lista de exercícios-teorema de stokes e teorema de green

8/18/2019 Lista de Exercícios-Teorema de Stokes e Teorema de Green

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9.8. INTERPRETAÇÃO DA DIVERGÊNCIA 201

9.8 Interpretação da Divergência

Da equção (2), temos:∂ρ

∂ t = −div(J );

logo, a divergência é a taxa de variação da densidade do fluido num ponto.

Se div(J ) > 0 num ponto, sua densidade diminui, ou seja, o fluido está se expandindo.

Se div(J ) < 0 num ponto, sua densidade aumenta, ou seja, o fluido está se contraindo.

Se div(J ) = 0 em todos os pontos, a densidade é constante, ou seja, o fluido permanece emequilíbrio.

9.9 Exercícios

Teorema de Stokes

1. Determine o campo de vetores F (x,y,z) tal que rot(F )(x,y,z) = (2, 1, 3). Determine acirculação de F ao longo do círculo de raio 1 no plano xy, centrado na origem, no sentidoque preferir:

(a) Diretamente.

(b) Utilizando o teorema de Stokes.

2. Considere o cilindro C = {(x,y,z), x2 + y2 = 2, 0 < z < 2}. Utilizando o teoremade Stokes calcule o fluxo do campo de vetores F (x,y,z) = (x,y,−2 z) através de C no

sentido da normal exterior.

3. Calcule a circulação do campo de vetores F (x,y,z) = (2 y z, 0, x y) ao longo de ∂ W ondeW = {(x,y,z) / x2 + y2 − 2 z2 = 0, 0 ≤ z


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202 CAPÍTULO 9. TEOREMAS DE STOKES E GAUSS

(b)

C

y2 dx + z2 dy + x2 dz, onde C é o contorno do triângulo de vértices (a, 0, 0),

(0, a, 0) e (0, 0, a).

(c) C

(y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz, onde C é a curva de interseção do cilindro

circular x2 + y2 = 1 com o plano x + z = 1.

(d)

S

rot(F ) dS , onde S é a porção do parabolóide z = 4 − x2 − y2 intersectada pelo

plano xy.

7. Sejam P , Q e R funções de classe C 1 definidas num aberto de R3. Em que caso: C

P (x,y,z) dx + Q(x,y,z) dy + R(x,y,z) dz = 0,

para toda curva fechada C ?

8. Considere a superfície S = {(x,y,z) ∈ R3 / z =

x2 + y2; 1 ≤ z ≤ 3}. Calcule: S

rot(F ) dS,

onde F (x,y,z) = (y z, −x z , z3).

9. Seja W o sólido limitado pelos parabolóides z = x2+2 y2 e z = 12−2 x2−y2, se F (x,y,z) =(x,y,z). Calcule o fluxo para fora do campo F através da fronteira de W .

Teorema de Gauss

1. Seja W o sólido limitado por x2 + y2 = 4, z = 0 e z = 3. Calcule o fluxo de F através dasuperfície S = ∂ W , com campo de vetores normais exterior a S , se:

(a) F (x,y,z) = (x,y,z)

(b) F (x,y,z) = (−y,x, 0)

(c) F (x,y,z) = (x2, 0, z)

(d) F (x,y,z) = (y2, x, z x)

2. Suponha que ∂ W = S nas hipóteses do teorema de Gauss e que f é uma função de classeC 2, harmônica sobre W . Verifique que:

S f grad(f )) dS =

W

∥grad(f )∥2 dx dy dz.

3. ] Calcule o fluxo do campo de vetores:

F (x,y,z) = 1

x2 + y2 + z2

x,y,z

através da superfície do sólido W limitado pelas esferas x2+y2+z2 = 9 e x2+y2+z2 = 16,orientadas com sentidos opostos.


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9.9. EXERCÍCIOS 203

4. Calcule o fluxo do campo de vetores F (x,y,z) = (2 x,−1, z) através da superfície dotetraedro determinado pelo plano 2 x + y + 3 z = 6 e pelos planos coordenados.

5. Calcule:

S

F dS,

onde F (x,y,z) = (x2, y2, z2) e S é o bordo do cubo Q definido por [−1, 1]×[−1, 1]×[−1, 1].

6. Calcule o fluxo de F (x,y,z) = (2 x y + z, y2,−x − 3 z) através da superfície do sólido W limitado pelos planos coordenados e por 2 + 2 y + z = 3.

7. Se F (x,y,z) = (x,y,z), verifique que o fluxo de F através da superfície S de um sólidoqualquer W é o triplo do volume de W .

8. Calcule: S

F (x,y,z) dS,

onde F (x,y,z) = (2 x,y, 2 z) e S é a fronteira da região limitada pelo cilindro x2+y2 = 16,z = 0 e z = 2.

9. Seja f (x,y,z) = 1 x2 + y2 + z2

:

(a) Verifique que f é harmônica em R3, exceto na origem.

(b) Calcule

S

grad(f ) dS , onde S é a esfera de raio 1 centrada na origem.


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