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ANÁLISE NUMÉRICA DA DUCTILIDADE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO CONVENCIONAL E DE

ALTO DESEMPENHO

ANDRÉ LUÍS GAMINO

unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL


ALTO DESEMPENHO

ANDRÉ LUÍS GAMINO

Ilha Solteira Janeiro de 2003

unesp

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO”

FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL


ALTO DESEMPENHO

ANDRÉ LUÍS GAMINO

Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira da Universidade Estadual Paulista (Unesp), como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil, Área de Concentração Estruturas

Orientador: Profa. Dra. Mônica Pinto Barbosa

Ilha Solteira Janeiro de 2003

À vós Deus por todas as bênçãos que derramai constantemente sobre a minha vida Ao meu falecido pai Antônio Gamino Pastore

À minha esposa Flávia pelo apoio, compreensão e incentivos

(...) Confia no Senhor de todo o teu coração, e não te estribes no teu próprio entendimento Reconhece-o em todos os teus caminhos, e ele endireitará as tuas veredas

Então andarás confiante pelo teu caminho, e o teu pé não tropeçará Pv 3: 5, 6, 23

AGRADECIMENTOS

À Fapesp (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) pela concessão da bolsa de mestrado que possibilitou o desenvolvimento deste trabalho. À Profa Dra Mônica Pinto Barbosa pela orientação e incentivos. Ao Prof. Dr. Túlio Nogueira Bittencourt pela revisão do abstract e pelos ensinamentos quanto ao efeito escala em vigas de concreto armado. Ao Prof. Dr. Rogério de Oliveira Rodrigues pelas idéias que vieram de encontro à melhoria deste trabalho. Aos amigos de longa data da FEIS/Unesp Roger Augusto Rodrigues e Márcio Gonçalves Lacerda pelos bons momentos de convivência.

Sumário

I

Sumário

Capítulo 1: Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .01

Capítulo 2: Ductilidade de Estruturas de Concreto Armado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .04

2.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .04

2.2 Ductilidade dos Materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .04

2.2.1 Concreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .04

2.2.2 Aço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .05

2.3 Ductilidade de Vigas de Concreto Armado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .06

2.4 Fatores que Influenciam a Ductilidade de Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .07

2.5 Estado da Arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .08

2.6 Normas Relacionadas à Ductilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Capítulo 3: Análise Numérica de Estruturas de Concreto Armado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

3.1 Reologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

3.1.1 Modelos Reológicos Segundo a Teoria da Plasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

3.1.2 Modelos Reológicos do Concreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

3.2 Comportamento do Concreto sob Ações de Bicompressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

3.3 Métodos Numéricos de Solução de Sistemas Não Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

3.3.1 Métodos Incrementais Iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

3.4 Método dos Elementos Finitos com Métodos Iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

3.5 O Código de Cálculo CASTEM 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

Capítulo 4: Simulações de Vigas de Concreto Armado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

4.1 Estudo da Discretização das Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

4.2 Simulação numérica de vigas de concreto armado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

Capítulo 5: Estudo dos Parâmetros que Afetam a Ductilidade de Vigas de Concreto Armado: Flexão Simples Tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 5.1 Resistência à Compressão do Concreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

5.2 Taxa Geométrica de Armadura Longitudinal de Tração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

5.3 Tensão de Escoamento das Armaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

5.4 Espaçamento entre Estribos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

Sumário

II

5.5 Variação da Base do Elemento Estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

5.6 Efeito Escala Longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

Capítulo 6: Estudo dos Parâmetros que Afetam a Ductilidade de Vigas de Concreto Armado: Flexão Simples Tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 6.1 Estudo da Ruptura do Elemento Estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

6.2 Resistência à Compressão do Concreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

6.3 Taxa Geométrica de Armadura Longitudinal de Tração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

6.4 Tensão de Escoamento das Armaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

6.5 Espaçamento entre Estribos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

6.6 Variação da Base do Elemento Estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

6.7 Efeito Escala Transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

Capítulo 7: Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

Capítulo 8: Propostas para Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

Capítulo 9: Bibliografia Consultada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

Lista de Figuras

III

Lista de Figuras Figura 1.1: Terremoto ocorrido em Kobe, Japão (http://www.unb.br/ig/sis/catastr.htm) . . . . . .01 Figura 1.2: Recalque diferencial em edifício em concreto armado na orla marítima de Santos-S.P. (http://atribunadigital.globo.com) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .02 Figura 2.1: Diagramas tensão – deformação obtidos por Pinto Júnior (1992) . . . . . . . . . . . . . . .05 Figura 2.2: Diagrama tensão – deformação do aço classe A (Gamino e Barbosa, 2002a) . . . . . .05 Figura 2.3: Curva força – deslocamento utilizada para a quantificação da ductilidade global de vigas de concreto armado (Barbosa e Gamino, 2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .06 Figura 2.4: Curva momento – curvatura utilizada para a quantificação da ductilidade local de vigas de concreto armado (Barbosa e Gamino, 2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .06 Figura 2.5: Curvas força – deslocamento (modificado de Leslie et al., 1976) . . . . . . . . . . . . . . .09 Figura 2.6: Curvas momento – curvatura obtidas para vigas de concreto convencional (modificado de Tognon et al., 1980) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 Figura 2.7: Curvas momento – curvatura obtidas para vigas de concreto de alto desempenho (modificado de Tognon et al., 1980) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 Figura 2.8: Índices de ductilidade local em função da relação entre taxas de armadura (modificado de Nilson apud Pinto Júnior, 1992) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 Figura 2.9: Barras de aço utilizadas nos ensaios (modificado de Tholen e Darwin, 1998) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 Figura 2.10: Curvas força – deslocamento (modificado de Tholen e Darwin, 1998) . . . . . . . . . .16 Figura 2.11: Curvas momento – curvatura (modificado de Tholen e Darwin, 1998) . . . . . . . . . .16 Figura 2.12: Curvas de evolução da ductilidade local em relação a “fpe”, “γpp” e “ω” (modificado de Naaman et al., 1986) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 Figura 2.13: Curvas de evolução da ductilidade local em relação a “fc”, “γpp” e “ω” (modificado de Naaman et al., 1986) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 Figura 3.1: Modelo reológico elastoplástico perfeito (modificado de Proença, 1988) . . . . . . . . .26 Figura 3.2: Modelo reológico rígido com encruamento linear (modificado de Proença, 1988) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 Figura 3.3: Modelo reológico bilinear (modificado de Proença, 1988) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

Lista de Figuras

IV

Figura 3.4: Representação do critério de Drucker-Prager no plano desviador (Medrano, 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Figura 3.5: Representação do critério de Drucker-Prager na seção meridiana (Medrano, 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Figura 3.6: Superfície de plastificação segundo o critério de Drucker-Prager (Gamino e Barbosa, 2002a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Figura 3.7: Superfície de ruptura de Chen-Chen (modificado de Proença, 1988) . . . . . . . . . . . .32 Figura 3.8: Curvas tensão – deformação (modificado de Proença, 1988) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 Figura 3.9: Método de Newton-Raphson (Gamino e Barbosa, 2002b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 Figura 3.10: Método de Newton-Raphson modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 Figura 3.11: Diagrama de blocos utilizado em análises não lineares de estruturas (modificado de Kwak, 1997) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 Figura 4.1: Detalhamento da viga ensaiada por Barbosa (1998) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 Figura 4.2: Malhas utilizadas para a discretização da viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 Figura 4.3: Curvas força – deslocamento experimental e numérica para a malha M1 . . . . . . . . .42 Figura 4.4: Curvas força – deslocamento experimental e numérica para a malha M2 . . . . . . . . .43 Figura 4.5: Curvas força – deslocamento experimental e numérica para a malha M3 . . . . . . . . .43 Figura 4.6: Detalhamento da viga 04 ensaiada por Ribeiro (1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 Figura 4.7: Detalhamento da viga 05 ensaiada por Ribeiro (1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 Figura 4.8: Detalhamento da viga 06 ensaiada por Ribeiro (1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 Figura 4.9: Curvas força – deslocamento da viga 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 Figura 4.10: Curvas força – deslocamento da viga 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 Figura 4.11: Curvas força – deslocamento da viga 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 Figura 4.12: Curvas força – deslocamento da viga 04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 Figura 4.13: Curvas força – deslocamento da viga 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 Figura 4.14: Curvas força – deslocamento da viga 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 Figura 4.15: Curvas força – deformação no concreto da viga 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

Lista de Figuras

V

Figura 4.16: Curvas força – deformação no concreto da viga 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 Figura 4.17: Curvas força – deformação no concreto da viga 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 Figura 4.18: Curvas força – deformação no concreto da viga 04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 Figura 4.19: Curvas força – deformação no concreto da viga 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 Figura 4.20: Curvas força – deformação no concreto da viga 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 Figura 4.21: Curvas força – deformação no aço da viga 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 Figura 4.22: Curvas força – deformação no aço da viga 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 Figura 4.23: Curvas força – deformação no aço da viga 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 Figura 4.24: Curvas força – deformação no aço da viga 04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 Figura 4.25: Curvas força – deformação no aço da viga 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 Figura 4.26: Curvas força – deformação no aço da viga 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 Figura 4.27: Deformada da viga 01 equivalente ensaiada por Barbosa (1998) para a força de ruptura (fator de escala igual a 8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 Figura 5.1: Detalhamento da viga de concreto armado utilizada nas simulações . . . . . . . . . . . . .59 Figura 5.2: Evolução de “µd” com o acréscimo de “fc” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60 Figura 5.3: Evolução de “µc” com o acréscimo de “fc” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60 Figura 5.4: Evolução de “µd” em relação à variação do parâmetro “ρ/ρb” . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 Figura 5.5: Evolução de “µc” em relação à variação do parâmetro “ρ/ρb” . . . . . . . . . . . . . . . . .62 Figura 5.6: Evolução de “µd” com o acréscimo de “fc” mantendo-se constante a relação “ρ*/ρb” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 Figura 5.7: Evolução de “µc” com o acréscimo de “fc” mantendo-se constante a relação “ρ*/ρb” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 Figura 5.8: Detalhamento da viga 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 Figura 5.9: Detalhamento da viga 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 Figura 5.10: Curvas força – deslocamento obtidas para as vigas variando-se a taxa de armadura longitudinal de tração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 Figura 5.11: Evolução de “µd” com o acréscimo da relação “ρ/ρb” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

Lista de Figuras

VI

Figura 5.12: Evolução de “µc” com o acréscimo da relação “ρ/ρb” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 Figura 5.13: Curvas força – deslocamento obtidas para as vigas variando-se o valor limite da tensão de escoamento das armaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 Figura 5.14 – Curvas momento – curvatura obtidas para as vigas variando-se o valor limite da tensão de escoamento das armaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 Figura 5.15: Detalhamento das vigas 04 e 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70 Figura 5.16: Curva força – deslocamento obtida para a viga 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 Figura 5.17: Curva força – deslocamento obtida para a viga 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 Figura 5.18: Curva força – deslocamento obtida para a viga 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 Figura 5.19: Detalhamento da viga 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 Figura 5.20: Detalhamento da viga 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 Figura 5.21: Detalhamento da viga 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 Figura 5.22: Evolução de “µd” com o aumento dos espaçamentos entre estribos . . . . . . . . . . . . .76 Figura 5.23 – Evolução de “µc” com o aumento dos espaçamentos entre estribos . . . . . . . . . . . .76 Figura 5.24: Curvas força – deslocamento obtidas variando-se a base das vigas . . . . . . . . . . . . .77 Figura 5.25: Curvas momento – curvatura obtidas variando-se a base das vigas . . . . . . . . . . . . .78 Figura 5.26: Evolução de “µd” com o aumento da base das vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 Figura 5.27: Evolução de “µc” com o aumento da base das vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 Figura 5.28 – Diminuição da relação “x/d” com o aumento da base das vigas . . . . . . . . . . . . . . .79 Figura 5.29: Detalhamento da viga 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 Figura 5.30: Detalhamento da viga 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81 Figura 5.31: Curvas força – deslocamento obtidas na avaliação do efeito escala . . . . . . . . . . . . .82 Figura 5.32: Curvas momento – curvatura obtidas na avaliação do efeito escala . . . . . . . . . . . . .83 Figura 5.33: Detalhamento da viga 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84 Figura 5.34: Detalhamento da viga 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 Figura 6.1: Posição relativa das forças para cada viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

Lista de Figuras

VII

Figura 6.2: Curvas força – deslocamento obtidas no estudo de ruptura das vigas . . . . . . . . . . . .88 Figura 6.3: Evolução de “µd” com a ampliação de “fc” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 Figura 6.4: Detalhamento das vigas simuladas submetidas à flexão simples tipo II . . . . . . . . . .90 Figura 6.5: Evolução de “µc” com a ampliação de “fc” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 Figura 6.6: Evolução de “µd” em função do parâmetro “ρ/ρb” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 Figura 6.7: Evolução de “µc” em função do parâmetro “ρ/ρb” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 Figura 6.8: Variação de “µd” com o acréscimo de “fc” mantendo-se constante a relação “ρ*/ρb” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 Figura 6.9: Variação de “µc” com o acréscimo de “fc” mantendo-se constante a relação “ρ*/ρb” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 Figura 6.10: Curvas força – deslocamento obtidas no estudo da variação da taxa geométrica de armadura longitudinal de tração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 Figura 6.11: Detalhamento da viga 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 Figura 6.12: Detalhamento da viga 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96 Figura 6.13: Evolução de “µd” com relação à variação de “ρ/ρb” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 Figura 6.14: Evolução de “µc” com relação à variação de “ρ/ρb” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 Figura 6.15: Curvas força – deslocamento obtidas na avaliação da influência da tensão de escoamento das armaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 Figura 6.16: Detalhamento das vigas 21 e 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99 Figura 6.17: Curva força – deslocamento obtida para a viga 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100 Figura 6.18: Curva força – deslocamento obtida para a viga 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101 Figura 6.19: Curva força – deslocamento obtida para a viga 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101 Figura 6.20: Detalhamento da viga 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102 Figura 6.21: Detalhamento da viga 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103 Figura 6.22: Curvas força – deslocamento obtidas para as vigas analisadas . . . . . . . . . . . . . . . .104 Figura 6.23: Curvas momento – curvatura obtidas para as vigas analisadas . . . . . . . . . . . . . . . .105 Figura 6.24: Detalhamento da viga 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

Lista de Figuras

VIII

Figura 6.25: Detalhamento da viga 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 Figura 6.26: Curvas força – deslocamento obtidas na avaliação da influência do efeito escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108 Figura 6.27: Curvas momento – curvatura obtidas na avaliação da influência do efeito escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109 Figura 6.28: Detalhamento da viga 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 Figura 6.29: Detalhamento da viga 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

Lista de Tabelas

IX

Lista de Tabelas Tabela 2.1: Características dos concretos ensaiados por Pinto Júnior (1992) . . . . . . . . . . . . . . .04 Tabela 2.2: Resultados obtidos por Leslie et al. (1976) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .08 Tabela 2.3: Resultados dos ensaios realizados na pesquisa de Shin et al. (1989) . . . . . . . . . . . . .11 Tabela 2.4: Resultados obtidos por Pastor et al. (1984). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Tabela 2.5: Resultados obtidos por Farage (1995) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 Tabela 2.6: Dados obtidos por Ashour (2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 Tabela 2.7: Resultados obtidos por Mo e Lai (1995) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 Tabela 2.8: Resultados obtidos por Pendyala et al. (1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Tabela 2.9: Características físicas das vigas ensaiadas por Borges (2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 Tabela 2.10: Resultados obtidos por Borges (2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 Tabela 4.1: Características mecânicas dos materiais utilizados na confecção da viga ensaiada por Barbosa (1998) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 Tabela 4.2: Valores de força obtidos experimentalmente e numericamente para a viga ensaiada por Barbosa (1998) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 Tabela 4.3: Valores de deslocamento obtidos experimentalmente e numericamente para a viga ensaiada por Barbosa (1998) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 Tabela 4.4: Características mecânicas dos materiais aço e concreto utilizados na confecção das vigas ensaiadas por Barbosa (1998) e Ribeiro (1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 Tabela 4.5: Valores de força e deslocamento obtidos numericamente e experimentalmente para as vigas ensaiadas por Barbosa (1998) e Ribeiro (1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 Tabela 5.1: Valores numéricos obtidos na avaliação da influência da resistência à compressão do concreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 Tabela 5.2: Valores de “εcu”, “εy”, “ρ”, “ρb”, “ρ/ρb” e “As” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 Tabela 5.3: Valores obtidos mantendo-se constante a relação “ρ*/ρb”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 Tabela 5.4: Valores numéricos obtidos mantendo-se constante a relação “ρ*/ρb” . . . . . . . . . . . .63 Tabela 5.5: Valores numéricos obtidos no estudo de variação da taxa geométrica de armadura longitudinal de tração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

Lista de Tabelas

X

Tabela 5.6: Valores numéricos obtidos na avaliação da influência da tensão de escoamento das armaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 Tabela 5.7: Valores numéricos obtidos na avaliação da influência do espaçamento entre estribos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 Tabela 5.8: Valores numéricos obtidos na avaliação da ampliação da base do elemento estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 Tabela 5.9: Valores numéricos obtidos na avaliação do efeito escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 Tabela 6.1: Valores de força de ruptura obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 Tabela 6.2: Valores numéricos obtidos no estudo da influência de “fc” sobre a ductilidade de vigas de concreto armado sujeitas à flexão simples tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 Tabela 6.3: Valores obtidos mantendo-se constante a relação “ρ*/ρb”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 Tabela 6.4: Valores numéricos obtidos mantendo-se constante a relação “ρ*/ρb” . . . . . . . . . . . .92 Tabela 6.5: Valores numéricos obtidos no estudo de variação da taxa geométrica de armadura longitudinal de tração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 Tabela 6.6: Valores numéricos obtidos na avaliação da influência da tensão de escoamento das armaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 Tabela 6.7: Valores numéricos obtidos na avaliação da influência do espaçamento entre estribos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100 Tabela 6.8: Valores numéricos obtidos na avaliação da ampliação da base do elemento estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104 Tabela 6.9: Valores numéricos obtidos na avaliação do efeito escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

Lista de Símbolos

XI

Lista de Símbolos A: Tensor de segunda ordem Aps: Área da seção transversal das armaduras ativas As: Área da seção transversal das armaduras longitudinais de tração Au: Constante característica do material A’s: Área da seção transversal das armaduras longitudinais de compressão A’u: Constante característica do material B: Tensor de segunda ordem BT: Matriz deformação – deslocamento na sua forma transposta D: Altura efetiva total da peça em relação às armaduras ativa e passiva D’: Vetor de deslocamentos D*: Operador escalar que afeta a rigidez do material Dc

*: Parcela do operador escalar em compressão que afeta a rigidez do material Dt

*: Parcela do operador escalar em tração que afeta a rigidez do material E: Módulo de elasticidade longitudinal Ec: Módulo de elasticidade longitudinal do concreto Es: Módulo de elasticidade longitudinal do aço Eo: Módulo de elasticidade longitudinal inicial Fe: Vetor de forças nodais equivalentes F: Vetor de forças nodais externas G: Módulo de elasticidade transversal Gs: Módulo de elasticidade transversal secante H: Parâmetro de endurecimento H’: Vetor resultante da diferença entre esforços externos e internos I1: Invariante

Lista de Símbolos

XII

J2: Invariante Ks: Módulo de elasticidade longitudinal secante L: Vão das vigas Rc: Resultante das tensões de compressão nas vigas de concreto armado Rr: Área relativa entre mossas nas armaduras S: Vetor de forças nodais internas a: Distância do apoio ao ponto de aplicação da força b: Largura da seção transversal d: Altura efetiva das vigas dp: Altura efetiva em relação à armadura ativa ds: Altura efetiva em relação à armadura passiva f: Força atuante em um ponto genérico de um corpo fbc: Tensão limite de bicompressão do concreto fc: Resistência à compressão do concreto fck: Resistência à compressão característica do concreto fcu: Tensão última do concreto fpe: Nível de protensão efetiva fps: Tensão na armadura ativa fpu: Tensão última da armadura ativa fs: Tensão na armadura passiva de tração f’s: Tensão na armadura passiva de compressão fstk: Tensão característica de ruptura das armaduras ft: Tensão limite de tração do concreto ftk: Tensão característica de ruptura das armaduras fu: Tensão última do aço

Lista de Símbolos

XIII

fy: Tensão de escoamento do aço fyd: Tensão de escoamento de cálculo do aço fyk: Tensão característica de escoamento das armaduras h: Altura das vigas k: Matriz de rigidez global kdp: Constante do material [k]T: Matriz de rigidez tangente u: Deslocamento na direção x v: Deslocamento na direção y w: Deslocamento na direção z x: Altura da linha neutra α: Constante do material α*: Escalar compreendido entre 0 e 1 integrante do modelo de Mazars β: Representa o cisalhamento em vigas de concreto armado no modelo de Mazars ∆Fi: Força incremental δ: Coeficiente de redistribuição de momentos fletores δy: Deslocamento correspondente ao escoamento das armaduras δu: Deslocamento correspondente ao ponto de ruptura do elemento estrutural δ80: Deslocamento correspondente à 80% da força de ruína ε: Deformações longitudinais εc: Deformação do concreto εc máx: Deformação máxima à compressão do concreto εcu: Deformação última do concreto εe: Deformação elástica εi: Deformação principal na direção i

Lista de Símbolos

XIV

εic: Deformação máxima no concreto εiu: Deformação uniaxial equivalente εp: Deformação plástica εs: Deformação do aço εu: Deformação última do aço εuk: Deformação característica última do aço εy: Deformação da armadura longitudinal de tração no momento do escoamento φy: Curvatura correspondente ao escoamento das armaduras φu: Curvatura correspondente ao ponto de ruptura do elemento estrutural γ: Distorção γpp: Nível de protensão parcial µ: Índice de ductilidade µc: Índice de ductilidade local µd: Índice de ductilidade global µe: Índice de encruamento µHR: Índice de ductilidade global para vigas superarmadas µLR: Índice de ductilidade global para vigas subarmadas ν: Coeficiente de Poison ρ: Taxa geométrica de armadura longitudinal de tração ρ*: Taxa geométrica de armadura longitudinal de tração calculada a fim de manter constante a relação ρ/ρb ρb: Taxa geométrica de armadura longitudinal de tração balanceada σ: Tensão normal σc: Tensão normal de compressão no concreto σi: Tensão normal principal na direção i

Lista de Símbolos

XV

σic: Tensão normal máxima no concreto σj: Tensão normal principal na direção j σk: Tensão normal principal na direção k σo: Tensão normal crítica σoct: Tensão normal octaédrica σs: Tensão normal de tração no aço σy: Tensão de escoamento σ1: Tensão normal principal σ2: Tensão normal principal de confinamento σ3: Tensão normal principal de confinamento τ: Tensão de cisalhamento τoct: Tensão cisalhante octaédrica τu: Constante característica do material τ’u: Constante característica do material ω: Taxa de armadura mista ψ: Vetor de forças residuais

Resumo

XVI

Resumo GAMINO, A.L. Análise numérica da ductilidade de vigas de concreto armado convencional e de alto desempenho. Ilha Solteira, 2003. 121p. Dissertação (Mestrado) – Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista.

