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Escola Politécnica da Universidade de São Paulo

PEF - Departamento de Estruturas e Fundações

PEF2404 Pontes e Grandes Estruturas

2. Projeto da Infraestrutura

Professores : Fernando Rebouças Stucchi Kalil José Skaf

Editoração : Gregory Kwan Chien Hoo Rodrigo de Souza Lobo Botti

PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. No2

1. Sistema Estrutural

δ1δ1δ1δ1

1 Equação a 1 incógnita

δ2δ2δ2δ2 δ3δ3δ3δ3δ1δ1δ1δ1

δ4δ4δ4δ4 δ5δ5δ5δ5

5 Equações a 5 incógnitas

NOTA - Super em vãos Isostáticos -> Infra Estrutura mais Complexa

Fig. 1.1 - Esquema do Sistema Estrutural

2. Ações a Considerar

V { g1, g2, G2, q, Q, recalques de apoio, hiperestático de protensão }

Hl { frenação, aceleração, temperatura, retração, deformação lenta, protensão, empuxo de terra, eventual vento }

Ht { vento, força centrífuga, empuxo hidrodinâmico }

Casos de Carga a Considerar : 1 - Nmín. , Mconcomitante 2 - Nmáx , Mconcomitante 3 - Mmáx , Nconcomitante


3. Determinação das Reações de Apoio

3.1. Dados Geométricos da Ponte

24,00 m 30,00 m 24,00 m

10,00 m

14,00 m

23

φ = 1,20φ = 1,20φ = 1,20φ = 1,20

Fig. 3.1 - Corte Longitudinal Esquemático

Seção Transv. no VãoSeção Transv. nos Apoios Centrais

0,15 0,30

0,20

1,05

0,100,15

0,10

1,35

0,200,20

0,60

0,40

0,90

1,000,10

0,55

1,50 2,43

0,52

0,60

5,60 m 5,60 m

1,0

2,80 m 0,70 0,70 2,80 m5,40 m

Fig. 3.2 - Corte Transversal Esquemático


3.2. Características Geométricas A. Seção do vão B. Seção dos Apoios Centrais

H = 1,75 m H = 1,75 m

A = 5,463 m2 A = 6,072 m2

I = 2,082 m4 I = 2,569 m4

yi = 1,177 m yi = 1,082 m ys = 0,573 m ys = 0,668 m Wi = 1,769 m3 Wi = 2,373 m3

Ws = 3,633 m3 Ws = 3,848 m3

Ki = 0,324 m Ki = 0,391 m

Ks = 0,665 m Ks = 0,634 m

3.3. Cargas Permanentes

-g1

apoios internos : g1 = 6,072⋅ 25,00 = 151,8 kN/m g1 = 151,8 kN/m

vão e apoios externos : g1 = 5,463⋅ 25,0 = 136,6 kN/m g1 = 136,6 kN/m

-g2

pavimentação : g2 = 0,10⋅ 11,20⋅ 24,0 = 26,88 kN/m g2 = 26,88 kN/m

guarda rodas : g2 = 2⋅ 0,395⋅ 25,0 = 19,75 kN/m g2 = 19,75 kN/m

3.4. Esquema das cargas permanentes

Fig. 3.3 - Esquema das Cargas Permanentes


3.5. Cargas Variáveis (TT45)

ϕm = 1,4 - 0,007⋅ (24,00 + 30,00)⋅ 0,5 = 1,211 3.5.1. Todo tabuleiro carregado - trem tipo homogeneizado para flexão e cortante

Q = 1,211⋅ 2⋅ 60,0 = 145,32 kN Q = 145,32 kN q = 1,211⋅ 5,0⋅ 11,20 = 67,816 kN/m q = 67,816 kN/m

145,32 kN

67,816 kN/m

Fig. 3.4 - Esquema do TT homogeneizado

para todo tabuleiro carregado

- trem tipo de torção

5,35 m

3,35 m

5,0 ϕ 5,0 ϕ 5,0 ϕ 5,0 ϕ

60,0 ϕ 60,0 ϕ 60,0 ϕ 60,0 ϕ

Fig. 3.5 - Esquema do Carregamento para o Trem Tipo de torção

para todo tabuleiro carregado T = 1,211⋅ 60⋅ (5,35 + 3,35) = 632,142 T = 632,142 kNm

t = 0,0 t = 0,0 kNm/m

Fig. 3.6 - Esquema do Trem Tipo de torção para

todo tabuleiro carregado


3.5.2. Meio tabuleiro carregado

- trem tipo homogeneizado para flexão e cortante

Q = 1,211⋅ 2⋅ 60,0 = 145,32 kN Q = 145,32 kN q = 1,211⋅ 5,0⋅ 5,60 = 33,908 kN/m q = 33,908 kN/m

Fig. 3.7 - Esquema do TT homogeneizado para

meio tabuleiro carregado - trem tipo de torção

Fig. 3.8 - Esquema do Carregamento para o Trem Tipo de torção

para meio tabuleiro carregado

T = 1,211⋅ 60⋅ (5,35 + 3,35) = 632,142 T = 632,14 kNm

t = 1,211⋅ 5,0⋅ 5,602/2 = 94,9424 t = 94,94 kNm/m

Fig. 3.9 - Esquema do Trem Tipo de torção

para meio tabuleiro carregado


3.7. Reações de Apoio

- Peso Próprio

Ro = 0,3716⋅ 24,00⋅ (136,6 + 46,63) + 15,2⋅ 5,00/2⋅ (0,4092) + +15,2⋅ 6,00/2⋅ (-0,036) = 1648,026 kN

