Classificação dos Pilares quanto à Esbeltez

1λλ ≤ - Pilares Curtos – Os efeitos de 2ª ordem podem ser desprezados.

901 ≤< λλ , onde 351 ≥λ - Pilares Medianamente Esbeltos – Os efeitos de 2ª ordem são avaliados por processos simplificados baseados no “Pilar Padrão”.

14090 ≤< λ - Pilares Esbeltos – Os efeitos de 2ª ordem são avaliados utilizando-se o processo do “Pilar Padrão” acoplado a diagramas M-N-1/r para a curvatura crítica. Deve ser considerado o efeito da deformação lenta.

200140 ≤< λ - Pilares Muito Esbeltos – Os efeitos de 2ª ordem são avaliados pelo método geral. Deve ser considerado o efeito da deformação lenta. Tipologia dos Pilares

Cccc

Modelo Estrutural

O pilar de contraventamento é responsável pela resistência ao vento mais o efeito de 2ª ordem associado à carga vertical própria e dos pilares contraventados.

Cccc

Ccccc Pilares Contraventados:

a) As vigas podem ser supostas articuladas quando: h ≤ l /4 ccccc

ccccc

b) quando h > l /4:

Adotar a envoltória dos modelos a) e b) Os pilares centrais podem ter em geral sua força normal suposta centrada desde que hajam vigas passando pelo seu eixo nas duas direções, e Xe ≅ Xd.

Os pilares de extremidade podem em geral ter a sua força normal suposta excêntrica em apenas uma direção, desde que na outra Xe ≅ Xd.

Os pilares de canto apresentam a força normal excêntrica nas duas direções.

Efeitos das Imperfeições Locais

Nas estruturas reticuladas:

hea 03,0015,0min, += (h – dimensão do pilar na direção considerada, em metros) Em cada uma das duas direções, deve-se considerar:

min,ai ee ≥

Efeito de 2ª Ordem Local

Pilar Padrão

xseneyel

π⋅= 2

xeyee ll

ππ cos2' ⋅⋅=

xseneyr ee ll

ππ⋅⋅−=≅ 2

2'' )(1

22 )(1

emáx

er l

π⋅−= (em

2exl

= )

máx

e

re 1

10

2

2 ⋅=∴l

ddx

rdxd sc )( εεϕ +==

drsc εε +

=∴1

de sce εε +

⋅=∴10

2

2l

cccccc

Expressões da NBR 6118 para λ < 90

re e 1

10

2

2 ⋅=l

, onde o valor aproximado da curvatura 1/r é dado por:

hhr005,0

)5,0(005,01

≤+

=ν

(onde 00207,00035,0005,0 +≅ , sendo 0,0035 de εcu e 0,00207

de εyd.

cdc

sd

fAN

=ν

Exemplo 1- Determinar o momento máximo de 2ª ordem para o pilar abaixo:

fck = 25 MPa

90

9,5120,0346,346,3

<

===

máx

y

emáx h

λ

λl

∴Pilar medianamente esbelto, sendo possível utilizar as expressões da NBR 6118.

87,0

4,12500045,020,0

4,11000=

⋅⋅

⋅==

cdc

sd

fAN

ν

11 25,00182,0)5,087,0(20,0

005,0)5,0(

005,01 −− ≤=+

=+

= mmhr ν

mr

e ey 016,00182,0

1031

10

22

2 =⋅=⋅=∴l

M2dy = 1000.1,4.0,016 = 22,4kN.m na seção C.

Para a direção x, 352345,0346,3 <==λ , e assim, pode-

se desprezar o efeito de 2a ordem nessa direção.