Apresenta-se como objeto desta pesquisa o estudo numérico não-linear da ductilidade de

vigas de concreto armado convencional e de alto desempenho. Toda a análise numérica é

efetuada no código de cálculo baseado no método dos elementos finitos CASTEM 2000, que

utiliza o modelo reológico elastoplástico perfeito para o aço, o modelo de Drucker-Prager para o

concreto e o método de Newton-Raphson para a solução de sistemas não-lineares. O núcleo deste

trabalho concentra-se na obtenção de curvas força – deslocamento e momento – curvatura com a

finalidade de quantificar respectivamente os índices de ductilidade global e local das vigas

analisadas. De início, confrontam-se as respostas numéricas obtidas com resultados

experimentais fornecidos pela literatura a fim de garantir confiabilidade à análise numérica

realizada. Posteriormente, efetua-se a determinação da capacidade de deformação inelástica do

elemento estrutural em questão, variando-se a resistência à compressão do concreto, a taxa

geométrica de armadura longitudinal de tração, a tensão de escoamento das armaduras, o

espaçamento entre estribos, a base da seção transversal do elemento estrutural e o efeito escala.

Estes parâmetros foram avaliados para dois casos de solicitação: flexão simples tipo I e flexão

simples tipo II. O primeiro caso caracteriza-se pela ação de forças simétricas aplicadas à 1/3 e

2/3 do vão e a segunda por uma força centrada no meio do vão. A linha de tendência geral

observada foi de uma maior ductilização das vigas sujeitas à flexão simples tipo II, em

detrimento às solicitadas por flexão simples tipo I. Quanto ao efeito escala observa-se que a

ductilização das vigas é inversamente proporcional à esbeltez das mesmas.

Palavras-Chave: Análise Não-Linear, Ductilidade, Vigas de Concreto Armado

Abstract

XVII

Abstract GAMINO, A.L. Numerical analysis of ductility in high and conventional strength reinforced concrete beams. Ilha Solteira, 2003. 121p. Dissertação (Mestrado) – Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista.

The objective of this thesis is the study of the ductility of high and conventional strength

reinforced concrete beams by non-linear numerical simulations. The numerical analysis is based

on the finite element method implemented in CASTEM 2000. This program uses the constitutive

elastoplastic perfect model for the steel, the Drucker-Prager model for the concrete and the

Newton-Raphson for the solution of non-linear systems. This work concentrates on the

determination of force – displacement and moment – curvature curves with the purpose of

quantifying the global and local ductility indexes of the beams. First, the numeric responses are

confronted with experimental results found in the literature in order to check the reliability of the

numerical analyses. Later, a parametric study is carried on. The inelastic deformation capacity of

the structural element is investigated by varying the concrete compressive strength, the

longitudinal reinforcement ratio, the yield stress of the reinforcement, the spacing between

stirrups, the member section dimensions and the element size. These parameters have been

analyzed for two cases: simple type I and simple type II bending. The first case is characterized

by the action of applied symmetrical forces to the 1/3 and 2/3 of the beam size and second for a

force centered in the middle of the beam size. The general tendency observed points to a high

ductilization of the beams subjected to simple type II bending in comparison to the ones

subjected to simple type I bending. With respect to the element size, it is noticed that the

ductility of the beams is inversely proportional to their slendernesses.

Keywords: Non-Linear Analysis, Ductility, Reinforced Concrete Beams

Capítulo 1: Introdução

1

CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO

O conhecimento da estrutura interna dos distintos materiais empregados na construção

civil permite não somente compreender melhor seu comportamento, como também obter

critérios de projeto e de seleção de materiais que levem a uma estrutura mais sólida e resistente.

A utilização cada vez mais freqüente dos concretos de alto desempenho (CAD) é

centralizada fundamentalmente nos seguintes aspectos:

Elevada resistência à compressão que permite a diminuição de seções transversais, obtendo-se

estruturas mais esbeltas e com menor peso próprio proporcionando economia de fôrmas e

menores custos com a fundação;

Deformações instantâneas menores em conseqüência do seu elevado módulo de elasticidade;

Redução do fenômeno da fluência;

Maior durabilidade;

Menor permeabilidade do concreto endurecido contribuindo para um processo mais lento de

carbonatação que provoca corrosão nas armaduras;

Boa resistência à compressão atingida em baixas idades que pode proporcionar menores

tempos de desforma e menores prazos de execução de obras em concreto armado.

Entretanto o comportamento frágil deste material pode ser um inconveniente, por exemplo,

em regiões de elevado risco sísmico (Figura 1.1) ou locais de ocorrência de recalques

diferenciais (Figura 1.2).

Figura 1.1 – Terremoto ocorrido em Kobe, Japão

(http://www.unb.br/ig/sis/catastr.htm)


2

Figura 1.2 – Recalque diferencial em edifício em concreto armado na orla marítima de Santos-

S.P. (http://atribunadigital.globo.com)

A natureza da ruína, frágil ou dúctil, em estruturas de concreto armado vem a ser um dos

principais assuntos relacionados à segurança. Os elementos estruturais devem ser projetados para

que sofram grandes deformações e deslocamentos nos casos em que haja a possibilidade de

colapso local ou global da estrutura a fim de que se possa antever este tipo de fenômeno com o

intuito de salvar vidas.

Este trabalho tem por objetivo o estudo numérico da ductilidade de vigas de concreto

armado executadas em concreto convencional ou concreto de alto desempenho, através da

obtenção numérica dos índices de ductilidade global e local que retratarão a capacidade de

deformação inelástica de cada uma das vigas analisadas.

Assim, ter-se-ão condições suficientes à conclusão da perda brusca de capacidade

resistente ou não conferida ao elemento estrutural, quando o mesmo é sujeito à grandes taxas de

deslocamento e deformação.

A determinação numérica dos índices de ductilidade das vigas constituintes de um sistema

estrutural conduz a uma análise crítica sobre a segurança ao colapso local ou global de

estruturas, uma vez que os parâmetros de ductilidade demonstram-se como indicativos de uma

eficiente redistribuição de esforços e manutenção dos mesmos nas vizinhanças de uma possível

ruptura.

Avaliaram-se seis fatores que podem afetar a ductilidade de vigas de concreto armado a

saber: resistência à compressão do concreto, taxa geométrica de armadura longitudinal de tração,


3

tensão de escoamento das armaduras, espaçamento entre estribos, base do elemento estrutural e

efeito escala.

Estes parâmetros foram avaliados para dois casos de flexão simples: o primeiro,

denominado flexão simples tipo I, com carregamentos simétricos aplicados à 1/3 e 2/3 do vão; o

segundo, denominado flexão simples tipo II, com carregamento centrado no meio do vão.

Esta dissertação está dividida em nove capítulos cujos conteúdos são apresentados abaixo:

Capítulo 1: Introdução;

Capítulo 2: Estado da arte da ductilidade de vigas de concreto armado: relaciona as pesquisas

realizadas sobre o tema, assim como os resultados obtidos, e as recomendações de normas

brasileiras, americanas e européias;

Capítulo 3: Modelos reológicos: são apresentados os modelos utilizados para a modelagem

numérica dos materiais aço e concreto, assim como os métodos numéricos de solução de

sistemas não lineares e o código de cálculo CASTEM 2000 utilizado nas simulações;

Capítulo 4: São apresentadas as simulações realizadas em vigas de concreto armado

convencional e de alto desempenho ensaiadas por Barbosa (1998) e Ribeiro (1996), relacionando

e discutindo os resultados numéricos obtidos;

Capítulo 5: Estão relacionados os estudos elaborados sobre os parâmetros que afetam a

ductilidade de vigas de concreto armado sujeitas à flexão simples tipo I a saber: resistência à

compressão do concreto, taxa geométrica de armadura longitudinal de tração, tensão de

escoamento das armaduras, espaçamento entre estribos, variação da base do elemento estrutural

e efeito escala;

Capítulo 6: Estão relacionados os estudos elaborados sobre os parâmetros que afetam a

ductilidade de vigas de concreto armado sujeitas à flexão simples tipo II: resistência à



e efeito escala;

Capítulo 7: Conclusões;

Capítulo 8: Propostas para trabalhos futuros;

Capítulo 9: Bibliografias consultadas para a elaboração deste trabalho.

Capítulo 2: Ductilidade de Estruturas de Concreto Armado

4

CAPÍTULO 2: DUCTILIDADE DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO

2.1 DEFINIÇÃO

A ductilidade é a medida da habilidade de um material, seção, elemento estrutural ou

sistema estrutural de sofrer deformações inelásticas nas vizinhanças de uma possível ruptura,

sem que ocorra perda substancial de sua capacidade resistente. Ela é uma importante propriedade

conferida a elementos estruturais no que diz respeito à capacidade de redistribuição de esforços

quando da ação, por exemplo, de recalques diferenciais ou sismos sobre a estrutura.

2.2 DUCTILIDADE DOS MATERIAIS 2.2.1 CONCRETO

No concreto, a ductilidade pode ser avaliada através de curvas do tipo tensão –

deformação. Pode-se citar o trabalho efetuado por Pinto Júnior (1992) onde foram realizados três

ensaios para a determinação de tais diagramas em concretos com diferentes valores de resistência

à compressão conforme ilustra a Figura 2.1 e cujos resultados encontram-se na Tabela 2.1.

Tabela 2.1 – Características dos concretos ensaiados por Pinto Júnior (1992)

Concreto fc (MPa) εcmáx (‰) A 62,5 2,10 B 82,4 1,88 C 73,9 2,16

Analisando a Figura 2.1 observam-se que concretos com resistências superiores (concreto

“B”) possuem curvas tensão – deformação mais acentuadas e lineares quando comparados à

concretos de resistências inferiores (concreto “A”). Assim, conclui-se que o concreto “A” poderá

sofrer um amplo intervalo de deformações para pequenos acréscimos de tensão, caracterizando

uma ruptura do tipo dúctil.

Em outras palavras pode-se afirmar que concretos convencionais tendem a apresentar

ductilidade superior frente aos concretos de alto desempenho. Salienta-se, no entanto, que esta

observação é plenamente válida somente para o material concreto, não podendo ser estendida

necessariamente para vigas de concreto armado convencional e de alto desempenho.


5

80

60

40

20

00 0,5 1,0 1,5 2,0

A

B

C

σ

ε

c (MPa)

c 000(

Figura 2.1 – Diagramas tensão – deformação obtidos por Pinto Júnior (1992)

2.2.2 AÇO

O aço é um material que apresenta ruptura do tipo dúctil. Esta ductilidade pode ser

avaliada através do índice de encruamento “µe” obtido através da relação entre as tensões última

“fu” e de escoamento “fy” segundo a Equação (1) aliado à deformação correspondente à tensão

última conforme ilustra a Figura 2.2.

y

ue f

f=µ (1)

f

f

σ

ε

s (MPa)

s 000(

u

y

εy uε

Figura 2.2 – Diagrama tensão – deformação do aço classe A (Gamino e Barbosa, 2002a)


6

2.3 DUCTILIDADE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

Na quantificação da ductilidade de vigas de concreto armado, podem-se definir alguns

índices que podem retratar esses valores de maneira global ou local. Esses índices podem ser

respectivamente denominados “µd” e “µc”, sendo o primeiro calculado a partir de uma curva do

tipo força – deslocamento obtida experimentalmente ou numericamente – Figura 2.3 – e o

segundo a partir de uma curva momento – curvatura obtida experimentalmente ou

numericamente – Figura 2.4.

Figura 2.3 – Curva força – deslocamento utilizada para a quantificação da ductilidade global de vigas de concreto armado (Barbosa e Gamino, 2002)

Momento

Curvaturaφy

nM

n0,75M

para εc=0,003

uM

uφ

Figura 2.4 – Curva momento – curvatura utilizada para a quantificação da ductilidade local de vigas de concreto armado (Barbosa e Gamino, 2002)

Os índices de ductilidade global “µd” e local “µc” podem ser calculados segundo as

Equações (2) e (3) respectivamente.

Força

Deslocamentoδy uδ


7

y

ud δ

δ=µ (2)

y

uc φ

φ=µ (3)

sendo “δy” e “φy” respectivamente o deslocamento e a curvatura correspondentes ao escoamento

das armaduras e “δu” e “φu” respectivamente o deslocamento e a curvatura correspondentes ao

ponto de ruptura do elemento estrutural.

O índice de ductilidade “µc” retrata localmente a deformabilidade de vigas de concreto

armado, ou seja, em nível de seção transversal. Já o índice de ductilidade “µd” retrata

globalmente esta deformabilidade.

O deslocamento “δy” pode ser obtido através do ponto de concordância gerado pela

intersecção das retas tangentes aos estágios de pós – fissuração e pós – escoamento no diagrama

força – deslocamento conforme ilustra a Figura 2.3.

A curvatura “φy” pode ser obtida através do ponto de intersecção de duas retas no

diagrama momento – curvatura: uma sendo tangente à reta formada entre o ponto de origem e o

ponto correspondente a 75% do momento nominal e a outra sendo uma reta horizontal

correspondente ao momento nominal onde ocorre a deformação de 3‰ na fibra mais

comprimida da seção transversal, segundo ilustra a Figura 2.4. A curvatura “φu” e o

deslocamento “δu” são obtidos no momento da ruptura do elemento estrutural.

2.4 FATORES QUE INFLUENCIAM A DUCTILIDADE DE VIGAS

Vários são os fatores que podem influenciar o processo de deformabilidade de vigas de

concreto armado. Para Kemp (1998) tais fatores são o grau de confinamento do concreto por

estribos, a taxa de armadura longitudinal de tração e a resistência à compressão do concreto.

Entretanto para Boukari (2000) outros parâmetros podem influenciar a capacidade de

deformação inelástica de elementos de concreto armado. São eles: o tipo de armadura (ativa ou

passiva), a presença de armadura de compressão, a tensão de escoamento das armaduras, o

espaçamento entre estribos e o efeito escala.

Pode-se então perceber que a ductilidade é afetada diretamente por grandezas de ordem

física em relação às dimensões do elemento estrutural e por grandezas de ordem mecânica no

que diz respeito aos materiais componentes da estrutura.


8

2.5 ESTADO DA ARTE

Várias são as pesquisas, de cunho experimental ou numérico, desenvolvidas por

pesquisadores de diversos países com relação à ductilidade de vigas de concreto armado sendo

que, na maioria dos casos, os estudos são realizados através de ensaios de flexão simples com

carregamento monotônico centrado no meio do vão ou com carregamentos monotônicos e

simétricos aplicados a 1/3 e 2/3 do vão.

Para facilitar a identificação das duas situações de carregamento, denominar-se-ão os

estudos de flexão simples com carregamentos simétricos aplicados a 1/3 e 2/3 do vão ou com

carregamento centrado no meio do vão respectivamente de flexão simples tipo I e tipo II.

Leslie et al. (1976) desenvolveram uma das primeiras pesquisas à respeito de ductilidade

de vigas de concreto armado. Tal estudo compreendeu ensaios de doze vigas biapoiadas de

concreto armado, com seção transversal retangular de 20cm de largura por 31cm de altura e

2,13m de vão total, onde avaliou-se a influência da taxa geométrica de armadura longitudinal de

tração “ρ” sobre a ductilidade global.

A Figura 2.5 mostra as curvas força – deslocamento obtidas nos ensaios de flexão simples

tipo I, para vigas com “ρ” variando entre 1% e 2,7%.

Percebeu-se que os deslocamentos correspondentes ao início do escoamento das

armaduras “δy” ampliaram com o aumento de “ρ” ao passo que os deslocamentos

correspondentes ao ponto de ruptura do elemento estrutural “δu” diminuíram e, desta forma, os

índices de ductilidade global “µd” sofreram decréscimos com a ampliação de “ρ”.

Esta tendência pode ser melhor observada através dos valores apresentados na Tabela 2.2.

Tabela 2.2 – Resultados obtidos por Leslie et al. (1976)

fc(MPa) ρ(%) δy(cm) δu(cm) µd 70,3 1,0 0,71 4,32 6,0 75,3 1,4 0,81 3,00 3,7 76,4 1,9 0,91 2,67 2,9 79,5 2,7 1,40 2,54 1,8

Tognon et al. (1980) realizaram uma pesquisa de cunho experimental com o intuito de

avaliar a ductilidade local de vigas de concreto armado convencional e de alto desempenho com

diferentes taxas geométricas de armadura longitudinal de tração.


9

400

300

200

100

1 2 3

Força (kN)

Deslocamento (cm)

ρ=1,0%ρ=1,4%ρ=1,9%ρ=2,7%

500

400

Figura 2.5 – Curvas força – deslocamento (modificado de Leslie et al., 1976)

Foram ensaiadas sete vigas submetidas à flexão simples tipo II com 2,0m de vão e seção

transversal de 10cm de base por 20cm de altura. A armadura longitudinal consistiu em três ou

seis barras com tensão de escoamento entre 350MPa e 400MPa.

Trabalhou-se com dois grupos de vigas com características de resistência à compressão

distintas: vigas de concreto convencional denominadas S400 com “fc” de 40MPa e vigas de

concreto de alto desempenho denominadas S1600 com “fc” de 160MPa.

Para a série S400 composta por três vigas variou-se o valor da taxa geométrica de

armadura longitudinal de tração “ρ” de 0,87% a 4,61% ao passo que a série S1600 composta por

quatro vigas variou-se “ρ” de 0,87% a 8,88%. A Figura 2.6 ilustra as curvas momento –

curvatura obtidas para a série S400 ao passo que a Figura 2.7 mostra as curvas obtidas para a

série S1600.

No tocante à capacidade de deformação inelástica das vigas ensaiadas, Tognon et al.

(1980) concluíram que os índices de ductilidade local apresentaram-se mais elevados para

porcentagens de “ρ” inferiores a 1%, indicando necessariamente que “µc” é inversamente

proporcional à taxa geométrica de armadura longitudinal de tração cuja ampliação acarretou em

um comportamento do tipo frágil por parte das vigas.

Outro fato importante que merece destaque diz respeito ao tipo de concreto utilizado.

Notam-se que as vigas subarmadas e superarmadas apresentaram uma maior ductilização à

medida que ampliou-se a resistência à compressão do concreto pois para taxas de armadura

semelhantes, vigas dotadas de “fc” superiores possuíram maior ductilidade.


10

1000

00 50

Momento (kgf.m)

Curvatura (10 m )-3

2000

3000

4000

100 150 200

ρ=0,87%ρ=1,97%ρ=4,61%

Concreto: f =40MPac

-1

Figura 2.6 – Curvas momento – curvatura obtidas para vigas de concreto convencional

(modificado de Tognon et al., 1980)

2000

00

Momento (kgf.m)

Curvatura (10 m )-3

100 200

ρ=0,87%ρ=1,97%ρ=4,61%

Concreto: f =160MPac

4000

6000

8000

10000

300-1

ρ=8,88%

Figura 2.7 – Curvas momento – curvatura obtidas para vigas de concreto de alto desempenho

(modificado de Tognon et al., 1980)

Shin et al. (1989) realizaram pesquisas a respeito da influência da resistência à compressão

do concreto e do espaçamento entre estribos sobre a ductilidade global de vigas de concreto

armado convencional e de alto desempenho. Tais vigas foram ensaiadas à flexão simples tipo II,

com carregamento centrado no meio do vão e com apoios articulados cujos valores de resistência

à compressão do concreto variaram entre 27MPa e 104MPa.


11

A Tabela 2.3 apresenta os valores de “fc”, “ρ”, “s” (espaçamento entre estribos), “ρ/ρb”

(relação entre a taxa geométrica de armadura longitudinal de tração “ρ” e a taxa geométrica de

armadura longitudinal de tração balanceada “ρb”) e “µd”.

Tabela 2.3 – Resultados dos ensaios realizados na pesquisa de Shin et al. (1989)

fc(MPa) ρ(%) s(mm) ρ/ρb µd 26,9 10,0 27,9 152 8,9 29,0 8,3 29,2

0,37 76

0,176

7,0 29,4 2,7 29,5 152 2,5 29,6 2,4 30,2

1,05 76

0,350

3,7 30,2 1,6 30,3 152 1,3 30,3 1,4 33,3

3,50 76

0,800

- 103,0 13,0 104,0 152 14,1 99,9 12,0 104,0

0,37 76

0,066

13,0 103,0 4,0 103,7 152 3,5 103,0 4,5 103,9

1,05 76

0,118

3,8 103,0 2,1 103,9 152 1,5 103,9 - 103,9

3,50 76

0,466

- 84,3 21,0 84,3 152 15,6 84,3 14,4 84,3

0,37 76

0,082

11,7 84,3 5,0 84,3 152 4,9 84,3 5,0 84,3

1,05 76

0,147

5,1 84,3 1,8 84,3 3,50 152 0,54 1,5

sendo “s” o espaçamento entre os estribos.

Shin et al. (1989) concluíram que os índices de ductilidade global sofreram acréscimos

com o aumento da resistência à compressão do concreto porém para taxas variáveis de “ρ/ρb”.


12

Notou-se que a peculiaridade de ampliação de “µd” está mais intimamente ligada com a

diminuição da relação “ρ/ρb” do que propriamente ao aumento de “fc”.

Sabe-se que a diminuição do espaçamento entre estribos causa efeitos positivos na

ductilidade de vigas de concreto armado por proporcionar um maior confinamento do concreto e

por ampliar ligeiramente o intervalo de deslocamentos após o escoamento das armaduras em

forças próximas à força última da estrutura, porém, na pesquisa desenvolvida por Shin et al.

(1989) este efeito não mostrou-se muito significativo.

A fim de analisar a influência das armaduras de compressão e do espaçamento entre

estribos sobre a ductilidade global de vigas de alto desempenho, Pastor et al. (1984), cuja

pesquisa é mencionada na norma ACI 363R-92, realizaram ensaios de flexão simples tipo I, em

doze vigas biapoiadas com concretos convencionais e de alto desempenho.

As vigas da série “A” foram executadas omitindo-se os estribos e armaduras de

compressão, com “fc” variando entre 26MPa a 64MPa.

As vigas da série “B” foram executadas com área da seção transversal da armadura

longitudinal de compressão “A’s” variando entre “0,5.As” e “1,0.As”, espaçamento entre estribos

variando entre 75mm e 300mm e “fc” da ordem 59MPa.

Os resultados desses ensaios encontram-se listados na Tabela 2.4.

