................. 25

5 A FORMA DA ROTAÇÃO DE CORPOS...................................................... 29

6 CONCLUSÃO.................................................................................................... 35

7 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS........................................... 36

8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS............................................................ 37

APÊNDICE1...................................................................................................... 40

8

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

FIG.2.1 Catástrofe Dobra (www.lama.univ-savoie.fr)................................................. 13

FIG.2.2 Catástrofe Cúspide (www.lama.univ-savoie.fr).............................................. 13

FIG.2.3 Catástrofe Rabo de Andorinha (www.ams.org).............................................. 13

FIG.2.4 Catástrofe Borboleta (www.paperfolding.com/chengchit/3d.php)................. 14

FIG.2.5 Cúspide seccionada por um Plano (APÊNDICE 1)........................................ 18

FIG.2.6 Cúspide mapeada............................................................................................. 19

FIG.5.1 Corpo com formato esférico............................................................................ 29

FIG.5.2 Elipsóide de revolução.................................................................................... 29

9

LISTA DE TABELAS

TAB.2.1 Equação do Potencial das Catástrofes Elementares de Thom……................. 16

10

1 – INTRODUÇÃO

1.1 – Contextualização

A Teoria das Catástrofes foi criada no século passado pelo matemático francês René Thom e

possui aplicações em muitas áreas, como na engenharia civil, engenharia química, engenharia de

materiais, engenharia de telecomunicações, medicina, biologia, logística, ótica, etc.

Esta teoria não é uma simples idéia sem vínculos. Ela é uma rede com inúmeras

interconectividades incluindo intuições físicas e experimentais, geometria, álgebra, cálculo,

topologia, teoria da singularidade e muitas outras. Esta rede internamente conectada é englobada

por uma rede ainda maior: a Teoria dos Sistemas Dinâmicos.

Devido ao fato desta teoria ser utilizada em várias áreas e aliada ao intuito de se obter novas

ferramentas aplicáveis à engenharia cartográfica, iniciou-se uma busca por novas aplicações ou

aplicações relacionadas a tal engenharia.

Toda a teoria é baseada no trabalho matemático de Thom, cujo famoso livro, Estabilidade

estrutural e morfogênese, foi publicado em francês em 1972 e em inglês em 1975. O título desta

obra trata de um dos principais conceitos da Teoria das Catástrofes e da Teoria dos Sistemas

Dinâmicos. Thom nasceu em Montbéliard, trabalhou em diversas universidades e seu maior

interesse era na área da Topologia Diferencial. Além de tudo, ficou mundialmente conhecido

quando ganhou a Medalha Fields em 1958.

1.2 - Objetivo

Selecionar e analisar modelos da Teoria das Catástrofes na tentativa de aplicá-los no

entendimento de fenômenos e na solução de problemas ligados à Engenharia Cartográfica.

11

1.3 - Motivação

O principal fator que impulsionou este trabalho foi a tentativa de se obter novas ferramentas

aplicáveis à Engenharia Cartográfica.

1.4 – Estruturação do Trabalho

No capítulo 1 foi dada uma introdução à Teoria das Catástrofes. Em seguida, o capítulo 2

tratará do estudo da Teoria das Catástrofes, definições e exemplos. Já no capítulo 3 serão

apresentadas três grandes áreas da Engenharia Cartográfica: cartografia, imageamento e

posicionamento. No capítulo 4, serão descritas a história da Geodésia e a idéia da aplicação da

Teoria das Catástrofes nesta área. O capítulo 5 conterá uma aplicação da Teoria das Catástrofes na

engenharia cartográfica, mais precisamente na área da Geodésia, que é uma ciência essencial para o

posicionamento. Nos capítulos 6 e 7 serão encontradas considerações finais e possíveis aplicações

da teoria base do trabalho na Engenharia Cartográfica. Após a relação das referências bibliográficas

utilizadas será exposto um apêndice que auxiliará o entendimento de uma parte do trabalho.

12

2 – A TEORIA DAS CATÁSTROFES

A Teoria das Catástrofes está ligada às relações entre continuidade e descontinuidade das

formas e, de acordo com ARNOLD (1989), é um método para estudo de todas as transições por

saltos, descontinuidades e súbitas mudanças qualitativas.

A Teoria das Catástrofes descreve as descontinuidades que podem se apresentar na

evolução de um sistema, admitindo-se que a evolução global de um sistema se apresenta como uma

sucessão de evoluções contínuas, separadas por saltos bruscos (THOM, 1995).

Uma catástrofe pode ser entendida como um efeito inesperado causado por uma pequena

variação de um parâmetro. Estes efeitos são frequentemente chamados de catástrofes devido à

quebra da continuidade.

Em uma de suas teorias relacionadas às catástrofes, Thom afirma que existem apenas sete

diferentes catástrofes para funções com no máximo duas variáveis e cuja codimensão (diferença

entre a dimensão do espaço e a dimensão do objeto ou o número de parâmetros que variam para se

produzir a bifurcação em questão) é de no máximo quatro.

É relevante colocar que somente as duas primeiras catástrofes, a dobra e a cúspide,

possuem total tratamento geométrico, pois nos outros casos têm-se quatro ou mais dimensões, o que

dificultam a visualização.

2.1 – As sete catástrofes elementares de Thom

a) Dobra;

Esta catástrofe é dada pela equação potencial “f(x) = x + ax3 ” e é aplicável na separação da

luz nas cores do arco-íris (ZEEMAN, 1977) (FIG. 2.1).

13

FIG.2.1 – Catástrofe Dobra (LAMA, 2007)

b) Cúspide;

Esta catástrofe é dada pela equação potencial “f(x) = x + ax + bx4 2 ” e é aplicável em

mudanças urbanas, influências de uma ação militar e nos efeitos do álcool na direção (ZEEMAN,

1977), (WILSON, 1981) (FIG. 2.2).

