4 relatorio - modulo de torção

1

2

3

4

1 RESUMO

Atraveacutes de um experimento utilizando uma balanccedila de torccedilatildeo calculou-

se o momento de ineacutercia de um sistema e relacionou-o com o torque Atraveacutes

da torccedilatildeo analisou-se e utilizou-se a Lei de Hooke para sistemas mecacircnicos

oscilatoacuterios Na praacutetica decorrida foi calculado o moacutedulo de torccedilatildeo do mesmo

fio de accedilo ajustado em quatro comprimentos diferentes (10 cm 15 cm 20 cm e

25 cm) a partir da medida do tempo em que o fio preso a uma haste que servia

de suporte aos corpos oscilava dez vezes em torno do seu eixo sendo solto

de um acircngulo conhecido O experimento foi realizado diversas vezes com

combinaccedilotildees de hastes e pesos diferentes na contagem das oscilaccedilotildees

resultando em tempos diferentes para o caacutelculo do moacutedulo de torccedilatildeo Por fim

verificou-se que o moacutedulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento

do fio e esse aumento faz com que o periacuteodo de oscilaccedilatildeo para cada

configuraccedilatildeo de massa tambeacutem aumente Isso pode ser explicado pela Lei de

Hooke como tambeacutem pela Lei de Newton para rotaccedilotildees

5

2 INTRODUCcedilAtildeO

21 MOacuteDULOS DE TORCcedilAtildeO

Um tipo de movimento caracteriacutestico que se apresenta em diversos

fenocircmenos correspondendo a vibraccedilotildees localizadas ou oscilaccedilotildees de corpos

em torno de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio Sistemas mecacircnicos vibratoacuterios incluem

como exemplo pecircndulos de torccedilatildeo diapasotildees cordas de instrumentos

musicais e colunas de ar em instrumentos de sopro

Em soacutelidos eacute comum que as forccedilas internas entre as moleacuteculas ou

aacutetomos sejam muitos intensas para impedir rupturas que podem ser causadas

por forccedilas externas menos intensas poreacutem pode ocorrer a deformaccedilatildeo

temporaacuteria ou permanente do material Caso haja uma deformaccedilatildeo temporaacuteria

a partir do momento que as forccedilas externas cessam o soacutelido tende a voltar agrave

forma original atraveacutes de uma forccedila ou toque restaurador que se opotildee agrave forccedila

ou torque deformador

22 TENSOtildeES DE CISALHAMENTO

Um corpo soacutelido ciliacutendrico com um de seus extremos fixos submetidos a uma

forccedila tangencial aacute sua superfiacutecie lateral sofre uma torccedilatildeo Se o corpo natildeo for riacutegido

camadas superficiais do mesmo deslizariam entre si como no caso de fluidos liacutequidos

devido agraves forccedilas tangenciais Em corpos soacutelidos as forccedilas geram tensotildees de

cisalhamento cuja tendecircncia eacute separar as camadas do material gerando assim

deformaccedilotildees em torno do eixo do cilindro Essas deformaccedilotildees podem ser temporaacuterias

ou permanentes dependendo da intensidade da forccedila se o corpo volta a sua condiccedilatildeo

original apoacutes cessar a forccedila externa diz-se que ele se comporta como um sistema

elaacutestico No caso de torccedilotildees elaacutesticas haacute uma relaccedilatildeo linear entre a deformaccedilatildeo

angular e a forccedila elaacutestica restauradora governada pela Lei de Hooke

Para encontrar a deformaccedilatildeo angular resultante devido a forccedila externa

aplicada deve-se dividir o corpo soacutelido em camadas ciliacutendricas de raio interno r

espessura dr e comprimento L (Figura 1) Cada camada ciliacutendrica de for estendida

formaria um retacircngulo de largura 2π r e altura L sob accedilatildeo de uma forccedila tangencial se

deformando em um paralelogramo A deformaccedilatildeo de cisalhamento (ε) eacute ao longo do

6

periacutemetro do cilindro e cresce com o comprimento (z) representado na Figura 2 A

Equaccedilatildeo (1) demonstra o aumento da deformaccedilatildeo por unidade de comprimento

Ɛz= rL∙θ (1)

A forccedila de torccedilatildeo externa comunica diferenciais de forccedilas tangenciais

(d F=dF ∙ t) a cada camada ciliacutendrica que se distribuem sobre a superfiacutecie de

cada anel de aacuterea d A=2π ∙r ∙ dr ∙ k gerando tensotildees de cisalhamento σ

(Equaccedilatildeo 2)

σ=|d F t||d A|

=dFt

2 π ∙ r ∙ dr (2)

Figura 1 - Corpo soacutelido dividido em camadas ciliacutendricas de raio interno r

espessura dr e comprimento L (QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica

IV 2013)

Figura 2 - Deformaccedilatildeo de um retacircngulo de largura 2π r e altura L sob accedilatildeo de

uma forccedila tangencial formando um paralelogramo (QUINtildeONES E R F

Apostila da Aula Praacutetica IV 2013)

7

23 MOacuteDULO DE CISALHAMENTO

Para pequenas deformaccedilotildees ou seja dentro do limite elaacutestico do fio sob

torccedilatildeo as tensotildees de cisalhamento obedecem a Lei de Hooke exibindo

valores proporcionais agrave deformaccedilatildeo de cisalhamento (Equaccedilatildeo 3)

σ=minusS ∙ Ɛz∙ θ=minusS ∙ r

L∙θ (3)

Onde Seacute o moacutedulo de cisalhamento r representa o raio do cilindro L o comprimento do mesmo e θ eacute o acircngulo de desvio do sistema barra-cilindro em relaccedilatildeo agrave sua posiccedilatildeo original

24 TORQUE RESTAURADOR

A forccedila tangencial diferencial atuando em cada camada do cilindro pode

ser relacionada com o acircngulo de torccedilatildeo total do extremo inferior do fio usando

a tensatildeo de cisalhamento (Equaccedilatildeo 4 e 5)

d Ft=2 π σ r dr (4)

d Ft=minusS 2 πLθ ∙r 2 ∙ dr (5)

O torque para restaurar o fio de um acircngulo de θ pode ser obtido

relacionando a forccedila tangencial aplicada a camada ciliacutendrica com raio interno

da camada (Equaccedilatildeo 6 e 7)

d τ=rtimes d F=r dF t ( r timest ) (6)

d τ=minus2 π ∙ SL

∙ r3 ∙ dr ∙ θ ∙ k (7)

O torque para restaurar as posiccedilotildees iniciais das camadas ciliacutendricas do fio eacute

dado pela integral definida desde a camada de raio zero ateacute a camada da periferia do

cilindro de raio R

8

τ=minus2π ∙S ∙ θL

into

R

r3 ∙ dr ∙ k (8)

τ=minusπ ∙S ∙ R4

2L∙θ ∙ k (9)

Para um pequeno deslocamento angular tem-se o torque restaurador

conforme Equaccedilatildeo (10)

τ=minusK ∙θ ∙ k (10)

Onde K= π ∙S ∙R4

2 L

25 SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA ROTACcedilOtildeES

Considerando um barra horizontal suspensa em equiliacutebrio por um fio vertical

de comprimento L e raio R A barra horizontal possui um certo momento de ineacutercia Se

defletir a barra no plano horizontal de um pequeno acircngulo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de

equiliacutebrio a Lei de Hooke para a torccedilatildeo diz que o fio preso agrave barra reage com um

pequeno torque restaurador proporcional ao acircngulo de torccedilatildeo (Equaccedilatildeo 11)

τ=minusK ∙θ (11)

O movimento de rotaccedilatildeo do fio ciliacutendrico em torno de seu eixo de simetria

depende da ineacutercia do sistema ou seja do momento de ineacutercia do cilindro e o da barra

acoplada ao mesmo Para um torque levando o sistema para posiccedilatildeo de equiliacutebrio a

resposta dinacircmica vai depender da ineacutercia do sistema Assim quanto maior for a

ineacutercia o sistema vai girar sob menor aceleraccedilatildeo angular ou seja mais lentamente

A segunda lei de Newton para as rotaccedilotildees eacute dada pela Equaccedilatildeo (12)

τ=I prop (12)

τ=I d2θd t2

(13)

Onde I representa o momento de ineacutercia do sistema sob rotaccedilatildeo em relaccedilatildeo ao eixo

de rotaccedilatildeo do corpo

9

As Equaccedilotildees (11) e (13) exprimem o mesmo resultado poreacutem a Equaccedilatildeo (11)

reflete a resposta elaacutestica interna do corpo agrave torccedilatildeo e a Equaccedilatildeo (13) indica a

aceleraccedilatildeo transmitida ao mesmo corpo sob rotaccedilatildeo Entatildeo igualando as duas se

obteacutem a Equaccedilatildeo (14) que representa o movimento oscilatoacuterio do corpo elaacutestico de

torccedilatildeo

I ∙d2θd t2

=minusK ∙θ (14)

d2θd t2

+ KI∙θ=0 (15)

O sistema dinacircmico descrito pela Equaccedilatildeo (15) chama-se de oscilador

harmocircnico simples (unidimensional) A variaacutevel θ que caracteriza o uacutenico grau de

liberdade descreve os pequenos desvios da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel do fio A

restriccedilatildeo a pequenos desvios limita o movimento oscilatoacuterio para regiotildees onde o

sistema se comporta elasticamente Se passar do limite elaacutestico do fio o sistema natildeo

retorna agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio tendo deformaccedilotildees permanentes