Tabela 2.4 – Resultados obtidos por Pastor et al. (1984)

Série A Série B Viga fc(MPa) ρ/ρb µd Viga fc(MPa) ρ/ρb A’s/As s(mm) µd A1 26 0,51 3,54 B1 59 0,57 0,5 300 2,36 A2 45 0,52 2,84 B2 59 0,55 1,0 300 2,64 A3 59 0,29 2,53 B3 59 0,57 0,5 150 4,88 A4 59 0,64 1,75 B4 58 0,59 1,0 150 8,32 A5 64 0,87 1,14 B5 59 0,56 0,5 75 5,61 A6 60 1,11 1,07 B6 58 0,58 1,0 75 6,14

Observando-se as vigas A1 e A2 ensaiadas, notou-se que uma vez mantida constante a

relação “ρ/ρb” da ordem de 0,52 e aumentando-se “fc” de 26MPa para 45 MPa o índice de

ductilidade global “µd” sofreu um decréscimo de 3,54 para 2,84. Logo, concluiu-se que para

taxas constantes de “ρ/ρb” o aumento da resistência do concreto ocasionou diminuição nos

índices de ductilidade global.

Nas vigas A3, A4, A5 e A6 percebeu-se que acréscimos na relação “ρ/ρb” proporcionam

uma diminuição em “µd” onde esta linha de tendência também é observada na pesquisa de Shin

et al. (1989).


13

As vigas B1 e B2 apresentaram valores de “µd” superiores, porém não muito

significativos, comparados com a viga A4, mostrando-se como benéfico o efeito dos estribos

sobre a ductilidade.

Comparando-se as vigas B1 e B2 com as vigas B3 e B4 concluiu-se que a diminuição do

espaçamento entre estribos de 300mm para 150mm ocasionou uma ampliação significativa nos

índices de ductilidade global. Comparando-se as vigas B3 e B4 com as vigas B5 e B6 concluiu-

se que a diminuição do espaçamento entre estribos de 150mm para 75mm não provocou um

aumento significativo em “µd”.

Analisando os efeitos da armadura de compressão notou-se que para as vigas B1, B2, B5 e

B6 o aumento da seção transversal da armadura longitudinal de compressão proporcionou um

aumento muito significativo em “µd”. Já para as vigas B3 e B4 percebeu-se com evidência o

acréscimo no índice de ductilidade global com o aumento de “A’s”.

Farage (1995) realizou uma pesquisa com a finalidade de avaliar a influência da resistência

à compressão do concreto na ductilidade global e local de vigas de concreto armado.

O programa experimental compreendeu ensaios de onze vigas biapoiadas de concreto

armado, com 5,15m de vão e seção transversal de 15cm de base por 45cm de altura, sujeitas à

flexão simples tipo I, com três níveis de “fc”, – convencional, intermediária e alta – para

diferentes relações de “ρ/ρb”.

Para toda a armadura das vigas utilizou-se o aço CA-50A. As características geométricas

das vigas e o tipo de carregamento foram mantidos constantes e os resultados obtidos encontram-

se na Tabela 2.5.

Tabela 2.5 – Resultados obtidos por Farage (1995)

Série Viga fc(MPa) ρ/ρb µc µd V-1A 41,8 7,45 7,73 V-2A 65,5 - 6,28

VA

V-3A 89,5

0,15

5,59 5,08 V-1R 45,6 - 4,99 V-2R 66,3 5,99 4,58

VI

V-2 62,5

0,27

1,76 2,33 V-1 28,3 4,70 3,13 VII V-3 83,1 0,37 1,81 1,28

V-1B 33,7 3,31 2,33 V-2B 66,9 - 2,10

VB

V-3B 80,0

0,47

2,19 1,32

Observam-se as mesmas linhas de tendência verificadas em outros trabalhos. Para taxas

constantes de “ρ/ρb” acréscimos de “fc” provocaram decréscimos nos índices de ductilidade


14

global e local. Comparando-se as séries “VA” e “VB” percebeu-se a influência significativa da

relação “ρ/ρb” sobre os índices “µc” e “µd”.

Ashour (2000) realizou uma pesquisa com o intuito de avaliar a influência da taxa de

armadura longitudinal de tração sobre a ductilidade de vigas de concreto armado.

O programa experimental compreendeu o ensaio de nove vigas biapoiadas em ensaio de

flexão simples tipo I, com vão de 3,40m e seção transversal de 20cm de base por 25cm de altura,

“fc” variando entre 49MPa e 102MPa e “ρ” variando entre 1,18% e 2,37%, cujos resultados

alcançados encontram-se dispostos na Tabela 2.6. A tensão de escoamento das armaduras

utilizadas foi de 530MPa.

Tabela 2.6 – Dados obtidos por Ashour (2000)

Vigas fc(MPa) ρ(%) µd B-N2 48,61 1,18 3,39 B-N3 48,61 1,77 3,88 B-N4 48,61 2,37 3,71 B-M2 78,50 1,18 2,50 B-M3 78,50 1,77 2,70 B-M4 78,50 2,37 2,43 B-H2 102,40 1,18 1,49 B-H3 102,40 1,77 1,84 B-H4 102,40 2,37 1,81

Para todos os grupos de vigas com resistência à compressão do concreto iguais, percebeu-

se um aumento não muito significativo nos índices de ductilidade global para as taxas de

armadura variando de 1,18% para 1,77%, ao passo que ocorreram decréscimos em “µd” para

taxas de armadura variando de 1,77% para 2,37%.

Nilson apud Pinto Júnior (1992) realizou uma pesquisa com o intuito de quantificar os

índices de ductilidade local “µc” em vigas de concreto armado convencional e de alto

desempenho.

Foram realizados ensaios de flexão simples tipo II em vigas biapoiadas cujo valor da

resistência à compressão do concreto variou entre 27,5MPa a 68,9MPa.

Chegou-se à conclusão que vigas confeccionadas com concretos de resistência mais

elevada possuíram maior ductilidade, retratada pelos índices de ductilidade local, em relação às

que utilizaram concretos de resistência mais baixa conforme ilustra a Figura 2.8.

Tholen e Darwin (1998) realizaram um estudo a respeito da influência da taxa geométrica

de armadura longitudinal de tração “ρ” e do espaçamento entre as mossas nas barras de aço sobre

a ductilidade global e local de vigas de concreto armado.


15

µ

ρ

c

b

10

8

6

4

2

00,25 0,50 0,75 1,0

ρ/

Viga com f =68,9MPac

Viga com f =27,5MPac

Figura 2.8 – Índices de ductilidade local em função da relação entre taxas de armadura

(modificado de Nilson apud Pinto Júnior, 1992)

A característica de espaçamento entre nervuras foi descrita segundo o parâmetro “Rr” que

descrevia a área relativa entre mossas nas armaduras, cujo valor da tensão de escoamento foi de

538MPa.

Foram ensaiadas quatro vigas de concreto armado biapoiadas, sujeitas à flexão simples

tipo II.

Tais vigas possuíam 4,06m de comprimento e seção transversal com 30,5cm de base e

40,6cm de altura. Para a armadura longitudinal de tração, foram utilizadas as barras 8N3 (mossas

mais próximas e “Rr” mais elevado) e 8N0 (mossas mais separadas e “Rr” menor) conforme

ilustra a Figura 2.9.

Figura 2.9 – Barras de aço utilizadas nos ensaios (modificado de Tholen e Darwin, 1998)

As vigas foram ensaiadas com tais barras, variando-se a taxa geométrica de armadura

longitudinal de tração cujas curvas força – deslocamento e momento – curvatura obtidas estão

ilustradas respectivamente nas Figuras 2.10 e 2.11.

Tholen e Darwin (1998) concluíram que o aumento de “Rr” não afetou a ductilidade

global ou local das vigas, como também não afetou a distribuição de fissuras no banzo

tracionado.

Barra 8N3

Barra 8N0

φ=25mm R =0,119r

R =0,06925mmφ= r


16

44,5

25,4

ρ/ =0,43

89,0

133,5

178,0

222,5

267,0

050,8 76,2 101,6 127,00

Deslocamento (mm)

Força (kN)

Duas Barras N 8o

R =0,069R =0,119

b

rr

ρ

Força (kN)

0

44,5

0

89,0

178,0

133,5

222,5

267,0

R =0,119R =0,069

Duas Barras N 8

50,825,4 101,676,2

rr

ρ/ =0,68b

ρ

Deslocamento (mm)127,0

o

Figura 2.10 – Curvas força – deslocamento (modificado de Tholen e Darwin, 1998)

ρ/ =0,43Momento (kN.m)

Três Barras N 8o

R =0,069R =0,119

b

rr

ρ

67,8

0,015

135,6

203,4

271,3

Curvatura (rad)0,030 0,045 0,060

00

0 0,015 0,030 0,0600,0450

67,8

135,6

271,3

203,4

Momento (kN.m) ρ/ =0,68

Três Barras N 8

R =0,119R =0,069

rr

ρb

o

Curvatura (rad)

Figura 2.11 – Curvas momento – curvatura (modificado de Tholen e Darwin, 1998)


17

Nota-se também a partir das Figuras 2.10 e 2.11 que as vigas que possuíam maior relação

“ρ/ρb” sofreram uma diminuição na ductilidade global e local.

Mo e Lai (1995) avaliaram a influência do processo de moldagem e abatimento do

concreto empregado em vigas de concreto com armadura passiva.

Tais vigas possuíam 3,84m de comprimento e seção transversal retangular de 30cm de

base por 50cm de altura.

Estudaram-se um total de nove vigas divididas em três agrupamentos:

No grupo “X” as vigas foram totalmente concretadas de uma só vez com concreto de

abatimento de 180mm;

No grupo “Y” as vigas foram concretadas parcialmente até a altura de 360mm no

primeiro dia e até a altura de 500mm no segundo dia com concreto de abatimento de 180mm;

No grupo “Z” a concretagem procedeu-se analogamente ao grupo “Y”, porém com

concreto de abatimento igual a 145mm.

Todas as vigas (biapoiadas) foram submetidas a um ensaio de flexão simples tipo II, sendo

que os resultados obtidos encontram-se na Tabela 2.7.

Tabela 2.7 – Resultados obtidos por Mo e Lai (1995)

Vigas fc(MPa) Abatimento(mm) µd µd médio XI-1 34 180 11,90 XI-2 34 180 17,36 XI-3 34 180 13,73

14,33

YII-1 34 180 18,15 YII-2 34 180 19,23 YII-3 34 180 19,53

18,97

ZII-1 34 145 12,55 ZII-2 34 145 14,42 ZII-3 34 145 14,63

13,87

Tais valores permitiram concluir que o processo de moldagem influi na ductilidade global

(séries “X” e “Y”), onde vigas concretadas de uma só vez tenderam possuir maior ductilidade em

relação à vigas concretadas em etapas. Observou-se também que a ductilidade diminuiu com a

diminuição do abatimento (séries “Y” e “Z”).

Naaman et al. (1986) desenvolveram uma pesquisa que compreendia um estudo teórico e

experimental a respeito da ductilidade local de vigas de concreto com protensão.

Estudaram-se a influência da resistência à compressão do concreto, da geometria da seção

transversal, das tensões nas armaduras ativa e passiva, do nível de protensão parcial “γpp”

definido segundo a Equação (4) e da taxa de armadura mista “ω” definido pela Equação (5).


18

sspsps

pspspp f.Af.A

f.A+

=γ (4)

sendo que “Aps” representa a área da armadura ativa, “fps” representa a tensão na armadura ativa

na ocorrência do máximo momento nominal, “As” representa a área da armadura passiva e “fs”

representa a tensão na armadura passiva na ocorrência do máximo momento nominal.

c

's

'ssspsps

f.D.bf.Af.Af.A −+

=ω (5)

sendo que “A’s” representa a área da armadura passiva de compressão, “f’s” representa a tensão

na armadura passiva de compressão na ocorrência do máximo momento nominal, “b” representa

a largura da seção transversal e “fc” representa a resistência à compressão do concreto.

A grandeza “D” apresentada na Equação (5), que diz respeito a altura efetiva total da peça

em relação às armaduras ativa e passiva, foi calculada segundo a Equação (6).

sppppp d).1(d.D γ−+γ= (6)sendo “dp” a altura efetiva em relação à armadura ativa e “ds” a altura efetiva em relação à

armadura passiva.

As Figuras 2.12 e 2.13 mostram respectivamente a evolução da ductilidade local em

função da taxa de armadura mista e a evolução da ductilidade local em função da resistência à

compressão do concreto.

A partir da Figura 2.12 pôde-se concluir que a diminuição do nível de protensão efetiva

“fpe” ocasionou efeitos negativos sobre a ductilidade local das vigas e que a diminuição do nível

de protensão parcial “γpp” provocou uma ampliação nos índices de ductilidade, porém não

significativamente. Percebeu-se também que o aumento da taxa de armadura mista “ω” acarretou

em uma diminuição da ductilidade local.

Com relação ao estudo dos efeitos da resistência à compressão do concreto, notou-se a

partir da Figura 2.13 que a variação de “fc” não implicou em variações nas taxas de ductilidade

principalmente para valores de “ω” mais elevados, sendo esta influência mais pronunciada em

vigas com “γpp” menor.

Pendyala et al. (1996) realizaram uma pesquisa com o intuito de avaliar a influência da

resistência à compressão do concreto sobre a ductilidade local de vigas de concreto armado.

O programa experimental compreendeu o ensaio de onze vigas biapoiadas, com seção

transversal de 8cm de base por 16cm de altura, cuja resistência à compressão do concreto variou

entre 55MPa e 79MPa. As armaduras longitudinais de tração e compressão possuíam tensão de

escoamento de 420MPa ao passo que as armaduras de cisalhamento possuíam tensão de

escoamento de 370MPa.


19

25

20

15

10

5

00,300,250,200,150,100,050,00

φ / φu y

ω

γ = 1pp

f = 414MPay

cf = 34,5MPa

f = 0,60pe f pu

f f = 0,45pe pu

pe f f = 0,30 pu

f f = 0,15pe pu

f = 0,00pe

yuφ / φ

25

20

15

5

10

0,000

0,05 0,150,10 0,20 0,25 0,30ω

γ = 0,7

f = 34,5MPaf = 414MPay

c

pp

f f f

f = 0,30pe

f = 0,00pe

f = 0,45f = 0,60pe

pe

pu

pu

pu

Figura 2.12 – Curvas de evolução da ductilidade local em relação a “fpe”, “γpp” e “ω”

(modificado de Naaman et al., 1986)

25

0,000

5

10

20

15

yφ / φu

0,200,100,05 0,15 0,25 0,30ω

f = 1863MPaf = 414MPa

f = 34,5MPaf = 48,3MPa

f = 75,9MPaf = 89,7MPa

f = 62,1MPa

γ = 1

c

c

c

c

pu

y

pp

c

yu

0,000

10

5

15

20

25

φ / φ

0,250,05 0,150,10 0,20ω

0,30

f = 414MPay

f = 62,1MPac

f = 89,7MPaf = 75,9MPa

c

c

f = 48,3MPaf = 34,5MPa

c

c

f = 1863MPapγ = 0p

pu

Figura 2.13 – Curvas de evolução da ductilidade local em relação a “fc”, “γpp” e “ω”

(modificado de Naaman et al., 1986)


20

Os resultados obtidos encontram-se na Tabela 2.8 sendo que os dados foram organizados

da seguinte maneira: a primeira letra referente ao nome das vigas representa o tipo de

carregamento e vão total utilizados;

A: força concentrada no meio do vão; comprimento total da viga de 1,26m.

B: força concentrada no meio do vão; comprimento total da viga de 1,00m.

C: força concentrada no meio do vão; comprimento total da viga de 1,50m.

D: força concentrada dupla, com distância entre as mesmas de 45cm; comprimento total da

viga de 1,50m.

Os três números posteriores representam respectivamente a quantidade de barras utilizadas

no banzo tracionado, comprimido e o espaçamento entre estribos.

Tabela 2.8 – Resultados obtidos por Pendyala et al. (1996)

Viga fc(MPa) µc A3-2/50 58 33 A3-2/75 58 25 A4-2/50 55 12 A4-2/75 55 13 A4-2/150 78 - A4-3/150 74 5 B4-2/75 79 7 A4-0/75 78 6 A4-2/30 66 32 C4-2/75 65 8 D4-2/75 65 17

Pendyala et al. (1996) concluíram que vigas confeccionadas com concreto de alto

desempenho apresentaram maior ductilidade frente à vigas de concreto armado convencional

para taxas de armadura longitudinal de tração semelhantes conforme comentado anteriormente

na pesquisa de Tognon et al. (1980).

Pode-se observar também a influência positiva sobre a ductilidade da utilização de um

menor espaçamento entre estribos (vigas A3-2/50 e A3-2/75).

Vale ainda ressaltar que o aumento da quantidade de barras para a armadura longitudinal

de tração acarretou em uma diminuição na ductilidade local das vigas estudadas (vigas A3-2/50 e

A4-2/50).

Borges (2002) analisou a influência do efeito escala sobre a ductilidade global em vigas de

concreto armado sujeitas à flexão simples tipo I por meio da ampliação da esbeltez da região de

momento constante. Foram ensaiadas onze vigas variando-se o vão (séries S, M e L) e a taxa


21

geométrica de armadura longitudinal de tração, trabalhando-se com vigas subarmadas (série LR)

e superarmadas (série HR).

A Tabela 2.9 ilustra as características das vigas em questão utilizadas nos ensaios de

flexão simples tipo I.

Tabela 2.9 – Características físicas das vigas ensaiadas por Borges (2002)

Dimensões(mm) Taxas de Armadura Viga b h d a L ρ(%) ρ/ρb HR-L1 100 200 125,2 650 2000 6,67 0,96 HR-L2 100 200 125,2 650 2000 6,67 0,96 HR-M1 100 200 125,2 650 1800 6,67 0,96 HR-M2 100 200 125,2 650 1800 6,67 0,96 HR-S2 100 200 125,2 650 1600 6,67 0,96 LR-L1 100 200 172,3 650 2000 1,42 0,21 LR-L2 100 200 172,3 650 2000 1,42 0,21 LR-M1 100 200 172,3 650 1800 1,42 0,21 LR-M2 100 200 172,3 650 1800 1,42 0,21 LR-S1 100 200 172,3 650 1600 1,42 0,21 LR-S2 100 200 172,3 650 1600 1,42 0,21

sendo “b” a base, “h” a altura, “d” a altura útil, “a” a distância do apoio ao ponto de aplicação da

força e “L” o vão. Em todas as vigas utilizaram-se concreto com resistência à compressão de

107,5MPa e aço do tipo CA-50A.

A Tabela 2.10 mostra os resultados obtidos nos ensaios.

Tabela 2.10 – Resultados obtidos por Borges (2002)

Viga δy(mm) δu(mm) δ80(mm) µLR µHR HR-L1 19,58 - 26,65 - 1,361 HR-L2 15,74 - 18,90 - 1,201 HR-M1 12,52 - 17,87 - 1,427 HR-M2 12,05 - 17,04 - 1,414 HR-S2 10,54 - 15,10 - 1,433 LR-L1 11,86 30,29 - 2,554 - LR-L2 12,24 30,04 - 2,454 - LR-M1 8,65 - - - - LR-M2 9,60 27,83 - 2,899 - LR-S1 8,60 30,58 - 3,556 - LR-S2 7,88 24,85 - 3,154 -

sendo “δ80” o deslocamento correspondente à 80% da força de ruína.

A partir dos resultados obtidos, Borges (2002) concluiu que a diminuição da esbeltez da

região de momento constante provocou acréscimos nos índices de ductilidade global.


22

2.6 NORMAS RELACIONADAS À DUCTILIDADE

A norma CEB – FIP MC 90 recomenda a utilização de limites para a relação “x/d”, uma

vez que “x” diz respeito à altura da linha neutra e “d” representa a altura útil ou efetiva da peça,

para que seja alcançada ductilidade suficiente para vigas de concreto armado. Tais limites são:

Aço classe A ( 08,1ff

yk

stk ≥ e %5uk ≥ε )

Aço classe S ( 15,1ff

yk

stk ≥ e %6uk ≥ε )

Concreto das classes C12 a C35: 45,0d/x ≤


Aço classe B ( 05,1ff

yk

stk ≥ e %5,2uk ≥ε )


Quando for realizado a redistribuição de momentos fletores, devem-se adotar algumas

relações entre o coeficiente de redistribuição “δ” e a relação “x/d”:

Para aços das classes A e S:

Concreto das classes C12 a C35: d/x25,144,0 +≥δ


Para aços da classe B:


A norma impõe alguns limites para “δ”:

Para aços das classes A e S:

00,175,0 ≤δ≤ para vigas contínuas e pórticos não deslocáveis

00,190,0 ≤δ≤ para pórticos deslocáveis

Para aços da classe B:

00,190,0 ≤δ≤ para qualquer caso

Também é dito que podem-se obter índices de ductilidade superiores utilizando-se estribos

e que a relação “x/d” pode ser diminuída através da armadura de compressão.


23

A norma ACI 363 R92 menciona a pesquisa de Pastor et al. (1984) que analisaram a

influência das armaduras de compressão e do espaçamento entre estribos sobre a ductilidade

global de vigas de alta resistência cujos resultados já foram apresentados e comentados

anteriormente.

A mesma norma indica um valor máximo da armadura longitudinal de tração igual a 75%

da taxa de armadura balanceada para que se garanta uma ruptura dúctil.

A norma Eurocode 2 apresenta as características mecânicas dos aços para estruturas de

concreto armado a saber:

Aço de ductilidade alta ( 08,1ff

yk

tk > e %5uk >ε )

Aço de ductilidade normal ( 05,1ff

yk

tk > e %5,2uk >ε )

Para garantir uma ruptura dúctil em vigas de concreto armado, a norma restringe a relação

“x/d” em função da tensão de escoamento de cálculo da armadura utilizada:

Ruptura dúctil: 1

700f

1dx

yd +≤

A norma Eurocode 2 ainda prevê limites para “x/d” caso seja feita redistribuição de

esforços, segundo a resistência à compressão do concreto:

Para MPa35f cu ≤ 25,1

)44,0(dx

lim

−δ=

Para MPa35f cu > 25,1

)56,0(dx

lim

−δ=

O projeto de revisão da norma NBR 6118:2001, que está em processo de consulta pública,

indica alguns critérios de ductilidade em vigas.

É dito que principalmente nas regiões de apoio das vigas ou de vinculações com outros

elementos estruturais, quando não for feito redistribuição de esforços solicitantes, devem-se

obedecer aos seguintes limites para a relação “x/d” a saber:

Concreto com MPa35f ck ≤ : 50,0d/x ≤

Concreto com MPa35f ck > : 40,0d/x ≤


24

É também colocado que quando for realizada a redistribuição de esforços efetuando-se

uma redução no momento fletor em uma seção qualquer, a relação entre o coeficiente de

redistribuição “δ” e a relação “x/d” será dada por:

d/x25,144,0 +≥δ para concretos com MPa35f ck ≤

d/x25,156,0 +≥δ para concretos com MPa35f ck >

O coeficiente de redistribuição deverá obedecer aos seguintes limites:

90,0≥δ para estruturas com nós móveis

75,0≥δ para os demais casos

Capítulo 3: Análise Numérica de Estruturas de Concreto Armado

25

CAPÍTULO 3: ANÁLISE NUMÉRICA DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 3.1 REOLOGIA

A reologia pode ser definida como sendo o estudo de relações constitutivas entre tensões,

deformações e o tempo. Segundo Zagottis (1986) a macro reologia é o ramo da reologia que

interessa à engenharia de estruturas. Nela procuram-se retratar as equações constitutivas para

cada material, não levando em consideração os fenômenos físico-químicos que ocorrem no

interior da matéria.