FIG.2.2 – Catástrofe Cúspide (LAMA, 2007)

c) Rabo de Andorinha;

Esta catástrofe é dada pela equação potencial “f(x) = x + ax + bx + cx5 3 2 ” e é aplicável no

procedimento de grupos com e sem líderes (ZEEMAN, 1977) (FIG. 2.3).

FIG.2.3 – Catástrofe Rabo de Andorinha (AMS, 2007)

14

d) Borboleta;

Esta catástrofe é dada pela equação potencial “f(x) = x + ax + bx + cx + dx6 4 3 2 ” e é

aplicável na restauração de cidades medievais na Europa, em anorexias nervosas e opiniões

emergenciais em compromissos (ZEEMAN, 1977), (LU, 1976), (WILSON, 1981) (FIG. 2.4).

FIG.2.4 – Catástrofe Borboleta (CHIT, 2001)

e) Umbílica Elíptica;

Esta catástrofe é dada pela equação potencial “f(x) = x y - 3xy + a(x + y ) - bx - cy3 2 2 2 ” e é

aplicável em cáusticas, ou seja, movimentos com a luz, reflexões, refrações (ZEEMAN, 1977).

f) Umbílica Hiperbólica;

Esta catástrofe é dada pela equação potencial “f(x) = x + y + axy - bx - cy3 3 ” e é aplicável

em cáusticas (ZEEMAN, 1977).

g) Umbílica Parabólica.

Esta catástrofe é dada pela equação potencial “f(x) = x y + y + ax + by - cx + dy2 4 2 2 ” e é

aplicável em cáusticas (ZEEMAN, 1977).

2.2 – Axiomas de Thom e definição de Catástrofe

As considerações abaixo são tomadas como as principais proposições de Thom, podendo

considerá-las como axiomas e teoremas.

1. Qualquer processo é governado pelas seguintes dinâmicas:

o Os processos são dirigidos pelo gradiente de uma função de energia com o intuito de

encontrar a energia mínima.

15

o Além das variáveis internas, a função pode também depender de um ou diversos

parâmetros externos.

o O princípio básico de Thom trata da estabilidade estrutural dos modelos e seu

primeiro argumento tem um forte apelo intuitivo: muitas das características que se tenta

modelar dos sistemas do mundo “real” são ligados à estabilidade.

o Na maioria esmagadora das configurações internas o gradiente é não nulo e o

processo é dirigido para uma configuração de mínimo local, assim se caracteriza uma bacia

de atração.

o A dinâmica interna é rápida. Desta forma, quando observado, o processo estará

quase sempre no estado constante, em uma configuração de energia local mínima.

o Os únicos locais de mínimo são aqueles estáveis, ou seja, uma pequena perturbação

nas variáveis internas ou nos parâmetros conduz somente a uma pequena ou nula

perturbação no estado da energia. Em geral, diz-se que uma situação é estável se não há

alteração de sua propriedade dada uma pequena alteração da situação.

o Definição de estabilidade estrutural:

Uma função suave f :Rn R é dita estruturalmente estável num ponto crítico Xo se,

para qualquer função suave g pequena tem-se f~f+g. Na prática é mais fácil provar

que f é instável encontrando uma função g ou família de função que mostre esta

instabilidade.

Exemplo: A função “f(x) = x3/3” é instável no ponto crítico “Xo = 0”, pois tomando

a função “g(x) = sx” tem-se: “F(x) = f(x) + g(x) = x3/3 - s2x” que possui “x = s” e “x

= –s” como pontos críticos, sendo “s” positivo. Além disso, a concavidade será “2x”,

ou seja, positiva no ponto crítico “s” e negativa para “-s”. Quando “s” tende a zero

tem-se uma instabilidade, pois não se pode considerar a concavidade negativa e

positiva ao mesmo tempo.

2. Dada uma variação qualquer, não nula, nos parâmetros de uma função, o que era uma

vez um mínimo local pode se encontrar em uma bacia de atração de um outro mínimo. O processo

então comutará, de repente, do mínimo local velho para o mínimo local novo. Isto é uma catástrofe.

3. Os possíveis estados de equilíbrio do sistema, já vistos, são obtidos pela minimização

de uma função “f”, e estes formam uma superfície frequentemente chamada de “manifold” em um

16

“n+k”-espaço dimensional, onde “n” é a dimensão do espaço padrão (número de variáveis “x”) e

“k” é a dimensão do espaço de controle (número de parâmetros).

Thom mostrou que a forma do “manifold” depende do número de variáveis de

controle “k”, mais conhecido como codimensão da família de função formada por estas variáveis, e

de um conjunto de singularidades (singularidade é geralmente um ponto no qual um dado objeto

matemático não é definido, ou um ponto de um conjunto excepcional onde ele não é bem

comportado de alguma maneira particular) associadas com o potencial da função “f”.

Nas catástrofes elementares de Thom, a codimensão não pode ser maior que 4 e o

número de variáveis não pode ser maior que 2.

4. O conjunto de pontos contido no espaço dos parâmetros no qual as catástrofes

ocorrem é chamado de “lócus” da catástrofe. Para se perceber uma catástrofe em um espaço de 4

dimensões, tem-se que considerar uma folha 4-dimensional que atravessa o espaço dos parâmetros

cruzando o “lócus” da catástrofe transversalmente. Com isso, um deslocamento infinitesimal não

faz a catástrofe desaparecer.

5. Existem somente 7 catástrofes elementares que admitem no máximo 4 parâmetros e

duas variáveis. O potencial destas catástrofes é algebricamente representado por polinômios dados

pelas variáveis internas x, y e o número dos parâmetros a, b, c ou d (TAB. 2.1).

