ES-09 Aula 09 Nas estruturas de concreto armado, o estado limite último de

instabilidade é atingido sempre que, ao crescer a intensidade do carregamento e, portanto, das deformações, há elementos submetidos a flexo-compressão em que o aumento da capacidade resistente passa a ser inferior ao aumento da solicitação. Existem nas estruturas três tipos de instabilidade:

a) nas estruturas sem imperfeições geométricas iniciais, pode haver (para casos especiais de carregamento) perda de estabilidade por bifurcação do equilíbrio (flambagem);

b) em situações particulares (estruturas abatidas), pode haver perda de

estabilidade sem bifurcação do equilíbrio, por passagem brusca de uma configuração para outra reversa da anterior (ponto limite com reversão);

c) em estruturas de material de comportamento não-linear, com

imperfeições geométricas iniciais, não há perda de estabilidade por bifurcação do equilíbrio, podendo, no entanto, haver perda de estabilidade quando, ao crescer a intensidade do carregamento, o aumento da capacidade resistente da estrutura passa a ser menor do que o aumento da solicitação (ponto limite sem reversão).

Os casos a) e b) podem ocorrer para estruturas de material de comportamento linear ou não-linear.

Efeitos de 2ª ordem são aqueles que se somam aos obtidos numa análise de primeira ordem (em que o equilíbrio da estrutura é estudado na configuração geométrica inicial), quando a análise do equilíbrio passa a ser efetuada considerando a configuração deformada.

Os efeitos de 2ª ordem, em cuja determinação deve ser levado em conta

o comportamento não-linear dos materiais, podem ser desprezados sempre que não representem acréscimo superior a 10% nas reações e nas solicitações relevantes da estrutura.

A não-linearidade física, presente nas estruturas de concreto armado, deve ser obrigatoriamente levada em conta.

O principal efeito da não-linearidade pode, em geral, ser considerado através da construção da relação momento-curvatura para cada seção, com armadura suposta conhecida, e para o valor da força normal atuante.

Deve ser utilizada a curva tensão-deformação parábola - retângulo do

concreto. Pode ser considerada também a formulação de segurança em que se

calculam os efeitos de 2ª ordem das cargas majoradas de γf/γf 3 que posteriormente são majorados de γf 3, com γf 3 = 1,1. Isto é:

Sd,tot = 1,10 Sd (F)

Sendo

Relação momento-curvatura A curva cheia AB, que, a favor da segurança, pode ser linearizada pela reta AB, é utilizada no cálculo das deformações.

A curva tracejada, obtida com os valores de cálculo das resistências do concreto e do aço, é utilizada somente para definir os esforços resistentes MRd eNRd (Ponto de Máximo).

A reta AB é caracterizada pela rigidez secante (EI)�éc, que pode ser

utilizada em processos aproximados para flexão composta normal ou oblíqua.

Define-se como rigidez secante adimensional κ (kapa) o valor dado por: κ SEC = (EI)SEC /(Ac. h2.fcd)

Esse valor da rigidez secante adimensional pode ser colocado, em conjunto com os valores últimos de NRd e MRd, em ábacos de interação força normal-momento fletor.

Será agora mostrado um exemplo aplicando os conceitos aqui

mostrados:

A finalidade deste exemplo é a de calcular um pilar pertencente a um portico de contraventamento de um edifício. Supõe-se que não existem problemas de 2ª Ordem Global.

Dados do Problema:

Carregamento:

fck = 20 Mpa Ng + q = 70 tf Nw = 3 tf Nd = 1,40.(70 + 0,80.3) = 101,36 tf Combinações: (Combinação única considerada)

γf .(Gk + Qk + 0,80.Wk)

Imperfeições geométricas

Na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, devem

ser consideradas as imperfeições geométricas (ver comentários no anexo A.11) dos eixos das peças da estrutura descarregada. Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos: imperfeições globais e imperfeições locais.

a) na análise global dessas estruturas, sejam elas contraventadas ou não, deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a figura abaixo.

Imperfeições geométricas globais onde: l é a altura total da estrutura em metros n é o nº total de elementos verticais contínuos θ1min = 1/400 para estruturas de nós fixos 1/300 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais O valor máximo para θ1 será de 1/200.