Vários são os modelos reológicos desenvolvidos, fundamentados na teoria da plasticidade,

a fim de analisar o processo fenomenológico tensão – deformação para os diversos materiais

existentes.

O modelo reológico mais simples é o elástico linear. Ele é representado através de uma

mola cuja rigidez é equivalente ao módulo de elasticidade longitudinal do material sendo válidas

as quinze equações da formulação geral da teoria da elasticidade linear, sendo três equações

gerais de equilíbrio (Equação 7), seis equações das relações deformação – deslocamento e

distorção – deslocamento (Equação 8) e seis equações das relações tensão – deformação obtidas

pela lei de Hooke denominadas relações constitutivas (Equação 9).

0fx

0fx

yz

yz

y

yyx

xz

xz

y

xyx

=+∂

τ∂+

∂

σ∂+

∂

τ∂

=+∂τ∂

+∂

τ∂+

∂σ∂

0fx z

z

z

y

zyzx =+∂σ∂

+∂

τ∂+

∂τ∂

(7)

zzyx

w,yv,

xu

∂∂

=ε∂∂

=ε∂∂

=ε

yw

zv,

xw

zu,

xv

yu

yzxzxy ∂∂

+∂∂

=γ∂∂

+∂∂

=γ∂∂

+∂∂

=γ (8)

( )( ) ( )( ) ( )( )yxzzzxyyzyxx E1,

E1,

E1

σ+συ−σ=εσ+συ−σ=εσ+συ−σ=ε

yzyzxzxzxyxy G1,

G1,

G1

τ=γτ=γτ=γ (9)

sendo “σ” as tensões normais, “τ” as tensões de cisalhamento, “f” as forças que atuam em um

ponto genérico de um corpo, “ε” as deformações longitudinais, “u”, “v”, “w” os deslocamentos


26

nas direções “x”, “y” e “z” respectivamente, “γ” as distorções, “υ” o coeficiente de Poison, “E” e

“G” respectivamente os módulos de elasticidade longitudinal e transversal.

É importante observar que o fenômeno da elasticidade não está vinculado à relação linear

entre tensão – deformação, podendo o material assumir um comportamento elástico não linear.

Neste caso não é mais válida a relação entre tensão e deformação proposta por Hooke

conforme a Equação (10), podendo-se representar genericamente a tensão normal “σ” como uma

função não linear das deformações longitudinais “ε” segundo a Equação (11).

ε=σ E (10)

( )εσ=σ (11)sendo “E” o módulo de elasticidade longitudinal do material.

3.1.1 MODELOS REOLÓGICOS SEGUNDO A TEORIA DA PLASTICIDADE

O modelo elastoplástico perfeito pode ser representado por um corpo associado em série

com uma mola de rigidez igual ao módulo de elasticidade longitudinal do material que desliza

sobre uma superfície, onde a força de atrito entre o corpo e a superfície será a tensão de

escoamento do material conforme ilustra a Figura 3.1.

Tensão

Deformação εp

yσ

ε

Eσ

yσ

E

1

Figura 3.1 – Modelo reológico elastoplástico perfeito (modificado de Proença, 1988)

Pode-se observar a partir da Figura 3.1 que para todo campo de tensão normal “σ” cujo

módulo seja inferior à tensão de escoamento “σy”, o correspondente campo de deformação “ε”

será igual à deformação elástica “εe” que pode ser obtida através da Equação (10).


27

Por outro lado, se o módulo de “σ” for maior que “σy” então a deformação correspondente

“ε” será a soma entre a deformação elástica “εe” e a deformação plástica “εp”.

O modelo reológico rígido com encruamento linear pode ser representado conforme ilustra

a Figura 3.2 por um corpo associado em paralelo com uma mola de rigidez “H” que representa o

parâmetro de endurecimento do material.

Tensão

Deformação

oσ

Hσ

H

σ

σo

1

Figura 3.2 – Modelo reológico rígido com encruamento linear (modificado de Proença, 1988)

Neste caso, as deformações no corpo e na mola serão iguais e a tensão total será igual à

soma das tensões que ocorrem em cada elemento.

Tais deformações serão de natureza plástica “εp” e ocorrerão somente quando a tensão

total “σ” exceder o valor da tensão crítica “σo”. O parâmetro de encruamento “H” será dado

segundo a Equação (12).

( )p

oHε

σ−σ= (12)

O modelo reológico bilinear pode ser representado por um corpo associado em paralelo

com uma mola e a esta associação ser vinculada uma outra mola em série conforme a Figura 3.3.

Neste caso, para valores de “σ” inferiores a “σo” a deformação total “ε” correspondente

será igual a “εe” conforme a Equação (13) e para valores de “σ” superiores a “σo” a deformação

total será a soma entre as deformações elásticas “εe” e plásticas “εp” segundo a Equação (14).


28

para oσ<σ eε=ε

Eσ

=ε (13)

para oσ>σ pe ε+ε=ε

( )HE

oσ−σ+

σ=ε

(14)

Tensão

Deformação

oσ

Hσ

E

σ

σo

E

E

σ

εp ε

α

1

1

Figura 3.3 – Modelo reológico bilinear (modificado de Proença, 1988)

Conforme visto, vários são os modelos que permitem retratar a reologia dos materiais,

cabendo adotar o modelo que melhor se adequa ao material em que se deseja efetuar simulações

numéricas.

Os modelos reológicos aqui citados são baseados na teoria da plasticidade que fora

inicialmente desenvolvida para a análise estrutural do material aço, portanto podem retratar

satisfatoriamente a evolução tensão – deformação para este tipo de material.

Para o concreto, existem modelos reológicos mais específicos que serão apresentados a

seguir.

3.1.2 MODELOS REOLÓGICOS DO CONCRETO

Os modelos reológicos existentes para retratar o processo comportamental do material

concreto são: os modelos elásticos não lineares, os modelos incrementais, os modelos

elastoplásticos, os modelos de ruptura e os modelos de dano.


29

Existem três leis de aproximação aos modelos elásticos não lineares. São elas: as leis

hiperelásticas, as leis hipoelásticas e as leis elásticas com ruína.

As leis hiperelásticas são aquelas onde as tensões e deformações totais são expressas em

função dos módulos secantes “Ks” e “Gs” que introduzem o efeito de não linearidade física do

material. Dentro deste campo, pode-se citar o modelo isotrópico de Ottosen que é representado

em função de tensões e deformações octaédricas, expressas pela Equação (15).

octsoct K3 ε=σ

octsoct G3 γ=τ (15)

As leis hipoelásticas utilizam o conceito de deformação uniaxial equivalente “εiu” segundo

a Equação (16). Tais expressões traduzem os valores máximos de tensão e deformação, daí

utilizarem os critérios de ruptura.

i

kj

iiu

1σ

σ+συ−

ε=ε

(16)

sendo “εi” a deformação principal na direção “i”, “σi”, “σj” e “σk” as tensões principais nas

direções “i”, “j” e “k” respectivamente e “υ” o coeficiente de Poison.

Uma relação entre as tensões e deformações uniaxiais foi desenvolvida por Saenz apud

Merabet (1990) conforme a Equação (17).

2

ic

iu

ic

iuo

iuoi

2E

E1

E

εε

+

εε

−+

ε=σ

(17)

sendo “σi” a tensão principal na direção “i”, “Eo” o módulo de elasticidade longitudinal inicial,

“εic” e “σic” respectivamente as deformações e tensões máximas.

O módulo de elasticidade longitudinal descrito pelo parâmetro “E” é calculado segundo a

Equação (18).

ic

icEεσ

= (18)

As leis hipoelásticas utilizam modelos elastoplásticos e não são dissociadas das etapas de

carregamento e descarregamento. Normalmente este tipo de lei é utilizada para simular estruturas

submetidas à carregamentos cíclicos e não monotônicos.

Nos modelos incrementais, a lei comportamental desenvolve-se em função de uma

formulação variacional cinemática entre deformação e tensão. Desta forma, alguns autores como

Torrenti apud Barbosa (1992) propuseram uma lei incremental não linear de 2a ordem, escrita

conforme a Equação (19).


30

σσ

+σ=εd

BdAdd2

(19)

sendo “A” e “B” os tensores de 2a ordem, com dependência do estado de tensões no passo atual.

Os modelos elastoplásticos são modelos combinados que procuram retratar o

comportamento de um dado material quando solicitado, definindo dois trechos distintos na curva

tensão – deformação, um elástico e outro plástico, ocorrendo portanto deformações elásticas e

inelásticas (residuais).

Várias teorias foram concebidas por diversos pesquisadores tais como Tresca, von Mises,

Mohr-Coulomb, Drucker-Prager, entre outros, que desenvolveram analiticamente superfícies de

plastificação que procuram delimitar através de uma fronteira os regimes elástico e plástico.

Segundo Medrano (2000) o critério de Drucker-Prager foi formulado em 1952 e pode ser

visto como uma simples modificação do critério de von Mises, incluindo-se a influência da

pressão hidrostática , representado pela seguinte equação:

( ) 0kJIf dp21 =−+α=σ (20)

sendo “α” e “kdp” as constantes do material, “I1” e “J2” os invariantes que dependem das tensões

normais que agem sobre um corpo.

A Figura 3.4 mostra representação do critério de Ducker-Prager na seção anti-esférica e a

Figura 3.5 mostra a representação do critério na seção meridiana.

De uma outra maneira o critério de elastoplasticidade de Drucker-Prager pode ser expresso

em função de uma inequação que correlaciona os invariantes correspondentes às tensões

principais que ocorrem no material e sua resistência à compressão segundo a Equação (21).

c12 fAIJ3 ≤+

3211I σ+σ+σ=

( ) ( ) ( )[ ]213

232

2212 6/1J σ−σ+σ−σ+σ−σ=

(21)

sendo “I1” e “J2” os invariantes, “σ1”, “σ2” e “σ3” as tensões principais e “fc” a tensão de ruptura

do concreto em compressão simples.

A Figura 3.6 traz a representação gráfica da superfície de plasticidade no plano σ1-σ2 onde

“ft” é a tensão limite de tração, “fc” é a tensão limite de compressão e “fbc” é a tensão limite de

bicompressão.


31

0

1σ

2σ σ3

π3

'

'

'

Figura 3.4 – Representação do critério de Drucker-Prager no plano desviador (Medrano, 2000)

Figura 3.5 – Representação do critério de Drucker-Prager na seção meridiana (Medrano, 2000) σ

σ

tf

1

2ft

f bc

bcf

cf

f c

Figura 3.6 – Superfície de plastificação segundo o critério de Drucker-Prager (Gamino e

Barbosa, 2002a)

00

(2J )

I

20,5

1

(2) k0,5dp

kdpα


32

Nos modelos de ruptura procura-se retratar a evolução da fissuração em um corpo sólido,

estabelecendo superfícies de ruptura segundo a teoria clássica da mecânica da fratura. Merecem

destaque neste campo as superfícies de ruína de Rankine, Mohr-Coulomb, Chen-Chen, Willam-

Warnke, entre outros. O modelo de Chen-Chen, por exemplo, é definido por duas superfícies de

ruptura sendo uma em tração biaxial segundo a Equação (22) e outra em compressão biaxial

conforme a Equação (23), cujas funções de tensão são expressas em função dos invariantes “I1”

e “J2”.

( ) 0IA31I

61JF 2

u1u2

12u =τ−+−=σ (22)

( ) 0IA31JF 2

u'

1u'

2u =τ−+=σ (23)

onde “A’u”, “τ’u”, “Au” e “τu” são constantes características do material e funções das tensões

limites de tração, compressão e bicompressão.

A Figura 3.7 mostra a representação da superfície de ruptura de Chen-Chen no plano σ1-σ2

Figura 3.7 – Superfície de ruptura de Chen-Chen (modificado de Proença, 1988)

Os modelos de dano são caracterizados pela existência de variáveis explícitas que afetam

diretamente a integridade do material. Pode-se citar a pesquisa de Mazars apud Barbosa (1992),

que desenvolveu um modelo de dano caracterizado por um operador escalar “D*” que modifica

diretamente a rigidez do material conforme a Equação (24).

( )ε−=σ *D1E (24)O parâmetro “D*” é dependente de uma parcela de compressão “D*

c” e outra de tração

“D*t” segundo a Equação (25).

( ) *c

**t

* D1DD ββ α−+α= (25)

σ /

σ /

2

1

f c

f c1,0

1,0


33

O parâmetro “β” permite representar o processo de cisalhamento em vigas de concreto

armado, cujo valor é geralmente adotado da ordem de 1,05. O escalar “α*” é compreendido entre

0 e 1.

3.2 COMPORTAMENTO DO CONCRETO SOB AÇÕES DE BICOMPRESSÃO

O concreto quando solicitado por ações biaxiais de compressão apresenta um aumento

considerável de sua resistência à compressão. Segundo Proença (1988) e Buchaim (2001) esta

ampliação se processa da ordem de 25% quando aplica-se uma tensão de confinamento “σ2”

igual à metade do valor da tensão principal “σ1” ao passo que ocorre um acréscimo de 16%

quando aplica-se uma tensão de confinamento igual à tensão principal, conforme ilustra a Figura

3.8.

1,2

00 1,0 2,0 3,0

σ

ε

1 / f

c 000(

c

1,0

1σ = 0; σ = 0;2σ /2 σ = 1,01

2σ /σ = 0,51

f =32,8MPac σ1

σ1

σ2 σ2

4,0 Figura 3.8 – Curvas tensão – deformação (modificado de Proença, 1988)

Resumindo:

Para 5,01

2 =σσ

setem − cbc f25,1f =

Para 0,11

2 =σσ

setem − cbc f16,1f =

sendo “fbc” a resistência à bicompressão do concreto.

Ainda segundo Proença (1988) quando o concreto é solicitado por ações de tração biaxiais

praticamente não existe variações na resistência à tração, sendo portanto neste caso a resistência

à tração biaxial idêntica à uniaxial.


34

3.3 MÉTODOS NUMÉRICOS DE SOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES

Uma vez apresentados os modelos reológicos que descrevem o comportamento não linear

para os materiais aço e concreto, é de total importância salientar que estruturas que manifestam

comportamento não linear geram sistemas de equação também não lineares cuja estratégia de

solução possível é a aplicação de procedimentos incrementais e iterativos.

Os métodos numéricos de resolução de problemas não lineares são geralmente baseados

em processos incrementais que consistem em dividir a força total em incrementos aplicados na

estrutura, obtendo-se assim segundo Barbosa (1992) os deslocamentos calculados a partir de uma

linearização sobre a força incremental das equações de equilíbrio.

Segundo Rubert (1993) a solução de problemas que envolvem não linearidades, sejam elas

de natureza física ou geométrica, é realizada por algoritmos que envolvem duas etapas a saber: a

primeira que gera uma aproximação para o vetor de deslocamentos, utiliza a matriz de rigidez

global da estrutura e o vetor de forças nodais equivalentes calculado segundo um determinado

nível de força externa (solução clássica do método dos elementos finitos) segundo a Equação

(26); a segunda consiste na determinação das forças residuais (diferença entre as forças internas

e externas) que deverão ser reduzidas por um procedimento iterativo adotado segundo a Equação

(27).

eF'D.k = (26)sendo “k” a matriz de rigidez global da estrutura, “D’” o vetor de deslocamentos e “Fe” o vetor

de forças nodais equivalentes.

0FdB eT =−Ωσ=ψ ∫Ω

(27)

sendo “ψ” o vetor de forças residuais, “BT” a matriz deformação – deslocamento na sua forma

transposta e “Fe” o vetor de forças nodais equivalentes.

3.3.1 MÉTODOS INCREMENTAIS ITERATIVOS

Nos métodos incrementais iterativos, uma correção de equilíbrio é introduzida sobre a

força incremental utilizando procedimentos iterativos onde essa correção é feita por uma matriz

de rigidez. O método de Newton-Raphson ilustrado na Figura 3.9, um dos métodos iterativos

mais difundidos, utiliza para a correção do equilíbrio uma matriz de rigidez tangente “[k]T”

calculada para cada força incremental.


35

Força

Deslocamento

i+1F

iF

iD i+1D

[k] atualizada a cada força incrementalT

Figura 3.9 – Método de Newton-Raphson (Gamino e Barbosa, 2002b)

O método de Newton-Raphson modificado utiliza uma matriz de rigidez tangente

constante para todas as iterações, conforme a Figura 3.10.

Força

Deslocamento

i+1F

iF

iD i+1D

[k] constante em todas as forças incrementaisT

Figura 3.10 – Método de Newton-Raphson modificado

O trabalho de Rubert (1993) mostra que utilizando-se valores maiores da força incremental

“∆Fi” o método de Newton-Raphson proporcionou uma convergência mais rápida com relação

ao método de Newton-Raphson modificado. Para valores menores de “∆Fi” obteve-se, em alguns

casos, uma convergência mais rápida ao se utilizar o método de Newton-Raphson modificado.


36

Segundo Cabral (1992) a estratégia de solução de sistemas de equações não lineares via

método incremental iterativo do tipo Newton-Raphson pode ser resumida da seguinte forma:

Sendo:

( ) ( )'DSF'D'H −= (28)onde “F” é o vetor de forças nodais externas, “S” é o vetor de forças nodais internas, “D’” é o

vetor de deslocamentos nodais e “H’” é o vetor resultante da diferença entre esforços externos e

internos.

O primeiro passo consiste em dividir o carregamento total atuante em “n” partes

calculando-se desta forma a força incremental “∆Fi” de tal forma que se possa obter o campo de

tensões e de deformações em qualquer ponto da estrutura analisada, segundo a força incremental

atuante.

O segundo passo consiste em realizar uma iteração com a força incremental onde:

ii1i FFF ∆+=+ (29)O terceiro passo consiste em aplicar o processo de Newton-Raphson em “H’(D’)”

resultando:

( )j1

'D'D

j1j 'D'H.'D'H'D'D

j

−

=

+

∂∂

−= (30)

Aplicando-se a derivada parcial no vetor de esforços residuais “H’”:

Tk'D

S'D

S'D

F'D'H

=∂∂

=∂∂

−∂∂

=∂∂ (31)

uma vez que os esforços externos “F” não são dependentes dos deslocamentos “D” e “kT” é a

matriz de rigidez tangente.

Assim:

( )j1

'D'D

j1j 'D'H.'D

S'D'Dj

−

=

+

∂∂

−= (32)

O quarto passo consiste em recalcular a matriz de rigidez tangente para cada iteração.

O quinto passo consiste em detectar a convergência de “D’j”: caso ocorra a convergência

retorna-se ao segundo passo com novo incremento de carregamento; caso não ocorra

convergência segundo um número de iterações pré-determinado retorna-se ao segundo passo

recalculando “Fi” com “∆Fi” modificado.

O método pode finalizar através do uso do carregamento total atuante sobre a estrutura,

através da comparação de diminuição de “∆Fi” até um limite pré-estabelecido ou através da

comparação entre “H’” e o nível de precisão desejado, significando que a estrutura entrou em

colapso ou, em alguns casos, que o nível de precisão desejado não fora possível obter com o

número máximo de iterações requerido.


37

A Figura 3.11 apresenta o diagrama de blocos comumente utilizado para análises não

lineares física e geométrica de estruturas.

Início

Ler Coordenadas Nodais

Montar a Matriz de Rigidez do Elemento FinitoMontar a Matriz de Rigidez Global da Estrutura

Aplicar sobre a Estrutura o Vetor de Forças Nodais Equivalentes Incremental

Resolver as Equações de EquilíbrioAcrescer os Deslocamentos Incrementais aos Deslocamentos Correntes

Determinar as Tensões nos Elementos a partir dos Deslocamentos Correntes

Utilizar o Modelo Constitutivo do Material para Determinaras Tensões Internas e as Forças Nodais Internas

Determinar a Diferença entre as Forças Nodais Externas e InternasComparar com a Precisão Desejada

Convergência

Imprimir Forças, Deslocamentos e Deformações

Todos os Passos de Carregamento Concluídos

Fim

Sim

Sim

Método Iterativo

Não

Não

Mat

riz d

e R

igid

ez In

icia

l

Para

toda

Car

ga In

crem

enta

l

Para

todo

s os E

lem

ento

s

Figura 3.11 – Diagrama de blocos utilizado em análises não lineares de estruturas (modificado

de Kwak, 1997)

3.4 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS COM MÉTODOS ITERATIVOS

O Método dos Elementos Finitos, dentro da teoria clássica da mecânica das estruturas,

possibilita a solução de problemas relacionados à elasticidade linear ou mesmo ligados à não


38

linearidade física, onde pode-se retratar o espectro de deformações e tensões em materiais com

comportamentos reológicos distintos.

Assim, admitindo um material com comportamento reológico elástico linear, podem-se

calcular os deslocamentos na estrutura decorrentes da aplicação de um carregamento segundo a

Equação (26).

Neste caso, a matriz de rigidez é constante dentro do problema físico a ser solucionado e

os deslocamentos são calculados de maneira direta.

Para a solução de problemas com a consideração de não linearidade física, deve-se

discretizar o carregamento aplicando-o através de incrementos sobre a estrutura, onde este

procedimento gera uma variância na matriz de rigidez global.

Segundo Proença (1988) a solução de problemas não lineares solucionados via método dos

elementos finitos deve seguir alguns procedimentos abaixo descritos.

Uma vez adotada uma lei de plasticidade que retrata a não linearidade física do material

concreto, uma correção sobre a força incremental é introduzida utilizando procedimentos

iterativos.

Assim, para um estado de carregamento, calculam-se via Método dos Elementos Finitos os

deslocamentos e, aplicando equações de compatibilidade, as deformações e as tensões.

Utilizando a lei de plasticidade adotada corrigem-se as tensões calculadas, provocando um

estado de tensão não compatível ao ocasionado pelo carregamento.

Desta forma, irá existir uma diferença entre a força aplicada e a força necessária para

restabelecer o equilíbrio, devendo esta diferença ser correspondente ao grau de precisão

desejado.

3.5 O CÓDIGO DE CÁLCULO CASTEM 2000

CASTEM 2000 é um código de cálculo para análise de estruturas via método dos

elementos finitos. O código foi desenvolvido pelo “Département de Mécanique et de

Technologie (DMT) du Commissariat Français à l´Energie Atomique (CEA)”.

Sua atuação dentro do contexto de uma atividade de pesquisa na área de mecânica das

estruturas é o de servir como instrumento de alto nível, sendo uma ferramenta válida para a

concepção, dimensionamento e análise de estruturas e de seus componentes, quer seja dentro do

domínio nuclear, quer seja dentro do setor industrial.