TAB.2.1 – Equação do Potencial das Catástrofes Elementares de Thom

O mínimo simples x2

A dobra x + ax 3

A cúspide x + ax + bx 4 2

O rabo de andorinha x + ax + bx + cx 5 3 2

A borboleta x + ax + bx + cx + dx6 4 3 2

A umbílica parabólica x y + y + ax + by - cx + dy2 4 2 2

A umbílica elíptica x y - 3xy + a(x + y ) - bx - cy

3 2 2 2

A umbílica hiperbólica x + y + axy - bx - cy3 3

17

6. Será feita agora uma apresentação, de caráter ilustrativo, de um dos principais

teoremas de Thom que define as dobras e cúspides:

“Tome C como um espaço de controle (ou parâmetros) 2-dimensional, X como um

espaço de comportamento (ou estado) 1-dimensional e f como uma função suave

genérica em X parametrizada por C. Considere M sendo o conjunto de valores de f

(dados por ∂f/∂x=0, onde x é uma coordenada de X). Sendo assim, M é uma

superfície suave em C x X, e as únicas singularidades da projeção de M em C são

catástrofes dobras e cúspides.” (LU, 1976)

2.3 – A Catástrofe Cúspide

Com a Teoria das Catástrofes, encontrou-se uma visualização das mudanças bruscas e

aparentemente imprevisíveis. Para isso, troca-se a análise quantitativa pela qualitativa e troca-se a

geometria euclidiana pela topologia (ramo recente da geometria que se preocupa com o aspecto

qualitativo do objeto e assim independe de número ou escala). A catástrofe é uma transição

descontínua, um salto de um estado ou curso para outro, que pode ser previsível. Por exemplo, não

há equação que descreva o movimento de queda de uma folha de papel. Cada folha cairá

descrevendo uma trajetória específica, que depende das condições do ar, da altura, forma, etc. Mas

todos podem imaginar a queda de uma folha de papel e desta forma ter uma análise qualitativa e não

quantitativa.

Das sete catástrofes de Thom, a catátrofe do tipo cúspide (FIG.2.5) é, segundo GUILLEN

(1998), aquela cujo esquema matemático de mudança manifesta-se com maior frequência no

mundo, pois, diferentemente da irreversibilidade característica da catástrofe dobra, a cúspide

caracteriza-se pela recuperação ou reversibilidade da mudança.

Como exemplos de catástrofes cúspides, têm-se as mudanças entre a guerra e a paz, as

altas e baixas imprevisíveis do mercado de valores. Por mais que estes exemplos não tenham uma

relação trivial, eles podem ser todos descritos com as mesmas fórmulas matemáticas e em termos do

mesmo panorama catastrófico, isto é, a catástrofe cúspide (GUILLEN, 1998).

18

FIG.2.5 – Cúspide seccionada por um Plano (APÊNDICE 1)

A FIG.2.5 mostra a cúspide como uma superfície curva seccionada por um plano. Esta foi

implementada no MATLAB, cuja implementação encontra-se no Apêndice 1.

19

FIG.2.6 – Cúspide mapeada

Ao se projetar a superfície cúspide no plano XY (FIG.2.6), considera-se o vértice da curva

escura (a) como uma cúspide, além disso, esta curva projetada divide o plano em duas regiões A e

B, exterior e interior à curva respectivamente. Os pontos em B possuem três imagens inversas, ou

seja, três pontos da superfície curva são projetados no mesmo ponto do plano inferior enquanto os

pontos em A possuem somente uma imagem inversa. Ao se fazer um movimento de B para A, duas

das imagens inversas na superfície curva se fundem. Desta forma, todos os pontos situados na

parábola semicúbica possuirão somente duas imagens inversas. Continuando o movimento ocorrerá

mais uma fusão de pontos e assim termina-se o movimento em A. Observa-se também que no ponto

cúspide os três pontos se fundem simultaneamente.

A exposição em especial desta catástrofe se dá pela possibilidade de aplicá-la na

Engenharia Cartográfica, em específico na Geodésia. Pode-se, de forma resumida, simplificar este

trabalho no equacionamento da forma da Terra através de uma cúspide.

No capítulo seguinte serão introduzidos conceitos sobre a Engenharia Cartográfica com o

intuito de mostrar possíveis aplicações das catástrofes nesta engenharia e assim no capítulo 4 e 5

aprofundar em um foco específico.

20

3 – ÁREAS DA ENGENHARIA CARTOGRÁFICA

A Engenharia Cartográfica é, dentre as Engenharias, a que se ocupa da construção de

representações da realidade terrestre. Para isso, adota uma posição integrada de mensuração,

análise, gerenciamento, armazenamento e visualização de dados descritivos e posicionais de feições

e fenômenos da superfície terrestre.

Segundo CORRÊA (2005), a Engenharia Cartográfica é uma especialidade inserida nas

Geociências, que abrange as fases que passam desde o levantamento de dados em campo até o

processamento em gabinete, o armazenamento, a visualização e a análise da informação geográfica.

Três grandes áreas compõem a Engenharia Cartográfica: a Cartografia, o Imageamento e o

Posicionamento. Estas áreas são abrangentes e se permeiam, não sendo necessariamente trabalhadas

isoladamente. Os Sistemas de Informações Geográficas, por exemplo, podem utilizar as

potencialidades das três áreas, sendo uma importante ferramenta para apoiar a tomada de decisões

(CORRÊA, 2005).