R0 = 1.648,026 kN

R1 = 1,2534⋅ 24,00⋅ (136,6 + 46,63) + 15,2⋅ 5,00/2⋅ (0,9884) + +15,2⋅ 6,00/2⋅ (0,9878) = 5.594,454 kN

R1 = 5.594,454 kN

- Trem tipo para Todo Tabuleiro Carregado (TTC)

R0máx = 145,32⋅ (1,000+0,923+0,846) + 67,816⋅ (0,4398+0,0167)⋅ 24,00 = 1.145,383 kN

R0máx = 1.145,383 kN

R1máx = 145,32⋅ (1,000+0,990+0,989) + 67,816⋅ (0,6217+0,7099)⋅ 24,00 = 2.600,199 kN

R1máx = 2.600,199 kN

R0mín = -145,32⋅ (0,1094+0,1076+0,1057) - 67,816⋅ 0,0849⋅ 24,00 = -185,077 kN

R0mín = -185,077 kN

R1mín = -145,32⋅ (0,1202+0,1150+0,1185) - 67,816⋅ 0,0783⋅ 24,00 = -178,840 kN

R1mín = -178,840 kN

- Trem tipo para Meio Tabuleiro Carregado (MTC)

R0máx, 1/2 = 145,32⋅ (1,000+0,923+0,846) + 33,908⋅ (0,4398+0,0167)⋅ 24,00 = 773,887 kN

R0máx, 1/2 = 773,887 kN

R1máx, 1/2 = 145,32⋅ (1,000+0,990+0,989) +33,908⋅ (0,6217+0,7099)⋅ 24,00 =1.516,554 kN

R1máx, 1/2 = 1.516,554 kN

R0mín, 1/2 = -145,32⋅ (0,1094+0,1076+0,1057) - 33,908⋅ 0,0849⋅ 24,00 = -115,957 kN

R0mín, 1/2 = -115,957 kN

R1mín, 1/2 = -145,32⋅ (0,1202+0,1150+0,1185) - 33,908⋅ 0,0783⋅ 24,00 = -15,986 kN

R1mín, 1/2 = -115,986 kN


Fig. 3.10 - Linha de Influência de R0

Fig. 3.11 - Linha de Influência de R1

3.8. Momentos Torçores

24 m 24 m30 m

1,0

Desprezada a variação da inércia à torção no apoio central

632,142 kNm

1,0

T0

T1

632,142 kNm

Fig. 3.12 - Esquema do Cálculo dos Momentos Torçores

- Todo Tabuleiro Carregado (TTC)

T0 = 632,142⋅ (1,000 +0,9375 + 0,8750) = 1.777,899 kNm T0 = 1.777,899 kNm

T1 = 632,142⋅ (1,000 +0,9375 + 0,9500) = 1.825,310 kNm T1 = 1.825,310 kNm

- Meio Tabuleiro Carregado (MTC)

T0, 1/2 = 632,142⋅ (1,000 +0,9375 + 0,8750) + 94,9424⋅ 1,000⋅ 24,00/2 = 2.917,208 kNm

T0, 1/2 = 2.917,208 kNm


T1. 1/2 = 632,142⋅ (1,000+0,9375+0,9500)+94,9424⋅ (1,000⋅ 24,00/2+1,000⋅ 30,00/2 ) = T1, 1/2 = 4.388,755 kNm

- Reações de Apoio Totais (Rg+ Rq)

Apoio 0 :

R0máx, TTC = 1.648,026 + 1.145,383 = 2.793,409 kN

R0máx, MTC = 1.648,026 + 773,957 = 2.421,913 kN

R0mín, TTC = 1.648,026 - 185,077 = 1.462,949 kN

R0mín, MTC = 1.648,026 - 115,957 = 1.532,069 kN

MTC TTC

R0máx (kN) 2.421,913 2.793,409

R0mín (kN) 1.532,069 1.462,949

T0 (kNm) 2.917,208 1.777,899

Apoio 1 :

R1máx, TTC = 5.594,454 + 2.600,199 = 8.194,653 kN R1máx, MTC = 5.594,454 + 1.516,554 = 7.111,008 kN R1mín, TTC = 5.594,454 - 178,840 = 5.415,614 kN R1mín, MTC = 5.594,454 - 115,986 = 5.478,468 kN

MTC TTC

R1máx (kN) 7.111,008 8.194,653

R1mín (kN) 5.478,468 5.415,614

T1 (kN m) 4.388,755 1.825,310


Fig. 3.13 - Esquema das reações dos Neoprenes

- Reações para Cálculo dos Neoprenes

Apoio 0 :

RR T

dkNmáx I

max

,

. , . ,

, , ,. ,0 2

2 421 913

2

2 917 208

5 40 0 10 0 451812 443− = + = +

− −= (MTC)