Esse desaprumo não precisa ser superposto ao carregamento de vento. Entre os dois, vento e desaprumo, pode ser considerado apenas aquele mais desfavorável.

Permite-se escolher o mais desfavorável como sendo o que provoca o maior momento total na base de construção.

b) na análise local de elementos dessas estruturas reticuladas, devem

também ser levados em conta efeitos de imperfeições geométricas locais. No caso de elementos, usualmente vigas e lajes, que ligam pilares

contraventados a pilares de contraventamento, deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do pilar contraventado (ver figura a).

Imperfeições geométricas locais

No caso da verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar (ver figuras c e b, respectivamente).

Admite-se que, nos casos usuais, a consideração apenas da falta de retilinidade ao longo do lance de pilar seja suficiente.

c) o momento total M1d,min de primeira ordem, isto é, o momento de

primeira ordem acrescidodos efeitos das imperfeições locais, deve respeitar o valor mínimo dado por:

M1d,mín = Nd (0,015 + 0,03h) Onde: 0,015 é dado em metros h representa a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros.

Nas estruturas reticuladas usuais, admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo.

No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser respeitado em cada uma das direções principais, separadamente. Isto é, o pilar deve ser verificado sempre à flexão obliqua composta onde, em cada verificação, pelo menos um dos momentos respeita o mínimo acima.

a) Inclinação Acidental:

cmLe

L

a 00,124005,0

2

005,04100

1100

1

1

1

=⋅=⋅≅

=⋅

=⋅

=

θ

θ

b) Cálculo do índice de esbeltez (λ) e da esbeltez limite (λ1) para não

consideração de 2ª Ordem Local.

hL e⋅= 12λ

E = 2 x 106 tf/m2

14312

19,050,01023

6 =

×××=

PilarLEI

37312

40,014,01023

6 =

×××=

vigaLEI

77,0373

1432 =×== BA αα

1min =α

( ) 80,005,070,0 =+⋅+= BA ααη

( ) 90,005,085,0 min =⋅+= αη

nn

e

e

e

e

he

hL

cmL

cmLL

cmhLL

ααλ

λ

η

⋅≥

+⋅⋅=

=⋅=

=

=⋅=⋅=

=+=+=

352550,12

6612

360

36040090,0

37919360

11

0

400 cm

360 cm

lim

lim

1

1

1

62759,13535

54251958,85,15759,1

759,170,850,450,050,150,050,1

λλ

αλ

λ

α

>

=×=⋅=

=

+××=

=

−⋅−=

⋅−=

n

A

Bn M

M

Logo é necessário considerar o efeito de 2ª Ordem Local c) Dimensionamento

BA MMM ⋅+⋅= 40,060,0 ( ) mtfM /42,350,440,070,860,0 ⋅−=−⋅+⋅=

Com δ calculado pelo processo do pilar padrão simples.

• Pilares com bw ou h < 20 cm : A seção transversal de pilares não deve apresentar dimensão menor que 19

cm. Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm

e 12 cm, desde que se multipliquem as ações a serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional γn , de acordo com o indicado na a tabela abaixo.

Tabela - Coeficiente adicional

dd RS

b

≤⋅

=⋅−=

⋅−=

n

n

n

:com

0375,1201975,075,1

2075,075,1

:ou

γ

γ

γ

77,0

4,120,01950

36,1010375,1 =⋅⋅

⋅=⋅⋅⋅=

fcdhbNdnd γν

O dimensionamento será feito considerando o pior entre os dois casos: 1º Caso: Md = MA

35,0

4,120,01950

00,8700375,12

2 =⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅=fcdhb

Mdnd γµ

2º Caso: δ⋅= MdTOTM

14,0

4,120,01950

00,3420375,112

2 =⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅=fcdhb

Mnγµ

Pilar Padrão Simples

Arranjo tipo A, d’/h = 0,20 (Ábaco A20F0)

δµµ ⋅= 1TOT

eαδ

−=

11

0=cα

scf

e

ehl

κσ

υα

⋅⋅

⋅=

3

2

10

)(

scsce k

13,251,110

)19360(77,0 2

=⋅⋅

⋅=

κα

))13,25(1

1(14,0TOT

scκ

µ−

⋅=

73 14,077,0

)1 =���

>=

scκµν

213,0))