Seções a serem analisadas em um pilar

Seções de Topo e Pé Nd acompanhada dos momentos iniciais MTd e MPd, não se adotando valores menores que Nd.ea, onde ea = 0,015+0,03h. Seção Central Nd acompanhada do momento inicial Mcd = αc.Ma, não se adotando valores menores que Nd.ea, mais o momento de 2ª ordem M2 = Nd.e2. Os efeitos de 2ª ordem locais devem sempre ser considerados quando λ>λ1, onde:

ordem)1 de idade(excentric

9035 onde ,/5,1225

a1

11

1

hNM

he

he

d

cd

bb

⋅=

≤≤+

= λαα

λ

14,0 ,40,060,0 ≤≤+= ba

bb M

Mαα

Ma - Maior valor, em módulo, dos momentos das extremidades do pilar Mb - Positivo se tracionar a mesma face que Ma, e negativo caso contrário. αb = 1 caso Ma < Nd.ea , em módulo.

Exemplo 2

Ma = 100 kN.m Mb = -70 kN.m

mkNMcomo

c

bb

b

.4040,010040,014,0

32,0100

)70(40,060,0

=⋅==⇒≤≤

=−

⋅+=

αα

α

5,874,0

354,008,27

4,0167,05,1225

167,020,01

120040

1

1

=≥=⋅+

=∴

=⋅=

λ

he

19,5120,000,346,3 λλ <=⋅=

(não considerar efeito de 2ª ordem). Exemplo 3

Ma = 100 kN.m Mb = 70 kN.m

mkNM c

b

.8888,0100

88,01007040,060,0

=⋅=

=⋅+=α

8,3988,0

3588,0

6,2988,0

37,05,1225

37,020,01

120088

1

1

=≥=⋅+

=∴

=⋅=

λ

he

8,399,51 >=λ e 90<λ

re e 1

10

2

2 ⋅=∴l

e 22 eNM sdd ⋅=

Caso Geral de Dimensionamento para Seções Retangulares com Armaduras Simétricas Nas figuras apresentadas a seguir, têm-se:

≥ax

xx e

ee1

≥ay

yy e

ee1

Dimensões Mínimas e Disposições Construtivas

cmh 19≥ 4,1=fγ

cmhcm 1912 ≤≤ )05,095,1(4,1 bnf −=⋅γγ (b em cm)

Para λ< 90 26

ehl

≥

810 minhmm ≤≤ lφ

≤≤

min240

44

hcm

Scm l

φ

≥mmt 5

4/lφφ

≤

lφ12

20

minhcm

St

Travamento das Barras Longitudinais

Consideram-se travadas as barras que distam 20φt ou menos do canto do estribo ou de ponto de amarração intermediário.

Armadura Longitudinal Máxima e Mínima

cs

yd

d AAfN 0

0

00

815,0

4,0≤≤

(inclusive nas seções de emenda)

Exemplo 4

PavimentoadoscontraventPilares

mpisoaPisocmc

MPafMPaf

o

yk

ck

1

8,22

50025

==

==

P1 (25 x 40) P2

P3 (25 x 55) P4 (35 x 50)V3

(20

x 50

)

V4

(20

x 50

)

V1 (20 x 50)

V2 (20 x 50)

16,4 kN.m V3

19,5 kN.m

P1

20,6 kN.m

P3

N= 100 kN

N= 137 kN N= 225 kN

Pilar P4 (35 x 50)

kNN 240807,1.10.225 == • Excentricidades Acidentais

meme

ay

ax

026,0)35,0.03,0015,0(03,0)5,0.03,0015,0(

=+==+=

• Excentricidades de 2ª Ordem

=+−≤

65,235,050,08,28,2 m

ley

sdesprezadaserpodem

MM bBA

∴<

=∴=∴===

1max

1max 3510,;2,2646,3.35,065,2

λλ

λαλ

(Basta verificar, portanto as ações de topo e pé).