RR T

dkNmáx II

max

,

. , . ,

, , ,. ,0 2

2 793 409

2

1777 899

5 40 0 10 0 451763 282− = + = +

− −= (TTC)

RR T

dkNmín I

max

,

. , . ,

, , ,,0 2

2 421 913

2

2 917 208

5 40 0 10 0 45609 470− = + = −

− −= (MTC)

RR T

dkNmín II

max

,

. , . ,

, , ,. ,0 2

2 793 409

2

1777 899

5 40 0 10 0 451030 127− = + = −

− −= (TTC)

RR

kNmín III

mín

,

. ,,0 2

1462 949

2731 475− = = = (TTC)

Apoio 1 :

RR T

dkNmáx I

max

,

. , . ,

, , ,. ,1 2

8194 653

2

1825 310

5 40 0 10 0 454 473 679− = + = +

− −= (TTC)

RR T

dkNmáx II

max

,

. , . ,

, , ,. ,1 2

7 111 008

2

4 388 755

5 40 0 10 0 454 460 402− = + = +

− −= (MTC)

RR T

dkNmín I

max

,

. , . ,

, , ,. ,1 2

8194 653

2

1825 310

5 40 0 10 0 453720 974− = + = −

− −= (TTC)


RR T

dkNmín II

max

,

. , . ,

, , ,. ,1 2

7111 008

2

4 388 755

5 40 0 10 0 452 650 606− = + = −

− −= (MTC)

RR

kNmín III

mín

,

. ,. ,1 2

5 415 614

22 707 807− = = = (TTC)

Portanto:

Rmáx,0 = 1.812,443 kN Rmáx,1 = 4.473,679 kN

Rmín,0 = 609,470 kN Rmín,1 = 2.650,606 kN

3.10. Cálculo das Máximas Rotações de Apoio

Admite-se numa primeira aproximação, que a rotação de peso próprio é igual e contrária à da protensão. Muitas vezes, na prática, isto é próximo da verdade, mas é preciso sempre verificar.

E = 31.000.000 kN/m2 I = 2,082 m4

0 1 2 3

67,816 kN/m

145,320 kN

67,816 kN/m

Carregamento 1

0 1 2 3

67,816 kN/m

145,320 kN

Carregamento 2

M = -2.591,6 kNm M = -1.512,2 kNm

M = -4.405,6 kNm M = -4.405,6 kNm Fig. 3.8 - Esquema dos Carregamentos a serem considerados

1a Situação

ϕ0

3467 816 24 00

24

2 591 6 24 00

6

3 145 320 24 00 14 40

68 337 10=

⋅

⋅−

⋅

⋅+

⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅ −, , . , , , , ,

,EI EI EI

rad

ϕϕϕϕ0000 = 8,337 = 8,337 = 8,337 = 8,337 ⋅ 10 10 10 10−4−4−4−4 rad


ϕ1

3467 816 24 00

24

2 591 6 24 00

3

3 145 320 9 60 24 00

65 434 10=

⋅

⋅−

⋅

⋅+

⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅ −, , . , , , , ,

,EI EI EI

rad

ϕϕϕϕ1111 = 5,434 = 5,434 = 5,434 = 5,434 ⋅ 10 10 10 10−4−4−4−4 rad

2a Situação

ϕ1

3467 816 30 00

24

4 405 6 15 00 3 145 320 15 00 30 00

66 648 10=

⋅

⋅−

⋅+

⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅ −

, , . , , , , ,,

EI EI EIrad

ϕϕϕϕ1111 = 6,648 = 6,648 = 6,648 = 6,648 ⋅ 10 10 10 10−4−4−4−4 rad

3.11. Pré-dimensionamento dos Aparelhos de Neoprene

- Apoio 0 :

Ro, máx = 1.812,443 kN ϕϕϕϕ0, 0, 0, 0, máx = 8,337 = 8,337 = 8,337 = 8,337 ⋅ 10 10 10 10−4−4−4−4 rad

Neoprene = 300 x 400 ( 3* 0,008 neo ; 4*0,003 aço); e = 41 mm

- Apoio 1 :

R1, máx = 4.473,679 kN ϕϕϕϕ1, 1, 1, 1, máx = 6,648 = 6,648 = 6,648 = 6,648 ⋅ 10 10 10 10−4−4−4−4 rad

Neoprene = 500 x 600 ( 3* 0,011neo ; 4*0,004aço); e = 54 mm

4. Ações Horizontais

4.1. Longitudinais

- Frenação :

Fig. 4.1 - Esquema de cargas de frenação


F1 = ( 30% do TT ) = 0,3⋅ 450,0 = 135,0 kN F2 = 5% da carga total de multidão sobre a ponte = 0,05⋅ 5,00⋅ 11,20⋅ 78,00 = 218,4 kN Máx( F1; F2 ) = mais desfavorável = 218,4 kN

F = 218,4 kN

- Empuxo de Terra nos Encontros

Fig. 4.2 - Esquemas das cargas devido ao empuxo

ϕ = 30o ( )atrito γ solo = 18 0, kN / m3 c = 0 ( )coesão KA =1

3( )coef . empuxo ativo

E kN= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =1

318 00 3 00

3 00

212 40 334 8, ,

,, ,

( Empuxo total devido ao aterro na cortina + travessa)