A equaccedilatildeo (15) eacute uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria para θ (t ) e de segunda

ordem cuja soluccedilatildeo geral eacute dada pela Equaccedilatildeo (16)

θ (t )=θo ∙cos (ω∙ t+φ ) (16)

Onde θo representa a amplitude de oscilaccedilatildeo ou maacuteximo deslocamento angular A

funccedilatildeocos (w ∙t+φ) eacute uma funccedilatildeo perioacutedica onde o paracircmetro ω representa a

frequecircncia angular O tempo que o sistema demora em voltar a sua condiccedilatildeo inicial ou

repetir o movimento oscilatoacuterio eacute chamado de periacuteodo (Equaccedilatildeo 17)

cos (ω∙t+φ )=cos (ω∙ ( t+T )+φ ) (17)

cos (ω∙t+φ+2 π )=cos (ω∙ t+φ+ω∙T ) (18)

O periacuteodo de oscilaccedilatildeo eacute funccedilatildeo do inverso da frequecircncia angular do sistema


T=2πω

(19)

10

Logo a soluccedilatildeo harmocircnica do sistema de torccedilatildeo pode ser escrita de acordo

com a Equaccedilatildeo (20)

θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)

Derivando duas vezes esta funccedilatildeo harmocircnica obtecircm a Equaccedilatildeo (21)

d2θ (t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)

d2θ ( t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ( t ) (22)

Substituindo a Equaccedilatildeo (22) na (15) obtecircm-se a Equaccedilatildeo (23)

T=2π ∙radic IK (23)

O fato de que o periacuteodo T eacute independente da amplitude de oscilaccedilatildeo (desde

que natildeo ultrapasse o limite de elasticidade do fio) constitui o isocronismo das

pequenas oscilaccedilotildees do pecircndulo descoberto por Galileu

Este relatoacuterio tem por objetivo realizar a verificaccedilatildeo das oscilaccedilotildees harmocircnicas

de um sistema conservativo a validade da Lei de Hooke na torccedilatildeo de um fio a relaccedilatildeo

entre o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e o moacutedulo de torccedilatildeo a dependecircncia do moacutedulo de

torccedilatildeo de um fio com seu comprimento diacircmetro e material e o momento de ineacutercia de

qualquer objeto com o uso da balanccedila de torccedilatildeo

11

3 PARTE EXPERIMENTAL

31 MATERIAIS

Utilizou-se uma balanccedila de torccedilatildeo baacutesica para mecacircnica composta por

uma haste ciliacutendrica vertical acoplada na parte de baixo aacute uma base quadrada

com quatro sapatas niveladoras e amortecedoras e na parte de cima a um

suporte horizontal duas pequenas hastes auxiliares com furo transversal

central passante e parafusos nos seus extremos (para prender o arame) duas

travas auxiliares de latatildeo para o corpo de prova e duas hastes com o corpo

central e com rebaixo nos extremos de comprimento 10 cm e 20 cm A esta

balanccedila foram combinados jogos de pesos (corpos de prova) e um uacutenico fio de

accedilo ajustado a quatro comprimentos diferentes Para auxiliar nas medidas do

acircngulo fio tempo e massa utilizou-se respectivamente transferidor reacutegua

metaacutelica cronocircmetro e balanccedila

32 PREacute-REQUISITO

Primeiramente fez-se necessaacuterio o conhecimento dos paracircmetros de

oscilaccedilatildeo livre como o moacutedulo de torccedilatildeo levando em consideraccedilatildeo as tensotildees

de cisalhamento Posteriormente fez-se uma relaccedilatildeo entre a deformaccedilatildeo

angular e a forccedila elaacutestica restauradora da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel

expressada pela Lei de Hooke O caacutelculo do momento de uma forccedila em relaccedilatildeo

a um eixo foi feito e obteve-se entatildeo o momento de ineacutercia de um corpo riacutegido

atraveacutes da medida indireta do periacuteodo de oscilaccedilatildeo do pecircndulo fiacutesico de torccedilatildeo

33 PROCEDIMENTO

O intuito da praacutetica foi medir o tempo das oscilaccedilotildees de cada haste (de

10 cm e 20 cm) mantendo os pesos equilibrados em suas extremidades

suspensas por um uacutenico fio ajustado em 10 cm 15 cm 20 cm e 25 cm

Para isso utilizou-se um cronometro digital para medir o tempo na qual a

haste com seus respectivos jogos de pesos oscilavam Fez-se isso tanto para a

haste de 10 cm e 20 cm A haste foi posicionada em um acircngulo de 70deg com a

horizontal da base da balanccedila de torccedilatildeo Acionava-se o cronocircmetro soltava-se