7313,25(1

1(14,0TOT =−

⋅=µ

7374 21,077,0

)2 >=���

>=

scκµν

212,0))

7413,25(1

1(14,0TOT =−

⋅=µ

caso primeiro o AdotadoTOT �<∴ dµµ

20127,33

15,15

4,12,050,19

08,1

08,1 35,0

77,0

2,

,

φ

ω

ωµν

⇒=⋅

⋅=

⋅⋅=

=

==

cmA

ffAA

totals

yd

cdctotals

d

50

19

Exemplo 1B

Para este exemplo será utilizado o processo aproximado proposto no item 15.7.3.3.1 da nova NB1-2000.

Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada

02,0)5,075,0(19,0

005,01

75,0

4,12,05019

36,101

005,0)5,0(

005,01

=+⋅

=∴

=⋅⋅

=⋅

=

≤+⋅

=

r

fAN

hhr

cdc

dν

ν

Como λ = 66<90 é possível utilizar o processo aproximado:

mtfM

cml

Mr

lNMM

Ad

e

Ade

dAdbtotd

.7,8

360

110

,1

,1

2

,1,

=

=

≥⋅⋅+⋅=α

Como o pilar é biapoiado teremos:

40,0

40,039,070,850,440,060,0

40,040,060,0

=∴

<=−⋅+=

≥⋅+=

b

b

a

bb M

M

α

α

α

Logo:

min,1,1,

min,1

min,1

min,1

,

2

,

.10,2 )19,003,0015,0(36,101

)03,0015,0(*.10,6

02,0106,336,1017,840,0

dAdtotd

d

d

dd

totd

totd

MMMmtfM

MhNM

mtfM

M

><=

⋅+⋅=⋅+⋅=

=

⋅⋅+⋅=

Assim, o dimensionamento será feito para M1d,A

34,0

4,12,01950

87075,0

22 =

⋅⋅=

⋅⋅=

=

cd

dd

d

fhbMµ

ν

Arranjo tipo A com d’/h = 0,20 → Ábaco A20F0 → ω = 1,10

• Cálculo da Armadura:

0,20123,34

15,15

4,12,05019

10,1

2,

,

φ

ω

⇒=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

cmA

ffhb

A

tots

yd

cdtots

Exemplo 1C

Para este exemplo será utilizado o processo proposto no item 15.7.3.3.2 da nova NB1-2000.

Método do Pilar Padrão com Rigidez κκκκ (aproximada)

40,0 66 0,75 :

)51(32

1201

b

,

min,1,12,1

,

===

⋅⋅

⋅+⋅=

≥≥

⋅−

⋅=

αλν

νκ

νκ

λα

DadosNh

M

MMM

M

d

totdaprox

dAdAdb

totd

Obs.: Neste caso o processo é iterativo e tem convergência oscilando

em torno da resposta. 1a Iteração

mtfM totd .34,5

75,02,78120

661

70,840,0

2,7875,0)36,10119,0

7,851(32

2,

1

1=

⋅−

⋅=

=⋅⋅

⋅+⋅=κ

2a Iteração

mtfM totd .63,6

75,027,52120

661

70,840,0

27,5275,0)36,10119,0

34,551(32

2,

2

1=

⋅−

⋅=

=⋅⋅

⋅+⋅=κ

Nesse caso podemos parar as iterações, pois com M1dA>Md,tot o dimensionamento será feito com M1d,A e é igual ao do exemplo anterior.

Assim, o efeito local não é significativo para o dimensionamento da peça.

Exemplo 2a

Será proposto agora um exemplo equivalente ao primeiro, porém com uma nova distribuição de momentos e um novo comprimento de flambagem, para que seja possível observar o efeito de 2a ordem local.