- Sobrecarga nos Aterros ( 5,0 kN/m2222 ) concomitante com frenação

Fig .4.3 - Esquema das cargas devido à sobrecarga

Es K q h lA= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =0 33 5 00 3 00 12 40 61 38, , , , , kN


Es = 61,4 kN

- Temperatura (NBR 6118) ∆t Co= ±15

- Retração (NBR 7197)

Ac = área da seção de concreto = 5,463 m2 ; u = perímetro em contato com o ar = 23,41 m;

γ = coef. f ( umidade relativa U) , em geral 0,70 ⇒ γ = 1,5

hA

umfic

c=

⋅⋅ =

⋅⋅ =

2 2 5 463

23 4115 0 70γ

,

,, ,

tomando a idade de desfoma da obra como sendo td = 5 dias tem-se : Ecs ( td ; hfic) ⇒ Ecs = -0,22⋅ 10−3 m ⇒ Temperatura equivalente à retração

ε α= = ⋅ ⇒ − ⋅ = ⋅ ⇒ = −− −∆∆ ∆ ∆

l

lt t t Cc

o0 22 10 10 223 5,

∆∆∆∆t = -22οC - Deformação Imediata e deformação Lenta devido à protensão (NBR 7197) Tensão média no concreto = Somatória dos Esforços de protensão = 3.000 kN/m2

Área com t0 = 30 dias ⇒ ϕ = ϕa + ϕf + ϕd = 2,0 E = 31.000.000 kN/m2

εσ

ϕ α= = ⋅ + = ⋅ ⇒ ⋅ + = ⋅−∆

∆ ∆l

l Et t

M

c( ).

. .( , )1

3000

31000 0001 2 0 10 5

⇒ ∆t Co≈ 28 ( temperatura equivalente ao efeito de protensão )

Logo : Σ∆Σ∆Σ∆Σ∆t = 15 + 22 + 28 = 65oC 4.2. Transversais

- Vento

Vm = 40 m/s (gráfico das isopletas da velocidade básica de vento NBR-6123 para um período de retorno de 50 anos). Velocidade característica do Vento

Vk = S1⋅S2⋅S3⋅V0 S1 = fator topográfico = 1,0 (Variações na superfície do terreno); S2 = rugosidade do terreno, dimensões da edificação e altura sobre o terreno;


Considerando : - Rugosidade 4 : terreno coberto por numerosas e grandes construções com h > 25m; - Classe C : maior dimensão superior a 50m; - Altura sobre o terreno ~ 10m. S2 = 0,58 S3 = fator estatístico = 1,00 (segurança requerida ; vida útil da obra ); Vk = 1,00⋅ 0,58⋅ 1,00⋅ 40,00 = 23,20 m/s q = pressão dinâmica = Vk

2 = 23,202 = 34 kgf/m2 = 0,34 kN/m2 16 16 5. Distribuição Longitudinal das Ações (ver deduções na apostila teórica)

5.1. Determinação das Rigidezes dos Apoios

5.1.1. Apoio 0

- Rigidez do Tubulão

Fig. 5.1. - Esquema do Tubulão para cálculo

Coeficiente de mola = K⋅ b = 15000⋅ 1,20 = 18.000 kN/m2

(Ref. Vigas em apoio elástico. Renato Teramoto e C. Alberto Soares)


SK b

E I=

⋅

⋅ ⋅=

⋅ ⋅⋅

=4

18 000

4 27 400 0001 2064

0 20044

4

.

. .,

,π

S⋅ l = 0,200⋅ 14,00 = 2,80

pP

b lkN mp= ⋅

⋅= ⋅

⋅=η 5 34

1 00

1 20 14 000 32 2,

,

, ,, / δ = = = ⋅ −p

Km

0 32

150002 1 10 5,

.,

KP

kN mTub = =⋅

=−δ

1 00

2 1 1046875 05

,

,. , / (rigidez de um tubulão)


- Rigidez do Neoprene Dureza Shore 60 ⇒ G = 1.000 kN/m2

KG A

hkN m K para neopreneN

N

N

N=⋅

=⋅ ⋅

⋅ + ⋅=

∑

1000 0 30 0 40

3 0 008 2 0 00254137 9 1

. , ,

, ,. , / ( )

1 1

2

1

27 604 5

00K K K

K kN mT Tub N

T=⋅

+⋅

→ = . , /

5.1.2. Apoio 1 - Pré-dimensionamento da Sapata

Rmáx,1 = 8.194,653 kN (Superestrutura)

Rg,PILAR = 0,70⋅ 5,40⋅ 8,00⋅ 25,0 = 756,0 kN RTotal = 1,04⋅ (8.194,653 + 756,0) = 9.308,679 kN (Nota : 1,04 é para considerar o pp da sapata ) Tensão média no solo : 850 kN/m2

A mS = =9.308,679

85010 95 2,

dimensão transversal = 7,40 m dimensão longitudinal = 10,95/7,40 = 1,48 m como não foram considerados os momentos Longitudinais e Transversais para verificar a

tensão no solo, consideraremos a dimensão longitudinal = 2,50m para posterior verificação

de σσσσsolo.