12

a haste e parava-se assim que ela completasse dez oscilaccedilotildees Desse modo

percebeu-se que o moacutedulo de torccedilatildeo do fio de accedilo dependia do seu

comprimento dos comprimentos das hastes e das massas dos corpos fixados

a ela Com auxilio do tempo medido foi possiacutevel calcular o moacutedulo de torccedilatildeo

em cada caso e por fim o moacutedulo de cisalhamento do fio de accedilo empregado

13

4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO

Para cada comprimento de fio dos quatro utilizados montaram-se

diferentes configuraccedilotildees de massa com os dois tamanhos de haste resultando

em diferentes momentos de ineacutercia Para cada comprimento (L) do fio usado no

moacutedulo de torccedilatildeo construiu-se uma tabela contendo o tempo de cinco

repeticcedilotildees cada uma com 10 oscilaccedilotildees para cada configuraccedilatildeo inercial e seu

momento de ineacutercia resultante Para isso desprezou-se a ineacutercia do fio e

considerou-se a trava auxiliar como um cilindro reto uniforme

A Tabela 1 apresenta os dados com o comprimento de fio de 25 cm o

periacuteodo meacutedio eacute obtido pela divisatildeo de tempo total por 10 (nuacutemero de

oscilaccedilotildees) e o erro do periacuteodo eacute representado pelo desvio-padratildeo apresentado

pelos dados experimentais

Tabela 1 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 25 cm

Haste 021 m Haste 011m

Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658

Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)

1 7386 8109 9363 3741 4166

2 7294 8081 9379 3785 4150

3 7315 8084 9385 3753 4109

4 7314 8069 9379 3775 4122

5 7316 8037 9369 3738 4147

T (s) 7325 plusmn035 8076 plusmn026 937 plusmn009 37584 plusmn021 41388 plusmn023

Os valores determinados com o fio de 200 cm estatildeo dispostos na

Tabela 2


Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)

1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465

14

5 2562 3371 3644 4990 6494T (s) 256 plusmn010 333 plusmn028 363 plusmn007 500 plusmn018 648 plusmn015

Para o fio de comprimento igual a 150 cm os dados estatildeo descritos na

Tabela 3



Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568


1 2294 2910 3225 4379 5687

2 23 2925 3204 4378 5691

3 2294 2940 3194 4394 5697

4 2284 2934 3191 4375 5675

5 2282 2903 3194 4353 5687


Para o fio de 100 cm tem-se a Tabela 4



1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646


Calculou-se o momento de ineacutercia resultante de cada configuraccedilatildeo pela

Equaccedilatildeo (a) em anexo e seu erro segundo a Equaccedilatildeo (b) Os momentos de

ineacutercia e os periacuteodos ao quadrado com seus desvios calculados pela Equaccedilatildeo

(c) estatildeo nas Tabelas 5 6 7 e 8

15

Tabela 5 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 25 cm de comprimento

Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))

T2 (s2)

1 072 plusmn003 1712plusmn189





Tabela 6 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e

haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 20 cm de

comprimento


T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento

16

OscilaccedilatildeoMomento de

Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))

T2 (s2)






Elevando a Equaccedilatildeo (23) ao quadrado temos

T 2=4 π2 IK

(24)

Construindo um graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de

ineacutercia de cada configuraccedilatildeo para cada um dos comprimentos (L) dos fios de

prova tem-se que

T 2=aI (25)

E portanto

K= 4π2

a (26)

Possibilitando determinar o valor do modulo de torccedilatildeo (K) para cada

comprimento de fio utilizado

Para o fio de comprimento L=250 cm tem-se a Figura 3 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo

17

Figura 3 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear entre o momento de ineacutercia do sistema e o periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de comprimento 025m

Onde tem-se a=22469plusmn29 ssup2kg-1m-sup2


Figura 4 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 020m de comprimento

18




Onde se tem a=13381plusmn44 ssup2kg-1m-sup2


19

Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento


Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L

e ajustando uma reta do

tipo

K=a 1L

(27)

E portanto

S= 2a

π R4 (28)

A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear

dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros

associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)

Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os

valores de K e seus erros associados

Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565

13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860

Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7

Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio

20

Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do

graacutefico tem-se o coeficiente angular

a=45131plusmn754 g cm3 sminus2

Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da

Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)

Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se

S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2

ou

S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2

41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)

Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4

K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)

Dados experimentais Ajuste Linear

21

Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do

sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos

graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos

positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento

oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo

(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim

quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento

tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo

Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos

periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que

haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento

A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico

esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O

moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a

deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se

muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em

que eacute submetido

Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de

cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era

bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono

(aproximadamente 8times109N mminus1)

22

5 CONCLUSAtildeO

A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do

movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes

como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos

diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de

lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio

(movimento inelaacutestico)

Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios

concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento

do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio

cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado

Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel

calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel

comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que

neste caso foi o accedilo carbono

23

6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS

QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013

HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a

Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2

24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)

Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste

L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o

comprimento do braccedilo da haste

∆ I=12Rc

2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+

16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)

∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)

∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

2

3

4

1 RESUMO















5































6



Ɛz= rL∙θ (1)





σ=|d F t||d A|

=dFt

2 π ∙ r ∙ dr (2)



IV 2013)




7






L∙θ (3)













∙ r3 ∙ dr ∙ θ ∙ k (7)



cilindro de raio R

8


into

R

r3 ∙ dr ∙ k (8)


2L∙θ ∙ k (9)





2 L














τ=I prop (12)

τ=I d2θd t2

(13)



9





torccedilatildeo

I ∙d2θd t2

=minusK ∙θ (14)

d2θd t2

+ KI∙θ=0 (15)









θ (t )=θo ∙cos (ω∙ t+φ ) (16)





cos (ω∙t+φ )=cos (ω∙ ( t+T )+φ ) (17)




T=2πω

(19)

10



θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)


d2θ (t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)

d2θ ( t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ( t ) (22)











11


31 MATERIAIS




















33 PROCEDIMENTO








12






13















Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658


1 7386 8109 9363 3741 4166

2 7294 8081 9379 3785 4150

3 7315 8084 9385 3753 4109

4 7314 8069 9379 3775 4122

5 7316 8037 9369 3738 4147



Tabela 2



1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465

14



Tabela 3



Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568


1 2294 2910 3225 4379 5687

2 23 2925 3204 4378 5691

3 2294 2940 3194 4394 5697

4 2284 2934 3191 4375 5675

5 2282 2903 3194 4353 5687





1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646






15



T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento

16



T2 (s2)







T 2=4 π2 IK

(24)



prova tem-se que

T 2=aI (25)

E portanto

K= 4π2

a (26)




17





18






19





tipo

K=a 1L

(27)

E portanto

S= 2a

π R4 (28)










20








ou


41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)


21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

3

4

1 RESUMO















5































6



Ɛz= rL∙θ (1)





σ=|d F t||d A|

=dFt

2 π ∙ r ∙ dr (2)



IV 2013)




7






L∙θ (3)













∙ r3 ∙ dr ∙ θ ∙ k (7)



cilindro de raio R

8


into

R

r3 ∙ dr ∙ k (8)


2L∙θ ∙ k (9)





2 L














τ=I prop (12)

τ=I d2θd t2

(13)



9





torccedilatildeo

I ∙d2θd t2

=minusK ∙θ (14)

d2θd t2

+ KI∙θ=0 (15)









θ (t )=θo ∙cos (ω∙ t+φ ) (16)





cos (ω∙t+φ )=cos (ω∙ ( t+T )+φ ) (17)




T=2πω

(19)

10



θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)


d2θ (t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)

d2θ ( t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ( t ) (22)











11


31 MATERIAIS




















33 PROCEDIMENTO








12






13















Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658


1 7386 8109 9363 3741 4166

2 7294 8081 9379 3785 4150

3 7315 8084 9385 3753 4109

4 7314 8069 9379 3775 4122

5 7316 8037 9369 3738 4147



Tabela 2



1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465

14



Tabela 3



Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568


1 2294 2910 3225 4379 5687

2 23 2925 3204 4378 5691

3 2294 2940 3194 4394 5697

4 2284 2934 3191 4375 5675

5 2282 2903 3194 4353 5687





1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646






15



T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento

16



T2 (s2)







T 2=4 π2 IK

(24)



prova tem-se que

T 2=aI (25)

E portanto

K= 4π2

a (26)




17





18






19





tipo

K=a 1L

(27)

E portanto

S= 2a

π R4 (28)










20








ou


41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)


21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

4

1 RESUMO















5































6



Ɛz= rL∙θ (1)





σ=|d F t||d A|

=dFt

2 π ∙ r ∙ dr (2)



IV 2013)




7






L∙θ (3)













∙ r3 ∙ dr ∙ θ ∙ k (7)



cilindro de raio R

8


into

R

r3 ∙ dr ∙ k (8)


2L∙θ ∙ k (9)





2 L














τ=I prop (12)

τ=I d2θd t2

(13)



9





torccedilatildeo

I ∙d2θd t2

=minusK ∙θ (14)

d2θd t2

+ KI∙θ=0 (15)









θ (t )=θo ∙cos (ω∙ t+φ ) (16)





cos (ω∙t+φ )=cos (ω∙ ( t+T )+φ ) (17)




T=2πω

(19)

10



θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)


d2θ (t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)

d2θ ( t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ( t ) (22)