39

O código apresenta um sistema completo que integra não somente as funções de cálculo

propriamente ditas, mas igualmente as funções de construção do modelo e do tratamento de

resultados.

Ele permite trabalhar ou tratar os problemas de elasticidade linear dentro do domínio

estático e dinâmico, além de permitir resolver os problemas de condução de calor e os problemas

envolvendo não linearidade física e geométrica com análise estática ou dinâmica.

A grande vantagem do código CASTEM 2000 está no fato do mesmo permitir que o

usuário possa adaptar ou definir a seqüência de resolução da estrutura a qualquer tipo de

problemática sem necessariamente seguir um roteiro pré-definido. Enfim, ele oferece a

possibilidade de personalizar e de completar o sistema proposto, adaptando às exigências do

usuário, permitindo uma flexibilização do problema a ser resolvido.

Uma outra particularidade do código CASTEM 2000 é possibilitar o desenvolvimento de

novos operadores de cálculo permitindo a resolução de outros tipos de problemas, definindo, em

certos casos, operadores diferentes daqueles já existentes.

Esses novos operadores podem ser desenvolvidos, testados e verificados independentes

daqueles já existentes no programa. Para isto, é necessário conhecer a estrutura dos dados

contidos nos objetos a serem tratados pelos novos operadores, assim como nos objetos comuns a

todo o programa.

O código CASTEM 2000 é um sistema que foi desenvolvido sobre a óptica de ultrapassar

os limites de adaptabilidade oferecidos pelos códigos convencionais.

Assim, sua utilização é efetuada através de uma macrolinguagem, a GIBIANE, que

permite predefinir as operações das diversas fases de uma análise, com instruções extremamente

simples.

GIBIANE é uma linguagem que oferece uma nova forma de utilizar a comunicação

diretamente com o programa. Todas as operações executadas com GIBIANE constituem em uma

manipulação dos objetos existentes, podendo-se modificá-los ou mesmo criar um novo objeto.

O código CASTEM 2000 utiliza os critérios de plasticidade de Drucker-Prager para o

concreto, o modelo elastoplástico perfeito para o aço e o método incremental iterativo de

Newton-Raphson já apresentados anteriormente.

Entre os trabalhos científicos desenvolvidos com o auxílio do código de cálculo CASTEM

2000 podem-se citar as teses de doutorado de Barbosa (1992) e Boukari (2000), entre outros.

Capítulo 4: Simulações em Vigas de Concreto Armado

40

CAPÍTULO 4: SIMULAÇÕES EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO

4.1 ESTUDO DA DISCRETIZAÇÃO DAS VIGAS

Apresentam-se neste capítulo as simulações efetuadas em vigas de concreto armado

convencional e de alto desempenho submetidas à flexão simples tipo I.

Sabe-se que a ductilidade global é avaliada a partir de uma curva do tipo força –

deslocamento, podendo esta ser obtida experimentalmente ou numericamente. Em se tratando de

caráter numérico, faz-se necessário julgar o grau de confiabilidade dos índices de ductilidade

global a serem obtidos, sendo esta precisão proporcional à proximidade entre as curvas força –

deslocamento experimentais e numéricas.

Assim, primeiramente fez-se um estudo a fim de avaliar a malha de discretização do

elemento estrutural que ocasionaria em resultados numéricos de forças de fissuração,

plastificação das armaduras e ruína das vigas mais próximos em relação aos obtidos em ensaios

experimentais. Para tanto, utilizou-se o elemento finito quadrangular com quatro nós (CSQ) para

a discretização do material concreto e o elemento finito de barra com dois nós para a

discretização do material aço.

O estudo numérico de avaliação da malha ideal foi realizado segundo os dados

experimentais obtidos por Barbosa (1998) para uma viga de concreto armado submetida à flexão

simples tipo I, cujas características mecânicas dos materiais aço e concreto encontram-se na

Tabela 4.1. O detalhamento desta viga encontra-se na Figura 4.1.

Tabela 4.1 – Características mecânicas dos materiais utilizados na confecção da viga ensaiada por Barbosa (1998)

Pesquisador fc(MPa) fy(MPa) Ec(GPa) Es(GPa) Barbosa (1998) 40 620 38,2 210

Utilizaram-se três malhas de diferentes densidades: a malha M1 com um número total de

180 nós, a malha M2 com 276 nós e a malha M3 com 336 nós. A Figura 4.2 mostra o esquema

de discretização da viga para as malhas M1, M2 e M3. Nota-se nesta fase a importância do

planejamento das malhas em elementos de concreto armado pois a ligação aço-concreto possuiu

um único nó comum. Caso esta medida não fosse tomada, ocorreriam incongruências no cálculo

dos deslocamentos e o processo iterativo tornaria-se instável e impossível de ser realizado. Outra

medida tomada para sanar este problema e recomendada por outros pesquisadores como Boukari

(2000) foi a eliminação de nós com proximidade igual ou inferior a 0,1mm.


41

P P

A

A

N1 - 2 6 c=118,5

N2 - 2 16 c=357φ

φ

CORTE A-A

28,3

1,01,6

40cm280cm40cm

11

26,3

11 N3 c/ 8 11 N3 c/ 8

360cm

B

B

CORTE B-B

28,3

1,00,6

N3 - 6 c=78,6φ

120cm 120cm 120cm

15 15

2,0 2,01,6 6,2 1,6

1,01,6

2,02,0 1,6 6,2 1,6

N1 - 2 6 c=118,5φ

2

2

Figura 4.1 – Detalhamento da viga ensaiada por Barbosa (1998)


42

Figura 4.2 – Malhas utilizadas para a discretização da viga

As Figuras 4.3, 4.4 e 4.5 mostram as curvas força – deslocamento obtidas utilizando-se as

malhas M1, M2 e M3 respectivamente, quando comparadas com a curva força – deslocamento

obtida experimentalmente para a viga descrita.

Em seguida apresentam-se nas Tabelas 4.2 e 4.3 os valores experimentais e numéricos das

forças de fissuração, plastificação e ruína bem como os deslocamentos correspondentes à força

de plastificação (δy) e à força de ruína (δu), valores estes necessários para o cálculo dos índices

de ductilidade global “µd”.

Figura 4.3 – Curvas força – deslocamento experimental e numérica para a malha M1

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 10 20 30 40 50

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Numérico - Malha M1 Experimental

Malha M1 - 180 Nós

Malha M2 - 276 Nós

Malha M3 - 336 Nós

P

P

P


43



Tabela 4.2 – Valores de força obtidos experimentalmente e numericamente para a viga ensaiada por Barbosa (1998)

Malha M1 M2 M3 Experimental 15 15 15

Numérico 22 19 18

Força de Fissuração(kN) Experimental/Numérico 0,68 0,79 0,83

Experimental 147 147 147 Numérico 150 149 148

Força de Plastificação(kN)

Experimental/Numérico 0,98 0,99 0,99 Experimental 149 149 149

Numérico 158 150 149

Força de Ruína(kN) Experimental/Numérico 0,94 0,99 1,00

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)


0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 5 10 15 20 25 30 35

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)



44

Tabela 4.3 – Valores de deslocamento obtidos experimentalmente e numericamente para a viga ensaiada por Barbosa (1998)

Malha M1 M2 M3 Experimental 19,69 19,69 19,69

Numérico 14,90 15,34 15,63

δy(mm) Experimental/Numérico 1,32 1,28 1,26

Experimental 29,69 29,69 29,69 Numérico 46,93 35,15 29,18

δu(mm)

Experimental/Numérico 0,63 0,84 1,02

Analisando os resultados numéricos obtidos percebe-se que a malha M1 conduziu a

resultados satisfatórios quanto às forças de plastificação e ruína porém apresentou resultados

ruins quanto à força de fissuração e deslocamentos.

A malha M2 apresentou melhor desempenho em relação à malha M1, sobretudo no que diz

respeito à força de fissuração e deslocamento último “δu”. Com a utilização desta malha

alcançou-se também uma melhor convergência quanto às forças de plastificação e ruína.

A malha M3 foi a que proporcionou uma maior proximidade entre resultados numéricos e

experimentais.

Para esta malha houve excelente convergência de resultados de força de plastificação,

força de ruína e deslocamento último. Bons resultados foram alcançados no que tange à força de

fissuração e deslocamento no momento de plastificação das armaduras “δy”.

Assim, através do presente estudo, chegou-se à conclusão que a malha M3 seria a malha

ideal para a simulação subseqüente de todas as demais vigas de concreto armado ensaiadas por

Barbosa (1998) e Ribeiro (1996), por proporcionar bons índices de proximidade entre o modelo

numérico e os ensaios experimentais.

4.2 SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

Uma vez escolhida a malha de discretização M3 procedeu-se a simulação numérica do

comportamento global (curvas força – deslocamento) e local (curvas força – deformação no

concreto e força – deformação no aço) de outras vigas ensaiadas por Barbosa (1998) e de vigas

ensaiadas por Ribeiro (1996).

O detalhamento das vigas ensaiadas por Barbosa (1998) segue o esquema apresentado na

Figura 4.1 ao passo que o detalhamento das vigas ensaiadas por Ribeiro (1996) está representado

nas Figuras 4.6, 4.7 e 4.8.


45

P P

A

A

N1 - 2 8 c=446

N2 - 4 12,5 c=516φ

φ

25cm400cm25cm

12

42

9 N3 c/ 16

450cm

CORTE A-A

45

1,50,8

N3 - 6,3 c=109φ

160cm 130cm 160cm

15

1,51,25

1,51,5 2,5 5,7 2,5

0,5

0,5

446

35 35

21 N3 c/ 821 N3 c/ 8

Figura 4.6 – Detalhamento da viga 04 ensaiada por Ribeiro (1996)


46

P P

A

A

N1 - 2 8 c=446

N2 - 2 16 c=516φ

φ

25cm400cm25cm

12

42

9 N3 c/ 16

450cm

CORTE A-A

45

1,50,8

N3 - 6,3 c=109φ

160cm 130cm 160cm

15

1,51,6

1,51,5 1,6 7,5 1,6

0,5

0,5

446

35 35

21 N3 c/ 821 N3 c/ 8



47

P P

A

A

N1 - 2 8 c=446

N2 - 3 20 c=516φ

φ

25cm400cm25cm

12

42

9 N4 c/ 16

450cm

CORTE A-A

45

1,50,8

N4 - 6,3 c=109φ

160cm 130cm 160cm

15

1,52

1,51,5 2 2 2

0,5

0,5

446

35 35

17 N4 c/ 1017 N4 c/ 10

N3 - 2 20 c=412φ

22

3 3



48

As propriedades mecânicas dos materiais aço e concreto componentes de cada viga

encontram-se na Tabela 4.4. As Figuras 4.9, 4.10, 4.11, 4.12, 4.13 e 4.14 mostram

respectivamente as curvas força – deslocamento numéricas e experimentais obtidas para as vigas

01, 02, 03, 04, 05 e 06.

Tabela 4.4 – Características mecânicas dos materiais aço e concreto utilizados na confecção das

vigas ensaiadas por Barbosa (1998)e Ribeiro (1996) Pesquisador Viga fc(MPa) fy(MPa) Ec(GPa) Es(GPa)

01 40 620 38,2 210 02 75 830 42 210 Barbosa

(1998) 03 100 830 51,2 210 04 28,3 560 - 210 05 65,5 540 - 210 Ribeiro

(1996) 06 68 540 - 210

Figura 4.9 – Curvas força – deslocamento da viga 01


0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 5 10 15 20 25 30 35

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Numérico - Viga 01 Experimental - Viga 01

0

50

100

150

200

250

300

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)



49


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Numérico - Viga 04 Experimental - Viga 04 Figura 4.12 – Curvas força – deslocamento da viga 04

0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)


0

50

100

150

200

250

300

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)



50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)


A Tabela 4.5 apresenta os valores experimentais e numéricos das forças de fissuração,

plastificação e ruína, bem como dos deslocamentos “δy” e “δu”.

Tabela 4.5 – Valores de força e deslocamento obtidos numericamente e experimentalmente para

as vigas ensaiadas por Barbosa (1998) e Ribeiro (1996) Viga 01 02 03 04 05 06

Experimental 15 25 22 31 29 43 Numérico 18 26 20 34 41 89 Força de

Fissuração(kN) Experimental/Numérico 0,83 0,96 1,10 0,91 0,71 0,48 Experimental 147 224 210 136 106 378

Numérico 148 230 230 148 124 454 Força de Plastificação(kN) Experimental/Numérico 0,99 0,97 0,91 0,92 0,85 0,83

Experimental 149 248 270 160 122 414 Numérico 149 243 261 150 132 461 Força de Ruína(kN)

Experimental/Numérico 1,00 1,02 1,03 1,07 0,92 0,90 Experimental 19,69 26,74 24,07 17,04 16,86 24,69

Numérico 15,63 22,68 22,16 14,21 12,47 17,84 δy(mm) Experimental/Numérico 1,26 1,18 1,09 1,20 1,35 1,38

Experimental 29,69 73,53 71,94 35,00 81,9 37,5 Numérico 29,18 70,15 69,23 25,08 60,51 24,84 δu(mm)

Experimental/Numérico 1,01 1,05 1,04 1,39 1,35 1,51

A partir da Tabela 4.5 pode-se concluir que no contexto geral os resultados de forças de

fissuração, plastificação e ruína numéricos alcançados com a utilização da malha M3 foram

próximos aos resultados obtidos experimentalmente para as seis vigas. Entretanto, notam-se

algumas discrepâncias de resultados sobretudo quanto aos deslocamentos “δy” e “δu” obtidos

para as vigas 04, 05 e 06 ensaiadas por Ribeiro (1996).


51

A mesma linha de tendência é observada para os valores de força de fissuração obtidos

para as vigas 05 e 06, cujos resultados numéricos apresentam-se minorados com relação aos

valores alcançados nos ensaios experimentais.

De uma forma geral nota-se uma maior convergência numérica em relação às vigas

ensaiadas por Barbosa (1998) em detrimento às vigas ensaiadas por Ribeiro (1996) devido à

própria heterogeneidade do material concreto que pode acarretar, em alguns casos, uma menor

proximidade entre as respostas numéricas e os resultados experimentais.

Outro fato que acarretou problemas de convergência com relação aos resultados de Ribeiro

(1996) foi a adoção nas simulações de um módulo de elasticidade longitudinal uma vez que não

realizaram-se ensaios experimentais para a determinação desta grandeza.

Menciona-se também que a mesma densidade de malha adotada para as vigas de Barbosa

(1998) no item 4.1 (malha ideal M3) foi mantida para as vigas de Ribeiro (1996) para que não

houvesse diferenças nas discretizações das vigas. As vigas de Ribeiro (1996) por possuírem

maior altura e maior vão com relação às vigas de Barbosa (1998) foram discretizadas com um

número maior de nós para obter-se a mesma densidade de malha.

Cabe aqui ressaltar que uma vez atingida a confiabilidade adequada em relação aos índices

de ductilidade global, a mesma propriedade será conferida aos índices de ductilidade local

avaliados através de curvas momento – curvatura, uma vez que os momentos fletores são

calculados a partir do carregamento aplicado e as curvaturas são calculadas em função das

deformações ocorridas nos materiais aço e concreto.

As Figuras 4.15, 4.16, 4.17, 4.18, 4.19 e 4.20 mostram respectivamente as curvas força –

deformação no concreto numéricas e experimentais obtidas para as vigas 01, 02, 03, 04, 05 e 06.

Figura 4.15 – Curvas força – deformação no concreto da viga 01

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Deformações no Concreto (10-6)

Forç

a (k

N)



52



0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 500 1000 1500 2000 2500 3000


Forç

a (k

N)

Numérico - Viga 04 Experimental - Viga 04 Figura 4.18 – Curvas força – deformação no concreto da viga 04

0

50

100

150

200

250

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000


Forç

a (k

N)


0

50

100

150

200

250

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000


Forç

a (k

N)



53

0

20

40

60

80

100

120

140

0 500 1000 1500 2000


Forç

a (k

N)

Numérico - Viga 05 Experimental - Viga 05 Figura 4.19 – Curvas força – deformação no concreto da viga 05

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 500 1000 1500 2000 2500


Forç

a (k

N)



As Figuras 4.21, 4.22, 4.23, 4.24, 4.25 e 4.26 mostram respectivamente as curvas força –

deformação no aço numéricas e experimentais obtidas para as vigas 01, 02, 03, 04, 05 e 06.


54

Figura 4.21 – Curvas força – deformação no aço da viga 01



0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Deformações no Aço (10-6)

Forç

a (k

N)


0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000


Forç

a (k

N)


0

50

100

150

200

250

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000


Forç

a (k

N)



55

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2000 4000 6000 8000 10000


Forç

a (k

N)

Numérico - Viga 04 Experimental - Viga 04 Figura 4.24 – Curvas força – deformação no aço da viga 04

0

20

40

60

80

100

120

140

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000


Forç

a (k

N)


0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000


Forç

a (k

N)



56

Com relação aos resultados numéricos de curvas força – deformação no concreto pode-se

notar que alcançaram-se bons índices de convergência sobretudo para a deformação última do

concreto que ocorreu à taxa de 2,5‰ para a viga 01, da ordem de 3,5‰ para as vigas 02 e 03, da

ordem de 1,8‰ para a viga 05 e da ordem de 2,1‰ para a viga 06.

Quanto à viga 04 os resultados de deformação última obtidos numericamente (1,48‰)

foram ligeiramente menores com relação aos obtidos experimentalmente (2,4‰).

De uma forma geral, obteve-se maior proximidade entre as trajetórias de deformações no

concreto com a ampliação da força para as vigas ensaiadas por Barbosa (1998).

No que diz respeito às curvas força – deformação no aço percebe-se que a proximidade

entre as curvas experimentais e numéricas foi mais acentuada em relação às curvas anteriores

(força – deslocamento e força – deformação no concreto) mostrando que o modelo reológico

elastoplástico perfeito adotado para as armaduras retrata com fidelidade as deformações

ocorridas no material mediante a aplicação de um estado de tensões.

As deformações últimas neste material obtidas experimentalmente foram muito próximas

das calculadas via processo numérico para as vigas 02, 03, 04 e 06 (da ordem de 9‰).

Para a viga 01, a deformação última numérica foi da ordem de 10‰ enquanto que a

experimental alcançou um valor próximo a 17‰.

Este valor elevado pode ter sido obtido em função de erros de leitura ou mesmo por uma

disfunção do extensômetro elétrico colado nas armaduras a fim de se medir as deformações.

Para a viga 05 os valores numéricos de deformação última no material aço (9‰) ficaram

aquém dos resultados obtidos experimentalmente (11,5‰).

Seguindo a mesma linha de tendência dos resultados apresentados de curvas força –

deslocamento e força – deformação no concreto, obtiveram-se maior proximidade entre os

resultados numéricos e experimentais das trajetórias de deformações no material aço com a

ampliação da força para as vigas ensaiadas por Barbosa (1998).

Conforme já mencionado, tais erros podem ocorrer devido à própria heterogeneidade do

material concreto que por muitas vezes acarreta em uma ineficiência do modelo reológico

adotado ou mesmo erros ligados à disfunção de equipamentos utilizados nas medições de

deformações e deslocamentos. Aliado a isto, metodologias de ensaio ineficientes podem

conduzir à resultados que podem não retratar com fidelidade a deformabilidade dos materiais ou

mesmo do elemento estrutural como um todo por meio da ampliação da força externa aplicada.

Todavia a adoção de um módulo de elasticidade longitudinal para as vigas de Ribeiro

(1996) tenha contribuído para a não convergência sobretudo com relação aos deslocamentos

obtidos.


57

O presente estudo forneceu indicações quanto à densidade da malha de elementos finitos a

ser utilizada para a análise não linear de vigas de concreto armado com o intuito de obter

resultados numéricos próximos aos experimentais.

Assim proporciona-se confiabilidade aos índices de ductilidade obtidos na avaliação dos

parâmetros que possam influir na ductilidade das vigas, cujos resultados alcançados encontram-

se nos capítulos subseqüentes.

Para finalizar este capítulo, explicita-se abaixo a deformada da viga de concreto armado

obtida no código de cálculo CASTEM 2000, notadamente à viga 01 ensaiada por Barbosa

(1998), com relação à estrutura equivalente utilizada nas simulações, segundo o esquema

estrutural ilustrado na Figura 4.27.

P

Figura 4.27 – Deformada da viga 01 ensaiada por Barbosa (1998) para a força de ruptura (fator

de escala igual a 8)

Capítulo 5: Estudo dos Parâmetros que Afetam a Ductilidade de Vigas de Concreto Armado: Flexão Simples Tipo I

58

CAPÍTULO 5: ESTUDO DOS PARÂMETROS QUE AFETAM A DUCTILIDADE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO: FLEXÃO SIMPLES TIPO I 5.1 RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO DO CONCRETO

Para avaliação da influência da resistência à compressão do concreto “fc” sobre a

ductilidade global e local, realizaram-se simulações numéricas em vigas de concreto armado

biapoiadas sujeitas à flexão simples tipo I, cujo detalhamento encontra-se na Figura 5.1. Nessas

simulações, utilizaram-se para as armaduras as características mecânicas do aço CA-50A, cuja

tensão de escoamento “fy” possui o valor de 500MPa.

Neste estudo variou-se somente o valor de “fc” de 40MPa, 55MPa, 70MPa e 100MPa,

mantendo-se constante todas as demais características físicas e mecânicas das vigas analisadas.

Na Tabela 5.1 estão dispostos os valores obtidos através da simulação numérica efetuada,

utilizando-se o código de cálculo CASTEM 2000.

Tabela 5.1 – Valores numéricos obtidos na avaliação da influência da resistência à compressão do concreto

fc (MPa)

δu (mm)

δy (mm) µd φu

(10-5rad/mm) φy

(10-5rad/mm) µc

40 37,02 12,35 3,0 2,45 0,70 3,50 55 50,33 12,23 4,11 2,86 0,69 4,14 70 56,74 12,62 4,49 3,33 0,67 4,97 100 60,34 11,34 5,32 3,91 0,63 6,21

A evolução de “µd” em função de “fc” é apresentado na Figura 5.2 e a evolução de “µc”

em função de “fc” é apresentado na Figura 5.3, onde observa-se que “µd” e “µc” crescem em

regime exponencial à medida que “fc” aumenta.

A partir dos resultados obtidos nas simulações numéricas, pode-se afirmar que o aumento

da resistência à compressão do concreto ocasionou acréscimos nos índices de ductilidade global

e local (Figuras 5.2 e 5.3).

Segundo Pinto Júnior (1992) tal fato pode ser explicado da seguinte forma: ainda que as

deformações na borda comprimida sejam menores para vigas de concreto armado de alto

desempenho, a linha neutra apresenta-se em uma posição mais elevada sendo que a curvatura da

seção transversal não diminui, provocando assim o aumento da ductilidade.

Em uma próxima etapa, procurou-se quantificar a taxa geométrica de armadura

longitudinal de tração balanceada “ρb” para as quatro vigas analisadas anteriormente.