Fig. 5.2. - Dimensões da sapata


- Rigidez do Pilar

KE I

hkN mP =

⋅ ⋅=

⋅⋅

⋅=

3 3 27 400 000

10

0 70 5 40

1212 687 6

3 3

3. . , ,. , /

- Rigidez da Sapata

KK I

hkN mS

V Sapata=

⋅= ⋅

⋅=2 2

330 000

10

7 40 2 50

122 890 6

. , ,. , /

Kv = coef. de reação vertical do solo = 30.000 kN/m3

- Rigidez do Neoprene

KG A

hkN mN

N

N

=⋅

=⋅ ⋅ ⋅

⋅ + ⋅=

∑

1000 0 50 0 60 2

3 0 011 2 0 002515 789 5

. , ,

, ,. , /

- Rigidez Total do Apoio 1

1 1 1 12 048 8

11

K K K KK kN m

T P S N

T= + + → = . , /

5.1.3. Apoio 2 Aparelho de Apoio = Articulação Freyssinet

1 1 1 12 354 3

22

K K K KK kN m

T P S Apoio

T= + +→ ∞

→ = . , /

5.1.4. Apoio 3

K K kN mT T3 0 7 585 3= = . , /


6. Distribuição Longitudinal das Ações

6.1. Frenação

ΣKTi = 19.573,7 kN/m

i 0 1 2 3 K

K

Ti

Ti∑

0,387525

0,104671

0,120279

0,387525

Frenação: F = 218,4 kN

Apoio 0 1 2 3

F FK

Ki

Ti

Ti

= ⋅ =∑

84,6 kN

22,9 kN

26,3 kN

84,6 kN

6.2. Empuxo

Empuxo E = 334,8 kN

⋅ lado esquerdo

Fig. 6.1 - Modelos de resolução do empuxo


Ki K K K kN mT T T1

3

1 2 3 2 048 8 2 354 3 7 585 3 11988 4∑ = + + = + + =. , . , . , . ,

1 1 1 1

8 275 8

1

11988 44 896 0

K K KiK kN m

EQ AP

EQ= + = + ⇒ =∑ . , . ,

. ,

E EK

K KkN

EQ

EQ ENC

1 334 84 896 0

4 896 0 93 750 016 62= ⋅

+= ⋅

+=,

. ,

. , . ,,

E1 = 16,62 kN (empuxo transmitido para o neoprene)

E2 = E - E1 = 334,8 - 16,62 E2 = 318,18 kN (empuxo transmitido para o tubulão)

Fig. 6.2 - Esquema da Distribuição de Cargas

EA0= E1 = 16,6 kN

E EK

Ki

KAn

Tn Tn= ⋅ = ⋅

∑1 16 6

11988 4,

. ,

Empuxo : E kNA0 16 6= ←, E kNA1 2 8= →, E kNA2 3 3= →, E kNA3 10 5= →,

•••• Lado Direito

Pelo fato da rigidez dos tubulões e neoprenes do apoio 3 serem iguais aos do apoio 0 resulta :

Fig. 6.3 - Esquema da Distribuição de Cargas

Empuxo : E kNA0 10 5= ←, E kNA1 2 8= ←, E kNA2 3 3= ←, E kNA3 16 6= →,


Composições :

Lado Esquerdo

Lado Direito

Fig. 6.4 - Esquema da Composição de Esforços

Logo nos apoios 0 e 3 as forças se somam e nos apoios 1 e 2 se subtraem. E E kNA Total A Total0 3 16 9 10 8 27 7= = + =, , ,

E E kNA Total A Total1 2 0 0= = ,

6.3. Sobrecarga Sobrecarga nos Aterros Es = 61,4 kN

A resolução da sobrecarga é identica ao do empuxo, portanto:

E EK

K KkNS S

EQ

EQ ENC

1 61 44 896 0

4 896 0 93 750 03 05= ⋅

+= ⋅

+=,

. ,

. , . ,,

ES1 = 3,05 kN (sobrecarga transmitida para o neoprene) ES2 = ES - ES1 = 61,4 - 3,05

ES2 = 58,35 kN (sobrecarga transmitida para o tubulão) EA0= ES1 = 3,1 kN

E EK

Ki

KAn S

Tn Tn= ⋅ = ⋅∑

1 3 0511988 4

,. ,

Sobrecarga no lado esquerdo : E kNA0 31= ←, E kNA1 0 5= →, E kNA2 0 6= →, E kNA3 1 9= →,

Sobrecarga no lado direito: E kNA0 1 9= ←, E kNA1 0 5= ←, E kNA2 0 6= ←, E kNA3 3 1= →,

A sobrecarga nos aterros pode atuar só de um lado, ou, nos dois, logo : E kNA0 5 0= , E kNA1 0 5= , E kNA2 0 6= , E kNA3 5 0= ,


6.4. Temperatura + retração + protensão ∆t C

o=∑ 65

Fig.6.5. Esquema fictício para cálculo

Fi = Ki . δi

δ0 = 0 →F0= 0 δ1 = 10-5 ⋅ 24,00 ⋅ 65 = 0,0156 m →F1= K1 ⋅ δ1 = 2048,8 ⋅ 0,0156 = 31,96 kN δ2 = 10-5 ⋅ (24,00+30,00) ⋅ 65 = 0,0351 m →F2= K2 ⋅ δ2 = 2354,3 ⋅ 0,0351 = 82,69 kN δ3 = 10-5 ⋅ (24,00+30,00+24,00) ⋅ 65 = 0,0507 m →F3= K3 ⋅ δ3 = 7585,3 ⋅ 0,0507 = 384,57 kN

Fig.6.6 Resumo das forças aplicadas

A temperatura é gerada por forças internas portanto, sua somatória deve ser igual a zero. Assim sendo a resultante (R) deve ser reequilibrada pelos quatro apoios.