11


31 MATERIAIS




















33 PROCEDIMENTO








12






13















Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658


1 7386 8109 9363 3741 4166

2 7294 8081 9379 3785 4150

3 7315 8084 9385 3753 4109

4 7314 8069 9379 3775 4122

5 7316 8037 9369 3738 4147



Tabela 2



1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465

14



Tabela 3



Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568


1 2294 2910 3225 4379 5687

2 23 2925 3204 4378 5691

3 2294 2940 3194 4394 5697

4 2284 2934 3191 4375 5675

5 2282 2903 3194 4353 5687





1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646






15



T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento

16



T2 (s2)







T 2=4 π2 IK

(24)



prova tem-se que

T 2=aI (25)

E portanto

K= 4π2

a (26)




17





18






19





tipo

K=a 1L

(27)

E portanto

S= 2a

π R4 (28)










20








ou


41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)


21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

5































6



Ɛz= rL∙θ (1)





σ=|d F t||d A|

=dFt

2 π ∙ r ∙ dr (2)



IV 2013)




7






L∙θ (3)













∙ r3 ∙ dr ∙ θ ∙ k (7)



cilindro de raio R

8


into

R

r3 ∙ dr ∙ k (8)


2L∙θ ∙ k (9)





2 L














τ=I prop (12)

τ=I d2θd t2

(13)



9





torccedilatildeo

I ∙d2θd t2

=minusK ∙θ (14)

d2θd t2

+ KI∙θ=0 (15)









θ (t )=θo ∙cos (ω∙ t+φ ) (16)





cos (ω∙t+φ )=cos (ω∙ ( t+T )+φ ) (17)




T=2πω

(19)

10



θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)


d2θ (t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)

d2θ ( t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ( t ) (22)











11


31 MATERIAIS




















33 PROCEDIMENTO








12






13















Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658


1 7386 8109 9363 3741 4166

2 7294 8081 9379 3785 4150

3 7315 8084 9385 3753 4109

4 7314 8069 9379 3775 4122

5 7316 8037 9369 3738 4147



Tabela 2



1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465

14



Tabela 3



Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568


1 2294 2910 3225 4379 5687

2 23 2925 3204 4378 5691

3 2294 2940 3194 4394 5697

4 2284 2934 3191 4375 5675

5 2282 2903 3194 4353 5687





1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646






15



T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento

16



T2 (s2)







T 2=4 π2 IK

(24)



prova tem-se que

T 2=aI (25)

E portanto

K= 4π2

a (26)




17





18






19





tipo

K=a 1L

(27)

E portanto

S= 2a

π R4 (28)










20








ou


41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)


21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

6



Ɛz= rL∙θ (1)





σ=|d F t||d A|

=dFt

2 π ∙ r ∙ dr (2)



IV 2013)




7






L∙θ (3)













∙ r3 ∙ dr ∙ θ ∙ k (7)



cilindro de raio R

8


into

R

r3 ∙ dr ∙ k (8)


2L∙θ ∙ k (9)





2 L














τ=I prop (12)

τ=I d2θd t2

(13)



9





torccedilatildeo

I ∙d2θd t2

=minusK ∙θ (14)

d2θd t2

+ KI∙θ=0 (15)









θ (t )=θo ∙cos (ω∙ t+φ ) (16)





cos (ω∙t+φ )=cos (ω∙ ( t+T )+φ ) (17)




T=2πω

(19)

10



θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)


d2θ (t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)

d2θ ( t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ( t ) (22)











11


31 MATERIAIS




















33 PROCEDIMENTO








12






13















Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658


1 7386 8109 9363 3741 4166

2 7294 8081 9379 3785 4150

3 7315 8084 9385 3753 4109

4 7314 8069 9379 3775 4122

5 7316 8037 9369 3738 4147



Tabela 2



1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465

14



Tabela 3



Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568


1 2294 2910 3225 4379 5687

2 23 2925 3204 4378 5691

3 2294 2940 3194 4394 5697

4 2284 2934 3191 4375 5675

5 2282 2903 3194 4353 5687





1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646






15



T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento

16



T2 (s2)







T 2=4 π2 IK

(24)



prova tem-se que

T 2=aI (25)

E portanto

K= 4π2

a (26)




17





18






19





tipo

K=a 1L

(27)

E portanto

S= 2a

π R4 (28)










20








ou


41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)


21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

7






L∙θ (3)













∙ r3 ∙ dr ∙ θ ∙ k (7)



cilindro de raio R

8


into

R

r3 ∙ dr ∙ k (8)


2L∙θ ∙ k (9)





2 L














τ=I prop (12)

τ=I d2θd t2

(13)



9





torccedilatildeo

I ∙d2θd t2

=minusK ∙θ (14)

d2θd t2

+ KI∙θ=0 (15)