59

P P

A

A

N1 - 2 6,3 c=168,5

N2 - 2 12,5 c=507φ

φ

CORTE A-A

45

60cm390cm60cm

11 N3 c/ 11 11 N3 c/ 11

510cm

B

B

CORTE B-B

45

170cm 170cm 170cm

15 15

N1 - 2 6,3 c=168,5φ

N3 - 6,3 c=112φ

11

43

2

20,631

1

1,251

1,25

2 1,25 7,2 1,25 2 2 7,21,25 1,25 2 Figura 5.1 – Detalhamento da viga de concreto armado utilizada nas simulações


60

fc = 11,662e 0,3974µd

R2 = 0,9785

30

40

50

60

70

80

90

100

110

2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5

µ d

f c(M

Pa)

Figura 5.2 – Evolução de “µd” com o acréscimo de “fc”

fc = 13,379e 0,3281µc

R2 = 0,9841

30

40

50

60

70

80

90

100

110

2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5

µ c

f c(M

Pa)

Figura 5.3 – Evolução de “µc” com o acréscimo de “fc”

O parâmetro “ρb” retrata a armadura a ser utilizada nas vigas de tal forma que os estágios

de plastificação do aço e ruptura do concreto ocorram simultaneamente, proporcionando desta

forma que os materiais sejam aproveitados ao máximo. Admitindo uma distribuição linear de

tensões de compressão nas vigas, pode-se calcular “ρb” através da Equação (33).

( ) y

c

ycu

cub f

f21

ε+εε

=ρ (33)

sendo que “εcu” representa a deformação última do concreto, “εy” representa a deformação da

armadura longitudinal de tração no momento do escoamento, “fc” representa a tensão de ruptura

do concreto e “fy” representa a tensão de escoamento do aço.


61

Os valores de “εcu”, de “εy”, da taxa geométrica de armadura longitudinal de tração –

“ρ”, de “ρb”, da relação “ρ/ρb” e da armadura longitudinal de tração “As”, para cada valor de “fc”

simulado estão relacionados na Tabela 5.2.

Tabela 5.2 – Valores de “εcu”, “εy”, “ρ”, “ρb”, “ρ/ρb” e “As” fc(MPa) εcu(‰) εy(‰) ρ(%) ρb(%) ρ/ρb As

40 1,06 2,35 0,36 1,24 0,29 2φ 12,5mm 55 1,18 2,46 0,36 1,78 0,20 2φ 12,5mm 70 1,48 2,56 0,36 2,56 0,14 2φ 12,5mm 100 1,25 2,86 0,36 3,04 0,12 2φ 12,5mm

Percebe-se a partir dos resultados obtidos na Tabela 5.2 que o aumento do valor da

resistência à compressão do concreto “fc”, levou a uma diminuição na relação “ρ/ρb”.

As Figuras 5.4 e 5.5 mostram respectivamente a evolução dos índices de ductilidade global

“µd” e local “µc” em função da variação do parâmetro “ρ/ρb”, através de uma curva de regressão

exponencial.

Nota-se a partir destas figuras que houve decréscimo nos índices de ductilidade global e

local das vigas analisadas quando ampliaram-se os valores de “ρ/ρb”.

Desta forma pode-se afirmar que o fenômeno de aumento da ductilidade das vigas por

meio da ampliação da resistência à compressão do concreto, mantendo-se invariantes todas as

demais características físicas e mecânicas, é ocasionado pela diminuição do parâmetro “ρ/ρb”,

sendo este inversamente proporcional aos índices de ductilidade local e global.

µ d = 7,3856e-3,0837ρ / ρb

R2 = 0,959

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

ρ /ρ b

µd

Figura 5.4 – Evolução de “µd” em relação à variação do parâmetro “ρ/ρb”


62

µ c = 8,1436e-3,0479ρ / ρb

R2 = 0,8927

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

6,5

0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

ρ /ρ b

µc

Figura 5.5 – Evolução de “µc” em relação à variação do parâmetro “ρ/ρb”

Em outras palavras, ainda que concretos de alto desempenho possuam características mais

frágeis em relação à concretos convencionais, é possível obter vigas de concreto armado de alto

desempenho com propriedades dúcteis suficientes, bastando para isso utilizar a relação “ρ/ρb”

mais adequada para que se atinja a ductilidade desejada.

Com o aumento de “fc” diminui a área necessária para suportar a resultante das tensões de

compressão provocada pela flexão do elemento estrutural, diminui-se a relação “x/d” sendo que

a posição da linha neutra estará mais próxima à região comprimida, provocando maiores

deformações na armadura tracionada e, em conseqüência disso, amplia-se a ductilidade.

Em uma etapa seguinte, optou-se por manter constante o valor de ρ/ρb=0,29 obtido para

fc=40MPa.

Para as simulações efetuadas anteriormente (com fc=55MPa, fc=70MPa e fc=100MPa),

calcularam-se novos valores de “ρ”, denominados agora de “ρ*”, com a finalidade de manter

constante a relação “ρ/ρb”. A nova relação “ρ*/ρb” obtida manteve-se invariante e igual a 0,29 –

Tabela 5.3 – para cada valor de “fc”.

Tabela 5.3 – Valores obtidos mantendo-se constante a relação “ρ*/ρb” fc(MPa) ρ(%) ρb(%) ρ*(%) ρ*/ρb As

40 0,36 1,24 0,36 0,29 2φ 12,5mm 55 0,36 1,78 0,54 0,30 3φ 12,5mm 70 0,36 2,56 0,73 0,29 4φ 12,5mm 100 0,36 3,04 0,88 0,29 3φ 16,0mm


63

Em seguida realizou-se nova simulação para as vigas com fc=55MPa e As=3φ 12,5mm,

com fc=70MPa e As=4φ 12,5mm, com fc=100MPa e As=3φ 16,0mm sendo os resultados

numéricos obtidos dispostos na Tabela 5.4. A evolução das novas taxas de “µd” e “µc” em função

de “fc”, está representada respectivamente nas Figuras 5.6 e 5.7.

Tabela 5.4 – Valores numéricos obtidos mantendo-se constante a relação “ρ*/ρb” fc

(MPa) ρ*/ρb δu (mm)

δy (mm) µd φu

(10-5rad/mm) φy

(10-5rad/mm) µc

40 0,29 37,02 12,35 3,0 2,45 0,70 3,50 55 0,30 42,40 14,81 2,86 2,42 0,74 3,27 70 0,29 34,27 13,35 2,57 2,09 0,74 2,82 100 0,29 28,12 12,61 2,23 1,79 0,73 2,45

fc = 1232,9e -1,1181µd

R2 = 0,9698

0

20

40

60

80

100

120

2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1

µ d

f c(M

Pa)

Figura 5.6 – Evolução de “µd” com o acréscimo de “fc” mantendo-se constante a relação “ρ*/ρb”

fc = 731,14e -0,8163µc

R2 = 0,9752

0

20

40

60

80

100

120

2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6

µ c

f c(M

Pa)

Figura 5.7 – Evolução de “µc” com o acréscimo de “fc” mantendo-se constante a relação “ρ*/ρb”


64

Analisando as Figuras 5.6 e 5.7 pode-se observar que houve uma diminuição dos valores

de “µd” e “µc” em função do aumento de “fc” quando manteve-se constante a relação “ρ/ρb”.

5.2 TAXA GEOMÉTRICA DE ARMADURA LONGITUDINAL DE TRAÇÃO

Para avaliação da influência da taxa geométrica de armadura longitudinal de tração “ρ”

sobre a ductilidade global e local de vigas de concreto armado, realizaram-se simulações

numéricas em três vigas a saber: a viga 01 obedeceu ao detalhamento exposto na Figura 5.1; o

detalhamento da viga 02 encontra-se na Figura 5.8; o detalhamento da viga 03 encontra-se na

Figura 5.9.

Nessas simulações, utilizaram-se nas três vigas as características mecânicas do aço CA-

50A para as armaduras e para o concreto um valor de resistência à compressão “fc” de 50MPa.

Neste estudo variou-se somente o valor de “ρ” de 0,36%, 0,89% e 0,93%, mantendo-se

constante todas as demais características físicas e mecânicas das vigas analisadas.

Na Tabela 5.5 estão apresentados os valores obtidos numericamente através das

simulações no código CASTEM 2000 para as três vigas.

Tabela 5.5 – Valores numéricos obtidos no estudo de variação da taxa geométrica de armadura longitudinal de tração

Vigas ρ (%)

ρb (%) ρ/ρb δu

(mm) δy

(mm) µd φu (10-5rad/mm)

φy (10-5rad/mm) µc

01 0,36 1,60 0,23 50,33 12,23 4,11 2,79 0,69 4,04 02 0,89 2,12 0,42 41,41 13,88 2,98 2,21 0,77 2,87 03 0,93 2,04 0,45 38,66 14,47 2,67 2,01 0,78 2,58

A Figura 5.10 apresenta as curvas força – deslocamento das três vigas simuladas. Observa-

se que a viga 01 apresenta valores de deslocamento último – “δu” mais elevados que as demais

vigas ao mesmo tempo em que os deslocamentos no ponto de escoamento das armaduras – “δy”

mantiveram-se próximos para as três vigas.

Assim, para a viga 01, o valor do índice de ductilidade global – “µd”, foi mais elevado em

virtude do maior deslocamento último alcançado.

Segundo os dados obtidos na Tabela 5.5, percebe-se também a diminuição nos índices de

ductilidade local provocada pelo aumento de “ρ”.


65

P P

A

A

N1 - 2 6,3 c=168,5

N2 - 3 16 c=507φ

φ

CORTE A-A

45

60cm390cm60cm

11 N3 c/ 11 11 N3 c/ 11

510cm

B

B

CORTE B-B

45

170cm 170cm 170cm

15 15

N1 - 2 6,3 c=168,5φ

N3 - 6,3 c=112φ

11

43

2

20,631

1

1,61

1,6

2 2,52,51,6 1,6 1,6

22,52 2,5

1,6 1,6 1,62

Figura 5.8 – Detalhamento da viga 02


66

P P

A

A

N1 - 2 6,3 c=168,5

N2 - 2 20 c=507φ

φ

CORTE A-A

45

60cm390cm60cm

11 N3 c/ 11 11 N3 c/ 11

510cm

B

B

CORTE B-B

45

170cm 170cm 170cm

15 15

N1 - 2 6,3 c=168,5φ

N3 - 6,3 c=112φ

11

43

2

20,631

12

12

2 2 5,7 2 2 25,72 2 2



67

Figura 5.10 – Curvas força – deslocamento obtidas para as vigas variando-se a taxa de armadura longitudinal de tração

As Figuras 5.11 e 5.12 apresentam respectivamente a evolução dos índices de ductilidade

global “µd” e local “µc” em relação à evolução do parâmetro “ρ/ρb” onde nota-se que quanto

maior o valor da relação “ρ/ρb”, menor será o valor da ductilidade, sendo esta linha de tendência

análoga à obtida na avaliação da influência da resistência à compressão do concreto. O aumento

da taxa de armadura longitudinal de tração acarreta em uma elevação no valor da relação “x/d”,

onde a linha neutra situar-se-á em uma posição mais próxima da armadura tracionada

proporcionando menores deformações nesta e maiores deformações no concreto comprimido.

Em outras palavras, a ampliação de “ρ” ocasiona um comportamento mais frágil à vigas de

concreto armado.

µ d = 6,3365e -1,8651ρ / ρb

R2 = 0,9853

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

ρ/ ρ b

µd

Figura 5.11 – Evolução de “µd” com o acréscimo da relação “ρ/ρb”

0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50 60

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Viga 01 Viga 02 Viga 03


68

µ c = 6,3537e-1,9534ρ / ρb

R2 = 0,9894

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

ρ/ ρ b

µc

Figura 5.12 – Evolução de “µc” com o acréscimo da relação “ρ/ρb”

5.3 TENSÃO DE ESCOAMENTO DAS ARMADURAS

Para este estudo, manteve-se constante o valor de “fc” em 70MPa e variou-se somente o

valor limite da tensão de escoamento das armaduras “fy”. Para tanto, trabalharam-se nas

simulações com os aços CA 50-A e CA 60-B com tensões de escoamento características de

500MPa e 600MPa respectivamente.

As Figuras 5.13 e 5.14 mostram respectivamente as curvas de evolução força –

deslocamento e momento – curvatura para as duas vigas analisadas: viga 04 - fc=70MPa e

fy=500MPa; viga 05 - fc=70MPa e fy=600MPa. Os valores numéricos dos índices de ductilidade

global e local obtidos nesta simulação estão dispostos na Tabela 5.6. O detalhamento das vigas

04 e 05 analisadas está apresentado na Figura 5.15.

Tabela 5.6 – Valores numéricos obtidos na avaliação da influência da tensão de escoamento das armaduras

Viga fy (MPa)

δu (mm)

δy (mm) µd φu

(10-5rad/mm) φy

(10-5rad/mm) µc

04 500 79,39 10,27 7,73 3,11 0,70 4,44 05 600 65,30 15,88 4,11 2,47 0,81 3,05

Nota-se, por este estudo, que o aumento da tensão de escoamento das armaduras não

provocou mudanças na rigidez ou mesmo da força de fissuração das vigas. Neste contexto,

conclui-se que vigas que utilizam armaduras com tensão de escoamento mais elevadas tenderão


69

possuir menor ductilidade em relação à vigas com armaduras dotadas de tensão de escoamento

inferiores.

Vale ressaltar que o aço CA 50-A é classificado segundo a norma NBR 6118:2001 como

aço de alta ductilidade ao passo que o aço CA 60-B é classificado como aço de ductilidade

normal. Assim, a capacidade de deformação inelástica do elemento estrutural, neste caso, é

determinado a partir do tipo de armadura utilizada.

Figura 5.13 – Curvas força – deslocamento obtidas para as vigas variando-se o valor limite da tensão de escoamento das armaduras

Figura 5.14 – Curvas momento – curvatura obtidas para as vigas variando-se o valor limite da

tensão de escoamento das armaduras

0

50

100

150

200

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

fy=600MPa fy=500MPa

0

50

100

150

200

250

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

Curvatura (10-5rad/mm)

Mom

ento

(kN

.m)

fy=600MPa fy=500MPa


70

P P

A

A

N1 - 2 6,3 c=168,5

N2 - 2 16 c=507φ

φ

CORTE A-A

45

60cm390cm60cm

11 N3 c/ 11 11 N3 c/ 11

510cm

B

B

CORTE B-B

45

170cm 170cm 170cm

15 15

N1 - 2 6,3 c=168,5φ

N3 - 6,3 c=112φ

11

43

2

20,631

1

1,61

1,6

21,6 6,5 1,6

2 26,51,6 1,6

2

Figura 5.15 – Detalhamento das vigas 04 e 05


71

5.4 ESPAÇAMENTO ENTRE ESTRIBOS

Neste estudo, manteve-se constante o valor de “fc” em 70MPa, variando-se somente o

espaçamento entre estribos, adotando-se para as armaduras as características mecânicas do aço

CA-50A.

Optou-se por trabalhar com espaçamentos entre estribos da ordem de 7, 10 e 20 cm. Nas

Figuras 5.16, 5.17 e 5.18 apresentam-se respectivamente as curvas força – deslocamento obtidas

para os espaçamentos estudados.

A Tabela 5.7 mostra os valores numéricos obtidos nas simulações. O detalhamento das

vigas 06, 07 e 08 encontram-se respectivamente nas Figuras 5.19, 5.20 e 5.21.

Tabela 5.7 – Valores numéricos obtidos na avaliação da influência do espaçamento entre

estribos

Viga s (cm)

δu (mm)

δy (mm) µd

φu (10-5rad/mm)


06 7 78,75 12,10 6,51 3,50 0,75 4,67 07 10 56,66 10,68 5,31 2,44 0,77 3,17 08 20 46,42 10,55 4,40 2,14 0,76 2,81

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

s=7cm

Figura 5.16 – Curva força – deslocamento obtida para a viga 06

Percebe-se a partir das curvas força – deslocamento obtidas que o aumento no

espaçamento entre os estribos causou uma diminuição no deslocamento último alcançado pelas

vigas.


72

Vale ainda salientar que os deslocamentos no escoamento das armaduras sofreram pouca

variação e, portanto, o índice de ductilidade global apresentou valor mais elevado para a viga

com menor espaçamento, ou seja, s=7cm. Esta mesma observação pode ser notada quanto aos

índices de ductilidade local: a curvatura “φy” manteve-se praticamente invariante ao passo que a

curvatura “φu” sofreu decréscimos com o aumento de “s”.

Isto está ligado ao fato de que o confinamento do concreto mostra-se mais eficiente com a

diminuição da distância entre as armaduras de cisalhamento, provocando uma maior rigidez do

conjunto de armaduras e proporcionando maiores deslocamentos e curvaturas no regime próximo

à ruptura do elemento estrutural.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 10 20 30 40 50 60

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

s=10cm

Figura 5.17 – Curva força – deslocamento obtida para a viga 07

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

s=20cm Figura 5.18 – Curva força – deslocamento obtida para a viga 08


73

P P

A

A

N1 - 2 6,3 c=168,5

N2 - 2 16 c=507φ

φ

CORTE A-A

45

72cm366cm72cm

15 N3 c/ 7 15 N3 c/ 7

510cm

B

B

CORTE B-B

45

170cm 170cm 170cm

15 15

N1 - 2 6,3 c=168,5φ

N3 - 6,3 c=112φ

11

43

2

20,631

1

1,61

1,6

2 1,6 6,5 1,6 2 2 6,51,6 1,6 2 Figura 5.19 – Detalhamento da viga 06


74

P P

A

A

N1 - 2 6,3 c=168,5

N2 - 2 16 c=507φ

φ

CORTE A-A

45

72cm366cm72cm

11 N3 c/ 10 11 N3 c/ 10

510cm

B

B

CORTE B-B

45

170cm 170cm 170cm

15 15

N1 - 2 6,3 c=168,5φ

N3 - 6,3 c=112φ

11

43

2

20,631

1

1,61

1,6

2 1,6 6,5 1,6 2 2 6,51,6 1,6 2 Figura 5.20 – Detalhamento da viga 07


75

P P

A

A

N1 - 2 6,3 c=168,5

N2 - 2 16 c=507φ

φ

CORTE A-A

45

72cm366cm72cm

6 N3 c/ 20 6 N3 c/ 20

510cm

B

B

CORTE B-B

45

170cm 170cm 170cm

15 15

N1 - 2 6,3 c=168,5φ

N3 - 6,3 c=112φ

11

43

2

20,631

1

1,61

1,6

2 1,6 6,5 1,6 2 2 6,51,6 1,6 2



76

As Figuras 5.22 e 5.23 ilustram respectivamente a evolução do índice de ductilidade global

“µd” e local “µc” em relação à variação dos espaçamentos entre estribos.

Observa-se que os índices de ductilidade sofreram decréscimos em regimes de

proporcionalidade distintos: a inclinação da curva é mais acentuada entre os valores de

espaçamento s=7cm e s=10cm e menos acentuada entre s=10cm e s=20cm.

4

5

6

7

5 7 9 11 13 15 17 19 21

s (cm)

µd

Figura 5.22 – Evolução de “µd” com o aumento dos espaçamentos entre estribos

2

3

4

5

5 7 9 11 13 15 17 19 21

s (cm)

µc

Figura 5.23 – Evolução de “µc” com o aumento dos espaçamentos entre estribos


77

5.5 VARIAÇÃO DA BASE DO ELEMENTO ESTRUTURAL

Nesta avaliação, trabalhou-se com concreto de “fc” igual a 50MPa e armaduras do tipo

CA-50A, variando-se somente o valor da relação “b/h”.

Assim, utilizaram-se vigas de seção transversal diversas de tal forma que as dimensões,

valores de relação “b/h” e valores numéricos obtidos nas simulações encontram-se relacionados

na Tabela 5.8.

Tabela 5.8 – Valores numéricos obtidos na avaliação da ampliação da base do elemento estrutural

Vigas b/h δu (mm)

δy (mm) µd

φu (10-5rad/mm)


09 0,33 41,41 13,88 2,98 2,12 0,80 2,65 10 0,55 56,34 13,21 4,26 2,44 0,72 3,39 11 1,00 67,72 11,14 6,08 3,03 0,65 4,66

As Figuras 5.24 e 5.25 apresentam respectivamente as curvas de evolução força –

deslocamento e momento – curvatura para as três vigas analisadas onde observa-se um aumento

substancial na rigidez proporcionalmente ao acréscimo nas dimensões da base das vigas.

0

50

100

150

200

250

300

0 10 20 30 40 50 60 70

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Viga 09 Viga 10 Viga 11 Figura 5.24 – Curvas força – deslocamento obtidas variando-se a base das vigas

Nas Figuras 5.26 e 5.27 encontram-se respectivamente as curvas de evolução de “µd” e

“µc” em relação à variação da base do elemento estrutural. Observa-se que vigas com geometria

quadrada apresentaram rigidez e forças de fissuração mais elevadas (Figuras 5.24 e 5.25).


78

0

50

100

150

200

250

300

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5


Mom

ento

(kN

.m)

Viga 09 Viga 10 Viga 11 Figura 5.25 – Curvas momento – curvatura obtidas variando-se a base das vigas

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

6,5

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

B/H

µd

Figura 5.26 – Evolução de “µd” com o aumento da base das vigas

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

B/H

µc

Figura 5.27 – Evolução de “µc” com o aumento da base das vigas


79

Dentro deste contexto, ampliam-se também os valores dos deslocamentos e curvaturas

últimos e, conseqüentemente, dos índices de ductilidade global e local.

A ampliação da dimensão da base do elemento estrutural acarreta em uma ascensão da

linha neutra na direção do banzo comprimido.

Este fato pode ser explicado conforme a Figura 5.28 abaixo: a área “A” de concreto

suporta a resultante das tensões de compressão “Rc” oriundas da aplicação do carregamento

sobre o elemento estrutural (situação I); com o aumento da base (situação II), ocorre uma

diminuição da altura da linha neutra “x” a fim de se compatibilizar as áreas “A” para as duas

situações, que são idênticas, uma vez que foram mantidas todas as demais características

mecânicas dos materiais aço e concreto.

Com a ascensão da linha neutra, aumentam-se as deformações na armadura tracionada,

diminui-se a relação “x/d” e conseqüentemente amplia-se a ductilidade.

R cxd

A

Axd

R c

I II

Figura 5.28 – Diminuição da relação “x/d” com o aumento da base das vigas

O presente estudo retratou o processo de ruína em vigas de concreto armado sujeitas à

flexão simples tipo I enfocando-se somente o aumento da rigidez do elemento estrutural.

Entretanto pesquisas realizadas como Borges (2002), cujos resultados foram apresentados

no capítulo 2, apontam para o efeito de escala (relação entre o vão e a altura da viga) um

parâmetro muito significativo que pode acarretar em variações na ductilidade de vigas de

concreto armado.

Em vista disto, apresenta-se no item 5.6 um estudo detalhado a respeito da influência do

efeito escala sobre a ductilidade global e local.