Fig.6.7. Esquema do reequilíbrio de forças

FK

KRi

i

i

= ⋅∑

Apoio 0 1 2 3

K Ki i∑ 0,388 0,105 0,120 0,388

F

193,65 kN

→→→→

52,41 kN

→→→→

59,90 kN

→→→→

193,65 kN

→→→→


A força total portanto é a soma destas duas, ou seja: F0 = 0 + 193,65 = 193 kN F1 = -31,96 + 52,41 = 20,45 kN F2 = -82,64 + 59,90 = -22,74 kN F3 = -384,57 + 193,65 = -190,92 kN

Apoio 0 1 2 3

F Ki Ti i= ⋅ =δ

193,4 kN

←←←←

20,45 kN

←←←←

22,74 kN

→→→→

190,92 kN

→→→→

- Resumo

Apoio Frenação

(kN)

Empuxo

(kN)

Sobrecarga

(kN)

Temperatura

(kN)

0 84,6 27,7 5,0 193,4

1 22,9 0,00 0,5 20,45

2 26,3 0,00 0,6 22,74

3 84,6 27,7 5,0 190,92 Os esforços estão sem sinal uma vez que a frenação pode inverter o sentido, a tendência dos esforços de (Sobrecarga + Empuxo) e Temperatura é de subtração uma vez que devido à protensão + retração a ∆Ttotal é negativa.


7. Análise da Distribuição Transversal - Vento

- Determinação da Rigidez do Apoio 0

Fig. 7.1 - Modelo de cálculo transversal do tubulão

obs: Tenho por hipótese o tubulão engastado na travessa. Rotação no topo sem o engastamento

( )ϕ ηφ= ⋅⋅

⋅S

K bP

2

ϕ = ⋅ ⋅ = ⋅ −198

100

0 200

18 0001 00 4 40 10

26( , )

., , rad

Momento que restitue a rotação


( )ϕ ηφ= ⋅⋅

⋅S

K bM

3

4 40 10399

100

0 200

18 0006

3

,( , )

.⋅ = ⋅ ⋅− M

M= 2,48 kNm

Pressão no terreno

pl

kN m= ⋅⋅

= ⋅⋅

=ηφ

M

b 2 2215 48

2 48

1 20 14 000 16,

,

, ( , ), /

Deslocamento devido ao Momento (Lei de Hooke)

δ = = = ⋅ −p

K

0 16

150001 07 10 5,

., m

Deslocamento Total (Devido a F e M) δ = (δH - δm) = (2,1 - 1,07)⋅ 10-5 = 1,03⋅ 10-5 m obs: δH foi calculado no item 5.1 Rigidez de um Tubulão

KTUB = =⋅

=−

FkN m

δ

1

1 03 1097 087 05,

. , /

Rigidez de um Neoprene KN = 4.137,9 kN/m Rigidez Total do Apoio 0

1

K=

1

2 K

1

2 KK

T0 TUB NT0⋅

+⋅

→ = 7 937 5. , /kN m

Rigidez Total do Apoio 1


Pilar (Rigidez transversal do pilar)

K =3 E I

h

3 27.400.000

10PT

3 3

⋅ ⋅=

⋅⋅

⋅=

5 40 0 70

12755039 9

3, ,. , /kN m

Neoprene KN = 15.789,5 kN/m

Sapata K =K I

h

30.000

10SV S

2 2

⋅= ⋅

⋅=

2 50 7 40

1225 326 5

3, ,. , /kN m


1

K=

1

K

1

K

1

KK

T1 P N ST1+ + → = 9 602 3. , /kN m


1

K=

1

K

1

K

1

K=

1

K

1

KK

T2 P F S P ST2+ + + → = 24 504 5. , /kN m

Rigidez Total do Apoio 3 KT3 = KT0 = 7.937,5 kN/m Determinação do centro elástico admitindo a superestrutura como viga rígida sobre apoios eláticos. Centro elástico:

aK S

K

i i

i

=⋅

=⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅∑

∑

7937 5 0 00 9602 3 24 00 24 504 5 54 00 7937 5 78 00

4 99316

, , , , . , , , ,

. ,

a = 43,47 m

Fig 7.2 - Distâncias ao centro elástico

Força Devido ao Vento por metro (Norma NBR XXX) p C q hx= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + =2 0 0 34 2 0 1 75 2 6, , ( , , ) , kN / m

TT Estr.