No decorrer deste capítulo serão apresentados alguns conceitos relacionados a cada uma

das áreas da Engenharia Cartográfica. A partir destes conceitos pode-se ter uma melhor visão da

Engenharia Cartografia e uma idéia das possíveis aplicações da Teoria das Catástrofes em cada uma

das áreas desta engenharia e assim, selecionar a aplicação que será esmiuçada mais a frente.

3.1 - Cartografia

O vocábulo Cartografia foi criado em 1839, pelo historiador português Visconde de

Santarém, em carta escrita em Paris e dirigida ao historiador brasileiro Adolfo Varnhagen. Antes de

o termo ser divulgado e consequentemente consagrado na literatura mundial, usava-se

tradicionalmente o vocábulo Cosmografia. (OLIVEIRA, 1993).

Como diz um ditado popular, para toda questão complexa existe uma solução simples e

errada. Uma destas questões é a definição de Cartografia, que segundo MENEZES (2000),

dependendo do contexto que estiver sendo abordado e do grau de profundidade desejado, pode ser

21

uma tarefa bastante simples ou complexa. Uma das definições mais atualizadas é a da Associação

Cartográfica Internacional (ICA), de 1991: “ciência que trata da organização, apresentação,

comunicação e utilização da geoinformação, sob uma forma que pode ser visual, numérica ou tátil,

incluindo todos os processos de elaboração, após a preparação dos dados, bem como o estudo e

utilização dos mapas ou meios de representação em todas as suas formas”.

“Todo mapa é um modelo que representa algum recorte espacial e temporal do ambiente.

Neste sentido, no seu processo de construção sempre haverá, em maior ou menor grau, uma etapa

de abstração da realidade por meio de eliminação e simplificação dos objetos e variáveis a serem

mapeados. Outro aspecto a ser considerado refere-se à escala, enquanto relação numérica entre as

dimensões reais dos objetos e suas dimensões no mapa a ser produzido. Assim, associando-se estas

duas características, pode-se inferir que os elementos deverão ser mais simplificados ou mais

generalizados em proporção inversa à escala de trabalho. Por outro lado, quanto maior a escala,

mais informação ou mais detalhes poderão ser mapeados, ainda que de uma região com menores

dimensões” (CORRÊA, 2005). Esta mudança na quantidade de detalhes, dada uma variação na

escala, pode ser definida qualitativamente por uma catástrofe, sendo este um possível projeto futuro

na aplicação da teoria das catástrofes à engenharia cartográfica.

De acordo com MENEZES & NETTO (1999), “talvez o maior problema, para a

representação da informação geográfica cartograficamente, seja a consideração da escala que

permitirá a sua visualização com um mínimo de perda, ou com perdas não significativas de

informação, causadas pela generalização, que será, em qualquer situação, aplicada à informação”.

Cabe aqui apresentar algumas definições de escala presentes na literatura:

- Escala Cartográfica ou Topográfica – Razão de semelhança entre comprimentos no mapa

e seu correspondente no mundo real. Transformação geométrica mais importante a que a

informação é submetida (MENEZES & NETTO, 1999).

- Resolução – Menor objeto ou feição que pode ser distinta em um conjunto de dados

(GOODCHILD, 1991 apud MENEZES & NETTO, 1999). Essa conotação de menor ou limite, que

associado ao erro gráfico (no Brasil, 0,2 mm de diâmetro), estabelece a aproximação com a escala

de um mapa ou carta (MENEZES & NETTO, 1999).

22

- Escala Geográfica – Amplitude da área geográfica estudada. Quanto maior a extensão da

área, maior será a escala geográfica associada. Quanto maior a escala geográfica, menor será a

escala cartográfica aplicada (MENEZES & NETTO, 1999).

- Escala Operacional – Relaciona-se diretamente com a escala geográfica de atuação ou de

operação de um determinado fenômeno (MENEZES & NETTO, 1999).

- Escala Nominal – Aspecto qualitativo, diferenciação de classes (BERTIN, 1983).

- Escala Ordinal – Aspecto quantitativo; diferenciação de classes e ordem; maior ou

menor; muito ou pouco; alto, normal ou baixo; grande, médio ou pequeno, hierarquizando

quantitativamente, porém sem valorar (BERTIN, 1983).

- Escala Intervalo / Razão – Aspecto quantitativo. Especifica uma variação (em valores

entre as categorias) (BERTIN, 1983).

Seguindo-se a abordagem adotada para o Mapeamento Sistemático Nacional, onde o mapa

é a representação de um todo, a carta seria um recorte do todo em uma determinada escala. Como

seria impossível representar todas as informações do todo, seja qualquer a escala, sem levar a uma

situação de limite, a carta teria de ser dividida em várias folhas, que tradicionalmente são

apresentadas em papéis ou em formatos digitais (CORRÊA, 2005).

3.2 - Imageamento

O Imageamento envolve a aquisição e tratamento de imagens, que podem ser analógicas ou

digitais. Ao se considerar esta visão, pode-se assumir que, dentro do Imageamento, destacam-se

dois importantes conceitos, quais sejam: o Sensoriamento Remoto e a Fotogrametria.

A Fotogrametria é freqüentemente inserida no campo do Sensoriamento Remoto por

diversos autores, como: JOLY (1990), LILLESAND & KIEFER (2000) e NOVO (1992). Porém, é

comum o uso da expressão Sensoriamento Remoto, entre os seus usuários, para se referir às

imagens de satélite, tão somente.

23

O Sensoriamento Remoto é a ciência ou arte de obter informação sobre um objeto, área ou

fenômeno, através da análise de dados adquiridos por um sensor que não está em contato com o

objeto, área ou fenômeno sob investigação (LILLESAND & KIEFER, 2000). Os sensores são

equipamentos capazes de coletar energia proveniente do objeto, convertê-la em sinal passível de ser

registrado e apresentá-lo em forma adequada à extração de informações (NOVO, 1992).