θ (t )=θo ∙cos (ω∙ t+φ ) (16)





cos (ω∙t+φ )=cos (ω∙ ( t+T )+φ ) (17)




T=2πω

(19)

10



θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)


d2θ (t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)

d2θ ( t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ( t ) (22)











11


31 MATERIAIS




















33 PROCEDIMENTO








12






13















Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658


1 7386 8109 9363 3741 4166

2 7294 8081 9379 3785 4150

3 7315 8084 9385 3753 4109

4 7314 8069 9379 3775 4122

5 7316 8037 9369 3738 4147



Tabela 2



1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465

14



Tabela 3



Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568


1 2294 2910 3225 4379 5687

2 23 2925 3204 4378 5691

3 2294 2940 3194 4394 5697

4 2284 2934 3191 4375 5675

5 2282 2903 3194 4353 5687





1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646






15



T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento

16



T2 (s2)







T 2=4 π2 IK

(24)



prova tem-se que

T 2=aI (25)

E portanto

K= 4π2

a (26)




17





18






19





tipo

K=a 1L

(27)

E portanto

S= 2a

π R4 (28)










20








ou


41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)


21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

8


into

R

r3 ∙ dr ∙ k (8)


2L∙θ ∙ k (9)





2 L














τ=I prop (12)

τ=I d2θd t2

(13)



9





torccedilatildeo

I ∙d2θd t2

=minusK ∙θ (14)

d2θd t2

+ KI∙θ=0 (15)









θ (t )=θo ∙cos (ω∙ t+φ ) (16)





cos (ω∙t+φ )=cos (ω∙ ( t+T )+φ ) (17)




T=2πω

(19)

10



θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)


d2θ (t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)

d2θ ( t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ( t ) (22)











11


31 MATERIAIS




















33 PROCEDIMENTO








12






13















Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658


1 7386 8109 9363 3741 4166

2 7294 8081 9379 3785 4150

3 7315 8084 9385 3753 4109

4 7314 8069 9379 3775 4122

5 7316 8037 9369 3738 4147



Tabela 2



1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465

14



Tabela 3



Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568


1 2294 2910 3225 4379 5687

2 23 2925 3204 4378 5691

3 2294 2940 3194 4394 5697

4 2284 2934 3191 4375 5675

5 2282 2903 3194 4353 5687





1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646






15



T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento

16



T2 (s2)







T 2=4 π2 IK

(24)



prova tem-se que

T 2=aI (25)

E portanto

K= 4π2

a (26)




17





18






19





tipo

K=a 1L

(27)

E portanto

S= 2a

π R4 (28)










20








ou


41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)


21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

9





torccedilatildeo

I ∙d2θd t2

=minusK ∙θ (14)

d2θd t2

+ KI∙θ=0 (15)









θ (t )=θo ∙cos (ω∙ t+φ ) (16)





cos (ω∙t+φ )=cos (ω∙ ( t+T )+φ ) (17)




T=2πω

(19)

10



θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)


d2θ (t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)

d2θ ( t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ( t ) (22)











11


31 MATERIAIS




















33 PROCEDIMENTO








12






13















Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658


1 7386 8109 9363 3741 4166

2 7294 8081 9379 3785 4150

3 7315 8084 9385 3753 4109

4 7314 8069 9379 3775 4122

5 7316 8037 9369 3738 4147



Tabela 2



1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465

14



Tabela 3



Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568


1 2294 2910 3225 4379 5687

2 23 2925 3204 4378 5691

3 2294 2940 3194 4394 5697

4 2284 2934 3191 4375 5675

5 2282 2903 3194 4353 5687





1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646






15



T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento

16



T2 (s2)







T 2=4 π2 IK

(24)



prova tem-se que

T 2=aI (25)

E portanto

K= 4π2

a (26)




17





18






19





tipo

K=a 1L

(27)

E portanto

S= 2a

π R4 (28)










20








ou


41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)


21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

10



θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)


d2θ (t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)

d2θ ( t )dt 2

=minus( 2πT )2

∙ θo ( t ) (22)











11


31 MATERIAIS




















33 PROCEDIMENTO








12






13















Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658


1 7386 8109 9363 3741 4166

2 7294 8081 9379 3785 4150

3 7315 8084 9385 3753 4109

4 7314 8069 9379 3775 4122

5 7316 8037 9369 3738 4147



Tabela 2



1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465

14



Tabela 3



Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568


1 2294 2910 3225 4379 5687

2 23 2925 3204 4378 5691

3 2294 2940 3194 4394 5697

4 2284 2934 3191 4375 5675

5 2282 2903 3194 4353 5687





1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646






15



T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento

16



T2 (s2)







T 2=4 π2 IK

(24)



prova tem-se que

T 2=aI (25)

E portanto

K= 4π2

a (26)