Reação em cada apoio (Courbon)


RK

KP M

K e

K ei

i

i

i i

i i

= ⋅ + ⋅⋅

⋅∑ ∑ 2

RK K e

i

i i i= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

⋅

49 98182 6 78 00 2 6 78 00 4 48

30820 201 33. ,, , , , ,

. . ,

Fig. 7.3 - Esquema das cargas

R0 = 42,4 kN R1 = 44,5 kN R2 = 91,8 kN R3 = 24,1 kN


8. Dimensionamento dos Apoios

8.1. Apoio 0

- Transversal

4,90

2,70 2,707,00

Rvento

Rsuper RsuperA B Rmuro de ala

Peso Prop da Travessa+Cortina+Lajede Aproximação

8.1 - Modelo estático transversal

Reações da Superestrutura A (kN) B(kN)

Peso Próprio 824,02 824,02 Peso Próprio +Meio Tab. Carreg.(MTC) 1.812,44 609,47 Peso Próprio +Todo Tab. Carreg.(TTC) 1.763,28 1.030,13 R0vento = 42,4 kN

0,80

3,50

3,00e = 0,25

Fig. 8.2 - Esquema do muro de ala

Rmuro de ala = Vol⋅ γc= (3,00+ 0,50)⋅ 0,5⋅ 3,5⋅0,25⋅ 25 = 38,3 kN

0,25

4,00

0,30

1,20

1,80

1,20

Fig. 8.3 - Esquema da travessa, cortina e laje de aproximação

g = Peso Próprio da Travessa + Cortina + Laje de aproximação =

= ( 1,20⋅ 1,20 + 0,25⋅ 1,80 + 0,30⋅ 4,00)⋅ 25,0 = 77,3 kN/m


Verificação dos Neoprenes do apoio 0 (Encontro)

Rmáx = 1.812,44 kN Rmín = 609,47 kN ϕ = 8,34⋅ 10-4 rd Neoprene: 0,30 x 0,40 m

3 placas de neoprene de 0,008 m aço: 3 x 0,003 m cobrimento: 2 x 0,0025 m hneop= 0,029 m Esforços totais para 2 neoprenes: Hfrenação = 84,6 kN Hsobrecarga = -5,0 kN H∆t = 193,4 kN Hvento = 42,4 kN Hempuxo = -27,7 kN

- Fator de Forma do Neoprene

µ =⋅

⋅ ⋅ +=

⋅

⋅ ⋅ +=

a b

h a b2

0 30 0 40

2 0 008 0 30 0 4010 71

( )

, ,

, ( , , ),

- Verificação da Ligação Elastômero-aço

τ τ ταN H G+ + ≤ 5 G: Módulo de elasticidade transversal do neoprene

τσ

µNN

= ⋅ = ⋅⋅

⋅ =15 1 51812 44

0 30 0 40

1

10 712 115 36 2, ,

. ,

, , ,. , /kN m ≤ 3G = 3000 kN/m2

τH =⋅

H

a b H = Hestático + 0,5 Hdinâmico

Hestático = H∆t = 193,4 = 96,70 kN 2 Hdinânico Long. = Hfrenação = 0,5 ⋅ 84,6 = 21,15 kN 2 Hdinâmico Trans. = Hvento = 0,5 ⋅ 42,4 = 10,60 kN

2

HTOTAL kN= + + =( , , ) ( , ) ,96 70 2115 10 60 118 332 2

Adota-se 0,5 Hdinâmico porque verifica-se experimentalmente que G vale o dobro nestas situações.


τH =⋅

=⋅

=H

a bkN m

118 33

0 30 0 40986 08 2,

, ,, / > 0,7G = 700 kN/m2

Portanto o neoprene deve ser redimensionado

τ ϕα = ⋅⋅

= ⋅⋅

⋅ =−G a

h htg tg kN m

i2

1000

2

0 30

0 008 0 02934 10 161 76

2 24 2( )

. ,

, ,(8, ) , /

τα = 161 76 2, /kN m ≤ 1,5G = 1.500 kN/m2

τ = + + = < =∑ 2115 36 986 08 161 76 3 263 20 5 5000, , , . , kN / m kN / m2 2G

(em geral OK)

- Condição de Não Deslizamento

f⋅ N > H

f = 0,10 + _600_ (fator de atrito) σNmin

σ Nmín=

⋅=

609 47

0 30 0 405078 92

,

, ,. , kN / m2

f = 0,10 + _600____ = 0,22 5.078,94

f⋅ N = 0,22⋅ 609,47 = 132,95 > HTOTAL = 118,33 kN (OK)

σN ≥ 2.000 kN/m2 = 5.078,92 kN/m2 (OK)


- Condição de Não Levantamento do Bordo Menor Comprimido

∆ha

Gtg> ⋅ ( )ϕ

a

Gtg⋅ ( )ϕ =

0 3034 10 4 18 104 5,

(8, ) ,G

tg⋅ ⋅ = ⋅− −

∆hh hi i

=⋅

⋅ ⋅ + ⋅+ ⋅

⋅

⋅ ⋅ + ⋅∑ ∑

σ

µ σ

σ

µ σN

i2

N

N

i2

N4 G 4 G31 4

31

3

1

2

,'

'

hi = Altura dos neoprenes internos = 0,008 m h’i = Altura do combrimento = 0,0025 m µ = Fator de forma das camadas internas = 10,71 µ’ = Fator de forma do cobrimento = 34,29 σN