O detalhamento da viga 09 analisada é idêntico ao apresentado na Figura 5.8. As Figuras

5.29 e 5.30 mostram respectivamente o detalhamento das vigas 10 e 11.


80

P P

A

A

N1 - 2 6,3 c=168,5

N2 - 3 16 c=507φ

φ

CORTE A-A

45

60cm390cm60cm

11 N3 c/ 11 11 N3 c/ 11

510cm

B

B

CORTE B-B

45

170cm 170cm 170cm

N1 - 2 6,3 c=168,5φ

N3 - 6,3 c=142φ

26

43

2

20,631

1

1,61

1,6

1,6 2

30

2 1,61,6 10 10 102 1,6 1,6 10 1,6 2

30



81

P P

A

A

N1 - 2 6,3 c=168,5

N2 - 3 16 c=507φ

φ

CORTE A-A

45

60cm390cm60cm

11 N3 c/ 11 11 N3 c/ 11

510cm

B

B

CORTE B-B

45

170cm 170cm 170cm

N1 - 2 6,3 c=168,5φ

N3 - 6,3 c=172φ

41

43

2

20,631

1

1,6

1,6 21,62 17,5 17,51,6

45

1

1,6

17,52 1,6 17,5 1,6 1,6 2

45



82

5.6 EFEITO ESCALA LONGITUDINAL

Para a avaliação da influência do efeito escala sobre a ductilidade de vigas de concreto

armado sujeitas à flexão simples tipo I, simularam-se três vigas com relações entre o vão e a

altura distintas.

Tais vigas possuíam armaduras com as características mecânicas do aço CA-50A e

concreto com um valor de resistência à compressão “fc” de 50MPa.

A variação do efeito escala nessas vigas foi denotada através do aumento da esbeltez da

região de momento fletor constante (RMC), mantendo-se invariável a altura das vigas e

aumentando-se o comprimento da RMC situada entre os dois pontos de carregamento.

A Tabela 5.9 apresenta os valores numéricos obtidos nas simulações das três vigas em

questão.

Tabela 5.9 – Valores numéricos obtidos na avaliação do efeito escala

Viga H (cm)

LRMC (cm)

δu (mm)

δy (mm) µd φu

(10-5rad/mm) φy

(10-5rad/mm) µc

12 45 170 41,41 13,88 2,98 2,12 0,80 2,65 13 45 230 39,86 18,37 2,17 2,05 1,08 1,90 14 45 290 43,44 23,72 1,83 2,05 1,41 1,45

As Figuras 5.31 e 5.32 apresentam respectivamente as curvas força – deslocamento e

momento – curvatura obtidas para as vigas 12, 13 e 14.

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

RMC=170cm RMC=230cm RMC=290cm Figura 5.31 – Curvas força – deslocamento obtidas na avaliação do efeito escala


83

0

50

100

150

200

250

300

0 0,5 1 1,5 2 2,5


Mom

ento

(kN

.m)

RMC=170cm RMC=230cm RMC=290cm Figura 5.32 – Curvas momento – curvatura obtidas na avaliação do efeito escala

O detalhamento da viga 12 segue ao apresentado na Figura 5.8 ao passo que os

detalhamentos das vigas 13 e 14 encontram-se respectivamente nas Figuras 5.33 e 5.34.

A partir dos resultados obtidos nas simulações nota-se que o aumento na esbeltez da RMC

proporciona um comportamento mais frágil às vigas de concreto armado. Paralelamente a isto,

percebe-se a partir das Figuras 5.31 e 5.32 que os deslocamentos e as curvaturas últimas

permanecem praticamente invariantes, ampliando-se pois os deslocamentos e as curvaturas

correspondentes ao início do escoamento das armaduras longitudinais de tração o que provoca

quedas nos índices de ductilidade global e local.

Cabe ainda ressaltar que as forças de fissuração bem como as forças de ruína permanecem

inalteradas com a ampliação do comprimento da RMC.

Toda simulação numérica quanto aos parâmetros que influem na ductilidade de vigas de

concreto armado até aqui tratada, diz respeito à solicitações do tipo flexão simples tipo I.

Partindo-se da revisão bibliográfica realizada, nota-se que existe uma tendência das vigas

possuírem maior ductilidade ao serem solicitadas à flexão simples tipo II em detrimento às

solicitadas à flexão simples tipo I.

Em função disto, o capítulo posterior trata da obtenção dos índices de ductilidade global e

local para vigas semelhantes do ponto de vista físico e mecânico às simuladas sob flexão simples

tipo I, com a finalidade de detectar possíveis ganhos ou perdas de capacidade resistente por meio

da modificação do tipo de solicitação.

Desta forma poder-se-ão detectar possíveis variações de comportamento estrutural ao se

modificar os parâmetros que influenciam o processo de ruína de vigas de concreto armado, até

agora estudados.


84

P P

A

A

N1 - 2 6,3 c=168,5

N2 - 3 16 c=567φ

φ

CORTE A-A

45

60cm450cm60cm

11 N3 c/ 11 11 N3 c/ 11

570cm

B

B

CORTE B-B

45

170cm 230cm 170cm

15 15

N1 - 2 6,3 c=168,5φ

N3 - 6,3 c=112φ

11

43

2

20,631

1

1,61

1,6

2 2,52,51,6 1,6 1,6

22,52 2,5

1,6 1,6 1,62



85

P P

A

A

N2 - 3 16 c=627φ

CORTE A-A

45

60cm510cm60cm

11 N3 c/ 11 11 N3 c/ 11

630cm

B

B

CORTE B-B

45

170cm 290cm 170cm

15 15

N1 - 2 6,3 c=168,5φ

N3 - 6,3 c=112φ

11

43

2

20,631

1

1,61

1,6

2 2,52,51,6 1,6 1,6

22,52 2,5

1,6 1,6 1,62

N1 - 2 6,3 c=168,5φ


Capítulo 6: Estudo dos Parâmetros que Afetam a Ductilidade de Vigas de Concreto Armado: Flexão Simples Tipo II

86

CAPÍTULO 6: ESTUDO DOS PARÂMETROS QUE AFETAM A DUCTILIDADE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO: FLEXÃO SIMPLES TIPO II 6.1 ESTUDO DA RUPTURA DO ELEMENTO ESTRUTURAL

Uma vez fundamentados os estudos acerca da influência dos parâmetros resistência à



e efeito escala sobre a ductilidade global e local em vigas de concreto armado sujeitas à flexão

simples tipo I, partiu-se para o estudo da influência de tais parâmetros sobre a ductilidade das

vigas sujeitas à flexão simples tipo II.

O objetivo deste capítulo é de detectar possíveis ganhos ou perdas em termos de

capacidade de deformação inelástica por parte do elemento estrutural no momento em que agir

sobre o concreto tensões normais e de cisalhamento simultaneamente.

Vale ressaltar que no estudo anterior (flexão simples tipo I) na região central do vão, onde

foram medidos os índices de ductilidade global e local, agiam somente tensões normais sobre o

concreto, inexistindo tensões cisalhantes.

Primeiramente partiu-se para o estudo acerca da ruptura do elemento estrutural. Para tanto,

realizaram-se simulações numéricas em três vigas de concreto armado, sendo duas delas sujeitas

à flexão simples tipo I e outra sujeita à flexão simples tipo II.

Tais vigas possuíam as mesmas características físicas e mecânicas a saber: resistência à

compressão do concreto de 40MPa e armaduras com tensão de escoamento de 500MPa (aço CA

50-A); o detalhamento da estática das vigas encontra-se na Figura 6.1.

A Tabela 6.1 apresenta os valores das forças de ruptura para cada viga bem como do valor

da relação “a/d” utilizada, sendo “a” a distância da força aplicada ao apoio e “d” a altura útil ou

efetiva da peça.

Tabela 6.1 – Valores de força de ruptura obtidos

Viga Tipo de Flexão a/d Força de Ruptura (kN) 15 Simples tipo I 2,77 45,5 16 Simples tipo I 2,31 55 17 Simples tipo II 4,84 57

A Figura 6.2 mostra as curvas força – deslocamento obtidas nas simulações.


87

P P

0,60m4,20m0,60m

5,40m

1,80m 1,80m 1,80m

Viga 15

1,60m

0,60m

5,40m

P

4,20m

Viga 16

2,20m

P

0,60m

1,60m

2,70m

0,60m 4,20m

5,40m

Viga 17

0,60m

2,70m

P

Figura 6.1 – Posição relativa das forças para cada viga

Vale ressaltar que todas as vigas possuíram estribos de diâmetro igual a 6,3mm espaçados

entre si em 10cm. As armaduras longitudinais de compressão foram dotadas de duas barras de

diâmetro igual a 6,3mm Nas armaduras longitudinais de tração utilizaram-se duas barras de

diâmetro igual a 12,5mm.


88

0

20

40

60

80

100

120

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Viga 15 Viga 16 Viga 17 Figura 6.2 – Curvas força – deslocamento obtidas no estudo de ruptura das vigas

É interessante notar que a viga 17 rompeu com força inferior com relação às duas outras

vigas solicitadas à flexão simples tipo I, porém os momentos de ruptura obtidos foram próximos

para os dois casos de solicitação. Em outras palavras, necessita-se aplicar uma força maior no

caso de flexão simples tipo I para obter o mesmo momento de ruptura atuante no caso da flexão

simples tipo II.

O trabalho de Fernandes (1992) mostra que a tensão de cisalhamento medida em estribos

situados na mesma posição em vigas semelhantes, do ponto de vista físico e mecânico, e a tensão

normal de tração nas armaduras longitudinais obtida na mesma seção do elemento estrutural, foi

maior para o caso de solicitação à flexão simples tipo II em relação à solicitação à flexão simples

tipo I para um mesmo valor de esforço cortante atuante e, desta forma, explica-se o motivo pelo

qual a viga 17 rompeu com força inferior.

Outra observação proposta por Fernandes (1992) foi que a tensão de cisalhamento nos

estribos e a tensão normal nas armaduras longitudinais de tração em uma seção arbitrária do

elemento estrutural estão diretamente relacionadas à relação “a/d”.

Sobre as vigas que apresentarem uma elevação de tal relação atuarão necessariamente

maiores tensões de cisalhamento nos estribos e maiores tensões normais de tração nas armaduras

longitudinais.

6.2 RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO DO CONCRETO

Apresenta-se neste item o estudo da influência da resistência à compressão do concreto

sobre a ductilidade de vigas de concreto armado solicitadas por flexão simples tipo II.


89

Nessas simulações, utilizaram-se para as armaduras as características mecânicas do aço

CA-50A variando-se somente o valor de “fc” de 40MPa, 70MPa e 100MPa, mantendo-se

constante todas as demais características físicas e mecânicas das vigas analisadas. O

detalhamento dessas vigas encontra-se na Figura 6.4.

A Tabela 6.2 relata os resultados obtidos para as simulações em questão.

Tabela 6.2 – Valores numéricos obtidos no estudo da influência de “fc” sobre a ductilidade de vigas de concreto armado sujeitas à flexão simples tipo II

fc (MPa) ρ/ρb δu

(mm) δy



40 0,14 86,47 10,01 8,64 2,18 0,42 5,19 70 0,07 103,31 10,23 10,10 4,11 0,43 9,56 100 0,04 125,66 10,56 11,90 4,79 0,42 11,40

As Figuras 6.3 e 6.5 mostram respectivamente a evolução dos índices de ductilidade global

e local com relação à variação da resistência à compressão do concreto ao passo que as Figuras

6.6 e 6.7 apresentam respectivamente a evolução de “µd” e “µc” no que diz respeito à variação do

parâmetro “ρ/ρb”.

fc = 3,8289e 0,2779µd

R2 = 0,9653

30

40

50

60

70

80

90

100

110

8 8,5 9 9,5 10 10,5 11 11,5 12 12,5

µ d

f c(M

Pa)

Figura 6.3 – Evolução de “µd” com a ampliação de “fc”


90

P

A

A

N2 - 2 12,5 c=537φ

60cm420cm60cm

43 N3 c/ 10

540cm

CORTE A-A

45

270cm 270cm

15

N1 - 2 6,3 c=537φ

N3 - 6,3 c=112φ

11

43

2

20,631

1

1,25

2 7,21,25 1,25 2

Figura 6.4 – Detalhamento das vigas simuladas submetidas à flexão simples tipo II


91

fc = 18,643e0,144µc

R2 = 0,9893

30

40

50

60

70

80

90

100

110

4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5

µ c

f c(M

Pa)

Figura 6.5 – Evolução de “µc” com a ampliação de “fc”

µ d = 13,035e -3,0293ρ / ρb

R2 = 0,943

8

9

10

11

12

0 0,05 0,1 0,15

ρ /ρ b

µd

Figura 6.6 – Evolução de “µd” em função do parâmetro “ρ/ρb”

µ c = 16,136e -8,0208ρ / ρb

R2 = 0,9933

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0,02 0,07 0,12 0,17

ρ /ρ b

µc

Figura 6.7 – Evolução de “µc” em função do parâmetro “ρ/ρb”


92

Observa-se neste estudo a mesma linha de tendência detectada no estudo de variação da

resistência à compressão do concreto efetuado no capítulo 5: segundo as Figuras 6.3 e 6.5

percebe-se que a ampliação de “fc” provoca ampliações aos índices de ductilidade, sendo que

todo o fenômeno de ganho de capacidade de deformação inelástica é regido pela diminuição do

parâmetro “ρ/ρb”.

Entretanto os índices “µd” e “µc” aqui obtidos mostraram-se ligeiramente superiores aos

obtidos para as vigas numericamente simuladas para a situação de flexão simples tipo I.

Cabe lembrar que em ambas situações de solicitação, flexão simples tipo I e tipo II, o

elemento estrutural possuiu características físicas e mecânicas semelhantes, diferindo-se apenas

quanto ao comprimento do vão (6% maior para o caso de flexão simples tipo II).

Posteriormente, partiu-se para a quantificação da taxa geométrica de armadura longitudinal

de tração “ρ”, agora chamada de “ρ*”, a fim de que fosse mantida a relação “ρ/ρb” em valor

igual a 0,14 que fora obtida para a viga com “fc” igual a 40MPa.

Na Tabela 6.3 encontram-se os valores de “ρ*” obtidos, bem como a área da seção

transversal das armaduras longitudinais de tração “As” correspondentes.

Tabela 6.3 – Valores obtidos mantendo-se constante a relação “ρ*/ρb” fc(MPa) ρ(%) ρb(%) ρ*(%) ρ*/ρb As

40 0,36 2,57 0,36 0,14 2φ 12,5mm 70 0,36 5,14 0,73 0,14 4φ 12,5mm 100 0,36 9,00 1,28 0,14 7φ 12,5mm

A Tabela 6.4 apresenta os resultados obtidos para as simulações das vigas com “fc” igual a

70MPa e “As” igual a 4φ 12,5mm e “fc” igual a 100MPa com “As” igual a 7φ 12,5mm.

Tabela 6.4 – Valores numéricos obtidos mantendo-se constante a relação “ρ*/ρb”

fc (MPa) ρ*/ρb δu

(mm) δy



40 0,14 86,47 10,01 8,64 2,18 0,42 5,19 70 0,14 70,94 12,05 5,89 2,04 0,49 4,16 100 0,14 52,06 11,40 4,57 1,89 0,49 3,86

As Figuras 6.8 e 6.9 apresentam respectivamente a evolução dos índices de ductilidade

global e local em relação à ampliação da resistência à compressão do concreto para as

simulações em questão.


93

fc = 268,61e-0,2218µd

R2 = 0,9947

0

20

40

60

80

100

120

4 5 6 7 8 9

µ d

f c(M

Pa)

Figura 6.8 – Variação de “µd” com o acréscimo de “fc” mantendo-se constante a relação “ρ*/ρb”

fc = 1152,1e -0,6514µc

R2 = 0,9681

0

20

40

60

80

100

120

3,5 4 4,5 5 5,5

µ c

f c(M

Pa)

Figura 6.9 – Variação de “µc” com o acréscimo de “fc” mantendo-se constante a relação “ρ*/ρb”

Analisando as Figuras 6.8 e 6.9 acima expostas, nota-se que para o caso em que manteve-

se constante a relação entre a taxa de armadura longitudinal de tração e a taxa de armadura

longitudinal de tração balanceada, o aumento da resistência à compressão do concreto ocasionou

decréscimos aos índices de ductilidade global e local.


94

6.3 TAXA GEOMÉTRICA DE ARMADURA LONGITUDINAL DE TRAÇÃO

Neste estudo variou-se somente a taxa geométrica de armadura longitudinal de tração,

mantendo-se constante todas as demais propriedades físicas e mecânicas das vigas de concreto

armado. Para isso, utilizou-se concreto com resistência à compressão de 50MPa e armaduras do

tipo CA-50A.

A Tabela 6.5 enumera as vigas analisadas com os respectivos índices de ductilidade

numericamente obtidos. O detalhamento da viga 18 é idêntico ao apresentado na Figura 6.4 ao

passo que o detalhamento das vigas 19 e 20 encontram-se respectivamente apresentados nas

Figuras 6.11 e 6.12.

Tabela 6.5 – Valores numéricos obtidos no estudo de variação da taxa geométrica de armadura

longitudinal de tração

Vigas ρ (%)

ρb (%) ρ/ρb δu

(mm) δy



18 0,36 3,48 0,10 91,30 9,66 9,45 2,82 0,40 7,05 19 0,89 3,51 0,25 50,31 11,90 4,23 2,32 0,50 4,64 20 0,93 3,57 0,26 33,93 11,72 2,90 1,97 0,45 4,38

A Figura 6.10 mostra as curvas força – deslocamento das três vigas em questão.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Viga 18 Viga 19 Viga 20 Figura 6.10 – Curvas força – deslocamento obtidas no estudo da variação da taxa geométrica de

armadura longitudinal de tração

A partir da Tabela 6.5 percebe-se que o fenômeno de aumento de fragilidade por parte das

vigas fora acompanhado pela ampliação do parâmetro “ρ/ρb” que vem a ser o efeito causador da

diminuição de capacidade resistente.


95

P

A

A

N2 - 3 16 c=537φ

60cm420cm60cm

43 N3 c/ 10

540cm

CORTE A-A

45

270cm 270cm

15

N1 - 2 6,3 c=537φ

N3 - 6,3 c=112φ

11

43

2

20,631

1

1,6

2 1,61,6 1,6 22,52,5 Figura 6.11 – Detalhamento da viga 19


96

P

A

A

N2 - 2 20 c=537φ

60cm420cm60cm

43 N3 c/ 10

540cm

CORTE A-A

45

270cm 270cm

15

N1 - 2 6,3 c=537φ

N3 - 6,3 c=112φ

11

43

2

20,631

12

2 5,72 2 2



97

Nas Figuras 6.13 e 6.14 estão representadas as evoluções dos índices de ductilidade global

e local em função do parâmetro “ρ/ρb”.

µ d = 18,287e -6,5012ρ / ρb

R2 = 0,9327

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

ρ/ ρ b

µd

Figura 6.13 – Evolução de “µd” com relação à variação de “ρ/ρb”

µ c = 9,4247e -2,8938ρ / ρb

R2 = 0,9969

4

4,5

5

5,5

6

6,5

7

7,5

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

ρ/ ρ b

µc

Figura 6.14 – Evolução de “µc” com relação à variação de “ρ/ρb”

A partir das Figuras 6.13 e 6.14 acima vê-se um comportamento de queda do tipo

exponencial dos índices de ductilidade para com a relação entre taxas geométricas de armadura

longitudinal de tração.

Comparando-se os índices “µd” e “µc” obtidos nos estudos de flexão simples tipo I e tipo

II, salienta-se que no presente estudo, analogamente ao estudo da variação da resistência à

compressão do concreto, tais índices apresentam-se com valores mais elevados.


98

6.4 TENSÃO DE ESCOAMENTO DAS ARMADURAS

Este estudo trata da variação da tensão de escoamento das armaduras, mediante a

utilização dos aços do tipo CA-50A e CA-60B para vigas de concreto armado submetidas à

flexão simples tipo II. Simularam-se duas vigas, com “fc” igual a 70MPa para ambas, cujos

resultados numéricos alcançados encontram-se listados na Tabela 6.6. A Figura 6.16 mostra o

detalhamento das vigas analisadas.

Tabela 6.6 – Valores numéricos obtidos na avaliação da influência da tensão de

escoamento das armaduras

Viga fy (MPa)

δu (mm)

δy (mm) µd φu

(10-5rad/mm) φy

(10-5rad/mm) µc

21 500 89,05 10,00 8,91 2,89 0,42 6,88 22 600 68,69 12,65 5,51 2,27 0,58 3,91

A Figura 6.15 apresenta as curvas força – deslocamento obtidas para as duas vigas em

questão.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

fy=600MPa fy=500MPa Figura 6.15 – Curvas força – deslocamento obtidas na avaliação da influência da tensão de

escoamento das armaduras Ressalta-se que não há nenhuma mudança comportamental quanto às observações já

proferidas anteriormente no estudo da influência de “fy” para o caso de solicitação à flexão

simples tipo I em que detectou-se uma diminuição de capacidade resistente para vigas com

armaduras dotadas de valores de tensão de escoamento mais elevados. Coloca-se aqui no entanto

que os índices de ductilidade calculados para as vigas submetidas à flexão simples tipo II

mostraram-se mais elevados.


99

P

A

A

N2 - 2 16 c=537φ

60cm420cm60cm

43 N3 c/ 10

540cm

CORTE A-A

45

270cm 270cm

15

N1 - 2 6,3 c=537φ

N3 - 6,3 c=112φ

11

43

2

20,631

1

1,6

2 6,51,6 1,6 2

Figura 6.16 – Detalhamento das vigas 21 e 22


100

6.5 ESPAÇAMENTO ENTRE ESTRIBOS

Nesta avaliação variou-se somente o espaçamento entre estribos, nos valores de 7cm,

10cm e 20cm, mantendo-se constante todas as demais características físicas e mecânicas,

trabalhando-se com armaduras do tipo CA-50A e resistência à compressão do concreto no valor

de 70MPa.

A Tabela 6.7 apresenta os valores numéricos relativos aos índices de ductilidade global e

local obtidos nas simulações.

Tabela 6.7 – Valores numéricos obtidos na avaliação da influência do espaçamento entre estribos

Viga s (cm)

δu (mm)

δy (mm) µd

φu (10-5rad/mm)


23 7 110,22 8,33 13,23 3,69 0,37 9,97 24 10 89,05 10,00 8,91 2,89 0,42 6,88 25 20 65,99 9,01 7,32 2,10 0,38 5,53

As Figuras 6.17, 6.18 e 6.19 mostram as curvas força – deslocamento obtidas

respectivamente para as vigas 23, 24 e 25.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)


Percebe-se pelo exposto na Tabela 6.7 uma maior capacidade de deformação inelástica

para as vigas com maior confinamento provocado pela diminuição do espaçamento entre

estribos, linha de tendência esta que já havia sido obtida para o caso de flexão simples tipo I,

porém com índices de ductilidade inferiores aos aqui calculados.