17





18






19





tipo

K=a 1L

(27)

E portanto

S= 2a

π R4 (28)










20








ou


41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)


21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

11


31 MATERIAIS




















33 PROCEDIMENTO








12






13















Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658


1 7386 8109 9363 3741 4166

2 7294 8081 9379 3785 4150

3 7315 8084 9385 3753 4109

4 7314 8069 9379 3775 4122

5 7316 8037 9369 3738 4147



Tabela 2



1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465

14



Tabela 3



Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568


1 2294 2910 3225 4379 5687

2 23 2925 3204 4378 5691

3 2294 2940 3194 4394 5697

4 2284 2934 3191 4375 5675

5 2282 2903 3194 4353 5687





1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646






15



T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento

16



T2 (s2)







T 2=4 π2 IK

(24)



prova tem-se que

T 2=aI (25)

E portanto

K= 4π2

a (26)




17





18






19





tipo

K=a 1L

(27)

E portanto

S= 2a

π R4 (28)










20








ou


41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)


21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

12






13















Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658


1 7386 8109 9363 3741 4166

2 7294 8081 9379 3785 4150

3 7315 8084 9385 3753 4109

4 7314 8069 9379 3775 4122

5 7316 8037 9369 3738 4147



Tabela 2



1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465

14



Tabela 3



Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568


1 2294 2910 3225 4379 5687

2 23 2925 3204 4378 5691

3 2294 2940 3194 4394 5697

4 2284 2934 3191 4375 5675

5 2282 2903 3194 4353 5687





1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646






15



T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento

16



T2 (s2)







T 2=4 π2 IK

(24)



prova tem-se que

T 2=aI (25)

E portanto

K= 4π2

a (26)




17





18






19





tipo

K=a 1L

(27)

E portanto

S= 2a

π R4 (28)










20








ou


41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)


21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

13















Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658


1 7386 8109 9363 3741 4166

2 7294 8081 9379 3785 4150

3 7315 8084 9385 3753 4109

4 7314 8069 9379 3775 4122

5 7316 8037 9369 3738 4147



Tabela 2



1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465

14



Tabela 3



Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568


1 2294 2910 3225 4379 5687

2 23 2925 3204 4378 5691

3 2294 2940 3194 4394 5697

4 2284 2934 3191 4375 5675

5 2282 2903 3194 4353 5687





1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646






15



T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento

16



T2 (s2)







T 2=4 π2 IK

(24)



prova tem-se que

T 2=aI (25)

E portanto

K= 4π2

a (26)




17





18






19





tipo

K=a 1L

(27)

E portanto

S= 2a

π R4 (28)










20








ou


41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)


21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

14



Tabela 3



Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568


1 2294 2910 3225 4379 5687

2 23 2925 3204 4378 5691

3 2294 2940 3194 4394 5697

4 2284 2934 3191 4375 5675

5 2282 2903 3194 4353 5687





1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646






15



T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento

16



T2 (s2)







T 2=4 π2 IK

(24)



prova tem-se que

T 2=aI (25)

E portanto

K= 4π2

a (26)




17





18






19





tipo

K=a 1L

(27)

E portanto

S= 2a

π R4 (28)










20








ou


41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)


21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

15



T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento


T2 (s2)








comprimento

16



T2 (s2)







T 2=4 π2 IK

(24)



prova tem-se que

T 2=aI (25)

E portanto

K= 4π2

a (26)




17





18






19





tipo

K=a 1L

(27)

E portanto

S= 2a

π R4 (28)










20








ou


41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)


21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

16



T2 (s2)







T 2=4 π2 IK

(24)



prova tem-se que

T 2=aI (25)

E portanto

K= 4π2

a (26)




17





18






19





tipo

K=a 1L

(27)

E portanto

S= 2a

π R4 (28)










20








ou


41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)


21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

17





18






19





tipo

K=a 1L

(27)

E portanto

S= 2a

π R4 (28)










20








ou


41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)


21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

18






19





tipo

K=a 1L

(27)

E portanto

S= 2a

π R4 (28)










20








ou


41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)


21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

19





tipo

K=a 1L

(27)

E portanto

S= 2a

π R4 (28)










20








ou


41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)


21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

20








ou


41 DISCUSSAtildeO

004 005 006 007 008 009 0101500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



K (

gcm

2 s-2)

1L (cm-1)


21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

21






















22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

22

5 CONCLUSAtildeO















23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

23





24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

24

7 ANEXOS

I=12M cRc

2+ 112M v L

2+M t r2 (a)




∆ I=12Rc


16LM v∆ L+r

2∆M t+2M t r ∆ r (b)


∆ K=4 π2∆aa2

(d)

∆ S=2∆bπ R4

(e)

4 relatorio - modulo de torção

Documents