LILLESAND & KIEFER (2000) dizem ainda que Fotogrametria é a ciência e tecnologia

de obter medidas e outros produtos geometricamente confiáveis derivados de fotografias.

“Em Sensoriamento Remoto, o termo fotografia é reservado exclusivamente para imagens

que foram detectadas e armazenadas em filme. O termo mais genérico Imagem é usado para

qualquer representação pictórica dos dados-imagem” (LILLESAND & KIEFER, 2000). Desta

maneira, toda fotografia é uma imagem, porém nem toda imagem é uma fotografia. Outro fator a se

considerar é que, cada vez mais, a Fotogrametria vem assumindo a influência digital, deste a

aquisição das fotografias até a montagem dos modelos esterioscópicos, das medições propriamente

ditas e da restituição.

Segundo ROGAN & CHEN (2004), a tecnologia de Sensoriamento Remoto tem sido

direcionada por três fatores interrelacionados: a) avanços na qualidade de dados e tecnologia do

sensor; b) melhoria e padronização de métodos de Sensoriamento Remoto; e c) pesquisas aplicadas

(a menos desenvolvida das três). Uma das mais importantes características do Sensoriamento

Remoto, que o diferencia de outras abordagens de aquisição de dados, é que ele provê informação

detalhada e quantitativa da superfície terrestre em amplas coberturas espaciais e freqüentes

intervalos temporais (PRENZEL, 2004). Esta capacidade faz o Sensoriamento Remoto bem

adequado a muitas disciplinas, incluindo o planejamento do uso do solo e é possível que na

diferenciação de solos ou de vegetações que se aplique a teoria da catástrofe.

3.3 - Posicionamento

Posicionamento é a área da Engenharia Cartográfica que abrange técnicas, tecnologias e

ciências aplicadas ao levantamento de pontos em relação à superfície terrestre, considerando ou não

sua curvatura. O tipo de levantamento e os processos que serão utilizados dependem do objetivo

final ou da aplicação do projeto (CORRÊA, 2005).

24

Um dos conceitos que se tornam imprescindíveis entender dentro do ramo do

Posicionamento é a Geodésia: “ciência que tem por objeto a determinação da forma e das

dimensões da Terra” (DUPUY & DUFOUR, 1969 apud JOLY, 1990). Segundo ROBINSON et alii

(1995), a Geodésia é, das ciências cartográficas, a mais exigente tecnicamente.

Ao se falar em Posicionamento, tem-se que abordar os métodos que utilizam satélites,

sendo o GPS (Global Positioning System, ou Sistema de Posicionamento Global) o mais conhecido

atualmente. O GPS, ou NAVSTAR-GPS (NAVigation Satellite with Time And Ranging), é um

sistema de radionavegação desenvolvido pelo Departamento de Defesa dos Estados Unidos da

América – DoD (Department of Defense), com o intuito de ser o principal sistema de navegação das

forças armadas americanas. De acordo com MONICO (2000), “em razão da alta acurácia

proporcionada pelo sistema e do grande desenvolvimento da tecnologia envolvida nos receptores

GPS, uma grande comunidade usuária emergiu dos mais variados segmentos da comunidade civil

(navegação, posicionamento geodésico, agricultura, controle de frotas, etc.)”.

25

4 – A GEODÉSIA

Para se obter a posição de um corpo na Terra, tem-se que ter uma referência, caso

contrário, não será possível obter uma medida. Esta referência pode ser um ponto definido a partir

da forma da Terra como o centro de um elipsóide de revolução, o centro de gravidade de um

elipsóide escaleno ou até o centro de uma esfera.

A Geodésia, originada no oriente médio, assim como a geometria, é uma ciência que tem

como objetivo determinar a forma da Terra. Uma mostra da história desta ciência é essencial para o

entendimento de como a Teoria da Catástrofe poderia influenciar no posicionamento da Terra.

4.1 – A Terra

A partir do século V, os filósofos gregos, que conheciam apenas a região do Mar

Mediterrâneo, começaram a questionar o que existia na região onde eles não mais podiam ver. Para

eles, a Terra era supostamente plana, da forma de um disco e coberta nas bordas pelo Oceano.

O regresso diário, com movimentos circulares, das Estrelas, Sol e Lua gerou, na época,

alguns pensamentos como: Os astros, após desaparecerem no horizonte, retornam ao seu ponto de

partida ou que os astros passavam, nunca mais voltavam e que a cada dia novos astros se deslocam

no céu. Além destas, os filósofos pensavam também que as partes da Terra tinham o poder de

acender ou apagar os astros.

Outra pergunta freqüente se tratava do apoio que a Terra teria para suportar o Céu.

Conjecturas foram sugeridas: a existência de um pilar imaginário, Thales (século V A.C.) ou que os

movimentos deste pilar eram os causadores dos tremores na Terra Anaximene (século V A.C.).

Anaximandre quebra com estas idéias através de um pensamento mais lógico. Ele primeiro

considera a Terra isolada, privada de qualquer apoio, em equilíbrio ao centro de um céu

inteiramente esférico. Os astros, nesta suposição, poderiam passar sob a Terra e recomeçar, a cada

dia, as trajetórias celestiais sem nunca serem interrompidas. De acordo com Anaximandre a Terra

26

teria a forma de um cilindro, como uma coluna de pedra truncada, em que somente a face superior

seria habitada.

Com o tempo foram surgindo novas idéias com Pitágoras, Aristóteles e outros filósofos

sobre o tamanho e a forma da Terra. Pitágoras defendia a Terra com o formato esférico, pois

considerava a esfera a geométrica mais perfeita. Segundo ele seria natural que os deuses dessem

esta forma à Terra.