101

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)


As Figuras 6.20 e 6.21 ilustram respectivamente o detalhamento das vigas 23 e 25. O

detalhamento da viga 24 é idêntico ao apresentado na Figura 6.16.

Os estudos até agora efetuados com relação às vigas de concreto armado sob solicitação do

tipo flexão simples tipo II demonstraram a mesma linha de tendência detectada em vigas

semelhantes sujeitas à flexão simples tipo I porém obteve-se um aumento nos índices de

ductilidade global e local para a presente análise.

Na seqüência, apresentam-se as duas últimas avaliações: com relação ao aumento da base

do elemento estrutural e com relação ao efeito escala. Transcorridos estes dois últimos estudos,

conclusões gerais serão indagadas à respeito da ductilidade de vigas de concreto armado.


102

P

A

A

N2 - 2 16 c=537φ

60cm420cm60cm

61 N3 c/ 7

540cm

CORTE A-A

45

270cm 270cm

15

N1 - 2 6,3 c=537φ

N3 - 6,3 c=112φ

11

43

2

20,631

1

1,6

2 6,51,6 1,6 2



103

P

A

A

N2 - 2 16 c=537φ

60cm420cm60cm

22 N3 c/ 20

540cm

CORTE A-A

45

270cm 270cm

15

N1 - 2 6,3 c=537φ

N3 - 6,3 c=112φ

11

43

2

20,631

1

1,6

2 6,51,6 1,6 2



104

6.6 VARIAÇÃO DA BASE DO ELEMENTO ESTRUTURAL

Nesta avaliação, utilizou-se para o concreto um valor de “fc” igual a 50MPa e para as

armaduras as características mecânicas do aço CA-50A, identicamente ao que fora feito nas

simulações referentes à solicitações do tipo flexão simples tipo I.

Assim, variou-se somente a base das vigas de concreto armado, nos valores de 15cm,

30cm e 45cm, mantendo-se invariáveis todas as demais características físicas e mecânicas. A

Tabela 6.8 mostra os valores numéricos relativos ao levantamento dos índices de ductilidade

global e local.

Tabela 6.8 – Valores numéricos obtidos na avaliação da ampliação da base do elemento

estrutural

Vigas b/h δu (mm)

δy (mm) µd

φu (10-5rad/mm)


26 0,33 50,31 11,90 4,23 2,32 0,50 4,64 27 0,55 65,22 9,72 6,71 2,74 0,46 5,96 28 1,00 72,47 7,84 9,24 3,29 0,36 9,14

As Figuras 6.22 e 6.23 ilustram respectivamente as curvas força – deslocamento e


0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Viga 26 Viga 27 Viga 28 Figura 6.22 – Curvas força – deslocamento obtidas para as vigas analisadas

Observa-se a partir das Figuras 6.22 e 6.23 e dos valores de “µd” e “µc” dispostos na

Tabela 6.8 que o aumento da rigidez proporcionado pela ampliação da base das vigas acarretou

em uma ampliação nas forças de fissuração, bem como da capacidade de deformação inelástica


105

do elemento estrutural. Todavia vale ressaltar que os índices de ductilidade global e local aqui

calculados apresentam-se superiores aos obtidos no estudo da variação da base do elemento

estrutural para o caso de solicitação de flexão simples tipo I.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5


Mom

ento

(kN

.m)

Viga 26 Viga 27 Viga 28 Figura 6.23 – Curvas momento – curvatura obtidas para as vigas analisadas

O detalhamento da viga 26 é o mesmo apresentado na Figura 6.11, ao passo que os

detalhamentos das vigas 27 e 28 encontram-se respectivamente nas Figuras 6.24 e 6.25.

Salienta-se que até a presente avaliação não houve grandes mudanças comportamentais

das vigas de concreto armado submetidas à flexão simples tipo I e simples tipo II, uma vez que o

comportamento estrutural das mesmas diferiu-se apenas quanto aos valores dos índices de

ductilidade global e local calculados.

Em seqüência, apresenta-se o último estudo referente às vigas submetidas à flexão simples

tipo II que trata da questão da influência do efeito de escala sobre a ductilidade.


106

P

A

A

N2 - 3 16 c=537φ

60cm420cm60cm

43 N3 c/ 10

540cm

CORTE A-A

45

270cm 270cm

30

N1 - 2 6,3 c=537φ

N3 - 6,3 c=142φ

26

43

2

20,631

1

1,6

2 1,6 1,6 21,610 10



107

P

A

A

N2 - 3 16 c=537φ

60cm420cm60cm

43 N3 c/ 10

540cm

CORTE A-A

45

270cm 270cm

45

N1 - 2 6,3 c=537φ

N3 - 6,3 c=172φ

41

43

2

20,631

1

1,6

2 1,6 1,6 21,6 17,517,5



108

6.7 EFEITO ESCALA TRANSVERSAL

Neste estudo avaliou-se a influência do efeito escala sobre a ductilidade de vigas de

concreto armado submetidas à flexão simples tipo II, retratado por meio da variação da relação

entre o vão e a altura do elemento estrutural.

Desta forma, simularam-se três vigas com diferentes valores de altura, porém com vão

constante, cuja resistência à compressão do concreto adotada fora de 50MPa e armaduras com a

característica mecânica do aço tipo CA-50A. Na Tabela 6.9 estão dispostos os valores numéricos

alcançados nas simulações.

Tabela 6.9 – Valores numéricos obtidos na avaliação do efeito escala

Viga H (cm)

L (cm)

δu (mm)

δy (mm) µd φu

(10-5rad/mm) φy

(10-5rad/mm) µc

29 45 540 50,31 11,90 4,23 2,32 0,50 4,64 30 30 540 49,11 18,84 2,61 2,30 0,58 3,96 31 20 540 57,22 33,60 1,70 2,37 0,81 2,92

sendo “H” a altura e “L” o vão do elemento estrutural

As Figuras 6.26 e 6.27 ilustram respectivamente as curvas força – deslocamento e


0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50 60

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

H=45cm H=30cm H=20cm Figura 6.26 – Curvas força – deslocamento obtidas na avaliação da influência do efeito escala


109

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0,5 1 1,5 2 2,5


Mom

ento

(kN

.m)

H=45cm H=30cm H=20cm Figura 6.27 – Curvas momento – curvatura obtidas na avaliação da influência do efeito escala

O detalhamento da viga 29 é idêntico ao apresentado na Figura 6.11. Os detalhamentos das

vigas 30 e 31 estão apresentados respectivamente nas Figuras 6.28 e 6.29.

Com relação à análise numérica efetuada conclui-se a partir dos índices de ductilidade

apresentados na Tabela 6.9 que a ductilização das vigas é inversamente proporcional à esbeltez

das mesmas (o mesmo ocorrido para o caso de flexão simples tipo I).

Todavia, para o caso de solicitação do tipo flexão simples tipo I não houve mudanças no

que tange às forças de ruína das vigas com a ampliação da esbeltez das mesmas.

Já para o caso de solicitação do tipo flexão simples tipo II, ocorreram depreciações

significativas nas forças de ruína com o aumento da esbeltez do elemento estrutural, notificando

comportamentos estruturais distintos para os dois casos de solicitação.

Assim, o presente estudo retratou a única mudança comportamental das vigas de concreto

armado com relação às outras cinco avaliações realizadas para dois casos de flexão: resistência à


escoamento das armaduras, espaçamento entre estribos e aumento da base do elemento

estrutural.

A linha de tendência geral notificada foi de uma maior ductilização das vigas sujeitas à

flexão simples tipo II, em detrimento às solicitadas por flexão simples tipo I.

Conclui-se portanto que além dos seis fatores avaliados que interferem na capacidade de

deformação inelástica das vigas, um outro fator mostrou-se muito significativo: o tipo de

solicitação agente sobre o elemento estrutural.


110

P

A

A

N2 - 3 16 c=537φ

60cm420cm60cm

43 N3 c/ 10

540cm

CORTE A-A

30

270cm 270cm

15

N1 - 2 6,3 c=537φ

N3 - 6,3 c=82φ

11

28

2

20,631

1

1,6

2 1,61,6 1,6 22,52,5



111

P

A

A

N2 - 3 16 c=537φ

60cm420cm60cm

43 N3 c/ 10

540cm

CORTE A-A

20

270cm 270cm

15

N1 - 2 6,3 c=537φ

N3 - 6,3 c=62φ

11

18

2

20,631

1

1,6

2 1,61,6 1,6 22,52,5


Capítulo 7: Conclusões

112

CAPÍTULO 7: CONCLUSÕES No âmbito geral, percebeu-se boa convergência do modelo numérico em relação aos

resultados experimentais no que diz respeito às forças de fissuração, plastificação e ruína bem

como os deslocamentos “δy” e “δu” (análise global) que posteriormente foram utilizados no

cálculo dos índices de ductilidade global.

Este estudo retratou boa proximidade entre as curvas força – deslocamento numéricas e

experimentais, garantindo confiabilidade aos estudos efetuados quanto aos parâmetros que

afetam a ductilidade de vigas de concreto armado.

Em termos de análise global pode-se concluir que no contexto geral os resultados de forças

de fissuração, plastificação e ruína numéricos alcançados com a utilização da malha M3 foram

próximos aos resultados obtidos experimentalmente para as seis vigas analisadas. Entretanto,

notam-se algumas discrepâncias de resultados sobretudo quanto aos deslocamentos “δy” e “δu”

obtidos para as vigas 04, 05 e 06 ensaiadas por Ribeiro (1996).

Com relação aos resultados numéricos de curvas força – deformação no concreto pode-se

notar que alcançaram-se bons índices de convergência sobretudo para a deformação última do

concreto que ocorreu à taxa de 2,5‰ para a viga 01, da ordem de 3,5‰ para as vigas 02 e 03, da

ordem de 1,8‰ para a viga 05 e da ordem de 2,1‰ para a viga 06.

Quanto à viga 04 os resultados de deformação última obtidos numericamente (1,48‰)

foram ligeiramente menores com relação aos obtidos experimentalmente (2,4‰). De uma forma

geral, obteve-se maior proximidade entre as trajetórias de deformações no concreto com a


No que diz respeito às curvas força – deformação no aço percebe-se que a proximidade

entre as curvas experimentais e numéricas foi mais acentuada em relação às curvas anteriores

(força – deslocamento e força – deformação no concreto) mostrando que o modelo reológico

elastoplástico perfeito adotado para as armaduras retrata com fidelidade as deformações

ocorridas no material mediante a aplicação de um estado de tensões.

As deformações últimas neste material obtidas experimentalmente foram muito próximas

das calculadas via processo numérico para as vigas 02, 03, 04 e 06 (da ordem de 9‰). Para a

viga 01, a deformação última numérica foi da ordem de 10‰ enquanto que a experimental

alcançou um valor próximo a 17‰.

Este valor elevado pode ter sido obtido em função de erros de leitura ou mesmo por uma

disfunção do extensômetro elétrico colado nas armaduras a fim de se medir as deformações.


113

Para a viga 05 os valores numéricos de deformação última no material aço (9‰) ficaram

aquém dos resultados obtidos experimentalmente (11,5‰).

Seguindo a mesma linha de tendência dos resultados apresentados de curvas força –

deslocamento e força – deformação no concreto, obteve-se maior proximidade entre os

resultados numéricos e experimentais das trajetórias de deformações no material aço com a


Tais erros podem ocorrer devido à própria heterogeneidade do material concreto que por

muitas vezes acarreta em uma ineficiência do modelo reológico adotado ou mesmo erros ligados

à disfunção de equipamentos utilizados nas medições de deformações e deslocamentos.

Aliado a isto, metodologias de ensaio ineficientes podem conduzir à resultados que podem

não retratar com fidelidade a deformabilidade dos materiais ou mesmo do elemento estrutural

como um todo por meio da ampliação da força externa aplicada.

Outro fato que acarretou problemas de convergência com relação aos resultados de Ribeiro

(1996) foi a adoção nas simulações de um módulo de elasticidade longitudinal uma vez que não

realizaram-se ensaios experimentais para a determinação desta grandeza.

No âmbito geral percebe-se que as respostas numéricas foram superiores aos resultados

obtidos experimentalmente em função da adoção de uma ligação perfeita entre os materiais aço e

concreto, não havendo possibilidades portanto de deslocamentos relativos entre eles.

No que diz respeito à análise dos parâmetros que afetam a ductilidade de vigas de concreto

armado para solicitações do tipo flexão simples tipo I pode-se concluir que:

Variando-se somente a resistência à compressão do concreto, notou-se um aumento na

ductilidade global e local das vigas de concreto armado, sendo este processo influenciado pela

variação da relação “ρ/ρb”;Com o aumento de “fc” diminui a área necessária para suportar a

resultante das tensões de compressão provocada pela flexão do elemento estrutural, diminui-se a

relação “x/d” onde a posição da linha neutra estará mais próxima à região comprimida,

provocando maiores deformações na armadura tracionada e, em conseqüência disso, amplia-se a

ductilidade.

Mantendo-se constante a relação “ρ/ρb” e ampliando-se o valor de “fc”, perceberam-se

decréscimos nos índices de ductilidade global e local;

Ainda que concretos de alto desempenho possuam características mais frágeis em relação

à concretos convencionais, é possível obter vigas de concreto armado de alto desempenho com

propriedades dúcteis suficientes, bastando para isso utilizar a relação “ρ/ρb” mais adequada para

que se atinja a ductilidade desejada.


114

Com relação às armaduras, percebeu-se que a ampliação da taxa geométrica de armadura

longitudinal de tração ocasionou uma diminuição na ductilidade;

O aumento da taxa de armadura longitudinal de tração acarretou em uma elevação no valor

da relação “x/d”, onde a linha neutra situar-se-á em uma posição mais próxima da armadura

tracionada proporcionando menores deformações nesta e maiores deformações no concreto

comprimido. Em outras palavras, a ampliação de “ρ” ocasionou um comportamento mais frágil à

vigas de concreto armado.

Observou-se também que as vigas de concreto armado simuladas com armaduras cujo

valor da tensão de escoamento foi mais elevado possuíram menor ductilidade;

Vale ressaltar que o aço CA 50-A é classificado segundo a norma NBR 6118:2001 como

aço de alta ductilidade ao passo que o aço CA 60-B é classificado como aço de ductilidade

normal. Assim, a capacidade de deformação inelástica do elemento estrutural, neste caso, foi

determinada a partir do tipo de armadura utilizada.

No estudo relativo ao espaçamento entre estribos percebeu-se a partir das curvas força –

deslocamento obtidas que o aumento no espaçamento causou uma diminuição no deslocamento

último alcançado pelas vigas.

Vale ainda salientar que os deslocamentos no escoamento das armaduras sofreram pouca

variação e, portanto, o índice de ductilidade global apresentou valor mais elevado para a viga

com menor espaçamento, ou seja, s=7cm.

Esta mesma observação pode ser notada quanto aos índices de ductilidade local: a

curvatura “φy” manteve-se praticamente invariante ao passo que a curvatura “φu” sofreu

decréscimos com o aumento de “s”.

Isto está ligado ao fato de que o confinamento do concreto mostra-se mais eficiente com a

diminuição da distância entre as armaduras de cisalhamento, provocando uma maior rigidez do

conjunto de armaduras e proporcionando maiores deslocamentos e curvaturas no regime próximo

à ruptura do elemento estrutural.

No que tange ao estudo relativo ao aumento da base do elemento estrutural observou-se

que vigas com geometria quadrada apresentaram rigidez e forças de fissuração mais elevadas.

Dentro deste contexto, ampliaram-se também os valores dos deslocamentos e curvaturas últimos

e, conseqüentemente, dos índices de ductilidade global e local.

A ampliação da dimensão da base do elemento estrutural acarreta em uma ascensão da

linha neutra na direção do banzo comprimido proporcionando portanto um aumento da

ductilização por parte das vigas.


115

No que diz respeito ao estudo do efeito escala notou-se a partir dos resultados obtidos

nas simulações que o aumento na esbeltez da RMC proporcionou um comportamento mais frágil

às vigas de concreto armado. Paralelamente a isto, percebeu-se que os deslocamentos e as

curvaturas últimas permaneceram praticamente invariantes, ampliando-se pois os deslocamentos

e as curvaturas correspondentes ao início do escoamento das armaduras longitudinais de tração o

que provocou quedas nos índices de ductilidade global e local.

Cabe ainda ressaltar que as forças de fissuração bem como das forças de ruína

permaneceram inalteradas com a ampliação do comprimento da RMC.

É interessante notar que a viga 17 rompeu com força inferior com relação às duas outras

vigas solicitadas à flexão simples tipo I, porém os momentos de ruptura obtidos foram próximos

para os dois casos de solicitação. Em outras palavras, necessita-se aplicar uma força maior no

caso de flexão simples tipo I para obter o mesmo momento de ruptura atuante no caso da flexão

simples tipo II.

O trabalho de Fernandes (1992) mostra que a tensão de cisalhamento medida em estribos

situados na mesma posição em vigas semelhantes, do ponto de vista físico e mecânico, e a tensão

normal de tração nas armaduras longitudinais obtida na mesma seção do elemento estrutural, foi

maior para o caso de solicitação à flexão simples tipo II em relação à solicitação à flexão simples

tipo I para um mesmo valor de esforço cortante atuante e, desta forma, explica-se o motivo pelo

qual a viga 17 rompeu com força inferior.

Outra observação proposta por Fernandes (1992) foi que a tensão de cisalhamento nos

estribos e a tensão normal nas armaduras longitudinais de tração em uma seção arbitrária do

elemento estrutural estão diretamente relacionadas à relação “a/d”.

Sobre as vigas que apresentarem uma elevação de tal relação atuarão necessariamente

maiores tensões de cisalhamento nos estribos e maiores tensões normais de tração nas armaduras

longitudinais.

Para os estudos abaixo relacionados não perceberam-se mudanças comportamentais do

ponto de vista estrutural das vigas de concreto armado com relação aos dois casos de flexão,

simples tipo I e simples tipo II: resistência à compressão do concreto, taxa geométrica de

armadura longitudinal de tração, tensão de escoamento das armaduras, espaçamento entre

estribos e aumento da base do elemento estrutural.

A linha de tendência geral notificada foi de uma maior ductilização das vigas sujeitas à

flexão simples tipo II, em detrimento às solicitadas por flexão simples tipo I.

Já com relação à análise numérica efetuada no estudo relativo ao efeito escala para vigas

sujeitas à flexão simples tipo II conclui-se a partir dos índices de ductilidade apresentados que a


116

ductilização das vigas é inversamente proporcional à esbeltez das mesmas (o mesmo ocorrido

para o caso de flexão simples tipo I).

Todavia, para o caso de solicitação do tipo flexão simples tipo I não houve mudanças no

que tange às forças de ruína das vigas com a ampliação da esbeltez das mesmas. Já para o caso

de solicitação do tipo flexão simples tipo II, ocorreram depreciações significativas nas forças de

ruína com o aumento da esbeltez do elemento estrutural, notificando comportamentos estruturais

distintos para os dois casos de solicitação.

Conclui-se portanto que além dos seis fatores avaliados que interferem na capacidade de

deformação inelástica das vigas, um outro fator mostrou-se muito significativo: o tipo de

solicitação agente sobre o elemento estrutural.

Resta lembrar que o presente trabalho procurou avaliar os parâmetros que interferem na

ductilidade de vigas de concreto armado sendo que critérios de projeto como a determinação da

relação “a/d” mínima para obter-se uma ductilidade desejável poderá ser alvo de estudo de

futuros trabalhos.

Capítulo 8: Propostas para Trabalhos Futuros

117

CAPÍTULO 8: PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS

A seguir relacionam-se algumas propostas que podem ser seguidas para a confecção de

trabalhos futuros:

Estudo numérico da ductilidade de vigas de concreto armado sujeitas à flexo compressão

e flexo tração normal e excêntrica

Estudo numérico da ductilidade de pilares de concreto armado

Estudo numérico da ductilidade de lajes de concreto armado

Estudo numérico da ductilidade de pórticos planos de concreto armado

Estudo numérico da ductilidade de pórticos espaciais de concreto armado

Estudo numérico da ductilidade de estruturas de concreto armado reforçadas com FRP

(Fiber Reinforced Polymer)

Capítulo 9: Bibliografia Consultada

118

CAPÍTULO 9: BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

American Concrete Institute, State of the Art Report on High Strength Concrete. ACI 363 R 92, Detroit, USA, 55p., 1992. Al – Haddad, M. S., Curvature Ductility of Reinforced Concrete Beams under Low and High Strain Rates. ACI Structural Journal, vol. 92, no 5, pp. 526 – 534, 1995. Alca, N., Alexander, S. D. B., MacGregor, J. G., Effect of Size on Flexural Behavior of High-Strenght Concrete Beams. ACI Structural Journal, vol. 94, no 1, pp. 59 – 67, 1997. Álvares, M. S., Estudo de um Modelo de Dano para o Concreto: Formulação, Identificação Paramétrica e Aplicação com o Emprego do Método dos Elementos Finitos. Dissertação de Mestrado, Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo, EESC, USP, 123 p., 1993. Álvares, M. S., Contribuição ao Estudo e Emprego de Modelos Simplificados de Dano e Plasticidade para a Análise de Estruturas de Barras em Concreto Armado. Tese de Doutorado, Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo, EESC, USP, 123 p., 1999. Alves Filho, A., Elementos Finitos: a base da tecnologia CAE. 1a ed. São Paulo: Érica, 292 p., 2000. Ashour, S. A., Effect of Compressive Strength and Tensile Reinforcement Ratio on Flexural Behavior of High Strength Concrete Beams. Elsevier Science Ltd., Engineering Structures, pp. 413 – 423, 2000. Associação Brasileira de Normas Técnicas, Projeto e Execução de Obras em Concreto Armado. Projeto de Revisão da NBR 6118, Rio de Janeiro, Brasil, 186 p., 2001. Barbosa, M. P., Semi-Rigité dês Noeuds D’Ossatures en Béton Armé: Simulations Numeriques. Tese de Doutorado, Institut National des Sciences Appliquees de Lyon, INSA, FRANÇA, 215p., 1992. Barbosa, M. P., Uma Contribuição Experimental e Numérica sobre Estruturas de Concreto Armado de Elevado Desempenho: Estudo da Aderência – Ancoragem e do Comportamento de Vigas Fletidas. Tese de Livre Docência, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira da Universidade Estadual Paulista, FEIS, UNESP, 174p., 1998. Barbosa, M. P., Gamino, A. L., Numerical Analysis of Ductility in Reinforced Concrete Beams in the CASTEM 2000. In: The Sixth International Conference on Computational Structures Technology, 2002, Praga-República Theca. CDROM, 2002. Bathe, K. J., Numerical Methods in Finite Element Analysis. Englewood Cliffs, USA: Prentice Hall, 528 p., 1976.


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lista de figuras - lem.ep.usp.br · figura 2.4: curva momento – curvatura utilizada para a...

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