08,1

4,125000.50,0.35,0

4,1.2408==dν

4,0;08,035,0026,0.08,1)

35,0;065,05,003,0.08,1)

===

===

ωµ

ωµ

dy

dx

bCaso

aCaso

peso próprio do pilar

50 cm

35 c

m

X

Y

Nd

X

Y

0,03

X

Y

0,026

a)

b)

Nd

X

Y

Nd

υµ xDiagrama hd .10,0'=

( )facecmcmAtot /2,78,284,1.500

15,1.25.50.35.40,0 22=

=∴

50.35.8.15,0

4,0

00

00

≤≤

s

yd

d AfN

2

2 140117

cmAcm

cms ≤≤

8,438

35010 =<< lφ

×≤

35240

ls

=≥ mmt 5

420φ

cmcm

cmst

=≤

35242.12

20

A

A

AA

10

15,510 φ 20

Pilar P3 (25 x 55)

kNN 146607,1.10.137 ==

0141,01466

6,20.6,20 ==∴= xx emkNM

• Excentricidades Acidentais

mkNMmemkNMme

ayay

axax

.9,46032,0)55,0.03,0015,0(

.7,33023,0)25,0.03,0015,0(==+===+=

• Excentricidades de 2ª Ordem

+−≤

25,050,08,28,2 m

lex

( )

1max

1

1

max

353515,261

5,12.092,025

092,025,0

023,0

.7,33.7,33

.6,206,20.11

.6,20

.6,20

3,3546,3.25,055,2

λλ

λ

α

λ

≅

=≥=+

=

==

=∴

=≥==

=→<==

==

poisdesprezadoserPode

he

mkNMmkNMM

mkNMMMComo

mkNMMqueMenormkNM

cm

caxc

c

baxA

B

axA

(Basta verificar, portanto as ações de topo e pé).

6,1746,3.55,08,2

min ==λ

25 cm

55 c

m

X

Y

20,6 kN.m

20,6 kN.m

84,0

4,125000.55,0.25,0

4,1.1466==dν

20,0;07,025,0023,0.84,0) === ωµ dxaCaso

υµ xDiagrama

hd .10,0'=

23,114,1.500

15,1.25.55.25.20,0 cmAtot =

=∴

)bCaso

15,0049,0

55,0032,0.84,0

047,025,0

0141,0.84,0≅

==

==ω

µ

µ

dy

dx

A A

0,0141

X

Y

0,023

X

Y

0,0141

X

Y

0,032

a)

b)

υµ xDiagrama hd .10,0'=

=

=<<=

2

2

1,75,43

4,1.146615,0

11055.25.08,05,555.25.04,0

cm

cmAs

166 φ

Pilar P1 (25 x 40)

kNN 107007,1.10.100 ==

015,0.4,16018,0.5,19

=∴==∴=

yy

xx

emkNMemkNM

• Excentricidades Acidentais

mkNMmemkNMme

ayay

axax

.9,28027,0)40,0.03,0015,0(.61,24023,0)25,0.03,0015,0(

==+===+=

A A

25,5

25 cm

40 c

m

X

Y

• Excentricidades de 2ª Ordem

+−≤

25,050,08,28,2 m

lex

( )

1max

1

1

caxc

c

baxA

B

axA

max

poisdesprezadoserPode

353515,261

5,12.092,025

092,025,0023,0

he

m.kN6,24MMM

m.kN5,195,19.1M1MMComo

m.kN5,19MMqueMenorm.kN5,19M

cm3,3546,3.25,055,2

λ≅λ

=≤=+

=λ

==

=∴

≥==

=α→<−=

=

==λ

(Basta verificar, portanto as ações de topo e pé).

2,2446,3.40,08,2

min ==λ

19,5 kN.m

19,5 kN.m

0,018

X

Y

0,018

X

Y

0,027

a)

b)

0,015 0,023

X

Y

0,015

84,0

4,125000.40,0.25,0

4,1.1070==dν

)aCaso

24,0;032,040,0023,0.84,0

077,025,0023,0.84,0

===

==

ωµ

µ

dy

dx

)bCaso

24,0;057,040,0

027,0.84,0

06,025,0

018,0.84,0

===

==

ωµ

µ

dy

dx

υµ xDiagrama

hd .10,0'=

1669,94,1.500

15,1.25.40.25.24,0 2 φ→=

=∴ cmAtot

=

=

2

20

0

min 2,55,43

4,1.107015,0

440.254,0

cm

cmAs

18

φ 5,0 c/19

21

6φ 16

A A

Exemplo 5: (idem ao anterior exceto piso a piso = 5,6m) Pilar P1 (25 x 40)

kNN 107007,1.10.100 ==

memkNMmemkNM

xy

xx

015,0.4,16018,0.5,19

=∴==∴=

• Excentricidades Acidentais

mkNMmemkNMme

ayay

axax

.9,28027,0)40,0.03,0015,0(.61,24023,0)25,0.03,0015,0(

==+===+=

• Excentricidades de 2ª Ordem

=+−≤

mm

lex 35,525,050,06,56,5

( )