Uma dúvida pendente se tratava da esfericidade da Terra e para auxiliar nesta solução foram

descobertos alguns fatos. Um destes, de Huygens (1629-1695), trata da descoberta da força

centrífuga que nasce da rotação terrestre, que é nula nos pólos, máxima no Equador e que variava

de acordo com a latitude. Este fato gerou o pensamento de que a Terra não poderia ser esférica e

que o raio do Equador seria maior do que o raio dos pólos.

Newton (1642-1727) aprofunda a dúvida sobre a esfericidade em 1687. Se a Terra não

tivesse o movimento de rotação ela seria perfeitamente esférica devido à igualdade do módulo da

gravidade. Entretanto, devido à sua rotação, a Terra deveria possuir a forma elipsoidal.

Um trabalho notável sobre o equilíbrio da Terra foi efetuado por Clairaut em 1743. Clairaut

descobriu que o nivelamento da superfície de um planeta em equilíbrio não depende somente da

velocidade de rotação, mas também da distribuição interna das densidades. Ele acrescentou que se a

Terra fosse originalmente fluida, as camadas mais densas estariam mais próximas do centro.

Clairaut mostra também que o conhecimento do valor da gravidade (medido, por exemplo, com a

ajuda de um pêndulo) em dois pontos de latitudes diferentes é suficiente para determinar o

nivelamento do globo com relação ao equilíbrio hidrostático. Este foi o nascimento da Geodésia

dinâmica que estuda a forma da Terra a partir do seu campo de gravidade.

Outro problema tratou-se do fato das medidas geodésicas e de gravidade conduzem a valores

de nivelamento diferentes. Esta incompatibilidade colocou ao chão a teoria de Clairaut indicando

que a Terra não seria um equilíbrio hidrostático. Laplace (1749-1827), servindo-se de novas

medidas de arcos de meridiano e gravidade, procurou calcular o nivelamento, mas não obteve

sempre valores coerentes e assim concluiu que a figura da Terra não poderia ter a forma regular de

um elipsóide.

A hipótese da origem ígnea, ou seja, proveniente da solidificação do magma, implica que a

Terra esteve no início da sua história num estado muito diferente do seu estado atual. Esta idéia

reforça uma tese da Teoria das Catástrofes, que afirma que a Terra viria sofrendo, desde a sua

origem, uma evolução que se opõe às uniformidades e ao fato do globo sempre ter conservado uma

forma semelhante.

27

Foram desenvolvidas hipóteses que explicassem uma figura de equilíbrio do globo que não

necessitasse de um específico estado original. Lamarck (1744-1829), em 1802, propõe uma outra

hipótese. Ele afirmou que o globo possuía uma capacidade lenta de deformação que lhe permitia ser

ao mesmo tempo sólida e ajustar-se às forças gravitacionais e centrífugas. Com esta hipótese, a

Terra deformar-se-ia e adaptar-se-ia continuamente ao seu movimento de rotação sem ter

necessidade de passar por um estado fluido. Só uma condição deveria ser preenchida: que os tempos

encarados fossem suficientemente grandes, DEPARIS, V. & LEGROS, H (2000).

Em 1847, Spencer aprofunda as observações de Lamarck e declara, sem rodeios, que o

nivelamento do globo não requer uma fluidez original. Ele apoiou que a resistência dos materiais

era negligenciada quando se tratava de grandes volumes e que um sólido poderia se comportar

como um líquido nestes casos. A Terra seria tão volumosa que as forças de coesão tornar-se-iam

negligenciáveis na frente das forças de gravidade ou centrífugas e, embora sólida, teria a mesma

figura que uma massa fluida, DEPARIS, V. & LEGROS, H (2000).

Em 1868, Reclus (1830-1905) aderiu às teses de Spencer notando que todos os sólidos eram

capazes de fluir e adaptar-se de maneira permanente e irreversível quando sujeito à variações

suficientemente fortes.

Apesar das alternativas propostas, a hipótese da origem ígnea para explicar a figura de

equilíbrio da Terra continuou com sufrágios, mas ela é a que aparenta ser mais simples e evidente.

Playfair tenta em 1802 uma primeira distinção entre superfícies na Terra. Ele considera duas

superfícies: a superfície real ou acidentada e uma superfície perpendicular em qualquer ponto à

direção da gravidade. Esta última seria uma superfície abstrata, ligada ao campo de gravidade da

Terra.

Gauss (1777-1855) foi mais adiante em 1828 e distingue uma superfície matemática (a

superfície elipsoidal de referência) e uma superfície físico-matemática (a superfície normal à

gravidade) até então confundidas. A forma regular de um elipsóide de revolução constitui uma

superfície teórica de referência sobre a qual cálculos podem ser efetuados; o seu estudo incumbe à

Geodésia Geométrica. O segundo é a superfície equipotencial que coincide com o nível médio dos

oceanos. O seu estudo incumbe à Geodésia Dinâmica. É designada de Geóide por Lista (1808-1882)

em 1873, DEPARIS, V. & LEGROS, H (2000).

O Geóide aparece como uma superfície irregular que apresenta ondulações em relação à

superfície elipsoidal de referência, com partes côncavas e convexas de diferentes escalas. As

irregularidades de grandes comprimentos de onda são atribuídas às heterogeneidades de massas nas

diferentes profundidades na Terra, e as irregularidades mais curtas atribuídas às estruturas

submarinas ligadas à tectônica das placas.

28

Um fato ainda remanescente se dá ao fato da Terra, embora sólida para as curtas escalas de

tempo, comporte-se como um líquido viscoso para as longas escalas de tempo. Dado esse fato, a

Terra sólida deforma-se para minimizar as tensões internas e é por isso que pode adquirir uma

forma de equilíbrio.