Nesse processo serão observadas as prescrições da NB1-2000 item

15.7.3.3.1 Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada

mtfM

ok

Ad .7,8

!903,891949012

.1 =

⇒<=⋅=λ

Cálculo do coeficiente αb

55,0:

40,055,07,8140,060,0

=

>=−⋅+=

b

b

Logo α

α

Adtotd

totd

dAdbtotd

dAd

d

dd

MmtfM

M

rleNMM

hr

MMmtfM

hNM

,1,

2

,

2

,1,

min,1,1

min,1

min,1

.66,9

02,0109,436,10170,855,0

110

02,0)5,0(

005,01

.10,2)03,0015,0(

>=

⋅⋅+⋅=

⋅⋅+⋅=

=+⋅

=

>=

⋅+⋅=

α

ν

Assim, nesse caso o dimensionamento deverá ser feito considerando

Md = 9,66 tf.m. Dimensionamento:

0.20125,37

15,15

4,120,05019

20,1

20,1020

37,0

4,12,01950

96675,0

2,

,

2

φ

ω

ω

µ

ν

⇒=⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅=

=⇒⇒

=⋅⋅

=

=

cmA

ffhbA

FÁbacoA

tots

yd

cdtots

d

d

Exemplo 2b

Nesse processo serão observadas as prescrições da NB1-2000 item 15.7.3.3.2

55,03,89

75,0

===

bαλν

1a Iteração

mtfM totd .2,13

)75,0

2,78120(

3,891

70,855,0

2,7875,0)36,10119,0

7,851(32

2,

1

1=

⋅−

⋅=

=⋅⋅

⋅+⋅=κ

2a Iteração

mtfM totd .02,9

)75,0

22,106120(

3,891

70,855,0

22,10675,0)36,10119,0

2,1351(32

2,

2

2=

⋅−

⋅=

=⋅⋅

⋅+⋅=κ

3a Iteração Para fazer a convergência ocorrer mais rapidamente, faremos:

mtfM totd .44,10

)75,0

92120(

3,891

70,855,0

922

2,1062,782

2,

21

3=

⋅−

⋅=

≈+=+

=κκκ

4a Iteração

mtfM totd .86,10

)75,0

1,89120(

3,891

70,855,0

1,8975,0)36,10119,0

44,1051(32

2,

4

4=

⋅−

⋅=

=⋅⋅

⋅+⋅=κ

Logo, podemos parar e dimensionar o pilar considerando Md = 10,86 tf.m

Dimensionamento:

0.20141,43

15,15

4,120,05019

38,1

36,1020

42,0

4,12,01950

108675,0

2,

,

2

φ

ω

ω

µ

ν

⇒=⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅=

=⇒⇒

=⋅⋅

=

=

cmA

ffhbA

FÁbacoA

tots

yd

cdtots

d

d

Taxa de armadura �4,5%

Exemplo 2c

Agora será feito o cálculo usando os ábacos para determinar a rigidez k iterativamente, utilizando o Processo do Pilar Padrão Simples

mtfM

MMM

MPafcmh

NmtfM

mtfM

BA

ck

d

d

Bd

Ad

.82,4)0,1(40,070,860,0

40,060,0

2019

75,0

.0,1.7,8

,

,

=−⋅+⋅=

⋅+⋅=

===

−==

ν

19,0

4,12,01950

2,48

34,0

4,12,01950

870

221

22

,

=⋅⋅

=⋅⋅

=

=⋅⋅

=⋅⋅

=

cd

cd

Add

fhbM

fhbM

µ

µ

Pilar Padrão Simples:

scscscf

e

e

e

tot

c

hl

κκκγ

να

αδ

δµµα

35,4510,110

)19,09,4(75,0

10

)(

11

0

2

3

2

1

=⋅⋅

⋅=

⋅⋅

⋅=

−=

⋅==

sc

tot

κ

µ35,451

119,0−

⋅=

A20F0 Ábaco 20,0/'

⇒

=hdAtipoArranjo

51,0

5,7235,451

119,0

5,72 19,075,0

)1 sc

=−

⋅=

=⇒

==

totµ

κµν

34,0

10135,451

119,0

101 51,075,0

)2 sc

=−

⋅=

=⇒

==

totµ

κµν

43,0

8235,451

119,0

82 34,075,0

)3 sc

=−

⋅=

=⇒

==

totµ

κµν

38,0

9235,451

119,0

92 43,075,0

)4 sc

=−

⋅=

=⇒

==

totµ

κµν

39,0

8835,451

119,0

88 38,075,0

)5 sc

=−

⋅=

=⇒

==

totµ

κµν

Desta forma, podemos obter no ábaco: ω = 1,23 Cálculo da Armadura:

0.20144,38

15,15

4,12,01950

23,1

..