90

353515,261

5,12.092,025

092,025,0023,0

he

m.kN6,24MMM

m.kN5,195,19.1M1MMComo

m.kN5,19MMqueMenorm.kN5,19M

3,7446,3.25,035,5

max1

1

1

caxc

c

baxA

B

axA

max

<λ<λ

=≤=+

=λ

==

=∴

≥==

=α→<−=

=

==λ

me x 043,0

5,0

4,125000.4,0.25,0

4,1.1070.25,0

005,01035,5 2

2 =

+

==

25 cm

40 c

m

X

Y

19,5 kN.m

19,5 kN.m

Na direção y

=+−≤

mm

ley 5,54,050,06,56,5

6,4746,3.40,05,5

==yλ

( )

m028,0)5,0084,0(

1.4,0

005,0.105,5e

90

353584,251

5,12.0675,025

0675,040,0027,0

he

m.kN9,28MMM

m.kN4,164,16.1M

1MMComom.kN4,16M

MqueMenorm.kN4,16M

2

y2

y1

1

1

caxc

c

bayA

B

ayA

=+

=

<λ<λ

=≤=+

=λ

==

=∴

≥==

=α→<−=

=

Seção de Topo e pé

0,018

X

Y

0,018

X

Y

0,027

a)

b)

0,015 0,023

X

Y

0,015

16,4 kN.m

16,4 kN.m

Seção Central A condição a) é mais desfavorável

84,0=dν

74,0;09,025,0023,0.84,0

022,025,0

066,0.84,0

===

==

ωµ

µ

dy

dx

υµ xDiagrama

hd .10,0'=

20104,304,1.500

15,1.25.40.25.74,0 2 φ→=

=∴ cmAtot

20

02 8040.25.82,5 cmAcm s =<<

A A

0,023

X

Y

0,023

X

Y

0,055

a)

b)

0,027 0,066

X

Y

0,027

10φ 20

φ 5,0 c/20

9

21

Exemplo 6 - idem ao anterior, exceto:

memkNMmemkNM

xy

xx

037,0.40028,0.30

=∴==∴=

Pilar P1 (25 x 40)

kNN 107007,1.10.100 == • Na direção X

}

( )ordem2temnão74

5,874,0

354,015,26

4,05,12.092,025

092,025,0023,0

he

m.kN6,24MMM

m.kN1230.4,0M4,02,0)1(4,06,0

m.kN30Mm.kN30M

74

a1x

1

1

caxc

c

bb

B

A

x

λ<=λ

=≤=+

=λ

==

=∴

≥==

=α=−+=α−=

==λ

• Na direção Y

}

( )ordem2temnão4,47

5,874,0

354,084,25

4,05,12.0675,025

0675,040,0027,0

he

m.kN9,28MMM

m.kN1640.4,0M4,02,0)1(4,06,0

m.kN40Mm.kN40M

6,47

a1x

1

1

caxc

c

bb

B

A

x

λ<=λ

=≤=+

=λ

==

=∴

≥==

=α=−+=α−=

==λ

25 cm

40 c

m

X

Y

30 kN.m

30 kN.m

40 kN.m

40 kN.m

Seção de Topo e pé Como ex>eax e ey > eay, só existe 1 caso

84,0=dν

37,0;078,040,0

037,0.84,0

094,025,0

028,0.84,0

===

==

ωµ

µ

dy

dx

υµ xDiagrama

hd .10,0'=

1682,154,1.500

15,1.25.40.25.37,0 2 φ→=

=∴ cmAtot

8φ 16

φ 5,0 c/1912

21

A A

0,028

X

Y

0,037