2

mínkN / m= 15103 67. ,

Resulta ∆h = 74,13⋅ 10-5 m > 4,18⋅ 10-5 m (OK) - Verificação da Resistência das Chapas de Aço

c ≥ 2⋅σNmaxd ⋅ hi Fyk = 25.000 kN/m2 (A36)

Fyd

c ≥ 2⋅ 15103,67 ⋅ 1,4 ⋅ 0,008 25000/ 1,15 c ≥ 0,0156 cmin = 2 mm

- Verificação da Durabilidade

1) tg γ ≤ 0,5 para cargas estáticas 2) tg γ ≤ 0,7 para cargas estáticas + dinâmicas

1) tgG

γτ

= =⋅ ⋅

⋅ = >193 4

2 0 30 0 40

1

10000 806 0 5

,

, ,, , (Não OK)

2) tgG

γτ

= =⋅

⋅ = >118 33

0 30 0 40

1

10000 986 0 7

,

, ,, , (Não OK)

Solução: Aumentar a altura do neoprene e proceder a redistribuição de esforços na infraestrutura.


- Análise do Pilar do Apoio 1 (70 x 540)

hpilar = 8,00 m Rmax super = 8194,65 kN Rg pilar = 756,0 kN ΣR = 8.950,65 kN Mt =1.825,31 Knm (torçor da super p/ TTC) ec = erro construtivo do pilar na direção da menor inércia ec = Ll = 2 ⋅ 800 = 0,053 m Ll = comprimento de flambagem 300 300 Fl = 43,45 kN (Força horizontal longitudinal) Fl = 42,30 kN (Força horizontal transversal) Kφ = Kv ⋅ Isapata = 7,40 ⋅ 2,503 ⋅ 30.000 = 289062,50 kNm/rad (mola a rotação na base) 12 Modelo estático

Fig 8.4 - Modelo estático

(analise não linear sempre com ações de cálculo)

Momento Longitudinal Total de 1ª Ordem

M1ªd = 1,4⋅ (43,45⋅ 8,00 + 8950,65⋅ 0,053) = 1.150,78 kNm observar que o peso próprio do pilar foi admitido aplicado na cabeça do pilar a favor da segurança Aplicação do Processo do Pilar Padrão

a = Ll2⋅ ( 1/r)base a = excentricidade de 2ª ordem

10 1/r = curvatura na base do pilar Ll = 2⋅ L A expressão acima é obtida admitindo-se a linha elástica uma senóide

ec

Rd Fd

8,00 m

Kθ


y = a⋅ sen π x Ll

Fig. 8.5 - Linha elástica

A fim de predimensionar a armadura, uma vez que a curvatura na base é função desta, será admitido em 1ª aproximação: Mtotal d = M1ª d + M2ª d = 1,2 M1ª d

pelo ábaco de Montoya: Nd = 1,4⋅ 8.950,65 = 12.530,91 kN Md = 1,2⋅ 1.150,78 = 1.380,99 kNm ν = Nd = 12.530,91 = 0,258 Ac⋅ Fcd 0,70⋅ 5,40⋅ 18.000 1,4 µ = Md = 1.380,93 = 0,041 Ac⋅ hp⋅ Fcd 0,702⋅ 5,40⋅18.000 1,4 ω = 0,0 portanto As min

Asmin = 0,8 ⋅ Ac = 0,8 ⋅ 70 ⋅ 5,40 = 302,40 cm2 ou 151,20 cm2/face 100 100 que corresponde a ω = As⋅ Fyd = 0,27 Ac⋅ Fcd das tabelas momento/curvatura (livro do prof. Fusco) temos

y

x

L

L

a


µ,ν,ω → 1/r (1/r)base = 0,30⋅ 10-3 m-1 resulta a = (2⋅ 8,0)2 ⋅ 0,00030 = 0,008 m 10 M2ª d = 12.530,91⋅ 0,008 = 96,24 kNm Mtotal d = 1.150,78 + 96,24 = 1.274,02 kNm Acréscimo de excentricidade no topo do pilar devido a rotação da base ∆e = Mtotal d ⋅ l = 1.247,02 ⋅ 8,00 = 0,035 m Kθ 289.082,50 Acréscimode momento da base ∆Md = 0,035⋅ 12.530,91 = 432,47 kNm Momento total na base Mtotal d = 1.150,78 + 96,24 + 432,47 = 1.679,49 kNm Caberia agora mais um ciclo de interação calculando-se novamente a nova excentricidade de 2ª ordem, ∆e, etc, porem, como o pilar foi armado com As min vamos verificar qual é o seu momento resistente para Nd atuantes. com ω = 0,27 e ν = 0,258 pelo ábaco de Montoya → µ = 0,15 → Md = 6.212,35 kNm >>>Md total = 1.679,49 kNm portanto não é necessária nova inteiração Análise da Flexo Compressão Obliqua Nd = 12.530,91 kN → ν = 8,258 Md = 1.679,49 kNm → µ = 0,060 MTd = 1,4⋅ (1.825,31 + 42,30⋅ 10,00) = 3.147,63 kNm → µt = 0,012 → ω ≅ 0,00 → As min OK! portanto 98 φ20 mm CA-50 04 φ20 c/ 12,5 cm

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