Wegener tratou essa reflexão observando que se a Terra fosse dotada de um comportamento

viscoso, a sua forma iria se adaptar a cada perturbação da sua rotação deslocando do seu eixo. A

inchação equatorial, que se ajustaria continuamente à distribuição das forças centrífugas, não

ocuparia, necessariamente, uma posição fixa em relação à Terra e não se poderia mais assegurar a

estabilidade da rotação.

O estudo da rotação de uma Terra “visco-elástica” entra então no seu período moderno e faz

dúvida apenas no fato da Terra ter uma forma próxima ao equilíbrio, pois é deformada

viscosamente para ajustar-se à sua rotação.

Devido a tantas teorias existentes, a Teoria das Catástrofes entra como mais uma

possibilidade de estudo e modelagem da forma da Terra. Uma modelagem matemática dá um

caráter peculiar às modelagens, pois na maioria das vezes, estas não foram passíveis de serem feitas,

devido às dificuldades de modelar um sistema dinâmico.

No capítulo seguinte será mostrada toda uma modelagem matemática com o intuito de

comparar a catástrofe cúspide com a forma da Terra.

29

5 – A FORMA DA ROTAÇÃO DE CORPOS

Nesta parte do trabalho será feita uma comparação entre a equação do potencial de uma

cúspide e a equação do potencial do corpo com rotação não nula.

Por definição, a equação da energia potencial de uma cúspide é

cbxaxxxEab +++= 24

21

41)( (equação alfa)

e a curva catástrofe é dada por:

baxxxEdxd

ab ++== 3)(0 .

Um interessante exemplo de uma catástrofe cúspide é a geometria dos corpos. Para iniciar

este estudo, supõe-se um corpo composto por fluidos, como a Terra. Caso este corpo não possua

velocidade de rotação, este terá formato esférico (FIG.5.1). Na hipótese de uma velocidade angular

não nula, tem-se um elipsóide de revolução (FIG.5.2) e em uma eventual maior velocidade angular

tem-se um elipsóide mais achatado ou uma possível explosão.

FIG.5.1 – Corpo com formato esférico

FIG.5.2 – Elipsóide de revolução

30

Para ser feita a comparação entre a equação do potencial da cúspide e a equação do

potencial do corpo, considerado anteriormente com rotação não nula, serão feitas algumas

observações: Os corpos podem ser descritos pela excentricidade polar “ε”, pela excentricidade

equatorial “η” e considera-se a energia total E(ε, η) de um corpo como a energia gravitacional mais

a energia rotacional. Tem-se então por BERTIN e RADICATI (1976):

2

3123

122

1)(

02

26122

12

2)1()1(2))(1()1()1(),(

ηηε

εη

εηεηε

ε

−−−

+−−−

= −

∫ o

arcsen

o KdxxsenWE , em que

“Wo” e “Ko” são constantes.

Tomando “ε” como um parâmetro externo (outras escolhas podem ser tomadas, por

exemplo, a velocidade angular) e expandindo-se E(ε, η) por Taylor, até a quinta ordem com relação

à variável “η” em torno de 0, tem-se um polinômio da 5a ordem que será comparado com a equação

da cúspide.

O motivo da utilização da expansão de Taylor e não outra expansão está no fato das

catástrofes serem assemelhadas a polinômios. Desta forma, a escolha da expansão de Taylor é

muito feliz, pois esta transforma uma função, dadas suas restrições, em um somatório de termos na

forma de polinômio.

Para facilitar o entendimento, deve-se separar E(ε, η) em duas funções e aplicar Taylor, até

a 5a ordem, em cada uma das funções separadamente com relação a “η” em torno de 0:

),(),(),( 21 ηεηεηε ffE +=

∑∞

=

=0

)(1

1 !)0,(),(

i

ii

iff εηηε

∑∞

=

=0

)(2

2 !)0,(

),(i

ii

if

fεη

ηε

Sendo: dxxWfo

o2

1)(arcsen

02

26122

12

1 ))sen(1()1()1(),( −

∫ −−−

=ε

εη

εηεηε (1)

2

3123

12

2 2)1()1(2),(

ηηεηε

−−−

= oKf (2)

31

Para (1):

dxxWfo

o2

1)(arcsen

02

26122

12

1 ))sen(1()1()1(),( −

∫ −−−

=ε

εη

εηεηε

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−−

−−

−=

−−−

∫∫ dxxxdxxWfoo

o2

3)(arcsen

02

2

26

1221

)(arcsen

02

26522

12)1(

1 ))sen(1()sen()1())sen(1(3

)1()()1(),(εε

εη

εη

εηηη

εεηε

Vendo de outra forma:

)(),()1(1 ηηηε hWf o ⋅⋅= , sendo

εε 2

12 )1( −−= oo WW e

dxxxdxxhoo

23

)(arcsen

02

2

26

1221

)(arcsen

02

2652

))sen(1()sen()1())sen(1(3

)1()( −−−

∫∫ −−−−−

=εε

εη

εη

εηη

η

Sendo assim:

)(),()1(1 ηηηε hWf o ⋅⋅=

)(')(),()2(1 ηηηηε hWhWf oo ⋅⋅+⋅=

)('')('2),()3(1 ηηηηε hWhWf oo ⋅⋅+⋅=

)(''')(''3),()2(1 ηηηηε hWhWf oo ⋅⋅+⋅=

Derivando h(η):