,

,

φ

ω

⇒=⋅⋅

⋅=

⋅=

tots

yd

cdtots

A

ffhbA

Exemplo 3

tfhNMtfN

mtfMmtfM

mtfM

M

dd

d

Cd

Bd

Ad

Ad

8,6)4,003,0015,0(252)03,0015,0(25240,1180

.88,14.0,540,16,3

.7,29

4,1]2

557,060,3510,2[

min,1

,

,

,

2

,

=⋅+⋅=⋅+⋅==⋅=

==⋅=

=

⋅⋅++⋅=

6,864,0

101212 =⋅=⋅=hleλ

Para pilares em balanço, temos:

=≥

≤⋅+=

===

=⋅+=

≥⋅+=

9,383590)(5,1225

12,0252

7,29

90,077,2988,1420,080,0

85,020,080,0

1

1

,1

bb

d

Ad

b

A

cb

he

mN

Me

MM

ααλ

α

α

Obs.: Quando λ1 < λmin os efeitos de 2a ordem local podem ser

desprezados.

9,389,3190,0

)40,012,0(5,1225

11 =⇒=⋅+

= λλ

Como λ > λ1 é necessário calcular o efeito de 2a ordem local. Este pilar será calculado por quatro métodos, com o intuito de

realizarmos posteriormente a comparação dos resultados obtidos. 1) PP + Curvatura Aproximada (NB1-2000 item 15.7.3.3.1) 2) PP + κ Aproximado (NB1-2000 item 15.7.3.3.2) 3) PPM + κ Aproximado + γf3 4) PPM + κ Ábaco + γf3 Primeiro método: PP + Curvatura Aproximada (NB1-2000 item 15.7.3.3.1)

calculado) (já 90,0

0085,0)5,098,0(40,0

005,01

005,0)5,0(

005,01

98,0

4,13,04030

252

=

=+⋅

=

≤+⋅

=

=⋅⋅

=⋅

=

b

cdc

d

r

hhr

fAN

α

ν

ν

mtfM

M

Mr

lNMM

totd

totd

Ade

dAdbtotd

.2,48

0085,010102527,2990,0

110

,

2

,

,1

2

,1,

=

⋅⋅+⋅=

≥⋅⋅+⋅=α

0.25188,82

15,15

4,13,04030

40,1

40,1010

10,0'47,098,0

47,0

4,13,04030

4820

2

22

φ

ωµν

µ

⇒=⋅⋅

⋅=

=⇒⇒

=

==

=⋅⋅

=⋅⋅

=

cmA

FAÁbaco

hd

fhbM

s

d

d

cd

dd

Segundo método: PP + κκκκ Aproximado (NB1-2000 item 15.7.3.3.2)

90,06,86

98,0

===

bαλν

1a Iteração

mtfM totd .84,126

)98,0

6,77120(

6,861

7,2990,0

6,7798,0)25240,07,2951(32

2,

1

1=

⋅−

⋅=

=⋅⋅

⋅+⋅=κ

2a Iteração

mtfM totd .57,19

)98,0

7,228120(

6,861

7,2990,0

7,22898,0)25240,084,12651(32

2,

2

2=

⋅−

⋅=

=⋅⋅

⋅+⋅=κ

3a Iteração

mtfM totd .57,44

)98,0153120(

6,861

7,2990,0

1532

7,2286,772

23,

21

3=

⋅−

⋅=

=+=+= κκκ

4a Iteração

mtfM totd .63,51

)98,0127120(

6,861

7,2990,0

1272

1537,1002

7,10098,0)25240,0

57,4451(32

2,

4*4

4

4=

⋅−

⋅=

=+=+=

=⋅⋅

⋅+⋅=

κκκ

κ

5a Iteração

mtfM totd .93,54

)98,0

3,119120(

6,861

7,2990,0

3,1192

1277,1112

7,11198,0)25240,0

63,5151(32

2,

*45*

5

5

5=

⋅−

⋅=

=+=+=

=⋅⋅

⋅+⋅=

κκκ

κ

6a Iteração

mtfM totd .6,55

)98,0118120(

6,861

7,2990,0

1182

3,1191172

11798,0)25240,093,5451(32

2,

*56*

6

6

6=

⋅−

⋅=

=+=+=

=⋅⋅

⋅+⋅=

κκκ

κ

logo: 54,02 =

⋅⋅=

cd

dd fhb

Mµ

Dimensionamento:

armadura) de (taxa %9,7

0.252063,94

15,15

4,13,04030

60,1

60,1020

54,075,0

2,

,

=

⇒=⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅=

=⇒⇒

==

ρ

φ

ω

ωµν

cmA

ffhbA

FÁbacoA

tots

yd

cdtots

d

d

Terceiro método: PPM + κκκκ Aproximado + γγγγf3

90,06,86

98,0

===

bαλν

)7,0(1210

120

11

3

3

2

1

αα

νκγ

λα

αααµµ

+=

⋅⋅=

−⋅+⋅=

c

f

E

E

cEtot

κκα

α

α

68,5510,1120

98,06,86

1667,0)5,07,0(1210

50,07,29

88,14

2

3

=⋅⋅

⋅=

=−⋅=

===

E

c

A

c

MM

κ

κµµ 68,551

28,911 −

+⋅=tot

68,5528,9

1 −+⋅=

κκµµtot

1a Iteração Como o momento que é amplificado é o momento na base:

14,168,558,7728,98,7729,0

8,77

98,0)98,029,051(32

)51(32

29,0

4,13,04030

2970

1,

1

1

22

,11

=−+⋅=

=

⋅⋅+⋅=

⋅⋅+⋅=

=⋅⋅

=⋅⋅

=

totd

cd

Ad

fhbM

µ

κ

κ

ννµκ

µ

2a Iteração

50,068,5514628,914629,0

1462

8,21398,0)98,014,151(32

2,

12*2

2

=−+⋅=

≈+=

=⋅⋅+⋅=

totdµ

κκκ

κ

3a Iteração

55,068,5512928,912929,0

1292

4,11198,0)98,050,051(32

3,

3*2*

3

3

=−+⋅=

≈+=

=⋅⋅+⋅=

totdµ

κκκ

κ

4a Iteração

56,068,552,12428,92,12429,0

2,1242

4,11998,0)98,055,051(32

4,

4*3*

4

4

=−+⋅=

=+=

=⋅⋅+⋅=

totdµ

κκκ

κ

Dimensionamento:

armadura) de (taxa %1,8

0.25206,97

15,15

4,13,04030

65,1

65,1020

56,098,0

2,

,

=

⇒=⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅=

=⇒⇒

==

ρ

φ

ω

ωµν

cmA

ffhbA

FÁbacoA

tots

yd

cdtots

d

d

Quarto método: PPM + κκκκ Ábaco + γγγγf3

68,5528,9

29,090,06,86

98,0

1

1

−+⋅=

==

==

κκµµ

µαλν

tot

b

Ábaco A10F0

62,068,5511228,911229,0

12229,098,0

)1

, =−+⋅=

=⇒

==

totd

csd

d

µ

κµν

44,068,5518028,918029,0

18062,098,0

)2

, =−+⋅=

≈⇒

==

totd

cs

µ

κµν

50,068,5514428,914429,0

14444,098,0

)3

, =−+⋅=

=⇒

==

totd

cs

µ

κµν

48,068,5515628,915629,0

15650,098,0

)4

, =−+⋅=

=⇒

==

totd

cs

µ

κµν

49,068,5515128,915129,0

15148,098,0

)5

, =−+⋅=

=⇒

==

totd

cs

µ

κµν

Dimensionamento: Podemos obter do ábaco: ω = 1,46

%2,7

0.20144,38

15,15

4,12,01950

23,1

..

,

,

=

⇒=⋅⋅

⋅=

⋅=

ρ

φ

ω

tots

yd

cdtots

A

ffhbA