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−=

−−

∫ dxxho

21

)(arcsen

02

26112

))sen(1(9

)1(5)('ε

εηηηη

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−−

−+ −−

−

∫∫ dxxxdxxx oo2

5)(arcsen

02

2

4

26

1223

)(arcsen

02

2

2

652

))sen(1()(sen)1(3))sen(1()sen(3

)1(2 εε

εη

εη

εη

εηη

−−−

+−−

=−

−−

−

∫∫ dxxxdxxhoo

23

)(arcsen

02

2

2

652

21

)(arcsen

02

26112

))sen(1()sen(3

)1(2))sen(1(9

)1(5)(''εε

εη

εη

εηηη

)())sen(1()(sen)1(3 25

)(arcsen

02

2

4

26

12 ηηεη

εη

ε

Ldxxxo

⋅+−−−−

∫

32

Tem-se então:

2

212 1)1(

3)(arcsen)0(''

εεε −−

+=oh

0)0(' =h

4

212

2

212 ))(arcsen)1((

23)1)1((

32)(arcsen

95)0(''

εεεε

εεε ooh −−

+−−

+=

E finalmente:

)(arcsen)1()0,(2

12

1 εεε

ε oWf o −=

0)0,()1(1 =εf

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−+−

−= 2

2122

12)2(

1)1(1

3)(arcsen)1()0,(

εεε

εε

ε oWf o

0)0,()3(1 =εf

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−+

−−−−

−= 4

212

2

2122

12)4(

1))1()((arcsen

29))1(1(2)(arcsen

35)1(),(

εεεε

εεε

εε

ηε ooWf o

Para (2):

2

3123

12

2 2)1()1(2),(

ηηεηε

−−−

= oKf

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−

−−=

−− 322222

312

)1(2 )1()2)(12()(

3)1(4),( ηηηηεηε oKf

Vendo de outra forma:

)(),()1(2 ηηηε gKf o ⋅⋅= , sendo

3)1(4

312ε−

−= oo KK e

322222 )1()2)(12()(−− −−−= ηηηηg

33

Sendo assim:

)(),()1(2 ηηηε gKf o ⋅⋅=

)(')(),()2(2 ηηηηε gKgKf oo ⋅⋅+⋅=

)('')('2),()3(2 ηηηηε gKgKf oo ⋅⋅+⋅=

)(''')(''3),()4(2 ηηηηε gKgKf oo ⋅⋅+⋅=

Derivando h(η):

)551()1()2(3

4)(' 4235232 ηηηηηη −+−−=

−−g

)()1()2)(25151(34)('' 3

523242 ηηηηηηη Yg ⋅+−−−+=−−

Tem-se então:

41)0( −=g

0)0(' =g

61)0('' =g

E finalmente:

312

2 )1()0,( εε −= oKf

0)0,()1(2 =εf

312)2(

2 )1(3

)0,( εε −= oKf

0)0,()3(2 =εf

312)4(

2 )1(32)0,( εε −

−= oKf

Como:

∑∑∞

=

∞

=

+=0

)(2

0

)(1

!)0,(

!)0,(),(

i

ii

i

ii

if

ifE εηεηηε

Pelo desenvolvimento em (1) e (2):

+++++=24

)0,(6

)0,(2

)0,()0,()0,(),(

)4(14

)3(13

)2(12)1(

11ε

ηε

ηε

ηεηεηεfff

ffE

24

)0,(6

)0,(2

)0,()0,()0,(

)4(24

)3(23

)2(22)1(

22ε

ηε

ηε

ηεηεfff

ff ++++++

34

Assim:

+⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−+−

−+= 3

122

2122

122 )1(

62)1(1

6)(arcsen)1(

)(),( εεεε

εε

ηεηε oo KoWtoE

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−+

−−−−

−+ 3

12212

42

2122

124 )1(

36))1()((

163

12)1(1

72)(5)1(

εεεεεε

εεεε

η oo KarcsenoarcsenoW

4

42

20 )()()( ηεηεε ttt ++=

Observando a “equação alfa”, vê-se que a equação do potencial de um corpo, de massa

fluida, em rotação segue o padrão do potencial de uma cúspide com o termo b=0.

35

6 – CONCLUSÃO

Este trabalho teve como objetivo encontrar uma possível aplicação da teoria das catástrofes

no entendimento de fenômenos e na solução de problemas ligados à Engenharia Cartográfica.

Foi encontrada uma aplicação relacionada com a área da Geodésia e que consiste no fato da

fórmula do potencial ser uma aproximação da equação de uma cúspide. Deste modo, foi possível

modelar o formato da Terra por uma das catástrofes fundamentais.

Quando se tomou um determinado parâmetro externo pode-se expandir o potencial da Terra

por Taylor em torno deste parâmetro e então foi visto que, de fato, a equação do potencial se

enquadrava em uma equação cúspide.

36

6 – SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Uma proposta para um trabalho futuro seria encontrar quais problemas relacionados à

Engenharia Cartográfica poderiam ser solucionados ou tentar descobrir quais implicações na

Engenharia Cartográfica seriam acarretadas.

Outras propostas para a Teoria das Catástrofes seriam aplicá-la na mudança da quantidade de

detalhes de uma imagem, dada uma variação na escala ou aplicá-la na área do Sensoriamento

Remoto, tentando diferenciar solos ou vegetações através de catástrofes.

37

7 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS

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ZEEMAN, E. C. Catastrophe Theory. Ed. Addison-Wesley Publishing Company, 1977, 675p.

40

APÊNDICE 1

Algoritmo implementado no MATLAB gerador da FIG.2.5:

[x,y] = meshgrid(-3:.2:3, -3:.2:3); z = y.^3-2*x.*y; mesh(x,z,y); hold on; surfl(x,z,y); Z=ones(size(z)); mesh(x*1,Z*1,y*1,'EdgeColor','black'); title('Cúspide,z=1, z+2xy-y^3=0'); colormap(bone)

41